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Texto del estudiante Matemática 2.º Medio

Matemática

º 2

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Autores

Gerardo Muñoz Díaz Pedro Rupin Gutiérrez Lorna Jiménez Martínez

Texto del estudiante ISBN 978-956-349-542-3

9 789563 495423

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓN

PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

PROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN

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MATEMÁTICA 2.° MEDIO TEXTO DEL ESTUDIANTE

Dirección editorial Felipe Muñoz Gómez

Coordinación de diseño Gabriela de la Fuente Garfias

Coordinación editorial Daniela Cienfuegos Fernández

Diseño y diagramación Anghela Badiola Sanhueza

Edición Pedro Rupin Gutiérrez

Diseño de portada Anghela Badiola Sanhueza

Ayudantía de edición Marcela Cofré Moraga

Ilustraciones Archivo editorial

Autoría Gerardo Muñoz Díaz Pedro Rupin Gutiérrez Lorna Jiménez Martínez

Infografías Sol90images

Asesoría Verónica Muñoz Correa Guadalupe Álvarez Pereira Desarrollo de solucionario Susan Schwerter Felmer Carolina Parada González

Producción fotográfica Carlos Johnson Muñoz Archivo editorial Gestión de derechos Josefina Majewsky Vera Producción Andrea Carrasco Zavala

Corrección de estilo Alida Montero de la Fuente

Este texto corresponde al Segundo año de Enseñanza Media y ha sido elaborado conforme al Decreto Supremo N° 254/2009, del Ministerio de Educación de Chile.

©2013 – Ediciones SM Chile S.A. – Coyancura 2283 piso 2 – Providencia ISBN: 978-956-349-542-3 / Depósito legal: 229885 Se terminó de imprimir esta edición de 236.500 ejemplares en el mes de enero del año 2014. Impreso por Quad/Graphics Chile S.A.

Quedan rigurosamente prohibida, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público.

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medio

2

Matemática Texto del estudiante

Gerardo Muñoz Díaz

Lorna Jiménez Martínez

Profesor de Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile

Profesora de Matemática Licenciada en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile

Ingeniero eléctrico Universidad de Santiago de Chile Magíster en Enseñanza de las Ciencias con mención en Didáctica de la Matemática Pontificia Universidad Católica de Valparaíso

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Pedro Rupin Gutiérrez Profesor de Matemática Licenciado en Matemática Pontificia Universidad Católica de Chile

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Índice de contenidos 1

Unidad 1: Números ......................................................... 6 Sección 1: Números reales ..................................................8 ¿Qué debes saber?...............................................................9 Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos. ............................10 Lección 2: Aproximación y construcción de números irracionales ....................................14 Lección 3: Números irracionales en la recta numérica y orden ................................18 Lección 4: Números reales. ............................................22 Resolución de problemas .................................................26 Para no cometer errores ...................................................27 Integrando lo aprendido ..................................................28 Sección 2: Raíces ...................................................................30 ¿Qué debes saber?.............................................................31 Lección 5: Raíz enésima.................................................32 Lección 6: Raíces y operaciones ....................................36 Lección 7: Potencias de exponente racional .................40 Lección 8: Racionalización.............................................44 Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones ..48 Resolución de problemas .................................................52 Para no cometer errores ...................................................53 Integrando lo aprendido ..................................................54

2

Diario Mural ...........................................................................74 Para sintetizar .......................................................................76 Reforzar antes de evaluar.................................................78 Profundizar ............................................................................81 Evalúo mis aprendizajes ....................................................82

Unidad 2: Geometría ................................................. 86 Sección 1: Semejanza de figuras planas .....................88 ¿Qué debes saber?.............................................................89 Lección 13: Semejanza y figuras a escala .......................90 Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos. ..........96 Lección 15: Homotecia y semejanza. ............................100 Resolución de problemas ...............................................104 Para no cometer errores .................................................105 Integrando lo aprendido ................................................106 Sección 2: Teoremas de semejanza .............................108 ¿Qué debes saber?...........................................................109 Lección 16: Teorema de Thales ......................................110 Lección 17: División de trazos........................................116 Lección 18: Teorema de Euclides ...................................120 Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco...............124 Resolución de problemas ...............................................128 Para no cometer errores .................................................129 Integrando lo aprendido ................................................130

2

Sección 3: Logaritmos ........................................................56 ¿Qué debes saber?.............................................................57 Lección 10: Logaritmos....................................................58 Lección 11: Propiedades de los logaritmos .....................62 Lección 12: Aplicaciones de logaritmos ..........................66 Resolución de problemas .................................................70 Para no cometer errores ...................................................71 Integrando lo aprendido ..................................................72

Sección 3: Ángulos y segmentos en la circunferencia......................................................................132 ¿Qué debes saber?...........................................................133 Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia. ............................................134 Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia .....140 Resolución de problemas ...............................................144 Para no cometer errores .................................................145 Integrando lo aprendido ................................................146 Diario Mural .........................................................................148 Para sintetizar .....................................................................150 Reforzar antes de evaluar...............................................152 Profundizar ..........................................................................155 Evalúo mis aprendizajes ..................................................156

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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Unidad 3: Álgebra ......................................................160 Sección 1: Fracciones algebraicas ................................162 ¿Qué debes saber?...........................................................163 Lección 22: Fracción algebraica. ....................................164 Lección 23: Fracciones algebraicas y fórmulas..............166 Lección 24: Mcd y mcm de expresiones algebraicas. ...170 Lección 25: Amplificación y simplificación de fracciones algebraicas ..................................................174 Lección 26: Multiplicación y división de fracciones algebraicas ...........................178 Lección 27: Adición y sustracción de fracciones algebraicas ..................................................182 Lección 28: Resolución de problemas que involucran ecuaciones fraccionarias.. ...........................186 Resolución de problemas ...............................................192 Para no cometer errores .................................................193 Integrando lo aprendido ................................................194 Sección 2: Función exponencial, logarítmica y raíz ................................................................196 ¿Qué debes saber?...........................................................197 Lección 29: Funciones, tablas y gráficos........................198 Lección 30: Función raíz cuadrada. ...............................202 Lección 31: Función exponencial...................................206 Lección 32: Función logarítmica....................................210

4

Resolución de problemas ...............................................214 Para no cometer errores .................................................215 Integrando lo aprendido ................................................216 Sección 3: Sistemas de ecuaciones lineales .............218 ¿Qué debes saber?...........................................................219 Lección 33: Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas ..................................................220 Lección 34: Sistemas de ecuaciones lineales y gráficos.222 Lección 35: Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.....................................226 Lección 36: Existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.....................................232 Lección 37: Resolución de problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales.................236 Resolución de problemas ...............................................242 Para no cometer errores .................................................243 Integrando lo aprendido ................................................244 Diario Mural .........................................................................246 Para sintetizar .....................................................................248 Reforzar antes de evaluar...............................................250 Profundizar ..........................................................................253 Evalúo mis aprendizajes ..................................................254

Unidad 4: Datos y Azar ........................................... 258 Sección 1: Dispersión y comparación de datos........260 ¿Qué debes saber?...........................................................261 Lección 38: Medidas de dispersion de datos ................262 Lección 39: Comparación de conjuntos de datos ..........266 Resolución de problemas ...............................................270 Para no cometer errores .................................................271 Integrando lo aprendido ................................................272 Sección 2: Muestreo y variable aleatorios ................274 ¿Qué debes saber?...........................................................275 Lección 40: Muestreo aleatorio simple .........................276 Lección 41: Variable aleatoria ........................................280 Lección 42: Medias muestrales .....................................284 Resolución de problemas ...............................................288 Para no cometer errores .................................................289 Integrando lo aprendido ................................................290 Solucionario .........................................................................324 Índice temático ...................................................................375

Sección 3: Eventos excluyentes, independientes y probabilidades ....................................................................292 ¿Qué debes saber?...........................................................293 Lección 43: Conjuntos y probabilidades ........................294 Lección 44: Producto y suma de probabilidades ..........298 Lección 45: Eventos independientes .............................302 Lección 46: Combinatoria y probabilidades ..................304 Resolución de problemas ...............................................308 Para no cometer errores .................................................309 Integrando lo aprendido ................................................310 Diario Mural .........................................................................312 Para sintetizar .....................................................................314 Reforzar antes de evaluar...............................................316 Profundizar ..........................................................................319 Evalúo mis aprendizajes ..................................................320 Glosario ..................................................................................377 Bibliografía ..........................................................................383

ÍNDICE

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Estructura del texto El Texto Matemática 2 se compone de 4 unidades: Números, Geometría, Álgebra y Datos y Azar. Cada unidad se compone de secciones, y cada sección de lecciones.

Estructura de las unidades

1.

2.

Inicio de unidad

Al final de cada unidad encontrarás una interesante aplicación de lo estudiado, en diversos contextos.

En estas páginas podrás activar tus ideas previas, conocer las palabras clave de la unidad, y recordar lo que ya sabes. Te presentaremos lo que aprenderás y su objetivo, en un contexto relacionado con los contenidos que se estudiarán.

3.

Diario Mural

Para sintetizar Aquí podrás organizar y resumir los contenidos abordados. Además, retomaremos la situación presentada en el inicio y podrás relacionarla con tus aprendizajes.

4.

Reforzar y profundizar Estas páginas te permitirán reforzar los contenidos antes de la evaluación, como también profundizar tus aprendizajes.

5.

Evalúo mis aprendizajes Te proponemos una evaluación de alternativas, en la que podrás medir tus logros en la unidad.

4

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Estructura de las secciones

6.

De esto se trata y ¿Qué debes saber? Activarás tus ideas previas y reflexionarás sobre la importancia de los contenidos y el propósito de la sección, a partir de una situación real. Además, podrás evaluar tus conocimientos previos y repasar lo que necesites, con la ayuda de Internet.

8. 7.

Lección Estas son las páginas de contenido en las que recordarás tus aprendizajes previos y desarrollarás tus habilidades. Te proponemos actividades para que razones, comentes y reflexiones con tus compañeros, y ejercicios de repaso, práctica y aplicación.

9.

Resolución de problemas y Para no cometer errores Podrás analizar estrategias de resolución de problemas, y analizar errores para no cometerlos.

Integrando lo aprendido Podrás evaluar tus aprendizajes de la sección y analizar si has logrado el propósito de la ella.

Páginas finales

10.

Solucionario, Índice temático y Bibliografía Aquí encontrarás la solución a los ejercicios planteados, un Índice temático de los contenidos abordados y la Bibliografía del Texto, además de material que te sugerimos para profundizar tus conocimientos.

RECUERDA QUE LAS ACTIVIDADES Y EJERCICIOS PROPUESTOS DEBES REALIZARLOS EN TU CUADERNO

ESTRUCTURA DEL TEXTO

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5

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unidad

1

Números

Ideas previas El estudio de la música de manera sistemática comenzó en la antigua Grecia gracias a Pitágoras que captó la relación entre el largo de una cuerda pulsada y el sonido que produce, según la vibración. Estas relaciones han permitido la creación de escalas musicales, adaptadas posteriormente para generar distintos tipos de sonidos y crear nuevas obras. Aunque con algunas diferencias, todas tienen un origen común: la observación de Pitágoras. • Si golpeas una lámina de metal muy gruesa y otra muy delgada, ¿en qué se diferencian los sonidos que producen? • ¿Cómo se forman las notas al tocar una guitarra?

6

Palabras clave Ü Racional

Ü Potencia

Ü Irracional

Ü Exponente

Ü Número real

Ü Base

Ü Conjunto numérico

Ü Logaritmo

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2

3

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Unidad 1 • números

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7

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Sección 1

Números reales ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

Es importante porque te permitirá…

A identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

Lección 1

comprender la necesidad de ampliar el conjunto de los números racionales.

A aproximar números irracionales.

Lección 2

manejar procedimientos para operar con estos números.

A ordenar y ubicar números irracionales.

Lección 3

comparar números irracionales.

A identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Lección 4

asociar el orden de los números irracionales con su posición en la recta numérica.

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Irracional

Actividad

Ü Exacto Ü Comprobar Ü Demostrar Ü Conjunto

§ ¿En qué ocasiones has oído que un número “no es exacto” Ejemplifica.

De esto se trata… Es posible que al resolver un ejercicio hayas obtenido como resultado un número no muy “cómodo” de utilizar. Por ejemplo, con una calculadora puedes comprobar que

5 : 3 = 1,666666667

4 : 17 = 0,235294117 La calculadora, ¿está mostrando todos los decimales? Si tuviéramos una calculadora de mayor capacidad, ¿obtendríamos más? Es posible, incluso que pudiéramos ver algunas regularidades como en la división 5 : 3 5 : 3 = 1,666666667 Parece que solo obtendremos el decimal 6, repetido hasta que… terminamos con un 7. ¿Es un error de la calculadora? ¿Podemos seguir confiando en ella o necesitamos más información?

Actividad grupal

En grupos de 3 personas, realicen las siguientes actividades.

➊ ➋

Utilicen una calculadora para determinar el resultado de la división 15 015 : 6 678 671.

Suponiendo que se trata de un decimal finito, expresen el resultado obtenido como fracción, y simplifíquenla. El resultado que obtienen, ¿es equivalente a la fracción 15 015 ? 6 678 671

El valor obtenido anteriormente, ¿es un número con decimal finito? ¿Es un decimal periódico, semiperiódico? ¿Es posible responder esta pregunta con el resultado que entrega la calculadora? Justifiquen.

Propósito: que comprendas la necesidad de que exista un conjunto de números que permita resolver situaciones que no tienen solución en los números racionales. 8

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar y realizar operaciones entre números racionales

Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica

1 Determina cuáles de los siguientes números son naturales, enteros o racionales.

5 Aproxima por redondeo a la cifra indicada los siguientes números:

a. 2

e. –2

b. 5

f. –1,3333….

c. 5,5

g. 4,2878787…

d. 3,777…

h. 5,73

2 Expresa los siguientes números decimales como fracción. a. 3,1

e. 7,21

b. 2,92

f. 2,05

c. 3,5

g. 6,231

d. 4,56

h. 5,2898989…

a. 5324, a la centena.

e. 1251,84, a la unidad.

b. 67 278, a la centena.

f. 3,45, a la unidad.

c. 128, a la decena.

g. 4,126, a la décima.

d. 4242, a la decena. 6 Aproxima por truncamiento a la cifra indicada los siguientes números: a. 3,355, a la décima. b. 273,251, a la centésima. c. 21,0174, a la centésima. d. 1,23487, a la milésima. a. 4,41

4,44

4,42

4,4343

b. 5,23

5,2

5,22

5,222

5,23

2 8 3 23 c. 1 2 5 17 4 42 3 15 d. 0,5 0,65 0,75 5 21 11 1,25 1,26 1,26 e. 5 9 4 8 Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números. a. 1,4

1,7

2,1

1,9

0,8

b. 2,5

5 3 5 14

7 4 8 21

1,8

31 8

0,45

0, 4

c. 3 7

Actividad

3 Expresa las siguientes fracciones como número decimal. a. 7 e. 4 9 10 15 82 b. f. 99 100 c. 27 g. 24 90 1000 15 1234 d. h. 8 990 4 Calcula el resultado de las siguientes operaciones. d. 3 • 0,7 a. 0,3 + 0,81 4 b. 0,5 – 0,012 e. 5,1: 2 5 c. 2,27 • 4 f. 5 + 0,31• 1,3 2

7 Ordena de menor a mayor los siguientes números.

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Identificar y realizar operaciones entre números racionales Aproximar, ordenar y ubicar números racionales en la recta numérica.

No

Más de 3 respuestas correctas

3 o menos

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/tNSPC http://goo.gl/xyW9j

Unidad 1 • números

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1 Lección

Propósito: identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos.

Números irracionales y problemas geométricos Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un arco de fútbol mide 7,32 metros de largo, lo que es equivalente a 73,2 decímetros o 732 centímetros. ¿Por qué no mide exactamente 7 metros? Porque se definió en Inglaterra, donde se emplea el sistema de medida anglosajón. En él, en lugar del metro y los centímetros se utiliza la pulgada (25,4 mm), de modo que 12 pulgadas (30,48 cm) conforman un pie, y 3 pies una yarda (91,44 cm, aproximadamente un paso de un adulto). De esta forma se estableció que el arco de fútbol tiene una longitud de 8 yardas (8 pasos).

Recuerda que… Teorema de Pitágoras Si ABC es un triángulo, rectángulo en C, se cumple que:

1 Consideren el cuadrado de la figura. a) Midan con regla la medida de sus lados AB, BC y su diagonal AC. ¿Es posible determinar con regla la medida exacta de AC?

B

C

A

AC² + BC² = AB² La raíz cuadrada de un número a es el número no negativo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado a. Se escribe a.

D

C

A

B

b) De acuerdo con el Teorema de Pitágoras se tiene la siguiente relación: AB2 +BC2 = AC2 2

2

AB +BC = AC

/ 2

AB2 +BC2 = AC Utilicen una calculadora para determinar la medida de AC, considerando las medidas de AB y BC en centímetros. ¿Cuántos decimales tiene el número obtenido? Comparen con los resultados de sus compañeros utilizando distintas calculadoras. 2 A los miembros de la escuela Pitagórica, en el siglo VI a.C., les llamó la atención esta diagonal y su medida. Para estudiarla consideraron un cuadrado cuyo lado midiera 1 unidad, y con ello su diagonal mediría 2 unidades, ya que:

Ayuda ¿Qué significa que una vara mida 1,2 metros? Significa que podemos dividir el metro en 10 partes iguales, y la vara mide 12 de estas partes 1,2 =

10

Podemos decir que, independientemente de la unidad de medida que utilicemos, la longitud del arco siempre es la misma. Aunque se emplean distintas unidades, tanto el sistema métrico decimal como el anglosajón se basan en la comparación, es decir, en analizar cuántas veces "cabe" una unidad de medida dentro de una longitud. Si no cabe en forma exacta podemos dividirla en partes iguales más pequeñas hasta obtener el número adecuado. Pero, ¿será posible siempre encontrar una división exacta de la unidad de medida?

12 10

2 12 +1 =

1+1 =

2

Supongamos que la unidad de medida utilizada para medir el lado del cuadrado puede dividirse en una cierta cantidad b de partes iguales, de modo que la diagonal mide a de estas partes. Con ello tenemos que 2=

a b

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1 a y b son números naturales, los que en caso de tener factores comunes podríamos simplificarlos y obtener una fracción x = a , donde x e y son números naturales y b que no tienen factores comunes. Observen que para dos números naturales tenemos las siguientes posibilidades: • par , que no es el caso porque entonces ambos números tendrían como par factor común a 2 (y ya simplificamos todos los factores comunes). • impar , que al elevarlo al cuadrado se obtiene par 2=

impar impar impar impar →2= • →2= → 2 • par = impar par par par par

2

3

4

Ayuda Si un número x es impar, puede escribirse como x = 2n + 1 Si se calcula x², tenemos que x² = (2n + 1)² = 4n² + 4n + 1 = 2(2n² + 2n) +1 Por lo tanto, si x es impar, necesariamente x² es impar. ¿Qué ocurre si x es par?

Necesitaríamos que x fuera un número par que al multiplicarlo por 2 resultara un número impar. No es posible. a) Verifiquen si son posibles las combinaciones par y impar . impar impar b) Considerando los resultados anteriores, ¿es posible encontrar una fracción que sea igual a 2? Justifiquen. Los pitagóricos se dieron cuenta de que no puede existir la fracción a = 2. Se dijo b entonces que era un número inconmensurable o inmedible porque no podemos tomar una unidad de medida y dividirla en partes que quepan exactamente en ella. Ya que no hay una fracción que lo represente, es un número que no pertenece a los números racionales, por lo tanto, es irracional. Posteriormente se demostraría que toda raíz cuadrada de un número natural, o bien es un número natural o necesariamente es irracional. Por ejemplo, son números irracionales 3

5

1,2

Ayuda Para realizar esta demostración se supuso lo contrario a lo que se deseaba demostrar y se llegó a una contradicción. Esto se conoce como reducción al absurdo.

1 2

Al dividir un número natural por otro el resultado puede ser un número natural, un decimal finito o un número decimal periódico o semiperiódico, pero un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período. Ya que tampoco se pueden expresar como fracción, la única forma exacta de escribirlos es utilizando símbolos o, al escribir parte de sus decimales, utilizar puntos suspensivos o el signo de aproximación (≈). 2 = 1, 414213... 2 ≈ 1, 414213... π = 3,145926... Por lo mismo, en los problemas geométricos en que aparezcan solo será posible trabajar con ellos en forma simbólica y, si es necesario, utilizar al final una aproximación de ellos, como se observa en el siguiente ejemplo.

Recuerda que… El número π es una constante que corresponde al perímetro de una circunferencia de diámetro 1. 1

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Lección

1 Ejemplo En la siguiente figura los triángulos ABC y ACD son rectángulos de catetos BC, AC y CD. Sobre el segmento CD se ha construido una semicircunferencia. Calcula el perímetro de la figura, si BC = CD = 4 cm y AC = 5 cm. A

B Paso 1

C

D

Los triángulos ABC y ACD son congruentes entre sí, por lo que AB = AD. Por teorema de Pitágoras se tiene que: AB2 = BC2 +AC2 AB2 = 4 2 +52 AB = 16+25

Recuerda que… Perímetro de una circunferencia de radio r: P = 2π r

AB = 41 Paso 2

La semicircunferencia tiene radio igual a la mitad de CD, es decir, 2 cm. Aplicando la fórmula del perímetro de la circunferencia, se tiene que: 2πr 2 2π • 2 = 2 = 2π

CD =

Paso 3

El perímetro P de la figura corresponde a la suma de las medidas de las líneas que componen su contorno. Por lo tanto, P = 41+4+2π+ 41 = 2 41+4+2π

Este valor corresponde a la medida exacta del perímetro de la figura. Más adelante veremos cómo es posible aproximar estos valores para obtener algunos decimales.

Razona

y comenta

§ En la vida real, ¿es posible medir las cosas con exactitud o siempre habrá errores e impre§

cisiones? Discute con tus compañeros. Patricio afirma que al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm, no se obtiene un “resultado exacto”. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.

En resumen Los números irracionales son aquellos cuya representación decimal es infinita no periódica, y no pueden ser representados en forma de fracción a , con a y b b números enteros y b ≠ 0. 12

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1

1. Identifica a qué tipo de número decimal corresponde

g) 6,03

b) 1,21

h) 5,2372

c) 0,234

i) 0, 421

d) 2,1

j) 2 9 k) 32 90 l) 57 18

e) 3,24 f) 5,2335

2. Expresa los siguientes números decimales como fracción. a) 6,2

e) 0,51

b) 4,38

f) 0,025

c) 2,552

g) 0, 426

d) 7,9913

h) 2, 435

3. Expresa las siguientes fracciones como número decimal. a) 75 2 31 b) 4 5 c) 7

4

Para calcularlo debemos utilizar la fórmula 2πr, donde r corresponde al radio de la circunferencia. 2π4 = 8π =8 • 3,1415926...

cada uno de los siguientes números racionales: decimal finito, decimal periódico o semiperiódico. a) 0,72

3

Por lo tanto, se requieren números irracionales para calcularlo. a) Calcular el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 7 cm.

Practiquemos lo aprendido

Repaso

2

b) Calcular el área de una circunferencia cuyo radio mide 12 cm. c) Calcular el perímetro de un cuadrado cuya diagonal mide 2 cm. d) Calcular la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 19 cm. e) Calcular el área de un rectángulo cuyos lados miden 5 cm y 7 cm. f) Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 12 cm y 5 cm. g) Calcular el perímetro de un rectángulo, si uno de sus lados mide 12 cm y su área es de 60 cm2.

Aplica 5. Calcula en forma exacta el perímetro de las siguientes figuras.

d) 16 27 e) 1 45 f) 8 15

Práctica guiada 4. Identifica cuáles de los siguientes problemas requie-

ren de números irracionales para obtener el resultado. Ejemplo: el cálculo del perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 4 metros.

a)

1 cm

c)

2 cm

3 cm

3 cm

b)

5 cm

d)

2 cm 1 cm

2 cm

1 cm

6. Desafío: se tiene un círculo cuya área es un

número racional, ¿cuál puede ser la medida de su radio? Justifica.

Reflexiona § Que un número tenga infinitos decimales, ¿implica que no es “exacto”? Discute con tus compañeros. Unidad 1 • números

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2 Lección

Propósito: aproximar números irracionales.

Aproximación y construcción de números irracionales La puesta en órbita de un satélite precisa de complejos cálculos que requieren gran exactitud, y pueden involucrar números irracionales. Ya que un número irracional tiene infinitas cifras decimales sin período, cualquier representación decimal que hagamos con ellos será una aproximación que contiene un error. Para determinar estas aproximaciones consideraremos los siguientes aspectos.

Raíces con calculadora Para calcular una raíz cuadrada con calculadora utilizamos la tecla . Dependiendo de la calculadora, se digita alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, la raíz cuadrada de 54.

Observa que… Truncar siempre produce una aproximación por defecto, mientras que redondear puede generar una por exceso o por defecto.

Al hacerlo, obtenemos

Si queremos comprar, por ejemplo, una vara de madera en una barraca, allí difícilmente podrán cortarla considerando esta cantidad de decimales. Por lo tanto, realizamos una aproximación por truncamiento o por redondeo. Lo haremos a la segunda cifra decimal. Truncado:

54 = 7,348469228349534

54 ≈ 7,34

Redondeado:

54 = 7,348469228349534

54 ≈ 7,35

Aproximaciones y error Cuando el número que se obtiene es mayor, se dice que la aproximación es por exceso. Si el número es menor es por defecto. Al truncar se obtiene una aproximación por defecto de 54 , mientras que al redondear, la aproximación es por exceso. Entonces 7,34 < 54 < 7,35.

Ayuda El error absoluto corresponde a la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y la aproximación. El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real.

En ambos casos podemos calcular el error absoluto y el error relativo entre la aproximación y el valor real. Por truncamiento

Por redondeo

Error absoluto

Error absoluto

54 – 7,34 = 0,0084692283495343

54 – 7,35 = 0,0015307716504657

Error relativo

Error relativo

54 – 7,34 54

= 0,0011525159984152 ≈ 0,12%

14

54 – 7,35 54

= 0, 000208312 ≈ 0, 02%

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

2

3

4

Aproximaciones sucesivas

Ayuda

Si no contamos con una calculadora es posible obtener una aproximación de una raíz cuadrada empleando aproximaciones sucesivas.

Es posible calcular valores y aproximarlos utilizando una planilla de cálculo. Para ello se emplean los siguientes comandos: =RAIZ(2) Calcula la raíz cuadrada de 2.

Para el caso de

54 . buscamos los cuadrados perfectos menor y mayor cercanos a 54.

7² = 49 y 8² = 64, entonces 7 < 54 <8 Vemos que 54 está entre 7 y 8, probamos ahora con valores intermedios, en este caso con el promedio de ambos 7,5.

( )

2

72 = 49; 7, 5 = 56, 25 , entonces 7 < 54 <7, 5

= REDONDEAR(RAIZ(5);2) Calcula la raíz cuadrada de 5, y la redondea al segundo decimal.

Probamos con el promedio entre 7 y 7,5; 7,25.

(7, 25)

2

( )

2

= 52, 5625 ; 7, 5 = 56, 25 , entonces 7, 25 < 54 <7, 5

Probamos con el promedio entre 7,25 y 7,5; 7,375

(7, 25)

2

(

=TRUNCAR(RAIZ(7);2) Calcula la raíz cuadrada de 7, y la trunca al segundo decimal.

)

2

= 52, 5625 ; 7, 375 = 54, 390625, entonces 7, 25 < 54 < 7, 375

Hemos encontrado una aproximación sucesiva de tres decimales para 54.

Casos especiales Existen números irracionales que no corresponden a raíces cuadradas. Uno de los más importantes es π, que relaciona la medida del diámetro de una circunferencia con su perímetro, o el área de un círculo con su cuadrado circunscrito, como se muestra en la figura.

r

El escriba Ahmes, en Egipto, estimó su valor en el papiro Rhind, que data del siglo XVI a.C. Para ello consideró un cuadrado cuyo lado mide 9 unidades, y lo dividió en 81 partes. Luego cortó esquinas de lado 3 unidades para construir un polígono de 8 lados. Se puede ver que el área del polígono corresponde a 18 cuadraditos menos que el cuadrado grande es decir, 81 – 18 = 63 cuadraditos, y su área es un poco menor que la del círculo. Por lo tanto, Ahmes estimó que el área del círculo sería de 64 cuadraditos. El radio de este círculo es 4,5 unidades, por lo que si aplicamos la fórmula para el área se obtiene que: 64 64 = π • 4,52 → = π → π ≈ 3,16 20,25

Papiro Rhind

Recuerda que… Área de un circulo de radio r A = πr2

Razona

y comenta

§ En general, ¿cuántos

Otras culturas, como los griegos y los chinos obtuvieron aproximaciones aun más cercanas utilizando métodos similares. Gracias a los computadores hoy es posible obtener hoy centenares de miles de cifras decimales de π. En resumen En la práctica, para trabajar con números irracionales es preciso utilizar aproximaciones. Estas pueden obtenerse con calculadora, utilizando fórmulas algebraicas o procedimientos geométricos. Los valores obtenidos suelen truncarse o redondearse.

§

decimales suelen utilizarse en la vida cotidiana? Menciona algunos ejemplos. ¿Será posible dividir una regla en tantas partes como se quiera para obtener una medida con miles de decimales? Justifica.

Unidad 1 • números

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15

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Práctica guiada

1. Identifica cuáles de los siguientes números

4. Utiliza una calculadora para determinar una

aproximación de las siguientes raíces redondeadas a la cuarta cifra decimal. Guíate por el ejemplo.

presentan período. Señala además cuál es el período cuando corresponda. a) 4,23232323232323…

Utilizando calculadora se tiene que:

b) 3,07282828282828…

2 = 1, 414213562

c) 5,6

Redondeando a la cuarta cifra decimal se obtiene.

d) 4,013

1, 414213562 ≈ 1, 4142

e) 3,222222222257

a)

3

e)

19

f) 3,1415926

b)

5

f)

24

g) 6,014916253649…

c)

11

g)

37

d) 13

h)

42

2. Determina las siguientes aproximaciones, con las condiciones dadas.

5. Calcula el error absoluto y el error relativo de las

a) 3,53594, truncado a la décima.

siguientes aproximaciones. Guíate por el ejemplo.

b) 6,81977 truncado a la centésima.

2 ≈ 1, 4142

c) 2,17855 truncado a la milésima.

Paso 1

d) 5,20189, truncado a la diezmilésima. e) 3,34862, redondeado a la décima.

Se obtiene 1,414213562.

f) 8,28457, redondeado a la centésima.

Paso 2

g) 6,40003, redondeado a la milésima. h) 9,38531, redondeado a la diezmilésima.

a) 4,5 +3, 8

i) 3,17+6,54

b) 6, 4+2,31

j) 2,235 – 0,319

c) 7,1+ 2,024

k) 3,21+

e) 12,17+0, 44 f) 9,03 – 2,3

16

Paso 3

7 23 274 l) 4,28 – 13 17 m) 5,224+ 32 51 n) 0,38 – 82

Al valor anterior se le resta la aproximación

Se obtiene 0,000013562. Este es el error absoluto.

3. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

d) 5, 5+3,2

Se calcula el valor con calculadora

Se divide este valor por el valor real

Se obtiene 0,00000959 ≈ 0,00096%, el error relativo.

ñ) 3,512 –1,7 •

h) 2, 6+5, 8

o) 2,3• 2,5– 0,8 :

3 ≈ 1,73205

e)

15 ≈ 3,9

b)

5 ≈ 2,236

f)

17 ≈ 4,12311

c)

8 ≈ 2,8284

g)

19 ≈ 4,36

h)

20 ≈ 4, 472

d) 11 ≈ 3,32

21 8

g) 4,126 – 5,28

a)

2 3

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

6. Considera las siguientes aproximaciones

5 ≈ 2,2361

7 ≈ 2, 6458

Por exceso

9. Conexiones: el matemático francés Georges

Louis Leclerc, conde de Buffon (1707-1788) realizó un interesante experimento estudiando probabilidades, pero que le permitió aproximarse al número π. Consiste en lo siguiente:

Completa la siguiente tabla con aproximaciones a la centésima de los valores dados, que cumplan las condiciones. Por defecto

4

Por redondeo

2 3

i) Se escoge una aguja (o una varilla de madera muy delgada), de longitud cualquiera. Luego, sobre una hoja de papel se trazan muchas rectas paralelas cuyas distancias entre sí deben ser iguales al largo de la aguja.

Practiquemos lo aprendido

Resuelve los siguientes problemas.

3 ≈ 1,73212

3

b) En general, ¿se obtiene el mismo resultado redondeando sumas parciales, que redondeando la suma final? Justifica.

Aplica

2 ≈ 1, 4142

2

2+ 3 7+2 3 3: 2 2 2: 3 3 7 2• 7

ii) Se lanza al azar la aguja sobre la hoja, la cantidad de veces que queramos (N veces). En cada lanzamiento anotamos si la aguja atraviesa o no alguna de las líneas trazadas.

5 –1 2• 5– 7

7. Determina para cada valor una aproximación por defecto y una por exceso, de modo que el error relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor que el 0,1%. a)

6

c)

b)

7

d) 18

11

8. Bernardita y Emmanuel deben calcular el valor de 13+ 14 , redondeado a la tercera cifra decimal. Bernardita sugiere determinar cada valor, redondearlo y luego calcular la suma, en cambio, Emmanuel dice que lo que se debe hacer es realizar primero el cálculo y luego redondear. a) En este caso, ¿obtienen el mismo resultado?

iii) Llamanos x a la cantidad de veces en que la aguja cortó a alguna de las líneas. Para un valor de N grande, se obtiene que π≈

2N x

Realiza este experimento con tus compañeros. Háganlo simultáneamente para poder tener más lanzamientos, y verifiquen la aproximación obtenida.

Reflexiona § ¿Qué diferencias y similitudes observas en la aproximación de números irracionales, comparados con los números racionales?

§ Las calculadoras y computadores pueden realizar cálculos enormes, pero, ¿cómo saben lo que deben hacer? ¿De qué manera una calculadora entrega un valor para una raíz cuadrada? Investiga.

Unidad 1 • números

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Lección

3

Propósito: ordenar y ubicar números irracionales.

Debes saber…

Números irracionales en la recta numérica y orden

Los números racionales se pueden ordenar comparándolos cifra por cifra, primero por su parte entera y luego por su parte decimal.

Pese a que los números irracionales tienen infinitos decimales sin período, es posible comparar y ubicar algunos de ellos en la recta numérica. Para hacerlo, consideraremos los siguientes aspectos.

Raíces cuadradas en la recta numérica

F 1 cm

El matemático griego Teodoro de Cirene, (465 a.C.-398 a.C.) creó la siguiente construcción denominada Espiral de Teodoro de Cirene. Comienza con un triángulo rectángulo isósceles cuyo cateto mide 1 unidad, y sucesivamente se construyen más triángulos rectángulos tomando un cateto de medida 1 y el otro es la hipotenusa del triángulo anterior.

E 6

D

4

1 cm

3

A

Podemos utilizar la espiral de Teodoro de Cirene para ubicar en la recta numérica una raíz como 7 mediante los siguientes pasos. Paso 1

1 cm 5

C

2

1 cm

1 cm O

1 cm

B

Se ubica el 0 en la recta numérica, y se define la unidad. Luego se construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, con vértices en el 0 y el 1. Con un compás, se copia la medida de la hipotenusa del triángulo, con centro del compás en 0 traza un arco de circunferencia intersecando la recta numérica. Se obtiene así 2. 0 1 2 2

Paso 2

Se construye ahora un triángulo rectángulo de catetos de medida 2 y 1, y se copia su hipotenusa sobre la recta. Así se obtiene 3.

Ayuda Observa que, por Teorema de Pitágoras: AB = OA 2 +OB 2

0

Paso 3

1

2

3

2

Repitiendo sucesivamente estos pasos, se construye 7.

= 12 +12 = 2 AC = AB 2 +BC 2 =

2

2 +12 = 3

AD = AC 2 +CD 2 =

AE = AD +DE

18

1

2

3

2

5

6

7

3

2

3 +12 = 4 = 2 2

=

0

2

2

4 +12 = 5

En ocasiones, el proceso puede abreviarse un poco si detectamos algunas operaciones. Por ejemplo, si queremos ubicar 7 podemos construir hasta 3, y luego construir un 2 3 4+3 = 7, es decir, triángulo rectángulo cuyos catetos midan 2 y 3. Con ello, 22 + = la hipotenusa de dicho triángulo mide 7 .

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1

2

3

4

Ayuda

0

2

1

3

7

2

En el siguiente enlace http://goo.gl/1m9Vf podrás aprender a ubicar raíces en la recta numérica utilizando un procesador geométrico.

3

2< 3< 5< 6< 7

Se observa que:

Entonces mientras mayor sea la cantidad subradical (es decir, el número que está bajo la raíz), mayor es la raíz.

Orden de raíces cuadradas Héctor debe ordenar de menor a mayor las siguientes raíces cuadradas. 11

2

13

7

5

Para hacerlo, sigue estos pasos. Paso 1

Ya sabe que mientras mayor sea la cantidad subradical, mayor es la raíz. Por lo tanto 2 < 5 2 <

Paso 2

< 7

5 <

< 11 < 13

7 <

11 <

13

Verifica que el resultado obtenido coincida con lo que ha aprendido anteriormente respecto a los números decimales, es decir, que para ordenarlos se los compara posición por posición, de izquierda a derecha, comenzando por su parte entera y luego por su parte decimal. 2=1,4142135623730950488016887242097…

2>1

5=2,2360679774997896964091736687313…

6>2

7=2,6457513110645905905016157536393…

3>2

11=3,3166247903553998491149327366707…

6>3

Razona

y comenta

§ ¿Qué estrategia utiliza-

§

13=3,6055512754639892931192212674705… Podemos concluir que para comparar números irracionales utilizamos la misma estrategia que ya conocemos para los números racionales. En resumen Para ordenar raíces cuadradas se comparan sus cantidades subradicales, es decir, sean a y b números no negativos donde a < b, entonces a < b . En caso de estar escritas en representación decimal, podemos ordenarlas cifra por cifra, de la misma manera que los números racionales. Para ubicarlas en la recta numérica, se utiliza regla y compás.

§

rías para comparar un número racional y un irracional? Dos números tienen iguales sus partes enteras y sus cinco primeras cifras decimales, pero uno de ellos es periódico y el otro, irracional. ¿Cuál es mayor?, ¿o depende de cada caso? Justifica. ¿Será posible utilizar la espiral para construir raíces cuadradas de números que no sean naturales? Si es posible, explica cómo ubicarías en la recta el número 0, 4 .

Unidad 1 • números

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Práctica guiada

1. Ordena de menor a mayor los siguientes grupos

6. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces

de números racionales.

cuadradas. Guíate por el ejemplo:

a) 2; 2,25; 1,9; 1,98; 2,251

14 ;

b) 3,37; 3,377; 3,38; 3,378; 3,387 c) 5,24; 519 ; 5,2424; 5,25; 236 99 45 d) 7,32 ; 7,32 ; 7,32 ; 7,3 ; 7,324

2. Determina en cada caso dos números racionales que se encuentren entre los números dados. a) 6,1 y 6,2

e) 7,3 y 7, 4

b) 0,15 y 1,155

f) 0,35 y 0,35

c) 4,74 y 4,75

g) 5,21y 5,2

h) 1 y 11 2 21 3. Ubica en una misma recta numérica cada uno de los siguientes grupos de números: 2 7 d) 3 ; ; 2,5 a) 1 ; 3 ; 3 3 4 2 4 8 9 1 b) 3 ; 3 ; 1 e) ; 1 ; 1,2 5 5 5 10 4 4 2 5 c) ; ; 0, 6 f) 0,75 ; 0,8 ; 5 3 6 4. Se tiene un triángulo rectángulo cuyos catetos son a y b, y su hipotenusa es c. Calcula en cada caso la medida del lado que falta, considerando los siguientes datos: d) 9,21y 9,2

a) a = 12; b = 5

e) a = 8; b = 13

b) a = 15; b = 36

f) a = 10; b = 10

c) a = 16; c = 34

g) a = 2; b = 5

d) a = 35; c = 37

h) a = 7; b = 21

8 ; 17

Observando las cantidades subradicales tenemos que: 8 < 14 < 17 Por lo tanto,

8 < 14 < 17

a)

11 ; 7 ; 31

b)

23 ; 26 ; 24

c) 2 12 ; 11 ; 10 d) 4 21 ; 3 22 ; 2 23 e)

18 ; 7 ; 31

7. Ubica en la recta numérica los siguientes números utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Guíate por el ejemplo. 10 Paso 1

Podemos observar que 10 = 1+9 = 12 +32 Por lo tanto, podemos construir un triángulo rectángulo de catetos 1 y 3, y su hipotenusa medirá 10.

