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复 习参 考 ・  

数 学 通 讯— — 2009年 第 11、 12期 (上 半 月 )  

67 

高考 专题 复 习系列讲 座 ( 2)   —

函数 和 导 数  

方兰青  ( 河 北 省 石 家 庄 市第 一职 业 中专 学 校 , 05000 0)  

例 2  (山东 , 理 lO)定义在 R上 的 函数 

1.考点 透视  函数 是高 中数 学 的核 心 内容 ,也是 历 年 

厂( z)满足 

高考 的热点 ( 涉 及 函数 问题 的分 值 一般 在 3O  

l og2(1   -  x)   —

分左右 ),常 考 知 识 点 有 :函 数 的概 念 、定 义 

> 。,  

域、 值域 、 解析 式 ;函 数 的性 质 ( 单 调性 、 奇 偶 

则 厂(2009)的值 为 

性、 极值 和最值 )和 图象 ; 反 函数 ; 几 种 常见 函 

(A )一 1.  

(B)O.  

(  

)  

数 (- 次 函数 、 指 数 函数 、 对 数 函数 ); 导数 ;函 

(C)1.  

(D)2.  

数 的极 限 ; 函数 的实 际应 用 问题.  

解  因 为 z> 0时 , 厂( z)一f(x一1)一 

导数 是研究 函数 的 重要 工 具 , 是 高 中数 

厂( z~ 2), 又 f( x+ 1)一 厂(  )一 f( x— 1), 两 

学知 识 的一 个 重 要 交 汇 点 ,导 数 与 函数 、数 

式 相加 , 得 f( x- 4 -1)一 一 (  一2),即 f( x+ 

列、 不 等式 、解析几 何等 内容 的交叉 渗透是 高 

3)一 一 f(z),故 厂(  + 6)一 一 f(X- 4 -3)  

考 中考查综 合能力 的一个 方 向.  

一厂(  ) .  

于 是 f( 2009)一,( 6× 334+5)一 厂(5)一 

2.试 题 评 析 

例 1   (全 国卷 I,理 11)函数 厂(z)的 

厂(一1)一l og  2— 1, 故选( C).  

评析 : 本题 考 查 归 纳 推理 能力 以及 函数 

定 义域 为 R, 若 f( x+1)与 f(x— 1)都 是 奇  ( A) 厂(  )是 偶 函数 .  

的周期 性 和对数 的运算 .   例 3  (四 川 , 理 12)已知 函数 厂(z)是 

(B)厂(  )是 奇 函 数 .  

定 义在 实 数集 R上 的不恒 为 零 的偶 函数 , 且 

( C)厂(  )一 (  +2).  

对 任意 实 数 X 都 有 xf(z- + -1)一 (1+ )  

(D) ,(z+3)是奇 函数 .  

,( z ) , 则f E f( -  ̄) / - I 的值是 

函数 , 则 

(  

)  

解  因为 f( x+1)与 厂(  一1)都 是奇 函 

[ 

数, 所 以 厂(一z+ 1)一 一 f( x+ 1), 厂(一 z一 

(   )  

(A )0.  

(B)   .  

点 (1, O)及 点(一1, O)对 称 , 函数  ( z)是周 期 

(C)1.  

( D ) 号.  

T一2E1一(一1)]一4的周 期 函数.所 以 f(x 

解  因为厂 ( z ) 是偶函数, 所以厂 ( 一÷)  

1)一一厂( z一1), 所 以 函数  (z)的 图象关 于 

+ 3)一 f( x— 1)一 一 厂(一 z一 1)= = =一 厂(一 X 

+3), 即 f( x+3)是 奇 函数 , 故选 (D).  

一 厂(  

评析 : 本题 考 查 函数 的奇 偶 性 、周 期 性 、  

令  一一 1 得 一 l f(1  

函数 图象 的对称 性 和 图象 的 平移 , 应 注 意 函 

数 图 象 的 对 称 性 和 函 数 的 周 期 性 之 间 的  一

关 系.  

