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Ondas elásticas en una barra y en una columna de aire September 21, 2008

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Ondas Elásticas en una barra

Sí provocamos una perturbación en uno de los extremos de la barra, golpeándola, la perturbación se propaga a lo largo de la barra y eventualmente se siente al otro extremo. Entonces decimos que se ha propagado uno onda elástica a lo largo de la barra. Comsideremos una barra de sección transversal uniforme A, sujeta a una fuerza seguún su eje indicada por F .

La fuerza F no es necesariamente la misma en todas las secciones y puede variar a lo largo del eje de la barra. Sobre cada sección transversal actuán dos fuerzas iguales y opuestas; una es la tensión sobre la parte izquierda debida a la poción derecha y la otra tensión sobre la parte derecha debida a la porción izquierda de la barra. Bajo la acción de tales fuerzas cada sección de la barra experimienta un desplazamiento ξparalelo al eje. Si este desplazamiento es el mismo en todos los puntos de la barra, no se produce deformación, simplemente un desplazmiento rígido de la barra según su eje; pero nos encontramos interesados únicamente en el caso en el cual se produce deformación, de modo que haya una variación de ξa lo largo de la barra, esto es, que ξ sea una función de x. Consideremos dos secciones A y A0 separadas una distancia dx en estado de equilibrio. Cuando las fuerzas se manifiestan, la sección A se desplaza la distancia ξ y la sección A0 , la distancia ξ 0 . Luego la separación entre A y A0 en el estado de deformación es: dx + (ξ 0 − ξ) = dx + dξ

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(1)


donde dΞ = Ξ 0 − Ξ. La deformaciĂłn de la barra en aquella regiĂłn ha sido por consiguiente dΞ. La deformaciĂłn unitaria normal en la barra es la deformaciĂłn por unidad de longitud a lo largo del eje de la barra. Como la deformaciĂłn dΞ corresponde a la longitud dx vemos que la deformaciĂłn unitaria de la barra es: ∂Ξ (2) ∂x ObsĂŠrvese que cuando no hay deformaciĂłn, Ξ,es constante y  = 0, es decir que no hay deformaciĂąon unitaria normal. Entre la tensiĂłn y la deformaciĂłn unitaria de la barra hay uan relaciĂłn llamada Ley de Hooke, la cual establece que, dentro del lĂ­mite de elsticidad del material, la normal es esfuerzo proporcional a la deformaciĂłn unitaria normal. Es decir que, =

δ =Y

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donde Y , la constante de proporcionalidad, es el mĂłdulo de elasticidad de Young.

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Ondas de presiĂłn en una columna de aire

A continuaciĂłn consideraremos las ondas eslĂ sticas que se producen en un gas debido a las variaciones de presiĂłn. Hay una diferencia importante entre las ondas elĂĄsticas en un gas y las de una barra. Los gases son muy compresiblesy cuando se estableces fluctuaciones de presiĂłn en un gas, la densidad del mismo experimenta las mismas fluctuaciones de presiĂłn. Sean P y Ď la presiĂłn y la densidad del gas en ccondiciones de equilibrio. En estas condiciones P y Ď conservan el mismo valor en todo el volumen del gas, esto es, son indendientes de x. Si la presiĂłn del gas se modifica, un volumen elemental tal como Adx se pone en movimiento debido a una fuerza neta no nula. En consecuencia, la secciĂłn A se desplaza una distancia Ξ y la secciĂłn A0 la distancia Ξ 0 , de modo que el espesor del volumen elemental despuès de la deformaciĂłn es dx + (Ξ 0 − Ξ) = dx + dΞ. Hasta aquĂ­ todo parece idĂŠntico al caso de la barra. Sin embargo, debido al cambio de volumen, la densidad cambia porque el gas es mĂĄs compresible. La masa del volumen elemental en equilibrio es Ď Adx y la masa del volumen perturbado es Ď A(dx + dΞ), donde Ď es la densidad del gas perturbado. El principio de conservaciĂłn de la masa requiere que dichas masas sean iguales, es decir : Ď A(dx + dΞ) = Ď (1 +

∂Ξ ) ∂x

Despejando Ď ,obtenemos: Ď = 1+Ď âˆ‚Îž ∂x

∂Ξ como en general ∂x es pequeĂąo, podemos reemplazar (1 + usando el desarrollo del binomio; asĂ­ resulta que

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∂Ξ −1 ∂x ) por

1−

∂Ξ ∂x ,


ρ = ρ (1 − 0

∂ξ ∂x )

La presión p está relacionada con la densidad ρpor la ecuación de estado p = f (ρ). Aplicando el desarrollo de Taylor a esta función se tiene que: 2 dp ) + 12 (ρ − ρ2)2( dd2ρp ) + . . . p = ρ + (ρ − ρ)( dρ Para variaciones de densidad relativamente pequeñas, podemos conservar únicamente los dos primeros términos y escribir p = p + (ρ − ρ)(

dp ) dρ

La cantidad k=ρ ( 0

dp ) dρ

recibe el nombre de módulo de elasticidad de volumen. Se expresa en N m−2, las mismas unidades que usamos para la pesión. Entonces podemos escribir ρ−ρ p = P + K( 0

ρ

0

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0

)


varilla, aire, columna.