Paso 2 0

Paso 3

Trazamos la recta y ubicamos las unidades. 1

2

3

4

Construimos el triángulo indicado y copiamos su hipotenusa sobre la recta

5. Construye, con regla y compás, un triángulo

rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c, con los datos dados.

20

0

1

2

3

a) a = 6; b = 7

c) a = 4; b = 0,5

a)

b) a = 2; b = 5

d) a = 0,2; b = 0,7

b) 13

e) 1+ 5

c)

f) 2+ 5

11

14

d)

10

4

22

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

3

4

Resuelve los siguientes problemas.

8. Determina en cada caso cuál de los siguientes números es menor. 8; 7; 5

a) d) 3 5 ; 4 2 ; 2 3

8 10 ;2 5 ; 2 2 38 c) 2 5 ; 2 8 ; 2 3 f) 37 ; 6,28 ; 6 9. Dados los números a y b, determina en cada caso un número racional c y un irracional d, de modo que a < c < d < b. 7 3 y b= a) a= 3 y b= 6 d) a= 2 2 e) a=6,93 y b=7,1 b) a= 10 y b= 12 b) 10 ; 11 ; 12

c) a=2 5 y b= 21

empleando el método visto en la actividad anterior. Puedes utilizar un procesador geométrico.

e)

f) a=3 11 y b=10

10. Realiza el siguiente procedimiento: » Escoge dos números naturales distintos, p y q, de modo que p > q. p+q p–q » Calcula el valor de c = y a= . 2 2 » Construye un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida c, y uno de sus catetos mida a. » Determina la medida del cateto faltante b. » ¿Qué operaciones relacionan los valores p, q y la medida de b? a) Escoge dos pares más de valores (no necesariamente naturales) y realiza los pasos anteriores. ¿Se mantiene la relación? b) Verifica la siguiente relación algebraica, considerando que p > q: 2 2  p+q   p – q  pq =  –  2   2  c) Si quieres construir un triángulo rectángulo de modo que uno de sus catetos mida 24, ¿qué valores pueden tener el otro cateto y la hipotenusa? Determina dos pares de valores.

11

d)

42

b) 15

e)

0,5

c)

f)

6, 4

35

12. Desafío: Ordena de mayor a menor los siguientes

Practiquemos lo aprendido

11. Ubica en la recta las siguientes raíces cuadradas

Aplica

a)

2

números

a) π; 3,14156…; b)

10

8 ; 8+3; 8 – 3

c) 2,71828; – 5; 2 d) 1 ; 3 ; 2 2 2 2 e) 3 ; 6 ; 2 3 6 2 f) 6,578453…; 40 ; 2 20 g) 3 3; 10 –1; 2 6+3

13. Conexiones: se llama número de oro (o número áureo) al valor 5+1 , que se designa con la letra 2 griega φ (phi —se pronuncia “fi”—). Un rectángulo es áureo si al dividir la medida de su largo por la de su ancho se obtiene el número φ. a) Construye el número áureo con regla y compás. b) El siguiente segmento corresponde al largo de un rectángulo áureo:

Determina, con regla y compás, su ancho. Investiga cómo hacerlo. c) Investiga respecto a obras de arte, arquitectónicas y otras disciplinas en que se utiliza o aparece este número.

Reflexiona § ¿Por qué los números irracionales solo pueden construirse con regla y compás? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.

Unidad 1 • números

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Propósito: identificar y caracterizar el conjunto de los números reales.

Lección

4

Números reales Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. 1 Realicen las siguientes operaciones con calculadora. 2+3

8 –1

7+5

5• 3

15 4 a) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuáles un irracional? –2, 4 • 5

0 • 11

7: 2

b) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones. • • • • •

Sumar un número racional y uno irracional. Restar un número racional a uno irracional. Multiplicar un número racional distinto de cero y uno irracional. Multiplicar un número irracional por cero. Dividir un número irracional por un número racional.

2 Calculen el resultado de las siguientes operaciones con calculadora. 3– 2

4: 8

8– 5

9: 5

c) ¿En qué casos se obtiene un número racional? ¿En cuales un irracional? d) Conjeturen qué resultado (racional o irracional) se obtiene al realizar las siguientes operaciones. • Restar un número irracional a un número racional. • Dividir un número racional por un número racional. 3 Realicen las siguientes operaciones con calculadora y analicen los resultados obtenidos. 2 – ( 2 –1)

3– 2

8• 2

7• 5

27 : 3

5: 3

¿Es posible generalizar los resultados obtenidos? Justifiquen. Al realizar operaciones entre números racionales e irracionales podemos obtener distintos resultados: en ocasiones es posible anticipar su naturaleza y en otros casos depende de cuáles son los números que se están operando. En general, se tiene que:

Siempre es irracional racional + irracional racional – irracional irracional – racional racional (≠ 0) • irracional racional (≠ 0) : irracional irracional : racional (≠ 0)

22

Puede ser racional o irracional irracional + irracional irracional – irracional irracional • irracional irracional : irracional

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1

2

3

4

Ayuda

Los conjuntos numéricos Como has visto en cursos anteriores, en ocasiones es necesario ampliar los conjuntos numéricos para poder dar solución a situaciones y problemas. Así, para poder contar, primero se crearon los números naturales () , y luego los naturales con el cero, forman el conjunto de los números cardinales (0).

Podemos observar la siguiente relación entre los conjuntos numéricos. 

 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}

⊂

 0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …} La necesidad de representar cantidades menores que cero, y hacer siempre posible la sustracción motivó la creación del conjunto de los números enteros (). En él se incluyen los números naturales y sus opuestos aditivos.

⊂⊂

 = {..., −3, −2, −1, 0,1,2,3...} *

Luego, la necesidad de dividir motivó la ampliación a los números racionales (), que a su vez incluyen a los enteros y sus inversos multiplicativos.

 =  *

a   =  / a , b ∈ ∧ b ≠ 0  b  A diferencia de los conjuntos anteriores, en el conjunto  no existe la noción de sucesor o de antecesor, es decir, no es posible hablar de un único número que viene antes o después de un número dado. Además, el conjunto de los números racionales es denso, es decir, entre dos números racionales distintos cualesquiera (por ejemplo, a y b, con a < b) siempre es posible encontrar un número racional c, de modo que a < c < b. Sin embargo, hemos visto en lecciones anteriores que los números racionales no agotan todas las posibilidades ni permiten resolver todos los problemas, ya que existen los números irracionales (*). Este conjunto es distinto de los anteriores porque no verifica la clausura entre las operaciones, es decir, la suma y el producto entre dos irracionales no necesariamente es irracional. Se define entonces el conjunto de los números reales () como aquel que incluye tanto a los números racionales como a los irracionales.

Razona

y comenta

§ ¿Qué utilidad puede En resumen Se define el conjunto de los números reales () como aquel que incluye a los números irracionales y a los racionales. En la operación entre números racionales e irracionales se verifica que: racional ± irracional = irracional irracional ± racional = irracional racional (≠ 0) • irracional = irracional racional (≠ 0) : irracional = irracional irracional : racional (≠ 0) = irracional

§

tener anticipar el tipo de número que se obtendrá al realizar una operación? Busca en cada caso dos números que cumplan la condición dada: • irracional + irracional = racional • irracional : irracional = racional • irracional + irracional = irracional • irracional : irracional = irracional

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Paso 2

Si se llama A a este conjunto, se tiene que A = {15n / n ∈ }

1. Determina para cada uno de los siguientes

números el menor conjunto numérico al que pertenecen (naturales, enteros o racionales). h) 4280 20 723 i) 3 j) 0

a) –7 b) 2 c) 19 d) 5 4 e) –3,56

k) –29

l) 19 9 m) – 0 f) 7,48 8 90 g) 5,32 n) 2,13 2. Identifica cuáles de los siguientes números son irracionales. a) 3,333…

e) 2,233444555566666…

b)

f)

24

16

c) 87,21

g) 5,290729072907…

d) 19

h)

9

3. Juzga si las siguientes afirmaciones son

verdaderas o falsas. Justifica en cada caso. a) Todo número entero es además, natural.

a) El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 7. b) El conjunto de los números enteros que son múltiplos de 2 y de 11. c) El conjunto de los números naturales que, al ser divididos por 7 dan como resto 5. d) El conjunto de los números racionales en cuya representación fraccionaria, el denominador es 8 unidades menor que el numerador.

5. Calcula en cada caso un valor de a, para que se cumpla la relación dada. Guíate por el ejemplo. 5 3a+ ∈  a Paso 1

Se analizan las operaciones realizadas, y el valor que se debe obtener.

5 debe ser un número entero. Para ello, una a posibilidad es que 3a y 5 sean, cada uno, a números enteros.

3a+

Paso 2

Se determina un posible valor de a.

3a es un número entero si a lo es. 5 es un número entero si a es un divisor de 5. Por lo a tanto, tenemos los siguientes posibles valores de a: –5, –1, 1 y 5.

b) El cero es un número entero, pero no racional. c) Los números naturales contienen a los números racionales. d) Si el denominador de una fracción es 1, representa un número natural.

Práctica guiada 4. Escribe para cada conjunto 5 de sus elementos y

100 25 + ∈ a –1 2a+1 2a a+3 e) + ∈ a –1 a 3a – 2 a+1 f) + ∈ a a –1 d)

6. Considera el siguiente grupo de números reales

represéntalo simbólicamente. Guíate por el ejemplo.

7

2

– 17

El conjunto de los números naturales que son múltiplos de 3 y de 5.

0

1,5

4,28

Paso 1

Ya que los números deben ser múltiplos de 3 y de 5, deben ser múltiplos de 15. Considerando esto se escriben 5 elementos de él. 15, 30, 45, 60, 75

24

7 a) 2a+ ∈  a a+1 b) 6a – ∈ a 18 c) a+ ∈ a –1

1 – 0,25

Elige en cada caso algunos de ellos para verificar las siguientes propiedades de los números reales. a) Clausura de la adición b) Asociatividad de la multiplicación

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1

d) Propiedad conmutativa de la multiplicación

7. Demuestra en cada caso que x es un número irracional. Guíate por el ejemplo: x = 5+ 7 x es la suma de un número racional y un irracional. Por lo tanto, es irracional. a) x = 2+ 8

g) x = – 103

b) x = 3– 21

h) x = 6+ 133

39 3 1 d) x = 8 c) x =

e) x = – 30 15 f) x = 2

57 57 3,21 l) x = 523

k) x =

que las siguientes expresiones correspondan a números racionales. a)

3 b

4 c) b • π 3

b)

5+b

d) (b+ 15 ) • 3

10. Se planteó en la lección que el conjunto de los

números reales es denso, es decir, que entre cualquier par de números reales distintos siempre existe otro número real. a) Verifica, para tres pares de números reales cualesquiera a y b, que si a > b se cumple que: a>

a > c > d > b. • • • •

Resuelve los siguientes problemas. es un número racional o irracional. a)

2• 2

b) 3+ 6 c) 5 • 4 3 1 9  d) 5  –4+ +   2 2

g) 8 7+

5 4

k) (4+ 3)2

f) ( 8+5)( 8 – 5)

2 2 l) (2+ 10 ) + (2 – 10 ) 2 2

b=1 b = 0,6 b = 4,3 b = 5,2

relaciona los números naturales, enteros, racionales, irracionales y reales. Su esquema fue el siguiente.

17 3 i) 20 – 16 – 4

  1 e) 13  7 – • 5– 6 5  

a=2 a=1 a = 4,6 a = 5,2

11. Catherine dibujó el esquema de conjuntos que

*

h)

j) (1+ 5) + (1– 5) 2 2

a+b >b 2

b) Determina, para cada par de números a y b, un irracional c y un racional d que verifiquen la relación:

Aplica

8. Juzga si el resultado de las siguientes operaciones

4

9. Determina en cada caso un valor de b para

i) x = 47 – 0,28 j) x = 10 – 209

3

Practiquemos lo aprendido

c) Distributividad de la multiplicación respecto de la adición

2

A su amiga Laura le pareció que ese esquema podría llevar a un error a quien lo viera. ¿De qué error se trata? Justifica.

Reflexiona § Los números irracionales son necesarios para calcular raíces cuadradas. ¿Son posibles todas las operaciones en los números reales? Investiga y discute con tus compañeros.

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Se sabe que a es un número racional distinto de cero mientras que b es un número irracional. ¿Cuál(es) de la(s) siguiente(s) operación(es) da siempre como resultado un número irracional? Justifica. I. (a + b)(a – b)

II. a²b

III. ab²

Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? Justificar qué operaciones dan siempre como resultado un número irracional. b. ¿Qué información entrega el enunciado? Que uno de ellos es irracional, y el otro es racional. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Define una estrategia para resolver. Cuando sea posible, utilizaremos los criterios ya conocidos para determinar si el resultado es un número irracional. Si no es posible aplicarlos buscaremos contraejemplos, es decir, casos en que el resultado sea racional. Paso 3 Resuelve el problema Analizamos el primer caso, utilizando productos notables: (a + b)(a – b) = a² – b²

a² es un número racional (a • a)y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo.

(5+ 2 )(5– 2 ) = 52 –

2

2 = 25– 2 = 23

Analizamos el segundo caso: a²b a² es un número racional (a • a), y ya que a es distinto de cero, necesariamente a² es distinto de cero. b es un número irracional, y sabemos que el producto entre un racional distinto de cero y un irracional es irracional. Analicemos el tercer caso: ab² a es un número racional y b² es el producto de un número irracional por sí mismo, lo que en ocasiones puede ser racional como se observa en el contraejemplo. 2

3• = 5 3•= 25 75 Por lo tanto, solo en el segundo caso se obtiene siempre un número irracional. Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar, para distintos pares de números que cumplan la condición dada, que nunca se obtiene como resultado un número irracional. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 28. 26

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

2

3

4

Aprende la forma correcta

Priscila le pidió a Cardenio un valor aproximado de 6 con cuatro cifras decimales. Utilizando la calculadora, obtuvo: 6 =2,4494897427831780981972840747059…

El redondeo de un número debe hacerse siempre a partir de la estimación original. En este caso:

Redondeado a la cuarta cifra decimal obtuvo que 6 =2,44948… →

6 =2,449489…

6 ≈ 2,4495

6 ≈2,449

Priscila corrige ahora la instrucción, y le dice que lo necesita con tres cifras decimales. Cardenio entonces toma el valor anterior y lo redondea: 6 ≈ 2,4495 →

6 ≈ 2,450

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Cardenio? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al aproximar números irracionales?

Analiza la situación

Aprende la forma correcta

Fabiola analiza si el número 20, 4304 es racional o irracional. Para ello observa que: 1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

Constata así que no es un número entero, por lo que deduce que debe ser irracional.

20, 4304

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Fabiola? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al juzgar si un número es racional o irracional?

Fabiola deduce que si la raíz no es entera entonces debe ser irracional, pero esto se cumple solo para las raíces de números enteros. En este caso podemos verificar fácilmente con calculadora que: 4,52 • 4,52 = 20,4304 →

20,4304 =4,52

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

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Integrando lo aprendido Lección 1: Números irracionales y problemas geométricos

Lección 2: Aproximación de números irracionales

1 Resuelve los siguientes problemas e indica en qué casos el resultado corresponde a un número irracional.

4 Determina con ayuda de la calculadora una aproximación de los siguientes números, redondeados a la tercera cifra decimal.

a. ¿Cuál es la altura de un triángulo equilátero de lado 2 m? b. ¿Cuál es la medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1 cm? c. ¿Cuál es la medida de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 25 cm y el otro cateto mide 20 cm? d. ¿Cuál es la razón entre el largo de un rectángulo y su ancho si sus medidas son 1 + 5 cm y 2 cm correspondientemente? e. ¿Cuál es la distancia en cm que recorre una rueda de una bicicleta de 26 pulgadas de diámetro en dar una vuelta completa?

Evaluación

f. ¿Cuál es el área de la tapa de un libro cuyo largo y ancho miden 100 cm? 2 Determina en cada caso si los siguientes números son racionales o irracionales. a.

8 3 h.  g.

81

b. 3,876543… c. 4 5 d. 1+ 5 2 e. 1,54545454687…

i.

25 5

j. 15,35 k. 23,59 2 l. (1+ 8 ) 2

f. π

3 Calcula y expresa en forma exacta el perímetro y el área de las siguientes figuras. 2 cm

a.

2 cm 2 cm 2 cm

b.

28

7 cm

15

f. 3 5

b.

20

g.

120

c.

35

h.

d.

7+3

i.

e. 4 10

j.

2 4 13 2 3+ 5

5 Aproxima el resultado de los siguientes ejercicios truncando y redondeando en cada caso a la centésima. Calcula en cada caso el error absoluto cometido. a. 3 + π

d.

8+ 8

b. 1+ 3

e.

3 2 + 4 4

5 2 6 Determina en cada caso una aproximación al número dado, con un margen de error absoluto menor que 0,0001. c.

a.

22 , por exceso.

b.

29 , por defecto.

Lección 3: Orden en los números irracionales y recta numérica 7 Ordena de mayor a menor los siguientes números irracionales 8 10 ; 15; ; 10 ; 5 5 5 8 Determina en cada caso un número irracional que cumpla las siguientes condiciones. a. Ser mayor que 3 y menor que 2. b. Ser mayor que 3 y menor que 10.

5 cm 5 cm

a.

c. Ser mayor que 5+1 y menor que 5+1 . 2

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1 9 Decide en cada caso si corresponde escribir <, > o = entre cada par de números. a.

13

b.

235

c. 3 5

f. 2 5

b.

4

Lección 4: Números reales

135 5 3 ( 6 –1)2

13 Decide si los siguientes números son racionales o irracionales. Justifica en cada caso.

3 3+2

6 126

5 2 b. 7+1

e.

75 : 3

f.

24 • 600

c. 5 3 – 8 3

g.

1 + 15 15

a.

20

10 Determina entre qué par de números naturales consecutivos se encuentran los siguientes números irracionales. a.

3

12 En el siguiente esquema escribe el nombre de cada conjunto numérico.

14

2 d. ( 6+1)

e. 2 3+3

2

c. ( 8+1)

d.

19 –

2

d. (1+ 3)

a.

5

c.

10

b.

8

d.

7 –1

h. 2 21+3: 8 – 3 120

14 Determina, en cada caso, dos números que cumplan las condiciones dadas. a. Ambos irracionales, y su producto es irracional. b. Uno racional y otro irracional, y su producto es racional. c. Ambos irracionales, y su cociente es racional.

Evaluación

11 Ubica los siguientes números irracionales en la recta numérica.

76 2

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Identificar números irracionales y sus propiedades, y operar con ellos en problemas geométricos

Indicador

2 respuestas correctas

10 a 12

Aproximar números irracionales

2 respuestas correctas

14 y 15

Ordenar y ubicar números irracionales

3 respuestas correctas

18 y 19

Identificar y caracterizar el conjunto de los números reales

2 respuestas correctas

22 y 23

Recapitulemos En grupos de 4 personas respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?

Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?

¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

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Sección 2

Raíces ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

A definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

Lección 5

A realizar operaciones con raíces.

Lección 6

A interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas.

Lección 7

A racionalizar expresiones fraccionarias.

Lección 8

A resolver problemas que involucran raíces.

Lección 9

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Base

Actividad

Ü Exponente Ü Potencia Ü Raíz Ü Subradical

Es importante porque te permitirá…

realizar cálculos que permiten resolver distintos problemas.

De esto se trata… Las redes sociales han tenido un gran impacto en nuestro mundo, y todo indica que así seguirá siendo. Como nunca antes hoy es posible difundir una noticia en pocos minutos a practicamente todo el mundo, contando solo con que las personas que reciben una información la reenviarán. En ocasiones esto da pie a malos entendidos o a informaciones falsas, con o sin mala intención. El uso de redes sociales exige una gran responsabilidad en la difusión de noticias; en general, las personas subestiman las consecuencias de lo que se puede difundir, y se asume erróneamente que algo “lo verá muy poca gente”. La experiencia ha demostrado que no es necesario que sean muchas las personas que lean una información para que esta se difunda con mucha rapidez. El comportamiento de estas redes es un campo de estudio muy apreciado por empresas de publicidad que buscan difundir un contenido. La clave del éxito para estas empresas es conseguir, sin enviar demasiados mensajes, una difusión amplia y rápida. ¿Cuál es el menor número de personas a las que se debe enviar una información, para que esta se propague? ¿Y si es necesario que eso ocurra antes de una fecha u hora determinada? Estas son algunas de las preguntas a las que se enfrentan publicistas y encargados de distintos tipos de campañas.

Actividad grupal

En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.

Una persona publica una información que es vista por n personas. Cada una de ellas le informa, al minuto siguiente, a n personas más, y así sucesivamente. Al cabo de 20 minutos, la información es conocida por más de un millón de personas. Estimen el valor de n.

➋ ➌

El valor de n en la pregunta anterior es 2. En general, ¿qué tan bien estimamos este tipo de crecimientos? ¿Qué precauciones toman en el uso de redes sociales? Comenten con sus compañeros.

Propósito: que comprendas la definición de raíz enésima, y la apliques en el cálculo de resultados de operaciones y en la resolución de problemas. 30

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Calcular potencias de base racional y exponente entero

Resolver operaciones que involucran potencias

1 Escribe como potencias las siguientes expresiones.

4 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su valor cuando sea posible.

a. 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 b. 5 • 5 • 5 • 5 c. 7 • 7 • 7

e. 8⁵ • 8–¹0 f. a–² • a⁷

m. (–21)² : (–21)–6

f. –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8 • –8

d. 9⁶ • 9–²

g. (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

2

c. –5³ d. (–6)4 e. (–0,2)5

3

6

3

a. 2–5

f. 5,1–8

b. 7–6

g. (–4,21)–9

c. (–12)–4

h.  2   3 i. 6 3–2 –3 j. 5 4 –6

e. (a + 5b)–9

n. (–12)³ : (–12)5

a. 3³ • 4³ 5 2 b.   • 35  3

3 Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales.

d. 3x–5

4

5 Reduce las siguientes expresiones, y calcula su valor cuando sea posible.

g. –  3   4  1 h.  1   4

g.  – 1  •  – 1   3  3

Actividad

b. 28

f.  1   2

–3

i.  4  •  5   5  4 6 j. 5 54 –a k. b bc l. (6)¹³ : (6)¹¹

c. (–1)³ • (–1)⁸

a. 34

5

b. 4⁵ • 4⁷

e. ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab • ab

2 Calcula el valor de las siguientes potencias.

–1

h.  7  •  7      6 6

d. 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x • 2x

h. 2 • 2 • 2 • 2 3 3 3 3 i. – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 • – 4 5 5 5 5 5 5 5 5

–3

a. 3² • 3⁵

f. 5⁴ • (-3)⁴ g. (-12)⁸ • (-6)⁸ 2

c. 6⁵ • 2⁵

h.  5  •  3   6   5

d. (-4)⁶ • 2⁶

i. 45³ : 5³

2

−6 j. a b−6 6 Resuelve en cada caso las siguientes operaciones.

e. (-8)⁷ • (-1)⁷

–3

 13  a. (137 : 137 ) •  3  2  6 8 b.  – 8  •  – 8  :  9  9

 9  –  8

2

 1 23 +    2 d. −2  1   4

−3

3

c. (–3)6 : (–3)3  •(–3) •(–3)–4

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Calcular potencias de base racional y exponente entero. Resolver operaciones que involucran potencias.

No

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web… http://goo.gl/fxySW http://goo.gl/LghWU

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5 Lección

Propósito: definir raíces y calcularlas aplicando su definición.

Raíz enésima Taller En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Un problema problemaimposible imposiblede deresolver resolverenenlalageometría geometría clásica clásica –es—es decir,decir, solo utilizando utilizando solo una regla no numerada y compás— es la duplicación del cubo, es decir, partir una regla no numerada y compás- es la duplicación del cubo, es decir, a partirade un de uncualquiera cubo cualquiera construir otrovolumen cuyo volumen sea el doble del inicial. cubo construir otro cuyo sea el doble del inicial.

V=1u³

V=2u³

1 Para abordar la duplicación del cubo, podemos suponer que tenemos uno cuya arista mide 1 u, y deseamos construir otro cuyo volumen sea el doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo original? ¿Cuál es el volumen del cubo que se desea construir? b) La primera solución dada por los griegos fue construir un cubo cuya arista midiera 2. ¿Cuál es el volumen de dicho cubo? c) Si el lado de un cuadrado mide x, su área se calcula mediante la fórmula A = x²

Dato Existen otros dos problemas imposibles de resolver en geometría clásica: § La trisección del ángulo: dado un ángulo, dividirlo en tres ángulos congruentes. § La cuadratura del círculo: dado un círculo de radio conocido, construir un cuadrado que tenga la misma área.

Si la arista de un cubo mide x, ¿cuál es la fórmula para calcular su volumen? d) Macarena realiza la siguiente afirmación: “para encontrar la medida del lado de un cuadrado cuya área es 2, debo encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea igual a 2”. ¿Qué número debe encontrar, para determinar la medida de la arista que se busca en el cubo pedido? De la misma manera que definimos la raíz cuadrada de un número a como el número no elevado 2 da como resultado a, podemos otras raíces quenegativo elevadoque a 2 da comoaresultado a, podemos definir otras definir raíces de acuerdo de acuerdo al resultado al calcular una al resultado obtenido al obtenido calcular una potencia. Porpotencia. ejemplo:Por ejemplo: 2 2 3 • 3= 9 →3 3elevado elevadoaa22es es igual a 99→ dede 9→ 9 = 9 = 3•3= 3²3² == 9→ → 33es eslalaraíz raízcuadrada cuadrada 9 →= 9 = 93 3

Ayuda Las expresiones 3 8 = 2 y 2³ = 8 entregan la misma información; podemos decir que 2³ = 8 es la potencia equivalente a 3 8 = 2. 32

2 •23 2 •=2= 23 =28elevado → 2 elevado 3 es igual a 82→ la raíz cúbica 8→ 3 8 =2 2•2•2= 8→ a 3 esaigual a8→ es2laesraíz cúbica dede 8→ 5 • x–19 • x • x→• xx=elevado x5 = –19a→ 5 es igual –19 = xde -19 x•x•x•x•x= x5x = 5 xeselevado igual aa-19→ → xaes–19→ la raíz quinta → x es la raíz quinta de –19

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1 En general, si n es un número natural mayor que 1 y a es un número real, decimos que xn = a, entonces x es la raíz enésima de a: x n = a ↔ n a = x ↔ x es la raíz enésima de a. Además, a se llama cantidad subradical y n es el índice de la raíz. 2 Calculen las siguientes raíces y justifiquen según el ejemplo: 4

2

3

4

Observa que… Cuando el índice de la raíz es 2, no se escribe: 2

a= a

En caso que n a esté definida n en los , se tiene, ( n a ) = a .

81 = 3 , porque 34 = 81 3

125

5

–32

4

16

6

729

3 Observen los siguientes resultados: 3

64 = 4 pues 4³ = 64

4

16 = 2 pues 24 = 16 4 4

Ayuda 3 4

–64 = –4 pues (–4)³ = –64

16 = –2 pues (–2)4 = 16

–16 ≠ 2 pues 24 = 16

Puedes utilizar la calculadora para determinar el valor de las raíces enésimas. (en este caso, para la raíz quinta de 6):

–16 ≠ –2 pues (–2)4 = 16

x

a) ¿Existe la raíz cuarta de –16? Justifiquen. b) ¿Qué relación existe entre 3 64 y 3 –64 ? ¿Se cumplirá una relación similar entre 5 32 y 5 –32 ? Generalicen estos resultados. c) Si n es un número par y a es positivo, ¿siempre será posible encontrar dos valores para n a? ¿Por qué? Justifiquen. A partir de los resultados anteriores, si a es un número positivo, se observa que: • Si n es impar, siempre es posible calcular n a y n –a . Además, n a es un número positivo y n –a = – n a. Por ejemplo: 5

5

243 = 3

5 = –243 – = 243 –3

• Si n es par, n –a no es un número real. Además, se define que n a solo es el valor positivo x que cumple que xn = a. Por ejemplo: 4

–2401 no es un número real 4

2401 = 7

En resumen Sea a un número real y n un número natural mayor que 1. Si xn = a, decimos que x es la raíz enésima de a, que se escribe n a . n

a = x ↔ xn =a

Si a es un número positivo, se observa que: Si n es par: Si n es impar:

n

–a no es un número real.

n

a siempre es un número positivo.

n

a y n –a siempre son números reales. n –a = – n a

Razona

y comenta

§ ¿Cómo interpretarías la expresión 1 5? Justifica y discute tu afirmación con tus compañeros.

Unidad 1 • números

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33

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Práctica guiada

1. Escribe como potencias las siguientes expresiones.

4. Escribe para cada potencia una expresión

a) 10 • 10 • 10 • 10

equivalente con raíces. Guíate por el ejemplo. 24 = 16

b) 4 • 4 • 4 • 4 • 4

4

2 = 16 → 4 16 = 2

c) a • a • a • a • a • a • a • a

d) ax = b e) 4y = c

5. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo.

3= 5 x Paso 1

f)  – 5    3

4

Se determina la potencia equivalente. 3 = 5 x → 35 = x

Paso 2

b) 12 ¹ c) (–2)4

 4 h)  3   3

d) –46

i) (2,5)–1

3⁵ = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243

2

b) 6 = 3 x c) 4 = x –1

a) 3 ¹

i) (–0,2)

b) (4,2)–¹

j) (x + y)–a

c) 10–²

k)  c + 1  b 

d) 10–3

l) (3ac)–5

e) a–4b²

m) 3 3–8 n) (0,8)–¹0

g) –5–² h)  9   8 34

–3

f) 4 = x 5 3 g) = 4 x 2 h) 0,25 = x

a) 2 = 5 x

3   j)  1  e) (2²)³   2     3. Escribe las siguientes expresiones como potencias con exponentes naturales.

f) (ab)–6

Se calcula el valor de x.

–3

g)  6   7

5

g)  1  = 1  3 243 w h)  1  = a  z b

c) (–6)3 = –216

2. Calcula el valor de las siguientes potencias.

f)  2  = 8  3 27

b) 4² = 16

j) b+1 • b+1 • b+1 • b+1 • b+1 c –1 c –1 c –1 c –1 c –1 a) 53

3

a) 34 = 81

d) (b + 2) • (b + 2) e) 4 • 4 • 4 5 5 5 f) – 1 • – 1 • – 1 2 2 2 1 g) 625 h) 512 49 i) (2a + 3) • (2a + 3) • (2a + 3)

–4

–3

–4

3 ñ) –6 6 –2 o) –10–² • 4–¹

d) 3 = 3 x

i) 2,5 = 3 x

e) 1 = 3 x 2

j) 5 = 3 x 2

6. Calcula, cuando sea posible, el valor de las

siguientes raíces utilizando los valores dados. Justifica cuando no sea posible. Guíate por el ejemplo. 2²= 4

2³= 8

24= 16

25= 32

3²= 9

3³= 27

34= 81

35= 243

5²= 25

5³= 125

54= 625

55= 3125

3

Paso 1

–125

Si es necesario se determina una expresión equivalente 3

–125 = – 3 125

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 Se calcula el valor pedido – 3 125 = –5

a)

3

b)

3

–8

i)

c)

3

125

j)

d)

–9

k)

e)

4

l)

–27

h)

25 4

625

1 a 3a

16

c)

4

a

4

–16

2a 3 j) 6 – 4a 5 k) (a+1)(a–1)

–243

n)

5

–32

Aplica

d) e)

7. Calcula el valor de las siguientes expresiones. 4 + 3 27

i)

a+1 4

a –1

7

(a+2) a l) (a–2) 2 10. Desafío: realiza la siguiente actividad con tu calculadora. f)

6

a) Escoge un número positivo mayor que 1, y calcula una raíz de él a tu elección (por ejemplo, su raíz séptima.

256+ 81

c) 2 64 − 3 8 64 +3 3 8 – 5 7 1

b) Al resultado anterior, calcúlale su misma raíz enésima.

4 +4 4 625 1 f) 4 10000 – 3 1000 2 e)

c) Repite el paso anterior tantas veces como te permita la calculadora. ¿A qué resultado llegas? Explica por qué.

36 2 3 729 + 6 3 4 49+3 2401 h) 7 5 i) 32 (3 4 + 3 216 – 2 3 27 ) g)

d) Repite los pasos anteriores, con un número positivo menor que 1. ¿A qué resultado llegas? Compara con el caso anterior y explica.

8. Utiliza la calculadora para determinar una

aproximación redondeada a la milésima de las siguientes expresiones. Calcula además el error relativo cometido en la aproximación. a)

3

2

f) 8 5 –19

b)

4

5

g) 3 11– 2 5

c)

5

12

h) 7 3 0,2 – 4 8

d) 2 3 6

i) 4 5 21+6 13

e) 3 7 18

3

4

5

3

g) h)

g)

4

a a

m) 5 3125

d)

a) 3

–81

b)

cada caso el número real a para que la raíz pueda calcularse en los números reales.

b)

4

4

9. Determina qué condiciones debe cumplir en

–25

f)

a)

3

Practiquemos lo aprendido

Paso 2

2

11. Desafío: considera las siguientes raíces enésimas. 5 8 1024 27 a) Determina su valor con calculadora. 3

2

4

81

3

3

5

b) A partir del cálculo anterior, ¿cuáles son irracionales? ¿Cuáles son racionales? Justifica. c) Considera la afirmación “si la raíz enésima de un número entero no es entera, es irracional”. ¿Te parece que es cierta? Investiga al respecto y da un contraejemplo si es falsa, o una demostración si es verdadera.

Reflexiona § ¿Cómo interpretarías la expresión –3 n ? Discute con tus compañeros. Unidad 1 • números

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35

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Propósito: realizar operaciones con raíces.

Lección

6

Raíces y operaciones Sofía está realizando algunos cálculos que involucran raíces, y utilizará la calculadora para obtener su resultado final. Sin embargo, ha llegado a una expresión que le resulta difícil de manejar: 4 12 5 2 • 5 3 + 5 192 – 4 2 Para reducirla un poco deduce algunos resultados previos mediante los siguientes pasos: Paso 1

Plantea la siguiente relación: 5

5

/( )

2•5 3=x 5

( 5 2 • 5 3) = x5 5 5 ( 5 2 ) ( 5 3) = x5

Producto de potencias de igual exponente.

2 • 3 = x5

Por definición. 5

Por definición.

2•3 = x 5

6=x

5

6= 5 2•5 3

Por lo tanto, 5 2 • 5 3 = 5 6 . En general, se puede utilizar la propiedad de la multiplicación de raíces de igual índice: n

Paso 2

a • n b = n ab

Para el segundo término, observa que: 5

192 = 5 32 • 6

5

192 = 5 25 • 6

5

192 = 5 25 • 5 6

5

192 = 2 • 5 6

En general, se puede utilizar la propiedad de introducción y extracción de un término a una raíz: n

anb = a n b

Observa que este resultado puede utilizarse de dos maneras, tanto para introducir términos en una raíz como para sacarlos. Se busca una expresión equivalente. Se utiliza el producto de raíces de igual índice.

36

Para introducir un coeficiente a la raíz 3 4 5 = 4 34 • 4 5

Para sacar una potencia de la raíz 3 = 112

3

= 8 •14

3

23 •14

= 4 34 • 5

= 3 23 • 3 14

= 4 405

= 2 3 14

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 Paso 3

2

3

4

4 Analiza la expresiĂłn 12 4 2 4

12 4 2 â&#x20AC;˘ 6 = 4 4 2 2 =

4

4 4

=

246 2

= 6

4

12 2

En general, se puede utilizar la propiedad de la divisiĂłn de raĂ­ces de igual Ă­ndice: n n

Paso 4

a n a = b b

Remplaza y reduce la expresiĂłn 5

2 â&#x20AC;˘ 5 3 + 5 192 â&#x20AC;&#x201C;

4

12 2

4

5 6 + 25 6 â&#x20AC;&#x201C; 4 6 

35 6 â&#x20AC;&#x201C; 4 6 Los tĂŠrminos que contienen raĂ­ces con igual Ă­ndice y cantidad subradical pueden sumarse o restarse de la misma manera en que se hace con tĂŠrminos semejantes. Si no son iguales, no podemos reducir las expresiones entre sĂ­. Estos resultados nos permiten manejar expresiones mĂĄs pequeĂąas, que puedan ser determinadas mĂĄs cĂłmodamente en la calculadora. AsĂ­, utilizando la calculadora tenemos que: 3 5 6 â&#x20AC;&#x201C; 4 6 â&#x2030;&#x2C6; 2,7278 En general, aunque utilizamos la calculadora para obtener este tipo de resultados. Es conveniente que las expresiones sean lo mĂĄs breves posibles pues nos permitirĂĄ disminuir el riesgo de errores gracias a que podremos realizar menos operaciones.

Razona

y comenta

§ En la sección 1 se vio

que no siempre el producto de dos nĂşmeros irracionales da como resultado un nĂşmero irracional. Por ejemplo:

En resumen

2â&#x20AC;˘ 8 y

Es posible sumar o restar entre sĂ­ raĂ­ces enĂŠsimas si sus Ă­ndices y cantidades subradicales son iguales. Si

n

a y

n

b pertenece a los ď&#x201A;Ą, se verifican las siguientes propiedades: n

n

n

a â&#x20AC;˘ b = ab n

anb =a n b n n

a na = b b

§

8: 2

no son nĂşmeros irracionales. Demuestra ahora por quĂŠ. Determina en pocos pasos un procedimiento para ubicar en la recta las siguientes raĂ­ces cuadradas. Utiliza lo visto en la lecciĂłn.

45

75

98

Unidad 1 â&#x20AC;˘ nĂşmeros

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37

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Práctica guiada

1. Reduce los términos semejantes de las

4. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo.

siguientes expresiones.

3

a) wz + 5zw – 3y 1 b) a+3a – a 2 c) m² + 4m² – 9m²

a)

d) 3a² + b5 – a² + b e) 12m²y + 3xy – 12m²y – xy f) 0,2x²y – 0,3xy² + 0,5x²y + x²y – 0,4xy² 1 3xy 2 g) 15xy 2 – y 3 – +4y 3 – 5xy 6 2

8

–7 • 8

5• 6

f)

n

a•n b

c)

6

3 • 6 12 • 6 2

g)

4

a•4 a

d)

4

1 44 • 2 6

h)

b

a b b • 4• b b

= 24 3

–3 4

g) (5

)

4

b) 10² • 5²

h)  3  •  4   4  3

c) ab • cb • db

i)

  2 4    3    

4

–1

j) (b–²)–³

2 3 3 k) 5 • 4 • 5 42 b b b l) a (c +2 ) 2b 3. Resuelve en cada caso las siguientes operaciones. 5

a) 2 • 4 15 b) 16³ : 8³ • 3³ c) (3x³ + 2y³ – x²)³ : 4³ 8

d)  – 5  :  – 2   4   5

8

((2 • 4 ) : 5 ) 3

3 2

6

38

= 24 • 3

4

16 • 3 = 4 48 e) x 3 x

b) 4 2

f) 2n 5 3

c) a n b

g) 4 4 125 5

h) 32 5 3 d) 5 1 5 6. Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. Guíate por el ejemplo. 5

= 288

5

= 32 • 9

5

25 • 9 = 2 5 9

a)

5

96

f)

4

a7

b)

4

80

g)

5

b8

c)

3

108

h)

d)

5

224

i)

3

e)

4

240

j)

a

4 8 648 384 b 4a

7. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 7

12 7 12 = 5 5

7

3

3 3 g) 2(a b+4a b) ab

4

a) 2 4 4

e) (3⁴ • 5³)⁷ : (3² • 5)⁷ f)

1 7

Guíate por el ejemplo.

valor cuando sea posible.

5

60

5. Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz.

