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CÓNICAS

Elena García Sol


Concepto de cónica: Superficies que resultan al hacer girar una recta llamada generatriz alrededor de otra recta secante a la primera llamada Eje de giro. Estudiaremos 4 tipos de cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Excentricidad: Es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. -Circunferencia: excentricidad=0 -Elipse: excentricidad= entre 0 y 1 -Hipérbola: excentricidad= mayor que 1 -Parábola: excentricidad=1


CIRCUNFERENCIA Definici贸n: Lugar geom茅trico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de una circunferencia es la distancia que hay del centro a cualquier punto de la propia circunferencia.


Ecuación reducida de una circunferencia (centro 0,0) Teniendo en cuenta que a y b son las coordenadas del centro, y r: es el radio (x-a)² + (y-b)² = r² x²-2ax+a²+y²-2by+b² = r² D= -2ª E= -2b F= a²+b²-r²

x²+y²+Dx+Ey+F= 0


Ejercicios para practicar: 1) Halla la ecuación de la circunferencia que tiene por centro (1, -2) y por radio: 3

Al darnos el centro y el radio: tenemos a, b y r por tanto podemos sustituir: (x-1)² + (y+2)² = r² (x²-2x+1) + (y²+4y+4) = 9 x²+y²-2x+4y+14=0


2)Halla la ecuaci贸n de la circunferencia conc茅ntrica a: que pasa por el punto P(-3,4)


3)Halla la ecuaciรณn de una circunferencia cuyo diรกmetro estรก delimitado por los puntos: A(-5,3) y B(3,1)


Posición relativa entre 2 circunferencias • 2 circunferencias son secantes, si la distancia que hay entre sus centros es menor que la suma de sus radios


• 2 circunferencias son tangentes si la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios

• 2 circunferencias son exteriores si la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios


REPASO • Las mediatrices de las cuerdas de una circunferencia se cortan siempre en su centro

• Las rectas tangentes a una circunferencia son siempre perpendiculares al radio


Elipse Concepto: Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante. • La distancia entre focos se denomina distancia focal y se expresa como 2c • El eje mayor de una elipse es denominado 2a • El eje menor de una elipse se conoce como 2b

La relación que hay entre las 3 partes de la elipse (a,b,c) es: a²= b²+c²


Ecuación reducida de la elipse: centro (0,0) Cuando sus ejes están en abscisas x² a²

y² b²

Cuando sus ejes están en ordenadas x² b²

y² a²


Ecuación de una elipse normal con centro distinto de (0,0) Sea su centro (2,3) Cuando sus ejes están en abscisas

(x-2)² a²

(y-3)² b²

Cuando sus ejes están en ordenadas

(x-2)² b²

(y-3)² a²


Ecuación reducida de la recta tangente a una elipse reducida en un punto P(2,3) x·2 a²

y·3 b²


Ejercicios elipses 1)Halla las coordenadas de los focos, el eje mayor, eje menor y la excentricidad de la siguiente elipse:


Ejercicios elipses 2)Halla la ecuaci贸n reducida de una elipse conociendo los siguientes datos:

3) Halla la ecuaci贸n reducida de una elipse conociendo que pasa por P(2,1) y su eje menor mide 4


HipĂŠrbola Lugar geomĂŠtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual a 2a


Ecuación reducida de la Hipérbola Cuando sus ejes están en abscisas x² a²

y² b²

Cuando sus ejes están en ordenadas -x² b²

y² a²


Ecuación normal de una Hipérbola con centro (2,3) (x-2)² a²

(y-3)² b²

-(x-2)² (y-3)² b² a²

Ecuación de la recta tangente a una Hipérbola en el punto P(2,3)

2x a²

3x b²


As铆ntotas hiperb贸licas

a) y= b.x a

b) y= -b.x a


Ejercicios hipĂŠrbolas 1)Representa la siguiente hipĂŠrbola y halla sus focos, su eje mayor y su excentricidad:


2)Halla la ecuaci贸n de una hip茅rbola cuyo eje mayor mide 10, y cuya distancia focal mide 8.

3) Determina la posici贸n relativa de la recta hip茅rbola

y la


Parábola Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. -Parámetro: distancia que hay entre el foco y la directriz -Eje de la parábola: recta perpendicular a la directriz trazada desde el foco -Vértice: punto de intersección entre el eje de la parábola y la propia cónica.


Ecuaciones de la parábola en el eje vertical Cuando es:

Vértice: (a,b) Parámetro: p

Cuando es:

Al hallar su vértice, con la fórmula V= -b/2a obtienes Vx: primera coordenada del Vértice


Ecuación de la parábola en el eje horizontal Cuando es asi:

Vértice: (a,b) Parámetro: p

Cuando es asi:

Al hallar su vértice, con la fórmula V= -b/2a obtienes Vy: segunda coordenada del Vértice


Ejercicios de la parábola 1)Dada la parábola de ecuación: Hallar su vértice y el valor del parámetro p


Cónicas  

Teoría y ejercicios de cónica

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