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数 学通 讯 —— 2OO9年 第 11、12期 (上半 月)  

・辅教 导 学 ・  

道 模 拟 题 的解 法 与 变 式  乾永成  (湖 北 省广 水 市 第 一 中学 ,4327 00 )  

例  (武汉 市 2009届 高 中毕业 生五 月供  题训 练 (三)第 10题)已知 直线 l与平 面 a成 

60.平 面 a外 的点 A 在 直线 z上 , B点 在平 面 

在△ABC 中 ,由余  弦定理得  I   BCf 。= I ABj  + 

a上 , 且直线 AB与直 线 z成 45  则 B点轨 迹 

l ACI  一 2  l  AB I ・  

是 

l ACf.c os 45  

(  

)  

(A)一条 直线 .  

( B)两条 直线 .  

(C)椭 圆.  

( D)双 曲线 .  

这是 一 个 以空 间 图形 为 背 景 的 轨 迹 问 

题, 也是 近年 高考 与 各地 模 拟 考试 的热 点 问 

题, 该题难 度较 大 , 很 多 学生 在 此 丢 分 ,下 面 

(z + 1)  + Y 一 3 

图1  

+z + 。+4- 2×2×  ̄— 3- 4 -xz — " 4 -y2   X  ,  

整理得  ・  

干而

=3一x, 平方 

给 出几种 解法 , 并 对 此题 进 一 步探 究 得 出 一 

整理得z   +2 y 2 + 6 z -3 = 0 , 即  

般 结论.  

一 1, 故 点 B 的轨迹 为椭 圆 , 故选( C).  

思路 一

转 化 为平 面与 圆锥 的截面.  

解 法 3  建 立 如 

解法 1   ‘ . .直 线 AB 与 直 线 Z成 45  故 

图 2所 示 的 空 间 直 角 

点 B在 以直线 z为 轴 , A 为顶 点 的 圆锥 侧 面  上, 又 点 B在 平 面 a上 ,故 点 B 是平 面 a截  圆锥所 得 的 截 面 ,由圆锥母 线 与 轴 z的夹 角 

坐 标 ,设 I   AC  f一 2,则 

为 45口 , 平 面  与 轴 z成 6O   o , 易 知截 面 为封 闭  图形 , 故 截 面为椭 圆 , 故选 (C).  

0,√3),设 B (z,Y,  

  l A0l =√3,l   CO  l一 1,   则 C(0,一 l,o), A (0,  

(0,一 1,一 

的截 面 , 但 是平 面截 圆锥 所得 截 面 可 能是 椭 

变式 .  

思路 二

. . .   BA C一 45 

. - .  

.   =I 蕊 I.1   1.c os 45;  

‘ . .

求 出点 B 的轨迹 方程 .  

解法 2  设 z   n  a— C,点 A 在 a内 的射 

,  

(z, y,~  ),  

么情 况下 是双 曲线 、抛物 线 ?要 解 决 这个 疑  问 ,我 们 来 看 下 面 的 解 法 2、解 法 3及 其 

图 2  

0), 则 

反思  上述解 法转化 为平 面截 圆锥 所得 

圆 、双 曲线 、 抛 物线 .为什 么 这 里 是椭 圆?什 

+等 

 

+ 3一 

・2・   , 平 方 

X2+  整理得 2   +y 2+6  -3=0 即百 ,

影 为 O, 在平 面 a内建 立 如 图 1所示 的平 面 

一1, 故点 B 的轨迹 为椭 圆 , 故选( C) .  

直 角 坐 标 系 ,设 I   AC  I一 2,则 1   A0  I:√3,  

变式 1   已知直 线 z与平 面 a成 60  平  面 a外 的点 A 在直线 z上 , B点在平 面 a上 ,  

I   C0I 一1, C(一1, O), 设 B(x,  ), 则 

I   OB  I 一 ̄ / = 研

,  

} ABi 一 ̄ /f AOI  + } OBf 。: = =, , /3+xz+  ,   I BCl 一 ̄ /(z+ 1)  - 4 -y。,  

且直 线 AB与直线 z成 6O  则 B点轨迹是  (  

(A)一条 直线.  

(B) 抛 物线.  

( c)椭 圆.  

(D)双 曲线.  