2. Reduce las siguientes expresiones, y calcula su

4 d) 6 34 6 e) –16 46 y f) x zy

3

= 5•12 e)

2 2 h) a b – 2ab2 +3a2b – 6ab 2 5

a) 2³ • 5³

3

6•3 4

3

b)

3 5 •= 12

a)

4

10 5

4

b)

6 3

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

d) e) f)

5

1024 5 4

g)

3

a 3 b

h)

n

xy

n

xy

4

b:4a

i) j)

5+ y

7

5+ y

4

c) 1,5 3 9 •

d) x – 3 = 3– 18 •7 2

3

e) 23 : 4 – z = 98 : 2 5

x+y 3

9

x

6:94 9 9

Aplica

f)

a) 19 – 2 2+1– 2 2

a) Calcula el volumen de un cubo cuya arista mide

d) 21– 3 5+7 – 7 5 3 e) 2, 4+3 3 7 – – 3 7 2 3 f) 2,5 5+3 11– 5+ 11 5 g) 835– 5 223+14 – 2 223 h) 8,3 51– 22 51+1,8 – 21 49 81– 2,1π+ 3 3+

6 π– 3 3 13

3 j) 1,3π – 3 11π – π – 33 11π 5

3 cm.

b) Calcula el área de un círculo cuyo radio mide π m. c) Calcula el perímetro de un triángulo, cuyos lados

b) 9,2 3+2 3+0, 6+2 2 2 c) 2,27+4 3 8+ + 3 8 7

x =4 3• 2

10. Resuelve los siguientes problemas. 5

8. Resuelve las siguientes operaciones.

i)

3

miden 75 m, 100 m y 125 m. d) Calcula el perímetro y el área de un rectángulo cuyo largo mide 3 24 m, y su ancho, 3 375 m. e) Calcula el volumen de un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 6 cm y 10 cm.

11. Calcula el valor numérico de cada expresión: a) 9 • 2 3 • 2 3 b) 5,3 50 : (2 2 ) 1 c) 2,9 • 9 3 27 • 21 3  d) 3 3 11 :  3 11 5  e)

81• 2,7 • 3 3 • 3 3

k)

1  125 – 3,8+ 3 7 –  – 3 7  2 

f) a •(–4a 24 ) : 24

l)

6+ 6+ 9

g) (2 8 – 4 8 ) : 2 2

m) 169 •

25 1 • 13 625

9. Aplica las propiedades de las raíces para resolver las siguientes ecuaciones. a) 21+x – 4 8 = 32 – 8

4

3 3 12 3+y = 4 – 14 5

12

23b2 12 8b

3

Practiquemos lo aprendido

c)

2

103 3 ( 4 : 3 4) 9 3 i) 1,3• 3a 25 – a – 33a 3 125 5 j) a 12 : (b 12 ) •b –12a+1 h) 11, 4 :

b) 3 3+ 5+y = 2 5 – 2 3

Reflexiona § Una calculadora o un computador pueden realizar cálculos con gran rapidez, sin necesidad de que los valores se ingresen “reducidos”. ¿Qué sentido puede tener saber hacer esto manualmente? Discute con tus compañeros.

Unidad 1 • números

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39

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Lección

7

Propósito: interpretar las raíces como potencias de exponente racional.

Debes saber… En las potencias, si a y b son números racionales distintos de cero, y m y n son enteros, se cumple que: an • am = an+m an : am = an–m (an)m = amn an • bn = (ab)n an : bn = (a : b)n a0 = 1 No existen propiedades para la multiplicación y división de potencias de distinta base o distinto exponente.

Potencias de exponente racional En años anteriores se definió que si n es un número natural, an, corresponde a una multiplicación de n factores, todos iguales a a. Con esta definición no es natural pensar que n pueda ser igual a –2, por ejemplo, pues correspondería a multiplicar “–2 factores” iguales a a. De la misma manera, tampoco resulta muy comprensible que el exponente pudiera ser igual a 1. Sin embargo, sí podemos hacer una interpretación de lo que 5 corresponde a una potencia de exponente entero o racional. Paso 1

Sabemos que, para dividir dos potencias de igual base, se mantienen las bases y se restan los exponentes. Por lo tanto: 35 = = 3–2 35–7 7 3

Si para realizar este cálculo desarrollamos las potencias, tendríamos que: 35 3• 3• 3• 3• 3 3•3•3•3•3 = = = 7 3• 3• 3• 3• 3• 3• 3 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3• 3 3 Por lo tanto, se puede interpretar que 3–2 = Paso 2

1 = 3• 3

1 32

1 1 . En general, a–n = n . 2 a 3

3

Sabemos también que (72 ) = 72•3 = 7 6 . En general, podemos utilizar la n

propiedad de potencia de potencia (am ) = am•n. 1

¿Cómo se puede interpretar 5 4 ? Podemos llamarlo x, y aplicar la propiedad anterior: 1

/(

54 = x

)4

4

 1 4 4 5  = x   1

•4

54 = x4 51 = x 4 4

/por definición

5=x 1

Por lo tanto, se puede interpretar que 5 4 = 4 5 . En general, podemos interpretar una potencia de exponente 1 (con n número natural mayor que 1) como la raíz enésima n de la base: 1

an = n a

40

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 2

Paso 3

Interpretaremos ahora el sentido de la expresión a 3, utilizando los resultados anteriores. Tenemos dos formas de hacerlo y son equivalentes entre sí. 2

1

a3 = a3

( )

=3a 2 = a decir, 3

2

Ayuda

= 3 a2

=POTENCIA(5;1/3)

2 3 1

2

4

= (a2 )3

2•

a3 = a 2

1

= a3

3

La interpretación de una raíz como potencia de exponente racional se puede calcular en la planilla de cálculo. Por ejemplo, para calcular 3 5, puedes utilizar el siguiente comando:

2

•2

2

m

m

n m 3 2 3 an n = a a . = a a . En general, = Es Estos resultados nos permiten reducir expresiones y demostrar otras propiedades, como se muestra:

Propiedad nr n

mr

Ejemplo

m

m

m

m

am • n bm = a n •b n = (ab) n = n ab n

m

m

am

a  a n = m =  = n n m b bn  b b n

8 6 = 3

r amr = a n= a n = n am

an

( mq+np nq )

p

m

q

am • ap = a n • a q = a n q mn

am p

a

m

=

an a

p q

( )

a = ( a) n

1

( mq–np nq )

=a 1 m

= ( a) n

1 1 •m

=

nq

=

m

5

m

nq

2•4

4

= 32•3

33

92 • 5 52 = 5 45 7

2

4

24

2 = 7 4 11 11 1 2 ( 7+12 ) 6 1 7 2 2 • 2 = 2 6 • 2 7 = 2 42 = 42 219

amq+np

5

amq–np

3

= ( a) mn = mn a 1

4

84

=

1

8

3 5

85 8

1 3

7

( 45 – 31 )

=8

(1215−5 )

=8

( ) = (10)

10 = (10 ) 5

1

1 3

1 15

= 15 87

= 15 10

Al interpretar las raíces como una potencia de exponente racional sí es posible realizar algunas operaciones que con exponentes enteros no habríamos podido realizar, ya que en este caso siempre será posible igualar los exponentes. Por ejemplo: 8

3

5

53 • 12 75 = 5 8 •7 12

Tenemos un producto de potencias con distinta base y exponente, que hasta el momento no habíamos podido operar. En este caso amplificaremos los exponentes para que tengan igual denominador, lo que nos permitirá luego igualarlos, como se muestra. 3

5

3•3

5•2

9 24

= 5 •7

10 24

1 24

= (59 ) • (710 )

Razona

y comenta

5 8 •7 12 = 5 8 • 3 •7 12 • 2

§ Hemos definido las 1 24

= 24 59 •710 En resumen Una raíz enésima puede relacionarse con una potencia de exponente racional, como se muestra: m m a n = n am = n a Al considerarla así, es posible aplicar las propiedades de la multiplicación y división de potencias.

raíces enésimas considerando solo números naturales para el índice, es decir: 3

5

4

8

7

21

9

17

§ ¿A qué raíces enésimas son equivalentes las siguientes expresiones? Justifica. – 21

5

7

– 31

2

– 41

8

– 51

Unidad 1 • números

U1_mat_2M_txt_OK.indd 41

41

02-01-14 15:51


Practiquemos lo aprendido

Repaso 1. Resuelve las siguientes multiplicaciones y

divisiones para expresar el resultado en una única potencia. 20 j) 10 1017 k) 10–¹ • 10⁴ • 10–5

a) 2⁵ • 2³ b) 5⁴ • 5³

–1

c) 55 : 5³

l)  5  •  5   6  6

d) 5³ • 5–6

m) x–³ • x–⁷

–6 e) a a4 f) ax • ay 2

g)  1  •  1   3  3 b

p)  8    5

–b

 8 :    5

5

f)  3  4   2

1 3 12

g) 3a

3 5

7

3

c) 4 4 7 4 d) (a+b) 3 a

d) 1 , amplificada por 4 2 7 e) , amplificada por 7 8 f) 3 , amplificada por 10 4

el resultado.

42

Guíate por el ejemplo.

b)

3. Resuelve las siguientes operaciones y reduce a) 5 + 10 – 20 7 2 7

e)  5 + 4  :  30 + 6      6 6  9 9

b) 2  1 + 5  3  4 2

f) 4 • 10 : 1 5 2 3

c) 12 : 6 4 2

g) 7 • 7 •  5 + 2  2 3  6 3  7 2  –  h)  6 7   4 3  +  12 6

 3  9 d)  2+  –  3+   4  6

4. Representa como raíz las siguientes potencias.

1

40

a) 8 , simplificada por 2 4 b) 25 , simplificada por 5 125 c) 49 , simplificada por 7 343

1 2

Práctica guiada

a) 32

110 10 i)  1  :  1  q) 2     5 2 2  1   2 2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones. 45

1–

1

o) 78 : 74

−c

1

1–

43 = 3 4

– ñ) m–n : m ¹

h)  a  •  a   b  b

1

j) 1–

3

n) (–58)⁸ • (–58)⁹

7

7 3 3+ – 6 6 i) 3 4– 4

h) (3– x) 2 3

i) (–2) 5 2

1

j) (–3) 3

e) –32

5. Representa como potencias las siguientes raíces. Guíate por el ejemplo.

1

5 = 52 a)

13

f)

5

a7

b)

4

3 2

g)

c)

3

a+b

h)

9

(–2)7

i)

4

3–4

j)

b

2a2

d) – 8 e)

 2   5

6

5

(3+5x)2

6. Representa las siguientes raíces como otra raíz

equivalente, con el menor índice posible. Guíate por el ejemplo. 6

a)

8

74

b) 6 129 c) d) e)

ab

8

4n

3 •5 2• 3

5

5= 5 = 5 2 = 2 55 15

f)

64

y16

g) 924 7 4

4bc

h)

20

2110 4 5

8

i)

20

2110 • 410

j)

4y

 1 52x •    2

x5 232n

2x

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 raíz. Guíate por el ejemplo. 4

5

a)

6 • 7 4

b) c) d) e)

23 •

4 4 3 3 = 23

4

g)

5

7 –3 • 5 3–3

5

1 42

6

h)

1 10 2 6

8

–10 • 7

el ejemplo.

4

4

a

a

b

6 • 9

a)

b

a a

c

a

i) – 5 3 • x 3

j)

b)

a)

b) c)

4

43

3

55

3

75

8

216

8

6

4 4

7

24 3 44

3

3

 2  4  1 4  1 =  =  = 4    4  2  2 d)

e)

a

xc

a

yc

–2

1

98

b 3a

f)

r

b

s3a

9. Expresa las siguientes multiplicaciones de raíces de igual base como una sola raíz. Guíate por el ejemplo. 3

2

5

6

4 • 4 =

2 43

6 • 45

=4

 10+18   15 

=

7

14

e)

b

c)

6

15

4

f)

95

( ) = (12)

12 = (12 )

(a+3)6

37

1 2

1 6

1 1 • 2 6

= (12 )12 = 12 12 1

21

e)

5 4

b)

7 6

32

f)

3

c)

3

a

g)

8 5

d)

10 7

5 9

h)

5

2x

27 3 4

10

a6 23 8

10

Aplica 12. Reduce las siguientes expresiones.

28

a)

3• 5 3 15

(

4

62 : 4 32

b)

3

6 • 4 65

f) – 6 0,23 • 3 –0,232

c)

a2 a–2

c)

a

b•b b

g) 2 9 c –1 • 5 4 c 6 9a • 3 62

9

4 3

18

h)

5

a)

b)

 4 9  4   •   5 5

(a+3)2

4

–63 • 4 –67

3

3

35

e)

d)

 3   4

5

7

1

55 • 6 53

5

 3   4

9

7

92

7

4

3 7 6–28 – = 3( 4 2 ) = 3( 8 ) = 8 3–22

d)

a)

4

3

7 2

el ejemplo.

458

3

=

11. Expresa como una única raíz. Guíate por

3

1

3

37

3

34

14 a

6 2

6 –2 7

44

2

3

=

5

(−5) • 5

raíz. Guíate por el ejemplo. 23

45

33

3

8. Expresa las siguientes divisiones como una sola 4

3

2 (1+x) • 5 62

5

c

8

2

7

 7 f) 21 87 • 21    8

4

10. Expresa como una sola raíz. Guíate por

= (2 • 3) 3 = 4 63

5

5 • 4

5

4 • 33

3

Practiquemos lo aprendido

7. Reduce las siguientes multiplicaciones a una sola

2

)

a4 d)

2 23 2

e)

(x+1) (x+1) (x+1)

f)

3 4

g)

3

h)

xy • 12

1 x

3 4 3 : 5 3–1

10

100 a 2 3 • 10 3

Reflexiona § Como viste en la lección, en ocasiones se definen operaciones que luego deben ser interpretadas nuevamente para darle sentido. ¿Conoces casos similares en otras disciplinas? Comenta con tus compañeros.

Unidad 1 • números

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43

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Lección

8

Propósito: racionalizar expresiones fraccionarias.

Debes saber… Toda fracción se puede amplificar por un número distinto de cero, obteniendo así una fracción equivalente.

Racionalización Se llama racionalizar una expresión fraccionaria a encontrar otra expresión equivalente a ella, pero que no contenga raíces en el denominador. Puedes verificar utilizando la calculadora que: 1 = 1 := 2 2

Por ejemplo: 3  6  3 • 6 18 = •  = 5  6  5 • 6 30

Consideremos el caso 4 . Necesitamos amplificarla por un número que, 5 multiplicado por 5 dé como resultado un número racional. Lo más sencillo es que sea precisamente 5, pues 5 • 5 = 5. Por lo tanto:

amplificando

Dato

¿Por qué escogimos 5 72 para amplificar? Comenzamos buscando una expresión del tipo 5 7 x . Así, 5

4 4  5 = • 5 5  5  =

Ayuda

4 5 5 5

Hemos obtenido así una expresión cuyo denominador es un número entero. En general: a b a = b b Caso 2

Consideremos el caso 4 . ¿Qué número multiplicado por 5 73 da como 5 3 7 resultado un número entero? Podemos observar que 5 73 • 5 = 72 5 = 75 7 , por lo que amplificaremos por 5 72 . 4 5

= =

=

73

5 2 • 7  5 3 7  5 72  4

4 5 72 5

73 5 72

4 5 72 7

En general, para m < n tenemos que: a n

44

5• 5 =5

4 5 = 5

7 3 • 5 7 x = 5 7 3+x

Lo más sencillo es hacer que 5 3+x 7 = 5 7=5 7. Por lo tanto, 3+x=5 x=5–3 x=2

2 2

Para determinar esta expresión buscaremos en cada caso el valor por el cual debemos amplificarla. Caso 1

Existen análisis matemáticos que requieren estudiar el denominador de una fracción, por lo que se necesita que esté expresado de la manera más simple posible. Por esto, se evitan las raíces inexactas en el denominador.

2: 2=

bm

=

a n bn–m b

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 3 3 y . 15 – 2 15+ 2 Ahora hay dos raíces cuadradas en el denominador. Para determinar el término por el cual amplificar utilizaremos el producto notable conocido como suma por diferencia: Caso 3

Consideremos ahora los casos

(

15+ 2 )( 15 – 2 ) = 15 – 2 2

2

3

4

Ayuda Suma por diferencia (x – y)(x + y) = x2 – y2

2

= 15 – 2 = 13 Por lo tanto, la primera fracción la amplificaremos por 15+ 2, y la segunda, por 15 – 2. Obtendremos así una diferencia de cuadrados que será un número entero. 3 3 = 15 – 2 15 – 2 = =

(

3

(

 +  •  15 2   15 + 2 

15+ 2

15 – 2

)(

)

15+ 2

 3 3 –  = •  15 2  15+ 2 15+ 2  15 – 2  =

)

3 15+3 2 2

15 – 2

=

2

(

3

(

15 – 2

15+ 2

)(

)

15 – 2

)

3 15 – 3 2 2

15 – 2

2

=

3 15+3 2 15 – 2

=

3 15 – 3 2 15 – 2

=

3 15+3 2 13

=

3 15 – 3 2 13

En general: a a b –a c = b–c b+ c a a b+a c = b–c b– c En ocasiones habrá que utilizar más de una vez estos procedimientos, o más de uno de ellos en cada caso, para racionalizar expresiones más complejas. En resumen

Razona

Dada una expresión que contiene una o más raíces inexactas (irracionales) en su denominador, se llama racionalizar al proceso de encontrar una expresión equivalente a ella que no contenga raíces en el denominador. Para ello se pueden emplear las siguientes equivalencias: a a b = b b a n

bm

=

a n bn–m b

a( b ± c ) a = b–c b± c

y comenta

§ ¿Qué procedimiento

se puede utilizar para racionalizar la siguiente expresión?

1 3 –1

§ Ubica en la recta nu-

mérica los siguientes números irracionales:

1 ; 3

1 1 1 ; ; 5 5 – 2 81 7

Unidad 1 • números

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45

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Practiquemos lo aprendido

4. Determina para cada expresión otra equivalente

Repaso 1. Resuelve los siguientes productos notables. a) (a + b)²

h) (x + 3)(x + 4)

b) (x – y)²

i) (a – 3)(a² + 9 + 3a)

c) (2 + a)²

j) (4 + x³)(16 + x6 – 4x³)

d) (xy – 4a³)²

k) (x + y + 2z)²

e) (5 + b)(5 – b)

l) (2a + b²)²

f) (3a + 5)(3a – 5)

m) (3a² + 4xy³)²

g) (4x – 1)(4x + 2)

n) (5x² + 3)(5x² – 3)

2. Reduce las siguientes expresiones. 2

a) (1– 2 )

sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo. 2 5

=

5

45

=

2 5 43 4

a) 2 3 4 b) – 12 3 2 7 c) 10 2 3 16 d) 2

5

f)

g) – h)

2

ab

3

=

(

ab 4  x – x 6  – 3 x 6 + x2   b a

)

2

=

6

b7 5 8 625 a2 3

125b 4

(

4 3 – 4 10 3+ 10

)(

3 – 10

)

4 3 – 4 10 2

3 – 10

2

4 3 – 4 10 3 –10 4 3 – 4 10 =– 7

Práctica guiada

=

3. Determina para cada expresión otra equivalente

sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo.

46

13

 3 – 10  4 4 = • 3+ 10 3+ 10  3 – 10 

d) (2 – 2 ) – (2 – 2 )(2+ 2 )

1 • 3 = 3 • 3

3 3 3

=

2 7 3 g) 5 13 h) x y

a) 1 6 b) 1 8 3 c) a

f) –

d) – 21 2

i)

6 x+y

j)

5 3z

e)

43 a

sin raíces en el denominador. Guíate por el ejemplo.

2

1 = 3

7

e)

5. Determina para cada expresión otra equivalente

c) ( x – 8 )( x – 8 )

1   e)  b 3 b – 3 a   a 

5

2 5 43

3

1  1  b)  5 –   5+     5 5

f)

42

 5 4 5–2  2 5 43 2 5 43 • = =  4 2  5 4 5–2  5 4 2 5 4 3 5 4 2 • 4 3

2

=

5 3 6

3 3

a) b) c) d) e)

1 2+ 8 9 5– 3 17 18 – 11

f)

32 21– 13

i) 1+ 2 1– 2

1 7– 6

2 2+ 2 g) – 3 4– 5 7 h) – 7+ 12

j)

15 2 4 +3 5

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1

4

 3 62 – 3 6 • 5+ 3 52  1 1 = •   3 6+ 3 5 3 6+ 3 5  3 62 – 3 6 • 5+ 3 52 

sin raíces en el denominador. Si es necesario aplica más de una vez los procesos vistos. 5

a)

f)

5+ 2 x

b)

4

g)

1 5 3

=

a

i)

4

4+ 3 e)

=

6 –4 6+4

h)

4– 3

d)

=

2 1 3 2

x+ 3 1 4 2+ 3

1 2+ 4 6

27a2

7. Racionaliza y luego evalúa la expresión obtenida para a =5, b=2 y c=6. a) c a

e)

a a –1

b) b b

f)

c a– b

c) c 3 a

g)

b b+ b

h)

a 2 c– b

4

1 a+b

8. Calcula a² + b² si a = 9. Calcula a² – b² si a =

6+ 3 5

)

3

62 +

(

62 – 3 6 • 5+ 3 52

3

6+ 3 5 • –

) (

3

)(

6•5 +

3

6+ 3 5

)

3

52

62 – 3 30+ 3 52

6 + 3 5• 62 – 3 62 • 5 – 3 6 • 52 + 3 52 • 6 +5 3

62 – 3 30+ 3 52 11

1 2+ 3 4 2 b) 3 5+ 3 8 3 c) 3 3 9+3 3 10

f)

1

i)

d)

3

2+ 3 12 2c e) 3 c–3b

g) h)

j)

1 6–33 5 3 2 5+ 3 4 1 3 3 3 – 5 4 2 3 6 –1 5b – c 3 a–3 b 3

13. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones.

5 1 yb= 2 3+ 6 2 3– 6 2 –4 yb= 2– 5 2+ 5

10. Calcula (a + b)² si a = 5

3

3

a)

j) 3x – xy 3 xy – y

1024b10

(

3

Practiquemos lo aprendido

Guíate por el ejemplo.

6. Determina para cada expresión otra equivalente

d)

3

12. Desafío: Racionaliza las siguientes expresiones.

Aplica

c)

2

3 2 – 3+ 5 7 b) 2 – 3+ 2 c) a – b 3 (a – b)2 a)

3 3 yb= 4 8 6

11. Calcula 4a² + 8ab + 4b² si a =

1 1 yb= 5– 3 5+ 3

Reflexiona § Investiga respecto a la utilidad de racionalizar una expresión. ¿Qué sentido puede haber tenido hacerlo hace doscientos años? ¿Qué sentido puede tener hacerlo ahora?

Unidad 1 • números

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Lección

9

Propósito: resolver problemas que involucran raíces.

Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

Debes saber… Para que una raíz de índice par esté definida, es necesario que su cantidad subradical no sea negativa.

Dato Una unidad astronómica (UA) corresponde a la distancia de la Tierra al Sol. Con ello, se puede medir la distancia de los demás planetas en unidades astronómicas.

Johannes Kepler (1571-1630) fue un astrónomo alemán que describió las relaciones entre las masas de los planetas, sus distancias y sus órbitas. La tercera ley de Kepler permite relacionar el período de traslación t de un planeta (medido en años terrestres) con su distancia d al Sol –medida en unidades astronómicas– por medio de la siguiente fórmula t = d3 El período de traslación t del planeta Marte es de 1,8809 años terrestres. ¿Cuál es su distancia al Sol? Para averiguarlo, resolvemos la siguiente ecuación:

Tierra

Venus

1, 8809 = d3 1, 88092 = d3

2

3,53778481= d3

Sol

3

0,72 UA 1 UA

3,53778481 = d d ≈ 1,52

Hemos resuelto una ecuación cuya incógnita se encontraba en la cantidad subradical de una raíz. A este tipo de ecuaciones se les llama ecuaciones radicales. Como regla general, para resolverlas aislamos una raíz a uno de los lados de la ecuación y elevamos a la potencia adecuada para eliminarla. Es preciso además comprobar que la solución obtenida no sea contradictoria con las restricciones de la raíz. Observa en los siguientes casos. Caso 1

Se deja una raíz a cada lado, y se eleva al cuadrado.

Considera las ecuaciones 2x+8 – 3x – 6 = 0 y 2x – 8 – 3x+6 = 0

2x+8 – 3x – 6 = 0 2x+8 = 3x – 6

2x – 8 – 3x+6 = 0 2

/( )

2x – 8 = 3x+6

2

/( )

2x+8 = 3x – 6 x = 14

2x – 8 = 3x+6 x = –14

Al remplazar en la ecuación se obtiene:

Al remplazar en la ecuación se obtiene:

2 •14+8 – 3•14 – 6 = 0

2 • –14 – 8 – 3• –14+6 = 0

28+8 – 42 – 6 = 0

–28 – 8 – –42+6 = 0

36 – 36 = 0 6–6= 0

–36 – –36 = 0

Podemos observar que en la primera ecuación, al remplazar el valor obtenido se confirma que es correcto porque la igualdad se satisface. En la segunda, el valor obtenido genera raíces cuadradas de números negativos, lo que no es válido en los números reales. Por lo tanto, en la primera ecuación la solución es x =14, mientras que la segunda no tiene solución.

48

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 Caso 2

2

3

4

Considera la ecuación x+11+ 4x+9 – 9x+34 = 0

En este caso es preciso aislar una de las raíces y será necesario elevar al cuadrado dos veces, como se muestra: x+11+ 4x+9 – 9x+34 = 0 2

/( )

x+11+ 4x+9 = 9x+34 x+11+2 ( x+11)( 4x+9)+4x+9 = 9x+34 2 4x 2 +53x+99 = 4x+14

Se reducen términos semejantes

/:2 2

/( )

4x 2 +53x+99 = 2x+7 2

Se aísla una de las raíces y se eleva al cuadrado.

Se eleva al cuadrado nuevamente

2

4x +53x+99 = 4x +28x+49 25x = –50 x = –2 Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: –2+11+ 4 • –2+9 – 9 • –2+34 = 0 9+ 1– 16 = 0 3+1– 4 = 0 No se verifican restricciones, por lo que la solución es válida. 98 – 2x 2 . x+7 Podemos multiplicar la ecuación a ambos lados por x+7 y resolvemos

Caso 3

Considera la ecuación 5– 2x =

5 – 2x =

98 – 2x 2 x+7

/ • x+7

5 – 2x x+7 = 98 – 2x 2

(5 – 2x)( x+7) = 98 – 2x

Se aplica la propiedad del producto de raíces.

2

–9x – 2x 2 +35 = 98 – 2x 2

2

/( )

–9x – 2x 2 +35 = 98 – 2x 2 –9x = 63 x = –7

Razona

Al remplazar la solución en la ecuación se tiene que: 2

5 – 2 • –7 =

98 – 2(–7) –7+7

→ 19 =

y comenta

0 0

Observa que este valor hace que el denominador de la fracción sea igual a cero, esto no debe ocurrir. Por lo tanto, la ecuación no tiene solución. En resumen Una ecuación radical es aquella cuya incógnita se encuentra en una cantidad subradical. Para resolverla es necesario utilizar las propiedades de las raíces y considerar sus restricciones.

§ ¿Sabemos que por definición la raíz cuadrada de x es el valor positivo que, multiplicado por sí mismo, da como resultado x. ¿Por qué la ecuación

2x+5+ 3x – 8 = 0 no tiene solución? Justifica.

Unidad 1 • números

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49

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Practiquemos lo aprendido

Al remplazar en la ecuación se obtiene

Repaso

0+ 4 + 49 • 0+9 = 64 • 0+25

1. Desarrolla las siguientes potencias. a) (a + b)2

e) (2a + 5)2

b) (x + y)3

f) (4c – 3)3

c) (2 – y)2

g) (p2 + q3)2

d) (p – 3)3

h) (2ap3 – 5q)2

4 + 9 = 25 2+3 = 5 No hay restricciones, por lo que la solución es válida.

2. Determina en cada caso qué condición debe

cumplir a para que sea posible calcular la raíz.

a)

x – 3 = 4x – 3 – x + 6

b)

x +16 + 4x +52 = 9x +124

c)

x +9 + 16x +84 = 25x +141

a)

a

d)

4

a–3

d)

x + 6 = 16x + 48 – 9x +22

b)

a+5

e)

6

3a – 8

e)

5x +35 = 20x +181– 5x +56

c)

a–8

f)

10

5a3

f)

x +1+ 25x +329 = 36x + 484

Práctica guiada

g)

2x – 25 = 32x – 263 – 18x – 200

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por

h)

3x – 23 = 27x – 251– 12x –120

i)

4x – 3 + 9x – 27 = 25x – 66

j)

x +5 + 64x – 255 = 81x – 308

el ejemplo.

x+6 – 2x – 6 = 0 2 x+6 = 2x – 6 /( ) x+6 = 2x – 6 x = 12 Al remplazar en la ecuación se obtiene:

5. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por el ejemplo.

7 – 3x 2 x –1 2 – 3x x –1 = 7 – 3x 2 2 – 3x =

12+6 − 2 •12–6 = 0 18 – 18 = 0 0=0 No hay restricciones, por lo que la solución es válida. a)

2x+2 – 3x+1 = 0

e)

1 3 x+3 – x–5 =0 2 2

b)

x –10 – 5x – 6 = 0

f)

x 2 – 25 + x 2 +5x = 0

c)

4x – 5+ x+12 = 0

g)

3x+9 – 63 = 0

d)

x+4 – 6x – 6 = 0

h)

x+5 + x+3 = 2

el ejemplo

x + 4 + 49x +9 = 64x +25

Al remplazar en la ecuación se obtiene: 9 = 5

2 ( x + 4)( 49x +9) = 14x +12

 9 7 – 3•    5

27 2– = 5

7 – 3•

50

17 = 5

81 25

4 5

2 ( x + 4)( 49x +9) = 7x + 6 / ( )

49x 2 +205x +36 = 49x 2 + 84x +36 205x = 84x 121x = 0 x=0

2

9 –1 5

2

/( )

x + 4 +2 ( x + 4)( 49x +9) + 49x +9 = 64x +25

/( )

–3x 2 +5x – 2 = 7 – 3x 2 5x = 9 9 x= 5

2 – 3•

4. Resuelve las siguientes ecuaciones. Guíate por

2

(2 – 3x)( x –1) = 7 – 3x 2

7–

243 25 4 5

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

a)

7 – 3x =

b)

2+ 4x =

c)

2+5x =

d)

9x +1 =

1– 6x 2 2x –1 7+12x 2 3x –1 7+10x 2

e)

8x +1 =

f)

6x +3 =

g)

2x –1

x–2 =

8x 2 x +5 3+ 6x 2 x +3 10+2x 2 2x

2x +3

Aplica 6. Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones y verifica su validez. a)

3

x +5 = 3

b)

16x 2 + x – 3 = 2 x

c)

x +3 – x – 7 = 4 4x –1

Resuelve los siguientes problemas

7. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma una unidad, se obtiene el número 3. ¿Cuál es el resultado de calcular la raíz cúbica del doble del número?

8. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado cuya área es 4 16cm2?

9. ¿Cuál es la longitud de una arista de un cubo cuyo volumen es de 8 64cm3?

4

a) ¿Cuántos segundos demora en caer un objeto si se lo suelta desde una altura de 100 m? b) Josefa deja caer una piedra desde un puente y activa un cronómetro para medir cuándo demora en llegar al suelo. Si el tiempo registrado es de 2,15 segundos, ¿cuál es la altura del puente?

13. Conexiones: Si un capital C se deposita en un

banco a una tasa de interés del i% anual durante t años, se obtendrán i   C t = C  1+  100 

7+18x 2

3

t

a) Una persona depositó $120 000 en un banco a una cierta tasa de interés, y luego de 7 años obtuvo $147 585. ¿Cuál era la tasa de interés? b) Sergio invirtió un dinero en un banco con cierto interés, durante 10 años. Andrea invirtió el mismo dinero también durante 10 años, pero obtuvo el doble que Sergio. ¿Qué relación hay entre las tasas de interés de Sergio y de Andrea? Explica.

14. Conexiones: En física, la aceleración de gravedad puede calcularse con la ayuda de un péndulo. En el movimiento de un péndulo se verifican las siguientes relaciones: f=

1 T

T = 2π

L g

Donde f es la frecuencia del péndulo (en Hz), L es su longitud (en metros) y g es la aceleración de gravedad, en m/s2.

11. ¿Cuál es el radio r de un cilindro de altura h igual

a) Calcula la aceleración de gravedad de un lugar en el cual un péndulo cuya longitud es 0,4 m oscila con una frecuencia de 0,83 Hz. (Considera π = 3)

12. Conexiones: se puede calcular el tiempo t (en

b) En un lugar, la aceleración de gravedad es igual a 10. ¿Cuál es la longitud del péndulo, si oscila con una frecuencia de 0,53 Hz.

10. Los lados de un rectángulo miden 3 3 y 4 3. ¿Cuánto mide su diagonal?

a 16 cm y volumen (V) de 64 cm3? (el volumen del cilindro está dado por V = πr 2 •h)

Practiquemos lo aprendido

Hay raíces con cantidad subradical negativa, por lo que la solución no es válida.

2

segundos) que tarda un objeto en caer al suelo si se lo suelta desde una altura h, mediante la fórmula t=

h 5

Reflexiona § Discute con tus compañeros los resultados obtenidos en la pregunta 13. ¿Es consciente, la mayoría de la gente, de los efectos de un leve aumento en una tasa de interés? ¿Cómo eso puede afectar y producir un sobreendeudamiento de las personas? Unidad 1 • números

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51

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. ¿Qué valor se obtiene al simplificar la siguiente expresión? x 5 x 4 6 x2 Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere obtener una vez resuelto el problema? Una expresión equivalente a la dada, más simple. Esto quiere decir que debe tener menos raíces. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Para simplificar esta expresión se procederá desde adentro hacia afuera, es decir, nos fijaremos primero en las raíces más interiores, con las que realizaremos las operaciones necesarias (introducir términos a una raíz o simplificar exponentes e índices) para luego continuar cada vez con raíces más exteriores. Paso 3 Resuelve el problema Aplica la estrategia. 5 En la expresión x x 4 6 x 2 la raíz más interior es 6 x 2 . En ella podemos simplificar el exponente de la cantidad subradical, es decir: 6

x2 = 3 x

5 Por lo tanto, x x 4 6 x 2 = x 5 x 4 3 x

En la expresión x 5 x 4 3 x , podemos proceder ahora a operar la raíz 5 x 4 3 x •

Introducimos el término x4 a la raíz 3 x → x 4 3 x = 3 x12 3 x = 3 x13 → 5 x 4 3 x = 5 3 x13

Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión 5 3 x13 → 5 3 x13 = 15 x13

Por lo tanto, 5 x 4 3 x = 15 x13 y con ello, x 5 x 4 6 x 2 = x15 x13 En la expresión x15 x13 : •

Introducimos el término x a la raíz x15 x13 →

15

15

x 28

Aplicamos la propiedad de raíz de raíz en la expresión

x 28 →

15

Simplificamos el exponente y el índice de la expresión 30 x 28 → 30 x 28 = 15 x14

x13 • x15 = 15

x 28 = 30 x 28

Por lo tanto, se tiene que x 5 x 4 6 x 2 = 15 x14 Paso 4 Revisa la solución Puedes verificar el resultado obtenido dando distintos valores a x y calculando ambas expresiones con calculadora, para verificar que se obtiene el mismo resultado y por ende ambas expresiones son equivalentes. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 54. 52

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

2

3

4

Aprende la forma correcta

Macarena desea calcular el valor de la siguiente expresión, para a = 3 4

1– a • 4 2 – a

Para hacerlo aplica propiedades de las raíces 4

1– a • 4 2 – a = 4 (1– a)(2 – a) = 4 2 – 3a+ a2

Finalmente, remplaza a = 3 en esta expresión 4

2 – 3• 3+32 = 4 2 – 9+9 =42

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Macarena? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con raíces?

Analiza la situación

Las propiedades de las raíces solo pueden aplicarse cuando son números reales. En este caso, si a = 3, se tiene que 4

1–3 • 4 2–3 = 4 −2 • 4 –1

Tenemos raíces de índice par de números negativos, lo que no está definido en los números reales. Por lo tanto, no se pueden aplicar propiedades ni calcular el valor pedido.

Aprende la forma correcta

Rubén debe resolver la siguiente ecuación radical. 3

Rubén no consideró la definición de raíz cuadrada, que corresponde a un valor positivo. Por lo tanto, al llegar a

2 x +1 = –1

Para hacerlo realiza lo siguiente: 3

(

3

3

/( )

2 x +1 = –1

)

3

2 x+1 = –1

3

2 x +1 = (–1)

2

/( )

2 x +1 = –1

(2

2

x +1) = (–1) 4x + 4 = 1 4x = –3 –3 x= 4

2

se puede concluir que la ecuación no tiene solución, ya que la raíz cuadrada tendría que ser un número negativo.

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Rubén? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones radicales?

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

Unidad 1 • números

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53

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Integrando lo aprendido 7 Resuelve los siguientes problemas.

Lección 5: Raíz enésima 1 Expresa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. a. 27 = 128

d.

b. (–9)3 = –729

e.

a. Calcula el perímetro del siguiente triángulo rectángulo

64 = 8 3

17 + 1

3

–125 = –5

3

 1 c.   = 0,001  10 

32 2 = 3125 5 2 Calcula el valor de las siguientes raíces. f.

5

a.

3

125

d.

4

81

b.

5

–32

e.

5

1

Lección 7: Potencias de exponente racional

c.

7

–1

f.

2

81

8 Expresa, en cada caso, las raíces como potencias y las potencias como raíces.

Evaluación

3 Determina en cada caso las restricciones de a para que las siguientes raíces sean números reales. a.

2

b. c.

a–5

d.

6

4

3a – 9

e.

4

a – 51

5

19a

f.

8

a2

12a

2

a. b.

a.

4 Calcula las siguientes multiplicaciones y divisiones.

b.

a.

5

12 • 5 7

d.

7

14 : 7 49

b.

3

5p • 3 10p

e.

3

36 : 3 8

c.

4

16 • 4 1024

f.

9

1000 : 9 250

5

64 = 2 5 2

a. 3 2 = 18

d.

b. 7 3 = 21

48 4 = 27 3 f. 3 1 = 1 3 1 100 10 10

c. 2 3 5 = 30

e.

6 Calcula las siguientes expresiones. Expresa el resultado de la manera más reducida posible. a. 4 75 – 2 25• 3 – 2 100 • 3 – 3 3 b. –5 32 – 4 18 c. 2 3 – 7 27 – 3 12 d.

3

21• 3 5 3 3 210

c.

21 3

34

d.

5

e. 7 9

25

1 3 5

f.

5 22 3

9 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.

Lección 6: Raíces y operaciones

5 Juzga si las siguientes equivalencias son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

54

b. Un paralelepípedo tiene aristas de medida 8 m, 4 3 m y x m. Su volumen es el mismo que el de un cubo cuya arista mide 2 4 3 m. ¿Cuál es el valor de x?

3 4

12

c.

6

52

31

d.

12

27

10 Calcula el valor de las siguientes expresiones. a. b. c.

4

b• b 8 b

(

3

x • 3 x2

3

x:

3

n–1 •n12 n–2

d.

4

p−3 : p p4

)

5 4 e. k : k k2 : k5

f.

a • 4 b3 4 b•8 a

4

11 Calcula el valor de las siguientes expresiones. 4 a. 3 5+ 25 75 : 3

b.

3

13 ( 5 13+ 2 52 )

Lección 8: Racionalización 12 Aplica las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones. a. b.

3 15 4 20

2 28 4 d. 3 7 c.

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1 e. f.

2 27

h.

13 13+ 10

d.

11 121 9 7– 5

i.

6 +1 6− 2

e.

1+ x

f.

1+16x

5 4 4

g.

13 Aplica sucesivamente las propiedades para racionalizar las siguientes expresiones. 3

a.

2 –1 b. c.

7 3

4– 2 1

5

2 1

d.

x –1+ x x –1– x

e.

x+y – x

f. g.

x – y+ x 4

3 3 –3

2 –1–1

Lección 9: Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

a.

x +7 + 4x +16 = 9x + 43

b.

5x +19 = 20x +1– 5x –14

c.

x +7 + 16x +52 = 25x +91

h.

3

4

5– 6x 2 = 1+3x 1– 2x 1– x

=

3+ x 3

3– x 8–x =4

x +3 = 5 3+ x =5

15 Plantea y resuelve los siguientes problemas. a. Paola desea depositar un dinero en el banco con interés compuesto anual, durante 10 años. ¿Cuál debe ser la tasa de interés, si le interesa triplicar el dinero invertido? Recuerda que, para el interés compuesto, t i   C t = C  1+  100  b. La tercera ley de Kepler relaciona el período de traslación t de un planeta (en años terrestres) con su distancia d al Sol —medida en unidades astronómicas (ua)—, mediante la fórmula t = d3 ¿Cuál es el período de traslación de un planeta cuya distancia al Sol es de 10 ua?

