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数 学 通讯 — — 2O09年 第 11、12期 (上 半 月 )  

・辅 教 导 学 ・  

直 译 法 、意 译 法— — 解题 的 两 大 方 法  王方汉  ( 武 汉 市 第 二 十三 中学 ,4 30050)  

本文 介绍解 数学题 的两种 基本方 法—— 

一2I MN I 的结论.  

直译法 之所 以成为数 学解题 最基本 的方 

直译 法 和意译法 .  

法, 一是这样 的题 目最 为居多 , 二是它最 符合 

1.直译 法  解数 学题最 基 本 的方 法 是 “直 译 法 ”.所 

情理 , 最容 易理解 与掌握 .此可谓 :  

谓 直译法 , 就 是 照 直 翻译— —把 条 件 译 成 数 

数 学解题 如 行军 , 穿 云破雾过 密林.  

学 式的方法 .直译法 也称 为“顺 藤摸瓜 ”法 , 也 

只管大胆 往前 走 , 路线 既定顺 路行.  

可 以称为 “ 顺 路走 ”法.  

下 面 的习题 可供练 习用 :  

首先要 克服一 个心 理障碍 ——对 抽象 的 

过 抛 物线 Y。一2px 的焦 点 的 一 条 直 线 

字母 的恐惧 感 , 要 培养 自己习惯 于对 字 母 进 

与它交 于 P、 Q两 点 , 经过 点 P 和坐标原 点 O 

行 运算 或变换.事实上 , 何谓代 数 ?字母 代表 

的直线 交 抛 物 线 的 准 线 于 点 M ,求证 :直 线 

数 简称 为代数 .字 母运 算 是 数 字运 算 的 高 级 

MQ平行 于 z轴 .  

阶段 , 也 是必经 的阶段 .其 次 要 树 立 信 心 ,鼓 

2.意译 法 

足勇气 .在解题 的过 程 中 ,紧逼 紧跟 , 不 怕 麻 

虽然直译 法 是数学解 题 中最 直接 的最 基 

烦, 不畏 艰难 , 一步一个 脚 印 , 稳扎 稳打 , 步步 

本 的方法 , 但 它并 不 能“包 打天 下”.意 译 法 ,  

为营 , 还 要防止 低级错 误.  

也称 为转化 法 或化 归 法 , 它指 将 题设 的条 件 

以下是一 个典 型的例题 .  

或 结论加 以转 化从 而获解 .这 是 一 种 间接 的 

例 1   若 M 是抛 物 线 Y。一2px(p> O)  

方法 , 迂 回包抄 , 起 伏跌宕 ,出奇 制胜 , 也是一 

上一点 , MN上 轴 于点 N , 线段 MN 的垂直 

种 常用 的重要 的方法.   转化 可 以从 各 种 方 向考 虑 , 为 达 目的而 

平分线 交抛 物线 于点 Q,直线 NQ交 Y 轴 于 

点 T.求证・ : 31 0Tl =21 MN1 .   分析

“不 择 手 段 ”.  

设 M 点 的坐标 为 ( z。, Y。),顺 着 

如 下路径 走下去 , 直奔 目标.  

几何意义 , 利 用图形 的直观 性.   例2   如果 2z+5  ≥ 1, 求 函数 f(x,  )  

“ MN上 轴 于 N , 线 段 MN 的垂直 平分  线交抛 物线 于点 Q”— —译 成 : 垂 直平分 线 方 

从几何 方 向 考 虑 , 有 图象 法 : 转 化 为 

一z。+ 。+4 z一2   的最 小值.   分 析  不 等 式 2z+5  ≥ 1的几 何 意 义 

程为 一等 , 把此方程与抛物线方程联立, 求  厶 

出点 Q 的坐标 ;  

是平 面直 角 坐标 系 里 位 于 直 线 2  + 5y一 1   右上方 的半平 面 区域 M( 包 含边界 ), 而 f( x,   )一 z。+ 。十 4  一 2y一 (z+ 2)。+ (   一 1)  

“直 线 NQ交 Y轴 于 点 丁”—— 译 成 :求 

出直线 NQ的方 程 , 再 求 出与 Y轴 的交 点 r ,  的坐标 ;   比较 T点和 M 点 的坐标 , 就 证得 3   l 0丁l  

5, ( z+2)。+(  一1) 。表示 区域 M 内的 点 

(- z,  )到定 点 (一2, 1)的距离 的平方.  

