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、  

74 

数 学 通 讯— — 20O9年 第 ll、l2期 (上 半 月 )  

・复 习参考 ・  

2009年 上海 高考数 学题 给 学 生 的启 示  余继光  (浙 江省 绍 兴 柯 桥 山 阴路 785号 柯 桥 中学 。31203 0)  

2009年上 海 高 考数 学 题 展 示 给人 们 很  多的 闪光点 ,也 给未 来参 加 高考 的学生 更 多 

置应 该在 点 A 附近 , 代 入 附近 的 点 的坐标 进  行 比较可 知 , 在 (3, 3)处  取 得最小值 .  

的启示 ,它突 出表 现 在 高考 命题 专 家对 数 学 

知识链 接  首先考 虑在数轴上有 , z 个点 

概 念本 质 的深 刻挖 掘与数 学思想 的灵活应 用 

z。, X。, …,  , 寻找一 个点 X, 使其 到这 竹个点 

上, 如 函数概 念本质 特征 挖掘 时 , 将 函数 图象 

距离 和最小.  

厂(  )一 I   —z1  I +I  z一娩 l + … +I   — 

与方程 曲线 的区别 淋漓 尽致地呈 现在学 生面 

I ≥I   一( zl+X2+ … 十X )I,  

前; 又 如统 计 思想 的运用 ,一 改统计 题 的 “八  股文”形式 ,真 正 地 把 统 计 思想 方 法 应 用 于 

当 z一 旦 

二二  

时, 厂(  )取得 

实际生 活 中 —— 公 共 卫生 事 件 发 生 的统 计  学标志 ; 再如绝 对值 函数 的实 际应用 —— 确 

最 小值 0.  

推 广到二 维  f( x,  )一 l   X—z。I +I  z 

定报 刊零 售点 的位 置.这些 闪光 点 引领 着 中  学生数 学学 习 、 思考、 实 践 的方 向.  

— z2  I +… +l   z—  I +f  — t  l +l   一  I +  …

1.绝 对 值 函数 的 实 际 应 用 

例1   某地街 道呈 现东 一 西 、 南 一 北  向的网格状 , 相邻 街距 都 为 1.两 街 道相 交 的 

点称 为格 点.若 以互 相垂 直 的两 条街 道 为 轴  建立 直角 坐标 系 , 现有 下述 格点 ( 一 2, 2), (3,   1),( 3, 4),(一 2, 3),(4, 5),( 6, 6)为 报 刊零 

售 点. 请 确 定 一 个 格 点 (除 零 售 点 外 )   为 发行 站 ,使 6个 零 售 点沿 街 道 到 

发行 站 之间路程 的和最短 .   到 发 行 站 的 距 离 为 

I  Y一 1  I+I  Y一4  I +1  Y一 3  I +I   z一 4  l +l  Y  5  I + I  z一 6  l+I  Y一 6  l,  

2+ 3+ 3— 2+ 4+ 6

—   — — — — — — — — — — _=■ — — — — — — — — — — 一 n 

2+ 1+ 4+ 3+ 5+ 6

 

。 

一  

’  

7   

’  

记 A( 2,  7) ,

= 

一 ±垒± ±  ’ ±丝±二±  时,     :  Hq ,   , Y= 一= 咒 

7I 

f( x,  )取得最小值 0.   练一练  某运 河直道上 有 6座桥 , 每座 

桥 附近都 有一个大 型市 场 ,建立 数 轴后 , 6座  桥 的坐标 为 一 2,一 1, 0, 3, 7, 8,为 了便 于 货  物 运输与 仓储 , 需 确定一 座桥作 为仓储 中心 ,   同类题

(2004年 北京 高考题 )某段城 

BC 一 3km, 在 列 车运行 时刻 表上 ,规定 列车 

8时整从 A站发 车 , 8时 O7分到达 B站并停 车  1分 钟 , 8时 12分到达 C站.在实际运 行 中 , 假 

这六 个点的横 、 纵坐标 的平均值 分别为 

+I  n y一 (  1+ Y2+ … +  )I ,   当 

铁 线路 上 依 次 有 A、 B、 C三 站 , AB ; 5km,  

z= 2  I  z+ 2  J +l  Y一 2  I +2  J   一3  I + 

+l  Y一  I ≥ I仳 一 ( zl+ X2+ … - - i -磊 )l  

使 任一座 桥到此 仓储 中心的距离 和最 小.  