Evaluación

14 Resuelve las siguientes ecuaciones.

g.

2

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Definir raíces y calcularlas aplicando su definición

2 respuestas correctas

32 y 33

Realizar operaciones con raíces

3 respuestas correctas

36 y 37

Interpretar las raíces como potencias de exponente racional y deducir propiedades de ellas

3 respuestas correctas

40 y 41

Racionalizar expresiones fraccionarias

2 respuestas correctas

44 y 45

Resolver problemas que involucran raíces

2 respuestas correctas

48 y 49

Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?

Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?

¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

Unidad 1 • números

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Sección 3

Logaritmos ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

A identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Lección 10

A deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Lección 11

A resolver problemas aplicando logaritmos.

Lección 12

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Escala Ü Potencia

Es importante porque te permitirá…

calcular y resolver problemas en distintos ámbitos.

De esto se trata… Si decimos que el Sol tiene un diámetro de casi 1 400 000 kilómetros, es muy difícil hacernos una idea de lo que es eso. Cuando es necesario explicar tamaños y distancias es frecuente recurrir a comparaciones como la siguiente: Si el Sol fuera una bola de 1 metro de diámetro:

Ü Base

• Mercurio mediría unos 3,5 mm (un grano de arroz), y se ubicaría a 42 metros de él (casi media cuadra). • Venus y la Tierra medirían 8,7 mm y 9,2 mm (un poroto), ubicados a 77 metros y 107 metros, respectivamente (una cancha de fútbol suele tener 105 metros de largo). • Marte mediría unos 5 mm (una arveja), a 163 metros. • Júpiter y Saturno medirían 10,2 cm y 8,7 cm respectivamente (una naranja grande y una manzana mediana). Júpiter estaría a 558 metros, y Saturno aproximadamente a un kilómetro. • Urano y Neptuno medirían 3,7 cm y 3,6 cm respectivamente (una ciruela pequeña), ubicados respectivamente a 2062 kilómetros (la distancia entre Arica y Santiago, aproximadamente) y 3230 kilómetros (la distancia entre Calama y Puerto Aysén).

Actividad

Ü Exponente

Actividad grupal

Aunque queramos hacer estas comparaciones, rápidamente nos vemos trabajando nuevamente con números grandes. Para abordar este problema es preciso relacionar los números de otras formas, es decir, utilizando escalas distintas que permitan reflejar grandes aumentos en la realidad en aumentos numéricos más pequeños.

En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.

➋ ➌ ➍

¿Qué distancias son capaces de estimar? Estimen, sin averiguar, la distancia entre Chile y Japón, la distancia de la Tierra a la Luna, etc. ¿Qué tamaño tiene un microbio? ¿Cuál es el grosor de un cabello humano? Estimen y comparen. Averigüen las medidas anteriores y compárenlas con su estimación. ¿Cómo fueron sus resultados? Observen la animación de la página http://goo.gl/57sIa, que muestra el universo con distintas escalas.

Propósito: que comprendas el concepto de logaritmo, sus propiedades y aplicaciones en distintos ámbitos. 56

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades.

c. El resultado de cualquier potencia siempre es distinto de cero.

Relacionar raíces y potencias

1 Representa en cada caso las potencias como raíces y las raíces como potencias. i.

3

216 = 6

b. 54 = 625

j.

17

–1 = –1

c. (–2)5 = –32 2 d.  1  = 1  3 9 4 3 81 e.   =  4 256

k.

6

a. 7² = 49

f.  5   2

–3

=

8 125

ñ.

5

h. (3x²y)² = 9x4y²

o.

3

Calcular raíces y potencias aplicando propiedades

4 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

64 = 2 l. 3 1 = 1 343 7 m. 5 243 = 3 32 768 8 n. 100 = 10 9 3

g. (ab³)² = a²b6

d. Todo número elevado a 0 es igual a cero.

a10b5 = a2b 64a6b9 = 4a2b3

a. Un número elevado a su quinta potencia es igual a 32. ¿Cuál es el número?

i. 2

3

125

c. (–2)6

4 25 3 k. –27

d. (–3)5

l.

e. 6–²

m. 5 1 32

b.  3   2

j.

f. (–7)–³

4

n.

10000

0,01

–2

ñ. 3 27p3 x12 g.  4   5 –4 m8 o. 4 16 16 h.  – 6  n  7 5 Aplica las propiedades de potencias para reducir las siguientes expresiones.

b. –8 se eleva al cubo. ¿Cuál es el resultado?

a. 2p • 2q

e. 2a • 3a

c. Luego de multiplicar 6 veces un número por sí mismo se obtuvo –729. ¿Cuál es el número?

b. (-3)q • (-3)q

f. 7–x : 4–x

c. 5²x • (–5)²x

g. (3a²b5) ³ : (ab) ³

d. ¿Cuál es el valor de la tercera potencia de 5 dividido por 2? e. 256 corresponde a la tercera potencia de un 125 número. ¿Cuál es ese número?

d. a–² • a–²

h. (6a4)² : (3a²)²

3 Juzga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso. a. El resultado de una potencia puede ser un número negativo. b. Toda potencia de base 1 es igual a 1.

Actividad

2 Plantea una ecuación que represente cada situación y resuelve.

a. 54

6 Aplica las propiedades de raíces para reducir las siguientes expresiones. a.

3

a•3 b

g.

b.

3

x 2 • 3 2x

h.

c.

7

3g : 7 6g4

i.

6

x5 : 4 y3

d.

3

–9p2q2 : 3 pq

j.

6

4n10 x7

e.

6

q4

k.

3

p2q5r7

f.

5

a2 • 3 a2

3

2p • 2p m•4 n

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Relacionar raíces y potencias Calcular raíces y potencias aplicando propiedades

No

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web… http://goo.gl/fPsfJK

/

http://goo.gl/ptXyJ

http://goo.gl/sTJzbq

/

http://goo.gl/nzrf7E

Unidad 1 • números

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57

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Lección

10

Propósito: identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias.

Debes saber…

Logaritmos

Si a es un número real positivo y n es un número natural, se pueden distinguir dos casos:

Considera la siguiente relación:

Si n es par: (–a)n = an

Podemos observar que:

Si n es impar: (–a)n = –an Además,

a0 = 1

47 = 16 384

• 16 384 es la séptima potencia de 4, es decir, el resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí mismo. • 4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí mismo, da como resultado 16 384. Es decir, 4 es la raíz séptima de 16 384. • 7 es el número al cual debemos elevar 4 para obtener 16 384. Decimos que 7 es el logaritmo de 16 384 en base 4. En general, dada la relación ab = c

Ayuda En la expresión logac=b a se llama base del logaritmo. c se llama argumento del logaritmo.

decimos que b es el logaritmo de c en base a, y lo escribimos loga c = b. Corresponde al exponente de la potencia de base a cuyo resultado es c. Es decir, b = loga c ↔ ab = c ¿Cuándo es posible determinar un logaritmo, y qué propiedades tiene? Lo analizaremos mediante los siguientes pasos. Paso 1

Observa los siguientes resultados: 05 = 0

0–2 no está definido

012 = 0

1³ = 1

1–4 = 1

10 = 1

Podemos observar que una potencia de base 0 puede ser igual a cero o no estar definida. Por otra parte, si la base de una potencia es igual a uno su resultado siempre será igual a uno. Para evitar estos problemas, se exigirá en el estudio de logaritmos que la base de este siempre sea distinta de 0 y de 1. Paso 2

En la sección anterior vimos que 5 4

1

–1024 = (–1024)5 = –5 1

–16 = (–16)4 no está definida. 6

1

64 = (64)6 = 2 1

16 = (16)2 = 4 En general, para que una potencia siempre esté bien definida es necesario que su base no sea negativa. Por lo tanto, complementando la condición vista en el paso anterior, se exige que la base a del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1.

58

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 Paso 3

50 = 1 2 5

5 = 5 25

5–2 = 1 25

–2 3

5 =3

Por lo tanto, se exige que el argumento de un logaritmo sea positivo.

Paso 5

4

Se llama logaritmo natural (ln) al logaritmo cuya base es el número irracional e. e =2,71828…

1 25

Podemos observar que ninguno de los resultados es negativo ni cero, ya que hemos considerado una base positiva. En general, si la base de una potencia es positiva necesariamente su resultado será positivo, por lo que no tiene sentido preguntarse por el logaritmo de un número negativo.

Paso 4

3

Dato

Observa los siguientes resultados: 53 = 125

2

Las definiciones y restricciones anteriores además nos permiten establecer que: Logaritmo de la base

Logaritmo de la unidad

Logaritmo de una potencia de la base

loga a = 1

loga1 = 0

loga an = n

Para que el cálculo de logaritmos tenga utilidad es necesario ponerse de acuerdo respecto a la base que se utilizará, es decir, que los logaritmos se calculen siempre en la misma base (en una misma situación o problema). En general, consideraremos la base 10 que define los logaritmos comunes o vulgares, para los cuales simplemente se omite su base, es decir, log10 c = logc

Este número se presenta en muchos contextos, y es considerado uno de los más importantes de las matemáticas.

Dato El estudio de los logaritmos se debe al matemático escocés John Napier (escrito también como Neper) que se dedicó a ellos buscando estrategias para simplificar los cálculos que involucraban números muy grandes, necesarios fundamentalmente para la navegación y la astronomía. Gracias a su obra muchos cálculos se hicieron mucho más sencillos, dando un gran impulso al desarrollo de las ciencias.

Algunos ejemplos de cálculo: log 1 0,125 = x 2 x

 1   = 0,125 2 x

 1  1   =   2 2 x=3

3

logx x2 =

1 9

1 =2 9 /

1 9 1 x= 3

x=

John Napier (1550-1617)

Razona

y comenta

§ Explica con tus En resumen Dado un número real positivo a ≠ 1, y un número real c > 0, se llama logaritmo en base a de c al número al que se debe elevar a para obtener c. Es decir: logac =b ↔ ab =c

palabras qué es un logaritmo.

§ Dada la relación: n

p =q

Escribe un logaritmo que relacione n, p y q.

Unidad 1 • números

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Práctica guiada

1. Calcula en cada caso el valor de x.

4. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.

a) 3x = 27

j) (–3,1)³ = x

b) 5 = 625

k)  1  = x  5

c) (–2)x = –32

l)  7   2

d) (–9)x = –729 1 x e) (–3) = 9 f) (–0,5)x = 4

m) x² = 36

g) 8² = x

o) x4 = 0,0001

h) 1,1² = x

p) x–² = 0,25

i) (–6)6 = x

q) x–5 = 243

x

–3

=x

n) x³ = -1000

3

125 = x

j)

b)

5

1024 = x

k)

7

c)

2

0,25 = x

l)

5

16 =x 81 e) 3 – 1 = x 216 f) 5 – 1 = x 32 6 g) x = 1 h)

x = 100

1 3 x = –1

x=

x = –2

m) x 25 = 5 n)

x

343 = 7

ñ)

x

81 = 3

o)

x

1331 11 = 8 2

p)

x

–0,00001 = –0,1

1 q) x –10, 648 = –2,2 2 3. Determina en cada caso si es posible calcular el valor de x. Cuando no lo sea, justifica. i)

60

3

x=

1 125 1 m) 2–5 = 32 1 n) 4 –1 = 4 1 –5 ñ) 8 = 32768 1 o) 4 –3 = 64 1 p) 8 –3 = 512 l) 5–3 =

a) 34 = 81 b) 2³ = 8 c) 7¹ = 7

ñ) x5 = 32

a)

4

6³ = 216 6³ = 216 → log6 216 = 3

4

2. Calcula en cada caso el valor de x.

d)

Guíate por el ejemplo.

d) 46 = 4096 e) 76 = 117 649 f) 9³ = 729

5

g) 65 = 7776

q)  5  = 3125  6 7776

h) 10³ = 1000

r)  8  = 32 768  7  16 807

i) 8³ = 512

s)  10  = 10 000  3 81

j) 74 = 2401

t)  9   4

5

4

–5

=

1024 59 049

–4

1 u)  5  = 256  4 625 64 5. Expresa como potencia los siguientes logaritmos. Guíate por el ejemplo. log5 78 125 = 7 k) 2–6 =

log5 78 125 = 7 → 57 = 78 125 a) log2 32 = 5

g) log3 1= 0

b) log8 512 = 3

h) log9

c) log9 6561= 4

i)

a) 2x = –8

e)

x

–27 = 3

b) 06 = 5x

f)

x

20 = 0

c) (–2)4 = x

g)

3

–1000 = x

d) log10 10000000 = 7

j)

d) (–3)x = –27

h)

x

16 = –2

e) log9 531441= 6

k)

f) log7 117 649 = 6

l)

1 = –2 81 1 log2 = –5 32 1 log7 = –3 343 1 log5 = –3 125 1 log6 = –2 36

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 1024 = –5 59 049 4 5 q) log13 = –1 13 5 4 r) log 7 = 0 4 16 p) log 9

3

7. Calcula el valor de x en cada caso, para que se cumplan las siguientes igualdades. a) logx 27 = 3

m) log729 3 = x

b) logx 625 = 4

n) log125 5 = x

c) logx 49 = 2

ñ) log16807 7 = x

d) logx 729 = 6

o) log4 2 = x

Aplica

e) logx 16 807 = 5

p) log15625 5 = x

Considera el valor de las siguientes potencias.

f) logx 8 = 3

q) log 1 2 = x

g) log2 x = 4

r) log 1 2 = x

2² = 4 2³ = 8 24 = 16 25 = 32 26 = 64

3² = 9 3³ = 27 34 = 81 35 = 243 36 = 729

5² = 25 5³ = 125 54 = 625 55 = 3125 56 = 15 625

7² = 49 7³ = 343 74 = 2401 75 = 16 807 76 = 117 649

6. Utilízalas para calcular el valor de los siguientes logaritmos. a) log2 32 b) log3 27 c) log5 3125 d) log7 16 807 1 e) log2 8 1 f) log3 729 1 g) log3 243 1 h) log5 25 1 i) log7 343 1 j) log7 117 649 k) log 1 8 2

l) log 1 3125 5

m) log 1 7

32

64

h) log3 x = 2

s) log 1 3 = x

i) log3 x = 5

t) log 1 3 = x

9

81

j) log5 x = 6

u) log 1 5 = x

k) log7 x = 3

v) log

l) log81 3 = x

w) log

5

7

1 8 2 1 ñ) log 1 729 3

n) log 1

o) log 1 729 3

243 3125 5 1 log 1 2401 7 1 log 1 49 7 2401 log7 81 3 1 log 1 9 3 64 log 3 729 2

p) log 3 q) r) s) t) u)

4 Practiquemos lo aprendido

1 = –6 46 656 125 =3 n) log 5 343 7 1 ñ) log 1 = 2 4 2 729 =6 o) log 3 262144 8 m) log6

2

1 625

5= x

1 7= 343

x

8. Desafío: Demuestra las siguientes propiedades de los logaritmos.

a) log 1 a = –logx a x

b) loga

1 = –loga b b

9. Desafío: Resuelve las siguientes operaciones. 1 a) 2log4 64 + log3 27 – log5 125 3 1 b) 4log3 9 + log16 8 – log2 32 3 c) 1 log10 + 2 log10 –log10 + log10 3 3 d)

3log100 log6 3 + log6 2 : 9 + log2 8 log 1 4 2

Reflexiona § ¿Cuál es el significado de la palabra “logaritmo”. Investiga y explica por qué crees que le pueden haber puesto

este nombre. § Investiga el significado de las palabras “guarismo” y “algoritmo”. ¿Qué relación tienen con “logaritmo”?

Unidad 1 • números

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Propósito: deducir y aplicar propiedades de logaritmos.

Lección

11

Propiedades de los logaritmos En los cálculos necesarios para el desarrollo de la astronomía que motivaron a Napier se presentaban operaciones como la siguiente: 387 420 489 : 4 782 969 Realizarla a mano tomaba, como es de suponer, mucho tiempo y se corría un alto riesgo de cometer errores. Sin embargo, si observamos que: 387 420 489 = 3¹8

4 782 969 = 314

su cociente puede calcularse utilizando la operatoria de potencias de igual base: 387 420 489 : 4 782 969 = 3¹8 : 3¹4 – = 3¹8 ¹4 = 34 Al expresar los números como potencias de una misma base, el cálculo de la división se reduce a una sustracción. Esta es una de las propiedades ventajosas de los logaritmos, que analizaremos a continuación. Paso 1

Supongamos que x e y son números tales que loga y = q → aq = y

loga x = p → ap = x

Calcularemos el producto y el cociente entre x e y, representándolos como potencias y utilizando logaritmos. x • y = ap • aq

x : y = ap : aq

x • y = ap+q

x : y = ap–q

→ loga ( x • y) = p + q = loga x + loga y

→ loga ( x : y) = p – q = loga x – loga y

Se tienen así las siguientes propiedades:

Paso 2

Logaritmo del producto

Logaritmo del cociente

loga(x • y) = loga x + loga y

loga(x : y) = loga x – loga y

Observa la siguiente deducción: b = loga c ab = c q

(ab )

Elevamos a q

= cq

aqb = c q loga c q = qb = q loga c

Potencia de potencia

1 Considerando además los casos en que q = –1 y q = , se tienen las siguientes n propiedades: Logaritmo de una potencia

loga c n = nloga c

62

Logaritmo de una raíz

loga n c =

loga c n

Logaritmo de un inverso

 1 loga   = loga c –1 = − loga c  c

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1 Estas propiedades permiten calcular los logaritmos de todos los números racionales teniendo solo los logaritmos de los números primos. Por ejemplo: 3

log 56 = log 2 • 7 = 3 log 2 + log 7 ≈ 3 • 0,3 + 0, 85 = 1,75 log Paso 3

50 2 • 52 = log = log (2 • 52 ) –log (7 •11) = log 2 +2 log 5–log 7 – log 11 77 7 •11

2

3

4

Ayuda Puedes determinar logaritmos con calculadora; para ello debes digitar alguna de las siguientes secuencias para calcular, por ejemplo, log 8:

Las propiedades anteriores se cumplen solo si los logaritmos están expresados en la misma base, pero ¿qué se puede hacer cuando no lo están? Observa la siguiente deducción. loga c = b ↔ ab = c

/ logp

→ logp ab = logp c → b •logp a = logp c →b=

Despejamos b con a ≠ 1

Se aplica la propiedad de logaritmo de una potencia.

logp c logp a

Tenemos así la propiedad del cambio de base: loga c = Esta propiedad tiene especial importancia ya que la mayoría de las calculadoras solo permiten calcular logaritmos en base 10 o e, y de esta manera podemos encontrar su equivalencia. Por ejemplo:

logp c logp a

log3 5 =

log 5 0,7 ≈ = 1, 4583 log 3 0, 48

Estas propiedades permiten reducir expresiones y lograr así un manejo más sencillo. Por ejemplo: 1 1 1 log 49 + 4 log 21+ log 5 = log 72 + 4log (3•7) + log 27 5 27 1 = 2 log 7 + 4 (log 3+log 7)+ log 3−3 5 3 = 2 log 7 + 4 log 3 + 4 log 7 – log 3 5 17 = 6 log 7 + log 3 5 El trabajo de Napier consistió, entonces, en determinar estas propiedades y elaborar tablas de logaritmos, que fueron utilizadas hasta principios del siglo XX. La aparición de calculadoras y computadores las ha dejado en desuso, pero por muchos años constituyeron una poderosa ayuda. Incluso, los cálculos que permitieron la expedición del Apolo XI a la Luna fueron realizados utilizando estas tablas. En resumen Los logaritmos verifican las siguientes propiedades: Logaritmo de un producto

Logaritmo de un cociente

loga ( x•y )=loga x+loga y

 x loga   =loga x–loga y  y

Logaritmo de un inverso

 1 loga   =loga c –1 = –loga c  c

Logaritmo de una raíz

loga n c = Cambio de base

logac =

logp c logp a

loga c n

Razona

y comenta

§ Si x = –3, ¿es válida la siguiente relación? 2 log (7 + x) = log (7 + x)2

¿Y qué ocurre si x = –8? Justifica.

Unidad 1 • números

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63

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

a) log rs

k) log 3 p

1. Expresa como logaritmo las siguientes potencias.

b) log pqs

l) log 4

p q pr d) log q rq e) log ps

n) log r2 4 q

a) 2³ = 8

g) 4 –1 =

b) 7¹ = 7

1 4

1 32 768 1 i) 8 –3 = 512 h) 8 –5 =

c) 46 = 4096 d) 9³ = 729

5 e) 65 = 7776 j)  5  = 3125   f) 2–5 = 1 6 7776 32 2. Expresa como potencia los siguientes logaritmos.

a) log2 32 = 5

f) log3 1= 0 1 g) log2 = –5 c) log10 10 000 000 = 7 32 1 = –3 h) log7 d) log9 531441= 6 343 3. Calcula el valor de los siguientes logaritmos. a) log3 27

g) log 1 81

b) log5 5

h) log0,11000

c) log4 64

i) log12111

d) log 0,1

j) log4

1 8 1 f) log7 49 e) log2

1 16

k) log 3 81 l) log

3 2

64 27

Práctica guiada 4. Aplica las propiedades de logaritmos para

descomponer las siguientes expresiones en términos de a, b, c y d. Guíate por el ejemplo. b = log q

c = log r

Se tiene que:

64

d = log s

p2 q r p2 q 2 log = log (p q) – log r r = log p2 + log q – log r = 2 log p + log q – log r = 2a + b – c

Descomponer la expresión log

q2 r s 1 s o) log q ñ) log

1 p 1 log rq sr log pq pq3 log s 2 (sr) log pq

f) log g) h) i) j)

p) log

5

r s

q) log 3 pqr2 r) log p 4 q 6 r5 s) log

pr2

3 4

s3q2

5. Calcula el valor de los siguientes logaritmos apli-

cando las propiedades vistas. Guíate por el ejemplo.

3

Sea: a = log p

c) log

e) log7 117 649 = 6

b) log8 512 = 3

1 s r m) log 5 ps

Se tiene que: 5 log = 3 81

Calcula log3 5 81 1 = log3 81 5

1 8 1 b) log5 625 c) log7 4921

1 log3 = 34 5

1 = •4 5

4 5

d) log7 7 32 e) log2 1024

a) log2

6. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. Guíate por el ejemplo.

Reducir la expresión log p2 + 5 log p – log 3 p2 + log Se tiene que:

log p2 + 5 log q – log 3 p2 + log = 2 log p + 5 log q – 4 log p + 4 log q 3 = log 3 p 4 + log q4

1 q

1 p

2 log p – log q 3

=

= log

(

3

p 4 q4

)

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1

b) log 12 + log 3,5 c) log 21 – log 7

e) log

f) log 28 – log 4 – log 7 g) log 16 – log 5 + log 2 – log 20 h) log 18 – log 15 i) log 24 – log 3 6 1 1 1 j) log p – log q – log r 3 2 2 3 5 k) log x + log y 2 2 1 l) log x + log y – 2 log z 2 m) log (a + b) + log (a – b) 1 1 1 log x – log y + log z 2 3 4 ñ) log (a – b) – log 3 n)

1 o) log a – 4 log b + (log c – 2 log d) 5 1 p) log a – 5 log b2 + (log 3 c – 2 log d) 5 3 q) logq3 – log p 4 + (log q2 – 6 log p) 4

Aplica 7. Demuestra que las siguientes igualdades son correctas.

1 3 – log a + log a = –log a2 a 2 125 27 b) log + log 363 + log = log 5 99 25 1 1 x+5 = log x+5 c) log ( x 2 + 8x + 15) + log 4 4 x+3 1 x+3 d) log 4 ( x 2 +8x+15) –log x+5 = log 4 x+5 a) log

4

343 1 27 – log 7 = log – log 117 507 49

f) log

125 6859 1 + log = log 19 – log 45 361 75 2

g) log

x x+1 1 = log x – log (x+1) – log (x –1) 2 2 x –1

d) log 35 – log 23 e) log 19 + log 3 – log 6

3

8. Considera los siguientes valores: log 2 = a log 3 = b log 11 = e log 13 = f

log 5 = c log 17 = g

log 7 = d log 19 = h

Practiquemos lo aprendido

a) log 3 + log 2

2

Determina una expresión para los siguientes logaritmos en términos de a, b, c, d, e, f, g y h. a) log 4

g) log 24

b) log 6

h) log 91

c) log 8

i) log 95

15 44 102 n) log 9 m) log

j) log 99 ñ) log 3,25 3 e) log 12 k) log o) log 8,91 4 f) log 18 7 l) log p) log 1,1 25 9. Resuelve los siguientes problemas. d) log 10

1 1 a) Si log3 = x, log 1 y = 3, logz = −2, determina el 3 2 2 valor de xyz. x b) Si log (x²y³)=m y log = n, encuentra una exprey sión equivalente a logx. 1 log x log 3 4 c) Si x = ey= , calcula 1 1 y log log 27 3 10. Desafío: determina en cada caso el valor de x para el cual se verifica la igualdad. a) log 2 + log (11 − x 2 ) = 2 log (5 − 2x) x b) 2 log x = 3 + log 10 c) log (2x − 7) − log ( x −1) = log 5 d) log x + log ( x +3) = 2 log ( x +1)

Reflexiona § En el libro que expone por primera vez el uso de los logaritmos, Napier se refiere a ellos como “maravillosos”. ¿Qué motivo crees que puede haber tenido para esto? Comenta con tu profesor.

Unidad 1 • números

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Propósito: resolver problemas aplicando logaritmos.

Lección

12

Aplicaciones de logaritmos La intensidad del sonido se mide en vatios por metro cuadrado (W/m2), siendo 10 –12 W/m 2 la menor intensidad que puede captar el oído humano. A partir de 1 W/m2 comienza el umbral del dolor en el oído. Para comparar un sonido cualquiera con la menor intensidad audible se utilizan los decibeles (Db), mediante la siguiente fórmula: Db = 120 + 10log I donde I es la intensidad en W/m². Paso 1

Compararemos los valores, en decibeles, de las intensidades descritas. Menor intensidad 120 +10 log (10

–12

)=120 + (–12) •10 log10 = 120 –12•10 =0

Umbral del dolor 120 +10 log (1)= 120 +10•0 = 120

La menor intensidad audible corresponde a 0Db, mientras que el umbral del dolor comienza en los 120 Db. Se obtiene así una escala que utiliza números más pequeños y manejables. A esto se le llama escala logarítmica. Paso 2

Observa que… 10 –2 = 10=2 100 10 –4

es decir, 100 Db corresponde a 100 veces la intensidad recomendada.

En general, se recomienda que al usar audífonos no se superen los 80 Db. Sin embargo, muchas personas los utilizan cerca de los 100 Db. ¿Cuál es la diferencia entre estas magnitudes? 80 = 120 + 10 log I ���40 = 10 log I –4 = log I I = 10 –4 W 2 m

100 = 120 + 10 log I –20 = 10 log I –2 = log I I = 10 –2 W 2 m

Para determinar estos valores fue necesario resolver una ecuación cuya incógnita se encontraba en el argumento de un logaritmo. Para hacerlo utilizamos la definición de logaritmo, es decir, si elevamos la base del logaritmo a su valor se obtiene el argumento. Este tipo de ecuaciones se conocen como ecuaciones logarítmicas. Para resolverlas consideraremos esencialmente cuatro aspectos: a) Reducir las expresiones, cuando sea posible, utilizando las propiedades de logaritmos. b) Si dos logaritmos de igual base son iguales, sus argumentos son iguales. c) Utilizar la definición de logaritmo para sacar la incógnita del argumento. d) Verificar la solución para considerar las posibles restricciones.

66

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1 Paso 3

2

3

4

Observa los siguientes ejemplos de resolución de ecuaciones logarítmicas.

Ejemplo 1: log (8 – 4x ) – log (3 – 2x ) = 2 Tenemos que: log ( 8 – 4x ) – log ( 3 – 2x ) = 2

Se aplican propiedades de logaritmos.

 8 – 4x  log  =2  3 – 2x  8 – 4x = 102 = 100 3 – 2x 8 – 4x = 300 – 200x 196x = 292 292 73 x= = 196 49

Se aplica la definición de logaritmo.

Al remplazar en la ecuación, obtenemos 73  73     100   1 – log   log  8 – 4 •  – log  3 – 2 •  = log      49   49  49  49  = log 100 – log 49 – log 1+ log 49 = 2 No hay restricciones, por lo que la solución obtenida es válida. Ejemplo 2: 2 log ( x+1) – log ( x – 2) = log ( x+3) Tenemos que: 2 log ( x+1) – log ( x – 2 ) = log ( x+3)

( x+1) log

2

x–2

( x+1)

= log ( x+3)

Se aplican propiedades de logaritmos.

y comenta

§ Una persona expuesta

2

= x+3 x–2 x 2 +2x+1 = x 2 +x – 6 x = –7

Razona

Se igualan los argumentos.

Al remplazar en la ecuación tenemos: 2 log (–7 + 1) – log (–7 – 2) = log (–7 + 3) → 2 log (–6) – log (–9) = log (–4) Hay logaritmos con argumento negativo, por lo que la solución no es válida.

En resumen Se llama ecuación logarítmica a aquella cuya incógnita se encuentra en el argumento de un logaritmo. Para resolver una ecuación logarítmica se utilizan las propiedades de los logaritmos o su definición.

a más de 90 Db durante dos horas o más se arriesga a un daño auditivo que puede llegar incluso a la sordera total. La mayoría de los audífonos soportan una intensidad de 100 Db o más. Si una persona escucha música con audífonos y otra a su lado puede oírla, el volumen es excesivo. ¿A qué volumen escuchas música? ¿Te has informado de los cuidados que debes tener para no dañar tus oídos?

Unidad 1 • números

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Practiquemos lo aprendido

Repaso 1. Aplica las propiedades de logaritmos para reducir

No se presentan restricciones, por lo que la solución es válida.

las siguientes expresiones a un solo logaritmo.

a) log ( x +5) = 1

a) log ( x+5) + log ( x – 2)

b) log (2x +125) = 2

b) log (2x+7) – log ( x+1)

c) log (–2x + 5) = –1

c) log ( x 2 +5x+1) – log ( x –1)

d) log (3x +8) = log (2x – 3)

1 log ( x 2 +4x+4) – log ( x+2) 2 e) log ( x 2 +7x +12) – log ( x 2 +4x +3)

f) log (5x –16) = log (6x +15)

d)

f) log ( x +4x – 5) – log ( x+5) – log ( x+1) 2

g) log x – 2 – log ( x+7) – log ( x – 2)

Práctica guiada

e) log ( 4x +24) = log (9x +2) g) log (3x +2)+log ( x + 4) = log (3x 2 – 2x + 4) h) log ( 4x +7) = log ( 4x 2 +5x – 6) –log ( x – 3) i) log (5x + 4)+log ( x +1) = log (5x 2 + 4x +1)

Aplica

2. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Guíate por el ejemplo.

Resuelve los siguientes problemas.

Resolver la ecuación:

3. El pH es una medida de la acidez o alcalinidad de una

log (32x +12) – log (5x – 8) = 1 Paso 1

Se aplican las propiedades de logaritmos para reducir la expresión. log ( 32x+12 ) – log ( 5x – 8 ) = 1  32x+12  → log  =1  5x – 8 

Paso 2

Se aplica la definición de logaritmo y se resuelve 32x +12  32x +12  log  = 1→ = 101  5x – 8  5x – 8

Paso 3

32x +12 = 10 5x – 8 32x +12 = 50x – 80 92 = 18x 46 x= 9 Se verifica la solución. 46    46  log  32 • +12 – log  5• – 8 = 1    9  9  1472+12 • 9   230 – 9 • 8  log   – log   = 1  9 9

sustancia. Se mide de acuerdo con la concentración de moles de hidrógeno utilizando la fórmula: pH = –log H+

Donde [H+] corresponde a la concentración de iones de hidrógeno, medida en moles por litro. a) Calcula el pH de una sustancia, cuya concentración de iones de hidrógeno es de 0,00000038 moles por litro. b) En algunos lugares muy contaminados se produce el fenómeno llamado “lluvia ácida”. Se han dado lluvias con un pH de 2,8. Calcula su concentración de iones de hidrógeno. c) Calcula la concentración de iones de hidrógeno de las siguientes sustancias, conociendo su pH aproximado. Sustancia

pH

Vinagre Jugo gástrico Jugo de naranja Orina Jabón de manos

2,9 1,5 4,5 6,5 9,5

 1364   158  log  – log  =1  9   9  68

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1 del sonido y los decibeles

Db = 120 + 10 log l a) Si un equipo de música genera un sonido cuya magnitud en W/m2 es el triple de la de otro, ¿cuánto mayor es la intensidad en decibeles que posee? b) Un amplificador para una guitarra eléctrica tiene 2500 W/m2 de salida. ¿Cuál es su intensidad en decibeles? c) Calcula la magnitud del sonido en W/m2 que producen los siguientes fenómenos, conociendo sus decibeles. Fenómeno

Intensidad

Bomba atómica de Hiroshima Avión despegando Perforadora eléctrica Personas gritando Conversación tranquila

200 dB 130 dB 100 dB 90 dB 40 dB

5. La energía liberada en los terremotos se mide

en escala de Richter. Pese a ser modificada para intensidades superiores a 7, se puede relacionar la magnitud de un sismo y la energía liberada en él mediante la fórmula log E = 1,5R + 11,8

a) Completa la siguiente tabla con la intensidad o la energía liberada en los siguientes terremotos ocurridos en Chile:

Terremoto de Valdivia (1960) Terremoto de Cauquenes (2010) Terremoto de Algarrobo (1985) Terremoto de Vallenar (2013)

4

b) El terremoto de Haití de 2010 tuvo una magnitud de 7,2 R. ¿Cuántas veces menos energía liberó, comparado con el de Chile en 2010?

6. En Chile, a partir del año 2012 se estableció la ley de “Tolerancia 0” al alcohol, con la que se redujo a 0,3 g/L de sangre la concentración de alcohol considerada como “estado de ebriedad”.

Se estima que el riesgo de sufrir un accidente (en porcentaje) se relaciona con la concentración de alcohol mediante la siguiente fórmula: R = 6ekx a) Se estima que una concentración de 0,04 g/L de alcohol en la sangre (x = 0,04) corresponde a un riesgo del 10% (R = 10). Determina el valor de la constante k. b) Una persona que, de acuerdo con la ley chilena, conduce en estado de ebriedad, ¿qué riesgo tiene de sufrir un accidente? c) Si una persona presenta el doble de concentración de alcohol que otra, ¿cuánto mayor es su riesgo de accidente? d) ¿Para qué concentración de alcohol en la sangre se puede estimar un riesgo de accidente del 100%? ¿Qué significa eso? Discute con tus compañeros.

7. Al tomar un medicamento la cantidad de

donde E es la cantidad de energía liberada medida en Ergios, y R es su intensidad en grados Richter.

Magnitud (R)

3

Practiquemos lo aprendido

4. Considera la fórmula que relaciona la intensidad

2

Energía liberada (E)

9,6 8,8 3,16 • 1023 1,9 • 1022

milígramos que quedan de él en la sangre luego de t horas de haber sido administrado se calcula mediante la fórmula C = 10e–0,2t a) ¿Cuántos miligramos del medicamento hay en la sangre luego de una hora? b) Si la cantidad de miligramos no puede bajar de 3, ¿aproximadamente, cada cuánto tiempo debe tomarse el medicamento? c) Según esta fórmula, ¿hay algún momento en que deja de haber medicamento en la sangre? Justifica tu respuesta y discute con tus compañeros.

Reflexiona § Al principio de la unidad se planteó la necesidad de establecer escalas y comparaciones para representar ciertos fenómenos. ¿Qué utilidad tienen para ello los logaritmos? Comenta con tus compañeros.

Unidad 1 • números

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Considera la siguiente secuencia de números 5

-

15

-

45

-

135

-

405…

Se puede observar que su primer término es 5, y para obtener el siguiente término se multiplica por 3. Se sabe que el número 1937102445 pertenece a esta secuencia. ¿En qué posición está? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué datos tenemos del problema? Los primeros términos de una secuencia, la regla con que se forman y uno de sus términos, con posición desconocida. b. ¿Qué se quiere averiguar? La posición que ocupa en la secuencia un número dado. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar En primer lugar se determinará una fórmula para relacionar un término y su posición. Luego, se planteará la ecuación igualando la fórmula al número dado, y se resolverá. Paso 3 Resuelve el problema Observa que: Primer término: Segundo término: Tercer término: Cuarto término: Quinto término:

5 5 • 3= 5 • 32–1 5 • 3 • 3 = 5 • 32 = 5 • 33–1 5 • 3 • 3 • 3 =5 • 33 = 5 • 34–1 5 • 3 • 3 • 3 • 3 = 5 • 34 = 5 • 35–1

En general, el término en la posición n (lo llamamos an) puede determinarse mediante la fórmula 5 • 3n – 1. Por lo tanto, para averiguar el valor de n, planteamos y resolvemos la ecuación 1937 102 445 = 5• 3n–1 387 420 489 = 3n–1 log 387 420 489 = log (3n–1) log 387 420 489 = (n –1) log 3 log 387 420 489 = n –1 log 3 log 387 420 489 + 1= n log 3 Con calculadora se obtiene que n = 19, es decir, es el término que ocupa la posición 19. Paso 4 Revisa la solución Verifica que 5 • 319–1 = 5 • 318 = 5 • 387 420 489 = 1 937 102 445 Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 72. 70

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

3

4

Aprende la forma correcta

Danitza necesita desarrollar la siguiente expresión:

Danitza utilizó erróneamente la siguiente relación

log (p2 – q2 )

log (p 2 − q2 )= log p 2 −log q2

Para ello, sigue estos pasos:

En general, el logaritmo de una diferencia no es equivalente a la diferencia de los logaritmos. Lo correcto es:

log (p2 – q2 ) = log p2 – log q2 = 2 log p – 2 log q

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Danitza? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en el cálculo de expresiones con logaritmos?

Analiza la situación

log (p 2 – q2 )= log ((p +q)(p – q)) = log (p + q) + log (p – q)

Aprende la forma correcta

Elías debe resolver la siguiente ecuación logarítmica: log (3x + 4)+log (2x +2) = log (6x 2 +15x +10) Aplicando las propiedades de los logaritmos se da cuenta de que es equivalente a la ecuación log ((3x + 4)(2x +2)) = log (6x 2 +15x +10) 2

log (2 • –2 + 2) = log (–4 + 2) = log (–2)

Resolviendo esta última obtiene que: 6x 2 +14x+8 = 6x 2 +15x+10 –2 = x Al verificarla en la ecuación obtiene que:

)

2

(

2

log 6 • (–2) +14 • (–2)+ 8 = log 6 • (–2) +15• (–2)+10

La ecuación en la que Elías comprueba la solución no es la ecuación original. Si el valor se remplaza en la ecuación original se tiene que: log (3 • –2 + 4) = log (–6 + 4) = log (–2)

log (6x +14x + 8) = log (6x +15x +10) 2

(

2

)

log (24 – 28 + 8) = log (24 – 30+10)

Ya que estas expresiones no están definidas, no es posible aplicar las operaciones de logaritmos. En general, la solución de una ecuación debe verificarse en la ecuación original.

log 4 = log 4 Elías concluye, por lo tanto, que la solución encontrada es válida pues no presenta restricciones.

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Elías? § ¿Qué otros errores pueden cometerse en la resolución de ecuaciones logarítmicas?

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

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Integrando lo aprendido Lección 10: Logaritmos 1 Expresa las siguientes igualdades en la forma equivalente que se indica. a. 2⁷ = 128, como raíz. b. 38 = 6561, como raíz. –

c. 0,5 4 = 16, como logaritmo.

Lección 11: Propiedades de los logaritmos

3

1728 = 12, como potencia.

e.

2

256 = 16, como logaritmo.

f.

5

–1 = –1, como potencia.

a. log 3 + log ( x+1)

g.

p

5,22 = s, como potencia.

b. log 8x –log 4y

h.

q

2,51 = 2m, como logaritmo.

c. log 3 p2 + log 5 p3

729 = 6, como raíz. 117 649 7 1 l. loga = –c, como potencia. b m. log1 s = a, como raíz. k. log 3

Evaluación

a. Ordena de menor a mayor las siguientes expresiones: 1 log 105 – log100 10 – 2 log0,5 – log99 1 2 b. Si log x = y, determina una expresión que corresponda al valor de log x2.

d.

