Issuu on Google+

CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

Números positivos y negativos M.C. César O. Pérez Carrizales volkhavaar@hotmail.com

¿Hacia dónde se va a mover la caja? ¿Qué equipo gana y por cuántos niños?

1

2

3 www.cimeac.com

Se dice que cuando James Watt (1736-1819) estaba trabajando en el mejoramiento de las máquinas de vapor, utilizaba caballos para comparar el rendimiento de sus motores. Imagina por ejemplo que amarras un caballo a una de esas máquinas de vapor, de manera que el caballo jala en dirección opuesta a la máquina. Si el motor jala al caballo en movimiento, quiere decir que el motor tiene más de un caballo de fuerza. Si dos caballos logran arrastrar a la máquina en movimiento, entonces quiere decir que la máquina tendrá entre 1 y 2 caballos de fuerza. Es cierto que no todos los caballos tienen la misma fuerza, pero Watt hizo varias consideraciones para determinar lo que a su juicio era la fuerza de un caballo. De allí viene el término caballo de fuerza.

4

5

6

Analizando los ejemplos anteriores podemos ver que hay casos, como el tercero, en que la “fuerza” de los niños de la izquierda anula a la “fuerza”de los de la derecha. La frase que se usa en matemáticas es: “se cancelan” .

La explicación anterior resulta importante porque será sobre esta idea, cuyo significado es accesible para el alumno, que construiremos el La caja se mueve de igual manera que si cero niconcepto de positivos y negativos. ños estuvieran jalándola. Nosotros vamos a hablar de “niños de fuerza”. Al Observemos que en los casos 4 y 5, gana el equiigual que Watt, supongamos que todos los niños po de la derecha por 2 niños, aunque la cantidad son igual de fuertes. de niños involucrados sea diferente. Comparemos los casos 5 y 6: En ambos está invoObserva los siguientes dibujos y para cada caso lucrada la misma cantidad de niños, sin embargo, responde las siguientes preguntas: en el caso 5 gana el equipo de la derecha y en el 6 el equipo de la izquierda. Aunque en los dos Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com




CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

casos la caja se mueve con la misma “fuerza”, la dirección es la contraria. En casos como este, se vuelve necesario usar algún símbolo para indicar cosas de la misma magnitud que ocurren en dirección contraria. Es para eso que se inventaron los números negativos. Ahora introduzcamos una nueva notación: la cantidad de niños que jalan hacia la derecha se indicará como positiva, la cantidad de personas que jalan a la izquierda se indicará como negativa.

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

Ahora utilicemos las regletas para representar operaciones como las anteriores. Dividamos una hoja de cm2 en dos partes, en la parte superior indicaremos los números positivos y en la parte inferior los números negativos (usar la tapa de la caja de regletas). En el tablero representamos la operación +4 - 6. La pregunta es ¿Quién gana y por cuánto?

+

Por ejemplo, el caso mostrado en este dibujo se representa numéricamente como:

www.cimeac.com

-3+1

Observa que ganan los negativos, por dos niños, así que el resultado será:

- 3 + 1= - 2 Utiliza la idea anterior para indicar, usando signos y números, qué equipo gana y por cuántos.

1

+5 - 6 =

2

-5 + 6 =

3

-9 + 4 =

4

-5 +12 =

5

+7 -15 =

6

7-8=

7

+25 -13 =

9

-24 +35 =

9

-36 +44 =

Para poder hacer una comparación más fácilmente nos conviene convertir las regletas en regletas blancas:

+

Como una regleta positiva CANCELA a una negativa, tenemos que 4 regletas positivas cancelan a 4 negativas.

Esta primera parte tiene como intención dar un significado concreto a los números con signo: los positivos indican movimiento en una dirección y los negativos en otra. De esta manera, una operación con números negativos se convierte en una comparación. A partir de este significado surge una verbalización: “¿Quién gana y por cuánto?”. 

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com

+


ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

De esta manera, podemos ver que ganan los negativos por 2. Así que: +4 - 6 = - 2:

+

Practiquemos la idea anterior. Trabaja con sus regletas para resolver los siguientes casos:

