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Caro professor, Este material foi organizado pensando em você. Ele possui todas as resoluções dos exercícios da coleção; assim, ficará mais fácil identificar a complexidade de cada exercício, agilizando seu trabalho em sala de aula. O formato em CD permite a impressão seletiva, auxiliando a elaboração e a correção de provas e trabalhos.

Os autores


SUMÁRIO 6. ano o

O homem vive cercado por números.................................................................................................................................. 5 Calculando com números naturais.................................................................................................................................. 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................................................................................. 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais.................................................................................................................. 32 A forma decimal dos números racionais. ........................................................................................................................ 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................................................................................. 59 Volume e capacidade.............................................................................................................................................................. 67 Medindo a massa.................................................................................................................................................................... 70

7 .o ano Potências e raízes. ................................................................................................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros. .................................................................................................................................... 84 O conjunto dos números racionais................................................................................................................................... 102 Estudando as equações........................................................................................................................................................ 117 Estudando as inequações..................................................................................................................................................... 147 Estudando os ângulos. ........................................................................................................................................................ 155 Estudando triângulos e quadriláteros........................................................................................................................... 165 Razões e proporções.............................................................................................................................................................. 167 Grandezas proporcionais..................................................................................................................................................... 185 Porcentagem............................................................................................................................................................................ 200

8 .o ano Os números reais.................................................................................................................................................................... 207 Introdução ao cálculo algébrico..................................................................................................................................... 211 Estudo dos polinômios. ........................................................................................................................................................ 214 Estudo das frações algébricas........................................................................................................................................... 230 Equações do 1o. grau com uma incógnita......................................................................................................................... 236 Porcentagem e juro simples.................................................................................................................................................. 245 Sistema de equações do 1o. grau com duas incógnitas. ................................................................................................ 248 Geometria................................................................................................................................................................................. 259 Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal. ....................................................................... 262 Polígonos................................................................................................................................................................................. 265 Estudando os triângulos.................................................................................................................................................... 270 Estudando os quadriláteros. ............................................................................................................................................. 276 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 282

9 .o ano Noções elementares de estatística.................................................................................................................................... 291 Estudando as potências e suas propriedades.................................................................................................................. 296 Calculando com radicais. ................................................................................................................................................... 304 Equações do 2o. grau.............................................................................................................................................................. 338 Função polinomial do 1.o grau............................................................................................................................................ 388 Função polinomial do 2.o grau (ou função quadrática).............................................................................................. 397 Segmentos proporcionais. .................................................................................................................................................... 411 Semelhança.............................................................................................................................................................................. 419 Estudando as relações trigonométricas no triângulo retângulo.......................................................................... 430 Estudando as relações trigonométricas nos triângulos........................................................................................... 442 Estudando as áreas das figuras geométricas planas................................................................................................... 453 Estudando a circunferência e o círculo......................................................................................................................... 465


SUMÁRIO 6. ano o

O homem vive cercado por números.................................................................... 5 Calculando com números naturais.................................................................... 7 Divisibilidade: divisores e múltiplos.................................................................... 19 Geometria: as ideias intuitivas........................................................................... 29 A forma fracionária dos números racionais....................................................... 32 A forma decimal dos números racionais............................................................. 47 Medindo comprimentos e superfícies................................................................... 59 Volume e capacidade.......................................................................................... 67 Medindo a massa............................................................................................... 70


O HOMEM VIVE CERCADO POR NÚMEROS Explorando, página 10.

4.

1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto. 3. Resposta pessoal.

1 − Uma história muito antiga 1. a3; b1; c4; d2 2. Resposta em aberto. 3. a) 8h19min b) 1, 2, 3, 4 e 5 c) X

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

302 1 12 322 45 667 100 1 000 10 000 100 000 901 19 900

8 1 3 5

6.

b)

a) 887 b) 99 c) 9 470

d) 0 e) 11 999 f) 7 000

a) 1 001 b) 20 010

c) 4 002 d) 6 006

7.

c) d) Editoria de arte

3 4 5 6

5.

Exercícios, página 14.

Desafio!, página 15.

e) f) g) h)

a) b) c) d)

8.

e)

a) 636 e 640 b) 1 324 e 1 328 c) 19 552 e 19 556

Brasil real, página 16. 9.

1. a) XVIII b) XIX

a) 1 001 e 1 005 b) 9 007 e 9 011 c) 20 219 e 20 223

c) MDCCLXXXVII d) 1889  MDCCLXXXIX

2. MDCCCXL  1840; MDCCCLXXXIX  1889; MDCCCLXXIX  1879; MDCCCLIV  1854; MDCCCLII  1852

2 – E o nosso sistema de numeração? Exercícios, páginas 19 e 20.

10. Resposta em aberto. 11. a) b) c) d)

4 algarismos; 7, 5, 0 e 4 4 algarismos; 1 e 0 4 algarismos; 5 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0

1. a) São iguais.

b) cinco; 5

Tratando a informação, página 21.

2. Resposta em aberto.

1. “Os campeões em cada copa”

3. sete; 7;

2. Os anos da copa, os países que sediaram a competição e os respectivos campeões.

.

Existem outras maneiras.

5


3. www.fifa.com

2. a) Oito mil e quatrocentos quilômetros. b) Cinquenta mil quilômetros quadrados. c) Dois milhões, cento e sessenta e seis mil e oitenta e seis quilômetros quadrados. d) Vinte e quatro mil, quatrocentos e trinta; vinte e dois mil e cinquenta.

4. a) 5 b) 2 c) 2 d) 4

e) 3 f) 1 g) 1 h) 0

a) 10

b) 7

5. c) 1

6. 6

3. Resposta em aberto. 4. a) Nove milhões, novecentos e trinta mil, quatrocentos e setenta e oito. b) Cento e sessenta e nove milhões, setecentos e noventa e nove mil, cento e setenta. c) Resposta em aberto.

