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2006 年全国普通高等学校招生统一考试 上海

数学试卷(文史类)

一.填空题 1.已知集合 A  {1,3, m} ,集合 B  {3, 4} .若 B  A ,则实数 m =

解答:

A={-1,3,m}  B 为 {3, m} ,又 B  {3, 4} ,则 m  4 .  B  A 考查点: 集合定义、集合之间包含关系. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

2.已知两条直线 l1 : ax  3 y  3  0, l2 : 4 x  6 y  1  0. 若 l1∥l2 ,则 a  ____ . 解答:

l1、l2 同时存在时, k1  k2 ;或 l1、l2 同时平行于 y 轴,显然此情况不存在; 则

a 2   ,a  2. 3 3

考查点: 平面直角坐标系中平行直线的性质. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

3.若函数 f (x ) = a x ( a >0,且 a ≠1)的反函数的图像过点 (2, 1) ,则 a = 解答: 反函数经过点 (2, 1) ,则原函数经过点 (1, 2) ,即 f ( 1)  a 1  2 ,则 a  考查点: 反函数求解. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

1 . 2


n(n 2  1) = n  6 n 3  1

4.计算: lim

解答:

1 n(n  1) n n n2  1 . lim  lim  n  6 n 3  1 n  6 n 3  1 1 6 3 6 n 2

3

1

考查点: 极限运算. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

5.若复数 z  (m  2)  (m  1)i 为纯虚数( i 为虚数单位),其中 m  R ,则 z 

解答:

z  (m  2)  (m  1)i 为纯虚数,则 m  2  0  m  2 , z  (m  1)2  3 . 考查点: 纯虚数定义、复数模的计算. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

6.函数 y  sin x cos x 的最小正周期是

解答:

1 T y  sin x cos x  sin 2 x ,最小正周期为   . 2 2 考查点: 三角函数恒等变换、三角函数基本性质. 思路与技巧: 要得到最小正周期,先将函数表达式变换为 y  A sin( Bx  C )  D 的形式,此时最小正周期 T 

2 . B

难度: ★☆☆☆

7.已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为 (3, 0) ,且焦距与虚轴长之比为 5 : 4 ,则双曲线的标准方程是___


解答: 设双曲线方程为

x2 y2   1 ,( a  b ),则 a  3 , a 2  b 2  c 2 a2 b2

焦距与虚轴长之比为 5 : 4 

2c 5  2b 4

 a  3 a  3  2 x2 y2  2 2  1. a  b  c  b  4 ,则设双曲线方程为  9 16 c 5 c  5    b 4 考查点: 双曲线标准方程及三个几何量之间的关系. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

8.方程 log 3 ( x 2  10)  1  log 3 x 的解是_______. 解答:

x 2  10 log 3 ( x  10)  log 3 x  1 , log 3 ( x  10)  log3 x  log 3 1 x 2

2

 x 2  10  x 3  2  x  10  0  x  5 . x  0   考查点: 对数运算、对数方程求解. 思路与技巧: 由对数函数的定义可知, 不能忽略 x 2  10  0, x  0 . 难度: ★☆☆☆

x  y  3  0 x  2 y  5  0  9.已知实数 x、y 满足  ,则 y  2 x 的最大值是_________. x  0   y  0 解答:


三角形 ABC 为不等式组所围成的图像,对于 y  2 x ,在图像上画平行于 y 轴的直线,在此直线上,横坐标相 同,纵坐标越大 y  2 x 越大,故满足 y  2 x 取最大值的点在线段 AC 上,

x  2 y  5  0 5 5  y  2 x   x  [10, 0] 2 2  x  [1,5]

对于线段 AC : 

点 (1, 2) 使得 y  2 x 最大值为 0 ,

y  2 x 的最大值是 0 考查点: 不等式及不等式组图像. 思路与技巧: 不等式组对应的图像为一个三角形.此题为常考题型. 难度: ★☆☆☆

10.在一个小组中有 8 名女同学和 4 名男同学,从中任意地挑选 2 名同学担任交通安全宣传志愿者,那么选到的 两名都是女同学的概率是______ (结果用分数表示). 解答:

C82 14  . C122 33 考查点: 概率计算. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

x

11.若曲线 y  2  1 与直线 y  b 没有公共点,则 b 的取值范围是

解答:

b  2 x  1  1 ,若曲线 y  2 x  1 与直线 y  b 没有公共点,则 b  1 ,即 1  b  1 . x

另外,利用数形结合画出 y  2  1 的图像亦可求出. 考查点: 绝对值性质、直线与曲线位置关系、数形结合. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆


12.如图,平面中两条直线 l1 和 l 2 相交于点 O ,对于平面上任意一点 M ,若 p 、 q 分别是 M 到直线 l1 和 l 2 的 距离,则称有序非负实数对( p , q )是点 M 的“距离坐标” 根据上述定义, “距离坐标”是(1,2)的点的 个数是________. 解答:

l1

与 l1 平行且距离为 p 的直线有 2 条,与 l2 平行且距离为 p 的直线

M( p , q ) 有 2 条,此四条平行线有 4 个交点: M 1 、 M 2 、 M 3 、 M 4 ,

l2

若 pq ≠0,则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有 4 个 “距离坐标”是(1,2)的点的个数是 4. 考查点: 点到直线距离、直线间距离、新概念“距离坐标”的理解. 思路与技巧: 注意此处 p、q 为常数,于对于命题③,到一条直线距离为定值的点

O

分别在两条直线上. 难度: ★★☆☆

二.选择题 13.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是(

  (A) AB  DC    (C) AB  AD  BD

).

   (B) AD  AB  AC    (D) AD  CB  0

解答: C 选项

        AB  AD  AB  ( AD )  AB  AD '  AC '  DB .

考查点: 向量基本概念、几何意义、运算. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

14.如果 a  0 , b  0 ,那么下列不等式中正确的是( (A)

1 1  a b

解答: A. 考查点: 送分题. 思路与技巧:

(B)  a  b

) .

(C) a 2  b 2

(D) a  b


不等式性质. 难度: ★☆☆☆

15.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ). (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 解答: “这两条直线为异面直线”可推导出“这两条直线没有公共点”(异面直线性质) “这两条直线没有公共点”不能推导出“这两条直线为异面直线” (两直线平行时无公共点但共面) 故选 A. 考查点: 异面直线定义及性质、充要条件定义. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

16.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( ). (A)48 (B)18 (C)24 (D)36 解答: 正方体边 AB  面BB1C1C , AB  面AA1 D1 D 类似的,正方体边和面共有

2  12  24 组; 对角线 AC  面BB1 D1 D 类似的,对角线和面垂直共有

6  2  12 组; 则由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 36,选 D. 考查点: 直线与平面垂直的判定定理、新概念“正交线面对”的理解. 思路与技巧: 分类讨论,要熟练掌握直线与平面垂直判定定理. 难度: ★★☆☆

三.解答题


sin(  ) 5 4 的值. 17.已知  是第一象限的角,且 cos   ,求 13 cos  2  4  解答:

 是第一象限的角,则 sin   0 , sin   1  cos 2   

12 , 13

sin(  ) sin   cos  cos   sin 4  4 4  2  sin   cos  cos  2  4  cos 2 2 cos 2   sin 2  

2 1 2 1 13 2 .     2 cos   sin  2 5  12 14 13 13

考查点: 三角函数恒等变换、三角函数值域. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆

18.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往 

救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ,相距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直 

