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___________________________________ Nombre del estudiante

MARTHA VILLOTA 2.011 - 2.012


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PRESENTACIÓN Vivimos en un mundo en el que las Matemáticas forman parte de la vida diaria. El presente trabajo es una propuesta metodológica basada en el constructivismo y así conseguir que el estudiante descubra y aplique apropiadamente los conocimientos matemáticos. Las actividades que aquí se proponen serán ampliadas con el desarrollo de ejercicios, problemas y algunos juegos que nos permitirán estimular el pensamiento, tendremos en cuenta que el carácter de las matemáticas está por encima de la simple memorización simbólica y formulación de problemas que nada tienen que ver con la realidad de las personas. El módulo esta organizado en 4 ejes temáticos en los que se desarrollan los distintos pensamientos matemáticos propuestos en los Lineamientos Curriculares y Estándares Básicos de Competencias: Numérico-variacional, el geométricométrico y el aleatorio De igual manera se trabajan las competencias, teniendo en cuenta que la competencia matemática se evalúa a través de tres competencias específicas: COMUNICACIÓN

COMUNICACIÓN: Se refiere a la capacidad para identificar la coherencia de una idea respecto a los conceptos matemáticos expuestos en una situación o contexto determinado, o una situación descrita en lenguaje natural. RAZONAMIENTO

RAZONAMIENTO: Se relaciona con aspectos como la identificación de diferentes estrategias procedimientos puestos en acción en el tratamiento de situaciones problema y exploración de ejemplos la identificación de patrones y la generalización de propiedades. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS: Hace referencia a la capacidad para plantear y resolver problemas a partir de contextos matemáticos y no matemáticos, la traducción de la realidad a una estructura matemática, la verificación e interpretación de resultados de tal manera que se generalicen soluciones y estrategias que dan solución a nuevas situaciones 2

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1 EJE TEMÁTICO: LÓGICA, CONJUNTOS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN 1.1 ESTÁNDARES Reconozco y construyo proposiciones Formo conjuntos a partir de condiciones dadas. Comprendo el sistema de numeración en base dos y diez y sus aplicaciones y conversiones de bases. 1.2 CONTENIDOS LÓGICA Proposiciones y sus negaciones Proposiciones simples, conectivas, proposiciones compuestas La conjunción, valor de verdad La disyunción, valor de verdad Proposiciones abiertas y cerradas CONJUNTOS Noción de conjuntos Notación, representación gráfica Pertenencia Determinación de conjuntos: Comprensión, extensión Clases de conjuntos: Vacío, unitario, finito, infinito Inclusión de conjuntos, igualdad entre conjuntos Conjunto universal o referencial Unión e intersección entre conjuntos Diferencia y complemento SISTEMAS DE NUMERACIÓN Historia de los sistemas de numeración Sistema de numeración decimal Sistema pentacimal o de base cinco Sistema binario o de base dos 1.3 LOGROS Y/O COMPETENCIAS Identifica proposiciones lógicas Establece los requisitos necesarios para decidir si una proposición es verdadera o falsa Identifica proposiciones compuestas y algunos conectivos lógicos. Reconoce cuando una proposición compuesta es una conjunción Halla el valor de una conjunción Reconoce y halla el valor de verdad de una disyunción Identifica cuando un término es constante y cuando es variable Identifica proposiciones abiertas y cerradas Representa gráficamente un conjunto Determina conjuntos por compresión y extensión Clasifica conjuntos según el número de elementos Identifica l conjunto universal Realiza uniones e intersecciones entre conjuntos Halla la diferencia y el complemento entre conjuntos Identifica algunos aspectos del desarrollo histórico de la numeración. Transforma un número expresado en un sistema de numeración a otro 3

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LÓGICA Lógica matemática: (del lat. logĭca, y este del gr. λογική). f. ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento científico. //~ borrosa, o ~ difusa. f. la que admite una cierta incertidumbre entre la verdad o falsedad de sus proposiciones, a semejanza del raciocinio humano COMUNICACIÓN

EL SOL, LAS NUBES Y LAS ESTRELLAS Erase una vez, en una tierra muy, muy lejana, había un país, donde estaba siempre lloviendo, lloviendo y lloviendo; con lluvias torrenciales todo el día, todos los días, durante años y años. Y allí, vivía un niño chiquitito, en una casita en la montaña, con su papá y su perrito. Tenía nueve años, y todos los días de su vida, había llovido y llovido durante todo el día y toda la noche. ¿Te puedes imaginar estando siempre lloviendo y siempre húmedos? La gente estaba siempre diciéndole que, antes de que él naciera, había habido una cosa extraña que se llamaba Sol. El sol era una cosa grande, redonda y amarilla, que daba calor y luz a todo y a todos. Y siempre tenía una sonrisa en su cara grande, redonda y amarilla. Y, al ver esa sonrisa en el sol, la gente lo miraba y le devolvía la sonrisa. El niño pequeñito no podía imaginar en su mente la idea de una cosa grande, redonda, amarilla y sonriente. Y no podía creer que la gente pudiera mirarlo y sonreírse, porque en su pueblecito nadie se sonreía, todos parecían muy tristes. Un día, la gente empezó a comentar que los cielos parecían un poco más claros. Todavía estaba lloviendo y las negras nubes aún estaban colgando del cielo, pero era cierto que parecía más claro. Al día siguiente, la gente empezó a comentar más, que ese día, estaba lloviendo menos. Al día siguiente, solo llovió la mitad del día. Al otro, solo hubo unas pocas lloviznas, y las ventanas goteaban de vez y cuando. Y al otro, dejó de llover; al siguiente, todas las nubes eran de color blanco. Un día más y aparecieron trozos de cielo azul. De repente, no había ni una sola nube y una cosa grande, redonda y amarilla estaba flotando en el cielo, dando calor y luz a todos.

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Y la gente miraba hacia arriba y sonreía al verlo, porque tenía una enorme y radiante sonrisa. Y el niño pequeño se sentó en su cama y vio, a través de la ventana, una cosa de la que sólo había oído hablar en historias que podían ser cuentos: Una cosa grande, redonda y amarilla en el cielo con una gran sonrisa en su cara. ¡Eso debe ser el sol! Dijo el niño, devolviéndole la sonrisa. Y corrió por las calles, viendo que todo el mundo estaba sonriendo. Caroline Sedgwick

* De qué se trata la historia * Cuál es la idea principal de la historia. * Qué arias si ocurriría algo como lo narrado en la historia * Realiza un dibujo de la historia.

COMUNICACIÓN

PROPOSICIÓN

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Escribo el valor de verdad (verdadero o falso) a cada uno de los siguientes pares de Proposiciones: a) 9 es número impar............................................... ( ) 9 no es número impar......................................... ( ) b) 21 es divisible por 3............................................. ( ) 21 no es divisible por 3....................................... ( ) c) La plata es un metal............................................ ( ) La plata no es un metal....................................... ( ) COMUNICACIÓN

CONJUNCIÓN Conjunción: Junta, unión. Es la proposición compuesta en la cual las proposiciones simples están unidas mediante el conectivo lógico “y”. La conjunción de dos proposiciones simples p y q se simboliza “P  Q” P: Juan es cantante q: Juan es bailarín P  q: Juan es cantante y bailarín Valor de verdad

p

q

pq

COMUNICACIÓN

DISYUNCIÓN Disyunción: (del lat. disiunctĭo, -ōnis, desunión). f. acción y efecto de separar y desunir. 6

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Es la proposición compuesta en la cual la unión de las proposiciones simples se hace mediante el conectivo lógico “o”. La disyunción de dos proposiciones simples p y q se simboliza así: P  Q. P: Pedro compra un libro Q: Pedro compra un CD P  Q: Pedro compra un libro o un CD Valor de verdad

p

q

pq

PROPOSICIONES ABIERTAS Y CERRADAS.

RAZONAMIENTO

1) Halla el valor de verdad de las siguientes proposiciones matemáticas. p: 3 x 5 = 15 q: 46 es divisible por 7 r: 25 es múltiplo de 5 s: 7 es mayor que 3 t: 42 es un número primo 2) Niega las proposiciones p: el sol es una estrella ___________________________________________ q: 8 + 26 = 30 ___________________________________________________ r: 500 es un número par ___________________________________________ s: un número par más otro número par da como resultado un número impar _________________________________________________________________ 3) Dadas las proposiciones p: Un rombo es un polígono q: un cuadrado es un cuadrilátero 7

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r: un triángulo tiene cuatro lados s: un rectángulo es un paralelogramo

Halla

a) pq y encuentra su valor de verdad b) pr y encuentra su valor de verdad c) ps y encuentra su valor de verdad d) qr y encuentra su valor de verdad e) pq y encuentra su valor de verdad f) pr y encuentra su valor de verdad g) ps y encuentra su valor de verdad h) qr y encuentra su valor de verdad i) q s y encuentra su valor de verdad

4) Realizar la tabla de verdad para un condicional

COMUNICACIÓN

CONJUNTOS CONJUNTO: Adj. Que está unido o contiguo a otra cosa.

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Realizar un cuento.

