Page 1

Κώστας Κουτσοβασίλης

Τάξη Γ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

ο

Κεφάλαιο 1

Διαφορικός Λογισμός Τεύχος Β

     

Όριο – Συνέχεια Συνάρτησης Παράγωγος της f στο x=x0 Παράγωγος Συνάρτησης Εξίσωση Εφαπτομένης Ρυθμός Μεταβολής –Ταχύτητα -Επιτάχυνση Μονοτονία –Ακρότατα Συνάρτησης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Όριο-Συνέχεια Συνάρτησης y

Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι καθώς οι τιμές

f(x)

του x πλησιάζουν στο x 0 ( x  x 0 ) , τα αντίστοιχα

Μ

σημεία της γραφικής παράστασης πλησιάζουν το

f(x)

σημείο Μ και οι τεταγμένες του πλησιάζουν (τείνουν) O f(x0)

στον αριθμό   IR . Για συντομία γράφουμε lim f ( x )  

x

x0

x

x

x x 0

 Ιδιότητες ορίων Αν οι συναρτήσεις f και g έχουν στο x 0 όρια πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή αν lim f ( x )  1 και lim g( x )   2 όπου 1 και  2 πραγματικοί αριθμοί, τότε ισχύει: x x 0

xx 0

 lim (f ( x )  g (x ))  1   2 x x 0

Επιπλέον ισχύουν:  lim c  c , lim x  x 0 ,

 lim (kf ( x ))  k1 x x 0

xx0

 lim (f ( x )g ( x ))  1 2

x x 0

 lim (f ( x ))  xx0

lim x  x 0

xx0

0

x x 0

lim x  x 0

xx0

 f ( x )  1  lim    x  x  g( x)  2

 lim

xx0

1

lim e x  e x

0

xx0

f ( x )   1 .

lim ln x  ln x 0 , x0>0

xx

Για τον υπολογισμό ενός ορίου ακολουθούμε το παρακάτω διάγραμμα:

lim f ( x ) =; x x 0

Θέτουμε x=x0

Αν προκύπτει αριθμός εφαρμόζουμε τις ιδιότητες των ορίων

Προκύπτει

Αν η συνάρτηση δεν περιέχει παράσταση του x μέσα σε ρίζα τότε παραγοντοποιούμε αριθμητή και παρονομαστή http:// perikentro. blogspot.gr

0 0

Αν υπάρχει παράσταση A   τότε θα πολ/ζουμε και τους δυο όρους με τη συζυγή παράσταση -1-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Συνέχεια συνάρτησης  Ορισμός: (Συνέχεια σε σημείο) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, στο x 0  A αν ισχύει

lim f (x )  f ( x 0 ) .

x x 0

 Ορισμός: (Συνεχής συνάρτηση) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής στο Α , αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίο ορισμού της.  Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής. Δηλαδή αν Ρ(x) πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει: lim ( x )  ( x 0 ) xx0

 Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της . Δηλαδή αν ( x ) , όπου Ρ, Q πολυωνυμικές συναρτήσεις τότε ισχύει: f (x)  Q( x ) ( x) ( x 0 ) lim f (x )  lim  xx x  x Q( x ) Q( x 0 ) 0

0

 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς . Δηλαδή lim ημx  ημx 0 . x x 0

lim συνx  συνx 0 , lim εφx  εφx 0 ( συνx 0  0 )

xx0

xx0

 Οι εκθετικές και οι λογαριθμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς  Οι πράξεις συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχείς συναρτήσεις Σχόλιο:  Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη. Παρατηρήσεις σε όρια –συνέχεια 1. Για το όριο της f στο x0, το x0 δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f. Για τη συνέχεια της f στο x0 όμως είναι απαραίτητο το x0 να ανήκει στο πεδίο ορισμού της . 2. Η f λέγεται ασυνεχής στο x0 όταν το lim f ( x ) δεν υπάρχει ή όταν x x 0

lim f ( x )    f ( x 0 )

x x 0

3. Το όριο της f στο x0 είναι ένας αριθμός που δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο σύνολο τιμών της συνάρτησης 4. Το lim f ( x ) δεν υπάρχει όταν οι τιμές της f δεν τείνουν σε κάποιο x x 0

