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ALUMNA: MARITZA GARDUÑO LOPEZ GRADO: 3° GRUPO: C

PROFESORA: OFELIA MERCEDES VALLADARES IZQUIERDO

CÁLCULO SEMESTRE A

Alumna: Maritza Garduño López

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INDICE

• Relaciones y Funciones • Evaluación de Funciones • Tipos de Función • Operaciones con Funciones • Guía de examen

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• Función por partes • Casos de limites • Aplicación de la definían de limite de una función y sus propiedades • Limites en el infinito • Guía de examen

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INDICE

• Limites de funciones exponenciales • Razón de cambio promedio • Razón de Cambio Instantáneo • Derivada de funciones

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INDICE

• Trabajo Especial

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GARDUÑO LOPEZ MARITZA GARCIA MARTINEZ JHOSELIN

TRABAJO DE INVESTIGACION CUARTO PARCIAL 3 “C”

CICLO ESCOLAR 2013-2014

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INTRODUCCION Sea A una región del plano. Sea f :A R . Se dice que f alcanza su valor máximo absoluto M en un punto 0 0 (x ,y ) A cuando M f (x , y ) f (x, y) (x,y) A 0 0 . Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto 0 0 (x ,y ) A cuando 0 0 f (x , y ) f (x, y) (x,y)   perteneciente a un entorno de 0 0 (x , y ) .  Se dice que f alcanza su valor mínimo absoluto m en un punto 0 0 (x ,y ) A cuando m f (x , y ) f (x, y) (x,y) A    0 0 .  Se dice que f tiene un mínimo relativo en un punto 0 0 (x ,y ) A cuando 0 0 f (x , y ) f (x, y) (x,y)   perteneciente a un entorno de 0 0 (x , y ) . Geométricamente: Los máximos y mínimos de una función de dos variables miden altitudes máximas y mínimas sobre la superficie que constituye la gráfica de la función (son como las cotas del punto más elevado de una colina ó del punto más profundo de una hondonada). No tienen porqué existir, sin embargo, lo mismo que el teorema de Weierstrass nos garantizaba la existencia de máximo y mínimo absolutos de una función y = f(x) continua en [a,b] R , puede demostrarse que z = f(x,y) continua alcanza su valor máximo y su valor mínimo absolutos en una región A cerrada (incluye el borde) y acotada del plano. Los máximos o mínimos de una función conocidos como extremos de una función, son los valores mas grandes (máximos) o mas pequeños (mínimos) que toma una función en un punto situados ya sea dentro de una región en particular de la curva o en el dominio de la función en su totalidad

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INDICE •

Máximos y mínimos de una función local

Máximos y mínimos de una función absoluta

Ejemplos analíticos de como hallar puntos máximos y mínimos de una función

Puntos de inflexión y concavidad de la curva

Ejemplos

Conclusión

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• MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION LOCAL Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de ser creciente a decreciente. Ese punto no tiene por qué ser el punto más alto de la gráfica de la función. Este último (si es que existe) se denomina máximo absoluto. De manera similar, en un punto donde la función pasa de decrecer a crecer se dice que hay un mínimo local. El punto del dominio donde la imagen es menor se denomina mínimo absoluto.

Una función puede tener más de un máximo o más de un mínimo locales.

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MAXIMO Y MINIMO DE UNA FUNCION ABSOLUTA

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a=0 Mínimo absoluto Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

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• EJEMPLOS ANALITOS DE COMO HALLAR PUNTOS MAXIMOS Y MINIMOS EN UNA FUNCION Calcular los máximos y mínimos de las funciones:

1 f(x) = x 3 − 3x + 2 f'(x) = 3x 2 − 3 = 0

x = − 1

x = 1

Candidatos a extremos: − 1 y 1. f''(x) = 6x f''(−1) = −6 < 0 f''(1) = 6 > 0

Máximo Mínimo

f(−1) = (−1) 3 − 3(−1) + 2 = 4 f(1) = (1) 3 − 3(1) + 2 = 0 Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

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Candidatos a extremos: − 1 y 1.

f"( − 1) = 6 > 0

Mínimo

f"(1) = − 6 < 0

Máximo

f(−1) = 3 · (−1) − (−1)³ = − 2 f(1) = 3 · 1 − 1³ = 2 Máximo ( − 1, − 2) Mínimo(1, 2)

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Candidatos a extremos: − 2, 0 y 2.

f(−2) = (−2) 4 − 8 · ( − 2)² + 3 = − 13 f(0) = 0 4 − 8 · 0² + 3 = 3 f(2) = 2

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− 8 · 2² + 3 = − 13

Máximos: ( − 1, − 13) , ( 2, − 13)Mínimo(0, 3) Alumna: Maritza Garduño López

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Candidato a extremo: 7/5.