La lógica matemática encuentra su fundamento en la teoría de conjuntos, que has estudiado durante la primaria, vamos a recordar algunos conceptos, tomando textos de la página web www.escolar.com

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RAZONAMIENTO

CONJUNTO

ES

Se utiliza: _____________________________________ Para designar un elemento se utiliza: ________________________________________

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RAZONAMIENTO

PERTENENCIA:

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RAZONAMIENTO

DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Existen dos formas de definir un conjunto: por extensión o por comprensión. Extensión:

Comprensión:

A trabajar

1. Determino por extensión, cada uno de los siguientes conjuntos: a. A = x N / x es mayor que 8 y menor que 32 b. B = x N / x es impar menor que 12 y mayor que 1 c. C = xN / x mes del año con 31días d. D = x N / x es par menor que 11 o menor que 19 e. E = xN / x es par menor que 24 y mayor o igual que 30 f. F = x N / x es primo menor que 30

2. Expreso por comprensión: A = 12, 14, 16, 18, 20, 22,24 B = 11, 13,1 5, 17, 19, 21,23 C = 6, 12 18, 24, 30 D = 12, 24, 36 3. Menciono tres conjuntos por comprensión y por extensión, utilizando los elementos de tu salón. 12

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CLASES DE CONJUNTOS

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RAZONAMIENTO

INCLUSIÓN DE CONJUNTOS A = {1,2,3,4,5,10}

B = { 1,2,3}

M = { a,b,c}

BA

MB

IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS: M= { 3,6,9}

N= {9,3,6}

CONJUNTO UNIVERSAL O REFERENCIAL:

U B

A

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RAZONAMIENTO

UNIÓN DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B, se llama unión del conjunto

A

con

el

conjunto

B

a

________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

intersección de conjuntos

Dados

dos

conjuntos

A

y

B,

se

llama

intersección del conjunto A con el conjunto B ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________ ________________________________________

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COMUNICACIÓN

DIFERENCIA DE CONJUNTOS Se lama diferencia de Conjunto entre dos conjuntos Ay B ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ _ Se llama diferencia simétrica entre dos conjuntos Ay B ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ _ PAREJA ORDENADA

(a,b)

PRODUCTO CARTESIANO: A X B A

B

1 2 3

a e

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COMUNICACIÓN

RAZONAMIENTO

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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ACTIVIDAD 1. Dados los conjuntos A = 1, 2, 3, 4, B = 4, 5, 6, 7 , C = 8, 9 y D = , 14, Determino cada uno de los siguientes conjuntos.

a) A U B b) A B c) C U D d) B D e) B U D f) A B g) B C h) C D

2. Utilizando el diagrama de Venn, grafico cada una de las respuestas del numeral 1.

3. Un deportista desayuna con jugo de naranja, un huevo tibio, un vaso de leche, un pan y mantequilla. Si los alimentos que ingirió tienen respectivamente 179, 34, 50, 125 y 49 calorías. ¿Cuántas calorías ingirió en su desayuno?

4. Encuentro los elementos que pertenecen a la unión de A y B para cada uno de los siguientes pares de conjuntos: a. A = Los números naturales menores que 18  B = Los números naturales mayores que 9 y menores que 15  b. A = Los números pares mayores que 3 y menores que 16  B = Los números pares mayores que 19 y menores que 47  c. A = Los números naturales que terminan en 0 y son menores que 54  B = Los números naturales que terminan en 7 y son menores que 70 

5. Determino para cada caso los elementos del complemento de A con respecto a U. a. U = Objetos del salón  A = Objetos con más de dos lados  b. U = Apellidos de los estudiantes de su salón A = Apellidos que comienzan por una consonante  17

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c. U = Los planetas del sistema solar  A = Planetas más pequeños que la tierra 

6. Efectúo producto cartesiano señalado con los siguientes conjuntos y los represento gráficamente. A = 4, 5, 6 B = {1,2} C = {4, 9}

a) A X C

b) B X B

c) B X C

d) A X B

e) C X C

COMUNICACIÓN

SISTEMAS DE NUMERACIÓN Es un sistema de notación que se ha usado para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico esta definido por la base que utiliza. La base es el conjunto de símbolos diferentes que se utilizan para representar un número cualquiera. En cada sistema de numeración la cantidad de símbolos es distinta, varían desde 2 hasta 30 en algunos casos; como existen infinitos números, generalmente cada símbolo se debe usar más de una vez. Por ejemplo el sistema decimal, utilizado hoy en todo el mundo, necesita 10 símbolos diferentes o dígitos para representar un número y es un sistema de base 10.

Algunos de los principales sistemas de numeración son:

SISTEMAS DE NUMERACION

Sistema Maya Sistema Babilónico Sistema Egipcio Sistema Romano Sistema Decimal Sistema Binario

Numeral: Símbolo utilizado para representar un número En el siguiente gráfico se muestran los símbolos usados en los diferentes sistemas de numeración.

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Base En los sistemas de valor posicional corresponde al número de unidades simples que se van agrupando en las unidades de segundo orden, el número de unidades de segundo orden que se agrupan en las de tercer orden y así sucesivamente. Por ejemplo en el sistema decimal una decena (unidad de 2° orden) corresponde a 10 unidades simples, una centena a diez decenas y así sucesivamente, por eso se dice que es un sistema de base 10. Sistema posicional Un sistema de numeración es posicional cuando el valor de una cifra depende del lugar o la posición que ocupa.

HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN ¿Desde cuando se tiene certeza que comenzó el uso de los numerales?

No se sabe a ciencia cierta cuando el hombre comenzó por primera vez a comunicar sus pensamientos por medio del lenguaje, pero probablemente mucho tiempo después de utilizar palabras aprendieron a ponerlas por escrito; sin embargo mucho antes de inventar la escritura, el hombre empezó a rayar las rocas y paredes para indicar “cuantos”, tales marcas fueron el inicio de los sistemas de numeración. 19

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La historia muestra como diferentes civilizaciones, aún muchísimos años antes de Jesucristo, utilizaban símbolos para expresar diferentes cantidades. Existían en Egipto ciudades prosperas con mercados y casas de comercio, para poder llevar sus registros establecieron sistemas o conjuntos de numerales por medio de los cuales podían expresar números de valores diferentes. Los babilonios, caldeos y sumerios, al no tener elementos para escribir, grababan inscripciones sobre tablillas de arcilla con palos que generalmente eran triangulares con ángulos agudos. Este tipo de escritura se denomina “Cuneiforme”, que significa “en forma de cuñas”. También se encuentran otras culturas que manejaron conjuntos de numerales o símbolos como los griegos, los árabes, los hindúes, los chinos y japoneses. Los hindúes, además de los símbolos para los números, inventaron el cero. Todos los pueblos antiguos utilizaron un numeral parecido a nuestro “1” para expresar el número “uno”. Los egipcios lo pintaron sobre la cerámica. Los sumerios le enseñaron a los babilonios a grabarlo en arcilla. Los romanos e hindúes también utilizaron. La utilización de este símbolo proviene de señalar con el dedo extendido la “unidad”. Aunque nuestros numerales se dicen son de origen hindú- arábigo, no es algo que este demostrado totalmente, parece ser que son de origen europeo, fueron los árabes que llevaron a Europa los conocimientos hindúes y los europeos los que tradujeron al latín los escritos. No en todos los tiempos los signos utilizados han tenido la misma forma, han sufrido cambios en su evolución hasta ser los que conocemos hoy. COMUNICACIÓN

RAZONAMIENTO

COMUNICACIÓN

En el aula de informática consulto los sistemas de numeración hago mapas conceptuales de lo consultado y preparo una exposición sobre una civilización.

SISTEMA DECIMAL En el sistema de numeración decimal se utilizan sólo 10 símbolos para representar cualquier número, estos símbolos se denomina dígitos y son en su orden: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9. Y se introduce el cero. El valor que toma cada una de estas cifras depende de la posición que tiene dentro del numeral, este valor se denomina Valor Relativo. Observa en el siguiente ejemplo el valor que toma el 5: 45434 --------- 5000 ------- 5 unidades de mil 27532 --------- 500 ------- 5 centenas 1435 ---------5 -------- 5 unidades

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En el sistema de numeración decimal cada 10 unidades de un orden cualquiera forman una unidad de orden inmediato superior: 10 unidades = 1 decena 10 decenas = 1 centena 10 centenas = 1 unidad de millar... Un número en base 10 (decimal) puede ser escrito como la suma de sus valores posicionales, esta representación recibe el nombre de Expresión Polinómica. Por ejemplo, la descomposición polinómica del número 12537 puede representarse de tres maneras:

Descomposición según el nombre de la posición de cada dígito 1 DM + 2 UM + 5 C + 3 D + 7 U

NÚMERO: 12537

Descomposición según El valor posicional de cada dígito

10.000 + 2.000 + 500 +30 + 7

1x104 + 2x103 + 5x102 + 3x101 + 7x 100

Descomposición por Desarrollo exponencial

RAZONAMIENTO

1) Expreso en forma polinómica a) 4510 d) 12890410

b) 16510 e) 568912310

c) 436510 d) 5610

2) Expresar en base 10 a) 12 x 103 + 25 x 102 + 6 x 100 b) 3 x 106 + 6 x 105 + 9 x 104 + 4 x 103 + 8 x 101 + 9 x 100 21

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c) 4 x 107 + 1 x 106 + 4 x 105 + 2 x 104 + 9 x 103 + 1 x 102 + 6 x 101

COMUNICACIÓN

SISTEMA BINARIO Es el sistema utilizado en el lenguaje de los computadores. También recibe el nombre de sistema de numeración en base 2 puesto que utiliza dos elementos para conformar cada grupo o nivel de posición. El sistema binario utiliza sólo dos símbolos, el 0 y el 1, llamados dígitos binarios. Esta base requiere utilizar una gran cantidad de cifras. En base 2 los primeros números son: Uno: 12 Dos: 102 Tres: 112 Cuatro: 1002 Cinco: 1012 Seis: 1102 Siete: 1112 Ocho: 10002 Nueve: 10012 . Transformación de decimal a binario 4210

sistema binario 4 2 2

RAZONAMIENTO

Transformar los siguientes números de base 10 en números de base 2 1) 17

b) 49

c) 97

d) 28

e) 85

Transformación de binario a decimal

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Notación desarrollada en base 2:

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22

1

1 x 22 + 1 x 21 4 +0+1 = 5 1012 = 5

Valor posicional

21

0

20

1

+ 1 x 20

Unidades de Unidades de Unidades de Unidades de Unidades 5° orden 4 orden 3 orden 2 orden 4 3 2 2 = 16 2 =8 2 =4 2 1

RAZONAMIENTO

Transformar los siguientes números de base 2 en números de base 10 1) 111

2) 10011

3) 10101

4) 11011011

5) 11

Para realizar 1) Cómo se suma, resta y multiplica en el sistema binario. 2) Inventa un sistema de numeración de numeración y haz 3 ejemplos

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EVALUACIÓN PRIMER EJE TEMÁTICO Valoración: ________ 1) Una proposición se diferencia de cualquier otro enunciado que no lo es, en que a. la proposición siempre es verdadera. b. la proposición siempre es falsa. c. la proposición tiene un único valor de verdad. d. la proposición puede representarse mediante conjuntos. 2) Una conjunción es: a. una operación entre conjuntos. b. una proposición compuesta unida con la y c. una operación matemática. d. una proposición compuesta unida con la o 3) Es una proposición abierta a. 123 – X = 23 b. 8 x 6 = 54 c. Pasto es la capital de Nariño d. febrero es el mes más corto del año 4) No es un conjunto a. A = { 2,6,8} b. jugadores de fútbol c. A = { vocales} d. A = { x / x es un número par entre 7 y 11} 5) El conjunto que esta dado por extensión es a. A = { x/x es consonante de la palabra andes} b. M = { número par y primo} c. N = { 5,10,15,20,,25,30 } d. P = {vocales} 6) El conjunto A= {x/x es una letra de la palabra planeta} por extensión sería a. A= { mercurio, venus, tierra, marte júpiter, Saturno, Urano, Neptuno, Plutón} b. A ={ p,l,a,n,e,t,a} c. A = {p,l,a,n,e,t} d. A = {p} 24

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7) Si A  B y B  A entonces a. A = B c. A  B b. A es subconjunto de B d. B es subconjunto de A CON LOS SIGUIENTES DATOS RESPONDER LAS PREGUNTAS 8, 9 Y 10 M= { 1,2,3,4} N = { 2,4,6,8} Q = { a,e,i} R= {a,m,o,r} 8) M  N esta formado por a. { 1,2,3,4,6,8} b. { 2,4,6,8} c. { 2,4} d. {1,2,3,4,5,6,7,8} 9) M  Q es a. { 1,2,3,4} b. {a,e,i} c.  d. {  } 10) Q  R es a. { a} b. {a,e,i} c. {a,m,o,r} d. { } Responde las preguntas 11 y 12 teniendo en cuenta el siguiente esquema.