συγκεκριμένο αριθμό όταν x  x 0 http:// perikentro. blogspot.gr

-2-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Παράγωγος της f στο x=x0  Παράγωγος της f στο x=x0 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x 0 του πεδίου ορισμού f (x 0  h)  f (x 0 ) της όταν υπάρχει το όριο lim και είναι πραγματικός αριθμός. h 0 h Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x0 και συμβολίζεται f (x 0 ) f ( x 0  h)  f ( x 0 ) Δηλαδή: f ( x 0 )  lim h 0 h  Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει:  Το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x=x0.  To συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της Cf στο σημείο Α με τετμημένη x=x0. Δηλαδή λε=εφω= f ( x 0 )  Την ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση x  f ( t ) τη χρονική στιγμή t 0 Είναι ( t 0 )  f ( t 0 )

 Παράγωγος Συνάρτηση  Ορισμός Παραγώγου Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο των x  A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε f ( x  h )  f (x ) x  B αντιστοιχίζεται στο f ( x )  lim . Η συνάρτηση αυτή λέγεται h 0 h πρώτη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f  . Η παράγωγος της συνάρτησης f  λέγεται δεύτερη παράγωγος της f και συμβολίζεται με f  .  Παραγώγιση Βασικών Συναρτήσεων  Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f ( x )  c είναι f ( x ) =0 Απόδειξη:

http:// perikentro. blogspot.gr

-3-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός y

Έχουμε για h  0

Άρα

f (x  h)  f (x) cc lim  lim 0 h 0 h 0 h h (c)  0 .

y=c c x

O

 Να αποδείξετε ότι παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f ( x )  x είναι f ( x ) =1 Απόδειξη:

y

y=x

Έχουμε για h  0 ,

f (x  h)  f (x) xhx h  lim  lim  1 h 0 h 0 h 0 h h h Άρα (x )  1 .

O

lim

x

 Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f ( x )  x 2 είναι f ( x ) =2x Απόδειξη: Έχουμε για h  0

f (x  h)  f (x) (x  h) 2  x 2 x 2  2 xh  h 2  x 2 lim  lim  lim  h 0 h 0 h 0 h h h 2 xh  h 2 h (2x  h ) lim  lim  lim (2 x  h )  2 x. h 0 h 0 h 0 h h  Κανόνες Παραγώγισης  Έστω η συνάρτηση F(x)=cf(x). Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη να αποδείξετε ότι: F( x )  cf ( x ) Απόδειξη: Έχουμε για h  0 F( x  h )  F( x ) cf ( x  h )  cf ( x ) f (x  h)  f (x) lim  lim  lim c h 0 h 0 h 0 h h h  f (x  h)  f (x)  = c lim    cf ( x ) h 0  h Άρα (c  f ( x ))  c  f (x ) .

http:// perikentro. blogspot.gr

-4-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Έστω η συνάρτηση F(x)= f ( x )  g( x ) Αν οι συναρτήσεις f , g είναι παραγωγίσιμες να αποδείξετε ότι: F( x )  f ( x )  g (x ) Απόδειξη: Έχουμε για h  0

F( x  h )  F( x ) (f (x  h )  g ( x  h ))  (f ( x )  g ( x ))  lim h 0 h 0 h h  f ( x  h )  f ( x ) g(x  h )  g( x )   lim     h 0  h h f ( x  h )  f (x ) g( x  h )  g( x ) lim  lim  f ( x )  g ( x ). h 0 h 0 h h lim

Άρα (f ( x )  g ( x ))  f ( x )  g( x )  Παράγωγος των συναρτήσεων f ( x )  g( x ) και

f (x) g( x )

Για το γινόμενο και το πηλίκο συναρτήσεων αποδεικνύεται ότι ισχύουν οι παρακάτω κανόνες παραγώγισης:

(f ( x )  g (x ))  f ( x )g ( x )  f ( x )  g( x )

  f ( x )  f ( x )  g ( x )  f ( x )  g( x )    . 2 g ( x ) ( g ( x ))   

Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει:

f (g( x))  f (g( x))  g( x) . Δηλαδή για να παραγωγίσουμε τη συνάρτηση f(g(x)) , σε πρώτη φάση παραγωγίζουμε την f σαν να έχει ανεξάρτητη μεταβλητή την g(x) και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο της g.

 Θυμηθείτε:

http:// perikentro. blogspot.gr

    ,

 0 , μ ακέραιος, ν θετικός ακέραιος.