线前往 B 处救援(角度精确到 1 )? 解答: 过 CD  BA 于 D ,连接 CD、BC 则所要求的乙船应朝偏东的角度为 DCB RT DCA 中,

CD  AC  sin DAC  10  sin 60  5 3

DA  AC  sin ACD  10  sin 30  5 BD  AB  AD  20  5  25 RT BCD 中,

BD 25  tg DCB   2.89 DC 5 3 

则 DCB  arctg 2.89  71 . 考查点: 构造数学模型、反三角函数定义. 思路与技巧: 送分题. 难度: ★☆☆☆


19.在直三棱柱 ABC  A1 B1C1 中, ABC  90 , AB  BC  1 . (1)求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小; (2)若 A1C 与平面 ABC 所成角为 45 ,求三棱锥 A1  ABC 的体积. 解答: (1) 直三棱柱 ABC  A1 B1C1 中, B1C1∥BC 则异面直线 B1C1 与 AC 所成的角为 BC 与 AC 所成的角 ACB

ABC 中, ABC  90 , AB  BC  1 ,则 ACB  45 异面直线 B1C1 与 AC 所成的角为 45 . (2)

A1C 与平面 ABC 所成角为 45 ,则 AA1  AC  2

1 1 1 2 . V三棱锥A1  ABC   AA1  SABC   2  1 1  3 3 2 6 考查点: (1)异面直线夹角求解. (2)直线与平面夹角定义、多面体体积公式. 思路与技巧: (1)送分题. (2)送分题. 难度: (1)★☆☆☆. (2)★☆☆☆.

20.设数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对任意正整数 n , an  S n  4096 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {log 2 an } 的前 n 项和为 Tn .对数列 {Tn } ,从第几项起 Tn  509 ? 解答: (1)

a1  S1  2a1  4096  a1  2048 , an 1  S n 1  an  S n  2an  an 1  1 2

则 an  2048  ( )

n 1

an 1  , an 1 2


(2)

1 Tn  log 2 a1  log 2 a2    log 2 an  log 2 a1a2  an  log 2 a1n  ( )1 2  n 1 2 n

 log 2 2048  2

(1 n 1)( n 1) 2

11n 

 log 2 2

n ( n 1) 2

1 23   n2  n 2 2

1 23 23  4601 23  4601  45.4 , Tn   n2  n  509  n  2 2 2 2 故从第 46 项起 Tn  509 . 考查点: (1)等比数列通项公式. (2)对数运算、等差数列求和公式. 思路与技巧: (1)常规求解通项公式考题. (2)对数与等比数列的结合. 难度: (1)★☆☆☆ (2)★☆☆☆

21.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (  3, 0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点

1 A(1, ) . 2 (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; (3)过原点 O 的直线交椭圆于点 B 、 C ,求 ABC 面积的最大值. 解答: (1) 设椭圆的标准方程为

由题意知 c 

x2 y2   1, a2 b2

3 , a  2 , b  a2  c 2  1

所以椭圆的标准方程为

x2  y2  1. 2 4

(2)

1 cos t  2sin t  1 2) , 设 P 点坐标为 (2sin t , cos t ) ,则 M 座标为 ( 2 2 2x 1 2 1 1 1 )  (2 y  ) 2  1 ,即 ( x  ) 2  4( y  )2  1 . 所以 M 的轨迹方程为 ( 2 2 2 4 另外,设 P 点坐标为 ( x0 , y0 ) 亦可求解.


(3)

1  2b  1  1 2 1 ②直线 BC 斜率存在时,设直线 BC : y  kx , ( k  ) 2 ①若直线 BC 斜率不存在,即 BC : x  0 , S ABC 

2 2   x  x    x2   1  4k 2 1  4k 2  2  y2  1   或  4   2k  y  kx y   y   2k   1  4k 2  1  4k 2

k

2

则 BC  1  k

2

xB  xC  4

1 k ,点 A 到直线 BC 距离为 d  1  4k 2 1 k 2

2

所以 ABC 面积 S ABC 

1 2

k

1 2

2k  1 1 1 1 k ,   BC  d   4 2 2 2 1  4k 1 k 2 1  4k 2

(4  4S 2 ABC )k 2  4k  1  S 2 ABC  0 , k 有实数解,故 16  4(4  4S 2 ABC )(1  S 2 ABC )  0  S ABC  2 综上所述, ABC 最大值为 2 . 考查点: (1)椭圆标准方程相关几何量的关系. (2)中点公式、点的轨迹方程求解. (3)点到直线距离公式、函数最值. 思路与技巧: (1)送分题. (2)送分题,参数方程求解最为简便. (3)常规考题,由题意推导出三角形面积关于某个变量的函数表达式,然后求解即可. 难度: (1)★☆☆☆ (2)★★☆☆ (3)★★★☆