Explorando, página 22. 1. Desenhar: a) 10 bolinhas, b) 13 bolinhas, c) 21 bolinhas, d) 11 bolinhas. 2. a) Desenhar 1 bolinha, 31 bolinhas, 12 bolinhas e 11 bolinhas. b) Somente no caso do item b, em que houve um aumento de 18 . c) Nos casos dos itens a e c. No item a, diminuição de 9 ; no item c, diminuição de 9 .

5. a) b) c) d) e)

600 000 e 600 6 000 6 6 000 000 60 000 000 Exercícios, páginas 26 e 27.

3. a) Diminuiu. b) 5; 70

c) 50; 7

4.

1. 257, 275, 527, 572, 725, 752 a) 752 b) 257

a) Diminuiu. b) Passou de 800 para 8. c) Passou de 1 para 100.

2.

a) Trocá-lo de lugar com o 0; 7 650. b) Trocá-lo de lugar com o 5; 7 065. c) Trocá-lo de lugar com o 6; 6 057.

3. Resposta em aberto.

5.

a) Mil e vinte e sete. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. 4. Resposta em aberto. 5. 2 106 504 6. Quatro números: 126, 345, 567 e 789.

Brasil real, páginas 25 e 26. 1. a) Rússia: Dezessete milhões, setenta e cinco mil e duzentos. Canadá: Nove milhões, novecentos e oitenta e quatro mil, seiscentos e setenta. Estados Unidos: Nove milhões, seiscentos e trinta e um mil, quatrocentos e dezoito. China: Nove milhões, quinhentos e noventa e oito mil e setenta e sete. b) 8 514 215 km2; oito milhões, quinhentos e quatorze mil, duzentos e quinze quilômetros quadrados

6

Chegou a sua vez!, página 28. 1. Resposta pessoal. 2. Resposta em aberto. Desafio!, página 28. a) O número é 99. b) Acima: 34, 42 e 50; abaixo: 66, 74 e 82. c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17... d) 217 e 218. e) 8 números; resposta em aberto.


Calculando com números naturais 3. a) Representam as regiões brasileiras. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto. d) Resposta em aberto.

1. a) b) c) d) e) f) g)

Multiplicação. Subtração. Adição. Subtração. Divisão. Multiplicação. Divisão.

Chegou a sua vez!, página 38. a) 23 1 21 1 22 1 25 1 21 1 24 5 136 R R 136 nascimentos b) Abril. c) Fevereiro e maio.

2. a) 6 3 3 5 18 R 18 ovos • Resposta em aberto. b) • 205 2 005 102 1 102 alunos • sobrou 1 pera. c) • 27 1 3 5 30 R 30 camelos • 30 1 35 1 15 5 80 R 80 camelos d) 95 2 7 5 88 R 88 camelos

3 – Ideias associadas à adição Brasil real, páginas 35 a 37. 1. a) 91 1 38 1 14 1 101 5 244 R 244 km b) 28 596 1 244 5 28 840 R 28 840 km c) 28 840 1 244 5 29 084 R 29 084 km d) 30 000 2 29 084 5 916 R 916 km 2. a) Argentina: 247 1 270 1 340 5 857 R R 857 medalhas Brasil: 186 1 244 1 336 5 766 R R 766 medalhas Canadá: 308 1 501 1 629 5 1 438 R R 1 438 medalhas Cuba: 723 1 494 1 444 5 1 661 R R 1 661 medalhas EUA: 1 671 1 1 213 1 817 5 3 701 R R 3 701 medalhas México: 137 1 193 1 379 5 709 R R 709 medalhas b) Resposta pessoal. c) EUA, Cuba, Canadá, Argentina, Brasil, México. d) 5.o lugar

Exercícios, páginas 39 e 40. 1. a) Ivo: 9 070 1 13 620 1 10 090 5 32 780 R R 32 780 pontos Beto: 8 230 1 14 740 1 9 980 5 32 950 R R 32 950 pontos Guto: 10 060 1 12 900 1 10 120 5 33 080 R R 33 080 pontos b) Ivo: 13 620 1 10 090 5 23 710 R R 23 710 pontos Beto: 14 740 1 9 980 5 24 720 R R 24 720 pontos Guto: 12 090 1 10 120 5 22 210 R R 22 210 pontos 2. 54 307 1 6 128 5 60 435 R 60 435 habitantes 3. 376 1 1 144 5 1 520 R 1 520 livros 4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Exemplo: 90 5 54 1 36 ? d a 90 54

e b

84 36

c 110

48

121 62

59

Editoria de arte

Chegou a sua vez!, páginas 31 a 33.

a 5 90 1 84 ⇒ a 5 174 b 5 84 1 110 ⇒ b 5 194 c 5 110 1 121 ⇒ c 5 231 d 5 174 1 194 ⇒ d 5 368 e 5 194 1 231 ⇒ e 5 425 ? 5 368 1 425 ⇒ ? 5 793

7


5. N 5 330 1 792 1 428 R N 5 1 550 R R N 5 1 550 crianças

1a coluna: 12 1 16 5 28 ? 5 39 2 28 R ? 5 11

6. 215 1 175 1 245 1 175 5 810

3a coluna: 10 1 14 5 24 ? 5 39 2 24 R ? 5 15

7. 965 1 1 028 1 692 5 2 685 R 2 685 pessoas 8. 11 296 1 1 649 5 12 945 R 12 945 crianças 9.

2. a) 875 b) Não é possível. c) Não é possível. d) 0

a) 319 1 426 1 565 5 1 310 R 1 310 pessoas b) Hidroginástica. c) 565 2 319 5 246 R 246 pessoas Desafio!, página 40.

