Page 1

Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

Motto:

’’Ce oameni ! Ce sunt cei de-acum ! Şi toţi s-au dus pe acelaşi drum. Ei şi-au plinit chemarea lor Şi i-am văzut murind uşor; N-a fost nici unul plângător Că viaţa-i fum.’’ ’’Ori buni, ori răi, tot un mormânt ! Nu-i nimeni drac şi nimeni sfânt ! Credinţa-i val, iubirea vânt Şi viaţa fum !’’ George Coşbuc

Metoda vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor NECULAI STANCIU1 Abstract. Square matrices can be multiplied by themselves repeatedly in the same way that ordinary numbers can. This repeated multiplication can be described as a power of the matrix. The article presents a method(eigendecomposition of a matrix-decompositions based on eigenvalues, also called spectral decomposition) for power of matrix and many applications of this method. Keywords: matrix multiplication, eigenvalue, eigenvector. MSC: 15-XX, 11C20, 15A24 .

Rezultatul principal. Pentru cazul în care valorile proprii ale matricei sunt distincte, indicăm în cele ce urmează o nouă metodă pe care o vom numi, metoda vectorilor proprii(metoda descompunerii spectrale sau metoda descompunerii proprii a matricei) pentru ridicarea la putere a matricilor.

1

Prof. , Şc.”George Emil Palade”, Buzău


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

Metoda vectorilor proprii de ridicare la putere a matricelor Fie A  M n (C ) o matrice pătratică. Definiţie. Un număr   C se numeşte valoare proprie pentru matricea A , dacă există un vector nenul V  M n ,1 (C ) (matrice coloană) astfel încât AV  V . Vectorul V din definiţia de mai sus se numeşte vector propriu pentru matricea A corespunzător valorii proprii  . Noua metodă de ridicare la putere a matricilor face apel la algebra liniară şi mai exact la următoarea : Teoremă. Dacă valorile proprii ale matricei A  M n (C ) sunt distincte atunci există o matrice V

 1 0 ... 0     0  2 ... 0  1 nesingulară (numită matrice de pasaj) astfel încât V  A  V   . ... .... .... ...     0 0 ...   n  Demonstraţie.(vezi 7)

Dacă 1 ,  2 ,...,  n sunt valorile proprii ale matricei A , atunci :

 A  1 I n   A  2 I n  ...  A  n I n   On zero,

deci

există

iar matricele

 A  i I n 

, i  1, n au determinanţii

V1 , V2 ,..., Vn  M n ,1 (C ) , V1  O, V2  O,..., Vn  O

astfel

încât

AV1  1V1 , AV2   2V2 , ...., AVn   nVn .  v11   v 21   v n1         v12   v 22  v  Dacă V1    , V2    ,..., Vn   n 2  , ... ... ...       v  v  v   1n   2n   nn   v11  v arătăm că matricea V  V1 , V2 ,..., Vn    12 ...  v  1n

v 21 v 22 ... v2n

... v n1   ... v n 2  este inversabilă. ... ...   ... v nn 

Dacă prin absurd două coloane i şi j ar fi proporţionale Vi  V j ,   C  , am avea: AVi  iVi  AV j  iV j  AV j   iV j   jV j   iV j   (i   j )V j  On ,1 , de

ci i   j , contradicţie.

 1 0 ... 0     0  2 ... 0  Notăm    . ... .... .... ...     0 0 ...   n  Avem A  V  A  V1 , V2 ,..., Vn  =  AV1 , AV2 ,..., AVn  = 1V1 ,  2V2 ,...,  nVn  =


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

 1 0 ... 0   1 0 ... 0       0  2 ... 0   0  2 ... 0  1 = V1 , V2 ,..., Vn    = V   , deci V  A  V     . ... .... .... ...  ... .... .... ...       0 0 ...    0 0 ...   n n   Noua metodă de calcul pentru A n este un rezultat al teoremei de mai sus şi anume: Consecinţă. A n  V  n  V 1 . Demonstraţie. Din V 1  A  V   , rezultă A  V    V 1 , si de aici : A n  V    V 1  V    V 1  ...  V    V 1  V  n  V 1 . Observaţie. Matricea V , din teorema respectiv consecinţa de mai sus, este o matrice arbitrară deoarece are drept coloane vectorii proprii care la rândul lor sunt şi ei arbitrari pentru că rezultă dintr-un sistem compatibil nedeterminat. Aplicaţii. 5 2  şi vom calcula A n utilizând consecinţa de mai sus. 10 Considerăm matricea A   1 4   Calculăm valorile proprii din ecuaţia det( A  I )  0 , unde este matricea unitate. În cazul nostru 1  3,  2  6 . Calculăm vectorii proprii corespunzători valorilor proprii din sistemul de ecuaţii ( A  i I )Vi  O

