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专论荟萃 ・  

数 学 通讯 ——+ 2009年 第 11、12期 (上 半 月 )  

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一  与 数 列 有 关 的 抛 物 线 的 三 条 优 美 性 质   王国涛 

l 1 ] r f J   I I ] I l   l I  ̄ J , , r t i I l ] I 1 l   l , ,   J   l r l l ] I I f 1   t l l , r , l   z l   l J  

] l   l t t , , , n I   F l } ] …

『 I 1

(湖北 孝感 高 中 ,43Z100)  

在 近 几 年 的 高 考 题 中 ,与 圆 锥 曲 线 的性 质 有 关 

(p> O),直 线 AB 的方 程 是 y 

的试 题 经 常 出现 .本 文 介 绍 与 数 列 有 关 的抛 物 线 的 

— z+要, A( z1 ,  ) , B( x  ,  

I  

三 条 优 美 性 质 供 大 家参 考 .   定理 1   设 抛 物 线 的 焦 点 

Yz),Q( xo, Yo).  

), J   I  

M 

为 F, 经 过 焦 点 F 的直 线 交 抛 物 

将 =忌  +要代入z 。 = 

线 于 A、 B 两点 , 点 M 是 准 线 上 

2py,得 Y。一 (  + 2pk。)   + 

任 一 点 ,则 MA ,MF,MB 的 斜 

 

D  J  

率 成 等差 数 列 .  

AB 的 方 程 是 z — t y+ 

图 2 定理 2图 

图 1 定 理 1图 

+. ) , 2 ̄ p+ 2pk ,  l  2一 -  4 .  

由 z2— 2p 得 :  m 一  x2

, Y   一詈. 故抛物线在A 、  

,  

A( xl , y1 ) , B( x z ,  ) , M( 一要, m) .  

 

j 

等_o ' 故 

如 图 1,不 妨 设 抛 物 线 

的方 程 是 Y。一2px(p ̄ O), 直 线 

D 

B两点处切线的斜率分别为詈, 詈・   抛 物 线 在 点 A 处 的切 线 方 程 为 

将z一£  +要代人 。 =2 px, 得) |  一2 p r y一户   一0, 故  +  一2pt,  

詈( 一 

一一 P 

同理 , 抛 物 线 在点 B处 的 切 线 方 程 为 

方面,  

+是 Ⅷ 再 Y l - m+   Y 2 B m   z   + 要 z   2 + 要   恐 +  丑 +  (   +  )一 ( 西 + 恐 )一 加  

( 西+号) ( 娩+号)   2t y, yz+ (p- -r ot )( yl+ Y2)一 2pm  t2 Ylj , 2+ pt (y1+ 此 )+ 夕 

≯一 豸  ①  

 

户  Z 番 p   一

②  

联立①②得 知=p k,  =一妥.   一

方 面 ,I   QFI  一P。  。+p。.  

另一方面, i A F I ・I B Fi =(   t +号) (  +号)  

= j ,  十号(  +  ) +譬=等+等( 1 +2   z ) +   p 2   = P。(1+  ).  

 

  . 

故I   QF  I  ; I   AF  l・I   BF  I,即 I   AF  I ,}QF  I ,   另一方面 , 2   一 一  , 故 kMA- t -k ̄ = 2kM ̄ ",即 

f BFf 成 等 比数 列 .   说 明  从 上 面 的 证 明过 程 可 知 ,点 Q 一 定 在 抛 

MA, MF, MB 的斜 率 成 等 差 数 列 .   定理 2   设 抛 物 线 的 焦 点 为 F,经 过 焦 点 F 的 

物线的准线 一~要上.  

直 线 交 抛 物 线 于 A 、B 两 点 ,抛 物 线 在 A、B 两 点 处 

定 理 3  如 图 3, 设 抛 物 线 方 程 为 Y ;2px( p> 

的切 线 相 交 于 点 Q , 则 l   AFl,『QF l,I   BF  l 成 等 比 

O), 过 其 对 称 轴 上 一 点 A( a, 0 )( a>O) 的 直 线 与抛 物 

数列.  