)  


辅教导学 ・  

数 学 通讯 — — 2OO9年 第 1l、12期 (上 半 月 )  

设 z   n  a—C, 点 A 在 a内的射 影 为 

O, 在平 面 a内建 立 如 图 1所 示 的平 面直 角 

坐标 系 , 设f ACf一2,则 f AOi=√3,f COf一 

口上 , 且 直线 AB与直 线 z所成 角 为 , 且  、   为 锐角 , 求 B点 的轨迹 是  (   )   ( A)一条直 线.   ( B)抛物 线.   (C)椭 圆.   ( D)双 曲线.   解  建 立 如 图 2所 示 的平 面 直 角 坐 标 

1, C(一1, O), 设 B( x,  ), 则 

} OB  l 一 ̄ / z + 。,  

I ABI 一 ̄ /I AOI  + l OBI 。一 x /3+xz+  ,   l BCI 一 ̄ /( z+1)  + 。,   在AABC 中,由余 弦定 理 得 

系, 设 I   AC  l—a,则 I   AO  I—asi n ̄,l  CO  I=  acos  ̄ p, 则 C(O,一acos  ̄,O), A(0, 0, as i ng),  

设 B( x, Y, O), 则  一 (o,一 acos  ,- asi ng),  

f   BC}  一 l   AB   + I I   AC  l  一 2   I   AB  I・  

A直一 (z,Y,- asi n9),  

l ACl・c os 60%  

・  

(z+ 1)  +   = 3+  + Y。+ 4— 2× 2×  一

 

一 口・   ‘

整 理 得 

 ̄- - a  "

变 式 2  已知直 线 Z与平 面 口成 6 O 平  面 a外 的点 A 在直线 Z上 , B点 在平 面 a上 ,  

且直 线 AB与 直线 z成 75  则 B点轨 迹是  (  

(A)一 条直线 .  

(B)抛物线 .  

(C)椭 圆.  

(D)双曲线 .  

)  

Y。+as i n9・as i n2 9・Y+a。s i n  ( c os  ̄ O—  si n。∞)一 O.  

①COS 。  一COS   —0,即 一  时 ,点 B 的  轨迹 为抛 物线 (此时 截面平 行 于圆锥母 线 ) .   ② COS  一COS   9> 0, 即 <  时 ,点 B 的  轨迹 为椭 圆.  

③C OS 。  一C OS 。 9< 0, 即 >  时 , 点 B 的 

设 n  a— C, 点 A 在 a内的射 影 为 

0, 在平 面 a内建 立 如 图 1所 示 的 平 面 直 角 

轨 迹为 双 曲线.   由变式 3可 得如下 结论 :  

坐标 系 , 设} ACI一2, 则I AOI= I   COf一1,C  (一1, O), 设 B( x,  ), 则  l   OB  I 一  。+  ,  

在△ABC中 , 由余 弦定 理得  l   BC  I  一 I   AB  I 。+ I   AC  I 。一 2『 AB  l・   I ACI・cos 75   (z+ 1)  + Y 一 3+ z。+ Y。+ 4— 2  X  2 

×  研

x 

∈( O,- 5   -),平 面 a(平 面 口不 过 圆锥 的 顶  厶 

l BCI 一 ̄ /( z+ 1)。十 。,  

结 论  已 知 圆 锥 的母 线 与 轴 所 成 角 为  ,  

I ABi 一 ̄ /I A0l  +l OBl 。= = : ̄ / 3+  +3I 2,  

+   十 口 si n。9cos#,  

平方 整 理 得COS   ・   + (c os 。  一C OS 。  )  

故选( B).  

。+ Y + a si n  ・cosO,  

- acosT ・   十 口。si n 

+ 。+3— 3一 X,平 方 整 理 

得 Y。一一6( z一1), 故点 B 的轨 迹 为抛物 线 ,  

一 - acos   ・y+ a。si n。  ,  

又  .   一I - A - ̄l・I   l・c o s 8  

 ̄ / 3+  + 。×- 1 去   - ,   .

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,  

点) 与圆锥的轴所成角为 ,  ∈( 0, 詈], 则  (1) 若 < <  7 / ", 则 平 面 口截 圆 锥 所 得  厶 

截面 为椭 圆.   (2)若 一 ,则 平 面 a截 圆锥 所 得 截 面  为抛物 线 .  

(3)若 > ,则 平 面 口截 圆锥 所 得 截 面  为双 曲线.  

整理 得 ( √6一√2)・ ̄ /   +  +3—2(3一 

z), 平方整理得  一1)   一( 2一√i)   一6z+3   +3√3-0, 故点 B的轨迹为双 曲线 , 故选 ( D) .  

( 4)若  一- 5 -  , 则平 面 a截 圆锥 所 得截 面  为 圆.  

变式 3  已知直线 z与 平 面 a所 成角 为  ∞, 平 面  外 的点 A 在 直线 Z上 , B 点 在平 面 

( 收 稿 日期 : 2oo9— 06— 12)  


一道模拟题的解法与变式