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Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Faculdade de ciências exatas e tecnologia - FCET

Aquisição de dados via PC como método investigativo no ensino de física

Bolsista: Guilherme Espósito Querelli Orientadora: Profa Marisa Almeida Cavalcante

Relatório Final Agosto de 2011


Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Relatório Final do Projeto de Iniciação Cientifica – fevereiro de 2011 a agosto de 2011 Aquisição de dados via PC como método investigativo no ensino de física

Sumário Objetivo geral ...............................................................................................................................4 O programa Tracker .....................................................................................................................5 Energia e Conservação de energia ...............................................................................................6 Experimento Proposto .............................................................................................................9 Calculo da Energia Total do Pendulo através da equação de movimento (MHS) ...............11 Verificando a conservação de Energia graficamente:.........................................................13 2ª etapa do projeto. Ondas estacionarias ..................................................................................15 Introdução teórica ..................................................................................................................15 Ondas .................................................................................................................................15 Ondas Mecânicas e eletromagnéticas ................................................................................16 Ondas estacionárias ...........................................................................................................18 Velocidade de propagação .................................................................................................20 Determinação da densidade do Fio através de ondas estacionárias ......................................22 Objetivos do experimento ..................................................................................................22 Descrição experimental ......................................................................................................22 Metodologia .......................................................................................................................23 Uso do tracker ....................................................................................................................24 Dados coletados .................................................................................................................25 Gráficos ..............................................................................................................................28 Análise dos resultados............................................................................................................30 Conclusão ...............................................................................................................................31 Conclusão geral do projeto ........................................................................................................32 Referências.................................................................................................................................33

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Objetivo geral O objetivo do projeto “Aquisição de dados via PC como método investigativo no ensino de física” é mostrar de uma maneira simples que o computador e seus periféricos, podem ser usados nos laboratórios de física para obtenção de resultados com maior precisão quando comparados aos métodos tradicionais. Neste trabalho focaremos nossos estudos em elaborar experimentos onde o movimento de um corpo é filmado e depois analisado eletronicamente. O software utilizado para a analise de movimentos foi um software livre Tracker. Na 1ª etapa deste projeto desenvolvemos experimentos que visavam mostrar a conservação de energia mecânica em sistemas conservativos. Utilizamos para isso o estudo de um pendulo simples. Para a execução desta etapa foi necessário compreender o mecanismo de operação do software e elaboramos um tutorial para facilitar a sua utilização por iniciante. Neste relatório final faremos uma retrospectiva dos trabalhos desenvolvidos incluindo uma descrição do software Tracker bem como a analise de conservação de energia em um pendulo simples, utilizando outros recursos disponíveis no software (ainda pouco explorados), que possibilita potencializar ainda mais o seu emprego em laboratórios didáticos. Tais recursos permitem a edição de equações e sua correspondente representação gráfica bem como de se obtenção da relação entre diferentes variáveis envolvidas, permitindo explorar diferentes grandezas e características do movimento em estudo. No nosso caso foi possível, por exemplo, construir em um mesmo sistema de eixos gráficos que relacionavam a energia cinética, potencial e a energia mecânica em cada ponto da trajetória do pendulo. Já para os experimentos desenvolvidos no 2º semestre estudamos ondas estacionarias em cordas e determinamos através da condição de ressonância a velocidade de propagação destas ondas. Na montagem utilizada neste experimento os sinais de freqüência variável são obtidos através de um software disponível livremente na internet e uma caixa de som de PC permite a oscilação de uma corda com extremidade fixas. De modo a verificar a compatibilidade dos resultados determinamos a densidade linear dos fios utilizados obtendo resultados com desvios em relação ao valor previsto da ordem de 1 a 2 %. Convém salientar que os equipamentos que permitem esta determinação, disponível em mercado, se valem de geradores de sinais e amplificadores de custo elevado com resultados, muitas vezes, com semelhante precisão.

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O trabalho referente a esta aplicação do Tracker no estudo de ondas estacionarias foi submetido ao IV Encontro estadual de professores promovido pela UFRGS e aprovado e deverá ser apresentado na sessão de pôster. O programa Tracker Desenvolvido pela universidade Cabrillo College(1) esse é um software livre e código aberto. Sendo um software de análise de imagens ele necessita de outros dois aplicativos, também gratuitos, para seu funcionamento. A plataforma JAVA (2) e também o player de vídeos QuickTime (3). Basicamente esse programa propicia a analise de imagens, fotos ou vídeos, sendo possível fazer marcações de distâncias, velocidades, acelerações, ângulos, forças, adição de vetores e também inserção de novas expressões. Para isso o programa mede as distâncias em pixels da imagem. Depois de feita uma calibração, que é muito simples, o software transforma as medidas em pixels na unidade usada para calibrá-lo. Esse tipo de software é muito bem vindo nos laboratórios de física das universidades, pois com o auxilio de uma câmera filmadora, os experimentos clássicos podem agora serem analisados de outra perspectiva. A gravação algumas vezes captura fenômenos com duração de milésimos de segundo que o olho nu é incapaz de notar. Isso porque nosso sistema de visão tem alguns defeitos crônicos. Além de perder a noção de profundidade quando as distâncias são muito grandes, por exemplo, enxergarmos as estrelas como se estivessem todas numa esfera ao redor da Terra, a esfera celeste, ao invés de ver que elas estão distribuídas pelo espaço, sendo que estrelas que parecem estar próximas podem estar a centenas de anos luz de distância, nosso olho não consegue distinguir eventos de curta duração. Algo que aconteça com menos de

s torna-se imperceptível ao olho nu.