 

1 八  1)

所 以 f(2 1)= 0;   -

l f(一 1)  


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数 学通 讯 —— 2oo9年 第 ll、12期 (上半 月 )  

令 x- 0, 则 ,(O)一O.  

例5   (江 西 ,文 12)若 存 在 过点 (1,O)  

由  厂( z+1)=(1+ )厂( z)得 ,(z+1)   一

・复 习参 考 ・  

半厂 (  所以  

的直线与 曲线 y=x。和 y-  ̄ax + 

一9都 

相切 , 则 a等于 

(  

(A)一1或 一丽 25

5 

( B)一1或  .  

厂 ( _ 至 - ) :  厂 ( 号) 一_ 呈 - 厂 ( 导)  

( c ) 一÷或一丽 2 5 .( D ) 一丢或7 .  

3  =

)  

詈・ T 2 八  1 ) 一o ,  

设过 点 (1, 0)的直线 与 曲线  =X。  

相切 于点 (  。,  3), 所 以切线 方 程为  —z3=  3  (  —z。 ), 即  =3x ̄x- 2x , 又 (1, O)在 切 

尢厂( 昔) ] 一厂( 0)一0,  

线上 , 则 z。 : = = 0或 z。 一一- 昙 _ .  

故选 ( A) .  

当 X。=o时 ,由 y=O与 y ̄- ax。+  z一 

评析: 本小 题考查 求抽象 函数 的函数值 ,   一

般结合 已知关 系式 利用赋值 法求解 .  

9 相切可得口  一嚣;  

例 4  ( 福 建 ,文 11)若 函数 厂(z)的零  点与 g( z)=4  +2x一2的零 点 之 差 的 绝 对 

值 不超过 0.25, 则  (  )可 以是  ( A) 厂(  )一 4z一 1.  

(  

)  

’  

当z 。 =一号时, 由y =  一  与  一   口  。+  z一9相切 可得 口: = =一1.  

(B)厂( z)= (  一 1)。 .  

所 以选 ( A) .  

(C)厂(  )一e  一 1.  

评析: 本题考 查导 数的几 何意义 的应 用.  

( D) 厂 ( z ) =l n ( z 一丢) .   解析 f ( x )  ̄4 x一1的零点为 =寺,  

例 6  (山东 , 理 14) 若 函数 ,(  )一  一  x- a( a ̄ 0且 a≠ 1)有 两 个 零 点 ,则 实数 a   的取值范 围是 

.  

解  函数 厂( z)一a  一 — n有 两 个 零 

厂(  )一( z~ 1) 。的零点 为 z一1, ,(  )=e  一 

点, 就是 函数  一  和 函数 Y—z+a的图象 

1的零点为 一0, 厂(  )=l n( x-寺)的零点 

有两个 交点.  

由函数 的 图象 可知 : 当 O<a< 1时 两 函 

为 = : = 嘉  现 在 我们 来 估 算 g( z)一4  + 2 z一2的  零 点 ,因为 g( z): = = 4  +2x-2在 定义 域 R上 

单调递增 , 而 g( 0)一一1, g( ÷ )一1,所 以 

g(  )的零点 zo ∈( 0, . 去 I ) .   又 函数 厂(  )的零点 与 g( z)一4  +2z一  2的零 点 之 差 的绝 对 值 不 超 过 o.25,只 有 

(  )=4  一 1适合 , 故选 (A).   评析 : 本题 考 查 函数 的零 点 的概 念 和 零  点 的估算 .  

数 的图象 只有 一个交 点 , 不 符合 ;当 a> 1时 ,  

因为 函数 一口  ( 口> 1)的图象过 点 (o,1), 而  直线  — +n所过 的点 一定 在 点 ( o, 1)的 上  方, 所 以一定有 两个 交点.   所 以实 数 a的取值 范围是 a> 1.   评析: 本 题 考查 了指数 函数 的 图象 与 直  线 的位 置关 系 ,隐含 着 对 指数 函 数 的性 质 的 

考查 , 根 据其 底数 的不 同取 值 范 围而 分 别结  合 函数 的 图象 解答 .  