-5-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Και αντίστοιχων Σύνθετων Συνάρτηση

Παράγωγος

f(x)=c, c IR

f ( x )  0

f (x )  x

f ( x ) =1

f(x)=xα, α IR

f ( x )  x  1

f(x)= x

f ( x ) 

f(x)=ημx

Αντίστοιχη Σύνθετη

Παράγωγος

f(x)=(g(x))ρ

f ( x )  (f ( x ))1  f ( x )

f(x)= g ( x )

f ( x ) 

f ( x )  x

f(x)=ημg(x)

f ( x )   g ( x )  g( x )

f(x)=συνx

f ( x )  x

f(x)=συνg(x)

f ( x )  g ( x )  g ( x )

f(x)=ex

f ( x )  e x

f(x)=eg(x)

f ( x )  e g ( x )  g( x )

f(x)=lnx

f ( x ) 

1 x

f(x)=lng(x)

f ( x ) 

1  g ( x ) g( x )

f(x)=εφx

f ( x ) 

1  2 x

f(x)=εφg(x)

f ( x ) 

1  g ( x )  2 g ( x )

f(x)=σφx

f ( x )  

1  2 x

f(x)=σφg(x)

f ( x )  

1  g (x )  g( x )

f ( x )  

1 x2

f(x)=

f ( x )  

1  g (x ) 2 g (x)

f(x)=

1 x

1 2 x

,x  0

1 g(x )

1  g ( x ) 2 g( x )

2

 Κανόνες Παραγώγισης

[f ( x )  g ( x )]  f ( x )  g (x )

[f ( x )  g (x )]  f ( x )  g ( x )

[f ( x )  g (x )]  f ( x )  g ( x )  f ( x )  g ( x )

(c  f ( x ))  c  f ( x )

  f ( x )  f ( x )g ( x )  f ( x )g (x )    g ( x ) g 2 (x)  

  1  g ( x )     2 g (x)  g( x ) 

(f (g (x )))  f (g (x ))  g (x )

http:// perikentro. blogspot.gr

-6-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Εφαπτομένη Καμπύλης Συνάρτησης Σχόλιο 1: Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(x0,f(x0))  C f θα θεωρούμε ότι η εφαπτομένη έχει εξίσωση y=αx+β. Αρκεί να βρούμε τα α και β Ο συντελεστής διεύθυνσης α είναι α= f ( x 0 ) και επειδή η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο Α έχουμε ότι f(x0)= f ( x 0 ) x0 +β οπότε βρίσκουμε το β Σχόλιο 2: Για να βρούμε την εξίσωση της εφαπτομένης της Cf που διέρχεται από το σημείο Μ(x1,y1)  C f θα θεωρούμε Α(x0,f(x0)) το σημείο επαφής. Γράφουμε την εξίσωση της εφαπτομένης ε: y= f ( x 0 ) x +β.(1) Επειδή η ε Διέρχεται από τα σημεία Α και Μ οι συντεταγμένες των σημείων θα επαληθεύουν την (1) οπότε βρίσκουμε το x0 και το β , άρα και την ε. 

Ρυθμός Μεταβολής – Ταχύτητα – Επιτάχυνση

 Η παράγωγος της f στο x0 εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του y=f(x) ως προς x, όταν x=x0.  Αν ένα κινητό κινείται ευθύγραμμα και η θέση του άξονα κίνησης του εκφράζεται από τη συνάρτηση x=f(t) τότε η ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t0 είναι ( t 0 )  f ( t 0 )  Αν η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθυγράμμως είναι x ( t ) τη χρονική στιγμή t, τότε η ταχύτητά του θα είναι ( t )  x ( t )  Αν η συνάρτηση υ είναι παραγωγίσιμη, τότε η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t θα είναι η παράγωγος της ταχύτητας, δηλαδή θα ισχύει

α( t )  υ( t ) ή ισοδύναμα

α( t )  x ( t ) .