Por esse motivo os filmes parecem ser um movimento contínuo, mas na verdade, um vídeo é uma sequência de imagens apresentadas rapidamente. Em geral são de 24 a 30 imagens por segundo, dando assim a impressão de ser contínuo. Neste projeto foi usada uma câmera denominada de alta velocidade(4). Já que ela tem capacidade de capturar até 300 frames por segundo, ou seja, flagra eventos com cerca de 0,0034s. Como os softwares de análise de imagens possibilitam passar a imagem frame a frame esses fenômenos antes imperceptíveis tornam-se observáveis. Assim, os experimentos clássicos podem ser realizados e filmados para que os resultados sejam obtidos através de um software de análise de imagens facilitando a coleta de dados, aprimorando o grau de precisão e, como veremos mais adiante, 5


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algumas vezes descobrindo erros sistemáticos que prejudicavam a compreensão de fenômenos.

Energia e Conservação de energia No início do projeto foi realizado um trabalho com pêndulos cujo objetivo era verificar a conservação de energia mecânica durante o movimento oscilatório. Começamos então tratando sobre energia e o que ela é. Nos livros encontrase que energia é “a capacidade de realizar trabalho ou por quanto tempo suporta-se dissipar uma quantidade constante de potência.” Mas daí surge a dúvida sobre o que exatamente é trabalho. E nas mesmas fontes, encontramos que trabalho é “a energia consumida em um deslocamento”. Como se vê, entramos em círculo vicioso. Poderíamos escapar dele usando o termo potência, mas caímos novamente no círculo, pois as explicações sempre são parecidas com “quão rápido é executado um trabalho”. Precisaremos nos aprofundar mais em energia para saber o que exatamente ela é. Escolher algumas, pois ela pode ter várias formas sendo sempre a mesma. Escolheremos então três energias: Energia cinética, energia potencial gravitacional e energia mecânica. Todas são energias medidas com a mesma unidade o joule (J). Existe ainda uma unidade muito presente no cotidiano a caloria (cal) que mede a energia gasta para elevar de 1°C 1g de água. Nas tabelas nutricionais de alimentos encontramos os valores em kcal, ele se refere a quantidade de energia fornecida ao corpo após a digestão do alimento e podemos converter kcal para J usando a relação: . O que difere nas diversas formas de energia são as grandezas física que elas relacionam. Comecemos pela energia cinética. Ela relaciona a massa de um objeto com sua velocidade para dizer quanta energia esta armazenada no sistema pela equação 1 função: .

Eq. 1

A outra energia escolhida para trabalharmos é a energia potencial gravitacional. Ela supõe que um corpo em uma dada altura tende a se acelerar, para isso uma força atuará no sistema, a forca gravitacional, que é dada pela equação 2. Eq. 2 Onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade local e h é a altura. Essa altura é relativa a um referencial escolhido como o chão da sala, o nível do mar ou outra qualquer. A terceira e última que trabalharemos nessa parte do projeto é a energia mecânica. Diferente das energias vistas até agora que relacionam grandezas diversas, a 6


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energia mecânica se calcula apenas com a soma algébrica da energia cinética e da energia potencial gravitacional. Como mostra a equação 3. Eq. 3 A questão seguinte é saber o que é a conservação dessa energia mecânica. Partiremos de um exemplo: um pêndulo longo oscilando com amplitude máxima de apenas alguns graus no vácuo. Quando em amplitude máxima, a massa presa ao final do fio (que consideraremos inextensível) terá velocidade zero. Isso significa que sua energia cinética é nula. Em contra partida, sua altura em relação à origem é máxima e consequentemente, sua energia potencial também é máxima. No segundo momento em que a massa está a uma distância de meia amplitude do centro do movimento, ela já tem velocidade e então um valor não nulo de energia cinética e ainda tem altura diferente de zero, mas menor que a altura máxima. Sendo assim, seu valor de energia potencial é menor que o inicial, mas ainda superior a zero. O movimento continua e quando a massa está no centro da trajetória, tem velocidade máxima e altura zero de tal sorte que a energia cinética agora é máxima e a energia potencial é nula. O pêndulo oscila mais e chega a distância de amplitude máxima agora do outro lado da origem e vemos que novamente os valores de energia se inverteram. Aqui a energia cinética é máxima, porque o corpo possui velocidade zero e energia potencial máxima pois sua altura voltou a ser máxima. Uma energia se “transforma” na outra e depois volta a ser ela própria. Enquanto isso o valor da energia mecânica permanece constante com o passar do tempo. Vejamos a figura 1 que nos da uma melhor idéia disso. Em A temos o corpo com altura máxima e velocidade zero. Em B, altura e velocidade têm valores intermediários. E em C velocidade máxima e altura zero. Abaixo podemos notar as barras com valores de energia potencial e cinética mudando, enquanto a energia mecânica permanece constante.

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Figura 1. Esquema de energias no movimento de um pêndulo

A maneira com que uma energia se “transforma” na outra não é linear, podemos observar na figura 2 que não é exatamente na meia altura que temos valores iguais para Ec e Ep.

Figura 2. Transformação de energia cinética em potencial e vice-versa enquanto a energia mecânica permanece constante.