3. Em 2007; 2 010 2 1 692 5 318 R R 318 participantes a mais

7

8

3

2

6

10

4. 36 290 2 27 545 5 8 745 R 8 745 reais

9

4

5

5. 2 590 2 2 431 5 159 R 159 m3

4 – Ideias associadas à subtração

Exercícios, página 45. 1. 3 002 2 1 496 5 1 506 2. a) 9 105 2 5 299 5 3 806 b) 10 210 2 6 226 5 3 984

Brasil real, página 43. 1. 1 891 2 66 5 1 825

3. a) ? 5 6 991 1 6 429 R ? 5 13 420 b) ? 5 15 000 2 7 995 R ? 5 7 005

2. a) região Norte b) 151 107, cento e cinquenta e um mil, cento e sete. 133 717, cento e trinta e três mil, setecentos e dezessete. 105 203, cento e cinco mil, duzentos e três. 85 606, oitenta e cinco mil, seiscentos e seis. 3. a) Resposta pessoal. b) 4 282 2 3 736 5 546 R 546 metros c) 10 912 2 9 218 5 1 694 R 1 694 metros 4. 99 999 999 2 60 141 715 5 39 858 284 R R 39 858 284 veículos Exercícios, página 44. 1. 12 1 13 1 14 5 39 1a linha: 12 1 17 5 29 ? 5 39 2 29 R ? 5 10

Chegou a sua vez!, página 45. 1. a) 120 b) 18

c) 150 d) 60

2. a) 85 2 8 5 73 (1a vez) 73 2 8 5 65 (2a vez) . . . 13 2 8 5 5 (10a vez) b) 19 3. Alternativa b. 7 000 1 700 1 700 1 70 1 70 1 7 1 7 5 5 8 554

Chegou a sua vez!, página 47. 3 linha: 9 1 14 5 23 ? 5 39 2 23 R ? 5 16 a

8

a) 3 530 2 3 048 5 482 R 482 quilowatts-hora


b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.

Editoria de arte

b)

5 – Ideias associadas à multiplicação Explorando, páginas 50 e 51.

Exercícios, página 48. 1. 58 2 46 1 20 5 5 12 1 20 5 32

1. Todas as parcelas são iguais. 2. a) 6 b) 4 c) 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 d) Todas as parcelas são iguais. e) 24

2. 50 2 (10 1 25) 2 1 3. (53 2 38 1 40) 2 51 1 (90 2 7 1 82) 1 101 5

5 (15 1 40) 2 51 1 (83 1 82) 1 101 5 5 55 2 51 1 165 1 101 5 4

1 165 1 101 5 270

3.

4. 50 2 (71 2 37 1 6) 5. Respostas possíveis: a) 11 1 20 2 (10 1 15) b) 10 1 11 1 15 1 20 c) 15 1 11 1 20 2 10 d) 10 1 20 2 (11 1 15)

a) 4 3 6 5 24 R 24 tipos tipos de pão

4. a) 1 3 1 5 1 b) 2 3 2 5 4 c) 3 3 3 5 9 d) 4 3 4 5 16 e) 5 3 5 5 25 f) 6 3 6 5 36

6. 40 2 25 212 1 10 2 7 1 8 5 14

Chegou a sua vez!, páginas 49 e 50. 1. a) Para representar fenômenos físicos, químicos, sociais, econômicos etc. Para explicar símbolos ou cores usados nos gráficos, mapas etc. b) Unesco, Embaixada de Cuba e Ministério da Educação. c) Há quanto tempo alguns países oferecem escola para todas as crianças. d) Resposta em aberto. e) Países; tempo (em anos) em que todas as crianças daquele país estão na escola. f) 134 2 6 5 128 R 128 anos 44 2 6 5 38 R 38 anos 2. a) • 1 927 2 1 804 5 123 R 123 anos • 1 960 2 1 927 5 33 R 33 anos • 1 974 2 1 960 5 14 R 14 anos • 1 987 2 1 974 5 13 R 13 anos • 1 999 2 1 987 5 12 R 12 anos

recheios

b) Respostas em aberto.

5. a) 3 3 4 5 12 ou 4 3 3 5 12 b) 2 3 6 5 12 ou 6 3 2 5 12 c) 6 3 2 5 12 ou 2 3 6 5 12 d) 1 3 8 5 8 ou 8 3 1 5 8 e) 7 3 7 5 49 f) 3 3 5 5 15 ou 5 3 3 5 15 6. a) 2 3 6 5 12 R 12 maçãs (Seu Agenor) 2 3 12 5 24 R 24 maçãs (Dona Berta) b) 5 3 6 5 30 R 30 maçãs (Seu Agenor) 5 3 12 5 60 R 60 maçãs (Dona Berta) c) Resposta em aberto. Exercícios, páginas 55 e 56. 1. 6 3 50 5 300 R 300 laranjas 2. 13 3 43 5 559 R 559 azulejos 3. 27 560 3 4 5 110 240 R 110 240 habitantes

9


4. São 6 opções diferentes. blusa

saia

branca

amarela

vermelha

preta cinza

Saia preta

blusa branca blusa amarela blusa vermelha

blusa branca blusa amarela blusa vermelha

saia cinza 5.

a) 16 3 6 5 96 R 96 trens b) 96 3 125 5 12 000 R 12 000 passageiros

6. Quantidade de pães

1

2

3

4

5

6

7

Preço total

2 reais

4 reais

6 reais

8 reais

10 reais

12 reais

14 reais

7. a) 3 7 3 8 2 9 6

45 3 (90 1 2) (45 3 90) 1 (45 3 2) 4 050 1 90 4 000 1 50 1 90 4 000 1 140 5 4 140 d) 92 3 45 92 3 (40 1 5) (92 3 40) 1 (92 3 5) 3 680 1 460 3 600 1 80 1 400 1 60

4 000 1 80 1 60 4 000 1 140 5 4 140

a) 7 3 8 5 56 b) 8 3 6 5 48 Chegou a sua vez!, página 60. 1. a) (1 1 2 1 4 1 8) 3 48 5 720 b) (1 1 4 1 8) 3 23 5 299

8. 12 3 9 5 108 R 108 litros

2.