1 i. log5 5 = , como potencia. 2 j. log3,1 8528,91037441= 8, como raíz.

t

2 Calcula en cada caso el valor de x. a. logx 36 = 2

4 Aplica las propiedades para reducir las siguientes expresiones a un logaritmo.

1 +log 3a a2 1 e. log 4 – log b2 b log x 4 f. log x +log (5x 2 ) – 2 d. log

g. log (p+q) + log 5 p2q3 – 0,5 log (p2 +2pq +q2 )

5 Aplica las propiedades a las siguientes expresiones. a. log (pq2 )

c. logx 8 = 0,5

 5p3q7r2  b. log   xy 5 

1 = –0,25 81 e. log7 x = –1 f. log0,2 x = 5 1 g. log4 x = 4 3 h. log9 x = 2 i. log6 36 = x  1  j. log5  =x  125  k. log

21

l. log 2 3

21= x  9   = x 16

1 x

h. log a • loga 3x –log

b. logx 49 = –2

d. logx

72

3 Resuelve los siguientes problemas.

 4m+5  c. log   2x +8   1  d. log    3( x + 4 )   5x  e. log  3q   2p   x+3  f. log  5x 2 9y    g. log  

( x + 1)( x + 7 )  5xy

 

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1 6 Resuelve los siguientes problemas. a. Sea U = log a + log b y V = log (a–1b). Determina cuál de las siguientes expresiones es equivalente a V U –1 1 –logab (a b) 1 a² logab (a–1b) 2 a b. Determina el valor de x en la siguiente igualdad log 1 2 log 1 256 – 2 + 2

4

1 log0,25 2

= log 1 x 2

Lección 12: Aplicaciones de logaritmos 7 Resuelve las siguientes ecuaciones. a. log ( x – 2) = 2 b. log (5x) = –1

2

3

4

8 Resuelve los siguientes problemas. a. Si una persona deposita cierta cantidad C de dinero en un banco a un i% de interés mensual, el dinero que tiene al cabo de n meses se calcula con la fórmula i   C(n) = C  1+  100 

n

Calcula cuántos meses habrá que mantener $150 000 en el banco —con un interés del 5%— para que al cabo de ellos haya $221 618. b. Para calcular el pH de una solución química se utiliza la fórmula pH = –logH+, donde H+ es la concentración de iones de hidrógeno presentes en la solución. ¿Cuál es el pH de una solución que tiene una concentración de H+ igual a 9,5 • 10–12? 9 Analiza la siguiente ecuación

c. log (5x – 2) = log (3x+7)

log (2x +5) + log ( x – a) – log ( x +1) = log (2x + 8)

e. log (8x +1) = log (2x – 2) + log 3

Determina un valor de a para el cual la ecuación tiene solución, y otro para que no la tenga. Justifica en cada caso.

f. log ( x –1) –log ( x – 5) = log ( x +7) –log ( x – 4) g. log (2x – 3) –log ( x + 4) = log (2x+1) –log ( x – 9)

Evaluación

d. log ( x 2 +8x – 3) = 2 log ( x+5)

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Identificar logaritmos y relacionarlos con raíces y potencias

2 respuestas correctas

58 y 59

Deducir y aplicar propiedades de logaritmos

2 respuestas correctas

62 y 63

Resolver problemas aplicando logaritmos

2 respuestas correctas

66 y 67

Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?

Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?

¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

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l a r u m o i r a i D De piedras a computadores Desde la antigüedad el ser humano ha necesitado realizar cálculos con distintos niveles de complejidad. En ocasiones, los sistemas de numeración propios de cada cultura han presentado dificultades para hacerlo; por ejemplo, el sistema de numeración romano no permite realizar algoritmos con facilidad, incluso para la suma. El uso de los numerales indo-arábigos (los que usamos actualmente), y el sistema decimal posicional facilitan este tipo de operaciones, y representaron un gran avance para la aritmética.

Tuvo que pasar mucho tiempo —hasta el siglo XVII— para que comenzaran a desarrollarse las primeras calculadoras mecánicas: sistemas de ruedas y engranajes que permitían calcular el resultado de sumas, resta, multiplicaciones y divisiones girando manivelas. Su uso tuvo gran impacto entre contadores y comerciantes, pero no resultaban muy prácticas por su lentitud. Para usos prácticos se popularizaron entonces las reglas de cálculo: tablas con resultados de operaciones ya calculadas, y en las que por medio de ingeniosos procedimientos mecánicos era posible encontrarlos. Estas reglas de cálculo —y algunas tablas de valores— fueron utilizadas ampliamente en colegios y universidades hasta mediados del siglo XX, cuando fueron desechadas definitivamente por la aparición de los grandes computadores y las calculadoras de bolsillo.

Realizar operaciones con números menores que 10 no representa gran dificultad, ya que es posible utilizar los dedos para representar las cantidades. Pero, ¿qué hacer cuando ya se han utilizado todos los dedos? Se hace imprescindible comenzar a representar estas cantidades, por ejemplo, con piedras, de manera que una piedra simbolice una utilización de los diez dedos Hoy, la tecnología nos asombra con su capacidad de las manos. Cuando un antiguo ganadero contaba de reducir cada vez más los tamaños de los artefactos. sus animales podía hacerlo con Hacia 1960, era necesario sus dedos y, cada vez que los un computador del tamaño utilizara todos, ponía una piedra de tu sala de clases para con bra Hoy, la tecnología nos asom en el suelo. Así, si al terminar de realizar operaciones que de reducir cada vez ad acid cap su contarlos había ocupado 3 dedos hoy puedes calcular con más los tamaños de los artefactos. y tenía 4 piedras en el suelo, sabía una sencilla calculadora que tenía 43 animales. de bolsillo, y cada vez Hacia 1960, era necesario un sala tu con mayor velocidad y de año computador del tam La palabra cálculo proviene precisión. Por muy distante de clases para realizar operaciones del latín calculus, que significa que parezca a los métodos piedra. Así, los antiguos calculistas que hoy puedes calcular con una anteriores, la programación se sentaban a resolver problemas sencilla calculadora de bolsillo. de estos computadores sobre una alfombra y manipulaban sigue basándose en el piedras con gran rapidez. Poco trabajo realizado por los a poco fueron ganando destreza para representar matemáticos a lo largo de la historia, particularmente operaciones con ellas, y transmitiendo estos métodos. en los siglos XVI, XVII y XVIII. Puede decirse que así comenzaron a desarrollarse las calculadoras.

Actividades complementarias

74

¿En qué otro contexto has escuchado la palabra cálculo? ¿Con qué se relaciona? ¿Qué relación observas con lo leído en el texto?

Consulta con tus padres y/o profesores: ¿qué artefactos tecnológicos utilizaban? ¿Cuál fue el que más les llamó la atención cando apareció? Comenta con tus compañeros.

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Síntesis

Para sintetizar Volviendo al inicio…

¿Cómo se llama?

Los miembros de la escuela pitagórica observaron que dos cuerdas tales que una midiera el doble de la otra (e igualmente tensas, del mismo grosor y material) producían un sonido agradable al ser pulsadas en conjunto. La diferencia entre los sonidos producidos por ambas es lo que actualmente llamamos una octava, y se considera que corresponden a la misma nota.

Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.

Números racionales Números irracionales Raíces Números reales Raíz enésima Potencia Exponente racional Racionalización Ecuaciones radicales Operatoria de potencias y raíces

Lo agudo o grave del sonido depende de su frecuencia (mientras mayor es, más agudo). Así, podemos decir que la cuerda más larga produce un sonido cuya frecuencia es 1, y la frecuencia del sonido de la cuerda corta es 2. ¿Qué frecuencias intermedias conviene utilizar? Esta definición es la que da pie a las escalas musicales. Escala pitagórica Los pitagóricos constataron además que dos sonidos cuyas frecuencias estuvieran en razón 3 : 2 sonaban bien juntos (se dice que forman una quinta). Así, las notas que estarían entre la frecuencia 1 y la frecuencia 2 (formando la escala tónica), se definen con la siguiente regla: 1. Se multiplica la frecuencia de la nota anterior por 3 . 2

2. Si el valor obtenido es menor que 2, se añade esta frecuencia a la escala. Si es mayor que 2, se divide el valor por 2 y se agrega a la escala.

Potencia Logaritmo Base Exponente Propiedades de logaritmos

Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:

§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. § Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. § Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.

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1

¿Cómo se hace?

Definición y/o procedimiento

Ejemplo

Orden y ubicación de números irracionales en la recta numérica Determinación del tipo de resultado de una operación entre números reales

37 32 39 34 311 , , , , , 211 23 214 2 6 217 36 3 38 33 310 35 , , , , , 2 9 2 212 2 4 215 27

Operatoria entre raíces enésimas

Racionalización

Ecuaciones radicales

Calculo de logaritmos por definición

La escala temperada La escala pitagórica presentaba un problema: la razón entre dos frecuencias sucesivas no es constante, lo que provocaba una gran descoordinación entre los músicos si querían tocar una misma pieza pero en un tono más grave o más agudo. Esto motivó que Johan Sebastian Bach reconstruyera una escala tomando una razón constante igual a 12 2 . De esta manera consiguió 12 notas determinadas por las siguientes frecuencias:

Síntesis

Cálculo de raíces por definición

4

1,

Representación exacta de números irracionales

Aproximación de números irracionales

3

Así se obtienen las siguientes frecuencias (puedes verificar calculando los valores, que aquí están en orden):

Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Contenido

2

1, 12 2 , 12 4 , 12 8 , 12

16 , 12 32 , 12 64 ,

12

128 , 12 256 , 12 512 ,

12

1024 , 12 2048

Bach aplicó esta escala en su composición “El clavecín bien temperado”, y su uso permitió simplificar en parte la dura tarea de afinar un piano y otros instrumentos similares.

Propiedades de logaritmos

Ecuaciones logarítmicas Johann Sebastian Bach

Unidad 1 • números

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77

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Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades. 7 Demuestra que x = 23 – 46 es un número irracional.

Números reales Números irracionales y problemas geométricos 1 Identifica cuáles de los siguientes problemas requieren de números irracionales para obtener el resultado. a. Calcular el volumen de un cubo de arista 2 cm. b. Calcular el área de un trapecio isósceles de bases 4 cm y 8 cm y altura 10 cm. c. Calcular el perímetro de un triángulo equilátero cuya altura mide 1 cm. 2 Calcula en forma exacta el perímetro y el área de la siguiente figura. 8 12

Refuerzo

2 20

Aproximación de números irracionales 3 Se sabe que 12 es un número irracional: a. Utiliza una calculadora para determinar una aproximación de 12 a la quinta cifra decimal. b. Calcula el error absoluto y el error relativo de la aproximación de anterior. c. Determina una aproximación por defecto y una por exceso para 12 , de modo que el error relativo de ambas sea menor al 1%, pero mayor que el 0,1%.

Orden en los números racionales y recta numérica 4 Ubica en una misma recta numérica los siguientes números: 8 , – 2 3 y 20. 5 Ordena de menor a mayor los siguientes números: 2 7 ; 3 6 ; 15.

78

8 Analiza el número ( 18 – 2 ) • ( 4 – 9 ). ¿Es un número racional o irracional? Justifica.

Raíces Raíz enésima 9 Determina para cada potencia una expresión equivalente con raíces. a. 54 = 625 b. 7y = z 4

c.  2  = 16  3 81 10 Calcula en cada caso el valor de x. a. 7 = 3 x b.

x = 0,81

c. 7 = 4 x 2 6 11 Calcula cuando sea posible el valor de las siguientes expresiones. Si no es posible, justifica por qué. a.

5

243

d. 2( 64 − 3 27 )

b.

3

−216

e. 5 4 81+ 7 100 − 9 3 1000

c.

4

−64

12 Determina qué condición(es) debe cumplir en cada caso el número real a para que la raíz esté definida en los números reales. a.

3

b.

2a

c.

(a + 4)

d.

4

5a − 20 (a − 4)(a + 4)

Raíces y operaciones 13 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. a.

15 • 30

Números reales

b. 5 3 2

6 Calcula un valor de b para que se cumpla la relación. 2b 7b − ∈ b+3

c. 3p2 n p 4 d.

5

64 • 5 4 5 2

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1 14 Reduce las cantidades subradicales de las siguientes expresiones hasta el menor número natural posible. a.

4

b.

3

32 162

c.

5

486

d.

7

−256

a. 9 3 – 7 3+2 3 3

b. 3 5 – 2 6+4 5 –10 6

1 7

b. – 10 2 5 3 9

3

d.

1 3+ 7

e.

7

6– 5 11 f. 5 12+5 13

c. 3 3 5 • 2 3 25 – 9

Raíces enésimas, problemas y ecuaciones

d. 50 27 : (2 3)+ 100

20 Resuelve las siguientes ecuaciones.

Potencias de exponente racional

a.

3x – 7 – 4x+2 = 0

16 Representa en cada caso las raíces como potencias y las potencias como raíces.

b.

1+ 3x + 1+ 2x = 2

c.

9 – 2x =

a.

2 15 3 −

b. (9b)

5 (2x − 5) 4

4

e.

3

(7x − 6)

f.

3

a2 + b2

5x 2

17 Representa las siguientes raíces como otra raíz equivalente, con el menor índice posible. a.

12

94

c.

15

3020 • 610

b.

27

518

d.

x

5xy

18 Reduce las siguientes expresiones a una sola raíz. Cuando sea posible, calcula su valor. a. b. c.

87 • 4 7 a 3

4

3

42

g. h.

2

a. ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es 3 27cm3? b. Si a la raíz cuadrada de cierto número se le suma el doble de tres se obtiene el número 10. ¿Cuál es el número? c. ¿Cuál es el radio r de un cono de altura h igual a πr2 •h 25 cm y volumen (V) de 625 cm3? (V = ) 3

a. 54 = 625

d. log2 128 = 6

b. 210 = 1024

e. log7 1= 0

c. 10–3 = 0,001

f. log9

x

4y 20

4 3

21 Resuelve los siguientes problemas.

22 Expresa los logaritmos como potencias y las potencias como logaritmos.

3 3 3 6

x – 5 – x+8 = 4 2x+3

Logaritmos

4

e.

e.

4

Logaritmos

2

4• 6 3 24

d.

f.

xb • a y b

d.

3– 8x 2 4x – 5 3x+7 = 2

(

4

52 : 4 4 2

)

1 = –3 243

5m Unidad 1 • números

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Refuerzo

c.

1 3

d.

4

19 Determina, para cada expresión, otra equivalente sin raíces en el denominador.

c.

3

3

Racionalización

a.

15 Calcula el valor de las siguientes expresiones.

2

79

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Reforzar antes de evaluar 23 Calcula en cada caso el valor de x. d. logx 81= 4

a. log5 125 = x 1 =x b. log9 729 64 c. log 3 =x 27 4

e. log216 6 = x f. log4 x = 5

24 Calcula el valor de las siguientes expresiones. 1 a. 3 log4 16 + log3 81– log6 1 8 1 2 3 b. log 100 + log 1000 − log 10000 2 3 4 3 log4 2 + log8 2 c. : 1–log2 16 log 1 8 2

25 Aplica las propiedades de logaritmos para descomponer las siguientes expresiones en términos de r, s y t, si r = log a, s = log b y t = log c.

Refuerzo

ab c

c. log

3

ab c4

a4 c b. log (a b ) d. log 2 3b 26 Calcula el valor de los siguientes logaritmos. 2 3

128 512 0,2 b. log3 2710 d. log5 0,008 27 Desarrolla los siguientes logaritmos. a. log4 8 64

a. log (p3q4 )  a5b 6  b. log  5   c  c. log

m3n2 p2q3

(

e. log 9b

(cd)3

)

3

Propiedades de los logaritmos

a. log

 3x – 2  d. log   3x+2 

c. log2

f. log

( 4x+7) 2 (9 – 5x)

28 Aplica las propiedades de logaritmos para reducir las siguientes expresiones a un solo logaritmo. a. log a3 + 4 log b c b. log –log cd d c. log a2 – log 3 b5 + log c 4 2

d. log 3 a8 – 0,3 log c 3 + log (ac)

Aplicaciones de logaritmos 29 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. a. log (2x +3) = 1 b. log (3x –113) = 2 2 c. log (2x –1) + log ( x + 4) = log (2x + x +7)

(

)

 1  d. log ( 3x − 2) − log 3x 2 + 4x − 5 = log   x + 3  30 Resuelve los siguientes problemas. 1 1 , log 1 b = –3 y logc = 3. 8 16 4 ab Determina el valor de . c log 10 log 10 b. Si x = , calcula x ey= log 50 log 0,5 y a. Se sabe que a = log4

c. Se sabe que la relación entre la cantidad E de energía liberada por un terremoto (en ergios) con su magnitud en grados Richter está dada por la fórmula log E = 1,5R + 11,8. ¿Cuál es la cantidad de energía que libera un temblor cuya magnitud en la escala de Richter es 5?

¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? 80

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Profundizar

1

2

3

4

Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

El número e En ocasiones los bancos presentan el interés ofrecido en una inversión de maneras distintas. Por ejemplo, es posible que se declare una tasa de interés anual de un 12% con pago semestral, trimestral, mensual, etc. En estos casos, la tasa de interés se divide por el número n de períodos en que se divide el año, y se realiza el pago de intereses n veces durante ese año (lo que recibe el nombre de capitalización). Por ejemplo, si el capital invertido es C con una tasa anual del 12%, se tiene que: n

2 3 12

Tipo de capitalización

semestral trimestral anual

Períodos

Tasa de interés

Monto obtenido al año  6  C  1+   100 

2

2, de 6 meses

12% = 6% 2

 4  C  1+   100 

3

3, de 4 meses

12% = 4% 3

1   C  1+   100 

12

12, de 1 mes

12% = 1% 12

Profundizo Guía

1 Analiza las expresiones anteriores y responde. a. ¿En qué caso el monto obtenido al cabo de un año es mayor? ¿Siempre ocurrirá así? Discute con tus compañeros. b. Un banco ofrece una tasa de interés anual del 20% capitalizable semestralmente, mientras que otro ofrece una tasa de interés del 10% anual. ¿Cuál es más conveniente para invertir? Justifica. 2 En 1619, el matemático suizo Jacob Bernoulli estudió un problema de interés compuesto, en el que analizaba los beneficios de una cantidad de dinero depositada con un interés anual del 100%, dependiendo de los períodos en los que se capitalice a lo largo de un año. a. Demuestra que si el interés es del 100% y se capitaliza en n períodos durante el año, la fórmula que permite calcular el monto obtenido al n  1 cabo de un año es  1+   n b. Analiza lo que ocurre con el monto obtenido si el período de capitalización es un mes, una semana o un día. ¿Qué observas? 3 El número e es un número irracional. Es la base de los logaritmos naturales. Sus primeras cifras son: 2,718281828459045… n  1 Su valor se estima  1+  .  n Prueba valores para n = 1; n = 2; n = 5; n = 10; n = 100; n = 1000; n = 10 000 ¿Qué puedes concluir? ¿Qué relación observas con las actividades anteriores?

Unidad 1 • números

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Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades 6 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

Números reales 1 ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra solo números irracionales? A. 0,5; π; 2 B. π ; π; 5 2 3π C. 7 ; ; 9 π 2 1 D. ( 20 ) ; – ; 11 π E. Ninguna de las anteriores.

A. Solo I B. I y II C. I y III D. II y III E. I, II y III

2 Se sabe que a = 1, 6. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde a un número irracional?

Evaluación

A. a2 – a B.

a 1+ 3

C.

a2 –1

D.

3a –1

E.

2

a +1,2

3 La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 25 cm y uno de sus catetos mide 12 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto? A. 13 cm

D. 169 cm

B. 37 cm

E.

C.

481cm

13 cm

A. 2, 6457

D. 6, 6457

B. 2, 6458

E. 6, 6458

C. 4, 6457 5 Considerando π = 3,14159, ¿qué resultado se obtiene al redondear 3π a la décima?

82

7 Se sabe que a ∈  +. ¿A qué conjunto no puede pertenecer a? A. B.

C.

+

D.

*

E.

+

8 Dos números a y b son tales que a ∈ℚ y b ∈ℝ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. a, b ∈ II. (a + b) ∈ III. (a + b 2) ∈ A. Solo I B. Solo II C. Solo III

4 El valor 7 = 2, 64575… se aproxima por defecto, considerando cuatro cifras decimales. ¿Qué número representa 4 + 7?

A. 3,1

D. 9,42

B. 9,3

E. 9,425

C. 9,4

I. Si r ∈ℚ ⇒ r ∉  * II. ℤ=ℕ∪ {0} III.ℝ=ℚ∪  *

D. I y II E. II y III 9 Se sabe que 3 ≤ a ≤ 5 y 0 ≤ b ≤ 4. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) falsa(s)? I. 3 ≤ a + b ≤ 9 II. 0 ≤ a + b ≤ 20 III. 3 ≤ a + b ≤ 9 A. Solo I B. Solo III C. I y II D. I y III E. I, II, y III

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1 10 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. El número π es irracional. II. Todo número decimal infinito es un número irracional. III. Todo número irracional se puede escribir como cociente entre números enteros. A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I y III

C. Solo III 11 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Existen infinitos números reales x tales que 2 < x < 3. II. Existen infinitos números racionales x tales que 2 < x < 3. III. Existe una cantidad finita de números irracionales x tales que 2 < x < 3. D. I y III

B. Solo II

E. I, II y III

12 ¿En cuál de los siguientes casos los números están ordenados de menor a mayor?

B. C. D. E.

3, π,

B. Solo II

B. 36

E. 12 3 +1

4

36 +1

C. 37 15 ¿Cuál es la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es (54u3) mm3? A. 3u mm

D.

B. 9u mm

E. 3 2 u mm

54 u mm 3

C. 18u mm 16 Considerando π = 3, ¿cuál es el área de un círculo cuyo radio mide 3 3 cm? A. 9 cm2

D. 9 3 cm2

B. 34 cm2

E. 27 3 cm2

C.

54cm2

17 ¿Por cuál(es) de las siguientes expresiones se puede amplificar la fracción 5 para racionalizarla? 3 9 II. 3 81

III. 3 3

A. Solo I

D. II y III

B. I y II

E. I, II y III

3

27 –

36 + xa = x ? 2

A. 0 B. 1 C. 2 D. –1 E. –2 19 ¿Qué expresión resulta al reducir 50+ 32 –

13 ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) a I. x 3 x A. Solo I

D.

18 ¿Qué valor de a satisface la igualdad

Raíces equivalente(s)con

A. 7

C. I y III

1+ 5 , 7 2 1+ 5 2 2, π, , 7, 3 2 1+ 5 , 3, π, 2 2, 7 2 1+ 5 , 3, 7 , 2 2, π 2 1+ 5 π, , 3, 2 2, 7 2

A. 2 2,

1 2 (ax) ?

II.

4

14 Si a = 3 y x = 4 12 , ¿cuál es el valor de (ax2 + 1)?

I. 3 9

C. I y II

3

Evaluación

A. Solo I

2

8 ? 2

A. 8 B. 8 2

a x D. II y III E. I, II y III

III. ax x

3

C. 10 2 D. 9 – 4 E. Ninguna de las anteriores.

C. I y II Unidad 1 • números

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83

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Evalúo mis aprendizajes 20 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con 27+ 48 ? 3 14 4 3

C. 2 3 3 2 E. Ninguna de las anteriores. D.

21 ¿Qué expresión se obtiene al racionalizar 2 5 ? 10 A. 2 D. 5 50 B.

E.

5

Evaluación

C. 2 50

50 10

22 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente  1  − 6 b12  ? con  4 −6  b  A. b

D.

b (b −1)

B. b2

E.

b ( b − b)

C. b2 – b

D. 11

B. 7

E. 13

26 ¿Qué expresión se obtiene al reducir la expresión loga m – loga n + loga p? pn A. loga m pm B. loga n p C. loga mn p D. loga m p E. loga n 27 Se sabe que logx a=3. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una expresión equivalente con logx(ax)3? A. 9 B. 3ª C. logx 3a D. logx x12 E. 3logx x

23 ¿Cuál es la solución de la ecuación 12+ 6x –1 = 4? D. 5 2 17 E. 6

A. 3 B. 4 C. 3 2

Logaritmos 24 ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La base de un logaritmo no puede ser negativa. II. Si a, b ∈

A. 4 C. 9

A. 1 B.

25 ¿Cuál es el valor de log10100 + log2 128 + log5 625?

+

y a<b, entonces log a > log b.

III. Si x2 > y2, entonces log x2 > log y2. A. Solo I

D. I y III

B. Solo III

E. I, II y III

28 Sea log 9 = 0,95424. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) correcta(s)? I. log 3 9 = 0,31808 II. log 900 = 2,95424 III. log 81 = 1,90848 A. Solo I

D. II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. I y II 29 Si log a3=p y log b=q, ¿cuál es el valor de log a ? b p q – 6p A. D. 3 3 B. p – 6q E. q + 6p 3 3 C. p + 6q 3

C. I y II 84

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1 30 ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente con la expresión log 125 – log 45 ? 27 D. 2 log 5 – 5 log 3 A. 4 log 5 + log 3 B. 2 log 5 + log 3

E. 2 log 5 + 5 log 3

C. 4 log 5 – log 3 31 Si log 2 = a y log 3 = b, ¿qué alternativa representa log 0,06? A. 6a

D. a – b + 2

B. 2ab

E. a + b + 2

C. a + b –2 32 Si log x= 0,7186, ¿cuál es el valor de log x2? A. 0,71864

D. 2 log 0,7186

B. 4 • 0,7186

E. 4 log 0,7186

C. log 0,7186 33 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación (a • b)x = c • d? I. log (c • d) – log (a • b) II. log (cd) log (ab) III. log  cd   ab 

4

35 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log2 (x +1) = 2? A. 0

C. 2

B. 1

D. 3

E. 4

36 El número de habitantes —en millones— de cierta ciudad se puede calcular utilizando la expresión 2t 10 3

3

P(t)= 2 Si t representa el tiempo en años, ¿cuánto tiempo aproximado debe transcurrir para que la población de la ciudad sea de 200 millones de habitantes? A. 1 año

D. 4 años

B. 2 años

E. 5 años

C. 3 años 37 ¿Cuál es el valor de x? (1) 2 = log x (2) 100 logx x = x

Evaluación

B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). D. I y III

B. Solo II

E. II y III

C. Solo III 34 ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log (x+2) + log 3 = log 2?

3 C. – 8

3

A. (1) por sí sola.

A. Solo I

A. 8 3 B. 3 8

2

8 D. – 3 4 E. – 3

E. Se requiere información adicional. 38 ¿Cuál es el valor numérico de la expresión loga b • loga b? (1) x=a

(2) a = b

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola. C. Juntas, (1) y (2). D. Cada una por sí sola, (1) o (2). E. Se requiere información adicional.

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje con el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las secciones correspondientes. Contenido

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la…

Números reales

9 respuestas correctas

Sección 1

Raíces

8 respuestas correctas

Sección 2

Logaritmos

12 respuestas correctas

Sección 3

Unidad 1 • números

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85

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unidad

2

Geometría

Ideas previas Julian Beever es un artista británico cuya especialidad son los dibujos que crean ilusión 3D. Para ello utiliza una técnica llamada anamorfosis, con resultados verdaderamente impresionantes. Beever utiliza la naturaleza del lugar en el que realiza su obra y utiliza el punto de vista del observador, de manera que una misma pintura del artista parece tener volumen desde un lugar, pero luce deforme si se la mira desde otro.

Palabras clave

86

Ü Semejanza

Ü Teorema

Ü Criterios

Ü Circunferencia

Ü Proporcionalidad

Ü Ángulos

Ü Escala

Ü Segmento

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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a

1

2

Unidad

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4

3

â&#x20AC;˘

eome r a

87

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Sección 1

Semejanza de figuras planas ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

Es importante porque te permitirá…

A identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

Lección 13

comprender el concepto de semejanza.

A comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Lección 14

analizar la semejanza de triángulos sin necesidad de conocer todas sus medidas.

A analizar y construir homotecias.

Lección 15

aplicar los criterios de semejanza a la homotecia de figuras planas.

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Razón Ü Proporcional

Actividad

Ü Ángulos congruentes Ü Semejante

§ En una pintura, los objetos más lejanos aparecen más pequeños. ¿Conoces otra forma de dar “profundidad” a un dibujo? Explícala.

De esto se trata… Muchas veces un cuadro es una representación de una escena real. ¿Has visto cómo, en las pinturas de paisajes, cada detalle de la obra se ve en armonía en su tamaño respecto al resto de los objetos que aparecen? Para pintar un cuadro, algunos artistas utilizan una técnica para medir los objetos que irán en él. Esta consiste en tomar un pincel con el brazo estirado, y con un ojo cerrado hacer coincidir uno de sus extremos con el extremo del objeto, y ubicar luego su dedo pulgar sobre el pincel coincidiendo con el otro extremo (ver imagen). Esta técnica permite al pintor tener una misma referencia para el tamaño de los objetos en la pintura, y así poderlos representar de manera adecuada sin que se distorsione en el cuadro.

Actividad grupal Discute con tus compañeros.

¿Qué significa que una pintura sea proporcional a la escena real? ¿Qué relación existe entre las medidas de cada objeto de la pintura con las reales?

➋ ¿En qué otras situaciones se representa un objeto, con distinto tamaño pero sin distorsionar sus medidas?

➌ ¿Conoces alguna otra técnica para dibujar en un papel un objeto, respetando la relación entre sus dimensiones originales? Explica cuáles.

Propósito: que puedas analizar la semejanza de figuras en diversos contextos, a partir de los criterios utilizados en los triángulos. 88

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones

5 Calcula el perímetro de las siguientes figuras.

1 Calcula el valor de las siguientes razones. a. 1 : 2

c. 9 : 5

b. 8 : 4

d. 7 : 3

a.

3,6 m

2m 2m

2m

1,5 m

2 Divide los siguientes números en cantidades que se encuentren en las razones dadas.

b. 1 cm

2m

1 cm

3,6 m

a. 24, en razón 1 : 3

1 cm

b. 35, en razón 2 : 5

1 cm

c. 24, en razón 1 : 3 : 8

1 cm 1 cm

1 cm

3 Calcula el valor x en las siguientes proporciones. Identificar y aplicar congruencia de figuras planas

d. 2x = 8 9 4 e. 12 : 6 =3 : x f. x + 2 : 10 = 30 : 15

6 En cada caso determina si los triángulos nombrados son congruentes. Indica el criterio que te permite determinarlo. Z

a.

Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos

F

El ∆DEF y el ∆YZX 72º Y

4 Calcula en cada caso el valor de x con los datos que se indican. a.

c.

D 70º x

x

b.

3x

b.

E O

X

El ∆MPO y el ∆NPO

56º x

45º

1 cm

Actividad

a. x = 6 3 2 b. 5 : x = 10 : 4 c. 8 = x 4 7

2 cm

M

P

N

7 Se sabe que ∆ABC ≅ ∆QRP. Además, el perímetro del triángulo ABC es de 28 cm, AC = 10 cm y RP = 12 cm. Calcula la medida de QR.

45º

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Plantear razones y resolver ecuaciones con proporciones. Calcular medidas de ángulos y segmentos en polígonos. Identificar y aplicar congruencia de figuras planas.

No

Más de 2 respuestas correctas

2 o menos

2 respuestas correctas

1 o menos

2 respuestas correctas

1 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/gV8fX http://goo.gl/mEY8i http://goo.gl/UGKV3

Unidad

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89

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Lección

13

Propósito: Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

Semejanza y figuras a escala

Debes saber… § Una razón es una compa-

Semejanza

ración entre dos cantidades a y b, se escribe a o

Taller

a : b y se lee “a es a b”.

En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.

b

§ La igualdad de dos o más

razones es una proporción. Además se cumple que: aa c c a•d==b•b• == a•d bb dd

Algunas banderas de los países del mundo no son rectangulares: la bandera de Suiza es cuadrada y la de Nepal tiene una forma muy particular, que representa los montes Himalayas. La bandera de Nepal se construye sobre un género con la siguiente forma. E

§ Dos ángulos son con-

gruentes cuando tienen igual medida.

§ Dos pares de segmentos

C

a, b, c y d son proporcionales si existe alguna constante r tal que: ar = b y cr = d.

Nepal es un país muy pequeño ubicado en Asia, pero muy visitado pues en él se ubican las montañas más altas del mundo, entre ellas el Everest.

D

B

A

1 Recorten –cada uno- una bandera de Nepal sobre una hoja de manera que su lado inferior (AB) mida 12 cm. a) ¿Les quedaron iguales las banderas? Si no, ¿en qué se diferencian? b) Comparen sus banderas con las de otros compañeros. ¿Cuáles son las diferencias? 2 Las instrucciones para construir la bandera de Nepal se encuentran en el artículo 5 de su Constitución política, donde se describe paso a paso cómo hacerlo. a) ¿Qué datos creen que son necesarios para construir una bandera como esta? ¿Cuáles solicitarían ustedes? Justifiquen. b) Si alguien dice que la bandera está “mal construida”, ¿en qué aspectos se fijarían para determinarlo? Justifiquen. 3 Las instrucciones indicadas en la Constitución son las siguientes: x

3x

3x

3x

90

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1

2

3

4

a) Construyan, cada uno, una bandera con estas instrucciones y distintos valores de x. b) ¿Qué tienen en común las banderas construidas? ¿En qué se diferencian? c) Imaginen que deben darle instrucciones a alguien para que construya la bandera, pero por teléfono. ¿Cómo lo harían? 4 Supongan que tienen dos banderas, y una de ellas es tres veces el tamaño de la otra. Si el perímetro de la más grande es 48 cm, ¿cuál es el perímetro de la más chica? Justifiquen. Las banderas que construyeron no son todas iguales entre sí, ya que pueden tener distintas medidas, pero sí podemos observar que hay una forma que se mantiene, y nos permite decir si está bien construida o no. Esta forma tiene que ver con los ángulos involucrados y la relación que existe entre las medidas de los lados; por ejemplo, el alto de la bandera siempre debe ser igual a 4 de la medida del largo. 3 En general, decimos que dos figuras planas son semejantes (se denota con el símbolo ~) si tienen la misma forma, (es decir, si sus ángulos son respectivamente congruentes) y entre cada par de lados correspondientes (llamados homólogos) proporcionales. La razón entre las medidas de un par de lados correspondientes se llama razón de semejanza (r). Por ejemplo, considerando dos banderas, tenemos que: E T

C

A

D

B

R

P

S

Q

ABCDE ~ PQRST Se cumple que: BAE ≅ QPT CBA ≅ RQP DCB ≅ SRQ EDC ≅ TSR AED ≅ PTS AB BC CD DE = = = =r PQ QR RS ST

Ayuda Cuando escribimos la congruencia o la semejanza de las figuras es conveniente respetar el orden de los vértices al señalarla, es decir, que el orden utilizado para la segunda figura corresponda con el de la primera.

Siendo r un número real, distinto de cero. Observa que, en este caso, AB > PQ, por AB lo que = r es un número mayor que 1. Según sus valores, podemos decir que: PQ Si r > 1, ABCDE es una ampliación de PQRST. Si r < 1, ABCDE es una reducción de PQRST. Si r = 1, ABCDE es congruente con PQRST.

Unidad

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Lección

13 Escala Una importante aplicación de la semejanza son las figuras a escala, que se utiliza en la confección de mapas y planos. El siguiente ejemplo muestra el sector del Barrio Bellavista, ubicado en la comuna de Providencia en Santiago, en él se observan algunas de sus calles y lugares de interés turístico. Paso 1

Se analiza la escala del mapa, en este caso, 1 : 7 000. Esto significa que cada centímetro del mapa representa 7 000 centímetros de la realidad (o 0,07 kilómetros).

Paso 2

¿Cuál es, en la realidad, la distancia en kilómetros entre los puntos A y B? Para calcularlo, consideramos la distancia en centímetros entre estos lugares en el plano, y la multiplicamos por 0,07. 1 = 0,07

6 = 6 • 0,07 = 0,42 x

Por lo tanto, su distancia es de 0,42 km. Paso 3

Dos ciudades distan en la realidad 8 km. ¿A qué distancia en centímetros deben ubicarse en este mapa? Para calcularlo, dividimos su distancia en kilómetros por 0,07; para obtener la distancia en centímetros en el plano. 1 = 0,07

x = 8

8 : 0,07 ≈ 114,29

Por lo tanto, deben ubicarse a 114,29 centímetros en el mapa.

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es la relación en-

§

§

92

tre el largo y el ancho de la bandera de Chile? ¿Qué relación existe entre el cuadrado azul y la estrella? Investiga. ¿Qué similitudes tienen la congruencia y la semejanza? ¿Qué diferencias? Justifica. Si una imagen dice “escala 300 000 : 1, ¿qué significa? ¿En qué casos se podría utilizar una escala así?

En resumen Dos figuras son semejantes si todos sus ángulos correspondientes son congruentes y las medidas de sus lados correspondientes (homólogos) son proporcionales. α≅α'; β≅β'; γ≅γ' AB BC CA = = = r , donde r se llama razón DE EF FD de semejanza. Entonces ∆ ABC ~ ∆ DEF Cuando representamos una figura en un plano, construimos una figura semejante a la original, es decir a escala.

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1

c) 8 4 6 d) b) 2 : 3 5 2. Calcula el valor de x en cada proporción. a) 1 : 4

BAD DCB

C 72º

BAC

2m

A

4m 24º

L

O U

B

100 cm 2 cm 31º

45º

100 cm

C

101º

J

3 cm R

34º

50 cm

101º

50 cm

2m P 135º

c) 3m

3 cm

Q 2 cm

13 cm 56º

S

37º T

E 63º 0,7 m 117º H

7m 45º

135º P

5m Q

3 2 cm

3 2 cm

135º

R X 6 cm

12 cm

2 cm W 45º 135º

Y

45º

2 cm Z

4 cm

2 cm

O Unidad

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O

6m

P R

cm

1m

3,5 m 56º

3

117º

63º

M

DFE

8

Q

3,5 m

O

Q 79º

K

N

D

R

cm

37º

G 2m

45º

3

4 cm F 1,2 m 135º 45º G 1,4 m

F

3 2 cm

3 cm

b)

H 68º

5 cm

10

1m

1m

2 cm

53º

5 cm

3 cm

101º T

E 125º

S 53º

2 2m

135º B

4 cm

P

2m

V 101º 79º C

A

a)

56º

EDF CBA FED ACB AB correspondiente con DE BC correspondiente con EF AC correspondiente con DF Razón = 1,2 ∆ABC ~ ∆DEF

W 68º

6m

72º

F

0,8 cm

4. Identifica todos los pares de figuras semejantes.

7m

1,44 cm

A

Práctica guiada

56º

1 cm 1,2 cm

56º

3 cm

D

52º B

0.96 cm

5 cm

Guíate por el ejemplo.

E

1,2cm 52º

8 cm

2 cm

QPO; ORQ

los ángulos y lados correspondientes, el valor de la razón y escribe la semejanza considerando el orden de los vértices. Guíate por el ejemplo.

3. Calcula el área y perímetro de la siguiente figura.

2 cm

POR; CBA RQP; CDA

5. Para cada par de polígonos semejantes identifica

c) 12 = 9 x 21 d) x = 41 19 35

4 cm

4

Ejemplo: El cuadrilátero ABCD es semejante con el AB BC CD DA cuadrilátero OPQR, pues = = = = 2 OP PQ QR RO y además

1. Calcula en cada caso el valor de la razón.

a) 3 = 12 5 x b) 25 = x 65 13

3

Practiquemos lo aprendido

Repaso

2

eome r a

93

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Practiquemos lo aprendido

6. Resuelve los siguientes problemas. Guíate por el

b) Rombos semejantes en los cuales AD = 9 m y C'D' = 6 m.

ejemplo.

A

Ejemplo: El plano de una casa está diseñado con una escala de 1 : 200, y en él, uno de los dormitorios mide 1,8 cm de largo por 1,5 cm de ancho. ¿Cuáles son las medidas reales del dormitorio? Paso 1

Paso 2

D C

A

D

B

B

El plano de la casa es una reducción de la realidad, por lo que las medidas en él deben multiplicarse por 200.

C

9. Identifica en qué casos puede afirmarse que las figuras son semejantes. En caso que lo sean calcula el valor de la razón (r).

Se calculan las medidas. 1,8 • 200 = 360 cm

a) Figura original: ABCDEF.

1,5 • 200 = 300 cm

Hexágono regular de lado

Las medidas reales del dormitorio son 360 cm de largo y 300 cm de ancho.

E

a) El modelo a escala de un vehículo mide 3,8 cm de largo y fue diseñado utilizando una escala de 1: 100 ¿Cuál es la medida real?

Hexágono regular de lado E

D

F

D

C

B

A

B

b) Figura original: ABCD. Rombo de lado 0,6 cm.

Rombo de lado 12 cm. D

c) Si en un mapa confeccionado con una escala de 1: 5 000 000 una ciudad dista 12 cm de otra, ¿cuál es la distancia real entre ambas ciudades?