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A conservação da energia mecânica se dá quando seu valor se mantém constante com o passar do tempo. Forças dissipativas como o atrito com o ar são responsáveis por “roubar” uma parte da energia e fazer o valor de E m decair com o tempo. EXPERIMENTO PROPOSTO O intuito do experimento é verificar se a perda de energia em um pendulo simples pode ser desconsiderada e em quais serão as condições de contorno que devemos estabelecer para considerar o sistema como conservativo Para isso foi feito um experimento com dois pêndulos semelhantes. Ambos com mesmo comprimento de fio (que foi tido como inextensível) e com amplitudes máximas próximas aos 20°. A diferença entre eles é a massa presa ao fio. As duas são esféricas com quase mesmo raio, porém uma delas com cerca de 160g e a outra com menos de 4g. O método usado foi filmar o movimento dos pêndulos e depois usar o computador e o software Tracker para analisar os dados. Cada pêndulo foi filmado três vezes com velocidades de captura de imagem diferentes para uma futura comparação. 30, 60 e 300 fps foram as velocidades usadas. Para verificar a conservação de energia foram propostos dois modos diferentes, o primeiro, um modo qualitativo, verificou-se através de gráficos do movimento as amplitudes máximas atingidas pelo pêndulo em sucessivas oscilações. Se as amplitudes permanecessem constantes, a manutenção do valor da energia mecânica seria comprovada. Caso as amplitudes fossem diminuindo com o tempo, concluímos que a energia mecânica também decaiu com o tempo em função das forças dissipativas presentes no sistema. O gráfico 1 mostra que para a esfera de maior massa, sim, a energia mecânica não se alterou significativamente com o tempo e podemos considerar o sistema como ideal.

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x(cm) vs. t(s) 20 15 10

X (cm)

5 0 0

1

2

3

4

5

6

7

-5 -10 -15 -20 T (s)

Gráfico 1. Espaço VS. tempo da esfera de maior massa.

Mesmo após algumas oscilações completas, a amplitude máxima atingida pelo pêndulo permanece igual. Algo que no pêndulo com esfera de menor massa não ocorreu. Podemos notar no gráfico 2 que a amplitude máxima atingida pelo pêndulo decai com o passar do tempo. A cada oscilação completa, a amplitude decai em média 10% do valor mostrando que houve perda da energia mecânica do sistema. O maior responsável, sem dúvida, foi o atrito com o ar. Nos dois sistemas ele causa uma perda semelhante de energia, mas no sistema com esfera de menor massa, essa quantidade de energia representa um percentual maior do que no sistema com esfera de maior massa.

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x(cm) vs. t(s) 20 15 10

x (cm)

5 0 0,00 -5

1,00

2,00

3,00

4,00

5,00

6,00

7,00

-10 -15 -20 t (s)

Gráfico 2. Espaço VS. tempo da esfera de menor massa.

Fica evidente que a amplitude máxima decai e com isso o valor máximo da energia potencial também decai. Como nos limites da trajetória a energia cinética é nula, a energia mecânica, ali, é composta apenas por energia potencial gravitacional. Assim sendo, podemos afirmar que no sistema com pêndulo de esfera de pequena massa, não houve conservação de energia Para verificar com mais detalhe a perda de energia procedemos a uma analise mais detalhada da energia total em cada ponto da trajetória do pendulo. Sabendo massa, velocidade da partícula e gravidade, determinamos os valores de energia, cinética e potencial em cada ponto e poderíamos saber se houve ou não a conservação da energia mecânica e qual a fração desta perda. CALCULO DA ENERGIA TOTAL DO PENDULO ATRAVÉS DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO (MHS) Para isso usamos um recurso muito interessante oferecido pelo Tracker, que corresponde a possibilidade de se obter a equação de ajuste do movimento supostamente esperada e a partir dos dados experimentais verificar qual é a flutuação nos valores dos coeficientes esperados. Para o movimento do pendulo ao longo do eixo horizontal (x) o ajuste obtido para a equação senoidal pode ser visto na figura abaixo

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Colocando o mouse sobre o valor deste % podemos alterá-lo para o valor desejado. Assim o usuário fixa um valor inicialmente esperado e vai ajustando o valor que mais se ajusta aos dados experimentais. O calculo deste % é realizado sobre o valor inicialmente fixado (supostamente esperado)

Figura 3. Tela do programa Tracker. Nossa equação para o MHS foi portanto dada por:  A=0,017 m  W=7,804 rad/s  Fase inicial =-1,743 rad X= 0,017 sen (7,804t-1,743)

Eq. 4

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Assim podemos estimar o valor da Energia mecânica total do pendulo já que se o sistema foi conservativo devemos esperar que Em= ½ w2A2m

Eq. 5

No nosso caso:  m=0,157 Kg  w=7,804 rad/s  A=0,017rad Em= 0,002763 J VERIFICANDO A CONSERVAÇÃO DE ENERGIA GRAFICAMENTE: Outro recurso muito interessante é a edição de equações no Tracker Para adicionar equações no programa devemos clicar em Dados na tabela no canto inferior direito da tela do programa, depois em Definir... e depois em Add. Aqui adicionaremos em uma das células o nome da função criada e no outro a equação selecionando as variáveis já contidas no programa. Com os dados obtidos através da soma entre as Energias Cinética e potencial em cada instante obtivemos:

Gráfico 3. Energia mecânica VS. tempo da esfera de maior massa.

Com um valor médio obtido de Em= (0,0018±0,0003)J Apesar dos valores flutuarem em torno de um valor médio indicando uma certa “conservação de energia mecânica” nota-se que há um erro sistemático afastando este valor do valor inicialmente obtido (2,7 x 10-3 J). É importante ainda 13


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observar que para o 1º método considera-se o movimento isento de qualquer dissipação e executando um MHS. Este erro certamente se deu devido à uma descentralização da câmera com relação ao movimento do pendulo Uma melhor aproximação entre estes valores ocorrem na região próxima a 0,8 segundos. Conforme mostra a figura abaixo

Figura 4. Destacando-se a região próxima a 0,8s onde as curvas se ajustam mais ao esperado.

Na fig. 4 Destacamos a região próxima a 0,8segundos e observamos que atingimos maiores valores de energia mecânica. Esta convergência já era esperada nesta região, visto para o 1º método (com o ajuste de equação do MHS) o melhor ajuste da função para a reprodução do MHS se dá nesta mesma região de tempo.