22.已知函数 y  x 

a 有如下性质:如果常数 a  0 ,那么该函数在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a ,  ) 上是增函 x

数.

2b (1)如果函数 y  x  ( x  0) 的在 (0, 4] 上是减函数,在 [4, ) 上是增函数,求 b 的值; x c (2)设常数 c  [1, 4] ,求函数 f ( x )  x  (1  x  2) 的最大值和最小值; x c n (3)当 n 时正整数时,研究函数 g ( x )  x  n ( (c  0) )的单调性,并说明理由. x


解答: (1)

2b  4  b  4 (2) 设 f ( x)  y  x 

c ,令 x1  x2  {x x  R且x  0} x

则 f ( x1 )  f ( x2 )  x1 

c c x x c  x2   ( x1  x2 )  1 2 x1 x2 x1 x2

① x1  x2  [ c ,  ) 时, x1  x2  0 ,

x1 x2  c  0 , f ( x1 )  f ( x2 )  0 ,则 f ( x ) 在 [ c , ) 上单调递增; x1 x2

② x1  x2  (0, c ) 时, x1  x2  0 ,

x1 x2  c  0 , f ( x1 )  f ( x2 )  0 ,则 f ( x ) 在 (0, c ) 上单调递减. x1 x2

又 x  [1, 2] , c  [1, 2] ,故 f ( x ) 最小值为 f ( c )  2 c , 令 f (1)  1  c , f (2)  2 

c c , f (2)  f (1)  1  , 2 2

c c  [1, 2) 时, f (2)  f (1)  0 , f ( x ) 最小值为 f (2)  2  ; 2

c  [2, 4] 时, f (2)  f (1)  0 , f ( x ) 最小值为 f (1)  1  c . (3) n

设 g ( x)  y  x 

c ,令 x1  x2  0 xn

则 g ( x1 )  g ( x2 )  x1n 

c c x1n x2n  c n n n    (  )  x x x 2 1 2 x1n x2n x1n x2n

1 2n

x1n x2n  c ① x1  x2  [c , ) 时, x  x  0 ,  0 , g ( x1 )  g ( x2 )  0 x1n x2n n 1

n 2

1 2n

则 g ( x) 在 [c ,  ) 上单调递增; 1

② x1  x2  (0, c 2 n ) 时, x1n  x2n  0 ,

x1n x2n  c  0 , g ( x1 )  g ( x2 )  0 x1n x2n

1

则 g ( x) 在 (0, c 2 n ) 上单调递减. n

若 n 为奇数, g ( x )  x 

1 1 c c n 2n 2n g ( x )  x  为奇函数, 在 上单调递增,在 [  ,  c ) (  c , 0) 上单调递减; xn xn

1 1 c c n 2n 2n 若 n 为偶数, g ( x )  x  n 为偶函数, g ( x )  x  n 在 [ , c ) 上单调递减,在 ( c , 0) 上单调递增. x x

n

考查点: (1)函数最值求解.


(2)函数最值求解. (3)函数单调性定义、奇函数于偶函数性质. 思路与技巧: (1)常考的最值问题. (2)常考的最值问题. (3)显然需要根据函数单调性定义来证明,在 (0, ) 上讨论比较容易,在 (, 0) 上若不利用函数奇偶性的性质, 证明起来相对麻烦. 难度: (1)★☆☆☆ (2)★★☆☆ (3)★★★☆


解析2006上海文