9.

a) 27 323 1a vez vertical: 64 3 2 5 128 3a vez 256 3 2 5 512

2a vez

128 3 2 5 256 4a vez 512 3 2 5 1 024

1a vez 2a vez horizontal: 32 3 2 5 64 64 3 2 5 128 4a vez 3a vez 128 3 2 5 256 256 3 2 5 512 10.

10

353 (20 1 4) (35 3 20) 1 (35 3 4) 700 1 140 700 1 100 1 40 800 1 40 5 840 c) 45 3 92

Chegou a sua vez!, página 57.

b) 3 7 3 4 8 2 9 6 1 4 8 0 1 7 7 6

b) 35 3 24

a) 24 3 35 24 3 (30 1 5) (24 3 30) 1 (24 3 5) 720 1 120 700 1 20 1 100 1 20

700 1 100 1 40 5 840

3 2

2

7

12

1

0 4

17

3

0

5

6

8

0

0

6

3

9

1

3

7

0

2

3

b) 18 872 1

3

4

0

0

1

0

3

1

0

4

1

2

8

8

0 11

1

7

8

3

4

0

8

1

6

3

2

4

2

Exercícios, páginas 61 e 62. 1. 81 2 7 3 11 5 81 2 77 5 4 2. a 5 10 1 3 3 2 ⇒ a 5 10 1 6 ⇒ a 5 16 b 5 10 3 3 1 2 ⇒ b 5 30 1 2 ⇒ b 5 32 ab


3. (12 1 8) 3 5 5 100

Brasil real, página 65. a) Ouro: hipismo, vela (nas categorias laser e star), vôlei masculino, vôlei de praia masculino; Prata: vôlei de praia feminino e futebol feminino; Bronze: judô masculino e atletismo masculino. b) Sim. c) Não, quintuplicou. d) I. (4 2 4) 3 (4 1 4) 1 1 5 0 3 8 1 1 5 5 0 1 1 5 1 (Tóquio) II. 3 3 2 2 4 1 3 3 (3 2 3) 5 6 2 4 1 1330562410521052 (Montreal ou Munique) III. 4 2 4 1 4 2 1 5 0 1 4 2 1 5 4 2 1 5 5 3 (Barcelona ou México) IV. 4 2 0 3 4 2 (2 2 2) 5 4 2 0 2 0 5 4 (Moscou) V. 2 3 2 2 4 1 3 3 3 2 3 5 4 2 4 1 1 9 2 3 5 0 1 9 2 3 5 9 2 3 5 6 (Seul) VI. 4 1 4 2 4 1 4 5 8 2 4 1 4 5 4 1 4 5 8 (Los Angeles) VII. (3 1 2) 3 (9 2 7) 5 5 3 2 5 10 (Atenas) VIII. 2 3 (3 1 4) 2 2 5 2 3 7 2 2 5 14 2 2 5 5 12 (Sidney) IX. 4 3 4 2 (5 2 4) 5 16 2 1 5 15 (Atlanta) e) Resposta em aberto.

4. 50 2 (6 3 8 1 2) 5 50 2 (48 1 2) 5 50 2 50 5 0 5. (20 2 3 3 6) 3 2 5 (20 2 18) 3 2 5 2 3 2 5 4 6. (3 3 7 1 2 3 15) 3 (81 2 4 3 20) 5 (21 1 30) 3 3 (81 2 80) 5 51 3 1 5 51 7. a) 4 3 2 1 4 3 5 b) 3 3 (3 1 3 1 2) c) 2 3 (8 1 8) 1 3 3 4. Existem outras respostas. 8. a) 150 1 5 3 25 b) 150 1 5 3 25 5 150 1 125 5 275 R R 275 reais 9. a) 30 3 2 1 30 3 3 b) 30 3 2 1 30 3 3 5 60 1 90 5 150 R R 150 balões 10. a) Alex b) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 c) 30 1 2 3 25 1 3 3 20 5 30 1 50 1 60 5 5 140 R 140 reais d) 360 2 140 5 220 R 220 reais Desafio!, página 62.

5

12

6

2

3

10

30

4

15

6 – Ideias associadas à divisão Explorando, páginas 66 e 67. 1.

Chegou a sua vez!, página 63. a)

1

2

7

M1

2

1

1

1

5

1

1

b)

1

5

3

4

7

M1

1

2

3

1

9

M1 MR

933

c)

2

1

3

1

2

M1

1

3

3

1

0

M2 MR

122

d)

5

8

M1

5

1

3

1

1

2

1

6

1

1

M2 MR

9

a) Sim. 72  4 (divisão exata)  32 18 0 b) Número de candidatos em cada grupo: 18 72  4  32 18 0

80

M2 MR 23

Chegou a sua vez!, página 64. 1. Vale 150 milhões. 2. 106 716 367 669 3. a) 1 200 2 1 5 1 119 anos b) 1 750 2 1 200 5 550 anos c) 1 850 2 1 750 5 100 R 100 anos d) 1950 2 1 750 5 200 R 200 anos e) 2 005 2 1 950 5 55 R 55 anos

2. a) 6 3 12 5 72 R 72 perguntas b) 72  32 R 2 perguntas  8 2 c) Como são 2 perguntas por participante e há 32 candidatos, são 64 perguntas. Como havia 72 perguntas, sobrarão 8 perguntas.

