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数 学通 讯 — — 2oo9年 第 l1、12期 (上 半 月 )  

・专 论 荟 萃 ・  

道高考题 的求解 和圆锥 曲线的几个性质  王宏梅 赵成平  ( 湖北省远安县} I-  ̄ i f级 中 学 , 444200)  

2009年 全 国高 考 湖 北 数 学 卷 理 科 第 7  

( 3+ 4忌 )  :+ 16 kx。+ 430恒成立 ,   。

是基如 F:  

已知双曲线等一 等一 1 的准线过椭圆譬  +  =1的焦 点 , 则直 线 —kx ̄2与椭 圆至 

多有一 个交点 的充要条 件是  (A)是∈[一 1

(  

)  

丢] .  

. 

解法 3  (极端位 置切 线法 )当直线 与椭 

圆相 切时 , 设 切 点 为 Q( x。, y。), 则 切 线 方程 

为等 +   一1 , 又切线过点P ( O , 2 ) , 则有  3 ,

代 人椭 圆方程 得 z。= - + -1,于是切 线 

斜率 忌一±  ,  

(c)kE[一  ,  

(D)kE(一∞ ,一 

A一 (16忌)  一 16(3+ 4k  ) ≤ 0,  

解 得 一  1   患   1

。 一  

( B )   ∈ ( 一 。 。 , 一一 1  u   e  ̄, +。 。 ) .  

‘  

再结合 图形 可知直线 与椭 圆至多有一个 

u[   ,+。 。).  

交 点的充要 条件是 kE[一X

1]

2,  

. 

由解法 3可 以看 出 ,问题 的 关键 就 是求 

分析  由已知可确定椭圆方程为譬+   切线 的斜率 ,通 过对 本 题 中有 关 数据 的分 析  等 々   一1 , 于是问题转化为研究椭圆与直线相  研究 ,发现 此题 隐含 着椭 圆切线 的一 个性质 ,  从 而得到 圆锥 曲线 切线 的几 个性质 .  

离 或相切 的充要 条件.   性质 1   经 过 点 P(O,± 口)引 椭 圆  + 

解法 1 . (一般解 析法 )直线 与椭 圆至多  有 一个交 点 的充 要条件 是联立 方程 组 

一1(n> 6> 0)的 切 线 ,则 切 点 为 (土c,  

f  一 忌z+ 2,  

±  ), 切 线 的 斜 率 为 ± (   为椭 圆 的 离 心 

1  + 等一  

“ 

至 多有 一 组 解 ,等 价 于 方 程 (3+ 4kz)z。+  16kx ̄4=0无实 根 或有 等 根 ,即 A一 (16k)   一

L 

率), 且切 线经过 准线 与长轴 的交点.   证明

根 据 椭 圆对称性 ,只需对 点 P在 

上 半平面 的情形 加 以证 明.   .  

16(3 ̄ 4k  ) ≤ 0, 解 得 一 1   患   1 . 

设切 点 为 Q(x。,  。), 则 切 线方 程为  2 1 0 X 

解法 2 ( 数 形结合 法 )在直 线 上任 取 一  点 P( x。,kx。+2), 则 点 P恒 在 椭 圆上 或 椭 

圆外, 于是恒有譬+  

+  一1 , 又切线经过点P ( 。 , n ) ’ . - .   。 一等,  

31 成立, 即   从 而得 到 z。一 ± ,即切 点 为 (± ,  ),于是 


专论 荟 萃 ・  

数 学 通讯 — — 2OO9年 第 l1、12期 (上 半 月 )  

切线 的斜 率为 = 一a  2 Y  。一土 , 切 线 方 程 为  一

=2 pz( 户>o ) 的切线, 则切点为( 等, - + - p) , 切  线 的斜 率 为 ± 1(  一1为 抛 物 线 的 离 心 率 ),  

+ ex+ a.  

令 —o , 则z 一±譬, 即切线经过准线  与长轴 的交点 (±一 a2 ,

推论

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椭 圆  x2  

且 切 线经过 准线 与轴 的交点 .   证明

为 Yo y= p( x+ x0),  

O).  

又切线经过点P( O , ±等) , . . -  。 一土 ,  

yZ

T  

设切 点为 Q( x。, Y。), 则切 线 方程 

一 1(口> 6> O)内 切 

。 一号, 即切点为( 号, 士p ) , 于是  于以点( o , ±口 ) , ( ±等, 0 ) 为顶点的四边形.   从而得到z 切线 的斜 率为 忌一y 旦

性质 2 经 过 点 P(O,±口)引 双 曲 线  2 一

 

1( 口>o, 6> 0)的切线 , 则切 点 为 (±f,  

± 1一 土e,切 线 方 程 

±等 “   ) , 切线的斜率为± (  为双曲线占 g 离心 

为 =  +詈或y =-z 一号, 显然切线过点  ( 一要, 0 ) .  

率 ), 且切 线经 过准线 与 实轴 的交点 .   (收稿 日期 : 2009- 0   l2   J  

证 明与性质 1类 似 , 此 处略 去.  

性质3经过点P ( O , ±号) 弓 I 抛物线  (上 接 第 53页 )  

s。 一 1  I   NN I・] y2   j=一 1(  2 +口)・  

垂 线 ,垂 足 为 

、N ,记 

△ AM M 1,△ A^  NI,/XA N N 

、 .  

的 面 积 分 别 为 s ,s。, S。, 则 S,,  

D 

1 

方面, ( 专S 2 ) 。 =   1・  z ・ ( 4 p  。 +8 p a )   一 口 (户。m + 2pa).  

 

N1  

÷ sz , sa成等 比数列.   证

另一 方 面 ,  

s - ・ s 。 一一÷( z   +n ) ( z   +n ) ・  

设 M (x1,Y1),N(z2,  

), 不 妨 设 yl> O,yz< O,直 线  图 3 定 理 3图  一

÷( m   l +2 口 ) ( m   2 +2 口 ) :  1   2  

M N 的方 程 为 z一口一my,  

1 

则 Ml(一4, Y1), Nl(- a, Y2).   ,z — n 

由I }  

 

Y,  

Y = 2px 

. 

J  ,I  

消去z得Y  -2 pmy' - : " - 2 p a =O,  

从 而 有 

 

L m2  l  2+2 nm( y1 + 2) +4 n。 ]・  l  

1  Em (一2户口)+ 24m ・2pr n+ 44。]  

(一 2pa)  

一 n。(p。m + 2pa).  

Ya+ Y2— 2pr o, Yl Y2= 一 2pa.   -

S l 一÷1   M M1 l   I ・ I  =÷(  +n ) -  ,  

1 

 

1 

故(÷ Sz)  一S ・S。,即 Sl , ÷S  , S。成等 比  ‘J 

万I   l

s 2 一寺 ・2 a・ ・ l   y l — 2   I   = a 、 

=  

= n

、 

,  

( 收 稿 日期 :2009—09—10)  

一道高考题的求解和圆锥曲线的几个性质  

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