例 7 

(江 苏,20)设 口为 实 数 ,函 数 

厂(z)一 2 x。 +( z—n)l z— a   J .  

(1)若 _ 厂(O)≥ 1, 求 n的取 值范 围 ;  


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( 2)求 。 (  )的 最 小 值 ;  

[  

( 3)设 函数 ^( z)一 ( z),XE ( n,+。。),   。

图象及解 一 元 二 次不 等 式 等基 础 知 识 , 考 查 

≥ 1的解集 .  

灵 活运用 数形 结合 、 分 类 讨 论 的思 想 方 法 进 

解  (1)因为 厂(0)一 一 口I 口I ≥ 1, 所 以 

行 探索 、分析 与解决 问题 的综 合能力 .  

-a ̄ O, 且 口。 ≥ 1, 解 得 口≤ 一 1.  

例8   (广 东,理 2O)已 知二 次 函数  — 

因此 n的取 值范 围为 (一。。,~1 3.  

g( z)的导 函数 的 图象与 直线  一2  平行 , 且 

(2) ,(z)一2x + ( x- -a)l X- ( 2I   :

,+。 。).   评析 : 本 题 主 要考 查 函数 的 概 念 、性 质 、  

直接写 出 ( 不 需 给 出演 算 步 骤 )不等 式 ^( z)   。

69 

=g( z)在  一 一 1处 取 得 极 小 值 m一 1(m 

f 3 ( x -号)   十号  ≥n ,  

≠ O).设 厂(  )一  型

1 ( z +口 ) z 一2 。 。 , z <口 .  

. 

(1)若 曲 线 y一 厂(  )上 的 点 P 到 点 Q 

(i )当 n≥0时 , 判断 易知 

If(x)7  i  =f(-a)一一2a ;  

( 0, 2 )的距离的最小值为√2, 求 m的值 ;  

(i i )当 口< 0时 ,若 z≥ 口,则 f(  )≥ 

( 2)矗( 忌E  R)如何 取值 时 ,函数 3 , 一厂(  )  

厂 ( 号) 一等; 若z ≤枷0 厂 ( z ) ≥  ) =2   而2  孚, 所以[  ) - I  一孚.  

kx存 在零 点 , 并求 出零点 .   解

又 g ( z)的 图象 与 直线 y一2 x平 行 , 所 

r- 2a  , 口≥ O,  

综 上玎 得  

依题 意 , 可 设 g(  ) ̄ - - -t 2(  + 1) 。+ 

1( 口≠ O), 则 g ( z)= 2a( x十 1) 2ax+2a.  

以 2a=2, 所 以 口一1.因此 

一 {   o .  

g(z)一 (叠+ 1)。+  一 1一 z + 2z+  ,  

(3)xE ( 口,+ 。 o)时 , 不 等 式 ^(  )≥ 1即 

厂( z)一  型 一 + 丝 + 2 . 

3x 一 2ax+ 口 一 1≥ 0  

Z  

① 

(1)设 P( xo . Y。 ), 则 

△一 4a。一 12(口。一 1)一 12— 8a。.  

l PQI  一z:+(   - 2)   (i )当 n≤ 一  或 口≥  时 ’ △≤ 0’所 以  一  + (  。+  ) 一 2  +  + 2  0 

不 等式 的解 集 为(a, +。。);  

x5  

≥2 ̄ /   +2 优=2   I   ml +2 m.  

( i i ) 当一  。 < 铷, △>。 , 不等式①  

当且 仅 当 24 一  时 ,I   PQI  取得 最 小 

即为 ‘  

山 O 

』 (   一  

一避 3   ) ≥O ,  

l   >。 ,  

值, 即f PQf 取得最小觚

 

当 m>o时, √( 2   +2) m一  , 解得 

.  

