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“Colegio Centroamérica” Managua , Nicaragua

“En todo amar y servir” San Ignacio de Loyola

“Ecuaciones Lineales”

Nombre: Matheus Jorge Guzmán Vargas Profesor: William Pérez Sección/Grado: 9no D Correo Electrónico: Gmatheusjorge@gmail.com


SiStema de ecuacioneS linealeS En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir

Una ecuación de 1er. grado con dos incógnitas es cualquier expresión del tipo siendo a,b y c números tales que a y b son diferentes de 0. También podemos decir que una ecuación de 1er. grado con dos incógnitas es una igualdad de polinomios de primer grado con dos variables con coeficientes no nulos. Una solución de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es cualquier par de números (x,y) para los que se cumple la igualdad.

Esta tiene varios métodos para resolverse estos son :    

IGUALACION SUSTITUCION REDUCCION DETERMINANTE


Igualación 1. Se despeja ecuaciones.

la

misma

incógnita

en

ambas

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. 3. Se resuelve la ecuación. 4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:


SUSTITUCION 1 Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2 Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita. 3 Se resuelve la ecuación. 4 El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5 Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

EJEMPLOS


REDUCCION 1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga. 2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas. 3. Se resuelve la ecuación resultante. 4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve. 5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:


DETERMINANTE 1. Hallar la matriz ampliada (A b) asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna esté formada por las entradas de los coeficientes de la primera incógnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incógnita, y así hasta llegar a la última columna, que estará constituida por las entradas de los términos independientes de las ecuaciones. 2. Calcular el determinante de A. 3. Aplicar la regla de los determinantes , que consiste en: ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los términos independientes; dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incógnita; continuar sustituyendo los términos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incógnitas.

Ejemplo


IGUALACION Resolver por igualación: 2 x  3 y  8  5 x  8 y  51 2 x  8  3 y 5 x  51  8 y

x

8  3y 51  8 y x 2 5

xx 8  3 y 51  8 y  2 5

m.c.m. = 10

58  3 y   251  8 y 

8  3 2  58  3 y   2(51  8 y ) x  2 40  15 y  102  16 y 86 x  15 y  16 y  40  102 2  31 y 62 14  x  31  31 2 y  2 x7

Comprobación:


2x  3y  8

5 x  8 y  51

27   3 2   8 57   8 2   51 14  6  8 88

35  16  51 51  51

SUSTITUCION Resolver por sustitución: 4 x  y  29  5 x  3 y  45

5 x  3 y  45   y  29  5   3 y  45 4   4 x  y  29 5 y  29  12 y  180 4 x  29  y  5 y  145  12 y  180 29  y  5 y  12 y  145  180 x 4 7 y  35  7 7 y  5

29  y 4

x x

29  5 4 x

24 4 x  6

m.c.m. = 4


4 x  y  29 5 x  3 y  45

Comprobación:

 24  5  29  30  15  45  29  29  45  45

REDUCCION Resolver por reducción: 7 x  4 y  652   5 x  8 y  31

=

14 x  8 y  130 5x  8 y  3

19 x  0  133 19 x 133  19 19 x7

7 x  4 y  65 7 7   4 y  65 49  4 y  65 4 y  49  65 4y 16  4 4 y4

57   84   3 35  32  3 33

Comprobación:

77  44  65 49  16  65 65  65


DETERMINANTE Resolver por determinantes: 13

 3 x  8 y  13 x  8 x  5 y  2

8

 2 5

=_________ =  65  16 =  49  1 3

8

8

5

13

15  64

3

 2104  68  98 y  _________=  2 15  64  49 3 8 8

5

Comprobación:  31  82   13 81  52   2 8  10  2  3  16  13  2  2 13  13

 49


POR CUALQUIER METODO Resolver por cualquier método: Reducción:  9 x  8 y  61   3 x  5 y  21 3

=

 9 x  8 y  6 9 x  15 y  63

0  23 y  69 23 y  69  23 23 y  3

 9 x  8 3  6  9 x  24  6  9 x  24  6  9x  9

18 9 x  2

 3 2   5 3  21 6  15  21 21  21

 9 2   8 3  6

Comprobación: 18  24  6  6  6



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