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Texto para el Estudiante

Matemรกtica

ยบ 5

Bรกsico

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Copyright © 2009 by Harcourt, Inc. © 2013 de esta edición Galileo Libros Ltda. Todos los derechos reservados. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida o transmitida en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea electrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de información sin el permiso por escrito del editor. Las solicitudes de permiso para hacer copias de cualquier parte de la obra deberán dirigirse al centro de Permisos y derechos de autor, Harcourt, Inc., 6277 Sea Harbor Drive, Orlando, Florida 32887-6777. HARCOURT y el logotipo son marcas comerciales de Harcourt Harcourt, Inc., registradas en los Estados Unidos de América y / o en otras jurisdicciones.

Versión original Mathematics Content Standards for California Public Schools reproduced by permission, California Department of Education, CDE Press, 1430 N Street, Suite 3207, Sacramento, CA 95814 Nº de Registro ISBN: 978-956-8155-06-3 Edición especial para el Ministerio de Educación Prohibida su comercialización.

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Créditos

Este libro ha sido realizado por autores profesores de varias universidades y college de los Estados Unidos de América y adaptado al Curriculum Nacional de Chile por el equipo pedagógico de Galileo Libros. Director del programa: Richard Askey, Profesor emérito de matemáticas de la Universidad de Wiscosin. Coordinadores: Evan M. Maletsky , Joyce McLeod. Autores colaboradores: Angela G. Andrews, Juli K. Dixon, Karen S. Norwood, Tom Roby, Janet K Scheer, Jennie M. Bennett, Linda Luckie, Vicki Newman, Robin C. Scarcella, David G. Wright. Supervisores: Russell Gersten, Michael DiSpezio, Tyrone Howard, Lidya Song, Rebecca Valbuena. La adaptación ha sido llevada a cabo por Galileo Libros Coordinador: Rodrigo Vásquez A. Gerente de División Escolar. Adaptadores: Paola Rocamora Silva Profesora de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile. Marco Riquelme Alcaide Profesor de Matemáticas del Programa de Educación Continua para el Magisterio. Universidad de Chile Victoria Ainardi Tamarín Profesora de Matemáticas por la Universidad de Concepción. Vilma Aldunate Díaz Profesora de Educación General Básica. Universidad de Chile Pamela Falconi Salvatierra Profesora de Educación General Básica. Pontificia Universidad Católica de Chile Jorge Chala Reyes Profesor de Educación General Básica. Universidad de Las Américas Equipo Técnico: Coordinación: Job López Góngora Diseñadores: Gabriel Aiquel Nicolás Roldán David Silva Nikolás Santis

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Índice Unidad

1

Números enteros y decimales

CAPÍTULO

1

Valor posicional suma y resta Muestra lo que sabes

2

3

Lección 1 Valor posicional hasta los mil millones .......................... 4 Lección 2 Comparar y ordenar números enteros ............................ 8 Lección 3 Redondear números enteros .................................................

12

Lección 4 Estimar sumas y diferencias...................................................

14

Lección 5 Sumar y restar números enteros..........................................

16

Lección 6 Cálculo Mental: Suma y resta ...............................................

20

Álgebra Expresiones de suma y resta ..........................

22

Lección 8 Taller de resolución de problemas. Estrategia: buscar un patrón ...............................................

26

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Otras maneras de sumar y restar Comprensión de los aprendizajes

30 32 33 34

Multiplicar números enteros

36

Lección 7

CAPÍTULO

2

Muestra lo que sabes

37

Lección 1 Cálculo Mental: Patrones en los múltiplos..................... 38 Lección 2 Estimar productos......................................................................... Lección 3

40

Manos a la obra: La propiedad distributiva....... 42

Lección 4 Multiplicar por números de 1 dígito.................................... 44 Lección 5 Multiplicar por números de 2 dígitos................................. 48 Lección 6 Practicar la multiplicación........................................................ 50 Lección 7 Taller de resolución de problemas. Estrategia: predecir y probar ................................................

52

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Propiedad distributiva Comprensión de los aprendizajes

56 58 59 60

IV

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CAPÍTULO

3

62

Matemática en Contexto

63

Lección 1 Estimar con divisores de 1 dígito........................................

64

Lección 2 Dividir entre divisores de 1 dígito........................................

66

Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

Álgebra Patrones de división..............................................

70

Lección 4 Dividir con residuos o restos.................................................

72

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos Muestra lo que sabes

Lección 3

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 3, 37, 63, 91

Lección 5 Manos a la obra: Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito........................................................................ 74 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Destreza: interpretar el resto..................................................

76

Almanaque para estudiantes

Lección 7 Dividir números de 3 dígitos por números de 1 dígito usando dinero.........................................................

78

Resolución de problemas. . . . . . . 114

Lección 8 Ceros en la división......................................................................

82

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Dividir entre 12

86 88 89

CAPÍTULO

4

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división Muestra lo que sabes

90

91

Lección 1 Propiedades de la multiplicación 92 Lección 2 Manos a la obra: Prevalencia de las operaciones.............................................................................. 96 Lección 3 Expresiones entre paréntesis................................................ 98 Lección 4 Escribir y evaluar expresiones.............................................. 102 Lección 5 Patrones: Hallar una regla........................................................ 106

Práctica adicional Práctica con un juego: Conexión entre ecuaciones Repaso / Prueba Enriquecimiento : Predecir patrones Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. La Colonización

108 109 110 111 112 114

V

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Unidad

2

Números y conceptos de fracciones

CAPÍTULO

5

Conceptos de fracciones Muestra lo que sabes

118 119

Lección 1 Fracciones equivalentes............................................................ 120 Lección 2 Fracciones irreductibles............................................................ 122 Lección 3 Comprender números mixtos................................................. 126 Lección 4 Comparar y ordenar fracciones y números mixtos. 128 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer un modelo................................................... 132 Lección 6 Relacionar fracciones y decimales..................................... 136 Lección 7 Usar una recta numérica........................................................... 138

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Despejar incógnitas Comprensión de los Aprendizajes

140 142 143 144

Uni

3

CAPÍTULO

6

Sumar y restar fracciones semejantes 146 Muestra lo que sabes

147

Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma y la resta.............................................................................................. 148 Lección 2 Sumar y restar fracciones semejantes............................. 150 Lección 3 Sumar y restar números mixtos semejantes................ 152 Lección 4 Restar haciendo conversiones.............................................. 156 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Estrategia: Trabajar desde el final hasta el principio....

158

Práctica adicional 162 Práctica con un juego. Elige un par 163 Repaso / Prueba 164 Enriquecimiento. Patrones de fracciones 165 Comprensión de los Aprendizajes 166

VI

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CAPÍTULO

7

Sumar y restar fracciones no semejantes Muestra lo que sabes

168

Matemática en Contexto

169

Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

Lección 1 Manos a la obra: Representar la suma de fracciones no semejante........................................................... 170 Lección 2 Manos a la obra: Representar la resta de fracciones no semejantes........................................................ 172 Lección 3 Estimar sumas y diferencias.................................................. 174

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 119, 147, 169

Lección 4 Usar denominadores comunes............................................. 176 Lección 5 Sumar y restar fracciones........................................................ 180 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Estrategia: comparar estrategias......................................... 182

Práctica adicional Práctica con un juego. ¿Cuál es la diferencia? Repaso / Prueba Enriquecimiento. Suma y resta de fracciones Comprensión de los Aprendizajes Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. Música, música, música

Unidad

3

CAPÍTULO

8

184 187 186 187 188 190 192

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . . . . . 192

Operaciones decimales

Valor posicional: Comprender los decimales Muestra lo que sabes

196 197

Lección 1 Valor posicional de los decimales....................................... 198 Lección 2

Manos a la obra: Representar milésimas........... 200

Lección 3 Decimales equivalentes............................................................. 202 Lección 4 Cambiar a décimas y a centésimas.................................... 204 Lección 5 Comparar y ordenar decimales............................................. 206 Lección 6 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer un diagrama.............................................. 208

Práctica adicional Práctica con un juego. Desafío decimal Repaso Prueba Enriquecimiento. Diez milésimas Comprensión de los Aprendizajes

212 213 214 215 216

VII

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CAPÍTULO

9

Sumar y restar decimales Muestra lo que sabes

218 119

Lección 1 Redondear decimales.................................................................. 220 Lección 2 Sumar y restar decimales......................................................... 222 Lección 3 Estimar sumas y diferencias................................................... 226 Lección 4 Cálculo Mental: Sumar y restar............................................. 228 Lección 5 Taller de resolución de problemas. Destreza: estimar o hallar una respuesta exacta....... 230

Práctica adicional Práctica con un juego. Recorre la pista Repaso / Prueba de Capítulo Enriquecimiento. Las propiedades de la suma y los decimales Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas. Los Juegos Olímpicos

Geometría y medición

Unidad

4

232 233 234 235 236 238

 

CAPÍTULO

10

Geometría y el plano cartesiano Muestra lo que sabes

242 243

Lección 1

Álgebra Hacer gráficos de pares ordenados............. 244

Lección 2

Álgebra Hacer gráficos ......................................................... 246

Lección 3 Taller de resolución de problemas. Destreza: información relevante o irrelevante............. 248 Lección 4

Manos a la obra: Figuras congruentes................ 250

Lección 5 Rotación ............................................................................................. 252 Lección 6 Simetría .............................................................................................. 254 Lección 7 Traslación .......................................................................................... 258

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hacer gráficos de ecuaciones Comprensión de los Aprendizajes

260 262 263 264

VIII

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CAPÍTULO

11

Medición y perímetro 266 Muestra lo que sabes.................................................................................. 267 Lección 1 Medidas métricas........................................................................... 268 Lección 2 Longitud.............................................................................................. 272 Lección 3

Manos a la obra: Estimar el perímetro................. 276

Lección 4 Hallar el perímetro......................................................................... 278 Lección 5

Álgebra Fórmulas del perímetro...................................... 280

Lección 6

Álgebra Usar las fórmulas del perímetro..................... 282

Lección 7 Taller de resolución de problemas. Destreza: hacer generalizaciones ...................................... 284

Práctica adicional Práctica con un juego. La vuelta a la manzana Repaso / Prueba Enriquecimiento. Gráficos de red Comprensión de los Aprendizajes

CAPÍTULO

12

286 287 288 289 290

Área

292

Muestra lo que sabes

293

Matemática en Contexto Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 197, 243, 267 293

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . 238, 320

Lección 1 Estimar el área................................................................................. 294 Lección 2

Álgebra Área de los rectángulos ..................................... 296

Lección 3

Álgebra Relacionar el perímetro y el área................... 300

Lección 4 Taller de resolución de problemas.

Estrategia: comparar estrategias......................................... 304

Lección 5 Manos a la obra: Representar el área de los triángulos................................................................................... 306 Lección 6

Álgebra Área de los triángulos......................................... 308

Lección 7

Álgebra Área de los paralelogramos ........................... 310

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hallar el área Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de Problemas. Juegos de agua

314 316 317 318 320

IX

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Unidad

5

Datos y gráficos (Probabilidades)  

CAPÍTULO

13

Analizar datos 324 Muestra lo que sabes

325

Lección 1 Reunir y organizar datos........................................................... 326 Lección 2 Hallar la media (promedio)....................................................... 330 Lección 3 Comparar datos.............................................................................. 332 Lección 4 Analizar gráficos............................................................................. 334

CAPÍTULO

14

Práctica adicional Repaso / Prueba Enriquecimiento. Gráficos confusos

338 340 341

Mostrar e Interpretar datos

342

Muestra lo que sabes

343

Lección 1 Hacer histogramas........................................................................ 344 Lección 2 Hacer diagramas de tallo y hojas......................................... 346 Lección 3 Hacer gráficos de líneas............................................................ 348 Lección 4 Taller de resolución de problemas. Destreza: Sacar conclusiones............................................... 352 Lección 5 Elegir el gráfico adecuado........................................................ 354

Práctica adicional Práctica con un juego. Lanzamientos Repaso / Prueba Enriquecimiento. Relaciones en los gráficos Comprensión de los Aprendizajes

358 359 360 361 362

X

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CAPÍTULO

15

Probabilidad Muestra lo que sabes

364 365

Lección 1 Manos a la obra: Hacer una lista de todos los resultados posibles............................................... 366 Lección 2 Taller de resolución de problemas. Estrategia: hacer una lista organizada............................. 368 Lección 3 Hacer predicciones....................................................................... 372

Matemática en Contexto Fotografías comentadas sobre un hecho de la vida o de la sociedad al cual se le aplica la matemática

ENRIQUECE TU VOCABULARIO 325, 343, 365

Lección 4 Probabilidad como una fracción.......................................... 376 Lección 5

Manos a la obra: Probabilidad experimental.... 380

Práctica adicional Práctica con un juego. Es probable, no es probable Repaso / Prueba Enriquecimiento. Hacer predicciones Repaso / Prueba de la Unidad Resolución de problemas

382 383 384 385 386 388

Glosario

390

..................................................................................................................

Almanaque para estudiantes Resolución de problemas. . . . . . . 388

Bibliografía .............................................................................................................. 400

XI

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Estructura del texto

Este libro matemática para 5º Básico se compone de 5 Unidades didácticas, que responden cada una, respectivamente, a los 4 Ejes temáticos del currículum (Números y operaciones, Patrones y álgebra, Geometría y medición, Datos y probabilidades). Cada Unidad didáctica se divide en diversos Capítulos, y estos, a su vez, en Lecciones.

Inicio de Unidad: Esta doble página pretende que el estudiante se identifique, en unas, con fenómenos de la naturaleza, con acontecimientos de la vida y, en otras, con acciones de sus propias vivencias.

1

Números enteros y decimales

Enriquece tu vocabulario: incluye tres apartados permanentes: , , Monitorea conocimientos previos y proyección de conocimientos.

Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro?

p En el centro de atención, los

empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.

REPASO DEL VOCABULARIO Aprendiste las siguientes palabras cuando aprendiste las operaciones con números enteros y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? coma decimal signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal producto la respuesta a un problema de multiplicación cociente el número, sin incluir el residuo, que resulta de la división

p Piezas medidas con precisión en

milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

MULTIPLICACIÓN signo

x

números multiplicados factores

respuesta

DIVISIÓN signo

número dividido

número dividido entre

respuesta

p Las diferentes partes se mueven en

una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

Capítulo 1

1

MATEMÁTICA EN CONTEXTO, es una pequeña sección que muestra cómo el aprendizaje de la matemática es útil para la vida, la ciencia, el desarrollo y la tecnología.

XII

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CAPÍTULO Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 11.

Medición y perímetro

11

La idea importante

Halla el perímetro de cada figura. 1.

2.

6.

3.

7.

13 km

8.

8m

11 km

4.

9.

4m

5.

10.

6 cm

3m 9m

Investiga: Pequeña actividad relacionada con diversos aspectos de la vida y la sociedad.

Muestra lo que sabes: Monitorea prerrequisitos de aprendizaje.

u Perímetro: contar unidades

Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir usando unidades métricas y unidades usuales.

19 cm 10 cm

6 cm

u Elegir la unidad apropiada

Investiga

Elige la unidad usual apropiada. 9. altura de una habitación

Imagina que eres un arqueólogo que trabaja en una excavación en el Valle de la Luna. Marcas el contorno de un área rectangular de 5 metros por 15 metros usando una cuerda. Muestra y describe otras tres figuras planas que se puedan hacer con la misma cantidad de cuerda.

10. longitud de tu dedo

centímetros o metros

milímetros o centímetros

11. ancho de una cancha de fútbol

metros o kilómetros o decimetros

Elige la unidad métrica apropiada. 12. longitud de tu escritorio

13. distancia recorrida en

centímetros o metros o decimetros

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

Chile

Figuras planas

fórmula perímetro polígono prisma rectangular

DATO BREVE

cuadrado triángulo

A 13 kilómetros al Oeste de San Pedro de Atacama, perteneciente a la región de Antofagasta, se encuentra ubicado el Valle de la Luna, llamado así por su extraña apariencia lunar.

paralelogramo trapecio

bicicleta en 1 hora metros o kilómetros

14. ancho de una habitación

centímetros o metros o decimetros

PREPARACIÓN

perímetro la medida del contorno de una figura plana cerrada polígono una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos fórmula un conjunto de símbolos que expresan una regla matemática prisma rectangular un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos

266

Capítulo 11

CHILE. DATO BREVE: El tema de INVESTIGA, sirve para extraer una nota breve de contenido local-nacional que contribuye a acercar el aprendizaje.

267

Enriquece tu vocabulario: Pequeña sección centrada en el vocabulario.

LE C C

La Lección: N IÓ

1

Repaso rápido

Valor posicional hasta los mil millones

Escribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado.

OBJETIVO: Leer y escribir números enteros hasta mil millones.

Aprende

1. 336

2. 1 230

3. 1 580

4. 3 975

Patrones de valor posicional A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10. Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila?

5. 8 627

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Usa una tabla de valor posicional.

Paso Escribe los números en una tabla de valor posicional.

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $5.

Mil millones

Miles

Millones

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

0

310

0

310

0

310

0

0

0

1

0

0

310

Paso Aproximadamente 1 000 monedas de $5 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $5 podrían llenar media cancha de basquetbol hasta una altura de 3 metros.

Aproximadamente 1 000 000 monedas de $5 podrían llenar la maleta de un auto.

Cuenta el número de lugares de cada cifra. 1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 100 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Usa patrones de valor posicional.

Ejemplo ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? Millones Centenas

Decenas

Miles

Unidades

1 000 000

1 millón

1 3 1 000 000

1 000 000

10 centenas de mil

10 3 100 000

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

1 000 000

100 decenas de mil

100 3 10 000

3

2

0

5

0

0

0

1 000 000

1 000 unidades de mil

1 000 3 1 000

3 x 1 000 000

2 x 100 000

0 x 10 000

5 x 1 000

0 x 100

0 x 10

0x1

1 000 000

10 000 centenas

10 000 3 100

3 000 000

200 000

0

5 000

0

0

0

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. •   ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000?

ADVERTENCIA

Lección de doble página, que finaliza con actividad de evaluación/comprensión.

Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. •   Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000?  ¿Y 900 000?

Recuerda que cuando

Un número se puede escribir en forma normal, en palabras o en forma desarrollada. Forma normal: 181 260 000 En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil Forma desarrollada: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

4

ADVERTENCIAescribes un número en ADVERTENCIAforma desarrollada, no necesitas escribir los valores que tienen el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma desarrollada: 300 1 5

Práctica con supervisión 1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4? Mil millones

Millones

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

7

5

2

4

9

1

0

5

0

Capítulo 1

5

XIII

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Poder Matemático: Esta sección refuerza el razonamiento matemático y la conexión con otras áreas. PODER MATEMÁTICO: Resolución de problemas de razonamiento.

38. ¿Cuál es el error? Pedro escribió el número

39.

cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro.

PODER MATEMÁTICO. Resolución de problemas: Conexión con las Ciencias o las Artes... (o con otras áreas).

Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10. 10 870; 180 700; 1 087 000

Comprensión de los Aprendizajes 40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de

colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan? 41. El árbitro lanza al aire una moneda de $100

para decidir qué equipo de fútbol patea primero. ¿Cuál es la posibilidad de sacar sello? 42. Preparación para la prueba ¿Cuál es el valor

del dígito subrayado en 348 912 605?

12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo?

32. Álgebra Razonamiento Escribe una expresión

33.

para el patrón. Luego usa la expresión para hallar el número siguiente del patrón.

44. Preparación para la prueba En el número

875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón?

Elena compró una camisa por $6 800. Ahorró c dólares comprándola en oferta. Explica qué representa la expresión 6 800 2 c.

5, 13, 21, 29, 

A 8

Comprensión de los Aprendizajes

B 7

A 800 000 000

C 8 000 000

C 9

B 80 000 000

D 800 000

D 1

34. Una tienda vendió 813 juegos el lunes,

1 022 juegos el martes y 1 270 juegos el miércoles. ¿Cuántos juegos vendió la tienda en 3 días?

43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en

35. Preparación para la prueba Joaquín tenía 80

discos compactos. Intercambió 20 por 15 nuevos. ¿Qué expresión muestra la cantidad de discos compactos que tiene ahora? PERCEPCIÓN NUMÉRICA En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9.

A 80 2 20 1 15

C 80 2 20

B 80 1 20 2 15

D 20 2 15

36. Preparación para la prueba ¿Cuál de las

opciones muestra una manera de escribir la expresión r 1 68 en palabras? A 68 más que un número B 68 menos que un número C un número menos que 68 D un número con una reducción de 68 37. Cada compartimento de la montaña rusa

Superman, costó aproximadamente veinte millones de pesos. Escribe este número en forma normal.

Base 10 Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil 7

2

0

0

5

El sistema de base 2, programado en las computadoras, usa solo los dígitos 0 y 1.

¿Por qué los planetas siguen una órbita más o menos circular? Se debe a la atracción gravitacional entre la masa de cada planeta y la masa del Sol. Esta fuerza de atracción entre los planetas y el Sol mantiene los planetas en su órbita.

Ejemplo ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2? Base 2 Treinta y dos Dieciséis Ochos Cuatros Dos Unos 1

0

1

Cada planeta tiene una fuerza gravitacional diferente. Cuanto mayor es la atracción gravitacional del planeta, mayor sería tu peso en la superficie de ese planeta.

(4 3 1) 1 (2 3 0) 1 (1 3 1) ← Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla. 4 1 0 1 1 ← Suma para hallar el valor de base 10. 5 O sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10.

Ejemplo Escribe una expresión numérica y halla

2. 1010

Planeta

Peso (en kg)

Mercurio Tierra

38 100

Venus

91

Júpiter

235

el valor. Luego nombra el planeta descrito.

Halla el valor de base 10 de cada número de base 2. 1. 110

Peso en los distintos planetas

3. 111

Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso sería 9 kg menor en este planeta.

4. 1011

Capítulo 1

7

100 2 9 ← expresión numérica 91 ← valor Por lo tanto, pesaría 91 kg en Venus. 1. Si pesas 38 kg en Mercurio, tu peso sería 62 kg mayor en este planeta. 2. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso en este planeta sería igual a la suma de 91 y 144. 3. Si un cuerpo pesa 91 kg en Venus, su peso disminuiría en 53 kg en este planeta.

LE C C

Capítulo 1

25

N IÓ

8

Estrategia: Buscar un patrón OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón.

Aprende la estrategia Estamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas.

Un patrón puede tener números. María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María? La regla para el patrón es restar 2.

Un patrón puede repetirse. Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora. ¿Qué figura pintará Gino a continuación? ¿Cuál es el patrón?

TALLER. Esta sección, presente en algunos capítulos, trabaja directamente los procedimientos necesarios para el estudio de la matemática.

Un patrón puede crecer. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos?

Describe algunos otros patrones que hayas visto.

26

XIV

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24-01-13 10:23


Cierre del capítulo Repaso/Prueba del Capítulo 1

Después de la conclusión de las Lecciones que discurren dentro de un Capítulo se presenta el cierre del capítulo, mediante la realización de varias páginas de actividades:

Comprueba el vocabulario y los conceptos

VOCABULARIO

Elige el mejor término del recuadro.

sobrestimación

? . 1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10 — ? es una letra o un símbolo que representa uno o más números. 2. Una —

dígitos subestimación

?. 3. Una estimación que es menor que la respuesta real se llama —

variable

Comprueba tus destrezas

La vuelta a la manzana

Práctica adicional Grupo A

4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos 5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3 6. 560 034 107

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 24 404 485

2. 14 030 315

3. 1 084 303 220

4. 9 204 503 661

5. 14 336 872

6. 16 603 582 495

Escribe los números de otras dos formas. 7. 300 000160 00015 000180017019

8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015

9. seis mil ocho millones noventa

10. dos mil treinta y siete millones

y siete mil trescientos cuatro

catorce mil noventa y siete

11. 4 061 002

Grupo B

Escribe cada número de otras dos formas.

7. 489 384  894 384

¡Caminantes!

10. 67 339

• fichas de 2 colores diferentes • flecha giratoria con 3 secciones rotuladas del 1 al 3 • papel cuadriculado

19. 19 1 k si k 5 7

4. 54 304 125  45 304 125

5. 823 158  823 158

6. 693 103 430  693 103 340

7. El año pasado, asistieron 37 884 personas

8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego.

2. 761 584 204

3. 11 586 988

4. 6 393 958

5. 26 591 000

6. 4 192 295

¡A caminar!

7. 899 992

8. 1 999 204

9. 64 023 111

Cada jugador elige una ficha de un color diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores hacen girar la flecha giratoria y mueven su ficha el número de espacios indicado.

Estima la suma o la diferencia. 19 592 + 43 596

3.

6.

693 932 + 529 000

7.

75 293 – 9 501 266 749 – 135 699

4.

64 381 – 12 944

8.

699 083 + 74 999

Cada cuadrado contiene un perímetro. El jugador 1 traza la mayor cantidad de rectángulos posibles con ese perímetro sobre papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar en unidades enteras.

El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo trazado. Cada rectángulo congruente cuenta como un solo punto. Por ejemplo, por un rectángulo de 3 3 4 y un rectángulo de 4 3 3 se anota 1 punto solamente.

Después de que cada jugador haya dado una vuelta a la manzana, gana el que haya acumulado el mayor número de puntos.

Capítulo 11

Cierre de Unidad El final de la unidad se caracteriza por el trabajo con dos dobles páginas.

Repaso/Prueba de la unidad Capítulo 4

5. Los vendedores de Autos Usados Baratos

1. Rosa escribió la ecuación y 5 500  k como la

regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros?

vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día?

A 4

C 12

B 8

D 24

A $1 500 B $2 500

6. La familia Ortiz compró tres batidos de leche.

La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortiz?

C $3 000 D $4 500

2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

verdadero este enunciado numérico?

68544j A 6

C 3

B 4

D 2

3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m

representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano?

Helados

Fichas

1 bola 2 bolas Sundae Batido de Leche

2 3 4 3

A (3  2) 1 4  (3  3) B (3  2) 1 (4  4) 1 (3  3) C (3  2 1 4)  (4  3)  3

A m2

D (3  2) 1 (4  4)  (3  3)

B m12

Se trata de dos dobles páginas: Repaso/Prueba de la Unidad (con explicitación de los capítulos que incluye): Evalúa los conocimientos globales adquiridos. Y en algunos casos comprende un eje temático completo.

287

De Aquí y de Allá

E

verdadero este enunciado numérico? j

A 50

1 5 5 21 1 9

B 20

A 35 C 6

D 4

D 10

esta unidad de patrón: 3 cuentas rojas, 2 cuentas rosadas y 1 cuenta blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas cuentas rosadas habrá usado?

ARA ESTUDIANTES NAQUE P

¡La colonización!

Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena

inmigraciones europeas más importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para asentarse en esas frías tierra.

B 25

C 10

24. Rosa está haciendo una pulsera de cuentas con

n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) Lista de provisiones (para una persona) y se convirtió en una de las

t 5 8?

48  (t 1 4)  5

22. x 2 28 si x 5 91

Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación.

ALMA

Resolución de Problemas

7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si

3 941 042 – 2 953 161

Almanaque para estudiantes. Se trata de una sección de contenido cultural, tecnológico, científico o de contenido de ocio que sirve para comprender una aplicación matemática, problemas basados en datos. La temática del mundo real es local, regional, nacional o internacional. Sirve para cerrar la unidad.

C m2 D m2

18.

Se trata ejercicios de refuerzo: Repaso/Prueba de Capítulo, en algunos casos comprende un eje temático completo.

El jugador 2 hace girar la flecha y el juego continúa.

30

Opción múltiple

13. 770 641 785

32

1. 63 494 506

2.

4 583 100 + 3 902 145

21. 76 2 a si a 5 22

una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas? 25.

314 992 – 275 841

20. d 2 9 si d 5 44

23. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

321 + 652

17.

Resuelve.

Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos?

5.

76 941 497  76 941 497

Comprueba la resolución de problemas

3. 13 114 591  13 114 951

1.

9.

12. 623 971 764

Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 824 377 89 044 600 921 14. 15. 16. – 799 562 + 73 491 – 321 650

12. 80 046 300

2. 2 401 393  2 104 933

Grupo D

11. 6 891 543

Halla el valor de cada expresión.

1. 62 023  63 032

Grupo C

920 090  902 900

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

¡Equipo!

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada .

a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis?

8.

2 jugadores

4 kg de café 1 kg de té 10 kg de harina de maíz

6 kg de tocino 3 kg de vegetales 20 kg de azúcar

112

sa la lista de provisiones para responder a las preguntas. U 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3 ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4 En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días?

5

Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes.

114

XV

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24-01-13 10:23


1

Libro 5.indb 2

NĂşmeros enteros y decimales

24-01-13 10:07


Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes comparar dos partes que tienen menos de una centésima de metro?

REPASO DEL VOCABULARIO  Aprendiste las siguientes p En el centro de atención, los

empleados reciben aproximadamente 2 000 000 de órdenes personalizadas de sistemas de computación por año.

palabras cuando aprendiste las operaciones con números enteros y decimales. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

coma decimal signo usado para separar el lugar de las unidades y el lugar de las décimas en un decimal producto la respuesta a un problema de multiplicación cociente el número, sin incluir el residuo, que resulta de la división

p Piezas medidas con precisión en

milésimas de centímetro se desplazan a lo largo de sistemas transportadores en el edificio de montaje.

Copia y completa un diagrama como el siguiente. Usa lo que sabes acerca de la multiplicación y la división para completar las respuestas.

MULTIPLICACIÓN signo

x

números multiplicados factores

respuesta

DIVISIÓN signo

número dividido

número dividido entre

respuesta

p Las diferentes partes se mueven en

una cinta transportadora hacia el lugar donde se separan y se envían a diferentes áreas de embalaje.

Capítulo 1 1

Libro 5.indb 1

24-01-13 10:07


1

Valor posicional, suma y resta La idea importante 

La posición de un dígito determina su valor; la suma y resta de números de varias cifras se basa en operaciones básicas y en los conceptos de base diez y de valor posicional.

Investiga Elige tres parques de la tabla que te gustaría visitar. Escribe sus áreas de menor a mayor número. ¿Cuánto mayor es el área del parque más grande que elegiste con relación al área del parque más pequeño?

Parques nacionales de Chile Nombre Archipiélago de Juan Fernández Bernardo O’Higgins

Tamaño (en hectáreas) 9 571 3 525 901

Torres del Paine

227 298

Vicente Pérez Rosales

253 789

Lauca

137 883

Chile

DATO BREVE

En Chile existen más de 100 áreas naturales protegidas, que garantizan la permanencia de la riqueza natural. Estas áreas se distribuyen en Parques Nacionales, Reservas Nacionales y Monumentos Naturales.

2

Libro 5.indb 2

24-01-13 10:07


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito en el Capítulo 1.

u Valor posicional hasta las centenas de mil Escribe el valor del dígito subrayado.

1. 328 406

2. 419 003

3. 16 297

4. 152 419

5. 456 107

6. 9 342

7. 204 593

8. 38 452

u Redondea hasta los miles Redondea cada número a la unidad de mil más cercana.

9. 837

13. 4 810

10. 6 409

11. 13 526

12. 70 143

14. 238 456

15. 42 718

16. 354 630

u Suma y resta hasta números de 4 dígitos Halla la suma o la diferencia. 17.

258 + 437

18.

984 – 562

19.

739 – 271

20.

3 926 + 1 451

21.

4 025 + 2 933

22.

8 059 – 5 426

23.

1 294 + 638

24.

9 162 – 2 543

25. 67 1 45 1 83

26. 134 1 72 1 250

27. 563 2 209

28. 7 652 – 3 114

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

expresión algebraica Propiedad asociativa   de la suma Mil millones Propiedad conmutativa   de la suma compensación diferencia estimación

operaciones inversas millones expresión numérica sobrestimación período redondear suma o total variable

PREPARACIÓN

mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000 estimación número que se aproxima a una cantidad exacta sobrestimación estimación que es mayor que la respuesta exacta

Capítulo 1  3

Libro 5.indb 3

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LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Valor posicional hasta los mil millones

Escribe el número que es 1 000 veces mayor que el número dado.

OBJETIVO: Leer y escribir números enteros hasta mil millones.

Aprende

1. 336

2.  1 230

3.  1 580

4.  3 975

5.  8 627

PROBLEMA Imagina mil millones de monedas de $5. ¿Cuánto espacio ocuparían? Mil millones son 1 000 000 000.

Observa las ilustraciones para darte una idea del tamaño de mil millones de monedas de $5.

Aproximadamente 1 000 monedas de $5 podrían llenar un florero pequeño.

Aproximadamente 1 000 000 000 de monedas de $5 podrían llenar media cancha de basquetbol hasta una altura de 3 metros.

Aproximadamente 1 000 000 monedas de $5 podrían llenar la maleta de un auto.

Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de un dígito.

Ejemplo  ¿Cuál es el valor del dígito 2 en 3 205 000? Millones Centenas

Decenas

Miles

Unidades

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

Centenas

Decenas

Unidades

3

2

0

5

0

0

0

3 x 1 000 000

2 x 100 000

0 x 10 000

5 x 1 000

0 x 100

0 x 10

0x1

3 000 000

200 000

0

5 000

0

0

0

El dígito 2 está en el lugar de los cien mil; por lo tanto, su valor es de 200 000. •  ¿Cuál es el valor del dígito 5 en 3 205 000?

ADVERTENCIA Recuerda que cuando

Un número se puede escribir en forma normal, en palabras o en forma desarrollada. Forma normal: 181 260 000 En palabras: ciento ochenta y un millones doscientos sesenta mil Forma desarrollada: 100 000 000 1 80 000 000 1 1 000 000 1 200 000 1 60 000

ADVERTENCIAescribes un número en ADVERTENCIAforma desarrollada, no necesitas escribir los valores que tiene el dígito 0. Ejemplo: 305 Forma desarrollada: 300 1 5

4

Libro 5.indb 4

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Patrones de valor posicional A medida que avanzas hacia la izquierda en una tabla de valor posicional, el valor del lugar se multiplica por 10. Imagina que tienes 1 000 000 de monedas de $1. ¿Cuántas pilas podrías formar si pusieras 100 monedas en cada pila? Usa una tabla de valor posicional.

Paso Escribe los números en una tabla de valor posicional. Mil millones

Miles

Millones

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

0

310

0

310

0

310

0

0

0

1

0

0

310

Paso Cuenta el número de lugares de cada cifra. 1 000 000 → 4 lugares más a la izquierda de 100 10 3 10 3 10 3 10 5 10 000 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100.

Por lo tanto, podrías formar 10 000 pilas de 100 monedas de $ 1 cada una. Usa patrones de valor posicional. 1 000 000

1 millón

1 3 1 000 000

1 000 000

10 centenas de mil

10 3 100 000

1 000 000

100 decenas de mil

100 3 10 000

1 000 000

1 000 unidades de mil

1 000 3 1 000

1 000 000

10 000 centenas

10 000 3 100

Por lo tanto, 1 000 000 es 10 000 veces mayor que 100. •  Usando el valor posicional, ¿de qué otras maneras se puede expresar 6 000? ¿Y 900 000?

Práctica con supervisión 1. ¿Cómo puedes usar la tabla de valor posicional para hallar el valor del dígito 4? Mil millones

Millones

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 1

7

5

2

4

9

1

0

5

0

Capítulo 1 5

Libro 5.indb 5

24-01-13 10:07


Escribe el valor del dígito subrayado. 2. 1 368 034

3. 101 123 020

4. 687 104 902

5. 243 903 804

Escribe los números de otras dos formas. 6. 200 000 000 1 20 000 000 1 3 000 000 1 30 000 1 500 1 6 7. sesenta mil cuatrocientos

8. 2 910 000

tres millones novecientos seis 9. 807 500 000

10. 1 890 001

12. 4 decenas de mil

13. 37 decenas de mil

14.

11. 3 900 945

¿Cuántas monedas de $5 se ven a la derecha: 1 000 monedas de $5, 1 000 000 de monedas de $5, o 1 000 000 000 de monedas de $5? Explica tu respuesta.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el valor del dígito subrayado. 15. 126 568 657

16. 3 583 007

17. 9 848 012

18. 3 205 772

Escribe los números de otras dos formas. 19. 4 000 000 1 60 000 000 1 5 000 000 1 40 000 1 200 1 8 20. 50 000 000 1 7 000 000 1 9 000 000 1 700 000 1 50 000 21. Ochenta mil trescientos veinte millones cuatrocientos treinta 22. Quinientos cuarenta y cinco mil novecientos noventa y ocho 23. 562 000

24. 7 000 145

25. 12 042 514

26. 5 316 295 000

27. 800 centenas

28. 7 000 decenas

29. 20 decenas

30. 5 decenas de millón

de mil

Álgebra 31.

  de mil

de millón

Escribe el número que falta en cada .

7 000 000 5  3 100

33. 900 000 000 5  3 10

32. 60 000 000 5  3 10 34. 4 000 000 5  3 100

USA DATOS  Para 35–36, usa la tabla. 35. ¿Cómo cambia el peso de las monedas de $5, cuando

se tiene 1 moneda, 10 monedas o 100 monedas? 36. ¿Cuál es el peso de 1 000 monedas de $5?

Explica tu respuesta. 37. Razonamiento  En 1 m hay 100 cm; en 10 m hay

1 000 cm y en 100 m hay 10 000 cm. ¿Cuántos centímetros hay en 1 000 m?

6

Libro 5.indb 6

Peso de una moneda de $5 Cantidad de monedas de $5

Peso (en gramos)

1

2

10

20

100

200

Práctica adicional en la página 30, Grupo A

24-01-13 10:07


38. ¿Cuál es el error?  Pedro escribió el número

39.

cuatro millones trescientos cinco mil como 4 350 000. Describe el error de Pedro.

Explica cuál de los siguientes números no puede ser un producto de multiplicar repetidamente 1 087 por 10. 10 870; 180 700; 1 087 000

Comprensión de los Aprendizajes 12 grupos iguales. ¿Cuántas cuentas tendrá en cada grupo?

40. Juan compró 5 paquetes de tarjetas de

colección. Cada paquete tiene 8 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas de colección compró Juan? 41. El árbitro lanza al aire una moneda de $100

44. Preparación para la prueba  En el número

875 693 214, ¿qué dígito está en el lugar de las decenas de millón?

para decidir qué equipo de fútbol patea primero. ¿Cuál es la posibilidad de sacar sello? 42. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el valor

del dígito subrayado en 348 912 605?

A 8

B 7

A 800 000 000

C 8 000 000

C 9

B 80 000 000

D 800 000

D 1

43. Clara tiene 60 cuentas que quiere separar en

percepción NUMÉRICa  En esta lección aprendiste sobre nuestro sistema de valor posicional, o sea, el sistema de base 10. Este sistema usa los dígitos del 0 al 9. Base 10 Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades de mil de mil de mil 7

2

0

0

5

El sistema de base 2, programado en las computadoras, usa solo los dígitos 0 y 1.

Ejemplo  ¿Qué número de base 10 es equivalente al número 101 de base 2? Base 2 Treinta y dos Dieciséis Ochos Cuatros Dos Unos 1

0

1

(4 3 1) 1 (2 3 0) 1 (1 3 1)    ←    Multiplica cada valor posicional por el dígito 0 o 1 de la tabla. 4 1 0 1 1    ←    Suma para hallar el valor de base 10. 5 O  sea, 101 en el sistema de base 2 es igual a 5 en el sistema de base 10. Halla el valor de base 10 de cada número de base 2. 1. 110

2. 1010

3. 111

4. 1011

Capítulo 1 7

Libro 5.indb 7

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Comparar y ordenar números enteros

Compara. Escribe , , o . 1. 132  140

OBJETIVO: Usar el valor posicional y las rectas numéricas para comparar y ordenar números enteros.

2.  1 541  2 038 3.  17 008  17 008 4.  5 612  5 613

Aprende

5.  62 100  62 001

PROBLEMA  Una investigación bancaria informó acerca del número de monedas en circulación en 2009. ¿Cómo se compara el número de monedas de $5 con el número de monedas de $1?

774 824 000 monedas

707 332 000 monedas

1 346 624 000 monedas

662 228 000 monedas

 Usa el valor posicional para comparar. Empieza por la izquierda. Compara el valor posicional de cada dígito hasta que los dígitos sean diferentes.

Paso

Paso

Compara las centenas de millón.

Compara las decenas de millón.

707 332 000 ↓ 774 824 000

707 332 000 ↓ 774 824 000

iguales

7

.0

Por lo tanto, 774 824 000 . 707 332 000, y 707 332 000 , 774 824 000.

Usa una recta numérica para comparar. Compara 99 638 y 100 204.

Idea matemática

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Por lo tanto, 99 638 , 100 204.

8

Libro 5.indb 8

Práctica adicional en la página 30, Grupo B

24-01-13 10:07


Ordenar números enteros Otra investigación bancaria informó el número de monedas de $1, de $5 y de $10 en circulación en 2011. Ordena de menor a mayor la cantidad de monedas informadas.

123 473 200

127 504 000

138 662 400

Usa el valor posicional.

Paso

Paso

Compara las centenas de millón. 123 473 200 127 504 000 134 662 400  iguales

Paso

Compara las decenas de millón.

Compara los otros dos números en las unidades de millón.

123 473 200 127 504 000 2,3 134 662 400 ← mayores

123 473 200 127 504 000 138 662 400

← menores 3,7

Usa una recta numérica.  Ordena de menor a mayor. 1 002; 1 091; 997

Por lo tanto, 997 , 1 002 , 1 091.

 Ordena de mayor a menor. 2 335 000; 2 381 000; 2 359 000

Por lo tanto, 2 381 000  2 359 000  2 335 000.

Práctica con supervisión 1. Usa una tabla de valor posicional para

comparar los dos números. ¿Cuál es el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes?

Miles

Unidades

Centenas Decenas Unidades Centenas Decenas Unidades 5

4

2

9

0

0

5

4

4

7

2

0

Capítulo 1 9

Libro 5.indb 9

24-01-13 10:07


Compara. Escribe , , o 5 en cada . 2. 32 403  32 304

3. 102 405  102 405

4. 2 306 821  2 310 084

Nombra el lugar de mayor valor posicional, en el cual los dígitos son diferentes. Nombra el número mayor 5. 2 318; 2 328

6. 93 462; 98 205

7. 664 592 031; 664 598 347

Ordena de menor a mayor. 8. 36 615; 36 015; 35 643 11.

9. 5 421; 50 231; 50 713

10. 707 821; 770 821; 700 821

¿Cuál crees que es más fácil usar, el valor posicional o una recta numérica, para comparar y ordenar números? Explica tu elección.

Práctica independiente y resolución de problemas Compara. Escribe , , o 5 en cada . 12. 8 942  8 492

13. 603 506  603 506

14. 7 304 552  7 430 255

15. 1 908 102  1 890 976

16. 530 240  540 230

17. 10 670 210  10 670 201

Ordena de menor a mayor. 18. 503 203; 530 230; 305 320

19. 561 682 500; 561 862 500; 561 628 600

20. 1 092 303; 1 173 303; 1 292 210

21. 97 395; 98 593; 97 359

Ordena de mayor a menor. 22. 85 694; 82 933; 85 600

23. 21 390 208; 21 309 280; 21 309 820

24. 5 505 055; 5 402 987; 5 577 001

25. 696 031; 966 301; 696 103

Álgebra

Halla el dígito que falta para que los enunciados sean verdaderos.

26. 35 938 , 35 9  0 , 35 941 27. 134 862 . 134 8  0 . 134 857

USA DATOS Para 28–29, usa la tabla.

Monedas chilenas de edición especial

28. Al comparar la cantidad de monedas

acuñadas, ¿cuál es el valor posicional mayor, en el cual los dígitos difieren? 29.

Explica cómo se ordenan de menor a mayor las cantidades de monedas acuñadas.

Año

Valor

1991

10 000 pesos plata

5 583

1993

2 000 pesos plata

4 416

2010

50 pesos mal acuñada

3 615

Cantidad de monedas acuñadas

10

Libro 5.indb 10

24-01-13 10:07


Comprensión de los Aprendizajes 30. ¿Cuántos libros se leyeron en total?

33. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el

dígito que falta en el siguiente enunciado?

Biblioteca CRA de quinto básico

46 726 < 46 7  0 < 46 741

Laura

A 0

Paula

B 1

C 2

D 3

34. Preparación para la prueba  ¿Cuál lista

Mario 0

2 4 6 8 10 Cantidad de libros leídos

muestra los números ordenados de mayor a menor?

12

A 8 107 450; 8 071 504; 8 059 631 B 8 059 631; 8 071 504; 8 107 450

31. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado en

15 149?

C 8 071 504; 8 059 631; 8 107 450

32. ¿Qué número hace que el enunciado sea

D 8 107 450; 8 059 631; 8 071 504

verdadero? 2 000 000 5 20 3 

PENSAR VISUALMENTE  Puedes usar una recta numérica para hallar la distancia entre dos puntos. Santiago

0

Pelarco

100

200

Arauco

300

400

500

Purranque

600

700

 Halla la distancia de Pelarco a Arauco.

800

900

1 000

 Halla la distancia de Arauco a Purranque.

Por lo tanto, la distancia es de 310 km.

Por lo tanto, la distancia es de 405 km.

Halla la distancia entre cada par de puntos. A 500

B 600

1. A y B; A y C

C

D

700

800

E

2. D y E; C y D

F 900

G 1 000 3. D y G; C y E

4. A y D; C y F

5. Explica cómo puedes usar la recta numérica para comparar

las distancias entre los puntos B y C, y B y D.

Capítulo 1 11

Libro 5.indb 11

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Redondear números enteros OBJETIVO: Redondear números enteros hasta un valor posicional dado.

Aprende

Di si la cifra está más cerca de 10 000 o de 20 000. 1. 13 579 

2.  18 208 

3. 15 781 

4.  11 627 

5.  19 488

ProblemA  Un periódico informó que 53 855 personas asistieron a un partido de fútbol en el Estadio Nacional. Durante el partido, un comentarista deportivo de TV redondeó ese número a 50 000. ¿Es razonable la estimación del comentarista? ¿Por qué? Redondear un número significa reemplazarlo por un número aproximado. A menudo es más fácil calcular con un número redondeado.

Recuerda

Usa una recta numérica.

En la recta numérica, 53 855 está entre 50 000 y 60 000, pero está más cerca de 50 000. Por lo tanto, la estimación del comentarista deportivo es razonable.

Al redondear, mira el dígito a la derecha del lugar al cual vas a redondear. •  Si ese dígito es 5 o mayor que 5, redondea hacia arriba. •  Si ese dígito es menor que 5, redondea hacia abajo. •  Cambia cada dígito después del lugar redondeado a cero.

Usa el valor posicional.

Redondea 4 835 971 al lugar del dígito subrayado.

 Millón

  Centena de mil

4 835 971

8.5 5 000 000  Redondeo hacia arriba.

4 835 971 redondeado al millón más cercano es 5 000 000.

4 835 971 ↓ 35 4 800 000  Redondeo hacia abajo.

4 835 971 redondeado a la centena de mil más cercana es 4 800 000.

 Decena de mil 4 835 971 ↓ 555 4 840 000  Redondeo hacia arriba.

4 835 971 redondeado a la decena de mil más cercana es 4 840 000.

Práctica con supervisión 1. Usa la recta numérica para redondear

38 778 a la unidad de mil más cercana. 

12

Libro 5.indb 12

24-01-13 10:07


Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 2. 67 348  7.

3. 141 742

4. 8 304 952

5. 12 694 022

6. 36 402 695

Explica por qué redondear 428 024 y 425 510 a la decena de mil más cercana da como resultado el mismo número.

Práctica independiente y resolución de problemas Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 8. 675 345 803 12. 56 469

9. 3 981 13. 24 508 349

10. 26 939 676

11. 500 357 836

14. 792 406 314

15. 276 405 651

Nombra el lugar al que se redondeó cada número. 16. 56 037 a 60 000

17. 919 919 a 900 000

18. 65 308 976 a 65 309 000

Redondea 4 813 726 al lugar que se menciona. 19. millones

20. centenas de mil

21. unidades de mil

22. decenas de mil

USA DATOS Para 23–25, usa la tabla. 23. El total de atenciones a dos servicios de

Atenciones de enfermería de nivel primario. Año 2010

enfermería, redondeado a la decena de mil más cercana, es el mismo. Nombra los dos servicios.

Servicio

24. ¿Cuál es el error?  Roberto dijo que el total de

atenciones en el servicio del Maule, redondeado a la unidad de mil más cercana fue de 413 000. ¿Tiene razón? Si no, ¿cuál es su error? 25.

El número redondeado de la distancia entre dos ciudades es 540 km. ¿Cuáles son el mayor y el menor número que se pueden redondear a 540? Explica tu respuesta.

Total atenciones

Metropolitano Occidente

234 109

Metropolitano Sur

245 807

Metropolitano Sur Oriente

221 383

Del Maule

413 605

Araucanía Sur

233 169

Comprensión de los Aprendizajes 26. Un patio cuadrado mide 8 metros en cada lado.

29. Preparación para la prueba  ¿Qué número

¿Cuál es su perímetro?

redondeado al millón más cercano da 30 000 000?

27. Escribe ,  o 5 para comparar 15 109

y 15 190. 28. La suma de x más y es igual a 21. Si x 5 13,

¿qué ecuación se puede usar para hallar el valor de y?

A 28 065 402

B 29 405 477

C 29 612 300 D 30 755 141

Práctica adicional en la página 30, Grupo C

Libro 5.indb 13

Capítulo 1 13

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Estimar sumas y diferencias

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.

OBJETIVO: Usar el redondeo para estimar sumas y diferencias.

1.  178 902 2. 34 998

Aprende

3.  2 503 499

PROBLEMA ¿Aproximadamente cuántas personas más viven en Brasil que en Perú? Puedes resolver el problema hallando una estimación. Una estimación es un número que se aproxima a una cantidad exacta.

4. 901 694 5.  5 500 000

Vocabulario estimación

subestimación

sobrestimación

Ejemplo 1  Usa el redondeo. Paso Redondea los números al millón más cercano. ​ 1 790 000 → ​40 000 000 4 – 30 000 307 → –​ 30 000 000

Paso

Población de algunos países en 2012

Resta. ​ 0 000 000 4 ​– 30 000 000 10 000 000

Por lo tanto, 10 000 000 de personas más, aproximadamente, viven en Argentina.

País

Población

Argentina

41 790 000

Perú

30 000 307

Ecuador

15 650 000

Ejemplo 2  Usa una sobrestimación y una subestimación. Una sobrestimación es mayor que la respuesta exacta. Una subestimación es menor que la respuesta exacta. Un jugador escolar de fútbol paga $6 717 por uniformes, $5 400 por chaquetas y $3 477 por camisetas. ¿Cuánto gasta el jugador? Halla un rango para hacer la estimación. Para hallar la sobrestimación, redondea hacia arriba. ​      ​ → ​       $  7 000      Redondea hacia arriba. ​     $6 717  → $3 477 $  4 000 ​      ​        ​ ​ → 1 $5 400 1 $  6 000 __ __ $17 000

Para hallar la subestimación, redondea hacia abajo.

Una sobrestimación es $17 000.

Una subestimación es $14 000.

→ ​  Redondea hacia abajo.  ​  ​       $  6 000      ​     $6 717  → $3 477 $  3 000 ​      ​        ​ ​ 1 $5 400 1 $  5 000 → __ __ $14 000

Por lo tanto, la respuesta estará en un rango de $14 000 a $17 000.

Práctica con supervisión 1. Redondea a la decena de mil más cercana.

Luego haz una estimación. 143 209 1 789 324

2. Halla un rango usando una sobrestimación y

una subestimación. 4 529 1 1 523 1 2 773

14

Libro 5.indb 14

24-01-13 10:07


Estima la suma o la diferencia. 3. 4 829 2 2 325

 4. 25 902 1 18 188 1 3 502

5. 312 300 1 429 301

6. 

Observa tu sobrestimación y tu subestimación del Ejercicio 2. ¿Cuál se aproxima más a la respuesta exacta? Explica cómo lo sabes.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima la suma o la diferencia. 7.

349 + 387

8.

24 619 + 45 998

9.

67 209 – 28 584

10.

51 922 + 39 104

11.

506 051 + 237 845

12. 8 793 972 2 4 239 981

13. 6 382 011 1 950 429

14. 488 352 2 290 128

15. 66 207 1 24 914 1 6 937

16. 569 203 123 2 43 192 291

17. 6 204 1 4 589

18. 254 1 746 1 832

19. 3 822 1 7 916

20. 3 491 812 1 4 721 874

21. 6 845 1 1 391

22. 973 1 235

23. 4 357 1 5 891 1 8 622

Halla un rango para estimar la suma.

USA DATOS  Para 24–25, usa la tabla. 24. ¿Aproximadamente cuántas personas más

Asistencia anual de expectadores a partidos de fútbol

asistieron a los partidos en 2011 que en 2009? 25. Halla un rango para estimar la asistencia total de

todos los años. 26.

¿Cuál es la pregunta? José compró dos bicicletas por $270 000 cada una. El impuesto de venta fue más o menos de $15 000 por cada bicicleta. La respuesta es $600 000 aproximadamente.

Años

Asistencia

2011

3 404 686

2010

3 603 680

2009

3 140 781

2008

2 109 298

Comprensión de los Aprendizajes 27. Halla el valor de la expresión. (4 3 3) 1 12 2 8. 28. ¿Cuál es el valor del dígito subrayado

en 452 302? 29. Redondea 45 782 106 a la centena de mil

más cercana.

Práctica adicional en la página 30, Grupo D

Libro 5.indb 15

30. Preparación para la prueba  En una semana,

28 769 personas usaron la tarjeta Bip del Transantiago. Durante la semana siguiente, 35 204 personas usaron la tarjeta. ¿Cuántas personas más, aproximadamente, usaron la tarjeta Bip la segunda semana? A 6 000

C 10 000

B 8 000

D 20 000

Capítulo 1 15

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

5

Sumar y restar números enteros

Repaso rápido

OBJETIVO: Sumar y restar números enteros.

1. $379 1 $298 

Estima la suma o la diferencia.  2.  14 668 2 8 015 

Aprende

3.  $2 359 2 $1 131 

PROBLEMA  Las áreas verdes de una parcela miden 56 804 m . El área edificada en un nivel mide 39 912 m2. Halla el área total de la parcela. 2

4.  74 952 1 3 883  5.  20 141 1 912 1 11 018 

Vocabulario

Ejemplo 1

operaciones inversas

Suma. 56 804 1 39 912 Estima. 60 000 1 40 000 5 100 000 1  ​​1  ​​ 5   ​​ 6 ​  804  ​ ​  ​   Empieza con las unidades.     1 39 912 __ Reagrupa cuando sea 96 716 necesario.

El área total mide 96 716 m2. Ya que se acerca a la estimación de 100 000, es razonable. Una parcela tiene un área de 54 556 m2. Otra parcela contigua, tiene un área de 8 721 m2. ¿Cuánto más grande que la parcela de menor área es la parcela de mayor área?

Ejemplo 2 Resta. 54 556 2 8 721 Estima. 50 000 2 10 000 5 40 000 13  ​​

4  ​​  @ 3    ​​  15  ​ @​ 5   ​ @​ 4      ​ @​ 5 5 ​ Empieza con las unidades.   6    ​ ​      

2   8   7 21 __ 4 5   8 35

Reagrupa cuando sea necesario.

La parcela de mayor área es 45 835 m2 mayor que la de menor área. Ya que 45 835 se acerca a la estimación de 40 000; es razonable. •  Explica el reagrupamiento del Ejemplo 2.

16

Libro 5.indb 16

24-01-13 10:07


Suma y resta números mayores El área de Canadá es de 9 984 670 km2. El área de Brasil es de 8 514 877 km2. ¿Cuánto más grande que el área de Brasil es el área de Canadá?

Ejemplo 3 Puedes calcular la respuesta usando papel y lápiz. Resta. 9 984 670 2 8 514 877 Estima. 10 000 000 2 9 000 000 5 1 000 000 9 984 670 Empieza con las unidades. – 8 514 877 Reagrupa cuando sea 1 469 793

necesario.

Por lo tanto, el área de Canadá es, aproximadamente, 1 469 793 km2 mayor que el área de Brasil. Dado que la respuesta se acerca a la estimación de 1 000 000; es razonable.

Las operaciones inversas son operaciones que se cancelan entre sí. Las relaciones inversas te permiten comprobar la suma por medio de la resta y comprobar la resta por medio de la suma. ¿Cómo compruebas tu respuesta en el ejemplo de arriba?

Práctica con supervisión Copia y completa para hallar la suma o la diferencia. 1.

32 146 + 18 219 065

2.

516 828 – 198 756 102

3.

6 941 + 9 387 12

4.

702 418 – 319 295 312

Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 5.

3 794 + 2 073

10.

6.

54 042 + 21 394

7.

409 232 – 403 243

8.

3 593 209 – 1 254 155

9.

789 039 + 325 155

Explica cómo hallar 92 010 2 61 764. 

Capítulo 1 17

Libro 5.indb 17

24-01-13 10:07


Práctica independiente y resolución de problemas Estima. Luego, halla la suma o la diferencia. 11.

4 596 + 9 293

12.

39 515 + 69 036

13.

109 958 – 102 989

14.

480 084 + 515 765

15.

2 308 027 – 1 456 328

16.

8 023 154 + 731 363

17.

129 993 + 74 875

18.

67 846 – 38 559

19.

1 009 875 – 872 945

20.

6 693 071 2 381 305 + 1 043 829

21. 43 831 1 8 375 1 30 294 22. 4 801 123 2 1 956 627 23. 100 230 2 76 834

  

Álgebra Halla cada uno de los valores que faltan.

24.

 2 2 346 5 9 638

25.

93 010 2  5 61 871 26.  1 197 794 5 200 010

27. Razonamiento  ¿Cómo usas las operaciones inversas para comprobar tus

respuestas a los Ejercicios 24–26? USA DATOS  Para 28–31, usa la tabla. 28. ¿Cuántas hectáreas más de superficie tiene el Parque

Nacional Cabo de Hornos que el Parque Nacional Bosque Fray Jorge?

Parque Nacional

29. ¿Cuál es la superficie total de los Parques Nacionales

presentados? 30. Halla la superficie del Parque Nacional Tolhuaca si la

superficie del Parque Nacional Laguna del Laja es 5 126 Ha mayor que él. 31.

Datos sobre algunos Parque Nacionales Superficie (Ha)

Cabo de Hornos

63 093

Laguna del Laja

11 600

Bosque Fray Jorge

9 959

Nahuelbuta

6 832

Huerquehue

12 500

¿Cuál es la pregunta?  Paula y Alejandro compararon la superficie de dos parques nacionales. La respuesta es 51 493 Ha.

Comprensión de los Aprendizajes 32. ¿Cuánto es 409 537 redondeado a la unidad

de mil más cercana?

verdadero? (8 2 6) 3 4 5 2 3 

33. Preparación para la prueba  ¿Qué cifra es

628 315 mayor que 547 906? A 1 761 221

C 1 176 221

B 1 716 212

D 1 176 211

18

Libro 5.indb 18

34. ¿Qué número hace que este enunciado sea

35. Preparación para la prueba  El cine Hoyts

vendió 35 890 entradas. El cine Cinemark vendió 43 741. ¿Cuántas entradas más vendió el cine Cinemark? A 6 851

C 8 951

B 7 851

D 12 151

Práctica adicional en la página 31, Grupo E

24-01-13 10:07


Escribir para explicar La industria frutícola de Chile es líder dentro del hemisferio sur en la exportación de fruta fresca –considerando uvas, manzanas, kiwis, paltas (aguacates), ciruelas, duraznos, peras, cerezas y arándanos– siendo el tercer sector más importante de la economía nacional. Esta industria se caracteriza por tener más de 7 800 productores, 310 266 hectáreas de cultivo y 630 empresas exportadoras. Desde el 2004 hasta el 2010 se han exportado aproximadamente 24 millones de toneladas métricas de frutas frescas. Usando los datos de la tabla, ¿cuántas toneladas métricas de fruta fresca se han exportado el 2007 o antes? Explica cómo resolver el problema.

Evolución de frutas frescas exportadas en las últimas seis temporadas (Toneladas Métricas) 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000

Hay cosas importantes que puedes hacer cuando explicas cómo resolver un problema. Escribir una buena explicación significa aprender a describir cuidadosamente un proceso.

Primero, leí el problema y vi que no tenía que usar la información de la última oración. Luego miré la tabla y vi que necesitaba sumar tres de los números para hallar la cantidad exportada el año 2007 o antes. Sumé la cantidad de toneladas métricas exportadas en los años menores a 2008 para hallar el total exportado en 2007 o antes. 2 143 785 + 2 192 766 + 2 406 706 = 6 743 257 6 743 257 es una respuesta razonable porque la estimación es, aproximadamente, 6 700 000.

0

2005 2006 2007 2008 2009 2010

Fuente: Asociación de Exportadores de Chile A.G.(ASOEX) 2011

• Incluye solo la información necesaria. • Escribe oraciones completas, usa palabras de transición como primero y luego. • Divide la explicación en pasos para que sea clara. •  Usa vocabulario matemático para describir cómo resolver el problema. •  Haz un dibujo o un diagrama si es necesario. •  Comprueba que la respuesta sea razonable.

Resolución de problemas  Explica cómo resolver el problema. 1. La familia Quiroz está haciendo un viaje de 1 238 km desde Pucón a La Serena. El primer día, los Quiroz recorrieron 405 km y, el segundo día, 390 km. ¿Cuántos km más debe viajar la familia Quiroz para llegar a La Serena? Explica cómo resolverlo.

Libro 5.indb 19

2. Luis anotó 62 309 puntos en un juego para computadora. Jorge anotó 9 548 puntos menos que Luis. La puntuación de Cata fue 10 283 puntos más alta que la de Jorge. ¿Cuál fue la puntuación de Cata? Explica cómo resolverlo.

Capítulo 1 19

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

CÁLCULO MENTAL

Suma y resta

1. 35 1 87 2. 61 2 45

OBJETIVO: Usar el cálculo mental para sumar y restar.

3. 32 1 56 1 21 4. 90 2 46

Aprende

5. 99 1 37

PROBLEMA   Una tienda de patinetas realizó una liquidación de tres días. Vendió 14 patinetas el lunes, 31 el martes y 56 el miércoles. ¿Cuántas patinetas se vendieron durante la liquidación?

Vocabulario Propiedad conmutativa de la suma Propiedad asociativa de la suma compensación

Algunos problemas se pueden resolver mentalmente usando las propiedades. La propiedad conmutativa de la suma significa que si el orden de los sumandos cambia, el total sigue siendo el mismo. La propiedad asociativa de la suma significa que el orden en que se agrupan los sumandos no modifica el total.

Ejemplo 1  Usa la propiedad conmutativa. 14 1 31 1 56 5 14 1 56 1 31  Usa la propiedad conmutativa. 5 70 1 31 Usa el cálculo mental. 5 101 Por lo tanto, durante la liquidación se vendieron 101 patinetas.

Ejemplo 2  Usa la propiedad asociativa. 36 1 (104 1 105) 5 (36 1 104) 1 105  Usa la propiedad asociativa. 5 140 1 105 Usa el cálculo mental. 5 245 La compensación es una estrategia de cálculo mental que puedes usar para sumar y restar.

Ejemplo 3   Usa la compensación para sumar. Modifica un sumando para que 328 1 546 5 (328 1 2) 1 (546 2 2)  Suma 2 a 328 para obtener 330. sea múltiplo de 10. Luego ajusta Luego resta 2 de 546. el otro sumando por medio de la 5 330 1 544 resta para mantener el equilibrio. 5 874

Ejemplo 4  Usa la compensación para restar. Haz que el segundo número sea un múltiplo de 10. Luego ajusta el primer número por medio de la resta para mantener el equilibrio.

565 2 243 5 (565 2 3) 2 (243 2 3)

Resta 3 de 243 para obtener 240.

5 562 2 240 5 322

Luego resta 3 de 565.

20

Libro 5.indb 20

24-01-13 10:07


Práctica con supervisión 1. Copia y completa. Nombra la propiedad.

2. Copia y completa.

19 1 52 1 31 5 19 1 31 1 j 5 50 1 52 5j

148 2 125 5 (148 2 5) 2 (125 2 j)

5 143 2 j 5j

Explica cómo puedes usar la compensación para hallar 128 1 56.

3.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa las propiedades y estrategias de cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 4. 83 1 37

5. 42 2 17

8. (218 1 462) 1 112

9. 328 1 256 1 802

6. 384 2 239

7. 898 2 617

10. 772 1 848

11. 469 1 752

12. 662 2 328

13. 751 2 737

14. 137 1 458

15. (617 1 927) 1 403

16. (7 1 19) 1 13

17. 36 1 (58 1 44)

18. 671 2 328

19. 944 2 726

USA DATOS  Para 20, 21, y 23, usa la tabla. 20. Usa el cálculo mental para hallar la cantidad

total de patinetas compradas. Explica tu respuesta. 21. La cantidad de patinetas compradas en

abril y mayo, ¿fue mayor o menor que la cantidad de patinetas compradas en julio? Usa el cálculo mental para explicar tu respuesta. 22.

Patinetas compradas Mes

Cantidad

abril

52

mayo

18

junio

47

julio

72

DATO BREVE La primera competencia en la historia del deporte de la patineta se realizó en Hermosa Beach, CA, en 1963. ¿Cuántos años antes de 2009 se realizó la primera competencia?

23.

Explica cómo puedes usar el cálculo mental para hallar cuántas patinetas más se compraron en julio que en mayo.

Comprensión de los Aprendizajes 24. Escribe 4 097 310 en palabras. 25. ¿Cuál es el valor de (9 3 3) 1 (7 1 3)?

27. Preparación para la prueba  Nombra la

propiedad usada. (64 1 15) 1 55 5 64 1 (15 1 55) A Asociativa C Identidad

26. ¿Cuál es mayor 4,09 o 4,1?

Práctica adicional en la página 31, Grupo F

Libro 5.indb 21

B Conmutativa D Orden

Capítulo 1 21

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

7

Álgebra

Repaso rápido

Expresiones de suma y resta

Usa el cálculo mental para sumar o restar.

OBJETIVO: Escribir y hallar el valor de las expresiones de suma y resta.

1. 23 1 17

2. 40 1 50

3. 46 2 26

4. 110 2 15

Aprende

5. 532 1 28

PROBLEMA  En Fantasilandia, la montaña rusa Raptor tiene una velocidad máxima de 100 km por hora, y la montaña rusa Galaxy tiene una velocidad máxima de 85 km por hora. Escribe una expresión numérica para mostrar la diferencia entre la velocidad máxima de las dos montañas rusas. Luego halla el valor de la expresión.

Vocabulario expresión numérica expresión algebraica variable

Una expresión numérica es una frase matemática que usa solo números y signos de operaciones. No tiene un signo de igualdad.

Ejemplo 1 Paso

Escribe una expresión.

Raptor 2 Galaxy ↓ ↓ 100 2 85

Paso

Halla el valor de la expresión. 100 2 85 → Resta. 15

La expresión 100 2 85 muestra la diferencia entre las velocidades máximas de las dos montañas rusas. El valor de la expresión es 15. Por lo tanto, el valor es la diferencia entre la velocidad máxima de las dos montañas rusas. Las expresiones pueden tener una operación o más de una operación.

Más Ejemplos  Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor.   doce más que 38 38 1 12 38 1 12 Suma. 50

  cincuenta y dos menos

  cinco menos que la suma

que 400

de 70 y 2

400 2 52 400 2 52 Resta. 348

(70 1 2) 2 5 (70 1 2) 2 5 Suma. 72 2 5 Resta. 67

22

Libro 5.indb 22

24-01-13 10:07


Expresiones algebraicas Algunas expresiones son expresiones algebraicas. Una expresión algebraica es una expresión que incluye al menos una variable. Una variable es una letra o símbolo que representa uno o más números. Tal vez veas la expresión “un número y 5 más” escrita de otras maneras. Estos son algunos ejemplos:

Ejemplo 2 Los cursos de quinto básico están planeando una excursión al zoológico. Con cada curso, van a ir cinco adultos. Cada curso viaja en su propio autobús. Escribe una expresión algebraica para mostrar la cantidad de personas que viaja en cada autobús.

•  un número más 5 •  un número aumentado en 5 •  la suma de un número y 5.

La expresión debe decir “cantidad de estudiantes que hay en un curso y 5 más”.

Todas las expresiones anteriores se pueden representar con la expresión algebraica t 1 5.

Sea e 5 la cantidad de estudiantes que hay en un curso. e 1 5

cantidad de estudiantes

5 adultos

Por lo tanto, la expresión algebraica e 1 5 muestra la cantidad de personas que hay en cada autobús. Para hallar el valor de una expresión algebraica, reemplaza la variable con un valor dado. Luego halla el valor de la expresión.

Ejemplo 3  Halla el valor de la expresión b 2 9, si b 5 12 y si b 5 23.   b 2 9

12 2 9

  b 2 9

Escribe la expresión. R  eemplaza la variable, b,

23 2 9

con 12.

3

Escribe la expresión. R  eemplaza la variable, b, con 23.

Halla el valor.

Por lo tanto, si b 5 12, el valor de b 2 9 es 3.

14

Halla el valor.

Por lo tanto, si b 5 23, el valor de b 2 9 es 14.

Práctica con supervisión Di qué operación usarías para escribir cada expresión. Luego escribe la expresión. 1.  4 más que 19

2.  12 menos que 33

3.  8 con un aumento de un

número Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 4. Luisa tenía $12 y recibió

$10 más de regalo.

 5. Julia ahorró $52. Luego

gastó $8.

 6.  Sonia reunió 32 tarjetas de

béisbol, compró 12 más y luego vendió 4.

Capítulo 1 23

Libro 5.indb 23

24-01-13 10:07


Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 7. Había una multitud de

8. En el lago, siempre está 10 8C

personas en fila para ver la película. Las puertas se abrieron y se permitió el ingreso de 75 personas. 10.

9. Todos los collares de Sofía

tenían 10 cuentas de plata y cuentas de arcilla de colores.

más fresco que en nuestro departamento.

Explica cómo hallar el valor de n 2 26 si n 5 54.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 11. Julia está caminando en el

12. Marcos tenía un promedio de

nivel 3 de una cinta de correr. Aumenta el nivel en 2. 14. La diferencia entre 23 y 8.

13. Sandra compró 15 tarjetas,

94. Después de un examen, su promedio disminuyó en 5. 15. Diecisiete más 32.

envió 4 tarjetas y luego compró 7 más. 16. La suma de 22 y 18 con una

reducción de 9. Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 17. Cada estudiante sumó

18. Durante la liquidación de

3 puntos a su puntuación. 20. Un número restado de 112.

19. El señor Fernández hizo 2

zapatos, el precio de los zapatos se redujo en $3 000. 21. Treinta y nueve aumentado en

copias adicionales con cada orden de carteles. 22. Un número más 23.

un número. Halla el valor de cada expresión. 23. 15 2 n si n 5 3

24. 36 1 n si n 5 14

25. b 1 3 si b 5 12

26. a 2 6 si a 5 18

27. m 1 180 si m 5 312

28. 90 2 t si t 5 38

USA DATOS  Para 29–31, usa la tabla.

Fuerzas gravitacionales de las montañas rusas

29. Los pasajeros de la montaña rusa Maremoto

sienten una fuerza que es n mayor que la fuerza sentida por los pasajeros en la montaña rusa X. Escribe una expresión para mostrar la fuerza que los pasajeros sienten en Maremoto. 30. A 2 fuerzas-g, te sientes dos veces más pesado

que cuando estás quieto. Si pesas 34 kg, ¿qué tan pesado te sentirás a 2 fuerzas-g?

Nombre de la montaña rusa

Fuerzas-g

Maremoto

6

X

4

Serpiente Cascabel

3,5

31. Los pasajeros de la montaña rusa Serpiente Cascabel

sienten una fuerza de 3,5 fuerzas-g, es decir, 3,5 veces la fuerza de gravedad. ¿Cuánta más fuerza que en Serpiente de Cascabel sienten los pasajeros en Maremoto?

24

Libro 5.indb 24

Práctica adicional en la página 31, Grupo G

24-01-13 10:07


32. Álgebra Razonamiento  Escribe una expresión

33.

para el patrón. Luego usa la expresión para hallar el número siguiente del patrón.

Elena compró una camisa por $6 800. Ahorró c dólares comprándola en oferta. Explica qué representa la expresión 6 800 2 c.

5, 13, 21, 29, j

Comprensión de los Aprendizajes 34. Una tienda vendió 813 juegos el lunes,

1 022 juegos el martes y 1 270 juegos el miércoles. ¿Cuántos juegos vendió la tienda en 3 días? 35. Preparación para la prueba  Joaquín tenía 80

discos compactos. Intercambió 20 por 15 nuevos. ¿Qué expresión muestra la cantidad de discos compactos que tiene ahora? A 80 2 20 1 15

C 80 2 20

D 20 2 15

B 80 1 20 2 15

¿Por qué los planetas siguen una órbita más o menos circular? Se debe a la atracción gravitacional entre la masa de cada planeta y la masa del Sol. Esta fuerza de atracción entre los planetas y el Sol mantiene los planetas en su órbita. Cada planeta tiene una fuerza gravitacional diferente. Cuanto mayor es la atracción gravitacional del planeta, mayor sería tu peso en la superficie de ese planeta.

Ejemplo  Escribe una expresión numérica y halla

36. Preparación para la prueba  ¿Cuál de las

opciones muestra una manera de escribir la expresión r 1 68 en palabras? A 68 más que un número B 68 menos que un número C un número menos que 68 D un número con una reducción de 68 37. Cada compartimento de la montaña rusa

Superman, costó aproximadamente veinte millones de pesos. Escribe este número en forma normal.

Peso en los distintos planetas Planeta

Peso (en kg)

Mercurio

38

Tierra

100

Venus

91

Júpiter

235

el valor. Luego nombra el planeta descrito. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso sería 9 kg menor en este planeta. 100 2 9 ← expresión numérica 91 ← valor Por lo tanto, pesaría 91 kg en Venus. 1. Si pesas 38 kg en Mercurio, tu peso sería 62 kg mayor en este planeta. 2. Si un cuerpo pesa 100 kg en la Tierra, su peso en este planeta sería igual a la suma de 91 y 144. 3. Si un cuerpo pesa 91 kg en Venus, su peso disminuiría en 53 kg en este planeta.

Capítulo 1 25

Libro 5.indb 25

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

8

Estrategia: Buscar un patrón ObjetivO: Resolver problemas usando la estrategia buscar un patrón.

Aprende la estrategia Estamos rodeados de patrones. Hay patrones de colores, patrones numéricos y patrones geométricos. Hallar un patrón puede ayudarte a ver cómo se relaciona la información de un problema. Puedes usar diferentes tipos de patrones y sus reglas para resolver diferentes tipos de problemas.

Un patrón puede tener números. María plantó 13 flores en una hilera, 11 en la hilera siguiente y 9 en la que sigue. Si continúa con este patrón, ¿cuántas hileras de flores plantará María?  La regla para el patrón es restar 2.

Un patrón puede repetirse. Gino está pintando un borde en una pared. Este es su trabajo hasta ahora. ¿Qué figura pintará Gino a continuación?  ¿Cuál es el patrón? 

Un patrón puede crecer. Si el patrón continúa, ¿cuántos azulejos habrá en el sexto diseño de azulejos?

Describe algunos otros patrones que hayas visto.

26

Libro 5.indb 26

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Usa la estrategia PROBLEMA  Una secuoya costera puede producir entre 100 000 y 100 000 000 de semillas por año. Si una secuoya costera produce 100 000 000 de semillas, ¿cuántos kg pesarán las semillas aproximadamente? 

• ¿Qué información se da? • Haz una ayuda visual usando la información que te dan. 

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes buscar un patrón para resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Piensa: ¿Cómo cambia el número de semillas a medida que aumenta el número de gramos?

Mira los números de la tabla. Extiende el patrón a 1 000 000 de semillas 1

125 000

125 000

2

250 000

125 000

3

375 000

125 000

4

500 000

125 000

5

625 000

125 000

6

750 000

125 000

7

875 000

125 000

8

1 000 000

Semillas de la secuoya costera Peso (en Kg)

Número aproximado de semillas

1

125 000

+125 000

2

250 000

+125 000

3

375 000

Por lo tanto, 1 000 000 de semillas pesarán aproximadamente 3 600 gramos.

• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿De qué otra manera podrías resolver el problema?

Capítulo 1 27

Libro 5.indb 27

24-01-13 10:07


Resolución de problemas con supervisión 1. Alicia tiene 75 plantas en su jardín. Después de una semana de la temporada de jardinería, le quedaban 68. Después de 2 semanas, le quedaban 61 y, después de 3 semanas, le quedaban 54. ¿Cuántas le quedarán a Alicia después de 7 semanas?  Primero, halla un patrón y escribe una regla. 75, 68, 61, 54 Luego, extiende el patrón a 7 semanas.

Una regla es restar 7.

75, 68, 61, 54, , ,  Piensa: 54 2 7 5 , y así sucesivamente.

Por último, halla la cantidad que le queda a Alicia. 2. La familia García está realizando una excursión de 40 kilómetros por

el Parque Nacional Volcán Isluga. Al final del primer día, los García habían recorrido 8 kilómetros. Al final del segundo día, habían recorrido un total de 16 kilómetros y, al final del tercer día, habían recorrido 24 kilómetros en total. Si el patrón continúa, ¿cuántos días les llevará a los García terminar la excursión?  3. ¿Qué pasaría si los García hubieran recorrido solo 4 kilómetros al final

del primer día, un total de 8 kilómetros al final del segundo día y un total de 12 kilómetros al final del tercer día? ¿Cuántos días habrían tardado en terminar la excursión? 

Resolución de problemas • Práctica de estrategias 4. Un artesano está haciendo un acolchado. Hasta

ahora, el acolchado tiene este diseño. Si el patrón continúa, ¿qué diseño tendrá la duodécima fila del acolchado?  USA DATOS  Para 5-6, usa la gráfica. 5. Las araucarias pueden crecer más de un cm

cada año. Si el árbol que se muestra en la gráfica continúa su patrón de crecimiento, ¿qué altura tendrá en 2014?  6.

Si el patrón de crecimiento continúa, ¿cuándo será la altura de este árbol mayor que 100 cm? Explica cómo lo sabes.

Crecimiento de una araucaria

Altura (en cm)

70 60 50

53

56

59

62

2009

2010

2011

65

40 30 20 10 0

2008

2012

Año

28

Libro 5.indb 28

24-01-13 10:07


Práctica de estrategias mixtas

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

USA DATOS CIENTÍFICOS  Para 7–10, usa la tabla.

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

7. Raúl y Tomás usan un mapa para prepararse

para una excursión. Pueden recorrer senderos de dificultad mínima, moderada o extrema para ver cada uno de los árboles. ¿Cuántas opciones posibles tienen si quieren ver todos los árboles?  8. Un sexto árbol, que no aparece en la tabla, tiene

una altura de 142 cm menos que el árbol 1. ¿Cuál es la altura del árbol 6?  9.

Formula un problema  Usa la información de la tabla para escribir un problema. Explica cómo se halla la respuesta de tu problema.

10.

Problema abierto  Presenta un grupo de datos en la tabla de manera diferente. Explica la opción que elegiste para la presentación.

11. Natalia hizo este patrón de puntos.

• • •

• • • • •

• • • ••••

Natalia continuó su patrón, agregando un punto a cada uno de los “tramos”. ¿Cuántos puntos habrá en la séptima figura? 

Tipos de árbol y altura Árbol

Altura (en cm)

1. Pino

275

2. Canelo

255

3. Boldo

268

4. Romero

241

5. Laurel

256

esfuérzate 12. La altura de un palto comparte dos dígitos con la altura del tercer árbol más alto de la tabla. El árbol 1 es aproximadamente 70 cm más alto que el palto. ¿Qué altura tiene el palto? Explica cómo hallaste la respuesta. 13. Si la altura de un edificio medida en centímetros se redondea a la centena más cercana, su

altura es 725 cm más alto que el árbol 1 de la tabla. El dígito de las unidades de la altura del edificio es 5 y el de las decenas es 6. ¿Qué altura tiene el edificio? Explica cómo hallaste tu respuesta.

Capítulo 1  29

Libro 5.indb 29

24-01-13 10:07


Práctica adicional Grupo A  Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 24 404 485 

2. 14 030 315 

3. 1 084 303 220

4. 9 204 503 661 

5. 14 336 872 

6. 16 603 582 495

Escribe los números de otras dos formas. 7. 300 000160 00015 000180017019 9. seis mil ocho millones noventa

8. 50 000 0001 5 000 000150 000150015  10. dos mil treinta y siete millones

y siete mil trescientos cuatro  catorce mil noventa y siete  11. 4 061 002 

12. 80 046 300

Grupo B  Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 1. 62 023  63 032

2. 2 401 393  2 104 933

3. 13 114 591  13 114 951

4. 54 304 125  45 304 125

5. 823 158  823 158

6. 693 103 430  693 103 340

7. El año pasado, asistieron 37 884 personas a un torneo de tenis. Este año asistieron 36 799 personas. ¿En qué año asistieron menos personas al torneo de tenis? 

8. Juan obtuvo 4 872 puntos en un videojuego.

Miguel obtuvo 4 921 puntos. ¿Quién obtuvo el mayor número de puntos? 

Grupo C  Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 1. 63 494 506 

2. 761 584 204 

3. 11 586 988 

4. 6 393 958 

5. 26 591 000 

6. 4 192 295 

7. 899 992 

8. 1 999 204 

9. 64 023 111 

Grupo D  Estima la suma o la diferencia. 75 293 – 9 501

1.

321 + 652

2.

19 592 + 43 596

3.

5.

314 992 – 275 841

6.

693 932 + 529 000

7.   266 749

– 135 699

4.

64 381 – 12 944

8.

699 083 + 74 999

30

Libro 5.indb 30

24-01-13 10:07


Grupo E  Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 1.

5.

10 135 + 12 858

1 090 991 327 193

2.

168 930 + 929 856

3.

6.

61 942 + 9 835

7.   84 125

9. José ha armado 3 921 piezas de un rompecabezas. En la caja, le quedan 1 579 piezas. ¿Cuántas piezas en total hay en el rompecabezas?

92 000 – 63 580

– 60 938

4.

120 049 + 81 852

8.

206 398 – 187 489

10. Un elefante del zoológico pesa 6 947 kg. Una elefanta pesa 6 453 kg. ¿Cuánto más pesa el elefante? 

Grupo F  Usa estrategias de cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 1. 26 1 84 

2. 2 321 1 497 

3. 255 2 119 

4. 16 1 (29 1 44)

5. 604 2 337 

6. (66 1 93) 1 37 

7. 1 872 2 623 

8. 14 1 23 1 17 

9. 96 2 28 

10. 522 2 188 

13. El viernes se vendieron 485 tarjetas en un

puesto de un coleccionista de tarjetas del mercado de las pulgas. El sábado se vendieron 721 tarjetas. ¿Cuántas tarjetas más se vendieron el sábado? 

11. 186 1 (224 1 179) 12. 779 2 535 

14. Sofía plantó un huerto de plantas aromáticas con 24 plantas de albahaca, 47 plantas de romero y 16 plantas de eneldo. ¿Cuántas plantas usó Sofía para plantar su huerto? 

Grupo G  Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. Di qué representa el valor. 1. Rocío pescó 4 peces. Al

2. La diferencia de 37

3. Ema sacó 6 libros

día siguiente, pescó y 14.  de la biblioteca. Devolvió 5 más.  3 y sacó 4 más. Define la variable. Luego escribe una expresión algebraica. 4. La pulsera de María 5. Un número con un 6. La temperatura del salón tiene 12 cuentas doradas aumento de 58.  de clases de Jorge es 5 °C y algunas perlas.  menor que la temperatura del exterior. Halla el valor de cada expresión. 7. 12 1 n si n 5 9 

8. x 2 15 si x 5 34 

9. h 1 152 si h 5 94 

Capítulo 1 31

Libro 5.indb 31

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Repaso/Prueba del Capítulo 1 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.

Vocabulario

1. Un número de los miles de millones tiene al menos 10        ​  ?  ​.  —

sobrestimación dígitos subestimación variable

    2. Una — ​  ? ​ es una letra o un símbolo que representa uno o más números.  ​ ? ​.   3. Una estimación que es menor que la respuesta real se llama     —

Comprueba tus destrezas Escribe cada número de otras dos formas. 4. seis mil millones novecientos dieciocho mil setecientos sesenta y dos 5. 9 000 000 000 1 70 000 000 1 3 000 000 1 100 000 1 90 000 1 400 1 3  6. 560 034 107  Compara. Escribe , , o  en cada . 7.  489 384  894 384  8.  920 090  902 900

9.  76 941 497  76 941 497

Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 10.  67 339  11.  6 891 543  12.  623 971 764 13.  770 641 785

Haz un estimación. Luego halla la suma o la diferencia. 600 921 15. 16.   824 377 14. 89 044 – 799 562 + 73 491 – 321 650

17.

4 583 100 + 3 902 145

18.

3 941 042 – 2 953 161

Halla el valor de cada expresión. 19.  19 1 k si k 5 7 20.  d 2 9 si d 5 44 21.  76 2 a si a 5 22 22. x 2 28 si x 5 91

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. Pablo ganó 15 vales de almuerzo después de

una semana de cortar céspedes. Al final de la segunda semana, Pablo tenía un total de 30 vales. Después de la tercera semana, Pablo tenía 45 vales. Si este patrón continúa, ¿cuántos almuerzos habrá ganado Pablo después de 8 semanas? 

24. Rosa está haciendo una pulsera de cuentas con

esta unidad de patrón: 3 cuentas rojas, 2 cuentas rosadas y 1 cuenta blanca. Si repite el patrón 6 veces, ¿cuántas cuentas rosadas habrá usado? 

25. 

Vicente dibujó un patrón de 4 puntos, 8 puntos, 12 puntos y luego 16 puntos. Dice   que enseguida debe dibujar 24 puntos. Explica el error de Vicente y di cuántos puntos debe dibujar a continuación.

32

Libro 5.indb 32

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Enriquecimiento • Otras maneras de sumar y restar

En el día de competencias de atletismo en la escuela básica Arturo Prat participaron los estudiantes de tercero, cuarto y quinto básico. Había 237 estudiantes de 3º básico, 369 estudiantes de 4º básico y 409 estudiantes de 5º básico.

Saque inicial B  Método para restar contando hacia arriba ¿Cuántos estudiantes más de 5o básico que de 3º básico participaron en el día de competencias de atletismo?

A Método de sumas parciales ¿Cuántos estudiantes de la escuela básica Arturo Prat participaron en el día de competencias de atletismo?

409 2 237 5 ?

237 1 369 1 409 5 ? Suma las centenas. 200 1 300 1 400 5

900

Suma las decenas. 30 1 60 1   0 5

90

Suma las unidades. 7 1 

Suma los totales parciales.

9 1  9 5

1 25 1 015

Empieza con la cifra más pequeña. 237 1 3 Cuenta hasta la decena más cercana. 240 Cuenta hasta la centena más cercana.

Cuenta hasta igualar las centenas.

Cuenta hasta igualar la cifra mayor.

1 60 300 1 100 400 1 9 409

3 60 100 1 9 172

Halla el total de los números que sumaste.

Por lo tanto, en el día de competencias de 

 Por lo tanto, en el día de competencias de

atletismo de la escuela básica Arturo Prat participaron 1 015 estudiantes.

atletismo participaron 172 estudiantes más de 5o básico que de 3o básico.

Juego Usa el método de sumas parciales o el de restar contando hacia arriba para hallar la suma o la diferencia. 1.

185 + 427

2.

376 152 + 827

3.  

386 – 228

4.

802 – 655

29 305 + 912

5.

6. La cafetería sirvió 567 almuerzos el miércoles y 492 almuerzos el jueves. ¿Cuántos almuerzos se sirvieron en los dos días?

En resumen Usa el método de la página 16 y el método de sumas parciales para hallar 325 1 107 1 416. ¿Qué método prefieres? Explica tu respuesta.

Capítulo 1  33

Libro 5.indb 33

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Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 1

Percepción numérica

Álgebra

1. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde

5. ¿Cuál es el valor de la siguiente expresión?

con el número 4 003 012?

A cuatro mil trescientos doce

B cuatro millones trescientos doce

C cuatro millones tres mil doce

D cuatro mil millones tres millones doce

7 3 (6 2 2)

A 28

B 45

C 63

D 126

2. El parque nacional más grande está en Alaska

y mide 8 323 148 acres. ¿Cómo queda este valor redondeado a la unidad de mil de acres más cercana?

6. ¿Cuál es el valor de y si x 5 12? 

A 8 300 000

C 8 324 000

A 1

C 4

B 8 323 000

D 8 330 000

B 3

D 9

x5y18

7. La siguiente tabla muestra cuántos kilogramos

hay en cada bolsa de comida para perros.

Decide un plan.

Comida para perros

Mira el ítem 3. Escribir primero el número en forma desarrollada puede ayudarte a escribir el número en forma normal.

3. La construcción del nuevo complejo deportivo

costó tres millones quinientos dólares. ¿Cómo se escribe este número en forma normal? 

A $300 500 000

C $3 000 500

B $3 500 000

D $300 500

4.

El área total de Chile (con islas y la Antártica) es de 2 006 626 km2 y el área total de agua 102 160 km2 aproximadamente. Explica cómo estimar el área total de tierra y de agua a la centena de mil de kilómetros cuadrados más cercana.

Cantidad de bolsas

2

4

6

Cantidad de kg

20

40

60

Si Vanessa compra n bolsas de comida para perros, ¿cuál expresión representa la cantidad de kg que compra?

A n 1 3

B n 3 3

C n 1 10

D n 3 10

34

Libro 5.indb 34

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Geometría

Estadística

8. En el segmento AB, el punto A está en (3, 6) y

11. ¿Cuál de los enunciados sobre los datos que se

muestran en la siguiente gráfica es verdadero?

el punto B está en (3,10). ¿Cuál enunciado numérico muestra cómo hallar la longitud del segmento AB?  A 3 1 3 5 6

C 10 2 3 5 7

B 3 1 6 5 9

D 10 2 6 5 4

Cantidad de miembros

Clubes escolares

9. Mateo dibujó el plano cartesiano que se

muestra a continuación.

y 6 5 4 3 2 1 0

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

N M

O

1 2 3 4 5 6

x

Debe marcar el punto P de modo que MNOP sea un cuadrado. ¿Dónde marcará Mateo el punto P?

ajedrez matemáticas español informática Club

A Hay 3 estudiantes más en el club de

informática que en el club de matemáticas.

B Hay 3 estudiantes más en el club de

informática que en el club de español.

C Hay 30 estudiantes en el club de informática

y en el club de ajedrez.

A (4, 4)

C (4, 5)

B (5, 4)

D (5, 2)

10. La longitud del segmento PQ es 6. ¿Cuál puede

ser el punto Q si P está en (4, 6)? A (10; 10)

C (4; 6)

B (10; 6)

D (10; 12)

D Hay 37 estudiantes en el club de informática

y en el club de español. 12. La siquiente tabla muestra el número de

personas atendidas en una oficina de reclamos. Día

Lunes

Número de personas

38

Martes Miercoles Jueves Viernes 28

47

52

13

¿Cuántas personas fueron atendidas los últimos 3 días? A 127

B 112

C 13

D 100

Capítulo 1 35

Libro 5.indb 35

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2

Multiplicar números enteros La idea importante

La multiplicación de números enteros de varios dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación.

Chile

DATO BREVE

Los exploradores ingleses del siglo XVIII le dieron su nombre al pingüino Macaroni debido al penacho de plumas amarillas que lleva en la cabeza. Las plumas se parecían a las plumas que los hombres jóvenes llevaban en extravagantes sombreros llamados Macarronis.

Eres un científico que está estudiando la población de pingüinos según sus especies. Has observado que la población de la especie de pingüinos Adelia es aproximadamente cuatro veces mayor que la del penacho amarillo del sur. Elige dos especies de pingüinos. Estima cuántas veces mayor es la población de una especie con respecto a la otra.

Población mundial de pingüinos Especies Adelia

Población estimada (en parejas) 2 500 000

Penacho amarillo del norte

350 000

Penacho amarillo del sur

650 000

Macaroni Papúa

9 000 000 320 000

36

Libro 5.indb 36

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 2.

u Multiplicar operaciones básicas Halla el producto.