一 

讨论 得 :当 nE ( ~ T,   )日 寸’ 解 集 为 

一 1;  

当 <o时,√( 一2   +2)  一  , 解得 

十 oo)  

一 一   一 1.  

故 m一√ 一1或 m一一  一 1 .  

当  ∈ (一 2,一  )时 ,解 集 为 (  ,  

(2)函数  一厂( z)-kx的零 点 即方程 (1  

u[   当 。 ∈ [一  2,  

,+  ] 时 ,解 集 为 

忌) z+  +2—0( x≠O)的解 .   因为  ≠ O,所 以方 程 (1一k)z+  +2  


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数 学通 讯 —— 2o09年 第 l1、12期 (上 半 月 )  

一 0与 (1一 k) x + 2x+  : = = 0有 相 I 司的 解 .  

・复 习参 考 ・  

积 性 质 ”.  

(1)判 断函数 g(  )一z。+ 1( z>O)是 否 

( i )当 一l时 , 方 程有 一个 解 z一 一  ,  

满足“1和 性质”, 并 说 明理 由;  

(2)求所 有满足 “2和性质 ”的一次 函数 ;  

函数 y=f( x)- kx有一个 零点 z= = : 一  m;  

(3)设 函数 3 , 一厂( z)(  >O)对 任 何 口> 

(i i )当 志≠1时 , 方程 有两 个解 铮△=4—  4m(1-k)> o.  

0, 满足 “n积性质 ”.求 . ) , 一厂( z)的表达 式.   解  函数 g(  )一 。+1(  >O) 的 反 函数 

若 m> O,则 k> l一 1,此 时 函数 Y一 

是 g一  (  )一 / =  

厂( z)- kx有两 个零点  ,  : : 一

.  

( z> o), 而 g(x- [ -1)一 (z+ 1)  十 1(z> 

1- 4 - ̄ /1- m (1- k)

l  

1), 其 反 函数 为  = 

. 

 

(  >1),. . . g一  (  + 1)一 

一1(z> 1), 故 

函数 g(  )一 。+ 1(  > 0)不 满 足 “1和 性 

若 m<0, 则 k<l一  ,函数 

,(z)一 

质 ”.  

( 2)设 函数 ,(  )一kx+b( x∈1 1)满 足“2   k  古

 

^ 帚

. b 

1± J1一 m( 1一忌)

x有两 个零 点  一二二  — 

・  

和性质 ”, k#O.   ・

(i i i )当 kv e1时 , 方 程有一个 解铮△一4— 

4m(1一k)一0,即 k一1一  ,此 时 函数  一 

函数 一 

, 

.   -

b 一

< 1一  ( m<o)时 ,函数 Y一厂 ’  (  )一kx有两 

_

由 “2 和 性 质 , ,定 义 可 知 — x+  2

个 零点  一一百 m ;当 k>l一  ( e>O), r 或 矗 

  -  m(1 k); 个零 点 z~ _— 1 ̄  ̄/1 当 忌一 1一 1  

而 ,( z+ 2)一忌(z+ 2)+ b( xE  R),得 反  

厂( z) 一k x有一个零点 一 _ _一一m・   综上 , 当 忌一1时 ,函数 一厂( z)一是   有 

( zER),  

-b 厂  (z+2)一 — x+ 2-

・ .

f-1 (z)一 

 

对 z∈R恒成 立  . 忌一一 1, bE  R,   即所求 一次 函数 为 ,( z)一- - x+b( b ̄R).  

( 3)设 a>O,  。> 0, 且点(  0,yo)在 3 , 一 

时, 函数 一厂 (  ) 一k x有一个零点 一高  

f(ax)的 图 象 上 ,则 (y。,. 7 C 。)在 函 数 Y一  (a ) 厂 一   ( n   ) 的图象上,  ̄ 敢 y f { f 厂 (。 ) x o 

= == 一

m .  