D A

A

C

C

B

B

Aplica 7. Se sabe que ∆ABC ~ ∆OPQ, relación escrita

considerando el orden de los vértices. Determina cuál(es) de las siguientes proporciones se cumple(n) siempre. a) CB = AC QP OQ b) CB = QP OQ AC

c) AB = OP BC PQ d) PQ = BA OQ AC

3 cm A

5 cm 3 cm

6 cm

94

B

6 cm

C 4 cm

A

3 cm B

d) Figura original: ABC. Triángulo equilátero de lado (a2 – b2) m. C

C

C 10 cm A

A

5 cm

D

Triángulo equilátero de lado (a – b) m.

14 cm

D

C

8 cm A

C

B

10 cm

D

4 cm

a) Trapecios rectángulos semejantes. D

c) Figura original: ABCD.

8 cm

8. Calcula la razón de semejanza en cada caso.

7 cm

5a4 cm. 9

F

C A

b) La torre Eiffel (París, Francia) tiene una altura aproximada de 325 m. Si se construye una maqueta de esta estructura con una escala de 1: 25, ¿cuál sería la altura?

2a cm . 3

6 cm

B

A

B

B

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1

2

3

4

10. Una fotografía cuyos lados medían 6 y 15 cm respectivamente se reduce de tal forma que un objeto que en ella medía 3 cm de largo, ahora mide 2 cm. ¿Cuáles son las nuevas medidas de los lados de la fotografía?

son siempre semejantes entre sí. Si no lo son, justifica dando un ejemplo. a) Los triángulos equiláteros b) Los rectángulos c) Los triángulos rectángulos d) Los cuadrados e) Los triángulos isósceles

Practiquemos lo aprendido

13. Analiza en cada caso si los polígonos nombrados

Resuelve los siguientes problemas.

f) Los heptágonos g) Los pentágonos regulares

11. A partir de una imagen rectangular de 16 x 12 cm se realizan diversas reducciones o ampliaciones. a) ¿Cuál es el perímetro de la nueva imagen si la figura es ampliada en la razón 2 : 5? b) ¿Cuál es el área de la nueva imagen si la figura es reducida en la razón 4 : 3? c) Si la figura reduce sus dimensiones a 8 x 6 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación? d) Si la figura aumenta sus dimensiones a 20 x 15 cm, ¿cuál es la razón de su ampliación?

12. Analiza la información de la imagen. Luego, resuelve: En el plano se muestra el ensamble de tres piezas metálicas. Sus medidas corresponden a las longitudes en centímetros con que fueron dibujadas. Si la escala utilizada fue 1 : 250, completa el dibujo con las medidas reales de la pieza. Plano

h) Los triángulos isósceles rectángulos

14. Desafío: Que un polígono sea semejante a otro quiere decir que sus lados correspondientes son proporcionales y sus ángulos correspondientes congruentes. Piensa en la circunferencia y responde justificando cada respuesta. a) ¿Es un polígono? ¿Por qué? b) ¿Podemos comparar la medida de los lados y ángulos de una circunferencia con otra? Si es así, ¿cómo? c) ¿Todas tienen igual tamaño? ¿Todas tienen la misma forma? Explica. d) ¿Son semejantes todas las circunferencias entre sí? ¿Por qué?

15. Desafío: Observa las siguientes manchas de pintura verde.

7,5 22,5 37,5

30 7,5 7,5

Pieza real

¿Son semejantes entre sí? Justifica.

16. Desafío: Utiliza una técnica apropiada para ampliar la figura en la escala 2:3.

Reflexiona § Cuando decimos que un ser humano es “mi semejante”, ¿en qué se parece el sentido que le damos a esta palabra con el que se le da en matemáticas? Discute con tus compañeros.

Unidad

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Lección

14

Propósito: Identificar y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

Debes saber… § Dos triángulos son

congruentes si tienen sus ángulos y sus lados correspondientes de igual medida.

§ Los criterios de

congruencia de los triángulos son: lado – lado – lado (LLL); lado – ángulo – lado (LAL) y ángulo – lado – ángulo (ALA).

Criterios de semejanza de triángulos Taller En grupos de tres personas lean y realicen las siguientes actividades. El triángulo es el polígono con menor cantidad de lados que existe, por lo que resulta conveniente analizar a partir de él la semejanza entre las figuras planas. En particular, nos interesará saber cuál es la cantidad mínima de datos que debemos tener para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí. 1 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan dos de sus ángulos, α y β. Con estas medidas construyan otro triángulo A’B’C’. C C

§ La suma de las medidas

de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.

A

α

β

α

β

A

B

B

a) Sean γ el tercer ángulo del triángulo ABC y γ’ el tercer ángulo del triángulo A’B’C’. ¿Debe cumplirse que γ = γ’? Justifiquen por qué. b) Midan los lados del triángulo ABC y los de A’B’C’, y analicen las siguientes razones. AB AC BC AB AC BC c) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆A’B’C’, sabiendo que tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes? Justifiquen. 2 Dibujen un triángulo ABC cualquiera y midan sus lados. Luego, construyan dos triángulos PQR y XYZ, de manera que cada lado de PQR mida el doble de los lados de ABC, y cada lado de XYZ mida el triple de los lados de ABC. a) Midan los ángulos de los tres triángulos. ¿Son congruentes? b) ¿Se puede concluir que ∆ABC ~ ∆PQR ~ ∆XYZ, si se sabe que la medida de sus lados son proporcionales? Justifiquen.

Ayuda Pueden utilizar un procesador geométrico para realizar estas construcciones.

3 Dibujen un ángulo α como el de la figura, y sobre sus rayos ubiquen los puntos B y C (donde quieran) para construir el triángulo ABC. C

A

α B

a) Midan los segmentos AB y AC. Sobre el mismo ángulo α, construyan los triángulos APQ y AXY, de manera que AP = 3AB AQ = 3AC AX = 4AB

96

AY = 4AC

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1

2

3

4

b) Midan los segmentos PQ y XY, y compárenlos con la medida de BC. c) Midan los ángulos faltantes de los triángulos ABC, APQ y AXY: ¿Qué relación encuentran entre ellos? d) ¿Pueden concluir que ∆ABC ~ ∆APQ, si saben que tienen en común el ángulo α y además los lados AB y AC proporcionales con AP y AQ? Justifiquen. e) Del mismo modo ¿Pueden concluir que ∆ABC~ ∆AXY? Justifiquen. Al igual que ocurre con la congruencia, para afirmar que dos triángulos son semejantes entre sí nos basta conocer la relación entre algunos de sus elementos, que podemos resumir en los criterios de semejanza de triángulos; se llama de esta manera, a un conjunto mínimo de condiciones tales que, si se cumplen, tendremos la seguridad de que los triángulos son semejantes. Esos criterios son: Criterio ángulo – ángulo (AA): dos triángulos son semejantes si tienen dos pares de ángulos respectivamente congruentes. C

α ≅ α' entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C' β ≅ β'

α

β

α

A

B

β

C

A

B

Criterio lado – lado – lado (LLL): dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados respectivamente proporcionales. B

C

C

A

AB BC AC = = A'B' B'C' A'C'

B

entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C'

A

Criterio lado – ángulo – lado (LAL): dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos respectivamente congruentes, y los lados que los forman son respectivamente proporcionales.

A

α

C

AB BC = A'B' B'C' entonces, ∆ABC ~ ∆A'B'C' α ≅ α'

α B

y comenta

§ Considera los siguientes cuadriláteros:

B

C

Razona

D δ γ C

A α

A

β S

1,2 •

En resumen Para determinar la semejanza de dos triángulos, existen tres criterios: • Criterio ángulo – ángulo (AA) • Criterio lado – lado – lado (LLL) • Criterio lado – ángulo – lado (LAL)

1,2 • γ R 1,2 •

P α 1,2 •

Q

§ ¿Son semejantes entre sí? Traza una diagonal en ambos para justificar tu respuesta.

Unidad

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B

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Practiquemos lo aprendido

Repaso 1. Identifica cuáles de los siguientes pares de

Paso 2

Se aplican las propiedades de proporciones para calcular el valor de x.

triángulos son congruentes entre sí. Indica en cada caso el criterio utilizado para afirmarlo. a)

B

3

D

E

12 = 3x → a) D

12 =x→4=x 3

12 cm

4 cm

D

E

E

6 cm 4,2

4,5

4,5

4,2

3,5 cm

10,5 cm

x

F F

A

b)

F

C

3

M 117º

b) K

I

6 cm L 60º

10

G

10

K

60º

L

45º

2. Determina las razones pedidas entre las medidas

117º I

G

H 45º 3 cm

Estable la relación de semejanza para cada par. Guíate por el ejemplo.

de los siguientes segmentos. A C E G I

7 cm

4. Los siguientes triángulos son semejantes entre sí.

J

H

y

C 45º

B

E

D

72º

F

H J

D

45º

a) AB : CD

d) EF : (AB+GH)

b) IJ : EF

e) GH : IJ

c) CD : GH

f) (IJ+CD) : AB

F A

72º

B

BAC ≅ ACB ≅

Práctica guiada 3. Calcula el valor de la incógnita en los siguientes triángulos semejantes. Semejanza por LAL.

EDF DFE

Por lo tanto, ∆ABC ~ ∆DEF a)

N

A G

A x 2

98

3

C

B

6

30

10

H

B

Paso 1

33º

7

C

Se establece la proporción 6 = x , que 3 2 permite calcular la incógnita.

O 21

I 33º

M

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1

3

4

J

X

∆ABC ~ ∆A B C .

3 6,32

A

3,16

6 K

Y

L

2,5

xm

C 72 cm A

0,7 m

1,26 m

k

w

C 60 cm

y cm

B

53º

Z

5

z

38º

B

Aplica

8. Comprueba que si dos triángulos son semejantes, la razón de sus perímetros coincide con la razón de semejanza.

5. Identifica, entre los siguientes triángulos, tres pares de ellos que sean semejantes entre sí. Escribe el criterio aplicado. 18 D

35º

92º

A 5 C

2

N 4

8

K

10

O

H

10. Utiliza criterios de semejanza de triángulos

Q

18

53º

35º

3

L

10 6

G

existe entre la razón de semejanza y la razón de sus áreas? Experimenta con diversos ejemplos y formula una conclusión.

92º I

E

9. En dos triángulos semejantes ¿Qué relación 53º Ñ

J

5

9

4

M

F

Practiquemos lo aprendido

7. Calcula el valor de cada incógnita si se sabe que

b)

B

2

6. Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos

P

para demostrar que las siguientes figuras son semejantes entre sí. Traza diagonales para descomponerlas en triángulos. a)

D

que son semejantes. Indica el criterio aplicado.

4

C

117º

C

a)

H

4

2

G

117º

2 A

B

D

b) MN = 4 cm, NÑ = 6 cm, ÑO = 7,5 cm, PO = 3 cm, MP = 2 cm. O

117º

A

1,25

D M 5

Ñ

Ñ N O

35º

M

35º

E

8

1,25

67º

J

67º

c) MJ = 5 cm, JL = 3 cm, JK = 3,6 cm, NJ = 6 cm.

F

I

b)

P

N

117º

E

B

5

H

2 C

F

G

9

J L K

A

B

Reflexiona § ¿Cómo definirías lo que es un criterio? Explícalo con tus palabras. § ¿Qué semejanzas ves entre los criterios de semejanza y los criterios de congruencia de triángulos? ¿Qué diferencias. Comparte tus conclusiones con tus compañeros.

Unidad

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Propósito: Analizar y construir homotecias.

Lección

15

Homotecia y semejanza La Luna es mucho más pequeña que el Sol, pero cuando hay un eclipse solar total parece cubrirlo completamente. Lo que ocurre es que desde la Tierra parecen ser del mismo tamaño, o como se dice en geometría, desde la Tierra son figuras homotéticas.

Analizaremos como construirlas con ayuda del procesador geométrico Geogebra, al cual puedes acceder gratuitamente desde la dirección http://www.geogebra.org Paso 1 Co n l a h e r r a m i e n t a , Paso 3 Con la herramienta , Recta Polígono, construye un polígono a tu por dos puntos, traza dos rectas distintas elección. Luego, con la herramienta , que pasen por el centro de homotecia y Nuevo Punto, ubica un punto cualquiera por un vértice del polígono original. en el plano.

Este punto se llama centro de homotecia. Paso 2 Haz clic sobre el botón , Paso 4 Al trazar las rectas anteriores se Refleja objeto en recta, y selecciona forman dos triángulos (en este ejemplo, el último botón de la lista desplegable, ECD y EC’D’). Homotecia desde un punto por un Con la herramienta , Distancia o LonFactor de Escala. Luego haz clic sobre el gitud, mide los lados de estos triángulos. polígono, sobre el punto y finalmente ingresa el número 2 en la ventana que se desplegará. Luego presiona OK.

100

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1

2

3

4

Realiza las siguientes actividades: 1 En la ventana lateral de Geogebra se muestran las medidas de los lados de cada polígono. ¿Qué relación observas entre ellas, y el número ingresado en el paso 2? 2 Con la herramienta , Elige y Mueve, haz clic sobre el centro de homotecia y, sin soltarlo, muévelo por la ventana. ¿Qué cambios observas? ¿Qué se mantiene?

Observa que…

3 ¿Son semejantes los polígonos homotéticos? Justifica. 4 Construye dos homotecias más, con Factor de escala –3 y 0.5 (debes agregarlo con punto en la ventana del paso 2). Analiza las figuras resultantes. ¿Qué observas? En general, dado un segmento AB, un punto C y un número real k ≠ 0, podemos construir una homotecia A’B’ de AB con centro en C y razón de homotecia k como se muestra en la figura B

)

m (CB = k • m(CB') B

Se cumple que: CA' = CA

C

CB' = CB

A'B' =k AB

Además, AB // A’B’

A = k •

m(CA')

m (CA )

A

Lo anterior puede aplicarse para polígonos con distintos valores de k, obteniendo figuras semejantes con lados correspondientes paralelos. Pueden darse los siguientes casos. Figura original Contracción k = –0,6 > –1

En GeoGebra se utiliza el término “Factor de escala” para referirse a la razón de homotecia.

Dilatación k = 1,5 > 1

Contracción k = 0,75 < 1

Observa que… A diferencia de la razón de semejanza r, la razón de homotecia k admite valores negativos, correspondientes a las homotecias inversas.

O Centro de Homotecia

Dilatación k = -1,2 <–1

Homotecias Inversas (k<0)

Homotecias Directas (k>0)

En resumen Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a la original, con lados paralelos a esta. Para aplicar una homotecia se debe considerar: • El centro de homotecia punto (O). A partir del cual se alinean los vértices de la figura original y de la figura imagen. • La razón de homotecia (K). Es la razón de semejanza entre la figura resultante y la original. • Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado del centro • Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos al centro

Razona

y comenta

§ ¿Existe una homotecia §

§

de razón 1? ¿A qué transformación isométrica equivale una homotecia de razón –1? Justifica. Dadas dos figuras homotéticas, ¿cómo puedes determinar su centro de homotecia? Explica.

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

La razón de homotecia es 1, por lo que 2 los segmentos OM , ON y OP deben medir la mitad de los segmentos OM, ON y OP, respectivamente.

Paso 2

1. Calcula en cada caso la razón de semejanza entre la figura B y la figura A. a) B

Figura A

4,5

D

E

2

Se ubican, por lo tanto, los puntos M , N y P en la mitad de los segmentos OM, ON y OP.

3

A

C

3 Figura B

b) D

F

Figura B 1

H Figura A 0,5

N N O

G

M M

1

C

0,5

1

a) k =

0,5

A

E

B

0,5

F

1

c)

1 3 X

5

Figura A D 3 3

A

b) k = 2

H

F

Práctica guiada

S

5

5

3 B

3

Y

5

J C

3

Z O

I

E

5 Figura B

G

Q

c) k = –3 B

según el centro de homotecia (O) y la razón de homotecia (k). Guíate por el ejemplo. d) k= –

P

k=

O

C

A

N O

O

R

P

2. Aplica en cada caso la homotecia correspondiente

1 2

M

Paso 1

P

P

1 2

D

A

D

B

C

O

Se trazan las rectas OM, ON y OP, y se miden los segmentos OM, ON y OP. N

Aplica 3. Asocia a cada figura la razón de homotecia que le corresponde respecto de la figura original ABCD.

P O O

1

B

1 A

1 C D

1,5

M 1,5

102

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1

a)

Figura imagen

B

4

C

B

C

Figura original A 1 1,5

C

3

C

O 1

B A

Figura imagen

3

motecia de razón 2. ¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo cuadrado?

A

Figura original

b) A un triángulo equilátero de perímetro 24 cm se 4 es el le aplica una homotecia de razón 1 .1¿Cuál 32 2 perímetro del nuevo triángulo?

d) A un cuadrado de lado 4 cm se le aplica una ho-

A

b)

4

c) A un triángulo rectángulo de catetos 8 cm y 10 cm se le aplica una homotecia de razón1 1. 4¿Cuál es el 32 2 área y el perímetro del nuevo triángulo?

3

2

4

3

Practiquemos lo aprendido

4. Determina en cada caso la razón de homotecia.

2

B

e) Dibuja un triángulo rectángulo de área 12 cm² y luego aplica sobre él una homotecia de razón 3 con centro de homotecia en el vértice de su ángulo recto. ¿Cuál es la suma de los perímetros de ambos triángulos?

6. Conexiones: el pantógrafo es un instrumento

c) Figura original

que permite ampliar y reducir figuras planas mecánicamente, y aún es utilizado por personas que se dedican al grabado de joyas y medallas.

B

C

A 3

D

O

D 1

6

B

Figura imagen

A

d) Figura original

C

M N 0,6 0,9 0,5 O P Q 1

4,5

M

3

b) ¿Qué parte del pantógrafo corresponde al centro de homotecia?

7. Desafío: determina en cada caso el centro de

5

Q

a) Investiga respecto del funcionamiento del pantógrafo.

homotecia (O) y calcula la razón de homotecia (k).

P 2,5

Figura imagen

B

N

D C E

E C

D

5. Resuelve los siguientes problemas. a) Se tiene un rectángulo de lados 3 cm y 4 cm sobre 4 el que se aplica una homotecia de razón1 1 cuyo 32 2 centro es el punto de intersección de sus diagonales. ¿Cuál es la distancia entre el centro de homotecia y los vértices del nuevo rectángulo?

A

a) Figura imagen

B Figura original

b) A

A

A Figura imagen

B

C

B Figura original

C

Reflexiona § Un proyector (como el de un cine), ¿construye una homotecia? ¿Con qué centro y razón? Investiga y discute con tus compañeros.

Unidad

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Para una construcción se instalan dos pilares de manera perpendicular al suelo, separados a 18 m entre sí. La altura de uno de ellos es de 1,5 m, mientras que la del otro es de 3 m. En el extremo superior de uno de ellos se ata una lienza, la que a su vez es fijada en el suelo en un punto que se ubica en la misma línea de los postes. Luego, la lienza se ata al extremo superior del otro poste. Si los ángulos que forman los pilares con la lienza son iguales, ¿a qué distancia de los pilares se fijó la lienza al suelo? Paso 1 Comprende el enunciado •

¿Qué datos son necesarios para resolver la pregunta? La altura de los pilares (1,5 m y 3 m), la distancia entre ellos (18 m), y se sabe que la lienza forma ángulos congruentes con los pilares.

Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Define una estrategia para resolver el problema. Realizaremos un dibujo que represente la situación. Seguidamente se utiliza la semejanza de triángulos para determinar proporciones que permitan calcular los valores desconocidos y responder la pregunta. Paso 3 Resuelve el problema Realiza el dibujo. Ya que la distancia entre los dos postes es de 18 m, se tiene la relación BC = 18 – AB Dado que los ángulos de inclinación de la lienza con los pilares son congruentes, y además, el ángulo entre cada pilar con el suelo es de 90° los triángulos ABC y CDB son semejantes por el criterio AA. Por lo tanto, se verifica la relación AB = EA . RemplazanBC CD do los valores, se tiene: AB EA = BC CD AB 1,5 = 18 – AB 3 3AB = 1,5(18 – AB)

D

E

3m

1,5 m A

B

C 18 m

3AB = 27 –1,5AB 4,5AB = 27 27 =6 AB = 4,5 Es decir, el pilar de 1,5 m de altura se encuentra a 6 m del punto fijo en el suelo, mientras que el pilar de 3 m se encuentra a 12 m de él. Paso 4 Revisa la solución Para verificar que la respuesta es correcta puedes dibujar la situación a escala. Verifica que si el punto se ubica a 6 metros del menor de los postes, se forman triángulos semejantes. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 106. 104

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

2

3

4

Aprende la forma correcta

Martina está confeccionando un distintivo que utilizarán en su curso durante un encuentro regional. Para ello realizó la siguiente plantilla: 3 cm

3 cm

5 cm

Cuando lo mostró a su curso le pidieron hacerlo un poco más grande, de manera que el lado del pentágono midiera 6 cm. Martina lo hizo y entregó la siguiente plantilla: 4 cm

4 cm

Al aumentar la medida del lado del pentágono, Martina debe aumentar las demás medidas en la misma razón, la cual se obtiene multiplicando y no sumando un valor. Si llamamos x a la medida indicada en la estrella, debe cumplirse que: 6 x 3•6 = → x = → x = 3,6cm 5 3 5

6 cm

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Martina? § ¿Qué otros errores se pueden cometer al construir figuras semejantes?

Analiza la situación

Aprende la forma correcta

Jorge analiza la siguiente homotecia, y quiere calcular cuál fue la razón utilizada que generó la flecha roja a partir de la verde. OA = 1,4 cm AA’ = 2,8 cm

O A

AA' Para ello, calcula el valor k= = OA

Razona

2, 8 = 2 1, 4

A

Para calcular la razón de una homotecia, se deben considerar los segmentos OA y OA’, es decir, medir la distancia de cada vértice al centro de homotecia. Así, OA' OA

= k=

1,4+2,8 5,2 = =3 1,4 1,4

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Jorge? § ¿Qué otro error crees que puede ser común cometer al calcular la razón de una homotecia?

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

Unidad

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Integrando lo aprendido Lección 13: Semejanza y figuras a escala 1 En los siguientes paralelogramos el ángulo x mide 70°. Mide sus lados e identifica cuáles de ellos son semejantes entre sí, y cuando corresponda calcula el valor de la razón de semejanza.

I IV x

x III

x

es 18 cm, ¿Cuál es el área de un triángulo PQR semejante a ABC, si AB = 2 ? PQ 1 d. Un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 6 cm es semejante a otro cuyos lados miden (2x+5) cm y (x+4) cm respectivamente. Determina el perímetro y área del segundo rectángulo.

Lección 14: Criterios de semejanza de triángulos

x II

4 Identifica, de entre los siguientes triángulos, 3 pares de ellos que pueda afirmarse que son semejantes. Escribe el criterio empleado en cada caso.

V VI x

x

b. Se dibuja el plano de una casa a escala 1 : 20. El frontis de la casa representado en el plano mide 45 cm, ¿cuánto mide el frontis en la realidad? c. El perímetro de un triángulo equilátero ABC

A

Evaluación

2 Los siguientes pares de figuras son semejantes entre sí. Identifica en cada caso los ángulos y lados correspondientes y calcula el valor de la razón de semejanza. a.

C 40º

A

b.

D

C

J

70º 3 R

2

30º

E

D

L

5 X

G

2,5 cm

I

N

N

Y O 3 Z A

Q

3 cm

12 cm

6,5 cm

9 cm

8

P

10 cm

C

8

3,25 cm

W

V

30º

M 80º Q

c.

R

Q

5

70º

7,5 cm

F

B

7

30º

K

6

80º

A

75º C

P 40º

B

5

9 cm B

R

1,2

1

X

75º

M

65 cm

B

U

H

39 cm

3 Resuelve los siguientes problemas. a. Un mapa está confeccionado a escala 1 : 100 000. Las ciudades A y B están a una distancia de 50 km. ¿A qué distancia en el mapa se encuentran los puntos que las representan? 106

T

S

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1 5 Cada uno de los siguientes pares de triángulos es semejante. Determina en cada caso la medida del lado que falta. a.

3

4

Lección 15: Homotecia y semejanza 7 Considera las siguientes figuras.

3 cm 9 cm

12,5 cm

b.

2

B

x

A O

9,3 cm y

C 2,4 cm

7,2 cm

D

6 En la siguiente figura, DE // BC.

Completa las siguientes oraciones considerando como centro de homotecia el punto O.

A 4 cm D 3 cm

2,5 cm

2,1 cm E

C

a. Identifica los triángulos semejantes presentes en la figura. ¿Qué criterio permite afirmar la semejanza? b. Determina la medida de BC y EC. c. Calcula el perímetro del triángulo ABC. d. Sean F y G puntos medios de BD y CE. El triángulo AFG, ¿es semejante con los anteriores? Justifica.

8 Resuelve los siguientes problemas. a. A un triángulo equilátero de perímetro 54 cm se le aplica una homotecia de razón 1. ¿Cuál es el 3 perímetro del triángulo que resulta?

Evaluación

B

a. B es una imagen de una homotecia de A en razón . b. C es una imagen de una homotecia de B en . razón c. A es una imagen de una homotecia de D en . razón

b. A un triángulo rectángulo de cateto 12 cm e hipotenusa 20 cm se le aplica una homotecia de razón 4. ¿Cuál es el área y el perímetro del nuevo triángulo?

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Identificar y caracterizar polígonos semejantes en diversos contextos.

2 respuestas correctas

90 y 92

Comprender y aplicar los criterios de semejanza de triángulos.

2 respuestas correctas

96 y 97

Analizar y construir homotecias.

2 respuestas correctas

100 y 101

Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección? ¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

Unidad

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Sección 2

Teoremas de semejanza ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

Es importante porque te permitirá…

A comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Lección 16

analizar y calcular medidas de segmentos proporcionales.

A dividir trazos en una razón dada.

Lección 17

aplicar resultados vistos a la construcción de segmentos proporcionales.

A demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos.

Lección 18

resolver problemas relativos a la proporcionalidad de los trazos de los triángulos rectángulos.

A demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Lección 19

comprender y aplicar este teorema en la resolución de problemas.

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos?

Actividad

Ü Teorema Ü Paralelismo Ü Proporcionalidad Ü Perspectiva Ü Semejanza

§ ¿Cómo verificas si dos rectas son paralelas entre sí? Explica.

De esto se trata… Muchas veces pensamos que las artes solo tienen que ver con el talento, pero en realidad hay ocasiones en que la posibilidad de hacer buenas representaciones y obras tiene que ver con la aplicación de técnicas cuidadosamente aprendidas y puestas en práctica, que permiten crear efectos sorprendentes. Un buen ejemplo de ello son las perspectivas en los cuadros y algunas ilusiones ópticas que, aprovechando lo que nuestro cerebro desea interpretar, nos hacen “ver” cosas donde no las hay. En las figuras de esta página, por ejemplo, se aprovechan algunas rectas paralelas para hacernos creer que las líneas marcadas en verde no son del mismo tamaño cuando en realidad sí lo son… ¿o no?

Actividad grupal En parejas, lean y realicen las siguientes actividades.

➊ ¿Conocen otras ilusiones ópticas que se generan con rectas paralelas? ¿Cuáles? Investiguen y expónganlas al curso.

➋ ¿En qué consiste el punto de fuga? Investiguen en internet o con su profesor(a) de artes visuales, y realicen un dibujo de alguna parte de su colegio utilizándolo.

Propósito: que comprendas y apliques los teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras, en la resolución de problemas en diversos contextos. 108

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal

b.

1 Juzga si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Escribe V o F según corresponda. a.

1

3

b.

5

6

c.

7

4

d.

1

4

e.

8

2

f.

4

6

g.

6

3

h.

8

1

6

L1//L2 L1

L2

x

3.6 1 2 4 3

5 6 8 7

4 Calcula en cada caso el valor pedido. a. En un triángulo rectángulo uno de sus catetos mide 5 cm, y su hipotenusa mide 7 cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto? b. En un triángulo isósceles rectángulo su hipotenusa mide 18 cm. ¿Cuál es la medida de cada uno de sus catetos? Aplicar propiedades de las proporciones

2 Calcula la medida de los ángulos α , β, γ y δ en la figura. L3

γ

δ α

45°

L2

c. 2b –1 = 5– 3b 3 2

a c = b d

Aplicar el teorema de Pitágoras

3 Aplica el teorema de Pitágoras para calcular el valor de x en cada caso. 4

e. 13 = k+1 3 k–2 f. x – 3 = x–5 x+4 x+6

6 Determina en cada caso el término que falta en cada proporción, considerando que:

L₁ // L₂ L₃ // L₄

a.

d. a –1 = 5 2 11

Actividad

L1

a. 2 = 3 3 m b. 4 = 7 x –1 10

L4

80° β

5 Calcula en cada caso el valor de la incógnita.

x 5

a. a = c d b b. = d a a+c c. = c d

d.

=

b+a a

c e. a+b = c+d d f. c+d = c a+b

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Identificar y calcular ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. Aplicar el teorema de Pitágoras. Aplicar propiedades de proporciones.

No

2 respuestas correctas

1 o menos

2 respuestas correctas

1 o menos

2 respuestas correctas

1 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/OY2XC http://goo.gl/CWXwbi http://goo.gl/VJIhR

Unidad

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Lección

16

Propósito: Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales.

Teorema de Thales Historia…

Teorema particular de Thales

Thales vivió alrededor del año 640 al 560 a.C. en Mileto, Asia menor (actual Turquía). Es considerado el primero de los siete sabios de Grecia. Padre de las matemáticas y la filosofía griega, fue el primero en intentar explicar el mundo a través de causas naturales, aplicando la razón y no acontecimientos divinos de la creación. También fue un gran astrónomo. Se dice que logró predecir el eclipse solar del año 585 a.C.

Taller Lee y realiza las siguientes actividades. Jaime (J) y Gonzalo (G) suben un cerro por distintas laderas para realizar una exploración. Acordaron comunicarse al alcanzar los 500 metros de altura, como se muestra en la figura. C G

J

500 metros

El Nevado Ojos del Salado es el volcán más alto del mundo y se ubica en Chile. Su altura es de 6891 m sobre el nivel del mar.

750 metros A

D

B

1 La altura CD del cerro es de 750 metros. ¿Qué parte de esta altura han subido Jaime y Gonzalo? 2 La distancia AJ que ha recorrido Jaime es de 800 metros. ¿Cuál es la distancia JC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 3 La distancia BG que ha recorrido Gonzalo es de 600 metros. ¿Cuál es la distancia GC que le falta por recorrer? Explica cómo calcularlo. 4 Plantea una proporción que relacione las medidas AJ, JC, BG y GC. Ambos escaladores han subido 500 metros de altura, aunque para hacerlo han debido recorrer distancias distintas. Lo que les falta por recorrer para llegar a la cima es distinto para cada uno de ellos, pero se encuentra en la misma proporción con lo que ya han recorrido. Es decir: CJ CG = JA GB Para que esto se cumpla ambos deben estar a la misma altura respecto del suelo; en ese caso se observa que AB // JG. Este resultado podemos expresarlo como el: Teorema particular de Thales: Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre P ellos segmentos proporcionales entre sí. Q

S

QS // RT → R

T

PQ PS = QR ST

Además, ∆PQS ~ ∆PRT por criterio AA, por lo que se verifica la proporción: PQ PS QS = = PR PT RT 110

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1

2

3

4

Teorema particular y uso de software Taller Podemos utilizar un procesador geométrico para verificar algunas otras relaciones que se cumplen cuando trazamos rectas paralelas. En este caso utilizaremos GeoGebra, programa al que puedes acceder gratuitamente desde la página http://www.geogebra.org Paso 1 Con la herramienta , Recta Paso 3 Con la herramienta , Recta que pasa por Dos Puntos, traza dos rec- Paralela, construye las rectas paralelas a tas AB y AC. Luego construye la recta BC. BC por los puntos D, E y F. Luego, con la herramienta Intersección de Dos Objetos, ubica los puntos de intersección de las rectas anteriores con la recta AC. I

A

F A

E B

H

D

C

G

B

C

Paso 2 Con la herramienta , Nuevo Paso 4 Con la herramienta , DistanPunto, construye los puntos D, E y F sobre cia o Longitud, mide los segmentos AE, la recta AB, como se muestra. ED, DB, AH, HG, GC AF y AI I

F

F

AI = 2.46 A

AF = 2.41

A AE = 1.74

E

ED = 1.62 D DB = 1.18

B C

B

D

E

Ayuda

HA = 1.78 H

GH= 1.05 G

CG = 1.2 C

Considerando los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades y responde.

En GeoGebra, existen muchas herramientas agrupadas en un mismo botón. Para encontrarlas, mantén presionado el botón que corresponda; aparecerá un menú desplegable donde encontrarás la herramienta adecuada.

1 ¿Qué triángulos semejantes observas en la figura del paso 4? Identifícalos, plantea las razones correspondientes entre las medidas de sus lados y calcúlalas. 2 Calcula las razones ED y HG, y observa que los puntos E, B, H y C no forman DB GC un triángulo. ¿Qué puedes concluir? 3 Calcula las razones AE y AH . ¿Qué relación observas con el teorema partiAF AI cular de Thales? Unidad

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Lección

16 Teorema general de Thales Cuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse alguno de los siguientes casos:

p q

r

L1 // L2 L1 s

p s

L2

L1

L3

r

p

L2

L1

r

L1 // L2

q L2

L1 // L2 // L3 s

q

En ellos los segmentos que determinan las rectas paralelas en las transversales son proporcionales entre sí, es decir, p = r . Considerando las tres combinaciones q s posibles, podemos enunciar el: Teorema general de Thales: si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos o más transversales se determinan sobre las transversales segmentos proporcionales entre sí.

Ayuda Dada la afirmación “a implica b” (o “si a, entonces b”), se llama recíproco de ella a la afirmación “b implica a”. El recíproco del teorema de Thales se cumple también en los casos particulares: A B

Hemos visto que rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre las transversales que las cortan. En el dibujo se verifica la proporción AB = DE . ¿Son BC EF paralelas las rectas AD, BE y CF? A B C

D

C

E

E

Recíproco del Teorema de Thales

D E F

La respuesta es afirmativa, y constituye el: Recíproco del teorema de Thales: si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estas últimas segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí.

C A D

B

AB AD = → BD // CE AC AE

112

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1

2

3

4

Aplicaciones del teorema de Thales y su recíproco Podemos aplicar el teorema de Thales y su recíproco en el cálculo de medidas de segmentos, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Calcula el valor de x en la siguiente figura, si se sabe que QS // RT.

3 cm Q

4 cm

P

x cm S

Analiza… Calcula el valor de x en la siguiente figura, si AD // BE // CF A

6 cm

R

D

x–5 B

T

6 E

x–7 C

Por teorema de Thales se tiene que: PQ PS = QR ST

10 F

¿Es posible la situación? Justifica.

Por lo tanto, 3 x 18 = → 3• 6 = 4x → x = → x = 4,5 cm 4 6 4 Ejemplo 2: En la siguiente figura, OQ // PR. Denise debe trazar una recta ST, paralela a OQ y PR. ¿A qué distancia de Q debe ubicarse el punto T? O S P

2 cm 3 cm

Q T

10 cm R

Sea x la distancia QT, y con ello TR = 10 – x. Para que la recta ST sea paralela a OQ y a PR, debe cumplirse que: 2 x = → 2(10 − x ) = 3x → 20 − 2x = 3x → x = 4 3 10 − x Por lo tanto, T debe ubicarse a 4 centímetros del punto Q.

En resumen Teorema de Thales: Tres o más rectas paralelas que cortan a dos o más transversales, determinan sobre ellas segmentos proporcionales. Recíproco del Teorema de Thales: Si tres o más rectas determinan segmentos proporcionales sobre dos transversales, entonces las rectas son paralelas entre sí.

Razona

y comenta

§ En general, ¿es cierto §

siempre el recíproco de un teorema? Justifica. ¿En qué situaciones convendría utilizar el recíproco del Teorema de Thales para trazar dos rectas paralelas? Inventa una situación en que lo sea, y otra en la que no resulte directo hacerlo.

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

a) RQ // ST, RQ = 9 cm, TS = x, QS = 2 cm, SP = 4 cm Q

1. Determina en cada caso si se puede afirmar que la proposición es correcta, considerando la figura dada. Justifica por qué. L₁// L₂ L₃ // L₄

L1 f e

c

R

L2 b

a d

L5

T L4

b) ED // BC, AD = (2x + 4) cm, DB = 20 cm, AE = (3x + 12) cm, EC = 40 cm

a≅ b

e)

c≅ f

b)

b≅ c

f)

a≅ f

c)

c≅ d

g)

b≅ d

d)

d≅ e

h)

a≅ e

2. Aplica propiedades de proporciones para calcular en cada caso el valor de x. d) 3 = 1 2 x e) x + 5 = 3 4 16 x + 1 4 f) = 2x + 7 3

C E

c) AB // CD // EF, AC = 2 cm, CE = 3 cm, BD = 2,5 cm, DF = x cm A

D

20 cm E

x A

5 cm B

D

E

F

d) AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm B 5 cm 4 cm D E x cm C A 8 cm

el ejemplo:

C

B

C

3. Calcula el valor de x en cada figura. Guíate por Ejemplo: AB // DE, CD = 24 cm, DA = x, CE = 20 cm, EB = 5 cm.

F

e) ED // ACED = 12 cm, DB = (2x + 5) cm, AC = 8 cm, BA = (x + 4) cm A

4  24 20 = 24+x  25

E

C

B

5

24 • 5 = 4 (24 + x ) 24 • 5 = 4 •24 + 4x 24 = 4x 24 =x 4 6= x

D

f) BC // EF, AF = (3x + 3) cm, FB = (7x +1) cm, CE = (2x + 2) cm, EA = (x + 1) cm C E A

114

B

D

A

Práctica guiada

24 cm

P

L3

a)

a) x = 9 5 15 2 b) = 12 7 x c) 4 = 16 6 x

S x

F

B

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1

determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas. Guíate por el ejemplo. A

AC = 8 cm CE = 4 cm BD = 6 cm DE = 2 cm

B C

D E

Paso 1

¿AB // CD?

Se calcula la razón entre los segmentos determinados sobre las transversales. AC = CE

Paso 2

8 = 2 4

BD = DE

6 = 3 2

Se concluye que, dado que los valores de las razones no son iguales, los segmentos no son proporcionales y, por lo mismo, las rectas no son paralelas.

a)

EA = 2 cm AC = 4 cm EB = 3 cm BD = 6 cm

E A

B

C

D

5. Resuelve los siguientes problemas: a) Antonia y su hermana Camila se encuentran a 50 cm de distancia una de otra y a cierta hora Antonia genera una sombra de 120 cm. Si las sombras terminan en un mismo punto y se sabe que Camila mide 1,45 m y es más alta que su hermana, ¿cuál es la altura aproximada de su hermana? b) Tres arboles están alineados, y ordenados de menor a mayor tamaño. El árbol de menor tamaño mide 90 cm de altura; el de mayor tamaño, 3,6 m y la distancia entre ellos es de 4 metros. Si el árbol restante equidista a los otros, ¿Cuál es su altura? c) Un edificio genera una sombra de 100 m. A la misma hora, una casa vecina al edificio genera una sombra de 15 m. Si el edificio mide 40 metros de altura, ¿Cuál es la altura de la casa si su sombra termina en el mismo punto que la sombra del edificio?

6. En la figura AD // BE // CF . Si AB : AC=1 : 4 y EF = 2AB = 30 cm, calcula la medida del segmento DF. A B

b)

A

B

E C

c)

D

A

B C

D E

d)

F

A

B

¿AB // CD?

C

D

F

E

AC = 8 cm AE = 23 cm BF = 11,5 cm DF = 7,5 cm ¿AB // CD // DF?

AC = 2x cm CF = 3x cm BD = 18k cm BE = 45k cm ¿AB // CD // EF?

4

Aplica

¿AB // CD?

AE = 18 cm ED = 12 cm BC = 35 cm EC = 14 cm

3

Practiquemos lo aprendido

4. Aplica el recíproco del teorema de Thales para

2

C

D E F

7. Sean tres rectas, AB, CD y EF, paralelas entre sí, cortadas por dos transversales en los puntos A, C, E y B, D, F respectivamente. Verifica la veracidad o falsedad de las siguientes proporciones. a) AC = BD CE DF b) AE = CE BF DF

c) AB = CD CD EF d) AC = CE CD EF

8. Desafío: se cuenta que Thales, en una visita a las pirámides de Egipto quedó tan embelezado ante estos monumentos que quiso saber inmediatamente su altura. Para hacerlo se valió de una relación de semejanza entre dos triángulos rectángulos. Averigua y describe el procedimiento utilizado por Thales.

