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Réduction des endomorphismes Soit E un K -espace vectoriel non réduit au vecteur nul et u , v ∈ L(E ) . I. Sous-espaces stables 1°) Définition Déf : Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par u ssi u (F ) ⊂ F i.e. ∀x ∈ F , u (x ) ∈ F . Prop : Si u et v commutent alors Im u et keru sont stables par v . Prop : Si F et G sont stables par u alors F +G et F ∩G aussi. Théorème : Si F est stable par u et v alors pour tout λ ∈ K , F est stable par λu , u + v et u  v . Ainsi l’ensemble des endomorphismes laissant stable F est une sous-algèbre de L(E ) . Cor : Si F est stable par u alors F est stable par u n (pour tout n ∈ ℕ ) 2°) Endomorphisme induit Soit F un sous-espace vectoriel stable par u . On peut considérer la restriction de u au départ de F et à l’arrivée dans F , restriction qui est clairement linéaire. Déf : L’endomorphisme ainsi défini est appelé endomorphisme induit par u sur F , on le note uF . Prop : Si F est stable par u alors ker uF = ker u ∩ F . Prop : Si F est stable par u alors Im uF ⊂ Im u ∩ F . Théorème : Si F est stable pour u et v alors pour tout λ ∈ K , (λu )F = λuF , (u + v )F = uF + vF et

(u  v )F = uF  vF . Cor : (u n )F = (uF )n . II. Eléments propres d’un endomorphisme 1°) Valeur propre et vecteur propre Prop : Une droite vectorielle D = Vect(x ) (avec x ≠ 0 ) est stable pour u ∈ L(E ) ssi il existe λ ∈ K tel que

u (x ) = λx . Déf : On dit que λ est valeur propre de u ssi il existe x ≠ 0 , u (x ) = λx . On dit alors que x est vecteur propre associé à la valeur propre λ . 2°) Spectre d’un endomorphisme Déf : On appelle spectre de u l’ensemble des valeurs propres de u , on le note Sp(u ) . Prop : Si u ∈ GL (E ) alors Sp(u −1 ) = {1 λ / λ ∈ Sp(u )} . 3°) Sous-espaces propres Déf : Pour λ ∈ K et u ∈ L(E ) , on pose Eλ (u ) = ker(u − λ Id) .

Eλ (u ) est le sous-espace vectoriel formé des vecteurs x ∈ E tels que u (x ) = λx . Théorème : On a équivalence entre : (i) λ est valeur propre de u , (ii) Eλ (u ) ≠ {0} , (iii) l’endomorphisme u − λ Id n’est pas injectif. Déf : Si λ est valeur propre de u alors Eλ (u ) est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ . Prop : Soit F un sous-espace vectoriel stable par u . Sp(uF ) ⊂ Sp(u ) et pour tout λ ∈ K , Eλ (uF ) = Eλ (u ) ∩ F -1/3-


Prop : Si u et v commutent alors les sous-espaces propres de u sont stables par v . 4°) Supplémentarité des sous-espaces propres Théorème : Si λ1 ,…, λp sont des valeurs propres deux à deux distinctes de u alors les sous-espaces propres

Eλ1 (u ),…, Eλp (u ) sont en somme directe. Cor : Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre. III. Polynômes en un endomorphisme 1°) Morphisme d’évaluation +∞

Déf : Pour tout polynôme P (X ) = ∑ ak X k de K [X ] , on appelle valeur de P en u l’endomorphisme k =0

+∞

P (u ) = ∑ ak u . k

k =0

Théorème : L’application ϕu : K [X ] → L(E ) définie par ϕu (P ) = P (u ) est un morphisme de K -algèbres. Déf : On note K [u ] = {P (u ) / P ∈ K [X ]} l’image du morphisme précédent. Ses éléments sont appelés polynômes en u . Théorème : K [u ] est une sous-algèbre commutative de L(E ) . De plus la plus petite sous-algèbre de E contenant u . K [u ] est appelée sous-algèbre engendrée par u . Cor : Si v commute avec u alors v commute avec les polynômes en u . 2°) Polynôme annulateur Déf : On dit que P (X ) ∈ K [X ] est un polynôme annulateur de u ssi P (u ) = 0 . Théorème : L’ensemble des polynômes annulateurs de u est un idéal de K [X ] . Cor : Si P est annulateur et si P | Q alors Q est annulateur. 3°) Polynôme minimal Théorème : S’il existe des polynômes non nuls annulateur de u alors il existe un unique polynôme unitaire Πu tel que l’idéal des polynômes annulateurs de u soit Πu .K [X ] . Déf : S’il existe des polynômes non nuls annulateurs de u alors le polynôme Πu défini ci-dessus est appelé polynôme minimal de u . Prop : Πu est unitaire,

Πu (u ) = 0 , P (u ) = 0 ⇔ Πu | P , P (u ) = 0 et deg P < deg Πu ⇒ P = 0 . Théorème : Si E est un K -espace vectoriel de dimension finie alors tout endomorphisme de E admet un polynôme minimal. Prop : Si u admet un polynôme minimal de degré n alors dim K [u ] = n .

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IV. Polynôme et réduction 1°) Sous espace stable et polynôme en un endomorphisme Prop : Im P (u ) et ker P (u ) sont stables par u et par tout endomorphisme v commutant avec u . Théorème : Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u alors F est stable pour tout polynôme en u et de plus : P (u )F = P (uF ) . Cor : Si P est annulateur de u alors P est annulateur de uF . n

Prop : Supposons E = ⊕ Fi avec Fi stable par u . i =1

Si Pi est annulateur de uFi alors P1 ×…×Pn est annulateur de u . 2°) Valeurs propres et polynômes annulateurs Prop : Si λ est valeur propre de u alors P (λ ) est valeur propre de P (u ) . Théorème : Si P est un polynôme annulateur de u alors toute valeur propre de u est racine de P . Théorème : (hors-programme) Si u admet un polynôme minimal Πu alors les valeurs propres de u sont exactement les racines de Πu . 3°) Lemme de décomposition des noyaux Théorème : Si P ,Q ∈ K [X ] sont premiers entre eux alors ker(PQ )(u ) = ker P (u ) ⊕ kerQ (u ) . Cor : Si P1 ,…, Pn sont des polynômes deux à deux premiers entre eux alors : p n  ker ∏Pi  (u ) = ⊕ ker Pi (u ) .  i=1  i =1

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Réduction des endomorphisme  

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