可 得 

评析: 本题 主要考 查 函数 和方程 、函数 导 

Yo , 。,

ay0一f( xo)一af( axo).  

数、 两点 间距离 公式 、 一 元二 次不等 式 的解 法 

令 

等 知识 , 考查化 归与 转化 、 分 类 与 整 合 、函数  与 方程 的数学 思想方法 ,以及 抽象概 括能 力 、  

推理 论证 能力 、运算求 解能力 .   例 9 

一z,则 n一  '. . ・f(x。)一 

厂(  ), 即 厂(  )一 

(上 海 ,理 22)已 知 函 数 Y— 

.  

综 上所述 , 厂( z)一  ( 忌≠o), 此时 f( ax)  

f- 1( z)是  一厂(  )的反 函数 .定 义 :若 对 给  定 的实数 n(n≠0),函数 Y—f( x+口)与 y一 

k 一

 

其 反 函 数 就 是  —a  x ,而 ,一 (口 )一 

厂  ( z+口)互为 反 函 数 ,则 称 y一 (z)满 足  “

口和 性 质 ”;若 函 数 Y— f(n )与 Y— 

f  ( nz)互 为 反 函数 ,则 称 Y一 - 厂(z)满足 “n  

故  — f(ax)与  — f  (n )互 为 反 

函数 .  


复 习参 考 ・  

数 学通 讯— — 2OO9年 第 11、12期 (上 半 月 )  

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评析 : 本 题 属于创新 题 型 , 主要 考查 学生 

示 a,b,C三 个 数 中 的 最 小 值 .设 f(z): 

阅读 与理解 、 信 息 迁移 、 化归转化 、 分 析 问题 

ai r n{2  , z+2,1 0一z)(z≥ 0),则 厂(  )的最 

和解决 问题 的能 力 , 正 确 理 解 “口和 性 质 ”与 

大值 为 

n积 性 质 ”的概 念 是 解 题 的 关 键 .  

3.试题 集锦 

(  

(A )4.  

(B)5.  

(C)6.  

(D)7.  

)  

1.(广 东 , 理 3)若 函数 3 , 一厂(z)是 函数 y 

7.(山 东 , 文 1 2)已知定义 在 R上 的奇 函 

=盘 ( 口>O且 口≠1)的反 函数 , 其 图象经 过点 

数 ,(  )满 足 f( x~4)一 一厂(z),且 在 区 间 

( √口, 口), 则  ( z)一 

[O, 2]上是 增 函数 , 则 

(  

(A)l og2z.  

( B)l og ̄x.  

( c) 去.  

( D)  .  

)  

(  

)  

(A),(一 25)< f(11)< 厂( 8O).   (B) 厂(8O)< ,(11)< 厂(一25).   (C)厂(11)< 厂(8O)< ,(一 25).  

2.(江西 ,理 2)函数 y一  三I n( 乏   x i +鬲 1 )  

( D),(一 25)< f( 80)< (11).  

8.(辽 宁 , 理 9)已知偶 函数 厂(  )在 区 间 

的定 义域 为 

(  

(A)(一 4,一 1).  

(B)(一 4,1).  

( C)(一 1, 1).  

( D)(一 1, 1_ 1 .  

)  

[0,+ o。)单 调 增 加 ,则 满 足 f(2x一 1)< 

厂( ÷)的 . 9 9的取值范围是 

3.(全 国 卷 Ⅱ,理 7)设 口= l og3   7 r,b= 

l og2√3, c—l og。√2, 则 

(  

(A )口> b> c.  

(B)口> c> b.  

(C)b> a> C.  

(D)6> c> a.  

9.(江西 ,理 5)设 函数 ,(z)=g(z)+  .

