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CALCULO II FUNCIONES TRASCENDENTES DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA ESTADISTICA

Lic. Martín J. Alonso UNAN-LEON 04/04/2011


Lic. Martín Alonso CALCULO II UNIDAD I: FUNCIONES TRASCENDENTES Clase: #2 Tema: FUNCION LOGARITMO NATURAL (derivada e integral) FUNCION EXPONENCIAL NATURAL (derivada e integral) FUNCION LOGARITMO NATURAL Leyes de los Logaritmos Naturales: Si a y b sin cualesquiera dos números positivos, y r es cualquier número racional, entonces: • ln1= 0 • ln(a.b)= lna +lnb • •

 

     lnar = r.lna

La funciĂłn logaritmo natural satisface las siguientes propiedades. i. Su dominio es el conjunto de los nĂşmeros reales positivos. ii. Su contradominio es el conjunto de los nĂşmeros reales. iii. La funciĂłn es creciente en su dominio. iv. La funciĂłn es continua en todos los nĂşmeros de su dominio. v. Su grafica es cĂłncava hacia abajo en todos sus puntos. vi. La grafica de la funciĂłn es asintĂłtica a la parte negativa del eje y a travĂŠs del cuarto cuadrante.

Figura 1: GrĂĄfico f(x) = lnx, x>0 Derivada de la funciĂłn logaritmo natural Teorema 1

d (ln x ) = 1 dx x Teorema 2: Si u es una función diferenciable de x y u(x) > 0, entonces 1    . Ejemplo 1: Calcule f ’(x) si f(x) = ln(3x2- 6x + 8)

Ejemplo 2: Calcule f’(x) si f(x) = ln(2x- 1)3

Ejemplo 3: Determine dy/dx si      2


Lic. MartĂ­n Alonso 

√  √ 

Ejemplo 4: Calcule dy/dx si   

Integral que producen funciones logarĂ­tmicas naturales Teorema 3:

1

âˆŤ x dx = ln x + C

y

1

âˆŤ u du = ln u + C

Para cualquier nĂşmero racional n se define         1  ||  Ejemplo 5: EvaluĂŠ

' &   (

!"  # 1% !"   1

 '  (



Ejemplo 6: Calcule el valor exacto de &) Respuesta: 3ln3

Ejemplo 7: EvaluĂŠ &

*

(

FUNCION EXPONENCIAL NATURAL DefiniciĂłn de la funciĂłn exponencial natural La funciĂłn exponencial natural es la inversa de la funciĂłn logarĂ­tmica natural; por tanto, se define como

ex = y si y solo si x = lny Nota: es comĂşn usar la notaciĂłn exp(x) en muchos programas

ex = exp(x) El valor de e con 7 cifras decimales es e = 2.7182818 Este nĂşmero se obtiene originalmente de los lĂ­mites siguientes:  

lim./ 1    0 Ăł

3

lim1.) 1  24

3


Lic. MartĂ­n Alonso

Figura 2: GrĂĄfico de f(x)= exp(x) y f(x) = lnx, x>0

Figura 3: GrĂĄfico de f(x)= exp(x) La funciĂłn exponencial natural satisface las siguientes propiedades. i. Su dominio es el conjunto de los nĂşmeros reales. ii. Su contradominio es el conjunto de los nĂşmeros reales positivos. iii. La funciĂłn es creciente en su dominio. iv. La funciĂłn es continua en todos los nĂşmeros de su dominio. v. Su grafica es cĂłncava hacia arriba en todos sus puntos. vi. La grafica de la funciĂłn es asintĂłtica a la parte negativa del eje x a travĂŠs del cuarto cuadrante. Leyes de los exponentes de base e Si a y b son cualesquiera dos nĂşmeros reales, entonces

• • • • •

e0 =1 ln(e) = 1 0  . 0   0  0  5 0   0 6 0    0 .

Derivada de la funciĂłn exponentes de base e: Teorema 4:

d x e = ex dx

( )

Teorema 5: Si u es una funciĂłn diferenciable de x, entonces

0 7   0 7 . 

4


Lic. Martín Alonso Ejemplo 8: Obtenga dy/dx si   0  *

Integrales exponenciales de base e Teorema 6:

∫e

x

Ejemplo 9: Evalúe

dx = e x + C

∫e

Ejemplo 10: Evalúe &

x 2 −5 x

y

∫e

u

du = e u + C

(2 x − 5)dx

8 √9 ( √

OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Definición de función exponencial de base a Si a es cualquier número real positivo y x es cualquier número real, entonces la función f definida por

f(x) = ax se denomina función exponencial de base a.

