Page 1

www.mateinfo.ro

Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz Prof. Laura Radu Colegiul Tehnic de Alimentaţie şi Turism „Dumitru Moţoc”, Galaţi

Pentru orice numere reale ai , b i , unde i  1, n , are loc relaţia:

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn 2  a1 2  a 2 2  ...  a n 2  b1 2  b2 2  ...  bn 2  , cu egalitate dacă

a a1 a 2   ...  n . b1 b2 bn

1). Obţinerea inegalităţii Cauchy -Buniakowski-Schwartz din inegalitatea lui Hölder 1 1  = 1, avem: p q

Ştim că oricare ar fi numerele ai, bi  R, i = 1, n , p, q > 1, 1/p

 n  n  p | a |  | aibi |   i    | bi |q   i=1  i=1   i=1  n

sau

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1

Luând p  q  2 , avem

p

1/q

 a2

(inegalitatea lui Hölder),

p

 ...  a n

1 p p

q   b1  b 

1

q

 ...  bn

q

 q . 

1 1   1 şi inegalitatea lui Hölder devine : 2 2

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1  a 2  ...  a n 2

2

1 2 2

2   b1  b 

1

2

 ...  bn

2

 2 . 

Ridicând la puterea a doua, o bţinem:

( a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  a1  a 2  ...  a n 2

2

2

  b

1

2

2

b

2  ...  bn  , 

dar a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1b1  a 2 b2  ...  a n bn , rezultă

( a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  a1  a 2  ...  a n 2

2

2

  b

1

2

b

2

2  ...  bn   

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn 2  a12  a 22  ...  a n2  b12  b22  ...  bn2  , 1


www.mateinfo.ro

Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010 relaţie ce reprezintă inegalitatea Cauchy -Buniakowski-Schwartz.

2). Demonstraţia inegalităţii Cauchy-Buniakowski-Schwartz prin inducţie matematică Considerăm propoziţia



P(n): a1b1  a 2 b2  ...  a n bn   a1  a 2  ...  a n  b1  b2  ...  bn 2

2

2

2

2

2

2

 ,  n  1.

Verificăm P(1): (a1b1 ) 2  a12  b12 adevărat  P(1) adevărată P(2): (a1b1  a 2 b2 ) 2  (a12  a 22 )  (b12  b22 ) a12 b12  2a1b1 a 2 b2  a 22 b22  a12 b12  a12 b22  a 22 b12  a 22 b22 2a1b1 a 2 b2  a12 b22  a 22 b12 (a1b2  a 2 b1 ) 2  0 adevărat  P(2) adevărată Presupunem că P(k) este adevărată şi demonstrăm că P(k+1) este adevărată.



 adevărată  ...  b 

P(k): a1b1  a 2 b2  ...  a k bk   a1  a 2  ...  a k  b1  b2  ...  bk 2

2

2

2

2

2



P(k+1): a1b1  a 2 b2  ...  a k 1bk 1   a1  a 2  ...  a k 1  b1  b2 2

2

2

2

2

2

2

2

k 1

a1b1  a 2 b2  ...  a k bk 2  2a k 1bk 1 (a1b1  ...  a k bk )  a k21bk21 

2

b

2 k 1



2

(a  ...  a )  a

2 k 1

 a1  a 2  ...  a k  b1  b2  ...  bk 2

2 1

2

2 k

2

2



(b  ...  b )  a k21 bk21 2 1

2 k

Folosind P(k), obţinem: 2a k 1bk 1 ( a1b1  ...  a k bk )  bk21 ( a12  ...  a k2 )  a k21 (b12  ...  bk2 )  ( a1bk 1  a k 1b1 ) 2  ( a 2 bk 1  a k 1b2 ) 2  ...  ( a k bk 1  a k 1bk ) 2  0 adevărat 

 P(k+1) adevărată. În concluzie propoziţia P(n) este adevărată oricare ar fi n  1 , n număr natural.

3). Obţinerea inegalităţii Cauchy -Buniakowski-Schwartz cu ajutorul funcţ iei de gradul al II-lea Considerăm funcţiile f k : R  R , f k ( x)  ( a k x  bk ) 2 , k  1, n . f k ( x)  a k2 x 2  2a k bk x  bk2

Evident, f k ( x)  0 x  R şi de aici rezultă că  k  0 . n

n

n

n

k 1

k 1

k 1

k 1

Definim funcţia f : R  R  , f ( x)   f k ( x)   a k2 x 2  2 a k bk x   bk2 . Deoarece f este sumă de funcţii pozitive, atunci şi f uncţia f este pozitivă şi avem: 2


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010 2

www.mateinfo.ro

2

 n   n  n   n   n  n    4  a k bk   4  a k2   bk2   0    a k bk     a k2   bk2    k 1   k 1  k 1   k 1   k 1  k 1 

a1b1  a 2 b2  ...  a n bn 2  a1 2  a 2 2  ...  a n 2   b1 2  b2 2  ...  bn 2  . Câteva aplicaţii ale inegalităţii Cauchy -Buniakowski-Schwartz (C-B-S)

