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数 学 通讯 —— 20O9年 第 11、12期(上 半 月)  

・辅教 导 学 ・  

心有“ 0”犀 一 点 通  谢全苗  ( 浙 江 省 上虞 中学 ,3123 00)  

“O”的发现与 十进制 记数法 有密 切关 系 ,   在二进 制 中顶 “半 边 天 ”.“O”并 不是 “无 ”, 有 

l A  ̄ 1 n     =1 或丢 口   =3 , 即n =1 或口 一 ÷.   辨析

时却 是“有 ”, 而这个 “有 ”常常被 我们 忽视 , 导 

当 av e0时 , A一 {   n 一1)一{   ), 可得 

致 多少次 因“O”马失前蹄 , 功败 垂成.  

在“0”的天地 中确实 常常 险象环生 , 正如 

n一1或 口: 1;  

数 学教育 家傅 种孙 先 生 说 :“问道 于零 , 受 福 

J 

当 a=O时 , A一 ( Xl nz一1)=( 2 j, 显 然 A 

无 量”.现 在的高 一 数 学新 教 材 已将 “0”归为  自然数 类 ,由此 更是 生 出“O”的 险境 和妙 用.  

B.  

对“ 0”应“O(另眼 )”相待 , 只有这样 , 才 能让你  既 有“0”危 不惧 的勇 气 , 又 有无 C 0”)中生有 

的智慧 , 使 你不仅 能在解 题 的困境 中能“0”机  一

动, 绝处 逢生 , 而 且 真 正能 心 有灵 C0”)犀  点通.  

综上所述 , 实数 n的值是 口一1或 口一÷  或 n: = :0.  

2.利用 “ 0”。 可 培 养思维 的广 阔性.  

思维 的广 阔性就是 善于全 面看 问题 的思  维 品质 , 它体 现 在善 于 抓住 问题 的广 阔 的 范 

1.利用“0”. 可培 养思 维的严 密性.  

围 ,既能抓住 一般 的、关 键 的 问题 ,同时 又 不 

思维 的严密 性 是 指 在分 析 问 题 、 解 决 问  题 的过程 中严 密 而周 到 , 考 虑 到 问题 的各种 

忽 视个别 的重要 的具 体细节.“O”在培 养数学  思维 的广 阔性 中可起 到独特 的作用 .  

可能 的一 种 思维 品 质 ,其 反面 是 思维 的不严 

密, 表现 在解题 时丢 三落 四.适时合 理地注 意 

例 3  过点 A(2,3)且在 两 坐标 轴 上 的  截距 的和为 0的直线 方程是

和运 用“0”, 可 在解 题 中产 生顿 悟 , 从 而达 到  例 1   集合 { X∈ N} z≤ 2)的子 集 有 多  少个 ?  

因为 { X∈NI z≤2)一 {1, 2), 所 以 

{ xENI z≤ 2)的子 集有 4个.   辨析

0也 是 自然 数 ,所 以 {z∈N  I   z≤ 

2): = ={ 0,1,2}, 所以{ z∈N1   z≤ 2)的子 集 有  8个 .  

.  —

错解  因为直 线 兰 +  一1过 点 A(2,  

培养思 维 的严 密性 的 目的.  

错解

这里 忽视 了 a=0的情况 .  

3 ), 所 以三+÷一1 口   D   , 又因为 口+6—0, 解得 a   =一1, 所 以直线 方程是 一z+ =1.   辨析

这 里 既 考 虑 了 n+b= 0,又 想 到 

分 母不 能为 0, 但 还 是 忽 视 了 a一0且 6— 0  

的情况 .其实 ,当 n一0且 b: : =0(即 直 线 的 纵  横 截距 同为 0)时 , 该 直线 在 两 坐标 轴 上 的截 

距 的和为 0, 此时 直 线过 原 点 ,其 方程 为 Y一 

例 2   已知 集 合 A一 {  l   a. T一 1}, B一 

_ 昙 - z, 因此, 所求直线方程是一z+y一1或 y  

{1, 3), 若 A  B, 求实数 Ⅱ的值.   1  

错解  因为 A一{ z  I   a . T一1}一{ ÷) , 所 

3   一  

L  


辅教 导学 ・  

数 学 通 讯— — 2OO9年 第 11、12期 (上 半 月)  

例 4  求 函数 Y:  错解

把 = 

的值域 .  

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(A) √2.  

( B)一√2.  

(C)1.  

(D)一 1.  

下面 是这 一 问题 在不 同思 维水平 下 的求 

变为 

(  一2) z +2(  一 2)z+ 2  一 3一O

( D 

依题 意 ,方 程 ① 有 实 根 ,所 以 △一 (Y一 

解对 策.  