解  设发 行 站 的位 置 为 (  ,  ), 零 售 点 

,  

设 列 车从 A 站正点发 车 , 在 B站停 留 1分 钟 ,   并 在行 驶时 以同一 速度  km/h匀速 行驶 , 列  车从 A站到 达某站 的时间与 时刻表 上相应 时 

间之 差 的 绝 对 值 称 为 列 车 在 该 站 的 运 行  误差.  

画 出图形可知 , 发行 站的 位 

(I )分 别 写 出列 车 在 B、 C 两 站 的 运 行 


复 习参 考 ・  

  .

数 学 通讯 — — 2 00 9年 第 11、 1 2期 ( 上半月)  

误差;  

、   -

(I I )若要 求 列车在 B, C两 站的运 行误差 

75  

圆弧 , 设过 原点 且 与 曲线 C相 切 的直 线 为 Y  一

忌z.  

之 和不超 过 2分 钟 , 求  的取值 范 围.  

1 

当  = 0时 , 愚一~ 

解  (I )列车在 B, C两站 的运行 误差(单 

位: 分钟 )分别是 l  j 3 o  一7  I和 I  480— 11  I . 

g GC 

0 

一  , 此 时直 线 的  厶 

0 

倾斜角为 p, 即t a . /  ̄= 昔.   厶 

当切线 与 Y轴重 合 时 ,曲线上 的点 满 足 

(I I )由于列 车在 B, C两站 的运 行误 差之 

函数 的定 义 , 即是一 个 函数的 图象.  

和 不超过 2分钟 , 所 以  I  soo一 7  l +l  

一 11  I ≤2  

再逆 时针旋 转 时 ,曲线 不 再 是 一 个 函数 

① 

的图象 , 旋 转角最大 为 9O。一 , 则t a n( 90。一  当 O<  ≤  300时 O 式变 形 为 

2 

3。  

300

7+ — 480

一 ,1-一 —

一  11≤ 2’ ,  

o 

即 a的最大值为 a r c t a n妻 .  

解 得 39≤ 口≤  300;  

知 识链 接 

函数 的图象与方 程 的曲线 

既有 联 系又 有 区别 ,中学 里介 绍 的 函数 具 有  当 

<  ≤ 

时, ① 式 变形 为 

7一 — 300+ 480

,一 一

_ T _~

唯一 的一 个 值 与其 对应 ,而方 程 的 曲线 不 一 

一  11≤ 2, ’   —

j 

解得

单值 性 ,即给定 自变量 的一个 值 ,因变量 只有  定具 有这一 特点 , 这样 , 一个 曲线弧在 运 动状 

下 300<  ≤ 

;  

态下 , 就可 能发生 实质性 的变化 , 探求 方程 曲  线 转化 为 函数 图象 的旋转 角成 为可能 .  

当  > 

时, ① 式变形 为  480≤

7一 — 300+ 11

练一练  将 函数 Y= 3一l   z一3   l(   ∈  E o, 6])的图象 绕 坐 标 原 点 逆 时 针 方 向旋 转 

2 , 

角 0(O≤ ≤ a), 得 到 曲线 C.若 对 于每 一个  解得 

<  ≤ T 195

旋 转角 0,曲线 C都是 一个 函数 的 图象 , 则 a  

. 

的 最大值 为 

综上所 述 ,   的取值 范 围是 [39,   ].  

3.统计思 想 的本 质再 现 

例 3  在 发生某 公共 卫生事件 期 间 , 有 

2.函数 概念 的 内涵挖掘  例2   将 函数 Y一 

.  

i刁

一 2( x 

∈ to, 6])的图象 绕 坐 标 原 点逆 时针 方 向旋 

专业 机构 认为该 事件 在一段 时 间没有发 生规 

模群 体感 染 的标 志 为 “连 续 1O天 ,每天 新 增 

转角 ( O≤ ≤ ), 得 到 曲线 C.若 对 于每 一 

疑 似病例 不 超 过 7人 ”.根 据 过 去 1O天 甲 、  

个旋转 角 0,曲线 C都 是 一个 函数 的 图象 ,则 

乙、 丙、 丁 四地新 增 疑似 病 例数 据 ,一定 符 合 

a的最 大 值 为 

该标 志的是 

解 

由 

.  

(   一 3)。+ (y+ 2)   一 

 

( B)乙地 :总体 均 值 为 1,总 体 方 差 大 

,  

■\、一   3 

D _ 、、 、 、

c( 3  一2)  

( C)丙 地 :中位数 为 2, 众数 为 3.  

(D)丁地 : 总体 均值为 2, 总体方 差 为 3.  

图象是 以 ( 3,一 2)为 圆 

心 , ̄ / 13为半 径 的 一 段 

于 0.  