1). Fie x, y, z trei numere reale strict pozitive astfel încât

1 1 1   2. 1 x 1 y 1 z

Să se arate că 8 xyz  1 . (G.M. 5/2007, O.B.M.J. 2006 -proba de baraj) Soluţie : Putem aplica C-B-S pentru fiecare fracţie din egalitatea dată, astfel : 1 1 1  2    x  2  2    1  1  1  x 2 2  1 1 1 1  (1  x) 4    9   4   . x 1 x 9  x  În mod analog scriem celelalte f racţii şi însumând relaţiile, obţinem: 1 1 1 1 1 1 1     4   4   4    1 x 1 y 1 z 9  x y z

1 1 1 1 2  12      9 x y z 1 1 1   6  x y z

xy  yz  zx  6 xyz .

(1)

În relaţia din ipoteză eliminăm numitorii şi avem : 1  2 x  2 y  2 z  xy  yz  zx  2(1  x  y  z  xy  yz  zx  xyz )  1  xy  yz  zx  2 xyz

xy  yz  zx  1  2 xyz .

Ţinând cont de relaţia (1) , obţinem : 1  2 xyz  6 xyz  8 xyz  1 ,

ceea ce trebuia demonstrat. 2). Dacă a, b, c  R* şi

ab  bc  ca  1 , să se arate că:

a2 b2 c2 1    . bc ac ab 2 3


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

Soluţie: Aplicăm inegalitatea C-B-S:

 a2 b2 c2   b  c   a  c   a  b   a  b  c 2   bc ac ab  a2 b2 c2   2a  2b  2c   a  b  c 2   bc ac ab a2 b2 c2 abc    bc ac ab 2 Dar a  b  2 ab , b  c  2 bc , c  a  2 ca  a  b  c  obţinem în final că

ab  bc  ca  a  b  c  1 ,

a2 b2 c2 1    . bc ac ab 2

3). Arătaţi că oricare ar fi numerele reale strict pozitive x,y,z are loc relaţia: x3 y y3z z3x 3    . 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 xz  y z yx  z x zy  x y

Soluţie: Amplificăm prima fracţie cu xy, a doua cu yz şi a treia cu zx în vederea aplicării inegalităţii C-B-S: x4 y2 y4z2 z4x2 3  3 2  3 2  . 2 3 3 2 2 3 3 2 x yz  xy z x y z  x yz xy z  x y z 2 Aplicăm inegalitatea lui C -B-S :   x4 y2 y4z2 z4x2  2 3   3 2  3 2 3 2 2 3 3 2  x y z  x yz xy z  x y z   x yz  xy z  [( x 2 yz 3  xy 3 z 2 )  ( x 3 y 2 z  x 2 yz 3 )  ( xy 3 z 2  x 3 y 2 z )] 

 ( x 2 y  y 2 z  z 2 x) 2  x4 y2 y4z2 ( x 2 y  y 2 z  z 2 x) 2 z4x2     x 2 yz 3  xy 3 z 2 x 3 y 2 z  x 2 yz 3 xy 3 z 2  x 3 y 2 z xyz ( xz 2  y 2 z  x 2 y  xz 2  y 2 z  x 2 y ) x4 y2 y4z2 ( x 2 y  y 2 z  z 2 x) 2 z4x2     x 2 yz 3  xy 3 z 2 x 3 y 2 z  x 2 yz 3 xy 3 z 2  x 3 y 2 z 2 xyz ( xz 2  y 2 z  x 2 y )

4


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

3 3 3 x4 y2 y4z2 x 2 y  y 2 z  z 2 x 33 x y z z4x2 3  3 2  3 2    , rezultat 2 3 3 2 2 3 3 2 2 xyz 2 xyz 2 x yz  xy z x y z  x yz xy z  x y z

obţinut în urma aplicării inegalităţii mediilor: m a  m g . Deci

x4 y2 y4z2 z4x2 3     2 3 3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 x yz  xy z x y z  x yz xy z  x y z 2 x3 y y3z z3x 3  3  3  . 3 2 2 2 2 2 2 2 xz  y z yx  z x zy  x y

4). Să se arate că : (a1  a 2  .....  a n ) 2 an a1 a2    .....  , 2 2 2 a1  a 2 2(a1  a 2  .....  a n ) a 2  a 3 a 3  a 4 unde a k  0 , k  1, n . Soluţie: Conform inegalităţii C-B-S avem:

 a1 an a2    .....  a1  a 2  a 2  a3 a3  a 4

 (a1 (a 2  a 3 )  a 2 (a 3  a 4 )  .....  a n (a1  a 2 ))  

