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Números reales

Miguel Álvarez García

UNIDAD 1ª NÚMEROS REALES

1.1 Números reales Un número real es un número que es racional o irracional. Al conjunto de todos los números reales se le denomina con la letra . En el siguiente esquema se pueden ver los diferentes tipos de números reales que existen:

   Naturales      Enteros  0  Negativos     Racionales  Números reales   Finitos    Decimales   Puros   Infinitos periódi cos      Mixtos    Irracionales Decimales Infinitos no Periódi cos  Cada número real se puede representar en la recta numérica y cada punto de la recta numérica representa a un número real. Por este motivo a la recta numérica se le denomina “recta real”.

-3

-2

-1

1

2

3

0 En la recta dibujada arriba están representados los número enteros ( ) que están compuestos por los números naturales ( ), el cero y los números negativos. Los números fraccionarios se representan dividiendo la unidad correspondiente en tantos trozos iguales como diga el denominador y cogiendo tantos trozos como diga el numerador.

Ejemplo 1.

Representar en la recta real los números racionales:

El primer número

3 y -2’5. 5

3 es una fracción propia, se representa dividiendo el intervalo 0, 1 en 5 partes 5

iguales y cogiendo 3 a partir del 0.


2

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Miguel Álvarez García

1

0

3 5 El segundo número -2’5 es un número decimal finito, lo transformamos en fracción así:

25 5   y es, por tanto, una fracción propia. Para representarla la escribimos como número 10 2 5 1  mixto, así:    2   2 2   2'5  

Debemos coger el intervalo  3,  2 , dividirlo en dos partes y coger una a partir de -2.

 2'5  

5 2

-3

-1

-2

0

1   2   2 

Ejercicios 3 4  2. Representa en la recta real el número racional: 1'6 1. Representa en la recta real el número racional: 

Los números irracionales también se pueden representar en la recta real pero nosotros sólo representaremos alguna raíz cuadrada.

Ejemplo 2.

Representar en la recta real el número irracional:

40 .

Debemos representar en la recta un rectángulo cuya diagonal valga teorema de

40

2 cm 6 cm

40 . Si observamos la figura y aplicamos el

Pitágoras podemos asegurar que 2 40  36  4  6  2 . La diagonal de un rectángulo cuyo lado 2


3

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mayor mida 6 cm y el menor 2 cm tiene una diagonal que mide

40 cm.

Para representarlo en la recta real solo precisamos llevar, con un compás la diagonal sobre la recta a partir del 0. Así:

40

-1

0

1

4

3

2

5

6

7

40

Ejercicios 3. Representa en la recta real el número irracional:  37 4. Representa en la recta real el número racional:

27

1.2 Operaciones con números reales En los números reales están definidas las siguientes operaciones: - La adición (la sustracción es la adicción del opuesto). - La multiplicación. - La división. Otra operación importante es la “potenciación”. - Potencias de exponente natural. Se define la potencia de exponente natural como el resultado de la multiplicación (producto) de la base por sí misma tantas veces como diga el exponente: a 3  a  a  a Las propiedades de la potencia son las siguientes: a) a  a  a m

n

m n

am b)  a mn n a

c)

a 

m n

a

m n

d) a  b   a  b n

n

n

n

an a e)    n b b

La propiedad b) nos permite definir dos nuevas propiedades: f) Si en la propiedad b) los dos exponentes son iguales, entonces:

an an nn 0  a  a  1 de . Pero an an

donde se deduce que a 0  1 -

Potencias de exponente entero

g) Si en la propiedad b) el numerador es 1, obtenemos esto: deduce esta propiedad: a n 

1 an

1 a0  n  a 0n  a n , de donde se n a a


4

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Con estas siete propiedades se pueden simplificar un sinnúmero de expresiones algebraicas.

Ejemplo 3.