要 求 函数 f( x,  )的最 小值 , 实质上就 是 


辅教 导 学 ・  

数 学 通 讯— — 2OO9年 第 11、lZ期 (上 半 月 )  

要 求定点 (一2, 1)到边 界 直线 2  +5y=1的  距 离.哈哈 , 原 来 只 用 到 点 到 直 线 的 距 离 公  式, 妙哉 !  

、 

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三、 从 三角 方 向 考 虑 ,有 换元 法 : 通 过 三 

角换元 简捷 地解 决 问题 .   例 5  已 知 z,   满 足 

-  ̄ -(y- - 

二、 从 代数 方 向考 虑 ,有 变 换命 题 法 : 通  过转 变视 角 , 使 问题 清澈见 底.   例 3  已知 函数  —l g(1+2z+口・4  )  

在 (一c ) o, 1]上恒 有意 义 , 求 n的范 围.  

1)。一1, 则 

的最 小值是 

分析  本 题 条件 形 如 C OS   口+s i n  口=1,   因此 可考 虑 换 元 ,令 z一 2d-2cos a,Y一 1+ 

分析 : 将 问题 转 化 为 1+ 2z+ n・4  > 0  

在(一c ) o, 1]上恒成立,即 口> 一[( 寺)  +  ( ÷)  ] 对 z∈( 一。 。, 1 ] 恒成立.   此式 的右边 视 为关 于 z 的函数 ,于 是 可 

si na测  

一 

.  

第二 次换 元 ,令 m一 

,去分 母 ,  

整理 得  ̄ /   +4s i n(a- )一3一 m(  是辅 助  角 ),  

设g( z ) 一一[ ( 专)   十( 寺)   - I , 因此n只需大 

・ ・

・ s i n ( a -O ) 一丽3 -m ,   √ m 一_ t'4 

于 g( z)的最 大值 即可.   因为 g(  )在 (一。。, 1]上 是增 函数 , 所 以 

g( z)   一g( 1 )=一÷,  

。  ・

罱l ≤1 ' 解得仇 ≥詈・  

所以竺  的最小值是要.   u 

n>一÷为所求.   ‘ ± 

例4   对 于 任 意 的 口∈ [一 1,1],函数  厂( z)= 。+ (n一4)z+ 4— 2a的值 恒 大 于  零, 求 z的取 值范 围.   分析

本题 已知参 变 量 口的 范 围 , 求 自 

变量 J r .的 范 围.两 个 变 量 口和  交 织 在 一  起, 颇 为棘 手.我 们 不 妨 反客 为 主 , 将 函数 以 

a为线 索重新整 理 , 有  厂( z)一 z。+ ( 口一 4) z+ 4— 2a  一

(z一 2)口+ z 一 4x+ 4,  

即 g( 口)= (  一 2)口+ (   一4  + 4), Ⅱ∈ 

[一1, 1 ].   函数 g(n)(口∈ [一1,1])的 图象 是 一 条 

以下题 目可供 练 习 :  

1.已知 z,   满足 ( z一 1)  + (  +2) 。一  2O, 则  。+  的取 值范 围是

.  —

2.若 点 P( x,  )满足 X + 。=4, 则 口+6   的最 大值是 

.  

3.若 3z+4  一5,则 (z一2)。十 (  一1)   的最小 值 为 

.  

4 在直线 2  — 一5—0上 求一 点 M , 使  它 到点 A(一7,1),B(一5, 5)的距 离 之 和 最  小, 求 点 M 的坐标.   5.已 知 n,b,c为 直 角 三 角 形 三 边 的 边  长, c为斜 边 , 点(  , 7 z )在 直 线 aX+  +2f= 

0上 , 则  。+ 。的最小 值是 

线段, 要求 g( n)在 区间 [一1,1- 1 上 恒 大于 0,  

此 可谓 :  

只需 g(一1)>0, g(1)>0,  

直译 失效 转意译 , 巧 妙化 归显 神力.  

.  .

(z一 2)・(一 1)+ (   一 4z+ 4)> O,  

命题 等价形 式 变 , 一 旦突破 皆 双喜.  

且( z一 2)・1+ (z 一4x+4)> 0,  

解 得 z< 1, 或 >3.  

( 收 稿 日期 : 2009— 05— 20)  


直译法、意译法——解题的两大方法