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2ª etapa do projeto. Ondas estacionarias INTRODUÇÃO TEÓRICA

ONDAS Para o experimento realizado no segundo semestre do projeto, precisaremos saber alguns conceitos como o que são ondas estacionárias e como calcular a velocidade das ondas que se propagam em cordas. Com certeza para chegar até esses conceitos mais avançados, começaremos com a explicação de o que é uma onda? Uma perturbação no meio que transporta energia sem transportar matéria. Mas para leigos essa explicação ainda é um pouco vago. Vejamos o caso daquelas enormes fileiras de dominó que são colocados um ao lado do outro e depois derrubados. A única peça que recebe uma força externa é a primeira, a partir daí ela derruba a segunda que derruba a terceira e assim até o fim. A última peça que cai, pode estar a uma distância enorme da primeira, mas ainda assim ela cai. Uma onda de choque se propagou pelas peças transportando a energia aplicada na primeira. Mas as peças não saem do lugar. Assim funciona uma onda. Uma reação que se propaga sem transportar matéria. Um exemplo clássico é o de uma rolha colocada na água, passa por ela uma onda e faz com que a posição vertical da rolha se altere. Isso muda momentaneamente a energia potencial gravitacional da rolha. Mas assim que onda acaba de passar, a rolha volta para a mesma altura e também a ter a mesma energia potencial. Mesmo após a passagem da onda, a posição horizontal da rolha permanece inalterada. A figura exemplifica isso.

Figura 5. Movimento da rolha flutuante quando atingida por uma onda.

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ONDAS MECÂNICAS E ELETROMAGNÉTICAS Até meados do século XIX o único tipo de onda conhecida eram as ondas mecânicas. Na década de 1870, o físico escocês James Maxwell publicou seus trabalhos unificando a lei de Gauss, a lei de Ampère que ele modificou e a lei de indução de Faraday e com isso, criou um conjunto de equações que hoje são conhecidas como leis de Maxwell em sua homenagem. Esse conjunto de leis, entre outras coisas, diz que os campos elétricos e magnéticos são de mesma natureza, isto é, observado de um referencial é um campo magnético, mas de outro pode ser um campo elétrico. Além disso, Maxwell confirma a proposição de Faraday de que a luz se propaga em forma de onda. As tais ondas eletromagnéticas são geradas pela propagação de campos elétricos e magnéticos oscilantes no tempo de maneira cíclica. Tal proposição de que campos se propagam através de ondas só foi confirmada por Heinrich Hertz em 1888 numa montagem experimental que usou uma bobina de Helmholtz modificada e um receptor que era uma espira aberta com esferas nas pontas separadas por uma pequena distância. A bobina produzia uma alta tensão e, com isso, um faíscamento nos terminais. Hertz supôs que esse faíscamento produziria as ondas previstas por Maxell. Para confirmar a presença dessas ondas, o receptor foi afastado da bobina e se ocorresse uma faísca entre as esferas, teríamos uma força elétrica transmitida a distância. E foi isso que aconteceu, Hertz viu as faíscas serem produzidas. Para confirmar que eram mesmo ondas, Hertz posicionou no fundo de seu laboratório uma placa metálica que refletiria as supostas ondas. Movendo o receptor ao longo da linha imaginária que unia a bobina à placa, Hertz viu que em alguns lugares a faísca era intensa em outros era quase imperceptível. O que houve na verdade, foi que as ondas refletidas formaram ondas estacionárias (que ainda veremos o que exatamente são) e com o receptor, Hertz conseguiu determinar o comprimento dessas ondas que era da ordem de centímetros (hoje sabemos que eram micro-ondas). Essa verificação fez surgir uma das maiores discussões da física moderna, a existência ou não do éter. Uma substância transparente de baixíssima densidade que permeia todo o Espaço. Discussão que durou décadas e hoje a teoria mais aceita é de que não existe o éter. Isso tudo por que até a descoberta das ondas eletromagnéticas, as ondas conhecidas eram as mecânicas e elas por sua vez precisam de um meio material para se propagar. Daí a teoria de éter, que era o meio usado pelas ondas eletromagnéticas para se propagar. Além disso, acreditava-se que as ondas eletromagnéticas eram ondas longitudinais. Esse tipo de onda é o mesmo tipo das ondas sonoras.

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Figura 6. Ondas sonoras no ar.

Nas ondas longitudinais, existe uma variação na posição horizontal das partículas sem afetar a posição vertical, como podemos ver na imagem, isso faz com que em dadas regiões, a pressão do ar torna-se maior e em outras, menor. Nesse tipo de onda, a distância que separa uma região de compressão de outra é

.

Atualmente já se admiti que as ondas eletromagnéticas têm outra natureza e são ondas transversais. É a forma que a maioria das pessoas imagina quando falamos em ondas, com uma crista e um vale formando um comprimento, e com a distância de máximo afastamento da origem nomeado de amplitude.

Figura 7. Esquema de uma típica onda transversal.

Existe ainda um terceiro tipo de onda que une os dois primeiros, são as chamadas ondas mistas.

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ONDAS ESTACIONÁRIAS O fenômeno das ondas estacionárias é parte de nosso experimento e, portanto, precisaremos de algumas informações adicionais sobre ele. Na extremidade em que a corda está apoiada sobre a roldana, temos a reflexão das ondas geradas. Esse tipo de reflexão segue um padrão, as ondas que chegam são refletidas de volta na corda com a amplitude invertida, o que chega máximo retorna mínimo.

Figura 8. Onda em corda sendo refletida num anteparo fixo.