11


3.

Exercícios, página 71. a) 8  2 0 4 b) • 6 2 0 3 • 8 2 0 4 c) Não; sobra um pedaço de 2 quadrinhos roxos. 3 3 4 5 12 R 12 quadrinhos roxos 12  10 2  1 d) Não; fica faltando um pedaço de 1 quadrinho para completar a barrinha azul. 4 3 2 5 8 R 8 quadrinhos vermelhos e) • 9 : 3 5 3 R cabem 3 barrinhas verde-claras em uma barrinha azul. • 10 : 5 5 2 R cabem 2 barrinhas amarelas em uma barrinha alaranjada. • 7  4 R faltam 3 quadrinhos para 3 1 a barrinha roxa completar a barrinha preta.

1. a) n 5 9 3 7 1 2 n 5 63 1 2 n 5 65 b) n 5 11 3 16 1 5 n 5 176 1 5 n 5 181 c) n 5 64 3 25 1 10 n 5 1 600 1 10 n 5 1 610 2. n 5 45 3 17 n 5 765 3. Se o divisor é 12, o resto maior possível é 11, então: n 5 12 3 9 1 11 n 5 108 1 11 n 5 119 4. n 5 6 3 35 1 5 n 5 210 1 5 n 5 215 R 215 laranjas Exercícios, página 72.

Exercícios, páginas 68 e 69.

5. 476 : 50 5 9 R 9 cupons e resta 26 reais. 50 2 26 R 24 reais

1. x 5 (20 : 4) 3 5 x5535 x 5 25 y 5 20 : (4 3 5) y 5 20 : 20 y51 a) x 1 y 5 25 1 1 5 26 b) x 3 y 5 25 3 1 5 25 c) x : y 5 25 : 1 5 25

6. 10 000 : 400 5 25 R 25 voltas

2.

1. 75 : 15 5 15 R 15 vezes 2. a) Resposta em aberto. b) 184 : 4 5 46 R 46 papéis 3. 1 352 : 4 5 338 4. 344 : 8 5 43 R 43 reais

7. 6 970 : 85 5 82 R 82 toneladas 8. 6 160 : 560 5 11 R 11 viagens Exercícios, página 70. 1. 8 : 0 2. 12 : 24 3. 0 : 10 4. 1 5. 32 : 8 5 4 32 3 5 5 160 160 : ? 5 4 ⇒ ? 5 160 : 4 ⇒ ? 5 40, logo devo multiplicar o divisor por 5, porque 40 5 8 3 5.

12

a) 105 : 5 1 30 5 21 1 30 5 51

b) 201 2 64 : 4 5 201 2 16 5 185 c) 65 : 5 2 10 5 13 2 10 5 3 d) 162 : 9 3 9 5 18 3 9 5 162

3. N 5 85 : 5 1 3 3 15 2 50 N 5 17 1 45 2 50 N 5 62 2 50 N 5 12


4. a) (7 3 7 1 5) : (18 2 15 : 3 1 5) 3 2 5 5 (49 1 5) : (18 2 5 1 5) 3 2 5 5 54 : (13 1 5) 3 2 5 5 54 : 18 3 2 5 533256 b) (30 2 5 3 6) : (7 1 2 3 10) 3 (40 2 30 1 5) 5 5 (30 2 30) : (7 1 20) 3 (10 1 5) 5 5 0 : 27 3 15 5 5 0 3 15 5 0

c) 100 formigas (1 000 000 : 10 000) d) Resposta possível: As formigas são muito úteis, pois comem os parasitas das plantas.

7 – Resolvendo problemas Brasil real, páginas 77 a 79. 1. a) Washington; Atlético-PR b) Paulo Nunes e Renaldo; 18 gols (34 2 16 5 18) c) maior: Vasco (22 1 21 1 29 5 72); menor: São Paulo (19); diferença: 53 gols d) 29 2 16 5 13 R 13 gols e) Sim. Washington (34) em 2004 fez o dobro de Souza (17) em 2006.

5. a 5 (36 : 6 2 5) 3 2 a 5 (6 2 5) 3 2 a5132 a52 b 5 36 : (6 2 5) 3 2 b 5 36 : 1 3 2 b 5 36 3 2 b 5 72 b : a 5 72 : 2 5 36

2. a) • 8 • 17; 10 • PDT

6. 2 1 30 : 5 1 (9 3 6 2 4) : 5 2 (40 : 10 1 3) 5 5 2 1 6 1 (54 2 4) : 5 2 (4 1 3) 5 5 2 1 6 1 50 : 5 2 7 5 5 2 1 6 1 10 2 7 5 5 8 1 10 2 7 5 5 18 2 7 5 11 N 5 3 ? 11 5 33 20 1 (40 2 30) : 5 Brasil real, página 73. 1.

2. 316 2 00  12 7 6  26350 R 26 350 pacientes 4 2 6 0 0 0

1

2

PPS

2

2

1

1

PSB

1

2

3

PMDB

4

3

7

PSBD

4

2

6

PP

1

1

PT

4

1

5

b) PT (5), PSDB (6) e PMDB (7). São números naturais consecutivos. c) Nenhum dos três, pois todos elegeram 4 governadores no 1o turno. d) O PSB elegeu 3 governadores. O único partido que elegeu 6 governadores (dobro de 3) foi o PSDB. e) Nenhum, pois dos partidos que elegeram 5 ou mais governadores, o máximo abrangido foi 4 regiões (das 5 regiões brasileiras).

7.