解法 1   按 常规 思 路 ,将 函数 化 为  一  i n(2z+ ), 其中t anO-a.函数 Y的 

2)  一4(  一2)(2   3 , 一3)> / o, 解得 1≤ ≤2, 即 

函数 的值 域为[1, 2].  

对称 轴方 程 可 由 2x+6=k ̄ r+ y  ( k∈z)解 

. 

辨析  错解 将 函数 变 为方 程 ① 后 , 忽 视 

了用 判别 式“ △”的必要条 件是 z。的系数 一  2≠ O.  

事实上 , 当  一2=0时 , 因为 2  一3≠O,  

方程① 无解 , 所 以 Y≠2,即 函数 Y的值 域 为 

[1, 2).  

得, 为z 一号( 忌 丌 +号一   ) , 所以一虿 7 r =   1 ( 矗   +号一口 ) , 即O =k 丌 +   挈, 故t a n ( k   +  ) 一   口, 得 口一 - 1, 选( D).  

解 法 2  记 ,(z)=s i n2x+ acos 2x,由 

3.利 用“0”, 可培养思 维的批 判性 .  

思维能力的提高 , 需要一个循序 渐进 的  过程.在 这个 过程 中 , 对 自己解 答 的正 确 性 ,  

函数厂 ( z ) 的图象关于直线z 一一专对称, 知  ,(  )  厂( 一z~詈), 即s i n 2 x+a c o s 2 x— 

对 提供 解 答 的 合 理 性 需 要 有 一 定 的 判 断 能  力, 这 时若 能 抓住 “O”在 问题 中的作 用 ,可使 

s i n 2 ( 一z一手) +a c o s 2 ( 一z 一手) . 所以( 口 + 

你认 识 到解 答 (或命 题 )的错误 或 不 合理 , 从 

1)(s i n2x+ac os2x)=0对 一 切  ∈R 恒 成 

中提高辨 别 是非 曲 直 的能 力 ,培 养 思维 的批 

立, 故 口+1=0, 即 口:一1, 选 (D).  

判 性.  

解法 3   从解 法 2知 ,对一 切 z∈R, 恒 

例 5  命题 “偶 函数 必无 反 函数”是真 命  题 吗?  

辨析

不是 真命题 .  

有厂(  ) 一厂( -X-手) , 令x=O, 则有 厂( o )   一厂(一孚), 解得口一一1, 选( D) .  

从表 面上看 , 一般偶 函数 不是单 调 函数 ,   所 以没有反 函数 ,但这 也 不 是 绝对 的.比如 ,   定义从 集合 D一 {0)到 集 合 M 一 {1)的 函 数  _ 厂( z)=1, z∈D.这 是 一个 偶 函数 ,它 的反 函 

数是从 M= {i)到 D= { 0)的 函数 : f  ( z)一 

评析  学 生通 常习惯 于 用解 法 1(通 法 )  

来求解 , 但 这 样 做 有 “小 题 大 做 ”之 嫌 ,还 有  “隐性 失分 ”之患 .在 素质教育 和重基 础 、 考 能  力 的今 天 ,墨守 陈规 , 抓 住所 谓 的“通 法 ” 不 放  是 行不 通 的 ; 解法 2活用 了对 称变换 , 较 为巧 

0,z∈ M .  

妙; 解法 3则 又结合 “赋 值法 ”, 令  一0, 显 得 

4.利用 “0”, 可 培养 思维 的灵活 性.   思 维 的灵 活性是 指善 于根据 问题 变化 的  情况, 及 时提 出符合 实际 的解 决 问题 的方法 ,  

巧 中有 活 ,活 中有“0”(灵 ).解 法 2、解法 3反  映 了较 高的思 维层 次 , 体现思 维的灵 活性 , 这  正是 我 们 在 学 习 和 训 练 中 要 达 到 的 目标 

善于从新 的角 度 去考 虑 问题 .   例 6   (1994年 高考 题 )如 果 函数  — 

之一 .  

例 7  设 函数 厂(  )对 任 意 的 X, Y∈R 

s i n 2 x+ac o s 2 x的图象关于直线 9 5 " :一鲁 对  称, 那 么 n等于 

(  

)  

都 有 厂(z)+厂(  )一f( x+. ) , ), 且  > 0时 ,   厂( z)<O, 试 讨论 函数 厂(  )的单 调性 .  


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因及 其后果 的 思维 品质.具有 这 种 思维 品质 

令 z—j , 一0, 得  (O)一0.  

