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RECTAS 4ยบESO

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INDICE 1.-INTRODUCCIÓN-HISTORIA.………….……………...…. 3 2.-DEFINICIÓN……………………………….…………... 5 3.-CARACTERÍSTICAS ……………..……………….…….. 6 4.-ECUACIONES DE UNA RECTA………………………...... 6 5.-PENDIENTE Y VECTOR DIRECTOR……..………………...10 6.-ECUACIÓN DE LA RECTA VERTICAL………………....… 10 7.-ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL………………... 10 8.-PARALELISMO DE DOS RECTAS ……………..…….……11 9.-PERPENDICULARIDAD DE DOS RECTAS …………….….11 10.-POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS……………...…..13 11.-PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO …………….....…..14 12.-DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ……………...……..14 13.-DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA……………….14 14.-DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS……………….……....15 15.-ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS...…………….....15 16.-EJERCICIOS……………………………………….....17

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INTRODUCCIÓN-HISTORIA La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc). Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica,

arquitectura,

cartografía,

astronomía,

náutica,

topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías. La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir

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durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial. En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

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DEFINICIÓN Una recta es una sucesión infinita de puntos , situados en una misma dirección. Una recta tiene una sola dimensión: la longitud. Analíticamente, una recta es una ecuación lineal o de primer grado en dos variables. Recíprocamente, la representación gráfica del lugar geométrico cuya ecuación sea de primer grado en dos variables es una recta. Una recta queda determinada completamente si se conocen dos condiciones, por ejemplo, dos de sus puntos, un punto y su dirección (pendiente o coeficiente angular), etc.

1) Conocemos un punto y un vector director de la recta (vector que da dirección a la recta). 2) Conocemos dos puntos de la recta. 3) Conocemos un punto y el ángulo que forma la recta con el eje OX+ (eje de abscisas positivo) 4) Conocemos un punto y la pendiente de la recta ( la pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX+ y me indica la inclinación de dicha recta). •

Si crece, el ángulo es del primer cuadrante, por tanto la

tangente es positiva, por lo que la pendiente es positiva. 5


si decrece, el ángulo es del segundo cuadrante, por lo tanto la

tangente es negativa, por lo que la pendiente es negativa.

CARACTERÍSTICAS DE LAS RECTAS 

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

ECUACIONES DE UNA RECTA 1.-CONOCEMOS UN PUNTO Y UN VECTOR DIRECTOR DE LA RECTA  Sea A(a1, a2) el punto de la recta y u =(u1, u2) el vector director

Ecuación vectorial: (x,y)= (a1, a2) + t(u1, u2)

Ecuación paramétrica:

Se obtiene igualando de la ecuación vectorial las 1º coordenadas con las 1º y las 2º con las 2º. x= a1+t u1 y= a2 +t u2 6


Ecuación continua:

Se obtiene despejando “t” en la ecuación paramétrica e igualando los resultados t=

t=

Nota: Darse cuenta que en esta ecuacion (a1, a2) son las coordenadas del punto y (u1, u2) son las coordenadas del vector.

Ecuación general: Se halla operando la ecuación continua, quitando denominadores e igualando a 0. Ax+By+C=0, siendo A,B,C ϵ R

Ecuación explícita: Se halla a partir de la ecuación general, despejando “y” , dejando la recta en forma: y=mx+n m=pendiente de la recta n=ordenada en el origen (punto de corte con el eje de ordenadas)

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2.- CONOCEMOS DOS PUNTOS DE LA RECTA Sean los puntos A (a1, a2) , B (b1, b2) dos puntos de una recta, Podemos hallar el vector director de la recta con los dos puntos  AB =( b1- a1, b2-a2)

 Con el punto A y el vector AB , podemos hallar la ecuación continua

= EJEMPLO Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-1,3) ,B (2, 4)  Hallamos el vector director AB =B-A = (3,1) y con el punto A :

= Operamos para hallar la ecuación general = = Despejamos “y” para hallar la ecuación explícita =

=

=

La pendiente de la recta es m = 8


La ordenada en el origen es n =

3.- CONOCEMOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE Sea A (a1, a2) un punto de una recta y m la pendiente Podemos calcular la ecuación de la recta por la ecuacion punto pendiente

=

EJEMPLO Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A ( 2, -5 ) y tiene pendiente m=

y- (-5)=

(x-2)

ecuación general 4.- CONOCEMOS UN PUNTO Y EL ÁNGULO QUE FORMA LA RECTA CON EL EJE OX+ Sea α el ángulo que forma la recta con el eje OX+ . Por definición de pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje OX+ m=tg α

podemos aplicar la ecuación punto pendiente para

A (a1, a2)

obtener la ecuación de la recta.