Reflexiona § Existen edificios cuyas paredes no forman ángulos rectos con el suelo. ¿Cómo se verifica en ellos que cada uno de los pisos sea efectivamente horizontal? Justifica y comenta con tus compañeros.

Unidad

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Lección

17

Propósito: Dividir trazos en una razón dada.

Debes saber… Dos rectas paralelas cortadas por una transversal definen ángulos alternos internos congruentes. A la vez, si dos rectas son cortadas por otra formando ángulos alternos internos congruentes, las rectas son paralelas. L1 // L2

División interior de trazos Para construir una escalera un carpintero ubicará 6 escalones a lo largo de una viga que mide 1,7 metros, como se muestra en la figura. Para ello, debe dividir la viga en 7 partes iguales, lo que hace que cada tramo deba medir 1,7 = 0,2428571. 7 Hacerlo de esta manera siempre implica una inexactitud porque el período del número obtenido implica realizar infinitas veces la división y obtener siempre un resto. Una alternativa es hacerlo en forma geométrica, como puedes ver en los siguientes pasos.

L2 L1

Paso 1 Sea AB el trazo que representa la viga que se va a dividir. Construye el ángulo BAC, de la medida que quieras.

Paso 3 Al último punto marcado sobre el rayo AC le llamaremos Q. Se traza el segmento QB.

C

Q

C

P A

Ayuda Por teorema particular de Thales:

B

Paso 2 Ubica un punto P sobre el rayo AC. Con el compás, toma la medida de AP y cópiala 6 veces consecutivas sobre el rayo AC.

A

B

Paso 4 Por cada uno de los puntos ubicados en el rayo AC se trazan rectas paralelas a QB. Se divide así el segmento AB en 7 partes iguales.

C

PA 1 AT = = PQ 6 TB

Q

C

Es decir, 6AT = TB Luego,

P

AB = AT + TB = AT + 6AT = 7AT

116

A

P B

A

T

B

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1

2

3

4

Si llamamos T, U, V, W, X e Y a los puntos obtenidos podemos observar que: T

U

V

W

X

Y

A

B

AT 1 = TB 6

AU 2 = UB 5

AV 3 = VB 4

AW 4 = WB 3

AX 5 = XB 2

AY 6 = YB 1

En general, decimos que un punto M divide a un segmento AB en razón p si se q cumple que: kp kq AM p = MB q A M B ¿Cómo podemos dividir un segmento AB en una razón p dada? Podemos seguir q alguno de los siguientes métodos (se utilizará razón 2 ). 3 Método 1

Método 2

Paso 1 Se traza un rayo AC en el que se copia dos trazos de una misma medida p (p = 2), obteniendo el punto P.

Paso 1 Desde A y B traza los rayos AC y BD, pero en sentido contrario. C

C B

A P A

D

B

Paso 2 Desde P copia tres trazos de una misma medida q (q = 3), obteniendo el punto Q. Luego une Q con B. En P traza una recta paralela a QB determinando R en AB. Q

C

C

P A

P A

Paso 2 Con una misma medida copia 2 trazos (p = 2) en el rayo AC obteniendo P y con la misma medida 3 trazos (q = 3) en el rayo BD determinando Q. Une P con Q, determinando R en AB.

R

B

R

B

El punto R divide al segmento en la razón pedida.

D

Q

El punto R divide al segmento en la razón pedida.

Razona

y comenta

§ Un punto divide a un segmento en razón 1:1. ¿Qué significa esto? § Inventa una forma para dividir un segmento en una razón dada utilizando otro caso del teorema de Thales.

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

3. Calcula las razones que se piden en cada caso,

Repaso 1. Utiliza regla y compás para determinar o construir en cada caso lo que se pide.

considerando la figura. 0 cm Q

a) El punto medio del segmento AB.

10 cm D

20 cm

A

R

30 cm P

E

B

T F

La razón en que divide E al segmento QB

A

Paso 1

B

b) Una recta paralela a PQ, que pase por el punto R. R

P

Se establece la razón entre los segmentos. El punto E divide al segmento QB en razón QE EB Paso 2

Q

c) Una recta perpendicular a la recta MN, por el punto T. T

Se remplazan los valores en cm y calcular la razón. QE 20 2 = = EB 10 1

Esto quiere decir que el segmento QB se dividió en 2+1=3 partes de 10 cm cada una, donde QE considera dos partes y EB solo una. a) La razón en que divide A al segmento QE. b) La razón en que divide T al segmento BF.

N M

d) Una recta perpendicular al segmento AB, por el punto A. B

A

c) La razón en que divide P al segmento ET. d) La razón en que divide R al segmento AP. e) La razón en que divide D al segmento QF.

Aplica 4. Utiliza regla y compás para dividir los siguientes

Práctica guiada

segmentos según se pide.

2. Aplica el procedimiento del método 2 (visto en

a) Un segmento de 5 cm de largo en 3 partes iguales.

la lección) para dividir los siguientes trazos en la razón dada. a) Un segmento AB de 5 cm de largo, en razón 1 : 3. b) Un segmento PQ de 8 cm de largo, en razón 3 : 4. c) Un segmento MN de 7 cm de largo, en razón 5 : 2. d) Un segmento KS de 9 cm de largo, en razón 7 : 4.

b) Un segmento de 6 cm de largo en 9 partes iguales. c) Un segmento de 11 cm de largo en 10 partes iguales. d) Un segmento de 10 cm de largo en 2 partes, de modo que una mida la sexta parte de la otra.

5. Calcula la razón en la que cada punto divide al segmento dado. Para ello, considera que el trazo AG está dividido en partes de igual medida. F G

e) Un segmento PJ de 13 cm de largo, en razón 5 : 6. B

C

D

E

A

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1

3

4

El punto Q divide exteriormente al segmento AB en razón y+z . z a) ¿En qué razón divide el punto A al segmento PB? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que P divide al segmento AB?

b) El punto F, al segmento BG. c) El punto C, al segmento AE. d) El punto E, al segmento CG.

b) ¿En qué razón divide el punto B al segmento AQ? ¿Qué relación observas entre esta razón y aquella en la que Q divide al segmento AB?

e) El punto D, al segmento AE. f) El punto B, al segmento AG.

6. Resuelve los siguientes problemas. a) El punto P divide interiormente al trazo AB en la razón 7 : 5, AP = (x + 1) cm y PB =2x cm. Calcula el valor de x.

c) Si un punto R divide exteriormente a un segmento AB en razón 3 , ¿a qué lado del punto A se encuentra? 7

b) El punto P divide al segmento AB en razón 3k. Si AP = k + 5 cm y PB = 7 cm, calcula la medida del segmento AB.

d) Si un punto W divide exteriormente a un segmento AB en una razón mayor que 1, ¿a qué lado del punto A se encuentra? Compara con lo obtenido en la pregunta anterior. ¿Qué puedes concluir?

c) El punto P divide al segmento AB en razón 3 : (m + 1), de modo que AP = 5 cm, y PB = (m+2) cm. Calcula el valor de m.

e) Determina un método para dividir exteriormente un segmento aplicando el teorema de Thales.

d) Un trazo se divide interiormente en la razón 4 : 7. Si este mide 55 cm, ¿cuál es el cuadrado del segmento de menor medida que se forma? e) Un trazo de 32 cm se divide interiormente en la razón 5 : 3. Si sobre los segmentos que se forman se construyen dos cuadrados, ¿cuál es la suma de las áreas de ambos cuadrados? ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero que se forma? f) Un trazo se ha dividido interiormente en la razón 5 : 1. Si la medida del segmento mayor que se forma es 30 cm, ¿cuál es la quinta parte de la medida del segmento de menor medida?

Practiquemos lo aprendido

a) El punto B, al segmento AD.

2

f) Aplica el método anterior para dividir exteriormente un segmento de 10 cm de largo en razones 4 y 9 . 9 4 8. Desafío: utilizando regla y compás, construye una homotecia del triángulo ABC, con centro O y razón 4 : 3. C O

A B

7. Desafío: Considera el segmento AB, y los puntos P y Q ubicados en sus prolongaciones. y

x P

A

z B

Q

Decimos que: •

El punto P divide exteriormente al segmento AB en razón x . x+y

Reflexiona § ¿Será posible dividir un segmento en razón 3 ? Investiga y discute un procedimiento con tus compañeros. 2

Unidad

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Lección

18

Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Euclides.

Teorema de Euclides

Debes saber…

Taller

§ La altura de un triángulo

es una recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto o prolongación de éste. § Al trazar dos rectas perpendiculares a partir de los extremos A y B del segmento AB, sobre la recta L tenemos la proyección del segmento AB, que es PQ.

Lee y realiza las siguientes actividades. En la figura se muestra un triángulo ABC rectángulo en C; en el que se ha trazado la altura hc. C a

b hc α A

q

β B

c

B

1 En el triángulo ABC llamamos α y β a los ángulos correspondientes a los vértices A y B, respectivamente.

A

P

p

D

Q

L

a) ¿Cuál es el valor de α + β? Justifica. b) Expresa la medida de β en términos de α. c) ¿Qué otros ángulos en la figura miden α? ¿Cuáles miden 90° – α? Escríbelos y justifica por qué.

Historia…

2 En el triángulo ABC, sus lados son a, b y c ,y sus ángulos α, β y 90°. a) ¿Cuáles son los lados y ángulos del triángulo ADC? b) ¿Son semejantes entre sí los triángulos ABC y ADC? Justifica por qué. c) Escribe las proporciones correspondientes a los lados de ambos triángulos. d) Expresa la medida de b2 en términos de otros dos segmentos. 3 Considera los triángulos BDC y BCA. a) Escribe los lados y ángulos de cada uno de la misma forma que en la actividad 2. b) ¿Son semejantes entre sí? Justifica por qué. c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados.

Euclides (vivió alrededor del año 300 a. C.) Fue un matemático y geómetra griego. Se le conoce como "El Padre de la Geometría". Es muy poco lo que se sabe de su vida. Su gran obra es el libro “Los elementos” que reúne todos los conocimientos de geometría de su época. 120

d) Expresa la medida de a2 en términos de otros dos segmentos. 4 Considera los triángulos ADC y CDB. a) Escribe sus ángulos y sus lados de la misma forma que en las actividades 2 y 3. b) ¿Son semejantes entre sí? Justifica por qué. c) Escribe las proporciones correspondientes a sus lados. d) Expresa la medida de hc2 en términos de otros dos segmentos.

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1 Al trazar la altura de cualquier triángulo rectángulo respecto de su ángulo recto se forman dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al inicial. Las proporciones que se presentan dan lugar a tres resultados que constituyen el Teorema de Euclides:

2

3

Observa que… Demostración del Teorema de Euclides C

Sea ABC un triángulo rectángulo en C y hc la altura desde ese vértice. Entonces: a

a) El cuadrado de la altura es igual al producto de las proyecciones hc² = p • q

A

b) El cuadrado de la medida de un cateto es igual al producto entre su proyección y la hipotenusa a² = p • c b² = q • c Esta relación nos permitirá calcular las medidas de algunos segmentos en un triángulo rectángulo, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Establecemos las relaciones entre los distintos segmentos presentes en el triángulo según el teorema de Euclides. R

PR² = RS • RQ PS² = QS•RS

S

Paso 2

6 cm

Aplicando el teorema de Pitágoras a los triángulos DBC y ADC se obtiene las siguientes igualdades: a2 = p2 + hc 2

Sumando término a término: a2 + b2 = p2 + q2 + 2hc 2

(p + q)2 = p2 + q2 + 2hc 2

Remplazamos las medidas de los segmentos en las relaciones anteriores, para calcular los términos faltantes: QS = 3 cm

p2 + 2pq + q2 = p2 + q2 + 2hc 2

De donde se deduce:

PR = x cm

2pq = 2hc 2

Tenemos que: PQ² = QS • QR → 62 = 3 • QR → 36 = 3 • QR → QR = 12 cm Ya que: RQ = QR = RS + QS → 12 = RS + 3 → RS =9 cm Por lo tanto: = x 108 = 6 3 PR² = RS • RQ → x² = 9 • 12 → x² = →

p • q = hc 2

Razona

Entonces, x = 6 3 cm.

y comenta

§ Analiza si en un trián-

En resumen El teorema de Euclides afirma que si ABC es un triángulo rectángulo en C, y hc es la altura relativa a la hipotenusa, se cumple que: hc² = p • q

q+p=c

Y como c = p + q se tiene:

Q

PQ = 6 cm

a² = p • c

b² = q • c

Donde p y q son las proyecciones de los catetos a y b correspondientemente sobre la hipotenusa.

gulo ABC, rectángulo en C, se cumplen las siguientes relaciones:

B

p

a2 p = b2 q

c

a D hc

C

q b

A

hc =

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B

p

c 2 = p2 + q2 + 2hc 2

3 cm P

D

q

Como ABC triángulo rectángulo, sabemos que c 2 = a2 + b2 por teorema de Pitágoras, entonces

PQ² = QS • QR x cm

b

hc

b2 = q2 + hc 2

Ejemplo: calcula el valor de x en la siguiente figura. Paso 1

4

a•b c

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

F

a)

1. Calcula el valor de x en los siguientes triángulos. a)

B 3

95°

2

51°

x A

b)

4

b) B

x

C 3

c)

D

6

E

2

E

C

F

4

57°

62°

1,5

x 2x

D

A

c)

D

2x B

d)

4,5

3

F 135º

27º

C 135º

27º

x

8 5

x+22°

E

A

2. Construye la altura de los siguientes triángulos en dos de sus vértices. a)

Práctica guiada 4. En el triángulo ABC, rectángulo en C, D es el pie de la altura trazada desde la hipotenusa. Calcula en cada caso el valor de x. Guíate por el ejemplo. B

b)

C

Paso 1

c)

criterio por el cual son semejantes, escribe la semejanza considerando sus vértices y escribe las proporciones entre las medidas de sus lados y las congruencias respectivas entre sus ángulos.

122

A

AB = 8 cm BD = 2 cm BC = x cm

AB es la hipotenusa del triángulo, BC es un cateto y BD es la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. Por lo tanto: BC² = BD • AB

Paso 2

3. Para cada pareja de triángulos identifica el

D

Se remplazan los valores y se calcula. x² = 2 • 8 x² = 16 x=4

a) AB = x cm, BD =1cm, BC = 3 cm b) AB = 12 cm, AD = 3 cm, AC = x cm c) CD = 10 cm, AD = 5 cm, BD = x cm

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1

5. Considera cuatro triángulos ABC llamados T1, T2, T3 y T4. Todos son rectángulos en C, con D pie de la altura trazada desde la hipotenusa, AC = b. AB = c, BC = a, BD = p, AD = q, CD = hc. Completa la siguiente tabla. T1

a b c hc p q

T2

4 cm 3 cm 5 cm

T3

T4

7 cm 24 cm 25 cm

6m

9 cm 4 cm

3m

6. Calcula los valores de x e y en las siguientes figuras. a) X 30 cm y 40 cm

b)

4

c) La altura respecto a la hipotenusa en un triángulo ABC rectángulo en C mide 12 cm, y los segmentos que ella determina sobre la base están en la razón 9 : 16. ¿Cuál es la longitud de cada lado del triángulo? d) La base de una escultura tiene 2 m de ancho. Dos focos luminosos, uno por delante y otro por atrás, se ubican a 4 m y 6 m de distancia de la base respectivamente para iluminar la cúspide de la escultura. Los rayos de luz se intersecan formando un ángulo recto. Calcula: • la altura de la escultura. • las distancias a las que están los focos de la cúspide.

8. Desafío: la distancia de una recta a un punto en el plano cartesiano se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta trazado desde el punto. Observa que en la figura la distancia de la recta representada por la función 4 afín y = – x+8 al origen está representada por el 3 segmento AD. C

y

3

Practiquemos lo aprendido

Aplica

2

Y D

16 cm 25 cm

c)

y

x

8 cm 6 cm

A

B

X

a) Determina los puntos de intersección de la recta con los ejes X e Y. X

7. Resuelve los siguientes problemas: a) En un triángulo ABC rectángulo en C se sabe que AB = 1m, BC = 80 cm y AC = 60 cm. Calcula las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa y la altura respecto a la misma. b) Los catetos de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4. Si la altura respecto a la hipotenusa mide 0,84 m, ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo?

b) ¿Cuánto mide el segmento AB y el segmento AC? c) Calcula la longitud del segmento AD ¿cuál es la 4 distancia de la recta y = – x + 8 al origen? 3 d) Calcula la distancia entre la recta que representa 4 a y = – x + 4 y el origen del plano cartesiano. 3 e) Determina una fórmula para calcular la distancia al origen de la recta representada por la función afín y = mx + n.

Reflexiona § Considera un triángulo PQR, rectángulo en su vértice Q. ¿Cómo plantearías en él el teorema de Euclides? § En general, ¿qué cuidados crees que se deben tener en matemática al nombrar los elementos y enunciar un teorema? Comenta con tus compañeros.

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Lección

19

Propósito: Demostrar y aplicar el teorema de Pitágoras y su recíproco.

Debes saber…

Teorema de Pitágoras y recíproco

§ Teorema de Pitágoras:

En años anteriores has estudiado el teorema de Pitágoras y sus aplicaciones. En esta lección analizaremos por qué se cumple y si es cierto su recíproco.

En todo triángulo rectángulo se tiene que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa: a2 + b2 = c2

Teorema de Pitágoras Paso 1

Considera un triángulo ABC, rectángulo en C. Se traza su altura hc y se identifican las medidas de sus lados y las proyecciones de la altura hc. C

B

a

b

c

a

A

hc p

q

B

c C

b

A

Paso 2

§ Los números naturales

Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen rectángulos de lados q y c, y p y c.

a, b y c que cumplen con la relación a2 + b2 = c2 se llaman tríos pitagóricos. Ejemplo: 3, 4 y 5. 32 + 42 = 52 9 + 16 = 25

C a A

Historia…

124

q

p

B

c

Paso 3

Pitágoras (572-497 a.C.) Filósofo y matemático griego, fundador de una escuela religiosa, política y filosófica de gran influencia en la Grecia antigua.

b

hc

Por teorema de Euclides se verifica que a² = pc b² = qc pc + qc = a² + b²

además, p + q = c, por lo tanto, pc + qc = (p + q)c = c • c = c² Entonces, a² + b² = c²

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1

2

3

4

Recíproco del teorema de Pitágoras Paso 1

Considera un triángulo ABC en el que se cumple la relación a² + b² = c². Trazamos su altura h respecto del lado c. Una de las proyecciones mide x, y la otra mide c – x. C a

b

A

h x

c–x

D

B

c

Paso 2

Se observa que los triángulos ADC y BDC son rectángulos en D. Se cumple en ellos el teorema de Pitágoras. a² = (c – x)² + h² → h² = a² – (c – x)² b² = x² + h² → h² = b² – x² Por lo tanto,

Se igualan las expresiones a² – (c – x)² = b² – x² a² – (c² – 2cx + x²) = b² – x² a² – c² + 2cx – x² = b² – x² a² – c² + 2cx = b² a² – (a² + b²)+ 2cx = b² a² – a² – b²+ 2cx = b² 2cx = 2b² cx = b • b c b = b x

Paso 3

Por hipótesis, c2 = a2 + b2

Se observa que en los triángulos DAC y CAB: CAD ≅ CAB = CAD ~ CAB por criterio LAL c b = b x Por lo tanto, CDA ≅ ACB. Pero CDA = 90°, por lo tanto, ACB = 90°

Es decir, hemos demostrado que si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, el triángulo es rectángulo. En resumen

Razona

y comenta

§ Un triángulo de lados

Teorema de Pitágoras: Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Entonces a² + b² = c² Recíproco del teorema de Pitágoras: Si en un triángulo se cumple que la suma de los cuadrados de las medidas de dos lados es igual al cuadrado de la medida del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.

3n, 4n, 5n; con n ∈ , ¿es rectángulo?

§ ¿Cuáles son los lados

de un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 60 cm?

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Paso 1

El mayor lado es QR, de medida 12 m. En caso de ser un triángulo rectángulo, QR debe ser la hipotenusa.

Paso 2

Se analiza si se cumple la relación QR² = PQ² + RP²

1. Verifica si los siguientes tríos de números representan tríos pitagóricos, es decir, si pueden ser medidas de los lados de un triángulo rectángulo. a) 3, 4 y 5

f) 12, 15 y 27

b) 5, 12 y 13

g) 140, 171, 221

c) 7, 24 y 25

h) 280, 352, 450

d) 12, 35 y 37

i) x² – y², 2xy, x²y²

e) 10, 15 y 20

j) x,

2

2

x –1 x +1 , 2 2

2. Calcula en cada caso el valor de x. a) x

QR² = 12² = 144 PQ² + RP² = 11² + 6² = 121 + 36 = 157 Se observa que QR² ≠ PQ² + RP²; por lo tanto, el triángulo no es rectángulo. a) 9, 5, 7

d) 1, 1, 2

b) 3,5; 12,5; 12

e) x, 2, x2+2

c) 32, 24, 40

f) a, a2, a3

Aplica 4. Calcula el perímetro y área de las siguientes figuras.

4 3

D

a)

C

12 cm

b)

19,24

ABCD es cuadrado

E 5 cm

x

3,2

A

b) A

c)

6 cm E

B

15 cm

x

4

D

AC = 15 cm. B

6

d)

C

5. Calcula lo que se pide en cada caso.

x

12

16

Práctica guiada 3. Determina en cada caso si el triángulo PQR es rectángulo, dadas las medidas de sus lados. Guíate por el ejemplo. PQ = 11 cm, QR = 12 m, RP = 6 m

126

9 cm

a) La medida de la diagonal de un rectángulo cuyo ancho mide 8 cm y el largo 15 cm. b) La medida de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide a. c) La medida de la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 cm. d) La medida del lado de un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 12 cm (Ayuda: las diagonales de un rombo se dimidian, y además son perpendiculares).

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1

rectángulo en C, cuyos lados son AB = c, BC = a y AC = b. Comprueba en caso que el área de la figura roja corresponde a la suma de las áreas de las figuras azul y verde. a)

c B

c

a a

4

c) ¿Cuál es el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 6 cm y 8 cm? d) El perímetro de un triángulo equilátero es de 36 cm ¿Cuál es el área? e) ¿Cuál es el área de un triángulo isósceles, cuyos lados miden 25 cm, 25 cm y 14 cm? f) Dentro de un rectángulo de lados 6 cm y 8 cm se ha construido un rombo cuyos vértices equidistan los lados del rectángulo. ¿Cuál es el área de la parte que no cubre el rombo?

A

C b

b)

3

Practiquemos lo aprendido

6. En las siguientes figuras, ABC es un triángulo

2

b

Ayuda: la medida de la altura del triángulo equilátero cuyo lado mide x es x 3 2

6 cm

B 8 cm

A

C

c)

g) Calcular el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de perímetro 25,12 cm (considera π=3,14).

c 2 a 2 B

r c

O

a C b

A b 2

7. Resuelve los siguientes problemas.

h) Una escalera de 2 m se apoya en la pared a una distancia de 50 cm. ¿Qué altura alcanza?

8. Desafío: analiza y explica la siguiente demostración del teorema de Pitágoras.

a) ¿Cuál es la medida del tercer lado de un triángulo para que sea rectángulo, si los otros dos lados miden 33 cm y 65 cm? b) Dos bicicletas parten de un mismo punto en direcciones perpendiculares. Ambos circulan a una rapidez constante de 40 km/h. Al cabo de dos horas ¿a qué distancia se encuentran uno del otro?

Reflexiona § ¿Cómo puede aplicarse el recíproco del teorema de Pitágoras a la construcción de ángulos rectos? Investiga y comenta con tus compañeros.

Unidad

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Es posible doblar un papel a la mitad sucesivamente, y obtener así una división en 2, 4, 8, 16 partes o, en general, una potencia de 2 (aunque al aumentar el número de pliegues la dificultad aumenta notoriamente). Sin embargo, ¿cómo podemos doblar un papel, por ejemplo, en 3 partes iguales? En grupos de 3 personas, realicen la siguiente actividad. Paso 1 Tomen una hoja rectangular y dóblenla a la mitad por su lado más corto. Luego, dóblenla nuevamente a la mitad por ese lado y extiéndanla. Quedarán marcados tres dobleces paralelos.

Paso 3 Dos de los dobleces iniciales son intersecados por el doblez anterior. Doblen ahora la hoja en los puntos de corte, en forma perpendicular a los dobleces paralelos.

Paso 2 Doblen la hoja diagonalmente desde el extremo del tercer doblez hasta la esquina opuesta de la hoja.

Paso 4 Extiendan la hoja y verifiquen que ha quedado doblada en 3 partes iguales.

Discutan grupalmente. a) ¿Qué teorema permite afirmar que la hoja ha quedado doblada en tres partes iguales? Justifiquen asignando letras a los pliegues y a los puntos de intersección entre ellos. b) ¿Es posible utilizar este sistema para doblar una hoja en 5 partes? ¿En 7 partes? Justifiquen en cada caso el procedimiento utilizado, y compruébenlo doblando una hoja en 5 y en 7 partes. c) Paulina quiere doblar una hoja de papel de modo que las partes queden en razón 2 : 3. ¿Cómo puede hacerlo? Expliquen un método para ello. 128

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

2

3

Aprende la forma correcta

Gerardo quiere calcular el valor de x en la siguiente figura, donde AB // CD, AE = 3, EC = x, ED = 8 y EB = 4. A

Para hacerlo, plantea la siguiente proporción:

B

8 4 = x 3 8 • 3 = 4x 24 = 4x x=6

E

C

D

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Gerardo? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Thales?

Al aplicar el teorema de Thales es muy importante identificar correctamente cuáles son los segmentos proporcionales entre sí. En este caso, una de las proporciones correctas es EA EB = ED EC

Con ello, EA EB 3 4 = → = ED EC 8 x 3x = • 4 3x = 32 x=

Analiza la situación

32 3

Aprende la forma correcta

Valeska quiere calcular la medida de BC en la siguiente figura, donde se sabe que AD = 3 cm y BD = 9 cm. B

Para hacerlo aplica el teorema de Euclides, utilizando que BC = a, AD = p, BD = q y, con ello, AB = AD + BD = 3 + 9 = 12 a2 = p • c BC2 = AD • AB

D

BC2 = 3•12 BC2 = 36

C

4

A

BC = 6

Razona

y comenta

Al aplicar el teorema de Euclides es fundamental nombrar correctamente a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. En este caso, se llamó erróneamente p a AD, cuando en realidad p = BD. Con ello se obtiene que: a2 = p• BC 2 = BD• B BC 2 = •12 BC 2 = 108 = BC 108 = 6 3

§ ¿Cuál es el error cometido por Valeska? § ¿Qué otros errores pueden cometerse al aplicar el teorema de Euclides?

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto a los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

Unidad

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Integrando lo aprendido 3 Aplica el recíproco del Teorema de Thales para determinar en cuál(es) de los siguientes casos las rectas por las que se pregunta son paralelas.

Lección 16: Teorema de Thales 1 Calcula el valor de x en cada figura. a. AB // CD // EF, AC = 8 cm, CE = x cm, BD = 5 cm, DF = 4 cm B

D

a. ¿AB // CD? C A

F

E

E C

D

B

A

b. ¿AB // CD // EF?

b. AB // DE, CD = 12 cm, DA = 6 cm, DE = 18 cm, AB = x cm

A

C

B

AC = 20 cm CE = 16 cm BD = 30 cm BF = 54 cm

D

C E

F

E

D A

Lección 17: División de trazos

B

c. AB // DE, AB = 6 cm, AC = 5 cm, CE = 4 cm, DE = x cm

Evaluación

AE = 27 cm ED = 15 cm BC = 40 cm EC = 18 cm

A

B

4 Aplica alguno de los métodos aprendidos para ubicar los puntos P, Q y R en el siguiente segmento con las condiciones dadas. A

C D

E

2 Calcula el valor de x e y en cada figura. a. BC // DE, AC = 6 cm, CE = y cm, AB = x cm, BD = 2 cm y AD = 6 cm E

B

D

b. AB // CD // EF, AB = 12 cm, CG = y cm, AC = 4 cm, CE = 12 cm, DF = x cm, BD = 6 cm

G

A

b. El trazo AB mide (x + 4) cm, y está dividido interiormente en razón 1 : 2 por el punto P. Si AP mide (x – 2) cm, ¿cuál es la medida del trazo AP?

Lección 18: Teorema de Euclides 6 Completa la siguiente tabla a partir de los datos de la figura.

F

E C

a. P divide al segmento AB en razón 3. 2 b. Q divide al segmento AB en razón 1 . 4 5 c. R divide al segmento AB en razón . 3 5 Resuelve los siguientes problemas. a. Se sabe que P divide interiormente al trazo AB en razón 5 : 2. Si AP = (x – 1) cm y PB = (x – 2) cm, ¿cuánto mide el trazo AB?

C

A

B

b

D

B

h p

a q

c

130

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1 c

16 4

p

q

6

2

h

20

7 Calcula el valor de las incógnitas en las siguientes figuras. a.

24 cm

7 cm

x=

x

y=

y

b.

y

z

x= x

10 cm

10,5 cm

y= z=

c. 6 cm

10 cm

y x

z 8 cm

3

b. Se sabe que un triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia de centro O y diámetro AB es rectángulo. Además, CB = 17 cm y AC = 64 . 17 ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?

Lección 19: Teorema de Pitágoras y recíproco 9 Determina en cada caso si el triángulo ABC es rectángulo, dadas las medidas de sus lados. a. AB = 30 cm, BC = 40 cm y CA = 50 cm. b. AB = 0,9 cm, BC = 0,12 cm y CA = 0,15 cm. c. AB = 24x cm, BC = 10x cm y CA = 26x cm. 10 Calcula el cada caso el valor de x. b. a.

x= y=

x cm 20 cm

z=

25 cm

5 cm

12 cm

Evaluación

x cm

8 Resuelve los siguientes problemas.

4

16 cm

b

13 cm

a

2

11 Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura. 15 cm

a. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17 m y el menor de sus catetos mide 8 m. ¿Cuánto mide la altura respecto del ángulo recto?

40 cm

32 cm

Autoevaluación

Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Comprender y aplicar el teorema de Thales sobre trazos proporcionales. Dividir trazos en una razón dada. Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. Demostrar y aplicar los teoremas de Euclides relativos a proporcionalidad de trazos. Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas.

2 respuestas correctas

110 y 112

2 respuestas correctas

116 y 117

2 respuestas correctas

120 y 121

2 respuestas correctas

124 y 125

Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?

Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?

¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

Unidad

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Sección 3

Ángulos y segmentos en la circunferencia ¿Qué aprenderás?

¿Dónde?

Es importante porque te permitirá…

Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

Lección 20

calcular la medida de los ángulos inscritos y del centro de una circunferencia.

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

Lección 21

aplicar la semejanza para demostrar las relaciones entre trazos en una circunferencia.

Explorando tus ideas previas § ¿Qué te sugieren los siguientes términos? Ü Circunferencia Ü Círculo Ü Arco Ü Cuerda

Actividad

Ü Secante

De esto se trata… Un arcoíris es un bello espectáculo de la naturaleza. En su formación influyen una gran cantidad de sucesos climáticos y, por supuesto, están presentes la matemática y la física. Isaac Newton demostró en el siglo XVII que la luz blanca puede descomponerse en sus distintos colores que no son más que distintas frecuencias de onda. Esto sucede por el proceso de refracción que hace que las distintas longitudes de onda tomen rumbos distintos generando un arcoíris primario y uno secundario, más tenue y con los colores invertidos.

Ü Tangente

Actividad grupal

En realidad, un arcoíris es una circunferencia completa, pero una parte de él no la vemos pues se encuentra bajo el horizonte. Sin embargo, en teoría sería posible ver la circunferencia completa en algunos casos, pero deberíamos estar volando varios metros sobre el suelo.

Observen el video ubicado en http://goo.gl/GfizJ y respondan las siguientes preguntas.

➊ ¿En qué ángulo sobre el horizonte se observa el arcoíris primario? ¿Y el secundario? ➋

¿Por qué se produce esto? Si medimos los ángulos desde el horizonte hasta los extremos inferior y superior arcoíris primario, ¿cuál es la diferencia entre ellos?

Propósito: que comprendas algunas relaciones entre segmentos y ángulos que se forman en una circunferencia, y las apliques en la resolución de problemas. 132

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1

2

3

4

¿Qué debes saber? Realiza las siguientes actividades. c.

Identificar elementos lineales de la circunferencia

x

1 Construye los siguientes elementos en la circunferencia (lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro).

63º

d.

O

a. Cuerda

x

110º

b. Radio c. Tangente e.

d. Secante

C 4x

Actividad

e. Diámetro f. Arco 2 ¿Qué relación existe entre el radio y el diámetro de una circunferencia? Explica. Calcular ángulos en triángulos

5x A

59º

B

D

4 Juzga si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

3 Calcula en cada caso el valor de x.

a. Un triángulo rectángulo isósceles siempre tiene un ángulo que mide 45°.

a. 56º

b. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos de distinta medida. c. Un triángulo inscrito en una circunferencia siempre es isósceles.

x

b.

x

d. En un triángulo rectángulo, los ángulos no rectos suman 90°.

Autoevaluación: para cada indicador, marca Sí si lo dominas o No si no lo dominas. Indicador

Identificar los elementos lineales de la circunferencia. Calcular ángulos en triángulos.

No

2 respuestas correctas

1 o menos

2 respuestas correctas

1 o menos

Si marcaste No, repasa en los siguientes sitios web…. http://goo.gl/C0AKg http://goo.gl/93QbF

Unidad

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Lección

20

Propósito: identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro en una circunferencia.

Debes saber… § Cuando dos líneas cortan

a otra formando un arco, se dice que ellas lo subtienden. En la figura, las líneas subtienden el arco AB. B

A

Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia En parejas, lean y realicen las siguientes actividades. Has visto en cursos anteriores que la medida de un ángulo se basa en una circunferencia trazada desde su vértice, la cual se divide en 360 partes iguales (grados) y la medida del ángulo corresponde a la cantidad de partes que quedan contenidas entre sus rayos. En la figura los rayos abarcan 75 partes, por lo que podemos decir que el ángulo mide 75°, o también que el arco AB mide 75°. Es decir, podemos expresar la medida de un arco según la medida del ángulo que lo contiene,

§ Un arco de circunferencia

siempre se escribe en sentido contrario a las agujas del reloj. A

A 75º

B

O

AB = m( AOB) ¿Qué ocurre si el vértice de un ángulo se ubica sobre la circunferencia y no en el centro de ella? En ese caso decimos que el ángulo es inscrito, y relacionaremos su medida con la del ángulo del centro correspondiente, considerando los siguientes casos. Caso 1

El centro de la circunferencia queda dentro de la región angular. C

B O

O

AB = m( AOB)

B

BA = m( BOA) A

Ayuda Salvo que se indique lo contrario, el punto O siempre representará al centro de la circunferencia.

C

C α β

Se traza un diámetro CD; con ello OA = OC = OB, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente. Por lo tanto,

α 2α

OAC ≅ ACO = α OCB ≅ CBO = β

O 2β

β B

A D

En el triángulo AOC, Por lo tanto,

AOD es exterior a

COA.

m( AOD) = 2α Por la misma razón, m( DOB) = 2β Entonces, m( ACB) = α + β m( AOB) → m( AOB) = 2m( ACB) → = m( ACB) m( AOB) = 2α + 2β 2 Es decir, el ángulo ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco. En general también decimos que ACB mide la mitad del arco que subtiende. 134

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1 Caso 2

3

4

Observa que…

El centro de la circunferencia queda fuera de la región angular.

Podríamos definir el caso en que uno de los rayos del ángulo inscrito coincide con el diámetro de la circunferencia.

C

O

2

C α

B

A

O

Se traza el radio OC; con ello OA = OC, por lo que los triángulos AOC y BOC son isósceles de base AC y BC, respectivamente. Si llamamos β al ángulo ACB, tenemos que

α 2α

α β

O

OAC ≅ ACO = α OCB ≅ CBO = α+β

C

2β D β +α α 2β +α

En el triángulo DBC, ADB es exterior a BDC. Por lo tanto,

B

A

A

B

La demostración de que también mide la mitad del arco que subtiende se desprende del mismo análisis del caso 1.

m( ADB) = β + α + β = 2β + α En el triángulo ADO, ADB es exterior a ODA. Por lo tanto,

En resumen

m( ADB) = m( AOD)+ m( DAO) 2β + α = m( AOD)+ α 2β = m( AOD) m( AOB) m( AOB) β= → m( ACB) = 2 2 Es decir, el ángulo mismo arco.

ACB mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el

En general podemos decir también que, todo ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que subtiende. A partir de este resultado podemos deducir además los siguientes corolarios: Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Ángulos inscritos que subtienden arcos iguales son congruentes entre sí

C

D

C

E

A

O 180º

A

180° = 90° 2

αβ O

AOB = ; ADB 2 AOB AEB = 2

AOB ; 2

Por lo tanto, ACB

ADB

B

A

B

B

= ACB ACB =

D

O α

C

Todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, sus ángulos opuestos son suplementarios

AEB

Ángulo del centro: es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y los lados son radios de ella. La medida del arco AB es igual a la medida del ángulo del centro AOB.  m( AOB) = AB Angulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma. El ángulo inscrito ACB mide la mitad que el ángulo del centro AOB. m( AOB) = m( ACB) 2 C

α α+β= 360° , pero CBA = 2 β y ADC = . 2 Así CBA+ ADC = 180º

el mismo modo se obtiene:

2

α A

BAD+ DCB = 180º Unidad

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O

B

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Practiquemos lo aprendido

Repaso

Aplica

1. Explica cómo se define una circunferencia.

5. Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas respecto a la circunferencia con centro en O. Justifica las falsas.

2. Define los siguientes términos en una circunferencia:

B

a) Radio

c) Cuerda

b) Centro

d) Diámetro

O

3. Explica la diferencia entre círculo y circunferencia. Práctica guiada

C A D

4. Calcula en cada caso la medida del ángulo α. Guíate por el ejemplo. α

a) Si la medida angular del arco AC es 120° y la del arco CB es 110°, entonces la medida angular del arco AB es 110°. b) Si la medida del ángulo ABO es 40° y BO es bisectriz del ángulo ABC, entonces el ángulo COB mide 100°.

O

c) El arco que subtiende el ángulo del centro AOC corresponde a la medida del arco AC. Paso 1

El ángulo α es inscrito, por lo que mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

Paso 2

Se calcula la medida de α:

d) 30º O

O X

O α + 60º

40º α

Y

b) PQ es diámetro y la medida del arco QM es 80°. ¿Cuál es la medida del ángulo PMO?

e)

O

Z

α + 10º

α

b) α

6. Resuelve los siguientes problemas: a) La medida del arco XY es 50°. ¿Cuál es la medida del ángulo XZY?

α = 90 : 2= 45° a)

d) El arco que subtiende el ángulo AOC es el mismo que subtiende el ángulo ABC.

Q M O

O P

75º

E

c)

f) O α

30º

101º O 2α

c) El ángulo ACB mide 30°, y el arco AB mide la mitad del arco DA. ¿Cuál es la medida del ángulo DEA?

D

C O

A

136

B

MATEMÁTICA 2.º MEDIO

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1

3

4

8. Observa la figura y responde: D

E

O

C

A

O C E

e) El arco EA mide 15º ¿Cuáles son las medidas de los ángulos EDA, ECA y EBA?

B

D

A D O

A

C

b) Si el ángulo DCB mide (x+3)° y BAC mide (x+17)°, ¿cuál es el valor de x?

B

9. En el cuadrilátero inscrito en la circunferencia,

K

f) Los ángulos OKJ y JHO miden 20° ¿Cuál es la medida del ángulo KOH?

a) Si el ángulo BAD mide 95°, y el ABC mide 80°, ¿cuánto miden los ángulos DCB y ADC?

Practiquemos lo aprendido

B

d) El ángulo ABD mide 40°, y el arco AC mide la cuarta parte del arco AD. ¿Cuál es la medida del ángulo CED?

2

α – β = 60º. Si γ= , ¿cuánto mide el ángulo x? 3

O

A

J

α H

B γ

g) El arco KM mide 100°. ¿Cuál es la medida del ángulo NMO?

O

N

β

x

D

C

O

10. Analiza la siguiente información y luego realiza B

h) El ángulo CDB mide 25°. ¿Cuánto mide el ángulo CAB?

las actividades:

M

K

A

Un ángulo semi-inscrito β es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son una tangente y una cuerda.