1. 90 3 7

2. 40 3 6

3. 50 3 7

4. 20 3 8

5. 30 3 9

6. 60 3 6

7. 80 3 4

8. 70 3 8

9. 5 3 40

10. 9 3 60

11. 6 3 30

12. 80 3 3

u Multiplicar números de 2 dígitos Halla el producto.

13. 14 3 6

14. 23 3 4

15. 19 3 5

16. 31 3 8

17. 56 3 3

18. 97 3 2

19. 37 3 9

20. 69 3 4

21. 72 3 5

22. 86 3 7

23. 63 3 5

24. 96 3 3

25. 62 3 2

26. 76 3 3

27. 48 3 7

28. 88 3 4

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

matriz operación básica Propiedad distributiva estimación múltiplo producto parcial

patrón producto sobrestimación reagrupar redondear subestimación

preparaciÓn

Propiedad distributiva la propiedad que establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y luego sumar los productos múltiplo el producto de un número entero dado y otro número entero estimar hallar un número que se aproxima a la cantidad exacta

Capítulo 2  37

Libro 5.indb 37

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LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

CÁLCULO MENTAL

Patrones en los múltiplos OBJETIVO: Multiplicar operaciones básicas usando el cálculo mental y patrones de ceros.

1. 5 3 10 

2. 6 3 20 

3. 9 3 40 

4. 80 3 3 

5. 7 3 70 

Aprende PROBLEMA  En una colonia de pingüinos Macaroni puede haber miles de nidos. Contando los nidos, se sabe la población de la colonia. Imagina que una colonia de pingüinos Macaroni tiene 12 000 nidos, cada uno con dos pingüinos adultos y una cría. ¿Cuántos pingüinos hay en la colonia aproximadamente?

Ejemplo  Multiplica. 3 3 12 000 Para hallar los productos, puedes usar operaciones básicas y patrones con factores que son múltiplos de 10. 3 3 12 5 36  operación básica 3 3 120 5 3 3 12 3 10 5 360  operación básica multiplicada por 10 3 3 1 200 5 3 3 12 3 100 5 3 600  operación básica multiplicada por 100 operación básica multiplicada por 1,000 3 3 12 000 5 3 3 12 3 1 000 5 36 000 

p El pingüino Macaroni se llama así porque las plumas de su cabeza se parecen al sombrero que se hizo famoso por la canción “Yankee Doodle”.

Por lo tanto, la colonia tiene cerca de 36 000 pingüinos Macaroni en total. •  Cuenta el número de ceros de un factor que es múltiplo de 10. ¿Cómo se relaciona con el número de ceros del producto?

Más ejemplos  Usa operaciones básicas y un patrón.  4 3 5 5 20 4 3 50 5 200 4 3 500 5 2 000 4 3 5 000 5 20 000

 6 3 8 5 48 6 3 80 5 480 6 3 800 5 4 800 60 3 800 5 48 000

Puedes usar el cálculo mental para hallar el producto. Comienza con la operación básica. Luego, cuenta el número de ceros en el múltiplo de 10. Agrega el mismo número de ceros al final del producto.

Práctica con supervisión Halla el número que falta. 1. 4 3 4 5 j

2. 5 3 2 5 j

3. 2 3 3 5 j

 4. 8 3 7 5 j 4 3 40 5 j 5 3 20 5 j 2 3 30 5 j 8 3 70 5 j

40 3 40 5 j 5 3 200 5 j 20 3 30 5 j 8 3 700 5 j Halla el producto. 5. 3 3 40 10.

6. 2 3 500

7. 60 3 70

8. 80 3 10

 9. 3 3 3 000

Explica cómo 5 3 7, y los patrones de ceros, pueden ayudarte a hallar el producto de un número muy grande como 500 3 70 000. 

38

Libro 5.indb 38

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Práctica independiente y resolución de problemas Halla el producto. 11. 40 3 80

12. 8 3 200

13. 3 3 40

14. 9 3 700

15. 10 3 5

16. 11 3 10

17. 60 3 30

18. 90 3 12

19. 7 3 60

20. 11 3 12

Halla el número que falta. Álgebra 21. 3 3 700 5 j

22. 5 3 j 5 450

23. j 3 6 5 540

24. 8 3 300 5 j

25. 70 3 80 5 j

26. 2 3 j 5 800

27. j 3 5 5 300

28. j 3 5 5 200

USA DATOS  Para 29–31, usa los datos sobre el krill. 29. El krill pone huevos, o desova, varias veces en

una temporada. Si un krill pone huevos 4 veces, ¿cuántos huevos pondrá?  30. Imagina que un pingüino come alrededor de

3 kg de krill por día. Aproximadamente, ¿cuánto krill come el pingüino en 100 días?  

Los small, krill son crustáceos pequeños,that en Krill are shrimplike crustaceans forma de langostino, que nadan en el swim in large groups in the ocean. agua como nubes de insectos.

31. Razonamiento  Los investigadores descubrieron

un grupo grande de krill que medía más de 9 000 m de largo. Aproximadamente, ¿cuánto es 9 000 m de largo, si se mide en cantidades de krill?  32.

Explica cómo puedes decir sin multiplicar que 7 3 600 y 700 3 6 tienen el mismo valor.

Datos sobre el krill • El krill es una fuente principal de alimento para animales marinos y aves. • El krill antártico adulto mide cerca de 5 cm de largo. • 30 unidades de krill antártico pesan cerca de 28 g. • Un krill pone cerca de 8 000 huevos a la vez.

Comprensión de los Aprendizajes 33. ¿Cuál es el valor de n 2 15 si n 5 40? 34. ¿Cuánto es 4 096 redondeado a la centena

más cercana?

35. Preparación para la prueba  En un campo, hay

90 hileras de plantas de fresa. Cada hilera contiene 600 plantas. ¿Cuántas plantas de fresa hay en el campo? A 54

C 5 400

B 540 D 54 000

Práctica adicional en la página 56, Grupo A

Libro 5.indb 39

Capítulo 2 39

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

2 Estimar Productos

Repaso rápido

OBJETIVO: Estimar productos usando el redondeo y la forma desarrollada de los números.

1. 3 3 600

2. 5 3 3 000

3. 70 3 90

4. 80 3 50

5. 90 3 40

Aprende PROBLEMA  Una compañía desea comprar una cantidad de maderos equivalente a 360 m2 para construir 4 cabañas pequeñas. El señor Ramírez tiene12 hectáreas de tierra. Cada hectárea tiene suficientes árboles como para obtener un promedio aproximado de 40 m2 de maderos. ¿Tiene el señor Ramírez suficientes árboles para venderle a la compañía para que construya las 4 cabañas? No es necesario saber la cantidad exacta de metros cuadrados de maderos en las 12 hectáreas, por lo tanto puedes estimarla.

Ejemplo  Haz una estimación 405 3 12. Paso

Paso

Redondea ambos factores al primer dígito.

Usa la operación básica y los patrones de múltiplos de 10 para hallar la estimación.

12 3 40 ↓ ↓ 10 3 40

10 3 40 5 10 3 4 3 10 5 4 3 100 5 400

Ya que el señor Ramírez tiene árboles suficientes para producir 400 m2 de maderos, puede por tanto, vendérselos a la compañía. •  ¿Es 400 una sobreestimación de 12 3 40 o una subestimación? Explica tu respuesta.  

Más ejemplos   Operación básica y un múltiplo de 10

 Operación básica y dos múltiplos de 10

6 3 593 ↓ 6 3 600 5 3 600

 Operación básica con números mayores

92 3 79 ↓ ↓ 90 3 80 5 7 200

48 3 42 ↓ ↓ 50 3 40 5 2000

  Cantidad aproximada a la siguiente cifra sin decimales 16 3 12,95 ↓ 16 3 13 5 208

40

Libro 5.indb 40

24-01-13 10:07


Práctica con supervisión Estima el producto. Paso 1.

Paso 28 3 31 ↓ ↓  3 30

 3 30 5  3 10 3 3 3  5  3 100  5

2. 76 3 41 3. 122 3 6 4. 96 3 18

 5. 32 3 72

 6. 4 3 612

Explica por qué a veces puedes estimar en lugar de hallar una respuesta exacta.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima el producto.  8. 53 3 22

9. 96 3 51

10. 37 3 13

11. 62 3 94

12. 82 3 5

13. 28 3 49

14. 76 3 92

15. 56 3 31

16. 29 3 70

17. 24 3 65

18. 16 3 73

19. 23 3 50

20. 58 3 32

21. 21 3 27

22. 32 3 89

USA DATOS  Para 23–25, usa la tabla. 23. La Sociedad de Conservación recaudó $4 000

Gastos de la Sociedad de Conservación

para comprar 8 magnolias para el parque de una ciudad. Haz una estimación para hallar si el grupo recaudó suficiente dinero para comprar los árboles. 

Árboles y arbustos Magnolia Adelfa

24. La Sociedad de Conservación tiene $1 000 para

invertir en 21 arbustos de adelfa que serán plantados a lo largo de una senda para bicicletas. Haz una estimación para saber si tiene dinero suficiente para comprar los arbustos. 25. Formula un problema  Vuelve al Problema 23.

26.

Escribe un problema similar cambiando el tipo de planta y los números. 

Costo $412 $33

Camelia

$129

Hibisco

$54

Estima el producto 27 3 48. Explica si se trata de una sobreestimación o de una subestimación.

Comprensión de los Aprendizajes 27. ¿Qué número decimal es mayor, 3,092 o 3,598? 28. Clasifica los pares de líneas como paralelas o

perpendiculares. 

30. Preparación para la prueba  Un auto recorre

aproximadamente 75 km desde Los Andes hasta Santiago. Estima el número de km que hay en 34 viajes desde Los Andes hasta Santiago.  A 3 000 km C 3 400 km

29. 40 3 60 5

Práctica adicional en la página 56, Grupo B

Libro 5.indb 41

B 2 400 km D 4 400 km

Capítulo 2 41

24-01-13 10:07


3

La propiedad distributiva OBJETIVO: Representar la multiplicación usando la propiedad distributiva.

Repaso rápido 1. 6 3 7

2. 4 3 8

3. 9 3 50

4. 7 3 30

5. 8 3 80

Vocabulario Propiedad distributiva

Materiales ■ papel cuadriculado ■ tijeras

La propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos. Por ejemplo: 6 3 18 5 6 3 (10 1 8) 5 (6 3 10) 1 (6 3 8) Puedes usar una cuadrícula y la propiedad distributiva para resolver problemas de multiplicación. Traza una matriz en el papel cuadriculado para hallar 12 3 27. Corta uno de los factores para descomponer la matriz en dos partes. Corta la matriz más pequeña en otras dos partes cuyos productos conozcas. Una matriz debe mostrar la multiplicación de las decenas, y la otra, la multiplicación de las unidades. Halla el producto de cada matriz. Suma los productos de las matrices para hallar el producto de la matriz original.

Sacar conclusiones 1. ¿Cómo ilustran las matrices la propiedad distributiva? 2. ¿Tiene importancia qué factor descompones cuando

usas la propiedad distributiva? Usa el modelo para explicar tu respuesta. 3. Análisis  ¿Podrías haber descompuesto el factor de

otra manera, en lugar de descomponerlo en decenas y unidades? ¿Habría sido más fácil o más difícil hallar el producto de 12 3 27? Explica tu respuesta.

42

Libro 5.indb 42

24-01-13 10:07


Puedes usar la propiedad distributiva para multiplicar sin usar matrices.

Paso

Paso

Multiplica 13 3 29.

Usa la propiedad distributiva.

Escribe el mayor factor en forma desarrollada.

13 3 29 5 13 3 (20 1 9) 5 (13 3 20) 1 (13 3 9) Multiplica para hallar los productos parciales. 5 260 1 117 Suma los productos parciales. 5 377

13 3 29 5 13 3 (20 1 9)

Por lo tanto, 13 3 29 5 377. En el modelo, la matriz se ha descompuesto en dos partes. En el Paso 2, la forma desarrollada de un factor se multiplica por el otro factor para formar dos productos parciales. 

¿De qué manera multiplicar por la forma desarrollada del número hace que sea más fácil hallar el producto?

Halla el producto. 1. 2.

11 3 2 8 3 17

11 3 22

Traza un modelo para hallar el producto usando la propiedad distributiva. 3. 6 3 14

4. 3 3 25

 5. 5 3 37

 6. 11 3 16

Usa la propiedad distributiva para hallar el producto. Muestra tu trabajo. 7. 7 3 15

8. 9 3 54

9. 34 3 8

11. 6 3 23

12. 8 3 36

13. 9 3 82

14. 11 3 43

15. 56 3 12

16. 44 3 14

17. 15 3 27

18. 18 3 35

Álgebra

Usa la propiedad distributiva para resolver n.

19. 7 3 98 5 (7 3 90) 1 (7 3 n)

20. 3 3 45 5 (3 3 n) 1 (3 3 5)

21. n 3 13 5 (9 3 10) 1 (9 3 3)

22. 4 3 56 5 (4 3 60) 2 (4 3 n)

23.

10. 5 3 75

¿De qué manera usar la propiedad distributiva hace que sea más fácil hallar el producto?

Capítulo 2 43

Libro 5.indb 43

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Multiplicar por números de 1 dígito

Calcula el producto.

OBJETIVO: Multiplicar por un número de 1 dígito.

1. 4 3 672

2. 335 3 3

3.  1 806 3 7

4. 5 3 7 891

5.  8 288 3 4

Aprende PROBLEMA  Todos los días, una aerolínea tiene seis vuelos de aviones 747 desde New York hasta París. Si cada vuelo transporta un promedio de 238 pasajeros, ¿cuántos pasajeros vuelan en esta aerolínea todos los días desde New York hasta París?

t L a altitud de crucero de un avión 747 es de 9 000 m. El tiempo de vuelo desde París hasta New York es de aproximadamente 7 horas y 55 minutos.

Usa la propiedad distributiva.

Ejemplo  Multiplica. 6 3 238   Haz una estimación. 6 3 200 5 1 200 Recuerda que la propiedad distributiva establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

Paso Escribe el mayor factor en forma desarrollada. 6 3 238 5 60 3 (200 1 30 1 8)

Paso Multiplica cada sumando por 6. 6 3 238 5  6 3 (200 1 30 1 8) 5 (6 3 200) 1 (6 3 30) 1 (6 3 8) 5 1 200 1 180 1 48 5 1 428

Multiplica para hallar los productos parciales. Suma los productos parciales.

Compara el producto con la estimación. Dado que 1 428 se aproxima a 1 200, es una respuesta razonable. Por lo tanto, todos los días, la aerolínea transporta un promedio de 1 428 pasajeros desde New York hasta París.

La expresión 6 3 238 se puede leer de maneras diferentes. •  6 grupos de 238 •  el producto de 6 y 238 •  6 veces 238

44

Libro 5.indb 44

24-01-13 10:07


Usa el valor posicional y el reagrupamiento.

Paso

Paso

Multiplica las unidades. 6 3 8 5 48 unidades Reagrupa.

Paso

Multiplica las decenas. 6 3 3 decenas 5 18 decenas Suma las 4 decenas reagrupadas. 18 decenas 1 4 decenas 5 22 decenas

4

Multiplica las centenas. 6 3 2 centenas 5 12 centenas Suma las 2 centenas reagrupadas. 12 centenas 1 2 centenas 5 14 centenas

2 4

238 3 6 8

238 3 6 28

2 4

238 3 6 1 428

•  ¿En qué se parece multiplicar con reagrupamiento a usar la propiedad distributiva? ¿En qué se diferencia?

Más ejemplos  Valor posicional y reagrupamiento 1 2

  Valor posicional y reagrupamiento 3 4

5 628 3 3 16 884

44 036 3 8 352 288

Para multiplicar un número mayor por un número de 1 dígito, usa el mismo método que usaste para multiplicar por un número de 2 o de 3 dígitos. Simplemente, repite los pasos con todos los dígitos del número mayor.

  Propiedad distributiva 7 3 9 184 5 7 3 (9 000 1 100 1 80 1 4) 5 (7 3 9 000) 1 (7 3 100) 1 (7 3 80) 1 (7 3 4) 5 63 000 1 700 1 560 1 28 5 64 288

Práctica con supervisión Copia y completa. 1. 4 3 283 5 4 3 (200 1 80 1 j)

2. 5 3 769 5 j 3 (j 1 60 1 9)

5 (4 3 200) 1 (j 3 80) 1 (4 3 3)

5 (5 3 j) 1 (5 3 j) 1 (5 3 j)

5 800 1 j 1 12 5 j 1 300 1 j 5 j

5j

Haz una estimación. Luego halla el producto. 3. 36 3 7

4. 497 3 3

5. 208 3 8

7. 821 3 5

8. 4 3 915

9. 3 006 3 9

11.

 6. 556 3 4  10. 9 682 3 2

Explica cómo hallar el dígito que ocupa el lugar de las centenas en el producto de 731 3 7.

Capítulo 2 45

Libro 5.indb 45

24-01-13 10:07


Práctica independiente y resolución de problemas Estima. Luego halla el producto. 12. 32 3 4 13. 85 3 5 14. 709 3 2 15. 573 3 4 16. 625 3 3

17. 423 3 7 18. 716 3 5 19. 11 808 3 8 20. 32 045 3 6 21. 42 531 3 9

22. 632 3 4

23. 709 3 9

24. 4 625 3 3

28. 8 576 3 7

29. 34 253 3 6

25. 5 473 3 2

26. 5 3 3 954

27. 1 739 3 8

Resuelve para hallar el número que falta. Álgebra 30. 6 3 5 396 5  31. 8 3 5 179 5 

32. 5 3 42 736 5 

USA DATOS Para 34–40, usa la tabla.

Tarifas aéreas de ida y vuelta desde Santiago

34. ¿Cuánto le costaría a una familia de cuatro

integrantes un vuelo de ida y vuelta desde Santiago hasta Buenos Aires?

Destino

35. El grupo de teatro de U. de Chile viaja desde

Santiago hasta Chicago para una actuación. Hay 6 actores y 3 acompañantes. ¿Cuánto costarán en total los pasajes de avión? 36. Pamela manejó, de ida y vuelta, desde Santiago

hasta Buenos Aires. Pagó US$452 por el combustible y una noche de estadía en un hotel. ¿Cuánto menos habría pagado Pamela si hubiera volado de ida y vuelta desde Santiago hasta Buenos Aires en un día? 37. El señor Pérez hizo varios viajes de negocios.

Volando desde Santiago, fue hasta Sydney y Chicago una vez, hasta Tokio y París dos veces y hasta Londres cuatro veces. ¿Cuál fue el costo total de los pasajes de avión del señor Pérez? 39. ¿Cuántas veces podría una persona volar de

ida y vuelta desde Santiago hasta Chicago antes de que el costo fuera mayor que el de volar una sola vez desde Santiago hasta Sydney, Australia? 41.

46

Libro 5.indb 46

33. 7 3 135 819 5 

Costo en dólares

Buenos Aires

239

Chicago, IL

140

Londres, Inglaterra

591

París, Francia

883

Tokio, Japón

1 237

Sydney, Australia

1 329

38. El peso de la maleta de un pasajero en cierta

aerolínea no puede exceder los 22 kg. Si una familia de tres integrantes llevó, por persona, dos maletas que pesaban 22 kg cada una, ¿cuál es el peso total de su equipaje? 40. ¿Cuánto más les cuesta a 3 personas viajar de

ida y vuelta desde Santiago hasta Tokio que volar desde Santiago hasta París?

¿Cuál es el error?  Daniel escribió 5 3 2 047 5 (5 3 20) 1 (4 3 4) 1 (4 3 7). Explica su error. Luego escribe correctamente la ecuación.

Práctica adicional en la página 56, Grupo C

24-01-13 10:07


Comprensión de los Aprendizajes 42. Escribe una regla para la tabla usando una

ecuación con la variable x y la variable y.

45. Preparación para la prueba  ¿Cuánto cuestan

6 boletos de tren si un boleto cuesta $3 490?

Entrada

x

6

15

18

23

28

A $6 980

C $20 700

Salida

y

13

22

25

30

35

B $10 470

D $20 940

46. Preparación para la prueba  ¿Qué expresión 43. Escribe 0,7 en forma de fracción cuyo

denominador sea un centésimo. 44. Una tienda de artículos para restaurantes cobra

$76 por una cuchara. ¿Aproximadamente cuánto costarían 38 cucharas?

tiene el mismo valor que 5 3 (900 1 60 1 4)? A 5 3 900 604 B 4 500 1 60 1 4 C 4 500 1 300 1 20 D 45 1 30 1 20

PERCEPCIÓN NUMÉRICA  El matemático Carl Friedrich Gauss, nació en Alemania en 1777. Esta es una anécdota famosa que se cuenta sobre Gauss, cuando tenía 10 años. El maestro de Gauss les pidió a él y a sus compañeros de clase que sumaran los números del 1 al 100. El maestro se quedó sorprendido cuando, en unos instantes, Gauss se acercó con la respuesta correcta de 5 050. Esta es una manera en que Gauss pudo haber respondido la pregunta.

...

1 1 100 5 101 Empieza con el número mayor y con el número menor. 2 1 99 5 101 Sigue sumando el siguiente número mayor y el siguiente número menor. 3 1 98 5 101 La suma de cada par es 101. Carl Friedrich Gauss 49 1 52 5 101 Este es el último par porque son sumandos consecutivos que dan un total de 101. 50 1 51 5 101 

Hay 50 pares. El primer sumando de cada suma cuenta el número de pares.

Hay 50 sumas de 101, por lo tanto, multiplica 50 3 101.  50 3 101 5 5 050 Usa el método de arriba para hallar la suma de los números. 1. de 1 a 50

2. de 1 a 80

3. de 1 a 200

4. de 1 a 500

Capítulo 2 47

Libro 5.indb 47

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

5

Repaso rápido

Multiplicar por números de 2 dígitos

1. 48 3 4

2. 5 3 23

3. 85 3 4

4. 50 3 70

5. 83 3 2 

OBJETIVO: Multiplicar por un número de 2 dígitos.

Aprende PROBLEMA  Ana vive en Puerto Montt y planea ir en bicicleta hasta Valdivia. Quiere hacer unas pocas excursiones a lo largo del camino. Planea viajar alrededor de 18 km cada día durante 12 días. ¿Cuántos kilómetros en total planea recorrer Ana en bicicleta?

Ejemplo  Multiplica. 18 3 12 Paso

Valdivia

La distancia entre Valdivia y Puerto Montt es más o menos 216 km

Haz una estimación. 20 3 10 5 300

Paso

Multiplica por las unidades. 1

1 831 2 36

Pto. Montt

Paso

Multiplica por las decenas.

Suma los productos parciales.

1

1

1 831 2 36 1 80

1 831 2 36 1 80 2 16

productos parciales

Por lo tanto, Ana planea recorrer en bicicleta 216 km. Dado que este número es cercano a la estimación de 300, es una respuesta razonable. •  En el Paso 2, ¿por qué el producto parcial de 180 tiene un cero en el lugar de las unidades?

Más ejemplos  Dinero

  Factor de 2 dígitos

5 3

$ 2 837 4 1 1 2 ← 4 3 28 + 1 9 6 0 ← 70 3 28 $2 072

  Dos factores de 2 dígitos

6 2

8 139 5 4 0 5 ← 5 3 81 + 7 2 9 0 ← 90 3 81 7 695

6 933 7 ← 7 3 69 483 ← 30 3 69 2 070 2 553

48

Libro 5.indb 48

24-01-13 10:07


Práctica con supervisión Halla los números que faltan. 1.

4 531 7 3 1 5 ← 45 3  + 4 5 0 ← 45 3  765

2.

6 832 9 6 1 2 ←  3  + 1 3 6 0 ←  3  1 972

3.

5 733 8 4 5 6 ←  3  + 1 7 1 0 ←  3  

Haz una estimación. Luego, halla el producto.  4. 22 3 19 5. 30 3 36 6. 41 3 54

7. $53 3 85

8. 68 3 67

Práctica independiente y resolución de problemas Haz una estimación. Luego, halla el producto. 9. 29 3 53 10. 60 3 72 11. 72 3 46 12. $41 3 81 13. 30 3 19 14. 22 3 34

15. 43 3 50

16. 25 3 18

17. 52 3 70

18. 93 3 25

Resuelve. 19. Mientras Pablo anda en bicicleta, su frecuencia

21. Sandra se entrenó para una carrera de

cardíaca llega a 98 latidos por minuto durante 5 minutos. Durante este período de 5 minutos, ¿cuántas veces late el corazón de Pablo?  20.

bicicletas recorriendo 95 kilómetros por día, 4 días por semana, durante 8 semanas. ¿Cuál es la cantidad total de kilómetros que Sandra recorrió para entrenarse? 

¿Cuál es la pregunta?  Un artista de circo, tiene una bicicleta cuyas ruedas miden 27 cm, recorre alrededor de 85 cm por cada revolución de las ruedas. Las ruedas dan 78 revoluciones. La respuesta es 6 630 cm. 

27cm

aprox. 216 cm

Comprensión de los Aprendizajes 22. El perímetro de un jardín cuadrado mide

196 metros. ¿Cuál es la longitud de cada lado? 23. Romina corrió 3,6 km el martes y 3,48 km el

miércoles. ¿Qué día corrió Romina la mayor distancia?

24. ¿Qué número hace que el enunciado sea

4 3 29 5 (4 3 n) 1 (4 3 9) es verdadero? 25. Preparación para la prueba  ¿Cuánto dinero

gana una tienda que exporta 57 libros a US$72 dólares US$ cada una? A US$129 C US$4 104 B US$3 600 D US$3 990

Práctica adicional en la página 57, Grupo D

Libro 5.indb 49

Capítulo 2 49

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

Practicar la multiplicación OBJETIVO: Practicar la multiplicación por números de 1 y 2 dígitos.

1. 90 3 40

2. 40 3 61

3. 74 3 5 

4. 96 3 27

5. 30 3 40 

Aprende PROBLEMA  El peso de un elefante macho africano puede ser 85 veces mayor que el peso de un león joven. Si un león joven pesa en promedio alrededor de 72 kg, ¿cuánto podría pesar un elefante macho africano?

Ejemplo Multiplica. 85 3 72 Paso

Haz una estimación. 90 3 70 5 6 300

Paso

Multiplica por las unidades.

Paso

Multiplica por las decenas.

1

8 537 2 170

Suma los productos parciales.

3 1

3 1

8 537 2 170 +5 950

8 537 2 170 +5 950 6 120 p La trompa de un elefante africano contiene más de 40 000 músculos.

Por lo tanto, un elefante macho africano puede pesar unos 6 120 kg. Este número se acerca a la estimación de 6 300; por lo tanto, la respuesta es razonable.

Más ejemplos   Multiplica por 1 dígito.

  Multiplica por 2 dígitos.

5

3 639 32 4

  Usa la propiedad distributiva.

1 2

5 4336 324 +1 620 1 944

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Cuando multiplicas por las decenas, coloca un cero en el lugar de las unidades para alinear los valores posicionales.

20 3 32 5 20 3 (30 1 2) 5 (20 3 30) 1 (20 3 2) 5 600 1 40 5 640

50

Libro 5.indb 50

24-01-13 10:07


Práctica con supervisión 1. Copia cada paso del problema de la

Paso

derecha. Luego di qué sucede en cada paso.

5

3. 4 3 655

Paso 1 5

5 2 837 6

Haz una estimación. Luego, halla el producto. 2. 201 3 5

Paso

1 5

5 2 837 96

4. 33 3 31

5 2 837 3 696

 5. 42 3 29

 6. 87 3 36

Explica por qué es importante el valor posicional cuando multiplicas.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Haz una estimación. Luego, halla el producto. 8. 16 3 6 9. 43 3 8 10. 35 3 9 11. 15 3 4 12. 14 3 8 13. 57 3 31

14. 18 3 55

15. 81 3 36

16. 64 3 54

17. 73 3 13

USA DATOS  Para 18–19, usa la tabla. 18. ¿Cuántos kilogramos de alimento come un león

Alimentación de los animales

en un año? (1 año 5 365 días.) 19.

Animal

¿Tiene sentido o no?  Miguel dice que el producto de un número de 1 dígito y un número de 2 dígitos es un número de 4 dígitos. ¿Tiene sentido el enunciado de Miguel? ¿Por qué?

Alimento diario (en kg)

gorila

20

hipopótamo

75

león

8

Hipopótamo

Comprensión de los Aprendizajes 20. ¿Qué dígito está en el lugar de los millones en

el número 146 378 920? 21. María está leyendo un libro de 98 páginas. Lee

15 páginas todos los días durante 6 días. ¿Cuántas páginas le quedan por leer a María?

22. Preparación para la prueba  La entrada a

un museo de historia natural cuesta $2 473 por persona. ¿Cuánto dinero pagan en total 6 visitantes en un día por concepto de entradas? A $12 428 B $12 838 C $14 828 D $14 838

Práctica adicional en la página 57, Grupo E

Libro 5.indb 51

Capítulo 2 51

24-01-13 10:07


LE C C

N IÓ

7 Estrategia: Predecir y probar

OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia predecir y probar.

Aprende la estrategia A veces, es posible que no estés seguro de cómo resolver un problema. Otras veces, puede haber muchas maneras de resolver un problema, pero no estás seguro de cuál es la mejor. Puedes predecir una solución para el problema, y luego probar y revisar la solución hasta que tu respuesta sea correcta.

Usa la estimación y la percepción numérica para predecir y probar. El producto de 8 y un número es 504. ¿Cuál es el número?

Estimación: Puedo redondear 8 a 10. ¿Qué puedo multiplicar por 10 para que me dé un producto que se aproxime a 500? 10 3 50 5 500 Piensa: Para obtener un producto que termine en 4, 8 se debe multiplicar por un número que termine en 3 o en 8. El número debe acercarse a la aproximación, 50. Predice: 58 o 63. Prueba: 58 3 8 5 104, que es demasiado alto. 63 3 8 5 504, por lo tanto, 63 es la solución al problema.

Usa patrones para predecir y probar. Hay 50 problemas en un examen. Por cada respuesta correcta, se dan 2 puntos. Por cada respuesta incorrecta, se pierde 1 punto. En el examen, Tina obtuvo 91 puntos. ¿Cómo puede determinar Tina el número de problemas en los que se equivocó?

Predecir

Examen

Correcta

Incorrecta

Puntuación

Patrón

50

0

(50 3 2) 2 0 5 100

49

1

(49 3 2) 2 1 5 97

restar 3

demasiado alta

48

2

(48 3 2) 2 2 5 94

restar 3

demasiado alta

47

3

(47 3 2) 2 3 5 91

restar 3

correcta

demasiado alta

Tina puede predecir el número de respuestas en las que se equivocó, haciendo una tabla para hallar un patrón. Cada respuesta incorrecta resta 3 puntos. Tina puede restar 3 puntos de 100 hasta que alcance su puntuación. Luego puede usar la tabla para hallar el número de problemas en los que se equivocó.

Revisa tu predicción cuando tu suposición no sea la solución. Vuelve a leer el problema y halla un método que te ayude a hacer una predicción que se aproxime a la respuesta real.

¿Cómo revisas tu predicción si la solución que probaste es demasiado grande o demasiado pequeña?

52

Libro 5.indb 52

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Usa la estrategia PROBLEMA Jorge está tomando lecciones de natación y de fútbol mientras está en el campamento. Hasta ahora, Jorge ha pagado $11 600. Si las lecciones de natación cuestan $800 y las lecciones de fútbol cuestan $1 500 cada una, ¿cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Jorge?

• Resume lo que te piden hallar. • ¿Qué información no se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes predecir y probar para tratar de resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Haz una tabla para mostrar tus predicciones y pruebas. Tu tabla debe tener suficientes hileras para incluir varias predicciones. Empieza haciendo una estimación y usando la percepción numérica. Diez lecciones de natación cuestan $8 000; diez lecciones de fútbol cuestan $15 000 y diez de cada una cuestan $23 000. Cinco lecciones de cada tipo costarían la mitad, o $11 500.

Predecir

Probar

Revisar

5 lecciones de natación, 5 lecciones de fútbol

(5 3 $800) 1 (5 3 $1 500) 5 $4 000 1 $7 500 5 $11 500

demasiado baja pero se acerca, intenta con una lección de natación menos y una lección de fútbol más

4 lecciones de natación, 6 lecciones de fútbol

(4 3 $800) 1 (6 3 $1 500) 5 $3 200 1 $9 000 5 $12 200

demasiado alta, trata de ajustar los números de otra manera

6 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(6 3 $800) 1 (4 3 $1 500) 5 $4 800 1 $6 000 5 $10 800

demasiado baja; faltan solo $800, necesitas 1 lección de natación más

7 lecciones de natación, 4 lecciones de fútbol

(7 3 $800) 1 (4 3 $1 500) 5 $5 600 1 $6 000 5 $11 600

correcta

Por lo tanto, Jorge ha tomado 7 lecciones de natación y 4 lecciones de fútbol.

• ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? • ¿Tiene sentido tu respuesta para el problema?

Capítulo 2 53

Libro 5.indb 53

24-01-13 10:07


Resolución de problemas con supervisión 1. Sofía va a un campamento de aventura de deportes acuáticos. Está

aprendiendo a bucear y a hacer esquí acuático. Las lecciones de buceo cuestan $7 500 por día y las lecciones de esquí cuestan $5 600 por día. Hasta ahora, Sofía ha pagado $50 500. ¿Cuántas lecciones de cada tipo ha tomado Sofía? Primero, predice el número de lecciones de buceo y el número de lecciones de esquí que ha tomado.

Predecir

Luego, prueba la predicción comparando el costo con $50 500.

Probar

Revisar

4 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí

(4  $7 500)  (4  $5 600)  demasiado alta; intenta con $52 400 una lección de buceo menos

3 lecciones de buceo 4 lecciones de esquí

demasiado baja; piensa: (3  $7 500)  (4  $5 600)  ¿cuánto mayor es $50 500 $44 900 que $44 900?



?



Finalmente, revisa tu predicción si es necesario. Repite hasta que tu solución concuerde con la información dada en el problema.

3. En el campamento, Luis está fabricando

2. ¿Qué pasaría si Sofía hubiera gastado $58 000

billeteras y señaladores de libros. Los adornos para los señaladores cuestan $300 y los adornos para las billeteras cuestan $800. Luis gastó $3 400 en adornos. ¿Cuántos señaladores y cuántas billeteras está planeando fabricar?

en las lecciones de buceo y de esquí? ¿Cuántas lecciones de cada tipo habría tomado?

Resolución de problemas con supervisión Predecir y probar para resolver.

Actividades del campamento

USA DATOS Para 4–6, usa la tabla.

Actividad

4. El lunes y el martes, Carlos realizó una

combinación diferente de actividades en el campamento. Realizó tres actividades diferentes cada día. Pagó $12 000 por las actividades del lunes y pagó $17 000 por las actividades del martes. ¿Qué actividades realizó Carlos cada día?

6.

5. Razonamiento  Amanda hizo dos tipos

diferentes de actividades cada día, desde el lunes hasta el sábado. La tabla siguiente muestra la cantidad que pagó por día. ¿Cuáles son las dos actividades que Amanda hizo cada día? Día Cantidad

lun.

mar.

mié.

jue.

vie.

$7 000 $13 000 $12 000 $9 000 $11 000

Costo

natación

$4 000 por día

arquería

$3 000 por día

equitación

$8 000 por día

buceo

$5 000 por día

Describe tres maneras en que un campista podría gastar $15 000 o menos por 3 días de actividades, haciendo una actividad cada día.

sáb. $8 000

54

Libro 5.indb 54

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Práctica de estrategias mixtas USA DATOS  Para 7–12, usa la información de la tabla. 7. David va a ir a un campamento de artes escénicas durante 2 semanas. Ha ahorrado $5 110 y su padre aportará $2 500. ¿Cuánto dinero más necesitará ahorrar David para pasar dos semanas en el campamento? 8. Cynthia va a un campamento de informática durante una

semana. Pagará el costo semanal del campamento y necesita comprar útiles. Necesita comprar 10 CD en blanco a $100 cada uno, una resma de papel para imprimir a $3 500 y unos auriculares a $7 000. ¿Cuánto dinero en total necesita Cynthia? 9. Valentina decidió no ir al campamento de astronautas porque

era demasiado caro. En su lugar, quiere ir a un campamento de surf. ¿Durante cuántas semanas puede ir al campamento de surf en lugar de ir una semana al campamento de astronautas? 10.

11.

Formula un problema  Vuelve al Problema 8. Escribe un problema similar cambiando el tipo de campamento, los útiles necesarios y los números. Problema abierto  La abuela de Héctor le dio $30 000 para ir al campamento de verano. Describe otras maneras en que Héctor pudo gastar el dinero para ir a campamentos diferentes durante cantidades de tiempo diferentes.

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

Campamentos de verano Tipo de campamento

Costo semanal

Astronauta

$16 350

Informática

$13 330

Artes escénicas

$6 250

Surf

$3 140

12. José ganó 3 veces más insignias al mérito que Juan en

el campamento de exploradores. Juan ganó 3 insignias al mérito menos que Jorge. Jorge ganó 6 insignias al mérito. ¿Cuántas insignias al mérito ganó José y cuántas ganó Juan?

ESFUÉRZATE Mientras David está en el campamento, envía una postal a su mamá y a su papá cada dos días y una postal a su abuela cada cinco días. 13. David ha enviado un total de 9 postales. ¿Cuál es el menor número de días que David pudo haber estado en el campamento? 14. Si David pasa todo el mes de julio en el

campamento, ¿cuántas veces enviará una postal a sus padres y a su abuela el mismo día? Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 2 55

Libro 5.indb 55

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Práctica adicional Grupo A  Usa el cálculo mental para hallar el producto. 1. 30 3 60

2. 9 3 400

3. 5 3 70 4. 10 3 60

5. 40 3 80 6. 9 3 50

7. 20 3 80

8. 40 3 12

9. 8 3 70 10. 5 3 60 11. 70 3 30

12. 50 3 80

13. 2 3 90 14. 30 3 13 15. 90 3 60

16. 50 3 14

17. El señor López encargó 8 cajas de lápices.

18. Cada paquete de tachuelas contiene

En cada caja hay 70 lápices ¿Cuántos lápices encargó?

120 tachuelas. ¿Cuántas tachuelas hay en 30 paquetes?

Grupo B  Estima el producto. 1. 42 3 23

2. 98 3 61

5. 72 3 51 6. 87 3 29

3. 34 3 17 4. 82 3 39 7. 48 3 32

8. 68 3 51

9. 23 3 61 10. 46 3 58 11. 18 3 47

12. 42 3 88

13. 31 3 75 14. 53 3 38 15. 19 3 17

16. 42 3 23

17. Una tienda encargó 48 cajas de tarjetas. Cada

18. Una tienda vendió 272 agendas. Cada agenda

caja tiene 112 tarjetas. ¿Aproximadamente cuántas tarjetas encargó la tienda? 

costó $1 200. ¿Aproximadamente cuánto ganó la tienda por las agendas? 

Grupo C  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 73 3 6 2. 49 3 3 3. 50 3 8 4. 639 3 2 5. 391 3 7 6. 45 3 6 7. 21 3 9 8. 50 3 7 9. 39 3 4 10. 41 3 8 11. 82 3 4

12. 9 3 26

13. 470 3 6 14. 3 3 74 15. 90 3 5

16. 6 3 265

17. Clara vendió 6 talonarios de boletos de rifa.

Cada talonario contiene 32 boletos de rifa. ¿Cuántos boletos de rifa vendió en total? 

18. Diego leyó los 8 libros de una serie policial.

Si cada libro tiene 245 páginas, ¿cuántas páginas leyó en total? 

56

Libro 5.indb 56

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Grupo D  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 38 3 17 2. 50 3 24 3. 23 3 32 4. 19 3 78 5. 40 3 86 6. 20 3 46 7. 71 3 34 8. 18 3 16 9. 81 3 57 10. 20 3 63 11. 58 3 43 12. 50 3 13

13. 90 3 83 14. 19 3 36 15. 14 3 26 16. 41 3 73 17. 83 3 60

18. 19 3 46 19. 7 3 30 20. 19 3 27

21. El señor Carter recorre 135 kilómetros en

22. Paint Plus vendió 3 litros de pintura

bicicleta cada semana. ¿Cuántos kilómetros recorre en 5 semanas? 

a $2 700 el litro. ¿Cuánto fue el total de ventas de la pintura? 

Grupo E  Halla el producto. Estima para comprobar. 1. 24 3 7 2. 39 3 4 3. 27 3 5 4. 69 3 3 5. 72 3 6 6. 21 3 37 7. 82 3 15 8. 41 3 40 9. 40 3 28 10. 30 3 52 11. 27 3 9 12. 84 3 62

13. 72 3 58 14. 27 3 29 15. 20 3 21 16. 45 3 37 17. 10 3 72

18. 63 3 50 19. 51 3 40 20. 9 3 12

21. En un envío hay 5 cajas de papel. Cada caja

contiene 450 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel hay en el envío? 

22. Una compañía saca a la venta 32 boletines

informativos cada semana. ¿Cuántos boletines sacará a la venta la compañía en 8 semanas? 

Capítulo 2 57

Libro 5.indb 57

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Repaso/Prueba del Capítulo 2 Comprueba el vocabulario y los conceptos Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro para el Ejercicio 1.        1. La — ​  ?  ​ establece que multiplicar una suma por un número

Propiedad distributiva producto parcial

es igual que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

2. Explica cómo puedes usar la propiedad distributiva para que sea

más fácil hallar un producto.

Comprueba tus destrezas Halla el producto. 3. 80 3 20

4. 6 3 90

5. 70 3 50

6. 4 3 30

10. 21 3 49

11. 91 3 32

7. 40 3 30

Estima el producto. 8. 38 3 61

9. 56 3 87

12. 197 3 2

Haz una estimación. Luego halla el producto. 13. 56 3 8 14. 782 3 5 15. 918 3 3 16. 43 3 29 17. 72 3 15 18. 428 3 7

19. 5 3 3 105

20. 26 3 73

21. 85 3 39

22. 2 3 602

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. En la feria de libros, los libros encuadernados

en pasta cuestan $7 000 cada uno y los libros en rústica cuestan $2 000 cada uno. Doris gastó $40 000 en libros en la feria. ¿Cuántos libros de cada tipo compró?  25. 

24. El señor Lobos gastó $12 900 en boletos para

el concierto. Los boletos costaron $1 800 para los adultos y $1 500 para los niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo compró? 

  Estima el producto de 93 3 62. Explica cómo sabes

si la estimación es mayor o menor que el producto real.

58

Libro 5.indb 58

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Enriquecimiento • Propiedad distributiva Los estudiantes están observando fósiles organizados en 4 cajas de exhibición. Cada caja contiene 140 fósiles. ¿Cuántos fósiles hay? Puedes usar números compatibles y la propiedad distributiva para hallar el producto mentalmente. Ejemplo Halla 4 3 140. 4 3 140 5 4 3 (100 1 40) 5 (4 3 100) 1 (4 3 40) 5 400 1 160 5 560

Descompón 140 en números compatibles. Piensa: 140 5 100 1 40 Usa la propiedad distributiva. Multiplica mentalmente. Suma mentalmente.

Fósil

Por lo tanto, hay 560 fósiles. Otro Ejemplo Halla 6 3 48. 6 3 48 5 6 3 (m 2 n) 5 (6 3 m) 2 (6 3 n) 5 (6 3 50) 2 (6 3 2) 5 300 2 12 5 288

Descompón Descompón 48 48 en en números números compatibles. compatibles. Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 Piensa: 48 5 50 2 2 Sea m 5 50 50 yy n n5 5 2. 2. Usa Usa la la propiedad propiedad distributiva. distributiva. Multiplica Multiplica mentalmente. mentalmente. Resta mentalmente. Resta mentalmente.

Inténtalo    Usa números compatibles y la propiedad distributiva para hallar mentalmente el producto. 1. 2 3 156

2. 3 3 197

3. 5 3 210

4. 8 3 525

5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485 5. 6 3 395 6. 4 3 550 7. 2 3 176 8. 4 3 485 9.  Desafío En la tienda de regalos del museo, los libros de calcomanías cuestan D esafío En la tienda de regalos del4 museo, loscalcomanías? libros de calcomanías cuestan 9.  $6.50 cada uno. ¿Cuánto cuestan libros de

$650 cada uno. ¿Cuánto cuestan 4 libros de calcomanías? Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9,998. Explica cómo hallarías mentalmente 3 3 9 998.

Capítulo 2  59

Libro 5.indb 59

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Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 1-2

Percepción numérica

Geometría 5. ¿Qué cuerpo geométrico tiene 6 caras? 

Eliminar opciones. Mira el ítem 1. Halla las respuestas en las cuales se compara solamente la población de Curicó y de Talca. Luego elige la comparación correcta.

A pirámide cuadrada B cubo C cono D prisma triangular

6. Alberto está haciendo una copia de la bandera

chilena. Cada lado de la estrella de la bandera mide 4 cm.

1. ¿En qué respuesta se compara correctamente

la población de Curicó y de Talca? 

Población en 2011

4 cm

Ciudad

Población

Talca

20 851 820

Arica

11 353 140

Curicó

33 871 648

¿Cuál es el perímetro de la estrella? 

A 33 871 648 . 20 851 820

A 28 cm

B 33 871 648 , 20 851 820

B 32 cm

C 33 871 648 . 11 353 140

C 36 cm

D 20 851 820 , 11 353 140

D 40 cm

2. Un agricultor plantó 4 608 plantas de alcachofa

en 8 hileras iguales. ¿Cuántas plantas de alcachofa hay en cada hilera?  A 576

C 586

B 581

D 601

7.

Explica cómo hallarías el área de una bandera que mide 6 m de largo y 4 m de ancho.

3. ¿Cuál de los siguientes decimales es 3 equivalente a ​ __ 10   ​?

A 3,0 B 0,3 4.

C 0,03 D 0,003

Explica cómo calcularías la cantidad total de plantas de alcachofas del ítem 2.

60

Libro 5.indb 60

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Álgebra

Estadística

8. Si f 5 7, ¿cuál es el valor de 28 2 f ?

12. Observa la siguiente tabla. ¿Cuántos

A 4

C 21

B 11

D 35

computadores se vendieron los días 2, 3 y 4?

Ventas de computadores Día 1 2 3 4 5 6

9. Mira la tabla de entradas y salidas.

Entrada

Salida

x

y

12

6

24

12

36

18

48

j

¿Cuál es el número desconocido?  A 96

C 24

B 60

D 20

10. A las 10:00 a.m., la temperatura era de 25 °C.

Computadores vendidos 5 6 6 6 7 2

A 6 + 6

C 6 X 3

B 17

D 23

13. Mira la siguiente tabla.

¿Cuántas revistas más se vendieron en la semana 3 que en la semana 4?

Al mediodía, la temperatura había subido unos grados. ¿Qué expresión muestra la temperatura al mediodía?

Ventas de revistas

A 25 2 t

Semana

Revistas vendidas

1

1 240

2

989

B 25 1 t

3

3 205

C t 2 25

4

2 754

A 1 551

C 551

B 1 441

D 451

D 25 3 t

11.

Explica cómo usarías la propiedad distributiva para hallar 3 3 46. 

Capítulo 2 61

Libro 5.indb 61

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3

Dividir entre divisores de 1 y 2 dígitos La idea importante

La división de números de varios dígitos entre números de 1 y 2 dígitos se basa en el valor posicional y en las operaciones básicas de multiplicación y división.

Para el Desfile del 21 de mayo, las bandas se van a colocar en filas. En cada fila habrá entre 6 y 11 miembros. Elige una de las bandas del cuadro. Divide la banda en filas, cada una con una cantidad igual de miembros. ¿Cúal es la mayor cantidad de miembros que se puede incluir en filas que sean iguales? ¿Y la menor cantidad?

360 340 320 300 280 260 240 220 200 180 160 0

Chile

ia Va go lp ar aís o

nt

Sa

illo Qu

ua ah Ta lc

ta

DATO BREVE

no

Cantidad de miembros

Desfile del 21 de mayo Bandas escolares

Bandas escolares

En Talcahuano, 4 mil escolares de distintas ciudades del país participaron en el primer desfile post terremoto, 27 de febrero de 2010, en conmemoración del 21 de mayo.

62

Libro 5.indb 62

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 3.

u Estimar cocientes Estima el cociente.

1. 130 4 4

2. 230 4 6

3. 280 4 3

4. 340 4 5

5. 500 4 8

6. 520 4 9

7. 390 4 4

8. 640 4 7

9. 400 4 6 

10. 370 4 6 

11. 610 4 8 

12. 200 4 3 

u Ubicar el primer dígito Identifica la posición del primer dígito del cociente.

13. 428 4 5

14. 361 : 2

15. 403 4 7

16. 572 4 9

17. 645 4 3

18. 793 4 4

19. 622 4 8

20. 917 4 6

u Multiplicar por números de 1 y 2 dígitos Halla el producto.

21. 78 3 6

22. 413 3 9

23. 826 3 5

24. 673 3 8

25. 32 3 12

26. 16 3 33

27. 27 3 25

28. 31 3 34

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

expresión algebraica números compatibles dividendo divisor evaluar expresión númerica cociente variable

PREPARACIÓN

números compatibles números que son fáciles de calcular mentalmente evaluar hallar el valor de una expresión númerica o algebraica cociente el número que, sin el residuo, resulta al dividir

Capítulo 3  63

Libro 5.indb 63

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Estimar con divisores de 1 dígito OBJETIVo: Estimar cocientes usando números compatibles y redondeando.

1. 15 4 3

2. 24 4 4

3. 32 4 8

4. 49 4 7

5. 54 4 6

Vocabulario Aprende

números compatibles

PROBLEMA  Los camiones con remolque trasladan automóviles desde las fábricas hasta los concesionarios. Cada camión puede trasladar 9 automóviles. El mes pasado, un concesionario vendió 405 automóviles. ¿Aproximadamente cuántas cargas de camión se vendieron? Para estimar cocientes, puedes redondear o usar números compatibles. Los números compatibles son números que pueden calcularse mentalmente con facilidad.

Usa números compatibles. Haz un estimación. 405 4 9 Paso

Halla los múltiplos de 9.

9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81 Paso

Mira los dígitos con los que empiezan. Dado que 40 está entre 36 y 45, usa 36 y 45 como números compatibles.

Usa 2 conjuntos de números compatibles para estimar el cociente.

405 4 9 o 405 4 9 ↓ ↓ ↓ ↓ 360 4 9 5 40      450 4 9 5 50

En la estimación, usa el mismo valor posicional de la ecuación original.

Usa el redondeo y patrones en los múltiplos de 10.

Paso

Paso

Redondea el dividendo y el divisor al primer dígito, cada uno multiplicado por la potencia de 10 más cercana.

Divide. 400 4 10

405 4 9 ↓ ↓ 400 4 10

Piensa: ¿Qué puedo multiplicar por 10 para obtener un producto de 400?

10 3  5 400  5 40

400 4 10 5 40

Por lo tanto, se vendieron entre 40 y 50 cargas de autos.

Más ejemplos  Usa números compatibles. 236 4 4 o 236 4 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 200 4 4 5 50        240 4 4 5 60

 Usa el redondeo. 267 4 3 ↓ ↓ 300 4 3 5 100

64

Libro 5.indb 64

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Práctica con supervisión 1. Estima 624 4 8 usando números compatibles.

560 4 8 5  640 4 8 5 

Estima el cociente. 2. 333 4 9

3. 648 4 6

4. 455 4 7

 5. 216 4 6

 6. 598 4 8

Explica cómo sabes que 40 es una sobrestimación para 351 4 9.

 ​ 7.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima el cociente. 8. 704 4 2

9. 430 4 5

10. 208 4 8

11. 296 4 4

12. 534 4 6

13. 268 4 6

14. 894 4 3

15. 324 4 9

16. 832 4 4

17. 595 4 7

USA DATOS  Para 18–20, usa la tabla. 18. Una tienda de reparación de motocicletas recibió

Envío de motores de motocicletas por peso total

un envío de motores que incluía 7 motores Wind Rider. ¿Cuánto pesa aproximadamente cada motor Wind Rider?

Tipo de motores de motocicleta

19. En el envío, hay 6 motores Open Road. ¿Cuánto

pesa aproximadamente cada motor Open Road? 20. El envió incluía 6 motores Strada Sprint.

¿Aproximadamente cuánto más pesa un motor Open Road que un motor para una Strada Sprint? 21.

Peso total (en kg)

Open Road

468

Strada Sprint

342

Wind Rider

476

Explica cómo estimar 478 4 7 usando dos conjuntos de números compatibles.

Comprensión de los Aprendizajes 22. 56 3 18 5

23. Mariela tiene 2 hámsters, Caco y Rolo. Caco pesa 0,31 kilogramos y Rolo pesa 0,27 kilogramos. ¿Qué hámster pesa menos? 24. Estima el producto. 82 3 81

25. Preparación para la prueba  El señor Núñez manejó 458 km en 3 días. Si manejó aproximadamente la misma cantidad de kilómetros cada día, ¿qué distancia recorrió en 1 día? A aproximadamente 200 km B aproximadamente 150 km C aproximadamente 100 km   D aproximadamente 90 km

Práctica adicional en la página 86, Grupo A y D

Libro 5.indb 65

Capítulo 3 65

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Dividir entre divisores de 1 dígito

1. 5 3 9

2. 4 3 70

3. 6 3 60

4. 8 3 300

5. 7 3 800

OBJETIVO: Dividir dividendos de 3 y 4 dígitos entre divisores de 1 dígito.

Aprende PROBLEMA En 2011 terminó la elaboración de lingotes de cobre refinados a fuego (RAF) en la mina El Teniente. Imagina que con 195 kg en el horno se obtienen 5 lingotes. ¿Cuántos kilogramos pesaría cada lingote?

pC  hile es el principal productor de cobre del mundo.

Haz una estimación para colocar el primer dígito.

Divide. 195 4 5.

Paso

Paso

Haz un estimación.

Divide las 19 decenas.

Baja las 5 unidades. Divide las 45 unidades.

150 4 5 = 30  o  2 ​ 00 4 5 = 40

1 9’ 5 4 5 = 3 – 15 4

1 9’5’4 5 = 3 9 – 15 45 –45 0

Por lo tanto, coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

Paso

Divide. 19 4 5 Multiplica. 5 3 3 Resta. 19 2 15 Compara. 4 , 5

Divide. 45 4 5 Multiplica. 5 3 9 Resta. 45 2 45 Compara. 0 , 5

150 4 5 =  Por lo tanto, cada lingote de cobre pesaría 39 kg.

Más ejemplos Divide.  4 872 4 8

  1 700 4 9

Estima: 4 800 4 8 5 600 4 8’7’2’4 8 = 6 0 9 –4 8 07 Dado que 7 , 8, –0 escribe 0 en 72 el cociente en –72 el lugar de las 0

Recuerda

Estima: 1 800 4 9 5 200 Comprueba ✓ 7

6 0 938 4 8 7 2

1 7’0’0’4 9 = 1 8 8 9 80 – 72 80 –72 8

decenas.

Comprueba ✓ 7 7

El residuo es la cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir en partes iguales.

1 8 839 1 6 9 2

+

1 6 9 2 8 1 7 0 0

Para comprobar tu respuesta, multiplica el cociente por el divisor. Luego agrega el residuo para obtener el dividendo.

66

Libro 5.indb 66

24-01-13 10:08


Usa el valor posicional para colocar el primer dígito. Divide. 637 4 7.

Paso

Paso

Mira las centenas. 637 4 7 6 , 7, por lo tanto, mira las decenas.

Paso

Divide las 63 decenas.

Baja las 7 unidades. Divide las 7 unidades.

6 3’ 7 4 7 = 9 Divide. 63 4 7 – 63 Multiplica. 937 0 Resta. 63 2 63

6 3’7’4 7 = 9 1 – 63 07 – 7 0

637 4 7 =  63 . 7, por lo tanto usa las 63 decenas.

Compara.

0,7

Divide. 7 4 7 Multiplica. 1 3 7 Resta. 727 Compara. 0,7

Coloca el primer dígito en el lugar de las decenas.

Por lo tanto, el cociente es 91.

Más ejemplos Divide.  2 654 4 5

 3 702 4 7

2 6’5’4’4 5 = 5 3 0 –2 5 15 – 15 04

3 7’0’2’4 7 = 5 2 8 –3 5 20 – 14 62 –56 6

Comprueba ✓ 5 2 84 7= 3 6 9 6

​    ​     3 696  1       6 __ 3 702

•  Explica cómo comprobarías la respuesta del Ejemplo C.

Práctica con supervisión 1. Usa la estimación para hallar la posición del primer dígito

del cociente para 236 4 4. Estima: 200 4 4 5 50. Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 2. 579 4 3 7.

3. 1 035 4 5

4. 282 4 6

 5. 1 766 4 8

 6. 1 027 4 4

Explica cómo sabes, sin dividir, si un número de 3 dígitos dividido entre un número de 1 dígito tendrá un cociente de 2 o 3 dígitos.

Capítulo 3 67

Libro 5.indb 67

24-01-13 10:08


Práctica independiente y resolución de problemas Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego, halla el primer dígito. 8. 275 4 5

9. 624 4 8

13. 966 4 7

14. 3 220 4 4

10. 468 4 3

11. 810 4 2 12. 2 546 4 8

15. 1 157 4 9

16. 6 723 4 6

17. 8 567 4 7

Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 18. 518 4 2

19. 618 4 6

20. 736 4 8

21. 1 716 4 4

22. 1 875 4 5

23. 223 4 3

24. 693 4 5

25. 762 4 4

26. 2 012 4 8

27. 1 729 4 2

28. 693 4 9

29. 2 203 4 4

30. 341 4 2

31. 3 632 4 6

32. 8 524 4 7

Álgebra

Escribe el número que falta en cada .

33. 564 4 8 5 

34.  4 3 5 317 r2

35.  4 5 5 66 r4

36. 685 4  5 97 r6

USA DATOS  Para 37–38, usa la tabla. 37. Si se transformara la pepita de oro Welcome

en 3 ladrillos de oro, ¿cuánto pesaría cada ladrillo? 38. Formula un problema  Vuelve al Problema

37. Escribe un problema similar cambiando los números y la información. Luego, resuélvelo.

Grandes pepitas de oro halladas Nombre

Peso

Ubicación

Welcome Stranger

2 284 onzas troy

Australia

Welcome

2 217 onzas troy

Australia

788 onzas troy

California

Willard

39. 246 estudiantes van de excursión a visitar

una mina de oro. Si cada microbús tiene capacidad para 9 estudiantes, ¿cuántos microbuses se necesitan? ¿Cuántos estudiantes viajarán en el microbús que no está completo? 40. 420 estudiantes van de excursión. Si hay

1 adulto acompañante por cada 8 estudiantes, ¿cuántos acompañantes tiene un grupo completo de 8 estudiantes? ¿Cuántos estudiantes estarán con el acompañante que tiene menos de un grupo completo? 41.

68

Libro 5.indb 68

El oro y otros metales p preciosos se pesan en onzas troy.

Explica cómo sabes dónde colocar el primer dígito del cociente en 374 4 4.

Práctica adicional en la página 86, Grupo B

24-01-13 10:08


Comprensión de los Aprendizajes 42. El teclado de una computadora tiene 114 teclas.

45. Preparación para la prueba  En una caja de

¿Cuántas teclas tendrían 10 teclados de computadora?

cartón caben 8 cajas de cereal. ¿Cuántas cajas de cartón se necesitan para guardar 128 cajas de cereal?

43. Vicente tiene 37 años. Maggie, su hermana,

tiene 9 años menos. ¿Cuántos años tiene Maggie? Escribe una expresión numérica. Luego halla el valor. 44. Elena tenía $4 500. Gastó algo de dinero para comprar un suéter. Luego Elena compró un refrigerio a $600. Escribe una expresión algebraica para mostrar cuánto dinero le quedó.

A 1 024

C 16

B 17

D 8

46. Preparación para la prueba  Para una venta

de repostería, un curso de quinto básico hizo 324 pastelitos. El curso puso los pastelitos en paquetes de 5. ¿Cuántos pastelitos sobraron? A 1 260

C 64

B 64 r4

D 4

pensar visualmente  Los siguientes rompecabezas se denominan pirámides. Puedes usar fórmulas de multiplicación y división para resolver los rompecabezas.

Para hallar el número en el cuadro superior, usa la fórmula. A3B5C

Para hallar el número en el cuadro inferior derecho, usa la fórmula. C4A5B

Ejemplo 10 3 14 5 140

14 4 2 5 7

Copia y completa la pirámide de números. Usa las fórmulas de multiplicación y división.  1.  2.

Capítulo 3 69

Libro 5.indb 69

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Álgebra

Patrones de división OBJETIVO: Usar patrones para dividir.

1. 10 4 2

2. 18 4 3

3. 24 4 4

4. 15 4 5

5. 32 4 8

Aprende PROBLEMA  Un curso de quinto básico escribió un libro sobre la historia de su escuela. El libro tiene 40 hojas. El curso tiene 8 000 hojas de papel para hacer copias del libro. ¿Cuántas copias puede hacer ese curso? Para hallar el cociente, puedes empezar con una operación básica de división y buscar un patrón.

Ejemplo  Divide. 8 000 4 40  peración básica     8 4 4 5 2 ← o   80 4 40 5 2   800 4 40 5 20 8 000 4 40 5 200

Si el dividendo aumenta en una potencia de 10, entonces el cociente aumenta en una potencia de 10.

Por lo tanto, el curso hizo 200 copias.

Más ejemplos operación

    27 4 3 5 9 ←   básica    270 4 3 5 90   2 700 4 3 5 900 27 000 4 3 5 9 000

operación

       $35 4 5 5 $7 ← básica    $350 4 50 5 $7   $3 500 4 50 5 $70 $35 000 4 50 5 $700

operación

     6 4156←   básica 6 000 4 10 5 600 6 000 4 100 5 60 6 000 4 1 000 5 6

•  Explica la diferencia que existe entre los patrones del Ejemplo B y del Ejemplo C.

Práctica con supervisión Halla los números que faltan. 24 4 6 5 4 3.  40 4 5 5 n   1.    9 4 3 5 3 2.    90 4 3 5 30 240 4 6 5 40 400 4 50 5 n   900 4 3 5 n 2 400 4 6 5 400 4 000 4 500 5 n 9 000 4 3 5 3 000 24 000 4 6 5 n 40 000 4 5 000 5 n Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 4. 80 4 2 5. 140 4 20 6. $3 200 4 8 7. 36 000 4 6

70

Libro 5.indb 70

24-01-13 10:08


8.

Explica por qué disminuye el cociente cuando aumenta el número de ceros que hay en el divisor.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 9. 20 4 10 10. 180 4 9 11. $160 4 4 12. 420 4 7 13. 300 4 5 14. 640 4 8 15. 810 4 9 16. 540 4 6 17. 1 200 4 4 18. $1 000 4 4 19. 5 600 4 7 20. 3 600 4 9 21. 49 000 4 7 22. 60 000 4 2 23. 40 000 4 2 24. $2 500 4 5

Compara. Usa ,, . o 5 en cada . 25. 560 4 80  5 600 4 8 26. 3 000 4 5  300 4 5 27. 32 000 4 40  3 200 4 4 28. Una escuela encargó 4 cajas de papel que

29. Una caja contiene 10 resmas de papel, que

pesaban un total de 2 000 kg. ¿Cuánto pesa 1 caja de papel? 30. Una empresa compra en el extranjero 4

equivalen a 5 000 hojas. ¿Cuántas hojas hay en 1 resma? 31. Se necesitan aproximadamente 3 árboles

impresoras láser a US$800. Si cada impresora viene con un reembolso por correo de US$25, ¿cuál es el costo de una impresora? 32. Álgebra  ¿Cómo hallarías el valor de n si

para hacer 24 000 hojas de papel. ¿Cuántas hojas de papel se pueden hacer con un árbol, aproximadamente? 33.

2 400 4 n 5 80?

¿Cuál es el error?  Belén dice que 66 000 4 6 es 1 100. ¿Cuál es su error?

Comprensión de los Aprendizajes 34. Un jardín mide 8 metros por 12 metros. ¿Cuál

es el área del jardín en metros cuadrados? 35. El Estadio Nacional, tiene una capacidad para 65 127 personas. Redondea la capacidad del estadio a la unidad de mil más cercana. 36. 18 3 39 5

Práctica adicional en la página 86, Grupo C

Libro 5.indb 71

37. La dueña de un hotel gasta $20 000 en 4 timbres nuevos. ¿Cuánto gasta en cada timbre si cada uno cuesta la misma cantidad? A $400 B $500 C $4 000 D $5 000

Capítulo 3 71

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Dividir con residuos o restos Objetivo: Dividir números enteros que no se dividen en partes iguales.

1. 27 4 9

2. 4 3 7

3. 3 3 8

4. 25 4 5

5. 12 4 3

Vocabulario

Aprende

residuo o resto

Algunas veces, un número no se puede dividir en partes iguales. La cantidad que sobra se llama el residuo o resto. ProblemA  Tres amigos están jugando dominó. Hay 28 fichas en el grupo. Si cada jugador recibe la misma cantidad de fichas de dominó, ¿cuántas fichas recibirá cada jugador? ¿Cuántos fichas sobrarán?

Actividad Hacer un modelo. Materiales

■ fichas

Divide 28 entre 3. Escribe 28 4 3.

Paso

Paso Usa 28 fichas.

Dibuja 3 círculos. Divide las 28 fichas en 3 grupos iguales. La ficha que sobra es el residuo.

residuo El cociente es 9 y el residuo es 1.

Por lo tanto, cada jugador recibirá 9 fichas de dominó. Sobrará 1 ficha. • ¿Por qué el residuo tiene que ser menor que el divisor?

Práctica con supervisión

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Si el residuo es mayor que el divisior, sigue dividiendo las fichas en partes iguales hasta que el residuo sea menor que el divisor.

1. Usa fichas para representar 17 4 5. Dibuja j círculos. Coloca j

fichas en cada círculo. El cociente es j. El residuo es j.

72

Libro 5.indb 72

24-01-13 10:08


Usa fichas para hallar el cociente y el residuo. 2. 15 4 6 7.

3. 26 4 7

4. 19 4 4

5. 24 4 5

6. 42 4 5

 Explica cómo sabes que habrá un residuo en un problema de división.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa fichas para hallar el cociente y el residuo. 8. 18 4 7 9. 17 4 5 10. 21 4 6

11. 22 4 4 12. 56 4 9

Divide. Tal vez quieras usar fichas o hacer un dibujo como ayuda. 13. 26 4 3

14. 37 4 6

15. 67 4 9

16. 47 4 3

1 7. 41 4 5

Álgebra  Halla el valor que falta. 18. 26 4 4 5 6 rj

19. 43 4 8 5 j r3

20. j 4 5 5 4 r2

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 22 a 24, usa la tabla.

21. 32 4 j 5 10 r2

Tipos de juegos de dominó Tipo

22. ¿A qué tipo de juego de dominó le sobrarán más

fichas si 5 jugadores se reparten las fichas en partes iguales? 23. Siete jugadores se dividieron un juego de dominó de

Doble seis Doble nueve Doble doce

Número de fichas 28 55 91

manera que cada uno tuviera el mismo número de fichas. Sobraron fichas. ¿Qué tipo de juego usaron? Explica tu respuesta. 24. Algunos estudiantes están jugando una partida

25.

de doble doce. Cada estudiante tiene 11 fichas de dominó. Sobran 3 fichas. ¿Cuántos estudiantes están jugando?

 ¿Cuál es el error? Francisca dice que el modelo representa 13 4 4. ¿Cuál es su error? Dibuja el modelo correcto.

Comprensión de los Aprendizajes 26. 24 3 51 5

29. Preparación para la prueba   ¿Qué problema describe el modelo?

27. ¿Cuál es mayor: 7 432 o 7 423? 28. Lanza cincuenta veces un cubo numerado

rotulado del 1 al 6. Registra los resultados y muéstralos en un diagrama de puntos.

Práctica adicional en la página 87, Grupo E

Libro 5.indb 73

A 14 4 2

C 12 4 4

B 14 4 3 D 14 4 2

Capítulo 3 73

24-01-13 10:08


5

Representar la división de 2 dígitos por 1 dígito ObjetivO: Hacer un modelo de la división con bloques de base 10.

Repaso rápido 1. 3

38 2. 12 4 2 3. 7 3 9 4. 6 3 8 5. 54 4 6

Materiales ■ bloques de base 10

El comedor de la escuela está sirviendo 72 duraznos en 3 bandejas. Cada bandeja tiene el mismo número de duraznos. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? Puedes usar bloques de base 10 para hallar el número de objetos que hay en grupos iguales.

Usa los bloques de base 10 para hacer un modelo de 72 duraznos. Muestra 72 como 7 decenas 2 unidades. Dibuja tres círculos. Coloca el mismo número de decenas en cada grupo. Si sobran decenas, reagrúpalas como unidades. Coloca el mismo número de unidades en cada grupo. Cuenta el número de decenas y unidades en cada grupo para hallar el número de duraznos en cada bandeja. Registra tu respuesta. 

Sacar conclusiones 1. ¿Por qué dibujaste 3 círculos en el paso A? 2. ¿Por qué necesitas reagrupar en el paso C? 3. ¿Cuántos duraznos hay en cada bandeja? 4. ¿Cómo puedes comprobar tu respuesta? 5. Síntesis  ¿Qué pasaría si hubiera 96 duraznos y 4

bandejas? ¿Cómo puedes usar los bloques de base 10 para hallar cuántos duraznos habrá en cada bandeja? 

74

Libro 5.indb 74

24-01-13 10:08


Puedes usar bloques de base diez para hacer un modelo de la división con residuos. El juego para armar de Miguel tiene 46 partes mecánicas. Él puede construir 4 robots iguales con estas partes. ¿Cuántas partes necesita Miguel para cada Robot? ¿Cuántas partes sobrarán?

Paso Muestra 46 como 4 decenas 6 unidades.

Paso Dibuja 4 círculos. Coloca 1 decena en cada círculo.

Paso Coloca 1 unidad en cada círculo. Cuenta cuántas unidades sobran.

Por lo tanto, para cada robot se necesitan 11 partes. Sobrarán 2 partes. Explica los pasos para hacer un modelo de 48 4 3 usando bloques de base 10.

Usa bloques de base diez para hallar el cociente y el resto. 1. 84 4 2

2. 96 4 6 3. 99 4 8 4. 67 4 5

5. 84 4 3

6. 52 4 2

7. 26 4 4 8. 81 4 5 9. 44 4 3

  10. 84 4 7

Divide. Puedes usar bloques de base diez. 11. 52 4 4

12. 48 4 5 13. 87 4 7 14. 77 4 6

16. 22 4 3

17. 72 4 3 18. 40 4 6 19. 23 4 9 20. 88 4 5

21.

 15. 97 4 6

Explica cómo puedes hacer un modelo del cociente de 73 4 5.

Capítulo 3 75

Libro 5.indb 75

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

6 Destreza: Interpretar el resto

OBJETIVO: Resolver los problemas usando la destreza interpretar el resto o residuo.

Usa la destreza PROBLEMA Hay 95 personas con reservaciones para un viaje guiado en balsa por el río Maipo en el Cajón del Maipo. En cada balsa pueden ir 6 personas. ¿Cuántas balsas se necesitarán para 95 personas? ¿Cuántas balsas irán llenas? ¿Cuántas personas irán en una balsa que no vaya llena? Cuando un problema de división tiene residuo, interpretas el residuo según la situación y la pregunta. Divide. 95 4 6 9’5’4 6= 1 5 –6 35 –30 residuo o resto 5

 Aumenta el cociente en 1. ¿Cuántas balsas se necesitan? Piensa: Como en 15 balsas sólo caben

 El cociente permanece igual. Deja el resto. ¿Cuántas balsas irán llenas?

90 personas, se necesita una balsa más.

Piensa: En una balsa caben 6

 Usa el resto como respuesta. ¿Cuántas personas irán en la balsa que no está llena?

Por lo tanto, baja el residuo y aumenta

personas. Baja el residuo porque 5

Piensa: La respuesta es el residuo.

el cociente en 1.

personas no llenan una balsa.

Por lo tanto, se necesitan 16 balsas.

Por lo tanto, 15 balsas estarán llenas.

Por lo tanto, 5 personas irán en una balsa que no va llena.

Piensa y comenta Resuelve el problema. Explica cómo interpretaste el resto. Otra compañía de viajes guiados tiene balsas para 8 personas. El sábado, 99 personas harán el viaje por el río.

a. ¿Cuántas balsas se necesitan para llevarlos por el río? b. ¿Irá llena cada balsa? Si no, ¿cuántas personas irán en la balsa que no esté llena?

76

Libro 5.indb 76

24-01-13 10:08


Resolución de problemas con supervisión Resuelve. Escribe a, b o c, para explicar cómo interpretar el cociente.

a. El cociente permanece igual.

b. Aumenta el cociente en 1.

Baja el resto.

c. Usa el resto como respuesta. 1. Un grupo de 57 personas está acampando en el parque nacional Corcovado.

En cada carpa caben 5 personas. ¿Cuántas carpas se necesitan para todos los campistas? Primero, divide. Piensa: 57 4 5 Después, vuelve a leer el problema para ver cómo debes interpretar el resto. 2. ¿Qué pasaría si se te preguntara por la cantidad de tiendas que estarán llenas? ¿Cuál sería la diferencia de tu respuesta en comparación a la del problema 1? 3. Hay guías que dirigen a grupos de 9 personas por un recorrido en bicicleta en el parque. 96 personas decidieron hacer el recorrido. ¿Cuántas personas irán en el recorrido que no va lleno? Interpreta el resto.

Aplicaciones mixtas USA LOS DATOS  Para los ejercicios 4 a 6, usa la tabla. En los viajes en balsa, los guías llevan 6 pasajeros en cada balsa. 4. ¿Cuántas balsas se necesitan para el viaje del sábado

en la tarde? ¿Se llenarán todas las balsas del sábado por la tarde? Explica. 5. ¿En qué día se hicieron más viajes? ¿Cuántos viajes

más se hicieron?  6. Al final de la semana, los guías llevaron 12 veces más

personas en los viajes en balsa de los que estaban reservados para los viajes del domingo en la mañana. ¿Cuántas personas tomaron los viajes en balsa esa semana? 7. El sábado en la mañana la temperatura durante el primer

viaje fue de 23 C. La temperatura durante el primer viaje del domingo fue 7 C más fría. ¿Cuál fue la temperatura del domingo? 8.

Pasajeros en los viajes en balsa Día Sábado Domingo

Mañana

Tarde

Total

23

85

47

51

 Una compañía inscribió a 67 personas

para los viajes en balsa. Si 8 personas caben en una balsa, ¿cuántas balsas se necesitan? Explica si necesitas una respuesta exacta o una estimación, y después resuelve.

Capítulo 3 77

Libro 5.indb 77

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

7

Repaso rápido

Dividir números de 3 dígitos por números de 1 dígito usando dinero

1. 8  9

2. 6  7

3. 3  5

4. 1  4

5. 2  8

OBJETIVO: Dividir números de 3 dígitos, incluyendo cantidades de

dinero, entre números de 1 digito.

Aprende PROBLEMA  En un pueblo del sur de Chile, para entregar a los participantes de una corrida, se preparan 193 litros de jugo de naranjas que repartirán en bidones de 8 litros. ¿Cuántos recipientes de 8 litros se puede llenar usando 193 litros de jugo?

Ejemplo 1  Divide 193 entre 8. Escribe 193 ÷ 8. Paso

Paso

Paso

Paso

Estima por redondeo.

Divide las 19 decenas.

Baja las 3 unidades. Divide las 33 unidades.

Para comprobar, multiplica el cociente por el divisor y suma el resto.

Piensa: 193 es aproximadamente 200 y 8 es aproximadamente 10. 200 4 10 5 20

1 9’ 3 4 8 = 2 Divide. – 16 Multiplica. 3 Resta. Compara.

193 ÷ 8 = j Coloca el primer dígito en la posición de las decenas.

1 9’3’4 8 = 2 4 – 16 33 –32 1

Divide. Multiplica. Resta. Compara.

2

2 4  8 = cociente 192 divisor + 1 193 resto

dividendo

Por lo tanto, 24 recipientes de 8 litros se pueden llenar usando 193 litros. Sobrará 1 litro.

Ejemplo 2  Divide 756 entre 6. Escribe 756 ÷ 6. Paso

Paso

Usa operaciones de división con el número 6 para hallar números compatibles con 756.

Divide las 7 centenas.

Piensa : 600 ÷ 6 = 100 o

1 200 ÷ 6 = 200 El cociente está entre 100 y

Paso

Paso Baja las 5 decenas. Divide las 15 decenas.

7’ 5 6 4 6 = 1 Divide. 7’5’ 6 4 6 = 12 – 6 – 6 Multiplica. 15 Resta. – 12 Compara. 3

200. Por lo tanto, coloca el primer dígito en la posición

Baja las 6 unidades. Divide las 36 unidades.

7’5’ 6 4 6 = 126 – 6 Multiplica. 15 Resta. – 12 Compara. 36 –36 0 Divide.

Divide. Multiplica. Resta. Compara.

de las centenas.

Por lo tanto, 756  6  126. Como 126 está entre 100 y 200, la respuesta es razonable.

78

Libro 5.indb 78

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Dividir dinero Divides cantidades de dinero de la misma manera que divides números.

Ejemplo 3  En el quiosco de un colegio, un niño compró 4 caramelos en $168. ¿Cuánto cuesta 1 caramelo? Divide $168 entre 4. Escribe $168 ÷ 4.

Paso

Paso

Usa el valor posicional para colocar el primer dígito. Busca las centenas.

168 ÷ 4 = j 1 , 4, por lo tanto, busca en las decenas.

168 ÷ 4 = j 16 . 4, por lo tanto, usa 16 decenas. Coloca el primer dígito en la posición de las decenas.

Paso

Divide.

1 6’8’4 4 = 42 – 16 08 – 8 0

Multiplica para comprobar. Divide. Multiplica Resta.

4 2  4 cociente 168 divisor dividendo

Compara.

Por lo tanto, un caramelo cuesta $42. • ¿Cómo sabes si la respuesta es razonable?

Ejemplo 4 En la tienda de comestibles, se venden 3 latas de arvejas a $2 590. ¿Cuánto cuesta 1 lata de arvejas? Divide $2 590 entre 3. Escribe $2 590 ÷ 3. 2 5’9’0’4 3 = 8 6 3 –2 4 19 – 18 10 – 9 1

Como la tienda no puede cobrar centavos, esta aumentará el valor a la unidad siguiente: $864

Por lo tanto, el costo de 1 lata de arvejas es $864 • ¿Qué pasaría si la tienda vendiera 5 latas de arvejas a $4 290? ¿Cuánto costaría 1 lata? t En otros países las arvejas se llaman guisantes

Práctica con supervisión 1. Para hallar 456 4 8, ¿cuáles dos números compatibles usarías con

456? Divide cada número compatible entre 8. ¿En que posición colocarías el primer dígito del cociente?

Capítulo 3 79

Libro 5.indb 79

24-01-13 10:08


Divide y comprueba. 2. 329 4 4

3. $723 4 3

4. 655 4 7

 5. 924 4 8

 6. 582 4 6

Explica dónde colocarías el primer dígito en el problema 5. 

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Divide y comprueba. 8. 188 4 2

9. $826 4 7

10. 854 4 6

11. 112 4 3

12. 798 4 6

13. $332 4 4

14. 725 4 5

15. 766 4 8

16. 845 4 5

17. 948 4 3

18. 298 4 4

19. 223 4 2

20. 189 4 9

21. $125 4 4

22. 292 4 8

23. 483 4 2

24. 528 4 7

25. 483 4 3

26. $746 4 5

27. 829 4 9

Álgebra Halla el dígito que falta. 28. 4 8 5 4 5= j 7

0

32. 3 j 1 4 7= 4 5

6

29. 1 2 5 4 j = 3 1

1

33. 6 8 8 4 j = 2 29

1

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 36 a 39, usa la tabla.

30. j 7 4 4 6= 9 5

31. 3 1 7 4 9= 3 5

4

j 35. 8 9 4 8= j 1

34. 2 9 j 4 6= 4 9

1

5

Comparación entretiendas tiendas Comparación de de precios precios entre

36. ¿Cuánto cuesta 1 kg de coliflor en la

tienda Quetzal? 37. ¿Cuánto cuesta 1 kg de papas en

el Mercadito? 38. ¿Cuánto cuestan 3 kg de zanahorias

en la tienda Quetzal? 39. ¿Cuánto cuestan 2 kg de cebollas en el Mercadito? 40. Formula un problema  Vuelve a leer el problema

36. Intercambia la información conocida y desconocida. Después resuelve el problema. 41. Explica  cómo se usan los números compatibles

para resolver el problema 283 4 9. 43.

Vegetales Vegetales

Coliflor

Quetzal Quetzal Peso (kg) Precio Libra Precio

Col

5

Zanahorias

2

Cebollas

2

Papas

8

Zanahoría Cebolla Papa

5 2 2 8

2 990

Mercadito Mercadito Peso (kg) Precio Libra Precio

3

1 950

4

2 990

3

2 130

3

2 390

$2.99

3

$1.38

4

$1.89

3

$6.32

3

1 380 1 890 6 320

$1.95 $2.99 $2.13 $2.39

42. Razonamiento  ¿Cuál tiene el cociente mayor:

645 4 2 o 654 4 3? Explica cómo lo sabes.

¿Cuál es el error?  Describe el error y luego muestra la manera correcta de dividir. 5 2’6’4 7= 751 –49 36 –35 1

80

Libro 5.indb 80

Práctica adicional en la página 87, Grupo G

24-01-13 10:08


Comprensión de los Aprendizajes 44. ¿Cuál es la probabilidad de que una moneda

47. ¿En qué posición está el primer dígito del

caiga en cara o sello?

cociente en 816 4 6?  48. Preparación para la prueba  Tres latas de

45. 61 4 3 5 46. Preparación para la prueba  643 4 7 5 A  91 r6

C 92 r6

B 92

pelotas de tenis están en oferta esta semana por $5 670. ¿Cuánto costará una lata de pelotas de tenis?

D 916

Las plantas de energía convierten otras formas de energía en electricidad para que podamos calentar, refrescar o iluminar nuestros hogares y usar la televisión y otros aparatos electrodomésticos. La tabla muestra las estimaciones de uso y costo semanal de aparatos electrodomésticos en los hogares.

Costo de uso de algunos aparatos electrodomésticos Aparatos

Estimación de uso semanal

Estimación de costo semanal

Lavadora de platos

7 cargas

$1 260

Lavadora

6 lavados con agua caliente, enjuagado tibio con calentador de agua eléctrico

$4 800

Lavadora

6 lavados con agua caliente, enjuagado frío con calentador de agua eléctrico

$1 800

Secadora de ropa 6 cargas

$2 700

Refrigerador

$1 120

7 días ininterrumpidos

Usa la información de la tabla para resolver los problemas. 1. ¿Cuánto cuesta una carga en la lavadora de platos? 2. ¿Cuánto cuesta el uso del refrigerador por un día? 3. ¿Cuánto cuesta una carga en la lavadora usando

agua caliente y enjuagado tibio? 4. ¿Cuánto cuestan 8 cargas en la secadora de ropa? 5. Explica cómo puedes hallar el costo del uso del refrigerador

por 3 días?

Capítulo 3 81

Libro 5.indb 81

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LE C C

N IÓ

8

Repaso rápido

Ceros en la división

Mario tiene 23 CD. En cada caja caben 2 CD. ¿Cuántas cajas necesita?

OBJETIVO: Dividir números de 3 dígitos entre números de 1 dígito.

Aprende PROBLEMA  El Sr. Nilo reúne 324 tesoros para la búsqueda del tesoro en su jardín. Necesita 3 tesoros para cada estudiante que participe. ¿Cuántos estudiantes pueden participar?

Ejemplo Divide 324 entre 3.  Escribe 324 ÷ 3

Paso Estima para colocar el primer dígito en el cociente. Piensa: 300 ÷ 3 = 100 o

600 ÷ 3 = 200

Paso

Paso

Paso

Divide las 3 centenas

Baja las 2 decenas. Divide las 2 decenas.

3 2 44 3= 1 6 0 – 3 0

324 ÷ 3 = j

3 2’ 4 4 3 = 1 0 – 3 02 – 0 2

Por lo tanto, coloca el primer

El divisor 3 es mayor que 2,

dígito en la posición de las

por lo tanto, escribe 0 en el

centenas.

cociente.

Baja las 4 unidades. Divide las 24 unidades.

3 2’4’4 3 = 1 0 8 – 3 02 – 0 24 –24 0

Por lo tanto, 108 estudiantes pueden participar en la búsqueda del tesoro en el jardín. • ¿Qué pasaría si el Sr. Nilo tuviera 420 tesoros? ¿Cuántos estudiantes podrían participar?

Más ejemplos   Divide con ceros

  Divide dinero COMPRUEBA

4’0’9’4 4 = 1 0 2 – 4 00 – 0 09 – 8 1

1 0 2  4 = cociente 408 divisor + 1 409 residuo

dividendo

COMPRUEBA 2

5’2’0’4 5 = 1 0 4 – 5 02 – 0 20 –20 0

1 0 4 5= $5 2 0

cociente divisor dividendo

82

Libro 5.indb 82

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Corregir cocientes Las clases de ciencias de quinto básico exhibieron sus tesoros sobre unas mesas para la noche de la naturaleza. Colocaron el mismo número de tesoros en cada mesa. Había 480 tesoros de animales en las 6 mesas. ¿Cuántos tesoros había en cada mesa?

Observa la hoja de Elías. Él dividió 480 entre 6.

Elías 4 8’ 0 4 6 = 8 – 48 0

• Describe el error de Elías. Halla el número correcto de tesoros por mesa. • Explica cómo las operaciones básicas y los patrones podrían haber ayudado a Elías a hallar la respuesta correcta. Los estudiantes que encontraron tesoros de plantas y minerales exhibieron 424 tesoros en las 4 mesas. ¿Cuántos exhibieron en cada mesa? Observa la hoja de Eva. Ella dividió 424 entre 4.

ADVERTENCIA

Eva

4’ 2 4’4 4 = 1 6 – 4 024 – 24 0

• Describe el error de Eva. Halla el número correcto de tesoros por mesa.

ADVERTENCIA Para que no olvides incluir los ceros, estima para decidir cuántos dígitos debe haber en el cociente y usa el valor posicional.

Práctica con supervisión 1. Copia el problema de la derecha. Estima para colocar el primer dígito. Divide las centenas. Divide las decenas. ¿Necesitas escribir un cero en el cociente? Después divide las unidades. ¿Cuál es el cociente?

210 ÷ 2

Capítulo 3 83

Libro 5.indb 83

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Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 2. 360 4 4

3. 714 4 7

4. 420 4 3

5. 960 4 8

 6. 400 4 5

8. 803 4 4

9. 840 4 6

10. 901 4 2

 11. 927 4 9

Divide y comprueba. 7. 305 4 5 12.

 Piensa en el problema 216 4 2. Explica cómo sabes que habrá un 0 en el cociente.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el número de dígitos que hay en cada cociente. 13. 560 4 7

14. 282 4 4

15. 510 4 3

16. 805 4 7

17. 540 4 6

18. 601 4 5

19. 860 4 2

20. 704 4 8

21. 609 4 3

22. 919 4 9

23. 283 4 4

24. 763 4 7

25. 870 4 3

26. 724 4 6

27. 407 4 5

28. 700 4 4

29. 325 4 3

30. 417 4 2

31. 470 4 5

32. 306 4 3

Divide y comprueba.

Halla el valor que falta. 33. 701 4 2 5

j

34. j 4 5= 106

2

37. Ana está haciendo conejos de papel maché

para una celebración de la naturaleza. Se requieren 240 tiras de papel para hacer 8 conejos. ¿Cuántas tiras de papel necesita Ana por conejo? 39. José tiene que hacer 606 pliegues para crear 6 figuras de la mantis religiosa en origami. Hace 540 pliegues para formar 6 figuras del monstruo de Gila. ¿Cuántos pliegues más hace José en una mantis que en un monstruo de Gila? 41.

DATO BREVE Una leyenda japonesa dice

que plegar mil grullas trae buena salud o paz. Pablo hizo 864 grullas en origami en 8 meses. Si hizo el mismo número de grullas cada mes, ¿cuántas grullas hizo en un mes? 

84

Libro 5.indb 84

35. 9 0 1 4 3= j

j

36. 2 0 7 4 j = 5 1

3

38. Razonamiento  El centro de ciencias quiere exhibir 110 proyectos de ciencias. Cada área de exhibición tiene capacidad para 45 proyectos. ¿Cabrán todos los proyectos en 2 áreas? Explica. 40. Paloma está pintando flores de cerezo. Planea hacer 5 flores. Si gasta la misma cantidad de tiempo en cada flor, debería terminar en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará pintar una flor de cerezo? 42.

¿Cuál es la pregunta?  El libro divertido del bosque de Julio cuenta sobre las diferentes madrigueras de los castores y da la cantidad de tiempo que le toma a un castor construir una. La respuesta es 103 horas por cada madriguera de castor.

Práctica adicional en la página 87, Grupo F y H

24-01-13 10:08


Comprensión de los Aprendizajes 46. ¿Qué número va en el recuadro para hacer el

43. 873 4 3 5

enunciado numérico verdadero?

44. 269 4 6 5

estudiantes contarán nidos de avispas en 6 lugares diferentes. El mismo número de estudiantes estará en cada lugar. ¿Cuántos estudiantes estarán en un lugar? A 190

B 119

C 109

D 19

(9 2 7) 3 6 5 3 3 j

45. Preparación para la prueba  Un total de 654

47. Preparación para la prueba  562 4 7 5

A  8 r2

C  82

B  80 r2

D  802

PercepciÓn NUMÉRICa  Cuando estimas cocientes, una subestimación te da un cociente que es menor que el cociente real. Una sobrestimación te da un cociente que es mayor que el cociente real. Kari paga $105 por 3 semillas para plantar un jardín. Estima el costo de cada semilla. Compara la estimación con el valor real. El valor real de cada semilla es $105 4 3 o $35. Subestima.

Sobrestima.

Piensa: 90 está cerca de 105. 90 y 3 son números

Piensa: 1  20 está cerca de 105. 120 y 3 son números

compatibles dado que 9 4 3 5 3.

compatibles dado que 12 4 3 5 4.

90 4 3 5 30  ← subestimación Por lo tanto, la estimación de $30 es menor que el valor real de $35 porque 90 es menor que 105.

120 4 3 5 40  ← sobrestimación Por lo tanto, la estimación de $40 es mayor que el valor real de $35 porque 120 es mayor que 105.

Di si la estimación es una subestimación o una sobrestimación. Después, compara la estimación con el cociente real. 1. Un centro comunitario tiene 120 voluntarios en

8 equipos para el rescate de animales. Cada equipo tiene el mismo número de voluntarios. Estima: 160 4 8 5 20 voluntarios por equipo

2. Javier vende 330 comederos de pino para aves

en el mercado de las pulgas en 3 horas. Vende el mismo número cada hora. Estima: 300 4 3 5 100 comederos por hora. 

Capítulo 3 85

Libro 5.indb 85

24-01-13 10:08


Práctica adicional Grupo A  Estima el cociente. 1. 510 4 2 

2. 216 4 4 

3. 3 684 4 8 

4. 3 105 4 5 

5. 455 4 7 

6. 862 4 9 

7. 7 124 4 2 

8. 9 365 4 4

Grupo B  Identifica la posición del primer dígito del cociente. Luego halla el primer dígito. 1. 724 4 2 

2. 260 4 5 

3. 1 248 4 4 

4. 3 779 4 9 

5. 7 592 4 6  6. 624 4 4  7. 804 4 2  8. 3 955 4 5 

Divide. Comprueba mediante la multiplicación. 9. 624 4 4  10. 804 4 2  11. 1 119 4 3  12. 4 603 4 5  13. 296 4 2 

14. 510 4 3 

17. Claudia compró 7 bolsas iguales de mostacillas

para su taller. El peso total era de 1 750 gramos. ¿Cuánto pesaba cada bolsa? 

15. 9 234 4 9 

16. 1 523 4 4 

18. Un florista empaquetó 1 125 bulbos de

tulipanes. Puso 9 bulbos en cada paquete. ¿Cuántos paquetes de bulbos preparó?