Entretanto, enquanto essa onda refletida volta, uma nova onda foi gerada pela caixa de som e outro fenômeno muito comum em ondulatória se faz presente; a interferência. Quando duas ondas se encontram elas sofrem uma interferência onde as amplitudes se somam. Se duas amplitudes máximas se encontrarem em concordância de fase, teremos durante um intervalo de tempo, uma onda com amplitude igual a soma das duas outras, essa é a interferência construtiva (fig.9-a). Em contrapartida, se uma crista encontrar um vale, ou seja, em discordância de fase, teremos uma anulação de ambas no tempo em que ocuparem a mesma posição e teremos, o que conhecemos por interferência destrutiva (fig 9-b). O último caso é a interferência parcial, quando elas nem se anulam e nem constroem amplitude de diferentes tamanhos , compreendida entre o máximo e o minimo (fig. 9-c).

Figura 9-a. 18


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Figura 9-b.

Figura 9-c.

Uma coincidência entre o tempo de uma ser refletida e retornar a uma posição onde a outra onda gerada sofrerá uma interferência construtiva e sendo o comprimento da corda, múltipo de

, teremos uma onda que aparenta estar

parada na corda. Se sobrepormos ondas iguais com velocidades contrárias, teremos pontos da corda em que a amplitude é zero e outros onde a amplitude é máxima. São os chamados nós e anti-nós. Para nosso caso, onde a corda está presa a dois pontos (no oscilador e no apoio) eles serão nós. Como visto o comprimento da corda deve ser múltiplo de L=

portanto

esse coeficiente n dizemos ser o número do harmônico, por exemplo. No

primeiro harmônico, a onda formada na corda tem apenas um ventre. No segundo, uma onda completa seria formada, no terceiro ⅔ e assim sucessivamente. A região entre dois nós é conhecida como ventre ou anti-nós.

Figura 10. Harmônicos em cordas.

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Na corda, quando esse fenômeno ocorre, é fácil identificar o comprimento da onda que estamos trabalhando, basta medir a distancia entre dois nós ou anti-nós e teremos ½ . Para o experimento, cujo objetivo é determinar graficamente a densidade linear da corda através da montagem que gera ondas estacionárias, precisaremos da equação da velocidade das ondas em cordas. O aplicativo em Java do PHET projeto da Universidade do Colorado permite mostrar diferentes situações, com pulsos manuais, oscilador com diferentes freqüências, cordas de diferentes densidades, presa nas duas extremidades, uma extremidade livre, etc. Abaixo uma representação deste simulador

Figura 11. Onda estacionaria com 6 ventres

Simulador disponível em (http://xviiisnefnovastecnologias.blogspot.com/2011/04/ondas-estacionarias.html)

VELOCIDADE DE PROPAGAÇÃO A onda se propagando, faz a corda se curvar de maneira que a parte superior da curva pode ser considerada um arco de circunferência, isso ajudará a encontra a relação que desejamos.

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Figura 12. Atribuição de valores para cálculo da velocidade de propagação de ondas em cordas.

A tensão na corda sendo T, o raio da suposta circunferência R, 2θ e Δs permitem obter a equação que relaciona velocidade de propagação da onda com a tensão da corda e sua densidade linear. Para isso aplicaremos a segunda Lei de Newton, onde a força resultante é igual a massa multiplicada da aceleração. A aceleração no nosso caso será a aceleração centrípeta já que o trecho em vermelho na corda está na borda de um círculo se movendo para a esquerda. Eq. 6 A massa do trecho da corda pode ser calculada multiplicando seu comprimento e sua densidade linear. Eq. 7 Mas o comprimento , então Eq. 8 A força resultante será a soma das forças que a tração exerce em ambos os lados do trecho da corda. Como trabalhamos apenas com o movimento horizontal da corda, a força resultante será também apenas no eixo vertical. Eq. 9 Para pequenos ângulos o sin pode ser substituído apenas por θ trabalhando em radianos, de maneira que chegamos a: Eq. 10 Pela segunda lei de Newton, temos: Eq. 11 Eq. 12 Simplificando, chegamos na equação da velocidade em cordas. ou 21


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Eq. 13 Assim, um gráfico construído com valores de v² e T, deverá ser uma reta, onde o coeficiente angular será o valor da densidade linear que procuramos no fio.

DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DO FIO ATRAVÉS DE ONDAS ESTACIONÁRIAS OBJETIVOS DO EXPERIMENTO Determinar a densidade linear de um fio através de uma montagem experimental que produz no fio, considerado inextensível, ondas estacionárias usando uma caixa de som e o sistema de áudio do PC. DESCRIÇÃO EXPERIMENTAL Foi usado uma montagem desenvolvida por (Cavalcante et AL, 2004) em que usando o sistema de áudio do PC, uma caixa de som modificada e um auto-falante com um pino acoplado, . Como esta montagem é possível variar a frequência de oscilação da corda até que a condição de ressonância para gerar uma onda estacionaria seja atingida. Na outra extremidade do fio está presa uma massa para tensionar. Ele é esticado entre o falante e um apoio com uma roldana deixando a massa pendurada. Essa massa é pequena, pois a maneira com que é colada o pino do falante em que a corda está fixada não suporta fortes tensões, com massas da ordem de 5 a 10g. , conforme mostra a figura abaixo.

Figura 13. Montagem do experimento.

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A montagem completa ainda conta com um computador como visto no esquema 1.

Esquema 1. Montagem completa do experimento

A condição de ressonância é estabelecida quando o comprimento da corda for múltiplo inteiro de ½  Mas sabemos que v=F, onde F corresponde a frequencia de oscilação da corda.