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PENDIENTE Y VECTOR DIRECTOR A partir de la ecuación general de una recta podemos hallar la pendiente y el vector director. Sea

siendo A, B y C números reales la

ecuación general de una recta  u  A partir del u , hallamos la pendiente.  u = (u1,u2)

ECUACIÓN DE LA RECTA VERTICAL Es de la forma x=K siendo K un número real K

ECUACIÓN DE LA RECTA HORIZONTAL Es de la forma y=K siendo K un número real

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K


CONDICIONES DE PARALELISMO DE DOS RECTAS •

Dos rectas son siempre paralelas si tienen la misma

pendiente. •

Dos rectas son paralelas si los vectores directores

de dichas rectas son paralelos. ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMA GENERAL r: A1x + B1y + C1 = 0 s: A2x + B2y + C2 = 0 “r” será paralela a “s” si se cumple que

si además es 

C1 C2

las rectas son coincidentes

ECUACIONES DELAS RECTAS EN FORMA EXPLÍCITA r: y=m1x+n1 s: y=m2x+n2 En este caso “r” será paralela a “s” si: m1=m2

CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD DE DOS RECTAS •

Dos rectas son perpendiculares si la

pendiente de una recta es menos la inversa de la pendiente de la otra recta. •

También son perpendiculares dos rectas si

sus vectores directores son perpendiculares.

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ECUACIONES DE LA RECTA EN FORMA GENERAL r: A1x + B1y + C1 = 0 s: A2x + B2y + C2 = 0 “r” será perpendicular a “s” si se cumple que: A1A2+B1B2=0 ECUACIONES DELAS RECTAS EN FORMA EXPLÍCITA r: y=m1x+n1 s: y=m2x+n2 De esta forma para que estas dos rectas sean perpendiculares se tendrá que cumplir: m1= EJERCICIO “EJEMPLO”: Dada la recta r: 3x-2y+1=0 a) Hallar una recta “s” paralela a “r” que pase por el punto A(-1,5) b) Hallar la recta “t” perpendicular a “s” que paso por el punto B(2,-4)

RESOLUCCIÓN DEL PROBLEMA:

a) m=

mr=

→ 12


b) mt =

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sean las rectas

r: A1x + B1y + C1 = 0 s: A2x + B2y + C2 = 0

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común y

deberá cumplirse que:

Dos rectas son coincidentes si tienen infinitos puntos en

común y tendrán que darse de tal forma que:

Dos rectas son secantes si tienen un punto en común. ≠

Si dos rectas resultan ser secantes tendremos que comprobar si son secantes perpendiculares a través de:

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PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Sean los puntos A (a1, a2) , B (b1, b2) los extremos de un segmento. El punto medio es

 a  b1 a 2  b 2  Pm(A, B)   1 ,  2 2  

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados dos puntos cualesquiera P1(x1,y1), P2(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(P1,P2), como la longitud del segmento que los separa, es decir, el módulo del vector P1P2 d(P1, P2)  P1P2 

x2  x1

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 y2  y1

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DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia del punto, P, y la recta r, es la mínima distancia que hay entre ellos.

Esta distancia corresponde a la distancia entre P y el punto de corte de la recta r con la recta perpendicular a ésta trazada desde el punto P. 14


Teniendo : -Una recta Ax+By+C=0 -Un punto P(p1,p2)

La distancia entre un punto y una recta viene determinada por la siguiente fórmula:

d(p,r)=

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS Es la distancia mínima que hay entre ellas. Para ello tendremos en cuenta lo siguiente: 1º Si r y s son paralelas y coincidentes, el resultado es0

2º Si r y s son secantes el resultado es cero. 3º Si r y s son paralelas no coincidentes la distancia es distinto de 0. En este caso, se calcula un punto de una de las rectas, y se halla la distancia de este punto a la otra recta.

ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a parti r de los vectores directores de las rectas, y teniendo en cuenta que como tiene que ser el menor de los ángulos (0º≤α≤90º), el producto escalar de los vectores tiene que ser en valor absoluto para que el coseno sea 15


positivo, ya que si es negativo el ángul o sería del 2º cuadrante. Si las rectas son paralelas o coincidentes, el ángulo que forman es de 0º. Si las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman es de 90º. 

Sean las rectas r: A1x + B1y + C1 = 0

u  u 1 , u 2 

s: A2x + B2y + C2 = 0

v  v1 , v 2 

 u . v     u 1·v1  u 2 ·v 2 α  arccos     arccos  u 2  u 2· v 2  v 2  u ·v  2 1 2  1  

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   


EJERCICIOS

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Ejercicio7: Del segmento formado por los puntos A(5,2) y B(-2,12), encontrar la mediatriz

Forma punto-pendiente de la mediatriz del segmento

Respuesta

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RECTAS