11) La ubicación de la letra A, está determinada por la pareja ordenada a. ( 0,4) b. (4,4) c. (5,4) 25

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d. (2,4) 12) La pareja (0,5) se encuentra a. en el eje vertical b. en el eje horizontal a la izquierda c. en el eje horizontal a la derecha d. arriba de la pareja (1,5) 13) En el sistema Egipcio el número 12 se escribe a. b. c. d.

 II IIIIIIIIIIII II IIIIII

14) 45 en romano es a. XXXV b. XL c. XLV d. LV 15) 11102 en decimal es a. 12 b. 14 c. 25 d. 28 16) 49 en binario es a. 10000 b. 100001 c. 110001 d. 110011 17) La suma de 1012 + 1112 en base 2 es a. 1000 b. 1001 c. 1100 d. 10110

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EJE TEMÁTICO 2: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS

2.1 ESTÁNDARES Generalizo las propiedades de los números naturales (ser par, impar, múltiplo, divisible. etc.) Utilizo argumentos como herramientas para interpretar situaciones diversas de conteo. Resuelvo y formulo problemas utilizando conceptos de números enteros. 2.2 CONTENIDOS NUMEROS NATURALES: El conjunto de los números naturales adición y sustracción Propiedades de la adición y sustracción Multiplicación y división Propiedades de la multiplicación y división Múltiplos y divisores Números primos y compuestos Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Ecuaciones y problemas Potenciación Radicación y logaritmación NUMEROS ENTEROS: El conjunto de los números enteros Adición y sustracción de enteros 2.2 LOGROS Y/O COMPETENCIAS Representa correctamente los números naturales en la recta numérica Reconoce la adición y la sustracción como operaciones binarias y aplica los algoritmos para estas operaciones Aplica propiedades de adición en el cálculo numérico. Relaciona y utiliza números naturales en situaciones concretas. Efectúa con rapidez y precisión la multiplicación de números naturales Aplica las propiedades de la multiplicación en el cálculo numérico Reconoce la división de números naturales como una operación binaria y aplica correctamente el algoritmo de esta operación Aplica las operaciones con naturales en distintas situaciones de la vida diaria Reconoce la potenciación como una multiplicación de factores iguales Reconoce la radicación como una operación inversa de la potenciación. Halla la raíz cuadrada de números mayores que cien. Reconoce la logaritmación como una operación contraria de la potenciación. Distingue entre el resultado de la operación y la operación misma Halla el conjunto de múltiplos y divisores de una cantidad Conoce y aplica los criterios de divisibilidad de 2,3,5 Halla los factores primos de un número Halla el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de números naturales. Aplica de manera significativa el mcm y el MCD en la solución de problemas. Construye el conjunto de números enteros Realiza adiciones y sustracciones con números enteros 27

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COMUNICACIÓN

NÚMEROS NATURALES EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN: El conjunto de los números NATURALES es N={0, 1, 2, 3, ...} Estos números nos sirven para contar y para ordenar Características: 1. Tiene primer elemento y no último; 2. Es un conjunto ordenado (puedo decir si un natural es mayor o menor que otro); 3. Es un conjunto discreto (porque entre dos números naturales hay una cantidad finita de números naturales); 4. A todo número natural le corresponde un punto en la recta numérica pero a todo punto de la recta numérica no le corresponde un número natural. Identifica: Los números naturales graficados en la recta numérica

A 0

A

1

C 2

D 3

B

B 4

5

6

C

7

D

A = B= C= D=

_________ _________ _________ ________

Escribe : El antecesor y el sucesor de 116: ______________________________ Grafica: El número 20 en la recta numérica A TRABAJAR Algunos datos del Sistema Solar

PLANETAS Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón

NÚMERO DE LUNAS

DISTANCIA AL SOL (Km)

0 0 1 2 14 15 5 2 1

58.000.000 108.000.000 150.000.000 228.000.000 778.000.000 1.427.000.000 2.870.000.000 4.497.000.000 5.905.000.000

TIEMPO EN DARLE LA VUELTA AL SOL (aprox.) 88 días 225 días 365,26 días 1,9 años 12 años 29,5 años 84 años 165 años 248 años 28

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DIA

MES

AÑO

1) Ordena de manera descendente los planetas teniendo en cuenta su distancia al sol 2) ¿Cuál es el planeta que ocupa el último puesto? 3) ¿Cuál es el planeta que ocupa el octavo puesto? 4) Teniendo en cuenta la distancia al sol qué planetas se encuentran entre 100 millones de kilómetros y 900 millones de kilómetros? 5) ¿Por qué un planeta entre más distante esté del sol, emplea más tiempo en darle la vuelta? 6) ¿Qué influencia tiene la Luna sobre la Tierra? 7) Para estimar la temperatura en grados Fahrenheit, puedes contar el número de veces que canta un grillo en 15 segundos y luego sumarle 40 a ese número. ¿Cuál es la temperatura si un grillo canta 25 veces en 15 segundos?

COMUNICACIÓN

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Los elementos son

ADICIÓN

Su símbolo es

La adición cumple las propiedades PROPIEDADES CLAUSURATIVA.

EJEMPLOS

CONMUTATIVA

MODULATIVA

29

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DIA

MES

AÑO

ASOCIATIVA

Verifica si las propiedades que cumple la adición también las cumple la sustracción. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Leo cada situación y luego soluciono: ☺ La batalla de Boyacá se llevó a cabo 7 de agosto de 1.819. ¿Cuántos años han pasado? ☺ Uno de los sumandos es 8.987 y el total es 89.777. ¿Cuál es el valor del otro sumando? ☺ El promedio de vida de una persona es de 23.725 días y el de una tortuga de 34.675 días. En promedio, ¿cuánto tiempo vive más la tortuga que un hombre? ☺ Las fronteras terrestres de Colombia están distribuidas así: 2.219 Km con Venezuela, 1,645 Km con Brasil, 1.626 Km con Perú, 565 Km con Ecuador y 266 Km con Panamá. a. ¿Cuántos kilómetros de frontera terrestre tiene Colombia? b. ¿Con cuál país tiene mayor frontera? c. ¿Consideras importante ser buenos amigos con los países vecinos? MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN La multiplicación una operación binaria La multiplicación es una operación binaria que se realiza entre dos números naturales y da como resultado un número natural. Diego recorre diariamente 52 kilómetros para ir a su trabajo. a. ¿Cuántos kilómetros recorre a la semana? b. ¿Cuántos kilómetros recorre al mes? c. ¿Cuántos kilómetros recorre al año?

Practica: 1) Indica la forma de efectuar las siguientes multiplicaciones rápidamente y halla su resultado a) 6 x 50 = d) 3x 40 =

b) 9 x 3000 = e) 32 x 100 =

c) 15 x 600 = d) 91 x 8000 =

30

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DIA

MES

AÑO

División

Dividendo Residuo

divisor

Dividendo = divisor x cociente + residuo

cociente

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Resuelve los siguientes problemas

a) Distribuye 24 personas en grupos de cinco. ¿Cuántos grupos resultan? Cuántas personas quedan? b) Distribuye 63 lápices entre 8 estudiantes ¿Cuántos lápices corresponden a cada estudiante? ¿Cuántos lápices quedan? c) Se desean distribuir 57 estudiantes en equipos de baloncesto, cada uno con 9 integrantes ¿Cuántos equipos resultarán? Y cuántos estudiantes deben quedarse por fuera? d) Se desea distribuir equitativamente 5879 lápices entre 422 estudiantes de un colegio ¿Cuántos lápices corresponderán a cada estudiante? ¿Cuántos lápices sobran? e) El propietario de una granja necesita conocer el rendimiento diario de una de sus vacas ¿Cuál es este rendimiento si en 435 días produjo 9873 litros de leche?

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN 1) Explica las propiedades que cumplen la multiplicación 2) Encuentra los valores a, b, c en cada caso a) 3 x 5 x 9 = a x 9 = b b) 3 x 7 x 6 x 8 = 21 x a = b c) 20 x 5 x 4 = a x 4 = b x 20 = c

3) Un edificio tiene 34 ventanas en cada uno de los 26 primeros pisos y 17 ventanas en cada uno de los pisos restantes, que son 53. Aproximadamente, ¿Cuántas ventanas tiene el edificio? 4) Los ojos de una persona parpadean 25 veces por minuto ¿Cuántas veces parpadean en una hora?. ¿Cuántas veces parpadean en un día?

31

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DIA

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

MÚLTIPLOS Y DIVISORES Los múltiplos de un número: Los múltiplos de un número natural son los números naturales que resultan de multiplicar ese número por otros números naturales. Decimos que un número es múltiplo de otro si le contiene un número entero de veces. Ejemplo: Los múltiplos de 3 son: 3 x 0, 3x 1, 3 x 2, 3 x 3, 3 x 4, ... El conjunto de múltiplos de 3 se denota como: M(3) = { 0,3,6,9,12,15, ...} M(4) =_____________________________________________________________ M(7) = _____________________________________________________________ M(9) = _____________________________________________________________ M(6) = _____________________________________________________________ M(2) = _____________________________________________________________ Los divisores de un número. Los divisores de un número natural son los números naturales que le pueden dividir, resultando de cociente otro número natural y de resto 0.