6 

13,(  ∈ [ 0, 6]),它 的 

)  

( A)甲地 : 总体均值 为 3, 中位数 为 4.  

一 

 ̄ / 4+ 6x— 。 一 2 得 

(  

图 1   例 2图 

解  根 据信 息可 知 , 连续 10天 内 , 每天 

的新增 疑似 病例不 能有 超过 7的数 .  


76 

数 学通 讯— — 2009年 第 l1、12期 (上 半 月 )  

选项 (A)中 ,  

! 

= 3,中 

・复 习参 考 ・  

组数 据集 中趋 势 的量 , 平 均数是最 重要 的量 ;   ( 2)由于 平 均 数 与 每 一 个 样 本 数 据 有 

位 数为 4,可能存在 大 于 7的数 , 如 0, 0, 0, 0,   4,4,4,5,5,8;  

平均数 的改 变 , 这 是 中位数 与众 数都 不 具 有 

选项( B ) 中,   音  体 方差 S。= : :  

关, 所以, 任何 一个样 本数 据的改 变都会 引起 

(z 一 

一  总   的 性 质(3); 众 数考 查 各 数 据 出现 的 频率 ,大 小 

大于 o, 也; t- f , i -  

能 存 在 大 于 7的 数 ,如 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,   2, 8;  

选项 ( C)中 , 中位 数 为 2, 众 数 为 3也 有  可能存在 大 于 7的数 ,如 0, 0, 0,1, 2, 2,3, 3,   3, 8;  

只与这 组 数据 中的部 分数 据 有关 ,当一 组 数  据 中有 不 少数 据 多次 重复 出现 时 , 其 众 数往  往更 能反 映问题 ;  

( 4)中位数 与 数 据 的 排 列 位 置 有关 ,有  些数 据 的变 动对 中位 数 没有 影 响 ,中位 数 可  能 出现在 所 给数据 中 ,也可 能不 在所 给 数 据 

中, 当一组数 据 中的个别数 据变动 较大时 , 可  选项 (D)中 , 旦 

一 2, 根 

用 中位 数描述 其集 中趋势 ;   (5)实际 问题 中求 得 的平 均数 、众数 、中 

据 方差公 式 , S 一 

(   一 )。: = =3,如果 

位数应 带上单 位 ;   (6)一组 数 据 中 的 众 数 可 能 不 止一 个 ,  

有 大于 7的数存 在 , 那 么方 差 不会 为 3, 故 答 

众数 是一 组 数据 中 出现 次数 最 多 的数据 ,而 

案选 (D).   知识 链接  中位 数 ,众 数 ,均 值是 统计 

不是该 数 据 出现 的 次数 , 如 果两 个 数据 出现 

的次 数相 同 , 并 且 比其 它数 据 出现 的次 数 都 

的内容.  

在一 组数据 中 出现次数 最 多的数据 叫做 

多, 那 么这两 个数据 都是这 组数据 的众数 .   这是 运用统计 思想结 合现实 生活命 制 的 

这 组数据 的众数 ;   将一 组数据 按 照从 大 到小 (或从小 到大)   排列, 处 在 中间位置 上的一 个数 据 ( 或 中间两 

位 数据 的平均数 )叫做这 组数 据 的中位数 ;   如果 这  个数 据是 -, X2, …, z , 那 么z 

吉 z  q 做这 个数据的平均数;  

个 佳题 ,它 冲破关 于统计 问 题 的传统 命 题 

模式 , 提 升对统计 思想 的理解 与运 用.   练一练 

在对 某食 品检 测 时 ,随机 抽 

取 10个 样 本 ,如 果 大 肠 杆 菌 个 数 不 超 过 5   个, 此批 食 品被认 定 为 合格 食 品 ,现 根据 甲、   乙、 丙 、丁 四批食 品检测 数据 , 合 格食 品为  (  

如果 这  个 数 据 是 z ,  。, …, z ,那 么 

S   一吉 (  一  ) 。 叫做这 个数据的方  厂■ ■————一

差; 同时s 一√  

 

—  ) 2 叫做这  个数  

)  

( A)甲 : 总体均值 为 3,中位数 为 4.  

( B)乙 : 总 体均值 为 1,总体方 差大 于 0.   ( C)丙 : 中位数 为 2, 众数 为 3.   ( D)丁 : 总体 均值 为 2, 总体方 差为 3.  

据 的标 准差.  

(1)众 数 、中位 数 及 平 均 数 都是 描 述 一 

(收稿 E l期 : 2009一O8—2O)  


2009年上海高考数学题给学生的启示(1)