 

{ 4+4   , , f ‘ ≥ 0 ,   ,x  < O  x -

7 C  , 曲线 =g(z)在 点 (1, g(1))处 的切线 方 

程 为 y一 2x+ 1,则 曲线 y= 厂(z)在 点 (1,  

x2

若 f( 2~口 )>厂(口), 则实数 口的取值 范 围是  (  

)  

厂(1))处 切线 的斜 率 为 

)  

. 

(D)一 1

(C)2.  

(B)(一 l,2).  

(   (B)一百 1

(A)4.  

( A)(一。。,一 1)U ( 2, +o o).  

. 

10.(安徽 , 理 9)  (z)在 R上 满 足 厂(  )  

(C)(一 2,1).  

( D)(一。。,一 2)U (1,+。。).  

一2  ( 2一z)一X。+8z一8, 则 曲 线  一厂(  )  

5.(湖 南 ,理 8)设 函 数 y— f(   )在 

在 点(1, f(1)) 处 的切 线方 程是 

(一o 。,+c o)内有 定 义.对 于给 定 的 正数 K,  

定 义函 数   一f  

取函 数  

厂(z)一2一z— e~.若 对 任 意 的 x∈ (+ 。 。,   一

)  

( A ) ( ÷, 号) .   ( B ) [   1 , 詈) .   ( c ) ( 丢, 詈) .   ( D ) [   1 , 吾) .  

)  

4.(天 津 , 理 8)已知 函数  …

(  

。。), 恒有  ( z)=厂(  ), 则 

(  

)  

( A) K 的最 大值 为 2.   ( B)K 的最小值 为 2.   ( C)K 的最大值 为 1.   ( D)K 的最 小值 为 1.   6.(海 南 宁 夏 卷 , 理 12)用 r ai n{ 口, b, c} 表 

(  

)  

(A)   = 2 — 1.  

(B)  — z.  

(C)y= 3   一 2.  

(D)3, 一 一 2 + 3.  

11 . (天津, 理 4) 设 函数 ,(  )=÷z—  o 

l nx( x> O), 贝0   一 厂(z)  

(  

)  

1 

( A) 在区间( ÷, 1 ) , ( 1 ,  ) 内均有零点.   1 

(B) 在 区 间(2 L,   1),(1, P)内均无零 点

. 

1 

( c) 在区间( ÷, 1 ) 内有零点, 在区间( 1 ,  


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数 学通 讯 —— 2 O O9年 第 11 、 1 2期 (上 半月 )  

e)内无 零点 .  

・复 习参 考 ・  

区间 ;   1 

(D)在 区间 (   , 1)内无 零 点 , 在 区间 (1,   C 

(Ⅱ) 若 厂( z)在 (一。。, 口),(2, 卢)单 调 增  加, 在( a, 2),(  ,+oo)单 调 减 少 , 证 明: J 9 一a  

)内有零点 .  

< 6.  

1 2.(重庆 ,文 lO)把 函数 厂( z)一z。一3x 

的 图象 C 向右平移 "个单 位长度 , 再 向下平 

移  个单位 长度后 得到 图象 C。 .若 对 任意 的  u>0,曲线 C。与 C2至多 只有一 个交 点 , 则 口  的最 小值 为 

(  

)  

19.(陕 西 ,理 20)已 知 函 数 f(z)一 

l n(ax+1)+  J .二 _ 2 = c . ,  ≥0, 其 中 口>0.   1 1_ Z  

(I)若 ,( z)在 X一 1处 取 得极 值 ,求 a  的值 ;  

(A)2.  

(B)4.  

(Ⅱ)求 厂(  )的单 调 区间 ;  

(C)6.  

(D)8.  

(Ⅲ)若 厂(  )的最 小值 为 1, 求 a的取 值 

1 3.(山 东,理 16)已知 定 义 在 R上 的奇 

范 围.  

,  

参考答 案 和提示 

函数 ,( z)满足 ,( z一4)=一厂( z), 且在 区间 

[O, 2]上是增 函数 , 若 方程 厂(  )=m( m> 0)  

在 区 间 [一 8,8]上 有 四个 不 同 的根 z ,Xz,   z3, z4, 则 zl+z2+z3+ 4一—

.  