Grupo C  Usa operaciones básicas y patrones para hallar el cociente. 1. 40 4 2 

2. 280 4 7 

3. $120 4 6 

5. 320 4 8  6. $400 4 5  7. 210 4 3 

4. 200 4 10  8. 540 4 9 

9. 1 600 4 4  10. $5 000 4 10  11. 420 4 7  12. 180 4 3  13. 2 100 4 3 

14. 640 4 8  15. $45 000 4 9  16. 16 4 2 

17. El club de teatro reunió $36 000 por la venta

de 90 entradas. Si todas las entradas tenían el mismo precio, ¿cuál era el precio de cada entrada? 

18. Los asientos de un teatro están ordenados

en 80 filas. Hay 1 600 asientos. ¿Cuántos asientos hay en cada fila? 

Grupo D  Estima el cociente. 1. 210 4 2 

2. 795 4 3 

3. 265 4 2 

4. 3 884 4 6 

5. 263 4 4  6. 305 4 5  7. 5 999 4 7  8. $1 853 4 5 

86

Libro 5.indb 86

24-01-13 10:08


Grupo E  Divide. Comprueba tu respuesta. 1. 836 4 2 

2. 608 4 3 

3. 486 4 5 

4. 446 4 8 

5. 630 4 5  6. 256 4 8  7. 572 4 6  8. 126 4 4  9. 804 4 6  10. 450 4 2  11. 381 4 7  12. 826 4 3  13. 965 4 4  14. 280 4 2  15. 831 4 5  16. 687 4 5  17. El propietario de un puesto de productos

alimenticios colocó 48 frascos de mermelada de manzana en estantes. En cada estante, había 6 frascos. ¿Cuántos estantes se usaron?

18. Se exhiben 376 calabazas en hileras. En

cada hilera, hay 4 calabazas. ¿Cuántas hileras hay?  

Grupo F  ¿Cuál es la mejor estimación que se puede usar para el cociente? Elige a o b. 1. 302 4 6   a. 50  b. 60 

2. 5 708 4 8   a. 700  b. 800

3. 3 190 4 4   a. 700  b. 800

Divide. 4. 306 4 4  5. 950 4 2  6. 192 4 3  7. 403 4 5  8. Los maestros de la Escuela Básica Alihue

necesitan 180 reglas. Cada paquete contiene 6 reglas. ¿Cuántos paquetes deben comprar?

9. Una empresa de juguetes empaca 8 unidades

del mismo juego en una caja. ¿En cuántas cajas se empacarían 208 juegos? 

Grupo G  Divide. Multiplica para comprobar tu respuesta. 1. 171 4 5 

2. 516 4 4 

3. 175 4 2 

4. 1 437 4 3 

5. 4 567 4 7  6. 812 4 9  7. 1 643 4 6  8. 2 536 4 8  9. 3 012 4 3  10. 4 715 4 5  11. 2 072 4 5  12. 3 609 4 4  13. 907 4 5 

14. 380 4 7 

15. 5 236 4 4 

16. 1 608 4 2

Grupo H  Escribe una expresión algebraica. Evalúa cada expresión si a 5 5 y c 5 12. 1. 128 dividido entre 

2. t dividido en 6

3. 12 grupos de

4. 16 menos que y

c elementos  p grupos  grupos iguales 5. 19 1 a  9. c 1 39 

6. a 4 5  10. 8a 

7. c 3 20  11. 132 3 a 

8. 105 4 a  12. 12 2 c 

Capítulo 3 87

Libro 5.indb 87

24-01-13 10:08


Repaso/Prueba del Capítulo 3 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        ?  ​ una expresión es hallar su valor. 1. ​ —        2. Los números que son fáciles de calcular mentalmente se llaman — ​  ?  ​. 

números compatibles evaluar variables

Comprueba tus destrezas Estima el cociente. 3. 275 4 5 

4. 503 4 2 

5. 345 4 7 

7. 170 4 8 

8. 254 4 3 

9. 168 4 5

6. 378 4 4 10. 398 4 3

Halla el cociente. 11. 60 4 3 

12. 240 4 8 

13. $450 4 9 

14. 170 4 1 

16. 610 4 3 

17. 462 4 9 

18. 825 4 4 

Divide. 15. 372 4 6 

19. 309 4 3  20. 251 4 3  21. 315 4 2  22. 532 4 7  23. 594 4 2 

24. 893 4 4 

25. 408 4 6 

26. 530 4 5 

Evalúa cada expresión para a 5 3 o c 5 18. 27. 2 1 a

28. c 2 12

29. 21 3 a

30. 99 4 a

31. 5c

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 32. Un total de 105 estudiantes van a una

excursión. Por cada grupo de 5 estudiantes, debe haber un acompañante. ¿Cuántos acompañantes se necesitan para la excursión?

33.

Imagina que 108 estudiantes fueron de excursión. Explica cómo determinar el número de acompañantes necesarios si hay un acompañante por cada grupo de 5 estudiantes.

88

Libro 5.indb 88

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Enriquecimiento • Dividir entre 12 Con la hora oficial, las 24 horas del día se dividen en dos grupos de 12 horas. El primer grupo es el de las horas a.m. y el segundo grupo, el de las horas p.m. En cambio, con la hora militar el día no se divide en dos grupos, sino que se cuentan 24 horas. Problema Un espectáculo aéreo militar está programado para las 16:00. ¿A qué hora comienza el espectáculo, expresada como hora oficial? De una manera Puedes usar una esfera de un reloj normal de 12 horas para hallar la hora. Empieza en el cero y cuenta 16 lugares alrededor de la esfera. Después de pasar las doce horas, llegarás a las 4 p.m. De otra manera También puedes usar la aritmética modular para hallar la hora. Para expresar un valor, la aritmética modular usa un ciclo de números y residuos que se repiten. Cuando los números llegan a cierto valor, el módulo, se repiten. El número 16 expresado en módulo 12 (mód. 12) es el mismo que el residuo que sobra después de dividir 16 entre 12. 16 4 12 5 1 r4

16 mód. 12 5 4

Por lo tanto, el espectáculo empezará a las 4 p.m. Ejemplos A Rodrigo se fue a dormir a las 21:00. ¿Cuál es la hora oficial en que se fue a dormir? 21 mód. 12

21 4 12 5 1 r9

Se fue a dormir a las 9 p.m.

B Juan tiene 39 tarjetas coleccionables. ¿Cómo expresarías 39 en mód. 12? 39 mód. 12

39 4 12 5 3 r3

Por lo tanto, 39 mód. 12 es 3.

Inténtalo Expresa cada valor en mód. 12. Muestra tu trabajo. 1. 87  2. 117 

3. 200 

4. 14:00 

5. 62

Explica cómo usarías la aritmética modular para expresar 11 p.m. en hora militar.

6. 

Capítulo 3  89

Libro 5.indb 89

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4

Álgebra: Usar las operaciones de multiplicación y división La idea importante

Las propiedades y los conceptos del álgebra se usan para evaluar expresiones y resolver ecuaciones de multiplicación y división.

Chile

DATO BREVE

El estadounidense Charles Schulz creó la tira cómica Peanuts que ha dado la vuelta al mundo (en la imagen el mosaico homenaje en Santa Rosa, USA). En Chile Condorito es el protagonista de la historieta chilena por excelencia. René Ríos conocido por el seudónimo de Pepo fue su creador. La historieta de Condorito ha traspasado las fonteras chilenas.

Se han seleccionado 12 viñetas. Las expresiones 6 1 6 y 3 3 4 ambas son iguales a 12. Escribe tres expresiones diferentes que sean iguales al número de viñetas que se muestran aquí usando dos o más operaciones. Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

90

Libro 5.indb 90

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el Capítulo 4.

u Usar una regla Copia y completa cada tabla. 1.

Equipo

2

3

4

5

6

Jugadores

12

18

24

j

j

Regla: Multiplicar el número de equipos por 6. 3.

Piernas

12

16

20

24

28

Vacas

3

4

5

j

j

Regla: Dividir el número de piernas entre 4.

2.

Monedas de $10

4

5

6

7

8

Monedas de $1

40

50

j

70

j

 Regla: Multiplicar el número de monedas

de $10 por 10.

4.

Pulgadas

12

24

36

48

60

Pies

1

2

j

4

j

Regla: Dividir el número de pulgadas entre 12.

u Familias de operaciones Copia y completa cada enunciado numérico. 5. 5  3 5 j

6. 6  7 5 j

7. 4  9 5 j 8. 7  9 5 j

15  j 5 3 42  j 5 7 36  j 5 9 63  j 5 9

u Ecuaciones de suma y de resta Resuelve la ecuación usando el cálculo mental. Comprueba tu solución. 9. n 1 8 5 13

10. 9  n 5 6

11. n 1 6 5 14 12. 12  n 5 3

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

PREPARACIÓN

propiedad  asociativa propiedad  conmutativa propiedad  distributiva ecuación expresión

propiedad envolvente del cero  la propiedad que establece que el producto de 0 y cualquier otro número es 0

propiedad de identidad prevalencia de las operaciones paréntesis variable propiedad del cero

propiedad de elemento neutro  la propiedad que establece que el producto de cualquier número y 1 es ese mismo número propiedad conmutativa la propiedad que establece que cuando se cambia el orden de dos factores, el producto es el mismo

Capítulo 4  91

Libro 5.indb 91

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LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Propiedades de la multiplicación

1. 3 2. 5 3. 2 4. 7 5. 8

ObjetivO: Identificar y usar las propiedades de la multiplicación.

Aprende Las propiedades de la multiplicación te ayudan a hallar productos de dos o más factores.

3 3 3 3 3

1 3 6 0 2

Vocabulario Propiedad envolvente del cero Propiedad elemento neutro

PROPIEDADES

Propiedad conmutativa

La propiedad envolvente del cero dice que el producto de 0 y cualquier número es 0.

La propiedad elemento neutro dice que el producto de 1 y cualquier número es ese número.

3 3 0 5 0

1 3 3 5 3

La propiedad conmutativa dice que puedes multiplicar dos factores en cualquier orden y obtener el mismo producto. 2 3 3 5 6

33256

Propiedad asociativa Propiedad distributiva

La propiedad asociativa dice que puedes agrupar factores de diferentes maneras y obtener el mismo producto. Usa paréntesis ( ) para agrupar los factores que multipliques primero. (4 3 2) 3 3 5 24

4 3 (2 3 3) 5 24

• Usa fichas para mostrar dos maneras de agrupar 3 3 2 3 5 para hallar el producto. ¿Son los productos iguales? Explica. Haz un dibujo para registrar tus modelos.

Ejemplo 1  Usa las propiedades para hallar el factor que falta.   j 3 12 5 0 0  3 12 5 0 Por tanto, j 5 0.

Propiedad envolvente del cero

  9 3 j 5 8 3 9 9 3     8 5 8 3 9

Propiedad conmutativa

Por tanto, j 5 8.

92

Libro 5.indb 92

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La propiedad distributiva PROBLEMA  En la tienda de mascotas, los conejos están en una jaula que mide 4 metros de ancho por 12 metros de largo. ¿Cuál es el área de la jaula?

El área es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie plana.

Actividad  Usa la propiedad distributiva. Materiales

Recuerda

■ losetas cuadradas

La propiedad distributiva dice que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y después sumar los productos.

área 5 2 3 3, o 6, unidades cuadradas.

Multiplica. 4 3 12

Paso

Paso

Haz un modelo para hallar 4 3 12. Usa losetas cuadradas para construir una matriz.

Paso

Separa la matriz para hacer dos matrices pequeñas para los productos que conoces.

12

10

4

2

4 4 3 12 5 j

Usa la propiedad distributiva para mostrar la suma de dos productos.

(4 3 10) 1 (4 3 2) 40

1

8

5

48

4 3 (10 1 2)

Por tanto, el área de la jaula es de 48 metros cuadrados. El uso de las propiedades te ayuda a hallar el valor de las expresiones de multiplicación.

Ejemplo 2  Usa las propiedades y el cálculo mental.  Halla 8 3 12. 8 3 12 5 8 3 (10 1 2) 5 (8 3 10) 1 (8 3 2) 5 80 1 16 5 96

Piensa: 12 5 10 1 2 Propiedad distributiva

 Halla 5 3 5 3 2. 5 3 5 3 2 5 5 3 (5 3 2) 5 5 3 10 5 50

 Halla 2 3 7 3 5. Propiedad asociativa

23735523537 5 (2 3 5) 3 7 5 10 3 7 5 70

Propiedad conmutativa Propiedad asociativa

• ¿Cómo puedes agrupar los factores para multiplicar 5 3 2 3 8? • ¿Es 27 3 (48 2 48) 5 0 verdadero? Explica cómo puedes ver esto, fácilmente.

Capítulo 4 93

Libro 5.indb 93

24-01-13 10:08


Práctica con supervisión 1. Usa la propiedad asociativa para hallar el factor que falta. (12 3 j) 3 4 5 12 3 (3 3 4)

Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 2. 1 3 56 3 1 6.

3. 24 3 0 3 6

 4. 8 3 3 3 3

 5. 7 3 12

 Explica cómo es verdadera la propiedad conmutativa para 4 3 8 y 8 3 4. Haz un modelo o un dibujo.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 7. 9 3 7 3 0

8. 2 3 4 3 7

9. 8 3 5 3 2

10. 6 3 9 3 1

Halla el número que falta. Nombra la propiedad que usaste. 11. 8 3 6 5 6 3 j

12. 5 3 12 5 (5 3 10) 1 (5 3 j)

13. (4 3 5) 3 2 5 4 3 (j 3 2)

Haz un modelo y usa la propiedad distributiva para hallar el producto.  14. 5 3 12

15. 3 3 12

16. 6 3 12

17. 12 3 9

Muestra dos maneras de agrupar usando paréntesis. Halla el producto. 18. 3 3 2 3 5

19. 8 3 7 3 1

22. Hay 2 mesas, cada una tiene 3 peceras con

20. 7 3 0 3 2

23. Hay 9 peceras con 11 peces tetra en cada

5 peces en cada una. Hay también 3 mesas, cada una tiene 2 peceras con 5 peces en cada una. ¿Son iguales las cantidades? Explica. 24. Formula un problema  Escribe un problema

21. 2 3 6 3 2

una y 12 peceras con 7 peces molly en cada una. ¿Hay más tetras o mollis? ¿Cuántos más hay? 25.

que se pueda resolver usando el producto (4 3 2) 3 8.

 ¿Cuál es la pregunta? El producto es 19. Explica cómo lo sabes.

Comprensión de los Aprendizajes 26. 18 1 36 5 27. 42 4 7 5 28. ¿Cuánto es 324 946 redondeado a la decena

de mil más cercana?

94

Libro 5.indb 94

29.

Preparación para la prueba  ¿Cuál es el número que falta? 7 3  5 (7 3 10) 1 (7 3 2)

A 2 C 12 B 10 D 20

Práctica adicional en la página 108, Grupo A

24-01-13 10:08


Escribe para probar o refutar Algunas veces debes evaluar si un enunciado numérico o idea matemática es verdadera o falsa. Puedes usar lo que conoces acerca de las operaciones y propiedades para probar o refutar si las propiedades de la multiplicación son verdaderas para la división. El grupo de Paula quiere saber si la propiedad conmutativa es verdadera para la división. Los miembros de su grupo escribieron esta explicación para mostrar lo que aprendieron.

Nosotros podemos intentar con diferentes problemas de división

Escribe para probar o refutar:

para hallar si la propiedad conmutativa funciona para la división.

• Usa vocabulario matemático correcto.

Decidimos intentar con 6 4 6 y 6 4 3.

• Plantea la idea matemática que estás probando o refutando.

? 5​ Primero, preguntamos si 6 4 6      ​    6 4 6. Ambos cocientes son

• Decide por lo menos dos ejemplos para analizar tu idea.

iguales a 1. Por lo tanto, el enunciado numérico es verdadero y la

• Muestra tus cálculos y explica lo que aprendiste de cada ejemplo.

propiedad conmutativa funciona para este problema de división. ? 5​ Después, preguntamos si 6 4 3      ​    3 4 6. En este ejemplo, el divisor y el dividendo son números diferentes. 6 4 3 5 2 y 3 _

3 _

3 4 6 5 ​ 6 ​. El cociente 1 y 6​   ​no son iguales. Por lo tanto, este

enunciado numérico es falso.

• Para probar, cada caso necesita ser evaluado. Para refutar, sólo es necesario un caso falso. • Muestra tu razonamiento sacando una conclusión acerca de cada ejemplo. • Por último, escribe una conclusión que establezca si probaste o refutaste la idea matemática que estabas analizando.

Por último, los miembros de nuestro grupo estuvieron de acuerdo en que, como el segundo enunciado numérico es falso, la división no es conmutativa.

Resolución de problemas  Escribe para probar o refutar cada propiedad para la división. 1. Propiedad envolvente del cero

2. Propiedad elemento neutro

Capítulo 4 95

Libro 5.indb 95

24-01-13 10:08


2

Prevalencia de las operaciones

Repaso rápido

OBJETIVO: Aplicar la prevalencia de la multiplicación y la división por sobre la adición y la sustracción.

2. 28 4 4

1. 8 3 6 3. 56 4 7 4. 45 1 28 5. 91  34

PROBLEMA  En una visita a la Feria del libro usado, Carla compra un libro de $600 y 2 libros de $400 cada uno. Paga con un billete de $2 000. ¿Cuánto dinero le queda? Puedes escribir la expresión 2 000  600  2 3 400 para resolver el problema. Antes de que resuelvas este problema, investiga cómo el orden en que realices las operaciones puede cambiar la respuesta.

Vocabulario prevalencia de las operaciones

Recuerda

Una expresión es parte de un enunciado numérico que tiene números y signos de operaciones pero que no tiene un signo de igual.

Haz una lista de todos los órdenes posibles que puedes usar para hallar el valor de la expresión. 4 1 16 4 4  2. Usa cada orden de tu lista para hallar el valor de la expresión. Usa papel y lápiz.

Sacar conclusiones 1. ¿Cambió el valor de la expresión al seguir un orden

diferente?  2. Compara todos los valores que hallaste.

¿Tienen sentido todos estos valores? Explica. 3. ¿De qué manera el orden en que realizas las

operaciones cambia el valor de una expresión que tiene más de un tipo de operación? 4. Síntesis  ¿Qué ventaja hay en establecer un orden de

las operaciones que todos sigan? 

96

Libro 5.indb 96

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Cuando resuelves problemas con más de un tipo de operación, necesitas saber qué operación realizar primero. Un conjunto de reglas especiales, llamado prevalencia de las operaciones, da el orden en el cual se realizan los cálculos en una expresión. Primero, multiplica y divide de izquierda a derecha. Después, suma y resta de izquierda a derecha. Luego, usa el orden de las operaciones para resolver el problema.

Halla el valor de 2 000  600 2 2 3 400.

Paso

Multiplica de

2 000  600  2 3 400 izquierda a 2 000  600  800 derecha.

Paso 2 000  600  800 1 400  800

Paso

Después, resta

1 400  800 Luego, resta otra vez. 600

de izquierda a derecha.

Por lo tanto, a Carla le quedan $600. • ¿Cómo te ayudó la prevalencia de las operaciones a resolver este problema?

¿Qué operación debes realizar primero para hallar los valores de 12  6 4 2 y 12 4 6  2? ¿Cuál es el valor de cada expresión?

Ejemplos  12 1 15 4 3 12 1 5 17

 32  10 1 6 22 1 6 28

Divide de izquierda a derecha. Después, suma.

Suma y resta de izquierda a derecha.

Escribe correcto si las operaciones están en el orden correcto. Si no es así, escribe el orden de las operaciones correcto. 1. 4 1 5 3 2  Multiplicar, sumar

 2. 8 4 4 3 2  Multiplicar, dividir 

3. 12 1 16 4 4  Sumar, dividir 4. 9 1 2 3 3  1  Sumar, multiplicar, restar

Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 5. 6 1 9 4 3 6. 3 3 6 4 2 7. 49 4 7 1 5

 8. 36  4 1 8 4 4

9. 8 1 27 4 9  2 10. 9 3 7 1 4 11. 45 4 5  6

12. 8 3 9  4 1 12

Razonamiento  Usa los números de la lista para hacer un enunciado numérico verdadero.  13. 2, 6 y 5

14. 4, 12 y 18

15. 8, 9 y 7

j 1 j 3 j 5 16 j  j 4 j 5 15 j 3 j  j 5 47 16.

¿Es 4 1 8 3 3 igual a 4 1 3 3 8? Explica cómo lo sabes sin hallar el valor de cada expresión.

Práctica adicional en la página 108, Grupo B

Libro 5.indb 97

Capítulo 4 97

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LE C C

N IÓ

3 Expresiones entre paréntesis

OBJETIVO: Aplicar las reglas relativas a paréntisis para hallar el valor de expresiones

Repaso rápido 1. 9 1 3 3 6 2. 15 2 8 4 2 3. 20 4 4 2 3 4. 7 3 6 2 3 3 5 5. 36 4 4 1 8 3 2

Aprende Ya sabes cómo usar el orden de las operaciones para hallar el valor de una expresión con más de un tipo de operación. Algunas expresiones pueden tener paréntesis. En una expresión que tiene paréntesis, se resuelve primero lo que está entre paréntesis. Primero, realiza cualquier operación entre paréntesis. Después, multiplica y divide de izquierda a derecha. Luego, suma y resta de izquierda a derecha.

Ejemplo 1  Usa el orden de las operaciones.  David es un observador de aves. Vio 8 cachuditos del norte durante el fin de semana. Cada día de la semana, vio 3 cachuditos más. ¿Cuántos cachuditos vio en total? 8 1 (2 3 3) ↓ 8 1 6 ↓ 14

Piensa: 8 cachuditos más 2 días multiplicado por 3 cachuditos cada día Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, suma.

Por lo tanto, David vio 14 cachuditos del norte en total.  Camila vio 8 diucas el lunes y otras 2 el martes. Para finales de la semana, había visto 3 veces tantas diucas como las que vio el lunes y el martes juntas. ¿Cuántas diucas vio en total? (8 1 2) 3 3 ↓ 10 3 3 ↓ 30

Piensa: 3 multiplicado por el total de 8 diucas y 2 diucas Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica.

Por lo tanto, Camila vio 30 diucas en total. • Halla el valor de 8 1 2 3 3. ¿En qué se parece esta expresión a 8 1 (2 3 3) y a (8 1 2) 3 3? ¿En qué se diferencia?

98

Libro 5.indb 98

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Relaciona las palabras y las expresiones Puedes relacionar palabras con una expresión o escribir una expresión que se relacione con palabras.

Ejemplo 2  Relaciona las palabras con una expresión. Después, halla el valor de la expresión. Juan contó bandurrillas de pico recto en 2 árboles. Había 5 pájaros en cada árbol. Después, 3 pájaros se fueron de cada árbol. ¿Cuántas bandurrillas quedaron? ¿Qué expresión se relaciona con el significado de las palabras? Piensa: Los 2 árboles que tenían 5 pájaros cada uno, ahora tienen 3 pájaros menos.

(2 3 5) 2 3  ← Primero, halla el número total de pájaros

(2 3 5) 2 3 

2 3 (5 2 3)  ← Primero, halla el número de pájaros que

en los árboles y después resta el número

quedan en cada árbol y después halla el

que se fue volando.

número total que quedan.

No se relaciona con el significado.

2 3 (5 2 3) 

Se relaciona con el significado.

Para hallar cuántas bandurrillas quedan, sigue el orden de las operaciones. 2 3 (5 2 3) ↓ 2 3 2 ↓ 4

Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, multiplica.

Por lo tanto, quedan 4 bandurrillas de pico recto.

Ejemplo 3  Escribe una expresión que se relacione

Los paréntesis te ayudan a hallar el valor correcto de una expresión con más de un tipo de operación. El significado de las palabras en un problema indica dónde colocar los paréntesis.

con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. Elia vio 6 albatros de frente blanca en cada uno de 3 árboles. Además, vio 4 diucas. ¿Cuántas albatros más que diucas vio? (6 3 3) 2 4  ← 6 albatros en cada uno de 3 árboles y 4 diucas menos Para hallar cuántos más albatros vio Elia, sigue el orden de las operaciones. (6 3 3) 2 4 ↓ 18 2 4 ↓ 14

Realiza primero lo que está entre paréntesis. Después, resta.

Por lo tanto, Elia vio 14 albatros de frente blanca más que diucas. • Explica por qué la posición de los paréntesis es importante.

Capítulo 4 99

Libro 5.indb 99

24-01-13 10:08


Práctica con supervisión 1. ¿Qué manera de colocar los paréntesis da un valor de 35?

a. 5 3 (9 2 2)

b.  (5 3 9) 2 2

Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 2. 3 3 6 2 (2 1 4) 4 2

3. 3 3 (6 2 2) 1 4 4 2

 4. 3 3 (6 2 2 1 4) 4 2

Elige la expresión que se relacione con las palabras. 5. Claudia tenía $7 y después trabajó 3 horas

a $6 la hora. a. (7 1 3) 3 6

7.

6.  Juán José tenía 4 páginas con 5 estampillas

en cada una. Usó 3 estampillas

b. 7 1 (3 3 6)

a. (4 3 5) 2 3

b. 4 3 (5 3 3)

Explica por qué los valores de 8 1 6 4 2 y (8 1 6) 4 2 son diferentes. ¿Cuál es el valor de cada expresión?

Práctica independiente y resolución de problemas Sigue la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 8. 45 2 9 4 3

9. 30 1 2 3 (6 2 4)

10. (45 2 9) 4 3

11. 36 2 (4 1 8) 4 4

12. 8 1 6 3 5 2 2 

13. (28 2 8) 4 4 1 6

14. 5 3 (9 2 4) 1 (12 4 6)

15. 18 2 (5 3 3)

16. (36 4 4) 1 (10 2 5)

17. (3 3 8) 4 (6 1 6)

18. (9 2 6) 3 (8 2 5 1 3) 

19. (12 3 3) 4 (8 2 4)

Elige la expresión que se relacione con las palabras. 20. Ariel tenía 15 bolitas. Regaló 3 y después le

21. María José tenía 50 láminas. Le dio 4 láminas

dieron 5. a. (15 2 3) 1 5

durante 5 días a su hermano. b. 15 2 (3 1 5)

22. Samuel trabajó 6 horas al día por 4 días.

a. 50 2 (4 3 5)

23. Jéssica compró 2 boletos a $800 cada uno.

Trabajó 5 horas el quinto día. a. (6 3 4) 1 5

b. (50 2 4) 3 5

Pagó $100 de impuesto de ventas.

b. 6 3 (4 1 5)

a. 2 3 (800 1 100) b. (2 3 800) 1 100

Escribe las palabras que se relacione con la expresión. 24. 4 3 (5 1 3)

25. (10 1 2) 3 6

26. 6 3 (5 2 3)

27. (7 3 2) 2 12

Usa paréntesis para hacer el enunciado numérico verdadero. 28. 34 1 6 4 4 5 10

29. 7 3 6 2 3 5 21

30. 14 2 4 1 8 4 2 5 9

31. 7 3 6 1 6 2 2 5 82

32. 5 1 6 3 2 5 22

33. 9 2 6 3 6 4 2 5 9

100

Libro 5.indb 100

24-01-13 10:08


34. Lia vio 8 gorriones en cada uno de 3 árboles y

35. Formula un problema  Escribe un problema

4 chincoles en cada uno de 2 árboles. ¿Cuántos gorriones más vio que chincoles? 36. Luisa vio 4 zorzales en su primera hora

observando aves. En la segunda hora, vio 1 más que el doble del número que vio en la primera hora. Escribe una expresión para el número de zorzales que vio en la segunda hora. ¿Cuántos zorzales vio en total? 

que se relacione con la expresión 4 3 (8 2 3). 37.

  Cuando hallas el valor de 6 1 6 y 3 3 4, ambas expresiones son iguales a 12. ¿Qué otros nombres para 12 puedes escribir que tengan solo números menores que 10 y por lo menos tres operaciones diferentes? Explica cómo decidiste si debías usar paréntesis.

Comprensión de los Aprendizajes 365639

38. Halla el valor de w 1 26 si w 5 17.

41. j

39. Un santuario de aves tiene 8 aves en cada jaula

42. Preparación para la prueba  ¿Qué expresión

tiene un valor de 28?

gigante. Si hay 56 aves, ¿cuántas jaulas hay?  40. Preparación para la prueba  Halla el valor de la

expresión. 4 3 (9 2 5) 2 1

A (16 2 2) 3 2 B 16 2 2 3 2 C 16 1 4 4 2 1 8 D (16 1 2) 4 2 1 8

Sendero de Chile

q Torres del Paine

El Parque Nacional Torres del Paine dista 41km del Monumento Natural Cueva del Milodón. En esta cueva habitó el Milodón. Esta especie de animal extinta pertenecía a la familia de los armadillos, osos hormigueros y actuales perezosos; era bípedo y medía aproximadamente dos metros y medio. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después, halla el valor de la expresión. 1. Un pionero viajó 3 km por hora durante 3 horas en la mañana.

Después viajó 5 km en la tarde y 3 km en la noche. ¿Qué distancia viajó?  2. Una familia viajó 7 km en la mañana, 2 km por hora durante

4 horas en la tarde y después 1 km más en la noche. ¿Qué distancia viajó la familia? 

Capítulo 4 101

Libro 5.indb 101

24-01-13 10:08


LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Escribir y evaluar expresiones

1. 6 3 3

2. 4 3 5

3. 9 3 7

4. 24 4 3

5. 36 4 9

ObjetivO: Escribir y evaluar expresiones de multiplicación y división con variables.

Aprende ProblemA  Doris colecciona estampillas. Ahora tiene 5 veces la cantidad de estampillas que tenía cuando empezó la colección. Escribe una expresión para el número de estampillas que tiene ahora. Después halla cuántas estampillas más tendría ahora si empezara con 3.

Ejemplo 1

Usa bloques de patrón para representar la expresión. para representar el número de estampillas con que Doris Usa empezó su colección y usa para representar 1 estampilla. ← número de estampillas que tiene ahora

Como ella empezó con 3 estampillas, sustituye cada

por 3

.

5 15 Usa una variable. Escribe una expresión con una variable. Usa n para representar el número de estampillas con que Doris empezó su colección. ← número de estampillas que tiene ahora 5 3 n Halla el valor de 5 3 n si n 5 3. 5 3 n ↓ Sustituye n por 3, ya que ella empezó con 3 estampillas. 5 3 3 ↓ 15 Por lo tanto, Doris tiene ahora en su colección 15 estampillas.

Recuerda 

Una variable puede representar cualquier número. Puedes usar cualquier letra como variable

• ¿Cómo usarías la propiedad asociativa para volver a escribir y después hallar el valor de (d 3 4) 3 3 si d 5 6?

102

Libro 5.indb 102

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Ejemplo 2 Carlos coloca sus estampillas en un álbum. Él llena una página con 24 estampillas en hileras iguales. Escribe una expresión para el número de estampillas que hay en 1 hilera. Después halla cuántas estampillas hay en cada hilera si él las coloca en 4 hileras. Usa un modelo. Usa bloques de patrón para representar la expresión. Usa 24

  para representar 24 estampillas.

Coloca los

en 4 hileras iguales.

Usa una variable. Escribe una expresión con una variable. Usa f para representar el número de estampillas en cada hilera. ← número de estampillas en cada hilera 24 4 f Halla el valor de 24 4 f si f 5 4. 24 4 f ↓ . 24 4 4 Sustituye f por 4, ya que hay 4 ↓ hileras iguales. 6

Estas frases de multiplicación tienen el mismo significado: • 4 grupos cada uno con n objetos • 4 3 n • 4 veces un número, n Estas frases de división tienen el mismo significado: • n objetos separados en 6 grupos

Por lo tanto, Carlos colocó 4 estampillas en cada hilera.

• n 4 6

Ejemplo 3  Escribe una expresión que se relacione con las palabras. Después halla el valor de la expresión.

• un número, n, dividido entre 6

  Carlos gastó $1 000 en algunas estampillas. Escribe una expresión para el precio de una estampilla. costo total 4 entre un número de estampillas ↓ ↓ 1 000 4 e ← e es el número de estampillas.

  Carlos compró algunas estampillas de $300. Escribe una expresión para la cantidad total que gastó. un número de estampillas 3 el precio de cada estampilla ↓ ↓ ← e es el número e 3 300

Imagina que él compró 5 estampillas. 1 000 4 e ↓ 1 000 4 5 Sustituye e por 5. ↓ 200

Imagina que él compró 8 estampillas. e 3 300 ↓ 8 3 300 Sustituye e por 8. ↓ 2 400

Por lo tanto, Carlos gastó $200 por cada estampilla.

de estampillas.

Por lo tanto, Carlos gastó $2 400 por 8 estampillas.

Capítulo 4 103

Libro 5.indb 103

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Práctica con supervisión 1. Hay dos cajas de lápices, con c lápices en cada caja. Halla el

número total de lápices, 2 3 c si c 5 8. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 2.  3 veces un número de palabras, p, en una

3. Un puñado de llaves, l, dividido en partes iguales

lista de deletreo.

y colocado en 4 llaveros.

Halla el valor de la expresión. 4. 2 3 p si p 5 9 8.

5. 6 3 w si w 5 7

6. 40 4 m si m 5 5

7. s 4 3 si s 5 27

Explica cómo hallar el valor de 8 3 k y 36 4 k si k 5 4.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 9. el precio de algunos juguetes, j, a $500

cada uno

10. muchas páginas, p, cada una con

10 calcomanías

11. el número de libros, l, dividido en partes iguales y 12. 16 autos miniatura divididos en partes iguales

colocados en 6 estantes

entre un número de cajas, e

Halla el valor de la expresión. 13. c 3 8 si c 5 3

14. 9 3 y si y 5 7

15. v 4 8 si v 5 32

16. 25 4 q si q 5 5

17. a 4 2 si a 5 12

18. b 3 4 si b 5 8

19. 72 4 b si b 5 9

20. 7 3 r si r 5 8

23. 9 3 s

24. (6 4 s) 1 3

Relaciona la expresión con las palabras. 21. 9 4 s

22. 6 3 (s 3 3)

a. 6 veces el producto de s y 3

b. el cociente de 9 dividido entre s

c. 6 dividido entre s y sumar 3

d. 9 veces s

Halla el valor de cada expresión si n 5 7. Después escribe ,, . o 5. 25. 59 2 58 d n 4 7

26. 9 3 3 d 42 4 n

27. 4 3 n d 26 1 4

28. Ángela compra algunas hojas de estampillas. Cada hoja tiene 10

estampillas. Escribe una expresión para el número de estampillas que compra. ¿Cuántas estampillas más hay en 9 hojas que en 6? 29.

DATO BREVE En 1980, un coleccionista compró una estampilla en $3 000. En 2006 la vendió a un valor de 12 veces al que la compró más 3 monedas de $100. ¿En cuánto vendió la estampilla?

104

Libro 5.indb 104

Práctica adicional en la página 108, Grupo C

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30. Razonamiento  Usa las propiedades

¿Cuál es el error? Alberto afirma que w 3 8 es 16 si w 5 8. ¿Qué error pudo haber cometido Alberto? Escribe la respuesta correcta.

31.

conmutativa y asociativa para volver a escribir y después hallar (5 3 n) 3 2 si n 5 9. Explica cómo hallaste tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 35. Muestra dos maneras de usar paréntesis para

32. ¿Qué número representa la n?

agrupar 6 3 2 3 3. Halla los productos. 

n + 7 = 14 33. ¿Cuántos pares de lados paralelos pareciera

tener esta figura?

34. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el valor

36. Preparación para la prueba  Danilo tiene 6 veces tantas monedas como Susana. Usa s para representar el número de monedas que tiene Susana. ¿Qué expresión muestra el número de monedas que tiene Danilo? A 6 1 s B 6 2 s

de la expresión 36  t si t = 4? A 9 C 40

C 6 3 s

B 32

D 144

D 6 4 s

Universidad de Chile 170 años: Cuatro sellos con las imágenes de Valentín Letelier, Amanda Labarca, la Casa Central y la estatua de Andrés Bello fueron presentados este viernes 28 de septiembre (2012) en CorreosChile, dando así comienzo a las actividades de Aniversario 170 de esta Casa de Estudios. En cada uno de los sellos se lee la inscripción “Precursores de la Educación Pública”. Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 1. el total de 2 estampillas en cada tarjeta conmemorativa, c 2. el precio de un número de sobres de la primera emisión, s,

que costaba $2 500 cada uno

Cada estampilla, e, cuesta $500. Halla el costo total del número de estampillas. 3. e 5 8

4. e 5 5

5. e 5 7

Capítulo 4 105

Libro 5.indb 105

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LE C C

N IÓ

5

Repaso rápido

Patrones: Hallar una regla OBJETIVO: Hallar una regla para una relación numérica y escribir una ecuación para la regla.

1. 5 3 7

2. 8 3 6

3. 32 4 4

4. 63 4 9

5. 3 3 6 1 2

Aprende PROBLEMA  Un litro de leche es igual a 4 cuartos de leche, 2 litros son iguales a 8 cuartos y 3 litros son iguales a 12 cuartos. ¿Cuántos cuartos de leche son iguales a 4 litros? Puedes usar una tabla de entrada y salida para hallar una regla que relacione el número de litros con el número de cuartos. Entrada (litros)

Salida (cuartos)

1

4

2

8

3

12

4

j

Busca un patrón que te ayude a hallar una regla. Patrón: Cada salida es la entrada multiplicada por 4.

p U  na vaca produce aproximadamente 752 litros de leche en un mes.

Regla: Multiplicar la entrada por 4. Entrada: 4 Salida: 4 3 4 5 16

Por lo tanto, 4 litros son iguales a 16 cuartos de leche.

ADVERTENCIA

Puedes escribir una ecuación para mostrar la regla. Usa variables para mostrar la entrada y la salida. entrada (litros)

salida (cuartos)

g  3  4  5  c

Una regla debe funcionar con cada par de números de la tabla. Asegúrate de probar tu regla con cada par de números de la tabla.

Piensa en la ecuación como una regla. Para hallar el valor de c, multiplica g por 4.

Ejemplos  Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la ecuación para hallar el número que sigue en tu patrón.

 atrón: Cada salida es la entrada dividida entre 7. P Regla: Divide b entre 7. Ecuación: b 4 7 5 c

Entrada, b

Salida, c

14

2

14 4 7 5 2

28

4

28 4 7 5 4

42

6

42 4 7 5 6

56

j

56 4 7 5 8

Piensa:

Por lo tanto, el número que sigue en el patrón es 8.

106

Libro 5.indb 106

24-01-13 10:08


Práctica con supervisión 1. La regla es multiplicar w por 6. La ecuación es w 3 6 5 z.

¿Cuál es el número que sigue en el patrón?

Entrada, w 4

5

6

7

8

Salida, z

30

36

42

24

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.   2. Entrada, b 90

70

60

50

Salida, c

7

6

   

4.

9

30

20

 3.

10

Entrada, r

2

3

5

6

Salida, s

18

27

45

   

 Explica cómo se usa la tabla para escribir una ecuación para hallar la distancia, d, en kilómetros que recorrerá un camión que viaja con l litros de bencina. Usa la ecuación para completar la tabla.

8

9

10

Entrada, l

1

2

3

4

Salida, d

12

24

36

Práctica independiente y resolución de problemas Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan.  5.

Entrada, x

14

28

42

56

Salida, y

2

4

6

   

70

77

6.

84

Entrada, d

3

4

6

  

11

Salida, f

15

20

30

40

55

45

50

Usa la regla y la ecuación para hacer una tabla de entrada y salida.  7. Dividir k entre 10. 8. Multiplicar c por 12.

9. Multiplicar f por 4, sumar 7.

10. Dividir p entre 5, restar 2.

k 4 10 5 m c 3 12 5 d (f 3 4) 1 7 5 g (p 4 5) 2 2 5 q USA LOS DATOS  Para los ejercicios 11 a 12, usa la pirámide de alimentos para niños.

t P ara una dieta de 1 800 calorías, necesitas comer o tomar la cantidad que se muestra de cada grupo todos los días.

11. ¿Cuántas tazas de leche debe tomar un niño

en 2, 3, 4 y 5 días? Haz una tabla de entrada y salida. Escribe una ecuación para resolverlo. 12.

Explica cómo se halla una regla y se escribe una ecuación para el número total de tazas de granos que un niño debe comer en 3 días.

Granos

Vegetales

1 taza

2 12 tazas

Frutas

112 tazas

Leche

Carne y legumbres

3 tazas

114 tazas

Comprensión de los Aprendizajes 13. ¿Cuál es el valor de p?

15 2 p 5 8

16. Preparación para la prueba  ¿Qué ecuación

muestra una regla para la tabla? 

14 4 3 10 5

Entrada, c

3

6

9

15. (10 2 2) 3 7 5

Salida, p

6

12

18

Práctica adicional en la página 108, Grupo F

Libro 5.indb 107

A r 1 6 5 5

C 5 2 6 5 r

B r 2 6 5 5

D r 2 5 5 6

Capítulo 4 107

24-01-13 10:08


Práctica adicional Grupo A  Usa las propiedades y el cálculo mental para hallar el producto. 1. 2 3 7 3 5

2. 2 3 0 3 31

3. 1 3 6 3 7

4. 3 3 8 3 2

5. 8 3 1 3 7

6. 5 3 4 3 6

7. 5 3 9 3 2

8. 3 3 0 3 34

9. Una tienda recibió un envío de 2 cajones con 10 empaques

de jugo en cada uno. Hay 5 cajas de jugo en cada empaque. ¿Cuántas cajas de jugo recibió la tienda?

Grupo B  Sigue el orden de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 1. 28 2 4 4 2

2. 25 1 15 4 (2 1 3)

3. 5 3 (6 2 3) 1 9

4. 28 2 (5 1 3) 4 4

5. 16 1 4 3 (3 1 7)

6. (22 2 1) 4 7

7. (9 1 18) 4 3

8. 36 4 9 2 4

3. 6 3 n si n 5 8 

4. 56 4 q si q 5 7

7. 9 3 s si s 5 8

8. w 4 9 si w 5 36

Grupo C  Halla el valor de cada expresión. 1. d 3 9 si d 5 6

2. f 4 7 si f 5 49

5. n 3 8 si n 5 5 6. 63 4 m si m 5 9

9. Allison colocó 10 fotos en cada una de n páginas de su álbum. Escribe una expresión para mostrar el número total de fotos en el álbum.

Grupo D  Resuelve la ecuación. 1. 3 3 n 5 21

2. c 4 9 5 1

3. t 3 4 5 28

4. h 4 4 5 10

5. r 4 6 5 5

6. 56 4 m 5 7

7. 3 3 w 3 3 5 36

8. 3 3 n 3 4 5 24

Grupo E  Di si cada ecuación es verdadera. Si no, explica por qué.      ​  ?   ​ 8 3 3 1. (12 2 4) 3 8 5      ​  ?   ​ (5 3 3) 4 5 3. (8 1 7) 4 3 5

     ​  ?   ​ (30 4 10) 3 12 2. (5 1 4) 3 4 5      ​  ?   ​ (63 4 7) 3 3 4. (56 4 8) 3 3 5

Grupo F  Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 1.

Entrada, a

6

12

18

24

Salida, b

1

2

3

 

30

2.

Entrada, m

4

5

6

 

Salida, n

32

40

48

56

64

108

Libro 5.indb 108

24-01-13 10:08


Conexión entre ecuaciones ¡En sus marcas! 2 jugadores

¡Listos!

tarjetas (20)

Un jugador volteó estas dos tarjetas. Los valores de n no coinciden. Por lo tanto, el jugador coloca otra vez las tarjetas boca abajo y le toca su turno al otro jugador.

¡Fuera! Cada jugador toma 10 tarjetas. Un jugador escribe 10 ecuaciones de multiplicación y el otro escribe 10 ecuaciones de división. Todas las ecuaciones necesitan tener la n como variable y el valor de n en cada una debe ser un número entero del 1 al 10.

Decidan quién será el primero. El primer jugador voltea dos tarjetas. Si las dos ecuaciones tienen el mismo valor de n, el jugador se queda con las tarjetas. Si no tienen el mismo valor, el jugador regresa las tarjetas otra vez boca abajo.

Mezclen las tarjetas. Colóquenlas boca abajo en 4 hileras con 5 tarjetas cada una.

Túrnense hasta que todas las tarjetas tengan su pareja. El jugador con más tarjetas gana.

Capítulo 4 109

Libro 5.indb 109

24-01-13 10:09


Repaso/Prueba del Capítulo 4 Repasar el vocabulario y los conceptos 

VOCABULARIO

Elige el mejor término del recuadro. 1. La ? establece que cuando el orden de dos factores

propiedad asociativa propiedad conmutativa propiedad de elemento neutro propiedad envolvente del cero

se cambia, el producto es el mismo. 2. La

?

3. La

?

establece que el producto de 0 por cualquier número es 0. establece que se pueden agrupar factores de diferentes maneras y aun así obtener el mismo producto.

Repasar las destrezas  Aplicar las reglas relativas a la prevalencia de las operaciones para hallar el valor de cada expresión. 4. 25  10  2

5. 11 1 1  (7  3)

6. 3  (8  6) 1 7

7. 14  (3 1 9)  6

Escribe una expresión que se relacione con las palabras. 8. un número de juguetes, j, dividido 9. varias carpetas, c, que tienen 3 aros cada una en partes iguales entre 8 gatos

Resuelve la ecuación. 10. 7  n 5 56

11. d  6 5 4

12. w  6 5 30

13. p  6 5 7

14. k  4 5 2

15. 35  m 5 7

16. 3  h  3 5 45

17. 4  n  5 5 40

Di si cada ecuación es verdadera. Si no lo es, explica por qué.           ​  ?   ​ (8 1 8)  4 ​  ?   ​ (2  6)  10 18. (4  4)  4 5 19. (24  4)  10 5      ​  ?   ​ (36  3)  3 20. (10 1 6)  4 5

     ​  ?   ​ (40  8)  3 21. (14  9) 1 3 5

Halla una regla. Escribe la regla como una ecuación. Usa la regla para hallar los números que faltan. 22.

Entrada, x Salida, y

20 4

25 5

30 6

35

40

23. Entrada, n

3

4

5

j

j

Salida, m

27

36

45

j 54

j 63

Repasar la resolución de problemas  Resuelve.  24. La suma de dos números es 17. El producto es

72. ¿Cuáles son los números? 

25.

El producto de 11 y p es  igual a q. Describe lo que sabes acerca de los números p y q.

110

Libro 5.indb 110

24-01-13 10:09


Enriquecimiento • Predecir patrones

Crecer, crecer, crecer Puedes usar diagramas, tablas y ecuaciones para predecir patrones. En cada lado de cada mesa cuadrada se puede sentar sólo un estudiante. ¿Cuántos estudiantes se pueden sentar en dos mesas colocadas una junto a la otra? ¿Qué ecuación puedes usar para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra?

Entrada, m

1

2

3

4

Salida, e

4

6

8

Completa la tabla de entrada y salida para predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto (2  t)  2  s a la otra. Escribe una ecuación para el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra.

Piensa: en cada mesa se pueden sentar 2 estudiantes más 1 estudiante en cada extremo.

La ecuación (2  t)  2  e predice el número de estudiantes que se pueden sentar en un cierto número de mesas colocadas una junto a la otra. Por lo tanto, 10 estudiantes se pueden sentar en 4 mesas colocadas una junto a la otra.

Inténtalo Copia y completa el patrón de la tabla. Después, escribe una ecuación para predecir el número de objetos que tendrá cada diseño del patrón. 1. 2. 

fila 1 fila 2 fila 3 fila 4

Entrada, u

1

2

3

4

5

6

Entrada, r

1

2

3

4

5

6

Salida, v

1

3

Salida, c

2

4

3. 4.

Entrada, m Output, n

1

2

3

4

5

6

Entrada, q

1

2

3

4

5

6

1

4

Salida, r

1

5

Explica cómo puedes predecir el número de estudiantes que se pueden sentar en 14 mesas colocadas una junto a la otra, usando la ecuación (2  m)  2  e.

Capítulo 4 111

Libro 5.indb 111

24-01-13 10:09


Repaso/Prueba de la unidad Capítulo 4

Opción múltiple

5. Los vendedores de Autos Usados Baratos

vendieron 32 autos en 4 días. Cada día se vendió el mismo número de autos. ¿Cuántos autos se vendieron cada día?

1. Rosa escribió la ecuación y 5 500  k como la

regla para las tarifas de los taxis cuando salen de la ciudad. La tarifa es y, y el número de kilómetros recorridos es k. ¿Cuál es la tarifa de un taxi para un viaje de 9 kilómetros?

A 4

C 12

B 8

D 24

A $1 500 B $2 500

6. La familia Ortiz compró tres batidos de leche.

La familia Osorio compró 3 helados de una bola y 4 sundaes. ¿Qué expresión muestra cuántas fichas más gastó la familia Osorio que la familia Ortiz?

C $3 000 D $4 500

2. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

verdadero este enunciado numérico?

6  8 5 4  4  j A 6

C 3

B 4

D 2

3. Joaquín pesa el doble que su hermano. Si m

representa el peso de Joaquín, ¿qué expresión muestra cuánto pesa su hermano? 

Helados

Fichas

1 bola 2 bolas Sundae Batido de Leche

2 3 4 3

A (3  2) 1 4  (3  3) B (3  2) 1 (4  4) 1 (3  3)

A m  2

C (3  2 1 4)  (4  3)  3

B m 1 2

D (3  2) 1 (4  4)  (3  3)

C m  2 D m  2

7. ¿Qué número va en el recuadro para hacer

4. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo si

verdadero este enunciado numérico? j

1 5 5 21 1 9

t 5 8?

48  (t 1 4)  5 A 50

C 10

B 20

D 4

A 35 B 25

C 6 D 10

112

Libro 5.indb 112

24-01-13 10:09


8. ¿Qué enunciado numérico no está en la misma

familia de operaciones de 6  9 5 j?

Respuesta breve 12. Usa p para representar el precio original de un

cartel. Escribe una expresión para mostrar su precio de oferta.

A j  9 5 6 B j  6 5 9 C 9  j 5 6 D 9  6 5 j

9. Las letras A y N representan números. Si

A  5 5 N  5, ¿qué enunciado es verdadero? A A . N

13. Coloca paréntesis a la siguiente expresión de

manera que su valor sea 28. 

9152

B A , N 14. Mira el problema de abajo.

C A 5 N D A  N

y5x42

10. Natacha está leyendo un libro. El libro tiene 99

páginas. ¿Cuántas páginas debe leer Natacha cada día para acabar el libro en 9 días?

Si y 5 10, ¿cuánto es x?

15. La Sra. Gallardo compra 11 cajas de

invitaciones. En cada caja hay 12 invitaciones. ¿Cuántas invitaciones compra la Sra. Gallardo en total?

A 8 B 9 C 10 D 11

Respuesta desarrollada 16. Explica cómo se halla el valor de la expresión

11. ¿Qué número representa la g?

g  12 5 7 A 96 B 84

42  6 1 (5 2 3).

17. Hay 3 veces más niñas que niños en una clase

de ballet. Hay 12 niñas en la clase. Explica cómo se escribe una ecuación para hallar el número de niños en la clase de ballet.

C 74 D 72

18. Explica cómo sabes qué número hace este

enunciado numérico 6  n 5 6  (3 1 4) verdadero.

Capítulo 4 113

Libro 5.indb 113

24-01-13 10:09


De Aquí y de Allá

AL

Resolución de Problemas

E

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

¡La colonización!

Colonización de la Región de Magallanes y de la Antártica Chilena

n 1853 surge el “Territorio de Colonización de Magallanes”, erigido por decreto el 8 de julio de ese año. Abarca toda la mitad sur de la antigua Provincia de Chiloé, desde el golfo de Penas (una línea recta por el paralelo 47º S) por el norte hasta el Cabo de Hornos por el sur. En la década de 1850 comenzó la inmigración europea a la Patagonia chilena, destacándose por importancia y número la inmigración croata. Los croatas se instalaron principalmente en Puerto Natales, Punta Arenas y Porvenir (Tierra del Fuego) Lista de provisiones (para una persona) y se convirtió en una de las 4 kg de café 6 kg de tocino inmigraciones europeas más 1 kg de té 3 kg de vegetales importantes en Chile. Los colonos traían provisiones para 10 kg de harina de maíz 20 kg de azúcar asentarse en esas frías tierra.

sa la lista de provisiones para responder a las preguntas. U 1 ¿Cuántos kilogramos de vegetales se necesitaban para 5 personas? 2 Si 8 personas viajaban en una carreta, ¿cuántos kilogramos de té debían llevar? 3  ¿Para cuántos colonos alcanzarían 12 kg de café durante el viaje? 4  En días buenos, los colonos recorrerían 16 km por día. ¿Qué distancia recorrerían en 7 días?

5

   Imagina que 3 personas viajaban en una carreta y que tenían 12 kg de tocino. ¿Tenían suficiente tocino para todos? Explica cómo lo sabes.

114

Libro 5.indb 114

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Planear

E

por adelantado

n 1587, el corsario inglés Thomas Cavendish cruzó el estrecho de Magallanes y divisó algunos sobrevivientes en la costa cerca de la Primera Angostura. Rescató sólo a uno, que le relató el trágico fin de las ciudades diezmadas por el hambre: Ciudad del Nombre de Jesús y Rey Don Felipe. Cavendish bautizó al entorno de la Bahía de San Blas como Puerto del Hambre, denominación con la cual es conocido hasta la actualidad.

Fernando de Magallanes descubrió el estrecho que lleva su nombre el 21 de octubre de 1520, en su viaje alrededor del mundo. Fue así el primer europeo, al servicio de la corona española, en poner pie en tierras chilenas.

La tabla de abajo muestra algunas provisiones de alimentos en 1853. Imagina que tu familia va en carreta a colonizar la Patagonia. La carreta puede cargar aproximadamente 1 050 kg. u Decide qué provisiones de alimentos necesitará cada miembro de la familia. Haz una lista de los artículos y el número de kg que cada miembro de la familia traerá. u Halla el total de kg de cada artículo para toda la familia. Ahora halla la cantidad total de kg que se van a cargar en la carreta. Asegúrate de que la cantidad de kg no sobrepase los 1 050 kg. u Si el total de kg de artículos es menos de 1 050 kg, añade más artículos para llegar lo más cerca posible de los 1 050 kg.

Algunas provisiones de alimentos en 1853

tocino café harina de maíz

harina arroz azúcar

vegetales

Capítulo 4 115

Libro 5.indb 115

24-01-13 10:09


2

Libro 5.indb 116

NĂşmeros y conceptos de fracciones

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Matemática en Contexto ¿Qué matemáticas se usan en la música de Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes determinar cuándo dos patrones de ritmo diferente comparten un solo tiempo?

p Los tiempos de 3, 4 u 8 por compás forman patrones o ritmos de repetición en las baterías electrónicas.

REPASO DEL VOCABULARIO  Cuando aprendiste sobre factores y fracciones, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

factor común un número que es un factor de dos o más números factor un número que se multiplica por otro número para hallar un producto número mixto un número que se compone de un número entero y una fracción

Copia y completa la siguiente tabla. Usa lo que sabes acerca de los patrones. p Como en los patrones de los factores, el ritmo se combina con otro ritmo grabado, pero diferente.

Pregunta

Ritmos

¿Cuántos tiempos hay en 7 compases?

2 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18

¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes?

2, 3 tiempos por compás: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, __, __ 3, 6, 9, 12, __, __, __

¿Cuándo comparten tiempos dos ritmos diferentes?

3, 4 tiempos por compás: 3, 6, 9, __, __, __, __, __, 4, 8, __, __, __, __, __,

p Los equipos electrónicos muestran los ritmos grabados, en forma de patrones que se pueden ver.

Unidad 2 117

Libro 5.indb 117

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CAPÍTULO

5

Conceptos de fracciones La idea importante

Las fracciones y los números mixtos pueden expresarse en formas equivalentes y pueden compararse y ordenarse.

Chile

DATO BREVE

El primer concierto de la Orquesta Filarmónica de Santiago se realizó el 3 de julio de 1955, y fue dirigido por Leopold Ludwig. En sus inicios, estaba formada por cerca de sesenta jóvenes músicos y docentes de música o del conservatorio.

Investiga Sección de cuerdas de la Filarmónica de Santiago Primer violín

Instrumento

La Orquesta Filarmónica de Santiago es una agrupación de músicos que cuenta con varias familias de instrumentos musicales como: viento madera, viento metal, percusión y cuerda. Generalmente está compuesta por más de 80 músicos pero en algunos casos pueden llegar a más de 100. Elige dos instrumentos de cuerda de la gráfica. ¿Cuántos músicos de la sección hay por cada instrumento? Escribe la respuesta en forma de fracción reducida.

Segundo violín Viola Violonchelo Contrabajo 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

Cantidad de músicos

118

Libro 5.indb 118

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el capítulo 5.

u Entender fracciones Escribe la fracción que corresponde a la parte sombreada. 1.

2.

3.

4.

Escribe en palabras. 2 __ ​  5. ​ 5

1 __ ​  6. ​ 7

4 __ ​  7. ​ 9

1 __ ​  8. ​ 3

u Entender números mixtos Escribe un número mixto para cada dibujo. 9.

10 .

11.

u Comparar fracciones. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada .

1 4 1 2 12. ​__ ​  ​__ ​ 13. ​__ ​  ​__ ​ 3 8 4 4

2 __ ​  1 14. ​ ​__ ​ 3 2

1 __ ​  3 15. ​ ​__ ​ 2 8

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

PREPARACIÓN

fracciones de referencia múltiplo común fracciones equivalentes máximo común divisor (MCD) número mixto fracción irreductible

fracciones equivalentes fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad fracción irreductible  Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. máximo común divisor (MCD) El factor más grande que dos o más números tienen en común.

Capítulo 5  119

Libro 5.indb 119

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

1

Repaso rápido

Fracciones equivalentes

Haz un modelo de cada fracción.

OBJETIVO: Identificar y escribir fracciones equivalentes.

1 __ ​ 1. ​

2 __ ​ 2. ​ 3

1 __ ​ 4. ​ 8

4 5. ​  ___  ​ 12

4

Aprende PROBLEMA  Eva quiere compartir ​ _12 ​pastel con dos amigas. Divide la mitad del pastel en tres partes iguales. Escribe dos fracciones para representar la parte del pastel que comparte con sus amigas.

Actividad 

Materiales

3 __ ​ 3. ​ 5

Vocabulario fracciones equivalentes

■ patrones de figuras geométricas

Puedes usar patrones de figuras geométricas para hacer modelos de fracciones. Haz que el hexágono sea igual a 1 entero.

Paso

Paso

Cubre un hexágono con un trapecio para mostrar ​ _12 ​.

Paso

Cubre otro hexágono con triángulos para mostrar ​ _36 ​.

Compara los dos hexágonos.

Por lo tanto, ​ _36 ​al igual que ​ _12 ​representan la parte del pastel que Eva comparte con sus amigas. Las fracciones ​ 1_2 ​y ​ 3_6 ​se llaman fracciones equivalentes. Fracciones equivalentes son fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. En las siguientes rectas numéricas, las fracciones ​ _13 ​y ​ _26 ​son fracciones equivalentes porque están a la misma distancia de 0. También puedes hallar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por el mismo número. Una fracción con el mismo numerador y denominador es igual a 1.

Usa la multiplicación.

6 632 12 __ ​ ​  5 ___ ​ ​  ​ ​ 5 _____ 8

832

Usa la división. 6 642 3 ​ 5 _____ ​ ​  5 __ ​ ​  ​__

16

8

12 __ ​ ​.  Por lo tanto, 6 ​ ​ 5 ___ 8

16

842

4

__​ 5 3 __ ​ ​.  Por lo tanto, ​6 8

4

120

Libro 5.indb 120

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Práctica con supervisión Usa las rectas numéricas para identificar una fracción equivalente para cada fracción. 3 2 2 __ ​ __ ​ __ ​ 1. ​ 2. ​ 3. ​ 4

4

6 __ ​ 4. ​ 8

1 __ ​ 7. ​ 3

5 8. __ ​ 8

8

Escribe una fracción equivalente.  5 1 __ ​ 5. ​ 6. ​  ___  ​ 4

10

5 __ ​ 10. ​ 6

2 __ ​   9. ​ 5

6 Explica cómo hallar una fracción equivalente para ​ __ 10  ​.

11.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una fracción equivalente.  6 1 __ ​ 12. ​ 13. ​  ___  ​ 10

5

3 19. ​  ___  ​ 10

1 __ ​ 18. ​ 9

3 __ ​ 14. ​ 6

6 __ ​ 15. ​ 9

3 __ ​ 16. ​ 8

5 17. ​  ___  ​ 15

3 20. ​  ___  ​ 12

10 ___ ​ 21. ​ 12

2 __ ​ 22. ​ 3

12 ___ ​ 23. ​ 16

Di qué fracción no es equivalente a las demás. 3 8 3 2 4 ___ __ ​, 2 __ ​, ​  ___ 24. ​ ​__ ​, ​  ___   ​  25. ​   ,​ ​    ​  4 3 12

5 10 15

2 __ ​, 1 26. ​ ​__ ​, 1 ​__ ​  6 4 3

6 3 __ ​, 5 27. ​ ​__ ​,  __ ​  4 6 8

Usa la ilustración para 28–30. 28. Marco tiene estas 24 bolitas. Escribe cuatro fracciones

equivalentes para mostrar cuántas bolitas son azules.  29. ¿Qué pasaría si Marco cambiara las seis bolitas verdes por

otras seis bolitas azules? Escribe tres fracciones equivalentes para mostrar cuántas bolitas azules tiene ahora.  30.

Marco dice que ​ _14 ​de sus bolitas son verdes. Dice que eso representa ​ _28 ​de sus bolitas. ¿Tiene razón Marco? Explica tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 31. ¿Cuántos ángulos tiene un pentágono?

33. Preparación para la prueba 

¿Qué fracción es igual a ​ 1_3 ​?

32. Halla el cociente. 4 278 4 4 

Práctica adicional en la página 140, Grupo A

Libro 5.indb 121

1 __ ​ A ​ 6

3 C __ ​ 5

4 B ​  ___  ​ 12

2 __ ​ D ​ 3

Capítulo 5 121

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Fracciones irreductibles

Escribe una fracción ­equivalente.  __ 5  __ 3  __ 1 1. ​  ​ 2. ​  ​ 3. ​  ​

OBJETIVO: Escribir fracciones irreductibles.

4 

Aprende

7 

 4 4. ​  ___  ​ 10 

PROBLEMA  La región del Maule está dividida en 4 provincias: Talca, Cauquenes, Curicó, Linares. La provincia de Talca, a su vez, está 10 formada por diez comunas. Eso representa ​ __ 30 ​de las comunas. 10 ¿Cuál es la mínima expresión ​ o fracción irreductible __ 30 ​?

8 

 __ 2 5. ​  ​ 3 

Vocabulario fracción irreductible máximo común divisor (MCD)

Una fracción es irreductible cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. Puedes dividir entre factores 10 comunes para hallar la fracción irreductible de ​ __ 30 ​.

Ejemplo 1

Curicó

Divide tanto el numerador como el denominador por un factor común de 10 y de 30.

Talca

 10 4 2 ______ Prueba 2.  ​ ​  5 ___ ​   5 ​  ← no está en su mínima expresión 30 4 2 

15  El único factor común del 545 1 ← numerador y del denominador Prueba 5.  ​ ______   ​   5  ​__ ​   3 15 4 5 es 1. 10 1 ​  .  ​  reducido  ​  _ Por lo tanto,  ​ __ 3 30

Linares Cauquenes

p Región del Maule

 ​  _13 ​  de las 30 comunas, se encuentra en la provincia de Talca.

Más ejemplos  ___​   ​15

12

15 4 3 5   ​5  ​__ ​    fracción irreductible  ​ ______ 24 4 3 

45 ___​   ​

12 ___  ​ ​ 

24

8

60

4 12 1 _______  ​12 ​   5  ​__ ​  

45 4 5 9  ​______ ​   5  ​ ___  ​  

__ ​5 1  fracción irreductible ​1

943 3  ​ ______   ​   5  ​__ ​       fracción irreductible

12 4 12

1

1

15 ​en su mínima ​  __ 24 expresión es  ​  _5 ​. 8 

12 ​en su mínima ​  __ 12 expresión es  ​  1_1 ​ , o 1.

60 4 5

12 4 3

12 4

45 ​en su mínima ​  __ 60 expresión es  ​  3_ ​.  4

•  ¿Cuándo debes dividir por un factor común más de una vez para escribir una fracción irreductible o en su mínima expresión?

122

Libro 5.indb 122

24-01-13 10:09


Usa el máximo común divisor 20 Para la fracción ​ __ 30  ​, los factores comunes del numerador y del denominador son 1, 2, 5 y 10. Cuando divides el numerador y el denominador entre 1, 2 o 5, la fracción no es irreductible.

Curicó

Puedes dividir el numerador y el denominador entre el máximo común divisor, para escribir una fracción en su mínima expresión, en un paso. El máximo común divisor (MCD) es el factor más grande que dos o más números tienen en común.

Talca

Linares Cauquenes

p Región del Maule

Ejemplo 2

20 Las provincias: Cauquenes, Curicó y Linares componen ​  __ 30 ​de comunas de la 20 __ región del Maule. ¿Cuál es la fracción irreductible de ​  30 ​?

Paso

Paso

Halla el máximo común divisor de 20 y 30.

Divide el numerador y el denominador por el máximo común divisor.

20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 30 El MCD es 10.

4 10 2 _______  ​ 20   ​5  ​__ ​   ← fracción reducida 30 4 10 

3­­­

__  ​ reducida es ​  2_ .​ Por lo tanto, 20 3 30

Más ejemplos __ ​ reducida.  Escribe ​  35 49

7 es el único factor

35 4 7 5 común diferente de ​   5  ​__ ​    ​______ 49 4 7

7

1 para 35 y 49.

35 Por lo tanto, ​ __  ​reducida es ​ _57 ​. 49

__ ​en su fracción  Escribe ​  18 36 irreductible.

Divide el numerador y

18 4 18 1 el denominador por el ​   5  ​__ ​    ​_______ 36 4 18

2

máximo común divisor.

18 1 ​. Por lo tanto, ​ __  ​reducida es ​ _ 36 2

Capítulo 5 123

Libro 5.indb 123

24-01-13 10:09


Encuentra cada fracción irreductible. 6 4 __ ​  1. ​ 2. ​  ___  ​  8

7.

10

5 __ ​ 3. ​ 5

24 ___ ​  5. ​ 36

10 ___ ​   6. ​ 14

12 ___ ​ 12. ​ 42

18 ___ ​ 13. ​ 24

24 ___ ​ 17. ​ 32

18 ___ ​ 18. ​ 30

3 __ ​ 19. ​ 7

7 __ ​  4. ​ 9

12 Explica cómo hallarías la fracción irreductible de ​ __ 36 ​ utilizando el MCD.

Práctica independiente y resolución de problemas Identifica el máximo común divisor del numerador y del denominador. 10 9 4 11 ___ ​ ___ ​ 8. ​ 9. ​  ___  ​ 10. ​ 11. ​  ___  ​ 30

22

13

18

Escribe cada fracción en su fracción irreductible. 30 5 6 ___ ​ __ ​ 14. ​ 15. ​ 16. ​  ___  ​ 5

45

16

14 ___ ​ 20. ​ 16

20 21. ​  ____   ​ 100

12 ___ ​ 22. ​ 25

16 ___ ​ 23. ​ 32

15 ___ ​ 24. ​ 75

48 ___ ​ 25. ​ 54

2 __ ​ 26. ​ 6

12 ___ ​ 27. ​ 15

25 28. ​  ____   ​ 100

8 29. ​  ___  ​ 20

24 ___ ​ 30. ​ 26

9 31. ​  ___  ​ 30

Álgebra Completa. 1  32.  ​__ ​  5  ​__  ​  2 6

3 9 33.  ​__ ​  5  ​  __  ​  4 

10 2 35.  ​  __  ​  5  ​___ ​  15 

 1 34.  ​  ___  ​  5  ​__ ​  20 4

4  36.  ​  ___  ​  5  ​__  ​  12 3

USA DATOS Para 46–49, usa la gráfica. 37. ¿Qué fracción de las 30 comunas forman las provincias

de Linares y Curicó? Escribe la fracción irreductible. 

Provincias del Maule

38. ¿Qué fracción de los 30 comunas se encuentra

en la provincia de Cauquenes? Escribe la fracción irreductible. 

DATO BREVE Sólo cinco comunas limitan con

la Región del Bío-Bío. Escribe la fracción irreductible. 40.

Provincia

39.

Talca Cauquenes Curicó

¿Cuál es la pregunta?  Seis quinceavos de las 30 comunas conforman esta provincia.

Linares 0 Curicó

2

4

6

8

10

12

14

Cantidad de comunas

Talca Linares Cauquenes

124

Libro 5.indb 124

24-01-13 10:09


Comprensión de los Aprendizajes 41. Francisco tenía algunos discos compactos.

44. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción NO

es equivalente a ​ _23 ​?

Dio 4 a su hermano. Escribe una expresión con una variable para representar la situación. 42. El salón de clases de Alejandra tiene 25

metros de ancho y 30 metros de largo. ¿Cuál es el perímetro del salón de clases?

4 __ ​ A ​ 6

2 C __ ​ 5

8 B ​  ___  ​ 12

12 ___ ​ D ​ 18

45. Preparación para la prueba Hoy, 10 de

43. ¿Qué número mixto se muestra en el modelo?

22 estudiantes compraron el almuerzo. ¿Qué fracción de los estudiantes compró el almuerzo? Escribe la fracción en su mínima expresión o fracción irreductible.

Álgebra  Fraccciones equivalentes. Juan tiene en su casa 12 invitados para los cuales ha comprado una pizza. Viene dividida en 6 porciones iguales. Encuentra las fracciones equivalentes que satisfagan este ejemplo: Observa que cada trozo de pizza equivale a 1 6

Como Juan debe repartir la pizza en 12 partes iguales, corta cada sexto de pizza en dos partes. Tiene 2 . 12

1 12

1 6

Es decir, 1 equivale a 2 6

1. Dibuja para representar que

2 5 1. 4 2

12

2. Dibuja para representar que

5 5 1 15 3

Capítulo 5 125

Libro 5.indb 125

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Comprender números mixtos

Escribe cada fracción en su mínima expresión.

OBJETIVO: Expresar fracciones mayores que 1 en forma de números mixtos y números mixtos en forma de fracciones mayores que 1.

Aprende Un número mixto se compone de un número entero y de una fracción. Un número mixto se puede convertir en una fracción impropia. A veces, una fracción mayor que 1 se denomina mayor que 1.

4 __ ​ 1. ​ 4

10 ___ ​ 2. ​ 14

4 __ ​ 4. ​ 8

9 5. ​  ___  ​ 12

10 ___ ​ 3. ​ 25

Vocabulario

PROBLEMA  Ricardo está haciendo un jugo de frutas. Comienza con una taza de concentrado de naranja. Luego agrega ​ _34 ​de taza más. En total, usa 1​  _34 ​tazas de concentrado de naranja. 1​  _34 ​es un número mixto. ¿Cuántos ​ _14 ​de taza de concentrado de naranja usa Ricardo para el jugo de frutas?

número mixto

Ejemplo 1  Usa una recta numérica.

Entonces, Ricardo usa ​ _74 ​de tazas de concentrado de naranja para el jugo de frutas. Puedes usar la multiplicación y la suma para expresar un número mixto en forma de fracción impropia. Puedes usar la división para expresar una fracción impropia en forma de número mixto.

Ejemplos  Expresa 2​  5_8 ​en forma de fracción. (8 3 2) 16   ​     5  ​___  ​   2  5  ​______

Escribe el número entero en

5 16 1 5 21 ​   5  ​______   ​    5  ​___  ​   2​__

denominador, 8.

8

8

8

8

8

21 __​   5 ___ ​  ​.  Entonces, 2 ​5 8

8

forma de fracción usando el

__  ​en forma de número mixto.   Expresa ​  21 8

__​  21 ÷ 8 → 2​5 8 – 16 5

Divide el numerador entre el denominador. Usa el residuo y el divisor para escribir una fracción.

Escribe el número de octavos en forma de fracción impropia.

5 21 ​.  Entonces, ___ ​  ​ 5 2​__ 8

8

•  ¿Qué sucede con el numerador y el denominador siempre que un número mixto se convierte en fracción?

126

Libro 5.indb 126

24-01-13 10:09


Práctica con supervisión Usa la recta numérica. Escribe las fracciones en forma de número mixto. Escribe los números mixtos en forma de fracción. 11 1.  ​___  ​  8

5 3. 1 ​__ ​  8

1 2. 1 ​__ ​  8

Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 11 4.  ​___  ​  4

10.

6 5.  ​__ ​  5

7 6. 2 ​__ ​  9

2 7. 3 ​__ ​  3

23 ___  8.  ​ 10 ​ 

2 __  9. 4 ​5 ​ 

Explica cómo puedes expresar un número mixto en forma de fracción mayor que 1.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 3 11. 1 ​__ ​  5

1 12. 2 ​__ ​  3

9 13.  ​__ ​  4

11 14.  ​___ ​  10

13 15.  ​___  ​  6

3 16. 1 ​__ ​  7

8 17.  ​__ ​  3

5 18. 3 ​__ ​  6

1 19. 7 ​__ ​  2

47 20.  ​___ ​  15

25 21.  ​___  ​  4

7 22. 2 ​  ___  ​  12

USA DATOS   Usa la receta para 23–25. 23. Carolina está haciendo una bandeja de barras de cereal.

¿Cuántos ​  _13 ​de taza de miel usará?

Barras de Cereal

24. ¿Cuál es la cantidad de cereal de salvado en la receta,

escrita en forma de fracción? 25.

Carolina tiene una taza para medir ​ _12 ​. ¿Cuántas veces la debe llenar para medir la cantidad correcta de mantequilla de maní? Explica tu respuesta.

Comprensión de los Aprendizajes 26. Clara compró una bicicleta por $150 000.

También compró pedales por $30 000. ¿Pagó más o menos que $190 000? 12 27. Escribe la fracción ​ __ 30 ​en su mínima expresión o

fracción irreductible.

28. Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5.

​  3_4 ​ ​  1_4 ​

29. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

equivalente a 2​  _35 ​?

5 11 __ ​ B ​ ___  ​ A ​ 5 5

Práctica adicional en la página 140, Grupo C

Libro 5.indb 127

12 ___  ​ C ​ 5

13 ___  ​ D ​ 5

Capítulo 5 127

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

4

Comparar y ordenar fracciones y números mixtos OBJETIVO: Comparar y ordenar fracciones y números mixtos.

Aprende PROBLEMA  Jorge planea ser acomodador en ​ _23 ​de los conciertos de una orquesta sinfónica. Sara planea ser acomodadora en ​ _34 ​de los conciertos. ¿Quién va a acomodar en más conciertos? Compara ​  _23 ​y ​ _34 ​.

Repaso rápido Tomás tenía 12 barras de fruta. Le regaló 6 barras a Marco y 2 barras a Margarita. Escribe dos fracciones equivalentes que describan la fracción de barras de fruta que le queda. 

Vocabulario múltiplo común

Usa barras de fracciones para comparar. 1 4

1 4

1 4 1 3

1 3

2 __​  ​    ​__  3 ​   4

3

Halla denominadores comunes.

Paso Escribe los múltiplos de los denominadores y luego halla un múltiplo común. Un número que es un múltiplo de dos o más números es un múltiplo común. Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 12 y 24 son múltiplos comunes de los denominadores, conocidos también como denominadores comunes.

Paso Usa fracciones equivalentes y convierte cada fracción usando un denominador común. 3 3 3  ___ __   ​  5  ​  9 ​  o ​ ​   se puede convertir a  ​3_____ 4  4 3 3 12

36 ___​    ​3_____   ​  5  ​18 436

24

38 16 2 3 4  ___ ​__ ​   se puede convertir a  ​2_____   ​  5  ​  8 ​  o  ​2_____   ​  5  ​___ ​   3

 3 3 4

12

338

24

Paso Compara los numeradores de las fracciones que acabas de convertir.

Recuerda Para comparar fracciones que tienen el mismo denominador, solo necesitas comparar los numeradores. Dado que 5 . 2, 5 2 __ ​ ​  .  ​__  ​. 8 8

__​  .  ​2 __​  . Dado que 9 . 8, o 18 . 16,  ​3 4

3

Por lo tanto, Sara será el acomodador en más conciertos.

128

Libro 5.indb 128

24-01-13 10:09


Ordenar fracciones y números mixtos Antonio trabajó de acomodador en ​ _56 ​de los conciertos. María trabajó en ​ _49 ​de los conciertos y Tania lo hizo en ​ _23 ​de los conciertos. Ordena las fracciones ​ _56 ​, ​  _49 ​y ​ _32 ​de menor a mayor para saber quién fue el acomodador en el menor número de conciertos.

Ejemplo 1  Ordena fracciones Paso

Paso

Paso

Halla un común denominador de 6, 9, y 3.

Conviértelos a fracciones equivalentes con un denominador de 18.

Compara los numeradores. Ordénalos de menor a mayor.

6: 6, 12, 18, 24, 30 9: 9, 18, 27, 36 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

Dado que 8 , 12 , 15,

33 ___ ​   ​5_____   ​  5  ​15 633

8 15 12  ​ ___  ​  ,  ​___​  ,  ​___​  .

18

18

8 32  ​4_____   ​  5  ​ ___  ​   932 18

Un común denominador es 18.

18

El orden de menor a mayor es ​  _49 ​, ​  _23 ​, ​  _56 ​.

36 ___​    ​2_____   ​  5  ​12 336

18

18

Por lo tanto, María trabajó de acomodadora en el menor número de conciertos. •  ¿Cómo ordenas fracciones unitarias de menor a mayor? Puedes usar los denominadores comunes para ordenar números mixtos. Primero, compara los números enteros. Luego, compara las fracciones.

Ejemplo 2  Ordena números mixtos Ordena 2​  _23 ​, 3​  _16 ​, 2​  _34 ​de mayor a menor.

Paso

Paso

Compara los números enteros.

Usa denominadores comunes para comparar las otras dos fracciones: ​ _23 ​ y ​  _34 ​. 8 9 __ ​  5 2 ​ ___ __​  5 2 ​ ___ 2 ​2  ​      2 ​3  ​  

3 1 __​  3​ __ ​  2​ __​    2​2 3

6

Dado que 3 . 2, 3​  _16 ​es el mayor.

3

4

12

4

12

9 8 Dado que 9 . 8, 2 ​  __   ​  . 2 ​  __  ​  . 12 12

Por lo tanto, el orden de mayor a menor es 3​ _16 ​, 2​  3_4 ​, 2​  _23 ​. •  Si estuvieras ordenando números mixtos cuyos números enteros fueran todos diferentes, ¿qué parte de los números mixtos compararías?

Capítulo 5 129

Libro 5.indb 129

24-01-13 10:09


Práctica con supervisión Compara las fracciones. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 1.

2.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 __ ​ 4​__ ​ ​ __ ​ 5​__ ​ 8 8 8 8 8 5 5 5 5 ​

1 3

3

1 3

5

1 5

1 5

1 5

5

1 5

8

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 1 __ ​ 3. ​ 3

2 ​__ ​  3

2 __ ​ 4. ​ 5

3 ​__ ​  8

1 __ ​ 2​13 ___ ​  5. 3​ 4 15

3 9 __ ​ 1​  ___   ​   6. 1​ 4 12

7 ___  7. 5​  21  ​

3 5​__ ​  7

Explica cómo se ordenan las fracciones unitarias ​ _16 ​, ​  _12 ​, y ​ _13 ​de menor a mayor. 

8. 

Práctica independiente y resolución de problemas Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada caso. 3 5 5 1 2 1 7 __ ​ 1​__ ​  10. ​ __ ​ 6​__ ​  11. ​ __ ​ 3​__ ​  12. ​  ___ __ ​ 3​  ___ 9. ​   ​  ​__ ​  13. 3​   ​ 2

3

4

8

7

5

11

7

4

14

Escribe en orden de menor a mayor. 3 3 1 1 7 2 1 1 __ ​, 3 __ ​, 1 __ ​, 1​1__ ​, 1​5__ ​ 17. 2​ __ ​, 3​1__ ​, 2​3__ ​ 18. 1​ __ ​, 7 14. ​ ​__ ​, ​__ ​  15. ​ ​__ ​, ​__ ​  16. 1​ ​__ ​, 2​__ ​ 2 4 4

8 8 8

8

4

6

3

8

5

4 8

5

Para 19–21 usa la tabla. 19. Catalina colecciona figuras miniatura de animales

Figuras miniatura

de porcelana. Haz una lista de sus animalitos ordenándolos del más largo al más corto. 20. Catalina compra una figura de tortuga, que

mide 6​  7_8 ​cm de longitud. ¿Cuál es la figura

figura rana

6 ¾ cm de largo

figura mono

7½ cm de largo

figura armadillo

6 ⅝ cm de largo

de su colección que tiene la mayor longitud?  21.

Explica cómo se determina qué figura está entre los 6​  _12 ​y los 6​  3_4 ​cm de longitud. 

Comprensión de los Aprendizajes 22. Si y 5 8, ¿cuál es el valor de 22,5 – y? 23. ¿Cómo se escribe el decimal 0,3 en forma

de fracción?

130

Libro 5.indb 130

24. Preparación para la prueba  Alberto ensayó

con su trompeta 1​  2_3 ​horas el lunes. Ensayó 1​  _56 ​horas el martes y 1​  _49 ​horas el miércoles. ¿Qué día ensayó más tiempo?

A lunes

C miércoles

B martes

D jueves

Práctica adicional en la página 141, Grupo D

24-01-13 10:09


Planeta de agua Visualizar

E

l agua de la Tierra fluye por el medio ambiente

como parte del ciclo del agua. La mayoría es agua salada que hay en los océanos y los mares. El

resto es agua dulce. La siguiente tabla muestra los

distintos lugares donde se encuentra el agua dulce

de la Tierra. ¿Dónde se encuentra la mayor parte del agua dulce de la Tierra?

Agua dulce de la Tierra Casquetes de hielo y glaciares

⅘76

Agua subterránea

Lagos, ríos y agua del suelo y del aire

71

516

Puedes resolver algunos problemas visualizándolos. Cuando visualizas un problema, te lo imaginas.

agua dulce 28 mL

Paso 1  Lee el problema atentamente y visualízalo. Paso 2  Piensa en la mejor manera de presentar el

agua salada 972 mL

problema. Podrías hacer un dibujo, o una tabla, o hacer una gráfica. Podrías usar un modelo, como barras de fracciones o fichas.

t S i toda el agua de la Tierra pudiera guardarse en una botella de 1 litro, el contenido se dividiría así.

Resolución de problemas  Visualiza para resolver el problema. 1.  Resuelve el problema de arriba. 2. ¿Dónde se encuentra la menor cantidad de agua dulce de la Tierra?  3. Compara la cantidad de agua subterránea dulce con la cantidad de agua

dulce en los casquetes de hielo y los glaciares.

Capítulo 5 131

Libro 5.indb 131

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

5 Estrategia: Hacer un modelo OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia hacer un modelo.

Aprende la estrategia Hacer un modelo puede ayudarte a resolver un problema. Existen diferentes tipos de modelos para diferentes tipos de problemas matemáticos.

Un modelo puede mostrar fracciones. Joel le pidió a sus amigos Mauricio y Elena que lo ayudaran a pintar su habitación. Cada persona pintaba una pared del mismo tamaño. A la hora del almuerzo, Joel había pintado ​ _38 ​de su pared. Mauricio había pintado ​ _23 ​de su pared, y Elena había pintado ​ _35 ​de la suya. ¿Quién había pintado la mayor parte de la pared que le correspondía? 

Usa barras de fracción para mostrar la cantidad de pared que pintó cada persona. Compara las barras de fracción. 1 3

1 3 1 5

1 5 1 8

1 8

1 5

1 8

Un modelo puede ayudarte a estimar. La inscripción en la Escuela Gabriela Mistral aumentó a 445. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes asisten a la escuela? Redondea tu respuesta al centésimo más cercano.

Ubica 445 en la recta numérica. Halla el centésimo más cercano a 445. 300 350

400 450

500 550 600

Un modelo puede mostrar decimales. Iris necesita 0,8 metros de tela de algodón para hacer una mochila. ¿Cuántos metros de tela de algodón necesita Iris para hacer 3 mochilas? 

Sombrea 0,8 tres veces.

¿Qué otros tipos de problemas matemáticos se pueden representar con modelos usando una recta numérica?

132

Libro 5.indb 132

24-01-13 10:09


Usa la estrategia PROBLEMA  Blanca y sus amigos están jugando a la herradura en un picnic familiar. La herradura de Miguel cae a 1​  _56 ​metros de la estaca. Mariana lanza su herradura a 2​  _14 ​metros de la 7  ​metros de la estaca. La de Blanca estaca. La de René está a 1​  __ 12 cae a 1​  _23 ​metros de la estaca. ¿De quién es la herradura que está más cerca de la estaca? ¿De quién es la herradura que está más lejos de la estaca?

• Identifica los detalles del problema. • ¿Qué información se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Hacer un modelo puede ayudarte a resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Compara las partes enteras de los números mixtos. 1 ___ 2 __​,  2​__ 1​5 ​,  1​  7 ​,  1​__ ​  6

4

12

1 Dado que 2 . 1, 2​__ ​ metros es la mayor distancia.

3

4

Usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los otros números mixtos. 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 1 3 1 6

1 3 1 6

1 6

1 6

7 7 Dado que ​ ___ ​ es la menor, 1​ ___  ​ metros es la distancia menor. 12

12

1 6

Por lo tanto, la herradura de René es la que está más cerca de la estaca y la de Mariana la que está más lejos.

• ¿Qué otros modelos podrías usar para resolver el problema?

Capítulo 5 133

Libro 5.indb 133

24-01-13 10:09


Resolución de problemas con supervisión 1. Algunos de los amigos de Sara decidieron realizar un concurso de

salto. ¿Quién saltó la distancia más larga? ¿Quién saltó la distancia más corta? Primero, compara las partes enteras de los números mixtos.

Longitud del salto

5 3 3 1  ​,  3​__​,  4​__​,  3​__​  4   .3 3​ ___ 12

4

8

Nombre Longitud (en metros)

2

Luego, usa las barras de fracción para comparar las partes fraccionarias de los números mixtos que tienen el mismo número entero. 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12

Andrea

3

5 12

Marcos

3

Pablo

4

Sara

3

3 4 3 8 1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

Para terminar, determina quién saltó la distancia más larga y la más corta.  2. ¿Qué pasaría si, el salto de Sara hubiera sido de

3​  _16 ​pies de longitud? Entonces, ¿quién habría hecho el salto más largo, y el más corto? Explica.

3. Andrea, Marcos, Pablo y Sara se ponen en fila para saltar.

Sara no es la primera. Andrea tiene al menos dos personas delante de ella. Pablo es el tercero. Determina el orden de los cuatro. 

Resolución de problemas • Práctica de estrategias Haz un modelo para resolver. 4. Mario compró 2 paquetes de invitaciones

para una fiesta. Cada paquete contenía 10 invitaciones. Mario invita a 7 compañeros de clase, 4 primos y 5 niños del vecindario. ¿Qué fracción de las invitaciones usa Mario?

5. Pablo, Gregorio e Hilda se reúnen en la casa

de Hilda antes de ir al parque. Pablo vive a 8​  4_5 ​kilómetros de Hilda. Gregorio vive a 8​  3_4 ​ kilómetros de Hilda. ¿Quién vive más cerca de Hilda?

6. El jardín de Tatiana tiene 5 metros de ancho y

12 metros de largo. La sección de flores tiene el mismo ancho y el doble de longitud que la sección de verduras. ¿Qué longitud tiene cada sección? 

8.

7. Valentín compró 24 globos amarillos para una

fiesta. Devolvió 12 de los globos y compró 9 globos rojos. Luego decidió devolver 6 globos rojos y comprar 16 globos azules. ¿Cuántos globos tiene Valentín ahora?

¿Cuál es el error?  Andrés tenía 14 bolitas. Le dio 9 bolitas a Claudia. Susana le dio 18 bolitas a Andrés. Luego Andrés le dio 8 bolitas a Ricardo. Andrés dice que ahora tiene 31 bolitas. Describe el error que comete y haz un modelo para mostrar la solución.

134

Libro 5.indb 134

24-01-13 10:09


Práctica de estrategias mixtas

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Resuelve.

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

9. Irma hizo una fiesta y le dio a cada uno de sus amigos una

sorpresa. Había 7 sorpresas de yo-yos, 13 de silbatos, 6 de caleidoscopios, 9 de paletas de playa y algunas bolitas. En total, Irma repartió 41 sorpresas. ¿Cuántas de ellas eran juegos de marcadores? 10. El lunes Benjamín envió 2 invitaciones para una fiesta. El martes

envió 3 invitaciones y el miércoles, 5 invitaciones. El jueves envió 8 invitaciones. Si el patrón continua hasta el sábado, ¿cuántas invitaciones enviará Ryan en total?  USA DATOS Para 11–14, usa la gráfica de barras. 11. Victoria, Daniel, Cecilia y Franco votaron cada uno por tipo

de música de fiesta diferente. Daniel votó por Hip Hop. Franco no votó por cumbia o regatón. Cecilia no votó por regatón. ¿Por qué tema votó cada estudiante?  mayor que el número de niños que lo hizo. ¿Cuántos niños votaron por la fiesta mexicana?  13.

Formula un problema  Observa el Problema 12 nuevamente. Escribe un problema similar cambiando la relación matemática entre el número de niñas y niños que votaron por la fiesta mexicana. Luego resuelve el problema. 

14.

Número de votos

12. El número de niñas que votó por rock es tres veces

Escuela Gabriela Mistral Encuesta de música para la fiesta 250 200 150 100 50 0

Cumbia

Hip-Hop

Rock

Regatón

Temas

Problema abierto  Usa los datos de la gráfica de barras para escribir tres enunciados numéricos diferentes en que se usen una o más operaciones. sombreros y cuántos silbatos compró?

esfuérzate Un negocio de artículos para fiestas vende sorpresas a $750 cada una, sombreros a $450 cada uno y silbatos a $600 cada una. 15. Trinidad compra 12 sorpresas. Gasta en sombreros la misma

cantidad de dinero que gastó en las sorpresas. Gasta en silbatos el doble de lo que gastó en las sorpresas. ¿Cuántos sombreros y silbatos compra? 16. Angélica pagó $15 900 por artículos de fiesta. Gastó $7 500 en

sorpresas. Compró la misma cantidad de sombreros que de silbatos. ¿Cuántos sombreros y cuántos silbatos compró?

Capítulo 5 135

Libro 5.indb 135

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

6

Repaso rápido

Relacionar fracciones y decimales

En una competencia, Patricio recibió un puntaje de ocho con setenta y cinco centésimos. Escribe el puntaje de Pat en forma de fracción y en forma de decimal.

OBJETIVO: Relacionar fracciones y decimales que representen décimas, centésimas y milésimas.

Aprende 1 En un día normal, ​ __ 10  ​de los oyentes de radio sintonizan una estación de rock 15 y ​  ___ ​sintonizan una estación de noticias. 100   

¿Cuáles son los decimales equivalentes para cada fracción de radio oyentes? Puedes escribir una fracción como un decimal. 15 1 ​ ___  ​ 5 0,1 ​ ____ ​ 5 0,15 10

100

Por lo tanto, 0,1 de la audiencia de radio está escuchando una estación de rock y 0,15 está escuchando una estación de noticias.

Actividad

Recuerda

Puedes usar un modelo para encontrar el decimal equivalente a ​ _15 ​.

Paso

Paso

Traza un modelo para ilustrar ​  _15 ​.

Paso

Divide el modelo para mostrar diez partes iguales. Escribe una fracción equivalente a ​ _15 ​.

1 2 __ ​  ​ 5 ​ ___  ​  5

10

Escribe un decimal equivalente.

Puedes escribir un número como cuatro décimos en palabras para ayudarte a escribir un decimal o una fracción como 4  ​. 0,4 o ​ __ 10

1 Por lo tanto, __ ​ ​ 5 ___ ​  2 ​ 5 0,2. 5

10

Ejemplos En un día normal, ​ 1_4 ​de la totalidad de radio oyentes escucha la radio en el trabajo. ¿Cuál es el decimal equivalente de ​ _14 ​?  Usa un modelo de centésimas. Sombrea ​  _14 ​del modelo. Cuenta los cuadrados sombreados.