Simplificar la siguiente expresión:

La expresión

a 2b 2 x 0 y 3 z 4 . x 3 a 1b1 y 0 z

a 2b 2 x 0 y 3 z 4 a 2 b 2 x 0 y 3 z 4     la podemos escribir así: y aplicando la x 3 a 1b1 y 0 z a 1 b1 x 3 y 0 z

propiedad b) obtenemos:

a 2 b 2 x 0 y 3 z 4      a 2( 1)  b 21  x 03  y 30  z 41  a 3  b 3  x 3  y 3  z 3 , a 1 b1 x 3 y 0 z

que lo podemos escribir así: a 3 

a  z 3 b  x  y 3

1 1 1 3 a3 z 3    z  y según la propiedad d) b3 x3 y 3 b3 x 3 y 3 3

 az   . aplicando, finalmente, la propiedad e) obtenemos:  b x y  Realizando todo el ejemplo queda así:

 az  a 2b 2 x 0 y 3 z 4 a3 z 3 3 3 3 3 3   a  b  x  y  z    3 1 1 0 3 3 3 xa by z b x y b x y 

3

Ejercicios 3  2a  3b  b 4  4  a 3

1

2

5. Simplifica utilizando las propiedades de las potencias esta expresión:

3

2  y     x 4 6. Simplifica utilizando las propiedades de las potencias esta expresión:  3   3 x  2 y 

3

Las potencias de exponente racional son lo suficientemente importantes para que merezcan un nuevo apartado.

1.3 Radicales 1 n

Un radical es una potencia de exponente racional, definido así: a  n a , utilizando la propiedad m

c) de las potencias se deduce una definición más general. Observa: a n  a donde obtenemos la definición de radical. m

a n  n am

m

1 n

 

 am

1 n

 n a m de

y


5

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Miguel Álvarez García

Los radicales cumplen todas las propiedades de las potencias enunciadas anteriormente. Estas propiedades nos van a facilitar las distintas operaciones entre radicales: 1ª Operación racionalización de denominadores Hay tres posibles formas de racionalización:

a x

Tipo 1:

Tipo 2:

x

a x x x

a x x2

a x x

a 5

x2

Se multiplica el numerador y denominador por Tipo 3:

a

x:

Se multiplica el numerador y denominador por

5

a

3

x :

5

x2

a5 x 3 5

x 2 5 x3

a5 x 3 5

x5

a5 x 3  x

z a x b y

Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de “ a x  b y ” es “ a x  b y ”.

z a x b y

a

z a x b y



x b y a x b

 y  a x   b y  

z a x b y 2

2

z a x b y a2 x  b2 y

Ejemplos 4.

Racionaliza el siguiente denominador:

4 12

29

.

Pertenece al 2º tipo de racionalización, por tanto se multiplica el numerador y denominador por 12

2129  12 23 , así:

4 12

5.

29

412 23 12

29 12 23

412 23 12

212

412 23   212 23 2

Racionaliza el siguiente denominador:

4 . 2 5  3x

Pertenece al tercer tipo de racionalización. El conjugado de 2 5  3x es 2 5  3x , entonces se multiplica numerador y denominador por 2 5  3x , así:


6

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4 4 2 5  3x 4 2 5  3x 4 2 5  3x    2 2 20  9 x 2 2 5  3x 2 5  3x 2 5  3x 2 5  3x 



  

Ejercicios 7. Racionaliza los denominadores de la fracción: : 8. Racionaliza los denominadores de la fracción: :

26 13 z 24

12 9. Racionaliza los denominadores de la fracción: :

6 2 3z  3 2 x

2ª Operación, multiplicación y división de radicales. - Los radicales tienen la misma base en el radicando: m n

s r

m s  n r

m

s

m s  r

n

a  a  a a  a

n

am : r as  a n : a r  a n

m

r

s

Ejemplo 23 6 2 4

3

6.

Realiza la siguiente operación:

12

29

.

Se escriben todos los radicales en forma de potencias de exponente racional y se aplican las propiedades de las potencias, así: 3

2

26

12

2

2 9

4

2 3

2 2 2

9 12

4 6

2

2 4  3 6

2

9 12

2

2 4 9   3 6 12

2

7 12

 12 27

Ejercicio 10. Realiza la siguiente operación:

35 3 32 33

4

.