1

+4 -6 =

2

-4 +6 =

3

-5 +4 =

4

-5 +11 =

5

+5 +4 =

6

+6 +5 =

7

+6 -15 =

8

-14 -18 =

9

+24 -13 =

10

-24 +33 =

11

-8 +7 -9 =

12

+18 -4 +7=

13

-5 -17 +8 =

14

+11 -17 +2 =

15

-6 +8 -9 +7=

16

-9 +7 +8 -9 =

17

-14 -5 -4 +6 =

18

-12 +6 -4 +5 =

19

+9 +7 +5 +13 =

20

-14 -12 -16 -4 =

Es importante señalar algunas cosas que hemos observado en la aplicación de esta actividad. Cuando se aplica con maestros de secundaria, estos tienden de inmediato a usar leyes de los signos. Recuerde que el alumno aún no las conoce, por lo que le recomendamos que no se apresure: La intención de esta actividad es que a partir de la verbalización y la manipulación, los alumnos puedan descubrir estas propiedades. Comenzar diciéndoles las leyes de los signos es como contarles el fin de la película. Nuestra sugerencia es que guíe a los alumnos mediante preguntas hacia las leyes de los signos. La pregunta clave es “¿Quién gana y por cuántos?” Cuando trabaje con alumnos observe cómo las regletas permiten fácilmente darle una interpretación a: -14-18 (ejercicio 8): Todos están en el lado negativo, así que el resultado es 32 en el lado negativo. Utilice los ejercicios 9 y 10 para hacer reflexionar a los alumnos. Pídales que traten de hacerlo sin regletas. Verá que visualmente pueden determinar con facilidad quién gana, y por lo tanto, determinar el signo del resultado. Pregúnteles cómo determinan por cuántos ganan. Si alguno de ellos ha descubierto el método, permita que lo explique, en caso contrario, usted puede sugerirles hacer la resta. Los ejercicios del 11 al 20 resultan muy interesantes, ya que en ellos se vuelve necesario hacer agrupaciones con regletas para simplificarlos. Insistimos en que de ser posible les permita a ellos explicar los procedimientos: esto hace que sientan el conocimiento como algo propio, en lugar de algo que les fue impuesto. Sin embargo, tenga en cuenta que a veces los alumnos tienen dificultad para explicar sus ideas, así que en ocasiones será necesario que usted repita la explicación en forma más sencilla. Después de hacer el trabajo con las regletas debe resultar sencillo responder a las siguientes preguntas: ¿Cómo haces la agrupación de los números si tienen el mismo signo?

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com



www.cimeac.com

CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

www.cimeac.com

Puede retomar los ejercicios 5, 6 y 8 para que vean que basta sumar los números y conservar el signo. ¿Cómo haces las operaciones si los números tienen diferente signo? Puede señalarles los ejercicios 1, 2, 9 y 10 para que vean que basta restar los números y conservar el signo del mayor. ¿Qué pasa si los números agrupados son iguales, pero con diferente signo? Puede dar diferentes ejemplos con regletas para que el alumno vea que en estos casos el resultado es cero. Observe cómo la enunciación de las reglas de agrupación de números con signo son el resultado de la aplicación de la verbalización: “¿Quién gana y por cuánto?”. Al trabajar con regletas, las reglas para realizar estas operaciones no son una imposición arbitraria, sino que son un descubrimiento que surge de los ejercicios que se trabajaron. Es importante que señale a los alumnos que estas reglas descubiertas serán las que aplicaremos para resolver operaciones con números positivos y negativos. Estas reglas son el “resumen” de lo descubierto en la clase. El siguiente paso será aplicar estas reglas de los signos en operaciones. Es importante que permita a los alumnos que utilicen el método con el que sientan más cómodos: mientras que algunos de inmediato comprenden las reglas y pueden aplicarlas, otros necesitarán de las regletas durante un tiempo. Aunque el libro en todo momento dice “utiliza tus regletas” es importante que tome en cuenta que las regletas sólo se utilizan mientras son necesarias. Si un alumno ya no las necesita, las regletas ya cumplieron su objetivo. No conviene obligar a un alumno a utilizarlas cuando ya no le son necesarias. Sin embargo, se dará cuenta que cuando un alumno comete un error, las regletas son una herramienta que le permite corregirlo con facilidad.



ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

Utiliza tus regletas y tu tablero para obtener el resultado de las siguientes operaciones.

1

-8 +7 =

2

+15 -24 =

3

-19 + 24 =

4

-24 -16 =

5

+18 -24 =

6

+16 -4 =

7

+16 -28 =

8

+34 +26 =

9

-24 +34 =

10

-36 -55 =

11

-68 +74 =

12

-54 +15 =

13

-74 + 29 =

14

+84 -13 =

15

+54 -95 =

16

+26 + 54 =

17

-54 +19 =

18

-49 +64 =

En esta parte de la actividad será importante que compare las operaciones numéricas con los procedimientos realizados con las regletas. Esta comparación es la encargada de convertir a la verbalización en un procedimiento abstracto, el cual nos permitirá construir nuevos procesos.