 Escribe una fracción equivalente con un denominador de 100. 1 3 25 ​______ ​  5 ____ ​  25 ​ 5 0,25 4 3 25

100

1 __  ​ ​ 5 0,25 4

Por lo tanto, 0,25 de los oyentes de radio escucha la radio en el trabajo.

136

Libro 5.indb 136

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Práctica con supervisión Escribe un decimal y una fracción para cada modelo. 1.

2. 3.

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 3 __ ​ 4. 0,7 5. ​ 6. 0,54

35 8. ​  ____   ​ 100

9. 0,22

10 ___ ​ 14. ​ 25

21 15. ​  ____   ​ 100

33 16. ​  ____   ​ 100

2 __ ​ 20. ​ 8

58 21. ​  ____   ​ 100

18 22. ​  ____   ​ 100

24 7. ​  ____   ​  100

5

10.

Explica cómo cambiar un decimal a una fracción y una fracción a un decimal. 

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe cada fracción como decimal. 3 1 4 __ ​ __ ​ 11. ​ 12. ​  ___  ​ 13. ​ 2

5

10

26 ___ ​ 18. ​ 50

24 ___ ​ 17. ​ 25

3 19. ​  ___  ​ 15

Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 23. 0,8 

24. 0,4 

25. 0,50 

26. 0,83 

27. 0,78 

28. 0,25 

29. 0,42 

30. 0,47 

31. 0,1 

32. 0,36 

33. 0,95 

34. 0,15 

Usa el diseño para 35—36. 35. Escribe un decimal que represente la parte sombreada del diseño.  36.

Explica cómo puedes cambiar el diseño para que muestre las décimas. 

Comprensión de los Aprendizajes 37. La longitud de un lado de un cuadrado es de

4 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado? 40 38. Del total de radio oyentes, ​ ___  ​escuchan la 100  

radio en casa. Escribe la fracción irreductible.

40. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

equivalente a 0,33? 3 A ​  ___  ​ 10

33 C ​  _____    ​ 1 000

33 B ​  ____   ​ 100

1 D ​  ___  ​ 33

14 39. ¿Qué número mixto es igual a ​ __ 3  ​?

Capítulo 5 137

Libro 5.indb 137

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

7

Repaso rápido

Usar una recta numérica

Escribe una fracción equivalente. 3 5 2 __ ​ __ ​ 1. ​ 2. ​ 3. ​  ___  ​

OBJETIVO: Identificar, representar y ordenar decimales, fracciones y números mixtos en una recta numérica.

Aprende PROBLEMA  El quinto básico del colegio está vendiendo entradas para su primer día de competencias atléticas. Mariana vendió ​ _35 ​de 7 sus entradas. Camila vendió ​ __ 10  ​de sus entradas. Valentina vendió 0,35 de sus entradas. Si las tres comenzaron con el mismo número de entradas, ¿quién vendió la mayor cantidad de entradas?

5

4

25 4. ​  ____   ​ 100

4 5. ​  ___  ​ 10

10

Vocabulario fracciones de referencia

Ejemplo 1 Paso Traza una recta numérica. Rotula fracciones de referencia. Las fracciones de referencia son fracciones familiares que se usan como referencia. A menudo las fracciones ​ 1_4 ​, ​  _12 ​ y ​  _34 ​ se usan como referencia en las rectas numéricas.

Paso Usa tus fracciones de referencia como ayuda para ubicar un punto para cada número.

0,35 está entre 0,25 y 0,5. 3 3 1 __ __ ​  ​está entre __ ​ ​ y ​ ​. 

0,25

0,5

5

0,75

2

4

3 7 ___ ​ ​ y 0,75. ​   ​ es un poco menos que __ 10

0,35

4

Paso Ya que quieres saber quién vendió la mayor cantidad de entradas, identifica el punto que está más lejos a la derecha. Entonces, Camila vendió la mayor cantidad de entradas.

Ejemplo 2  Ubica 1,35; 1​ _34 ​; 1,98 y 1​ _58 ​en la recta numérica. Luego

ordena los números de mayor a menor.

Ubica y representa gráficamente un punto para cada número.

1,0

1,25

1,35

1,50

1,75

1,98

2,0

Entonces, los números ordenados de mayor a menor son 1,98; 1​ _34 ​; 1​  _58 ​; 1,35.

138

Libro 5.indb 138

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Práctica con supervisión Identifica un decimal y una fracción para cada punto.

1. Punto C

0,25

0,5

0,75

2. Punto A

3. Punto E

4. Punto B

Para 6–11, ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 3 1 __ ​ 8. 1,75 __ ​ 6. 1,2 7. 1​ 9. 1​ 4

8

5. Punto D

7 __ ​ 11. 1​ 8

10. 1,35

5 Explica cómo usarías una recta numérica para representar 0,35 y ​ __ 12  ​.

12.

Práctica independiente y resolución de problemas Ubica cada número mixto o decimal en una recta numérica. Luego escribe los números ordenados de menor a mayor. 5 1 1 __ ​ 15. 1,55 16. 1​ __ ​ 17. 1,8 18. 1​ __ ​ 13. 1,4 14. 1​ 8

8

4

Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 3 3 1 4 __ ​; 1,50; 1​3__ ​ 20. 1,25; 1,75; 1​2__ ​ 21. 1,55; 1​  ___ 19. 1​   ​; 1​ __ ​ 22. 0,65; ​__ ​; 0,45 4

8

5

10

23. Florencia corrió 0,84 de kilómetros. Constanza corrió

¿Quién corrió más? 24.

​ 3_4 ​de

5

5

kilómetros. Tatiana corrió

​ 5_8 ​de

kilómetros.

¿Cuál es el error?  Mauricio y Tomás empezaron con el mismo número de entradas. Mauricio vendió 0,7 de sus entradas para el día de la fiesta del curso y Tomás vendió ​ 3_4 ​de sus entradas. Mauricio dice que ambos vendieron el mismo número de entradas. ¿Tiene razón? Explica.

Comprensión de los Aprendizajes 25. Cristián tiene $20 000. Le gustaría comprar

tres camisetas que cuestan $7 000 cada una. ¿Tiene dinero suficiente? Explica.

27. Escribe 2​  2_5 ​en forma de fracción mayor que 1. 28. Preparación para la prueba  ¿Qué fracción es

26. Un campo de fútbol tiene 110 metros de

largo y 49 metros de ancho. ¿Cuál es el área del campo de fútbol?

Práctica adicional en la página 141, Grupo F

Libro 5.indb 139

menor que 0,55?

4 A ​__ ​ 5

9 B  ​___  ​ 20

8 __ ​ C ​ 9

24 ___ ​ D ​ 30

Capítulo 5 139

24-01-13 10:09


Práctica adicional Grupo A  Escribe una fracción equivalente. 3 __ ​  1. ​ 5

1 __ ​  2. ​ 8

4 __ ​  3. ​ 8

4 __ ​  4. ​ 5

3 __ ​  5. ​ 9

6 6. ​  ___  ​  12

4 __ ​  7. ​ 6

2 __ ​  8. ​ 7

4 9. ​  ___  ​  10

3 10. ​  ___  ​  18

2 __ ​  11. ​ 5

3 12. ​  ___  ​  15

1 __ ​ 13. ​ 6

4 14. ​  ___  ​  12

1 15. ​  ___  ​  10

4 16. ​  ___  ​  16

5 __ ​  17. ​ 7

8 __ ​  18. ​ 9

19. Catalina tiene 6 latas de frutas. Dos de ellas

contienen duraznos. Escribe dos fracciones que representen las latas que contienen duraznos. 

20. Jaime y Eva están jugando con 4 cubos rojos

y 8 cubos azules. Jaime dice que ​ 12_ ​de los cubos son rojos. Eva dice que ​ _13 ​son rojos. ¿Quién tiene razón? Explica tu respuesta. 

Grupo B  Encuentra cada fracción irreductible asociada. 30 ___ ​  1. ​ 40

4 2. ​  ___  ​  14

3 __ ​  3. ​ 3

4 __ ​  4. ​ 5

12 ___ ​  5. ​ 24

5 7. ​  ___  ​  12

18 ___ ​  8. ​ 20

10 ___ ​  13. ​ 80

9 14. ​  ___  ​  15

40 6. ​  ____   ​  100

8 9. ​  ___  ​  32

50 ___ ​  10. ​ 75

18 ___ ​  11. ​ 24

7 12. ​  ___  ​  49

16 ___ ​  15. ​ 16

25 ___ ​  16. ​ 45

15 ___ ​  17. ​ 16

75 18. ​  ____   ​  100

Grupo C  Escribe cada número mixto en forma de fracción. Escribe cada fracción en forma de número mixto. 13 ___  ​  1. ​ 4

1 2. 2 ​__ ​  5

5 __ ​  3. ​ 3

29 ___  ​  4. ​ 4

1 5. 1 ​__ ​  2

3 6. 4 ​__ ​  8

49 ___ ​  7. ​ 12

7 __ ​  8. ​ 3

4 9. 3 ​__ ​  5

21 ___ ​  10. ​ 20

1 11. 5 ​__ ​  3

20 ___  ​  12. ​ 9

4 __ ​  13. ​ 3

5 14. 1 ​__ ​  6

43 ___ ​  15. ​ 10

19 ___  ​  16. ​ 3

2 17. 3 ​__ ​  9

1 18. 8 ​__ ​  2

19. La señora Pino está haciendo un pastel de

chocolate. La receta requiere 2 ​  _12 ​tazas de harina cernida. ¿Cuántas ​ _12 ​tazas de harina necesitará? Escribe el número mixto como una fracción mayor que 1. 

20. Eduardo corrió nueve cuartos alrededor de una

pista de ​ _14 ​de kilómetro. ¿Cuántos kilómetros corrió Eduardo? Escribe la distancia como un número mixto y una fracción irreductible. 

140

Libro 5.indb 140

24-01-13 10:09


Grupo D  Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 1 __ ​  3​__ ​  1. ​ 5 3

1 __ ​  2 2. ​ ​__ ​  2 4

5 7 3. 4 ​__ ​  4 ​  ___  ​  6 12

2 1 4. 2 ​__ ​  1 ​__ ​  9 2

3 4 5. 3 ​__ ​  3 ​__ ​  5 4

1 2 6. 2 ​__ ​  2 ​__ ​  5 3

3 1 7. 1 ​__ ​  2 ​  ___  ​  4 16

2 4 8. 3 ​__ ​  3 ​  ___  ​  5 10

5 3 9. 4 ​  ___  ​  4 ​__ ​  12 8

1 1 __ ​, 1 13. ​ ​__ ​, ​  ___  ​  6 8 10

3 1 5 14. 1 ​__ ​, ​__ ​, 1 ​  ___  ​ 4 3 12

3 3 10. 12 ​  ___  ​  12​__ ​ 5 10

Escribe en orden de menor a mayor. 5 2 7 11. 1 ​__ ​, 1 ​__ ​, 1 ​__ ​  9 9 9

4 7 __ ​, 3 12. ​ ​__ ​, ​  ___  ​  5 5 10

16. Antonio tiene tres perros: Liza, Kiki y Lulú. Liza

pesa 9 ​  _18 ​ kg, Kiki pesa 10 ​  _14 ​kg y Lulú pesa 9 ​  _34 ​kg. ¿Cuál de los perros pesa menos? 

1 5 3 15. 2 ​__ ​, 2 ​__ ​, ​__ ​ 2 6 8

17. Marcelo regó sus flores con ​ _4 ​de taza de agua 3

el lunes, ​ _12 ​taza de agua el martes y ​ 8_7 ​de taza de agua el miércoles. ¿Qué día regó sus flores con más agua? 

Grupo E  Escribe cada fracción como un decimal. 2 __ ​  1. ​ 5

11 ___ ​  2. ​ 20

14 3. ​  ____   ​  100

6 __ ​  4. ​ 8

9 5. ​  ___  ​  10

9 6. ​  ___  ​  20

6 7. ​  ___  ​  10

2 __ ​  8. ​ 5

13 ___ ​  9. ​ 50

44 10. ​  ____   ​  100

Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 11. 0,9 

12. 0,03 

13. 0,45 

14. 0,75 

15. 0,6 

16. 0,14 

17. 0,3 

18. 0,52 

19. 0,8 

20. 0,99 

Grupo F  Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 2 1. 0,65; ​__ ;​ 0,25 5

3 1 2. ​  ___  ​; 0,5; ​__ ​  5 10

3 __ ​; 1  5__ ​; 0,75 3. 1  4 8

3 4. 1,80; 1,25; 1 __ ​ 5

4 5. 0,70; 0,85; ​__ ​ 5

1 1 6. 0,35; ​__ ​; ​ __ ​  4 2

1 7. 1,20; ​__ ​; 1,25 5

9 4 __ ​; 1,85; 1  ___ 8. 1    ​ 5 10

Capítulo 5 141

Libro 5.indb 141

24-01-13 10:09


Repaso/Prueba del Capítulo 5 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        ?  ​ son fracciones que representan la misma cantidad. 1. ​ —

factor común múltiplo común

       2. Un número que es múltiplo de dos números o más se llama — ​  ?  ​. 

fracción equivalente

       3. Una fracción — ​  ?  ​ cuando el numerador y el denominador tienen solo el 1 como factor común.

fracción irreductible

Comprueba tus destrezas Escribe una fracción equivalente. 4. 1 ​__ ​ 

4 5. ​ ___  ​  12

6

2 6. ​  ___  ​  10

5 7. ​__ ​  8

Escribe los números mixtos en forma de fracción. Escribe las fracciones en forma de número mixto. 1 9. 1 ​__ ​ 4

8. 9 ​__ ​ 2

2 10. 5 ​__ ​ 3

10 11. ​___  ​ 3

3 1 14. 3 ​__ ​  2 ​__ ​ 5 7

2 4 15. 1 ​__ ​  1 ​__ ​ 7 3

Compara. Escribe ,, ., o 5 en cada . 5 1 13. 1 ​__ ​  1 ​  ___  ​ 2 10

__ 12. 2 ​__ ​  5 3 ​6 ​

Escribe cada fracción como decimal. Escribe cada decimal como una fracción irreductible. 19 2 16. 0,75 17. ​ ____   ​ 18. 0,48 19. ​__ ​ 100

8

Usa una recta numérica para ordenar cada conjunto de números de mayor a menor. 1 ​__ ​; 0,45; ​__ ​ 20. 3 4

2

3 21. 1,15; 1,25; 1 ​__ ​ 8

3 1 __ ​; ​  ___ 22. ​   ​; 0,5 5 10

1 1 23. ​__ ​; 0,23; ​__ ​ 5 4

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 24. Javier, Violeta y Paula están haciendo collares de mostacilla. El collar de Javier es de 1 ​  _38 ​metros de

largo. El collar de Violeta es de 1 ​  _12 ​metros de largo. El collar de Paula es de 1 ​  3_4 ​metros de largo. ¿Cuál collar es el más largo?

Liliana vive a 0,9 kilómetro de la escuela. Explica cómo podrías usar un modelo para hallar la distancia que Liliana recorre de ida y vuelta de la escuela durante 5 días de la semana. 

25. 

142

Libro 5.indb 142

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Enriquecimiento • Despejar incógnitas

Usa las pistas

Puedes usar lo que sabes sobre fracciones equivalentes para resolver incógnitas.

Ejemplo 1

6  Halla el número desconocido. ​__ ​ 5 ​  ___  ​ 7

56

Pista 1: E  l número desconocido es un número par de dos dígitos mayor que 40 pero menor que 60. Pista 2: La suma de los dígitos es 12. Paso 1

Paso 2

Haz una lista de todos los números pares mayores que 40 pero menores que 60.

Halla un número en la lista cuyos dígitos sumen 12.

42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58

4 1 8 5 12 Entonces, el número desconocido 5 48.

Ejemplo 2

28 2 Halla el número desconocido. ​__ ​ 5 ​______      ​ . 3

51

Paso 1

Paso 2

Halla una fracción equivalente a ​  2_3 ​que tenga 51 como denominador.

Como 3 3 17 5 51, multiplica: 2 3 17.

Entonces, divide 51 entre 3.

3 17 _______      ​5 34 ​___ ​ ​  2 3 3 17

51

Paso 3 Resuelve el número desconocido.  2 8 5 34 42 2 8 5 34 Entonces, el número desconocido es 42.

51 4 3 5 17

Inténtalo Resuelve. 4 ​   ​  1. ​__​ 5 ___ 5

3 27 2. ​__​ 5 ___ ​  ​ 

7 28 3. ​ ___ ​ 5 ___ ​  ​ 

Pista: La suma de los dígitos es 9.

Pista: La suma de los dígitos es 7.

4

60

Pista: el número desconocido es un número par mayor que 45 pero menor que 65.

13

 2 Explica cómo hallarías el número desconocido en ___ ​   ​ 5 __ ​ ​  . 24

3

Capítulo 5  143

Libro 5.indb 143

24-01-13 10:09


Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 5

5. ¿Cuál de las siguientes opciones muestra la

Opción multiple

fracción representada en su forma irreductible?

1. ¿Qué fracción de letras de la palabra murciélago son vocales? 1 a) 2 1 b) 5 1 c) 10 d)

2 A ​__ ​ 3

5 5

2. El número mixto que representa a 3 a) 5 4 3 b) 4 4 1 c) 4 2 d) 4

  ​ 17 4

es: 

1 4

1 B ​__ ​ 2 8 C ​ ___  ​ 11 3 D ​__ ​ 4

6. ¿Qué recta numérica muestra 2  ​  _14 ​representado

por un punto?

3. ¿Cuál de las fraciones es mayor?  a)

1 10

b)

3 4

A

B

C

D

11 c) 5 d)

12 13

4. ¿Qué fracción representa la parte sombreada?  a) 1 b)

1 2

c)

1 4

d)

1 5

1 2

144

Libro 5.indb 144

24-01-13 10:09


7. ¿Cómo se escribe 0,5 en forma de fracción? 

10. Representa gráficamente las fraciones:

1 __ ​ A ​ 5

1. 2

1 __ ​ B ​ 2

11. Traza en tu cuaderno una recta numérica de 0 a

4

2. 12

3. 45

20

20

4 como se muestra a continuación.

2 __ ​ C ​ 3

Ubica los siguientes números en la recta numérica: 1,4; 3,7; 2 ​  _15 ​.

5 __ ​ D ​ 6

Respuesta desarrollada

8.

12. De una botella de

¿Qué letra en la recta numérica identifica la ubicación de 1​  _13 ​? A

P

B

Q

C

R

D

S

13. El entrenador de basquetbol anota el número

de las canastas e intentos de cada partido. La siguiente tabla muestra los datos de cinco jugadores. Jugador

Respuesta breve 9.

Usa la recta numérica para ubicar las siguientes fracciones en orden de menor a mayor. 1 1 3 ​__  ​, ​__ ​ , ​__ ​  2 4 8

1 2

Litros, Jaime ha bebido 1 de litro y Andrea 1 de litro. 4 2 ¿Qué fracción de la bebida han consumido? 2

Canastas hechas por intento

Bruno

2 4

Rodrigo

5 10

Javier

7 10

Edmundo

3 4

Daniel

3 5

Decimal equivalente

Copia la tabla y escribe un decimal equivalente para cada fracción. Luego ubica los jugadores en orden del que hizo más canastas por intento al que hizo menos. Puedes usar una recta numérica u otro modelo para resolver. Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 5 145

Libro 5.indb 145

24-01-13 10:09


CAPÍTULO

6

Sumar y restar fraciones semejantes La idea importante

La suma y resta de fracciones semejantes se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

Chile

DATO BREVE

La naranja se originió hace unos 20 millones de años en el sudeste asiático. La dispersión mundial de los cítricos se debió a los grandes movimientos migratorios de la humanidad. A Chile llegó con el descubrimiento de América y la Conquista, hace apróximadamente 400 años. El clima chileno es propicio para su cultivo. Chile es, actualmente, país exportador de naranjas.

Investiga Imagina que comes parte de una naranja para el desayuno, y luego te comes el resto para el almuerzo. ¿De cuántas maneras podrías comerte la naranja? Elige la cantidad de secciones, de 8 a 11, para tu naranja. Escribe la cantidad de secciones de la naranja para ambas comidas en forma de fracción. Escribe tres pares de fracciones.

146

Libro 5.indb 146

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 6.

u Fracciones equivalentes Encuentra dos fracciones equivalentes para cada ilustración.

1.

4.

7.

2.

 ​

3.     ​

5.

8.

6.

9.

u Mínima expresión Encuentra cada fracción irreductible.

2 10. __​ ​   4

4 11. __​ ​   6

2 12. __​ ​   8

3 13. __​ ​   9

14. ___ ​  6 ​   10

15. ___ ​  6 ​   12

16. ___ ​  8 ​   10

17. ___ ​  4 ​   20

18. ___ ​  8 ​   12

19. ___ ​10​   30

20. ___ ​15​   25

21. ___ ​  6 ​  18

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

fracciones equivalentes operaciones inversas número mixto convertir fracción irreductible

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes  fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad fracción irreductible  Una fracción es irreductible o está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. operaciones inversas  operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta o la multiplicación y la división.

Capítulo 6  147

Libro 5.indb 147

24-01-13 10:09


Repaso rápido

Representar la suma y la resta OBJETIVO: Representar la suma y la resta de fracciones semejantes.

Escribe cada fracción en su fracción irreductible. 2 __ ​ 1. ​ 4

6 __ ​ 2. ​ 8

5 4. ​  ___  ​ 10

2 __ ​ 5. ​ 8

6 __ ​ 3. ​ 6

Materiales ■ barras de fracciones

Puedes sumar y restar fracciones con denominadores semejantes usando barras de fracciones. 1 5 Suma. __​​ 1 __​​  8

8

Coloca una de las barras de 8_​  1​  debajo de 1 barra de fracción de entero.

1

1 8

Coloca 5 barras más de 8_​  1​  para mostrar 8_​  5​.   Cuenta las barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción irreductible. Usa barras de fracciones para hallar 6_​ 2​  1 6_​  5​.  

Sacar conclusiones 1. En tu modelo, ¿cuántas barras de 8_​ 1​  equivalen a 2_​ 1​  ? ¿Qué sabes sobre 8_​ 4​  y 2_​  1​  ? 2. Mira el modelo que hiciste para D. ¿Cómo sabes si la suma de dos fracciones es mayor que 1? 3. Aplicación  Muestra cómo aplicar el mismo método usando barras de fracciones para hallar 5_​ 3​  2 5_​  1​.  

148

Libro 5.indb 148

24-01-13 10:09


Puedes usar las barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones. 3 7 Resta. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​  10

10

Paso

Paso

1  ​ Coloca siete barras de ​ __ 10

debajo de la barra de fracción de 1 entero.

Paso

1  ​ debajo Coloca tres barras de ​ __ 10 1  ​ para de las siete barras de ​ __ 10 3 __ representar ​    ​. 10

Compara las hileras de barras. Halla la diferencia en su mínima expresión. 1

1

1

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10

1 1 1 10 10 10

1 1 1 10 10 10

?

? 1 1 1 1 10 10 10 10

7 4 2 ​ ___  ​ 2 ___ ​  3 ​ 5 ​ ___  ​ 5 __ ​ ​  10

10

5

10

¿Cómo hallarías ​ 5_6 ​ 2 ​  2_6 ​?

Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 1.

2.

1

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

1 8

3.

1 1 6

1 6

1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10

1 6

__2​ ​ 1 __1​ ​  __4​ 1 __3​ ​   ​

8

6

8

1

6

1 1 10 10

? 8 2 ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​  10 10

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 2 ​   ​ 1 ___ ​   ​   4. ___

5 2 5. ___ ​   ​ 1 ___ ​   ​   12 12

5 2 8. __​ ​ 2 __​ ​  

2 1 9. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

10 6

12.

10

6

2 1 6. __​ ​ 2 __​ ​   3 3

2 4 7. __​ ​ 1 __​ ​  9 9

9 7 10. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 12

3 4 11. __​ ​ 1 __​ ​  7 7

Explica una regla que puedas usar para sumar o restar fracciones con denominadores semejantes.

Capítulo 6 149

Libro 5.indb 149

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

2

Repaso rápido

Sumar y restar fracciones semejantes

Escribe cada fracción irreductible. 2 1. ​  ___  ​ 10

6 __ ​ 2. ​ 8

Aprende

4 __ ​ 3. ​ 8

2 __ ​ 4. ​ 6

PROBLEMA  El glaciar de la laguna de San Rafael, al sur de Chile, es uno de los glaciares que retrocede con mayor rapidez. Algunos glaciares retroceden aproximadamente 78 metros, otros 114 metros por año. __ __ ​ 3 ​ de km. Imagina que en 2 años retrocede 10 ​ 2 ​ de km y en otros dos años 10 ¿Qué distancia en km retrocede el glaciar en cuatro años?

6 __ ​ 5. ​ 9

OBJETIVO: Sumar y restar fracciones semejantes.

Usa un modelo.

Usa papel y lápiz.

3 2 ___   ​ 1 ​  ___  ​ Suma.   10

10

Sombrea 2 partes de un modelo de décimos. Sombrea 3 partes más. Escribe la fracción que corresponde a la 5 1 ​   ​ 5 ​  _ parte sombreada. ​ __ 10 2

___ ​  2 ​  ​  ​  10      3 ___ 1  ​   ​  10 _ 1 ___ ​  5 ​  5  ​__​  10

2

•  Suma los numeradores. •  Escribe la suma sobre el denominador. •  Escribe la suma en su fracción irreductible.

Por lo tanto, el glaciar se desplaza ​  1_2 ​km cada 4 años.

Usa un modelo.

Usa papel y lápiz.

2 Resta. ​___  3  ​ 2 ​  ___   ​ 10

10

Sombrea 3 partes de un modelo de décimos. 2  ​. Traza una línea Resta ​  __ 10 a través de dos partes. 1  ​. Escribe la fracción: ​ __ 10

•  Resta los numeradores. 3 ​ ___  ​  10 ​  ​  •  E scribe la diferencia sobre       2 el denominador. ___ 2  ​   ​  10 •  Comprueba que la _ ___ diferencia esté en su ​  1 ​ 

10

fracción irreductible.

Práctica con supervisión 1. Usa el modelo para hallar 8_​ 2​  1 8_​  4​.   Escribe la respuesta en su mínima expresión.

150

Libro 5.indb 150

24-01-13 10:09


Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1 2 2. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

3 1 3. __​ ​ 2 __​ ​   4 4

5 3 4. __​ ​ 1 __​ ​   8 8

__2 __1  5. 3​ ​ 2 3​ ​  

7 ___  ​  ​ 1 ___ ​ 1 ​   6. 10 10

3 1 4 3 9. __​ ​ 2 __​ ​   10. __​ ​ 1 __​ ​   6 6 8 8

5 3 11. __​ ​ 2 __​ ​   7 7

12. ___ ​ 7 ​ 1 ___ ​ 5 ​  12 12

5 3 2 4 14. __​ ​ 1 __​ ​   15. __​ ​ 2 __​ ​   7 7 8 8

1 1 16. __​ ​ 1 __​ ​   3 3

3 1 17. __​ ​ 2 __​ ​  8 8

__ __ Explica cómo hallar 12 ​ 2 ​ 1 12 ​  4 ​. 

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 8. ___ ​ 1 ​ 1 ___ ​ 3 ​   10 10 4 1 13. __​ ​ 2 __​ ​   4 4

Álgebra Halla el número que falta en cada . 4 7 18.  1 __​ ​ 5 __​ ​   9 9

3 1 19. __​ ​ 2  5 __​ ​   4 4

USA DATOS Para 22–24, usa el gráfico. 22. ¿Qué fracción de estudiantes eligió la

primavera o el verano como su estación preferida?

Estación preferida 20 estudiantes otoño 1 10

23. Razonamiento  ¿Cuáles dos estaciones

fueron elegidas por 5_​ 2​  de los estudiantes?

24.

¿Cuál es el error? Para hallar la diferencia entre la cantidad de estudiantes que eligió el verano y la cantidad __ __ ​  2 ​ y que eligió el invierno, Clara calculó 10 ​ 5 ​ 2 10 obtuvo 3. ¿Cuál es su error?

11 21. ___ ​ 9 ​ 1  5 ___ ​ ​   12 12

2 20. 1 2  5 __​ ​   3

verano 5 10

invierno 2 10

primavera 2 10

Comprensión de los Aprendizajes 25. Compara. Escribe ,, ., o 5.

1 840,099  1 840,215 26. Karina corrió 4_​ 1​  de kilómetro. Escribe la distancia que corrió en forma de decimal. 27. Escribe la fracción __ ​ 37 8 ​  en forma de número

mixto.

Práctica adicional en la página 162, Grupo A

Libro 5.indb 151

28. Preparación para la prueba  Álvaro vertió 4_​ 1​  de

taza de jugo de naranja y ​ 4_3 ​ de taza de jugo de piña en un vaso. ¿Cuántas tazas de jugo hay en el vaso?

1 A __​ ​   de taza 4

3 C __​ ​   de taza 4

3 B __​ ​   de taza 8

D 1 taza

Capítulo 6 151

24-01-13 10:09


LE C C

N IÓ

3

Repaso rápido

Sumar y restar números mixtos semejantes

Suma o resta. Escribe la respuesta como fracción irreductible.

OBJETIVO: Sumar y restar números mixtos semejantes.

Aprende PROBLEMA  Todos los fines de semana, Susana trabaja en un invernadero. Trabaja 2 4_1​ ​  horas el sábado y 3 4_1​ ​  horas el domingo. ¿Cuántas horas trabaja Susana todos los fines de semana?

3 __ ​ 1 1​__ ​ 1. ​ 7 7

3 __ ​ 2 2​__ ​ 2. ​ 5 5

3 7 3. ​  ___  ​ 1 ​  ___  ​ 10 10

5 __ ​ 2 3 4. ​ ​__ ​ 6 6

1 __ ​ 1 5. ​ 4

2 ​__ ​ 4

Usa un modelo. __​ 1 3​1 __​  Suma. 2​1 4

4

Paso Representa el problema. 1

1

1

1

1

1 4

2 14

1 4

3 14

1 4

2 14

1 4

3 14

Paso Primero suma las fracciones, y luego suma los números enteros. 1

1

1

1

1

__​ 1 3​1 __​ 5 5​2 __ ​, o 5​1 __​   Escribe la suma como fracción irreductible. 2​1 4

4

4

2

Usa papel y lápiz. __​  2​1 4 ​       ​  1 __ 1 3​  ​ 4 _ 2 1 __ 5​  ​5 5​__ ​  4

2

•  Suma las fracciones. •  Suma los números enteros. •  Si es necesario, escribe la suma como fracción irreductible.

1 Por lo tanto, Susana trabaja  5__ ​ ​   horas todos los fines de semana.

Idea matemática

Suma o resta las partes fraccionarias de los números mixtos como lo harías con dos o más fracciones.

2

152

Libro 5.indb 152

24-01-13 10:09


Resta números mixtos Un fin de semana, Susana trabajó 3​ _56 ​horas en la frutería de un supermercado el sábado, y el domingo trabajó 2​ _16 ​horas. ¿Cuánto tiempo más trabajó Susana el sábado que el domingo? 5 __​  ​ 2 2​1 Resta. 3​__ 6

6

Usa un modelo. 1

1

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1

1

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

Quita 2​ _16 ​barras de fracciones.

__​ 2 2​1 __​ 5 1​4 __​,  o 1​2 __​   Escribe el resultado como fracción irreductible. 3​5 6

6

6

3

Usa papel y lápiz. __ ​ 3​5 6 ​        ​  1 __ 2 2​  ​ 6 _ 4 __ __ ​ 1​ ​  5 1​2 6

3

•  Resta los numeradores de las partes fraccionarias. Escribe la diferencia sobre el denominador. •  Resta los números enteros. •  Escribe el resultado como fracción irreductible.

2   ​ horas más que el domingo. Por lo tanto, el sábado Susana trabajó 1​__ 3

•  ¿Qué estimación harías para comprobar la diferencia?

Más ejemplos __ ​ 5​4   5​   ​     2 1 2__ ​ ​  5 _ 6 __​ 5 8​1 __​  7​__ ​  5 7 1 1​1 5

5

5

7  ​  1​ ___   12 ​     ​     ___​  1 3 ​11 12 _ 6 6 1 ___​ 5 4 1 1​ ___ 4 ​18  ​ 5 5​ ___ ​ 5 5​__​  12

12

12

2

__ ​ 7​7   8 ​     ​    __ 2 41 ​ ​  8 _ __​  __​  5 3​3 3​6 8

4

Capítulo 6 153

Libro 5.indb 153

24-01-13 10:10


Práctica con supervisión Usa barras de fracciones para hallar la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3   Suma las fracciones. __1​ ​ 1 __3​ ​ 5 j ​__ ​   1. 2​__1​ 1 4​__​  5

5

5

5

5

Suma los números enteros. 2 1 4 5 j Combina el número entero y la fracción para formar un número j mixto. j 1 j ​__ ​  5 j ​__ ​   5

5

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 2.

+

7. 1

7 10 1 7 3 3. 4. 8 12 6 3 5 3 – 5 + 2 3 8 12 6

5.

1

1 3 – 8 4 4

8. 10

2 1 – 4 3 3

Explica cómo hallar 3

11.

9. 4

7 5 – 6 9 9

9 1 2 6. 10 2 7 1 3 + 8 10 2 6

10. 8

3 1 – 5 4 4

7 9 1 1 . 10 10

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible.   __6 ​    12. ​  10​   7 2 5__3​ ​  _7

​  5​   __5 ​    13.   8 1 2__2​ ​  _8

9 ​  6​___      ​    14.    14 2 3___ ​ 5 ​  14 _

  __3 ​    15. ​  4​   4 1 1__3​ ​  _4

7 ​  8​___      ​    16.    10 2 2___ ​ 7 ​  10 _

3 9 3 4 11 7 1 2 17. 7​__​ 1 4​__​   18. 10​___​ 2 5​___    ​   19. 7​__​ 1 1​__​   20. 2​___    ​ 2 2​___    ​  6 6 12 12 3 3 10 10

USA DATOS Para 21–23, usa la receta de refresco de frutas. 21. ¿Cuántos cuartos de litro de refresco de frutas se

pueden preparar con la receta?

Receta de refresco de frutas

22. ¿Cuántos cuartos de litro de jugo de naranja más que de jugo de piña requiere la receta?

• 2 ¾ cuartos de litro de jugo de naranja

23. Razonamiento  Olga quiere duplicar la receta. ¿Cuánto jugo de naranja necesitará?

• 2 cuartos de litro de jugo de lima-limón

24.

154

Libro 5.indb 154

¿Cuál es el error?  Isabel sumó 2 8_5​ ​  a 6 8_7​ ​.   Su respuesta fue 8 4_1​ ​.   Explica el error de Isabel y halla la repuesta correcta.

• 1 24 cuartos de litro de jugo de piña • Frutas como limones, limas, frambuesas y naranjas, en trozos.

Práctica adicional en la página 162, Grupo B

24-01-13 10:10


Comprensión de los Aprendizajes 28. Preparación para la prueba  9​__3​ 2 2​__1​ 5

25. Halla el valor de j.

4

__3​ 1 j 5 __5​​  ​ 7

7

B 7​__1​  

D 12

2

10

27. Completa para escribir fracciones equivalentes. 2 __1​ 5 __ ​ ​   ​ 3

1 C 11​__​  2

4

4 2 26. ​ ___ ​ 1 ___ ​   ​ 5 10

A 7​__1​  

j

4

29. Preparación para la prueba  Pablo mezcla 4​2_1 ​   tazas de harina de maíz y 2​2_1 ​  tazas de harina. ¿En qué tamaño de recipiente cabrá la mezcla? A 1 taza

C 6 tazas

B 2 tazas

D 8 tazas

PERCEPCIÓN NUMÉRICa  Puedes estimar con números mixtos, así como lo haces con números enteros. •  Si la parte fraccionaria del número mixto es menor que ​ 2_1​,   redondea hacia abajo al número entero más cercano. •  Si la parte fraccionaria del número mixto es igual o mayor que ​ 2_1​,   redondea hacia arriba al número entero más cercano. 1 __1​ ​ redondea hacia abajo, a 1. 4

1 __​1​ redondea hacia arriba, a 2. 2

    Después de redondear, suma o resta para hacer tu estimación. 1 __1​ ​ 1 1 __1​ ​ ?   1 1 2 5 3. Por lo tanto, 3 es una estimación razonable para la suma. 4

2

Estima cada suma o diferencia. Para 1–4, usa la recta numérica como ayuda. 3 5 1 1 1 1 1 3 1. 1​__​ 1 2​__​   2. 2​__​ 2 1​__​   3. 1​__​ 1 2​__​   4. 2​__​ 2 __​ ​  4 4 4 6 4 4 4 6 4 1 5. 3​__​ 1 4​__​   5 5

2 6. 2​__​ 2 2 3

9 7. 4​___  6 ​ 1 5​___    ​   10 10

5 1 8. 5​__​ 2 3​__​  8 8

Capítulo 6 155

Libro 5.indb 155

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

4

Repaso rápido

Restar haciendo conversiones

Resta. Escribe la respuesta en su fracción irreductible.

OBJETIVO: Restar números mixtos haciendo conversiones.

Aprende PROBLEMA  Gabriel está construyendo un escenario para una obra de teatro. Corta 1​6_1 ​  metros de una tabla que mide 2 metros. ¿Cuál es la longitud de lo que queda de la tabla?

3 __ ​2 1 1. ​ ​__ ​  4 4

2 __ ​2 1 2. ​ ​__ ​  3 3

1 __ ​2 1 3. 1​ ​__ ​  2 2

7 __ ​2 3 4. ​ ​__ ​  8 8

5 __ ​2 1 5. 2​ ​__ ​  6 6

A veces necesitas convertir el número entero para hacer restas con números mixtos. Puedes usar barras de fracciones como ayuda.

Actividad Resta. 2

1 16

Materiales

barras de fracciones

Paso Representa el 2 usando dos barras enteras.

1

1

2

Paso Para restar 1 16 , reemplaza una de las barras enteras con seis barras de 1 .

1 6

1

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 66

Paso Resta 1 16 . Escribe la respuesta en su mínima expresión.

1 6

1

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 66

1 16

Por lo tanto, la longitud de la tabla que queda es ​ _56 ​de metro.

Ejemplo  Resta. 3​__3​ 2 1​5__​  8

8

Paso

Paso

Convierte el número mixto.

Paso

Resta las fracciones.

Piensa: Dado que

​  _58 ​ ​  _38 ​, convierte 3​  _38 ​. 3 3​__ ​ 5

3 3​__ ​ 5

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __​  1​5 8

3​  _38 ​5 2

1

11  ​ ​  _88 ​1 ​  3_8 ​5 2​  __ 8

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __​  1​5 8 6 __ ​  ​ 8

Resta los números enteros. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3  ​5 3​__

11 2​___  ​ 

8 21​5__​ 5 2 8

8 __ ​ 1​5 8 6 3 __ 1​ ​  5 1​__ ​  8 4

__​ 2 1​5 __​ 5 1​3 __​.  Por lo tanto, 3​3 8

8

4

156

Libro 5.indb 156

24-01-13 10:10


Práctica con supervisión 1. Copia el problema de la derecha. Halla la diferencia usando la conversión. 

__ ​   2​__3​ 5      1​

6 6 21​__4​ 5 21​__4​  6 6

Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escríbela como fración irreductible 1 2. 2​__​ 2 4

1​__3​   4

1 2 3. 1​__​ 2 __​ ​   3 3

2 4. 5​__​ 2 5

___  7 ​ 2 ___ ​ 9 ​    5. 4​10 10

2​__4​   5

___  5 ​ 2 1​___  8 ​    6. 3​12 12

Explica cómo hallar 3 2 1​3_2 ​.  

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 5 2 8. 5​__​ 2 3​__​   9 9 3 6 13. 3​__​ 2 1​__​   7 7

9. 2​___  3 ​ 2 1​___  7 ​   15 15 3 5 14. 4​__​ 2 2​__​   6 6

3 4 10. 8​__​ 2 2​__​   5 5

1 11. 2 2 1​__​   4

12. 3​___  1 ​ 2 2​___  9 ​   10 10

10 15. 6​___  9 ​ 2 3​___ ​   12 12

11 16. 4​___  6 ​ 2 1​___ ​   20 20

4 17. 8 2 5​__​   9

18. El padre de Mónica conduce 20​4_1 ​  kilómetros por

19. Esta semana, Joel quiere correr 18 kilómetros.

Corrió 3 kilómetros, 2​4_3 ​  kilómetros y 3​4_2 ​   kilómetros. ¿Cuántos kilómetros más tiene que correr Joel para lograr su objetivo?

día. Su madre conduce 25 kilómetros por día. ¿Cuánto más lejos conduce la madre de Mónica que su padre?

20.

¿Cuál es la pregunta?  El pedazo de tela de Roberto, de 3​8_5 ​  metro de largo, es 1​8_7 ​  metro más largo que el de Cecilia. La respuesta es 1​4_3 ​  metro. 

Comprensión de los Aprendizajes 21. Daniela trabajó 3_​ 1​  de hora en la tarea de

matemáticas y 3_​ 2​  de hora en la de ciencias.

¿Cuánto tiempo tardó Daniela en hacer toda su tarea?

22. Un molde para pasteles de 9 cm de largo por

10 cm de ancho contiene 5​4_1 ​  tazas de mezcla. La receta de pastel de Karen hace 11 tazas de mezcla. ¿Necesitará usar 2 moldes o 3 moldes?

23. ¿Qué clase de cuadrilátero tiene siempre 4

ángulos rectos y 4 lados iguales? 24. Preparación para la prueba  Laura y Angélica

compraron 2 pizzas y se comieron _3​ 2​  de una pizza como muestra la ilustración. ¿Qué fracción de las 2 pizzas sobró?

A 1​__1​   pizza

2 C 1​__​   pizza 3

1 B 1​__​   pizza 3

D 2 pizzas

6

Práctica adicional en la página 162, Grupo C

Libro 5.indb 157

Capítulo 6 157

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

Trabajar desde el 5 Estrategia: final hasta el principio OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Aprende la estrategia Trabajar desde el final hasta el principio puede ayudarte a resolver un problema. Puedes usar esta estrategia cuando sabes cómo termina una situación pero no sabes cómo empieza.

Trabaja desde el final hasta el principio en una recta numérica. Soledad tejió un poncho para el invierno. Usó en total 3 ovillos de lana café, roja y amarilla. Primero usó 1​8_3 ​  de ovillo de lana café y 8_5​ ​  de ovillo de lana roja. Si el resto de lana era roja, ¿cuánto de la lana amarilla usó Soledad?

Comenzando desde el 3 en la recta numérica, mueve 1​ _38 ​, u 11 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 5 octavos hacia la izquierda.

5 8

02

13 8

1

3

Por lo tanto, Sol usó 1 metro de cinta roja.

Trabaja desde el final hasta el principio con una ecuación. Isabel pagó $32 000 por 3 tarros de pelotas de tenis de lanzamiento rápido y una raqueta de tenis. El raqueta costó $20 000. Ella no recuerda el precio exacto de las pelotas de tenis. ¿Puedes hallar cuánto pagó Isabel por cada tarro de pelotas de tenis? Sí puedes. ¡Trabaja desde el final hasta el principio!

¿Por qué es importante comprobar tu respuesta cuando usas la estrategia de trabajar desde el final hasta el principio? Explica cómo puedes comprobar tu respuesta.

Escribe la ecuación.

($ 3 3 tarros de pelotas de tenis) 1 raqueta 5 total (s 3 3) 1 $20 5 $32 Trabaja desde el final hasta el principio usando operaciones inversas.

s 5 (32 2 20) 4 3 s 5 12 4 3 s54 Por lo tanto, Isabel pagó $4 000 por cada tarro de pelotas de tenis. Comprueba tu respuesta.

($4 000 3 3) 1 $20 000 5 $32 000

$12 000 1 $20 000 5 $32 000 $32 000 5 $32 000 ✓

158

Libro 5.indb 158

24-01-13 10:10


Usa la estrategia PROBLEMA  La clase de quinto grado del señor Juan está presentando un espectáculo de títeres sobre seguridad para el primer grado y el segundo. Para hacer sus propios títeres, los estudiantes de quinto año de enseñansa básica compraron 1​8_7 ​  metro de fieltro para tres títeres de distinto tamaño. Cortaron 8_​  3​  de metro para el títere más pequeño y 8_7​ ​  de metro para el títere más grande. ¿Cuántos metros de fieltro usaron los estudiantes para el títere mediano?

• Identifica los pasos del problema.  • ¿Qué parte del problema es una incógnita?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes trabajar desde el final hasta el principio para resolver el problema.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica que muestre octavos. Trabaja desde el final hasta el principio. Comenzando desde 1 8_​ 7​,   mueve 7 octavos hacia la izquierda. Luego mueve otros 3 octavos hacia la izquierda. 3 8

02

7 8

1 17 8

Solo quedan 5 octavos más antes del 0 en la recta numérica. Por lo tanto, usaron 8_5​ ​  de metro de fieltro para el títere mediano.

• ¿Cómo sabes que tu respuesta es correcta? • ¿De qué otras maneras podrías resolver este problema?

Capítulo 6 159

Libro 5.indb 159

24-01-13 10:10


Resolución de problemas con supervisión 1. Para construir el escenario de los títeres para su espectáculo, los

estudiantes usaron un total de 9 6_5​ ​  metros de fieltro para hacer la cortina, el techo y la falda del escenario. Si usaron 3 6_1​ ​  metros para la cortina y 3 6_5​ ​  metros para la falda, ¿Cuántas metros de fieltro usaron para el techo? 

Primero, haz una recta numérica que muestre de 0 a 10. Divide cada sección en sextos. Luego, trabaja desde el final hasta el principio en la recta numérica. Finalmente, comprueba tu respuesta.

01

23

4

567

89

10

_5    2. ¿Qué pasaría si los estudiantes tuvieran 2 6​ ​  metros para la cortina? ¿Cuánto fieltro se usaría para el techo? 

   3. Veinte minutos antes de empezar el espectáculo, los estudiantes todavía estaban trabajando en el escenario. Javiera tardó 12,5 minutos en engrapar la falda y luego le pasó la engrapadora a Carlos, quien tardó 6,75 minutos en engrapar el techo. Cuando terminaron, ¿cuántos minutos quedaban para empezar el espectáculo? 

Resolución de problemas con supervisión Trabaja desde el final hasta el principio para resolver 11 __ 4. Los estudiantes tenían 12 ​  ​  de hora para ver un espectáculo de títeres

__ acerca de la seguridad. El primer 12 ​ 5 ​ de hora se trató sobre la __ seguridad en el patio de juegos, y el siguiente 12 ​ 2 ​ de hora se trató sobre la seguridad en la cafetería. Las dos primeras partes del espectáculo provocaron más risas de lo esperado y se extendió __ por 12 ​ 1 ​ de hora. El resto del tiempo se trató sobre cómo cruzar una calle concurrida. ¿Cuánto tiempo tuvieron los estudiantes para la última parte del espectáculo que trataba sobre cómo cruzar una calle concurrida? 

USA DATOS  Para 5–7, usa la tabla de datos. 5. Los estudiantes usaron 4_2​ ​  de una lata de un litro de pintura para

los carteles y 4_​ 3​  de una lata de un litro de pintura para utilería. ¿Cuántos litros de lata de pintura quedaron para pintar el decorado de fondo? 

Materiales para el espectáculo de títeres

6. Para construir el escenario de los títeres, los estudiantes usaron

dos marcos en forma de U, sostenidos por 4 patas. Para cada marco en forma de U se usaron 11 3_1​ ​  metros de madera. ¿Cuánta madera usaron los estudiantes para las 4 patas?  7.

Material Madera Pintura Fieltro

Cantidad 1 3 1 2 4 5 9 6

37

metro litro metro

Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la longitud de cada pata usada para sostener el escenario de los títeres. Muestra tu trabajo.

160

Libro 5.indb 160

24-01-13 10:10


ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Práctica de estrategias mixtas USA DATOS  Para 8–11, usa la tabla.

Hacer un diagrama o dibujo

8. En la sala de teatro Agustín Siré, de

Hacer un modelo o una dramatización

la Facultad de Arte de la Universidad de Chile, la taquilla abrió al mediodía para vender entradas. A las 12:10, ya se habían vendido 20 entradas. A las 12:20, se habían vendido 40 entradas. Al final de la primera media hora, se habían vendido 60 entradas. Si el patrón continúa, ¿a qué hora se habrán vendido todas las entradas? 

Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

9. El teatro La Memoria de Santiago

tiene 3 espectáculos el sábado por la tarde, mientras que el teatro Huemul tiene 1 espectáculo. Si ambos teatros tuvieran la sala llena, ¿cuál vendería la mayor cantidad de entradas ese día? ¿Cuántas entradas más venderá ese teatro?  10.

Ciudad, Estado

Cantidad de asientos

Teatro Condell, Valparaíso

300

18 x 14

55

Sala Agustín Siré, Santiago  

160

12 x 12

40

Teatro Huemul, Santiago

500

20 x 8

45

100

6x7

30

Formula un problema  Vuelve al Problema 9. Escribe un problema similar cambiando el teatro y el patrón.

11.

Teatros de títeres

Problema abierto  Imagina que hay un

intervalo de 25 minutos entre los Teatro La Memoria, Santiago espectáculos en el teatro Condell en Valparaíso. Si el teatro está abierto desde la 1:00 p. m. hasta las 4:30 p. m., ¿cuántas entradas podrá vender? ¿Cómo podría el teatro cambiar la duración del espectáculo o el intervalo entre los espectáculos para poder vender más entradas?

Duración Tamaño del del espectáculo escenario Largo x ancho (en minutos) (en pies)

ESFUÉRZATE UNICEF, una organización internacional para niños, usa títeres para educar y entretener. En el país africano de Namibia, los adolescentes usan títeres para enseñar acerca de la seguridad. En una plaza del pueblo, 2 000 personas miran el espectáculo de títeres que tiene una hora de duración. 12. En Vietnam, un espectáculo de títeres similar

atrae a un promedio de 1 200 personas. Si en Vietnam hay seis espectáculos de títeres al mes, aproximadamente ¿cuántas personas pueden ver el espectáculo de títeres de UNICEF cada mes?

13. En Namibia, 5_​ 2​  de los titiriteros tienen de 12 a 14

años. Del resto de los titiriteros, uno de cada tres tiene de 10 a 11 años. ¿Cuántos quintos del total de los titiriteros tienen de 10 a 11 años? 

Capítulo 6 161

Libro 5.indb 161

24-01-13 10:10


Práctica adicional Grupo A  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 2 __3 1. __ ​ ​ 1 ​ ​  

11 ___ 2. ___ ​ ​ 2 ​ 2 ​   3. 12 12

6. __5​ ​ 2 __3​ ​  

4 3 7. __​ ​ 1 __​ ​   9 9

3 2 11. __​ ​ 2 __​ ​   3 3

4 2 12. __​ ​ 1 __​ ​   6 6

5

5

7

7

___ ​ 3 ​ 1 ___ ​ 4 ​   10 10

7 5 4. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

10 ___ 8. ___ ​ ​ 2 ​ 4 ​   11 11 6 1 13. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

1 3 5. __​ ​ 1 __​ ​   6 6

9. ___ ​ 4 ​ 2 ___ ​ 2 ​   10 10

1 1 10. __​ ​ 1 __​ ​   5 5

2 1 14. __​ ​ 1 __​ ​   4 4

1 1 15. __​ ​ 2 __​ ​   2 2

Grupo B  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. 2 ​__1​ 1 1 ​__5​  

1 1 2. 5 ​__​ 2 3 ​__​   2 2

1 3. 7 ​___  3 ​ 1 2 ​___    ​   10 10

3 4 4. 4 ​__​ 2 1 ​__​   7 7

5. 6 ​__2​ 1 1 ​__1​  

3 1 6. 5 ​__​ 2 4 ​__​   4 4

2 5 7. 7 ​__​ 1 3 ​__​   9 9

5 1 8. 3 ​__​ 2 1 ​__​   6 6

9. 4 ​__3​ 2 2 ​__2​  

3 1 10. 3 ​__​ 1 4 ​__​   8 8

2 1 11. 3 ​__​ 2 2 ​__​   3 3

12. 5 ​___  4 ​ 1 3 ​___  4 ​   10 10

6

3

5

6

3

5

Grupo C  Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. Sandra usa 14_3​ ​  tazas de harina para hacer un

pastel. ¿Cuántas tazas de harina necesitará para hacer dos pasteles? 

3. 3 ​___  5 ​ 2 1 ​___  7 ​   12 12

3 7 4. 4 ​__​ 2 3 ​__​   8 8

 7 8. 5 2 2​__​     8

3 4 9. 7 ​__​ 2 5 ​__​   5 5

3 1 13. 4​__​ 2 2 ​__​   6 6

14. 6 2 1 ​___  6 ​   10

2. Ignacia compró 5 ​8_5 ​  kilogramos de frutas.

Compró 3 ​8_1 ​  kilogramos de manzanas. El resto eran naranjas. ¿Cuántos kilogramos de naranjas compró? 

3 5. 1 2 __​ ​   4

2 6. 5 2 __​ ​   7

5 4 7. 2 ​__​ 2 1 ​__​   7 7

8 11. 9 2 7 ​__​   9

5 2 12. 4 ​__​ 2 1 ​__​   9 9

3 4  7 15. 5​__​ 2 2​__​   16. 8 2 7​__​     9 9 8

5 2 17. 7​__​ 2 5 ​__​   6 6

10. 3 ​___  7 ​ 2 2 ​___  9 ​   10 10

18. Pedro tenía 4 metros de cordel. Usó 2 ​8_3 ​  metros

para un proyecto. ¿Cuánto cordel le queda a Pedro? 

19. José leyó durante 1 ​4_3 ​  horas el lunes y

2 ​4_1 ​  horas el martes. ¿Cuánto tiempo más leyó el martes? 

162

Libro 5.indb 162

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ELIGE UN PAR ¿Quién? 4 estudiantes

¿Qué?

1

• 32 tarjetas

? ?  _ ​  __  ​

? ?  _ ​  __  ​

__ ​  5 ​ 6

__ ​  1 ​ 6

__ ​  4 ​ 6

__ ​  2 ​ 6

__ ​  67 ​

__ ​  17 ​

__ ​  47 ​

__ ​  37 ​

__ ​  5 ​ 8

__ ​  3 ​ 8

__ ​  1 ​ 8

__ ​  7 ​ 8

__ ​  7 ​ 9

__ ​  2 ​ 9

__ ​  4 ​ 9

__ ​  5 ​ 9

__ ​  25 ​

__ ​  35 ​

__ ​  45 ​

__ ​  15 ​

1  ​  ​ ___

___ ​  9  ​  10

___ ​  3   ​ 10

___ ​  7   ​ 10

__ ​  1 ​ 3

__ ​  2 ​ 3

__ ​  14 ​

__ ​  34 ​

__ ​  15 ​

__ ​  45 ​

__ ​  1 ​ 2

__ ​  1 ​ 2

10

¡Cómo! Rotula las tarjetas como se muestra. Mézclalas y colócalas boca abajo en la superficie plana de una matriz de 8 por 4.

Si las fracciones no tienen un total de 1, se vuelven a poner boca abajo a su posición original.

El primer jugador le da vuelta a dos tarjetas. Si las fracciones que se muestran tienen un total de 1, el jugador conserva las tarjetas y gana otro turno.

El próximo jugador repite el proceso. El juego continúa hasta que todas las tarjetas hayan sido levantadas. El jugador con el mayor número de tarjetas es el ganador.

Capítulo 6  163

Libro 5.indb 163

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Repaso/Prueba del Capítulo 6 Comprueba los conceptos 1. Explica cómo puedes sumar 5_​ 2​  1 _5​  1​  usando barras de fracciones. 2. Explica una regla que puedas usar para restar fracciones con denominadores semejantes. 

Comprueba tus destrezas Halla la suma o la diferencia. Escríbela en su mínima expresión. 3 1 3. __​ ​ 1 __​ ​   5 5

5 2 4. __​ ​ 2 __​ ​   6 6

10 ___ 8. ___ ​ ​ 2 ​ 8 ​   11 11

9. ___ ​ 6 ​ 1 ___ ​ 3 ​   10 10

1 13. ​  2 ​​  __    ​      3 1 3 ​__2​  _3

4 14. ​  4 ​​  __    ​      5 2 1 ​__2​  _5 3 ​2_ ​ 5

6

4 2 5. __​ ​ 1 __​ ​   9 9

6. ___ ​ 9 ​ 2 ___ ​ 7 ​   10 10

3 2 7. __​ ​ 1 __​ ​   7 7

5 3 10. __​ ​ 2 __​ ​   6 6

3 4 11. __​ ​ 1 __​ ​   7 7

7 3 12. __​ ​ 2 __​ ​   8 8

5 15. ​  3 ​​  __    ​      6 1 5 ​__4​  _6 9 ​1_ ​ 2

3 16. ​  7 ​​  __    ​      8 2 2 ​__1​  _8 5 ​1_ ​ 4

9 17. ​  1 ​___  ​     ​       10 1 3 ​___  3 ​  ​10 _ 5​1_ ​ 5

1 21. ​  7 ​​  __    ​      2 2 4 ​__1​  _2

1 22. ​  6 ​ __    ​      8 2 5 ​__7​  _8 ​1_ ​ 4

Halla la diferencia. Escríbela en su mínima expresión. 2 18. ​  3 ​​  __    ​      5 2 1 ​__4​  _5 1 ​3_ ​ 5

1 19. ​  6 ​​  __    ​      6 2 4 ​__5​  _6 1 ​1_ ​ 3

3 20. ​  8 ​​  __    ​      5 2 4 ​__4​  _5 3 ​4_ ​ 5

3

​Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. Gina usó 4 _83​  ​  metros de tela para hacer un

disfraz. Ella usó 1 _85​  ​  metros para la camisa y 2 _81​  ​  metros para los pantalones. ¿Cuántos metros de tela usó para hacer las otras partes del disfraz? 

24. Victor usó 3​_41  ​  cuartos de pintura para decorar

algunos muebles. Él usó ​ _43​  de cuarto en un escritorio y 1​_41  ​  cuartos en un tocador. ¿Cuánta pintura usó Victor en los otros muebles?

Tara usó 17 _31​  ​  metros de tela para hacer cuatro disfraces de flor. Explica cómo usarías una recta numérica para hallar la cantidad de tela que ella usó para un disfraz. 

25. 

164

Libro 5.indb 164

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Enriquecimiento • Patrones de fracciones

¿Cuál es la regla? Raúl está entrenando para una carrera. Durante la primera semana, corre

_1 _2 3​  ​  de kilómetro cada día. Durante la segunda semana, corre 3​ ​  de kilómetro cada

día, y durante la tercera semana, corre 1 kilómetro cada día. Si continúa con este patrón, ¿durante qué semana correrá Raúl 3 kilómetros cada día? Paso 1 Escribe todas las distancias como fracciones con un denominador común.

Paso 2 ​__ ​  , 3 ​__ ​ Busca un patrón. 1​__ ​  , 2 Halla una regla.

3 3 3

Regla: Suma ​1__ ​. 3

1 ​__ ​, 2 ​__ ​, 3 ​__ ​ 3 3 3

Paso 3 ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5​__ ​ , 6​__ ​ , 7 ​__ ​ , 8 ​__ ​ , 9​__ ​ Continúa el patrón. 1​__ ​ , 2 3

3

3

3

3

3

3

3

3

Detente en ​ 9_3 ​ porque es equivalente a 3. Por lo tanto, 3_​ 9​  es la novena fracción en el patrón. Raúl corre 3 kilómetros por día durante la novena semana de entrenamiento.

Ejemplo

1 3 1 5 Halla las tres fracciones siguientes en este patrón: __​ ​  , __​ ​  , __​ ​  , __​ ​.  4

Paso 1 Escribe las fracciones con un denominador común.

8

2

8

Paso 2 Halla la regla.

Paso 3 Escribe las tres fracciones siguientes como irreductibles.

Regla: Suma ​1__ ​. 8

Continúa el patrón. 2 ​__ ​ ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5 8 8 8 8

2 ​__ ​ , 8 ​__ ​ ​__ ​ , 3​__ ​ , 4​__ ​ , 5​__ ​ , 6​__ ​ , 7 8 8 8 8 8 8 8

6 8 7 __ ​ 5 7​__ ​ ​ __ ​ 5 1 ​__ ​ 5 3​__ ​ ​ 4 8 8 8 8

Por lo tanto, las tres fracciones siguientes son 4_​ 3​,   8_​  7​,   y 8_​ 8​,   o 1.

Inténtalo Halla una regla. Usa la regla para escribir las tres fracciones irreductibles siguientes: 3 2 1 3 3 1 1 1 1 1 11 5 3 1. ​___    ​, __​ ​,  __​ ​,  __​ ​   2. ​___    ​, __​ ​,  __​ ​,  __​ ​   3. ​___​, __​ ​,  __​ ​   4. 3; 2​__​;  2​__​  12 6 4 3

10 5 2 5

12 6 4

5

5

Toma un patrón de fracción que tenga 4_​ 3​  como tercera fracción.

Capítulo 6  165

Libro 5.indb 165

24-01-13 10:10


Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 6

Percepción numérica 1. La fracción que falta en la operación

11 12

=

5 es: 12

4 10

-

5. El resultado de 7 +

8 7

4. El resultado de 5

A 3

1 2

B 3

1 5

11 A 12

7 B 12

C 3

3 10

1 C 4

D 3

4 10

D

1 2

2. Alejandro repartió su torta de cumpleaños 1

a la hora de entre sus amigos. Repartió 4 2 por la tarde. ¿Cuánto repartió almuerzo y 4 de su torta de cumpleaños?

A

3 8

B

1 4

3 C 4

D

A 16

2 3

B 15

2 3

C 1

1 3

D 15

1 3

A 8

1 7

B 2

1 7

C 1

1 14

D

8 17

6. Dos veces 1

1 2

3. El resultado de 8

1 3

+

7

1 es: 3

A 2

2 10

B 2

1 5

C 2

2 5

D 1

2 5

2

1 es: 10

es:

1 es: 5

Se realizó una encuesta a un grupo de estudiantes en una feria científica acerca de su mascota preferida, arrojando los resultados que se encuentran en el gráfico adjunto. Con esta información responde las preguntas 6, 7, 8, 9 y 10.

166

Libro 5.indb 166

24-01-13 10:10


¿Cuántos?

¿Qué clase de mascota tienes?

9. De las mascotas que tienen cuatro patas.

¿Cuál es el menos preferido por los estudiantes?

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Perro

Gato

Pájaro

Pez

Roedor

Reptil

Clase de mascota

A Perro

B Gato

C Roedor

D Reptil

Otro

7. ¿Qué fracción de estudiantes prefieren un

10. Las preferencias de los estudiantes,

perro como mascota?

expresadas en fracción, por tener una mascota reptil o pez respectivamente es:

A 8

B

5 24

C

1 7

A

1 24

1 24

D

1 3

B

1 8

1 24

C

1 7

1 24

D

1 7

1 7

8. ¿Qué fracción de estudiantes prefiere

pájaro o roedor como mascota? 2 7

A

6 B 7

C

1 4

D

3 4

Pez

Reptil

11. Contruye una tabla que resuma la

información sobre la mascota preferida de los estudiantes encuestados expresada en fracción irreductible.

Capítulo 6 167

Libro 5.indb 167

24-01-13 10:10


7

Sumar y restar fracciones no semejantes La idea importante

La suma y resta de fracciones no semejantes se basa en la comprensión de las fracciones equivalentes.

Investiga La tabla muestra la parte del sendero recorrido por cada uno de los corredores de un grupo de ciclistas de montaña en las laderas de la cordillera. Elige dos ciclistas. Muestra cómo hallar la diferencia entre la parte del sendero que un ciclista recorrió, en comparación con la parte recorrida por el otro.

Ciclistas en el monte Tamalpais Ciclistas de montaña Andrés Carlos Karen Silvia

Parte del sendero recorrida

170 ¾ ½ ⅘

Chile

DATO BREVE

El bicicross llega a Chile en 1979 gracias a una pista que se construye por Jorge Herrera y Vicente Cancino en los terrenos que hoy día ocupa el Parque Araucano, en la comuna de Las Condes. Las competencias consitían en varias vueltas a un circuito con pozos de agua, baños y algunos saltos. Después se extendió al ciclismo de montaña.

168

Libro 5.indb 168

24-01-13 10:10


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 7.

u Fracciones equivalentes Escribe dos fracciones equivalentes para cada ilustración.

1.

4.

7.

5.

2.

3.

6.

8.

9.

u Mínima expresión Escribe cada fracción irreductible.

3 1 10. __​ ​   _​ ​   62

6 3 11. __​ ​   _​ ​   84

2 1 12. __​ ​   _​ ​   63

6 2 13. __​ ​   _​ ​  93

14. ___ ​  3 ​  _1​ ​   12 4

15. ___ ​  4 ​  _2​ ​   10 5

16. ___ ​12​  _4​ ​   15 5

17. ___ ​15​  _3​ ​  20 4

18. ___ ​  8 ​  _1​ ​   16 2

19. ___ ​14​  _2​ ​   21 3

20. ___ ​18​  _3​ ​   24 4

21. ___ ​  5 ​  _1​ ​  30 6

22. ___ ​  4 ​  _1​ ​   20 5

23. ___ ​  6 ​  _1​ ​   12 2

24. ___ ​  8 ​  _1​ ​   32 4

25. ___ ​  6 ​  _1​ ​  18 3

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

fracción de referencia múltiplo común fracciones equivalentes mínimo común denominador  (m.c.d.) múltiplos

PREPARACIÓN

fracciones equivalentes fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad mínimo común denominador (m.c.d.) el menor múltiplo común de dos o más denominadores múltiplo común un número que es un múltiplo de dos o más números

Capítulo 7  169

Libro 5.indb 169

24-01-13 10:10


Representar la suma de fracciones no semejantes OBJETIVO: Representar la suma de fracciones no semejantes.

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 1. ​1__ ​ 1 1​__ ​

2. ​3__ ​ 2 1​__ ​

3. ​4__ ​ 1 3​__ ​

5 2 4. ​  ___   ​ 2 ​  ___  ​

4

Materiales ■ barras de fracciones

Puedes usar barras de fracciones para sumar fracciones con denominadores no semejantes.

8

4 8

8

10

8

10

5. ​1__ ​ 1 4​__ ​ 5

5

Halla 2_​  1​  1 4_​  1​.   Coloca una barra de 2_​ 1​  y una de 4_​ 1​  debajo de una barra de fracción de entero. 1

1 2

1 4

Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la suma 2_​ 1​  1 4_​  1​.   1 1 2

1 4

?

Registra la suma en su mínima expresión. Usa barras de fracciones para hallar 5_​ 3​  1 2_​  1​.   Registra la suma.

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

que coincidieran exactamente debajo de ​ _12 ​ 1 ​  _14 ​? ¿Podrías haber usado cualquier otra barra de fracciones semejantes? Si es así, ¿cuáles habrías usado?

2. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

hallar 5_​  3​  1 2_​  1​  ? ¿Es la suma mayor o menor que 1?

3. Análisis  En tu modelo de 5_​ 3​  1 2_​  1​,   ¿cuántas barras de __ ​ 1 ​ equivalen a 5_​ 3​  ? ¿Cuántas equivalen a 2_​ 1 ​? ¿Qué sabes 10 __ __ ​ 6 ​  ? ¿Y sobre 2_​ 1​  y 10 ​ 5 ​  ? sobre 5_​  3​  y 10

170

Libro 5.indb 170

24-01-13 10:10


Cuando hallas las barras de fracciones que coinciden exactamente debajo de una suma, has hallado fracciones equivalentes. 2 __ Halla: __ ​ ​ 1 ​1​.  3

6

Paso

Paso

Coloca dos barras de fracciones de 3_​ 1 ​debajo de una barra de 1. Luego coloca una barra de fracciones de ​ _16 ​al lado de las dos barras de ​ _13 ​.

Halla barras de fracciones semejantes que sean equivalentes a ​ _23 ​ y ​  _16 ​.

1 3

1 6

1 3

Suma las fracciones semejantes.

1

1 1 3

Paso

1 6

1 1 6

1 3

1 6 2 3

1 6

1 6

1 3

1 6

4 6

1 6

1 6 1 6

1 6

1 3

1 6

1 6

1 6

Por lo tanto, 46

1 6 1 6

5 6

¿Qué fracciones equivalentes usarías para hallar ​ 1_2 ​ 1 ​  3_4 ​?

Halla la suma. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 1.

1 8

1 2

1 8

1 8

2.

__1​ 1 __3​ ​ ​   2

8

1 8

1 8

1 8

1 4

3.

1 2

1 5

1 5

__1​  1 __2​ ​  __​3​ 1 __1​ ​   ​ 2 5 8 4

Halla la suma usando barras de fracciones. Escríbela como fracción irreductible. __2​ 1 ___ 4. ​ ​ 3 ​   5 10

__1​ 1 ___ 5. ​ ​ 2 ​   4 12

__1​ 1 ___ 6. ​ ​ 3 ​   2 10

__1​ 1 __1​ ​  7. ​ 2 3

__1​ 1 ___ 8. ​ ​ 4 ​   4 12

__1​  1 __3​ ​   9. ​ 3 6

__1​ 1 ___ 10. ​ ​ 1 ​   5 10

3 1 11. __​ ​ 1 __​ ​  4 3

__3​ 1 __1​ ​   12. ​ 4 6

__2​ 1 __1​ ​   13. ​ 5 2

__2​ 1 __1​ ​   14. ​ 3 4

__3​ 1 __5​ ​  15. ​ 4 6

16.

Explica cómo sumar 8_​ 2​  y 4_​ 3​  usando barras de fracciones.

Capítulo 7 171

Libro 5.indb 171

24-01-13 10:10


Representar la resta de fracciones no semejantes OBJETIVO: Restar fracciones no semejantes usando barras de fracciones.

Materiales ■ barras de fracciones

Halla la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 __ ​  2  ​1__ ​  1. ​ 4 4 2 1 __ __ 3. ​ ​  2  ​  ​ 3 3 10 8 ___ 5. ​  ​  2  ​  ___  ​  10 10

5 __ ​  2 2. ​ 8 4 __ 4. ​ ​  2 5

 ​2__ ​  8 2 __  ​  ​  5

Puedes usar barras de fracciones para restar fracciones con denominadores no semejantes.

Halla 4 ​ _3​   2 8 ​ _1​  .  Coloca tres barras de 4 ​ _1  ​  debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de 8_​ 1​  debajo de las barras de 4_​ 1​.   1 1 4

1 4

1 4

1 8

Compara las barras. Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la diferencia 4 ​ _3​   2 8 ​ _1​  .  1 1 4 1 8

1 4

1 4

?

diferencia

Anota la diferencia. Usa barras de fracciones para hallar  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   .

Sacar conclusiones 1. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para

que coincidieran exactamente debajo de  ​ 4_3​    2  ​ 8_1​   ?

2. ¿Qué barras de fracciones semejantes usaste para hallar  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   ? 3. Análisis  En tu modelo de  ​ 3_1​    2  ​ 4_1​   , ¿cuántas barras 1 ​  equivalen a  ​ _1​   ? ¿Cuántas equivalen a  ​ _1​   ? __ de  ​ 12 3 4 3 4 ​ ? __ __   ¿Y sobre  ​ 4_1​    y  ​ 12  ​ ?   ¿Qué sabes sobre  ​ 3_1​    y  ​ 12

172

Libro 5.indb 172

24-01-13 10:10


Puedes usar barras de fracciones con denominadores semejantes para restar fracciones con denominadores no semejantes 1 Resta.  ​__2​  2 __ ​ ​   4

3

Paso

Coloca dos barras de ​ _13 ​ debajo de 1 barra de fracción de entero. Luego coloca una barra de ​ _14 ​debajo de las dos barras de ​ _13 ​.

Paso Halla barras de fracciones semejantes que coincidan exactamente debajo de la diferencia ​  _23 ​ 2 ​  _14 ​.

1 1 3

1 1 3

1 3

1 4

1 3

1 4

?

? 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12

diferencia 5 __ __​  5  ​ ___ Por lo tanto, 2 ​ ​ 2  ​1  ​   4

3

¿Qué fracciones semejantes usarías para hallar ​ 5_6 ​ 2 ​  1_2 ​?

12

Usa barras de fracciones para hallar la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 7 2 __2​ 2 __​1​ __1​ 2 ___ 1. ___ ​   ​ 2 __​ ​   2. ​   3. ​ ​   ​  10 5 3 6 2 10

1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 1 5

1 5

1 3

1 6

?

1 3

?

1 2

1 1 1 10 10 10

?

Halla la diferencia usando barras de fracciones. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 3 4. __​ ​ 2 ___ ​   ​  

5 1 5. ___ ​   ​ 2 __​ ​   12 3

__7​ 2 __1​ ​   8. ​

__2​ 2 __3​ ​   9. ​ 3 6

5

8

12.

10

4

1 __1​ 2 ___ ​   ​    6. ​ 2 10

__3​ 2 __1​ ​   10. ​ 4 3

__3​ 2 __​1​    7. ​ 5 2 __5​ 2 __1​ ​   11. ​ 6 2

Explica cómo usar barras de fracciones para hallar 4_​ 3​  2 8_​  5​.  

Capítulo 7 173

Libro 5.indb 173

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

3

Estimar sumas y diferencias OBJETIVO: Estimar las sumas y las diferencias de las fracciones.

3 __ ​ 1 1. ​ 4 2 __ ​ 1 3. ​ 8 2 __ 5. ​ ​ 1 5

Aprende

1 ​__ ​ 4 3 ​__ ​ 8 3 __ ​  ​ 5

2 __ ​ 2 2. ​ 2 5 __ 4. ​ ​ 2 8

1 ​__ ​ 2 1 __ ​  ​ 8

Karina usa diferentes ingredientes para cubrir su banana con helado. Primero vierte 6_​ 1​  de taza de jugo de frutas sobre el helado. Luego vierte 8_​  3​  de taza de nueces sobre la jugo de frutas. Estima la cantidad total de ingredientes que Karina pone en su banana con helado.

Ejemplo 1  Estima. __1​ ​ 1  ​__3​   6

8

Paso

Paso

La fracción ​ _16 ​está cerca

de 0. Redondea a 0. 1 6

2 6

3 6

4 6

2

5 6

1 2

0

Paso

La fracción ​ _38 ​está cerca de ​  1_ ​. Redondea a ​ 1_ ​.

Suma las fracciones redondeadas.

2

1 6 3 8

1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8

1

1 2

0

1

0 1 2 1 2

Por lo tanto, Karina pone aproximadamente ​ _12 ​taza de ingredientes en su banana con helado.

Idea matemática

Ejemplo 2  Estima. 7__​ ​ 2  ​__2​   8

7 8 2 5

5

1 8

1 1 2 1 2

Puedes estimar las sumas y las diferencias redondeando fracciones a fracciones de referencia como 0, ​ _12 ​o 1.

2 8

0

32 85

4 8

5 8

6 8

7 8

1 5

1

​  _25 ​está entre 0 y ​ _12 ​, pero cerca de ​ _12 ​. La diferencia es mayor que 0, pero menor que ​ 1_2 ​.

•  ¿Cómo puedes estimar ​ _45 ​1 ​  _25 ​?

Práctica con supervisión 1. Usa la recta numérica para completar.

8_3​ ​  está entre  y , pero más cerca de . 3_2​ ​  está entre  y , pero más cerca de .

2 3

01

3 8

1 2

174

Libro 5.indb 174

24-01-13 10:10


a

y ndo e

Estima cada suma o diferencia. __4​ 2 __1​ ​  2. ​ 6 8 8.

7 1 3. ___ ​   ​ 1 __​ ​   10 3

__5​ 1 __2​ ​   4. ​ 6 5

9 2 5. ___ ​   ​ 2 __​ ​   10 9

__4​ 1 __​1​    6. ​ 6 9

4 1 ___  ​  ​ 2 __​ ​   7. 10 9

__ Explica cómo sabes que 8_​ 1​  1 10 ​  6 ​ es mayor que 2_​ 1​   pero menor que 1.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima cada suma o diferencia. 6 11 ___ 1 9 __5​ 2 __1​ ​ __2​ 1 __3​ ​ __6​ 2 __3​ ​ ___ ___ 9. ​   10. ​   11. ​   12. ​ ​ 1 ​   ​   13. ​   ​ 2 __​ ​  7 5 8 5 6 8 12 10 10 2

__3​ 1 __4​ ​ __5​ 2 __3​ ​   14. ​   15. ​ 6 5 6 8

__1​ 1 __8​ ​   16. ​ 7 9

5 1 17. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 10

3 3 18. __​ ​ 1 __​ ​  8 5

__1​ 1 __5​ ​   19. ​

3 8 21. __​ ​ 1 __​ ​   7 9

__7​ 2 __3​ ​   22. ​ 8 5

10 ___ 1 ___ 23. ​ ​ 2 ​   ​  12 10

5

6

7 4 20. ___ ​   ​ 2 ___ ​   ​   12 10

Estima para comparar. Escribe o en cada . __2​ 1 __1​ ​   1 24. ​ 3 9

__3​ 2 __1​ ​   __1​ ​   25. ​ 4 8 2

5 3 26. ___ ​   ​ 1 __​ ​   1 12 5

7 27. ___ ​   ​ 2 12

__1​ ​   0 5

28. Laura y Valeria están haciendo un picnic en el parque nacional Pan de Azúcar, en la III Región. Laura usa 4_​ 3​  de taza de fresas y 3_​ 2​  de taza de duraznos para preparar un tutti frutti. ¿Aproximadamente cuántas tazas es esa cantidad? 29. 30.

¿Cuál es el error?  Nicolas estimó que

_5 _4 8​  ​  1 7​  ​  es aproximadamente 2. ¿Cuál es su error?

DATO BREVE   En la región del Bío-Bío, hay una ruta

para bicicletas de montaña llamada Ruta del Indio de 25 kilómetros. Si Tomás recorrió en su bicicleta 3_​ 1​  del sendero el sábado y 5_​ 1​  del sendero el domingo, aproximadamente qué fracción del sendero recorrió?

Comprensión de los Aprendizajes 31. Halla el valor de b en la ecuación 5 2 7 5 si 5 3. 34. Preparación para la prueba  Patricio atrapó

un pez que pesa 4_​ 1​  de kilogramo y un pez que pesa 3_​  1​  de kilogramo. ¿Aproximadamente cuánto pesan los dos peces en total?

32. Estima la suma de 178 021 y 146 973. __ 33. Escribe la fracción 45 ​ 27​  como irreductible.

A 2_​ 1 ​ kilogramo

C 1 2_​ 1 ​ kilogramos

B 1 kilogramo

D 2 kilogramos

Práctica adicional en la página 184, Grupo A

Libro 5.indb 175

Capítulo 7 175

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

4

Usar denominadores comunes

Halla un múltiplo común para cada par.

OBJETIVO: Usar un denominador común para sumar y restar las fracciones no semejantes.

1.  2 y 4

2.  5 y 10

3.  4 y 6

4.  3 y 9

5.  6 y 10

Aprende

mínimo común denominador (m.c.d.)

Doñihue es un pueblo lleno de tradiciones, como por ejemplo las chamanteras, personas dedicadas a la confección de mantas. Imagina que 2_1​ ​  chamanto se teje en un mes y 4_​ 1​  en dos semanas. ¿Qué cantidad de la manta se ha tejido?

Idea matemática

Para sumar o restar fracciones no semejantes, exprésalas como fracciones semejantes con un denominador común.

Primero estima la respuesta. Luego compárala con la respuesta exacta para ver si es razonable.

Ejemplo 1  Suma. __1​ ​ 1 __1​ ​  2

4

Paso

Paso

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 2 3 4 5 8  denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

1

4

​ ​__​ 5     ​__  ​ ​   2 8      1 2 1 ​__​ 5 1 ​__​  4 8 __ 6 3 __​ 5 ​  ​__  ​  ← mínima expresión 8

4

Por lo tanto, se ha tejido ​ _34 ​de la manta. •  Helena estimó que la suma se acerca a ​ 1_2 ​. ¿Es razonable su estimación? Imagina que una tejedora de chamanto tenía _56 ​de madeja de lana para terminar una de estas mantas. Necesitaba solo ​ _34 ​madeja para acabar una manta. ¿Qué cantidad de madejas quedó cuando acabó la manta?

Ejemplo 2  Resta. 5__​ ​ 2 __3​ ​  6

4

Paso

Paso

Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 6 3 4 5 24   denominador común

Usa el denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego resta.

5

20

​ ​__ ​5       ​___  ​ ​   6 24      3 18 2 __​ ​ 5 2 ​___ ​ 4 24 __ 1 2 ___ ​   ​ 5  ​ ___ ​  ← mínima expresión 24

12

1 __ Por lo tanto, a la tejedora de chamantos le quedó ​ 12   ​de madeja de lana.

176

Libro 5.indb 176

24-01-13 10:10


Para sumar o restar fracciones no semejantes, también puedes escribir fracciones equivalentes con el mínimo común denominador. El mínimo común denominador (m.c.d.) es el menor múltiplo común de dos o más denominadores.

Para hallar el mínimo común denominador, primero halla el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Ejemplo 3  Suma. __1​ ​ 1 __3​ ​  4

Recuerda

8

Una tejedora de chamantos compró hilo de seda y lana para tejer los diseños en sus mantas . Compró 4_​ 1 ​de kilogramo de hilo de seda y 8_​ 3 ​de kilo de lana natural. ¿Cuántos kilógramos de materiales compró? Usa un denominador común. Multiplica los denominadores para hallar un denominador común. 4 3 8 5 32 ← denominador común Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma.

8

1

​ ​__​ 5       ​ ___ ​   4 32      3 12 __ ___ 1  ​ ​ 5 1  ​ ​  8 32 __ 5 20 ___ ​ ​ 5  ​__​  ← mínima expresión 8

32

Usa el mínimo común denominador (m.c.d.) Haz una lista de los múltiplos de cada denominador. Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48 El mínimo común múltiplo es 8. Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _14 ​ y ​  _38 ​es 8. Escribe fracciones equivalentes. Luego suma. 1 32 2 __​ 5   ​1 _____    ​ ​    ​  5  ​__​   ​  4 432 8        3 3 __ __ 1  ​ ​              1  ​ ​      8 8 ___ 5 __ ​ ​     ← mínima expresión 8

Por lo tanto, la tejedora de chamantos compró ​ 58_ ​de kilógramo de materiales.

Más Ejemplos 1 1   Suma. __ ​ ​ 1 __ ​ ​  6

5 11   Resta. ___ ​ ​ 2 __ ​ ​  12

2

Usa un denominador común para escribir fracciones equivalentes. Luego suma. 1

1

__​      ​ ​__​        ​ 6 6      3 1 1  ​__​ 5 1  ​__​  2 6 __ 4 2 __ ​ ​ 5 __ ​  ​ 6

2 __ __ ​ ​ 5 __ ​ ​.  Por lo tanto, 1 ​ ​ 1 1 6

2

3

3

8

Halla el mínimo común denominador. Luego escribe fracciones equivalentes para restar. 11 32 22 ___ ​5      ​11 ______    ​ 5      ___   ​  ​ ​ ​         12 12 3 2 24 5 533 15 2  ​__​      5 2  ​_____​  5 2  ​___​  8 8 3 3 24 ____ 7 ___ ​   ​  24

5 11 ​ 2 __ ​ ​ 5 ___ ​  7 ​.  Por lo tanto, ​___ 12

8

24

Capítulo 7 177

Libro 5.indb 177

24-01-13 10:10


Práctica con supervisión 1. Copia el problema a la derecha. Muestra cómo restar fracciones

no semejantes escribiendo fracciones equivalentes. Escribe la respuesta en su mínima expresión.

      ​     ​  __4​ ​ 5         ​​ ___ 5 30      2  2 ​__​ 5 2 ​___    ​   6 30 __  

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 3 1 2. __​ ​ 2 __​ ​   4 8

3 __2​ 1 ___ 3. ​ ​   ​   5 10

5 1 5. ___ ​   ​ 1 __​ ​   12 3

__1​ 2 __1​ ​   4. ​ 4 7

9 1 6. ___ ​   ​ 2 __​ ​  10 2

Explica cómo puedes usar múltiplos comunes para sumar 8_​ 7​  y 3_1​ ​.  

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. __3​ 1 __1​ ​   8. ​ 5 4

__5​ 1 __1​ ​   9. ​ 8 5

1 1 10. ___ ​   ​ 1 __​ ​   12 2

7 1 11. ___ ​   ​ 1 __​ ​   10 5

3 __2​ 1 ___ 12. ​ ​   ​  7 10

__5​ 2 __3​ ​   13. ​ 6 8

__3​ 2 __1​ ​   14. ​ 4 2

__7​ 2 __1​ ​   15. ​ 8 6

3 __3​ 2 ___ 16. ​ ​   ​   7 14

5 1 17. ___ ​   ​ 2 __​ ​  12 4

Álgebra Halla el número que falta para cada j. Escribe la respuesta como fracción irreductible. __5​ 2 j 5 __3​ ​   18. ​ 8 8

__1​ 1 j 5 1 19. ​ 6

9 1 20. ___ ​   ​ 2 j 5 __​ ​   5 10

5 1 21. ___ ​   ​ 1 j 5 __​ ​  12 2

 Para 22–24, usa la ilustración. 22. Sara hace un cinturón para una muñeca usando el siguiente diseño de piedras. ¿Qué fracción de las piedras en su diseño son azules o rojas? __ ¿Cuál es la pregunta?  La respuesta es 15 ​ 2 ​ del patrón.

23.

24. Al hacer el cinturón, Sara quiere repetir el patrón de piedras tres veces. Tiene un total de 21 piedras rojas, 18 piedras azules y 19 piedras blancas. Escribe una fracción que represente el número de piedras que le quedarán.

Comprensión de los Aprendizajes 25. Eric tiene 4 bombillas rojas, 2 bombillas azules, y 6 bombillas amarillas. Si elige una sin mirar, ¿qué probabilidad hay de que elija la roja? 26. 420 4 15 5 27. Escribe dos fracciones equivalentes

24 __ ​   usando denominadores menores para 32 que 32.

178

Libro 5.indb 178

28. Preparación para la prueba  Carlos plantó 3_​ 2​   del jardín con caléndulas y 6_​ 1​  del jardín con petunias. ¿Qué parte del jardín plantó con estas flores? __1​   A ​

__5​  C ​ 6

__1​   B ​

D 1

6 2

Práctica adicional en la página 184, Grupo B

24-01-13 10:10


Variedad de patrones Recursos visuales

U

na de las artesanías de los indios americanos, más

conocidas de la antigüedad es la cestería. Diferentes tribus usaban diferentes materiales, como madera,

pasto, agujas de pino, o ramas de sauce, según lo que encontraban disponible en su entorno. Los patrones y materiales en los canastos podrían usarse para identificar a la tribu que los tejió.

Estos patrones, como los patrones en matemáticas, a

menudo seguían una regla, como: multiplica por 5 o suma ​  1_ ​. 4

Busca el patrón en esta lista de fracciones.

q E stos canastos muestran los diferentes tipos de patrones que usaban los indios americanos en las artesanías.

1 2 3 4 5 ​_ ​, ​_​,  ​_​,  ​_​,  _​  ​ 4 4 4 4 4

¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando

aumentan los numeradores? ¿Cuál es la regla del patrón? Usar recursos visuales puede ayudarte a resolver

el problema. Elige un recurso visual que te ayude a

plantear el problema o su solución. Por ejemplo, puedes usar una recta numérica para representar las fracciones. 0

2 4

1 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

Piensa: Para resolver el problema, también puedes usar recursos visuales como tiras de fracciones o modelos de fracciones.

Resolución de problemas Usa un recurso visual para resolver el problema.

1. Resuelve el problema de arriba. 2. a. ¿Cómo cambian los valores de estas fracciones cuando aumentan los denominadores?

__1​​,  2

__1​​,  3

__1​​,  4

__1​​,  5

b. ¿Cuál es la próxima fracción en el patrón?

__1​​,  _​ 1 ​ 6 n

Capítulo 7 179

Libro 5.indb 179

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

5

Sumar y restar fracciones

Estima la suma o la diferencia.

OBJETIVO: Usar el mínimo común denominador para sumar y restar fracciones.

Aprende Se midió la longitud del caparazón de una tortuga marina verde durante 2 dos años. El primer año, el caparazón creció __ 5 ​  de metro. El segundo 3 __ año, el caparazón creció 10 ​  de metro. ¿Cuánto creció el caparazón durante el período de los dos años?

1 1 1.  ​__ ​  1  ​__ ​  7 2 1 7 3.  ​__ ​  1  ​__ ​  6 8 7 2 5.  ​  ___  ​  1  ​__ ​  5 12

3 __ ​  2  ​1__ ​  2. ​ 5 8 3 3 4.  ​__ ​  2  ​__ ​  4 5

3 Ejemplo 1  Suma. __25​ ​ 1  ​ ___  ​   10

Paso

Paso

El mínimo común múltiplo de 5 y 10 es 10. 3   ​es 10. Usa el Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _25 ​ y ​  __ 10 m.c.d. para escribir fracciones equivalentes.

Suma las fracciones. Escribe la respuesta en su mínima expresión. 232 4    ​5 ___ ​    ​ ​ ​_____  532 10       3 3  1 ​ ___ ​      5 1 ​ ___ ​  10 10 ___ 7 ___ ​   ​ 

232 4 ​  1 ​_____     ​5 ___ ​    ​  532 10       3 3  1 ​ ___ ​      5 1 ​ ___ ​  10 10 ___ 

10

7  ​de metro en dos años. Por lo tanto, el caparazón de la tortuga gigante creció ​ __ 10

Ejemplo 2

El caparazón de una tortuga carey adulta mide ​ 3_4 ​de metro de longitud aproximadamente. El caparazón de una pequeña cría mide ​ 1_5 ​de metro. ¿Qué diferencia de longitud hay entre sus caparazones? 1 3 ​ ​   Resta. __ ​ ​ 2  __ 4

5

Paso

Paso

El mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20. Por lo tanto, el m.c.d. de ​ _34 ​ y ​  _15 ​ es 20. Usa el m.c.d. para cambiar las fracciones a fracciones equivalentes. 3 335 15 __ ​ ​    ​ 5      _____ ​ ​  5      ___ ​ ​   4 435 20         134 4 __​ 5 2  ​_____ 2  ​1 ​  5 2  ​ ___  ​  5 534 20 ____  

Resta las fracciones. Si es necesario, escribe la respuesta en su mínima expresión.

Idea matemática

Para sumar o restar fracciones no semejantes, halla el mínimo común denominador (m.c.d.) para escribir fracciones equivalentes. Luego suma o resta los numeradores.

3 335 15 __ ​ ​    ​ 5      _____ ​ ​  5      ___ ​ ​  4 435 20         1 34 4 _____ 2  ​__ ​ 5 2  ​1 ​5 2  ​ ___    ​  5 534 20 ____ 11 ← mínima ___ ​ ​  20

expresión

11 ​de metro. Por lo tanto, la diferencia entre las longitudes es ​ __ 20

180

Libro 5.indb 180

24-01-13 10:10


Práctica con supervisión 1. Observa el problema de la derecha. Halla la suma de las fracciones escribiendo fracciones semejantes. Escribe la respuesta como fracción irreductible

 __    ​     ​   ​__1​ 5      ​  ​       2 4 __ ​    1 ​__3​ 5 1 ​ 4 4 __ 

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. __3​ 1  ​__1​   2. ​ 4 8

7 2 3. ___ ​   ​ 2  ​__​   5 10

__1​ 1  ​__1​   4. ​ 5 6

__5​ 1  ​__1​    6. ​

__2​ 2  ​__1​    5. ​ 3

4

8

3

__ Explica cómo sabes que 20 ​ 11 ​ está reducida.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. __3​ 1  ​__1​   9. ​ __3​ 2  ​__1​   10. ​ __2​ 1  ​__1​   8. ​ 7 4 2 3 8 4 __1​   4

__5​ 2  ​__2​   11. ​ 6 3

__7​ 1  ​ 12. ​ 8

__4​ 2  ​__1​   14. ​ __1​ 1  ​__1​   15. 1 2  ​___ 13. ​  3 ​    9 6 3 10 5 2  ​___  2 ​   14

3 16. ___ ​ 3 ​ 1  ​__​   10 4

__6​  17. ​ 7

Compara. Escribe , o . en cada . __1​ 1 18. ​ 3

1 1 __1​ 1  ​__3​    __2​ ​ 2  ​__1​    __​ ​    __2​ ​ 1  __​ ​    19. ​__5​ 2  ​__1​    ___ ​ 9 ​ 2  ​__1​   20. ​ 8

3

7

6

4

10

2

4

8

C

2 m 5

3

2

Para 21–23, usa las ilustraciones. 21. ¿Cuánto más larga es la tortuga A que la tortuga B? 22. ¿Qué diferencia de longitud hay entre la tortuga carey

más grande y la tortuga carey más pequeña? 23.