2v11  2v12  0 Pentru 1  3 rezolvăm sistemul  , de unde v11   , v12   . v11  v12  0    . Vectorul propriu corespunzător este V1       v 21  2v 22  0 Pentru  2  6 rezolvăm sistemul  , de unde v 21  2 , v 22   . v 21  2v 22  0  2  Vectorul propriu corespunzător este V2    .    Prin urmare avem o infinitate de matrici V    

2   , ,  R .  

 1 2  , corespunzătoare valorilor   1,   1 . Alegem matricea V    1 1  3 0  1 2  şi V    în A n  V  n  V 1 .Se obţine Se înlocuieşte    0 6 1 1    

 2 n 1  1 2(2 n  1)  . A  3  n n 1  2  1 2 ( 2  1 )   Remarcă. Acelaşi rezultat se obţine utilizând algoritmul general prezentat în (I.1.). n

n 1


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

2 1  2 0 Vom calcula A n pentru matricea de ordinul 3: A   1  2 1 1  2 1 1 2 1 Ecuaţia caracteristică ataşată lui A este 1 1 1 2

www.mateinfo.ro

1   1 , folosind aceeaşi consecinţă. 2   3  22  5  6  0 , de unde

 v11   v 21   v31        rezultă valorile proprii: 1  2,  2  3, 3  1 .Fie V1   v12 , V2   v 22 , V3   v32  vectorii v  v  v   13   23   33  proprii corespunzători.Pentru 1  2, ecuaţia matricială AV1  2V1 , este echivalentă cu 4v11  v12  v13  0       , de unde obţinem V1    5 ,   R . sistemul v11  v13  0 v  v  4v  0      13  11 12 1     1 1     2     2   1  Analog rezultă V2   0 ,   R şi V3     ,   R .Alegem matricea V    5 0   ,   2 2       1 1 1            corespunzătoare valorilor       1 . 1 1 1  1       1 1   5 15  2   2 0 0  15    1 3 1 2  1   În continuare se înlocuieşte V   5 0  ,    0 3 0  şi V  în  5   2 5 5  0 0 1  2  1 1 1  2    0     3     3 A n  V  n  V 1 .   2 n  3 n  2  5 3 n   2 n 2  3 n 1   2 n  5    15 5 15   n n       1   2  2  1  2n Obţinem A n   . 3 3   n n n n2 n 2  3 n 1   2   10    2   3  10 3   2    15 5 15   Remarcă. Acelaşi rezultat se obţine utilizând algoritmul general prezentat în (I.2.). 30 Determinăm soluţiile ecuaţiei X n  aI 3 pentru a  C  , n  2 în cazul în care valorile proprii ale matricei X sunt distincte. Se observă că matricea   V 1  X  V este de asemenea o soluţie pentru ecuaţia dată.

Într-adevăr, n  V 1  X  V  V 1  X  V  ...  V 1  X  V  V 1  X n  V  V 1  aI 2  V  aI 2 .


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010  1n 0 0   0  iar ecuaţia devine  0 n2 0 0 3   sunt rădăcinile de ordinul n ale lui a .

 1  Rezultă că există    0 0  1 ,  2 , 3  a1 , a 2 ,..., a n 

0  a 0 0    0    0 a 0  , unde 3n   0 0 a 

0 2 0

În concluzie, o parte din soluţiile ecuaţiei X n  aI 3

www.mateinfo.ro

 ai  sunt X  V   0 0 

0 aj 0

0  0   V 1 , unde a k 

a i , a j , a k sunt soluţiile arbitrare ale ecuaţiei x n  a iar V  M 3 (C ) o matrice nesingulară arbitrară.