236 296  4 3 6  59 074 R 59 074 domicílios 0 2 9 1 6 0

1

PFL

Exercícios, páginas 79 a 81. 1. a) 4 1 5 1 3 1 1 5 13 R 13 alunos b) 4 1 5 1 3 1 1 1 2 1 5 5 20 R 20 alunos 2. 340 3 6 5 2 040 R 2 040 metros 3. 320 2 (87 1 218) 5 5 320 2 305 5 15 R 15 alunos 4.

3. a) 18 000 2 10 000 5 8 000 R 8 000 espécies b) 18 000 : 2 000 5 9 R 9 vezes

125 3 (3 2 2) 1 230 3 (6 2 4) 1 312 3 (8 2 5) 5 5 125 3 1 1 230 3 2 1 312 3 3 5 5 125 1 460 1 936 5 1 521 R 1 521 reais

13


5. a) 1 hora 5 60 minutos e 1 minuto 5 60 segundos, logo: 1 hora 5 60 3 60 5 3 600 segundos 7 3 (3 600 : 20) 5 7 3 180 5 1 260 R 1 260 vezes b) em 1 hora goteja 1 260 vezes, em 2 horas: 2 3 1 260 5 2 520 R 2 520 vezes c) 30 minutos é igual à metade de uma hora, então: 1 260 : 2 5 630 vezes d) 90 minutos é o triplo de 30 minutos, então: 630 3 3 5 1 890 R 1 890 vezes 6. 9 3 (7 2 1) 3 8 3 12 5 5 9 3 6 3 8 3 12 5 5 54 3 8 3 12 5 5 432 3 12 5 5 184 R 5 184 reais 7. 10 1 (10 1 2) 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 2 ? 10 1 10 : 2 5 5 10 1 12 1 20 1 5 5 47 R 47 crianças 8. 12 3 450 1 20 3 750 1 8 3 1 200 5 5 5 400 1 15 000 1 9 600 5 30 000 R R 30 000 reais 9. Arrecadado na venda: 250 3 40 gasto na produção: 250 3 12 1 4 000 lucro obtido 5 arrecadado – gasto: 250 3 40 2 (250 3 12 1 4 000) 5 5 10 000 2 (30 000 1 4 000) 5 10 000 2 7 000 5 3 000 R 3 000 reais

14

12. 1-a fileira: 1, então 64 2 1 5 63, sobram 63 bandeiras. 2 -a fileira: 1 1 2 5 3, então 63 2 3 5 60, sobram 60 bandeiras. 3-a fileira: 3 1 2 5 5, então 60 2 5 5 55, sobram 55 bandeiras. 4-a fileira: 5 1 2 5 7, então 55 2 7 5 48, sobram 48 bandeiras. a 5- fileira: 7 1 2 5 9, então 48 2 9 5 39, sobram 39 bandeiras 6-a fileira: 9 1 2 5 11, então 39 2 11 5 28, sobram 28 bandeiras. 7-a fileira: 11 1 2 5 13, então 28 2 13 5 15, sobram 15 bandeiras. a 8- fileira: 13 1 2 5 15, então 15 2 15 5 0. 13. Gastou na 1-a loja: 300 : 2 1 2 5 5 150 1 2 5 152 5 Ao sair da 1-a loja tinha: 300 2 152 5 148 Gastou na 2-a loja: 148 : 2 1 2 5 5 74 1 2 5 76 Ao sair da 2-a loja tinha: 148 2 76 5 72 Gastou na 3-a loja: 72 : 2 1 2 5 5 36 1 2 5 38 Ao sair da 3-a loja tinha: 72 2 38 5 34 R 34 reais 14. Número no visor: 347 Ao apertar a tecla D: 347 3 2 5 694 Ao apertar a tecla S: 694 1 1 5 695 Ao apertar a tecla D: 695 3 2 5 1 390

10. (15 3 50 1 10 3 100) 3 3 5 5 (750 1 1 000) 3 3 5 5 1 750 3 3 5 5 250 R 5 250 reais

15. (28 3 50) : 100 5 5 1 400 : 100 5 14 R 14 notas

11. 108 horas com programação 160 2 108 R horas com consertos quantia recebida: 108 3 40 1 (160 2 108) 3 25 5 108 3 40 1 52 3 25 5 4 320 1 1 300 5 5 620 R 5 620 reais

16. Gastou na livraria Todas as Letras: 9 3 24 5 216 Gastaria na livraria Escrita (um livro): 24 2 6 5 18 Teria comprado na livraria Escrita: 216 : 18 5 12 R 12 livros


17. Se vendeu 82 assinaturas, vendeu 32 assinaturas a mais que 50. 50 3 15 1 32 3 20 1 600 5 5 750 1 640 1 600 5 1 990 R 1 990 reais

2. 209 3. a) 25 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 b) 37 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 2 187 c) 110 5 1. Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

Chegou a sua vez!, página 83. 1. couraçado: (M, 2), (M, 3), (M, 4), (M, 5) e (M, 6). submarino: (N, 10). cruzador: (D, 12), (E, 12), (F, 12) e (G, 12). destroyer: (K, 13) e (L, 13). hidroavião: (F, 5), (E, 6) e (G, 6).

d) 150 5 1. O número 1 multiplicado cinquenta vezes dá 1. e) 0100 5 0. O número 0 (zero) multiplicado cem vezes dá 0 (zero). f) 106 5 1 000 000. Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

2. Praça do Sol, alternativa a. 3. D4, E3, F4, E5, alternativa d.

8–P  otenciação de números naturais

4. a) 52 5 25 e 25 5 32, logo 52  25 b) 74 5 2 401 e 103 5 1 000, logo 74 . 103

Explorando, página 84.

c) 43 5 64 e 29 5 512, logo 43  29 d) 110 5 1 e 101 5 10, logo 110  101

1. a) 3 3 3 5 9 b) 5 3 5 5 25 c) 7 3 7 5 49

5. 4 3 4 ou 42

3.