¿Cuál es el error?  Sara dijo que si la tortuga C creciera 3_​ 1​  de metro más, mediría _​  3​  de metro de longitud. Describe su error. Escribe 5 la respuesta correcta.

A

3 m 4

B

2 m 3

Comprensión de los Aprendizajes 6 7 24. ​ ___ ​ 1 ___  ​   ​  5 10 10

25. ¿Cómo se escribe el decimal 0,45 en forma

de fracción? 26. ¿Cuál es el m.c.d. de 4_​ 3​  y 3_​ 1​  ?

27. Preparación para la prueba  Romina tardó _1 3​  ​  de

hora en caminar a la biblioteca y luego 4_​  1​  de hora en caminar a la casa de Ana. ¿Cuánto tiempo tardó Romina en total en caminar a ambos lugares?

A 6_​ 1 ​ de hora

__ C 12 ​ 7 ​ de hora

B 2_​ 1 ​ hora

D 4_​ 3 ​ de hora

Capítulo 7 181

Libro 5.indb 181

24-01-13 10:10


LE C C

N IÓ

6 Estrategia: Comparar estrategias OBJETIVO: Comparar diferentes estrategias para resolver problemas.

Usa la Estrategia PROBLEMA  En la clase de ciencias de Natalia, los estudiantes observan el total de precipitación mensual. Al final de cada semana, registran la cantidad de lluvia que cayó. Al final de la semana 3, había caído un total de 6_​ 5​  milímetros de lluvia, 5_​ 2​  milímetros más que la cantidad de lluvia registrada al final de la semana 2. Durante la semana 2, cayó 3_​ 1​  de milímetros más de lluvia que la semana anterior. ¿Cuál fue la cantidad de precipitación en la semana 1?

• Haz un resumen de lo que debes hacer. • ¿Qué información se da? • ¿Hay información que no usarás? Si es así, ¿cuál es?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? A menudo puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa hacer un modelo y trabajar desde el final hasta el principio.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema?

Hacer un modelo

Trabajar desde el final hasta el principio

Puedes usar barras de fracciones para hallar los datos que faltan. 1 6

1 6

1 6

1 3

1 6

1 5

1 6 1 5

1 10

5 __ 1 2 __ ​  ​5 ​ ​ 1 ​__​ 1 ___ ​ 1 ​  6

3

5

10

__ Por lo tanto, cayó 10 ​  1 ​ de milímetro de lluvia en la semana 1.

Puedes escribir una ecuación para mostrar el total de precipitación. 2 __​ 2  ​__ __​      ​     n 5  ​5 ​ 2  ​1   ​ Halla un común denominador. 5 6 3        ___​ 2  ​12 ___​ 2  ​10 ___​  n 5  ​25 30 30 30        3 1 n 5  ​ ___ ​,  or ___ ​   ​          30 10 semana 1 1 semana 2 1 semana 3 5 total n

5 1 2 __ __ __ 1 ​ ​  1 ​ ​   5 ​ ​  3

5

6

• ¿Qué otra estrategia podrías usar para resolver el problema?

182

Libro 5.indb 182

Práctica adicional en la página 184, Grupo C

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ELIGE UNA

ESTRATEGIA

1. David trabajó durante 7 2_1​ ​  horas en su proyecto de ciencias. Pasó

1 2_1​ ​  horas leyendo su revista de ciencias y 2 5_4​ ​  horas construyendo

Hacer un diagrama o dibujo

un modelo. Luego pasó el resto del tiempo haciendo carteles para el proyecto. ¿Cuántas horas pasó David haciendo carteles?

Hacer un modelo o una dramatización

Primero, usa la estrategia hacer un modelo.

Buscar un patrón

Hacer una lista organizada Hacer una tabla o gráfico

Luego, usa la estrategia trabajar desde el final hasta el principio.

Predecir y probar

Finalmente, compara las respuestas.

Trabajar desde el final hasta el principio

2. ¿Qué pasaría si David hubiera trabajado durante 6 5_4​ ​  horas en

Resolver un problema más sencillo

su proyecto de ciencias? ¿Cuántas horas habría pasado David haciendo carteles?

Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

3. David compró algunos artículos para el proyecto de ciencias.

Gastó $399 en cartulina, $120 en pegamento, y $455 en un lápiz. Si David tenía $1 570 cuando salió de la tienda, ¿cuánto dinero tenía antes de hacer las compras?

Práctica de estrategias mixtas 4. En la clase de ciencias de la señorita Gómez, 3_​ 1​  de los proyectos tenía

que ver con el clima, 6_​ 1​  tenía que ver con los terremotos, y 4_​ 1​  tenía que ver con el agua y los ecosistemas. El resto de los proyectos tenía que ver con los volcanes. ¿Qué fracción de los proyectos de ciencias tenía que ver con los volcanes?

5. Julia está construyendo una base rectangular para la estación

meteorológica de la escuela. El perímetro es 3 3_2​ ​  metros. Si el ancho es 3_​ 1​   de metro, ¿cuál es la longitud?

Para 6–9, usa la tabla. 6. Ordena las cuatro ciudades de menor a mayor según

la cantidad de precipitación que hubo el lunes. 7. ¿En qué día cayó la misma cantidad de

precipitación, mayor que cero, en dos ciudades? ¿Cuáles fueron las dos ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 8. ¿En qué día la suma de la precipitación en dos

ciudades fue igual a la cantidad de precipitación que cayó en una tercera ciudad? ¿Cuáles fueron las ciudades y cuál fue la cantidad de precipitación? 9.

Explica cómo podrías usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver uno de los problemas de arriba.

Precipitación en la cuarta región durante una semana de agosto Día

Precipitación en las comunas (milímetros) Los Vilos Illapel

Combarbalá Salamanca

LUNES

130

190

MARTES

0

0

0

170 101 0

MIÎRCOLES

0

0

0

0

JUEVES

0

DOMINGO

0

½ 210 110 101 0

130

SÃBADO

⅕ 230 110

VIERNES

110 215 ⅘

0 0

130

Capítulo 7 183

Libro 5.indb 183

24-01-13 10:10


Práctica adicional Grupo A  Estima cada suma o diferencia. 5 3 1. __​ ​  1 __​ ​   6 5

11 __4 ___ 2. ​ ​  2 ​ ​   12 7

1 8 3. ___ ​   ​  1 __​ ​   10 9

10 __2 ___ 4. ​ ​  2 ​ ​   12 7

__3​  2 __1​ ​   6. ​

2 7. ___ ​ 7 ​  1 __​ ​   11 9

__4​  2 __1​ ​   8. ​ 5 8

__3​  1 __2​ ​   9. ​ 4 3

__6​  2 __1​ ​   10. ​ 7 5

11 __1 __7​  2 __3​ ​   13. ​ ___ __2​  2 __1​ ​   12. ​ ​  1 ​ ​   14. ​ 5 9 8 4 12 4

__7​  1 __2​ ​   15. ​ 9 7

4

3

5 ​  1 ​1   __​ ​   11. ___ 12

6

13 __3 ___ 5. ​ ​  1 ​ ​   14 5

Grupo B  Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fración irreductible. 1 4 1. ​__​  1 ___ ​   ​   5 10

2. __ ​ 7​  2 __1​ ​   9 3

3 1 3. __​ ​  1 __​ ​   8 2

11 __5 ___ 4. ​ ​  2 ​ ​   12 6

__2​  1 __1​ ​   5. ​ 7 2

__8​  2 __2​ ​   6. ​

2 __3​  1 ___ 7. ​ ​   ​   5 10

__5​  2 __1​ ​   8. ​ 8 4

__3​  2 __4​ ​   9. ​ 5 7

10. ___ ​ 9 ​  2 __2​ ​   12 3

9

3

__ 12. Sandro leyó 12 ​ 5 ​  de un libro la semana pasada y 4_​ 1​  

11. Rosa cortó 3_​ 1​  del césped por la mañana

y 5_​  1​  del césped por la tarde. ¿Cuánto césped cortó? 

del libro esta semana. ¿Cuánto más del libro leyó la semana pasada? 

Álgebra

Halla el número que falta en cada . Escribe la respuesta como fración irreductible. 3 7 1 5 __ __ 13. ​​  1  5 ​ ​   14. ___ ​ 7 ​  2  5 __1​ ​   15.  2 __​ ​  5 __​ ​   8

8

12

2

4

__5​  2  5 __1​ ​   16. ​ 6 3

8

1 7 1. ​___    ​  1 __​ ​   2. 12 6

1

Grupo C  Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fración irreductible. __7​ ​  2 __1​ ​   3. 8 2

__1​ ​  1 __3​ ​   4. 4 6

__7​ ​  2 __1​ ​   5. 8 4

1 __5​  2 __1​ ​   8. ​ __3​  1 __2​ ​   9. ​ __4​  2 __1​ ​   6. ___ ​ 6 ​  1 __​ ​   7. ​ 5 6 11 3 6 2 4 5

11. Mario tardó 3_​ 2​  de hora en caminar a la escuela

y 6_​  1​  de

hora en caminar de la escuela a la biblioteca. ¿Cuánto tardó Mario en total, caminando a la escuela y luego a la biblioteca? 

Álgebra

Compara. Escribe , o . en cada

__2​  2 __1​ ​   __5​ ​  2 __1​ ​   13. ​ 3 4 6 5

__5​ ​  2 __1​ ​   7 3

11 __1 ___ 10. ​ ​  1 ​ ​   12 5

__ 12. Nancy estudió 12 ​  10​  de hora. Liliana estudió 4_​ 3​  de

hora. ¿Cuánto tiempo más que Liliana estudió Nancy? 

.

__3​  1 __1​ ​   __3​ ​  1 __1​ ​   14. ​ 8 3 4 6

__7​  2 __2​ ​   ___ 15. ​ ​ 3 ​  1 __1​ ​  8 3 10 4

184

Libro 5.indb 184

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¿Cuál es la la diferencia? diferencia?

Jugadores 4 estudiantes

Materiales

4 conjuntos de tarjetas de números (1–8)

— – —= 5

1

6

Cada jugador hace un esquema de un problema en un papel. El primer jugador mezcla las tarjetas de números y reparte 4 tarjetas a cada jugador. Con base en sus tarjetas, los jugadores tratan de formar dos fracciones que tengan la menor diferencia posible. Los jugadores muestran sus problemas de resta, colocándolos en el esquema.

8

7

5

3

1

6

4

2

2

Los jugadores resuelven los problemas de los demás para determinar cuál resulta en la menor diferencia. El jugador que plantea el problema con la menor diferencia obtiene 1 punto y vuelve a mezclar las tarjetas para la próxima ronda. Gana el juego el primer jugador que obtenga 5 puntos.

Capítulo 7  185

Libro 5.indb 185

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Repaso/Prueba del Capítulo 7 Comprueba el vocabulario y los conceptos Elige el mejor término del recuadro.        1. El — ​  ?  ​ es el menor múltiplo común de dos o más denominadores.  2. Explica cómo puedes usar barras de fracciones para sumar y restar fracciones con denominadores no semejantes.

Vocabulario fracción equivalente mínimo común   denominador (m.c.d.)

Comprueba tus destrezas Estima cada suma o diferencia. 7 2 7 2 3. ​__​  2 __​ ​   4. ​__​  1 __​ ​   5. ___ ​ 7 ​  1 __1​ ​   6. ​__4​  1 __1​ ​   7. ​__5​  2 __1​ ​   7 2 9 5 8 3 11 3 6 8

Halla la suma o la diferencia. Escribe la respuesta como fracción irreductible. 7 3 4 1 8. ​__​  2 __​ ​   9. ​__​  1 __​ ​   10. ___ ​ 8 ​  2 __3​ ​   11. ​__2​  1 ___ ​ 1 ​   12. ​__5​  2 __1​ ​   8 4 9 3 10 5 3 12 6 4

Halla la suma o la diferencia. Escríbela como fracción irreductible. 3 1 1 1 13. ​__​  2 __​ ​   14. ​__​  1 __​ ​   15. 1 2 ___ ​ 7 ​   16. ___ ​ 9 ​  1 __1​ ​   17. ​__5​  2 ___ ​ 3 ​   8 6 3 4 10 10 4 8 16

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 18. Ana usó 8_​ 7​  de taza de arándanos para hacer

pastelitos. Usó _4​ 1​  de taza de arándanos menos para hacer una tarta de arándanos. Usó 2_​ 1​   taza menos de arándanos para hacer un jugo que para hacer la tarta. ¿Qué cantidad de arándanos usó Ana para hacer el jugo? 

19. La distancia desde el centro comercial hasta

__ la biblioteca es 10 ​ 9 ​ de kilómetro. La distancia desde la biblioteca hasta el correo es 5_​ 1​  de kilómetro más que esa distancia. La distancia desde el correo hasta el supermercado es 2_​ 1​   kilómetro menos que la distancia desde la biblioteca hasta el correo. ¿Cuál es la distancia desde el correo hasta el supermercado?

Explica cómo puedes usar la estrategia trabajar desde el final hasta el principio para resolver el Problema 18. 

20. 

186

Libro 5.indb 186

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Enriquecimiento • Suma y resta de fracciones

Una fracción unitaria es una fracción que tiene el 1 como numerador. Los antiguos egipcios representaban valores menores que 1 como la suma de diferentes fracciones unitarias. 13 __1 ___ 1 1 1 __2​ ​ 5 __1​​ 1 ___ __7​ 5 __1​​ 1 __1​​ 1 __1​​ ​ ___ ​   ​ ​     ​ 5 ​​ 1 ​   ​ 1 ___ ​   ​  5 3 15 8 2 4 8 20 2 10 20

Para expresar una fracción como una fracción egipcia, se resta continuamente de la fracción original la fracción unitaria más grande posible.

Ejemplo 1

7 Expresa ​ __ 12  ​  como una fracción egipcia.

L a fracción unitaria más grande menor que

Resta la fracción unitaria.

7 1   ​ es ​__ ​ . ​  ___ 12

Deja de restar cuando la diferencia sea una fracción unitaria. Expresa la fracción egipcia como una suma de fracciones unitarias. 1 1 ​__ ​ 1 ​  ___   ​ 2 12

6 7 1 7 1   ​ 2 ​__ ​ 5 ​  ___  ​ 2 ​  ___  ​ 5 ​  ___  ​ ​  ___

2

12

2

12

12

12

__ __ Por lo tanto, 12 ​ 7 ​ 5 2_​  1​  1 12 ​  1 ​. 

Ejemplo 2

Expresa ​ _87 ​ como una fracción egipcia. La fracción unitaria más grande menor que

Resta. ​  7_8 ​ 2 ​  1_2 ​ 5 ​  7_8 ​ 2 ​  4_8 ​ 5 ​  3_8  ​ La fracción unitaria más grande menor que

​7__ ​ es 1​__ ​  . 8

​3__ ​ es 1​__ ​  .

2

8

Resta esta fracción. 3 ​__ ​ 2 1​__ ​ 5 3​__ ​ 2 2​__ ​ 5 1​__ ​ 4 8 8 8 8

4

Por lo tanto, 8_​ 7​  5 _2​  1​  1 4_​  1​  1 8_​  1​.  

Inténtalo Expresa cada fracción en forma de fracción egipcia. 3 5 2 2 1. ​__​   2. __​ ​   3. __​ ​   4. __​ ​   4

3

5

5 4 5. __​ ​   6. ​_​  5 9

6

¡Piénsalo! 1 1 Explica cómo expresar la fracción egipcia __​​ 1 __​​ 1 ___ ​ 1 ​ como una sola fracción. 2

3

12

Capítulo 7  187

Libro 5.indb 187

24-01-13 10:10


Comprensión de los Aprendizajes Capítulos 5-7

Medición y geometría

Percepción numérica

1. ¿Cuál de las opciones describe mejor el par de líneas siguientes? 

4. La tabla muestra el área terrestre de algunas

regiones.

Tamaño de Regiones Región

A líneas paralelas

B líneas secantes

C líneas perpendiculares

D líneas obtusas

eje y

2. Juan hizo la siguiente cuadrícula para mostrar la ubicación de algunas de las verduras en su jardín. 7 6 5 4 3 2 1 0

pepinos pimentones zanahorias

B (3, 6) C (4, 1) D (6, 3)

3.  Explica cómo puedes saber si una figura tiene simetría rotacional. 

48 584

Coquimbo

40 707

Del Maule

30 269

Metropolitana

15 403

A Los Lagos

C Del Maule

B Coquimbo

D Metropolitana

4 5 2

1​  ​  5 5. ​ __​  2 __

3 A ​ ___ ​   10

C 1

__1​   B ​ 3

D 1​___  3 ​  10

¿Qué par ordenado representa mejor la ubicación de los tomates?  A (1, 4)

Los Lagos

¿Qué región tiene un área terrestre que es casi el doble más grande que la región Metropolitana? 

tomates 1 2 3 4 5 6 7 eje x

Área terrestre (en kilometros cuadradas)

6. 2 8_7​ ​  1 4 8_3​ ​  5

1 A 6 __​ ​   8

C 6 __ ​ 5 ​ 

B 6 __ ​ 1 ​  

D 7 __ ​ 1 ​ 

7.

4

de 6_​  1​  y 9_​ 4​.  

8 4

Explica cómo hallar la suma

188

Libro 5.indb 188

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Álgebra

11. La suma de p y q es igual a 25. Si p 5 18,

¿qué ecuación se puede usar para hallar el valor de q? 

8.

(15 1 9) 4 (4 2 3) 5

A 24

B 23

A p 1 18 5 25

C 21

B p 1 q 5 18 1 25

D 3

C 18 1 q 5 25

D q 2 18 5 25

12.

¿Cuál expresión tiene el mayor valor: 16 2 (19 2 15) o 15 2 (19 2 16)? Explica tu respuesta.

9. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa

el área (  A) del rectángulo en centímetros cuadrados?

8 cm 16 cm

13. El mínimo común denominador de las 3 4 5   es: fracciones __​  , __​,  ___ 8 6 12

A A 5 (2 3 16) 1 (2 3 8)

A 12

B A 5 16 3 8

B 24

C 16 5 A 3 8

C 48

D 16 5 (2 3 A) 1 (2 3 8)

D 72

10. Una mamá hace una torta para su esposo y sus

tres hijos: Hernán, Rodrigo y Carmen. De ella Hernán se come la mitad, rodrigo la tercera parte y carmen una sexta parte. Entonces, al papá le dejaron.

__1​  A ​ 3 B 3

C 24

D Nada

1 1 1 14. El resultado de la adición __ ​ 1 __​   1 __  es: 2 3 6

A ​1

__1  B ​ 2

__5​  C ​ 6

D ___  3 ​  11

Capítulo 7 189

Libro 5.indb 189

24-01-13 10:10


Repaso/Prueba de la unidad Opción múltiple

4. Ricardo tarda 4_​ 1​  de hora para ir en bicicleta

hasta la casa de Juan y 3_1​ ​  de hora para ir en bicicleta desde la casa de Juan hasta el área de juego. ¿Cuánto tiempo tarda Ricardo para ir en bicicleta hasta la casa de Juan y luego hasta el área de juego? 

4 1. __3​ ​  1 __​ ​  5 8

8

12 A ​___  ​  

__7​  B ​

7 C ___ ​   ​ 

7 D ___ ​   ​ 

8

8

16 64

2. La familia Durán tardó 4 ​4_3 ​  horas para conducir

hasta Puerto Varas. Si se detuvieron en un parque durante 1 ​4_1 ​  horas, ¿cuánto tiempo condujeron en realidad? 

A 1 ​__1​ horas

B 1 ​__3​ horas

C 2 ​__1​ horas 4

D 3 ​__1​ horas

4

4

2

1 A ___ ​   ​  de hora

B ​17__​  de hora

__2​  de hora C ​ 7

7 D ___ ​   ​  de hora

12

12

1 1 5. 1 ​__​  1 2 ​__​  5  6 3

A 3 ​__2​ 

B 3 ​__1​ 

9 2

C 3 ​__3​  4

D 4 ​__1​  2

6. Luna está controlando su consumo de frutas

para un proyecto de salud. El lunes comió 2 ​4_1 ​  tazas de fruta. El martes comió 1 ​4_3 ​  tazas de frutas. ¿Cuánta más fruta comió Liza el lunes que el martes?

__3​  2 ___ 3. ​ ​ 1 ​  5    5 10

3 A ___ ​   ​ 

__2​  B ​ 5

A ​__1​ de taza

__1​  C ​

__1​ taza B ​

7 D ___ ​   ​ 

__3​ de taza C ​

D 1 taza

10

2

10

4 2 4

190

Libro 5.indb 190

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7. 9  ​___  5 ​  2 4 ​___  7 ​  5 12 12

A 4  ​__5​ 

11 B 4 ​___ ​ 

C 5  ​___  1 ​ 

D 5   ​__5​ 

6

12

12 6

__2​  3 __​1​  5   8. ​ 3 2

A ​__1​ 

__2​  B ​ 5

__1​  C ​

D

3

Respuesta breve 11. La clase de la señora Bueno realizó una

excursión a un parque. Antes de almorzar, caminaron 4_​  3​  de kilómetro. Después de almorzar, caminaron 3_​ 1​  de kilómetro más. ¿Aproximadamente cuántos kilómetros caminó en total la clase? Muestra tu trabajo.  12. El cocinero de un restaurante preparó

2 ​2_1 ​  ollas de salsa para espaguetis. Después de servir la comida, le quedaron 4_3​ ​  de olla de salsa. ¿Cuántas ollas de salsa para espaguetis sirvió en la comida? Muestra tu trabajo. 

13. Una jarro contiene la cantidad de jugo que se

muestra a continuación.

2

3 ​__​  5

9. Hariana tiene 2 metros de cinta para usar en un

proyecto de artesanía. Necesita cortar la cinta en pedazos que tengan un largo de 4_​ 1​  de metro. ¿Cuántos pedazos de cinta tendrá Mariana? 

A 4

B 6

C 8

D 10

10. En un curso hay 17 mujeres y 15 hombres. Si

a final de año se retiran del curso 3 hombres y llegan 5 mujeres, ¿qué fracción del curso representan los hombres ahora? 3 8 B 6 11 C 1 3 D 6 17

Dante vierte 4_3​ ​  de taza de jugo en cada vaso. ¿Cuántos vasos puede llenar? ¿Cuánto jugo le sobra?

Respuesta desarrollada 14. El viernes, una planta de tomate tenía una

altura de 3_​ 2​  de metro. Había crecido 6_​ 1​  de metro desde el miércoles hasta el viernes. Había __ crecido 12 ​  1 ​ de metro del lunes al miércoles. ¿Cuánto medía la planta el lunes? Explica tu respuesta. 

A

__ 15. El señor Moraga ahorró 10 ​ 1 ​ de su sueldo.

Luego pagó cuentas con la mitad de lo que le quedaba. Su sueldo era de $500 000 ¿Cuánto dinero le queda? Explica tu respuesta.

Capítulo 7 191

Libro 5.indb 191

24-01-13 10:11


De aquí y de allá AL

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

Resolución de Problemas

¡Escucho

una sinfonía!

L

a Filarmónica de Los Angeles es una orquesta famosa en todo el mundo por su encantadora música. Se creó en 1919. La orquesta normalmente interpreta música clásica de compositores como Johann Sebastian Bach y Johannes Brahms. La participación de la comunidad es importante para la Filarmónica de Los Angeles. Cada verano realiza un concierto al aire libre para los niños, llamado Sonidos del Verano. También presenta sinfonías para las familias y programas para estudiantes de los grados 3 a 12.

Piezas de compositores interpretadas en un mes. Compositor

5 

Número de piezas interpretadas

Bach

3

Brahms

3

Mozart

6

Schubert

2

Strauss

8

Telemann

2

Usa la tabla para responder las preguntas.

1 ¿Qué fracción de las piezas interpretadas eran composiciones de Mozart?

2 ¿Qué fracción de las piezas interpetadas eran composiciones de Brahms y Strauss?

3 ¿Cuáles dos compositores juntos representan ​  _16  ​del total de piezas interpretadas por la sinfonía?

4 Escribe una desigualdad en la que se compare la fracción de piezas de Bach y la fracción de piezas de Schubert que fueron interpretadas.

Explica cómo hallaste la respuesta para el Problema 4.

192

Libro 5.indb 192

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Muchas

voces, una orquesta

La Orquesta Juvenil de Linares fue creada en el año 2005 por dos profesores de música, dos años más tarde se fundó la orquesta Infantil de Linares

¿Cómo se llama un grupo grande de músicos? Los dos términos, orquesta y banda son correctos, pero los dos grupos musicales son diferentes. Las orquestas tienen cuatro secciones: metales, percusión, instrumentos de viento de madera y cuerdas. Las bandas de música no tienen una sección de cuerdas.

PERCUSIÓN Triángulo

Xilófono

Contrabajos Cornos franceses

Tambor

METALES

Platillos Timbales

Clarinetes

Fagots

Trompetas

VIENTOS Bombo

Tuba

Trombones

Piccolo Flautas

Violas

Gong

Oboes

CUERDAS Arpa

Violines Campanas

CUERDAS

DIRECTOR

Violoncelos

La sección de cuerdas de una orquesta incluye violines, violas, 63 violoncelos, contrabajos y un arpa. Las cuerdas conforman ____ ​ 100 ​ de la orquesta que se ve arriba.

1 Diseña tu propio grupo de músicos. uDecide el número de miembros que estarán en tu grupo. uElige un instrumento para cada miembro. Puedes usar el diagrama de arriba como referencia. u¿Cuántos instrumentos de cada grupo necesitarás? u¿Qué fracciones puedes usar para describir cada parte de tu grupo?

2 Describe cómo cambiarán las fracciones si un miembro de tu grupo no puede tocar.

Capítulo 7 193

Libro 5.indb 193

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3

Libro 5.indb 194

Operaciones decimales

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Matemática en Contexto ¿Qué cálculos se usan en Matemática en Contexto? ¿Cómo puedes hallar una medición precisa del ancho de los teléfonos celulares que se muestran?

REPASO DEL VOCABULARIO  Cuando aprendiste decimales  Un nuevo diseño para un teléfono celular empieza con un dibujo que muestra cómo se unen las pieza para que sea sencillo de usar y sostener.

y valor posicional, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? decimales equivalentes decimales que representan el mismo número o la misma cantidad redondear reemplazar un número por otro que es más sencillo y tiene aproximadamente el mismo valor que el número original milésima una parte de mil partes iguales

Copia y completa un cuadro como el que sigue usando lo que sabes sobre los triángulos.  Los teléfonos celulares son mucho más pequeños de lo que eran antes, a pesar de que tienen una cantidad de funciones adicionales.

 Para medir teclas o el espesor de la cubierta de metal, se necesitan unidades decimales.

Capítulo 8 195

Libro 5.indb 195

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8

Valor posicional: Comprender los decimales La idea importante 

Los valores posicionales que están a la derecha de la coma decimal en el sistema de base diez nombran los números menores que uno.

Investiga Quieres comprar una computadora nueva. La siguiente tabla muestra la velocidad de los diferentes procesadores disponibles a la venta. Elige dos procesadores diferentes y compara su velocidad. ¿Qué procesador proporciona la velocidad mayor?

Procesadores de computadora Procesador

Velocidad (GHz)

Intel Pentium 4

3,8

Intel Xeon

2,8

Intel Core Duo

1,83

AMD Anthlon 64

2,4

PowerPC G5

1,9

Chile

DATO BREVE

La carrera computacional en Chile comenzó en 1961, con el primer computador digital, correspondiente al IBM 1401, adquirido por la Aduana de Valparaíso, el cual poseía sólo 4 kb de memoria.

196

Libro 5.indb 196

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 8.

u Comparar y ordenar números enteros Compara. Escribe ,, . o = en cada .

1. 572  800

2. 635  599

5. 3 404  3 440

6. 52 008  52 100 7. 90 523  90 098

3. 706  760

4. 3 926  3 906 8. 146 025  146 025

Escribe los números en orden, de menor a mayor.

9. 4 032; 4 203; 3 402; 4 320

10. 25 046; 25 406; 50 256; 45 620 

11. 73 801; 38 710; 187 039

12. 182 950; 208 109; 102 985

u Modelos decimales Escribe en forma de decimal.

13.  

14.  

15.  

16.  

17.

18.  

Escribe los números de otras dos maneras.

19. cuatro y siete décimas

20. 10 1 0,3

21.  200 1 5 1 0,9

22.  5,2

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

decimal decimales equivalentes centésima décima milésima

PREPARACIÓN

centésima una de cien partes iguales milésima una de mil partes iguales decimales equivalentes decimales que representan el mismo número o la misma cantidad

Capítulo 8  197

Libro 5.indb 197

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LE C C

N IÓ

1

Valor posicional de los decimales OBJETIVO: Leer y escribir decimales hasta las centésimas.

El hombre más alto del mundo mide 2,36 metros y su esposa mide solo 1,68 metros.

Aprende Un decimal nombra enteros y partes de un entero. Una centésima es una de cien partes iguales. Los siguientes modelos muestran el decimal 0,52 o 52 centésimas. 50 100

55 100

60 100

0,50 0,52

0,55

0,60

Vocabulario centésima

___   ​Lee: cincuenta y dos centésimas Escribe: 0,52 o ​ 52 100

PROBLEMA  Aumenta la estatura promedio de los chilenos. La media actual es 1,69 metros de altura.

Ejemplo 1  Usa una tabla de valor posicional. Unidades

Décimas

Centésimas

6

9

11

6  0,1

9  0,01

1

0,6

0,09

1

.

El valor de cada lugar de un decimal es diez veces el valor del lugar a su derecha.

Por lo tanto, el valor del dígito 9 es 9 centésimas, o 0,009. Puedes escribir un decimal en forma normal, en palabras y en forma desarrollada.

Ejemplo 2  Escribe 5,87 de otras dos formas. Forma normal: 5,87

En palabras: cinco y ochenta y siete centésimas

Forma desarrollada: 5 1 0,8 1 0,07

ADVERTENCIA ADVERTENCIA Cuando leas o escribas en palabras un decimal mayor que uno, acuérdate de incluir la letra y para indicar la coma decimal.

Práctica con supervisión 1. Copia y completa para hallar el valor de cada dígito. Unidades

Décimas

Centésimas

2

6

8

21

 3 

 3 

2





198

Libro 5.indb 198

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Escribe el valor del dígito subrayado. 2. 1,93

3. 0,76

4. 0,39

5. 8,61

6. 7,92

Explica cómo usar un modelo para mostrar el decimal 0,36.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe el valor del dígito subrayado. 8. 0,62 9. 8,03 10. 1,49

11. 25,94

12. 0,45

13. 3,27

16. 6,54

17. 16,21

14. 0,43

15. 0,81

Escribe cada número de otras dos formas. 18. 0,87

19. 0,29

20. 3,36

21. 8,17

22. 1 1 0,06

23. 10 1 4 1 0,05

24. 5 1 0,4 1 0,03

25. 10 1 2 1 0,04

26. quince y setenta y tres centésimas   27. uno y treinta y siete centésimas

USA DATOS Para 28–30, usa la tabla.

Estaturas medias de países sudamericanos

28. Escribe la estatura promedio de los venezolanos.

País

Estatura en metros

Colombia

1,68

México

1,67

Venezuela

1,69

Argentina

1,72

29. Razonamiento Hay 10 decímetros en un metro.

Escribe la estatura del promedio de los chilenos en decímetros, en forma desarrollada. 30.

Los brasileños miden un metro sesenta y siete centímetros de estatura promedio. ¿Qué otro país tiene la misma estatura promedio que los brasileños? Explica cómo lo sabes. 

Comprensión de los Aprendizajes    31. ​    4 520 990   ​      2  ___ 970 620

32. En 2011, el aeropuerto Pudahuel fue utilizado

por 10 315 319 pasajeros. ¿Cuál es este valor redondeado a la unidad de mil más cercana?

Práctica adicional en la página 212, Grupo A

Libro 5.indb 199

33. Escribe el número 4 009 721 en palabras. 34. Preparación para la prueba  ¿Cuál muestra la

forma normal de tres y cinco centésimas? A 3 500

C 3,5

B 30,5

D 3,05

Capítulo 8 199

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Representar milésimas

Escribe cada número en palabras.

OBJETIVO: Usar modelos para comprender, leer y escribir decimales hasta las milésimas.

1. 0,3 2. 1,9  3. 0,72

4. 2,28

5. 4,06

Vocabulario Materiales ■ cuadrado decimal ■ lápices de colores ■ escuadra

milésimas

Puedes hacer un modelo para comprender los decimales hasta las milésimas. Empieza con un cuadrado decimal. El cuadrado decimal representa un entero. Divide el cuadrado en 10 rectángulos iguales. Con un color, sombrea uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado? Divide cada rectángulo en 10 cuadrados iguales. ¿Cuántas partes tendrá el modelo? Usa un segundo color para sombrear uno de los cuadrados. ¿Qué parte del entero representa el cuadrado sombreado? Divide uno de los cuadrados en 10 rectángulos iguales. Si cada cuadrado se divide en 10 rectángulos iguales, ¿cuántas partes tendrá el modelo? Usa un tercer color para sombrear uno de los rectángulos. ¿Qué parte del entero representa el rectángulo sombreado?

Sacar conclusiones 1. ¿Qué parte de tu modelo muestra una décima, y

cuál muestra una centésima? Explica en qué se diferencian. 2. ¿Qué parte de tu modelo muestra una milésima?

Explica cómo lo sabes. 3. Compara tu modelo con los de otros compañeros.

¿Qué conclusión sacas? Explica tu respuesta.  4. Análisis  ¿Cómo puedes usar un cuadrado decimal

para mostrar 0,251? Explica. 

200

Libro 5.indb 200

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También puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal.

El valor de cada lugar de un decimal equivale a diez veces el valor del lugar que está a su derecha.

Unidades Décimas Centésimas Milésimas 2

2

2

2

21

2  0,1

2  0,01

2

0,2

0,02

2  0,001 0,002

valor

El número que se muestra en la tabla de valor posicional es 2,222. Puedes escribir un decimal en forma normal, en forma desarrollada y en palabras. Forma normal: 3,756 Forma desarrollada: 3 1 0,7 1 0,05 1 0,006 En palabras: tres y setecientos cincuenta y seis milésimos

Explica cómo puedes usar patrones cuando se usa el valor posicional para comprender decimales.

Escribe el decimal que corresponde a la parte sombreada. 1.

 2.

Escribe el valor del dígito subrayado. 3. 0,537

4. 0,059

5. 1,407

6. 2,006

 7. 1,014

8. 1,725

9. 0,089

10. 3,506

11. 0,246

12. 2,159

Escribe cada número de otras dos formas. 13. dos y tres milésimas

14. 0,093

15. 3 1 0,4 1 0,07 1 0,001

16. 6,553

17. 5 1 0,08 1 0,009

18. ochenta y seis milésimas

19.

Explica cómo usar una tabla de valor posicional para mostrar el valor de cada uno de los dígitos de un decimal hasta las milésimas.

Capítulo 8 201

Libro 5.indb 201

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

3

Decimales equivalentes

4 1. 3, 5 3​  ___  ​ 10  2. 1,9 5 1​  ___  ​ 10 52 3. 7, 5 7​  ____   ​ 100  4. 9,84 5 9​  ____    ​ 100 3 5. 12, 5 12​  ___  ​ 10

OBJETIVO: Identificar y escribir decimales equivalentes.

Aprende PROBLEMA  El “saca tu real” es un pájaro que habita en Chile y Argentina. Se alimenta de insectos y anida en árboles a 2,5 metros del suelo. Escribe un decimal equivalente a 2,5.

Vocabulario

Los decimales equivalentes son nombres diferentes para el mismo número o para la misma cantidad. En la siguiente tabla de valor posicional se han colocado ceros a la derecha del dígito 5 para crear decimales equivalentes.

decimales equivalentes

Unidades Décimas Centésimas Milésimas 2

5

2

5

0

2

5

0

Puedes agregar ceros a la derecha del último dígito en un decimal sin que cambie el valor del decimal.

0

Por lo tanto, los decimales 2,50 y 2,500 son equivalentes a 2,5. Puedes usar modelos para determinar si dos decimales son equivalentes.

Ejemplos  Traza un modelo para cada decimal. Escribe equivalente o no equivalente para describir cada par de decimales.  0,3 y 0,30

0,3

 0,5 y 0,05

0,30

El área sombreada en los dos modelos es del mismo tamaño. Por lo tanto, 0,3 es equivalente a 0,30.

0,5

0,05

El área sombreada en los dos modelos no es del mismo tamaño. Por lo tanto, 0,5 no es equivalente a 0,05.

•  Diez centésimas son equivalentes a una décima. ¿Cuántas décimas son equivalentes a 1? Usa un modelo para explicar tu respuesta. 

Práctica con supervisión 1. Haz un modelo para 0,4 y 0,40. Luego, explica en qué forma los

modelos te ayudan a decidir si los decimales son equivalentes. ¿Son equivalentes los decimales?

202

Libro 5.indb 202

24-01-13 10:11


Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par de decimales. 2. 3,7 y 3,70

3. 0,06 y 0,006

4. 8,90 y 8,09

5. 2,5 y 2,5

6. 0,52 y 0,520

7. 7,8 y 7,08

8. 0,9 y 0,09

9. 0,42 y 0,420

Explica cómo puedes determinar si 1,206 es equivalente a 1,026.

10.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par de decimales. 11. 2,09 y 2,90

12. 5,003 y 5,03

13. 12 y 12,0

14. 9,01 y 9,010

15. 3,26 y 3,260

16. 4,01 y 4,011

17. 6,004 y 6,04

18. 7,08 y 7,80

Escribe un decimal equivalente para cada número. 19. 0,09

20. 1,430

21. 0,6

22. 2,400

23. 5,08

24. 0,700

25. 4,08

26. 8,90

29. 1,006

30. 0,5900

Marca los dos decimales que son equivalentes. 27. 6,03

28. 0,041

6,300 6,030

0,0401 0,0410

1,600 1,6000

USA DATOS Para 31–33, usa la tabla.

Promedio de altura y masa de la grulla

31. Escribe dos decimales equivalentes para

el peso de la grulla damisela. 32. ¿Cuáles dos grullas tienen pesos equivalentes?

¿Son equivalentes las alturas de estas dos grullas? 33.

0,059 0,59

¿Cuál es la pregunta?  En promedio, la grulla del paraíso tiene una altura de 1,23 metros. La respuesta es grulla canadiense.

Nombre

Altura (en metros)

Peso (en kilogramos)

Grulla canadiense

1,23

4,55

Grulla carunculada

1,85

6,36

Damisela

0,92

2,50

Sarus

1,85

6,36

Comprensión de los Aprendizajes 34. ¿Cuál expresión tiene el mayor valor,

3 1 (8 3 4) o (3 1 8) 3 4? 35. Estima la suma 638,299 1 196,500. 36. ¿Cómo se escribe seis décimas en forma de

decimal?

37. Preparación para la prueba  Julio caminó

2,75 kilómetros hasta la cascada. ¿Cuál de los decimales es equivalente a 2,75? A 2,075 C 2,750 B 2,705 D 2,755

Práctica adicional en la página 212, Grupo B

Libro 5.indb 203

Capítulo 8 203

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

4

Cambiar a decimas pé y a centésimas

Escribe un decimal equivalente.

OBJETIVO: Comprender los decimales y escribirlos en forma de fracciones y de números mixtos con décimas y centésimas.

1. 0,3

2. 0,45

3. 1,090

4. 3,270

5. 0,800

Aprende PROBLEMA  El Parque Pumalín está ubicado en la provincia de Palena. Entre los numerosos senderos que posee, está el sendero Cascadas escondidas de aproximadamente, 3,75 kilómetros de largo. ¿Cómo se escribe la longitud del sendero en forma de número mixto? Usa un modelo decimal.

1 1 1 1 1 1

75 0,75 o ​ ____  ​  100

Piensa: 3,75 se compone de 3 enteros y 0,75 de un entero. Por lo tanto, escrita en forma de número mixto, la longitud del sendero es 75 de 3​  ___     ​ kilómetros. 100

Usa el valor posicional.

Recuerda Un número mixto se representa mediante un número entero y una fracción.

Escribe 2,5 en forma de número mixto con centésimas. 2,5 5 2,50

Escribe un decimal equivalente con centésimas.

2,50 5 dos y cincuenta centésimas  Escribe el decimal en palabras. 50 5 2 ​ ____  ​   Escribe el número mixto. 100

50 Por lo tanto, escrito en forma de número mixto con centésimas, 2,5 es 2 ​ ___     ​. 100

Más ejemplos  Escribe 0,80 en forma de fracción con décimas. 0,80 5 0,8  decimales equivalentes 0,8 5 ocho décimas 8  ​  5 ​ ___

 Escribe 0,62 en forma de fracción con centésimas. 0,62 5 sesenta y dos centésimas 62 5 ​ ____  ​  100

10

204

Libro 5.indb 204

24-01-13 10:11


Práctica con supervisión 1. Mira el modelo de la derecha. Escribe un número decimal y un

número mixto para el modelo. Escribe cada decimal en forma de fracción o de número mixto con décimas y con centésimas. 2. 0,3 5.

3. 0,80

4. 5,6

Explica cómo un decimal escrito en palabras te puede ayudar a escribir una fracción o un número mixto con décimas o con centésimas.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe cada decimal en forma de fracción o de número mixto con décimas y con centésimas. 6. 1,4

7. 0,6

8. 3,20

9. 2,6

10. 0,70

11. 0,8

12. 5,2

13. 11,30

14. 4,6

15. 0,90

Completa.  16. 1,45 5 1 ​  ____   ​ 100

3  18. 2,3 5 2 ​  ___  ​ 5 2 ​  ____   ​ 100 10

 17. 3,97 5 3 ​  ____   ​ 100

USA DATOS Para 19–21, usa el texto del cartel. 19. El sendero Quebrada de Chorrillos, cerca de Bahía Inglesa, mide ___   ​kilómetros de largo. ¿Qué sendero tiene la misma longitud que 1 ​  50 100 el sendero Quebrada de Chorrillos? Explica cómo lo sabes.

20. Plantea el problema  Una vuelta alrededor de una pista mide

​  1_4   ​de kilómetro. Usando esta operación y los datos, escribe un problema sobre un decimal equivalente.

21.

¿Cuál es el error?  El sendero de El Toro, en Laguna Laja, tiene la misma longitud que otro sendero que 8     ​kilómetros. Describe el error de este enunciado. mide 3 ​  ___ 100

Senderos d e Laguna Laj a

Los Pan gues - L os Tatas ; 1,5 kiló El Toro: metros 3,8 kiló metros Circuit o Las C hilcas: 2 kilóm etros

Comprensión de los Aprendizajes 22. ¿Qué decimal representa el punto que está en la recta numérica?

23. Si m 5 280, ¿cuál es el valor de 423 2 m? 24.  Preparación para la prueba  ¿Cuál de las

opciones muestra 2,30 en forma de número mixto? 3 30 A  ​  ___ ​ C 2  ​ ___   ​ 10 10 3 30 B 2 ​  ____     ​ D 2 ​  ____   ​ 100 100

Práctica adicional en la página 212, Grupo C

Libro 5.indb 205

Capítulo 8 205

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

5 Comparar y ordenar decimales

Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par.

OBJETIVO: Usar modelos y el valor posicional para comparar y ordenar decimales.

1.  0,06 y 0,60

Aprende

2.  3,5 y 3,50 3.  4,09 y 4,090

PROBLEMA  Un entomólogo, científico que estudia los insectos, compara la longitud de dos chinitas, también conocidas como vaquitas de San Juan, las que miden 0,528 y 0,534 centímetros de largo. ¿Cuál vaquita de San Juan tiene la mayor longitud? Usa una recta numérica. 0,5280 0,52

5.  0,78 y 0,780

Recuerda

0,534

0,53

4.  5,201 y 5,021

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

0,54

Dado que 0,534 está a la derecha de 0,528, 0,534 . 0,528. Por lo tanto, la vaquita de San Juan que mide 0,534 centímetros tiene la mayor longitud. Usa el valor posicional. Compara 3,25 y 3,254.

Paso

Paso

Paso

Paso

Alinea los puntos decimales. Comienza por la izquierda. Compara las unidades.

Compara las décimas.

Compara las centésimas.

Para comparar las milésimas, escribe un decimal equivalente a 3,25. Luego, compara.

3,25 3,254  iguales

3,25 3,254  iguales

3,25 3,254  iguales

3,250 3,254  0 , 4

Por lo tanto, 3,25 , 3,254, o 3,254 . 3,25.

Ejemplo  Usa el valor posicional. Ordena 4,137, 4 y 4,19 de menor a mayor. Paso

Paso

Paso

Alinea los puntos decimales. Escribe decimales equivalentes.

Comienza por la izquierda. Compara los dígitos hasta que sean diferentes.

Continúa comparando.

4,137 4,000 4,190

4,137 4,000 4,190

4,137 4,190

0,1

3,9 4,190 es mayor.

4,000 es menor.

Por lo tanto, el orden es 4; 4,137; 4,19.

206

Libro 5.indb 206

24-01-13 10:11


Práctica con supervisión 1. Copia la recta numérica. Ubica 0,72 y 0,7 en la

0,7

recta numérica. Luego, compara los decimales.

0,75

0,8

Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 2. 5,43  5,432 5.

  3. 0,28  0,208

  4. 9,39  9,9

Explica cómo usar el valor posicional para ordenar 1,567; 1,571 y 1,556 de mayor a menor.

Práctica independiente y resolución de problemas Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 6. 0,972  0,98 9. 10,3  1,898

7. 4  0,79

8. 3,602  3,082

10. 6,7  6,701

11. 0,749  0,769

13. 6,0; 6,498; 6,52; 6,490

14. 5,6; 9; 6,8; 8,005

Ordena de menor a mayor. 12. 0,123; 0,32; 0,113; 0,2

Halla todos los dígitos que pueden reemplazar cada .   15. 9,77 , 9,770 16. 0,28 . 0,284 USA DATOS Para 18–20, usa la tabla.

Longitud de los escarabajos joya

18. ¿Cuál escarabajo es el más largo? ¿Cuál escarabajo

es el más corto? 19. Razonamiento  Imagina que se midió otro escarabajo

con una longitud de 0,84 centímetros. ¿En qué lugar de la tabla se ubicaría la longitud de este escarabajo? 20.

17. 2,356 . 2,83

Ordena de menor a mayor las longitudes de los escarabajos de la tabla. Explica cómo ordenaste las longitudes. 

Escarabajo

Longitud (en centímetros)

A

0,730

B

1,215

C

0,608

D

5,000

Comprensión de los Aprendizajes 21. ¿Qué clase de líneas forman ángulos rectos

cuando se intersectan? 22. Escribe si 1,3 y 1,30 son equivalentes o no son

equivalentes. 23. 5 3 1 000 5 

Práctica adicional en la página 212, Grupo D

Libro 5.indb 207

24. Preparación para la prueba  Tomás recibió los

siguientes puntajes en una competencia de buceo. Se debe eliminar el puntaje más bajo. ¿Cuál puntaje será eliminado? A 8,400

C 9,075

B 8,175

D 8,250

Capítulo 8 207

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

6 Estrategia: Hacer un diagrama

OBJETIVO: Resolver problemas por medio de diagramas.

Aprende la estrategia Hacer un dibujo o un diagrama te puede ayudar a entender un problema y a visualizar la solución. Puedes usar diferentes tipos de diagramas para diferentes tipos de problemas.

Un diagrama puede mostrar orden o posición. Hernán mide 1,63 metros de estatura, Brenda mide 1,59 metros y Raúl mide 1,71 metros.

Un diagrama puede mostrar tamaño. La masa de una bolsa de manzanas pesa aproximadamente 1,5 kg más que tres veces la masa de una bolsa de naranjas. La masa total de las bolsas es de 3,5 kg.

Un diagrama puede mostrar un patrón. Erica está haciendo un collar con cuentas moradas y rosadas. Cada cuarta cuenta es rosada. ¿Cuáles son algunas de las preguntas que se pueden responder usando cada uno de los diagramas anteriores?

Para hacer un diagrama, sigue atentamente la información dada en el problema. Haz que el diagrama sea sencillo. Rotula las partes para mostrar lo que representan.

208

Libro 5.indb 208

24-01-13 10:11


Usa la estrategia PROBLEMA  Los miembros de la familia de Jessica mantuvieron un registro del número de kilómetros que viajaron cada día durante las vacaciones. El lunes, la familia recorrió 87,3 kilómetros; el martes, 88,75 kilómetros; el miércoles, 87,6 kilómetros, y el jueves, 88,4 kilómetros. ¿Qué día recorrió la familia de Jessica la mayor distancia?

Destreza • ¿Cómo puedes resumir lo que te piden hallar? de lectura • ¿Qué información se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Para resolver el problema, puedes hacer un diagrama.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Traza una recta numérica para comparar las distancias.

Traza una recta numérica desde 87,0 hasta 89,0.

Ubica cada número en la recta numérica.

Una recta numérica muestra los números de menor a mayor.

87.3 87.0

87.6

88.4

88.75

88.0 menor

89.0 mayor

En una recta numérica, el número mayor está a la derecha.

Por lo tanto, la familia de Jessica recorrió la mayor distancia el día martes.

• ¿De qué otras maneras podrías resolver el problema? • ¿Cómo sabes que la respuesta es correcta?

Capítulo 8 209

Libro 5.indb 209

24-01-13 10:11


Resolución de problemas con supervisión 1. Cada día, la familia de Jessica se detenía al mediodía para almorzar.

El lunes antes del almuerzo, la familia recorrió 45,91 kilómetros; el martes, 44,83 kilómetros; el miércoles, 45,48 kilómetros, y el jueves, 44,38 kilómetros. ¿Qué mañana recorrió la familia la menor distancia antes de almorzar? Primero, traza una recta numérica. Luego, ubica cada número en la recta numérica. Finalmente, usa la recta numérica para ordenar las distancias de menor a mayor. 2. ¿Qué pasaría si el lunes, antes de almorzar, la familia de Jessica hubiera recorrido 44,95 kilómetros? ¿Qué mañana habría recorrido la familia la mayor distancia antes de almorzar?

 ;  ;  ; 45,91 3. Jessica, su hermano Samuel; su madre Nancy;

y su padre, Alberto, son las cuatro primeras personas en la fila para almorzar. Samuel no es el primero de la fila. Hay por lo menos dos personas delante de Jessica en la fila. Alberto es el tercero. Da el orden del primero al último.

Resolución de problemas • Práctica de estrategias Haz un diagrama para resolver. 4. Félix está manejando su auto desde Arica hasta Puerto Montt. El lunes,

recorrió 795,6 kilómetros; el martes, 822,2 kilómetros; el jueves, 799,7 kilómetros, y el viernes, 782,5 kilómetros. ¿Qué día manejó Félix la mayor distancia? USA DATOS Para 5–7, usa la tabla. 5. En Isla de Pascua, anualmente, reciben un total

aproximado de 39,4 miles de visitantes cada año. El número de visitantes de origen alemán es aproximadamente 0,2 miles más que el doble de visitantes de origen australiano. ¿Aproximadamente cuántas personas australianas visitan Isla de Pascua, cada año? 6. ¿Cuál es la nacionalidad de la mayor parte de los

turistas que visitan Isla de Pascua? ¿De qué país llegan menos turistas a Isla de Pascua? ¿De qué nacionalidad es la mayoría de los turistas que llegan a Isla de Pascua? 7.

Turistas por nacionalidad en Isla de Pascua Nacionalidad

Número de turistas (miles de personas)

Chile

11 260

EE.UU.

4 275

Francia

3 252

Japón

2 785

Alemania

1 712

Describe cómo el uso de un diagrama te puede ayudar a ordenar el número de visitantes de Isla de Pascua, de menor a mayor.

210

Libro 5.indb 210

24-01-13 10:11


Práctica de estrategias mixtas

ELIGE UNA

USA DATOS Para 8–11, usa el mapa y el horario de autobuses.

Hacer un diagrama o dibujo

ESTRATEGIA

Hacer un modelo o una dramatización

8. El horario de buses Santiago a Peñaflor

se muestra en la tabla. ¿Cuál ruta toma la menor cantidad de tiempo?

Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfica

9. Cuatro autobuses se dirigen de Santiago a

Predecir y probar

Peñaflor. El autobús A va por la Autopista del Sol, que toma la menor cantidad de tiempo. El autobús B va por la ruta Padre Hurtado, que llega a Santiago a las 11:30 p.m. El autobús C va por la ruta Camino Melipilla, que toma 1,5 horas. El autobús D va por una ruta que toma 2,5 horas. Indica la ruta y el tiempo que toma cada autobús para llegar a Santiago.

Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

10. El señor Riquelme vive en Peñaflor,

Santiago

pista

Auto

Problema 10. Escribe un problema similar cambiando el número de veces que el señor Riquelme viaja a su trabajo.

ol

del S

Cen

Formula un problema  Vuelve al

tral

Maipu pista

11.

N

illa

lip

Ca

no mi

Me

Auto

y trabaja en Santiago. Va en autobús desde su casa hasta la oficina y luego de regreso a su casa 5 veces por semana. ¿Aproximadamente, cuántas horas viaja el señor Riquelme de ida y vuelta del trabajo cada semana? (Escoge la ruta Padre Hurtado).

El Bosque Padre Hurtado

San Bernardo

Horario de autobuses de Santiago a Peñaflor Ruta

Salida

Llegada

Autopista del Sol

7:30 a.m.

8:30 a.m.

Camino Melipilla

9:00 a.m.

10:30 p.m.

San Bernardo

3:00 p.m.

5:30 p.m.

Padre Hurtado

4:15 p.m.

6:15 p.m.

Capítulo 8 211

Libro 5.indb 211

24-01-13 10:11


Práctica adicional Grupo A  Escribe el valor del dígito subrayado. 1. 0,45 

2. 5,09

3. 2,83

4. 14,90

5. 6,06 

6. 0,71

7. 12,56

8. 23,94

Escribe cada número de otras dos formas.  9. 0,33

10. 0,72

11. 1,98

12. 9,26

13. 2 1 0,9 1 0,01

14. 20 1 3 1 0,06

15. 7 1 0,5 1 0,04

16. 8 1 0,9 1 0,01

17. cuarenta y cuatro centésimas  

18. tres y siete centésimas 

Grupo B  Escribe equivalentes o no equivalentes para describir cada par de decimales. 1. 4,6 y 4,06

2. 7,030 y 7,03

3. 15 y 15,0

4. 1,008 y 1,08

5. 6,013 y 6,13

6. 9,13 y 9,31

7. 8,40 y 8,400

8. 4,15 y 4,150

Escribe un decimal equivalente para cada número.  9. 0,02 

10. 3,580 

11. 0,9 

12. 6,600 

13. 5,07 

14. 0,100 

15. 4,600 

16. 3,09 

17. 14,70 

18. 0,4 

Grupo C  Escribe cada decimal en forma de fracción o de número mixto con décimas y centésimas. 1. 0,9 

2. 1,6 

3. 0,20 

4. 4,50 

6. 0,3 

7. 12,80 

8. 0,10 

9. 5,6 

5. 0,90  10. 11,40 

Grupo D  Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 1. 0,163  0,16 

2. 0,83  5 

3. 4,049  4,712 

4. 5,068  5,608 

5. 3,801  3,8 

6. 20,4  2,089 

8. 0,62; 0,584; 0,221; 0,3

9. 8,3; 6,9; 10; 9,001

Ordena de menor a mayor. 7. 1,78; 1,36; 1,696; 1,8 10. 1,34; 1,09; 1,4; 1,343

11. 0,287; 0,276; 0,285; 0,274

12. 7,3; 7,003; 7,303; 7,323

212

Libro 5.indb 212

24-01-13 10:11


Jugadores 2–4 jugadores

Materiales • 4 conjuntos de tarjetas de símbolos (, , ) • Cubo numerado 1, 1, 1, 2, 2, 3 • Fichas del juego

5,21 salida

1,083

1,207

4,6

10

0,05

avanza hasta 0,012

3,97

5,9

14,086

2,20

0,012

6,993

8,1

19,4

0,101

pierde 1 turno

0,003

10,12

6,67

turno libre

1,902

0,8

3,359

regresa a 8,1

llegada

¡Compara! Los jugadores mezclan las tarjetas de símbolos y las colocan boca abajo en una pila. Cada jugador elige una ficha diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores se turnan para lanzar el cubo numerado y avanzan la cantidad correspondiente de espacios en el tablero.

tarjetas de símbolos. Según la tarjeta, debe pensar en un decimal, mayor, menor o igual al decimal en el que cayó la ficha. Si el jugador da una respuesta incorrecta, pierde su turno. Gana el jugador que llegue primero a LLEGADA.

En su turno, cada jugador saca una de las

Capítulo 8 213

Libro 5.indb 213

24-01-13 10:11


Repaso/Prueba del Capítulo 8 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        1. La forma normal de un — ​  ?  ​ es 0,01.        2. Los decimales que representan la misma cantidad se llaman — ​  ?  ​.  

centésima milésima decimales equivalentes

Comprueba tus destrezas Escribe el valor del dígito subrayado en cada número. 3. 0,23  4. 0,006  5. 0,109  6. 2,78

Escribe cada número de dos formas diferentes. 7. 1,3  8. 0,4 1 0,07 9. 0,926  10. 2,055 

Escribe un decimal equivalente para cada número. 11. 0,5 

12. 2,690 

13. 0,01 

14. 3,400 

Escribe cada decimal en forma de fracción o de número mixto mostrando décimas y centésimas. 15. 0,5 

16. 2,7 

17. 0,80 

Compara. Escribe ,, . o 5 en cada . 18. 0,23  0,246 19. 9  0,935 20. 6,778  6,07

Ordena de menor a mayor. 21. 1,6; 1,75; 1,461; 1,09

22. 0,33; 0,289, 0,314; 0,4

Comprueba la resolución de problemas Resuelve. 23. Sonia dio 3 pasos hacia adelante, 6 pasos

hacia atrás, 9 pasos hacia adelante y 4 pasos hacia atrás. Finalmente, dio 8 pasos hacia delante. ¿Cuál es la posición de Sonia ahora?  25.

24. Patricio nadó 25,2 metros el lunes, 18,6

metros el martes, 31,5 metros el viernes y 29 metros el sábado. ¿Qué día nadó la mayor distancia?

Abel, Olga, José y Felipe ganaron, cada uno, cintas azules, rojas, blancas y amarillas en una fiesta. Abel ganó la cinta amarilla. Olga no ganó la cinta roja ni la blanca. José no ganó la cinta blanca. Haz un diagrama para mostrar qué cinta ganó cada amigo. 

214

Libro 5.indb 214

24-01-13 10:11


Enriquecimiento • Diez milésimas El insecto más pequeño La avispita hada es el insecto más pequeño del mundo. ¡El insecto es tan pequeño que puede volar a través del ojo de una aguja! Los científicos estiman que la envergadura de la avispita hada es de 0,0017 mm. ¿Cuál es el valor del dígito 7 en 0,0017? Puedes usar una tabla de valor posicional para hallar el valor. Unidades

Décimas

Centésimas

Milésimas

Diez milésimas

0

0

0

1

7

03050

0 3 0,1 5 0

0 3 0,01 5 0

1 3 0,001 5 0,001

7 3 0,0001 5 0,0007

Por lo tanto, el valor del dígito 7 es 7 diez milésimas o 0,0007. Puedes escribir decimales de diferentes formas.

Ejemplos Escribe 0,0017 de formas diferentes. A Forma normal: 0,0017 B En palabras: diecisiete diez milésimas C Forma desarrollada: • 0,001 1 0,0007 • (1 3 0,001) 1 (7 3 0,0001)

Inténtalo ¿Cuál es el valor del dígito que está subrayado? 1. 1,3882

2. 0,7514

3. 6,0940

4. 0,0012

5. 10,0009

6. 2,8183

7. 0,0601

8. 19,7341

10. 5,5762

11. 24,0089

12. 8,2298

9. 0,0041

Escribe cada número de otras dos formas. 13. 0,0034

14. 0,2169

15. 1,0005

16. 3,1008

17. 2,0032

18. 0,0701

19. 4,0066

20. 10,0004

21. 0,001 1 0,0006

22. 0,4 1 0,05 1 0,0007

23. uno y noventa y seis diez milésimas 24. dos mil treinta y cinco diez milésimas

¡Piénsalo! Explica cómo compararías los números 2,9075 y 2,9073.

Capítulo 8 215

Libro 5.indb 215

24-01-13 10:11


Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 8 Opción múltiple 1. Francisca mide 1,35 metros, Andrea 1,5 metros y Ana 1,09 metros. Entonces, es correcto establecer que:

A Francisca es la más baja de todas.

B Ana es más alta que Andrea.

C Andrea es más alta que todas.

D Andrea es más baja que Ana.

2. El número racional 0,25 se ubica en la recta

4. ¿Cuál es la representación pictórica de

ocho décimas?

A

B

C

D

numérica entre los números enteros: 

A 24 y 25

B 2 y 3

5. ¿Cuánto le falta al número racional 0,999

C 1 y 2

D 0 y 1

para ser el número entero 1? A 0,1

B 0,01

C 0,001

D 0,901

3. ¿Qué figura no representa al número decimal 0,3? A

B

6. Si a = 0,081; b = 0,81; c = 0,801, la relación correcta es:

C

A a < b < c

D

B c < a < b

C a = b = c

D b > c > a

7. Cinco diez milésimas equivale a: A 0,005

B 0,0005

C 0,5000

D 5,10000

216

Libro 5.indb 216

24-01-13 10:11


8. Todos los días Sebastián nada entre 2,0

kilómetros y 2,8 kilómetros, ¿Qué número racional está entre 2,0 y 2,8?

El tráfico aéreo internacional (llegadas y salidas), entre ciudades chilenas y el resto del mundo, registró 4 938 298 pasajeros transportados durante el año 2007.

A 3,1 B 2,9 C 2,81 D 2,45

Con esta información responde las preguntas 15 y 16.

9. El número decimal 24 décimas se

Movimiento Aéreo Internacional

representa por

Pacífico Sur

A 0,024 B 0,24 C 2,4 D 24

3,8%

Europa

11,8%

EE.UU. y Canadá

14,6%

Latinoamérica

69,8%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

10. La tercera cifra decimal a la derecha de la

Fuente: Junta Aeronáutica Civil (JAC)

coma corresponde a: A décimal B centésima C milésima D diezmilésima 11. ¿Cuál es la comuna de la provincia de Copiapó

de mayor área? 12. La densidad poblacional de las provincias de la

Región del Maule son: Curicó: 33,5 hab/km2; Talca: 35,5 hab/km2; Cauquenes: 18,8 hab/km2; Linares: 25,2 hab/ km2. ¿Cuál de las comparaciones es correcta para las densidades poblacionales de esta región?

A 33,5 > 35,5 B 33,5 < 25,2 C 18,8 > 25,2 D 18,8 < 35,5

13. Confecciona un gráfico que resuma la

información anterior.

15.

La mayor cantidad de pasajeros viajaron entre Chile y...? A Latinoamérica B EE.UU. yMovimiento Canadá Aéreo Internacional C Europa Pacífico Sur 3,8% D Pacífico Sur Europa

11,8%

16. EE.UU. y Canadá Respecto 14,6% del gráfico anterior es

correcto afirmar que: Latinoamérica

A La cantidad de pasajeros que se

69,8%

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80%

transportó entre EEUU, Canadá y Chile es Fuente: Junta Aeronáutica Civil (JAC) aproximadamente el doble de la cantidad de los pasajeros que se transportó entre Chile y el Pacífico Sur. B El tráfico aéreo entre Chile y Latinoamérica es mayor que el tráfico aéreo entre Chile y el resto del mundo. C La cantidad de pasajeros que se conectó con Canadá y EEUU es aproximadamente igual a la que conectó con Latinoamérica.. D La menor cantidad de pasajeros hizo una conexión Chile-Europa.

14.

¿Cómo ordenarías las densidades poblacionales de las ciudades de la Región del Maule?

Capítulo 8 217

Libro 5.indb 217

24-01-13 10:11


9

Sumar y restar decimales La idea importante 

La suma y resta de decimales se basa en el valor posicional y en la suma y la resta de números enteros.

Chile

DATO BREVE

El Centro de Esquí El Colorado está ubicado en la Región Metropolitana y cuenta con 42 pistas y 19 andariveles, ideal para la práctica de deportes blancos.

Investiga Mientras estás de vacaciones en el Centro de Esquí El Colorado, decides esquiar en dos pistas diferentes de esquí en el área. Escribe tres ecuaciones que muestren la longitud combinada de 2 recorridos diferentes de esquí que podrías elegir para esquiar.

Pistas de esquí en El Colorado Centro de esquí

Pista de esquí más larga (en kilómetros)

Farellones I

0,45

Embudo

0,5

Colorado I

1,25

León

1,1

Cororo

1,013

218

Libro 5.indb 218

24-01-13 10:11


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 9.

u Redondear Redondea cada número a la centena más cercana.

1. 562 

2. 407 

3. 638 

4. 153 

5. 4 709 

6. 8 371

7. 6 881 

8. 7 349 

9. 16 535 

10. 38 271

11. 42 764 

12. 54 098 

u Representar decimales gráficamente Escribe el decimal que corresponde a la parte sombreada.

13.  

14.  

15.  

16.  

17.  

18.  

19.  

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

decimal centésima décima milésima coma decimal

20.  

PREPARACIÓN

decimal número de uno o más dígitos, ubicado a la derecha de la coma decimal décima una de diez partes iguales centésima una de cien partes iguales

Capítulo 9  219

Libro 5.indb 219

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

1

Redondear decimales

Redondea cada número a la posición del dígito subrayado.

OBJETIVO: Redondear decimales a un valor posicional dado.

Aprende

1. 391 

2. 5,045 

3.  28,036

4. 34,578 

5.  169,822

PROBLEMA  En ciencias, la clase de la señorita Soto descubrió que una taza de zanahoria rallada tiene un promedio de 0,039 gramos de sal. ¿Cuál es el contenido de sal de una taza de zanahoria rallada redondeada a la centésima de gramo más cercana?

Usa una recta numérica. 0,039

0,03

0,04

0,039 se aproxima más a 0,04 que a 0,03. Por lo tanto, 0,039 redondeada a la centésima de gramo más cercana es 0,04 gramos. 

Usa el valor posicional.

Redondea a la posición del dígito subrayado. Observa el dígito de la derecha.  0,379

0,38

 1,643

9.5

 $32,54

4,5

555

Redondea

    1,6 Redondea

      $33

Redondea

hacia arriba.

hacia arriba.

hacia abajo.

Recuerda

Práctica con supervisión 1. Usa la recta numérica para redondear 0,486 a la centésima más cercana. 

0,486

0,48

0,49

Reglas para redondear: • Halla el lugar al que quieres redondear. • Si el dígito a la derecha es , 5, redondea hacia abajo. • Si el dígito a la derecha es  5, redondea hacia arriba.

Redondea cada número a la posición del dígito subrayado. 2. 0,355 

3. 0,672 

 4. 0,807 

 5. 0,134 

Redondea 0,859 a la posición indicada. 6. décimas  9.

7. centésimas  8. unidades 

Explica cómo redondear 7,86 a la décima más cercana.

220

Libro 5.indb 220

24-01-13 10:11


Práctica independiente y resolución de problemas Redondea cada número a la posición del dígito subrayado. 10. 0,934

11. 23,173

12. 0,481

13. 137,545

14. 42,857

Redondea 2,306 a la posición indicada. 15. décimas 

16. centésimas 

17. unidades 

Señala la posición a la que se redondeó cada número. 18. 0,625 a 0,63 

19. 7,846 a 7,85 

20. 12,87 a 12,9 

Redondea a la décima de gramo y al gramo más cercana. 21. 10,35

22. 0,49

23. 0,98

24. 3,22

25. 13,28

Redondea cada número a la centésima más cercana. 26. setecientos veintiséis mil milésimas 

27. 10 1 4 1 0,5 1 0,009 

28. cinco y trescientos veinticuatro milésimas 

29. 3 1 0,4 1 0,06 1 0,008 

USA DATOS Para 30–32, usa el gráfico. 30. Redondea el contenido de sal de un pastelito de

Contenido de sal de 1 pastelito

arándano a la centésima de gramo más cercana.  cuando se redondea a la centésima de gramo más cercana? 32.

Explica cómo redondear el contenido de sal de un pastelito de chocolate a la décima de gramo más cercana. 

Sal (en gramos)

31. ¿Qué pastelito tiene un contenido de sal de 0,30 gramos

0,320 0,310 0,300 0,290 0,280 0,270 0,260 0,250 0,240 0,230 0

Arándano

Chocolate Panqueque

Comprensión de los Aprendizajes 33. Un segmento conecta los puntos (2,3) y (2,7).

¿Cuál es la longitud del segmento?

36. Preparación para la prueba  Darío redondeó

5,849 kilogramos a 5,8 kilogramos. ¿A qué posición redondeó?  

34.  2​  1_2 ​3 1​  14_ ​5

A unidades

C centésimas

35. Un gatito pesa 1,6 kilogramos. Su hermana

B décimas

D milésimas

pesa 2,2 kilogramos. ¿Cuál es la diferencia de peso entre ambos?

Práctica adicional en la página 232, Grupo A

Libro 5.indb 221

Capítulo 9 221

24-01-13 10:11


LE C C

N IÓ

2 Sumar y restar decimales

OBJETIVO: Hallar las sumas y las diferencias de números decimales.

Escribe un decimal equivalente para cada número. 1. 0,34

Aprende

2. 1,8

PROBLEMA  En su primera carrera de luge en las Olimpíadas de invierno de 2006, Armin Zoeggeler completó el primer intervalo en 23,835 segundos. Alcanzó el tercer intervalo 20,336 segundos después. ¿Cuál fue el tiempo total de la carrera de Armin Zoeggeler cuando alcanzó el tercer intervalo?

3. 8,09 4. 0,01 5. 19,4

Puedes sumar y restar decimales de la misma manera en que sumas y restas números enteros si primero alineas las comas decimales.

Ejemplo 1  Suma. 23,835 1 20,366 Paso

Paso

Paso

Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales, suma las milésimas.

Añade las centésimas. Suma las décimas. Reagrupa según sea necesario.

1  ​ ​       23,8​ 3     ​5  ​  1 20,336 __ 1

1  ​ 1  ​ ​       2​ 3      ​,8  ​ 3    ​5    ​ 1 20,336 __ 171

Suma las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en el total.

1  ​ 1  ​ ​       2​ 3      ​,8  ​ 3    ​5  ​  1 20,336 __ 44,171

Por lo tanto, el tiempo de Zoeggeler al alcanzar el tercer intervalo fue de 44,171 segundos.

Más ejemplos   12,48 1 3,93

  2,5 1 4,72 1 8,091

Coloca ceros para

Alinea las comas 1  ​ 1  ​ decimales. ​     ​,​ 4    ​8  ​       1​ 2  ↓ 1     3 , 9 3 __

16, 41 ↓

Coloca la coma decimal en el total.

mostrar decimales

1  ​ 1  ​ ​  equivalentes.   ​ ​  2    ​,​ 5   ​ 00        ​  4,720  ​         1 8,091 __      15,311  

p Un trineo de luge puede alcanzar una velocidad de 138,4 kilómetros por hora.

•  ¿Por qué usas decimales equivalentes en el ejemplo B?

222

Libro 5.indb 222

24-01-13 10:11


Resta El tiempo total de Zoeggeler en su primera carrera fue de 51,718 segundos. ¿Cuántos segundos tardó Zoeggeler en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada?

Ejemplo 2  Resta. 51,718 2 44,171 Paso

Paso

Alinea las comas decimales para alinear el lugar de los valores posicionales. Resta las milésimas.

Paso

Resta las centésimas. Resta las décimas. Reagrupa si es necesario.

Resta las unidades y las decenas. Coloca la coma decimal en la diferencia. 4  11 ​​   ​​ 6  ​​11   ​​ ​ 5    ​ 1  ​   8  ​  ​ ​  ​ 1  ,   ​ ​ 7     ​        2 4    4 ,     1       7       1 __ Coloca la coma 7,     5     4     7 decimal.

6  11 ​​   ​​ ​    ​  7      ​      51, ​  ​   1  8  ​  2 4    4 , 1 7 1 __  5 4 7

​   ​      51,718  2 44,171 __ 7

Por lo tanto, Zoeggeler tardó 7,547 segundos en deslizarse desde el tercer intervalo hasta la línea de llegada.

Más ejemplos   8 2 5,63

  0,78 2 0,471

9   ​ 7  ​​ 10 ​     ​​      10  ​​ Coloca 2 ceros ​  ​ ​     ,​  ​ 0    ​ 0   ​    8    

  1,5 2 0,259 9  ​

7  ​​10   ​​  ​ ​ ​      0,7  ​ 8      ​ 0   ​   

para mostrar

20  , 4   7   1 __ 0 , 3   0   9

25 , 6  3  __ un decimal 2 , 3  7 

equivalente.

4  10   ​ ​   ​ ​ 10   ​  ​ 5   1  ,​ ​      ​          ​  0    ​  ​0      

2 0  ,  2     5    9  __ 1  ,  2    4     1

Práctica con supervisión 1. Copia cada uno de los pasos

a la derecha. Luego di qué sucede en cada paso.

​ ​0,327       ​ ​      0,327           1 0,950 1 __   0,950 __ 77 7 

 1 ​ 0    ​ ​     ​      ​ ,327  1 0,950 __ 1,277

Halla la suma o la diferencia. 7       ​ 1  0 ,8 _

2. ​ 

7,

3. ​  16,3  ​            

4. ​      21,87  ​     

2  4,05 __

1  16,34 __

2,5  ​      6. ​        ​  6,88  ​         1  0,19  __

Explica cómo hallar 6,4 + 3,29 + 2,107.

Práctica adicional en la página 232, Grupo B

Libro 5.indb 223

      5. ​      $13,04  2  $   0,95 __

Capítulo 9 223

24-01-13 10:11


Práctica independiente y resolución de problemas Halla la suma o la diferencia. 8. ​      0,991  ​       9. ​      14,467  ​      

2 __ 0,45  

10. ​      16          

13. ​  1,18  ​           

14. ​      3,704  ​     

1 __ 2,039

2 __ 1,325

11. ​     $32,98  ​     

12. ​  5,86  ​          

16. ​     23,002  ​     

17. ​      9,94     

1 __ $18,25

2  10,1 __

1 __ 12,312

15.    ​  0,75  ​  

0,359  ​           11,4    __

2  2,391 __

2  1,74  __

​ 0,318            1  1 ,283 __

Escribe una regla para el patrón. Usa tu regla para encontrar los números que faltan en el patrón. 18. 2,1; 3,3; 4,5; 5,7; ; 8,1; 

19. 3,5; 4,6; 4,4; 5,5; 5,3; ; 6,2; 7,3; 

20. 4,10; 4,05; 4,00; 3,95; ; 3,85; 

21. 0,75; 1,00; 1,25; 1,50; 1,75; 2,00; ; 

Resuelve. 22. Kristel Köbrich terminó en quinto lugar en los

23.

800 metros libres en las Olimpíadas de Londres 2012. Köbrich tardó 0,12 segundos más que Friis Lotte, quien tardó 8:21,89. ¿Cuál fue el tiempo de Köbrich en la carrera? 24. Cuando sumas 0,3 y 0,15, ¿por qué le sumas

0,3 a 0,1? 

¿Cuál es la pregunta?  En las Olimpíadas de invierno de 2006, una prueba combinaba saltos con esquís y esquí de fondo. Después de competir en salto de esquí, Georg Hettich quedó en el primer puesto con 262,5 puntos. Magnus Moan quedó en el noveno puesto con 237,5 puntos. La respuesta es 25,0.

Comprensión de los Aprendizajes 25. ¿Qué número multiplicado por 90 es igual

a 45 000? 26. ¿En cuáles dos meses hubo la mayor venta de

zapatillas?

27. Preparación para la prueba  Marcos compra un

cuaderno y un bolígrafo en la librería. Si paga con un billete de $5 000, ¿cuánto vuelto debe recibir?

Librería Venta de zapatillas abril mayo junio julio 0

20 40 60 80 Cantidad de zapatillas

1 cuaderno

$3 550

12 lápices

$1 590

1 bolígrafo

$890

A $560

C $1 550

B $1 450

D $4 440

224

Libro 5.indb 224

24-01-13 10:12


Patinaje de velocidad Destreza Identificar de lectura

los detalles

E

l patinaje de velocidad es una prueba popular

en los Juegos Sudamericanos. Los deportistas corren en

patines alrededor de una pista. En los Juegos Panamericanos

de Gudalajara 2011, hubo tres patinadores en la carrera de los 1 000 metros: P. Causil, E. Capellano y J. Reyes. Sus tiempos fueron 85,841, 85,973 y 86,239 segundos, respectivamente. ¿Cuánto más rápido fue el tiempo del primer puesto con relación al tiempo del tercero?

A veces, un problema tiene más información de la que

Carrera de 1 000 metros de patinaje de velocidad Patinador

Tiempo (en segundos)

P. Causil

85,941

E. Capellano

85,973

J. Reyes

86,239

necesitas. Para resolverlo correctamente, debes identificar los detalles necesarios para responder la pregunta. Comienza

por releer la pregunta del problema. Luego pregúntate a ti

mismo qué detalles necesitas para resolverlo. Por ejemplo: •  ¿Qué columna contiene los tiempos de los patinadores?

•  ¿Cuál es el tiempo del primer puesto, es decir, el menor de los tiempos?

•  ¿Cuál es el tiempo del tercer puesto, es decir, el mayor de los tiempos?

Resolución de problemas  Identifica los detalles que necesitas para resolver el problema. 1. Resuelve

el problema de arriba.

2. Solo

los patinadores que tengan los dos primeros tiempos en cada eliminatoria pasarán a la carrera siguiente. ¿Cuáles dos patinadores pasarán a la carrera siguiente? Explica cómo lo sabes.

Capítulo 9 225

Libro 5.indb 225

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

3

Estimar sumas y diferencias

Redondea cada número al décimo más cercano.

OBJETIVO: Estimar las sumas y las diferencias de decimales para comprobar que sean razonables.

Aprende

1. 0,45

2. 3,16

3. 0,284

4. 10,349

5. 6,727

PROBLEMA  Un cantante graba un CD. Dice que el tiempo de grabación es de 10,37 minutos. Las tres canciones duran 3,4 minutos, 2,78 minutos y 4,19 minutos. ¿Cómo puedes determinar si su enunciado es razonable? Puedes estimar para comprobar si es razonable.

Ejemplo  Estima. 3,4 1 2,78 1 4,19 Redondea al número entero más cercano. Luego suma. →    3​  3,4    ​    ​  ​      ​   ​    3  ​  2,78     ​ →          4 1  4,19 → 1  _ __   10

Idea matemática

Cuando se estima el tiempo total, a veces tiene más sentido redondear hacia arriba al minuto entero más cercano.

Por lo tanto, el tiempo total de grabación es de 10 minutos aproximadamente. •   ¿Es la estimación mayor o menor que el total exacto? Explica tu respuesta.

Más ejemplos  La décima más cercana

 La centésima más cercana

→     ​  0,482     ​   ​  0,5      ​       → 2  0 ,23  2  0 ,2 __  _ 0,3

→      ​   ​      4,039     ​  ​  4,04    → 1  1 ,265 1  1 ,27 __    __ 5,31

 El entero más cercano →   12,45  ​     ​   ​  13      ​      → 1 10 1   9,72 __  __ 23

Práctica con supervisión 1. Copia y completa los

problemas a la derecha para estimar la suma y la diferencia.

​  78,7        ​       Redondea al número entero 2 2,58 __  más cercano. Luego resta.

Redondea hacia arriba al entero más cercano. Luego suma.

​  42,35     ​     1 18,79 __   

226

Libro 5.indb 226

24-01-13 10:12


Estima redondeando. 0,348    2. ​      ​ 0,1           1 0,25 __ 7.

    10,39                    3. ​ 4. ​ $19,75     2  4,28   __

         ​ 0,78  5.       2 0 ,305 __

1 $ 3,98   __

 6.

​       1,247    0,82      ​ 1 ___ 3,4  

Andrés quiere comprar tres camisas que cuestan $19 980, $34 790, $25 250 ¿Cuál es una estimación razonable del costo total? Explica tu respuesta.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima redondeando. 8.

52,63 238,40

13. 4,52 16.

9.

1 0,86

5,57 21,80

10.

$57,88 1$39,80

14. $20,82 17.

21. 0,325 1 0,149

12.

0,482 10,305

18,88 210,24

1 $13,66 15. 30,406 1 $20,894

18.

1,26 1,80 2,795

11.

7,36 24,19

19.

1,93 20,85

22. 81,06 2 19,57

20. $19,05

18,70 152,53

2$8,32

23. $17,45 1 $7,99

Estima para comparar. Escribe , o . para cada . 24. 0,574 2 0,32  0,2 25. 1,78 1 2,34  4 26. 5,25 2 2,39  3

Éxitos Éxitos de de la la semana semana 4 de abril de 4 de abril de 1964 1964

USA DATOS Para 27–28, usa la tabla. 27. Las canciones de mayor éxito durante la semana del

4 de abril de 1964 fueron las canciones de Los Beatles. ¿Cuánto tiempo llevaría escuchar estas 4 canciones, aproximadamente?  28.

Número

¿Cuál es el error?  Isabel tiene 10 minutos para escuchar música. Dice que puede escuchar las canciones 1, 2 y 3 en 5 minutos. Estima para comprobar si eso es razonable.

Título de la canción

Duración (en minutos)

1

“Can’t Buy Me Love”

 2,30

2

“She Loves You”

2,50

3

“I Want to Hold Your Hand”

2,75

4

“Please, Please Me”

2,00

Comprensión de los Aprendizajes 29. ¿Cuánto es 0,805 redondeado a la centésima

más cercana? 30. ¿Cuánto es 9 3 ​  2_3  ​?

Práctica adicional en la página 232, Grupo C

Libro 5.indb 227

31. Germán y su padre tienen $10 000. Compran

poleras por $5 420 y un conjunto deportivo por $3 434. ¿Aproximadamente cuánto dinero les queda? A $1 000

C $3 500

B $2 000

D $9 000

Capítulo 9 227

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

4 Sumar y restar CÁLCULO MENTAL

OBJETIVO: Usar el cálculo mental para sumar y restar decimales.

Aprende

Halla la suma o la diferencia. 1. 2,1 1 4,2

2. 3,3 1 3,35

3. 0,6 2 0,4

4. 1,0 2 0,5

5. 5,41 2 2,41

PROBLEMA  Leonardo y su padre quieren tomar helado en el parque. Los helados para los dos cuestan $5 175. El padre de Leonardo ahorró $3 050. ¿Cuánto dinero más necesita ahorrar el padre de Leonardo para pagar los helados? Puedes usar el cálculo mental para hallar las sumas o las diferencias de decimales.

Ejemplo  Usa el cálculo mental. Primero resta las cantidades en pesos. Luego resta las centenas. Suma.

$5 100 2 $3 000 5 $2 100 $75 2 $50 5 $25 $2 100 1 $25 5 $2 125

Por lo tanto, el padre de Leonardo necesita ahorrar $2 125 más para pagar los helados.

Más ejemplos  $19,75 1 $19,75 $19,00 1 $19,00 5 $38,00 $0,75 1 $0,75 5 $1,50 $1,50 1 $38,00 5 $39,50

 2,25 1 1,81 1 3,75 2,00 1 1,00 1 3,00 5 6,00 (0,25 1 0,75) 1 0,81 5 1,81 6,00 1 1,81 5 7,81

Idea matemática

Usa la propiedad conmutativa y la asociativa para hallar el total.

• ¿Qué es más fácil de hallar mentalmente: $13,75 1 $8,25 o $13,72 1 $22,35?

Práctica con supervisión 1. Copia y completa los

a. 4,75 1 2,25

Piensa: P  rimero suma las cantidades. problemas a la j 1 j 5 6,00

derecha. j 1 j 5 1,00 j1j5j

← Suma. Halla el total.

b. 7,1 1 11,4 1 4,5

j11 j

Usa el cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 2. 4,2 1 1,7 1 3,3 6.

3. 5,50 2 3,25

4. 1,5 1 2,5 1 4,5 5. 12,75 2 6,25

Explica cómo usar el cálculo mental para restar 19,60 2 12,30.

228

Libro 5.indb 228

24-01-13 10:12


Práctica independiente y resolución de problemas Usa el cálculo mental para hallar la suma o la diferencia. 7. ​ ​

2,82

8. ​

12,18 12.

8,20

$15,50

9. ​

2$10,25

3,12 2,6

10.

23,12

1$4,50

$18,39 $10,05

2$11,20

14,40

$6,50 13. 14. 13,35

11.

$12,30

1$9,01 20,45 15.

16. $78,80

110,10

2$18,30

29,10

17. 7,25 1 0,25 1 1,5 18. 0,79 2 0,19

19. 14,99 1 6,50

Práctica independiente y resolución de problemas Usa el cálculo mental para hallar una regla para el patrón. Usa tu regla para hallar los números que faltan en el patrón. 20. 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 3,5; j; 4,5; j

21. 2,25; 3,00; 3,75; 4,50; j; 6,00; 6,75; j

22. 8,0; 7,8; j; 7,4; 7,2; 7,0; 6,8; j

23. 4,25; 4,00; 3,75; 3,50; 3,25; 3,00; j; j

USA DATOS Para 24–25, usa el gráfico. 24. La clase de la señorita Segovia quiere donar disfraces a un colegio.

Para ello, recibe una donación de género. La donación es de 50 metros. ¿Cuánto debe reunir la clase en la semana 4 para lograr su objetivo? metros. ¿Cuánto más se necesita en la semana 4 para lograr el objetivo de 50 metros de género? 26.

El papá de Gustavo se ofreció a donar una cantidad 3 veces mayor que la cantidad que Gustavo hubiera podido donar. Gustavo donó 3,75 metros. Explica cómo hallar la cantidad total donada por Gustavo y su padre.

16

Gémero (metros)

25. Durante la semana 4, Ana reunió 3,40 metros y Teodoro reunió 3,60

Donación de género 14,75

12

12,50 10,75

8 4 0

1

2 Semana

3

Comprensión de los Aprendizajes 27. ¿Qué número hace que este enunciado

numérico sea verdadero? 5 3 (9 2 3) 5 3 3 j 28. Andrés caminó 3,75 kilómetros por el Camino

El Guanaco. Marcelo caminó 2,5 kilómetros más que Andrés. ¿Cuántos kilómetros caminó Marcelo? 29. Estima. 124 2 64,25

Práctica adicional en la página 232, Grupo D

Libro 5.indb 229

30. Preparación para la prueba  Erica debe correr

4 000 metros. Corre inicialmente 3 639 metros. ¿Cuánto debe correr Erica para llegar a la meta? A 300 B 400 C 500 D 600

Capítulo 9 229

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

Estimar o hallar 5 Destreza: una respuesta exacta OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza estimar o hallar una respuesta exacta.

Usa la destreza PROBLEMA  Luis debe confeccionar ropa deportiva para un club de atletismo. Para esto estima comprar 25 kilogramos de género de punto. Compra 7,35 kilogramos de tela para pantalones largos, 8,29 kilogramos para polerones, 3,50 kilogramos para pantalones cortos. ¿La estimación inicial de Luis fue acertada? ¿faltaría tela para la confección de todas las prendas deportivas? Estima. Redondea cada artículo hacia arriba al kilogramo entero más cercano. Luego suma. 7,95​      →      8,00  ​  ​     8,29     ​ → ​  9,00        1 3,50 →__ 1 4,00 ​ __   21,00 Ya que 21 , 25, Luis tiene suficiente género para confeccionar todos los artículos. Si Luis compra 25 kilogramos de género. ¿Cuánto le sobrará? Para hallar la cantidad de género que sobra, necesitas una respuesta exacta.  25,00  ​        ​  7,95​      2 19,74 ​ __ ​  8,29          1 3,50 ​ 5,26 __ 19,74 La cantidad exacta de género necesaria es 19,75, por tanto, sobran 5,26 kilogramos de tela

Piensa y comenta Di si necesitas hacer una estimación o dar una respuesta exacta. Explica tu elección. Resuelve el problema. a. Una hamburguesa pesa 0,15 kilogramos. Julián tien 0,300 kilogramos de carne molida. ¿Tiene Julian carne suficiente para preparar una hamburguesa para él y una para cada uno de sus 2 amigos? b. El tiempo de Viviana en una carrera de natación es de 53,12 segundos. El tiempo de Alex en la misma carrera es de 50,59 segundos. ¿Cuánto más rápido es el tiempo de Alex que el de Viviana?

230

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Resolución de problemas con supervisión Di si necesitas una estimación o una respuesta exacta. Luego, resuelve el problema. 1. En una competencia de lanzamiento de la bala, se suman las distancias

de los tres lanzamientos de una persona para determinar su puntaje final. Se necesita un puntaje de 50 o más para llegar a la ronda final. Los lanzamientos de Claudio fueron de 16,35 metros, 18,44 metros y 17,97 metros. ¿Llegará Claudio a la ronda final? Primero, decide si necesitas una estimación o una respuesta exacta. Necesitas determinar si el puntaje de Claudio es mayor o menor que 50. Por lo tanto, halla una estimación. Luego compáralo con 50.

16,35 1 18,44 1 17,97 ↓ ↓ ↓ 16

1

18

1

5 

2. ¿Qué pasaría si el segundo lanzamiento de

3. Los primeros dos lanzamientos de Julia

Claudio hubiera sido de 16,44 metros en vez de 18,44 metros? ¿Sería bueno hallar una estimación para determinar si Claudio debe avanzar a la ronda final? Explica tu respuesta.

fueron de 16,64 metros y de 15,33 metros. ¿Qué distancia necesita alcanzar su último lanzamiento para poder avanzar a la ronda final?

Aplicaciones mixtas Resuelve. 4. María pesa 48,35 kilogramos, Julia

6. El paso de un perro tiene aproximadamente

pesa 0,5 kilogramos más que Javiera y Javiera pesa 2,131 kilogramos menos que María. ¿Cuánto pesan Javiera y Julia?

5. La mochila de José pesa 6,5 kilogramos. La

mochila de Raúl pesa 2,4 kilogramos más que la mochila de José. La mochila de René pesa 1,7 kilogramos menos que la mochila de José. ¿Cuál es el peso total de las tres mochilas, aproximadamente?

una longitud de 0,35 metros. ¿Cuántos pasos deberá dar para recorrer una distancia de 2,8 metros?

7.

Julio compra molduras de madera para colocar alrededor de su habitación. Las molduras vienen en piezas que miden 12, 14 o 16 metros de longitud. Explica cómo hallar la cantidad de metros de molduras que Julio debe comprar, si el tamaño de la habitación es de 10 metros por 14 metros.

Capítulo 9 231

Libro 5.indb 231

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Práctica adicional Grupo A  Redondea cada número al lugar del dígito subrayado.  1. 0,463 

2. 7,258  3. 0,812  4. 52,946  5. 16,302 

6. 2,055  7. 137,991  8. 0,176  9. 59,209  10. 8,657 

Señala la posición a la que se redondeó cada número. 11. 0,738 a 0,74  12. 16,49 a 16,5  13. 29,516 a 29,52 

Grupo B  Estima. Luego halla la suma o la diferencia. 2.

1.

3.

4.

5.

0,27

15,86

23,98

0,092

32,09

11,43

29,72

12,45

20,437

115,78

6 . 0,539 2 0,268 

7. 41,63 1 9,801  8. 60,75 2 10,09 

Grupo C  Estima redondeando.  1.

0,863

10,270 6.