Criterios de divisibilidad: Algunas reglas permiten averiguar si un número se puede dividir exactamente por otro sin necesidad de realizar la división.

Un número es divisible por 2….

Un número es divisible por 3…

32

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DIA

MES

AÑO

Un número es divisible por 5…

Un número es divisible por 9…

El número 0 solamente tiene un múltiplo, que es el 0. Los demás números naturales tienen infinito número de múltiplos. El número 0 es múltiplo de todos los números. Todos los números son múltiplos de 1. Los múltiplos de 2 terminan en 0, 2, 4, 6, 8. En los múltiplos de 3, la suma de los valores de sus cifras es también múltiplo de 3. Los múltiplos de 5 terminan en 0, o en 5. Los múltiplos de 6 terminan en 0, 2, 4, 6, 8 y la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 3. En los múltiplos de 9, la suma de los valores de sus cifras es múltiplo de 9.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS NUMEROS PRIMOS Son aquellos números que son divisibles por sí mismos y por la unidad; es decir estos números solamente presentan dos divisores. Es decir los números primos tienen sólo 2 divisores. También llamados números primos absolutos. Los siguientes números son primos: 33

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DIA

MES

AÑO

1; 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97... Divisible por sí mismo El número 2 es divisible por sí mismo y por la unidad El número 3 es divisible por sí mismo y por la unidad El número 4 es divisible por sí mismo, por la unidad y por 2

Divisible por la unidad

2

1

3

1

4

1

Es número primo

Numero compuesto Es todo número no primo; resultado de multiplicar dos o más números primos; o de las potencias de éstos. También son aquellos que tienen más de dos divisores. Los siguientes números son compuestos. 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; . Divisible por

Divisible por

Divisible

Es un número

sí mismo

la unidad

también por

compuesto

El número 4 es divisible por El número 7 es divisible por El número 10 es divisible por

4

1

7

1

10

1

2

2y5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Descomponer en factores primos 34

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DIA

a. 92

b. 64

c. 1260

MES

AÑO

d. 625

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero. Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6. 4

5

6

2

Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: ________________ El mcm de 4,5 y 6 es____________ Juan debe tomar una medicina cada 6 horas y otra cada 12 horas. Si tomó ambas a las 10:00 de la mañana ¿A qué hora volverá a tomar las dos medicinas a la vez? 1) Hallar el m.c.m de a. 6 y 8

b. 7 y 12

c. 11 y 22

d. 20 y 30

e. 12, 45 y 120

2) Anita cada 15 días practica el patinaje y cada 20 días la natación. ¿Cada cuántos días practicará los dos deportes? 3) En la tienda del colegio surten gaseosa cada 4 días; con papas fritas cada 3 días y chitos cada 24 días. La tienda surtió hoy los tres productos. ¿Cuándo volverá a surtir nuevamente los tres productos al tiempo? COMUNICACIÓN

MÁXIMO COMÚN DIVISOR El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números. Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.) Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 35

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DIA

20: 10:

MES

AÑO

1, 2, 4, 5, 10 y 20 1, 2, 5 y 10

Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores. Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.). Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60: Tienes que saber las reglas divisibilidad. Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5. 40 20 10 5 1

2 2 2 5

60 30 15 5 1

2 2 3 5

De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D. M.C.D. 40 = 2x2x2x5 M.C.D. 60 = 2x2x3x5

MCD = 2x2x5= 20

1) Hallar el M.C.D de a. 36 y 18 b. 124 y 42

c. 55 y 75

d. 63, 81 y 207

2) Mónica tiene dos pedazos de cinta; uno de ellos de 12 metros y el otro de 27 metros. Ella quiere dividir cada pedazo en partes iguales, de la mayor longitud posible. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo de cinta? 3) Carolina quiere hacer un rompecabezas gigante de 120 cm de largo y 54 cm de alto, todas las partes van hacer cuadradas lo más grande posibles. ¿Cuánto debe medir cada lado de la ficha? ECUACIONES Y PROBLEMAS X + 20 = 60

X – 2 = 100

2M = 54

T ÷ 3 = 48

36

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DIA

MES

AÑO

El peso de David más 40 kilos es Cinco veces el número de colores que igual a 85 kilos. ¿Cuál es el peso de tiene Isabella es igual a 375. ¿Cuántos David? colores tiene Isabella?

Si Harold regala 45 dulces y le La edad de Luis dividida entre 3 es quedan 32. ¿Cuántos dulces tenía igual a 36. ¿Qué edad tiene Luis? Harold?

El número de libros de Andrés más La séptima parte de las vacas de un los 8 que le regalaron suman 123. establo es 11 .Cuántas vacas hay en el ¿Cuántos libros tenía? establo?

POTENCIACIÓN Es la operación aritmética que tiene por objeto hallar el producto de factores iguales. El factor repetido se llama base. El exponente es el número que indica cuántas veces se toma la base como factor. Donde: P = potencia = an a = Base n = exponente

1) 22 = 2 x 2 =

4

6)

43

=

=

64 37

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DIA

2) 3) 4) 5)

32 42 52 23

= = = =

= = = =

9

7) 8) 9) 10)

53 24 25 106

= = = =

x

= = = =

MES

AÑO

125 16 32 1000000

Potencias de base 10 Cualquier potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de la cantidad de CEROS que indique el exponente. 102 103 104 105 106

= = = = =

10 x 10 10 x 10 x 10 10 x 10 x 10 x 10 10 x 10 x 10 x 10 x 10 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

= = = = =

100 1000 10000 100000 1000000

seguido de dos ceros seguido de tres ceros seguido de cuatro ceros seguido de cinco ceros seguido de seis ceros

Propiedades de la Potencia PROPIEDAD Todo número con exponente cero …

EJEMPLOS

Si se multiplican potencias de la misma base…

(ap)n = ap . n

Un producto elevado a una potencia

38

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DIA

MES

AÑO

RAZONAMIENTO

1) Escribe como potencia a. 38 x 310 = ______

b. 45 x 46 x 48 = __________ c. 123 x 124 = ___________

2) Escribe la misma base con un exponente a. ( 65)3 = _______

b. (95)8 = ________

c. (30)6= ______ d. (5)5 = ______

3) Completa 3

a. 106 = 104 x

b. ( 3 ) = 3

12

3 5

c. () = 5

RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN

= 4

raíz

índice cantidad subradical

CUANDO BUSCAMOS EL EXPONENTE LA OPERACIÓN QUE REALIZAMOS ES LA LOGARITMACIÓN. Logb N =

e

porque be

= N; se lee logaritmo en base b de un número N

es e que es el exponente. Log2 36 =

Log3 27 =

Log4 64 =

Log13 2197 =

Log2 16 = Log10 1000 =

COMUNICACIÓN

NÚMEROS ENTEROS EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS LA RECTA HISTÓRICA: ANTES Y DESPUÉS DE CRISTO Con referencia al año 0 (nacimiento de Cristo), podemos ubicar cualquier acontecimiento sobre una recta histórica sin ninguna ambigüedad:

0 39

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DIA

Hechos ocurridos antes Del nacimiento de Cristo

MES

AÑO

Hechos ocurridos después del nacimiento de Cristo

Si cambiamos las partículas a. C y d. C, podríamos usar convencionalmente los símbolos – y +, para identificar los hechos ocurridos antes y después de Cristo respectivamente. Hay situaciones en las que, para su representación, no son suficientes los números naturales. Son situaciones que pueden observarse en dos direcciones (ganarperder; subir-bajar; antes de- después de, etc...). En estos casos no basta con expresar mediante un número el suceso; es necesario, además, decir el sentido de ese suceso; por ejemplo: Para señalar el número de plantas de un edificio en el ascensor. Utilizamos números negativos para las plantas que están por debajo de cero, es decir, para los sótanos o plantas subterráneas.

Para medir altitudes. Se considera 0 el nivel del mar, los niveles por encima del mar se pueden expresar por números enteros positivos, y los niveles por debajo del nivel del mar se pueden expresar por números enteros negativos.

40

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DIA

MES

AÑO

Para medir temperaturas. Fíjate en el termómetro. El termómetro mide la temperatura en grados. Cuando el termómetro marca 0 grados el agua se congela.

Este termómetro marca -4 C Al conjunto de todos los números enteros se les representa por Z, y se expresa: Z =...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...  Los números negativos se leen anteponiendo la palabra “menos” al número y los números positivos se leen anteponiendo la palabra “más” al número. Además al conjunto de los números enteros positivos se les representa por Z+ y al de los enteros negativos por Z- . así: Z = Z+  0  ZREPRESENTACIÓN EN LA RECTA Es común representar los números enteros sobre una recta, a la cual denominamos recta numérica. Para construirla trazamos una línea recta, con flechas en los extremos para indicar que puede prolongarse en ambos sentidos.

Luego marcamos en ella un punto cualquiera al que hacemos corresponder el número entero cero (0) y a partir de este punto, utilizando espacios iguales, marcamos puntos a la derecha y a la izquierda del número 0 sobre la recta. A continuación a la derecha del cero se ubican los enteros positivos y a su izquierda los enteros negativos. 41

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DIA

... -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

MES

AÑO

4 ...

42

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DIA

MES

AÑO

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS 3 + 10 + 25 = (-21) + (-10) +(-321) -12 + 82 -300 + 500 (-800) + (-1000) + (-450) + ( -4512) Restar 450 de 5420 De -1450 restar 890 Restar – 6378 de 914

43

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DIA

SOLUCION DE PROBLEMAS

RAZONAMIENTO

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

EVALUACIÓN SEGUNDO EJE TEMÁTICO Valoración: ________ Preguntas liberadas de las pruebas saber EL GRUPO MUSICAL El grupo musical «Los Alegres» tiene 4 guitarras, 12 tiples y 8 bandolas

Tiple

bandola

guitarra

1) El número total de instrumentos que tiene el grupo es A. 12 B. C. D.

16 20 24

2) Un tiple tiene 12 cuerdas. Todas las cuerdas de los tiples del grupo musical se van a cambiar por cuerdas nuevas. ¿Cuántas cuerdas se van a cambiar? A. 24 B. C. D.

36 144 288

3) Por cada mes que se tengan $ 1.000 en la cuenta de ahorros, un banco paga $ 10 . Si se tienen $ 35.000 en la cuenta de ahorros durante un mes, ¿cuánto paga el banco? A.

