Analysis of Discrete Model for Leaf-Eating Herbivores

สิ่งที่ควรทราบเกี่ยวกับสมการเชิงผลตาง พิจารณาสมการเชิงผลตาง

xn  f ( xn 1 , xn  2 ,..., xn  k )

เมื่อทราบคา

(2.1)

x0 , x1 ,..., xk 1

1. อันดับ (order) สมการเชิงผลตาง (2.1) มีอันดับที่ จําเปนตองทราบคาของ

xn 1 , xn  2 ,..., xn k

การนับยอนกลับจากเทอม

xn

เนื่องจากถาเราตองการหาคาของ

k

xn

ใด ๆ เรา

ดังนั้นการบอกอันดับของสมการเชิงผลตางหาไดโดย

ไปยังเทอมที่ไกลที่สุดคือเทอม

xnk

ตัวอยางเชน xn  5 xn 1  6 xn  2

คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 2

xn  3 xn 1  n 2 xn 3

คือสมการเชิงผลตางอันดับที่ 3

2. ความเปนเชิงเสน (linear หรือ nonlinear) จะกลาววาสมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน ความสัมพันธเชิงเสนโดยพิจารณาจากเทอมกอนหนา (เทอม กําลังหนึ่งและไมอยูในรูปผลคูณหรือผลหารระหวาง สมการไมเชิงเสน ก็ตอเมื่อฟงกชัน เทอมอยู โดย

f

f

xk

f

เปนฟงกชันที่มี

xn 1 , xn  2 ,..., xn k ) ในสมการวายก

ใด ๆ เสมอ ขณะที่สมการ (2.1) จะเปน

ประกอบดวยเทอมที่เปนฟงกชันไมเชิงเสนอยางนอยหนึ่ง

อาจจะประกอบดวย สมการกําลังสอง (quadratic) สมการเอกซโปแนนเชียล

(exponential) เศษสวน (reciprocal) หรือฟงกชันตรีโกณมิติ (trigonometric) เปนตน ตัวอยางเชน xn  2 xn 1  xn  2  5

หรือ

xn  2 xn 1  xn 3  n 2

คือสมการเชิงผลตางเชิงเสน

xn  2 xn21  6 xn  2

หรือ

xn  2 xn 1  sin( xn  2 )

คือสมการเชิงผลตางไมเชิงเสน

3. ความเปนเอกพันธ (homogenous หรือ nonhomogeneous) สมการเชิงผลตาง (2.1) เปนสมการเอกพันธ ก็ตอเมื่อ แทนคา แลว

xn

จะมีคาเปนศูนย นั่นคือ

ตองมีเทอม

xj

xn  f (0, 0,..., 0)  0

ดวยศูนย

หรือกลาววา ทุกๆ พจนในสมการ (2.1)

คูณอยูดวย ถาเงื่อนไขดังกลาวไมจริงแลว สมการเชิงผลตาง (2.1) ไมเปนเอกพันธ

ตัวอยางเชน xn  2 xn 1  xn 3

เปนสมการเอกพันธ

xn  2 xn 1  xn 3  1

ไมเปนสมการเอกพันธ 8

xn 1 , xn  2 ,..., xn k