26,72

29,45

0,930

3. 7,000

4. 21,32

20,184

12,506

24,19

40,05

9. 0,508

212,25

10,126

2.

7.

0,397

10,265

8.

5.

1,94

12,63 10.

1,720

21,064

11. 2,93 1 0,8 1 1,76  12. 17,1 2 6,289  13. 9,362 1 0,745 14. Ángela gasta un total de 36,29 calorías en 20

minutos. Desea quemar 50 calorías antes de descansar. ¿Cuánto le falta por gastar antes de descansar?.

15. En la competencia, Simón obtuvo 7,23; 6,94 y

8,32 puntos en sus tres inmersiones. ¿Cuál fue el puntaje total de sus tres inmersiones?

Grupo D  Usa el cálculo mental para hallar la suma o la diferencia.  1.

3,34

2.

15,20 6.

9,3

20,7

5,6

3.

8,75

4.

0,1

21,2 7.

2,3

8.

12,50

148,19

238,00

17,50

5.

26,25 9.

16,79

10,21

18,00

14,98 10.

8,00

25,99

11. Un kilogramo de café en grano pierde al tostarlo 12. En marzo cayeron 4,32 milímetros de lluvia en

0,082 kilogramos de su peso. ¿Cuánto café tostado es posible producir con 1 kilogramo de café en grano?

la ciudad. En mayo cayeron 1,5 milímetros más de lluvia que en marzo. ¿Cuántos milímetros de lluvia cayeron en la ciudad en mayo?

232

Libro 5.indb 232

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Recorre Corredores

la p i

sta

2 jugadores

Equipo • Tarjetas de suma y resta • Flecha giratoria de 3 secciones rotuladas del 1 al 3 • 2 fichas distintas de juego

PRIMERO EN PASAR LA MONTAÑA Tienes un turno adicional.

NEUMÁTICO DESINFLADO Pierdes un turno.

CHOQUE Pierdes un turno. AUMENTO DE ENERGÍA Tienes un turno adicional.

¡Ya!  Los jugadores mezclan las tarjetas del juego y las colocan boca abajo en una pila. Cada jugador elige una pieza del juego y la coloca detrás de SALIDA. El primer jugador selecciona una tarjeta y realiza la suma o la resta indicadas. El segundo jugador comprueba el resultado.

Si el resultado es correcto, el primer jugador hace girar la flecha y mueve el número de espacios indicado. Los jugadores continúan el juego turnándose para seleccionar las tarjetas. ¡Gana el primer jugador que alcance la LLEGADA!

Capítulo 9  233

Libro 5.indb 233

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Repaso/Prueba del Capítulo 9 Comprueba los conceptos 1. Explica cómo se redondea a la décima más cercana para estimar 3,72 2 1,58. 2. Explica cómo usar el cálculo mental para hallar 4,25 1 2,5 1 1,25.

Comprueba tus destrezas Redondea cada número al lugar del dígito subrayado. 3. 0,276  4. 3,015 

5. 26,847 

6. 0,521

7. 6,223

Halla la suma o la diferencia.  7. ​      0,382      ​  8. ​  6,92        ​     

1 0,199 __

11. ​  0,83      ​  12. ​      5,21      ​     

1 0,264 __

9. ​  9,33        ​     

2 3,254 __

1 4,082 __ 13. ​      18,93      ​ 

10. ​     25,36      ​ 

  2  7,28 __

14. ​  6,3        ​     

1 17,68 __

  22,59 __

17. ​     35,49      ​ 

18. ​  1,87      ​    

21. ​      3,560      ​

22. ​      4,50      ​

2 1,74 __

Estima. Luego halla la suma o la diferencia. 15. ​      2,93      ​  16. ​      11,78      ​ 

1 5,48 __

2   5,62 __

1 4,82 __

2 0,624 __

Halla la suma o la diferencia. Usa el cálculo mental. 19. ​      8,75      ​ 20. ​      0,23      ​

1 3,50 __

1 2,77 __

1 4,103 __

2 2,25 __

Comprueba la resolución de problemas 23. Tamara quiere caminar 3,75 kilómetros y luego

1,85 kilómetros. ¿Alcanzaría a caminar 5,3 kilómetros? 25.

24. Rita obtuvo 6,38 puntos y 5,29 puntos en un

concurso de cuentos. Necesita un total de 15 puntos para avanzar a la próxima ronda. ¿Cuántos puntos más necesita?

Explica por qué escribir un decimal equivalente te ayuda a hallar la diferencia de 4 2 1,83. ¿Cuál es la diferencia?

234

Libro 5.indb 234

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Enriquecimiento • Las propiedades de la suma y los decimales

¿Cuál es el total? Puedes hallar mentalmente una suma de decimales usando la propiedad conmutativa o la propiedad asociativa de la suma.

Ejemplo Don Andrés se detiene en el supermercado cuando vuelve del trabajo. Tiene que comprar 15 kilogramos de carne. Quiere comprar 6,25 kilogramos de pollo, 5,15 kilogramos de cerdo y 2,75 kilogramos de carne de vacuno. ¿Es suficiente la carne que desea comprar? Halla el peso total de carne. Usa la propiedad conmutativa. Piensa: 6,25

6,25 1 5,15 1 2,75

Usa la propiedad conmutativa.

 6,25 1 2,75 1 5,15

Suma. Usa el cálculo mental.

   9 1 5,15 5 14,15

Recuerda: La propiedad conmutativa establece que si el orden de los

El peso total de la carne es de 14,15 kilogramos. Compara 14,15 con 15. Por lo tanto, don Andrés compró la cantidad de carne que tenía planeado.

Otro ejemplo Usa la propiedad asociativa. Piensa: 0,4 1 0,6 1 1.

Suma. Usa el cálculo mental.

15,4 1 (0,6 1 10,8) (15,4 1 0,6) 1 10,8 16 1 10,8 5 26,8

sumandos cambia, la suma sigue siendo la misma. La propiedad asociativa establece que los sumandos pueden agruparse de diferentes maneras, y la suma no

Inténtalo

cambia.

Usa la propiedad conmutativa y la asociativa para hallar el total. 1. 12,50 1 4,29 1 5,50 2. 36,3 1 (12,7 1 12,1) 4. 0,91 1 1,15 1 2,09

3. (56,3 1 8,9) 1 121,1

5. 5,65 1 5,18 1 4,35 6. 5,3 1 (1,25 1 12,7)

7. 5,55 1 4,32 1 5,45 8. (3,25 1 6,2) 1 1,75 10. Desafío Halla 1,15 1 11,8 1 3,85 1 9,2.

9. 10,2 1 10,5 1 9,8

Piénsalo Explica cómo puedes usar las propiedades para sumar decimales mentalmente.

Capítulo 9 235

Libro 5.indb 235

24-01-13 10:12


Repaso/Prueba de la unidad Opción múltiple

5. ​43,13 2 0,5

1. ¿Cuánto es 38,452 redondeado a la décima

A 48,13

más cercana? 

B 43,18

A 40

C 42,63

B 38,45

D 38,13

C 38,5 D 38,4

2. Para el almuerzo, Patricio compró un sándwich

que pesa 0,325 kilogramos y un jugo de frutas que pesa 0,95 kilogramos. ¿Cúanto peso lleva aproximadamente? A 3 kilogramos C 4,8 kilogramos B 4 kilogramos D 5,5 kilogramos

6. Un equipo de montañistas recorrieron un

ascenso de 15 kilómetros. El primer día escalaron 2,2 kilómetros, el segundo, 8,5 kilómetros y el tercero, 4,3 kilómetros. ¿Cuánto les queda por recorrer el cuarto día? A 1 kilómetro B 0,5 kilómetros C 0,2 kilómetros D 2 kilómetros

3. Carolina está caminando por un sendero que

tiene 3,2 kilómetros de largo. Ya ha caminado 2,7 kilómetros. ¿Cuánto más tiene que caminar Carolina? A 0,5 kilómetros

B 0,7 kilómetros

C 1,9 kilómetros D 5,9 kilómetros

4. 17,3 + 4,1 = A 13,2 B 20,4 C 21,4 D 58,3

7. La diferencia entre 173 y 4,8 es:

A 125 B 162,2 C 168,2 D 172,52

8. ¿Cuánto le falta a 0,009 para ser unidad?

A 0,991 B 0,91 C 0,1 D 0,01

236

Libro 5.indb 236

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9. Al adicionar 0,48; 6,76 y 3,5, la mejor

estimación es:

14. Cada trozo de queso pesa 3,95 kilogramos.

¿Aproximadamente cuánto pesa la rueda completa de queso? Muestra tu trabajo.

A 8 B 9 C 10 D 11

10. Un granjero vende una canasta de duraznos

de 3,76 kilogramos. Cada durazno pesa 0,47 kilogramos. ¿Aproximadamente cuántos duraznos hay en la canasta?

Respuesta desarrollada 15. La suma de dos números decimales es 15,5.

Uno de ellos es 10,05. ¿Cuál es el otro número decimal?

A 2 B 4 ​ 16.

Un chofer de buses maneja por 5 horas. Por hora recorre:

C 6 D 8

Hora Cantidad recorrida (en km)

11. ¿Qué núumero hay que sumarle a 0,475 para

que la suma sea 0,5?

Respuesta breve 12. Redondea el siguiente decimal a la décima más

cercana y a la centésima más cercana.

0,493

Sandra tiene 7,75 kilogramos de 13. tomates de aproximadamente 25 gramos cada uno. ¿Cuántos tomates de 25 gramos debería tener Sandra en 7,75 kilogramos?

1

65,50

2

71,25

3

59,88

4

70,01

5

67,43

Luis estima que el chofer manejó aproximadamente 350 km en su recorrido. Felipe estima que manejó 250 km en todo el recorrido. ¿Quién tiene la respuesta razonable? Explica tu respuesta.

Capítulo 9 237

Libro 5.indb 237

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De aquí y de allá AL

Resolución de Problemas

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

Los Juegos Olímpicos

Un favorito del invierno: snowboard

E

l snowboard hizo su debut olímpico en 1998. Hombres y mujeres compiten en eventos incluyendo media tubería, eslalon gigante y snowboard cross. En 2006, Shaun White de San Diego, California, ganó la medalla de oro en la competición masculina de media tubería.

Usa la tabla para responder las preguntas.

1 Halla la diferencia entre el puntaje de Shaun White y el de Risto Mattila.

2 ¿Cuántos puntos más necesitaría Daniel Kass para superar el puntaje de Shaun White?

3 Redondea el puntaje de Gary Zebrowski al número entero más cercano.

4 El puntaje de cada atleta es la suma de los puntajes otorgados por cinco jueces. Si cada juez dio a Daniel Kass el mismo puntaje, ¿cuál fue el puntaje?

Principales finalistas olímpicos de media tubería femenino 2006 Atleta Torah Bright Hanna Teter Kelly Clark Jiayu Lin Sophie Rodriguez Mercedes Nicoll Zhifen Sun Holly Crawford Ursina Haller Helena Hight

País Australia Estados Unidos Estados Unidos China Francia Canada China Australia Suiza Finlandia

Puntos 45,0 42,4 42,2 39,3 34,4 34,3 33,0 30,3 27,9 24,6

5 Halla la diferencia entre el puntaje de Antti Autti y el de Vinzenz Lueps.

6 Formula un problema Escribe un problema como el Problema 5 que compare los puntajes de otros dos finalistas principales.

238

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s

Un Desafío de verano— Correr el maratón

E

l maratón de larga distancia, tal como lo conocemos hoy, está basado en una leyenda griega. Pheidippides (f • dip’ i • dz’), un soldado, corrió sin parar desde la ciudad de Maratón, Grecia, hasta Atenas, Grecia. Llevaba la noticia de la victoria del ejército en la batalla de Maratón.

En Chile, carreras de larga duración se celebran frecuentemente, además del maratón de Santiago de Chile que se celebra cada año, existe también la super-maratón de 70 kilómetros entre Licán Ray y Villarica y recientemente en 2011 se incorporó la primera corrida del Paine.

La distancia que separaba a ambas ciudades era 41 kilómetros. El soldado exhausto murió después de la corrida. En homenaje a este acontecimiento, los griegos incluyeron en la celebración de sus olimpiadas esta carrera de 41 kilómetros de distancia.

1

Usa el mapa para ayudarte a diseñar tu propia ruta de maratón.

u Halla un pueblo o ciudad que esté a 26 kilómetros de donde vives aproximadamente.

u Dibuja un mapa de la ruta de maratón que vas a seguir. Coloca una marca cada 5 kilómetros.

2

Durante una carrera, un atleta debería detenerse en una estación de agua cada 30 minutos. Un atleta de maratón que completa la carrera en 4 horas corre un kilómetro en 9,2 minutos aproximadamente.

u ¿Aproximadamente cuántos kilómetros puede correr un atleta de maratón antes de que necesite detenerse por agua?

u ¿Cuántas estaciones de agua necesitarás en tu ruta? Dibuja símbolos en tu ruta que indiquen las ubicaciones de las paradas de agua.

u Coloca 4 estaciones de primeros auxilios en tu ruta. ¿Cuántas kilómetros hay entre cada estación de primeros auxilios?

Capítulo 9 239

Libro 5.indb 239

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4

Libro 5.indb 240

Geometr铆a y Medici贸n

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Matemática en Contexto ¿Qué matemáticas ves en Matemática en Contexto ? ¿Qué clase de polígonos puedes identificar en las joyas que se muestran?

REPASO DEL VOCABULARIO  Cuando aprendiste sobre  Las piedras preciosas y semipreciosas se encuentran en la Tierra en forma de piedras amorfas y opacas.

líneas, ángulos y figuras geométricas, aprendiste las siguientes palabras. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto? perímetro medida del contorno de una figura geométrica. polígono figura plana cerrada. área superficie interior de una figura plana.

Copia y completa el cuadro usando lo que sabes de perímetros.  Las caras planas, llamadas facetas, se cortan con precisión para dar formas tridimensionales a las gemas.

Relación de triángulos equiláteros y su perímetro 6

2 triángulos perímetro = 24 cm

4 triángulos perímetro = ?

3 triángulos perímetro = 30cm

6 triángulos perímetro = ?

 Las gemas de colores se usan en diseños de joyería en los que se incorporan líneas y ángulos simétricamente.

Capítulo 10 241

Libro 5.indb 241

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CAPÍTULO

10

Geometría y el plano cartesiano La idea importante 

El plano cartesiano se puede usar para representar gráficamente y ecuaciones.

Chile

DATO BREVE

Cerro Paranal

Investiga Imagina que estás a bordo del transbordador espacial y has registrado los datos dados a la derecha. Representa gráficamente los datos en una cuadrícula de coordenadas. Describe la relación entre los días de vuelo y las órbitas, y di cuántas órbitas se completarían en los otros días de vuelo dados.

El observatorio Cerro Paranal está ubicado en el cerro del mismo nombre, en Antofagasta. Está regido por el ESO (Observatorio Europeo del Sur). Posee el telescopio más poderoso del planeta y logra captar a un hombre paseando por la luna. Además de las observaciones astronómicas, también colabora en el seguimiento de cohetes y satélites.

Órbitas del transbordador espacial Días de vuelo, x

3

4

5

6

7

Órbitas, y

48

64

80

96

112

242

Libro 5.indb 242

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Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 10.

C Usar el plano cartesiano/Hacer gráficos de pares ordenados

1. (9,9) 

2. (8,7) 

3. (7,6) 

4. (2,3) 

5. (6,2) 

6. (5,6) 

7. (7,3) 

8. (0,5) 

9. (1,8) 

10. (4,4) 

11. (3,7) 

12. (2,1) 

13. (5,9) 

14. (10,4) 

15. (9,1) 

eje de la y

Usa los pares ordenados para identificar cada punto de la cuadrícula.

10 L P 9 C 8 J F 7 M A 6 H 5 D K 4 B N 3 G 2 E O 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

C Patrones numéricos Halla una regla. Usa la regla para completar la tabla.

16.

a aa a b bbb

17.

h hhh k kk k

18.

ww x xx x ww

19.

mm mm n nnn

1212 1212 8 88 8

2020 2020 2222 2222

4848 6 66 6 4848

3333 3333 1111 1111

1414 1414 1010 1010

1515 1515 1717 1717

5656 7 77 7 5656

2727 2727 9 99 9

1616 1616 1212 1212

1010 1010 1212 1212

6464 8 88 8 6464

2121 2121 7 77 7

1818 1818

5 55 5

9 99 9

1515 1515

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

plano cartesiano función tabla de funciones par ordenado origen

eje de la x eje de la y coordenada x coordenada y

PREPARACIÓN

par ordenado un par de números que se usan para ubicar un punto en el plano cartesiano eje de la x la recta numérica horizontal en un plano cartesiano eje de la y la recta numérica vertical en un plano cartesiano

Capítulo 10  243

Libro 5.indb 243

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

1 Hacer gráficos de pares ordenados álgebra

Benjamín recorre 16 cuadras hacia el sur, 17 cuadras hacia el oeste y 12 cuadras hacia el sur. ¿Cuántas cuadras recorre Benjamín?

OBJETIVO: Hacer gráficos e identificar puntos en el primer cuadrante del plano cartesiano usando pares ordenados.

Aprende Un mapa se usa para hallar puntos de ubicación y la relación de un punto de ubicación con otro. Esta relación y la relación de un objeto con otro se pueden mostrar en un plano cartesiano.

Vocabulario par ordenado

Para llegar al punto A, comienza donde se intersecan las rectas numéricas, en (0,0). En un par ordenado, el primer número es la coordenada x. La coordenada x indica la distancia a la cual debe moverse en dirección horizontal desde (0,0). El par ordenado del punto A tiene una coordenada x de 3. El segundo número en un par ordenado, o coordenada y, indica la distancia a la cual debe moverse en dirección vertical. El punto A tiene una coordenada y de 2. El par ordenado (3,2) da la ubicación del punto A.

Eje de la y

Un plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas perpendiculares. La recta numérica horizontal se llama eje de la x. La recta numérica vertical se llama eje de la y. Cada punto de una cuadrícula de coordenadas, puede ubicarse usando un par ordenado de números, (x,y). 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

eje de la x

coordenada x

eje de la y

coordenada y

Museo de Bellas Artes

Estación Mapocho

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Eje de la x

•  ¿Qué par ordenado da la ubicación de la Estación Mapocho?

Ejemplo  Marca en la gráfica el par ordenado (5,7).

(5,7)

eje de la y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Comienza en (0,0). Mueve 5 unidades hacia la derecha. Mueve 7 unidades hacia arriba. Marca el punto.

Idea matemática

El eje de la x y el eje de la y se intersecan en el punto (0,0). Los puntos que están en el eje de la x tienen un 0 en la coordenada y. Los puntos que están en el eje de la y tienen un 0 en la coordenada x.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

•  El punto (0,6) está en uno de los ejes. ¿En cuál de los ejes está?

244

Libro 5.indb 244

24-01-13 10:12


Práctica con supervisión 1. Usa el plano cartesiano. Comienza en (0,0). Mueve 6 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. ¿Qué punto está en (6,2)?

2. D

3. G

 4. C

Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano. 5. X (9,0) 8.

6. Y (6,8)

C A B E

eje de la y

Usa el plano cartesiano. Escribe un par ordenado para cada punto.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

 7. Z (4,10)

D H F I

K

G J

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

Explica cómo escribir el par ordenado para el punto K en el plano cartesiano.

Práctica independiente y resolución de problemas Usa el plano cartesiano anterior. Escribe un par ordenado para cada punto. 9. B

10. H

11. F

12. J

13. A

14. E

Grafica y rotula los siguientes puntos en un plano cartesiano. 15. J (1,1)

16. K (0,4)

17. L (2,5)

18. P (5,2)

19. S (6,0)

USA DATOS Para 20–22, usa el mapa. 21. El Parque Forestal está ubicado en el punto A en el mapa

cuadrículado. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Forestal? 22. Razonamiento  ¿Qué ubicación está 2 unidades al oeste y

4 unidades al norte del Parque O’Higgins? 23.

Explica por qué el orden es importante cuando se grafica un par ordenado en un plano cartesiano.

0

Comprensión de los Aprendizajes 24. ¿Qué número se representa gráficamente en

la recta numérica?

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

eje de la y

20. ¿Qué par ordenado da la ubicación del Parque Quinta Normal?

Parque Padre Hurtado

Parque Araucano

Parque Parque Quinta O’Higgins Normal A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

26. ¿Cuántas caras contendrá la plantilla de un

cubo? 27. Preparación para la prueba. El punto (5,0):

0

1

2

3

4

5

6

7

25. ¿Cuál es la longitud de un segmento que une

los puntos (5,1) y (10,1)? Grafica para resolver.

Práctica adicional en la página 260, Grupo A

Libro 5.indb 245

A no es un par ordenado C está en el origen B está en el eje de la x

D  está en el eje

de la y

Capítulo 10 245

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

2 Hacer gráficos ÁLGEBRA

Copia y completa la tabla.

OBJETIVO: Hacer gráficos de relaciones de tablas de entrada y de salida.

Aprende

Número de 1 cuadrados

2

3

Número de 4 lados

8 j j j j j

4

5

6

7

PROBLEMA  Matías usa triángulos equiláteros para hacer cuadriláteros. Cada lado de un triángulo equilátero mide 1 unidad. ¿Cuál es la relación del número de triángulos con el perímetro del cuadrilátero? ¿Cuál es el perímetro de un cuadrilátero que se compone de 6 triángulos equiláteros?

Ejemplo 2 unidades 1 unidad 2 unidades

Puedes mostrar la relación en una tabla. Número de triángulos, x

2

3

4

5

6

Perímetro, y en unidades

4

5

6

7

?

Un par ordenado representa la relación de la tabla en una gráfica. El primer número del par ordenado representa el número de triángulos en el cuadrilátero. El segundo número del par ordenado representa el perímetro.

y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Perímetro, en pulgadas, y

1 unidad 1 unidad 1 1 1 unidad unidad 1 1 unidad unidad unidad 2 unidades 1 unidad

0

El perímetro de cada cuadrilátero es 2 veces mayor que el número de triángulos equiláteros que lo componen. Para esta relación, el número en el eje de la y es siempre 2 veces mayor que el número en el eje de la x.

Ejemplo Haz una gráfica de la relación que se muestra en la tabla. Número de triángulos, x

1

2

3

4

Número de lados, y

3

6

9

12

Haz una gráfica de los pares ordenados.

Escribe los pares ordenados para los datos. (1,3), (2,6), (3,4), (4,12)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de triángulos, x

y

Número de lados, y

Por lo tanto, el perímetro de un cuadrilátero compuesto por 6 triángulos equiláteros mide 8 unidades.

(5,7) (4,6) (3,5) (2,4)

14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

(4,12) (3,9) (2,6) (1,3)

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de triángulos, x

246

Libro 5.indb 246

24-01-13 10:12


y

Práctica con supervisión

Número de cuadrados, x

1

2

Perímetro del rectángulo, en unidades, y

4

j j j

3

Perímetro, en unidades, y

1. Usa la tabla y la gráfica para completar los pares ordenados.

4

(1,4), (2,6), (3,), (4,)

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

(4,j) (3,j) (2,6) (1,4)

x

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de cuadrados, x

Escribe los pares ordenados. Luego, represéntalos gráficamente. 2.

Número de lados, x

3

6

9

12

Número de triángulos, y

1

2

3

4

3.

Número de pentágonos, x

1

2

3

4

Número de lados, y

5

10

15

20

Explica qué significa cada número del par ordenado (6,8).

4.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe los pares ordenados. Luego, represéntalos gráficamente. 5. 6. Número de cilindros, x Número de conos, x 1 4 6 8

Número de vértices, y

1

4

6

2

3

4

5

4

6

8

10

Número de triángulos equiláteros, x

1

2

3

Número de ángulos internos de 60°, y

3

6

9 12

Número de bases planas, y

8

Para 7–8, usa la tabla. 7. Escribe los pares ordenados en la tabla.

Luego, representa gráficamente cada par ordenado. 8. Razonamiento  ¿Qué significa (3,9) en la gráfica

4

de la tabla?

Comprensión de los Aprendizajes 9. Halla el valor de n en la ecuación

11. ¿Qué número es 1 vez menor que 3?

105 5 (25 1 n). 10. ¿Qué número del par ordenado (7,6) es la

coordenada y?

0

1

2

3

4

5

Práctica adicional en la página 260, Grupo B

Libro 5.indb 247

Capítulo 10 247

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

3

Destreza: Información relevante o irrelevante OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza información relevante o irrelevante.

Usa la destreza

Marcela les dijo que la tienda de zapatos estaba ubicada en las coordenadas (6,2). El cine está ubicado 5 unidades a la izquierda y 1 unidad hacia abajo de la tienda de zapatos. La biblioteca está ubicada 2 unidades a la derecha y 3 unidades hacia arriba del cine. La escuela tiene la misma coordenada x que la tienda de zapatos y la misma coordenada y que la biblioteca. ¿Dónde está la escuela?

eje de la y

PROBLEMA  Marcus está haciendo un mapa de su vecindario en un plano de coordenadas para sus nuevos vecinos. Están buscando la escuela.

A veces un problema contiene la información que necesitas para una pregunta pero no para otra. Debes decidir qué información es relevante, o necesaria, para resolver el problema. Dato

Coordenadas

La tienda de zapatos está ubicada en (6,2).

(6, 2)

El cine está ubicado 5 unidades a la derecha y 1 unidad hacia abajo de la tienda de zapatos.

(1, 1)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Biblioteca

Escuela

zapatería cine 1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

Relevante o irrelevante relevante irrelevante

La biblioteca está ubicada 3 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba de la tienda de zapatos.

(3, 4)

relevante

La escuela tiene la misma coordenada x que la tienda de zapatos y la misma coordenada y que la biblioteca.

(6, 4)

relevante

Por lo tanto, la escuela está ubicada en (6, 4).

Piensa y comenta Para resolver a y b, usa el mapa ilustrado arriba. Menciona la información relevante y resuelve los problemas. a. La coordenada y de la casa de Marcelo es 3 unidades mayor que la zapatería. La coordenada x de su casa es menor en 2 unidades que la de la biblioteca. ¿Cuáles son las coordenadas de la casa de Marcelo? b. La tienda de mascotas se trasladó de su ubicación anterior en (2, 2). La nueva ubicación tiene la misma coordenada x que la biblioteca y está directamente a la derecha del cine. ¿Dónde está la tienda de mascotas?

248

Libro 5.indb 248

24-01-13 10:12


Resolución de problemas con supervisión Para 1–3, usa el mapa. Menciona la información relevante y resuelve los problemas. favoritos. El Rincón de la hamburguesa está ubicado en las coordenadas (2,1). El Deli de Juan está 5 cuadras directamente al norte del Rincón de la hamburguesa. Tazón de pasta está ubicado 4 cuadras al este del Deli de Juan. La Pizzería de Cata tiene una coordenada y que está 2 cuadras al sur del Deli de Juan y una coordenada x que está 1 cuadra al este del Rincón de la hamburguesa. ¿Cuáles son las coordenadas de la Pizzería de Cata? Piensa: ¿Qué necesitas hallar? las coordenadas de la Pizzería de Cata

eje de la y

1. Pamela marcó en un mapa la ubicación de sus restaurantes

9 8 7 6 5 4 3 Rincón de la 2 hamburguesa 1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

¿Qué datos son relevantes para resolver el problema? las coordenadas del Rincón de la hamburguesa y las coordenadas del Deli de Juan Rincón de la hamburguesa: (2,1)  Deli de Juan: (2,)  Pizzería de Cata: (,) 2. ¿Qué pasaría si la Pizzería de Cata estuviera

directamente al sur de Tazón de pasta y directamente al oeste del Rincón de la hamburguesa? ¿Cuáles serían entonces las coordenadas de la pizzería de Cata?

3. Inés quiere abrir un restaurante que está

5 cuadras al sur de Tazón de pasta y 4 cuadras al este del Rincón de la hamburguesa. ¿Cuáles serían las coordenadas de su restaurante?

Aplicaciones mixtas 4. Daniela empezó a caminar a las 11:00 a.m.

Caminó 2 cuadras hacia el norte, 3 cuadras hacia el este, 2 cuadras hacia el sur y 3 cuadras hacia el este. Caminó durante ​ 34_ ​de hora. ¿Qué figura forma el camino que recorrió?

5. Martín y Lucas son hermanos. La suma de

sus edades es 22 años y la diferencia de sus edades es de 2 años. Martín es mayor que Lucas. ¿Cuántos años tiene cada niño? Explica cómo sabes que tu respuesta es correcta.

6. El club de jardinería necesita 50 plantas. Si

15 plantas cuestan $4 695, ¿cuánto pagaría el club de jardinería por las 50 plantas? 7.

Sue usó un plano de coordenadas para planear su jardín. Plantó rosales en un cuadrado alrededor de su jardín como arriate. Cada lado del cuadrado mide 5 cm. de largo. Si 1 unidad en el plano de coordenadas es igual a 1 centímetro y el centro del cuadrado está en el punto (6,6), ¿dónde están los 4 vértices del cuadrado? Explica cómo lo sabes.

Capítulo 10 249

Libro 5.indb 249

24-01-13 10:12


4

Figuras congruentes OBJETIVO: Identificar figuras congruentes.

Repaso rápido Identifica la figura.

3. 

Investiga Materiales

1. 

2.  4. 

5. 

■ papel punteado ■ tijeras ■ regla

Puedes colocar una figura sobre otra para ver si coinciden. Dibuja las parejas de figuras en papel punteado.

Vocabulario congruente

Recorta cada pareja. Muévelas de cualquier manera para comprobar si coinciden. En otra hoja de papel punteado, dibuja dos figuras que creas que van a coincidir. Recorta una y comprueba si las figuras coinciden.

Sacar conclusiones 1. ¿Cómo moviste las figuras para comprobar si

coinciden? 2. Explica en qué se parecen y en qué se diferencian las

parejas que coinciden. 3. ¿Qué puedes concluir acerca de las parejas de figuras que coinciden? 4. Ampliación  Escribe un grupo de instrucciones que expliquen cómo se dibujan dos figuras en papel punteado, que tengan el mismo tamaño y forma, pero que después de girarlas, estén en direcciones diferentes.

250

Libro 5.indb 250

24-01-13 10:12


Relacionar Las figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma son congruentes.

Figuras

Congruentes o no congruentes B

A

Ambos segmentos miden 1 centímetro de largo. Tienen la misma longitud y la misma forma. Son congruentes.

C

D Los círculos tienen la misma forma, pero sus diámetros son de diferentes longitudes. Los círculos no son del mismo tamaño. No son congruentes.

F

G

F y G miden 90. Los ángulos son del mismo tamaño y forma. Coincidirán exactamente cuando uno se coloque sobre el otro. Son congruentes.

Los pentágonos tiene la misma forma, pero son de tamaños diferentes. No son congruentes.

Las imágenes de las pelotas de fútbol parecen ser de la misma forma y tamaño. Son congruentes. ¿Cuáles son algunos objetos en la sala de clases que son congruentes o no congruentes?

Practicar Di si las dos figuras son congruentes o no congruentes.

1.

4.

2.

5.

Para los ejercicios 7 y 8, usa los polígonos A a E.

7. ¿Qué parejas de polígonos son congruentes?

Explica. 9.

6.

A

B

C

D

E

8. ¿Qué parejas de polígonos no son congruentes? Explica.

Explica si la afirmación todos los círculos son congruentes es verdadera o falsa. Puedes incluir un dibujo en tu explicación.

Práctica adicional en la página 260, Grupo D

Libro 5.indb 251

3.

Capítulo 10 251

24-01-13 10:12


5 Rotación

Repaso rápido

OBJETIVO: Relacionar las medidas de ángulos con

​ 1_4 ​, ​  1_2 ​, ​  3_4 ​y

giros completos.

Investiga

Nombra cada ángulo. Escribe agudo, obtuso o recto. 1. 

2.

3.

4.

5.

Materiales ■ 2 tiras de papel ■ sujetadores

Puedes hacer girar tiras de papel para explorar la relación entre giros y medidas de ángulos. Los rayos de un círculo se pueden girar en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj.

en el sentido de las manecillas del reloj

en sentido contrario a las manecillas del reloj

Abre la tira de papel para formar un ángulo de 908. ¿Es este un giro de ​ _14 ​, ​  _12 ​, ​  _34 ​o un giro completo?

Abre la tira de papel ​ _14 ​de giro más para formar un ángulo de 1808. ¿Es este un giro de ​ _14 ​, ​  _12 ​, ​  _34 ​o un giro completo?

Haz otro giro de ​ _14 ​para formar un ángulo de 2708. ¿Es este un giro de ​ 1_4 ​, ​  1_2 ​, ​  43_ ​o un giro completo?

Gira la tira de papel ​ _14 ​para finalizar el círculo.

¿Es este un giro de ​ _14 ​, ​  _12 ​, ​  _34 ​o un giro completo?

Sacar conclusiones 1. ¿Cuántos grados hay en un giro completo? 2. ¿Cuántos giros de ​ _14 ​se necesitan para hacer un giro completo?

3. Síntesis  Explica la relación entre las medidas de ángulos y giros.

252

Libro 5.indb 252

24-01-13 10:12


Relacionar Puedes relacionar giros y ángulos medidos en grados con las manecillas del reloj. Las manecillas del reloj representan los rayos de un ángulo. Cada minuto que marca el reloj representa 68.

11 12 1 2 10 9 3 4 8 7 6 5

11 12 1 2 10 9 3 4 8 7 6 5

11 12 1 2 10 9 3 4 8 7 6 5

15 minutos de tiempo 30 minutos de tiempo 45 minutos de tiempo transcurrido transcurrido transcurrido 15 3 68 5 908

30 3 68 5 1808

45 3 68 5 2708

El minutero ha

El minutero ha

El minutero ha

girado 908.

girado 1808.

girado 2708.

Explica en qué se parecen un

ángulo de 270° en un círculo a un giro de ​ 3_4 ​y a un período de 45 minutos en un reloj.

Practicar Di si los rayos en el círculo muestran un giro de ​ 1_4 ​, ​  1_2 ​, ​  3_4 ​ o un giro completo. Después, identifica el número de grados que se han girado los rayos en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Di si la figura ha sido girada 908, 1808, 2708 o 3608 en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario a las manecillas del reloj. 9. 2oz 0

14

1000g 0g

z

14.

15.

16.

4o z

10

0g

1000g 2.2 lb

10

g

700

300 g

10

8

g 200

12o

12.

6

800g

11.

2

2lb 90

10.

0g

500g 4o z

13.

17.

0g

12

6

oz

8

60

40

14

2

1lb

Explica cómo el resultado de un giro de 90˚ en el sentido de las manecillas del reloj puede parecer el resultado de un giro de 270˚ en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Capítulo 10 253

Libro 5.indb 253

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

6

Simetría

Repaso rápido

OBJETIVO: Identificar simetría axial y rotacional en figuras geométricas.

Aprende

Laura necesita dos fichas congruentes para un diseño. ¿Cuáles fichas parecen ser congruentes?

PROBLEMA La simetría se puede encontrar en todo nuestro alrededor. Existe en la naturaleza, el arte, la arquitectura y la música. Un tipo de simetría que se encuentra en las figuras geométricas es la simetría axial. Este letrero está en las colinas de Hollywood, California. ¿Cuáles letras en el letrero de Hollywood muestran simetría axial?

Vocabulario

Una figura tiene simetría axial si se puede doblar a lo largo de una línea de manera que las dos mitades coincidan exactamente, haciendo que ambas partes sean absolutamente congruentes.

simetría axial simetría rotacional

Actividad 1  Explora la simetría axial. Materiales

■ bloques de patrón ■ papel ■ tijeras

Paso

Paso

Paso

Usa bloques de patrón o papel punteado para hacer la letra W.

Traza la W.

Recorta por el trazo.

Paso Dobla por el trazo.

Las dos partes de la W doblada coinciden exactamente. Por lo tanto, la W tiene simetría axial. Ya que ambas partes coinciden entre sí, por lo que también se denominan congruentes.

La H tiene 2 ejes de simetría.

La L tiene 0 ejes de simetría.

La Y tiene 1 eje de simetría.

La O tiene 2 ejes de simetría.

La D tiene 1 eje de simetría.

Por lo tanto, H, O, Y, W y D tienen simetría axial.

254

Libro 5.indb 254

24-01-13 10:12


Simetría central Una figura tiene simetría central si se puede rotar sobre un punto central y conservar la misma apariencia en por lo menos dos posiciones. Por lo tanto al rotar la figura, esta mantiene su forma o es congruente con la figura inicial.

Este es un giro de ​ _14 ​, un cuarto de giro, o 90 alrededor de un punto.

Este es un giro de ​ _12 ​, medio giro, o 180 alrededor de un punto.

Este es un giro de ​ _34 ​, tres cuartos de giro, o 270 alrededor de un punto.

Actividad 2  Explora la simetría central. Materiales

■ papel de trazar ■ bloques de patrones

Paso

Paso

Paso

Traza cada bloque de patrón. Coloca el trazo sobre el bloque de patrón. Pon una X en el tope del trazo.

Mantén los puntos centrales juntos y gira el trazo para ver si coincide exactamente en otra posición.

Registra el número de veces que la figura empareje en otra posición hasta que la X aparezca en el tope del trazo. Si la X coincide en más de una posición, la figura tiene simetría rotacional y su resultado es una figura congruente con la original previa al giro.

X

X

• ¿Cuáles bloques de patrón tienen simetría central? • Dibuja una figura que no tenga simetría central.

Ejemplos  Describe la simetría que parece tener cada figura.   Simetría axial

 Simetría

 Simetría axial y central

central El edificio Torre Entel en Santiago tiene simetría axial, pero no tiene simetría central.

Esta letra Z tiene simetría rotacional. Se puede girar en un punto central y continuar viéndose igual en por lo menos dos posiciones.

 Ningún eje de simetría

Este triángulo tiene 3 ejes de simetría. También se puede girar en un punto central y continuar viéndose igual en por lo menos dos posiciones por lo tanto en el resultado de la rotación surge una figura congruente con la original.

La forma de la Isla de Pascua en el mapa no tiene ejes de simetría.

Capítulo 10 255

Libro 5.indb 255

24-01-13 10:12


Práctica con supervisión 1. En la figura se muestra un eje de simetría. Traza la figura en

papel punteado y dibuja otros 3 ejes de simetría. Di si la figura parece tener simetría axial, simetría central, ambas o ninguna. ¿Por qué? 2.

6.

3.

 4.

 5.

 Explica cómo se puede decidir si una figura tiene simetría axial o simetría rotacional.

Práctica independiente y resolución de problemas Di si la figura parece tener simetría axial, simetría rotacional, ambas o ninguna. ¿Por qué? 7.

8.

9.

10.

Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría. 11.

12.

13.

14.

17. 2 ejes de simetría

18. Simetría rotacional

Dibuja cada figura que tenga lo siguiente. Después, dibuja el eje o los ejes de simetría. 15. 0 ejes de simetría

16. 1 eje de simetría

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 19 a 22, usa las figuras.

A

B

C 

D

19. ¿Cuál figura parece tener 6 ejes de simetría? 20. ¿Cuál figura no parece tener simetría

central de 1808? 21. ¿Cuáles figuras parecen tener simetría

cuando se giran 908, 1808, 2708 y 3608? 22. ¿Cuál figura parece tener el mayor número

de ejes de simetría?

256

Libro 5.indb 256

24-01-13 10:12


23. Razonamiento  ¿Cómo puedes terminar este diseño de manera que tenga por lo menos un eje de simetría?

24. ¿Cuál es el error?  Ignacio dice que todos los

polígonos regulares tienen eje de simetría, pero ninguno tiene simetría rotacional. Describe y corrige su error. 26.

25. La palabra COCO tiene un eje de simetría

horizontal. Halla otras dos palabras que tengan un eje de simetría horizontal.

Elige y dibuja una figura con por lo menos dos ejes de simetría. Después escribe instrucciones que expliquen cómo se hallan los ejes de simetría.

Comprensión de los Aprendizajes 27. ¿Qué movimiento realiza un auto que avanza por una calle? A traslación

B rotación

29. ¿Qué tipo de líneas se encuentran en una esquina de un cuadrado?

C simetría central

30. 864 4 6 5

D simetría axial

31. Preparación para la prueba  ¿Cuál describe

28. Preparación para la prueba  ¿Cuál describe

mejor la simetría en la letra M? A horizontal

C rotacional

B vertical

D medio giro

mejor la simetría en la letra Z?  A horizontal

C rotacional

B vertical

D medio giro

Origamia Materiales

■ papel ■ tijeras

Origamia es el arte de doblar papel y después recortarlo para hacer objetos ornamentales o diseños. Estos diseños fueron hechos doblando el papel una vez. Dobla una hoja de papel por la mitad y después por la mitad otra vez en el primer doblez. Recorta un hoyo en la forma que desees a través del doblez. Usa lo que sabes acerca de la simetría para predecir cómo se verá el diseño. Después abre el papel. ¿Era correcta tu predicción? Predice cómo se verá la figura cuando se desdoble el papel. Comprueba doblando y recortando. 1.

2.

3.

4.

Capítulo 10 257

Libro 5.indb 257

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

7

Traslación

En cada par ordenado indica la coordenada solicitada

OBJETIVO: Trasladar figuras.

Aprende

1. (3,2) x

4. (3,3) y

2. (4,7) x

5. (7,0) y

3. (9,2) y

PROBLEMA  En Curicó, el mall se encuentra ubicado en el punto A(1,1). La plaza en el punto B(3,4) y la farmacia en el punto C(5,19). Quieren cambiar la ubicación de cada uno a otros puntos de la ciudad.

Contesta las siguientes pregunta: 1. Al unir los puntos A, B y C, ¿qué figura se forma? 2. Al unir los puntos de la nueva ubicación, ¿qué forma

tiene la nueva figura? 3. ¿Cómo es el tamaño de ambos triángulos?

eje de la y

¿Cuál es la nueva ubicación del mall, la plaza y la farmacia si los trasladan 6 lugares a la derecha?

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Biblioteca

Escuela

zapatería cine

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

Relaciona el siguiente concepto: Mover una figura de una posición a otra nueva sin perder la forma (figuras congruentes) y tamaño se llama traslación. Ejemplo: la estrella se ha traslado en dirección diagonal y sigue manteniendo la forma y el tamaño.

Figura 1

Figura 2 Figura 1 es congruente con la Figura 2.

Práctica con supervisión Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta.

1.

4.

258

Libro 5.indb 258

2. 3.

5.

6.

Práctica adicional en la página 260, Grupo F

24-01-13 10:12


Práctica independiente y resolución de problemas Di si las dos figuras fueron trasladas o no. Explica tu respuesta. Traslada cada figura en la indicación dada y dibuja su nueva posición sin perder la forma y tamaño. 7. Tres lugares a la derecha

8. Cuatro lugares hacia abajo

9. Tres unidades hacia arriba y tres unidades a la derecha

La tierra efectúa su movimiento de traslación y rotación alrededor del Sol.

10. Escribe

Dibuja un plano cartesiano de 10x10 y trasladar el triángulo ABC de coordenadas A (1,1); B (3,5), C (4,2) 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba ¿Cuáles son las nuevas coordenadas de los vértices del triangulo? Dibujar el nuevo triángulo A´B´C´. ¿Las figuras son congruentes? ¿Por qué?

Comprensión de los Aprendizajes 11. Estima la diferencia entre 39,346 y 26,844 12. Ana gastó $1 347 y Marco gastó $987. ¿Cuánto dinero gastaron en total? 13. ¿Qué número del par ordenado (7,6) es la coordenada x? 14. Representa gráficamente el par ordenado (3,9) en un plano cartesiano.

Capítulo 10 259

Libro 5.indb 259

24-01-13 10:12


Práctica adicional Grupo A  Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la cuadrícula.  1. punto J  2. punto M  3. punto T  10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Copia la cuadrícula. Representa gráficamente y rotula cada uno de los siguientes puntos. 7. (4,2) 8. (0,5) 9. (2,1) 10. (1,0)

11. (5,3) 12. (4,1) 13. (3,3) 14. (0,0)

C

M

L

eje de la y

4. punto K  5. punto F  6. punto L 

T

A

J

B

K F

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

Grupo B  Escribe los pares ordenados. Luego represéntalos gráficamente. 1. Número de triángulos, x

Número de ángulos, y

1

2

3

4

3

6

9

12

2. Número de hexágonos, x

Número de lados, y

1

2

3

4

6

12

18

24

Grupo C Para 1–10, identifica el par ordenado para cada punto.  1. punto A

2.

punto F

3. punto C

4. punto E 

6. punto D

7.

punto G

8. punto H

9. punto I

11. M (3,1)

B 10 9 8 7 6 5 D 4 3 F 2 C 1

10. punto J

H

eje de la y

Para 11–16, representa gráficamente y rotula los pares ordenados en el plano de coordenadas.  12. N (9,6)

13. P (0,7) 14. R (2,5) 15. S (2,0) 16. T (8,5)

0

5. punto B

G A

I J

E

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 eje de la x

Grupo D  Di si la figura parece tener simetría axial, simetría rotacional, ambas o ninguna. 1.

2.

3.

4.

Traza cada figura. Después, dibuja el eje o ejes de simetría.

260

Libro 5.indb 260

24-01-13 10:12


5.

6.

7.

8.

Para los ejercicios 9 a 13, usa las figuras A a F. 9. ¿Qué figura parece tener 6 ejes de simetría? A B

10. ¿Qué figuras no parecen tener simetría cuando se giran 1808?

C D

11. ¿Qué figuras parecen tener simetría cuando se giran 908? 12. ¿Qué figura parece tener más ejes de simetría?

E F

V

13. ¿Qué figura no parece tener simetría axial ni

simetría rotacional?

Grupo E  Escribe una regla para el patrón. Después, copia y dibuja las dos figuras que siguen en tu patrón. 1.

2.

3.

Escribe una regla para el patrón. Después, dibuja la figura que falta en tu patrón. 4.

       ​  ?    ​ —

5.

6.

       ?    ​ — ​

       ?    ​ — ​

7. ¿Cuál sería la octava figura en

el patrón del problema 5?

Capítulo 10 261

Libro 5.indb 261

24-01-13 10:12


Repaso/Prueba del Capítulo 10 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro. 1. Un          ?   ​es un par de números que se usan para ubicar un punto — en una cuadrícula de coordenadas.  

par ordenado origen eje de la x

​o (0, 0).  2. El punto donde se intersecan las dos líneas se llama el        ​  ?  ,  —

Escribe un par ordenado para cada punto. Usa la figura dada.  3. punto

S

6. punto A

4. punto M 7. punto B

5. punto T

eje de la y

Comprueba tus destrezas

8. punto C

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

M C S B

R T

A

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

Usa la figura dada y responde. 9 8 7 Halla una regla para completar la tabla.  6 5 9. 10. 4 x x4 43 32 21 10 0 x x4 43 32 21 10 0 3     y y4 45 56 6 y y12 129 9 0 0 2 1 eje de la y

¿Qué figuras son congruentes? Explica cómo lo sabes.

0

B C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

Comprueba la resolución de problemas Resuelve.  11. Un mapa del vecindario muestra que las

coordenadas del parque son (2,4). La coordenada y de la Municipalidad es la misma que la del parque. La coordenada x de la Municipalidad a la del parque. ¿Dónde está la Municipalidad? 

12. 

Imagina que hay planes para   construir un nuevo parque en el lado opuesto del pueblo. ¿Qué pasaría si el nuevo parque se construyera 5 unidades a la derecha y 8 unidades arriba del parque existente en el Ejercicio 14? Explica dónde estaría ubicado el nuevo parque. 

262

Libro 5.indb 262

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Enriquecimiento • Hacer gráficas de ecuaciones Algunas ecuaciones contienen dos variables. Para hallar el valor de cada variable, reemplaza la primera variable con un valor. Luego, resuelve la ecuación para hallar el valor de la segunda variable.

Ejemplos A ¿Qué valores de x y de y hacen que la ecuación 4 2 x 5 y sea verdadera? 42x5y

Haz una tabla. Enumera 3 valores para x. x y 0

Resuelve la ecuación para y. x

y

0

4

1

1

3

2

2

2

B ¿Qué valores de x y de y hacen que la ecuación y 5 x 1 2 sea verdadera? y5x12

Haz una tabla. Enumera 3 valores para x. x y

Resuelve la ecuación para y. x

y

0

0

2

2

1

3

3

2

4

El punto (1, 3) es un punto común; por lo tanto, es una solución para ambas ecuaciones.

Inténtalo

eje de la y

¿Tienen las dos ecuaciones una solución común? ¡Representa ambas ecuaciones en un plano de coordenadas para determinarlo!

Completa las tablas para cada par de ecuaciones. Luego, representa gráficamente las ecuaciones para hallar una solución común.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1.

2x 2 1 5 y

x

y

x115y

x

y

2.

5x 2 3 5 y

x

y

3x 1 1 5 y

x

1

0

1

0

3

1

3

1

4

3

4

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

y

¡Piénsalo! Explica cómo podrías hallar una solución común para dos ecuaciones con solo mirar una gráfica de las ecuaciones.

Capítulo 10  263

Libro 5.indb 263

24-01-13 10:12


Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 10

5. En la siguiente gráfica, ¿qué par ordenado

identifica al punto P? 

1. ¿Qué coordenadas indican el origen?

A (3,3)

B (2,2)

C (1,1)

D (0,0)

eje de la y

2. En la ecuación y = 2x + 1 ¿Qué par ordenado

pertenece a la ecuación? 

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A (0,3)

B (0,1)

A (2,5)

C (2,1)

B (2,4)

D (3,3)

C (1,5)

D (5,2)

3. En la ecuación y = x + 3 ¿Cuál es el valor de x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

0

entre los puntos A y B es:   

A 2

9 8 7 C 4 6 P D 5 5 4 4. ¿Qué número va en el cuadrado para hacer 3 este enunciado 2 numérico verdadero? 1

A 2

B 7

C 9

D 14

eje de la y

B 3

eje de la y

P

9 8 7 6 5 4 3 2 1

6. En la siguiente gráfica. La distancia que hay

si y = 8?

eje de la y

Opción múltiple

(8 2 6) 3 7 5 2 3 j 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

A 3

B 4

C 5

D 6

A

B

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

264

Libro 5.indb 264

24-01-13 10:12

1 2


Geometría

10. ¿Qué transformación se efectuó a la figura 1

para obtener la figura 2?

7. ¿Cuántos ejes de simetría parece tener esta

figura?

A 5

C 3

B 4

D 2

8. ¿Cuál es la longitud del segmento AB que se

0

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

figura 1

figura 2

A Traslación B Simetría central

A

C Simetría axial D Rotación 11. El siguiente mapa muestra las ubicaciones de

4 tiendas diferentes. ¿Qué tienda está ubicada en (2,2)?

B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 eje de la x

A 4 unidades

B 5 unidades

C 6 unidades

D 7 unidades

eje de la y

eje de la y

muestra en la cuadrícula?

9. ¿En cuál de las siguientes opciones la línea

NO es un eje de simetría?

9 8 7 6 Tienda de 5 mascotas P 4 3 Q 2 1 Juguetería 0

Tienda de comestibles R

S Tienda de computación

1 2 3 4 5 6 7 8 9 eje de la x

B

A

A Tienda de mascota B Tienda de computación C Tienda de comestibles

C

D

D Juguetería

Capítulo 10 265

Libro 5.indb 265

24-01-13 10:12


CAPÍTULO

11

Medición y perímetro La idea importante 

Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir usando unidades métricas y unidades usuales.

Investiga Imagina que eres un arqueólogo que trabaja en una excavación en el Valle de la Luna. Marcas el contorno de un área rectangular de 5 metros por 15 metros usando una cuerda. Muestra y describe otras tres figuras planas que se puedan hacer con la misma cantidad de cuerda.

Figuras planas cuadrado triángulo paralelogramo trapecio

Chile

DATO BREVE

A 13 kilómetros al Oeste de San Pedro de Atacama, perteneciente a la región de Antofagasta, se encuentra ubicado el Valle de la Luna, llamado así por su extraña apariencia lunar.

266

Libro 5.indb 266

24-01-13 10:12


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 11.

u Perímetro: contar unidades Halla el perímetro de cada figura. 1.

6.

2.

7.

13 km

3.

8.

8m

11 km

4.

9.

4m 3m

9m

5.

10.

6 cm 6 cm

19 cm 10 cm

u Elegir la unidad apropiada Elige la unidad usual apropiada. 9. altura de una habitación 10. longitud de tu dedo 11. ancho de una cancha de fútbol centímetros o metros   milímetros o centímetros  metros o kilómetros o decimetros Elige la unidad métrica apropiada. 12. longitud de tu escritorio 13. distancia recorrida en 14. ancho de una habitación centímetros o metros bicicleta en 1 hora centímetros o metros o decimetros metros o kilómetros o decimetros

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

fórmula perímetro polígono prisma rectangular

PREPARACIÓN

perímetro la medida del contorno de una figura plana cerrada polígono una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos fórmula un conjunto de símbolos que expresan una regla matemática prisma rectangular un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos

Capítulo 11  267

Libro 5.indb 267

24-01-13 10:12


LE C C

N IÓ

1

Medidas métricas

Sara bebió un vaso de jugo de naranja. ¿Bebió 250 mL o 120 L?

OBJETIVO: Estimar, medir y convertir unidades métricas de longitud, peso y capacidad.

Vocabulario

Aprende La longitud se puede medir usando unidades métricas de medida. Las unidades métricas de longitud incluyen: milímetro (mm), centímetro (cm), decímetro (dm), metro (m), y kilómetro (km). Los objetos comunes se pueden usar como punto de referencia para las unidades usuales de longitud. Por ejemplo, el grosor de una moneda de 10¢ es de aproximadamente 1 milímetro, el ancho de tu dedo índice es de aproximadamente 1 centímetro, el ancho de la mano de un adulto es de aproximadamente 1 decímetro, el ancho de una puerta es de aproximadamente 1 metro y la distancia que puedes caminar en 14 minutos es de 1 kilómetro.

milímetro (mm)

metro (m)

centímetro (cm)

peso

decímetro (dm)

gramo (g)

kilómetro (km)

kilogramo (kg)

litro (L)

mililitro (mL)

Actividad 1  Materiales ■ 5 objetos del salón ■ regla en centímetros Longitud

• Estima la longitud de 5 objetos de tu salón al centímetro más cercano. Registra tu trabajo en una tabla como la que se muestra.  • Usa una regla para medir la longitud de cada objeto al centímetro y milímetro más cercanos. Registra tus medidas.

Objeto Estimación

pupitre

Medida real redondeada al cm más al mm más cercano cercano

j

j

j

El peso es la cantidad de materia contenida en un objeto. Las unidades métricas de peso incluyen: gramo (g) y kilogramo (kg). Los objetos comunes se pueden usar como punto de referencia para las unidades usuales de peso. Por ejemplo, el peso de un billete de $1 000 es de aproximadamente 1 gramo y el peso de un bate de béisbol es de aproximadamente 1 kilogramo.

Peso

Actividad 2  Materiales ■ balanza ■ pesos en gramos y kilogramos ■ objetos del salón

• Estima el peso de 5 objetos de tu sala de clases en gramos o kilogramos. Registra tu trabajo en una tabla como la que se muestra. • Ahora halla el peso de cada objeto usando una balanza. Registra el peso real en la tabla.

Unidad (g/kg)

Estimación

Peso real

tiza

g

j

j

         ​   ?   ​ 

j

j

j

Objeto

268

Libro 5.indb 268

24-01-13 10:13


Más acerca de las medidas métricas La capacidad puede medirse usando unidades métricas. Las unidades métricas de capacidad son: mililitro (mL) y litro (L). Los recipientes comunes se pueden usar como punto de referencia para las unidades usuales de capacidad.

1 mililitro

1 litro

Actividad 3  Materiales ■ gotero en milímetros ■ taza de medir métrica  ■ recipiente de 1 litro, otros

Capacidad

recipientes

• Estima las capacidades de 5 recipientes. Registra tu trabajo en una tabla como la que se muestra. • Ahora mide la capacidad de cada recipiente. Registra la capacidad real de cada recipiente.

Recipiente

Unidad (mL,L)

Estimación

Capacidad real

cucharada

mL

j

j

         ​  ?  ​  —

j

j

j

Puedes convertir de una unidad usual de medida a otra. Recuerda que debes multiplicar cuando conviertas una unidad mayor a una unidad menor, porque necesitas más unidades menores, y debes dividir Unidades métricas de longitud cuando conviertas una unidad menor a una unidad mayor, ya que neccesitas menos unidades mayores. 1 centímetro (cm) 5 10 milímetros (mm) 1 decímetro (dm) 5 10 centímetros (cm)

Usa la multiplicación o la división.  Multiplica. 6 kg 5 j g

1 metro (m) 5 1 000 milímetros  1 kilómetro (km) 5 1 000 metros

 Divide. 900 cm 5 j dm

Piensa: 1 kg 5 1 000 g

Piensa: 1 dm 5 10 cm

6 3 1 000 5 6 000

900 4 10 5 90

6 kg 5 6 000 g

Unidades métricas de masa 1 kilogramo (kg) 5 1 000 gramos (g)

900 cm 5 90 dm

Unidades métricas de capacidad

1 litro (L) 5 1 000 mililitros (mL)

Usa una ecuación para completar la tabla.

Puedes usar la ecuación d 5 m 3 10 para completar la tabla. Metros, m

Decímetros, d

7

j

8 9

d 5 m 3 10

metros, m

decímetros, d

m 5 7 3 10, por lo tanto, d 5 70

7

70

j

m 5 8 3 10, por lo tanto, d 5 80

8

80

j

m 5 9 3 10, por lo tanto, d 5 90

9

90

Práctica con supervisión 1. ¿Cuántos centímetros hay en 35 decímetros?

Capítulo 11 269

Libro 5.indb 269

24-01-13 10:13


Elige la medida más razonable. 2.

3.

14 kg o 14 g

4.

4 mm o 4 dm

5 mL o 5 L

Escribe una ecuación que puedas usar para completar cada tabla. Después, copia y completa cada tabla.  5. Litros, l

Mililitros, mL 7.

7

8

9

10

11

7 000

j

9 000

j

j

6.

Centímetros, cm 1 100 Metros, m

1 000

900

800

700

10

j

j

j

j

 ¿Qué es más exacto, una medida al medio centímetro más cercano o al milímetro más cercano? Explica.

Práctica independiente y resolución de problemas Escribe una ecuación que puedas usar para completar cada tabla. Después, copia y completa cada tabla. 8. Gramos, g

Kilogramos, kg

2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

j

3

j

j

9.

j

Centímetros, cm

9

10

11

12

13

Milímetros, mm

90

j

j

120

j

Estima al centímetro más cercano. Después, mide al medio centímetro más cercano y al milímetro más cercano. 10.

11.

Ordena mayor a menor. 0 cmlas1 medidas cm 2 cm de3 cm 4 cm 5 cm 6 cm

8 cm o 8 m

Álgebra 18. 8 000

7 cm

8 cm

2 mL o 2 L

5 000 kg o 5 000 g

Completa. Di si multiplicas o divides.

mL 5 j L

19. j

cm 5 4 000 mm

20. 16

kg 5 j g

270

Libro 5.indb 270

24-01-13 10:13


USA LOS DATOS  Para los ejercicios 21 a 23, usa la tabla.

Animales en el zoológico de San Diego, EE.UU.

21. Aproximadamente, ¿cuántos mililitros de agua

Animal

se necesitarían para que Tembo llene su trompa dos veces? 22. ¿Cuántos gramos menos que 1 kilogramo pesa Max? 23.

 ¿Cuál es el error?  Gino piensa que las púas de Pocahontas miden aproximadamente la mitad de la longitud de Dottie. ¿Tiene razón?

Dato

Pocahontas el puercoespín

Sus púas miden aproximadamente 30 centímetros de largo.

Dottie y Tevi las hermanas leopardo nublado

Cada una mide aproximadamente 1,5 metros de largo.

Max la cacatúa de cresta salmón

Tiene una masa de aproximadamente 550 gramos.

Tembo el elefante africano

Puede retener aproximadamente 14 litros de agua en su trompa.

Comprensión de los Aprendizajes 24. 56 1 68 1 101 5     25. José bebió 32 tazas de agua. ¿Cuántos

cuartos bebió?  

A 5 centímetros

C 500 centímetros

B 50 centímetros

D 5 000 centímetros

27. Preparación para la prueba  Andrea va a

26. Preparación para la prueba  La mesa de

Marta mide 50 decímetros de largo. ¿Cuántos centímetros mide de largo su mesa? 

salir de viaje. Su maleta pesa 5 kilogramos. ¿Cuántos gramos pesa? Explica tu respuesta.

MEDICIÓN  Un mapa a escala representa la relación entre la distancia mostrada en un mapa y la distancia real. La Cruz del Tercer Milenio, en la ciudad de Coquimbo, es el monumento de fe cristiana más grande de Sudamérica. Anualmente, los días 18, 19 y 20 de septiembre, se congregan decenas de miles de chilenos para celebrar la Fiesta de La Pampilla. La escala de este mapa es de 1 cm 5 100 m. Esto significa que cada centímetro mostrado en el mapa representa 100 metros en distancia real. En el mapa, la distancia de la Cruz del Tercer Milenio a la Pampilla es de aproximadamente 2 cm. Por lo tanto, la distancia real es de aproximadamente 200 m. Halla la distancia real desde la Cruz del Tercer Milenio. 1. Puerto de Coquimbo

2. Estadio Francisco Sánchez Rumoroso

3. Hospital de Coquimbo

Capítulo 11 271

Libro 5.indb 271

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

2 Longitud

1. 15 3 3

OBJETIVO: Identificar y convertir unidades usuales y unidades métricas de longitud.

2. 60 4 12 3. 8 3 12 4. 4 3 5 280

Aprende

5.  15 840 4 5 280

PROBLEMA  Mario necesita 200 centímetros de cadena para su proyecto de artesanía. La cadena se vende por metro. ¿Cuántos metros de cadena necesita?

Ejemplo 1  Convierte centímetros en metros. Halla la cantidad de metros que hay en 200 centímetros. Piensa: 200 centímetros 5 j metros  200 4 100 5 y

Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide.

cantidad de cantidad de centímetros cantidad 4 5 centímetros que hay en 1 metro de metros

↓ ↓ ↓ 200 4 100 5 2 Por lo tanto, Mario necesita 2 metros de cadena.

Ejemplo 2  Convierte metros en milímetros Javiera necesita 4 metros de tela para su proyecto de artesanía. ¿Cuántos milímetros de tela necesita? Halla el número de milímetros que hay en 4 metros. Piensa: 4 metros 5 j milímetros  4 3 1 000 5 x

Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica. cantidad cantidad de milímetros cantidad 3 5 de metros que hay en 1 metro de milímetros

↓ 4 3

↓ ↓ 1 000 5 4 000

Por lo tanto, Javiera necesita 4 000 milímetros de tela.

Más ejemplos   Convierte 130 centímetros.

  Convierte 3 kilómetros en metros.

cantidad cantidad de centímetros cantidad de 4 5 de centímetros que hay en 1 decímetro decímetros

cantidad cantidad de metros que cantidad 3 5 de kilómetros hay en 1 kilómetro de metros

↓ ↓ ↓ 130 4 10 5 13

↓ 3 3

Por lo tanto, 130 centímetros equivalen a 13 decímetros.

Por lo tanto, 3 kilómetros equivalen a 3 000 metros.

↓ ↓

1 000

5 3 000

272

Libro 5.indb 272

24-01-13 10:13


Longitud en unidades métricas Puedes usar la multiplicación y la división para convertir unidades métricas de longitud.

Ejemplo 3  Convierte centímetros en metros. Unidades métricas de longitud

Alberto mide un pedazo de cartulina gruesa de 125 centímetros. ¿Cuál es la longitud en metros? Piensa: 125 centímetros 5 j metros  125 4 100 5 m

10 milímetros (mm)

Para convertir unidades más pequeñas en unidades más grandes, divide.

100 centímetros 1 000 metros

1 centímetro (cm) 1 metro (m) 1 kilómetro (km)

cantidad cantidad de cm cantidad 4 5 de cm que hay en 1 m de m

↓ ↓ ↓ 125 4 100 5 1,25 Por lo tanto, hay 1,25 metros en 125 centímetros.

Idea matemática

Ejemplo 4  Convierte centímetros en milímetros.

Dado que hay 10 mm en 1  ​, 1 cm, 1 mm es igual a ​ __ 10 o 0,1 cm.

Fran mide un trozo de hilo de 15 centímetros de largo. ¿Cuál es la longitud en milímetros? Piensa: 15 centímetros 5 j milímetros  15 3 10 5 n

Para convertir unidades más grandes en unidades más pequeñas, multiplica. cantidad cantidad de mm cantidad 3 5 de cm que hay en 1 cm de mm

↓ ↓ ↓ 15 3 10 5 150 Por lo tanto, hay 150 milímetros en 15 centímetros.

Práctica con supervisión 1. ¿Cuántos centímetros hay en 1 500 metros? Piensa: Se convierte en unidades más grandes; por lo tanto, se divide.

2. ¿Cuántos milímetros hay en 12 centímetros? Piensa: Se convierte en unidades más pequeñas; por lo tanto, se multiplica.

100 centímetros 5 1 metro

1 centímetro 5 10 milímetros

1 500 4 100 5 j metros

12 3 10 5 j milímetros

Convierte las unidades dadas. 3. 7 cm 5 j mm 4. 3 000 m 5 j km 5. 8 m 5 j mm 6. 800 000 cm 5 j km 7. 22 cm 5 j mm 8. 30 mm 5 j cm 11. 2 000 mm 5 j m 12. 12 km 5 j m

15.

9. 2 km 5 j m 13. 5 km 5 j mm

10. 5 m 5 j cm 14. 700 cm 5 j m

Explica cómo convertir 6 kilómetros en milímetros.

Capítulo 11 273

Libro 5.indb 273

24-01-13 10:13


Práctica independiente y resolución de problemas Convierte las unidades dadas. 5 km 5 j m 18. 50 cm 5 j m 19. 25 m 5 j cm 16. 48 cm 5 j mm 17. 20. 70 mm 5 j m 21. 4,2 km 5 j m 22. 3,5 m 5 j cm 23. 480 mm 5 j cm 24. 1,6 km j m

25. 6,4 cm 5 j mm 26. 2,5 m 5 j cm 27. 4 200 cm 5 j m

28. 2,5 km 5 j m 29. 110 mm 5 j cm 30. 5,6 m 5 j cm 31. 6,8 cm 5 j mm

Completa. 32. 145 cm 5 j m 45 cm 33. 4 m 30 cm 5 j mm 34. 7 km 5 6 m j cm

35. 2 cm 35 mm 5 j mm 36. 8 m 50 cm 5 6 mm j cm 37. 12 m 5 10 m j cm USA DATOS  Para 38–42, usa la tabla.

Longitud de la madera

38. ¿Cuántos pedazos de 10 cm puede cortar Luis

de un travesaño? ¿Cuántos centímetros de travesaño sobran?

Artículo

Medida

39. Rita corta un pedazo de 1 m 50 cm de un poste

travesaño

2 m 13 cm

tabla

2 m 67 cm

poste

3 m 81 cm

para acortarlo. ¿Cuánto mide el poste ahora? 40. Juan corta una tabla en tres pedazos iguales.

¿Cuántos centímetros de largo mide cada pedazo? 41. Aaron corta un poste en dos pedazos de igual

tamaño. Le queda un pedazo que mide 1 m 41 cm de largo. ¿Cuánto miden los dos pedazos que cortó Aaron? 42.

Explica cómo restarías la longitud de una tabla de la longitud de un poste. Usa la tabla ilustrada arriba.

Comprensión de los Aprendizajes 43. En la ecuación y = x + 6, si y = 13, ¿Cuál es el

valor de x?

44. Si Miguel avanza 8 pasos a la derecha y 5 hacia

arriba, ¿cuáles son las nuevas coordenadas?

274

Libro 5.indb 274

45. Preparación para la prueba  ¿Cuál de

las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 3,28 metros? A 32,8 cm

C 0,328 km

B 328 cm

D 328 km

46. Preparación para la prueba  ¿Cuál de

las siguientes opciones es equivalente a una longitud de 2 m 30 cm? A 23 cm

C 2 030 mm

B 230 cm

D 0,23 m

Práctica adicional en la página 286, Grupo A

24-01-13 10:13


Formula un problema Se pueden formular problemas diferentes usando un conjunto dado de datos. Para hacerlo, se deben convertir las unidades de los datos. La señorita Serra pidió a su clase que usara los datos de la tabla para escribir un problema relacionado con las dimensiones de los columpios.

Columpios Tamaño

Longitud (cm) Ancho (cm)

Grande A

270

240

Grande B

210

300

Mediano A

210

250

Mediano B

120

240

Pequeño A

200

210

Pequeño B

170

230

Primero, convierte las dimensiones de los columpios a metros para poder comparar con exactitud las longitudes dadas y el espacio descrito en mi problema. Tamaño

Longitud

Ancho

Grande A

2,7

2,4

Grande B

2,1

3,0

Mediano A

2,1

2,5

Mediano B

1,2

2,5

Pequeño A

2,0

2,1

Pequeño B

1,7

2,3

Para formular un problema: • Comprender de qué se trata el problema. •  Estudiar los datos. • Completar todos los cálculos necesarios para resolver el problema. • Resolver el problema para comprobar que otros puedan resolverlo según lo que has escrito.

Finalmente, escribe este problema sobre los datos. “En su jardín, el señor Torres tiene un espacio que mide 5 m de largo y 2 m de ancho. ¿Qué columpios puede instalar en el espacio que hay en la mitad de su jardín?” Solución: el señor Torres puede instalar los columpios Mediano B, Pequeño A o Pequeño B. Resolución de problemas  Formula un problema usando los datos de los columpios de las siguientes maneras. 1.  Convierte la longitud y el ancho de un

columpio de centímetros a milímetros.

2.  Compara la longitud en milímetros de dos

columpios en el grupo grande, mediano o pequeño.

Capítulo 11 275

Libro 5.indb 275

24-01-13 10:13


3

Estimar el perímetro OBJETIVO: Estimar el perímetro.

Hacer una estimación redondeando al número entero más cercano. 1. 4,74

2. 5,2 1 6,8

3. 3,84 1 1.9

4. 5,8 1 7,1

5. 7,2 1 15,14

Materiales ■ regla métrica ■ cuerda ■ papel

Vocabulario

El perímetro es la medida del contorno de una figura plana cerrada. Una forma de estimar el perímetro de una figura es usando una cuerda, una regla y un calco de una figura.

perímetro

Traza el contorno de tu zapato en una hoja de papel. Marca el contorno tan cerca como puedas de la forma y tamaño de tu zapato. Extiende un pedazo de cuerda alrededor del calco de tu zapato. Alinea la cuerda con cuidado para lograr una buena estimación del perímetro. Marca la cuerda en el lugar donde se cruza. Ahora extiende la cuerda en una línea recta y usa una regla para medir en centímetros la sección marcada. Registra tu respuesta.

Sacar conclusiones 1. Compara el perímetro estimado de tu zapato con

el de tus compañeros. ¿En que se diferencian las medidas? ¿Hay alguna igual? 2. Comprensión  ¿Qué significa estimar una medida?

276

Libro 5.indb 276

24-01-13 10:13


Puedes usar una regla para medir el perímetro de los polígonos.   Halla el perímetro en centímetros.

  Halla el perímetro en metros.

114 m

4 cm

114 m

4 cm

114 m

114 m

4 cm

1 1 1 1 1​__ ​ m 1 1​__ ​ m 1 1​__ ​ m 1 1​__ ​ m

4 cm 1 4 cm 1 4 cm Por lo tanto, el perímetro es de 12 cm.

4

4

4

4

Por lo tanto, el perímetro es de 5 metros.

Explica cómo puedes usar una regla para hallar el perímetro de cualquier polígono.

1. En una hoja de papel, traza el contorno de tu mano con los dedos cerrados. Traza una línea para hacer una figura cerrada. Luego, usa una cuerda y una regla para estimar el perímetro en centímetros. 2. Usando una cuerda y una regla, estima en centímetros el

perímetro de tu libro de matemática. Halla el perímetro de cada polígono en centímetros. 3.

 4.

7.

5. 6.

Explica cómo puedes estimar el perímetro de un polígono regular. 

Capítulo 11 277

Libro 5.indb 277

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

4 Hallar el perímetro

Nombra la cantidad de lados de cada figura.

OBJETIVO: Hallar el perímetro de los polígonos.

Aprende

1.  cuadrado

2.  triángulo

3.  hexágono

4.  octágono

5.  trapecio

PROBLEMA  El edificio del Pentágono, ubicado cerca de Washington, D.C., EE.UU. es un polígono regular. La longitud de cada pared exterior es de 276,6 metros. ¿Cuál es el perímetro del Pentágono?

Usa la suma. Puedes hallar el perímetro de un polígono sumando las longitudes de sus lados.

276,6 m

276,6 1 276,6 1 276,6 1 276,6 1 276,6 5 1 383

El Pentágono es uno de los edificios de oficinas más grandes del mundo.

Usa la multiplicación. Dado que el pentágono es un polígono regular, multiplica la longitud de un lado por el número de lados. 276,6 3 5 5 1 383

Por lo tanto, el perímetro es de 1 383 metros.

Más ejemplos  Halla el perímetro de cada figura. 8 dm

2 mm 5 mm

5 mm

5,4 cm

2 mm

4 dm

5,4 cm

2,7 cm

6 mm 2 1 5 1 2 1 6 1 5 5 20 El perímetro es de 20 mm

5,4 1 2,7 1 5,4 5 13,5 El perímetro es de 13,5 cm

8 1 4 1 8 1 4 5 24 El perímetro es de 24 dm

•  ¿Cuál es el perímetro del rectángulo del Ejemplo C en metros?

Práctica con supervisión 1. Halla el perímetro del cuadrado. 10 1  1  1  5  cm o  3 10 5  cm

10 cm

278

Libro 5.indb 278

24-01-13 10:13


Halla el perímetro de cada polígono.

2m

2.

3. 8m

3m

4m

6m

 4.

 5.

6 mm

8 cm 4 cm

6m 5m

Explica cómo hallar el perímetro de un cuadrado.

6.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el perímetro de cada polígono.

3 cm

7.

8.

2m

3m

5 cm

9.

4 mm

10. 7,3 cm

2,1 cm 2,1 cm

3m 4m

12. 10 cm

11.

8 mm

5 mm

8,3 m

13.

6,8 m

3 mm

15. Dora hizo un modelo a escala del edificio del

1,9 m

14.

5,2 cm 3,8 cm

2,1 cm

3m 1m

7,2 m 3m

16.

Pentágono. La longitud de cada lado del modelo es de 9,2 centímetros. ¿Cuál es el perímetro del modelo del Pentágono que Dora hizo?

¿Cuál es el error? Daniel rotuló un lado de un rectángulo 3 cm y otro lado 5 cm. Daniel dijo que el perímetro de su rectángulo es 8 cm. ¿Cuál fue su error?

Comprensión de los Aprendizajes 17. Un cuadrado tiene 50 cm de perímetro.

¿Cuánto mide su lado? 

19. Preparación para la prueba  El siguiente

polígono es un hexágono regular.

8 mm

18. ¿Cuántos lados tiene un rectángulo?

¿Cuál es el perímetro? A 40 mm C 51 mm B 48 mm

Práctica adicional  en la página 286, Grupo B

Libro 5.indb 279

D 60 mm

Capítulo 11 279

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

5 Fórmulas del perímetro Álgebra

OBJETIVO: Hallar el perímetro de polígonos usando fórmulas.

Aprende Puedes hallar el perímetro de un polígono usando una fórmula.

Actividad 

Materiales

Ana tiene un marco para fotografías de 15 centímetros de longitud y 9 centímetros de ancho. Quiere adornar el borde con cuentas. ¿Cuántos centímetros de cuentas necesita Ana?

■ regla métrica

• Traza un cuadrado, un rectángulo y un paralelogramo. Haz una tabla para tus datos.

• Mide y registra las longitudes de los lados de cada figura. Luego, registra cada perímetro. • Busca una relación entre las longitudes de los lados y el perímetro. Genera una fórmula para calcular el perímetro de cada figura y regístrala.

Ejemplo Una plataforma petrolera tiene 188 metros de longitud y 118 metros de ancho. ¿Cuál es el perímetro de la plataforma? P 5 l 1 l 1 a 1 a, o 2l 1 2a P 5 (2 3 188) 1 (2 3 118) P 5 376 1 236 P 5 612

P 5 perímetro l 5 longitud a 5 ancho

Recuerda

Los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud.

Por lo tanto, el perímetro de la plataforma es de 612 metros.

Más ejemplos  Perímetro de un paralelogramo a 5 longitud  b 5 ancho P 5 2a 1 2b m 3) P 5 (2 3 5) 1 (22 3 P 5 16 cm

 Perímetro de un hexágono regular l 5 longitud de un lado P 5 (cantidad de lados) 3 l P5632 P 5 12 m

2m

280

Libro 5.indb 280

24-01-13 10:13


Práctica con supervisión Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 1.

6m

P 5 2a 1 2b P 5 (2 3 6) 1 (2 3 ) 4m P5

 2.

 3.

8 cm

9 cm

4.

Explica por qué puedes usar la misma fórmula, P 5 2l 1 2a, para hallar el perímetro de un rectángulo y de un cuadrado.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 3 cm 5. 4 m 6. 7.

7m

6 cm

6 cm

8.

3,2 m 12 mm

13 mm

4,1 m

5 cm

5 mm Halla el perímetro de cada polígono regular usando una fórmula.

6 cm 12. 5m 11. 10.

9.

1 13 m

3 18 mm 13.

DATO BREVE   La cámara central tiene

14.

74 metros de longitud y 60 metros de ancho. ¿Cuál es el perímetro de la cámara central de la plataforma?

Explica cómo hallar la longitud de cada lado de un triángulo de lados iguales que tiene un perímetro de 84 m.

Comprensión de los Aprendizajes 15. Gabriel está duplicando las medidas de una

receta para una torta. La receta pide 2​  3_4  ​ tazas de harina. ¿Cuánta harina debería usar Gabriel?

17. 64,12 4 4 5

18. Preparación para la prueba  Para qué 16. ¿Cuál es el perímetro de un pentágono regular,

cuya longitud de un lado es de 4 cm?

Práctica adicional  en la página 286, Grupo C

Libro 5.indb 281

polígono se puede usar la fórmula P 5 2l 1 2a para hallar su perímetro. A hexágono

C pentágono

B rectángulo

D octágono

Capítulo 11 281

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

6 Usar las fórmulas del perímetro Álgebra

Resuelve la ecuación. 1.  a 1 24 1 32 5 71 2. 28 1 x 1 28 1 14 5 84

Aprende

3. 45 1 18 1 m 1 12 5 91

PROBLEMA  Carolina está poniendo un borde de madera alrededor de su casa. Su casa tiene un perímetro de 52 metros. El plano ilustrado a la derecha indica la longitud de las paredes de su casa. ¿Cuánto papel de borde necesitará Carolina para colocar en el lado de la longitud desconocida?

5. (2 3 34) 1 (2 3 t) 5 102

4. (2 3 r) 1 (2 3 16) 5 74

Puedes usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado cuando conoces el perímetro y la longitud de los otros lados.

La habitación de Carolina

12 m c

8m d

12 m b

Ejemplo

2m e

a

f

m

14 m

P 5 la suma de las longitudes de los lados 52 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f 52 5 14 1 12 1 12 1 8 1 2 1 f 52 5 48 1 f f54

Piensa: Usa una variable para representar la longitud de cada lado. Reemplaza f con 4 para comprobar tu solución. 48 1 4 5 52 ✓

Por lo tanto, Carolina necesitará 4 metros de papel de borde para el lado final. • Imagina que sabes que el perímetro de un hexágono regular es de 48 metros. ¿Qué fórmula usarías para hallar la longitud de cada lado?

Ejemplos  Halla la longitud desconocida.   Usa el perímetro dado.

  Compara los lados iguales.

P 5 29 m 8,4 m

7,5 m

8,4 m

7,5 m 6,4 m

6,4 m

P5a1b1c1d 29 5 7,5 1 8,4 1 6,4 1 d 29 5 22,3 1 d d 5 6,7 Por lo tanto, la longitud desconocida es de 6,7 m.

lado d 1 lado f 5 lado b, o d 1 f 5 b d 5 10 y b 5 17 10 1 f 5 17 f57

Por lo tanto, la longitud desconocida es de 7 cm.

282

Libro 5.indb 282

24-01-13 10:13


Práctica con supervisión 1. Completa para hallar la longitud desconocida. P 5 a 1 b 1 c 1 d 1 e 38 5 6 1  1 10 1 5 1 e 38 5  1 e e 5 

P d 10 mm c

5 mm

j

e a 6 mm b

10 mm

Dado el perímetro, halla la longitud desconocida. 2. P 5 36 cm

 3. P 5 98 cm

 4. P 5 144,25 m

35 cm 14 cm

15 34 cm

7 cm d 7 cm

Explica cómo usar una fórmula para hallar la longitud desconocida de un lado.

5.

Práctica independiente y resolución de problemas Dado el perímetro, halla la longitud desconocida. 6. P 5 51 m 13 m

8m

12 m

7. P 5 21,2 cm

8. P 5 48 cm

m

9 14 cm

t

12 m

24 cm

10. P 5 117 cm

11. P 5 41,4 cm

9. P 5 64,5 m

44 cm 8 cm

x

25 cm 11 cm 12 cm

12. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado ilustrado a la derecha? 13.

Explica cómo hallarías la longitud del lado d del Ejercicio 3 si no te hubieran dado el perímetro.

Comprensión de los Aprendizajes 1 __ ​+ 2 14. ​ ​__ ​5 3 4

15. Preparación para la prueba  Un cuadrado tiene un perímetro de 16 cm.

¿Cuál es la longitud de cada lado? A 16 cm

C 6 cm

B 8 cm

D 4 cm

Práctica adicional en la página 286, Grupo D

Libro 5.indb 283

Capítulo 11 283

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

7 Destreza: Hacer generalizaciones

OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza hacer generalizaciones.

Usa la destreza PROBLEMA El Trump World Tower y el Leighton House, rascacielos de la ciudad de New York, son de la misma forma. El Trump World Tower es un prisma rectangular. Su base mide 44 metros de largo y 23 metros de ancho. El perímetro de la base del Leighton House mide 34 metros menos que el perímetro de la base del Trump World Tower. ¿Cuál es el perímetro de la base del Leighton House? A veces necesitas hacer generalizaciones para resolver un problema. Cuando generalizas, partes de un enunciado que es verdadero para todo un grupo de situaciones u objetos similares. Lo que sabes

Generalización

Conclusión

El Trump World Tower es un prisma rectangular. El Leighton House tiene la misma forma.

Los prismas rectangulares tienen bases rectangulares.

El Leighton House tiene una base rectangular.

El Trump World Tower mide 44 m de largo y 23 m de ancho.

El perímetro de un rectángulo equivale a (2  largo)  (2  ancho).     

El perímetro de la base del Trump World Tower mide (2  44m)  (2  23m), o 134 m.

El perímetro de la base del Leighton House mide 34 m menos que el perímetro de la base del Trump World Tower.

Para hallar una cantidad menor que una cantidad dada, se resta.

El perímetro de la base del Leighton House mide 134 m 34 m, o 100 m.

Trump World Tower

Por lo tanto, el perímetro de la base del Leighton House es de 100 m.

Piensa y comenta Haz una generalización. Luego resuelve el problema. a. Una figura plana tiene 5 lados congruentes. El perímetro de la figura es de 90 m. ¿Cuál es la longitud de cada lado? b. Un cuadrilátero tiene un perímetro de 24 cm. Tres de sus lados miden, cada uno, 6 cm. ¿Cuál es la longitud del cuarto lado?

Leighton House

284

Libro 5.indb 284

24-01-13 10:13


Resolución de problemas con supervisión Haz generalizaciones para resolver un problema. 1. Paula compró dos cajas de cereal que tienen la misma forma. La caja de

copos de maíz es un prisma rectangular. Su base mide 12 centímetros de largo y 4 centímetros de ancho. El perímetro de la base de la caja de avena mide 4 centímetros más que el perímetro de la base de la caja de copos de maíz. ¿Cuál es el perímetro de la base de la caja de avena? Haz una tabla similar a la de la página 176. Escribe lo que sabes sobre las cajas de cereales. Luego haz una generalización y saca una conclusión. El perímetro de la base de la caja de avena mide  centímetros. 2.   ¿Qué pasaría si la base de la caja de copos

de maíz midiera 10 centímetros de largo y 3 centímetros de ancho? ¿Cuál sería el perímetro de la base de la caja de avena?

3.   Dos cajas de pañuelos de papel son cubos

congruentes. Si el perímetro de la base de una de las cajas de pañuelos de papel es de 16 centímetros, ¿cuál es la longitud de un lado de la base de la otra caja de pañuelos de papel?

Aplicaciones mixtas USA DATOS  Para 4–7, usa las ilustraciones. 4. La pirámide de Micerinos es una pirámide

5. La pirámide de Keops es también una pirámide

cuadrada. La pirámide de Kefrén tiene la misma forma. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Kefrén?

cuadrada, con una altura original de 144 metros aproximadamente. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops?

6. En la pirámide de Micerinos hay tres pirámides

cuadradas ubicadas a lo largo de su pared al sur. El perímetro de la base de la más grande de estas tres pirámides mide 240 metros menos que el perímetro de la base de la pirámide de Micerinos. ¿Cuál es la longitud de cada lado de la base de la más grande de estas tres pirámides?

Pirámide de Micerinos Perímetro de la base: 413,4 metros

7.

Javier dice que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Micerinos es mayor que la longitud de cada lado de la base de la pirámide de Keops. ¿Es razonable el enunciado de Javier? Explica tu respuesta.

Pirámide de Kefrén Perímetro de la base: 844,8 m

Pirámide de Keops Perímetro de la base: 907,2 m

Capítulo 11 285

Libro 5.indb 285

24-01-13 10:13


Práctica adicional Grupo A  Convierte la unidad dada.  1. 18 cm 5  m 

2. 60 mm 5  cm 

3. 8 m 5  mm 

4. 7 km 5  m 

5. 12 cm 5  mm 

6. 4,3 km 5  m 

7. 3 400 mm 5  cm

8. 900 cm 5  m

9.  Miguel necesita 40 decímetros de cuerda para su velero. La cuerda

se vende por metros. ¿Cuántos metros de cuerda necesita Miguel? 

Grupo B  Halla el perímetro de cada polígono.  ¡ 1.

2.

6 cm

4m

3,2 m

3.

10 cm

4.

1,5 m

2m 8 cm

10 cm

1,8 m 1,5 m 15 m

5.  Pedro va a cortar una cuerda para marcar

el perímetro de su jardín. ¿Cuánta cuerda debe cortar? 

8m

8m 15 m

Grupo C  Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 6m   2.   3.

1.

2m

5 cm

  4.

4 mm

4m 1m

5.  María va a cortar cinta zigzag para usar

de borde en un mantel cuadrado. ¿Cuánta cinta zigzag debe cortar? 

80 cm

Grupo D  Dado el perímetro, halla la longitud desconocida.  1. P 5 19 cm

2. P 5 18 m

m

4m

3m 7m

3. P 5 20 mm

s

2m 1m

4,5 mm

3,6 mm 2 mm

7m

3m 3m

4. P 5 27 cm

7,9 mm

b

10 cm 3,5 cm

3,5 cm

x

286

Libro 5.indb 286

24-01-13 10:13


La vuelta a la manzana ¡Caminantes! 2 jugadores

¡Equipo! • fichas de 2 colores diferentes • flecha giratoria con 3 secciones rotuladas del 1 al 3 • papel cuadriculado

¡A caminar! Cada jugador elige una ficha de un color diferente y la coloca en la SALIDA. Los jugadores hacen girar la flecha giratoria y mueven su ficha el número de espacios indicado. Cada cuadrado contiene un perímetro. El jugador 1 traza la mayor cantidad de rectángulos posibles con ese perímetro sobre papel cuadriculado. Las longitudes se deben dar en unidades enteras.

El jugador 1 anota un punto por cada rectángulo trazado. Cada rectángulo congruente cuenta como un solo punto. Por ejemplo, por un rectángulo de 3  4 y un rectángulo de 4  3 se anota 1 punto solamente. El jugador 2 hace girar la flecha y el juego continúa. Después de que cada jugador haya dado una vuelta a la manzana, gana el que haya acumulado el mayor número de puntos.

Capítulo 11  287

Libro 5.indb 287

24-01-13 10:13


Repaso/Prueba del Capítulo 11 Comprueba los conceptos Para 1–2, elige el mejor término del recuadro. 1. Explica cómo puedes estimar el perímetro de un polígono regular.   2. Explica cómo usar papel para calcar, lápiz, un trozo de cuerda y una regla para estimar el perímetro

de un objeto.

Comprueba tus destrezas Convierte la unidad dada. 3. 24 cm 5  m 

4. 5,2 cm 5  mm 

5. 6 cm 5  mm  6. 4 m 5  cm

7. 4 km 5  m

Halla el perímetro de cada polígono.  8.

5,5 cm

9.

8m

10.

3,5 cm

7 mm

7 mm

5m

11.

3m

12.

3m 2m

4 mm

5m 6m

2m 2m

Halla el perímetro de cada polígono usando una fórmula. 13.

3m

14.

9

6,5 m 12

1 m 2

15.

1 m 2

16.

17.

2,2 m

9,5 cm

12 cm

Comprueba la resolución de problemas Resuelve.  18. Dos rectángulos son congruentes. Si

19. Un triángulo tiene un perímetro de 12

un rectángulo tiene una longitud de 10 centímetros y un ancho de 2 centímetros, ¿cuál es el perímetro del otro rectángulo?  20. Un pentágono regular tiene un lado que mide

12 centímetros. ¿Cuál es su perímetro?

centímetros. Un cateto tiene una longitud de 3 metros y el otro cateto tiene una longitud de 5 metros. ¿Cuál es la longitud del tercer cateto? 21.

La base del Cubo A y la base del Cubo B tienen el mismo perímetro. ¿Son congruentes los cubos? Explica tu respuesta. 

288

Libro 5.indb 288

24-01-13 10:13


Enriquecimiento • Gráficos de red Un gráfico de red es una figura compuesta de vértices y aristas. A veces, un gráfico de red se usa para representar distancias entre lugares. Roberto trazó esta red para mostrar las distancias desde su casa (A) a la biblioteca (B), a la municipalidad (C) y al correo (D). Empezando en A, halla la ruta más corta que incluya los cuatro lugares.

Municipalidad Correo

Casa de Roberto

Biblioteca

Las distancias están en metros.

Ejemplo Paso 1 Haz una lista de las diferentes rutas. Halla la distancia total de cada una. Paso 2 Compara las distancias.

ABDC 5 35 1 42 1 28 5 105 ABCD 5 35 1 26 1 28 5 89 ADBC 5 31 1 42 1 26 5 99 ADCB 5 31 1 28 1 26 5 85 ACBD 5 44 1 26 1 42 5 112 ACDB 5 44 1 28 1 42 5 114

Por lo tanto, la ruta más corta en el gráfico de red de Roberto es ADCB.

Inténtalo Empieza en A. Halla todas las rutas que puedas, incluyendo cada vértice. Identifica la ruta más corta. 1.

 2. 

Las distancias están en metros Las distancias están en metros

¡Piénsalo! Explica cómo se usa un gráfico de red para hallar la ruta más corta.

Capítulo Capítulo11 289 6  289

Libro 5.indb 289

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Comprensión de los Aprendizajes Capítulo 11

Álgebra 1.  Damián usó una cuadrícula para hacer un

3.

mapa de algunos edificios de su vecindario.

Perímetro en unidades, y

y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Explica cómo determinar la cantidad de cubos en el cuerpo geométrico correspondiente a las vistas que se muestran a continuación.

Escuela Correo Banco

frontal

Biblioteca

lateral

superior

x

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de cuadrados, x

¿Cuál edificio está en (10,8)?

4. ¿Qué valor le corresponde a x en la ecuación

25 = x -1?

A banco

B biblioteca

B 5

C escuela

C 4

D correo

D 3

2. ¿Cuál es el perímetro de la figura? 

A 6

5. ¿Qué letra de la recta numérica identifica mejor

la ubicación de 5?