1.(B).  

2.(C).  

3.(A).

4.( C).  

5.(D).  

6.( C).  

7.(D).  

8.( A).  

9.(A).  

10.(A).   11.(D).   12.(B).  

13.一 8.   14.一 1.  

.  

15.(一 oo, O).  

14.(北 京 ,理 11)设 厂( z)是 偶 函数 , 若  曲线 一,(z)在 点 (1,,(1))处 的切 线 的斜 

1 6.(I) /( z)=2 z+ 

率 为 1, 则该 曲线 在 (一 1, 厂(一 1))处 的切 线 

2x*+ 2x+ a( 1+ z   z> 一… 1).   …     。

的斜 率为  15.(福 建 ,理 14)若 曲线 ,( z)一ax。+ 

令 g( z)一2 x +2 x+口, 其对称轴为 一一÷.  

l nx存 在 垂 直 于 Y轴 的切 线 ,则 实 数 a的取 

由题 意 知 z-, Xz是方 程 g(  ): 0的 两 个 均 大 于 一 1  

值 范 围是

的不 相等 的飘

.  —

其 充 要 条 件 为 

+al n(1+ )有 两 个 极 值 点 Xl,z2,且 zl   < z2.  

得  ,

16.(全 国卷 Ⅱ, 理 22)设 函数 ,(z)一. 2 7  

o <n <÷.   当 z∈(一1, z1 ) 时, /( z)>o,. _ . ,(  )在(一1,  

(I)求 a的取值 范 围 , 并 讨论 厂( z)的单 

z1)内为 增 函数 ;  

当 xE( z , z2 )时 , /( z) <o, . . . J r ( z) 在(  l, z2 )  

调性 ;  

内为 减 函数 ;  

(Ⅱ)证 明 : f( xz)> 

.  

17.(北京 , 理 18)设 函数 厂( z)一xe h( 最  ≠ O).  

当 xE( z , +o 。) 时, /(z) >o,. 。 . ,( z)在( z2 ,   +co)内为 增 函数 ;  

( I I )由题设和( I ) 知 g( o )一d>o,. . . 一÷<z2 < 

(I)求 曲线 Y一厂(  )在 点 (0, ,(0))处  的切 线方 程 ;  

0, n= 一2xz(1+z2), 于 是  f(x2)=zi+ al n(1+z2)  

(Ⅱ)求 函数 厂( z)的单 调 区间 ;   (Ⅲ)若 函数 ,(z)在 区间 (一1, 1)内单 调 

一zl一 2xz(1+ z2)l n(1+ z2).  

设 ^( £ ) 一t  一2 t ( 1 +t ) l n( 1 +£ )( £ > 一÷ ), 则 

递增 , 求 忌的取 值范 围。   18.(海 南宁夏 卷 , 理 21)已知 函数 厂(  )   一

(z。+ 3x。+ 口z+ 6)e~ .  

(I)如 a— b  

3,求 f(  )的 单 调 

h (£ )一 一 2(2t + 1)l n(1+ t ).  

当 f∈ (一 1 O)时 , , l  (f )> O,. ・ .^(£ )在 [一 1 ,

O)上 单调 递 增 .  

,  


复 习参 考 ・  

数 学 通 讯— — 2OO9年 第 11、12期 (上 半 月 )  

6 x+a) e 一 = 一P ~[ z + ( 口一6) z+6一吐] .  

于是 ,当 t E(一÷ , o) 时,  

h ( t ) >^ ( 一专) =  

73 

由条件得 : /( 2 )一0, 即2 。+2( 口一6)+6一n= 

.  

0, 故 6=4一n,从 而 

/( z)一一 ~ I x。 +( 口一6) z+4-2a J.   因此 ,,(   )一 №  )> 

.  