线相交于 M、 N 两 点 ,自 M 、N 向 直 线 z: z= 一n作 

如 图 2,不 妨 设 抛 物 线 的 方 程 是 z。一 2py 

(下 转 第 55页 )  


专论 荟 萃 ・  

数 学 通讯 — — 2OO9年 第 l1、12期 (上 半 月 )  

切线 的斜 率为 = 一a  2 Y  。一土 , 切 线 方 程 为  一

=2 pz( 户>o ) 的切线, 则切点为( 等, - + - p) , 切  线 的斜 率 为 ± 1(  一1为 抛 物 线 的 离 心 率 ),  

+ ex+ a.  

令 —o , 则z 一±譬, 即切线经过准线  与长轴 的交点 (±一 a2 ,

推论

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椭 圆  x2  

且 切 线经过 准线 与轴 的交点 .   证明

为 Yo y= p( x+ x0),  

O).  

又切线经过点P( O , ±等) , . . -  。 一土 ,  

yZ

T  

设切 点为 Q( x。, Y。), 则切 线 方程 

一 1(口> 6> O)内 切 

。 一号, 即切点为( 号, 士p ) , 于是  于以点( o , ±口 ) , ( ±等, 0 ) 为顶点的四边形.   从而得到z 切线 的斜 率为 忌一y 旦

性质 2 经 过 点 P(O,±口)引 双 曲 线  2 一

 

1( 口>o, 6> 0)的切线 , 则切 点 为 (±f,  

± 1一 土e,切 线 方 程 

±等 “   ) , 切线的斜率为± (  为双曲线占 g 离心 

为 =  +詈或y =-z 一号, 显然切线过点  ( 一要, 0 ) .  

率 ), 且切 线经 过准线 与 实轴 的交点 .   (收稿 日期 : 2009- 0   l2   J  

证 明与性质 1类 似 , 此 处略 去.  

性质3经过点P ( O , ±号) 弓 I 抛物线  (上 接 第 53页 )  

s。 一 1  I   NN I・] y2   j=一 1(  2 +口)・  

垂 线 ,垂 足 为 

、N ,记 

△ AM M 1,△ A^  NI,/XA N N 

、 .  

的 面 积 分 别 为 s ,s。, S。, 则 S,,  

D 

1 

方面, ( 专S 2 ) 。 =   1・  z ・ ( 4 p  。 +8 p a )   一 口 (户。m + 2pa).  

 

N1  

÷ sz , sa成等 比数列.   证

另一 方 面 ,  

s - ・ s 。 一一÷( z   +n ) ( z   +n ) ・  

设 M (x1,Y1),N(z2,  

), 不 妨 设 yl> O,yz< O,直 线  图 3 定 理 3图  一

÷( m   l +2 口 ) ( m   2 +2 口 ) :  1   2  

M N 的方 程 为 z一口一my,  

1 

则 Ml(一4, Y1), Nl(- a, Y2).   ,z — n 

由I }  

 

Y,  

Y = 2px 

. 

J  ,I  

消去z得Y  -2 pmy' - : " - 2 p a =O,  

从 而 有 

 

L m2  l  2+2 nm( y1 + 2) +4 n。 ]・  l  

1  Em (一2户口)+ 24m ・2pr n+ 44。]  

(一 2pa)  

一 n。(p。m + 2pa).  

Ya+ Y2— 2pr o, Yl Y2= 一 2pa.   -

S l 一÷1   M M1 l   I ・ I  =÷(  +n ) -  ,  

1 

 

1 

故(÷ Sz)  一S ・S。,即 Sl , ÷S  , S。成等 比  ‘J 

万I   l

s 2 一寺 ・2 a・ ・ l   y l — 2   I   = a 、 

=  

= n

、 

,  

( 收 稿 日期 :2009—09—10)  


与数列有关的抛物线的三条优美性质