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

Ahora representa en tu tablero +7 y también representa -7.

+

- La palabra “simétrico” y el signo “–“ son dos formas diferentes de decir lo mismo: El simétrico de 6 es lo mismo que -6. - Con regletas un signo negativo significa “cambia de lugar”. - Aplicar dos veces un simétrico, regresa al número a su posición inicial. Ya que tenemos una verbalización (“simétrico”), es necesario hacerlos interpretar los símbolos. Utiliza tus regletas para obtener el resultado de las siguientes expresiones:

Utiliza tus regletas para representar las siguientes expresiones en tu tablero:

- -6= - - -6= - - - -6= - - - - -6= - - - - - -6=

+4 4 -4 El simétrico de 4. El simétrico de 6. El simétrico de -6. El simétrico de 9. El simétrico de -9. El simétrico del simétrico de 9. La idea de este ejercicio es ampliar el significado de números negativos. En la parte anterior le dimos al signo negativo el significado de “sentido contrario”. En esta parte introduciremos las leyes de los signos. Hay que hacer preguntas para que el alumno pueda observar que:

El primer ejercicio puede resolverse verbalizando como “el simétrico del simétrico de 6”. Permita que los alumnos vean el proceso de mover la regleta de sobre el tablero. Aplicar dos veces un simétrico regresa a la regleta a la posición original. Somos conscientes de que en los ejercicios anteriores existen “faltas de ortografía” matemáticas, pero hemos podido observar que comenzar con los paréntesis desde un principio confunde a los alumnos, así que es este primer ejercicio NO LOS USE. Podemos aprovechar este ejercicio para introducir los paréntesis: Escriba varios signos negativos uno tras otro y pídales que determinen cuál será la posición final de las regletas. Por ejemplo, escriba -----------8, pero asegúrese de que existan al menos dos signos negativos que estén tan juntos que algunos alumnos lo interpreten como uno solo. De esta manera puede comenzar una discusión acerca de lo confusa que puede ser de esta notación. Puede indicarles que para evitar estas confusiones, se suelen escribir paréntesis entre signo y

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com



www.cimeac.com

A este tipo de números, cuya diferencia es sólo un signo se les llama simétricos. La figura anterior puede darte una idea de por qué se les da ese nombre. Otro nombre que se les da es el de “inversos aditivos”.


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

signo. Así la manera correcta de escribir el ejem- tado. plo anterior será: Ahora podemos pedir a los alumnos que construyan sus propios ejemplos para llenar la siguien–(-(-(-(-(-(-(-(-(-(-8)))))))))) te tabla, en donde señalamos qué pasa cuando simplificamos signos dobles al principio de un Esta manera tan informal de introducir el uso de número: los paréntesis hace que los alumnos los vean sin temor. Además les resulta más razonable que la Combinación de signos: Da como resultado: explicación tradicional de “hay un menos uno + + multiplicado, pero no se escribe”. Esta explicación + - no tiene sentido si aún no hemos visto la multiplicación de números negativos. - + - -

Utiliza tus regletas para representar las siguientes expresiones en tu tablero. -(+8)= -(+16)=

www.cimeac.com

-(-20)= +(+20)= +(-7)=

Es importante hacer notar a los alumnos que hemos hecho dos tipos de operaciones diferentes: +9-11 Nos pide determinar quién gana y por cuántos. +(-11) Nos pide aplicar simétricos para determinar la posición final en que queda el número. El siguiente paso es aplicar ambos procedimientos en una misma operación.

Aquí será importante guiar a los alumnos para que interpreten el significado de los símbolos. Realicemos la siguiente operación con regletas: Nuevamente, le pedimos que recuerde que los - ( +7 ) - ( -8 ) = alumnos aún no conocen las leyes de los signos. En lugar de mencionarles las leyes de los signos, La operación esta formada por dos bloques que puede pedirles que utilicen la verbalización. Así, incluyen signos dobles: -(-8) y -(+7). el ejercicio 1 puede resolverse si se lee como “el simétrico de mas 8”. - ( +7 ) - ( -8 ) = El ejercicio 2 puede resolverse si se lee como “el Representemos el primer término: - (+7). simétrico de mas 16”. Una verbalización útil es: “el simétrico de +7”. El ejercicio 3 puede resolverse si se lee como “el simétrico del simétrico de 20”. En el ejercicio 4 es necesario recordarles que +20 es lo mismo que 20. Así, la operación +(+20) es lo mismo que +(20) y esto es lo mismo que 20. Es importante discutir con los alumnos en que casos se puede eliminar un signo positivo de una operación y en qué casos esto no es posible. Aprovechando el ejercicio 4, podemos explicar el simétrico de +7 a los alumnos que en el ejercicio 5 basta eliminar el signo positivo para obtener el resul-