Ισχύουν:  ( Το κινητό είναι ακίνητο)  υ(t)=0  (Το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση )  υ(t)>0  (Το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση)  υ(t)<0  Η απόσταση που διανύει το κινητό από την χρονική στιγμή t=t1 έως τη χρονική στιγμή t=t2 με την προυπόθεση ότι έχει θετική ή αρνητική κατεύθυνση στο διάστημα [t1,t2] είναι S=|x(t2)-x(t1)|.  Μονοτονία - Ακρότατα  Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( x )  0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.  Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f ( x )  0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. http:// perikentro. blogspot.gr

-7-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

 Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( x 0 )  0 για x 0  (, ) , f ( x )  0 στο (, x 0 ) και f ( x )  0 στο ( x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x  x 0 μέγιστο.  Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f ( x 0 )  0 για x 0  (, ) , f ( x )  0 στο (, x 0 ) και f ( x )  0 στο ( x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (α, β) για x  x 0 ελάχιστο.

f ΄(x)<0

f ΄(x)>0

O

y

f ΄(x0)=0

y

f ΄(x)<0

f ΄(x)>0 f ΄(x0)=0

x0

x

O

x0

x

Σχόλιο: Αν θέλουμε να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία ή τα ακρότατα κάνουμε τα εξής βήματα;  Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f  Βρίσκουμε την παράγωγο της f  Βρίσκουμε τις ρίζες της εξίσωσης f ( x )  0 (αν έχει)  Κάνουμε τον πίνακα προσήμων της f ( x )  Λύνουμε την ανίσωση f ( x )  0 ή f ( x )  0  Στα διαστήματα του x που η f ( x ) είναι θετική (αρνητική) η f είναι γνησίως αύξουσα (γνησίως φθίνουσα)  Αν η f ( x ) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της f ( x )  0 , τότε η f παρουσιάζει ακρότατο.  Προβλήματα ακροτάτων Για να υπολογίσουμε το μέγιστο ή το ελάχιστο ενός μεγέθους που περιγράφεται μέσα από πρόβλημα , ακολουθούμε την εξής διαδικασία. α. Αν το πρόβλημα είναι γεωμετρικό κατασκευάζουμε ένα σχήμα. β. Βρίσκουμε τη συνάρτηση του μεγέθους που αναφέρεται το ακρότατο. Αν η συνάρτηση περιέχει δυο μεταβλητές , βρίσκουμε μια σχέση που τις συνδέει και αντικαθιστούμε τη μια συναρτήσει της άλλης. γ. Από την εκφώνηση του προβλήματος βρίσκουμε τους περιορισμούς στους οποίους υπόκειται η μεταβλητή , οι οποίοι καθορίζουν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης δ. Κάνουμε μελέτη μονοτονίας και ακροτάτων της συνάρτησης και προκύπτει το αποτέλεσμα.

http:// perikentro. blogspot.gr

-8-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Προτεινόμενα Θέματα Θέμα 1. Να υπολογίσετε τα όρια: i. lim x 2

x2  4

x 2  81 ii. lim x 9 x  3

x 2  2x

iv. lim x 1

x3  x2  x  1

v. lim

x 2  4x  3

x 6

Θέμα 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

x2 1 iii. lim 2 x 1 x x

x3 3 x6

x 2  3x f (x ) . Να βρείτε το όριο lim x0 x x2

 2x  2  0  x  2 Αν η συνάρτηση f είναι Θέμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=  x  2   x2 συνεχής στο σημείο x0=2,τότε το α ισούται με: i.

2 2

ii.

1 2

iii. 2

Θέμα 4. Α. Να υπολογισθεί το όριο lim

x 4  16

x3  8 Β. Να βρεθεί το lim (2x  3x ).

iv.

2 4

.

x 2

x 

Γ. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση x2 1  f ( x )   x  1 x  1 είναι συνεχής στο x0=1  2 x 1 Θέμα 5. Α. Δίνεται η συνάρτηση  x 2  5x  6 ,x  2  f (x)   x  2 . Να βρεθεί το α ώστε η f να 2   2  1, x  2  είναι συνεχής στο x=2. Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(2-x)5. Nα βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1,f(1)). http:// perikentro. blogspot.gr

-9-

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Θέμα 6. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων: i. f ( x )  ln x ii. f(x)= x3+lnx+ 7 iii. . f(x)= lnx.συνx iv. . f(x)= x

v. f(x)=

vii. f(x)= x3lnx

6 4 x

vi. f(x)= συν(3x2+4) ix. f(x)= (5x-2)2

viii. f(x)= 2x

Θέμα 7. Να βρεθούν οι παράγωγοι των παρακάτω συναρτήσεων:

x

ii. f(x)=

iv. f(x)= ln x 2  2

v. f ( x )   2 4x.