$

100

B. C. D.

$ 350 $ 3.500 $ 10.000

4) Para obtener la misma cantidad de dinero, un billete de $ 2.000 lo puedo 44

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DIA

MES

AÑO

cambiar por A. B. C. D.

3 monedas de $ 200, 2 monedas de $ 500 y 7 monedas de $100 5 monedas de $ 200, 4 monedas de $ 500 y 6 monedas de $ 100 2 monedas de $ 500, 2 monedas de $ 200 y 6 monedas de $ 100 3 monedas de $ 500, 3 monedas de $ 200 y 4 monedas de $ 100

Observa el dibujo, analiza cómo el número de troncos aumenta en cada montón Tercer montón Primer montón

Segundo montón

5) Si se arma un cuarto montón siguiendo esta secuencias ¿cuántos troncos tendría? A. 11 troncos B. 13 troncos C. 15 troncos D. 16 troncos 6) El resultado de 15304 + 548 +11 es. A. 81104 B. 11804 C. 15863 D. 18653 7) La diferencia entre 283 y 197 es: A. 480 B. 86 C. 15420 D. 104 8) El producto d 489 x 79 es A. 38311 B. 38231 C. 32251 D. 38631 9) María tiene 28 años y Andrés 15 años menos que María. La edad de Andrés es: A. 10 años B. 43 años 45

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DIA

MES

AÑO

C. 18 años D. 13 años 10) El resultado de 83 es A. 521 B. 512 C. 125 D. 215 11) El Log3 27 es : A. 3 B. 9 C. 27 D. 24 12)

es igual a

A. 40.5 B. 8.1 C. 9 D. 20 13) El m.c.m de 12 y 60 es A. 120 B. 12 C. 60 D. 48 14) El M.C.D. de 125 y 55 es A. 55 B. 125 C. 5 D. 11 15) A. B. C. D.

-15-30-80 es igual a 125 -125 -80 – 215

16) 893 – 1256 es igual a A. 893 B. 633 C. 363 D. -363

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DIA

MES

AÑO

3 EJE TEMÁTICO: NÚMEROS FRACCIONARIOS 3.1 ESTANDARES Utilizo números fraccionarios para resolver problemas en contexto. Utilizo números decimales para resolver problemas 3.2 CONTENIDOS FRACCIONARIOS: Significado de las fracciones Representación de las fracciones Fracciones equivalentes Comparación de fracciones Adición y sustracción Multiplicación y división Problemas Operaciones combinadas Ecuaciones con fracciones Potenciación y radicación Expresiones Decimales: Fracciones y expresiones decimales Clasificación de los decimales Ubicación de decimales en la recta numérica Comparación de decimales Adición y sustracción de decimales Problemas Multiplicación y división Problemas Potenciación y radicación 3.3 LOGROS Y/O COMPETENCIAS Identifica el conjunto de los números fraccionarios Identifica fracciones propias e impropias Identifica fracciones equivalentes Amplia y simplifica fracciones Representa gráficamente y en la recta numérica fracciones Realiza adiciones y sustracciones entre fracciones Realiza multiplicaciones y divisiones con números fraccionarios Realiza potencias y raíces con números fraccionarios Plantea y resuelve problemas con números fraccionarios Reconoce una fracción decimal y la representa gráficamente Expresa un decimal en forma extendida Escribe números como porcentajes, fracciones o decimales y realiza conversión entre ellos Realiza adiciones y sustracciones con decimales Realiza multiplicaciones y divisiones con números decimales Resuelve problemas de la vida cotidiana utilizando para su solución las operaciones con números decimales.

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DIA

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

FRACCIONARIOS: SIGNIFICADO DE LAS FRACCIONES Alrededor de 3.000 años antes de Cristo, los egipcios crearon una manera de escribir algunos de los números que hoy llamamos fraccionarios. Sólo escribían números fraccionarios de la forma

Fue para ellos necesario crear estos símbolos, pues en el trabajo cotidiano, especialmente en las mediciones de los terrenos, aparecían cantidades que no eran enteras. La medición de los terrenos de los agricultores que cultivaban la tierra ubicada a las márgenes del río Nilo tenía gran importancia en Egipto, puesto que anualmente, cuando el río crecía, inundaba la mayor parte de estos terrenos y borraba sus linderos. Después de la crecida, cuando el río volvía a su nivel usual, los funcionarios del gobierno hacían las mediciones necesarias para restablecer los linderos de cada parcela, y en este oficio de medir hacía falta conocer muy bien los números, incluyendo las fracciones. Una fracción en el lenguaje común significa una porción o parte de un todo. En Matemáticas se usa también el término fracción para nombrar números que son una parte de la unidad o también aquellos números que sean iguales a un número entero más una parte de la unidad, escritos de la forma con a y b números enteros, y . En el lenguaje común se usa la idea de fracción constantemente, por ejemplo, cuando se dice: "Tengo sólo MEDIA hora para resolver este examen''. "Para hacer la torta con tu receta, necesito TRES CUARTOS de taza de leche''. "La TERCERA parte de los estudiantes aprobó con 20 el examen de Matemáticas''. "Te daré la CUARTA parte del dinero que gane por este trabajo''.

Cuando una fracción es una parte de la unidad, se dice que la fracción es propia. Por ejemplo, las fracciones siguientes son propias:

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DIA

MES

AÑO

En toda fracción distinguimos al numerador, que es el número de arriba, del denominador, el número de abajo. El denominador indica cuál es el número de partes en que se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas partes se toman. Por ejemplo: Significa que la unidad se ha dividido en 3 Partes y se toma 1

49

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DIA

MES

AÑO

REPRESENTACIÓN DE LAS FRACCIONES

En la fracción 1/3 , el denominador es el número 3, e indica en cuántos pedazos iguales se divide la unidad, y el número 1 es el numerador, que nos indica cuántos de estos pedazos se toman dicha fracción.

En la fracción partes.

, se divide la unidad en 7 partes iguales, y se toman 2 de esas

Puede ocurrir que el numerador sea igual 0, y en ese caso, la fracción total es igual a 0. Por ejemplo:

Es decir, cuando se habla, en la definición anterior, de "parte de la unidad'', se incluye la posibilidad del 0, y cuando se habla de "un número entero más una parte de la unidad'', si esa parte se hace igual a 0, entonces la fracción en ese caso es un número entero. En otras palabras, los números enteros se pueden escribir como fracciones, y el 0 también. Por ejemplo:

Cuando en el denominador está el número 1, esto indica que la unidad no se ha dividido, sino que se toma completa, y en este caso, el numerador indica cuántas unidades se toman. Por ejemplo: unidades, cualquier número natural n se puede escribir como:

unidades. Es decir,

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMERICA: Para representar un número fraccionario racional en la recta numérica se divide cada segmento unidad en tantas partes como indica el denominador y se cuenta el número de partes que indica el numerador. 2 Ejemplo: Representar sobre la recta numérica 4 50

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DIA

MES

AÑO

Q 0

2 4

1

COMUNICACIÓN

FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones se llaman equivalentes cuando ambas representan la misma cantidad, como se verá en los ejemplos siguientes:

10/14 y 5/7 son, entonces fracciones equivalentes, pues, como se ve en el dibujo, representan la misma cantidad y por eso, se escribe:

Si ahora se subdivide cada séptima parte en 3 partes iguales, el rectángulo quedará dividido en 21 partes:

51

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DIA

MES

AÑO

Si se considera se estarán tomando 5 partes, cada una de ellas igual a . Con la nueva división de la unidad en 21 partes, esto es lo mismo que tomar 15/21, pues es el número de partes más pequeñas que tomamos (3 por cada una de las 5 partes grandes que teníamos al principio).

Es decir, si el denominador se multiplica por 3, el numerador debe multiplicarse también por 3 para que las dos fracciones sean equivalentes:

En general, si se tiene una fracción cualquiera, y se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número se obtiene otra fracción que es equivalente a la primera. COMPARACIÓN DE FRACCIONES

52

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DIA

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN La idea del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los egipcios, sino también por los babilonios y más tarde por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras, quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una verdadera filosofía del número. Los pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de Pitágoras, consideraban a los números no sólo como cantidades sino como los elementos que regían al Universo. Los números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y el Universo era concebido en términos de relaciones matemáticas.

Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que representan porciones de una cantidad que ha sido dividida en un mismo número de partes, o en el caso de fracciones impropias, números naturales más una fracción de la unidad también dividida en el mismo número de partes. Por ejemplo:

En ambos casos, sumar estas fracciones resulta muy sencillo, pues basta con sumar los numeradores (que indican cuántas partes tomamos) y copiar el mismo denominador, pues la división de la unidad sigue siendo la misma.

Si se quiere restar:

se puede representar gráficamente la situación así:

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DIA

MES

AÑO

Al sustraer o retirar del área sombreada en el primer rectángulo, evidentemente quedan ; es decir

y de nuevo este resultado se obtiene restando los numeradores y copiando el denominador. Para reflexionar: si alguien te dijera que la siguiente operación es correcta: 5/9 + 3/9 = 8/18, ¿qué explicación le darías para convencerle de que está equivocado? Ahora, se procederá a sumar dos fracciones con distinto denominador:

Lo primero que se intentará es encontrar fracciones equivalentes a tengan el mismo denominador:

ahora, en lugar de sumar

y

ya

que

.

, se suman las fracciones equivalentes a éstas:

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DIA

MES

AÑO

Gráficamente el proceso anterior se representa así:

al escoger fracciones equivalentes a y a que tengan denominador igual a 12, se está dividiendo el rectángulo en 12 partes iguales. Esto se puede lograr subdividiendo cada cuarta parte del primer rectángulo en 3 partes, y subdividiendo cada sexta parte del segundo rectángulo en 2 partes:

ahora, se añaden las dos partes sombreadas del segundo rectángulo al primero y se obtiene:

Esto se puede hacer porque 12 es múltiplo de 4 y es múltiplo de 6:

Además, 3 = número de subdivisiones que se hacen en cada cuarta parte. 2 = número de subdivisiones que se hacen en cada sexta parte.