METODOLOGIA Para uma corda fixa nas duas extremidades, como o caso deste experimento a condição de ressonância é estabelecida quando o comprimento da corda for múltiplo inteiro de ½  Mas sabemos que v=F, onde F corresponde a freqüência de oscilação da corda. Portanto para que tenhamos ondas estacionarias devemos ter que: L= n ½ (v/F)

Eq. 14

Assim, fixando um comprimento L, teremos freqüências bem definidas para cada condição de ressonância (1º 2º ...no harmônico) e que depende da velocidade de propagação da corda. De outro lado ao fixarmos a frequência do gerador de sinais teremos que buscar o valor do comprimento L para o qual a ressonância é estabelecida. Escolhemos para este experimento este 2º procedimento

23


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O experimento consiste, portanto, em ligar o gerador de áudio em uma frequência conhecida; escolher uma massa para ser presa ao fio e mover a caixa de som para frente ou para traz vagarosamente até que na corda seja obtida a condição de ressonância e se obtenha a formação de uma onda estacionária. Quando isso ocorrer, medir com a régua a distância entre o falante e o apoio da corda. Precisaremos para cálculos posteriores, o tamanho do comprimento de onda, então devemos nos atentar para o fato de se for formado o primeiro harmônico, multiplicar por 2 o valor medido (que é de apenas um ventre), se for o segundo harmônico, já temos o valor, para o terceiro multiplicamos o valor encontrado por ⅔ e assim sucessivamente. Como nossa determinação será dada através da análise gráfica, precisaremos de vários pontos de forma que a próxima etapa é alterar a massa presa ao fio e refazer a medida do λ. Esse processo deve ser repetido no mínimo dez vezes para a construção de um gráfico no futuro. Nos procedimentos convencionais estas medidas são realizadas com uma régua diretamente sobre a montagem, nas medidas que serão efetuadas neste experimento utilizaremos o Tracker para nos auxiliar nestas medidas

USO DO TRACKER A vantagem de utilização do tracjer é que faremos a medida do comprimento de onda e da frequência de oscilação da corda vibrante com maior precisão tendo em vista que a captura do vídeo se fará com elevadas taxas de aquisição e as resoluções de comprimento também serão bastante precisas. Na tela do computador, abriremos no programa Tracker o vídeo do experimento. Começaremos calibrando o programa para que as distâncias lidas nele sejam as reais. O programa trabalha com contagem de pixels para medir espaços, e então colocamos junto a montagem da caixa de som com fio e etc, uma fita de papel de comprimento conhecido (em geral usa-se 10cm). No botão fita métrica com transferidor escolheremos a função measuring stick. Essa é a fita de calibração do programa. Arrastando as extremidades até as extremidades da fita que colocamos, e ainda escrevendo em sua caixa de texto o número de centímetros ou metros que ela mede, fazemos com que o programa nos forneça as futuras medidas já em centímetros ou metros e com o tamanho verdadeiro. Existe uma função que nos permite ajustar a posição do sistema de coordenadas, ele pode ser deslocado e girado. Para facilitar nosso cálculos, não precisamos nos ater muito a posição em que esta a coordenada (0,0), mas precisamos 24


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posicionar o eixo x exatamente no plano da corda. Os futuros cálculos do comprimento de onda serão mais simples fazendo este passo. Na montagem clássica, a frequência de vibração da corda supomos ser igual a frequência lida na tela do gerador digital. Quando é feita a montagem moderna, tanto frequência quanto comprimento de onda, serão medidos através do PC. A frequência será determinada da seguinte maneira: clicando no botão Novo escolhemos a opção ponto de massa. Essa função nos permite marcar a posição de algo em quadros sucessivos. Usaremo-la marcando o ponto (apertando a tecla control e clicando no ponto desejado) onde o fio está. Depois pularemos alguns quadros no botão step forward (uma seta no canto direito na parte de baixo da tela) até que o fio oscilante volte para o mesmo ponto. Para terminar, precisaremos saber a distância entre o pino do falante e o apoio que nos dará o comprimento de onda, lembrando da relação entre os harmônicos. Isso é feito clicando no botão novo para escolher a função vetor. Com ela poderemos criar um vetor entre os pontos desejados. As dimensões do vetor aparecerão no canto inferior direito da tela. Para uma melhor precisão, é preciso que seja feita a soma das componentes vetoriais. Clicando em dados podemos inserir equações para que o próprio programa efetue os cálculos.

DADOS COLETADOS

Foram usadas quatro cordas com densidades lineares diferentes para verificar se a montagem é mesmo eficaz. A câmera usada grava os vídeos a 300fps mas, o reproduz a apenas 60fps e por isso precisamos modificar esse valor no programa Tracker. As freqüências usadas também foram diferentes apenas por uma questão prática do tamanho da onda gerada na corda para poder enquadrá-la no campo de visão da filmadora.

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Tabelas Tabela 1: dados referentes ao fio número 1 frequência no gerador (Hz)

150

massa (g)

5,5

frequência de oscilação do fio (Hz)

75

massa de cada clips (g)

0,69

λ (m)

λ/2 (m)

v (m/s)

v² (m²/s²)

massa (g)

Tração (gm²/s²)

ρ (g/cm)

0,548

0,274

41,151

1693,405

5,5

53,79

0,577

0,288

43,3485

1879,092

6,19

0,604

0,302

45,345

2056,169

0,621

0,310

46,6245

0,657

0,328

0,671

ρ medido (g/cm)

0,045

Período entre frames (s)

Frequência dos frames (1/s)

0,031

Tempo de cada frame (s) 1,67E-01

60,53

0,032

2,34E-01

6,67E-02

14,98

6,88

67,28

0,032

3,00E-01

6,67E-02

14,98

2173,844

7,57

74,03

0,034

3,67E-01

6,67E-02

14,98

49,3275

2433,202

8,26

80,78

0,033

0,335

50,373

2537,439

8,95

87,53

0,034

0,689

0,344

51,744

2677,442

9,64

94,27

0,035

0,713

0,356

53,4855

2860,699

10,33

101,02

0,035

A freqüência da corda encontrada é de aproximadamente 15Hz. Porém deve-se lembrar que o vídeo de 300fps é reproduzido a 60fps, ou seja, a freqüência desejada é 5 vezes maior.