vi. f(x)=ημx2

viii. f(x)= 2  x

ix. f(x)=ημ2x3

vii. f(x)= e x

2

x

iii. f(x)=

 2 x 3 1

i. f(x)= x-lnx

e

Θέμα 8. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f(x) και η εφαπτομένη της ε στο σημείο (x0,f(x0)) με εξίσωση y=αx+β. Να συμπληρωθεί ο πίνακας όπως το πρώτο παράδειγμα. τύπος της

τετμημένη

τιμή

σημείο

συνάρτησης

σημείου

συνάρτησης

επαφής

f(x)

επαφής x0

στο x0 f(x0)

(x0,f(x0))

-1

2

f(x)=2x2 f(x)=

x 1 x 1

(-1,2)

f ΄(x)

f΄(x)=4x

τιμή της

εξίσωση

παραγώγου

εφαπτομένης

στο x0 f΄(x0)

στο x0

f΄(-1)=-4

y= - 4x-2

1

f(x)=x3-2x

4

10

f(x)=x3

y=3x+2

Θέμα 9. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα πάνω σε άξονα ώστε η θέση του την τυχαία χρονική στιγμή t (σε sec) να δίνεται από τον τύπο x(t)=t3-12t2+45t σε μέτρα (m). Να βρείτε: α. την ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t. β. τις χρονικές στιγμές που το σώμα είναι ακίνητο. http:// perikentro. blogspot.gr

- 10 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Θέμα 10. Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=αx3+βx2-3x+ 1 . 2

α. Να βρείτε τους αριθμούς α, β για του οποίους ισχύει f  (-1)= f  (1)=0. β. Αν α=1 και β=0, τότε να βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f. 5 Β. Αν f(x)= (2  x )  f ( x o )  34 =0 , όπου xo πραγματικός αριθμός, 5 τότε να υπολογίσετε το f(xo).

x . x 2 1 α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f.

Θέμα 11. Α. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) 

β. Να υπολογίσετε το lim x  1f ( x ). x  1

Β. Αν η συνάρτηση f έχει τύπο f ( x )  είναι: Α. 1

Θέμα 12.

Β. ¼

Γ. 2

x 1 , τότε το lim f ( x ) x1 x2 1 Δ. 0

Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συναx+ημαx. α. Να αποδειχθεί ότι  2 f ( x )  f ( x )  0. β. Να βρεθεί το α ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0,f(0)), να είναι παράλληλη με την διχοτόμο της xοy. γ. Για την τιμή αυτή του α, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f στο (0,f(0)).

Θέμα 13. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=xlnx , x>0. A. Nα βρείτε τις παραγώγους f ( x ) και f ( x ) . Β. Να αποδειχθεί ότι f ( x ) =x f ( x ) +

1 f(x). x

f (x) x 1 x 2  x

Γ. Να βρεθεί το lim

http:// perikentro. blogspot.gr

- 11 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Θέμα 14.

2 +h, κ,h IR η οποία μηδενίζεται στο xo=1 και παρουσιάζει x τοπικό ακρότατο στο x1=2. A. Nα βρεθούν τα κ και h. Β. Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου, η τιμή του και να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η f. Δίνεται f(x)=x2+

Θέμα 15.

x2  3  x 1 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=λx -6x+μ. Αν lim και το  2 x 1 2 x 1 μέγιστο της συνάρτησης f είναι ίσο με 9, τότε: 3

Α. Δείξτε ότι λ=2. Β. Δείξτε ότι μ=5 Γ. Βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f όπου η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον x x . Δ. Να βρείτε για ποια τιμή του x ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος. Θέμα 16.

  ln x . x A. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

Β. Να βρεθεί το α IR ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο xo=1 να είναι παράλληλη στον άξονα x’x. Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)), αν γνωρίζουμε ότι α=1. Θέμα 17. Η ενέργεια W(t) που αποδίδεται από ένα πηνίο μεταβάλλεται με το χρόνο t σύμφωνα με τον τύπο W(t)=6t2-t4 και μετριέται σε joules. A. Να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας (ισχύς) ως προς το χρόνο, τη χρονική στιγμή t=to. Β. Σε ποια χρονική στιγμή το πηνίο έχει μέγιστη ισχύ; Γ. Ποια η μέγιστη ισχύς; http:// perikentro. blogspot.gr