C

O

D

O

7. Analiza el triángulo ABC inscrito en una semicircunferencia y responde.

A

β

B

C

A

0

B

a) Si el arco AB mide α, expresa la medida del ángulo inscrito β en función de α. (Utiliza la figura y considera que OA y OB son radios).

a) ¿Cuánto mide el ángulo BCA?

b) Si α =30° ¿Cuánto mide β?

b) Si el ángulo CAB mide 45°, ¿qué tipo de triángulo es ABC?

c) Si β = 45° ¿Cuánto mide α?

c) Si el ángulo ABC mide 65°, ¿cuál es la medida del ángulo CAB?

d) Si β = 60° ¿Cuánto mide el arco AB?

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

11. Calcula en cada caso la medida del ángulo semi

d) BC es tangente a la circunferencia en B, y el arco AB mide 230°. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

inscrito α. a) 30º

B O

C

α

O

b)

A A

e) Si el arco AB mide 30°, BC es diámetro y CD es tangente B a la circunferencia en C, ¿cuáles son las medidas de α y β?

30º O

α

O

β C

α

13. Analiza la información y responde: c)

Un ángulo interior α está formado por la intersección de dos cuerdas en un punto al interior de la circunferencia.

α O

12. Resuelve los siguientes

B

problemas respecto al ángulo semi-inscrito.

x

a) El arco AB mide 160° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

γ

E α β

γ

B

β

a) Considerando que α = β + γ por ser ángulo exterior al triángulo AEB, expresa la medida de α en función de los arcos DA y BC. b) Si el arco DA mide 20° y el arco BC mide 10°, ¿cuánto mide el ángulo α?

O A

c) Si α=60° y el arco DA mide 15°, ¿cuánto mide el arco BC?

14. Analiza la figura y realiza las siguientes actividades.

A

b) El arco BA mide 130° y BC es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

Un ángulo exterior α es aquel cuyo vértice está fuera de la circunferencia y puede estar formado por la intersección de dos secantes

O C

D

B

γ

A

138

D

A C

c) El arco BC mide 276° y AB es tangente a la circunferencia en B. ¿Cuánto mide el ángulo CBA?

C

B

C α

C

β

E

B

A

O

a) Expresa la medida del ángulo β en función de la medida del arco CB y el ángulo γ en función de la medida del arco DA

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1

las circunferencias de centro O. a) Sea OPQR un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo PSR? S

Q

15. Calcula en cada caso el valor de x.

A

x

O

P

d) Si el ángulo α mide 70° y el arco BC mide 50°, ¿cuánto mide el arco DA?

D

R

b) El ángulo ADC mide 130°. ¿Cuánto mide el ángulo CBA? C

D

B

P

A

B

0

O

C

4

16. Resuelve los siguientes problemas de ángulos en

c) Si el arco DA mide 100° y el arco BC mide 30°, ¿cuánto mide el ángulo α?

a) El arco BD mide 20°, y el AC mide 30°

3

Practiquemos lo aprendido

b) Considerando que γ = α + β, por ser ángulo exterior al triángulo AEC, expresa el valor de α en función de los arcos DA y BC

2

c) El arco BC corresponde a un cuarto de circunferencia con centro en A. ¿Cuánto mide el ángulo CAD? b) El arco DB mide 10°.

C

D

C

x A

20º

P

O

A

B

B

d) El ACB mide 30°. ¿Cuánto mide el OBA? C

D

c) El arco DB mide 70°. B

A

x

O

P 110º

D

e) El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia y la recta AP es tangente en A. Si el ángulo BAC mide 60° y el BAP mide 145°, ¿cuánto mide el ángulo CBA?

C

d) A

B 10º x

P

B

C

80º

O

D

B

A

O

O

C P

e) El arco DB mide 10°. A O E

40º

A

f) El ángulo BAO mide la mitad del ángulo AOB. ¿Cuánto mide el ángulo ACB?

B x

C

D

O A

C

D B

Reflexiona § ¿Cuál es la mayor medida que puede tener un ángulo interior? ¿Y un ángulo exterior? Discute con tus compañeros.

Unidad

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Lección

21

Propósito: Demostrar las relaciones entre segmentos que se forman al cortarse dos cuerdas o dos secantes.

Debes saber… § Se puede establecer

semejanza de triángulos bajo el criterio AA, el criterio LAL y el criterio LLL § Teorema fundamental de las proporciones: a ac c →= a•db•= b• = = → a•d b bd d

Cuerdas y secantes en la circunferencia Taller Lee y realiza las siguientes actividades. Al igual que con los ángulos, existen relaciones entre las medidas de los segmentos que determinan dos cuerdas o dos secantes que se intersecan entre sí. Para analizar estas relaciones consideraremos los siguientes casos. Caso 1 Caso 2 B C

B

P

A P

D D

A

C

1 En cada caso traza los segmentos AC y BD. ¿Qué relación existe entre los triángulos APC y DPB? Justifica. 2 Escribe la proporción entre los lados homólogos de ambos triángulos. 3 Utiliza el teorema fundamental de las proporciones para escribir una operación que relacione las medidas de los segmentos AP, BP, CP y DP. Se puede constatar que en ambos casos las cuerdas y las secantes se intersecan determinando triángulos semejantes, por lo tanto, segmentos correspondientes proporcionales. PA PA PC PC PA =•PB PD •PC = == PA=•PB PD=•PC PD PD PB PB El resultado anterior se conoce, respectivamente, como Teorema de las cuerdas para el caso 1 y Teorema de las secantes para el caso 2. Es posible también relacionar una secante y una tangente mediante el Teorema de la secante y la tangente. D

PA • PB = PD²

Razona

y comenta

§

140

Traza los segmentos AD y BD en la figura del teorema de la secante y la tangente. ¿Qué ángulos tienen la misma medida? ¿Qué triángulos semejantes se pueden determinar? Justifica.

P

B

A

En resumen Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes C

B

Teorema de la secante y la tangente

PA • PB = PD²

B

P

A D

A

PA • PB = PD • PC

P

D

D C

PA • PB = PD • PC

A

B

P

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1

2

3

4

1. En la siguiente circunferencia identifica y nombra los elementos indicados.

teorema de las secantes visto en la lección. Guíate por el ejemplo.

D 5

E

A

4

B

O

F

3

x

Practiquemos lo aprendido

3. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el

Repaso

G C

H

4 ( 4+5) = 3(3+x )

 d) DB  e) FG

a) AH b) OE

36 = 9+3x 27 = 3x 9= x

c) CD a)

Práctica guiada

10 x

2. Calcula en cada caso el valor de x, aplicando el

8

teorema de las cuerdas visto en la lección. Guíate por el ejemplo. 4

7

x

b)

6 3

5

x 5

(5 + x)

4 • 6 = 3x 8=x a)

x

c)

c)

2

x

5

20

5

10

x

b)

2 5

d)

4 (5 + x)

4 10

1 (x – 3)

O

x+7

x

d) 3 (1 + x)

8

x

4,5 16

Unidad

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Practiquemos lo aprendido

Aplica 4. Representa con un dibujo las siguientes

b) AB = 4 cm, BC = 9 cm y AD = 6 cm, ¿cuál es el triple de la longitud de DE? A

situaciones y luego resuelve.

B

a) Dos cuerdas MT y PQ se cortan en el punto A. Si PA=12 cm, QA=4 cm y AT= 16 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MA?

O

b) Las cuerdas AB y CD se intersecan en el punto E de tal manera que AE : EB = 1 : 3. Si AB = 8 cm y CE = 4 cm, ¿cuál es la tercera parte de la longitud de ED? c) Dos cuerdas XZ y WYse intersecan en el punto K de tal manera que WK = (a+3)cm, KY = (a+6) cm y XK = (a+1)cm. ¿Cuál es el 50% de la longitud de KZ?

f) En una circunferencia de centro O y radio r, las cuerdas QP y TH se prolongan hasta que se intersecan en el punto M. Si QP =12 cm, el segmento exterior a QP mide 4 cm y el segmento exterior a TH mide 6 cm, ¿cuál es la longitud de TH? g) Desde un punto A exterior a una circunferencia se traza la recta tangente AB y la recta secante AD que se interseca con la circuferencia en los puntos C y D. Si AC = 6 cm y DC=18 cm, ¿cuál es la mitad de la medida del segmento AB? h) En una circunferencia la cuerda MP se prolonga más allá de P hasta intersecarse con una recta tangente TA en el punto A, donde T es el punto de tangencia. Si PA = 2 cm y TA = 4 cm, ¿cuál es el doble de la longitud de MP?

E

C

c) HK es diámetro, FH = 5 cm, HK = 8 cm y FL = 4 cm, ¿cuál es el cuádruplo de la longitud LM? M L

d) El radio OM de una circunferencia de centro O se interseca con la cuerda PQ en el punto B, de modo que MB : BO = 2 : 3. Si PB = 20 cm y BQ = 5 cm, ¿cuál es la longitud de MB? e) Desde un punto A exterior a una circunferencia se trazan dos rectas secantes, de tal manera que una de ellas se interseque con ella en los puntos B y C; y la otra, en los puntos D y E, donde AB <AC y AD <AE. Si AB = 4 cm, CB = 11 cm y AE = 12 CM. ¿Cuál es la medida del segmento DE?

D

F

K

O

H

d) XY = 3 cm, YQ = (k + 1) cm, HQ = k cm, ¿cuál es la longitud de MH? Y

X O

Q H

M

e) AP es diámetro, AB = 3 cm, BP = 4 cm, PQ = 3 cm, TQ = 2 cm, ¿cuál es la longitud del segmento BT? B T A

Q

P

O

f) HE = 18 cm, HA = 9 cm y AD = 7 cm. ¿Cuál es la cuarta parte de la longitud del segmento XE? D A

5. Resuelve los siguientes problemas:

O

a) PL = 7 cm, LK = 1 cm y JK = 2 cm. ¿Cuál es la longitud de MJ?

H

X

E

M O

J K L

P

142

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1

3

4

b) PT es tangente a la circunferencia en T, PB = AB y PT = 6 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PA? T

R O T J

O

P

B

P L

A

h) PT= 27 cm, PQ : QT =2 : 7 y PH = 4 cm. ¿Cuál es el doble de la longitud de HA?

c) PA es tangente a la circunferencia en P, BO = OC = 9 cm y CA = 6 cm. ¿Cuál es la medida del segmento AP? P

T

A

Q

C

O

P

O

H

B

A

6. Analiza la siguiente figura y realiza las actividades: D x

C

a p

P

d) PA es tangente a la circunferencia en P, PA = 10 cm = 2CA y BO = OC = x cm. ¿Cuál es la medida de BO + OC? P

B

A

q

C

A

O

a) Aplica el teorema de las secantes para establecer la ecuación correspondiente. b) A medida que disminuye x, ¿a qué elemento se asemeja la secante PD? c) Si x toma el valor 0, ¿qué elemento de la circunferencia sería PD?

B

e) PA es tangente a la circunferencia en P, PA= 6 cm y AB = 3PA. ¿Cuál es la medida del diámetro de la circunferencia? P

d) Reemplaza el valor de x = 0 en la ecuación. ¿Qué expresión obtienes? Explica.

O B

centro O, en cada caso. a) PT es tangente a la circunferencia en T, AB = 30 cm y BP = 2 cm, ¿cuál es la medida del segmento PT?

T O B

P

A C

7. Calcula el valor pedido para las circunferencias de

A

Practiquemos lo aprendido

g) En la figura, TR es diámetro y JT mide lo mismo que un radio de la circunferencia. Además, JL= 6 cm y LP = 12 cm. ¿Cuál es el perímetro de la circunferencia?

2

8. Conexiones: las imágenes que vemos se deben a la entrada de luz a nuestros ojos en los que se producen diversos efectos debido a la curvatura del cristalino. a) Investiga respecto del funcionamiento del ojo y la forma en que captamos las imágenes. b) Investiga respecto de algunas enfermedades a la vista. ¿Qué relación tienen con la formación de ángulos dentro del ojo. Explica.

Reflexiona § Desde un punto exterior a una circunferencia se traza una secante y una tangente. ¿Mide más la tangente o la secante? ¿O depende de cada caso? Discute con tus compañeros.

Unidad

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Resolución de problemas Analiza la resolución del siguiente problema. Isabel debe ubicar el número 19 en la recta numérica, pero no quiere construir tantas raíces antes del número deseado. Le parece que utilizando el teorema de Euclides y algo de ángulos inscritos podría ser más corto el procedimiento. ¿Cómo puede hacerlo? Paso 1 Comprende el enunciado a. ¿Qué se quiere saber una vez resuelto el problema? La ubicación de una raíz cuadrada en la recta numérica. b. ¿Qué información entrega el enunciado? La raíz cuadrada a ubicar, y algunos teoremas que se pueden emplear para simplificar la tarea. Paso 2 Planifica lo que vas a realizar Define una estrategia para resolver Se buscará encontrar una relación entre el teorema de Euclides y lo que se sabe en relación con el ángulo inscrito para utilizar estos resultados y realizar la construcción. Para ello, se harán dibujos y se asignarán distintos valores. Paso 3 Resuelve el problema De acuerdo con el teorema de Euclides se tiene que: a² = cp b² = cq h²c = pq

C

b

a hc

α

β q

D

P

B

                             

A

c

De la segunda igualdad podemos deducir que si b = 19 , entonces cq = 19. Es decir, podría construirse un triángulo de modo que q = 1 y c = 19, para que con ello su lado b tenga la medida buscada.

Sabemos además que un triángulo rectángulo está inscrito en una semicircunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. Utilizaremos esta idea para ubicar la raíz pedida: a. Desde el 0 (vértice A), trazamos un segmento AD de medida q = 1 y otro segmento AB de medida c = 19. b. Desde el punto D, se traza una recta DE, perpendicular a AB. E

c. Se ubica el punto F, punto medio de AB, y desde él se traza una semicircunferencia de radio FB. d. La intersección entre la recta DE y la circunferencia trazada nos da el punto C, de modo que AC = 19. Se copia esta distancia sobre la recta para obtener el punto pedido.

C

A

D 0

1

F

B 19

19

2

Paso 4 Revisa la solución Verifica que la ubicación obtenida es correcta, realizando los procedimientos vistos en la unidad 1. Podrás aplicar lo aprendido aquí en los problemas que se presentan en la página 146. 144

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Para no cometer errores

1

Analiza la situación

2

3

4

Aprende la forma correcta

En la siguiente figura Fabián quiere calcular la medida del ángulo x en función de α. Se sabe que AB es diámetro y que el arco BC mide el doble que el arco DB. A x O

Así, la medida de DOB es 2x, por lo que el arco DB mide 2x y con ello la medida del arco BC es x.

C

α

Fabián interpretó que el ángulo DOB mide lo mismo que el DAB, lo que es incorrecto pues en realidad mide el doble de él.

B

Por lo tanto, α = x.

D

Fabián considera que el ángulo DOB mide lo mismo que x, y, por lo tanto, el arco DB mide x. Con ello, el arco BC mide x . 2 x Por ello, concluye que α = . 2

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Fabián? § ¿Qué otros errores crees que es común cometer en el cálculo de ángulos en la circunferencia?

Analiza la situación

Aprende la forma correcta

Isidora debe calcular la medida del segmento AB en la siguiente figura.

B

Para hacerlo plantea la relación x cm

D

32 cm

A

4 cm

C 2 cm

P

4 • x = 2 • 32 4x = 64 x = 16 Obtiene así que el segmento AB mide 16 cm.

Razona

y comenta

§ ¿Cuál es el error cometido por Isidora? § ¿Qué otro error crees que se pueden cometer al calcular medidas de segmentos en la circunferencia.

Para calcular la medida del segmento AB, Isidora consideró la medida de la cuerda que se forma por la secante y no la medida del segmento completo. La relación correcta es: • = • Remplazando se tiene que 4 • (4+ )=2 • 34 16 + 4x = 68 4x= 52 x = 13 La respuesta correcta es que el segmento AB mide 13 cm.

Reflexiona § ¿Habías cometido ya alguno(s) de estos errores? ¿Cuáles? § Respecto de los que no, ¿te sirve estar advertido de la posibilidad de cometerlos? § Revisa los ejercicios que hayas resuelto en la unidad. ¿Qué errores has cometido? ¿Qué acciones puedes tomar para no volver a cometerlos?

Unidad

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Integrando lo aprendido Lección 20: Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia 1 Calcula los valores pedidos.

c. Si los triángulos ABO y OCD son equiláteros y el arco AC mide 150°, ¿cuál es la medida del ángulo DBE? A

a. Calcula la medida del ángulo ABC

B E O

B

88º

C A

b. Se sabe que α + β + γ = 90°. ¿Cuál es la medida del ángulo BOA? Z Y X

d. El arco BD mide 200°. ¿cuál es la medida del ángulo CED? B 30º

A

α β γ

D

C

O

A

O

E

C

O

D

3 Calcula los valores pedidos.

B

c. El arco PM mide 40° y MAT = 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo TMP?

a. El arco DC mide 60°, y el arco AB mide 30°. ¿Cuál es la medida del ángulo AEB? C

A Q

Evaluación

P

O

O

M

A

T

d. AB es diámetro de la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

B

b. El arco MA mide 80° y el ángulo MPA mide 60°. ¿Cuánto mide el arco XY? X

C

x B

20º

A

a. El arco BA mide 300°. ¿Cuál es la medida del ángulo CAB? A

P

A

O

Y

2 En las siguientes circunferencias de centro O, calcula los valores pedidos.

D

E

M

c. El arco BA mide 100° y el arco DC mide 60°. ¿Cuál es la medida del ángulo BEA? A D E

O C

B

O

Lección 21: Cuerdas y secantes en la circunferencia B

C

b. El ángulo ABC mide 110°, ¿cuál es la medida del ángulo CDB?

4 Resuelve los siguientes problemas. a. AE = 8 cm, EB = 10 cm y ED = 16 cm. ¿Cuál es la longitud de CE? B

C

B O A

146

E

C A

O

D

D

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1 b. MY = 20 cm, MP : PY = 3 : 2 y XP = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de PZ?

2

B

P

M

K

Z

O

X

O

L

A

W

c. AD = 18 cm, HD = 2 cm y EH = 2HF. ¿Cuál es el doble de la longitud de EF? E

D H

4

c. XW = 6 cm, XL = 4 cm y XK = 3 cm. ¿Cuáles son las longitudes de LA y KB?

Y

X

3

6 Resuelve los siguientes problemas. Considera O centro de la circunferencia. a. AB = 14 m, AD = 4 m y AE = 7 m. ¿Cuál es la medida del segmento AC?

F

O A

D

B O

5 Resuelve los siguientes problemas. a. DC es tangente a la circunferencia en el punto D, AB = 5cm y BC = 4 cm. ¿Cuál es la longitud de DC? D

A E

C

b. PA = (28 + x) cm, PB = x cm, PC = (18 + x) cm, PD = (7 + x) cm. ¿Cuál es la medida de PC? C

O

C

D

A

P

b. LK es tangente a la circunferencia, LK = (a+2) cm, KM = a cm y MP = 5 cm. ¿Cuál es la longitud de KL?

O

Evaluación

B

A

B

L O

K M

P

Autoevaluación Evalúa tu aprendizaje utilizando el solucionario y completa la siguiente tabla. Si no alcanzaste el mínimo sugerido en las actividades propuestas, vuelve a las páginas indicadas para repasar. Indicador

Mínimo sugerido

Puedes repasar en la(s) página(s)

Identificar y relacionar los ángulos inscritos y del centro de una circunferencia.

2 respuestas correctas

134 y 135

Determinar relaciones entre trazos y secantes de una circunferencia.

2 respuestas correctas

140 y 141

Recapitulemos En grupos de 4 personas, respondan y discutan las siguientes preguntas. Ü ¿Cuáles son los conceptos fundamentales de esta sección? Ü ¿Qué utilidad tiene lo que has aprendido? Ü ¿En qué ámbitos se puede aplicar lo aprendido en esta sección?

Ü ¿Qué contenidos te resultaron más difíciles? Ü ¿Qué te resultó más interesante en esta sección?

¿Lograste cumplir los propósitos de esta sección?

Unidad

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l a r u m o i r a i D ¿Astrónomos precoces? Emblema de la arquitectura europea de la Edad de Bronce, este complejo representa la obra cumbre de una antigua sociedad interesada en la observación de los astros que comenzaba una sufrida transición de la tradicional vida de caza a la ardua y sedentaria labor de la vida agrícola.

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¿Quiénes colaboraron con los antiguos britanos en la construcción de Stonehenge?

En una de las excavaciones con fines arqueológicos que se llevaron a cabo en la zona donde fue levantado Stonehenge, el equipo encabezado por el profesor inglés Richard Atkinson encontró un puñal de piedra cuyo contorno labrado era muy similar al de las dagas de la civilización griega que floreció en Micenas en el 1500 a. C. Ese hallazgo lo llevó a suponer que los micénicos podrían haber estado involucrados en la construcción del monumento, algo que fue descartado más adelante.

Unidad

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Síntesis

Para sintetizar Volviendo al inicio…

¿Cómo se llama?

El empleo de la perspectiva en las obras de arte es conocido desde la antigüedad aunque con diversas técnicas, pese a que incluso algunas destacadas civilizaciones como los egipcios la desconocían completamente.

Relaciona los conceptos utilizando un mapa conceptual.

Esencialmente, perspectiva es el arte de crear una ilusión de tres dimensiones en una superficie plana –de solo dos dimensiones–. Algunas de las técnicas utilizadas se basan en aspectos de percepción –por ejemplo, dotar de más detalles y colores más intensos a los objetos más cercanos, mientras que los lejanos parecen más difusos y menos detallados–. Otras técnicas están basadas en aspectos matemáticos que, si bien pueden ser utilizados en forma intuitiva por el artista, pueden analizarse científicamente. Julian Beever y el anamorfismo La técnica utilizada por Julian Beever es la anamorfosis, que consiste en deformar las imágenes para hacerlas visibles desde un punto específico. De esta manera, el ojo capta una imagen que en conjunto con otros elementos del entorno, es percibida como parte de él, con profundidad y volumen.

Semejanza Escala Razón de semejanza Criterios Homólogo Correspondiente Homotecia Teorema de Thales Proporcionalidad División de trazos Teorema de Euclides Teorema de Pitágoras

Ángulo del centro Ángulo inscrito Arco Teorema de las cuerdas Teorema de las secantes

Evaluando e innovando Diseña una evaluación con los contenidos vistos en la unidad e intercámbiala con un compañero. Te sugerimos:

§ Un crucigrama o sopa de letras con las palabras o conceptos clave. § Un juego de mesa con preguntas de contenidos de la unidad. § Un juego de memoria, que relacione conceptos, fórmulas y definiciones.

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1

¿Cómo se hace? Completa en tu cuaderno el siguiente cuadro sinóptico. Contenido Semejanza de figuras planas

Figuras a escala

Criterios de semejanza de triángulos Construcción de figuras mediante homotecias

Definición y/o procedimiento

Ejemplo

2

3

4

En el ejemplo visto en el inicio de la unidad, el globo terráqueo dibujado por el artista se encuentra en una calle levemente inclinada. Si Beever lo hubiese dibujado perfectamente redondo sobre ella, una persona que lo observa desde el inicio de la calle vería un óvalo achatado. Por ello es necesario que lo prolongue de manera que, en el plano inclinado, el dibujo tenga las mismas proporciones que tendría en el plano recto frente al observador. Lo anterior se puede constatar en la siguiente figura: Imagen que el artista desea lograr

Teorema de Thales

Síntesis

División de segmentos en una razón dada

Imagen y el pavimento inclinado

Teorema de Euclides

Teorema de Pitágoras

Ángulo del centro e inscrito en una circunferencia Relación entre las cuerdas en una circunferencia Relación entre las secantes en una circunferencia

Imagen que se quiere dibujar Algunos artistas han utilizado marcos de madera con hilos que forman un cuadriculado, para poder guiarse y respetar las proporciones que deben mantenerse entre los elementos de la figura, garantizadas por el teorema de Thales. En la página web www.julianbeever.net, puedes encontrar extraordinarios ejemplos del uso de esta técnica en diversos escenarios.

Unidad

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Reforzar antes de evaluar Refuerza los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades.

Semejanza de figuras planas Semejanza y figuras a escala 1 Los siguientes triángulos son semejantes entre sí. Determina el valor de y. y cm 6,4 cm

9 Los lados de un cuadrilátero miden 12 cm, 7 cm, 9 cm y 15 cm, mientras que los de otro miden 24 cm, 14 cm, 18 cm y 30 cm. ¿Se puede afirmar que son semejantes entre sí? Justifica.

Homotecia y semejanza 10 Utiliza la cuadrícula para reproducir la figura dibujada según la razón de semejanza dada.

5 cm

a. r = 2

1,6 cm

Refuerzo

2 Dos ciudades están separadas por 600 km en la realidad, ¿cuál es la distancia que las separa en un mapa dibujado a escala 1: 200 000? 3 La cocina de una casa tiene forma rectangular de dimensiones 4 x 3 m. Si para remodelarla es necesario crear un plano a escala 1: 200, ¿cuáles serán las medidas del largo y el ancho de la cocina en el plano?

b. r = 1,5

4 Un automóvil viaja a 120 km por hora. En un mapa a escala 1 : 750, la distancia entre su punto de partida y de llegada es de 15 cm. ¿Cuánto tiempo demorará en llegar a su destino? 5 Un plano está dibujado a escala 1 : 50. Si el piso de una bodega es de forma rectangular y sus dimensiones en el plano son de 14 cm de largo y 10 cm de ancho, ¿cuánto mide la superficie de este piso en la realidad?

c. r = 1 2

Criterios de semejanza de triángulos 6 Analiza cada figura e identifica en ella los triángulos que son semejantes. Escribe el criterio utilizado en cada caso. a.

b.

C

4 cm

A

D

B

M

8 cm

P

O

6 cm

15 cm N 12 cm

Ñ

7 Compara los criterios de semejanza de triángulos con los de congruencia. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? 8 Explica por qué todos los cuadrados son semejantes entre sí. 152

11 ¿Cuál es la relación entre la razón de semejanza de dos figuras, y una razón de homotecia? Explícalo con tus palabras. 12 La razón de homotecia entre una figura A y una figura B es de 3 : 4, y entre la figura A y una figura C 1 es – ¿Cuál es la razón de homotecia entre C y B? 2 13 A partir de un segmento AB se ha construido una homotecia de centro O, para obtener A’B’. Si OA = 5 y OA’ = 3, ¿cuáles son los 2 posibles valores de la razón de homotecia?

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1

2

3

4

División de trazos

Teoremas de semejanza

16 Divide en 6 partes iguales el segmento de AB.

Teorema de Thales

B

14 Calcula el valor de x en cada figura a. AB // DE

x cm

A

B

A

9 cm C

17 El trazo AB se divide en razón 3 : 4, donde Q es el punto de división. Si el trazo AB mide 20 cm, ¿cuál es la medida de AQ?

12 cm

D

E 15 cm

b. AB // CD

D y cm B 8 cm E

16 cm 6 cm A

x cm

10 cm

c. L₁ // L₂ // L₃

C

L1 15 cm

x cm

y cm

9 cm

L2

19 Un trazo AB es dividido interiormente por el punto P. Si AP = (x + 5) cm, BP = (x + 1) cm y AB = 10 cm, ¿en qué razón fue dividido interiormente el trazo AB? ¿Cuál es la medida de AP?

Teorema de Euclides 20 Determina en cada caso el valor de x.

12 cm

20 cm

18 El trazo AB se divide en la razón 2 : 5, donde Q es el punto de división. Si la distancia entre Q y B es 45 cm, ¿Cuál es la medida de AQ?

L3

d. AB // DE

c.

X

C 8 cm

18 cm

Refuerzo

a.

X

8 cm

42 cm

12 cm 18 cm

D

E

b.

6 cm A

x cm

B

15 Determina en cada caso el valor de x, para que las rectas L1 y L2 sean paralelas. a.

2

x

5

L1

6

3 8

L1

4

6 cm

14 cm

X

48 cm

X

Teorema de Pitágoras y recíproco 21 Resuelve los siguientes problemas. a. En un rombo cuyo lado mide 2,5 cm, su diagonal mayor mide 4 cm. ¿Cuánto mide la diagonal menor? b. ABCD es un cuadrado de lado 37 cm y CBE un triángulo rectángulo en E, en el cual uno de sus catetos mide 25 cm menos que el lado del cuadrado. Calcula el área y el perímetro de la figura.

L2

b.

d.

12 cm

C

D

x

E

L2

A

B

Unidad

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Reforzar antes de evaluar 22 Determina si las siguientes medidas a, b y c corresponden o no a los lados de un triángulo rectángulo ABC. a. a = 4; b = 3; c = 5

e. a = 3; b = 2; c = 2,5

b. a = 13; b = 5; c = 12

f. a = 21; b = 72; c = 75

c. a = 8; b = 19; c = 15

g. = aa = 21;b =

25º 28 En la figura, AT es tangente a la circunferencia. ¿Cuál es la medida del ángulo TOB? T

38º

O

21;c= 84

A

B

d. a = 24; b = 25; c = 7

C

Cuerdas y secantes en la circunferencia

Ángulos y segmentos en la circunferencia

29 XY es diámetro, el radio de la circunferencia mide 10 cm, AY = 4 cm y WA = 6 cm, ¿Cuál es el triple de la longitud de AZ?

Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia Considera cada circunferencia de centro O. 23 Calcula la medida del ángulo α.

W

76º

Y A

α

O Z X

24 Calcula la medida del ángulo COA.

30 LE = (14 – 2m) cm, AE = (m + 4) cm, EK = (10 – 2m) cm y PE = (m + 5) cm. ¿Cuál es la longitud de PK?

C

Refuerzo

L O

B

25º

A

P

25 AC es tangente a la circunferencia, el ángulo EBA mide 60° y el CBD, 70°. ¿Cuál es la medida del ángulo DOE? C

D

B

O

A

O

E

K

31 En la figura, BH es tangente a la circunferencia, BM = 4 cm, MO = 6 cm y BF = 5 cm. ¿Cuál es la medida de FD? H

A E

M

B

O

C

26 AB es diámetro. Calcula la medida del ángulo OCB.

F D

B 25º

A

32 HJ es tangente en H, PQ = 6 cm, QT = 8 cm, TJ = a cm y HJ =(a + 3) cm. ¿Cuál es el cuádruple de la longitud de PJ?

O

82º

27 Calcula el valor de α – β.

128º

T

P

O

α

J

β

Q

H

¿Te sientes más preparado para la evaluación de la unidad? 154

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Profundizar

1

2

3

4

Ahora que has reforzado los contenidos de la unidad, te sugerimos las siguientes actividades para que puedas profundizar tus conocimientos.

Demostración del teorema particular de Thales 1 Analiza la demostración del teorema particular de Thales, considerando un triángulo de vértices A, B y C, y una recta paralela al lado BC, que se interseca con los lados AB y AC en los puntos D y E, respectivamente. En cada caso, (ABC) representa el área del ABC Paso 1

A

Se trazan los segmentos BE y CD.

Podemos observar que: D

1 Los triángulos DEB y DEC tienen igual altura h, respecto del lado DE. 2

(DEB) =

Paso 2

h

DE DE •h (DEC) = •h 2 2 → (DEB) = (DEC)

B

C

A

3 h1 es altura para los triángulos ADE (respecto del lado AD), DBE (respecto del lado DB) y ABE (respecto del lado AB).

h1

AE •h2 2

(ECD) =

EC •h2 2

(ACD) =

AC •h2 2

h2 E

D

B

Profundizo

4 h2 es altura para los triángulos AED (respecto del lado AE), ECD (respecto del lado EC) y ACD (respecto del lado AC). Por lo tanto

Paso 3

h

Se trazan los segmentos h1 y h2, perpendiculares respectivamente a los segmentos AB y AC. Así,

(AED) =

E

C

Considerando las igualdades anteriores:

5 (ADE) = (AED) y (DEB) = (DEC) → (ADE) + (DEB) = (AED) + (DEC) → (ABE) = (ACD) AD AE AE h1 = •h1 = •h2 → AD •h1 = AE •h2 → 2 2 AD h2 DB EC EC h1 = (DBE) = (ECD) → •h1 = •h2 → DB •h1 = EC •h2 → 2 2 DB h2 AB AC AC h1 = (ABE) = (ACD) → •h1 = •h2 → AB •h1 = AC •h2 → 2 2 AB h2 (ADE) = (AED) →

Paso 4

Podemos concluir que: AE h1 = AD h2

EC h1 = DB h2 AE EC AC → = = AD DB AB

AC h1 = AB h2

2 Demuestra el Teorema general de Thales. Utiliza el caso particular.

Unidad

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Evalúo mis aprendizajes Evaluemos los contenidos vistos en la unidad, realizando las siguientes actividades 5 ¿Cuál es la razón entre las áreas de los siguientes triángulos semejantes?

Semejanza de figuras planas 1 Los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes. De acuerdo con lo anterior, ¿cuáles son las medidas de los lados x, y, z? C

3 cm

D

y

6 cm

G 2,8 cm

Z E

A

1 cm

H

F

3 cm

B

x

A. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm B. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 2 cm D. x = 9 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm E. x = 9 cm; y = 2,8 cm; z = 18 cm

Evaluación

2 Se tiene que ∆ABC ~ ∆DEF. ¿Cuál es la razón de semejanza entre los triángulos? C

B. 0,3

E

12 cm

C. 0,1

D 3,6 cm

D. 0,03

F

3 Los lados homólogos de dos triángulos semejantes están en la razón 1 : 2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Sus áreas están en la misma razón. II. Sus perímetros están en esta misma razón. III. Sus alturas correspondientes están en esta misma razón. A. Solo I

D. I y II

B. Solo II

E. II y III

C. Solo III 4 En la figura ∆ABC ~ ∆DEF, ¿cuál es el valor de k? B. 3 C. 8

E (2k – 1) cm D

C

A. 1 60 cm

(3k+12) cm

65 cm

y B

A

x

C´ A´

A. 0,023 cm

D. 2100 cm

B. 7 cm

E. 14 700 cm

C. 49 cm 7 Según la figura, ¿cuál fue la razón de homotecia aplicada a la figura original para obtener la figura imagen? A'

A. 8 : 6

8 cm

B. 7 : 3

B

A

E. 0,01

C

6 En un plano dibujado a escala de 1 : 300, una habitación de forma cuadrada tiene un área de 49 cm2. ¿Cuál es la medida real del lado de la habitación?

C. x = 1,5 cm; y = 8,4 cm; z = 18 cm

A. 3

A. 1 2 B. 1 4 8 C. 1 1 D. 3 E. 6 2

(4k + 7) cm

A

C. 6 : 8 D. 7 : 4 E. 1 : 7

Figura imagen

6 cm 0

Figura original

8 En la figura, al rombo ABCD se le aplicó una homotecia de razón k = − 1 . ¿Cuál es el valor de x? 6 47 A. − C 3 A´ (2x + 7) cm B. − 37 O 9 D D´ B B´ 37 C. − 3 (3x + 5) cm C´ 47 D. − A 9 E. − 17 9

D. 13 E. 16 156

A

25 cm

B

F

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1 9 Si ABCD y FEDG son cuadrados, ¿cuál es el perímetro del triángulo ABF?

A. (1) por sí sola. B. (2) por sí sola.

A. 1 cm

C

D. Cada una por sí sola, (1) o (2).

A

B

E. Se requiere información adicional.

A

x cm

C

B

14 Un trazo AB de 48 cm es dividido interiormente por un punto C en la razón 5 : 7. ¿Cuáles son las medidas de los trazos AC y CB ? B. 20 cm y 28 cm, respectivamente.

10 ¿Cuál es la longitud de AB?

C. 20 cm y 120 cm, respectivamente.

A. 2 cm

D. 168 cm y 28 cm, respectivamente.

D

B. 3,5 cm

E. 120 cm y 168 cm, respectivamente.

E

C. 6 cm

24 cm

12 cm

D. 12 cm x cm

B

6 cm

C

C

A. 5 cm B. 10 cm D

C. 45 cm

(2x − 5) cm

E

D. 60 cm E. Ninguna de las anteriores.

A

B

45 cm

A. 13 cm E

C. 18 cm

F

D. 2,7 cm A

D. Solo II y III

B. Solo II

E. I, II y III

C. Solo III

12 Se tiene que AB//FC//ED, DC = 5 cm, CB = 8 cm y FA = 10 cm, ¿cuál es la medida EF? B. 15 cm

I. AD = DC = DB II. AD + DC= 120 cm 7 III. AD= 240 cm 49 A. Solo I

Evaluación

15 El trazo AB, que mide 40 cm, es dividido interiormente por un punto C en la razón 3 : 4. Luego, el trazo AC es dividido interiormente por el punto D en la razón 2 : 5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

11 En el triángulo ABC, DE // AB, CD = 30 cm y CA = 90 cm. ¿Cuál es el valor de x?

E. 6,25 cm

D. 9 cm

2x cm

A. 6 cm y 8 cm, respectivamente.

Teoremas de semejanza

A

(2x - 3) cm

E. 12 cm

C. Juntas, (1) y (2).

E. 48 cm

E

C. 6 cm

D

4

D

B. 3 cm G

E

3

13 En el triángulo ACD, BE //CD y BC = 2 cm, ¿cuál es la longitud de BE?

(1) Área cuadrado FEDG es 25 cm2. (2) Área cuadrado ABCD es 49 cm2. F

2

D C B

16 Sea ABC un triángulo rectángulo en C, en el que se traza la altura desde el vértice C, dividiendo la hipotenusa en dos segmentos. Si sus catetos e hipotenusa miden respectivamente (a + 2) cm, (a + 3) cm y (a + 6) cm, ¿cuál es la longitud de cada proyección sobre la hipotenusa? 2 2 A. (a+2) cm, (a+3) cm a+ 6 a+ 6 a+ 6 a+ 6 B. cm, cm 2 (a+3) (a+2)2

C. (a + 3)(a + 6) cm, (a + 2)(a + 6) cm D. (a + 2)cm, (a + 3)cm E. a+2 cm, a+3 cm a+ 6 a+ 6 Unidad

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Evalúo mis aprendizajes 17 Respecto de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? p+ q → (p – q)2 = 0 I. Si h = 2 p+ q → p2 + q2 = 0 II. Si h = 2 p+ q III. Si h = → (p+ q)2 = 0 2 A. Solo I

B

B. Solo II

21 En el triángulo ABC, el valor de x se puede calcular si se sabe que: (1) AB // DE (2) Triángulo ABC rectángulo en A. A. B. C. D.

C (1) por sí sola. (2) por sí sola. 4 cm Juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, D (x + 5) cm E (1) o (2). 3 cm E. Se requiere informa(3x + 7) cm ción adicional.

p D

C. Solo III

b

D. Solo I y II E. I, II y III

q

h

C

A

A

a

18 ¿Cuál es la suma de los perímetros de los triángulos ADC y DBC? A. 10 cm

C

B. 3,6 cm

Evaluación

C. 6,4 cm

E

8 cm

6 cm

E. 33,6 cm

A

Ángulos y segmentos en la circunferencia 22 En la figura, AB es diámetro de la circunferencia de centro O. ¿Cuál es la medida del ángulo x? A. 30º

D. 90º

B. 45º

E. 120º

C x

A

B

D

19 En un triángulo rectángulo la medida de uno de los catetos es el triple que la del otro, y su área es 243 cm2. ¿Cuál es la medida de su hipotenusa?

D. 20 cm

A. 9 cm

B. 5 cm

B. 27 cm

C. 16 cm

E. Ninguna de las anteriores

R T

S Q

24 Respecto de la siguiente figura, ¿cuál es el valor de z?

D. 910 cm E. Ninguna de las anteriores. 20 En el paralelepípedo de la figura, ¿cuál es la medida de la diagonal AG? A. 10x

G

F

B. 19x H

D. 90,5x

E

8x

9x D

6x

C

A

B

A. 5

D. 13

B. 9

E. 17

C. 11

(Z + 3) cm

4 cm 5 cm

11 cm

25 En la figura el segmento de recta tangente a la circunferencia mide 9 cm y los segmentos determinados por la secante miden 3 cm y w cm, respectivamente. ¿Cuál es la medida del segmento representado por w? A. 3 cm

D. 81cm

B. 9 cm

E. 243 cm

C. 24 cm

158

P O

C. 810 cm

E. x 181

B

23 En la figura, los puntos P, Q, R y S pertenecen a la circunferencia de centro O. Si QT : TP = 4 : 5, QT = 8 cm y RT = 16 cm, ¿cuál es la medida del segmento ST? A. 4 cm

C. 100x

30°

O

C. 60º

D. 28,4 cm

B

w cm

9 cm 3 cm

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