因为 /( a )一/( 口 )一o, 所 以  +( 口一 6)   + 4— 2a= (z一 2)(x- - a)(z一 口)  

1 7.(I) /( z)=( 1+ z)   , /( o)= 1, - r( o)= 

( x-2 ) [x  一( a+ z+捌 .  

0,曲 线  =,(  )在 点 (O, Jr (O))处 的 切 线 方 程 为 Y 

将右边展开 , 与 左 边 比较 系 数 得 

X . 

a+卢= 一Z, a卢  口一 2.  

( 1 I ) 由/(   ) =( 1 +五  )  =0 , 得z  一-  ̄ - ( k  

故 一a=  ̄ /— (f l+a)— z_ 4af t= 

≠ O).  

又( J 9 — 2)(a-2)< O,即  一2( 口+  +4< O,由 

若k >O , 则当z ∈( -c o, -÷) 时, /( z ) <o , 函  

此 可 得 口< 一6.  

于是 f l- a> 6.  

数, ( z ) 单调递减, 当. z ∈( -÷, +o o ) 时, 厂( z ) > 

19 .(I) /( z) 一 

一研 2  

0,函数 ,(z)单 调 递 增 .   一

若是 <o , 则当 ∈( 一∞, 一÷) 时, /( z ) >o , 函 

璺兰! ±垒二 

(ax+ 1)(1+ z)  ’  

,( z) 在  = 1处 取 得 极 值 ,  

数, ( z ) 单调递增, 当z∈( 一÷, +。 。 ) 时, /( z ) < 

0, 函数 ,(  )单词递减.   k 

 

/( 1 )=0, 即 n・1  +口一2=o, 解得 口=1 .  

(1 I)‘   ≥ O, 口> 0,. ‘ .aX+ 1> 0.   1 

①当 n ≥2时 , 在 区间 ( 0, +oo) 上, /(  ) >o,  

(I I I)由 (Ⅱ)知 ,若 k> O,则 当 且 仅 当 一  ≤ 

. . . ,( z) 的单调增区间为( O, +c o) .   一

1, 即 ≤ 1时 , 函数 ,( 工) 在( 一 1, 1 )内单 调 递 增 , 若 

k <O , 则当且仅当一寺≥1 , 即 ≥一1 时, 函数, (  )   在 (一1,1)内 单 调 递增 .  

综上可知 , 函 数 ,( z) 在( 一 1, 1)内单 调 递 增 时 ,  

② 当 0< 口< 2时 ,由 / (  )> 0解 得  > 

√  ; 由厂( z ) <o 解得  < √  .   ‘ .

,( z) 的单词减区间为( o, ^ Y /  口 兰 二 二   皇), 单调增区 

k的取 值 范 围是 [一 1, O)U( O, 1 ] .   1 8.(I)当 口= 6= 一3时 , ,(  )一 (z。+3x 一 3x  -

3)e一 , 故 

/(  )=一(  。 +3 x。一3 z一3 ) e 一 +( 3 x。+6z一  3)e一 = ~ P一  (   一 9x)一 一  (  一 3)(z+ 3)e一 .  

当 z< 一3或 o<z< 3时 , /( z)>o;当一3 <x  <0或 x>3时, /( z) <0.   从 而 ,(z)在 (一 oo,一 3)、(O,3)单 调 增 加 ,在  (一3, O)、(3,+oo)单 调 减 少 . 、  

(Ⅱ)/( z) 一一( 一+3 z。+aX+6) e —  + ( 3 x。 + 

问为( √  , + o 。 ) .   (Ⅲ)当 n ≥2时 。 由(I 1)①知 , ,( 工)的最小值 为  ,( O)一 1;  

当o < n <2 时, 由( I f ) ②知, , (   ) 在z = √ 

处取得最小值, ( √  ) <, ( o ) 一1 .   综上可知 , 若 ,( z) 的 最 小 值 为 l, 则 n的取 值 范  围是 [2,+oo).  

高考专题复习系列讲座(2)——函数和导数  

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