- 12 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Θέμα 18. Έστω α IR . Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x2-αx-8, x IR . A. Nα βρεθεί το α αν γνωρίζουμε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α(1,-2). Β. Αν α=-4, τότε: α. να βρεθεί η πρώτη παράγωγος της f. β. να βρεθεί το xo IR στο οποίο η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο. γ. να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,-2). Θέμα 19. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x2+λx+2, λ R Α. Να βρεθεί το f (1) B. Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο xo=1. Γ. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η παραπάνω εφαπτομένη να διέρχεται από το σημείο Β(2,-3). Δ. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της παραπάνω εφαπτομένης, όταν xo=1. Θέμα 20. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=συνx. Nα βρείτε: Α. Tην f  . B. την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   Α( ,f( )) 2 2 Γ. τα σημεία στα οποία η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τους άξονες Δ. το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την εφαπτομένη και τους άξονες. Θέμα 21. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = μx2-2xlnx , με x>0 A. Να βρείτε την f΄(x) και την f  (x) . Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (1, f(1)). http:// perikentro. blogspot.gr

- 13 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Γ. Να βρείτε την τιμή μIR για την οποία η εφαπτομένη του Β ερωτήματος διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Θέμα 22. Δίνεται η συνάρτηση f(x) 

3x 2 4x 2  5

, όπου x  IR . Να βρείτε:

α) το σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x΄x, β) το

lim f(x)

x 0

γ) την παράγωγο της συνάρτησης f, δ) τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και αυτά στα οποία είναι γνησίως φθίνουσα και ε) τα ακρότατα της συνάρτησης f.

Θέμα 23. Η συνάρτηση f(x)=αx3+βx2+6x+1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x1=-3 και x2=2. Α. Να υπολογίσετε την f ( x ) Β. Να δείξετε ότι α=-

1 1 και β=- . 3 2

Γ. Να μελετήσετε την f  ως προς τη μονοτονία και να βρείτε το είδος και την τιμή των ακροτάτων. Θέμα 24. a 2

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x2-6x+β, x IR . Αν γνωρίζετε ότι η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σο σημείο Κ(-3,14), τότε: Α. Να δείξετε ότι α=-2 και β=5. Β. Για τις τιμές αυτές των α και β, να βρείτε το είδος του ακροτάτου. http:// perikentro. blogspot.gr

- 14 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

Γ. Να βρείτε το όριο lim

f ( x )2

x  3 f ( x )  14

.

Θέμα 25. Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο IR. Έστω f(x)=exg(x), x IR . A. Να υπολογίσετε την f ( x ) , ως συνάρτηση των g και g  Β. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο xo=0, να δείξετε ότι g (0)=-g(0).

f ( x )  3g ( x ) . x 0 g( x)

Γ. Να υπολογίσετε το όριο lim Θέμα 26.

x 3   Δίνεται η συνάρτηση f(x)= . x Α. Να βρεθεί η παράγωγος της f. Β. Να βρεθούν τα α,β IR , ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(2,2) και η εφαπτομένη της στο σημείο αυτό να έχει συντελεστή λ=5. Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της x3  4 συνάρτησης f(x)= στο σημείο Α(2,f(2)). x Θέμα 27. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=(x+2)2+1. A. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της f, στο σημείο Α(-1,f(-1)). Γ. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από την παραπάνω εφαπτομένη και τους άξονες.

Θέμα 28. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=α(2x+1)3 Αν ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της f στο σημείο Α(-1,f(-1)) είναι -12 http:// perikentro. blogspot.gr

- 15 -

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Διαφορικός Λογισμός

α. Να βρείτε το α β. Για α=-2 i. Να βρείτε την εφαπτομένη ευθεία ε στο Α(-1,f(-1)) ii. Να δείξετε ότι η f δεν έχει ακρότατα iii. Να βρείτε την μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της f ως προς x Θέμα 29. Α. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0=-1 και η καμπύλη της διέρχεται από το σημείο Α(-1,2) να βρείτε το lim

f ( x )( x 2  x )

x2  x  2 Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=eλx. Nα βρείτε τις τιμές του λ ώστε: 2f ( x )  f ( x )  3f ( x ) x  1

Θέμα 30.

x2 x2  3 Α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f Δίνεται η συνάρτηση f(x)=

Β. Να βρείτε το lim f ( x ) x0 Γ. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της f ως προς x όταν x=2 Δ. Να βρείτε την εφαπτομένη στην καμπύλη της f στο σημείο x0=

http:// perikentro. blogspot.gr

- 16 -

1 2

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης


G p b