Figura 4: Gráfico de f(x)= ax para: a > 1 y a < 1.

Figura 5: Gráfico de f(x)= ax para: 0 < a < 1 y a < 0. 5


Lic. MartĂ­n Alonso La funciĂłn exponencial de base a satisface las mismas propiedades que la funciĂłn exponencial natural. Teorema 7 Si x y y son cualesquiera dos nĂşmeros reales, entonces â&#x20AC;˘ ln(e) = 1 â&#x20AC;˘ a0 =1 â&#x20AC;˘  .  :   : â&#x20AC;˘  5  :   6: â&#x20AC;˘  :   .: Derivada de la funciĂłn exponencial de base a Teorema 8: Si a es cualquier nĂşmero real positivo y u es una funciĂłn diferenciable de x, entonces ;< =   = >?=;< Ejemplo 10: Calcule fâ&#x20AC;&#x2122;(x) si @ (  3

'

Integral de la funciĂłn exponencial de base a Teorema 9: Si a es cualquier nĂşmero real positivo de 1, entonces 7  7     Ejemplo 11: EvaluĂŠ & â&#x2C6;&#x161;10 (

DefiniciĂłn de funciĂłn logarĂ­tmica de base a Si a es cualquier nĂşmero real positivo diferente de 1, la funciĂłn logarĂ­tmica de base a es la inversa de la funciĂłn exponencial de base a: esto es,

y = loga x si y solo si ay = x

Figura 6: GrĂĄfico de f(x)= loga (x) para: a > 1 y a < 1. La funciĂłn logarĂ­tmica de base a satisface las mismas propiedades que la funciĂłn logaritmo natural.

6


Lic. MartĂ­n Alonso Leyes de los logaritmos de base a

â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘ â&#x20AC;˘

loga1 =0 loga(a) =a loga (xy) = loga (x) + loga (y) loga (x/y) = loga (x) - loga (y) loga (xn) =n loga (x) 

â&#x20AC;˘ CD 0  * Cambio de base ( CD (  

Teorema 10 Si u es una funciĂłn diferenciable de x, entonces *EF 8  CD   7G .  â&#x2020;&#x201D; CD   *7 .  Ejemplo 12: Calcule dy/dx si

  CD)



' 

Ejemplo 13: Si y = xx, donde x>0, calcule dy/dx

Ejemplo 14: EvaluĂŠ

â&#x2C6;Ť

log10 x dx x

Uso del software MATLAB (orientaciones) Para hacer cĂĄlculo de derivadas e integrales se debe de escribir primero el comando: syms variables1 variable2 variable3 . . . Para la derivada de una funciĂłn usaremos el comando: diff( funciĂłn a derivar ) Para integrar funciones usaremos el comando: int( funciĂłn a integrar) Para integrales definidas tenemos que tomar encuentra sus lĂ­mites de integraciĂłn. Miremos algunos ejemplos: Ejemplo 15: Calcule f â&#x20AC;&#x2122;(x) si H <  I6<

J

>> syms x y f >> f=exp(-x^2); >> diff(f) ans = -2*x*exp(-x^2)

7


Lic. Martín Alonso Ejemplo: Evalué la integral definida:

J<  K L< <J  <



Solución: >> y=(2*x-1)/(x^2-x) y= (2*x-1)/(x^2-x) >> int(y) ans = log(x*(x-1))

Ejemplo 16: Evalué la integral definida

O



K

MN < L< <

Solución:

>>y=(log(x)/x) y= log(x)/x >> int(y,1,4) ans = 2*log(2)^2

Tarea: Ejercicios Calcule la deriva de f(x) 1) f ( x) = ln( x 4 + 2 x 2 − 6) 2) f ( x ) Evalué

= e −2 x

3

4x − 1 dx 2 − x +1

3)

∫ 2x

4)

∫x e

5) &

2

x3

9

(

dx

Bibliografia: El Cálculo 7ma Edición, Autor: Louis Leithold Capitulo 5: paginas 403 – 455

8

Funciones Exponenciales y Logaritmicas  

En esta clase aprenderemos a calcular las derivadas e integrales de las funciones exponciales y logaritmicas.

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