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www.mathsly.it LOGICA MATEMATICA Affrontiamo in questa sezione lo studio della logica matematica. I nostri obiettivi sono: 1. prime definizioni sulla logica; 2. connettivi logici 3. espressioni logiche 4. forme di ragionamento valide 5. rapporti tra logica e insiemi 6. quantificatori

Prime Definizioni. Proposizione logica. Si chiama proposizione logica un qualsiasi enunciato che è vero o falso, cioè è possibile attribuirgli un valore di verità. Di solito non sono proposizioni logiche: - le esclamazioni: “Viva l’Italia!”; - i comandi: “Dammi la marmellata!”; - le domande: “Che tempo fa?”; - le frasi che esprimono un proprio giudizio, in quale il giudizio è valido per colui che lo esprime e non per tutti: “mi piace la pizza”, “il mare è bello”; - le frasi che si riferiscono al futuro: “domani andremo al mare!”, “pioverà nel week-end” .

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www.mathsly.it Variabili logiche. Le proposizioni vengono indicate con le lettere maiuscole dell’alfabeto. Le lettere, come per le lettere che sostituiscono i numeri, prendono il nome di variabili. In questo caso si chiamano variabili logiche. Nel caso dei numeri variabili numeriche.

Connettivi logici. Quando le proposizioni sono composte da un solo predicato (o verbo) si chiamano proposizioni semplici (o atomiche o elementari). Unendo più proposizioni semplici con congiunzioni o avverbi si formano le proposizioni composte (o molecolari). Andiamo ora a trattare i connettivi logici, cioè quegli strumenti che ci consentono di unire più proposizioni semplici per creare delle nuove proposizioni composte, il cui valore di verità dipende dall’azione del connettivo logico usato. Insieme alle definizioni generali viene introdotta anche la tavola di verità relativa al connettivo stesso: si tratta di una tabella in cui sono riportati le proposizioni elementari, le proposizioni composte e tutti i possibili valori di verità.

Negazione. Il primo connettivo che incontriamo è la negazione. Esso viene anche definito connettivo unario, in quanto agisce su una sola proposizione. Il risultato dell’azione del connettivo “negazione” è ancora una proposizione semplice. La negazione di una proposizione simboli

A è la proposizione “non A ”, indica con i

A oppure ¬ A , che risulta vera quando A è falsa e falsa quando A è vera. Osserva la tavola di

verità sotto riportata.

A

A

V

F

F

V

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www.mathsly.it Congiunzione. Conosciamo ora la congiunzione logica. Il termine congiunzione ci fa capire che si tratta di qualcosa simile alla congiunzione che si usa quando parliamo, vediamo come influisce la sua presenza tra le proposizioni. Si definisce congiunzione di due proposizioni

A e B la proposizione “ A e B ”, espressa in simboli A ∧ B ;

essa è vera solo se le due proposizioni sono entrambe vere, negli altri casi è sempre falsa. Guarda la tavola di verità:

A

B

A∧B

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Disgiunzione inclusiva ed esclusiva. Come avviene nella lingua italiana, anche in logica matematica abbiamo due tipi di disgiunzioni. La prima prende il nome di disgiunzione inclusiva. Si chiama disgiunzione inclusiva di due proposizioni proposizione “ A o B ”; essa si indica

A e B la

A ∨ B e si può leggere sia “ A o B ” oppure, forma latina, “ A vel B ”

oppure in forma inglese “ A or B ”. Questa proposizione è vera se almeno una delle due proposizione è vera ed è falsa solo se entrambe le proposizioni sono false. La tavola di verità è:

A

B

A∨B

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

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www.mathsly.it Vediamo ora di conoscere il secondo tipo di disgiunzione: la disgiunzione esclusiva. La disgiunzione esclusiva di due proposizioni

A e B è la proposizione composta “o A o B ” , che si indica con A ∨ B , e

risulta vera solo se una proposizione è vera e l’altra è falsa. Vediamo insieme la tavola di verità:

A

B

A ∨ B

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Cerchiamo di comprendere la differenza tra la disgiunzione esclusiva, appena vista, e la disgiunzione inclusiva. La disgiunzione esclusiva comporta che una delle due proposizioni è quella , una esclude l’altra “o ... o”. Non possono essere vere entrambe. La disgiunzione inclusiva, invece, afferma che la proposizione composta è vera quando almeno una delle due è vera; nel caso in cui entrambe le proposizioni sono vere la disgiunzione inclusiva restituisce ancora un valore vero, evento che invece non accade per la disgiunzione esclusiva, nella quale il caso di due proposizioni semplici entrambe vere comporta un assurdo.

Implicazione materiale. Uno dei connettivi logici molto usati in matematica è l’implicazione materiale. Si definisce implicazione materiale di due proposizioni quale risulta falsa quando

A e B la proposizione composta “se A allora B ”, indicata con A → B , la

A è vera e B è falsa, negli altri casi è sempre vera. Osserviamo la tavola di verità: A

B

A→ B

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

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www.mathsly.it La proposizione

A si chiama antecedente, mentre la proposizione B si chiama conseguente.

Doppia implicazione. L’ultimo connettivo logico che vediamo è la doppia implicazione. Si definisce doppia implicazione di due proposizioni

A e B la proposizione composta “ A se e solo se B ”, che si scrive A ↔ B , la quale è vera

se entrambe sono vere o se entrambe sono false. La tavola di verità è:

A

B

A↔B

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Espressioni logiche, tautologie, contraddizioni e equivalenza. Espressioni logiche. Analogamente a quanto avviene con i numeri, è possibile trattare le proposizioni logiche in espressioni logiche, ottenute dalla combinazione dei diversi connettivi logici. Il metodo di risoluzione di un’espressione logica è il seguente (analogo a quello che si usa per le espressioni numeriche): 1. se non ci sono parentesi i connettivi agiscono secondo il seguente ordine: “ ”, “ ∧ ”, “ ∨ ”, “ → ”, “ ↔ ”; 2. se ci sono parentesi si risolvono prima le parentesi tonde, poi le quadre e poi le graffe; l’ordine dei connettivi resta quello descritto al punto 1. Esistono delle proposizioni logiche composte che hanno caratteristiche un pò particolari, nel senso che il valore di verità della proposizione composta non dipende dai valori di verità delle singole proposizioni semplici. Si tratta della tautologia e della contraddizione.

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www.mathsly.it Si definisce tautologia ogni proposizione composta che è sempre vera, indipendentemente dal valore di verità che si attribuisce alle singole proposizioni elementari. La tavola di verità è:

A

A

A ∨ A

V

F

V

F

V

V

Si definisce contraddizione ogni proposizione composta la quale risulta sempre falsa, indipendentemente dal valore di verità che si attribuisce alle singole proposizioni elementari.

A

A

A∧A

V

F

F

F

V

F

Infine introduciamo la definizione di espressioni logiche equivalenti. Due espressioni logiche nelle stessa variabili si dicono equivalenti se hanno uguale la relativa colonna della tavola di verità. Per esprimere questa equivalenza si usa il simbolo “ = ”.

Forme di ragionamento. Con il termine “ragionamento” si intende comunemente indicare il procedimento mentale volto a dimostrare una verità o a risolvere un problema. In logica matematica il termine “ragionamento” è il processo discorsivo che partendo da certe premesse arriva a una conclusione. Con il nome “premesse” si intendono le proposizioni da considerarsi vere, mentre con il termine “conclusione” si intende l’insieme di una o più proposizioni il cui valore di verità deve essere dimostrato, seguendo uno schema.

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www.mathsly.it Un ragionamento si intende valido quando da premesse vere si perviene a una conclusione vera. In questo caso il procedimento prende il nome di deduzione logica. Le forme di ragionamento sono molteplici, analizziamone alcune.