+



Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

Agreguemos al resultado anterior el segundo tér- tico. Insistiremos en que, en esta etapa, le corresmino: -(-8). Podemos verbalizarlo como “el simé- ponde al maestro escribir con símbolos matemátrico de -8” ticos el procedimiento realizado por el alumno. Le sugerimos que por el momento, cambie la verel simétrico de -8 balización tradicional de “menos por menos” por la verbalización de “el simétrico del simétrico”, la cual explica las operaciones físicas que debemos hacer con las regletas para obtener el resultado. Nuestro objetivo SÍ es llegar a “menos por menos”, pero queremos que esta expresión sea un resumen de todo el procedimiento involucrado en las operaciones con números negativos. Todo este proceso tiene la intención de darle un significado a la expresión “menos por menos”. Ahora tenemos que comparar los términos de la expresión resultante - 7 + 8 = ¿Quién gana y Utiliza tus regletas y tu tablero para obpor cuánto? tener el resultado de las siguientes operaciones.

+

Realicemos la cancelación de regletas y obtendremos que ganan los positivos por 1:

+

1

+ 4 + (-5) =

2

+ (-4) + (-2) =

3

- 5 + (-3) =

4

+ (-8) - (-10) =

5

- (-17) + (-15) =

6

- (+22) + (-26) =

7

- (-35) - (-38) =

8

+9 + (-10) - (+9)- (-7) =

9

- (-15) + (-13) - (+18) + (+15)=

10

- (-22) + (-27) - (+25) + (-31)=

www.cimeac.com

+

Cuando el alumno realice estas operaciones, es importante hacerle notar que estamos combinando dos procedimientos y señalarle en que casos se utiliza cada uno: Uno cuando tenemos signos dobles, otro cuando ya hemos simplificado la operación y tenemos que comparar los resultados.

En CIME consideramos que es muy importante representar en mismo concepto en diferentes modos. En este caso usamos una representación geométrica, con las regletas, de lo que son las operaciones de números con signo. También usa- Al igual que los demás números, los negativos mos la verbalización que es un paso previo, pero se pueden combinar con el resto de las operaciomuy importante, para llegar al lenguaje matemá- nes. Veamos como se utilizan al combinarlos con Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com




CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

paréntesis.

Permita que los alumnos expliquen sus procedimientos. Si un alumno explica la forma 1, permita Realicemos con regletas la operación: que alguien más explique la forma 2 y viceversa. - (+7 - 10) + (9 - 16) = La idea es que puedan comparar y se acostumAntes de explicar el procedimiento, permita que bren a ambos procedimientos. sus alumnos intenten realizar la operación. Utiliza tus regletas para resolver las Podemos ver que los paréntesis separan a la opesiguientes operaciones. ración en dos bloques: -(+7-10) y +(9-16)

www.cimeac.com

Veamos dos formas de resolverlo: Forma 1: En esta forma, los alumnos se basan en la interpretación de que los paréntesis indican “haz primero esta operación”. Primero hay que hacer, por separado, las operaciones que están dentro de los paréntesis. La operación del primer paréntesis da -3 La operación del segundo paréntesis da -7. De esta manera, la operación original se ha convertido en una operación como las que hicimos anteriormente. Forma 2: En esta forma, los alumnos se basan en la interpretación de que el paréntesis agrupa. La verbalización podría ser “todo esto” La operación - (+7-10) podemos leerla como el simétrico de (+7-10). Podemos ver que al aplicar la operación, obtenemos -7+10. Para realizar la operación del segundo paréntesis +(9-16), tenemos que el signo positivo puede eliminarse, así que la operación queda como: 9-16. De esta manera, la operación original: - ( +7-10 )+(9-16) se ha convertido en - 7+10 +9-16 , la cual ya sabemos como hacer. La forma 1 de realizar la operación, es muy útil cuando trabajamos con números, y da mucha velocidad al realizar cálculo mental. La forma 2 será INDISPENSABLE cuando lleguemos a operaciones algebraicas. 

