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La obra de Euclides no es totalmente original, pues muchos de sus libros están basados en geómetras anteriores. EUCLIDES

PTOLOMEO I SOTER (323-285 A.D.C

Destacó hacia el 300 a.d.C. en Alejandría y es junto a Arquímides y Apolonio, posteriores a ´´él, uno de los principales matemáticos de la antigüedad y también uno de los mayores de todos los tiempos. El nombre de Euclides está indisolublemente ligado a la Geometría, al escribir su Famosa obra Los Elementos, prototipo de esta rama de las matemáticas. Sin embargo, pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Entonces lo que en realidad Euclides hizo fue reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde la época de Tales. Aunque la mayoría de los tratados versan sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como teoría de números.


Se diferencian tres tipos de métodos: los axiomas, las definiciones y los teoremas.

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias. Para facilitar su estudio se distinguen cinco grupos de axiomas:

Existencia, e Incidencia.

Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (Sin estos no podríamos empezar a trabajar) y también nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.

Ordenación en la recta

Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta)(téngase en cuenta que nunca la definimos).Si seleccionamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio. Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro).

Continuidad

División del plano

Movimiento y congruencia (o igualdad)

También es válido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide.

Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro)

En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).


DEFINICIONES Se puede ver que en los anteriores axiomas todo es aceptable, excepto el detalle (importante) de que no dijimos que es una semirrecta, que es un semiplano y que es un movimiento (o sea, omitimos hasta ahora definir estos conceptos). Una semirrecta, es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de esta. Para determinarla se Semirrecta especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión) Un semiplano, análogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para Semiplano determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido. (tener en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión) La definición de un movimiento es más complicada que las anteriores, pero se hace más clara cuando se avanza en el estudio de los mismos. Aquí diremos simplemente que se trata de transformaciones que transforman figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc.) en otros de la misma clase, a estos Movimiento últimos se los llama ""homólogos de los primeros en la transformación"". Hay que tener en cuenta que los mismos, transforman un punto que pertenece a una recta, en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver, cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo.


TEOREMAS

Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas. 

Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (fíjese que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.) También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultáneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano). Como un ejemplo más complejo, podemos afirmar que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado, primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos), para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tuvieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta)).


APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA La geometría tiene aplicaciones importantes en muchas disciplinas. Tiene una particular importancia en la arquitectura, ya que la geometría se utiliza para calcular el espacio, ángulos y distancias, que tienen un interés inmediato para el diseño arquitectónico. El arte utiliza la geometría para lo que tiene que ver con la profundidad espacial. Los aspectos de la geometría no euclidiana como los fractales se pueden encontrar de forma natural en la naturaleza.


Euclides planteó cinco postulados en su sistema: Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta que los une. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. Todos los ángulos rectos son congruentes. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).

HAY 7 PASOS INDISPENSABLES PARA PODER APLICAR LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA. 1º Imaginar el problema y pensar en una solución a primera instancia. 2º Hacer un bosquejo que represente el problema. 3º Buscar información que puedas necesitar para encontrar el resultado. 4º Empezar a resolver de forma analítica. 5º Ya tenido los resultados, entregar con evidencias, que sería el dibujo previo y la respuesta comprobada. 6º Plantear el problema ahora de forma real (en la vida diaria). 7º Buscar alguna propiedad o terreno en el que se tuvo que haber empleado este método.


Morales Aguilar Salma Rizo Martínez María Fernanda Rebollar Flores Grecia 2IM13 Profesora: PAVANO RODRIGUEZ CLAUDIA GUADALUPE


Geometría euclidiana 2014.  

Podrás encontrar antecedentes históricos.

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