14243 5

c) 7 3 7 3 7 5 343

a) 38 000 000 5 38 3 10 ; 6 000 000 5 6 3 10 ; 17 000 000 5 17 3 106 b) 180 5 18 3 10; 330 000 5 33 3 104; 6 000 000 5 6 3 106; 1 000 5 103 6

2. a) 23 5 8 R Curitiba b) 32 5 9 R Belo Horizonte c) 6 3 22 5 6 3 4 5 24 R Recife d) 52 5 25 R Brasília ou Fortaleza e) 52 5 25 R Salvador

Exercícios, páginas 89 a 91.

6

1442443 8

d) 8

144424443 11

11

Editoria de arte

1.

144424443

b)

Brasil real, páginas 88 e 89.

1. 5 3 5 3 5 3 5 ou 54

10

144424443 10 1442443

a) 5 3 5 3 5 5 125 b) 9 3 9 3 9 5 729

c)

5

144424443

a)

14243

6.

2. Todos os fatores são iguais.

7. 62 5 36 63 5 216, logo n 5 3 8. Não, todas estão corretas. 9. a) 72

b) 63

10. 100 000 é formado de 5 zeros, então o expoente dessa potência é 5. 11. Sim; 169 5 144 1 25

15


12. a) 4 3 10 5 4 3 10 000 000 5 40 000 000 (quarenta milhões) b) 9 3 105 5 9 3 100 000 5 900 000 (novecentos mil) c) 106 5 1 000 000 (um milhão) d) 2 3 103 5 2 3 1 000 5 2 000 (dois mil) 7

2. 302 : (72 3 3 2 102 2 2) 5 5 900 : (49 3 3 2 100 2 2) 5 5 900 : (147 2 100 2 2) 5 5 900 : (47 2 2) 5 5 900 : 45 5 20 3.

13. Se 1 000 m 5 1 km e 108 5 100 000 000, então 100 000 000 : 1 000 5 5 100 000 R 100 000 km Logo, 3 3 108 5 3 3 100 000 5 300 000 R R 300 000 km

a) 72 2 40 1 18 : 32 2 100 5 5 49 2 40 1 18 : 9 2 1 5 5 49 2 40 1 2 2 1 5 5 9 1 2 2 1 5 11 2 1 5 10 b) (62 2 52) 3 33 2 102 5 5 (36 2 25) 3 27 2 100 5 5 11 3 27 2 100 5 5 297 2 100 5 197

14. a) 400 000 5 4 3 100 000 5 4 3 105 R R 4 3 105 km b) 120 mil 5 120 000 5 12 3 10 000 5 12 3 104 150 mil 5 150 000 5 15 3 10 000 5 15 3 104 c) 2 500 5 25 3 100 5 25 3 102 d) 100 mil 5 100 000 5 105 3 milhões 5 3 000 000 5 3 3 106 37 milhões 5 37 000 000 5 37 3 106

c) 62 : (23 1 1) 3 (32 2 5) 5 5 36 : (8 1 1) 3 (9 2 5) 5 5 36 : 9 3 4 5 5 4 3 4 5 16 d) (7 3 3 1 112) 3 103 5 5 (7 3 3 1 121) 3 1 000 5 5 (21 1 121) 3 1 000 5 5 142 3 1 000 5 142 000

Exercícios, página 92.

e) (7 3 32 2 1) : (82 2 2 3 31) 5 5 (7 3 9 2 1) : (64 2 2 3 31) 5 5 (63 2 1) : (64 2 62) 5 5 62 : 2 5 31

1. a) A raiz quadrada de 81 é 9, porque 9 3 9 5 81. b) A raiz quadrada. 2. a)

4 5 2 , pois 22 5 4

b)

49 5 7 , pois 7 5 49

c)

64 5 8 , pois 82 5 64

d)

121 5 11 , pois 112 5 121

e)

144 5 12 , pois 122 5 144

f)

225 5 15 , pois 152 5 225

2

3. 9, 16, 36, 49 e 64, pois possuem raízes quadradas exatas no conjunto dos números naturais. 4. 169 5 13 R 13 metros, pois 132 5 169

Exercícios, página 93. 1. N 5 412 1 312 1 212 ⇒ N 5 1 681 2 961 1 1 441 ⇒ N 5 720 1 441 R N 5 1 161, então temos: 1 1 1 1 6 1 1 5 9

16

4. a) 25 1 42 2 23 3 3 5 5 32 1 16 2 8 3 3 5 5 32 1 16 2 24 5 5 48 2 24 5 24 b) (25 1 42 2 23) 3 3 5 5 (32 1 16 2 8) 3 3 5 5 (48 2 8) 3 3 5 5 40 3 3 5 120 c) 25 1 (42 2 23) 3 3 5 5 32 1 (16 2 8) 3 3 5 5 32 1 8 3 3 5 5 32 1 24 5 56 5. (34 2 26 2 100) : (52 2 23) 5 5 (81 2 64 2 1) : (25 2 23) 5 5 (17 2 1) : 2 5 5 16 : 2 5 8 Logo, 82 5 64.


f) 220 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3232323232323232323 3 2 3 2 3 2 5 1 048 576

Brasil real, páginas 93 e 94. 1. a)

81 3 2 3 102 1 19 3 22 5 5 9 3 2 3 100 1 19 3 4 5 5 18 3 100 1 76 5 5 1800 1 76 5 1876, século XIX b) 1877 c) Resposta em aberto.