1

8 + ( -9 + 7 ) =

2

+ (9 - 4) + (- 6 + 5 ) =

3

- ( + 14 - 5 ) + (+ 16 - 4) =

4

+ (18 - 9 ) - (-24 + 15) =

5

+ (+ 21 - 12) + (-11 - 25 ) =

6

+ ( - 27 + 18 ) + ( - 11 -13 ) =

7

- 5 - (14 + 18 - 29 ) =

8

- (- 7 + 21) - (- 16 + 19 ) =

9

+ ( - 5 + 17) - (- 19 - 28) =

10

11 - (15 - 6 - 9 ) - (8 - 14 ) =

La parte final de este ejercicio consistirá en indicar las reglas para quitar paréntesis. ¿Cómo se simplifica un paréntesis si afuera de él existe un signo negativo? Un signo negativo cambia TODOS los signos que están dentro del paréntesis. ¿Cómo se simplifica un paréntesis si fuera de él existe un signo positivo? Un signo positivo fuera del paréntesis no produce NINGÚN cambio en los signos dentro del paréntesis. Para dar una interpretación a la multiplicación de números con signo, será muy importante que el alumno previamente entienda la multiplicación como “veces”. En tu tablero de positivos y negativos representa 4 veces 6. ¿Qué resultado obtienes?

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

2 BIMESTRE 1

+

La idea de este bloque es darle un significado verbal a la multiplicación de números negativos. La representación del ejercicio 1 en el tablero es la siguiente:

+

Utiliza tu tablero para obtener el resultado de cada una de las siguientes expresiones: 1

4 veces -2

2

3 veces el simétrico de 5

3

-( + 4) - (+4) - (+4) =

4

El simétrico de 3 veces 4

5

-4 (3) =

6

-5 (4) =

7

-6 (3) =

8

-9 (4) =

9

4 (-3) =

10

5 (-6) =

11

4 (-3) =

12

5 (-4) =

13

3 (-2) =

14

5 (-4) =

15

3 (-8) =

16

5 ( -3) =

En esta etapa le corresponde al profesor “traducir” la instrucción “4 veces - 2” a su operación equivalente: 4 ( - 2 ). La representación de la operación permite ver que: 4 ( - 2 ) = - 8 En los ejercicios 3, 4 y 5 será importante que se den cuenta de la equivalencia de las tres representaciones. El ejercicio 3 se resuelve agrupando 3 veces el “simétrico de 4”:

+

En el ejercicio 4 es una verbalización directa del ejercicio anterior, lo cual debe hacerse notar al alumno. En esta parte es muy importante realizar la representación en el tablero. En el ejercicio 5 debe pedirse al alumno que busque una verbalización adecuada para realizar la operación. Algunos dirán que es el simétrico de 4 veces 3; otros lo interpretarán cono el simétrico de 4 por 3. Es muy importante que invierta algo de tiempo en analizar las diferentes verbalizaciones y que los alumnos se den cuenta que dan resultados equivalentes. Insistiremos en la importancia de que el profesor realice las representaciones numérica de las operaciones en el tablero, al mismo tiempo que disAsesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com



www.cimeac.com

En esta etapa es importante hacer observar a un alumno que la operación equivalente a la palabra “veces” es la multiplicación.


CENTRO DE INVESTIGACIÓN DE MODELOS EDUCATIVOS

ASESORÍA SECUNDARIA

cute con los alumnos la verbalización de cada una ellas. El ejercicio 7 es interesante por la gran cantidad de verbalizaciones que hace surgir en los alumnos.

2 BIMESTRE 1

dobles, pero es diferente a la utilizada al agrupar números con signo. Insistiremos en que no hemos cambiado lo que se enseña normalmente en el salón de clase, sino que hemos agregado una actividad que permite darle significado a las operaciones con signo, de Hasta el momento hemos visto que la que me- manera que las leyes de los signos son un resultanos dificultades le causa es “el simétrico de 6 do de la exploración de los números negativos. veces -3”

+

+

El simétrico de 6 veces - 3

6 veces - 3

www.cimeac.com

Después de realizar las operaciones podemos pedir al alumno que llene la siguiente tabla respondiendo las siguientes preguntas: - ¿Qué resultado obtienes al multiplicar un número positivo por un número positivo? - ¿Qué resultado obtienes al multiplicar un número positivo por un número negativo? - ¿Qué resultado obtienes al multiplicar un número positivo por un número negativo? - ¿Qué resultado obtienes al multiplicar un número negativo por un número negativo? Combinación de signos

Resultado de la operación

(+)(+) (+)(-) (-)(+) (-)(-)

Finalmente podemos concluir esta parte explicándoles que a esta regla se le llama ley de los signos; que es importante tener en cuenta que es la misma que utilizamos para simplificar signos 10

Asesor: M. en C. César Pérez Carrizales • volkhavaar@hotmail.com


Valores positivos y negativoss