Analog se rezolvă ecuaţiile de tipul X n  aI m , unde X  M m (C ) . 4 0 Rezolvăm ecuaţia X n  A , în care valorile proprii ale matricei A sunt distincte. Presupunem de la început pentru a fixa ideile că A  M 3 (C ) .Dacă 1 ,  2 ,  3 valorile proprii ale matricei X , iar 1 ,  2 , 3 valorile proprii ale matricei A , atunci 1n  1 ,  2n   2 ,  3n  3 cu

1   2   3 .Întradevăr, găsim V matricea nesingulară pentru care V

1

 1   A V =  0 0 

0 2 0

0  0  şi 3 

0 2 0

0  0 , 3 

în continuare înmulţim relaţia X n  A cu V 1 la stânga şi V la dreapta. Rezultă

 1  (V 1  A  V ) n   0 0  deci

0 2 0

0  1   0   n   0 0 3  

0 2 0

0  1   00 0 3  

  1 ,    2 ,   3 .Soluţiile sunt de forma n 1

n 2

n 3

0 2 0

0   1   0  = 0  3   0

  X  V  0 0 

n

0 0   0   V 1 , unde 0  

 n  1 ,  n   2 ,  n  3 şi V  M 3 (C ) o matrice nesingulară arbitrară. Analog se rezolvă ecuaţia X n  A pentru A  M m (C ) .

Remarcă.Pentru rezolvarea ecuaţiilor de mai sus există şi alte metode. Breefing. Din cele prezentate rezultă: Avantajul metodei. Este cea mai rapida metodă pentru matrici patratice cu ordin mai mare ca 2 (pentru matrici pătratice de ordinul 2 cel mai eficient este algoritmul I.1.) .Dacă avem de exemplu o matrice de ordinul m , numărul de necunoscute pentru determinarea lui A n este m 2  m (deoarece rezultă din m sisteme compatibile simplu nedeterminate cu m ecuaţii) faţă de m 3 câte necunoscute trebuiesc determinate pentru aflarea lui A n din sistemul de ecuaţii m

A n   im Ai (vezi 6 ). i 1

Dezavantajul metodei. Se determină A n doar în cazul în care valorile proprii ale matricei A sunt distincte


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

Algoritmul metodei. Pentru determinarea elementelor matricei A n , în cazul general A  M n (C ) , se parcurg etapele: a)se determină valorile proprii, i , i  1, m (se rezolvă ecuaţia det( A  I )  0 , care are soluţii simple) ; b)se

determină

vectorii

proprii,

Vi , i  1, m (se

rezolvă

sistemele

de

ecuaţii

( A  i I )Vi  O, i  1, m ) ; c)se calculează A n  V  n  V 1 . Osatura, ridicării la putere a unei matrici o reprezintă valorile proprii ale acesteia. Butada,lansată (şi) de articol este: Orice problemă, chiar rezolvată mai mult decât satisfăcător(vezi retrospectiva bibliografică) nu este un punct terminus.

BIBLIOGRAFIE 1 S. Aniţa, Unele metode de ridicare la putere a matricilor de ordinul 3, G.M. 1 / 1983. 2 S. Cremarenco, În legătură cu puterile matricilor pătratice de ordinul 3, G.M. 6 / 1982. 3 Gh. Ghiţă, O metodă de ridicare la putere a matricilor, G.M. 5-6 / 2004. 4 L. Lupaş, A. Lupaş, Probleme de algebră, Editura Gil, Zalău, 2001. 5 M.E. Panaitopol, Ridicarea la putere a matricilor pătratice de ordinul doi, G.M. 3 / 1975. 6 C. Năstăsescu, M. Ţena, Calculul puterilor unor elemente dintr-un inel necomutativ, G.M 3 / 1983. 7 V. Pop, ş.a, Matematică pentru grupele de performanţă, Editura Dacia Educaţional, ClujNapoca, 2004.

Metoda vectorilor proprii pentru ridicarea laputere a matricelor  

metoda vectorilor proprii(metoda descompunerii spectrale sau metoda descompunerii proprii a matricei) pentru ridicarea la putere a matricilo...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you