0,723

0,361

54,282

2946,536

11,02

107,77

0,036

0,745

0,372

55,878

3122,351

11,71

114,52

0,036

0,775

0,387

58,125

3378,51

12,4

121,27

0,035

Frequência da corda

75

Tabela 2: dados referentes ao fio número 2. frequência no gerador (Hz)

100

massa (g)

5,5

frequência de oscilação do fio (Hz)

50

massa de cada clips (g)

0,69

ρ medido (g/cm)

λ (m)

λ/2 (m)

v (m/s)

v² (m²/s²)

massa (g)

Tração (gm²/s²)

ρ (g/cm)

Tempo de cada frame (s)

0,581

0,290

29,08

845,64

5,5

53,79

0,031

1,50E-01

60,733

0,032

2,50E-01

1,00E-01

9,99

67,677

0,032

3,50E-01

1,00E-01

9,99

74,621

0,034

4,50E-01 1,00E-01 9,99 A freqüência da corda encontrada é de aproximadamente 10Hz. Porém devese lembrar que o vídeo de 300fps é reproduzido a 60fps, ou seja, a freqüência desejada é 5 vezes maior.

0,613 0,656 0,687

0,306 0,328 0,343

30,66 32,84 34,37

940,03 1078,46 1181,29

6,21 6,92 7,63

0,705

0,352

35,29

1245,38

8,34

81,565

0,033

0,711

0,355

35,56

1264,51

9,05

88,509

0,034

0,737

0,368

36,89

1360,87

9,76

95,452

0,035

0,766

0,383

38,3

1466,89

10,47

102,396

0,035

0,795

0,397

39,79

1583,24

11,18

109,340

0,036

0,822

0,411

41,14

1692,50

11,89

116,284

0,036

0,840

0,420

42,01

1764,84

12,6

123,228

0,035

Período entre frames (s)

0,085

Frequência dos frames (1/s)

Frequência da corda

50

26


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Tabela 3: dados referentes ao fio número 3. frequência no gerador (Hz)

200

massa (g)

5,5

frequência de oscilação do fio (Hz)

100

massa de cada clips (g)

0,69

λ (m)

v (m/s)

v² (m²/s²)

mass a (g)

Tração (gm²/s²)

ρ (g/cm)

Tempo de cada frame (s)

ρ medido (g/cm)

Período entre frames (s)

0,155

Frequência dos frames (1/s)

0,223

22,30

497,63

5,5

53,79

0,108

4,67E-01

0,234

23,40

547,96

6,21

60,73

0,110

5,17E-01

5,01E-02

19,98

0,241

24,09

580,42

6,92

67,67

0,116

5,67E-01

5,01E-02

19,98

0,247

24,68

609,11

7,63

74,62

0,122

0,262

26,27

690,25

8,34

81,56

0,118

0,266

26,66

711,04

9,05

88,50

0,124

0,282

28,22

796,86

9,76

95,45

0,119

6,17E-01 5,00E-02 19,98 A freqüência da corda encontrada é de aproximadamente 20Hz. Porém deve-se lembrar que o vídeo de 300fps é reproduzido a 60fps, ou seja, a freqüência desejada é 5 vezes maior.

0,293

29,36

862,45

10,47

102,39

0,118

0,297

29,75

885,07

11,18

109,34

0,123

0,307

30,71

943,55

11,89

116,28

0,123

0,314

31,45

989,13

12,6

123,22

0,124

Frequência da corda

100

Tabela 4: dados referentes ao fio número 4. frequência no gerador (Hz)

150

massa (g)

5,5

frequência de oscilação do fio (Hz)

75

massa de cada clips (g)

0,69

λ (m)

v (m/s)

v² (m²/s²)

mass a (g)

Tração (gm²/s²)

ρ (g/cm)

Tempo de cada frame (s)

ρ medido (g/cm)

Período entre frames (s)

0,373

Frequência dos frames (1/s)

0,203

15,29

233,86

5,5

53,79

0,230

6,67E-02

0,217

16,31

266,09

6,19

60,53

0,227

1,33E-01

6,67E-02

15

0,219

16,48

271,01

6,88

67,28

0,248

2,00E-01

6,67E-02

15

0,224

16,83

283,24

7,57

74,03

0,261

0,231

17,34

300,93

8,26

80,78

0,267

0,235

17,69

313,02

8,95

87,53

0,279

0,244

18,30

335,16

9,64

94,27

0,281

2,67E-01 6,67E-02 15 A freqüência da corda encontrada é de aproximadamente 15Hz. Porém deve-se lembrar que o vídeo de 300fps é reproduzido a 60fps, ou seja, a freqüência desejada é 5 vezes maior.

0,252

18,96

359,48

10,33

101,02

0,281

0,259

19,46

378,78

11,02

107,77

0,284 Frequência da corda

75

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No programa Tracker, foram extraídos apenas os dados do comprimento de onda (ou meia onda em alguns casos) e a frequência de oscilação da corda. Todos os outros foram calculados no Excel e os gráficos construídos em um software livre chamado SciDAVis.

GRÁFICOS A partir dos gráficos construídos, podemos extrair a partir do coeficiente angular de uma linha de tendência linear, a densidade linear do fio usado. Comparei o valor obtido graficamente com o valor esperado para obter o erro percentual relativo.

Gráfico 4. Construído com dados do fio 1

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Gráfico 5. Construído com dados do fio 2.

