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辅教导学 ・  

数 学通 讯 — — 20O9年 第 11、12期 (上半 月)  

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介 绍一道一元 二次方程根 的分布题  甘志国  ( 湖 北 省 十 堰 市 东 风 高 级 中 学 ,442001)  

题 目  设 集 合 A= {(  ,  )l   =工2+口 + 2),B 

={ (  ,  )I  =z+ 1, O < z< 2), A nB是 单 元 素 集 ,   求 实 数 n的取 值 范 围.   解

(3)如 图 3,得 △; (口一 1)  一4;O, 口= 一 1或 3.   当 口= 一1时 , 方 程 ,( z)一0的 根 l在 ( O, 2) 上; 当口   3时 , 方 程 ,(z)= 0的根 一 1不 在 (0,2)上 .所 以 只  有 n= 一1满 足题 意.  

题 意 即关 于 z, Y的方 程 组  f   = X2W ax+ 2 

’   々 

总之 , 所求 a的取值 范围是 ≤ 一÷ 或 n=一1 .  

\  =z+1( 0<z<2)   有唯一一组解 , 也 即关 于  的 一 元 二 次 方 程 z。 +( 口  1)x+ 1= O在 (O,2)上有 唯 一解 .  

注 这是某资料 上 的一道 例题 , 原 例题 只 是 按  照 以 上情 形 ( 1 ) 来 解答 的 . 若 用 数 形 结 合 解 答 一 元 二 

用 二 次 函数 来 求 解 , 设J r ( z)=z - 4 -( 口一 1) z+  1, 又要分三种情形 :  

次 方 程 根 的分 布 问 题 , 一 定 要 注 意讨 论全 面 , 否 则 容  易 出错 .   另 解  同 上 解 法 得 ,题   意 即关 于  的一 元 二 次 方 程 

Y  J   I  

Y    J I  

I .  

. /~  1   \. -  /一  

I   \ 0 

Y  J   I  

f  

、 

D  \l 一 

l \   / 

图 1  

1  /一  

z + (口~ 1)  + 1= 0 即 1一 口 

0 

图 2 

l   2 

一 z+ 二 在 (O,2)上 有 唯 一 

解, 也 即 关 于  , j ,的 方 程 组 

图 3 

ry  1一 口 

, 

( 1 )如图 1, 得 ,( 2 )一2 a+3<0, 即 a<- -昔 时  满足题意.  

{   = z + j 1 ( 。 <   < 2 ) 有唯  

图 4 

解.  

口 

( 2) 如图 2, 得 ,( 2 )=2 ad- 3=0, 口=一÷ , 此时 

由 图 4得 ,1~口一 2或 1- a ̄ 5 即 n≤ 一 3或  ,

1 

可 以检验 出方程 ,( z)=0的根 ÷ , 2恰 有一个 在 区 

n=一1, 这就是所 求的 n的取值 范围.  

。 

间( O, 2) 上, 即 n一 一 。时 也 满 足 题 意 .  

f 收 稿 日期 :2009-07—24)  

(上 接 第 28 页 )  

得 9(3a。~62)一 16c  ,即 9(4a。一c2)= 16c  ,所 以 

3.小 题 也 可 大 做  解 法 4  设 A( x ,   ), B(勘 ,   ),过 F(c, O)且 

36a。一25c 0, 解 得 e一  .  

斜率为  的直线方程为 j , 一  ( z—c ), 即 z=墨 √ + 

是: 设而不求 , 整 体求 .先 设 出 直 线 方 程 , 由 于 方 程 中  有 参数 , 想解又难解或解不 出, 只能 将 直 线 方 程代 入  双 曲 线方 程 ,整 理 出关 于 z或  的 一元 二 次方 程 ,利  用 根 与 系数 的关 系整 体 求 解 .可 本 题 是 纯 字 母 运 算 ,   尽 管方 法 与 过程 熟 练 可 运 算 量 很 大 , 又 容 易 出错 ,  

3 

c, 代入双曲线方程  n。一告 0  =1, 整理化简得( 3 a。一  b  )3 , 。一 2  

。c y-3b =0,于是  ① 

短 时 间难 以完 成 .  

・   =一瓣3b 4  

② 

利 用通 性 通 法 做 小 题 要 谨 慎 ,小 题 大 做 费 时 费  力 .要 挖 掘 题 目的个 性特 征 , 上 策 是 结 合 选 择 题 特 殊 

由  =( c —z  , 一 。), 商 =( z。一c, j ,  ),   =  4菇 得 YI一 ~ 4  ,代 人 ①,②,得  2=  一   

2  b2  c 

解 决 直 线 与 圆锥 曲 线 相 交 弦 问题 的 通 法 

+yz= 

0 

评注

yl一 — 4( — 3a  二  , ’    ̄ — -  b z)’ ,从 这 两 阴式 甲 中捎 消 云  去 

性 巧做 .  

【收稿 日期 : 2009一O8一O6)  


介绍一道一元二次方程根的分布题