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DIA

MES

AÑO

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Para multiplicar números racionales se multiplican entre sí los numeradores y entre sí los denominadores. El signo del número racional que se obtiene cumple la misma ley de signos que la multiplicación de números enteros. a c a*c *  b d b*d

cuando tengamos que multiplicar dos o más números fraccionarios, simplemente debemos multiplicar todos los numeradores y todos los denominadores. Si por ejemplo tenemos: 2x3x5 tendremos que multiplicar: 5 4 3

2 x 3 x 5 = 30 5 x 4 x 3 60

Claro que aun podríamos simplificar: 30 = 1 (hemos dividido, tanto al numerador como al denominador entre 30) 60 2 Pero para ahorrarnos la simplificación, podríamos ir simplificando antes de multiplicar, ya que podemos simplificar cualquier numerador con cualquier denominador: 2x3x5 5 4 3

Esta es la operación original

2x3x5 5 4 3

Puedo simplificar el numerador 2 con el denominador 4, para ello divido a ambos entre 2.

1x3x5 5 2 3

Ahora simplifico el numerador 3 con el denominador 3, para ello divido a ambos entre 3.

1x1x5 5 2 1

Finalmente podemos simplificar el numerador 5 con el denominador 5, para ello dividimos a ambos entre 5.

1x1x1 1 1 2

Resolvemos la multiplicación (multiplicamos todos los numeradores y todos los denominadores) y llegamos a la misma respuesta simplificada

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DIA

MES

AÑO

División: Para dividir dos fracciones multiplicamos el dividendo por el INVERSO MULTIPLICATIVO del divisor; es decir: a c a d    b d b c SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1) Gabriela compró ½ m de tela azul a $ 4500 el metro y 15/4 metros de tela de distintos colores a $ 4000 el metro. Pagó con dos billetes de $ 10000 a. ¿Cuánto le devolvieron? b. ¿Cuánto costó el ½ metro d tela azul? c. ¿Cuánto costaron los 15/a metros de tela de distintos colores? d. ¿cuánto le sobró? 2) En un almacén se está rebajando un cuarto del precio del artículo. Si un radio vale $ 17500. ¿Cuál es el precio del radio, con rebaja? 3) En la ferretería han vendido 15/2 metros de alambre y luego vendieron 7/2 de metros de alambre. Si el metro vale $ 450. ¿Cuánto ha recibido la ferretería por la venta? 4) Mario mide 341/2 centímetros y Omar 655/4 centímetros. ¿Quién es más alto? 5) Un vendedor comienza el día con 18 docenas de naranjas. Primero vende 5/2 de docena, luego 4/3 de docena. ¿Cuántas naranjas le quedan? 6) Si el piso del salón de clase es un rectángulo de 27/2 de metros de largo y 14/3 de metros de ancho. ¿Cuál es perímetro del salón? 7) Elizabeth reparte su dinero de la siguiente forma: 1/3 en alimentación, ¼ en vestido, ¼ en educación, 1/9 en transporte y el resto lo ahorra. Si gana $ 560000. ¿Cuánto ahorra al mes?

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MES

AÑO

OPERACIONES COMBINADAS 1)

2)

3)

ECUACIONES CON FRACCIONES

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN En la potenciación de números fraccionarios, o simplemente fracciones, tendremos que observar una condición y esta es que la fracción debe estar entre paréntesis para que la potencia la afecte a toda ella. Si por ejemplo tenemos: (4)3 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 3 33 3 x 3 x 3 27 Pero si lo tenemos sin paréntesis: 43 = 43 = 4 x 4 x 4 = 64 3 3 3 3 En los dos ejemplos anteriores observamos claramente el efecto del paréntesis y la necesidad de su empleo en la potenciación de fracciones.

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DIA

MES

AÑO

EXPRESIONES DECIMALES: FRACCIONES Y EXPRESIONES DECIMALES Las fracciones con denominador 10 o una potencia de 10 reciben el nombre de fracciones decimales y su nombre depende del denominador.

9

nueve décimas

2

10

dos centésimas

100

63

sesenta y tres milésimas

46

1.000

cuarenta y seis diez milésimas

10.000

CLASIFICACIÓN DE LOS DECIMALES Consultar cómo se clasifican los decimales y explicar mediante un mapa conceptual.

UBICACIÓN DE DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA

0

0.5

1

0.6 8.3

COMPARACIÓN DE DECIMALES < = menor que > = mayor que

0.1

8.4

0.001

3.2

1.1

78.6

11.1

9.4

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DIA

MES

AÑO

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE DECIMALES

5 8 1 8, 3 +

1 2 1, 0 4 +

8 0 8 3, 4 +

2 0 5 4, 2

4 7 3, 0 1

1 7 1 0, 5

5, 8 0 0 2 -

9, 3 7 0 4 -

7 0 3, 5 2 -

2, 7 9 1 7

2, 1 3 0 0

4 1 0, 3 8

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1) Una naranja pesa 2,5 gramos, un lulo 1,75 gramos, una pera 3,25 gramos y una manzana 5,89 gramos. ¿Cuánto pesan todas las frutas? 2) Si pago con un cheque de $ 1’236.560,36 un televisor que costo $ 889.000,79 ¿Cuánto me sobra? 3) Un almacén exhibe los siguientes artículos en promoción

Si Juan compra los tres artículos. ¿Cuánto paga? Si David compra la guitarra y el celular ¿cuánto paga? Si Ana compra el radio y paga con un bono de 200000,65. ¿Cuánto le sobra? Si María tiene $ 350000 y quiere comprar la guitarra cuánto le hace falta? Cuánto más caro es el celular que el radio? Si Pablo tiene $ 50000, 93. ¿Cuánto le hace falta para poder comprar el celular?

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DIA

MES

AÑO

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

6

7

6,

5 2,

0 3

x

9

6

0

5, 3,

6 5

+

75,32

6

2, 6 8

2,6

45967

7,25

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1) En un cinema aparecen los siguientes datos COSTOS ENTRADAS Adultos $ 5000,64 Niños $ 2000,85

MECATOS Perros calientes $ 4568,34 hamburguesas $ 8000,97 Chitos $ 900,99 Chocolates $ 1200,68

Si una familia integrada por 5 adultos y tres niños asisten al cine y consumen 3 perros calientes, 4 hamburguesas, 5 paquetes de chitos y 10 chocolates. ¿Cuánto gasta la familia en el cine? 2) ¿En cuántos jarros de 2,5 litros se pueden repartir 62,5 litros de leche? 3) ¿Cuántas manzanas se necesitan para llenar totalmente una caja que puede contener 22,1 kilogramo, si cada manzana pesa 110,5 gramos?

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x


DIA

MES

AÑO

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN (2,3)2 = _________________________________________________________ (0,7)3 = _________________________________________________________ (8,6)4 = _________________________________________________________

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DIA

SOLUCION DE PROBLEMAS

RAZONAMIENTO

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

EVALUACIÓN TERCER EJE TEMÁTICO Valoración: ________ 1) A la figura que se muestra a continuación se le ha sombreado la mitad.

De las siguientes figuras, ¿cuál tiene sombreada la misma parte que en la figura inicial?

Margarita y su hijo Manuel van a pintar las paredes de su casa. Para ello, compraron 1 galón de pintura blanca, 3 de galón de pintura roja y 5 de galón de 8

8

pintura verde. 2) ¿Qué cantidad en total compraron de pintura? A. 9 galones. B. 2 galones. C. 2 1 galones. 8 2 D. 1 galones 8

3) Margarita pinta más rápido que su hijo. Mientras ella pinta de rojo 2 paredes, Manuel pinta de verde la tercera parte de otra pared del mismo tamaño. Si al terminar la jornada Margarita pintó 6 paredes, entonces Manuel pintó: A. 1 pared. B. 2 paredes. C. 1 pared y 1 de otra pared. 3

D. 2 1 paredes. 3

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DIA

4) Los ¾ de 20 son: A. 5 B. 15 5) El resultado de 3 / 4 + 7/4 es A. ½ B. 10/2

C. 60

C. 5/2

C. 3/15

7) El resultado de 4/7 ÷ 2/9 es A. 8/63 B. 18/7

C. 63/8

8) El resultado de 0.6 + 2.72 es: A. 2.78 B. 3.32 C. 8.72

10) 2,6 x 3,4 es: A. 8,84 B. 8,94 11) ¾ en decimal es: A. 0,5 B. 0,25

AÑO

D. 80

D. 10/8

6) El resultado de 2/3 x 1/5 es A. 2/15 B. 2/8

9) El resultado de 3,4 – 2,57 es A. 1,83 B. 1,97

MES

D. 3/8

D. 7/18

D. 2.32

C. 0,97

C. 7,84

C. 0,75

D. 0,83

D. 7,94

D. 0,8

12) Una persona gana $ 40’000 000 en la lotería y deja 1/5 de impuestos. Lo que le queda es: A. $ 8’000 000 B. $ 20’000 000 C. $ 32’000 000 D. $ 40’000 000 13) Si un edificio mide 34,3 m y cada piso mide 2,45 m, el edificio tiene: A. 10 pisos B. 14 pisos C. 24 pisos D. 34 pisos 14) Un ciclista debe recorrer 240 m. ha recorrido 3/5 partes del recorrido; le falta por recorrer: A. 80 m B. 96 m C. 100 m D. 144 m

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DIA

MES

AÑO

4 EJE TEMÁTICO: GEOMETRÍA Y PROPORCIONALIDAD

4.1 ESTANDARES Identifico y describo figuras geométricas Clasifico polígonos en relación con sus propiedades Uso representaciones graficas para presentar diversos tipos de datos 4.2 CONTENIDOS GEOMETRIA: Elementos básicos de la geometría Ángulos: clases, medida y trazado Rectas paralelas y perpendiculares Polígonos: triángulos y cuadriláteros Plano cartesiano Concepto de proporción Porcentaje y tanto porciento MEDICIÓN: Medidas de longitud Medidas de área Áreas de polígonos y del círculo Volumen, masa y capacidad Unidades de tiempo ESTADÍSTICA: Recolección de información Medidas de tendencia central Diagramas de barras Diagramas lineal y circular 4.3 LOGROS Y/O COMPETENCIAS Define punto, línea, ángulo, segmento, recta Reconoce y traza rectas paralelas y perpendiculares Conoce y maneja el plano cartesiano Aplica el concepto de razón para comparar datos Resuelve problemas utilizando proporciones Hace conversiones de medidas de longitud, área, masa y capacidad. Aplica el concepto de longitud para solucionar problemas relacionados con el perímetro de figuras Halla áreas de figuras geométricas y las usa en la solución de problemas Hace uso del razonamiento espacial para calcular el volumen y el área de superficie de un sólido Ordena un sistema de datos en una tabla de frecuencias Determina las frecuencias relativas y las expresa en forma de fracción. Resuelve problemas que impliquen la recolección, organización y el análisis de datos en forma sistemática Interpreta el significado de media, moda y mediana en un conjunto de datos Realiza gráficas sencillas para mostrar el resultado de una encuesta sencilla.