Modus ponens. Con il termine modus ponens si intende indicare un ragionamento “che afferma” (modus ponens deriva dal latino modus ponendo ponens = “modo che afferma”). Esso scritto con i connettivi logici si presenta così:

⎡⎣( A → B ) ∧ A ⎤⎦ ⇒ B e si legge: “Da

A → B e da A si deduce logicamente che B ”. Cosa significa? Significa che se A implica

B è una proposizione vera e anche la premessa A è vera, allora la conseguenza B è vera. Vediamo quando tale ragionamento è valido. Costruiamo la tavola di verità:

A

B

A→ B

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Analizzando il ragionamento osserviamo che le due premesse prima riga e in tale riga risulta vera anche

A → B e A sono entrambe vere solo nella

B . Pertanto il ragionamento è valido solo in questo caso.

Modus tollens. Con il termine modus tollens si intende indicare un ragionamento “che toglie”. Esso scritto con i connettivi logici si presenta così:

⎡⎣( A → B ) ∧ B ⎤⎦ ⇒ A

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www.mathsly.it Cosa significa? Significa che si toglie la verità di una proposizione (nel nostro caso A) togliendo la verità di un’altra proposizione (nel nostro caso B). Vediamo quando tale ragionamento è valido. Costruiamo la tavola di verità:

A

B

A→ B

A

B

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

Analizzando il ragionamento osserviamo che le due premesse nell’ultima riga e in tale riga risulta vera anche

A → B e B sono entrambe vere solo

A . Pertanto il ragionamento è valido solo in questo caso.

Rapporti tra logica ed insiemi. Studiamo ora come sia connessa la logica matematica e la teoria degli insiemi. Introduciamo il concetto di enunciato aperto. Si definisce enunciato aperto un enunciato che contiene almeno una variabile, il cui valore deve essere scelto in un insieme universo. Indichiamo un enunciato aperto con una lettera dell’alfabeto seguita da una variabile scritta fra parentesi: leggono: “ A di attribuito ad

A ( x ) , B ( x ) , ... Scritte di questo genere si

x ” e indicano che A varia in funzione di x , poichè il suo valore di verità dipende dal valore

x . Quindi un enunciato aperto non è una proposizione, poichè finchè la variabile non è definita

l’enunciato non è nè vero nè falso. Da questa definizione, ricaviamo il concetto di insieme di verità: si definisce insieme di verità di un enunciato aperto l’insieme di tutti i valori scelti in un insieme universo U che, sostituiti alla variabile, trasformano l’enunciato in una proposizione vera.

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www.mathsly.it Applichiamo i concetti di connettivi logici agli insiemi. Rapporti tra negazione e complementare: dato l’enunciato aperto l’insieme di verità

P ( x ) in un insieme universo U,

P ( x ) è il complementare, rispetto ad U, dell’insieme di verità P ( x ) .

Rapporti tra congiunzione e intersezione: dati gli enunciati aperti

A ( x ) e B ( x ) , con lo stesso universo

U, l’insieme di verità di A ( x ) ∧ B ( x ) è l’intersezione dei due insiemi di verità di A ( x ) e B ( x ) .

Rapporti tra disgiunzione e unione: dati gli enunciati aperti l’insieme di verità di

A ( x ) e B ( x ) , con lo stesso universo U,

A ( x ) ∨ B ( x ) è l’unione dei due insiemi di verità di A ( x ) e B ( x ) .

Quantificatori. Si definiscono quantificatori tutte le espressioni del tipo “esiste almeno un”, “esistono dei”, “tutti gli elementi di”, “per ogni”. Per essi si adoperano due simboli: a) quantificatore esistenziale “ ∃ ” che afferma l’esistenza di almeno un elemento dell’insieme universo che ha la proprietà che si sta studiando; b) quantificatore universale “ ∀ ” che afferma che ogni elemento dell’insieme universo ha la proprietà che si sta studiando.

Per adoperare in maniera corretta i quantificatori è necessario specificare l’insieme universo nel quale la variabile assume questi valori.

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Logica Matematica