9m 8m 9m

A 38 cm

B 39 cm

C 40 cm

D 41 cm

7m

x 0 1 B

7m

A

C D 8

A A

B B C C D D

290

Libro 5.indb 290

24-01-13 10:13


Geometría 6.

¿Cómo se determina el perímetro de un pentágono regular? 

7. ¿Cuántos metros son 3 kilómetros?

B. 24 cm

B. 3 000 m C. 30 000 m

C. 16 cm

D. 300 000 m

D. 14 cm

La figura tiene un perímetro de 29 cm. ¿Cuál es el valor de m? Explica cómo hallaste tu respuesta 10 m

2m

cada uno y su perímetro es 50cm. ¿Qué longitud tiene el tercer lado? A. 32 cm

A. 300 m

8.

10. Dos lados de un triángulo miden 17cm

3m

2m

3m 9m

9. Al unir los puntos A, B, C, D, ¿cuál es el

11. Haz un plano cartesiano de 10 por10.

Ubica los siguientes puntos. F(2,4), G(10,4), H(10,8), I(2,8), luego calcula el perímetro de la figura.

12. Cada cuadradito tiene la misma medida.

¿Cuál es el doble del perímetro de la figura pintada? 1

10 9 8 7 6 B 5 4 3 2 A 1

B. 20 cuadraditos C. 22 cuadraditos

1

C

D

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A. 18 cuadraditos

perímetro de la figura que se forma?

A. 18 cm B. 32 cm C. 34 cm D. 36 cm

D. 24 cuadraditos

Capítulo 11 291

Libro 5.indb 291

24-01-13 10:13


CAPÍTULO

12

Área

La idea importante

Los atributos de las figuras bidimensionales se pueden medir.

Investiga Tienes un terreno rectangular donde quieres sembrar frutilla. El terreno mide 75 metros por 50 metros. Imagina que quieres dividirlo en secciones más pequeñas. Describe una manera de dividir todo el terreno en dos o más secciones de menor tamaño, e indica cuáles son sus áreas.

75 metros 50 metros

Chile

DATO BREVE

La frutilla chilena pertenece a la familia de los rosáceos, es originaria de Chile y su cultivo es anterior a la llegada de los españoles.

292

Libro 5.indb 292

24-01-13 10:13


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 12.

u Hallar el área usando papel cuadriculado Halla el área de cada figura en unidades cuadradas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

u Multiplicar números de 2 dígitos por números de 1 dígito Halla el producto.

9. 39 3 6

10. 45 3 3

11. 18 3 7

12. 70 3 4

13. 56 3 8

14. 27 3 5

15. 98 3 6

16. 32 3 2

17. 65 3 7

18. 49 3 5

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

área base altura unidad cuadrada

PREPARACIÓN

área el número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie unidad cuadrada una unidad de área cuyas dimensiones son de 1 unidad 3 1 unidad base un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área

Capítulo 12  293

Libro 5.indb 293

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Estimar el área

Halla la suma.

OBJETIVO: Estimar el área de figuras regulares e irregulares.

PROBLEMA  Julieta y Patricio están armando un rompecabezas. ¿Cómo pueden estimar el área de una pieza del rompecabezas? El área de una figura es el número de unidades cuadradas necesarias para cubrirla.

1 1. 11 1 12​__ ​ 4 1 1 2.  10 ​__ ​1 5​__ ​ 2 2 3 3.  3 ​__ ​1 6 4

4. 15 1 18 1  2 5.  9 ​__ ​1 10​__ ​ 4 4

Vocabulario

Actividad

área  unidad cuadrada

Materiales: papel centimetrado

Copia el diagrama de la pieza de rompecabezas que aparece arriba. Cada cuadrado de la cuadrícula es un cuadrado de un centímetro.

Paso Cuenta el número de cuadrados completos. Hay 14 cuadrados completos.

Paso Cuenta el número de cuadrados completos hasta la mitad o más de la mitad. Hay 5. No cuentes los cuadrados que no estén completos hasta la mitad.

Paso Suma los números de los cuadrados que contaste.

14 1 5 5 19

Por lo tanto, la pieza del rompecabezas tiene aproximadamente 19 centímetros cuadrados, o 19 cm2.

Ejemplo Julieta y Patricio terminaron su rompecabezas. Trazaron un diagrama de este en una cuadrícula para poder estimar su área. Cada cuadrado de la cuadrícula es un cuadrado de un centímetro.

El área se mide en unidades cuadradas, como:centímetros cuadrados (cm2), decímetros cuadrados (dm2), metros cuadrados (m2) y kilómetros cuadrados (km2)

Cuenta los cuadrados. Hay 52 cuadrados verdes completos y 8 cuadrados anaranjados casi completos. Hay 8 cuadrados amarillos completos casi hasta la mitad. Combínalos para formar 4 cuadrados completos. Halla la suma de los cuadrados que contaste. 52 1 8 1 4 5 64 Por lo tanto, el área del rompecabezas es de 64 cm2 aproximadamente.

294

Libro 5.indb 294

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Práctica con supervisión Estima el área de la figura sombreada. 1. ¿Cuántos cuadrados completos hay? 2. ¿Cuántos cuadrados están completos hasta la mitad

5 1 cm2

o más de la mitad? 3. ¿Cuál es el área estimada?

Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado de la cuadrícula tiene 1 cm2. 4. 5. 6.

Explica cómo se estima el área de la figura en el Problema 5.

7.

Práctica independiente y resolución de problemas Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado de la cuadrícula tiene 1 cm2. 8.

9.

10.

11.

DATO BREVE   Uno de los rompecabezas más grandes del mundo tiene más de 18 000 piezas. En la cuadrícula se muestra una representación del rompecabezas. Si cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 cm2, estima su área real. 

12.

Explica cómo puedes estimar el área del centro de la figura con forma de rosquilla en el Problema 10.

Comprensión de los Aprendizajes 13. ¿Cuál es el valor de la expresión (6 + n) – 3 si

n = 9? 14. Un cuadrado tiene lados de 5,2 metros.

16. Preparación para la prueba  ¿Cuál de

las siguientes opciones es una estimación razonable del área de la figura?

¿Es su perímetro mayor o menor de 21 metros? 15. 6,5 3 9 =

51 cm2

A aproximadamente

C aproximadamente

6 cm 11 cm2 2

B aproximadamente

D aproximadamente 16 cm2 9 cm2

Práctica adicional en la página 314, Grupo A

Libro 5.indb 295

Capítulo 12 295

24-01-13 10:13


ÁLGEBRA

Área de los rectángulos

Halla el producto.

OBJETIVO: Hallar el área de cuadrados y de rectángulos.

1. 6 3 6 2. 10 3 8,5 3. 13 3 4

Aprende

4. 0,7 3 0,8 5. 9 3 14

PROBLEMA  En la clase de arte, Paulina está trazando los planos para un jardín de flores de 7 metros por 9 metros. ¿Cuál es el área del jardín de Paulina? Puedes usar unidades cuadradas para hallar el área.

Actividad Materiales: papel cuadriculado

Paso Imagina que cada cuadrado de la cuadrícula representa 1 metro cuadrado. Traza un rectángulo de 7 cuadrados por 9 cuadrados y sombréalo.

Paso Cuenta el número de cuadrados. Registra tu respuesta en unidades cuadradas. 1 2 3 4

Área 5 63 metros cuadrados, o 63 m2 Por lo tanto, el área del jardín de Paulina es de 63 m2.

Observa la relación entre la longitud y el ancho del rectángulo y el área. ¿Qué ecuación puedes escribir para hallar el área? Área 5 7 hileras de 9, o 63 ¿Cómo se relacionan los números con las dimensiones del rectángulo?

9m

7m

1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7

7m

9m

longitud 5 9  ancho 5 7  área 5 63 •  ¿Qué fórmula podrías escribir para el área de un rectángulo? •  ¿Cómo se relacionan la longitud y el ancho de un rectángulo con su área?

296

Libro 5.indb 296

24-01-13 10:13


Usar fórmulas Para hallar el área de un rectángulo o de un cuadrado, puedes usar estas fórmulas.

Ejemplo 1  Área de un rectángulo A 5 l 3 a o A 5 la

Ejemplo 2  Área de un cuadrado

1 1​__ ​  m

A 5 l 3 l o A 5 l 2

3

2 __​ 3 __ A 5 1​1 ​ ​  3

3 4 2 __ __ A 5 ​ ​ 3 ​ ​  3 3 8 __ A 5 ​ ​  9

2 ​ m ​__ 3

8 2 Por lo tanto, el área del rectángulo es de __ ​ ​ m . 9

6,2 m

A 5 6,2 3 6,2 A 5 38,44

6,2 m

Por lo tanto, el área del cuadrado es de 38,44 m2.

Ejemplo 3  Área de un polígono Halla el área de un polígono dividiéndolo en dos o más polígonos más simples. El diseño que Sofía hizo de su jardín está dividido en un rectángulo y un cuadrado. El área total del jardín es igual a la suma de las áreas de sus partes.

Partes del jardín

Todo el jardín

Área del rectángulo

Área del cuadrado

A  (4,5  5)

A  (3  3)

A  (4,5  5) 1 (3  3)

A  22,5

A9

A  22,5  9  31,5

El área es de 22,5 m2.

El área es de 9 m .

2

Área total del jardín

2

El área es de 31,5 m .

Por lo tanto, el área total del jardín es de 31,5 m2.

Práctica con supervisión Halla el área de cada figura. Cada cuadrado tiene 1 m2. 1.

2.

3.

Capítulo 12 297

Libro 5.indb 297

24-01-13 10:13


Halla el área de cada figura. 3,3 m

4.

4 __ ​1​ cm 4

 5. 3,3 m

7.

 6. 12,4 km

1 ​ cm 2 ​__ 2

6 km 9,6 km 12,4 km

Explica cómo usar la fórmula del área de un rectángulo para hallar el área de un cuadrado.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el área de cada figura. 10 cm 8. 9.

10. __ 5 ​1 cm 2

14 mm

22 cm

11.

25 km

3 3 __ ​ ​ cm

14 mm

25 km

4

__​ mm 12 ​1

3 5 cm 13. 12.

5 cm

7 cm

6​mm 9 mm

1 4 __ ​ ​ mm 2

Halla la medida que falta en cada cuadrado o rectángulo. 2 14. l 5 6,2 m 15. l 5 7 mm 16. l 5 3 ​__ ​mm 17. l 5 4,3 km 5

A 5 j A 5 j a 5 2 cm a 5 5,0 km A 5 j A5j

USA DATOS  Para 18–21, usa la tabla. 18. Sebastián planea teñir un panel de roble. ¿Cuál es el área? 19. ¿Qué panel tiene un área aproximada de 2 800 cm2? 20. Razonamiento  La pared de la bodega de

Matilde tiene 8 metros de alto y 10 metros de ancho. ¿Pueden colocarse tres paneles de cerezo contra la pared? Explica tu respuesta.

298

Libro 5.indb 298

21.

Panel de madera

Altura

Ancho

roble arce cerezo

60 cm 68 cm 65 cm

36 cm 42 cm 48 cm

¿Tiene sentido o no? Roberto dice que el panel de cerezo tiene la mayor área. ¿Tiene sentido su enunciado? Explica tu respuesta.

Práctica adicional en la página 314, Grupo B

24-01-13 10:13


Comprensión de los Aprendizajes 22. Por la mañana, Teo podó ​ 2_4  ​de los arbustos que están alrededor de su casa. Por la tarde, podó otro ​  1_4  ​de los arbustos. ¿Qué fracción de los arbustos le falta podar a Teo? 23. Un cuadrado tiene lados que miden 4,3 metros.

¿Su perímetro es mayor o menor que 17 metros?

24. Preparación para la prueba  ¿Cuántas baldosas

cuadradas de un metro se necesitan para cubrir un patio que tiene 14 metros 3 20 metros? A 68 baldosas

C 280 baldosas

B 140 baldosas

D 560 baldosas

25. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el área de una hoja de papel que mide 8​  1_2 ​ centímetros de ancho por 11 centímetros de largo? A 39 cm2

C 99 cm2

1 B 93 ​__ ​ cm2

1 D 108 ​__ ​ cm2 2

2

RAZONAMIENTO VISUAL  Puedes hacer un diagrama para determinar cuántas unidades de área más pequeñas componen una unidad de área más grande. Por ejemplo, ¿cómo puedes mostrar el número de metros cuadrados que hay en un metro cuadrado?

Paso

Paso

Traza un cuadrado cuyos lados sean de 1 metro, cada uno.

1m

Paso

Divide el cuadrado en centímetros y luego, divídelo en diez hileras y diez columnas iguales. Piensa: 1 m 5 100 cm

100 cm

100 cm

100 cm

100 cm

1m

Cuenta el número de cuadrados que formaste.

Por lo tanto, en 1 metro cuadrado hay 10 000 centímetros. Usa el razonamiento visual para responder cada pregunta. 1. Explica cómo hacer un

diagrama para hallar el número de milímetros cuadrados que hay en 1 centímetro cuadrado.

2. ¿Cuántos decímetros

cuadrados hay en 1 metro cuadrado?

3. Quieres alfombrar un salón

cuadrado que tiene un área de 16 m2. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra necesitarás?

Capítulo 12 299

Libro 5.indb 299

24-01-13 10:13


ÁLGEBRA

Relacionar el perímetro y el área

Halla la medida que falta. 1.  l 5 6 cm

OBJETIVO: Identificar la relación entre el perímetro y el área.

a 5 12 cm A5j

2.  l 5 8,2 m

a 5 5,5 m A5j

Problema  Los estudiantes de la escuela Valle Central están pintando un panel rectangular para una obra de teatro. El panel tiene la mayor área posible para un perímetro de 16 metros. ¿Cuál es la longitud y el ancho del panel?

Actividad Materiales: papel punteado

Puedes usar modelos para hallar el rectángulo que tenga la mayor área.

Paso Traza rectángulos con perímetros de 16 unidades en el papel punteado.

1 3 7 2 3 6 3 3 5 4 3 4

Paso

Paso

Halla y registra el área de cada rectángulo. Cada unidad cuadrada representa 1 m2.

Haz una tabla para registrar la longitud, el ancho, el perímetro y el área de cada rectángulo. ¿Qué longitud y qué ancho dan el área mayor? Longitud (m) Ancho (m) Perímetro (m) Área (m2) 7

1

16

7

A57

Por lo tanto, para tener el área mayor, el panel debe ser un cuadrado de 4 m de lado. El área es 4 m 3 4 m, o 16 m2. •  Si el panel tuviera un perímetro de 12 m, ¿cuáles serían la longitud y el ancho para que el panel tuviera la mayor área? •  ¿Cuál sería la forma del rectángulo?

Idea matemática

Dado el perímetro, el área del cuadrado es mayor que la de cualquier rectángulo.

300

Libro 5.indb 300

24-01-13 10:13


ta.

El padre de Ana quiere plantar un jardín y cercarlo con ladrillos. Quiere usar la menor cantidad posible de ladrillos. El jardín tendrá un área de 36 m2. ¿Qué rectángulo de esta área tendrá el menor perímetro?

Actividad Materiales: fichas cuadradas, papel cuadriculado

Puedes usar modelos para hallar el rectángulo que tenga el menor perímetro.

Paso Usa fichas cuadradas para crear diferentes rectángulos que tengan 36 m2 de área. Cada ficha representa 1 m2. Puedes usar papel cuadriculado para registrar cada rectángulo.

Paso Copia y completa la tabla para registrar tus resultados. (PISTA: Para determinar la longitud y el ancho de todos los enteros posibles, halla todos los factores de 36.)

Longitud (m)

Ancho (m)

Perímetro (m)

Área (m2)

36

1

j

36

j

2

j

36

j

3

j

36

j

j

j

36

j

j

j

36

Por lo tanto, el menor perímetro es de 24 metros. El jardín debe ser un cuadrado con lados de 6 metros.

Idea matemática

•  A medida que los rectángulos de áreas iguales se aproximan a ser cuadrados, ¿qué pasa con sus perímetros?

Dada el área, el perímetro del cuadrado es menor que el de cualquier rectángulo.

Ejemplo El padre de Ana hizo otro jardín con un área de 20 m2. Usando solo números enteros, ¿qué rectángulo de esta área tiene el menor perímetro? Usa fichas cuadradas y haz una tabla. Usa factores de 20 para la longitud y el ancho.

Longitud (m)

Ancho (m)

Perímetro (m)

Área (m2)

20

1

42

20

10

2

24

20

5

4

18

20

Por lo tanto, el menor perímetro es de 18 metros. La longitud del rectángulo es de 5 metros y el ancho es de 4 metros. •  ¿Por qué no tiene forma de cuadrado este jardín?

Capítulo 12 301

Libro 5.indb 301

24-01-13 10:13


Práctica con supervisión Para 1–3, usa los rectángulos ilustrados a la derecha. 1. ¿Cuál es el perímetro de cada

rectángulo? 2. ¿Qué rectángulo tiene la mayor área?

A

3. ¿Cuál es la forma del rectángulo que

B

C

tiene la mayor área? Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números enteros. 4. 8 mm 5. 28 m 6. 34 m 7. 10 cm

 8. 44 cm

Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números enteros. 9. 28 cm2 10. 32 km2 11. 64 cm2 12. 54 m2 14.

2  13. 49 km

Explica qué sucede con el área de un rectángulo que tiene un perímetro dado a medida que la diferencia entre la longitud y el ancho aumenta.

Práctica independiente y resolución de problemas Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números enteros. 15. 60 m 16. 54 cm 17. 4 km 18. 100 cm 19. 46 mm

Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números enteros. 20. 40 mm2

21. 9 km2

22. 15 m2

23. 45 cm2

24. 100 cm2

25. Copia y completa la tabla para hallar

el área de rectángulos que tengan un perímetro de 10 m. Describe los patrones que ves. 26. Formula un problema sobre una piscina que

Ancho (m)

0,5

1

1,5

2

2,5

Longitud (m)



 





Área (m2)



 





tiene una longitud de 40 m y un ancho de 20 m. 27. ¿Cuál es la mayor área que puede cercarse

con 100 metros de material? ¿Y la menor? Usa números enteros.

302

Libro 5.indb 302

28.

¿Cuál es el error?  Julián dice que dado un perímetro, el rectángulo con el mayor ancho tiene la mayor área. ¿Qué error cometió Julián?

Práctica adicional en la página 314, Grupo C

24-01-13 10:13


Comprensión de los Aprendizajes 32. Preparación para la prueba  ¿Cuál es la mayor

29. Halla el valor de la expresión.

(5 3 m) 1 21 si m 5 12. 30. ¿Cuál es el área del patio?

área posible de un rectángulo que tiene un perímetro de 24 metros?

6m 3m 4,5 m

3m

31. Raúl usó ​ 2_3  ​de un balde de 5 litros de pintura.

¿Cuántos litros de pintura usó Raúl?

A 10 m2

B 24 m2

C 30 m2 D 36 m2

33. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el menor

perímetro posible de un rectángulo que tiene un área de 144 metros cuadrados? A 12 metros

C 48 metros

B 24 metros

D 148 metros

RAZONAMIENTO LÓGICO  Un pentaminó es una figura formada por cinco cuadrados. Cada cuadrado debe estar unido por un lado a otro cuadrado. A la derecha se muestran dos ejemplos. ¿Tienen todos los pentaminós el mismo perímetro? Materiales papel cuadriculado Usa papel cuadriculado para trazar por lo menos, otros tres ejemplos de pentaminós. Luego halla los perímetros. En las ilustraciones a la derecha, dos P 5 12 unidades pentaminós tienen un perímetro de 12 unidades, y un pentaminó tiene un perímetro de 10 unidades.

P 5 10 unidades P 5 12 unidades

Por lo tanto, no todos los pentaminós tienen el mismo perímetro. Usa el razonamiento lógico para responder las preguntas. 1. ¿Tienen todos los pentaminós la misma área?

Explica tu respuesta.

2. Traza tantos pentaminós diferentes como

puedas. Luego muéstraselos a un compañero. ¿Cuántos pentaminós se pueden hacer?

Capítulo 12 303

Libro 5.indb 303

24-01-13 10:13


LE C C

N IÓ

4 Estrategia: Comparar estrategias OBJETIVO: Comparar distintas estrategias para resolver problemas.

Usa la estrategia PROBLEMA  El padre de Juan está construyendo un tablero de juegos con 5 hileras de cuadrados de dos centímetros. Empieza con una hilera de 3. Cada una de las hileras siguientes tiene 2 más que la anterior. ¿Cuál es el área de la 5.a hilera del tablero?

• ¿Qué visualizas cuando lees el problema? • ¿Qué información se da?

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema? Puedes usar más de una estrategia para resolver un problema. Usa las estrategias hacer un diagrama y buscar un patrón.

• ¿Cómo puedes usar cada estrategia para resolver el problema?

Hacer un diagrama

Buscar un patrón

hilera 1 hilera 2 hilera 3 hilera 4 hilera 5

2 cm

Hilera

1

2

3

4

5

Cantidad de ladrillos

3

5

7

9

11

Área (cm 2)

12

20

28

36

?

18

área de 1 cuadrado: 2 3 2 5 4 cm área de 11 cuadrados en la 5.a hilera: 4 3 11 5 44 cm2

18

18

18

2

área de cuadrados de la 5.a hilera: 36 1 8 5 44 cm2

Por lo tanto, el área de la 5.a hilera del tablero es de 44 cm2.

• ¿Cómo sabes que la respuesta es correcta?

304

Libro 5.indb 304

24-01-13 10:13


Resolución de problemas con supervisión

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

1. Raquel está construyendo una pared con 6 hileras de bloques

cuadrados. La hilera inferior tiene 17 bloques. Cada una de las demás hileras tiene 3 bloques menos que la anterior. El lado de cada bloque es de 10 centímetros. ¿Cuál es el área de la hilera superior?

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón

Primero, haz un diagrama para resolver el problema. Traza los bloques de cada hilera. Halla el área de 1 bloque. Luego multiplica esa área por la cantidad de bloques de la hilera superior.

Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar

hilera superior hilera 5 hilera 4 hilera 3 10 cm hilera 2 hilera inferior 10 cm Luego, busca un patrón para resolver el problema. Haz una tabla y registra la cantidad de bloques de cada hilera. Halla el área de cada una de las 3 primeras hileras y busca un patrón. Hilera Cantidad de bloques 2

Área (cm )

Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

superior

inferior

2

3

4

17

14

11

 



1 700

1 400

  



5

Trabajar desde el final hasta el principio

Por último, compara las respuestas que hallaste usando las dos estrategias. 2. ¿Qué pasaría si cada hilera tuviera 2 bloques menos que la anterior?

¿Cuál sería el área de la hilera superior? 3. En el centro de un jardín hay 5 cajas rectangulares de flores dispuestas

en una hilera. La primera caja de flores tiene 24 cm de longitud y 4 cm de ancho. Todas las cajas de flores tienen la misma longitud, pero cada una es 2 centímetros más ancha que la anterior. ¿Cuál es el perímetro de la quinta caja de flores?

Práctica de estrategias mixtas

5m

huerta 12 m

USA DATOS Para 4–5, usa el diagrama. 4. El área total de los jardines es de 366 m2. ¿Cuál es el área del jardín

cuadrado de hierbas? ¿Cuál es el perímetro del jardín de hierbas? 5. Pamela plantó otros 6 jardines de rosas como el del diagrama. Cada jardín es un cuadrado cuya longitud en uno de sus lados mide 1 metro menos que la del jardín anterior. ¿Cuál es el área de los siete jardines de rosas? 6.

jardín de hierbas jardín de rosas 9 m 9m

Carlos pagó $8 700 por una estatua y una fuente. La estatua le costó $1 500 más que la fuente. Explica cómo puedes hallar el precio de cada artículo que compró Carlos. ¿Cuánto costó cada artículo?

Capítulo 12 305

Libro 5.indb 305

24-01-13 10:13


Representar el área de los triángulos OBJETIVO: Representar el área de triángulos.

1 __ ​3 8 1. ​ 2

1 __ ​3 20 2. ​ 2

1 __ ​3 15 3. ​ 2

1 __ ​3 4,2 4. ​ 2

1 __ ​3 (2 3 5) 5. ​ 2

Materiales ■ papel cuadriculado en centímetros ■ regla

Puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo para hallar el área de un triángulo. Traza un rectángulo de 6 3 15 en el papel cuadriculado.

Recorta el rectángulo, halla su área y regístrala. Traza una diagonal en el rectángulo. Corta por la línea para formar dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo?

Repite los Pasos A a C con un rectángulo de 8 3 18. ¿Cuál el área de cada nuevo triángulo?

Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el área de cada triángulo. 2. ¿Resultan siempre dos triángulos congruentes al trazar

una diagonal en un rectángulo? Explica tu respuesta. 3. Aplicación  ¿Cómo se compara el área de uno de los

triángulos con el área del rectángulo?

306

Libro 5.indb 306

24-01-13 10:13


2

Puedes usar papel cuadriculado para hallar el área de cualquier triángulo.

Paso

Paso

Paso

Traza y sombrea un modelo de un triángulo dentro de un rectángulo.

Recorta el rectángulo y luego recorta el triángulo sombreado.

Coloca las partes del rectángulo que no están sombreadas sobre el triángulo sombreado. ¿Qué notas?

Por lo tanto, el área del triángulo es la mitad del área del rectángulo. La fórmula para el área de un rectángulo es A 5 l 3 a. ¿Qué fórmula podrías usar para el área de un triángulo?

Usa el rectángulo a la derecha para 1–3. 1. ¿Cuántas unidades de longitud tiene el rectángulo? ¿Cuántas

unidades de ancho tiene? 2. ¿Cuál es el área del rectángulo en unidades cuadradas? 3. ¿Cuál es el área de cada triángulo en unidades cuadradas?

Halla el área de cada triángulo sombreado en centímetros cuadrados. 4.

5.

 6.

7.

8.

 9.

10.

Explica cómo usar un rectángulo para hallar el área de un triángulo.

Capítulo 12 307

Libro 5.indb 307

24-01-13 10:13


Álgebra

Área de los triángulos

Halla la suma.

OBJETIVO: Hallar el área de los triángulos.

Aprende

1 __ ​ 3 4 1. ​ 2

1 __ ​ 3 21 2. ​ 2

1 __ ​ 3 16 3. ​ 2

1 __ ​ 3 4 3 2 4. ​ 2

1 __ ​ 3 3 3 4 5. ​ 2

PROBLEMA  ¿Cuánto material se necesita para hacer un estandarte triangular de 6 m de base y 4 m de altura?

Vocabulario Actividad 

Materiales:

Paso

Paso

Traza y sombrea un modelo del estandarte.

Traza un rectángulo alrededor del triángulo, como se muestra en la figura. Halla el área del rectángulo.

altura =4m

base = 6 m

Recorta el rectángulo. Córtalo por la mitad para formar dos triángulos congruentes. El área de cada triángulo es la mitad del área del rectángulo. Triángulo: 1 A 5 __ ​ ​ 3 (b 3 h) 2

base = 6 m

1 A 5 __ ​ ​ 3 24 5 12

Rectángulo: A 5 b (base) 3 h (altura) A 5 6 3 4 5 24

2

Por lo tanto, la cantidad de material necesaria para el estandarte es de 12 m2.

Más ejemplos  Usa la fórmula.   Halla el área.

Idea matemática

Puedes usar la fórmula A 5 ​ 2_1 ​ 3 (b 3 h) para hallar el área de cualquier triángulo.

  Halla el área. 1 A 5 ​__ ​ 3 (b 3 h)

1 A 5 __ ​ ​ 3 (b 3 h)

2

2

altura 1 __ = 4 m A 5 ​2​ 3 (5 3 4) 5 10

altura A 5 1__​ ​ 3 (5 3 3) 5 7,5 2 = 3 cm base = 5 cm

base

Paso

altura = 4 m

La altura es la longitud de un segmento perpendicular a la base del triángulo.

altura

■ papel cuadriculado ■ tijeras

base = 5 m

El área es de 7,5 cm2.

El área es de 10 m2.

Práctica con supervisión Halla el área de cada triángulo.

2.

1.

altura =6m base = 9 m

altura = 5 cm base = 8 cm

308

Libro 5.indb 308

24-01-13 10:13


Halla el área de cada triángulo. 3.

altura = 5 unidades

4.

5. altura = 5 unidades

base = 7 unidades

base = 5 unidades 6.

altura = 5 unidades

base = 8 unidades

Explica la relación entre el área de un rectángulo y el área de un triángulo.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el área de cada triángulo. 7. altura = 3 unidades

8.

altura = 5 unidades 9.

base = 7 unidades

altura = 4 unidades

base = 7 unidades base = 6 unidades 10. base (b) 5 14 m

11. base (b) 5 7 cm

12. base (b) 5 6 m

altura (h) 5 8 m altura (h) 5 11 cm altura (h) 5 10 m Área (A) 5  Área (A) 5  Área (A) 5  Para 13–14, usa el diagrama. 13. Para completar el centro del patrón, Natalia compró baldosas

blancas del mismo tamaño y de la misma forma que las baldosas moradas. ¿Cuántas baldosas blancas compró? 14. Razonamiento  Las baldosas del patrón son triángulos isósceles rectángulos. Los dos lados más cortos de cada triángulo miden 1 decímetro cada uno. Estima el área de la parte morada. 15.

¿Cuál es el error?  Un triángulo tiene una base de 4 m y una altura de 8 m. Paula dice que su área es de 32 m2. Describe y corrige su error.

Comprensión de los Aprendizajes 16. Tomás está pintando un cartel de 4 m por

4 m. ¿Cuál es su área? 17. ¿Cuál es el perímetro de un cuarto de 12 m

por 15 m?

Práctica adicional en la página 315, Grupo D

Libro 5.indb 309

18. Preparación para la prueba  Una bandera triangular tiene una base de 5 metros y un área de 25 m2. ¿Cuál es la altura de la bandera?

A 5 m

C 15 m

B 10 m

D 20 m

Capítulo 12 309

24-01-13 10:13


Álgebra

Área de los paralelogramos

Halla el área de cada rectángulo.

OBJETIVO: Hallar el área de los paralelogramos.

1.  5 km 3 11 km 2.  4 dm 3 12 dm

Aprende

3.  6,2 cm 3 5,3 cm 4.  10, 5 m 3 13 m

PROBLEMA  El perro de Julia va a un corral para perros que tiene la forma de un paralelogramo. El corral está cubierto de arena. Una bolsa de arena cubre 1 metro cuadrado. ¿Cuántas bolsas de arena se necesitan para cubrir el corral?

5.  35 km 3 40 km

Recuerda

Las longitudes de la base y de la altura del corral aparecen a continuación. Halla el área del paralelogramo.

altura

6m base

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y congruentes.

9m

Usa el área de un rectángulo.

Para hallar el área de un paralelogramo puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un rectángulo.

Paso Traza un diagrama del paralelogramo sobre papel cuadriculado y recórtalo. Traza un segmento para formar un triángulo rectángulo como el de la ilustración.

Paso Recorta el triángulo rectángulo de la izquierda y muévelo a la derecha del paralelogramo para formar un rectángulo.

Paso Cuenta los cuadrados de la cuadrícula para hallar el área del paralelogramo.

Hay 6 hileras de 9 cuadrados, o 54 cuadrados.

Por lo tanto, se necesitan 54 bolsas de arena para cubrir el corral para perros. •  ¿Cómo se relacionan la base y la altura del paralelogramo en el Paso 1 con la longitud y el ancho del rectángulo en el Paso 3?

310

Libro 5.indb 310

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ADVERTENCIA ADVERTENCIA ADVERTENCIA ADVERTENCIA

El área de un paralelogramo es igual al área de un rectángulo que tenga la misma base (longitud) y la misma altura (ancho).

El lado inclinado de un paralelogramo no es su altura. La altura debe formar un ángulo de 90° con la base.

Área de un rectángulo 5 longitud 3 ancho    A 5 l 3 a Área de un paralelogramo 5 base 3 altura      A 5 b 3 h

Más ejemplos  Halla el área.  

4m

5,4 cm

El área es de  24 m2.

6m

A5b3h A5634 A 5 24

6,2 cm

A5b3h A 5 6,2 3 5,4 A 5 33,48

El área es de 33,48 cm2.

Usa el área de un triángulo.

¿Cuál sería el área del corral para perros si la base fuera de 11 metros y la altura fuera de 5 metros?

Paso Traza un paralelogramo de 5 m 3 11 m en papel cuadriculado y recórtalo.

Paso

Paso

Corta el paralelogramo por una diagonal para formar dos triángulos congruentes.

Halla el área de un triángulo. 1 A 5 ​__ ​ 3 11 3 5 2

 A 5 27,5 El área de los dos triángulos es 2 3 27,5 o 55 m2.

11 m Por lo tanto, el área del corral para perros sería 55 m2. •  ¿Cómo se relaciona el área de cada triángulo con el área del paralelogramo? 

Práctica con supervisión Escribe la base y la altura de cada paralelogramo. Luego, halla su área en unidades cuadradas. 1. 2.

 3.

Capítulo 12 311

Libro 5.indb 311

24-01-13 10:13


Halla el área de cada paralelogramo.

4.

 6.

5.

45 m

8 cm

12 cm

7.

51 m

Compara el área de un rectángulo de 5 cm de longitud y 6 cm de ancho con el área de un paralelogramo con una base de 5 cm y una altura de 6 cm. 

Práctica independiente y resolución de problemas Halla el área de cada paralelogramo. 8.

9.

10.

4 km 6m

7 km 5m 11.

12.

13.

1 42 m

10,2 cm

15 cm

9m 12,4 cm

15 cm 14. Un patio de juegos tiene la forma de un

paralelogramo con una base de 34 m y una altura de 20 m. El patio de juegos está dividido en dos triángulos congruentes. ¿Cuál es el área de cada triángulo?  16.

15. Razonamiento  La base de un paralelogramo

es el doble de su altura. Si la base es de 12 cm, ¿cuál es su área? 

DATO BREVE La región del Maule tiene

Curicó

más o menos la forma de un paralelogramo. Tiene aproximadamente 30 469,1 km2 de área o superficie. Estima la base de la altura de la región.  17.

¿Cuál es la pregunta?  La base de un paralelogramo es 7 m. El área es 28 m2. La respuesta es 4 m.

Talca Linares Cauquenes

p Región del Maule

Superficie Región del Maule 30 469,1 km2

312

Libro 5.indb 312

Practica adicional    en la página 315, Grupo E

24-01-13 10:13


Comprensión de los Aprendizajes 18. Empieza en el origen. Avanza 8 unidades

hacia arriba y luego desciende 3 a la derecha y por último desciende 6 unidades. ¿Qué par ordenado está representado? 19. Una vela triangular tiene una base de 5 metros

y una altura de 6 metros. ¿Cuál es el área?  

20. Gina está haciendo un cubo de madera hueco.

Ya cortó 4 piezas cuadradas de madera para las caras del cubo. ¿Cuántas piezas más necesita?

21. Preparación para la prueba  El área de un

paralelogramo es de 112 km2. La altura es de 7 kilómetros. ¿Cuál es la longitud de la base? A 16 kilómetros

C 392 kilómetros

B 56 kilómetros

D 784 kilómetros

22. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el área de toda la figura si está dividida en dos paralelogramos congruentes?

14 cm 30 cm

A 74 cm2

C 840 cm2

B 420 cm2

D 1 680 cm2

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA  Para hallar el área de un trapecio puedes usar papel cuadriculado y lo que sabes sobre el área de un paralelogramo.

Paso Traza estos dos trapecios idénticos sobre papel cuadriculado. Rotúlalos y recórtalos.

Paso Ordena los trapecios para formar un paralelogramo.

Usa los trapecios para contestar las preguntas. 1. ¿Cuánto mide la base del paralelogramo?

2. ¿Cuál es el área del paralelogramo?

3. ¿Cómo se relacionan las áreas de los trapecios con el área del paralelogramo?

4. Halla el área de un trapecio. Explica cómo hallaste tu respuesta.

5. La fórmula del área de un trapecio es Área 5 ​  1_2  ​3 altura 3 (base 1 1 base 2). Usa la fórmula para verificar el área de cualquiera de los trapecios.

Capítulo 12 313

Libro 5.indb 313

24-01-13 10:13


Práctica adicional Grupo A  Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 cm2.  1.

  2.

  3.

Grupo B  Halla el área de cada figura.  12 m

1.

2.

8,2 m

3.

12 m

6 cm

4. Óscar está usando una placa de yeso de 4

2 cm

4 cm

8,2 m

8 cm

5. Alicia, amiga de Óscar, corta una pieza de yeso

decímetros por 8 decímetros para un proyecto. ¿Cuál es el área de la placa de yeso? 

de 3 decímetros por 10 decímetros. ¿Qué pieza tiene la mayor área, la de Alicia o la de Óscar? 

Grupo C  Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene la mayor área. Usa solo números enteros.  1. 20 m

2. 18 cm

3. 32 mm

4. 40 km

5. 30 cm

Dada el área, halla la longitud y el ancho del rectángulo que tiene el menor perímetro. Usa solo números enteros. 6. 14 cm2

7. 24 m2

8. 18 cm2

11. Carla tiene una tira de flecos de 24 metros de

longitud que planea usar en el borde de una pieza de tela rectangular. ¿Cuál es la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área? 

9. 42 mm2

10. 36 km2

12. ¿Cuál es el área del patio de juegos? 

8m 16 m 10 m

13. María está diseñando un tapiz rectangular de 3 m de 2

área para la pared. Quiere usar la menor cantidad posible de hilo dorado para el borde. ¿Qué rectángulo tendrá el menor perímetro? 

12 m

314

Libro 5.indb 314

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Grupo D  Halla el área de cada triángulo.  1.

2.

3.

8 mm 12 cm

10 mm 4.

5.

6.

18 cm

12 m

24 cm

5m 7. La vela triangular de un modelo de bote tiene

8. Un modelo de bote tiene una bandera triangular

una base de 1 metro y una altura de 3 metros. ¿Cuál es el área de la vela? 

en el extremo del mástil. La bandera tiene una base de 30 centímetros y una altura de 15 centímetros. ¿Cuál es el área de la bandera?

Grupo E  Halla el área de cada paralelogramo.  1.

15 cm

2.

3m

3.

6 cm

10,2 m

9m

24 cm 8m

4.

5.

15 cm 3,5 mm

6.

10,5 mm

7.  Un patio tiene forma de paralelogramo. Su base es de 7 metros y

su altura es de 4 metros. ¿Cuál es el área del patio? 

Capítulo 12 315

Libro 5.indb 315

24-01-13 10:13


Repaso/Prueba del Capítulo 12 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Para 1–2, elige la mejor palabra del recuadro.        1. El — ​  ?  ​ de una figura es el número de unidades cuadradas necesarias

área base altura

para cubrirla. 

2. La longitud de un segmento perpendicular a la        ​  ?  ​ de un triángulo —

es la altura.

Comprueba tus destrezas Estima el área de la figura sombreada. Cada cuadrado de la cuadrícula mide 1 cm2. 3.

4.

5.

Halla el área de cada figura.  6.

8m

7.

8.

15 mm

3,5 cm

13 m

15 mm

9.

6 cm

9 cm 7 cm 3,5 cm

Dado el perímetro, halla la longitud y el ancho del rectángulo de mayor área. Usa solo números enteros.  10. 12 mm

11. 34 km

12. 14 cm

13. 20 cm

14. 24 m

Halla el área de cada triángulo o paralelogramo.  15. 4 m

6m

16. 6 cm

17.

18. 6 mm

12,2 cm

11 cm

10 cm

12 mm

Comprueba la resolución de problemas Resuelve.  19. Julia usó piezas de tela cuadradas de 3 cm

para hacer un patrón. La primera hilera tenía 3 piezas. Cada una de las demás hileras tenía 3 piezas más que la hilera de arriba. ¿Cuál es el área de la cuarta hilera de piezas de tela? 

Explica cómo podrías hallar el área de las piezas de un patrón como el del Ejercicio 19, pero con 6 hileras. ¿Cuál es el área? 

20. 

316

Libro 5.indb 316

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Enriquecimiento • Hallar el área

Áreas complejas

El área es el número de unidades cuadradas que se necesitan para cubrir una superficie. El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud por el ancho: A 5 l 3 a. Algunas veces solo es necesario hallar una parte del área total.

Ejemplo

14 m

14 m

Raúl está poniendo baldosas decorativas en 10 mLa parte sombreada del los bordes de un piso. m 8 m diagrama muestra el área que se 14cubrirá con baldosas. ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas decorativas necesita Raúl? Paso 1 Halla el área de todo el piso.

10 m

12 m

8m

14 m

14 3 12 5 168

9m

Paso 2 Halla el área del piso que no se cubrirá con baldosas. 13 m Paso 3 Resta. La diferencia es el área de la parte sombreada del diagrama.

10 3 8 5 80

10 m

14 m

8m

168 2 80 5 88

Por lo tanto, Raúl necesita 88 m2 de baldosas.

Inténtalo

9m

1. El diagrama muestra la pared que Ana quiere empapelar. Las áreas

blancas son ventanas que tienen 3 metros de largo y 2 metros de ancho. ¿Cuánto papel de empapelar necesitará Ana?

13 m

2. David está pintando el decorado para una obra. La parte sombreada

del diagrama será de color verde. Cada cuadrado tiene 2 metros por 2 metros. ¿Qué parte del decorado será verde? ¿Qué parte será amarilla?

¡Piénsalo! Maca quiere empapelar la pared de una tienda de 8 metros por 12 metros. La pared tiene una ventana cuadrada. Un lado de la ventana es de 3 metros. ¿Cuánto papel necesita? Explica cómo hallaste la respuesta.

Capítulo 12 317

Libro 5.indb 317

24-01-13 10:14


Repaso/Prueba de la unidad Opción múltiple

4.

¿Cuál es el área del rectángulo? 

1. ¿Cuál es la mejor estimación del perímetro del trapecio?  

15 m 7m

1 cm 0,75 cm

0,75 cm 1,25 cm

A 22 metros cuadrados

A 2 centímetros

C 6 centímetros

B 105 metros cuadrados

B 4 centímetros

D 8 centímetros

C 210 metros cuadrados

D 1 575 metros cuadrados

2. ¿Cuál es el perímetro del siguiente rectángulo?

5. Jacinta está cosiendo una bandera para un edificio oficial. ¿Cuánto material necesitará para hacer una bandera triangular con una base de 5 metros y una altura de 7 metros? 

A 56 metros

C 112 metros

B 96 metros

D 640 metros

5m

7m

3. El perímetro de la siguiente figura es de 132 cm. ¿Cuál es la longitud del lado desconocido? 

5 cm

46 cm 23 cm

20 cm

X 23 cm

A 15 cm

C 20 cm

B 18 cm

D 22 cm

A 6 metros cuadrados

B 12 metros cuadrados

C 17,5 metros cuadrados

D 35 metros cuadrados

318

Libro 5.indb 318

24-01-13 10:14


6. ¿Cuál es el área total de la caja formada por el siguiente patrón? 

Respuesta breve 9. Halla el perímetro del pentágono en centímetros.  1,8 cm

1,8 cm

1,8 cm

1,8 cm 1,8 cm

A 31 unidades cuadradas

B 50 unidades cuadradas

C 62 unidades cuadradas

D 75 unidades cuadradas

7. Se pondrá una cerca de alambre, con cuatro

corridas, a un terreno rectángular. ¿Cuánto alambre se necesita?

13 m 24 m

A 37 metros

B 74 metros

C 148 metros

D 296 metros

8. Romina va a pintar una pared en su dormitorio que mide 5 metros de largo y 3 metros de ancho. Un tarro de pintura alcanza para 5 m2. ¿Cuántos tarros tiene que comprar Romina?

10. Renato quiere envolver con papel de regalo una caja que mide 11 centímetros 3 14 centímetros 3 3 centímetros. ¿Qué unidades debe usar para decidir cuánto papel de regalo necesita? ¿Cuánto papel de regalo necesita Renato? Muestra tu trabajo. 

Respuesta desarrollada 11. Imagina que tienes que elegir uno de los lingotes planos de oro que se muestran en la tabla. Cada uno tiene el mismo perímetro y grosor. Quieres el lingote más grande, el que tenga la mayor área. ¿Cuál lingote de oro deberías elegir? Explica tu razonamiento. Lingote de oro

Longitud (en cm)

Ancho (en cm)

Perímetro (en cm)

A

5

12

B

4

12

C

3

12

Área (en cm2)

12. En la siguiente figura, EFGH es un

A 5 tarros

C 3 tarros

B 4 tarros

D 2 tarros

paralelogramo. Si el área del triángulo EFH es de 18 cm2, ¿cuál es el área de EFGH? Explica tu respuesta.   

Capítulo 12 319

Libro 5.indb 319

24-01-13 10:14


De aquí y de allá AL

Resolución de Problemas

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

Juegos de agua

Construidos

¿

para estremecer

Has estado alguna vez en un parque acuático? En Chile hay aproximadamente 20 parques acuáticos.

Thermas Internacional es uno de los parques acuáticos más grandes de Chile. Se ubica en la ciudad de Til til, al norte de la Región Metropolitana. Cuenta con más de diecisiete piscinas, súper toboganes y otras atracciones.

1 Seis pistas de toboganes con circuitos de más de 1 200 metros de emocionantes caídas y adrenalina los transportan sinuosamente hasta cuatro refrescantes piscinas hexagonales. ¿Cuántos centímetros de longitud tienen las seis pistas de toboganes?

2 Original Castillo Acuático Medieval con más de 500 m² de espectaculares piscinas, espejos de agua y una mini piscina para niños de hasta 5 años. ¿Qué longitud y qué ancho puede tener el Castillo?

3 El espacio necesario para construir el Castillo se llama planta. Supongamos que la planta del Castillo tiene las medidas mostrada en la figura.

Usa la planta que se encuentra en la derecha para estimar su perímetro.

50 metros

4

10 metros

Explica cómo cambiarías los números si estimaras el área en centímetros.

Planta

320

Libro 5.indb 320

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¡Hacer

M

Ubicada en Wild Water Adventure, Blue Wave es la piscina de olas más grande de California (EE. UU.), con una capacidad de más de un millón de galones de agua.

olas!

uchos parques acuáticos tienen piscinas de olas, al igual que juegos acuáticos. Las piscinas de olas más grandes del mundo miden desde los 75 000 a los 140 000 metros cuadrados. ¡Las bombas hidráulicas pueden crear olas que miden 9 metros de altura, permitiendo a las personas practicar surf en una piscina de olas!

Diseña un área de chapoteo para una piscina de olas. Una de las piscinas más grandes contiene 350 000 litros de agua, lo que es igual a 700 m3 cúbicos aproximadamente. El área de chapoteo de tu piscina debe tener una planta rectangular o triangular. Asegúrate de que tenga la misma profundidad en todas partes. u ¿Qué pasaría si el área de chapoteo de tu piscina de olas fuera larga y angosta y tuviera la misma profundidad en todas partes? ¿Qué tan cerca estarías de tener una piscina de olas con un volumen de 700 m3? u ¿Cuáles serían las dimensiones si mantuvieras una profunidad de 2 metros pero convirtieras el área de chapoteo de la piscina en un cuadrado?

Capítulo 12  321

Libro 5.indb 321

24-01-13 10:14


5 Datos y grรกficos

322

Libro 5.indb 322

24-01-13 10:14


Matemática en Contexto ¿Qué ideas matemáticas se usan en Matemática en Contexto? ¿Qué clase de datos podrías reunir en una estación meteorológica? ¿Cómo presentarías esos datos?

REPASO DEL VOCABULARIO  Aprendiste las palabras que  La Meteorología es el estudio del tiempo y del clima. Se lleva un registro de datos de la cantidad de rayos que ha caído.

siguen cuando aprendiste a reunir y a presentar datos. ¿Cómo se relacionan estas palabras con Matemática en Contexto?

gráfico circular gráfica que muestra cómo se relacionan las partes de los datos con el todo y entre sí gráfico de líneas gráfica que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo

Copia y completa la gráfica como se muestra a continuación. Usa lo que sabes sobre gráficas para relacionar el nombre de la gráfica con el dibujo que más se le parezca.  El equipo usado para reunir datos se transporta en camiones a los sitios donde puede haber tormentas o tornados.

1−2 3−4 5−6

Hojas Tallo 0 1 1 1 5 8 2 7 3

DiagramaGráfico Gráfico Gráfico de de tallo de circular Histograma líneas y hojas barras  Los datos que se reúnen, de miles de estaciones meteorológicas, se representan gráficamente de muchas maneras.

Libro 5.indb 323

Capítulo 13 323

24-01-13 10:14


13

Analizar datos La idea importante

Los datos se pueden reunir y analizar.

Investiga En el campeonato metropolitano Juvenil de Atletismo, organizado por el CLub Deportivo Universidad Católica, se desarrollaron cerca de 40 pruebas en junio de 2012. La tabla muestra los resultados por equipo de hombres y mujeres. Compara los datos sobre hombres y mujeres usando dos medidas de tendencia central.

Chile

DATO BREVE

Puntajes por Equipo del Campeonato Metropolitano Juvenil Club Deportivo

Mujeres

Hombres

CDUC

372

256

AT Santiago

131

128

U. Chile

51

119

U. Austral

52

12

Phoenix Temuco

21

33

AT Francés

10

40

AT Oasis

19

24

Windsor School

4

33

Sebastián Keitel, atleta velocista chileno, nació en 1973; su especialidad eran los 100 y 200 metros planos. Sebastián llegó a ser considerado el hombre blanco más rápido de la historia. En 1995 consiguió su mayor logro deportivo: el tercer puesto en el Campeonato Mundial Indoor en los 200 m planos.

324

Libro 5.indb 324

24-01-13 10:14


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 13.

u Leer gráficos de barras Para 1–3, usa el gráfico de barras.

Especies en peligro de extinción en 2011

1. Haz una lista de las especies en peligro de

av es re pt ile s pe ce s in se ct os m ol us co s

en peligro de extinción, las aves o los reptiles? ¿Aproximadamente cuántas especies más hay en peligro de extinción?

ífe ro s

3. ¿En cuál clase de animales hay más especies

am

peligro de extinción en 2011. 

400 300 200 100 0

m

2. Estima la cantidad total de especies en

Cantidad

extinción, ordenándolas de mayor a menor. 

Clases de animales

u Leer tablas Para 4–6, usa la tabla.

Avistamiento de aves en la Región de Los Lagos

4. ¿Qué ave se ve con mayor frecuencia?

Frecuencia

5.  ¿Cuál es la cantidad total de aves que se muestra 6. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de gaviotas

y la cantidad de pájaros choroy? 

martín pescador

9

choroy

5

cormorán

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

gráfico de barras gráfico circular tabla de frecuencia gráfico de líneas promedio valor atípico pictograma

18

gaviota

en los datos? 

población rango muestra aleatoria muestra encuesta tendencia

13

PREPARACIÓN

encuesta un método para reunir información acerca de un grupo muestra una parte de una población población el grupo entero de los objetos o de los individuos considerados en una encuesta

Capítulo 13  325

Libro 5.indb 325

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LE C C

N IÓ

1

Reunir y organizar datos OBJETIVO: Reunir datos usando encuestas y organizando los datos en tablas y diagramas de puntos.

Aprende

1. 18  9 

2. 22  45 

3. 350  120 

4. 90  65 

5. 275  150 

Vocabulario

Muchas comunas tienen como símbolo representativo, una flor, un pájaro o un árbol. Algunos tienen un animal representativo de su comuna. Imagina que quieres saber qué animal elegirían los residentes de Temuco como símbolo de su comuna.

encuesta

valor atípico

población

muestra

tabla de frecuencia

muestra aleatoria

Puedes usar una encuesta para reunir información sobre un grupo. Con frecuencia, una parte del grupo llamada muestra, se elige para representar a todo el grupo, o población.

rango

Una muestra debe ser representativa de la población. En una muestra al azar, cada sujeto de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido.

Ejemplo 1 Se contrata a una empresa de estudios de mercado para que investigue si los residentes de Puerto Montt prefieren al cóndor o al huemul como símbolo de su ciudad. ¿Qué muestra es representativa de la población? a 100 niños

b 100 hombres

c 100 adultos del sur de Puerto Montt

d 100 residentes de Puerto Montt, de diferentes partes de la comuna

p El cóndor y el Huemul son dos símbolos del escudo nacional chileno.

La opción d es la única que es representativa de la población. Todos los residentes de Puerto Montt tendrían una probabilidad igual de ser elegidos.

    Actividad Escribe una encuesta y reúne los datos. A  Elige un tema. Elige uno de los siguientes temas: mascotas,

tareas o juegos. B  Determina la población que quieres encuestar. ¿Cómo eliges una

muestra al azar que sea justa? C  Escribe una pregunta para la encuesta. La pregunta debe ser

clara, fácil de comprender y debe requerir solamente una respuesta.

Encuesta sobre mascotas Cantidad de mascotas

Conteo

0 1 2 3

D  Haz una hoja de registro. Asegúrate de incluir la pregunta que

4

hiciste para la encuesta de manera que cada persona conteste la misma pregunta. Encuesta una muestra al azar que incluya un mínimo de 30 estudiantes.

5 Indica que 8 personas no tienen mascotas.

326

Libro 5.indb 326

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Organizar los datos Una tabla de frecuencia muestra el total para cada categoría o grupo.

Ejemplo 2  Organiza los datos en una tabla de

Pregunta de la encuesta: ¿Qué animal elegirías como símbolo de la Antártica: el pingüino rey, focas de Weddell, lobo fino antártico o elefantes marinos?

frecuencia. Cuenta de 5 en 5 en la tabla de conteo de la derecha para hallar cada frecuencia.

Animal simbólico de la Antártica

Encuesta sobre el animal representativo de la Antártica Animal

pingüino rey

Frecuencia

pingüino rey

45

focas de Weddell

26

lobo fino antártico

29

elefantes marinos

25

En la tabla de frecuencia, la frecuencia muestra el total para cada tipo de animal.

focas de Weddell lobo fino antártico elefantes marinos

Un diagrama de puntos te da una imagen visual de los datos. El rango es la diferencia entre el número mayor y el número menor de un conjunto de datos. Un valor atípico es un valor que está apartado del resto de los datos.

Encuesta sobre mascotas

Ejemplo 3  Organiza los datos de la encuesta sobre mascotas en un diagrama de puntos. Halla el rango.

Cantidad de mascotas

Frecuencia

Paso

0

6

Traza una recta numérica que vaya de 0 a 5. Incluye un título. Representa gráficamente una X por cada respuesta en la tabla de conteo.

1

5

2

7

3

0

4

0

5

1

Paso ↓

Halla el rango. El número mayor de mascotas es 5. El número menor de mascotas es 0.

5 es un valor atípico, dado que está apartado del resto de los datos.

Por lo tanto, el rango es 5  0, o 5.

Práctica con supervisión 1. Completa la tabla. Halla las frecuencias que faltan.

Flor preferida Tipo de flor

Conteo

Frecuencia

rosa

j

tulipán

j

Capítulo 13 327

Libro 5.indb 327

24-01-13 10:14


Una compañía de jugos de fruta quiere encuestar a niños de 10 a 14 años. Di si cada muestra representa a la población. Si no lo hace, explica por qué. 2. una muestra al azar de 100 niños  5.

 3. una muestra al azar de 100 niños, de 10 a 14 años 

 4. una muestra al azar de 100 niños de una escuela

Explica cómo reunirías y organizarías los datos para elegir la mascota de una nueva escuela. 

Práctica independiente y resolución de problemas Una fábrica de juguetes quiere saber si a los niños de 8 a 12 años les gustan las nuevas figuras de acción de la empresa. Di si cada muestra representa a la población. Si no lo hace, explica por qué. 7. una muestra al azar de 6. una muestra al azar de 300 niñas, de 8 a 12 años 300 adultos 

8. una muestra al azar de

300 niños, de 8 a 12 años 

Haz un diagrama de puntos. 9. 

Encuesta sobre las tareas escolares

10. 

Encuesta sobre la actividad semanal

Número de horas

Frecuencia

Número de horas

Frecuencia

1

8

1

3

2

16

2

9

3

4

3

10

4

2

4

12

Para 11–13, usa la tabla de conteo. 11. Haz una tabla de frecuencia de los datos. 12. ¿Qué ave tiene la mayor frecuencia en teritorio chileno? 

¿Cuál es la pregunta?  En más de cinco regiones están presentes tres de las cuatro aves: el jilguero, el queltehue y la turca.

13.

Aves de estado más comunes Ave

Número de estados

jilguero queltehue loro tricahue turca

Comprensión de los Aprendizajes 14. Cristián compró 3 sobres de sopa por $235.

¿Cuánto costó cada sobre? 15. Halla el cociente de 921 4 3.

16. Preparación para la prueba  Karen nadó 20,

25, 17, 32 y 15 circuitos. ¿Cuál es el rango de los datos? A 5

B 10

C 17

D 22

17. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el rango

de los datos 6, 7, 5, 5, 6, 3, 2, 3, 3 y 4?

328

Libro 5.indb 328

Práctica adicional en la página 338, Grupo A

24-01-13 10:14


¿Hasta qué altura puedo encontrar a...? Escribe una conclusión

E

n Chile existen 439 especies de aves de las 8.800

Altura máxima de hábitat de aves Especie

Altura sobre el nivel del mar (metros)

aguilucho

4 000

chincol

2 000

chorlo puna

5 000

picaflor gigante

2 000

tagua gigante

4 000

tórtola cordillerana

4 500

que hay en el mundo. Se pueden avistar desde la

Cordillera de Los Andes hasta el litoral, a lo largo de todo Chile. La tabla muestra la altura máxima a la

cual estas especies habitan. José, usando estos datos, escribió una conclusión sobre la altura donde es posible encontrrarlos

•  Primero, observé los datos de la tabla. La tabla muestra la altura máxima de su hábitat

2 000 •  Luego, ordené

los

2 000 menor a mayor.

} ← mayor

• Revisa los datos y cualquier otra información que conozcas. • Busca relaciones entre los datos. •  Luego, escribe una conclusión.

4 000 4 000 4 500 5 000 ← mayor

•  Por último, escribí una conclusión.

Mi conclusión: a dos mil metros de altura es posible encontrar las seis especies de aves estudiadas.

Resolución de problemas  Para 1–2, usa los datos que se muestran en el mapa. 1. Escribe una conclusión sobre las especies de aves que sería posible ver en la Región del Maule. 2. Escribe una conclusión sobre lugares donde no sería posible ver a la tórtola cordillerana.

Aguilucho Chincol Chorlo Puna Picaflor gigante Tagua gigante

Capítulo 13 329

Libro 5.indb 329

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LE C C

N IÓ

2 Hallar la media (promedio) OBJETIVO: Hallar la media de un conjunto de datos.

1. 90 4 3

2. 100 4 4

3. 64 4 8

4. 84 4 6

5. 126 4 7

Aprende

Vocabulario

PROBLEMA  Chile tiene muchos faros a lo largo de su costa. ¿Cuál es la altura media de los faros que se muestran en los números?

media

La media es el promedio de un conjunto de números.

Ejemplo 1 Paso

Paso

Faros de Chile

Suma las alturas para hallar el total.

Divide la suma entre el número de sumandos.

7 1 14 1 18 1 19 5 58

58 4 4 5 14,5

Por lo tanto, la altura media de estos faros es de 14,5 m.

Más ejemplos  Halla la media de cada conjunto de datos.  7,2; 8,3; 7,6; 9,1; 6,8

Faros

Altura (en metros)

Punta Condell

7

Isla Magdalena

14

Punta Ángeles

18

Carranza

19

 120, 300, 260, 120, 800, 200

Halla la suma.

Halla la suma.

7,2 1 8,3 1 7,6 1 9,1 1 6,8 5 39

120 1 300 1 260 1 120 1 800 1 200 5 1 800

Divide la suma entre el número de sumandos.

Divide la suma entre el número de sumandos.

39 4 5 5 7,8

1 800 4 6 5 300

Si conoces la media, puedes hallar el valor que falta en el conjunto de datos.

Ejemplo 2  Usa la media dada como ayuda para hallar el valor que falta en el siguiente conjunto de datos. 10, 18, 14, , 10; media: 15. Paso

Paso

Paso

Multiplica la media por el número total de valores del conjunto de datos.

Suma los valores del conjunto de datos para hallar el total sin el valor que falta.

Resta la suma del producto.

15 3 5 5 75

10 1 18 1 14 1 10 5 52

75 2 52 5 23

Por lo tanto, el valor que falta en el conjunto de datos es 23.

Práctica con supervisión 1. Copia y completa los pasos mostrados para hallar la media de 12, 8, 15 y 9. Luego explica cada paso.

Paso 1: 12 1 8 1 15 1 9 5 44 Paso 2: 44 4 4 5 

330

Libro 5.indb 330

24-01-13 10:14


Halla la media de cada conjunto de datos. 2. 15, 32, 16

3. 2,1; 2,4; 3,1; 2,9; 3,2; 4,3

 4. 13,5; 10,2; 14,9; 12,1; 12,8

5. 50, 65, 80, 65

6. 71, 88, 90, 71

 7. $118, $207, $125

Explica qué representa la media de un conjunto de datos.

8.

Práctica independiente y resolución de problemas Halla la media de cada conjunto de datos. 9. 11, 7, 10, 12, 15

10. 62, 78, 53, 87

11. 20,2; 16,8; 17,6

12. 5, 9, 6, 5, 7, 7

13. 5,1; 5,5; 5,8; 5,4; 5,2

14. 223, 189, 204, 204

15. 44, 38, 44

16. 100, 300, 200, 350

17. 9,8; 7,1; 9,8; 1,6; 6,2

Álgebra Usa la media dada para hallar el valor que falta en cada conjunto de datos.

18. 16, 14, 20, ; media: 14

19. 120, 118, ; media: 90

20. 25,9; 18,4 ; media: 20,6

21. 7,9; 8,6; 8,2, ; media: 8,5

22. 7, 9, 12, 4, ; media: 8

23. 84, 92, 99, ; media: 90

USA DATOS Para 24–26, usa las fotografías de los faros. 24. ¿Cuál es la altura media de los faros?

Los faros más altos

25. Razonamiento ¿Cómo variaría la media si solo

se usaran los 4 faros más altos para hallarla? 26. Formula un problema  Escribe un problema

con la altura de los faros para que un compañero lo resuelva. 27.

¿Cuál es el error?  Jacinta dice que la media de los puntajes 87, 98, 100 y 79 de los exámenes es 91. Luego suma un puntaje de 74 y dice que ahora, la media es 109,5. ¿Cuál es su error? Carranza 19 metros

Punta Corona Punta Condell Isla Magdalena Punta Ángeles 10 metros 7 metros 14 metros 18 metros

Comprensión de los Aprendizajes 28. ¿Cuál es el promedio de 192, 186, 188,

180, 194?

30. Sea n 5 12, ¿cuánto es 12n? 31. Preparación para la prueba  ¿Cuál es el

29. Si el promedio de una muestra es 40, ¿cuántos

elementos tiene la muestra. Justifica la respuesta.

Práctica adicional en la página 338, Grupo B

Libro 5.indb 331

promedio del siguiente conjunto de números?

63, 51, 34, 51, 32, 28, 46, 15, 17, 89, 146

A 40

C 52

B 50

D 139

Capítulo 13 331

24-01-13 10:14


LE C C

N IÓ

3 Comparar datos

Halla la moda, rango de cada conjunto de datos.

OBJETIVO: Comparar dos o más conjuntos de datos.

1.  12, 8, 15, 21, 17  2.  7,5; 9,2; 8,6; 7,9; 9,5 

Aprende

3.  5, 5, 5, 9, 3  4.  32, 41, 38, 45 

PROBLEMa  Una palabra usada con mucha frecuencia en español es la palabra “el” (artículo o pronombre). Laura y Javier reunieron datos sobre la cantidad de veces que aparece la palabra “el”. Son similares los resultados de Laura y Javier? Para comparar sus datos, puedes calcular la media.

5.  4,2; 6,9; 5,3; 4,7 

Vocabulario moda

rango

Ejemplo Experimento de Javier

Encuesta de Laura Laura pidió a 10 estudiantes que eligieran una oración y dijeran cuántas veces aparecía la palabra el.

Javier pidió a 15 estudiantes que escribieran una oración. Luego contó el número de veces que aparecía la palabra el.

Veces que aparecía el

Veces que aparecía el

2

3

4

3

1

1

1

3

4

3

4

2

4

4

0

2

3

1

0

5

3

4

5

2

2

Media: 27 4 10 5 2,7

Media: 39 4 15 5 2,6

La media es de 2,7 veces.

La media es de 2,6 veces.

La media para los dos grupos de datos es similar, por lo tanto, los resultados de Laura y Javier son similares. Puedes comparar dos grupos de datos calculando el rango.

Ejemplo 2  El siguiente diagrama de puntos muestra los resultados de dos experimentos con pilas. ¿Son semejantes los resultados?

Rango: 3 horas

Rango: 5 horas

El rango de los dos grupos de datos son diferentes. Por lo tanto, los resultados del experimento con pilas no son semejantes.

332

Libro 5.indb 332

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Práctica con supervisión 1. Juan reunió datos sobre la cantidad de minutos que sus compañeros

• Datos de Juan: La media es 2,5 horas.

de clase dedican a hacer la tarea. Mauricio reunió el mismo tipo de datos entre sus compañeros. Explica cómo se comparan las medias de sus resultados. 

• Datos de Mauricio: La media es 1,25 horas.

¿Cómo se pueden comparar estos grupos de datos?  2.

3.

A: Páginas que los estudiantes leen

B: Páginas que los estudiantes leen

43

10

68

65

31

12

32

53

68

12

52

37

79

24

52

52

68

69

15

72

60

52

22

68

Explica cómo la moda y el rango te ayudan a comparar dos grupos semejantes de datos.

Práctica independiente y resolución de problemas ¿Cómo se pueden comparar estos grupos de datos? 4. A: Peso de las mochilas (unidades)

B: Peso de las mochilas (unidades)

0

3

1

8

3

2

8

1

2

9

8

10

9

4

5

5

4

3

2

3

4

0

0

10

2

8

10

6

10

6

Para 5–7, usa la gráfica de doble barra. 5. ¿Cómo se pueden comparar los ingresos semanales de Nicolás y de Víctor? 6. ¿Qué pasaría si Víctor recibiera una bonificación de $30 000 en la semana 3? ¿Cómo se podrían comparar entonces las medias de estos grupos de datos? 

Ingresos semanales $100 000

Ingresos

a

Víctor Nicolás

$80 000 $60 000 $40 000 $20 000 $0

1

2

3 Semana

4

5

Comprensión de los Aprendizajes 7. 3,7 3 8,920 5 8. Un bote hizo un viaje con pasajeros en 5 días distintos. 14, 15, 11, 14 y 16 ¿Cuál fue la media del número de pasajeros que viajaron en el bote?

Práctica adicional en la página 338 y 339, Grupo C y D

Libro 5.indb 333

9. Preparación para la prueba  ¿Qué opción muestra cómo se relaciona la media de los puntajes de cada conjunto de datos? Puntaje del 1.er equipo de bolos 110

250

98

Puntaje del 2.o equipo de bolos 136

103

99

158

146

A 101  123

C 124,5  123,5

B 123  123,5

D 124,5  123

Capítulo 13 333

24-01-13 10:14


LE C C

N IÓ

4 Analizar gráficos

Escribe , o . en cada .

OBJETIVO: Leer, interpretar y analizar los datos de los gráficos.

1. 34  48

2. 16  19

3. 73  71

4. 84  121

Aprende

5. 109  98

Cuando analizas gráficos, puedes responder preguntas, sacar conclusiones y hacer predicciones sobre los datos.

Vocabulario pictografía

gráfico de barras

Una pictografía muestra datos contables por medio de símbolos o dibujos. Una clave muestra cuánto representa cada símbolo o dibujo.

gráfico circular

gráfico de líneas

Puntos en el Torneo de Apertura Colo-Colo Universidad de Chile

¿Cuántos partidos ganó Rangers? Esta clave muestra que cada símbolo representa 10 puntos. Medio símbolo representa 5 puntos. Para Rangers, se muestra:

Rangers Audax Italiano Clave:

tendencia

(4 3 10) 1 5 5 45. = 10 victorias

Por lo tanto, Rangers obtuvo 45 puntos.

Un gráfico de barras usa barras horizontales o verticales para presentar datos contables. Puedes usar gráficos de barras para comparar datos. El siguiente gráfico es un gráfico de barras. ¿Qué equipo de fútbol femenino ganó más partidos?

Tabla de Posiciones Fútbol Femenino 2012 40

Las barras más altas son Colo-Colo y Universidad de Chile. Muestra que obtuvieron 33 y 31 puntos. Halla la diferencia de puntos entre el primero y el último.

35

Partidos ganados

La barra más alta es la de Universidad de Chile. Muestra que ganaron 33 puntos. Luego es el equipo de fútbol que ganó más partidos.

30

31

33

30 25

25 20 15 10 5 0

Colo-Colo

Santiago Morning

Everton

U. de Chile

Equipos

334

Libro 5.indb 334

24-01-13 10:14


Un gráfico circular muestra cómo se relacionan las partes de los datos con el todo y entre sí. ¿Cómo se relaciona el tiempo que Eric nada con el tiempo total de su rutina de ejercicios?

Rutina de ejercicios de Eric Estiramiento

El gráfico circular representa todo el conjunto de datos. Cada sección del gráfico circular representa una parte del todo.

Natación 1 hora

Halla la parte del gráfico circular que representa la natación. Eric nada durante 1 hora.

1 hora

Toda la rutina de ejercicios le toma 1 1 2 1 1 1 1, o 5 horas.

1 hora

2 horas

Correr

Por lo tanto, Eric nada 1 hora de un total de 5 horas, o ​  _15 ​del total de su rutina de ejercicios haciendo natación.

Andar en bicicleta

Un gráfico de líneas usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. Un gráfico de líneas puede mostrar una tendencia. Una tendencia es un patrón que se desarrolla a través del tiempo, en todo el gráfico o en parte de él, y en el cual los datos aumentan, disminuyen o permanecen iguales. ¿En qué semana predices que Sara correrá un kilómetro en 11 minutos?

•  Si la línea asciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es creciente. •  Si la línea desciende desde un punto hasta el siguiente, el patrón es decreciente. El patrón general que se muestra en el gráfico es decreciente.

Tiempos de Sara por kilómetro recorrido

Cantidad de minutos

Para identificar una tendencia, mira la dirección de la línea desde un punto hasta el siguiente.

16 14 12 10 8

decreciente se creciente mantiene igual

6 4 2 0

1

2

3 4 Semana

5

6

Por lo tanto, si la tendencia continúa, Sara probablemente correrá un kilómetro en 11 minutos en la semana 7.

Práctica con supervisión Para 1–4, usa la pictografía de la página 348: 1.  Treinta y cinco victorias se mostrarían como . ¿Qué equipos obtuvieron este número de victorias? 3. ¿Cuántas victorias obtuvo Colo-Colo?

2.  ¿Qué pasaría si un quinto equipo obtuviera

55 victorias? ¿Cómo se mostraría en la pictografía esta cantidad de victorias?  4. ¿Qué equipo obtuvo el mayor número de

victorias? 

Capítulo 13 335

Libro 5.indb 335

24-01-13 10:14


5.

Imagina que tienes una pictografía con una clave donde cada símbolo representa 8. Explica cómo determinarías el número de símbolos que necesitarías para mostrar 20. 

Práctica independiente y resolución de problemas Para 6–8, usa el gráfico de barras. 6. ¿Qué equipo obtuvo la mayor cantidad de

Puntaje de los equipos femeninos

puntos? Cantidad de puntos

7. ¿Cuáles dos equipos lograron la misma cantidad

de puntos? 8. ¿Cuál fue la cantidad total de puntos de todos los

equipos? Para 9–12, usa el gráfico circular. 9. ¿Qué parte del ejercicio toma la menor cantidad

12 10 8 6 4 2 0

de tiempo?

12 10

Cobreloa U.Concepción Equipo

10. ¿Qué partes del ejercicio toman la misma cantidad de tiempo? 11. ¿Qué parte de todo el ejercicio representan 12. ¿Qué ejercicios tomarán

9

9

Santiago Morning

Huachipato

Ejercicios de levantamiento de pesas

los ejercicios de las piernas? 1

9

músculos abdominales

del total de ejercicios?

5 min

Para 13–15, usa el gráfico de líneas. 10 min

13. ¿Qué parte del gráfico muestra el mayor

incremento de un kilómetro al siguiente?

brazos 15 min

piernas 15 min

14. ¿Cómo describirías la tendencia que muestra

el gráfico del kilómetro 2 al kilómetro 3?

parte superior del cuerpo

15. Razonamiento  Imagina que el recorrido entre

el kilómetro 7 y el kilómetro 10 fuera cuesta arriba. ¿Qué tendencia crees que mostraría el gráfico del kilómetro 7 al kilómetro 10?

DATO BREVE Patricio Almonacid ganó la

Vuelta Ciclística de Chile en 2012. Su promedio de velocidad durante la competencia fue de 40,26 kilómetros por hora. A esta velocidad, ¿qué distancia podía recorrer en 3 horas?, ¿en n horas? 17.

336

Libro 5.indb 336

Explica cómo se podría mostrar en un gráfico de líneas un patrón creciente o decreciente.

Velocidad obtenida por Alberto en la carrera de ciclismo de 10 kilómetros Velocidad (en kilómetros por hora)

16.

25 20 15 10 5 0

1

2

3

4 5 Kilómetros

6

7

Práctica adicional en la página 339, Grupo E

24-01-13 10:14


Comprensión de los Aprendizajes 18. El sendero de Volcán Chaitén tiene 2,6 kilómetros

21. Preparación para la prueba  Observa el gráfico

de longitud. El sendero de Cerro Pochoco tiene 4,3 kilómetros de longitud. ¿Cuánto más largo es el sendero de Cerro Pochoco?

de barras doble de la parte superior de la página 350. ¿Qué enunciado sobre los datos que se muestran en la gráfica NO es verdadero?

19. Lori tiene una canasta de 12 centímetros de

A Cobreloa obtuvo más victorias.

alto, 10 centímetros de ancho y 18 centímetros de largo. ¿Cuál es el volumen de la canasta? 20. Halla el rango del conjunto de datos: 10, 15, 8,

B El promedio de la cantidad de victorias es 7. C Santiago Morning jugó 10 partidos. D El promedio de la cantidad de derrotas es 1.

12, 14, 8, 20 y 16.

PENSAR VISUALMENTE  Puedes usar un gráfico de líneas doble para comparar dos conjuntos de datos. La clave muestra qué representa cada línea.

en marzo de las dos familias? Mira el gráfico y la clave. • El promedio de la familia Díaz en marzo es de 75 Kwh. •  El promedio de la familia Zamorano en marzo es de 175 Kwh.

Promedio mensual de consumo de energía 300 Consumo en Kwh

Ejemplo  ¿Cuál es la diferencia de consumo

Halla la diferencia. 175 2 75 5 100 Por lo tanto, la diferencia de consumo energético entre ambas familias es de 100 Kwh.

Para 1–2, usa el gráfico de líneas doble. 1. Razonamiento  Sin sumar para hallar el consumo energético anual total, describe cómo se relaciona el consumo energético anual de las dos familias.

250 200 150 100 50 0

ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SET

OCT NOV DIC

Mes Familia Díaz

Familia Zamorano

2. ¿En qué mes tuvo la familia Díaz un consumo

energético mayor que la familia Zamorano?

Capítulo 13 337

Libro 5.indb 337

24-01-13 10:14


Práctica adicional Grupo A

Un centro de recreación extracurricular quiere saber con qué juegos prefieren jugar los niños entre los 8 y los 10 años de edad. Di si cada muestra representa a la población. Si no, explica por qué no la representa. 

1. Una muestra al azar de

2. Una muestra al azar de

100 niños entre los 8 y los 10 años de edad

3. Una muestra al azar de

100 niños que asisten al centro de recreación extracurricular y están entre los 8 y los 10 años de edad

100 niños que asisten al centro de recreación extracurricular

Haz un diagrama de puntos. 4.

Práctica semanal de violín

5.

Sándwich vendidos

Número de horas

Frecuencia

Número de sándwich

Frecuencia

1

8

1

14

2

6

2

10

3

9

3

6

4

11

4

5

5

3

Grupo B

Halla el promedio de cada conjunto de datos. 

1. 26, 38, 17  2. 316, 156, 239, 621  3. 25, 15, 20, 30, 20  4. 5,1; 6,7; 4,9; 5,8; 2,6  5. 148, 152, 124, 200, 101 

6. 12, 9, 15, 18 

7. 30, 157, 64, 13 

9. 327, 802, 464 

Grupo C

8. 37,4; 24,4; 1,3; 10,5; 16,9 

Halla el término faltante de la serie, si la media en cada caso es 50.

1. 38, 57, 41, X 2. 1, 7, 4, X 3. 52,5; 49,5; 50, X 4. 58, 51, 52, X 5. 59, 41, 37, X 6. 20,3; 50,7; 30, X

  7. Natalia hizo cuatro llamadas telefónicas a

distintos miembros de su familia. La duración de las llamadas fue de 27 minutos, 34 minutos, 30 minutos y 34 minutos. ¿Cuál es la media de la duración de las llamadas telefónicas de Natalia?

8. Daniela corre 5 veces por semana. La semana

pasada, corrió 4,3 kilómetros, 6,5 kilómetros, 7,2 kilómetros, 6,8 kilómetros y 4,3 kilómetros. ¿Cuál es la media del número de kilómetros que Daniela corrió la semana pasada? 

338

Libro 5.indb 338

24-01-13 10:14


Grupo D  Di en qué se parecen y en qué se diferencian los conjuntos de datos. 

1.

A: Asistencia al club de ciencias 6

12

9

6

10

7

2.

13

$51 000

B: Asistencia al club de matemáticas 8

15

3.

16

7

9

6

A: Venta de boletos para la obra de teatro (presente año) $48 000

$60 000

B: Venta de boletos a la obra de teatro (año pasado) 9

$40 000

A: Altura de las plantas en julio (centímetros)

4.

$39 500

$45 000

$62 500

A: Horas de trabajo voluntario de Graciela por mes

10

9

12

13

11

4

6

7

5

1

8

12

10

9

11

13

3

5

12

6

11

10

B: Horas de trabajo voluntario de Renata por mes

B: Altura de las plantas en agosto (centímetros) 9

8

7

10

6

5

4

2

3

8

6

8

10

5

8

9

7

8

7

10

9

12

Grupo E  Para 1–4, usa el gráfico circular.  1. ¿En qué artículo gasta más dinero Miguel? 2. ¿Qué fracción del costo total gasta Miguel en ropa? 

Gastos de ciclismo de Miguel zapatos $10 000

casco $10 000

bicicleta $60 000

1 3. ¿Qué artículos cubren ​ __ 10   ​del gasto total?

4. ¿Cómo se compara la cantidad que Miguel gasta

en ropa con la cantidad que gasta en zapatos?  

ropa $20 000

Capítulo 13 339

Libro 5.indb 339

24-01-13 10:14


Repaso/Prueba del Capítulo 13 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.        1. Una — ​  ?  ​ es un patrón que se desarrolla con el tiempo, en toda una

media tendencia

gráfica o en parte de ella.

       2. El promedio de un conjunto de números es la — ​  ?  ​. 

Comprueba tus destrezas El dueño de un teatro quiere saber qué clase de películas son populares entre los chicos de 8 a 12 años de edad. Di si la muestra representa a la población. Si no la representa, explica por qué.  3. una muestra al azar de 4. una muestra al azar de 5. una muestra al azar de

150 chicos entre los 150 chicos  150 jóvenes entre los 8 y los 12 años de edad 8 y los 12 años de edad Halla la media de cada conjunto de datos.  6. 28, 44, 12, 16

7. 201, 198, 211, 197, 201

8. 11,5; 13,4; 12; 10,6; 6,5

Di en qué se parecen y en qué se diferencian los conjuntos de datos. 1: Latas recolectadas 435

619

10.

428

85

435

100

375

94

78

95

84

92

75

84

Ciclistas de la carrera

Para 11–13, usa el gráfico de línea.  11. ¿Dónde muestra el gráfico la mayor disminución? 12. ¿Cuándo ocurre el primer cambio en la cantidad de ciclistas? 13. Describe la tendencia que se observa en el gráfico. 

Comprueba la resolución de problemas Resuelve.  14. Todos los estudiantes de la clase de Tina practican deportes: 12 estudiantes juegan tenis, 15 juegan basquetbol y 18 juegan fútbol. De esos, 5 juegan tenis y basquetbol, 6 juegan tenis y fútbol, 8 juegan fútbol y basquetbol, y 2 practican los tres deportes. ¿Cuántos estudiantes hay en la clase de Tina? 

90

Puntajes de los exámenes de ciencias de Nora

2: Latas recolectadas 594

Puntajes de los exámenes de matemáticas de Nora

15.

Cantidad de ciclistas

9.

20 15 10 5 0

20 40 60 80 100 Kilómetros

Imagina que ninguno de los estudiantes practica los tres deportes. Si todos los demás resultados son los mismos, ¿cómo podrías cambiar el diagrama para hallar la cantidad de estudiantes de la clase? 

340

Libro 5.indb 340

24-01-13 10:14


Enriquecimiento • Gráficos confusos

Lee entre líneas

Un gráfico confuso da una impresión falsa de los datos. Algunos de los rasgos de un gráfico confuso son:

•  una escala que empieza con un número diferente de cero •  espacios irregulares entre los valores de la escala •  barras que tienen diferente ancho

Ejemplo

Costo de los autos Ford Auto

Este gráfico compara el costo de dos modelos de auto. A primera vista, el valor del Ford 107 parece ser el doble del Chevrolet. Pero si lees la escala detenidamente, te das cuenta que el Ford cuesta solo 3 millones más que el Chevrolet. La escala empieza con un número diferente de cero y no está rotulada en forma correcta.

Chevrolet 15

18

21

Costo en millones de pesos

Inténtalo Lee el gráfico. Luego, contesta las preguntas. 1.  ¿Aproximadamente cuántas veces más alta parece

Latas recolectadas

ser la barra de quinto básico que la barra de cuarto básico?

3. ¿Qué falsa impresión de los datos da el gráfico?

¡Piénsalo! Explica cómo corregirías el gráfico “Latas recolectadas” para que no sea confusa.

30 Cantidad de latas

2. ¿Cuántas latas más recolectaron realmente los estudiantes de quinto básico que los de cuarto básico?

35

25

0 4.° básico 5.° básico Nivel

Capítulo 13 341

Libro 5.indb 341

24-01-13 10:14


14

Mostrar e interpretar datos

La idea importante

Los datos se pueden analizar y presentar gráficamente de diversas formas.

Investiga El gráfico circular muestra la producción de queso por región. ¿Qué observaciones puedes hacer acerca de los datos?

Producción de queso en Chile 2010 Arica, Parinacota, Coquimbo y Valparaíso 6,1%

Metropolitana 6,2% O'Higgins 3,2% Maule 1,6% La Araucana 4,7%

Bío Bío 13,3%

Los Lagos y Aysén 43,9%

Los Ríos 28,3%

Chile

DATO BREVE

Las regiones de Los Lagos y Aysén son las regiones que procesan la mayor cantidad de volumen de leche del país con un 37,6% del total nacional.

342

Libro 5.indb 342

24-01-13 10:15


Comprueba si has comprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar con éxito el Capítulo 14.

u Ampliar los patrones Escribe una regla para cada patrón. Luego, halla los números que faltan.

1. 0, 4, 8, 12, 16,

j, j, j

2. 0, 5, 10, 15, 20,

3. 90, 80, 70, 60,

j, j, j 

4. 1, 3, 9, 27,

5. 3, 6, 12, 24,

7. 48, 40, 32, 24,

j, j, j

j, j, j 

6. 25, 50, 75, 100,

j, j, j 

j, j, j

8. 3, 7, 15, 31,

j, j, j 

j, j, j 

Hacer un gráfico de barras u Haz un gráfico de barras del conjunto de datos.

9.  El conjunto de datos muestra la cantidad de

camisetas de diferentes colores que hay en la tienda de Leo. ¿Cuántas camisetas hay en total?

10.  En tu gráfico de camisetas ¿cuál es la barra más alta

y cuál es la más baja? 

11. ¿Cuántas camisetas rojas más que camisetas

amarillas hay en la tienda de Leo? 

Camisetas en la tienda de Leo moradas

3

amarillas

18

negras

14

rojas

23

azules

16

12.  Imagina que usaste un intervalo de 2 para hacer tu gráfico

de barras. ¿Cómo cambiarían las barras si usaras un intervalo de 5? 

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

datos categóricos gráfico de línea doble histograma datos numéricos diagrama de tallo y hojas

PREPARACIÓN

histograma un gráfico de barras que muestra el número de veces que ocurren los datos dentro de los intervalos diagrama de tallo y hojas una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional gráfico de linea doble gráfica lineal que representa dos conjuntos de datos

Capítulo 14  343

Libro 5.indb 343

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

1 Hacer histogramas

Halla el próximo número del patrón.

OBJETIVO: Representar datos haciendo un histograma.

1.  5, 10, 15, 20,  2.  6, 9, 12, 15, 

Aprende

3.  4, 9, 14, 19,  4.  1, 11, 21, 31, 

PROBLEMA  Los datos muestran las edades de los corredores que se inscribieron con anticipación para una carrera de 5 km. Haz un gráfico de los datos.

5.  28, 32, 36, 40, 

Vocabulario

Edades de los corredores

histograma

32

17

26

24

35

13

19

23

27

41

38

9

16

28

8

37

18

59

40

43

52

29

12

10

25

28

32

39

46

24

A veces quieres mostrar con qué frecuencia se presentan los datos. Un histograma es un gráfico de barras que muestra el número de veces que ocurren los datos dentro de los intervalos.

Actividad Sigue los pasos para hacer un histograma de los datos ilustrados arriba.

Paso Haz una tabla de frecuencia con intervalos de 15. Empieza con 1. Registra el número de veces que ocurren los datos en cada intervalo, o grupo de edad.

Frecuencia

1 - 15

5

16 - 30

13

31 - 45

9

46 - 60

3

Paso Haz un histograma. Elige una escala y un intervalo apropiados para el eje vertical. Rotula el eje. Enumera los grupos de edades y rotula el eje horizontal. Dibuja una barra para la cantidad de corredores de cada grupo de edades. Las barras deben tocarse, pero no superponerse. Escribe un título para el gráfico.

Edades de los corredores de la carrera de diversión Edades de los corredores de la Carrera de Diversión 14 Cantidad de corredores

Grupo de edades

12 10 8 6 4 2 0

1–15

16–30 31–45 46–60 Grupos de edades

344

Libro 5.indb 344

24-01-13 10:15


Práctica con supervisión Para 1–3, usa la tabla. 1. Usa 3 años para cada intervalo. Enumera los intervalos.

Clases de natación

2. Haz un histograma de los datos.

9

11

3. ¿Cuántos niños entre los 4 y los 6 años de edad toman

3

8

7

3

10

12

11

12

clases de natación? 4.

2

Explica en qué se parece y en qué se diferencian un histograma y un gráfico de barras.

11

Práctica independiente y resolución de problemas Para 5–6, usa la tabla.

Tiempo de práctica (en minutos)

5. ¿Cuál es un intervalo razonable para los tiempos de práctica? 6. Haz un histograma de los datos.

25

32

20

35

37

33

28

42

36

32

23

41

Para 7–8, determina si los datos se representarían mejor mediante un gráfico de barras o de un histograma. Luego, haz el gráfico. 7.   8.  Color de auto Cantidad de autos

negro

35

blanco

25

rojo

10

Estatura (en centímetros)

Cantidad de perros

48–51

2

52–55

4

56–59

12

USA DATOS Para 9–11, 13 y 15, usa el gráfico.

Edades de los corredores de la carrera por carretera

29 años que en el grupo de los 5 a los 9 años de edad? 10. ¿Cuántas personas corrieron en la carrera por carretera? 11.

¿Puedes determinar, mirando el histograma, cuántas personas de 15 años de edad hay en la carrera? Explica tu respuesta.

Cantidad de corredores

9. ¿Cuántos corredores más hay en el grupo de los 25 a los 48 32 16 0

5–9

10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 Grupos de edades

Comprensión de los Aprendizajes 12. Ordena de menor a mayor: 0,6; 1,4; 0,09;

y 1,37. 13. Si y es un número que satisface y 2 2 5 18,

¿es y igual a 20 o igual a 16?

Práctica adicional en la página 358, Grupo A

Libro 5.indb 345

14. Preparación para la prueba  ¿Cuántas

personas de la carrera por carretera tienen entre 5 y 14 años de edad? A 16

B 24

C 32

D 48

Capítulo 14 345

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

2

Hacer diagramas de tallo y hojas OBJETIVO: Representar datos adecuadamente haciendo un diagrama de tallo y hojas.

Ordena de menor a mayor. 1.  90, 67, 39, 58 2.  34, 27, 101, 243 3.  73, 82, 78, 85

Aprende

4.  116, 122, 130, 109 5.  152, 160, 93, 129

PROBLEMA  ¿Cómo puedes organizar los siguientes datos para que sea más fácil interpretarlos?

Cantidad de pisos de algunos edificios de Santiago 31

37

26

48

52

33

34

43

38

38

27

30

30

32

40

45

38

39

48

27

29

30

48

33

32

28

34

45

43

43

Vocabulario

Un diagrama de tallo y hojas es una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Te permite mostrar el valor de cada dato.

diagrama de tallo y hojas

  Actividad Haz un diagrama de tallo y hojas usando los datos de los edificios.

Paso Ordena los datos de menor a mayor. 26, 27, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 37, 38, 38, 38, 39, 40, 43, 43, 43, 45, 45, 48, 48, 48, 52

Paso Separa los datos en grupos, los que tengan el mismo tallo. Enumera los tallos, en orden, en una columna.

Paso Escribe cada conjunto de hojas en orden, de menor a mayor, a la derecha de su tallo. Ponle un título a tu diagrama. El dígito de las decenas de cada número es su tallo.

Rascacielos de Santiago

Tallo 2 6 7 7 8 9

El dígito de las unidades de cada número es su hoja.

Hojas

3

0 0 0 1 2 2 3 3 4 4 7 8 8 8 9

4

0 3 3 3 5 5 8 8 8

5

2 5 | 2 representa 52

346

Libro 5.indb 346

24-01-13 10:15


Práctica con supervisión 1. Vuelve al diagrama de tallo y hojas Edificios de Santiago.

¿Cuántos edificios tienen 32 pisos? ¿Cómo se ve esto en el diagrama? Para 2–4, usa los puntajes del equipo de bolos. 2. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.

Puntajes del equipo de bolos

3. ¿Cuál fue el puntaje más bajo del equipo? ¿Y el más alto? 4.

Explica la relación entre una hoja y un tallo en el diagrama de tallo y hojas que hiciste con los datos del puntaje de bolos.

76 79 69

92 73 67

85 81 82

73 85 86

94 92 93

98 86 89

61 86 76

74 75 80

Práctica independiente y resolución de problemas Para 5–8, usa los datos de las temperaturas de Diciembre.

Temperaturas mínimas de diciembre en Punta Arenas (ºC)

5. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo

y hojas. 6. ¿Cuál fue la temperatura mínima? ¿Y la temperatura

máxima? 7. ¿Qué temperatura se registró con más frecuencia?

6,7

7,2

6,2

6,7

6,8

6,5

7,5

7,9

7,6

7,2

8,6

8,3

8,6

7,9

7,2

8,8

7,5

8,9

8,7

8,5

7,2

8,4

8,7

8,6

8. ¿Se registraron más temperaturas en los 6,0 ºC; 7,0 ºC o

8,0 ºC?

Cantidad de pisos de algunos edificios de San Miguel Tallo Hojas 1 2 2 5 7 7 7 7 9

Para 9–10 y 15 usa el diagrama de tallo y hojas. 9. ¿Cuántos edificios tienen entre 10 y 19 pisos? 10. ¿Cuántos edificios tienen exactamente 17 pisos? 11.

Explica ¿Qué clase de preguntas puedes responder usando un diagrama de tallo y hojas?

2

5

6

3

4

6

4

1

4

7

5

Comprensión de los Aprendizajes 12. ¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular

que mide 3 centímetros de alto, 6 centímetros de ancho y 10 centímetros de largo? 13. Representa gráficamente el par ordenado

14. Preparación para la prueba   ¿Cuántos

edificios se incluyen en los datos del diagrama de tallo y hojas anterior? A 8

B 19

C 20

D 29

(2,5) en un plano cartesiano.

