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数 学 通讯 — — 2OO9年 第 l1、12期(上 半 月)  

・辅 教 导 学 ・  

解 题 应 从 哪 里 入 手  陈世明  ( 广 州 市 第 七 中学 ,510 080)  

很 多 同 学 都 曾 碰 到 过 不 知 何 从 下 手 ”的 难  题 ”.诚 然 , 有 些 “难 题 ”的 确 很 难 ,一 般 人 难 以 想 到 ,   但另 有 许 多 所 谓 的 “难 题 ”,并 非 同 学 们 想 象 的 那 样  “难 ”, 关 键 在 于你 是 如 何 思 考 的 ,应 从 哪 里 人 手 .其 

实, 对一般的“ 难题 ” 而言 , 其 解 题 思 路 还 是 有 一 定 的  规律 可循 的 : 解 题 就 好 像 是 在 一 条 河 流 上 架 设 一 座 

由g   ( z ) >o , 得  >1 , 解得号<z <m;   由g   (   ) <o , 得o <  <1 , 解得o <  <予.   。 .

g( z) 在[ 可 m, m) 上是增函数, 在( 0, 等] 上是 

减 函数 .  

桥梁 , 题 目的 已知 条 件 即为 河 的一 岸 ,而题 目的结 论 

(I I I )要 证 ,(n)+ (口+b)l n2≥ ,( 口+6)一- r(6),  

则是 河 的另 一 岸 , 由 已知 求 出结 论 , 也 就 是 在 已知 和 

只须征 ,( n)+厂( 6 ) ≥,( 口+6 )~( a+b ) I n 2.  

结论 之 间架 起 一 座 桥 梁 .当河 面 较 宽 时 ,不 能 “一 桥 

而 在 (I I)中 , 取 m=口+b,则 g(z)一 ,(z)+ ,(口 

飞架 南北 ”, 这时需在河 流 的中间架设 一些桥 墩 , 然 

后再 一桥 一 桥 架 设 过去 , 为 了加 快 架 桥 的 进 度 , 可 两  边 同 时开 工 ,当两 边 的 架 桥 合 拢 后 整 座 桥 也 就 架 通 

+6 - x) .则 g( z) 在[  

, n+6) 上 是 增 函数 , 在( o,  

]上是 减 函数 .. ・ . g(  ) 的 最 小值 为 

了 .我 们 在 解 “难 题 ”时 ,一 方 面 从 已 知 条 件 出 发 , 看  能 得 出什 么结 论 (尽 可 能 的 得 出 ),然 后 再 将 得 出 的 

t -b) g(a- =,(   z

)+,( n+6一 

)  

结论 作为 新 的条 件 , 看 又 能 得 出什 么 结 论 ,这样 一 步  一

步 直奔 结 论 而 去 ; 另一方面从结论人手 , 看 看 要 得 

到 这 一结 论 ,只需 要 什 么条 件 即可 ,又 只需 要 什 么 条  件即可 , 这 样 下 去 ,当从 已知 出发 得 出 的结 论 与 从 结  论 人 手需 要 的条 件 “合 二 为 一 ”时 ,解 题 思 路 也 就 找 

一2,(  

)一 (口+6) 1n 

=( a+ 6)l n( a+ 6)一 ( 口+ 6)l n2,  

那 么 g(z)≥g(   ), 得 

到 了 .前 者 的 思 考 方法 数学 上 常称 为 “综合 法 ”,后 者 

,(口)+ ,( n+ b- a)  

的思 考 方 法数 学 上 常 称 为 “分 析 法 ” . 在具体解题 时,  

≥ ( 口+ 6)l n(a+ 6)一 (口+ 6)I n2  

往 往 “两 法 并 用 ”,就 成 为 了 求解 “难 题 ”的 利 器 .下 面 

=,(n+6)一 (a+b)l n2,   即 ,(口)+ ( a-  ̄ -b)l n2 : ≥f(a-  ̄ - b)一 ,(6).  

我 们 来 看 具体 例子 .   例1   (广 东惠 州 市 2009届 高三 第 一 次调 研 考 

从上述参考答案可以看出 , 第 (I )、 (I I)问的 解 答 

试 理 科 教 学压 轴 题 )已知 函数 ,(z)=xl nx,g(z)= 

直 接从 已知 条件 出发 得 出结 论 , 我 相 信 同学 们 普 遍 

,(z)+,(m— z),   为 正 的 常 数.  

应 感 到 不难 !但 在 第 (II I)问 中 , 怎 么 想 到要 取  = n 

( I ) 求 函数 g( z)的定 义 域 ;  

十6呢 ?好 像 有 “神来 之 笔 ”的 感 觉 !一 般 同 学 可 能 

( I I ) 求 函数 g( z)的单 调 区 间 , 并指 明单 调 性 ;  

都觉得想不到, 那么 , 该 问 应 从 哪 里人 手 呢 ?下 面我 

( 1 i d若 n> 0, 6 > 0, 证 明:  

们 不 妨 再 来 思考 一番 .  

r(口)+ (口+ 6)I n2≥ f(a+6)一 厂( 6).  

.  

方 面 ,由第 (I I)问 知 道 ,我 们 已 经从 已知 条件 

出发 得 到 了 结论 : g( x) 在[   m, m) 上是增函数 , 在( O,  

其参考答案如下 :   (I )- . -_ 厂(  )的定 义域 为 {zl z> 0), g(  )有 意 义 ,   z> 0.  

则f  

-  

、   那么 g(  )的  义域为 { zi   0<z<m}.  