令 z一 一y, 有 ,(  )+,(一 )_ - 2 - _ - 0,由 z  ∈R, 知 厂( z)是奇 函数.  

的人 能在 一般人认 为司空 见惯 的普通 的简单  的事 物 中发 现重 大 问 题 , 提 示 出关 于 自然 和 

又因 x>0时 , 厂(  )<0, 任取  >  , 则  f( x2 )-f( x1 )一f(x2)+厂(一 z1)一f(x2一 

z )<O, 所 以函数 厂(  )在 R上 为减 函数 .   评析

・辅 教 导 学 ・  

社会 的重要规 律来 .  

由数列 { n )的前  项 和 S 求 n , 一般用  公 式 

此题 与 2001年 的高考题类 似 , 是 

r Sl,  

7 z一 1,  

口   == 

由 函数 方程 给 出 的抽象 函数 问题.这 类 问题 

1 S 一S  一1,  ≥ 2.  

通 常用赋 值法 ( 如 上题 中令 z—Y—O)探 路 ,  

这 是 司空 见惯 、习以为 常的 , 但 一定要这 

以便 快捷 得 出结 论 , 使 问题获 得解决 .  

样 分段 吗?何 时不必分 段 呢?  

当 ≥ 2时 ,S 表 示 数 列 { n )的前 , z项 

5.利 用“ 0”。 可 培养思 维 的敏捷 性.   思维 的敏捷 性是 指表现 为能够迅 速地发 

的和 ,当 = 1时 ,S 表示 a,;当  =0时 , S。  

现 问题 和正确 地 解 决 问题 的思维 活 动.它 可 

虽没有 多少实 际意义 , 但若 视 为 S。=0, 就有 

以节约 时间 ,确保 在 极短 的时 间 内解 决 急需 

许 多活 用.容易 证 明 S。一0不 但 是 数列 {口  )  

的问题 .  

是等差 (比)数 列 的必要 条件 , 而且 也 是 a  一 

例8   求 与 圆 C:   +Y。一4z一2  一20  O切 于 A(一 1,一 3), 且 过 点 B(2, O)的 圆 

在解 析几何 中规定 圆的半 径要大 

于 0, 但在 解题 的 实 践 中 可 以使 圆的 半 径 等  于 0, 即视点 为 圆 , 既运 用 了亦此 亦 彼 的辨证  法, 又 体现 了解 题 的敏捷性 .  

+3)。一O, 则 过 圆 C,C 的交 点 A(一 1,一3)   的 圆系方程为 

① 

将 点 A(一 1,一 3)代 入 方 程 ① 即 得 

例 9   已知数列 { n )的前  项和 S 一7 l  

解  因 为 S。=0, 所 以 n = S 一S  一。(   ∈N ), 所 以 

1)+ 2 一 一 1]= = =2 n - 1+ 2  十 2( , 2 ∈N ) .  

拥 有“o”并 非 一无 所 有 ; 具 有“0”会 让 你 

看得 见 , 想得 全 ; 运 用“O”会 使 你 的思 维变 得  更 严密 、 更 灵活 、 更 敏锐 、更 富有 创造性.只要 

 

3‘  

我们 在平 时的学 习 中多 思考 , 勤 钻研 , 就 能真 

故 所求 的 圆的方程 为 : 3 2  +  一4x一2y  ’ 

中归 为 自然数 类 的好 处和 活用.  

口 一 。+3n+2  一1一 [(/ - / 一 1)。+3(  一 

z +y 一4  一2   3 , 一2O+ [( z+1) 。+(y  +3) 。 ]一0  

算, 体 现 了数 学 的简 洁美 , 这 是“0”在新 教材 

+37 z +2  一1, 求 口  .  

视点 A(一l,一3)为 圆 C :(  +1)  +(  

这样 , 在 已知数列 ( 。  }的前 n项 和 S 求  时就没 有必要 都 分段 讨论 , 从 而简 化 了运 

的方程.  

分析

s 一S  一  的充要条 件.  

正 心有灵 C0”)犀 一点 通 , 从 而使 “0”成 为你 

A  一

2 o+÷[ ( z+1 ) 。 +(  +3 ) 。 ]=0, 即7 x。+ 

避 免重蹈 覆辙 、出错 致误 的 防火 墙 , 锤炼 思维 

') 

7  3, 。一 4 + 18 一 20— 0.  

的磨刀石 .  

6.利 用“0”。 可提 高思维 的深刻 性.   思维 的深 亥4性就是 善于深 入到事物 的本  质, 抓 住事物 的核 心 , 揭 示事物 现象 的根 本原 

( 收稿 日期 : 2009一O7一O6)  


心有“0”犀一点通