Práctica adicional en la página 358 Grupo B

Libro 5.indb 347

Capítulo 14 347

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

3 Hacer gráficos de líneas

¿Qué escala usarías para representar gráficamente los datos? 

OBJETIVO: Representar datos haciendo un gráfico de líneas.

1.  5, 9, 15, 6, 3

Aprende

2.  28, 75, 36, 48, 31

Un gráfico de líneas es una buena manera de mostrar datos que cambian con el transcurso del tiempo.

Promedio diario de temperaturas mínimas en Coyhaique Día

L (1)

M (2)

Mi (3)

J (4)

V (5)

S (6)

D (7)

Temperatura (ºC)

3,0

3,3

4,2

5,2

6,3

7,2

7,7

3.  58, 69, 94, 86, 90 4.  12, 30, 25, 48, 41 5.  90, 120, 85, 125, 80

Actividad Paso Elige una escala y un intervalo apropiados para los datos. Dado que no hay temperaturas entre los 0 ºC y los 2 ºC , muestra una interrupción en la escala.

Paso Escribe los días a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico.

Paso Basándote en los datos, escribe pares relacionados como pares ordenados. Representa gráficamente los pares ordenados. Conecta los puntos con segmentos rectos.

Temperatura (en °C)

Promedio semanal de temperaturas mínimas en Coyhaique 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 0

Idea matemática

Puedes escribir pares de datos relacionados como pares ordenados. En el conjunto de datos de arriba, cada mes se relaciona con una temperatura. Puedes escribir (1,30) para el primer par relacionado.

Este punto muestra (2; 3,3).

1

2

3 4 5 Día de la semana

6

7

348

Libro 5.indb 348

24-01-13 10:15


Gráfico de línea doble La tabla muestra el promedio mensual de temperaturas en Calama, Región de Antofagasta. Haz un gráfico para comparar los datos de temperatura de Coyhaique, de la página anterior, con los datos de Calama.

Promedio semanal de temperaturas en Calama Día Temperatura (ºC)

L 5,6

M 5,7

Mi 5,9

J 6,2

V 6,5

S 6,9

D 7,3

Un gráfico de líneas doble es una forma de mostrar dos conjuntos de datos relacionados durante el mismo período de tiempo.

Ejemplo  Haz un gráfico de líneas doble. Paso Elige una escala y un intervalo adecuados.

Paso

Promedio de temperaturas en Coyhaique y Calama en julio

Paso Haz una clave. Usa un color para Coyhaique y otro color para Calama.

Paso Usando el color adecuado, representa gráficamente los pares ordenados correspondientes a Coyhaique y conecta los puntos con líneas rectas.

Temperatura (en ºC)

Escribe los meses a lo largo de la base del gráfico. Rotula el eje horizontal y el eje vertical. Ponle un título al gráfico.

9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0 L M Mi J V S D

Usa el otro color para representar gráficamente los pares ordenados correspondientes a Calama y conéctalos con líneas rectas.

Día Coyhaique

Calama

Práctica con supervisión 1. Imagina que se agregan los datos de la derecha

al gráfico ilustrado arriba. ¿Subirían o bajarían las líneas para cada ciudad?

Promedio mensual de temperaturas en diciembre Ciudad Coyhaique Calama

Temperatura (en ºC) 5,6 6,8

Capítulo 14 349

Libro 5.indb 349

24-01-13 10:15


Para 2–5, usa la tabla. 2. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados

Promedio mensual de temperaturas en Antofagasta (ºC)

para representar gráficamente los datos?

Mes Temperatura (ºC)

3.   Escribe los pares relacionados como pares

ordenados.

1 19 ,9

2 21,1

3 19,1

4 18,2

5 16,0

4. Haz un gráfico de líneas de los datos. 5.

Explica qué tipo de datos se necesitan para hacer un gráfico de líneas.

Práctica independiente y resolución de problemas Para 6–8, usa la tabla. 6. ¿Qué escala e intervalo serían adecuados

Promedio de temperaturas diarias (ºC) Día Máxima Mínima

para representar gráficamente los datos? 7. Escribe los pares relacionados de datos

como pares ordenados.

1 22,6 12,6

2 21,3 14,8

3 22,2 15,8

4 22,6 13,4

5 22,8 12,8

8. Haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble de los datos.

Para 9–10, haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble para cada conjunto de datos. 9.

Ventas de la pista de patinaje

10.

Semana 1 2 3 4 5 Pista oriental $12 000 $15 000 $18 000 $17 000 $18 000 Pista occidental $11 000 $13 000 $16 000 $17 000 $15 000

Precio de la acción X en la bolsa Semana Precio

1 $48

2 $55

3 $62

4 $38

USA DATOS  Para 11–13, usa el gráfico. 11. ¿En cuáles de los meses que se muestran

12. ¿Qué parque tiene un promedio de

precipitaciones representado por (4,45)? 13.

350

Libro 5.indb 350

Explica la similitud entre representar gráficamente un par ordenado en un plano cartesiano y representarlo en un gráfico de líneas.

Promedio mensual de precipitaciones Precipitación (en mm)

se registró la mayor diferencia de precipitaciones entre los dos parques nacionales?

35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 Parque Nacional A

Mes

Parque Nacional B

Práctica adicional en la página 358, Grupo C

24-01-13 10:15


Comprensión de los Aprendizajes Para 15–17, usa el gráfico Promedio mensual de precipitaciones que aparece en la página 350. 14. Un prisma rectangular tiene una longitud de

9 centímetros, una altura de 4 centímetros y un ancho de 3 centímetros. ¿Cuál es el volumen? ¿Cuál es la mitad de 0,5? 15. ¿Qué parque tiene el promedio mensual

mínimo de precipitaciones?

16. Preparación para la prueba  ¿Qué parque

tiene un punto en (1,15)? 17. Preparación para la prueba  ¿Qué par

ordenado representa un promedio de precipitaciones de 6,32 mm en junio? A (6,32)

C (7,32)

B (1,32)

D (32,7)

El ciclo del agua El agua se convierte en vapor por evaporación, luego se condensa y forma la lluvia. Este proceso se llama el ciclo del agua. Un elemento importante de este proceso es el océano, el cual ejerce un gran efecto sobre el clima. El océano absorbe el calor del sol y luego lo pierde por evaporación causando a menudo precipitación e, incluso, tormentas. La gráfica superpuesta, ilustrada a la derecha, usa dos escalas verticales para mostrar el promedio mensual de temperatura y de precipitación en Santiago.

precipitación cae en febrero en Santiago? 2.  ¿Cuál es el promedio de temperatura en

febrero en Santiago? 3.  ¿Por qué es útil la gráfica superpuesta para

comparar la temperatura y la precipitación de cada mes?

35 30 25 20 15 10 5 0

Ene Feb Mar Abr May Agua caída al mes

350 300 250 200 150 100 50 0

Precipitación (en mm)

1.  Aproximadamente, ¿qué cantidad de

Temperatura (en ºC)

Para 1–3, usa el gráfico.

Santiago

Temperatura promedio

Capítulo 14 351

Libro 5.indb 351

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

4 Destreza: Sacar conclusiones

OBJETIVO: Resolver problemas usando la destreza sacar conclusiones.

Usa la destreza Precipitaciones promedio mensual en San Pedro de la Paz, Región del Biobío. Precipitación (en mm)

PROBLEMA  El Servicio Nacional Meteorológico registra el total de precipitación que cae en ciudades y regiones cada mes. El gráfico de barras muestra la precipitación mensual en el área de San Pedro de la Paz, Región del Biobío, entre el mes de enero y julio. En general, ¿hubo una precipitación mensual de más de 300 milímetros durante este período de tiempo? Puedes analizar los datos para sacar una conclusión.

350 300 250 200 150 100 50 0

329,4 189,6 139,2

16,4 S/I S/I Ene Feb Mar Abr May Jun

Analizar ¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de más de 20 mm?

Conclusión La precipitación mensual en febrero, mayo y junio fue entre 130 y 330 milímetros.

¿En cuáles meses hubo una precipitación mensual de menos de 20 mm?

En abril hubo una precipitación mensual de menos de 20 milímetros.

Meses

Por lo tanto, en este período de tiempo, por lo general, no hubo una precipitación anual de más de 20 milímetros.

Piensa y comenta Lee cada una de las conclusiones sobre la precipitación anual en San Pedro de la Paz entre enero y junio. Di si estas conclusiones se pueden sacar de la información dada en la gráfica de barras. Escribe sí o no. Explica tu razonamiento. a. La precipitación aumentó de mes a mes. b. La precipitación nunca fue de menos de 10 milímetros

por año.

Mapas como este, se usan para mostrar el promedio anual de precipitación en una zona geográfica.

c. Las precipitaciones ocurrieron durante el otoño y el invierno.

352

Libro 5.indb 352

24-01-13 10:15


Resolución de problemas con supervisión 1. El gráfico de barras muestra la temperatura promedio

Piensa: ¿En qué meses hubo una temperatura de más de 14 ºC? ¿En qué meses hubo una temperatura de menos de 14 ºC? Compara el número de meses en que hubo una temperatura de más de 14 ºC con el número de meses en que hubo una temperatura de menos de 14 ºC. ¿Hubo más meses con una precipitación de menos de 14 ºC? Saca una conclusión.

Total de temperatura promedio mensual de Puerto Natales

Temperatura (en ºC)

en Puerto Natales de enero a junio. En general en este período, ¿hubo una temperatura mensual de menos de 14 ºC? 

28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Ene Feb Mar Abr May Jun

Meses 2. ¿Qué pasaría si la gráfica de barras incluyera

la temperatura del mes de julio? ¿Qué conclusión podrías sacar si la temperatura de julio fuera de 1 ºC?

3. En 2005 la temperatura de septiembre fue de

2 ºC. En octubre la temperatura fue de 15 ºC; en noviembre fue de 17 ºC; y en diciembre, de 18 ºC. ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la temperatura durante este período? 

Aplicaciones mixtas Para 7–8, usa el diagrama de tallo y hojas. 4. Miguel tiene 1,098 metros de género. Planea hacer paños de 50 centímetros cada uno. ¿Cuántos paños completos de género hará Miguel?

5. Gabriela cobra $7 500 por hora por cuidar

niños. ¿Es razonable decir que Gabriela gana aproximadamente $250 000 por cuidar niños durante 30 horas? Explica tu respuesta. 7. Tamara quiere hallar el número total de

6. Pablo está preparando una fiesta que

empezará dentro de 2 horas y 45 minutos. Sabe que tardará 1__3​ ​ ​ hora para limpiar, __1​   4 2 hora para decorar y 3__​  ​  de hora para hacer la 4 comida. ¿Estará listo Pablo a tiempo? Explica tu respuesta. 8.

La media de los datos es igual al rango menos 5,5 minutos. Usa esta información para hallar la media del número de minutos que Tamara usó para hacer ejercicios. Explica tu respuesta. 

minutos en que estuvo haciendo ejercicios durante diez días. ¿Hizo Tamara ejercicios durante más de 5 horas? Explica tu respuesta. Minutos que Tamara hizo ejercicios Tallo Hojas 2 0 2 4 5 7 3 0 3 4 5 5 2 4

Capítulo 14 353

Libro 5.indb 353

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

5

Elegir el gráfico adecuado

Guillermo quiere mostrar el número de estudiantes de tercero, cuarto y quinto básico de su escuela. ¿Qué tipo de gráfico podría usar para estos datos?

OBJETIVO: Comparar los tipos de gráficos que se pueden usar con datos categóricos y datos numéricos, y seleccionar un gráfico adecuada.

Aprende En una encuesta, las preguntas que se pueden responder con palabras son datos categóricos. Los datos categóricos muestran grupos u opciones en cualquier orden. Para mostrar datos categóricos, puedes usar un gráfico de barras o un gráfico circular.

Vocabulario datos categóricos datos numéricos

El eje horizontal de este gráfico de barras muestra diferentes lugares.

Cantidad de estudiantes

Lugares favoritos de vacaciones 14 12 10 8 6 4 2 0

playa

montañas desierto Tipo de lugar

Felinos predilectos

leopardo 3

tigre 5

león 2

Las secciones de este gráfico circular muestran diferentes tipos de grandes felinos.

ciudad principal

Los datos numéricos muestran números en orden. Para mostrar datos numéricos, puedes usar un gráfico de líneas, un diagrama de tallo y hojas, un diagrama de puntos, un gráfico de barras o un gráfico circular.

8 8 8 8 8 1

Nº de calzado de los estudiantes

8 8 8 8

2 3 4 5 6 Cantidad de mascotas

Este diagrama de puntos muestra la cantidad de mascotas que tienen los estudiantes. Por ejemplo, dos estudiantes tienen 4 mascotas.

Tallo

3 4

Hojas

5 0

7 0

7 1

9 2

2

4 | 1 representa 41

Un diagrama de tallo y hojas muestra un número de calzado de cada estudiante.

Precipitación (mm)

Precipitación promedio de la ciudad de Coquimbo 80 75 70 65 60 0

6

7

8 Mes

9

Esta gráfico de líneas muestra los datos numéricos para las precipitaciones y mes del año.

354

Libro 5.indb 354

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¿Cuál es el mejor gráfico para presentar los datos? Un gráfico de barras o un gráfico de barras doble compara los datos según la categoría.

Un gráfico circular compara partes de un grupo con el grupo entero.

Un gráfico de líneas muestra cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo.

Un diagrama de puntos lleva la cuenta de los datos para mostrar la frecuencia.

Tallo

Un diagrama de tallo y hojas organiza los datos según su valor posicional.

Hojas

3

1 7

4

5

Nidia, Nora y Eliana presentaron individualmente los datos sobre la precipitación en un gráfico. ¿Quién eligió el mejor gráfico?

Promedio de precipitación en abril Comuna

Precipitación (en milímetros)

Vicuña

1,8

La Serena

0,3

Paiguano

2,4

Este gráfico no incluye a qué ciudad corresponde cada nivel de precipitación dado. Por lo tanto, un diagrama de tallo y hojas no es la mejor manera de mostrar los datos.

  Gráfico de barras de Nora

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Promedio de precipitación de abril Tallo Hojas 2 3 3 8 4 4 1 | 8 Representa 1,8

  Gráfico de líneas de Eliana

Promedio de precipitación de abril Precipitación (en milímetros)

Precipitación (en milímetros)

Promedio de precipitación de abril

  Diagrama de tallo y hojas de Nidia

Vicuña La Serena Paiguano

Comuna Este gráfico de barras compara la medida de precipitación en diferentes ciudades durante el mismo mes. Por lo tanto, un gráfico de barras es una buena opción para mostrar los datos.

Por lo tanto, el gráfico de barras de Nora es la mejor opción para mostrar los datos.

3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0

Vicuña

La Serena

Paiguano

Comuna Los datos de la tabla no cambian con el transcurso del tiempo. Se da el promedio de la cantidad de precipitación para diferentes ciudades, no para una ciudad. Por lo tanto, un gráfico de líneas no es la mejor manera de mostrar los datos.

Capítulo 14 355

Libro 5.indb 355

24-01-13 10:15


Práctica con supervisión Indica si en cada gráfico se pueden mostrar datos categóricos, datos numéricos o ambos. 1. 

2. 

3. 

4. 

Tallo

Hojas

3

1

4

5

 5. 

Elige el mejor tipo de gráfico o de diagrama para los datos. Explica tu elección. 6. puntajes de 20 jugadores en 7. venta diaria de libros

 8. Lo que hace Juan durante los videojuegos durante 5 días las horas del día 9.

Explica cómo puedes determinar si en un gráfico se muestran datos numéricos o datos categóricos.

Práctica independiente y resolución de problemas Elige el mejor tipo de gráfico o de diagrama para los datos. Explica tu elección. 10. número de estudiantes en 11. minutos que los estudiantes 12. máxima temperatura diaria

seis escuelas

practican piano

durante una semana

Haz el gráfico o el diagrama que muestre mejor cada conjunto de datos. Indica si los datos son categóricos o numéricos. 13. 

35 132 10 56 15. 

14. 

Tiempo empleado en almorzar (en minutos) 32 116 15 72

48 78 38 39

89 41 45 14

93 56 76 23

Venta de patinetas Mes Abril Mayo Junio

Ventas $ 32 500 $ 4 500 $ 26 500

125 92 99 83

12 36 82 97

Presupuesto de la mesada de Emilio Actividad Ahorro Diversión Otros

17 87 105 112 16. 

Cantidad $ 500 $ 1 500 $ 200

Actividad favorita de invierno Actividad Bicicleta Esquí Snowboarding

Cantidad de estudiantes 8 17 21

17. Razonamiento  ¿Qué gráfico harías si quisieras identificar la mediana y la moda del gráfico?

356

Libro 5.indb 356

Práctica adicional en la página 358, Grupo D

24-01-13 10:15


Comprensión de los Aprendizajes 20. Preparación para la prueba  ¿Qué conjunto de

18. Ayer Cristina corrió m kilómetros. Hoy

datos es categórico?

corrió 5,25 kilómetros. Si m = 6,5, ¿cuántos kilómetros corrió Crsitina en total?

A puntuaciones de 30 estudiantes

19. Preparación para la prueba  ¿Qué tipo de

gráfico mostraría mejor los datos de la tabla? Explica tu respuesta.

Ventas del anuario Semana Cantidad

1 6

2 75

3 95

B cantidad de nevada en cinco ciudades

durante agosto C puntaje de Soledad en cuatro partidos de

bolos consecutivos

4 40

D temperatura mínima mensual durante

seis meses

Encuesta para un curso de 5º básico A: 20 estudiantes.

Opciones para Opciones para una excursión una excursión Centro de ciencias Centro de 5 ciencias Museo 5 3 Museo Acuario 3 3 Acuario 3 Planetario 9 Planetario 9

Halla la cantidad que representan las dos primeras mayorías. Exprésalas en fracción.

Paso

Paso Escribe el total en forma de fracción 205

100 100

Suma las dos primeras mayorías 5 20

9 14 5 20 20

14 de 20 estudiantes representan las dos primeras mayorías

Encuesta para un curso de 5º básico A: 40 estudiantes. Opciones para Opciones para una excursión 1. Observa el gráfico y escribe una excursión las cantidades aproximadas de estudiantes que pueden haber Centro de ciencias escogido cada excursión. Exprésalas Centro de ciencias en fracción. Acuario Acuario

Museo Museo Planetario Planetario

2. Luego extrae conclusiones de acuerdo a los datos.

Capítulo 14 357

Libro 5.indb 357

24-01-13 10:15


Práctica adicional Grupo A  Decide si un gráfico de barras o un histograma representaría mejor los datos. Luego, haz el gráfico.  1.

2.

Lecciones de música

Cantidad de horas trabajadas

Instrumento Cantidad de lecciones FPO 10 piano

11

12

14

16

8 FPO FPO 17

6

4

guitarra

28

10

5

15

9

violoncelo

12

3

20

6

15

batería

16

Grupo B  Para 1–5, usa los datos sobre excursionismo.  1. Usa los datos para hacer un diagrama de tallo y hojas.

Cantidad diaria de excursionistas

2. ¿Cuál es el mayor número de excursionistas?

68

71

54

62

85

80

79

85

73

67

3. ¿Cuál es el rango de los excursionistas? 

86

92

70

64

92

4. ¿En cuántos días hubo más de 70 excursionistas? 

59

90

85

87

71

¿Y el menor número de excursionistas? 

5. ¿Qué cantidad de excursionistas se dio con más frecuencia? 

Grupo C  Haz un gráfico de líneas o un gráfico de líneas doble para cada conjunto de datos.  1.

2.

Cantidad de precipitación Mes

Ventas en tiendas escolares

Cantidad (en milímetros)

ENE (1)

8

FEB (2)

Día

1

2

3

4

5

$4 500 $3 000 $12 500 $10 000 $2 500

12

Escuela básica

MAR (3)

20

Liceo

$10 500 $9 000 $8 000 $9 500 $5 000

ABR (4)

16

Grupo D  Elige el mejor tipo de gráfico o diagrama para los datos. Explica tu elección.  1. población de una isla durante

un período de 3 meses 4. calificaciones de los

exámenes de Matemática de los estudiantes de un curso de quinto básico

2. cómo pasó Juan su semana

de vacaciones  5. venta diaria de revistas

durante 7 días 

3. cantidad de miembros de

una familia 6. edades de los niños de un

taller extracurricular

358

Libro 5.indb 358

24-01-13 10:15


Lanzamientos ¡Prepárense!

Resultados del juego

¿Listos?

2 jugadores • 10 bolsas de porotos • gráfica de coordenadas (grande)

8

Lanzamientos acertados

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

ronda ¡Lánzalas! El jugador 1 se para a unos 5 metros del gráfico de coordenadas y trata de lanzar 10 bolsas de porotos sobre ella. El jugador 2 representa gráficamente los resultados en el gráfico de coordenadas. Por ejemplo, en la primera ronda, el resultado de 4 lanzamientos se representaría gráficamente como el par ordenado (1,4), en el cual la coordenada x es el número redondeado y la coordenada y es el número de lanzamientos acertados. El jugador 2 repite el proceso.

Después de 4 rondas, los jugadores conectan los puntos que se han marcado. Los jugadores comparan los resultados y comentan cómo sus resultados cambiaron con el transcurso del tiempo. Los jugadores deciden la forma de elegir un ganador. ¿Debería ser el jugador cuyos lanzamientos hayan sido acertados la mayoría de las veces de una ronda o debe ganar el jugador que logre el mayor aumento entre la ronda 1 y la ronda 4? ¿Hay otra forma de determinar el ganador?

Capítulo 14 359

Libro 5.indb 359

24-01-13 10:15


Repaso/Prueba del Capítulo 14 Comprueba el vocabulario y los conceptos

Vocabulario

Elige el mejor término del recuadro.

datos categóricos gráfico de líneas doble histograma datos numéricos diagrama de tallo y hojas

1. Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su

       .  valor posicional es un — ​  ?  ​

       ​es un tipo de gráfico de barras que muestra la frecuencia.  2. Un — ​  ?           ​muestran grupos u opciones en cualquier 3. En un gráfico, los — ​  ?    orden.

       4. Cuando se los grafica, los — ​  ?  ​  muestran números en orden en una escala numérica del gráfico.

Comprueba tus destrezas Haz el gráfico para cada conjunto de datos. 5. histograma

6. diagrama de tallo y hojas

Edades de los ciclistas

7. gráfico de líneas

Precipitación Almuerzos servidos

11

9

12

13

45

39

49

53

Mes

Cantidad (en milìmetros)

25

7

18

9

45

47

38

45

ABRIL

16

11

15

20

8

51

39

51

38

MAYO

12

15

10

26

28

45

37

46

44

JUNIO

10

JULIO

9

Elige el mejor tipo de gráfico o diagrama para los datos. 8. edades de todos los

9. altura de una planta

10. cantidad de estudiantes

corredores de una durante un período en cinco clubes  maratón por rango de un mes 11. estaturas de los

12. frecuencia de visitas

13. cómo gasta Jaime

estudiantes de un a la biblioteca  su mesada   clase de quinto básico

Resuelve. 14. Escribe sí o no para indicar si se puede sacar cada conclusión

de los datos del gráfico de líneas. Explica tus respuestas. a. La cantidad de miembros disminuyó del año 3 al año 4.  b. La cantidad de miembros nunca fue mayor de 20. 

Explica qué conclusión podrías sacar si la cantidad de miembros del año 6 fuera 43. 

15. 

Miembros del club de ajedrez Cantidad de miembros

Comprueba la resolución de problemas

50 40 30 20 10 0

1

2

3

4

5

Año

360

Libro 5.indb 360

24-01-13 10:15


Enriquecimiento • Relaciones en los gráficos Los gráficos se usan para mostrar relaciones entre diferentes cantidades. El gráfico a continuación muestra la relación entre la cantidad de personas que asiste a un concierto y el período de tiempo durante el cual las personas llegan al auditorio y se marchan. El concierto tiene lugar entre la segunda y la cuarta hora, pero las personas llegan y se marchan durante un período de tiempo de 5 horas.

Ejemplo • D  e 0 a 1 horas: Las personas empiezan a llegar al auditorio para el concierto.

• Hora 2: El concierto empieza. • De 2 a 4 horas: Es un concierto largo. • H  ora 4: El concierto termina. Los asistentes se marchan a casa.

Asistencia al concierto Cantidad de personas

• D  e 1 a 2 horas: La mayoría de las personas llegan. Al final del intervalo empieza el concierto.

0

1

2

3

4

5

Tiempo (en horas)

Inténtalo Elige la descripción correcta para cada gráfico. 1.

2.

Llenar el tanque de gasolina

(mm)

Costo

(pesos)

Cantidad de lluvia

Tormenta

0

1

2

3

4

Tiempo (en horas)

0

1

2

3

Tiempo (en días)

a. La cantidad de lluvia disminuye o es constante.

a. El costo aumenta después de un día.

b. Deja de llover por dos horas.

b. El costo se estabiliza después de dos días.

c. La cantidad de lluvia aumenta o es constante.

c. El costo baja al mínimo después de dos días.

Representa gráficamente la relación entre la distancia recorrida en auto y la cantidad de tiempo que toma recorrer esa distancia. Explica lo que puede estar pasando cuando tu gráfico aumenta, disminuye o permanece constante.

Capítulo 14 361

Libro 5.indb 361

24-01-13 10:15


Comprensión de los Aprendizajes Capítulos 13-14

4. ¿Cuál es el promedio de los datos?  

Opción múltiple 1.

Cantidad de boletos vendidos Tallo Hojas

Calificaciones de los exámenes de Antonio (en %) 94

93

95

78

94

81

85

¿Cuál es la media (promedio) de las calificaciones de los exámenes de Antonia?

A 85

C 93

B 87

D 94

1

1

1

4

2

0

2

6

8

3

1

2

7

7

7

4

0

2

2

3

5

A 11 C 42 B 37 D 45 5. Si la tendencia continúa, ¿aproximadamente

2.

Puntaje de los partidos de Los Pumas 42

50

45

43

cuánto tardaría Camila en caminar 20 kilómetros? 

42

Caminar a 4 kilómetros por hora

¿Cuál es la media de los puntajes de los 5 partidos jugados?  C 44

B 43,5 D 44,4 3. ¿Qué estudiante tuvo la media más alta en

las calificaciones de sus exámenes? 

Nombre Examen 1 Examen 2 Examen 3 Examen 4

Andrea

5,7

63

69

65

Braulio

6,5

60

61

61

Carlos

5,7

62

58

60

Dante

4,4

70

62

68

A Andrea

B Braulio

C Carlos

D Dante

Distancia total (en kilómetros)

A 42

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1

2

3

4

5

6

Tiempo (en horas)

A 4 horas B 5 horas

C 6 horas

D 20 horas

362

Libro 5.indb 362

24-01-13 10:15


6. ¿Qué tipo de gráfico mostraría mejor los

siguientes datos?

Respuesta desarrollada 8.

Peso de los estudiantes

Tamaño del equipo de natación

Cantidad de Nadadores 18 20 26

Sexto Básico

24

A gráfico de barras

B histograma

C gráfico de líneas

D gráfico circular

6 5 4 3 2 1 0

7. Entre los estudiantes encuestados, ¿cuál es

Tipo de ejercicio favorito

248-51 3 52-55 56-59 60-63 4 5 6

Peso (en kilogramos)

Mira el histograma. ¿En cuál grupo de estaturas cae la mayor parte de los estudiantes? ¿En cuál cae la menor parte? ¿Cómo cambiaría el histograma si se agregaran los datos de los siguientes estudiantes? Explica tu respuesta.

el tipo de ejercicio más popular? ¿Cuál es el menos popular?

Cantidad de estudiantes

7

1

Respuesta breve

8

Frecuencia (cantidad de estudiantes)

Nivel Tercero Básico Cuarto Básico Quinto Básico

Javier:

56 kilogramos

Carola: 61 kilogramos

Matías: 59 kilogramos

20 10

9. Usa papel cuadriculado para hacer un gráfico

8

de líneas de los datos del radio reloj.

6

Precios del radiodespertador de Claudia

4 2 0

Atletismo Natación Basquetbol

Fútbol

Tipo de ejercicio

Danza

Año 1990 1995 2000

Precio(pesos) $35 000 $32 000 $29 000

¿Están aumentando o disminuyendo los precios? Si tal tendencia continúa, ¿cuánto predices que costará el radioreloj en el 2014? Explica tu respuesta.

Capítulo 14 363

Libro 5.indb 363

24-01-13 10:15


15

Probabilidad

La idea importante La probabilidad mide la posibilidad de los sucesos y proporciona la base para hacer predicciones.

Investiga

Imagina que estás esperando para subir a una alfombra mágica en Fantasilandia. Las alfombras pueden llegar en cualquier orden. Observa el gráfico de abajo. ¿Qué alfombra mágica tiene más probabilidad de ser la siguiente en llegar? ¿De qué color te gustaría que fuera la alfombra mágica que vas a montar? ¿Cuál es la probabilidad de que ese sea el siguiente en llegar? Explica cómo lo sabes.

ALFOMBRA MÁGICA morado 2 rojo 5 verde 6 naranja 4 azul amarillo 3 4

Chile

DATO BREVE

En 1977 comenzaron los trabajos de construcción del parque de diversiones Fantasilandia. El 26 de enero de 1978, comenzó a funcionar con solo ocho juegos. En la época, la prensa titulaba que por fin Chile podría tener su propia Disneylandia.

364

Libro 5.indb 364

24-01-13 10:15


Comprueba si has aprendido las destrezas importantes que se necesitan para completar exitosamente el Capítulo 15.

u Hacer y usar una tabla de conteo Usa los datos para hacer una tabla de conteo. Después, contesta cada pregunta. Claudia realizó una encuesta a su clase sobre sus colores favoritos. 9 estudiantes eligieron morado, 12 eligieron verde, 4 eligieron azul y 2 eligieron amarillo.

1. ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

2. ¿Qué color fue el que menos eligieron?

3. ¿Cuántos estudiantes más eligieron verde que azul? 

4. ¿Cuántos estudiantes no eligieron azul?

u Resultados posibles Enumera los resultados posibles de cada experimento. 5. sacar una bolita 6. girar esta flecha 7. lanzar una de esta bolsa giratoria moneda

u Comparar partes de un entero y un grupo Escribe una fracción para la parte del grupo que se menciona

Escribe una fracción para la parte del entero que se menciona.

8. secciones verdes ​

10. círculos ​

9. secciones moradas

11. círculos o cuadrados

VOCABULARIO DEL CAPÍTULO

combinaciones resultado equiprobable predecir diagrama de poco posible árbol suceso posible

PREPARACIÓN

resultado la posible solución de un experimento suceso un resultado o una combinación de resultados de un experimento predecir hacer una conjetura razonable acerca de lo que sucederá

Capítulo 15  365

Libro 5.indb 365

24-01-13 10:15


Hacer una lista de todos los resultados posibles

Escribe una fracción para la parte sombreada.

OBJETIVO: Hacer una lista de todos los resultados posibles de un experimento.

Materiales ■  Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y verde ■ moneda

Vocabulario resultado

Puedes hallar el número de resultados posibles al realizar un experimento. Cuando realizas un experimento, los resultados son las soluciones. Gira la flecha giratoria de 4 partes iguales.

Registra tu resultado. Repite la actividad 20 veces. Cada vez hallarás un resultado posible diferente. Regístralo en una lista.

Sacar conclusiones 1. Explica cómo hallaste el resultado de cada giro. 2. ¿Cuántos colores hay en la flecha giratoria? ¿Cuántos

resultados posibles hay para este experimento? Menciona los resultados posibles. 3. Aplicación  Ema tiene una bolsa con 2 bolitas

verdes, 3 rojas y 2 azules, que tienen el mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay para este experimento?

366

Libro 5.indb 366

24-01-13 10:15


Esta tabla muestra los resultados posibles de girar una flecha giratoria con 4 partes iguales y lanzar una moneda.

Moneda

Color Rojo

Azul

Verde

Amarillo

Cara

,

,

,

,

Sello

,

,

,

,

Realiza un experimento y registra los resultados.

Actividad Materiales

■  Flecha giratoria de 4 partes de color rojo, azul, amarillo y verde ■ moneda

• Haz una tabla como la de arriba. • Lanza una moneda y gira la flecha. • Registra el resultado en la tabla usando una marca de conteo. Repítelo un total de 20 veces, registrando el resultado después de cada lanzamiento y giro.

¿Cómo cambiaría el número de los resultados posibles si la flecha giratoria tuviera cinco colores?

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 1 a 4, usa estas imágenes. Enumera todos los resultados posibles para cada experimento. 1. lanzar una moneda de $10  

2. lanzar un cubo numerado del 1 al 6 3. lanzar un cubo numerado del 1 al 6 y girar una flecha giratoria de 3 partes iguales 4. lanzar una moneda de $10 y girar la flecha USA LOS DATOS  Para los ejercicios 5 a 8, usa la tabla.

Experimento de Soledad Lanzar un cubo numerado y una moneda

Número

5. Enumera todos los resultados posibles del experimento. 6. ¿Cuántos resultados posibles hay?  7. ¿Cuántas veces ocurrió el resultado Cara, 3? 8.

Explica cómo puedes hallar el número de resultados posibles para un experimento al observar una tabla de resultados.

Moneda

1

2

3

4

5

6

Cara Sello

Capítulo 15 367

Libro 5.indb 367

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

2 Estrategia: Hacer una lista organizada OBJETIVO: Resolver problemas usando la estrategia hacer una lista organizada.

Aprende la estrategia Hacer una lista organizada es una buena manera de llevar la cuenta de la información. Puedes usar diferentes tipos de listas organizadas para diferentes tipos de situaciones.

Hacer una lista para llevar la secuencia de la información. El Sr. López coloca el plan diario de sus clases en el pizarrón.

Hacer una lista para organizar la información. Cada noche, Cecilia escribe su tarea en un cuaderno. Ella organiza su tarea por tema.

Hacer una lista para hallar los resultados posibles. Una panadería ofrece 3 diferentes sabores de sus pasteles de dos capas. Cada pastel contiene 2 sabores.

Explica cómo te puede ayudar una lista a representar información.

Cuando haces una lista, organizarla en categorías o partes te puede ayudar a no olvidar nada.

368

Libro 5.indb 368

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Usa la estrategia PROBLEMA  Mónica juega un juego en la feria. Sin ver, mete la mano en una bolsa y saca una bolita. Después, mete la mano en una bolsa diferente y saca otra bolita. Todas las bolitas son del mismo tamaño. Si ambas bolitas son del mismo color, Mónica gana un premio. Enumera y cuenta los resultados posibles del juego. Después, menciona la manera en que Mónica puede ganar un premio.

• Resume lo que debes hallar.  • ¿Qué información usarás? 

• ¿Qué estrategia puedes usar para resolver el problema?  Puedes hacer una lista organizada.

• ¿Cómo puedes usar la estrategia para resolver el problema? Haz una lista de todos los resultados posibles. Organiza tu lista mostrando los resultados que podrías obtener si la primera bolita es verde. Después, enumera los resultados que podrías obtener si la primera bolita fuera de otro color.

verde, negra verde, morada verde, verde

roja, negra roja, morada roja, verde

amarilla, negra amarilla, morada amarilla, verde

Sólo hay un resultado posible en el cual ambas bolitas son del mismo color, verde, verde. Por lo tanto, de los nueve resultados, sólo hay uno en el que Mónica puede ganar el premio con el resultado verde, verde.

• ¿De qué otras maneras podrías resolver el problema?

Capítulo 15 369

Libro 5.indb 369

24-01-13 10:15


Resolución de problemas con supervisión 1. USA LOS DATOS  Mariana juega un juego con dos flechas giratorias.

Cada flecha giratoria tiene secciones iguales. Ella gira ambas flechas y suma los números. Si el total es menor que 4, gana un premio. Enumera los resultados posibles. Menciona las maneras en que Mariana puede ganar un premio. Primero, usa una tabla para hacer una lista organizada.

A

Después, halla el total de dos giros. Por último, halla los totales que son menores que 4.

Flecha giratoria A

Flecha giratoria B

Suma

1

1

2

1

2

3

2

1

3

2

j

j

B

3 2

4

2

1

1

2. ¿Qué pasaría si la flecha giratoria A tuviera dos secciones iguales

rotuladas 1 y 2? ¿Cómo cambiaría el número de resultados posibles? 3. Julia juega un juego con una moneda y la flecha giratoria A. Julia lanza la

moneda y gira la flecha. Enumera todos los resultados posibles.

Resolución de problemas • Práctica de estrategias Haz una lista organizada para resolver los problemas. 4. Laura está haciendo boletos para la feria. Cada tipo de boleto será de

diferente color. Habrá boletos para adultos, niños y personas mayores. Habrá boletos para 1 día y para dos días. ¿Cuántos colores de boletos habrá?  USA LOS DATOS  Para los ejercicios 5 y 6, usa la información del dibujo. 5. Roberto juega a girar la flecha y sacar un pato de la

bolsa. ¿Cuántos resultados posibles hay?

4

5

6. Para ganar un premio, Gregorio debe obtener un

número mayor que 3 y sacar el pato verde. Menciona las maneras en que Gregorio puede ganar. 

3

7.  Simón quiere hallar el número total de resultados posibles de girar una flecha y lanzar una moneda. Explica cómo puede Simón organizar una lista de los resultados posibles.

370

Libro 5.indb 370

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Práctica de estrategias mixtas USA LOS DATOS  Para los ejercicios 8 a 12, usa la tabla de juegos de Fantasilandia. 8.

DATO BREVE   La casa fantasma de Sin cuento se abrió en 1989. ¿Qué juegos se inauguraron en 1978?

9. El Kamikaze se inauguró antes de los juegos Cyclón y Black

Hole, pero después del barco pirata. ¿En qué año se pudo haber inaugurado el juego Kamikaze? 10.

Formula un problema  La Mansión Siniestra se inauguró en 1978. Usa esta información y los años en los que se inauguraron el Black Hole y el Xtreme Fall para escribir un problema. 

11.

Problema abierto  Haz una tabla que muestre el número de

ELIGE UNA

ESTRATEGIA

Hacer un diagrama o dibujo Hacer un modelo o una dramatización Hacer una lista organizada Buscar un patrón Hacer una tabla o gráfico Predecir y probar Trabajar desde el final hasta el principio Resolver un problema más sencillo Escribir una ecuación Usar el razonamiento lógico

Juegos de Fantasilandia

juegos inaugurados durante cada década: desde 1977 hasta 2006. Menciona un dato contenido en tu tabla. 12. Mi año es par. La suma de los dos primeros dígitos es menor

que la suma de los dos últimos. El número formado por la suma de los dos últimos dígitos es 4 más que el número formado por la suma de los 2 primeros dígitos. ¿Qué juego soy?

ESFUÉRZATE Las entradas a un parque de diversiones cuestan $8 000 adulto y $ 5 000 para niños. 13. Un pase semestral para adultos cuesta $4 000 más que 4 veces el costo del boleto de un día. Un pase semestral para niños cuesta $10 000 menos que eso. ¿Cuál es el costo de un pase semestral para niños? 14.

Álgebra  Un grupo de adultos visitó el parque de diversiones. Debido a que compraron los boletos juntos obtuvieron un descuento de $10 000. ¿Qué expresión puedes usar para mostrar el costo total de las entradas del grupo? Explica cómo resolver el problema.

El Pulpo Inaugurado en: 1977

La montaña Rusa Inaugurada en: 1978

La Mansión Siniestra Inaugurada en: 1978

Barco Pirata Inaugurado en: 1982

Casa Fantasma Inaugurada en: 1989

Black Hole Inaugurado en: 1994

Cyclón Inaugurado en: 1995

Xtreme Fall Inaugurado en: 2006

Capítulo 15 371

Libro 5.indb 371

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LE C C

N IÓ

3 Hacer predicciones

Menciona los resultados posibles de girar ambas flechas.

OBJETIVO: Predecir los resultados de experimentos.

Aprende Puedes predecir la posibilidad de los sucesos. Cuando predices, haces una conjetura razonable acerca de lo que podría suceder.

Vocabulario

Un suceso puede ser un resultado o una combinación de resultados. Algunas veces, un suceso es más posible que otro, pero no seguro. Un suceso es posible si tiene gran posibilidad de ocurrir. Un suceso es poco posible, pero no imposible, si tiene poca posibilidad de ocurrir.

predecir suceso posible seguro

imposible equiprobable poco posible

Ejemplos Hay siete bolitas de igual tamaño en una bolsa. ¿Cuál es la posibilidad de cada suceso?  Sacar una bolita amarilla

 Sacar una bolita verde o roja

Un suceso es imposible si nunca sucederá. No hay bolitas amarillas en la bolsa, así que sacar una bolita amarilla es imposible.

Dos sucesos son equiprobables si tienen la misma posibilidad de ocurrir. Hay el mismo número de bolitas rojas que verdes, así que sacar una bolita roja o una bolita verde es igualmente posible.

 Sacar una bolita roja, verde o morada

Un suceso es seguro si siempre ocurrirá. La bolsa sólo tiene bolitas rojas, verdes, y moradas, así que es seguro sacar una bolita roja, verde, o morada.

• ¿Cuál es la diferencia entre un suceso seguro y un suceso posible?

Idea matemática

Cuando haces una predicción, decides qué sucesos tienen mayor posibilidad de ocurrir y qué sucesos tienen menor posibilidad de ocurrir.

• Esta flecha giratoria tiene 3 secciones iguales. ¿Cuál es la posibilidad de sacar rojo o amarillo? 

5

• ¿Cuál es la posibilidad de lanzar un número menor que 10, si el cubo numerado está rotulado del 1 al 6?

3

1

372

Libro 5.indb 372

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Actividad Materiales

■ fichas de colores de igual tamaño ■ bolsa

Paso Coloca en la bolsa 6 fichas azules, 3 rojas y 1 amarilla.

Paso Copia la tabla. Predice los resultados de sacar una ficha de la bolsa 30 veces. Escribe marcas de conteo en la columna “Resultados predichos” para mostrar el número de veces que piensas que se puede sacar cada color.

Paso Saca una ficha de la bolsa. Registra el resultado en la columna “Resultados reales” de tu tabla.

Paso Coloca la ficha de nuevo en la bolsa. Repítelo 29 veces más.

• ¿Cómo se comparan tus resultados reales con tus predicciones? • Enumera todos los resultados posibles. ¿Qué resultado es más posible? Explica. • ¿Qué resultado es menos posible? Explica. 

Práctica con supervisión 1. La bolsa tiene 7 bolitas del mismo tamaño.Tomás saca una

bolita de la bolsa. Menciona un suceso que sea posible, poco posible e imposible. Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible. 2. lanzar un número mayor que 1 en un cubo

   3. sacar un múltiplo de 4 en una flecha giratoria de

numerado del 1 al 6. 4.

4 partes rotuladas 4, 8, 12 y 16.

 Explica la diferencia entre un suceso que es poco posible y uno que es imposible.

Práctica independiente y resolución de problemas Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible 5. lanzar un número mayor que 6 en un cubo

numerado del 1 al 6.

6. sacar una bolita verde de una bolsa que

contiene 22 bolitas rojas, 4 verdes y 14 amarillas del mismo tamaño. 

Capítulo 15 373

Libro 5.indb 373

24-01-13 10:15


USA LOS DATOs  Para cada experimento, di si los sucesos A y B son igualmente posible o no son igualmente posible. Si no son igualmente posibles, menciona el suceso que es más posible. 7. Experimento: Lanzar una moneda.

8. Experimento: Lanzar un cubo numerado del 1 al 6.

Suceso A: cara Suceso B: sello

Suceso A: sacar un número menor que 3 Suceso B: sacar un número par

9. Experimento: Girar la flecha.

10. Experimento: Sacar una ficha de una bolsa

si todas las fichas son del mismo tamaño.

Suceso A: rojo Suceso B: amarillo

Suceso A: verde Suceso B: rojo

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 11 a 13, usa las flechas giratorias. Cada flecha giratoria tiene dos secciones iguales. En el experimento, se gira cada flecha y se suman los resultados. 11. ¿Cuáles son las sumas posibles? ¿Cuál es la suma más posible?

A 1

B 1

2

2

12. Copia la tabla. Registra una predicción sobre cuántas veces sacarás

una suma de 3 si realizas el experimento 20 veces. 13. Haz dos flechas giratorias como las que se muestran. Gira las

flechas y suma los resultados. Realiza el experimento 20 veces. ¿Cómo se comparan tus resultados con la predicción que hiciste en el problema 12?

Resultados del experimento Suma de 3

Resultados predichos

Resultados reales

j

j

j

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 14 y 15, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 14. ¿Qué par de sucesos son equiprobables?  15. Menciona un suceso que es imposible 16.

Antonio va a girar la flecha. Predice el resultado de su giro. Explica tu selección. 

Comprensión de los Aprendizajes 17. ¿Cuál es el valor de la expresión de abajo

si s = 12? 4 x (s + 5) 18. ¿Cuál es el área de esta figura? 10 cm 5 cm 19. Menciona una fracción que sea igual que 0,5.

374

Libro 5.indb 374

20. Preparación para la prueba  Las bolitas de la bolsa son del mismo tamaño. ¿Qué color de bolita tienes más posibilidad de sacar de la bolsa?  A azul

B amarilla

C verde

D roja

Práctica adicional en la página 382, Grupo A

24-01-13 10:15


Justifica tu respuesta Algunas veces necesitas justificar tu respuesta proporcionando razones que muestren que tu respuesta es correcta. El entrenador de fútbol de Mónica va a seleccionar un estudiante para que sea el capitán del equipo. Ella escribe el nombre de un jugador diferente en cada una de las 23 tarjetas. Después, sin ver, elige una tarjeta. ¿Es posible, poco posible, seguro o imposible que el nombre de Mónica sea seleccionado? Mónica escribió su respuesta y después dio sus razones para justificarla.

Pienso que es poco posible que mi nombre sea seleccionado. 1. Debido a que hay otros resultados posibles, no es seguro que mi nombre sea seleccionado. 2. Debido a que mi nombre es uno de los resultados posibles, no es imposible que este sea seleccionado. 3. Cada estudiante tiene igual oportunidad de ser seleccionado.

Para justificar una respuesta: • Primero, plantea tu respuesta. • Después, escribe enunciados que expliquen por qué otras posibles respuestas no pueden ser verdaderas. • Usa términos matemáticos correctos en tus enunciados. • Por último, menciona si tus razones justifican tu respuesta.

Debido a que solo tengo una posibilidad entre 23 de que mi nombre sea seleccionado, no es posible que lo sea. Por lo tanto, mis razones justifican que es poco posible que mi nombre sea seleccionado.

Resolución de problemas  Resuelve. Justifica tu respuesta. 1.  Una

mañana de octubre, la Sra. Madariaga dijo, “Es imposible que vaya a nevar hoy”. ¿Estás de acuerdo con la Sra. Madariaga? 

2. Óscar

3. Rodrigo

4. Melina va a lanzar una moneda 50 veces. ¿Cuántas veces predices que la moneda caerá en cara?

lanza un cubo numerado del 1 al 6 y una moneda de $10. Menciona dos resultados que sean equiprobables que ocurran. 

lanza un cubo numerado del 1 al 6 y una moneda de $5. ¿Cuántos resultados posibles hay? 

Capítulo 15 375

Libro 5.indb 375

24-01-13 10:15


LE C C

N IÓ

4 Probabilidad como una fracción

Tomás lanza un cubo numerado del 1 al 6. ¿Cuántos resultados posibles hay? 

OBJETIVO: Expresar la probabilidad como una fracción.

Aprende

Vocabulario

PROBLEMA  Paulina gira la flecha. Cada sección de la flecha giratoria es igual. ¿Cómo puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde?

probabilidad matemática

La probabilidad matemática es una comparación entre un número de resultados favorables y el número de resultados posibles de un suceso. La probabilidad de que un suceso ocurra se expresa como 0, 1 o una fracción entre 0 y 1.

0 imposible

_​ 1  ​ 8

_​ 1 ​  4

_3​   ​ 8

menos posible

_​ 1 ​  2

_5​   ​ 8

_3​   ​ 4

más posible

_7​   ​ 8

1 seguro

Por lo tanto, Paulina puede describir la probabilidad de que la flecha se detenga en verde como una fracción. ¿Cuál es la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde? Probabilidad de que se detenga en verde

número de resultados favorables (verde) _______________________________________________________ =              ​ = ​  número total de resultados posibles (3 verdes, 4 rojos, 1 amarillo)

Por lo tanto, la probabilidad matemática de que la flecha se detenga en verde es de ​ 3_8 ​o 3 de 8. Cuanto más cercana sea la probabilidad a 1, será más probable que el suceso ocurra. Cuanto más cercana sea la probabilidad a 0, será menos probable que ocurra. Una probabilidad de ​ _12 ​significa que el suceso tiene tanta probabilidad de ocurrir como de no ocurrir. Imagina que quieres hallar la probabilidad de que la flecha se detenga en amarillo.

3  ​ ​__ 8

ADVERTENCIA El número de resultados favorables es siempre el numerador. El número total de resultados posibles es siempre el denominador.

• ¿Qué es más probable que ocurra: sacar rojo o sacar amarillo? ¿Cómo lo sabes?

376

Libro 5.indb 376

24-01-13 10:15


Más ejemplos  Halla la probabilidad de cada suceso cuando todas las bolitas son del mismo tamaño. Después, escribe la probabilidad.   Halla la probabilidad de sacar una bolita que no sea azul.

La probabilidad de que no sea azul

= ​__58​ 

← ←

resultados favorables (4 rojas, 1 verde) ______________________________________________            ​  ​ total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 1 verde)

La probabilidad de sacar una bolita que no sea azul es posible.   Halla la probabilidad de sacar una bolita verde.

La probabilidad de que sea verde

= ​__09​ 

resultados favorables (0 verdes) ←​       __________________________________________        ​ ← total de resultados posibles (3 azules, 4 rojas, 2 amarillas)

La probabilidad de sacar una bolita verde es imposible.

  Halla la probabilidad de sacar una bolita roja o verde.

La probabilidad de que sea roja o verde

= ​__75​ 

resultados favorables (2 rojas, 3 verdes) ← ________________________________________________            ​  ​ ← total de resultados posibles (2 rojas, 3 verdes, 2 blancas)

La probabilidad de sacar una bolita roja o verde es posible.   Halla la probabilidad de sacar una bolita negra.

= ​__88​ 

← _________________________________ resultados favorables (8 negras)     ​ total de resultados posibles (8 negras)​ ←     

La probabilidad de que sea negra

La probabilidad de sacar una bolita negra es segura.

Práctica con supervisión 1. Usa la flecha giratoria A, que tiene secciones iguales. ¿Cuál es la

probabilidad de que la flecha se detenga en azul? Cuenta el número de resultados favorables. Cuenta el número total de resultados posibles. Escribe la probabilidad como una fracción. ​ ​

A

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 2 a 6, usa la flecha giratoria B. La flecha giratoria B tiene secciones iguales. Escribe la probabilidad como una fracción. 2. sacar azul

3. sacar rojo o azul ​ ​

4. sacar verde

5. no sacar rojo ​ ​

6. sacar rojo

7. no sacar azul ni verde ​ ​

8.

B

Explica cómo sabes que es posible que ocurra un suceso con probabilidad 11 de 12.

Capítulo 15 377

Libro 5.indb 377

24-01-13 10:15


Práctica independiente y resolución de problemas USA LOS DATOS  Para los ejercicios 9 a 13, usa las fichas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. 9. sacar un 1 10. sacar un 3​ 6

11. sacar un 5​ 12. sacar un 2 o 3​

1

6 5

13. sacar un número que no sea 6 

2 3

2

3

4 3

3

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 14 a 18, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, posible o poco posible. 14. sacar una B 

B AN A N A S

15. sacar una N o una A  16. sacar una T 17. sacar una B, A, N o S

18. sacar un letra que no sea A​

Álgebra

Halla el valor de n.

19. Roberto llena una bolsa con 12 bolitas del

mismo tamaño. Hay n bolitas azules. La probabilidad de sacar una bolita azul de la bolsa es de ​  _14 ​.

20. Marta gira una flecha que tiene 3 resultados igualmente probables: rojo, verde y azul. La probabilidad de sacar amarillo es n.

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 22 a 24, usa la flecha giratoria. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 21. ¿Qué fracciones muestran la probabilidad de sacar verde?  22. Escribe los siguientes resultados en orden del menos probable

al más probable y escribe la probabilidad de cada uno como una fracción: sacar verde, sacar un 6, sacar un número par  23. Formula un problema  Vuelve a leer el problema 21. Escribe un

problema similar cambiando el color. 24.

378

Libro 5.indb 378

¿Cuál es el error?  Carlos dice que la probabilidad de sacar verde es de ​ 3_1 ​porque el verde es uno de los tres resultados posibles. Describe su error. Halla la probabilidad correcta. 

Práctica adicional en la página 382, Grupo B

24-01-13 10:15


Comprensión de los Aprendizajes 25. ¿Cuáles son los resultados posibles de girar

una flecha giratoria de tres partes iguales si 2 partes son rojas y 1 parte es azul? 26. Preparación para la prueba  ¿Cuál es la

probabilidad de sacar un lápiz azul de una caja con tres lápices rojos? Explica.

27. Preparación para la prueba  Todas las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolita roja?  3 __ ​ C ​ 5 4 __ D ​ ​ 5

1 __ ​ A ​

5 2 __ B ​ ​ 5

JUSTO O INJUSTO  En la probabilidad, un experimento es justo si cada resultado es igualmente probable. Un experimento es injusto si uno o más resultados tienen más probabilidad de ocurrir que otros. Rodolfo, Manuel y Juanita juegan usando una flecha giratoria. Cada vez que la flecha se detiene en el nombre de un jugador, este obtiene 1 punto. Injusto

Manuel Roberto

Justo

Roberto Manuel

Juanita

Juanita

Esta rueda giratoria es injusta. Roberto tiene más probabilidad de anotar que los otros jugadores.

Esta rueda giratoria es justa. Cada jugador tiene la misma probabilidad de anotar.

Menciona si cada juego es justo o injusto. Explica tu respuesta. 2. Luis y Félix usan la flecha giratoria de abajo. 1. Osvaldo y María lanzan un cubo numerado del 1 al 6. Juan gana si el resultado es 1, 2 o 3. Luis gana si la flecha se detiene en azul. Félix María gana si el resultado es 4, 5 o 6.  gana si la flecha se detiene en verde o rojo. 3. Rolando y Pamela lanzan un cubo numerado del 1 al 6. Rolando gana si el resultado es menor que 3. Pamela gana si el resultado es mayor que 3.

Capítulo 15 379

Libro 5.indb 379

24-01-13 10:15


Probabilidad experimental

Halla la probabilidad cuando se lanza un cubo numerado del 1 al 6.

OBJETIVO: Hallar la probabilidad experimental de los sucesos.

1.  número par​  ​ 2.  2 o 3 ​ 3.  no 6​ 4. 1​

Materiales ■ moneda

5.  4, 5 o 6

La probabilidad experimental de un suceso se puede hallar al realizar pruebas repetidas. Compara el número de veces que un suceso ocurre realmente con el número total de pruebas, o veces que repites la actividad. Probabilidad = experimental

Vocabulario probabilidad experimental

número de veces que ocurre un suceso ​_________________________________            ​ número total de pruebas

Puedes usar probabilidad experimental para predecir los sucesos futuros.

Experimento de lanzamiento de monedas

Predice qué crees que pasará cuando lances una moneda 50 veces.

Predicción

Resultado

Conteo

Cara Sello

Lanza la moneda. Registra el resultado en una tabla de conteo. Repítelo durante un total de 50 pruebas. Usa tus resultados para hallar la probabilidad experimental de sacar cara. ​número de resultados favorables (cara) número total de lanzamientos

j

= — o j de 50 50

Halla la probabilidad matemática de sacar cara. ​número de resultados favorables (cara) total de resultados posibles (cara/sello)

j j

=—

Sacar conclusiones 1. Compara tu predicción con los resultados mostrados

en la tabla de conteo. ¿Se acercó tu predicción al resultado? Explica tu respuesta. 2. Compara tu probabilidad experimental con las de tus

compañeros de clase. ¿Todos obtuvieron la misma respuesta? ¿Por qué crees que pasa esto? 3. Análisis  ¿Tu probabilidad experimental es igual que

la probabilidad matemática? ¿Por qué lo crees?

380

Libro 5.indb 380

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La probabilidad experimental se acerca a la probabilidad matemática a medida que el número de pruebas aumenta. Puedes combinar tus resultados con los de tus compañeros de clase para observar esto. Julio y nueve compañeros de clase combinaron sus resultados. El número total de pruebas ahora es de 500 en vez de 50.

Experimento de lanzamiento de monedas Cara

Probabilidad Probabilidad Sello experimental experimental

Yuri

18

18 ​ __ ​  50

32

32 ​ ​  __ 50

Total

230

230   ___ ​  500 ​

270

270   ​  ___ ​ 500

La probabilidad matemática de sacar cara es de ​ _12 ​. Observa los resultados de sacar cara. • ¿Qué resultados de probabilidad experimental se acercaron al resultado de ​ 1_2 ​, los de Julio o los resultados totales combinados?

Explica la diferencia entre la probabilidad experimental y la probabilidad matemática.

as

1. Lanza un cubo rotulado del 1 al 6 treinta veces.

A

Registra los resultados en una tabla de conteo. Escribe la probabilidad experimental de sacar 1 como fracción. 2. USA LOS DATOS Razonamiento  Rosa planea girar la

flecha giratoria A 30 veces. La flecha giratoria A tiene secciones iguales. Rosa predice que la flecha se detendrá en rojo 3 veces. ¿Estás de acuerdo con la predicción de Rosa? ¿Por qué?

B

USA LOS DATOS  Para los ejercicios 3 a 6, usa la flecha giratoria B y la tabla. La flecha giratoria B tiene secciones iguales. 3. ¿Cuántas veces gira la flecha Silvia?  4. ¿Cuál es la probabilidad experimental de sacar rojo? ¿Cuál

es la probabilidad matemática? 5. ¿Cuál es la probabilidad experimental de no sacar verde?

¿Cuál es la probabilidad matemática? 6.

 ¿Cuál es la pregunta? Sue usó la tabla para determinar la probabilidad. 14  ​. La respuesta es ​ __ 40

Resultados de Silvia Resultados

Azul

Rojo

Verde Amarillo

Conteo

Capítulo 15 381

Libro 5.indb 381

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Práctica adicional Grupo A  Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible 1. sacar una ficha azul de una bolsa que contiene

2. sacar un número menor que 1 en un cubo

26 fichas verdes, 14 amarillas y 2 azules del mismo tamaño

numerado del 1 al 6

Para cada experimento, di si los sucesos A y B son igualmente posible o no son igualmente posible. Si no son igualmente posible, menciona el suceso que sea más posible. 3. Experimento: Girar la flecha

4. Experimento: Sacar una bolita de la bolsa de bolitas del mismo tamaño.

Suceso A: morado Suceso B: verde

Suceso A: azul Suceso B: roja

Grupo B  Para los ejercicios 1 a 5, usa la flecha giratoria para hallar la probabilidad de cada suceso. La flecha giratoria tiene secciones iguales. 1. sacar anaranjado 

2. sacar morado

3. sacar rojo

4. sacar verde o anaranjado

5. sacar un color que no sea azul Para los ejercicios 6 y 10, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, di si cada suceso es seguro, imposible, posible, o poco posible. 6. sacar una R

7. sacar una A o una C

8. sacar una T

9. sacar una G

10. sacar una A, C o R

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Es probable, no es probable Jugadores 2 equipos de 2 jugadores

Materiales • 2 cubos numerados del 1 al 6 • Tarjetas de suceso

La probabilidad de sacar un 3 1 es de  .

​  _ ​ 6

¡Cómo jugar! Los jugadores revuelven las tarjetas y las colocan boca abajo en una pila. La primera tarjeta se voltea. Cada equipo determina la probabilidad del suceso que sale en la tarjeta. Después, predicen los resultados de lanzar el cubo 10 veces.

El equipo que tenga la predicción más cercana anota un punto. El juego continúa hasta que un equipo anote 5 puntos y gane el juego.

Capítulo 15  383

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Repaso/Prueba del Capítulo 15 Repasar el vocabulario y los conceptos Para los ejercicios 1 a 3, elige el mejor término del recuadro.

VOCABULARIO

       2. Cuando realizas una — ​  ?  ​ , haces una conjetura razonable acerca de

combinación resultado predicción

       1. Un — ​  ?  ​  es la solución de un experimento. lo que sucederá.

       3. Un — ​  ?  ​  es una lista organizada que muestra posibles

combinaciones de grupos de objetos o de un suceso.  

4. Explica la diferencia entre la probabilidad experimental

y la probabilidad matemática.

Repasar las destrezas Di si el suceso es posible, poco posible, seguro o imposible. 5. sacar un 0 en un cubo numerado del

6. sacar un número impar en una flecha giratoria

con tres partes iguales rotuladas del 1 al 3

1 al 6

Para los ejercicios 7 a 11, usa las tarjetas de igual tamaño. Escribe la probabilidad como una fracción. Después, menciona si cada suceso es seguro, imposible, posible o poco posible. 7. sacar una T

9. sacar una D

T R O T A D O R A

8. sacar un T, R, D, A, u O 10. sacar un A, O o T

11. sacar una S Resuelve:   12. Jaime lanzó una moneda y sacó una bolita de una bolsa con una bolita azul y una roja. Las bolitas son del mismo tamaño. ¿Cuántos resultados posibles hay? 

13. Leonardo lanza un cubo numerado del 1 al 6

y una moneda. ¿Cuántos resultados posibles hay? 

Repasar la resolución de problemas Resuelve. 14. Luis está jugando con dos cubos numerados

del 1 al 6. Si saca 10 o más, gana un turno adicional. Menciona las maneras en que Luis puede ganar un turno adicional.

15.

Explica cómo puede Luis organizar una lista para hallar las posibles combinaciones de lanzar dos cubos numerados rotulados del 1 al 6. 

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Enriquecimiento • Hacer predicciones Muchos de los juegos populares usan la probabilidad. Más posible: el resultado que ocurrirá

Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una

más.

bolsa, es más probable que saques una bolita roja.

Menos posible: el resultado que

Si hay 5 bolitas rojas y 1 azul en una

ocurrirá menos.

bolsa, es menos probable que saques una bolita azul.

Equiprobable que: dos resultados

Si hay 2 bolitas rojas y 2 azules en una

que tienen la misma posibilidad de ocurrir.

bolsa, es igualmente probable que saques las rojas que las azules.

Predice y juega Claudia y Jorge juegan un juego de números. Cada uno toma turnos para lanzar dos cubos numerados. Después suman los números para hallar el resultado de cada lanzamiento. Claudia lanza un 3 y un 6, por lo tanto, suman 3 y 6 para obtener un total de 9.

total: 3 1 6

Cuando se suman los resultados de lanzar 2 cubos numerados, el menor total posible es 2. El mayor total posible es 12. Mayor total posible:

Menor total posible:

11152

6 1 6 5 12

• Predice qué totales ocurrirán con mayor o menor frecuencia. ¿Por qué?

Juego de lanzamiento Materiales n 2 cubos numerados

Juega con el cubo numerado con un compañero de clase. Lanza los cubos numerados 20 veces. Registra tus totales en una tabla de conteo. Explica cómo se compara tu predicción con los resultados reales y por qué.

Capítulo 15  385

Libro 5.indb 385

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Repaso/Prueba de la unidad Opción múltiple

3. ¿Cuál fue el puntaje con mayor frecuencia?

1. La media aritmética (promedio) del siguiente

a) 13

b) 12

c) 11

d) 10

grupo de datos es igual a : 7-20-13-14-6-9-1

A 70

B 20

C 14

D 10

4. Si con 8 puntos es posible obtener nota 4,0;

La siguiente tabla muestra la distribución de los puntajes obtenidos por los alumnos de un curso en un control de matemática. Puntaje 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Número de Alumnos 3 4 1 0 3 5 7 7 9 10 11 12 3 1

Con esta información responde las preguntas 2,3 y 4. 2. ¿La cantidad de estudiante que obtuvo el

puntaje máximo es:

a) 13

b) 12

c) 7

d) 1

¿cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 4,0?

a) 30 b) 46

c) 63

d) 76

5. Se sabe que el promedio del siguiente

grupo de datos 1, 7, 2, 10, x es 10. ¿Cuál de los siguientes valores puede tomar x?

a) 10

b) 20

c) 30

d) 40

6. En la tabla se registra el largo de los saltos que realizaron 5 niños. En relación con los datos registrados en la tabla. ¿Cuál es el promedio de la muestra?

Nombre del Niño

Estatura en metros

Andrés

1,19

Carlo

1,35

Ricardo

1,38

Matías

1,03

Pablo

1,46

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9. Los valores de la muestra anterior son

El rango de la muestra en metros es:

a) 0,43

b) 0,35

c) 0,27

d) 0,16

El gráfico muestra la cantidad de agua caída en una ciudad del centro del país. ¿Cuál es el promedio de agua caída en los seis primeros meses?

mm

50 – 100 – 400 – 650 – 800 – 500. La mejor estimación del promedio es:

a) 300 mm.

b) 310 mm.

c) 350 mm.

d) 360 mm.

10. El rango de la muestra es:

a) 0

800 700 650 600 500 400 300 200 100 50 0

b) 300

c) 750 d) 800 11. Francisco encuestó a sus compañeros de clase

E

F

M

A

M

J

J

A

para hallar la cantidad de mascotas que tenía cada uno. Los resultados se muestran en el diagrama de puntos:

meses

Con esta información responde las preguntas 7, 8, 9 y 10. 7. ¿Cuáles son los dos meses más lluviosos?

¿Cuántos milímetros de agua cayeron entre ambos?

a) Junio y julio, cayeron 1 450 mm.

¿Cuántos compañeros de clase tienen más de dos mascotas?

b) Junio y julio, cayeron 800 mm.

a) 10

c) Julio y agosto, cayeron 1 450 mm.

d) Junio y agosto, cayeron 1 150 mm.

c) 6

8. ¿Cuántos milímetros de agua cayeron en el

b) 9

d) 3

primer semestre?

a) 2 500 mm.

encuestados?

b) 2 502 mm.

a) 0

c) 1 202 mm.

d) 1 200 mm.

c) 5

12. En el gráfico anterior, ¿Cuántos niños fueron

b) 4

d) 13

Capítulo 15 387

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De aquí y de allá AL

Resolución de Problemas

ARA ESTUDIANTES P E U Q A MAN

De la biblioteca a la Red

Enlaces

Biblioteca Nacional

E

nlaces nació en el año 1994 como un proyecto piloto con doce escuelas en Santiago. Luego se extendió a La Araucanía y finalmente a todo Chile. El objetivo de esta iniciática era constituir una Red Educacional Nacional formada por todos los establecimientos educacionales subvencionados de Chile que permitiera de incorporar las nuevas Tecnologías de la Información y Educación TICs en las salas de clases. Por ello, fue primordial dotar gradualmente a los establecimientos educacionales de la infraestructura necesaria (equipos, software y conexión a Internet) que permitiera a las comunidades educativas desarrollar proyectos educativos personales e intercambiar experiencias exitosas y así reducir el aislamiento de muchas escuelas y liceos del país.

1¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados a la Red Enlaces en 1992?

2¿Cuántos establecimientos educacionales se encontraban conectados finalizado el año 1996?

3 ¿Cuánto aumentó la cantidad de establecimientos educacionales participantes de la Red Enlaces entre los años 1997 y 1999? ¿Cuál fue el año en que la Red Enlaces experimentó el aumento más significativo de establecimientos educacionales asociados? Explica cómo podrías encontrar el rango de la cantidad de establecimientos asociados presentes en el gráfico.

Número de Establecimientos

Establecimientos en Enlaces: Expansión 6 000 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 0

1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999

2000

Fuente: Ministerio de Educación

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La Biblioteca Nacional de Santiago, tiene una colección de fotografías históricas que incluye miles de fotografías de la capital y Chile.

Ciberconectados

H

asta el año 2001 la cantidad de usuarios abonados de internet bordea los 707 000 000 en el mundo, por ello las TICs son, hoy por hoy, de vital importancia en los procesos educativos modernos. Internet es hoy una fuente de información, comunicación y culturización que supera en uso a las bibliotecas tradicionales.

1Confecciona una encuesta donde recopiles información sobre desde qué año aproximado están abonados a internet en tu hogar y el tiempo que es utilizado diariamente por la familia.

2 Confecciona una tabla similar a la anterior comenzando desde 1999, o desde el año en que el primer entrevistado se haya suscrito, y terminando en el 2013.

3 Confecciona otra tabla donde resumas la información del tiempo en que se utiliza el servicio internet en cada hogar. Divide la tabla en intervalos de 5 horas, ejemplo [0-5[ , [5-10[, [10-15[, etc. Grafica los datos anteriores, debes escoger dos gráficos, escoge los más adecuados que permitan mostrar la información obtenida. Encuentra el promedio del número de horas que es utilizado internet en el hogar. ¿Qué puedes concluir respecto de la información que obtuviste?

EVOLUCIÓN APROXIMADA DE ABONADOS A INTERNET EN EL MUNDO Enero 1990

Enero 1997

Enero 2000

Enero 2001

1 120 000

57 000 000

377 000 000

707 000 000

Capítulo 14  389

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Glosario

altura La longitud de una perpendicular desde la base hasta la parte superior de una figura plana o de un cuerpo geométrico. Ejemplo:

ángulo recto Un ángulo que mide la mitad de un ángulo extendido, es decir, 90°. Ejemplo: 90°

altura ángulo Una figura formada por dos rayos que se unen en un extremo común. Ejemplo:

ángulo agudo Un ángulo cuya medida es menor que la de un ángulo recto. (menos de 90°) Ejemplo:

área El número de unidades cuadradas necesarias para cubrir una superficie. área total La suma de las áreas de todas las caras o superficies de un cuerpo geométrico. arista Un segmento que se forma donde se encuentran dos o más caras de un cuerpo geométrico. Ejemplo:

arista

Origen de la palabra La palabra aguja en latín es acus. Significa “puntiagudo” o “punzante”. Reconocerás la raíz en las palabras ácido (sabor agrio) acicular (con forma de aguja) y agudo, que describe un ángulo punzante o puntiagudo.

ángulo extendido Un ángulo que mide 180°. Ejemplo: X

Y

Z

ángulo obtuso Un ángulo cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°. Ejemplo:

base (geometría) En dos dimensiones, un lado de un triángulo o de un paralelogramo que sirve para hallar el área. En tres dimensiones, una figura plana, generalmente un polígono o un círculo, que se usa para describir parcialmente un cuerpo geométrico y que sirve para hallar el volumen de algunos cuerpos geométricos. Ver altura. Ejemplo: base

altura

base

base

base

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capacidad La cantidad que puede contener un recipiente. Ejemplo: ​ 1_2 ​galón  2 cuartos. cara Un polígono que es una superficie plana de un cuerpo geométrico. Ejemplo:

cara

centésima Una de cien partes iguales. Ejemplos: 0,56 cincuenta y seis centésimas

45 ​  ___     ​ cuarenta y cinco centésimas 100

centímetro (cm) Una unidad métrica para medir longitud o distancia; 0,01 metro  1 centímetro.

cono Un cuerpo geométrico que tiene una base plana y circular, y un solo vértice. Ejemplo:

coordenada x El primer número de un par ordenado, que indica la distancia hacia la derecha o hacia la izquierda desde el punto (0,0). coordenada y El segundo número de un par ordenado, que indica la distancia hacia arriba o hacia abajo desde el punto (0,0). cuadrado Un polígono que tiene cuatro lados iguales, o congruentes, y cuatro ángulos rectos. cuadrilátero Un polígono de cuatro lados Ejemplo:

cilindro un cuerpo geométrico que tiene dos bases paralelas que son círculos congruentes. Ejemplo:

círculo Una figura cerrada que tiene una circunferencia cuyos puntos están a la misma distancia del centro. Ejemplo:

cubo un cuerpo geométrico con seis caras cuadradas y congruentes. Ejemplo:

centro cuerpo geométrico Una figura tridimensional. cociente El número, sin incluir el residuo, que resulta al dividir. Ejemplo: 8  4  2. El cociente es 2. coma decimal Un signo que se usa para separar dólares de centavos cuando se trata de dinero, y para separar las unidades de los décimos cuando se trata de números decimales. compensación Una estrategia de estimación que consiste en convertir un sumando en un múltiplo de diez y luego ajustar el otro sumando para mantener el balance. congruente Que tienen el mismo tamaño y la misma forma.

datos La información reunida sobre personas o cosas, a menudo para sacar conclusiones acerca de ellas. datos categóricos En una gráfica, son los datos que muestran grupos u opciones en cualquier orden. datos numéricos Son los datos que muestran números en orden en alguna escala numérica de un gráfico. decimal Un número de uno o más dígitos, ubicado a la derecha de la coma decimal. 391

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decimales equivalentes Decimales que representan el mismo número o la misma cantidad. Ejemplo: 0,4  0,40  0,400 decímetro (dm) Una unidad de longitud del sistema métrico; 10 decímetros  1 metro décima Una de diez partes iguales. Ejemplo: 0,7  siete décimas denominador En una fracción, el número que está debajo de la barra y que indica cuántas partes iguales hay en el entero. 3 Ejemplo: ​__ ​ 4 ➞ denominador descomposición en factores primos Un número expresado como el producto de todos sus factores primos. diagrama de árbol Una lista organizada que muestra todos los resultados posibles de un suceso. diagrama de puntos Un gráfico que muestra la frecuencia de los datos en una recta numérica. Ejemplo:

2

3

4

5

6

7

km trotados

diagrama de tallo y hojas Una tabla que muestra grupos de datos ordenados según su valor posicional. Ejemplo: Tallo 1 2 3 4

1 0 4 0

ecuación Un enunciado algebraico o numérico que muestra que dos cantidades son iguales. eje La recta numérica horizontal o vertical que se usa en un gráfico o en un plano de coordenadas. eje de la x La recta numérica horizontal de un plano de coordenadas.

✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ 1

diferencia La respuesta a un problema de resta dígito Cualquiera de los diez símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 que se usan para escribir números. dividendo El número que se divide en un problema de división. Ejemplo: 36  6.​El dividendo es 36. división El proceso de repartir un número de objetos para determinar cuántos grupos podrán formarse o cuántos objetos habrá en cada grupo; la operación opuesta a la multiplicación. divisor El número que divide el dividendo. Ejemplo: 15  3.​  El divisor es 3.

Hojas 2 4 3 4 5 7 0 1

eje de la y La recta numérica vertical de un plano de coordenadas. encuesta Un método para reunir información acerca de un grupo. entero positivo Cualquier entero mayor que cero. enteros El conjunto de números enteros y sus números opuestos. esfera Un objeto redondo cuya superficie curva tiene la misma distancia desde el centro hasta todos sus puntos. Ejemplo:

5 2

Número de boletos vendidos

diámetro Un segmento que pasa por el centro de un círculo cuyos dos extremos están sobre la circunferencia. Ejemplo: diámetro

estimación Un número que se aproxima a una cantidad exacta. estimar verb Hallar un número que se aproxime a una cantidad exacta. evaluar Hallar el valor de una expresión numérica o algebraica.

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expresión Una frase matemática o la parte de un enunciado numérico que combina números, signos de operaciones y, a veces, variables, pero que no tiene un signo de igual. expresión algebraica Una expresión que incluye por lo menos una variable. Ejemplo: x 1 5, 3a 2 4 expresión numérica Una frase matemática que usa solamente números y signos de operaciones.

grado (°) La unidad que se usa para medir los ángulos y la temperatura. gráfico circular Una gráfico que muestra cómo se relacionan las partes de los datos con el todo y entre sí. Ejemplo:

Rutina de ejercicio físico trote

caminata

descanso

fracción irreductible Una fracción está en su mínima expresión cuando el numerador y el denominador tienen solamente el 1 como factor común. fracciones no semejantes Fracciones que tienen denominadores diferentes Ejemplo: ​  3_4 ​y ​  2_5 ​son fracciones no semejantes. fracciones semejantes Fracciones que tienen el mismo denominador. Ejemplo: ​  2_5 ​y ​  4_5 ​son fracciones semejantes.

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calentamiento

gráfico confuso Una gráfico que muestra una interpretación falsa. gráfico de barras Un gráfico que muestra datos contables en barras horizontales o verticales. Ejemplo:

Deportes favoritos Cantidad de estudiantes

factor Un número que se multiplica por otro número para hallar un producto. factor común Un número que es un factor de dos o más números. figura plana Una figura que se encuentra en un plano. forma desarrollada Una manera de escribir los números mostrando el valor de cada dígito. Ejemplo: 832  800  30  2 forma normal Una manera de escribir números con los dígitos del 0 al 9, donde cada dígito tiene un valor posicional. Ejemplo: 456 ➞forma normal fórmula Un conjunto de signos que expresan una regla matemática. Ejemplo: A  l  a fracción Un número que representa una parte de un todo o una parte de un grupo. fracción de referencia Una fracción familiar que se usa como punto de referencia. fracciones equivalentes Fracciones que representan el mismo número o la misma cantidad. Ejemplo: ​ 3_4 ​  ​ 6_8 ​

12 10 8 6 4 2 0 Deportes

gráfico de líneas Un gráfico que usa un segmento para mostrar cómo cambian los datos con el transcurso del tiempo. gráfico de líneas doble Un gráfico de líneas que representa dos conjuntos de datos.

hexágono Un polígono que tiene seis lados y seis ángulos. Ejemplos:

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histograma Un gráfico de barras que muestra el número de veces que ocurren los datos dentro de los intervalos. hoja Un dígito que está en el lugar de las unidades en un diagrama de tallo y hojas.

matriz Un conjunto de objetos colocados en hileras y columnas. Ejemplo:

columna hilera intervalo La distancia entre un número y el siguiente en la escala de un gráfico.

3 3 4 5 12 máximo común divisor (McD) El factor más grande que dos o más números tienen en común. Example: Ejemplo: 6 es el MFD de 18 y de 30.

kilómetro (km) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia; 1 000 metros  1 kilómetro

línea Un trayecto recto en un plano, que se extiende en ambas direcciones y que no tiene extremos. Ejemplo:

líneas paralelas Líneas que están en un mismo plano y no se intersecan. Ejemplo: B

A

L

M

líneas perpendiculares Dos líneas que se intersecan para formar ángulos rectos. Ejemplo: R U

T S

mayor que (>) Un signo que se usa para comparar dos números, cuando el primer número dado es el mayor. Ejemplo: 6  4 media El promedio de un conjunto de números. Se obtiene sumando el conjunto y dividiendo la suma entre el número de sumandos. menor que (<) Un signo que se usa para comparar dos números, cuando el primer número dado es el menor. Ejemplo: 4  6 metro (m) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia; 1 metro  100 centímetros. milésima Una de mil partes iguales. Ejemplo: 0,006 = seis milésimas milímetro (mm) Una unidad métrica que se usa para medir longitud o distancia. 1 milímetro  0,001 metro. mil millones 1 000 millones; se escribe 1 000 000 000. millón se escribe 1 000 000. mínimo común denominador (m.c.d.) El menor múltiplo común de dos o más denominadores. Ejemplo: El m.c.d. de ​  1_ ​y ​  5_ ​es 12. 4 6

mínimo común múltiplo (m.c.m.) El menor número, sin incluir el cero, que es un múltiplo común de dos o más números.

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moda El número o el elemento que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos. muestra Una parte de una población. muestra aleatoria Una muestra en la que cada sujeto de la población tiene la misma probabilidad de ser elegido. multiplicación El proceso para hallar el número total de elementos compuestos por grupos de igual tamaño o para hallar el número total de elementos en un número dado de grupos. La operación opuesta a la división múltiplo El producto de un número entero dado y otro número entero. múltiplo común Un número que es un múltiplo de dos o más números.

numerador En una fracción, el número que está encima de la barra y que indica cuántas partes iguales del entero se están tomando en cuenta. Ejemplo: ​  3_4 ​ ➞numerador número compuesto Un número que tiene más de dos factores. Ejemplo: 6  es un número compuesto, ya que sus factores son 1, 2 3 y 6. número cuadrado El producto de un número por sí mismo. Ejemplo: 42  16; 16 es un número cuadrado. número entero Uno de los números 0, 1, 2, 3, 4,... El conjunto de números enteros continúa infinitamente. número mixto Un número que se compone de un número entero y una fracción. Ejemplo: 1​  5_8 ​ número primo Un número que tiene exactamente dos factores: 1 y él mismo. Ejemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 y 19 son números primos. 1 no es un número primo. números compatibles Números que son fáciles de calcular mentalmente.

octágono Un polígono con ocho lados y ocho ángulos. Ejemplos:

operaciones inversas Operaciones que se anulan una a la otra, como la suma y la resta, o la multiplicación y la división. orden de las operaciones Un conjunto especial de reglas que establece el orden en el que los cálculos se realizan en una expresión. origen El punto donde dos ejes de un plano de coordenadas se intersecan, (0,0).

par ordenado Un par de números que se usan para ubicar un punto en una cuadrícula. El primer número indica la ubicación hacia la izquierda o la derecha, y el segundo número indica la ubicación hacia arriba o hacia abajo. paralelogramo Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos y tienen la misma longitud, o son congruentes. Ejemplo:

paréntesis En una expresión matemática, los signos que se usan para indicar qué operación u operaciones deben realizarse primero. pentágono Un polígono que tiene cinco lados y cinco ángulos. Ejemplos:

perímetro La medida del contorno de una figura plana cerrada. 395

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pictografía o pictograma Una gráfica que muestra datos contables por medio de símbolos o de dibujos. Ejemplo:

plano cartesiano Un plano formado por dos rectas numéricas, secantes y perpendiculares, que se conocen como ejes. Ejemplo:

y 4 3 2 1

¿Cómo vamos al colegio? caminando en bicicleta en autobús en carro Cada:

= 10 estudiantes

pirámide Un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y cuyas otras otras caras son triángulos que se unen en un vértice común. Ejemplos:

pirámide cuadrada Un cuerpo geométrico que tiene una base cuadrada y cuatro caras triangulares que tienen un vértice común. Ejemplo:

Origen de la palabra A veces, el fuego adopta la forma de una pirámide, con una punta en la parte superior y una base más ancha. Posiblemente de ahí provenga el nombre de pirámide . Fuego en griego era pura, que tal vez se combinó con la palabra egipcia mer.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

x

población El grupo entero de los objetos o de los individuos considerados en una encuesta. poliedro Un cuerpo geométrico cuyas caras son polígonos. Ejemplo:

polígono Una figura plana cerrada formada por tres o más segmentos. Ejemplos:

Polígonos

   No polígonos

porcentaje Un número que corresponde proporcionalmente a una parte de 100. priorizar Colocar sucesos según su orden de importancia. prisma Un cuerpo geométrico que tiene dos bases congruentes con forma de polígono, y otras caras con forma de rectángulo. Ejemplos:

prisma rectangular

prisma triangular

prisma rectangular Un cuerpo geométrico cuyas seis caras son rectángulos. Ejemplo:

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producto La respuesta a un problema de multiplicación. producto parcial Un método de multiplicación que consiste en multiplicar por separado las unidades, decenas, centenas, etc., y luego sumar sus productos. promedio Ver media. propiedad asociativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los factores, el producto es el mismo. Ejemplo: (2  3)  4  2  (3  4) propiedad asociativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie la manera de agrupar los sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: (5  8)  4  5  (8  4) propiedad conmutativa de la multiplicación La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos factores, el producto es el mismo. Ejemplo: 4  5  5  4 propiedad conmutativa de la suma La propiedad que establece que aunque se cambie el orden de dos sumandos, la suma es la misma. Ejemplo: 4  5  5  4 propiedad del elemento neutro La propiedad que establece que el producto de un número cualquiera por 1 es ese número. propiedad de indentidad de la suma La propiedad que establece que cuando se le suma cero a un número, el resultado es el mismo número. propiedad envolvente del cero La propiedad que establece que el producto de 0 y cualquier otro número es 0. propiedad distributiva La propiedad que establece que multiplicar una suma por un número es igual que multiplicar cada sumando por ese número y luego sumar los productos. Ejemplo: 3  (4  2)  (3  4)  (3  2) 3  6  12  6 18  18 punto Un lugar exacto en el espacio; usualmente se representa con un punto gráfico. punto de referencia Un número familiar que se usa como punto de referencia.

radio Un segmento que tiene un extremo en el centro de un círculo y el otro extremo en su circunferencia. Ejemplo:

radio rango La diferencia entre el número mayor y el número menor en un conjunto de datos. Ejemplo: 2  , 2, 3, 5, 7, 7, 8, 9 El rango es 9  2  7. rayo Una parte de una línea; comienza en un extremo y se extiende infinitamente en una sola dirección. Ejemplo:

recíproco Uno de dos números que tienen un producto de 1. Ejemplo: 8  y ​  1_8 ​son recíprocos ya que 8  ​  1_8 ​ 1. recta numérica Una línea en la que se pueden localizar números. Ejemplo:

1 2

rectángulo Un paralelogramo cuyos cuatro ángulos son rectos. Ejemplo:

red Un patrón bidimensional que puede doblarse para formar un poliedro tridimensional. Ejemplo:

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redondear Reemplazar un número por otro que es más sencillo y tiene aproximadamente el mismo valor que el número original. Ejemplo: 1  4.6 redondeado hasta la decena más próxima es 110 y hasta la unidad más próxima es 115. residuo o resto La cantidad sobrante cuando un número no se puede dividir entre partes iguales. resta El proceso de hallar cúantos quedan al quitar un número de elementos de un grupo; el proceso de hallar la diferencia cuando se comparan dos grupos. La operación opuesta a la suma. rombo Un paralelogramo de cuatro lados iguales o congruentes. Ejemplo:

Origen de la palabra La palabra rombo es casi idéntica a su origen griego rhombos. El significado original es “trompo” o “rueda mágica”, que es facil de imaginar cuando se mira un rombo, un paralelogramo equilátero.

segmento Una parte de una línea entre dos extremos. Ejemplo:

suma o total La respuesta a un problema de suma. sumandos Los números que se suman en un problema de suma.

tabla de frecuencia Una tabla en la que se usan números para registrar qué tan a menudo ocurre una cosa. tallo Un dígito que está en el lugar de las decenas en un diagrama de tallo y hojas. tendencia El patrón que siguen los datos en una gráfica o en parte de esta durante un período de tiempo. Este patrón puede ser: aumentar, disminuir o permanecer igual. transportador Un instrumento que se usa para medir o para trazar ángulos. trapecio Un cuadrilátero que tiene un solo par de lados paralelos. Ejemplos:

triángulo Un polígono que tiene tres lados. Ejemplo:

triángulo acutángulo Un triángulo que tiene tres ángulos agudos. triángulo equilátero Un triángulo que tiene tres lados congruentes. Ejemplo:

3 cm sistema decimal Un sistema de cálculo basado en el número 10. sobrestimación Una estimación mayor que la respuesta exacta. solución Un valor que, cuando se sustituye por la variable, hace verdadera una ecuación. subestimación Una estimación menor que la respuesta exacta. suma El proceso de hallar el número total de elementos cuando se unen dos o más grupos; la operación opuesta a la resta.

3 cm 3 cm

triángulo escaleno Un triángulo que no tiene lados congruentes. Ejemplo:

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triángulo isósceles Un triángulo que tiene exactamente dos lados congruentes. Ejemplo:

10 pulg

10 pulg

vértice El punto donde se unen dos o más rayos; el punto de intersección de dos lados de un polígono; el punto de intersección de tres (o más) aristas de un cuerpo geométrico; la cúspide de un cono. Ejemplo:

7 pulg triángulo obtusángulo Un triángulo que tiene un ángulo obtuso. triángulo rectángulo Un triángulo que tiene un ángulo recto. Ejemplo:

vértice

vértice

Origen de la palabra Origen de la palabra

La palabra latina vertere significa girar y se refiere además a lo más alto. Puedes hacer girar una figura alrededor de un punto, o vértice.

volumen La medida del espacio que ocupa un cuerpo geométrico. unidad cuadrada Una unidad de área cuyas dimensiones son: 1 unidad  1 unidad unidad cúbica Una unidad de volumen cuyas dimensiones son: 1 unidad  1 unidad  1 unidad

valor absoluto La distancia que hay desde el cero hasta otro número en una recta numérica. valor atípico Un valor apartado del resto de los datos. valor posicional El valor de una posición en un número, como el de la posición de las unidades o las decenas. variable Una letra o un signo que representa uno o más números.

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Bibliografía Bibliografía para el docente Castro, E. (2003). Didáctica de la Matemática en La Educación Primaria. Madrid: Pearson. Chamorro, M. (2003). Didáctica de la Matemática Preescolar. Madrid: Pearson. Chamorro M. (2003). Didáctica de la Matemática para Primaria. Madrid: Pearson. Cofré, A. y Tapia, L. (1995). Cómo desarrollar el razonamiento lógico y matemático. Santiago: Universitaria. Centeno, J. (1989). Números Decimales. Colección Matemáticas Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Cofré, A. y Tapia, L. (2002). Matemática Recreativa en el Aula. Santiago: Universidad Católica de Chile. Godino, J. et al. (2005). Didáctica de las Matemáticas para Maestros. ProyectoEduMat - Maestros. Departamento de Didáctica de la Matemática. España: Universidadde Granada. Guzmán, M. (1995). Para pensar mejor. España: Pirámide. Holt, R., Wiston. (2003). Mathematics in Context. Encyclopaedia Britannica. Llinares, S y Sánchez, M. (1989). Fracciones. Colección Matemáticas Cultura y Aprendizaje Vol. 4 Madrid: Síntesis. Alsina, C. (1989). Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid: Síntesis. Alsina, C. (1991). Materiales para construir la Geometría. Madrid: Síntesis. Chamorro, Mª. (2005) Didáctica de las Matemáticas. Madrid: Pearson Educación. Martínez, A. M., Juan, F. R. (1989). Una metodología activa y lúdica para laenseñanza de la geometría. Madrid: Síntesis. Boule, F. (2005). Reflexiones sobre la Geometría y su enseñanza. México: La Vasija. Siguero, F. y Carrillo, E. (1993). Recursos en el aula de matemáticas. Madrid: Síntesis. Martínez, A. M. y Juan, F. R. (1989). Una metodología activa y lúdica para laenseñanza de la geometría Madrid: Síntesis. Riveros, Zanocco. (1991). Geometría y aprendizaje. Universidad Católica de Chile. García, J. (1998). Geometría y experiencias. Madrid: Pearson Educación. Castro, E. (2003). Didáctica de la Matemática en La Educación Primaria. Madrid: Pearson. Maza G, C. (1991). Multiplicación y división. A través de la resolución de problemas. Madrid: Visor. Centeno, J. (1989). Números Decimales. Colección Matemáticas Cultura y Aprendizaje Vol. 5. Madrid: Síntesis. Chamorro, C. (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson Prentice Hall. Martínez, J. (1991). Numeración y operaciones básicas en la educación primaria. Madrid: Escuela Española. Resnick, Lauren B. y Ford, Wendy W. (2010). La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Barcelona: Paidós.

Links para el estudiante · www.elhuevodechocolate.com/mates.htm · http://www.educapeques.com/juegos-infantiles-de-matematicas-para-ninos · www.juegos/matmatica/html · http://www.aprendejugando.com/ · http://www.sectormatematica.cl/preescolar.htm · http://www.sectormatematica.cl/geometria.htm · http://www.todoeducativo.com/ · http://roble.pntic.mec.es/arum0010/#matematicas · http://www.santillana.cl/grupo/arbolalegre/ · http://www.escolar.com/menugeom.htm · http://www.disfrutalasmatematicas.com/ejercicios/horas.php · http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm · http://cremc.ponce.inter.edu/carpetamagica/guiaelreloj.htm · http://descartes.cnice.mec.es/matemagicas/pages/jeux_mat/textes/horloge.htm · http://sauce.pntic.mec.es/~atub0000/hotpot/reloj/horasini.htm · http://members.learningplanet.com/act/mayhem/free.asp · http://kids.aol.com/ · http://www.ixl.com/ · http://www.icarito.cl/medio/articulo/0,0,38035857_152308913_188909704_1,00.html · http://www.aulademate.com/

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Matematicas 5ºmedio texto del estudiante 2013  

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