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DIA

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

GEOMETRÍA

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la observación de la naturaleza. El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que, precisamente, la palabra geometría significa medida de tierras. Los egipcios se centraron principalmente en el cálculo de áreas y volúmenes, encontrando, por ejemplo, para el área del círculo un valor aproximado de ( de 3'1605. Sin embargo el desarrollo geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y nociones básicas de semejanza de triángulos. También se tienen nociones geométricas en la civilización mesopotámica, constituyendo los problemas de medida el bloque central en este campo: área del cuadrado, del círculo (con una no muy buena aproximación de (=3), volúmenes de determinados cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio general. No se puede decir que la geometría fuese el punto fuerte de las culturas china e india, limitándose principalmente a la resolución de problemas sobre distancias y semejanzas de cuerpos. También hay quien afirma que estas dos civilizaciones llegaron a enunciados de algunos casos particulares del teorema de Pitágoras, e incluso que desarrollaron algunas ideas sobre la COMUNICACIÓN demostración de este teorema ANGULOS CLASES, MEDIDA Y TRAZADO

Cuando dos rectas se cortan, forman 4 regiones llamadas ángulos. Cada ángulo está limitado por dos lados y un vértice.

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DIA

MES

AÑO

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

Para unir dos puntos, podemos utilizar muchos tipos diferentes de líneas. De todas ellas, la más corta será la línea recta. Una recta está formada por infinitos puntos y no tiene principio ni fin. Si marcamos un punto en una recta, quedará dividida en dos partes llamadas semirrectas. El punto marcado se denomina origen de la semirrecta

Si en una recta marcamos dos puntos, quedará dividida en tres partes: dos semirrectas y un segmento. Los puntos se denominan extremos del segmento.

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DIA

COMUNICACIÓN

MES

AÑO

POLÍGONOS: TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

POLIGONOS Al dibujar varios segmentos consecutivos obtendremos una línea poligonal. Un polígono es la región interior de una línea poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos son: los lados, los vértices y las diagonales. A la línea que lo rodea se la llama contorno del polígono. Las figuras pueden dividirse en dos grandes grupos: cóncavas y convexas.

TRIANGULOS Un triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. De acuerdo a la longitud de sus lados y al tipo de ángulos que tiene los podemos clasificar en:

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DIA

MES

AÑO

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DIA

MES

AÑO

CUADRILATEROS Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los lados de un cuadrilátero pueden ser: consecutivos u opuestos. De acuerdo a la igualdad o al paralelismo de sus lados, podemos clasificarlos en:

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DIA

MES

AÑO

COMUNICACIÓN

PLANO CARTESIANO El plano cartesiano esta formado por cuatro cuadrantes que quedan determinados por dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto 0.  

En la recta X o eje de las abscisas se representan los primeros elementos de una pareja ordenada. En la recta Y o eje de las ordenadas se representan los segundos elementos de una pareja ordenada

Así, a cada pareja de números le corresponde un punto en el plano y a cada punto en el plano le corresponde un par de números.

El par (1.2) Corresponde A. El 1 es la abscisa del punto A. 2 es la ordenada del punto A. Los números 1 y 2 de la pareja (1,2) se llaman par ordenado. Representación de polígonos Para representar en el plano cartesiano El polígono ABCD, cuyos vértices son: A (1,1), B (4,0), C (5,3), D (2,5),Procedemos de la siguiente forma:

1. Ubicamos los puntos cuyas coordenadas representan los vértices del polígono. 2. Unimos con segmentos de rectas los vértices consecutivos.

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DIA

MES

AÑO

CONCEPTO DE PROPORCIÓN PROPORCION: Es la igualdad de dos razones Verifica si las siguientes parejas de razones son proporciones. 1 4 y 3 12

5 9

y

25 36

13 3

y

65 15

Porcentaje y tanto porciento PORCENTAJES: Los operadores representados con fracciones cuyo denominador es 100, se pueden escribir como porcentajes.

Escribir como porcentajes: 4 = 100

83 = 100

Escribir en forma de fracción:

96%

=

15% =

12% =

COMUNICACIÓN

MEDICIÓN El hombre ha sentido la necesidad de medir desde los tiempos más remotos. En la antigüedad la medida se tomaba de una manera muy elemental y para medir longitudes se utilizaron como medios de comparación; el tamaño de los dedos, la longitud y ancho del pie, el largo de los brazos o del dedo pulgar, los pasos dados por una persona entre otros. Medidas De Longitud El metro (m). Mostraremos los Múltiplos y Submúltiplos del metro, sus símbolos y equivalentes en metros.

UNIDAD

SÍMBOLO

EQUIVALENCIA EN m

EN POTENCIAS 72

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DIA

MES

AÑO

DE DIEZ MÚLTIPLOS

1018 m

Gm Mm km hm dam

1 000 000 000 000 000 000 m 1 000 000 000 000 000 m 1 000 000 000 000 m 1 000 000 000 m 1 000 000 m 1 000 m 100 m 10 m

m

1m

10º m

dm cm mm µm nm

0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000 001 m 0,000 000 001 m 0,000 000 000 001 m 0,000 000 000 000 001 m

10-1 m 10-2 m 10-3 m 10-6 m 10-9 m

0,000 000 000 000 000 001 m

10-18 m

exámetro

EM

petámetro

Pm

terámetro

Tm

gigámetro megámetro kilómetro hectómetro decámetro UNIDAD DE Metro BASE SUBMÚLTIPLOS decímetro centímetro milímetro micrómetro nanómetro picómetro

pm

femtómetro fm attómetro

am

1015 m 1012 m 109 m 106 m 103 m 102 m 101 m

10-12 m 10-15 m

CONVERSIONES

Convertir: 1) 35 Km a dam, m y cm 2) 9,45 Hm a m, dm y cm 3) 0,0689 Km a m, cm y mm 4) 7896,4 mm a m y Hm 5) 6897 m a Hm. Y Km

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DIA

MES

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Medidas De Área Km2 Hm2 Dam2 M2 dm2 cm2 mm2

AREAS DE POLÍGONOS Y DEL CÍRCULO Los polígonos son equivalentes cuando tienen la misma superficie, aunque tengan distinta forma. Esta propiedad es de suma utilidad para calcular la superficie de diferentes polígonos.

www.wikipediacom CIRCUNFERENCIA y CÍRCULO Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

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AÑO

Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 su diametro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi”:

VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD

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AÑO

UNIDADES DE TIEMPO Para medir el tiempo, al igual que los ángulos, se utiliza el sistema sexagesimal. Sus unidades son: la hora, el minuto y el segundo. La relación entre estas unidades es la siguiente:

Para medir períodos de tiempo mayores, se utilizan unidades mayores que una hora: - Un día es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor de su eje. - Un año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Las operaciones que se realizan con las unidades de tiempo cumplen las mismas reglas que las operaciones con medidas angulares, ya que ambos utilizan el sistema de medida sexagesimal. Si usted usa una guía de Tv, ve un horario de clases, un horario de buses, o tiene una cita al doctor usted está utilizando medidas de tiempo. He aquí las unidades estándar de tiempo: 1 semana 1 día 1 hora 1 minuto

7 días 24 horas 60 minutos 60 segundos 76

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Esteban estuvo 3 horas y 25 minutos comunicándose por teléfono. La compañía de teléfono cobra por minuto. ¿Cuántos minutos habló en total? Cambie las horas a minutos y sume al resto para averiguar. (3 x 60 = 180) + 25 = 205 minutos hablados.

La producción en cierta maquila varia de día en día. El primer turno tardó 3 horas y 15 minutos para ensamblar los productos. El segundo turno se tardó 1 hora y 55 minutos para hacer el mismo trabajo. ¿Cuál es la diferencia? La manera más fácil es cambiar todo a minutos y hacer la resta.

El primer turno se tardo 195 minutos. El segundo turno hizo 115 minutos. Reste: 195 - 115 __________ 80 minutos. Convierta 80 minutos en horas Respuesta: El segundo turno hizo 1 hora y 20 minutos menos O El primer turno hizo 1 hora y 20 minutos de más. SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

a) 10 h a min c) 4 min a seg e) 2 días a min g) 143 min a seg

1) b) 24 h a seg d) 12 h y 30 min a seg f) 17 h a min h) 15 h y 40 min a seg

2) a) 6 años a meses c) 80 días a meses e) 360 minutos a horas

b) 9 meses a días d) 4 meses a semanas f) 12 años y 4 meses a días

3) a) Si un bus sale de la ciudad “A” a las 10:10 a.m. y llega a la ciudad “B” a las 8:25 p.m. del mismo día, ¿Cuánto duró el viaje? 77

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b) Diana nació el 12 de julio de 1.983. ¿Qué edad tiene actualmente Diana en años, meses, semanas, días y horas?

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MES

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COMUNICACIÓN

ESTADÍSTICA Por mucho tiempo, la palabra estadística se refería a información numérica sobre los estados o territorios políticos. La palabra viene del latín “statisticus” que significa “del estado”. Las estadísticas como las conocemos hoy día tomaron en desarrollarse varios siglos y muchas mentes privilegiadas. John Graunt (16201674), un inglés que estudiaba los expedientes de los nacimientos y muertes descubrió que nacían más niños que niñas, pero también encontró que por estar los hombres más expuestos a accidentes ocupacionales, a enfermedades y la guerra, el número de hombres y mujeres en la edad de casarse era más o menos la misma. RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN La estadística es una colección de métodos para planificar y realizar experimentos, obtener datos y luego analizar, interpretar, y formular una conclusión basada en esos datos. Es la ciencia encargada de recopilar, organizar, analizar e interpretar información numérica o cualitativa, de manera que pueda llevar a conclusiones válidas.