 ( a1  a 2  .....  a n ) 2 

an (a1  a 2  .....  a n ) 2 a1 a2   .....   a 2  a3 a3  a 4 a1  a 2 a1 (a 2  a 3 )  a 2 (a 3  a 4 )  .....  a n (a1  a 2 ) Ştiind că m g  m a , rezultă: a1 a 2 

a 2  a 32 a 2  a 32 a12  a 22 a 2  a 22 , a1 a 3  1 , a 2 a3  2 , ……….., a n a 2  n 2 2 2 2

a1 (a 2  a 3 )  a 2 (a 3  a 4 )  .....  a n 1 (a n  a1 )  a n (a1  a 2 )   a1 a 2  a1 a 3  a 2 a 3  a 2 a 4  .....  a n 1 a n  a n 1 a1  a n a1  a n a 2  

4a12  4a 22  .....  4a n2  2( a12  a 22  .....  a n2 )  2

1 1   2 2 a1 ( a 2  a 3 )  a 2 ( a 3  a 4 )  .....  a n ( a1  a 2 ) 2( a1  a 2  .....  a n2 )

(a1  a 2  .....  a n ) 2 (a  a  .....  a n ) 2  12 2 2 a1 (a 2  a 3 )  a 2 (a 3  a 4 )  .....  a n (a1  a 2 ) 2(a1  a 2  .....  a n2 ) 5

(1)


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

şi ţinând cont de relaţia (1) deducem că :

an (a  a  .....  a n ) 2 a1 a2   .....   12 2 2  a 2  a3 a3  a 4 a1  a 2 2(a1  a 2  .....  a n2 ) an a1 a2 (a1  a 2  .....  a n ) 2   .....   . 2 2 2 a1  a 2 2(a1  a 2  .....  a n ) a 2  a 3 a 3  a 4

5). Arătaţi că dacă a,b,c sunt numere reale strict pozitive, atunci ab bc ca 1 1 1  2  2  2    . 2 c a b a b c

O.M.- etapa judeţeană, Galaţi, 5 martie 2005 Soluţie: Membrul stâng al relaţiei date se poate scrie: ab bc ca a b b c c a  2  2  2  2  2  2  2  2 . 2 c a b c c a a b b Folosind inegalitatea C-B-S obţinem: 2

b b c c a  1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1   a  2  2  2  2  2  2                 c a a b b  a b b c c a   c c a a b b  c a b b c c a 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2         2 c c a a b b c c a a b b ab bc ca 1 1 1  2  2  2    . 2 c a b a b c

6). Fie numerele reale strict pozitive a1 , a 2 ,...., a n , n  N , n  2 astfel încât a1  a 2  ....  a n  n . Demonstraţi că : a1

an a1 a  a 2 2  ......  a n  n. 1 3 2n  1

Soluţie: Prelucrăm membrul stâng al inegalităţii amplificând fiecare fracţie cu numărătorul ei: an a n2 a a a2 a2 a1 1  a 2 2  ......  a n  1  2  ......  . 1 3 2n  1 1a1 3a 2 (2n  1)a n

(1)

Aplicând inegalitatea C-B-S , obţinem:  a12  a n2 a2   ( a  3a  .....  (2n  1)a )  (a  a  ...  a ) 2  n 2  2  .....  1 2 n 1 2 n  1a 3a 2 (2n  1)a n  1  a n2 a2 a2 n2  1  2  ......  (2)  1a1 3a 2 (2n  1)a n a1  3a 2  .....  (2n  1)a n ( a1  3a 2  .....  (2n  1)a n ) 2  ( a1  3 a 2  .....  2n  1 (a n ) 2  6


Revista Electronică MateInfo.ro ISSN 2065 – 6432 Decembrie 2010

www.mateinfo.ro

 (1  3  ......  ( 2n  1)) (a1  a 2  ....  a n ) 

 n 2 ( a1  a 2  ....  a n )  n 3 

 a1  3a 2  .....  (2n  1)a n  n n  

1 a1  3a 2  .....  (2n  1)a n

1 n n

2

Înmulţim relaţia cu n şi obţinem: n2

n2

n

 n. a1  3a 2  .....  (2n  1)a n n n n Ţinând cont de relaţiile (1) şi (2)obţinem : an a n2 a a a12 a 22  n,   ......   n  a1 1  a 2 2  ......  a n 1 3 2n  1 1a1 3a 2 (2n  1)a n ceea ce trebuia demonstrat.

Bibliografie : 1).Crînganu J., „Predarea matematicii pentru elevi de performanţă ”-curs master 2).Gazeta Matematică nr.5/2007 3).www.math.md

7

dec2010_Inegalitatea C-B-S  

......... nnnn bbbaaabababa , a b a ... 22 2 22 2 ......... nnnn bbbaaabababa , Luând 2 qp , avem 1 2 babababababa ...... | a | | b |...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you