Gráfico 6. Construído com dados do fio 3.

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Gráfico 7. Construído com dados do fio 4.

Os valores obtidos para o coeficiente linear da reta em cada gráfico é o valor calculado para a densidade linear dos fios, para simplificar a visualização eles são apresentados na tabela abaixo já comparados com seu valor esperado e o erro percentual entre eles. fio

Comprimento (cm)

Massa (g)

Densidade medida (g/cm)

Densidade calculada (g/cm)

Desvio percentual (%)

1

0,813

0,037

0,045510455

0,042±0,001

8,4

2

0,944

0,081

0,085805085

0,076±0,004

10,3

3

0,883

0,137

0,155152888

0,136±0,008

12,3

4

0,831

0,310

0,373044525

0,390+0,031

4,6

ANÁLISE DOS RESULTADOS Inicio a análise dos resultados citando a principal contribuição do método moderno em que foi usada a câmera filmadora de alta velocidade e o programa Tracker. Na montagem clássica consideramos a frequência de oscilação da corda como sendo igual à frequência de vibração do pino do auto-falante lida na tela do gerador de sinais. Depois de todos os cálculos o resultado obtido para a densidade linear do fio é quatro vezes menor que o resultado esperado. Não sabíamos o que causava esse erro. Quando realizamos o experimento com a montagem moderna, filmando e analisando via PC, foi constatado que a frequência de vibração da corda não é a mesma que lemos no gerador, é apenas metade. Um vídeo feito a 300fps, mostra o pino do auto-falante completa uma oscilação enquanto o fio só completa meia oscilação. 30


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Assim, a velocidade que usamos no cálculo da densidade é apenas metade da velocidade real, e já que o gráfico é construído com v² em um dos eixos, essa diferença que era de duas vezes sobe para quatro vezes. Com isso os resultados obtidos com o novo método, apresentaram um desvio percentual de em média 8,5%. É um ganho considerável tendo em vista que os resultados foram razoavelmente satisfatórios.

CONCLUSÃO Com a medida realizada nos moldes clássicos encontrávamos uma discrepância significativa no valor de densidade linear do fio e que nos impedia de usar a montagem desenvolvida por (Cavalcante et AL, 2004) para experimentos quantitativos. No entanto foi através do uso do Tracker que percebemos que a freqüência de oscilação da corda é na verdade metade do valor da freqüência estabelecida no gerador de áudio. Isso mostra que o uso de tecnologias mais avançadas nos permite observar fenômenos que antes seriam muito difíceis de serem observados e neste caso imperceptíveis. Embora tenhamos obtido sucesso com esta descoberta, acreditamos que estes valores apresentados para a densidade da corda podem ser melhorados se; a. Aumentar a amostra, trabalhando com diferentes harmônicos e maiores freqüências b. Fazer a coleta de dados em duas etapas; na 1ª etapa destinada a determinação do comprimento de onda fazer a aquisição com uma taxa de aquisição menor e vídeo de maior resolução de preferência em HD. Isso nos permitiria melhor resolução na medida de distancia; e na 2ª etapa aumentarmos a taxa de aquisição do vídeo (até 300fps) para a determinação da freqüência. Estamos no momento refazendo algumas medidas, agora em 2 etapas distintas, HD para determinar o comprimento de onda e slow-motion para a determinação da freqüência, de modo que na apresentação do trabalho no IV EEEFis na UFRGS , bem como para a apresentação no encontro de iniciação previsto para novembro, já teremos novas tabelas e novos gráficos com melhores resultados.

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Conclusão geral do projeto

A tecnologia de análise de imagens presente no projeto além de proporcionar grande precisão nos experimentos revelou erros sistemáticos antes desconhecidos. Portanto, o uso de tecnologias nos laboratórios das universidades, podem não apenas alterar o modo como conduzimos a relação ensino-aperndizagem, mas também propiciar que descobertas cientificas relevantes seja realizadas, possibilitando transformar o espaço de aula em laboratório em um ambiente de investigação e pesquisa.

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Referências (1) http://www.cabrillo.edu/ acessado em: 28/07/2011 (2) http://ciencia.hsw.uol.com.br/forca-potencia-torque-energia.htm acessado em: 28/07/2011 (3) http://www.unitsconversion.com.ar/esp/conversionunidadesenergia/ca loria-joule.htm acessado em: 29/07/2011 (4) http://www.infoescola.com/fisica/ondas-mecanicas/ acessado em: 30/07/2011 (5) http://ww2.unime.it/weblab/awardarchivio/ondulatoria/ondas.htm acessado em: 02/08/2011 (6) http://www.ifi.unicamp.br/~ghtc/Biografias/Maxwell/Maxwell.html acessado em: 02/08/2011 (7) http://static.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/01/ondalongitudinal-1.jpg acessado em: 02/08/2011 (8) http://200.198.28.154/sistema_crv/banco_objetos_crv/%7B85FA40D69B5B-499D-B2C9-EAFFCE40FA50%7D_f%C3%ADsica7.jpg acessado em: 02/08/2011 (9) CAVALCANTE, M. A. ; TAVOLARO,C.R.C; “ONDULATÓRIA E ACÚSTICA ATRAVÉS DE EXPERIMENTOS ASSISTIDOS POR COMPUTADOR” IX Encontro Nacional de Pesquisa em Ensino de Física (2004) http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/epef/ix/atas/posteres/po51-39.pdf acessado em: 03/08/2011 (10) http://www.fisica.ufs.br/egsantana/ondas/transversal/transversal.html acessado em: 03/08/2011

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Relatorio Final Iniciação Cientifica -2011  

Relatorio Final Bolsa CNPq aluno Guilherme Esposito Querelli

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