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DIA

MES

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COMUNICACIÓN

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Supóngase que Pedro obtiene 32 puntos en una prueba de lectura. La calificación por sí misma tiene muy poco significado a menos que usted conozca cuál es el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, cuál es la calificación menor y mayor que se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones. Es decir que para que una calificación tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadísticos. Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. Digamos por ejemplo que la calificación promedio en la prueba que hizo Pedro fue de 20 puntos. De ser así podemos decir que la calificación de Pedro se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificación promedio fue de 60 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, dado que se ubicaría muy por debajo del promedio de la clase. En resumen, el propósito de la medidas de tendencia central son: Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo. Sirve como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central o típico. Sirve como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones. Las medidas de tendencia central más comunes son: ME D I A

Y

PROMEDIO

La palabra “promedio” es utilizada cada día en nuestro vocabulario como normal. Si usted dice que algo o alguien tiene el peso promedio, usted dice que ese algo o alguien pesa más o menos igual que el resto. PROMEDIO El número o cantidad obtenida al sumar determinadas cantidades y luego dividirlas dentro del número de cantidades en sí. Ejemplo: Aquí hay una tabla de pesos y medidas de tres personas. Nombre Marcos Joel Josué

Peso 129 139 141

Medida 66 66 69

80

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MES

AÑO

Determinar el peso promedio de ellos tres. Paso 1: Sumar los tres pesos 129 + 139 + 141 = 409 Paso 2: Ahora divida 409 ÷ 3 (tres pesos) = 136.3 Paso 3: El peso promedio de los tres es 136.3 MODA MEDIANA Tablas Las tablas permiten acomodar una gran cantidad de datos en un espacio reducido, lo que facilita su visualización; muestran valores numéricos exactos y los datos se presentan de una manera ordenada por medio de columnas y filas. La tablas deben contener aquella información que se relacione de forma concreta con el contenido del trabajo y que se deba ordenar de esta manera para su fácil comprensión. Por lo general las tablas exponen datos cuantitativos, pero en algunas ocasiones, se emplea un tipo de tabla compuesta por palabras que exponen comparaciones cualitativas. El manual de estilo de publicaciones de la Asociación Americana de Psicología, señala una serie de aspectos que se deben tener en cuenta antes de construir una tabla: · · ·

Los valores redondeados pueden mostrar patrones y excepciones de manera más clara que los valores precisos. Un lector puede comparar con mayor facilidad los números a lo largo de una columna que transversalmente en una fila. Los totales de columna y fila pueden proporcionar una ayuda visual que permita que el lector revise los datos con facilidad.

Título de tabla: Cada tabla debe llevar un título corto, claro y explicativo.

Encabezado: El encabezado establece la relación lógica que se le haya dado a los datos y sirve de identificación de estos. Al igual que el título, el encabezado debe ser breve y no tener una tamaño mayor al ancho de la columna que abarca. Se pueden utilizar abreviaturas, símbolos estándar para términos no técnicos (% para por ciento) y para estadísticos (DE y X2).

Cuerpo de una tabla: En el cuerpo de la tabla se ubican los datos. Los valores numéricos se deben expresar con el número de lugares decimales 81

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que justifiquen la exactitud de la medida. Usar 0 antes del punto decimal cuando los números sean menores que 1 (0. 45 cm). No emplear 0 antes de la fracción decimal cuando el número no pueda ser mayor que 1 (correlaciones, proporciones y niveles de significación estadística). Es importante tratar de presentar todos los valores comparables con el mismo número de decimales. Si una celdilla debe de quedar vacía, se inserta un guión o raya en esa celdilla. Nunca se debe incluir columnas de datos que puedan calcularse con facilidad a partir de otras.

Tabla X Comparación de homicidios de mujeres años 1999 y 2002 Causa Viol. Intrafamiliar Prob. Pasionales Prob. Personales Problem. drogas Robo Renc. Personales Riña Violación Acoso Sexual Otros Total

1999 N° % 13 38.24 6 17.65 4 11.76 4 11.76 2 5.88 5 14.71 34 100

2002 N° 17 5 4 1 1 1 2 5 1 37

% 45.95 13.52 10.81 2.70 2.70 2.70 5.40 13.52 2.70 100

DIAGRAMAS DE BARRAS

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DIAGRAMAS LINEAL Y CIRCULAR

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LECTURA DE GRÁFICAS La más común de las gráficas utilizadas en gran parte de medios es la gráfica de barras.

Una gráfica compara números utilizando barras de diferente tamaño

para representar las cantidades o valores de los números. Las barras pueden ser horizontales o verticales.

La siguiente es una barra vertical.

Esta es una barra horizontal:

Esta es una gráfica de barras múltiple:

Si usted analiza detenidamente este gráfico de barras múltiple verá que contiene información sobre las temperaturas en los tres departamentos de enero a abril. 84

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Para leer correctamente una gráfica usted debe: 1) Leer el título. 2) Leer los encabezados de las columnas y filas para determinar que es lo que usted debe comparar. 3) Ver los cambios en los números y encontrar la información que usted desea. 4) Si la gráfica contiene colores o símbolos fíjese que es lo que ellos representan.

GRÁFICAS DE LINEAS

Estas gráficas son usadas principalmente para mostrar subidas o bajadas en un periodo de tiempo. Cuando usted lea una grafica de líneas, lea primero el título, luego lea los rangos y números. Ejemplo: GRÁFICAS DE CIRCULOS Una gráfica de circulo parece una rueda cortada en varios pedazos. El círculo entero representa el 100% y los pedazos en que está dividido representan los porcentajes. Ejemplo: Las compañías regularmente gastan mucho dinero en viajes de sus ejecutivos. En esta gráfica se muestra como se gastan cada quetzal. Costo del Transporte Urbano en Quetzales a Enero del 2000

110 75

80

125

90

100

17 /0 6/ 19 18 05 /0 6/ 19 19 05 /0 6/ 19 20 05 /0 6/ 19 21 05 /0 6/ 19 22 05 /0 6/ 19 05

140 120 100 80 60 40 20 0

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Gastos de Viajes

Hospedaje 26%

Otros 2%

Gasolina 53%

Carros 8% Comida 11%

PICTOGRAFOS Como usted podrá adivinar, pictográfos utilizan símbolo para mostrar los valores. Un pictográfo siempre tiene claves para leerlo.

Ejemplo: Cantidad de fincas agrícolas que utilizan tractores según departamentos. Escuintla

Retalhuleu

Suchitepequez

Izabal

= a 100 tractores

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SOLUCION DE PROBLEMAS

RAZONAMIENTO

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COMUNICACIÓN

EVALUACIÓN CUARTO EJE TEMÁTICO Valoración: ________ Preguntas liberadas pruebas saber Natalia tenía una tarea por hacer: una encuesta sobre programas de TV. Invitó a los niños de la fiesta a que escogieran sus preferencias y las organizó en la siguiente tabla:

TIPO DE PROGRAMA

NÚMERO DE NIÑOS

Concursos Infantiles (CI)

10

Dibujos

30

Animados

(DA)

Deportivos (D) Títeres y Cuentos (TC) Ninguno (N)

7 18 3

Usa esta tabla para responder 1) Si cada niño dio una única respuesta, ¿cuántos niños fueron encuestados?

A.

30

B. C. D.

45 65 68

Naturalmente, los niños de la fiesta fueron invitados a comer. En la comida, entre otros alimentos, había sopa, pasta, arroz, pollo y postre. La siguiente tabla muestra la cantidad de carbohidratos que contiene una porción de tres de estos alimentos

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ALIMENTO

MES

AÑO

CANTIDAD DE CARBOHIDRATOS POR PORCIÓN

Sopa

52,50 gramos

Arroz

52,6 gramos

Pasta

52,05 gramos

2) Si ordenamos los alimentos de menor a mayor cantidad de carbohidratos contenidos, el orden es A.

pasta

- sopa

-

arroz

B.

sopa

- pasta

-

arroz

C.

sopa

- arroz

-

pasta

D.

pasta

- arroz

-

sopa

3) El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40 m2 , ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?

A. 3 m

B. 6 m

C. 12 m

D. 10 m

4) Nicolás desea medir la variación de temperatura de la gelatina líquida, usando agua fría para bajarla. Al sumergir el líquido en el agua, él marca la hora exacta. La gelatina líquida está a 24 °C. Él examina el líquido cada vez que la temperatura disminuye 3 °C y elabora una gráfica con los resultados. La gráfica que representa las anotaciones de Nicolás, es:

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5) 120 minutos y 120 segundos, equivalen a A. B. C. D.

240 segundos 4 horas 1 hora y 3 minutos 2 horas y 2 minutos

6) Dos rectángulos tienen la misma área, uno de ellos tiene 36 cm de largo y 8 cm de ancho. Si el otro rectángulo tiene de largo 18 cm, su ancho es A. 4 cm B. 8 cm C.16 cm D.26 cm 7)

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El cubo que se muestra en la figura se construyó con cubitos de igual tamaño. El cubo se desbarató y con todos los cubitos se armó una torre. ¿Cuál es la torre que se armó?.

D A B C El uso de Internet ha crecido de forma acelerada en la última década. La tabla muestra las estadísticas del número de usuarios de Internet por regiones hasta 2007:

8) De acuerdo con la información de la tabla, la cantidad de personas que no usaron Internet en África hasta 2 007 fue: a. 125 365 126 b. 785 231 654

c. 889 452 592 d. 988 478 360

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BIBLIOGRAFÍA

RECURSOS EN INTERNET Http://www.colombiaaprende.gov.co Http://www.mineducación.gov.co Http://www.eduteka.org/ Http://www.cnice.mecd.es/descartes Http://www.atenea.pntrc.mec.es Http://www.educared.net Http://www.acertijos.net Http://www.interactiva.matem.unam.mx Http://www.sectormatemática.cl Http://www.platea.pntc.mes.es Http://www.matematicas.net Http://www.nalejandria.com Http://www.deberesmatematicas.com Http://www.olimpia.unarino.edu.co/math Http://www.roble.pntic.mec.es Http://www.personal.able.es/jasalanova/recursos www.voluntad.com.co

RECURSOS BIBLIOGRÁFICOS Matemática con tecnología aplicada 6. Editor Prentice Hall Matemática en construcción 6. Editorial Oxford Press Matemática 2000 6. Editorial Voluntad Matemáticas Progresivas 1 Editorial Norma. Elementos matemáticos 6 Editorial Bedout. Matemática con tecnología aplicada 6. Editor Prentice Hall Matemática en construcción 6. Editorial Oxford Press Matemática recursos 6. Editorial Santillana. Glifos 6. Editorial Libros &Libros S.A. Bogotá Colombia 2.008

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