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Candidatos a extremos: 1 y − 7/2.

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• Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.

Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva. Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo. Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.

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Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1. Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2. El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad “cambia” se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva. Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:

Definiciones: Sea f una función derivable en un punto c. i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c se cumple que: { ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ' = − − − > 14 24 4 344 t yc y Zxfxfcxcfc yc: y de la curva ; yt: y de la tangente

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fig. 4.13 ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x ≠ c se cumple que: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 ' Z x = f x − f c x−c − f c <

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iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I. iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los sub-intervalos: (a, c) y (c, b). Se usará el símbolo: ∪, para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva. Igualmente, se emplea el símbolo ∩, para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa. El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.

TEOREMA 1 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD) Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: i. Si f ''(x) > 0 para todo x ι I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I. ii. Si f ''(x) < 0 para todo x ι I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I.

Observación: En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que “hay inflexión” sin existir punto de inflexión. La gráfica de la fig. indica esta posibilidad. Allí se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.

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Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión. Como es de suponer, los puntos para los cuales f ’’(x) = 0 o f ’’(x) no existe, son “candidatos” viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f ’’(c) = 0 y sin embargo, el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión. Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x 4 y cuya gráfica aparece en la fig. 4.15.

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Como f (x) = x 4 , f ’(x) = 4x 3 , f ’’ (x) =12 x 2 Para c = 0, se tiene: ' '(0) 12(0) 0 2 f = =; sin embargo el sin embargo el punto P (0, f (0)) = P (0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0 f ''(x) > 0, y no cambia la concavidad de la curva.

EJEMPLOS:

1. Sea f una función con ecuación con . Note quef es una función continua en todo su dominio por ser una función poli nominal. La segunda derivada de f es

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, que es igual a cero si y solo si

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ó

.

Así Observemos la solución de las desigualdades de la siguiente tabla:

2. Como es un

para punto de

y inflexión

según

,y

para el punto

l

por medio

entonces del Teorema

8.

De acuerdo con el punto 2 de ese mismo teorema, como para inflexión.

y

para

, entonces

es un punto de

3. Consideraremos ahora la función g con ecuación:

, con

Como se tiene que existe.

Además

nunca se hace cero y que

es mayor que cero para

, por lo que f siempre es

cóncava hacia arriba en su dominio, y por lo tanto inflexión.

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no

no es punto de

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4.

La curva f(x) = x 3 + a x2 + b x + c corta al eje de abscisas en x = 3 y tiene un punto de inflexión en (2/3, 1/9). Hallar a, b y c.

5. Determina las ecuaciones de la tangente y normal en su punto de inflexión a la curva: f(x) = x³ − 3x² + 7x + 1. f′ (x) = 3 x 2 − 6x+ 7 f′′ (x) =6 x − 6 6 x − 6 = 0 x= 1 f′′′(x) =12 f′′′(1) ≠ 0 f(1)= 6 Punto de inflexión: (1, 6) m t = f′(1) = 4 m n = −1/4 Recta tangente: y − 6 = 4 (x − 1) 4x − y + 2 = 0 Recta normal: y − 6 = − 1/ 4 (x − 1) x + 4 y − 25 = 0

• Conclusión

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Nuestra conclusión es que el máximo y mínimo de una función es un método para la aplicación de la derivada, este método lo que hace es encontrar una parte más alta de la curva y otra parte más baja, y pues para ejemplificar esta conclusión lo tenemos que hacer con una función, ya que tenemos la función un ejemplo seria y= x3 -2x2-15x+1, pues al saber que tenemos x 3 al momento de graficarlo nos van a dar dos curvas por lo tanto nos darán dos puntos uno máximo y otro mínimo y ahora si por el método de derivadas, pues tendremos que derivar la función que seria

y

pues esta expresión la utilizamos para soluciones implícitas, creo que tiene que ver con este tema ya que se utiliza la derivada de Y y la derivada de X, y bueno siguiendo con el ejemplo que pusimos lo que prosigue es derivar lo y lo igualamos a cero, y que lo se busca es encontrar una línea horizontal que en este caso son dos, porque el ejemplo que dimos es una ecuación de segundo grado y bueno después se calcula el punto crítico y pues lo que sabemos es que la curva debe de cambiar de sentido para ir hacia abajo y este se calcula por medio del punto de inflexión y así es como sacamos los tres puntos para graficar la función el punto máximo, el punto mínimo y el punto de inflexión y pues para sacar todos estos ejemplos se necesita derivar entonces pues la mayoría son parecidos y la verdad no son complicados.

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REFERENCIAS

http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html http://www.ditutor.com/funciones_1/maximos_minimos.html http://www.bioingenieria.edu.ar/academica/catedras/mate2/cv_bioing/archivos/guias/ guias12/Teoria5_12.pdf http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html

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