罟] 上是减函数; 我们进一步还可得到: 当z=罟 

m — z ,)U ’  

(I I )g(z): ,(  )+  (m— z)   一 xl nx+ ( m — z)i n( m — z),  

g l ( z ) 一l n x+1 —1 n ( m—z) 一l =1 “  兰 ,  

时, g( z) 有最小值g( 罟) , 即g( z ) ≥g( 罟) , 亦即有  不 等 式 

,( z)+,( m-x) ≥2 ,( 罢)  

① 


辅教导学 ・  

数 学通 讯 —— 2 o O9年 第 11、 1 2期 (上半 月)  

由 不 等式 ① ,又 该 得 出 什 么 结 论 昵 ? 好 像 比 较 

于是, 由n   =   可得;一  一1 , 因 此:   要证不等式n   ≥i =  一  { (  一   ) ,   只 要证n   Ji > + x 一   k   1   1 _ l . z   , 。 ( 去 口   一 l —   ) ,   只要证n   ≥南 一  

迷惘 , 那就到此为止.  

另 一方 面 , 我们从结论人手看看 :   要证 ,(口)+ ( a+b)I n2≥ ,(口+6)- f( b),   只要 证 厂(n)+,(6)≥ ,(口十6)一 (口+6)l n2,   ‘ .

‘,(口+6)= (口+6)l n( 口+ 6),   .

7  

又 只要 证 

,( d)4 - f(b)≥ (口+6)l n(a+ b)一 ( 口+ 6)l n2 

只要证吐   + 

≥} 

③ 

只要 证 ,( 口)+,(6)≥ (口+ b)l n下 ad -b

,  

R ̄-i E ,( 口)4 - f(b) ̄ 2.  

‘ I . n   > O, x> O, . 。 .由均 值 不 等 式 知 , 不 等 式 ③ 成  立 ,故原 不 等 式 获证 ;  

l “下 a4 -b ,  

对 于 第 (I l I)问 ,一 方 面 ,由 (1 1)知 ,对 任 意 的 X  注 意 到 ,(  

)一 

l n 

> 0, 有

,  

r  

口1+ 口2+ … + 口 

. . .又 只要 证 ,(口)+,(6)≥ 2,(  

)  

② 

≥  一   ( 号一   ) +雨 1一  研 1  ・   ( 吾  + . _ . + 南一   ( 吾- - : x )   14 -I _ z   一   ( 1 }z 十  ( )   、    ‘ 3 +   吾 3 0 + 。   …+ ‘     3一 一 ~   )  

这样 一 来 , 一 方 面 从 已知 条 件 出 发 我 们 得 到 了  不等 式 ① ; 另 一方 面 从 结 论 人 手 , 要 证 原 不 等 式 ,只  要 证 不 等 式 ② 即可 .然 而 比较 不 等 式 ① 、② 的 左 、右 

两边 不 难 发 现 ,只要 在 不 等 式 ① 中 ,取 m=n+ 6(原  来如此 ! ), z— , 则 由 不 等 式 ① 立 即 得 不 等 式 ② ,于 

 

= 

一 

(1一  一 卫)  

是, 第 (I I I )问 的证 明 思 路 就 这 样 被 找 到 了 ,不 难 吧 !  

一r  +  一旦 l+  X  。  3   1   (14 -x)z ( + z)0  

你 是 否 体 会 到 了解 数 学 题 就 好 像 在 架 设 一 座 桥 梁 

④ 

呢 ? 下 面让 我 们 再 来 看 一 个 例子 吧.   例2

另一方面, 要证自+砚+…+  > 苦,  

(2008年 高 考 陕 西卷 (理 )压 轴 题 )已 知 

数列{ 口   ) 的首项n   :詈, n   +   一   , , l =1 , 2 , ….  

只要 证 nl+ n2+ … +口 > — .  

⑤ 

1上 — 

(工)求 { n )的通 项 公 式 ;  

( 1 I ) 证明: 对任意的z >o , 口   ≥ 工 _一南

 

比较 不 等 式 ④ 、⑤ 的右 边 , 不 难 发 现 ,在 不 等 式  

 ̄c o, 只要 令  一上 即 得  ,

( 旨 -x), n=1, 2, …;   m 

(Ⅲ)证 明 : n】+砚 4-… +口 > !  

解析 “ 一

・ . 

,. ・ 。 口   1 - 上   _ 【 + t   =÷+去, n    

_ 一l一- l = I -   L一 1—1)

,  

a n+ 1  

o 

口 

{   一 1)是 以  为 首 项 ,   为  一  

3 

3  。  

公 比 的等 比数 列 .   ・ .

去一   = 号・  一 吾  =   .  

第 (Ⅱ )问 该 从 哪 里 人 手 呢 ? 由 (I)知 n  一  ,

翌 1   ‘

一 

上   十1‘     ’

上 述 两题 告 诉 我 们 ,当 你 遇 到 不 知 如 何 下 手 的 

“难 题 ” 时, 一方面 , 你 不 妨 从 已知 条 件 出 发 , 看 能 得 

d 

3 

出什 么结 论 ;另 一 方 面 ,从 结 论 人 手 ,看 看 要 得 出这  

口 

又—   一 1一 了 2 '. .

阶线 性 递 推 数 列 求 通 项 公 式 ”的 问题 ,它 不 难 ,其  a 

+ 二  ・ 隶 ( 1   + —   ) 0  

一 

第 (I )问 是 同 学 们 比较 熟 悉 的.可 化 为 

解 法 如 下 :‘ ・ 。n  + = 

2  

. 

而要证明的不等式的右边含有“ 寺” 这一项,  

结 论 又需 要 怎 样 的 条 件 ,当从 已知 条 件 出 发 得 出 

的结 论 与 从 结 论 人 手 要 得 出 这 一 结 论 所 需 的 条 件 可  以“合 二 为 一 ”时 , 解 题 思 路也 就 找 到 了.   (收 稿 日期 : 2009—08一O1)  

解题应从哪里入手  

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