- Los radicales tienen el mismo índice:

   b   a

n

am  n bs  am

n

am : n bs  am

1 n

1 s n

m

  : b   a 1 n

1 s n

m

 bs

: bs

1 n

1 n

 n am  bs

 n am : bs 

n

am  n bs  n am  bs

n

am

n

bs

n

am bs


7

Números reales

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Ejemplo 3

7.

Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado obtenido:

3

Los tres radicales tienen el mismo índice, por tanto:

22 3 3 3

62

3

3

22  3 3

22 3 3

62

62

3

.

22  3 . 62

Esta expresión se puede simplificar descomponiendo el número 6  2  3  62  2  3  22  32 , luego: 2

3

22 3 3 3

62

22  3

3

3

62

22  3 3 22  3 3 1 1    3 2 2 2 6 2 3 3 3 3

22 3 3

3

Se racionaliza el denominador y se obtiene esto:

3

62

32 3

3

Ejercicios 5

11. Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

35 5 32 5

4

12. Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

33

33 4 53 153

.

.

- Los radicales no tienen ni la misma base en el radicando, ni el mismo índice: n

   b  . En este caso sólo se puede reducir las fracciones a común índice,

am  r bs  am

1 n

1 s r

así:

Ejemplo 3

8.

Realiza la siguiente operación:

22 4 3 . 6

Reducimos a común índice hallando el mcm3, 4, 2  12 . Se escribe este mínimo común múltiplo en el índice de las tres raíces, se divide entre el índice y se eleva el radicando al cociente obtenido, así: 12

Los tres radicales tienen el mismo índice, por tanto:

Esta expresión se puede simplificar, así:

12

2 

2 4 12

12

66

33

 12

28  33 . 66

28  33 28  33 12 28  33 12 2 2 12 2 2 12     66 2 6  36 33 12 33 2  36


8

Números reales

Se racionaliza el denominador y se obtiene esto:

Miguel Álvarez García

12

22

12

33

12

 

2 2 12 33 3

9

12

2 2 12 327 3

Se puede extraer del radicando la potencia 32 así: 12

22 12 312  312  33 32 12 22 12 33   312 22 12 33  312 22  33 . Por tanto: 3 3

3

22 4 3  312 2 2  33 6

Ejercicios 5

13. Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

32 5 53 4

4

14. Realiza la siguiente operación y simplifica el resultado:

103

33 3 32 3

92

.

.

3ª Operación: agrupación de radicales Los radicales son objetos y, por ello, pueden ser agrupados siempre que sean iguales, así: n

a  n a  2n a ;

n

a  n a  n a  3n a , … y así sucesivamente.

También se puede sacar el radicando factor común, así: x n a 

cn c  a   x  n a . d d 

Ejemplo 9.

Agrupa los siguientes radicales:

Se saca factor común a

3

2 2 , así:

23 2 1 2  33 2 2  3 2 2 . 3 4

23 2 1 1 25 2 2  33 2 2  3 2 2    3  3 2 2   3 2 2 3 4 4 12 3

Ejercicio 15. Agrupa los siguientes radicales:

25 1 x  5 x  0,255 x . 5 3

Algunas veces parece que los radicales no se pueden agrupar y, sin embargo, después de simplificar la expresión se comprueba que sí se puede. Observa el siguiente ejemplo:


Números reales

10. Agrupa los siguientes radicales:

9

Miguel Álvarez García

23 1 16  33 54  3 250 . 3 4

Descomponemos en factores primos los radicales: 16  23  2 ; Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos esto:

54  33  2 ; 250  53  2 .

23 1 2 1 2 1 16  33 54  3 250  3 23  2  33 33  2  3 53  2   23 2  3  33 2   53 2 , 3 4 3 4 3 4 y como se puede observar, todos los radicales son iguales y los podemos agrupar, así:

2 3 1 4 5 5 77 4  2 2  3  33 2   53 2  3 2  93 2  3 2    9  3 2   3 2 3 4 3 4 4 12 3

Ejercicio 16. Agrupa los siguientes radicales:

 25 1 32 x  5 243x  0,35 1024 x . 7 2

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