Chegou a sua vez!, página 96. 1. a) • verde; • azul e verde; • não consta no gráfico b) 9 2 5 5 4 R 4 times c) 1988, 1990, 1995, 1997

2. a) A segunda expressão. • (2 3 36 )2 1 23 3 (103 22) 2 (34 3 2 1 144 ) 5 5 (2 3 6)2 1 8 3 (1 000 : 4) 2 (81 3 2 1 12) 5 5 122 1 8 3 250 2 (162 1 12) 5 5 144 1 8 3 250 2 174 5 5 144 1 2 000 2 174 5 5 2 144 2 174 5 1 970 • 112 2 100 1 54 3 (93)0 1 (15 2 40 8)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 30 1 (15 2 5)3 1 210 5 5 121 2 10 1 625 3 1 1 103 1 210 5 5 121 2 10 1 625 1 1 000 1 210 5 5 111 1 625 1 1 000 1 210 5 5 736 1 1 000 1 210 5 5 1 736 1 210 5 1 946 b) 1 970 1 13 5 1 983 c) (210 2 25 ) 3 4 5 5 (1 024 2 5) 3 2 5 5 1 019 3 2 5 2 038 d) Até 2006 o Brasil foi pentacampeão, como em 1970 ele já foi tricampeão, o Brasil ganhou duas vezes a nova taça. 3. 5 3 202 2 103 : 52 1 32 5 5 5 3 400 2 1 000 : 25 1 9 5 5 2 000 2 40 1 9 5 5 1 960 1 9 5 1 969 a) Resposta em aberto. b) 2006 Chegou a sua vez!, página 95. a) 56 5 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 5 15 625 b) 65 5 6 3 6 3 6 3 6 3 6 5 7 776 c) 97 5 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 3 9 5 5 4 782 969 d) 79 5 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 40 353 607 e) 210 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2 5 1 024

2. 1ª partida: 2 . 0 (vitória) 2ª partida: 1  4 (derrota) 3ª partida: 3 5 3 (empate) 4ª partida: 0  5 (derrota) 5ª partida: 2 . 1 (vitória) 6ª partida: 3 . 1 (vitória) 7ª partida: 2 5 2 (empate) 8ª partida: 1 . 0 (vitória) 9ª partida: 0 5 0 (empate) 10ª partida: 3 . 0 (vitória) São 5 vitórias, 3 empates e 2 derrotas, então: 533133112305 5 15 1 3 1 0 5 18 R 18 pontos

Retomando o que aprendeu, páginas 97 e 98. 1. Alternativa c. 3 exercícios em 10 minutos 6 5 3 3 2; então, 6 exercícios em 10 3 2 minutos  6 exercícios em 20 minutos 2. Alternativa b. 2 3 20 2 2 3 8 5 5 40 2 16 5 24 R 24 reais 3. Alternativa b. (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40) (8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52) Termos comuns: 16, 28 e 40. 4. Alternativa a. 60  6  00 10 60  7 4 8

17


60  8 4 7

Paula: 1 3 16 1 0 3 32 1 2 3 64 5 5 16 1 0 1 128 5 5 144 R 144 pontos

60  11 5 5

Marcos: 1 3 16 1 0 3 32 1 4 3 64 5 5 16 1 0 1 256 5 5 272 R 272 pontos

A única divisão exata é 60 : 6. 5. Alternativa c. 62 143 5 5 36 164 5 5 100 510

Brasil real, páginas 98 e 99. 6. Alternativa b. (43 1 42 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 32 1 33) 5 5 (64 1 16 1 4) : 7 1 2 3 (3 1 9 1 27) 5 5 84 : 7 1 2 3 39 5 5 12 1 78 5 90 7. Alternativa d. Eu: 1 320 figurinhas Meu primo: 1 320 : 2 5 660 R 660 figurinhas Minha irmã: 660 3 3 5 1 980 R 1 980 figurinhas

1. a) 3 estados: Rio Grande do Sul, Santa Catarina e Amapá. b) Santa Catarina e Rio Grande do Sul. c) São Paulo, Minas Gerais e Rio de Janeiro. d) Entre 4 701 e 10 900. 2. a) • região Norte • região Nordeste • região Norte • região Sudeste b) 449 1 466 1 1 793 1 1 668 1 1 188 5 5 5 564 R 5 564 municípios c) 1 371 236 1 3 349 405 1 4 919 940 1 1 21 509 157 1 8 708 546 5 5 39 858 284 R 39 859 284 veículos d) 191 094 1 85 284 1 116 436 1 14 758 1 1 32 982 5 440 554 R 440 554 pessoas

8. Alternativa b. 3 3 5 3 10 5 15 3 10 5 150 R 150 mililitros Logo, são necessários 2 frascos do medicamento. 9. Alternativa d. 2 1 3 5 5 5 8 5 11 5 14 5 17 5 20 5 23 5 26 5 29 5 32 10. Alternativa a. 1ª) 838 1 162 5 1 000 2ª) 160 3 15 5 2 400 3ª) 3 600 : 2 5 1 800 4ª) 1 864 2 17 5 1 847 11. Alternativa d. Fernanda: 1 3 16 1 1 3 32 1 3 3 64 5 5 16 1 32 1 192 5 240 R 240 pontos Rita: 1 3 16 1 1 3 32 1 1 3 64 5 5 16 1 32 1 64 5 112 R 112 pontos

18

3. A região Nordeste tem 9 estados. O 9 é um quadrado perfeito porque 9 5 32. A região Norte tem 7 estados. O 7 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 7. A região Centro-Oeste e a região Sudeste têm 4 estados cada uma. O 4 é um quadrado perfeito porque 4 5 22. A região Sul tem 3 estados. O 3 não é um quadrado perfeito porque nenhum número elevado ao quadrado dá 3. Assim, somente nas regiões Nordeste, Centro-Oeste e Sudeste o número de estados é um quadrado perfeito.


Divisibilidade: divisores e múltiplos 9 – Noção de divisibilidade

3.

Explorando, página 102. 1. a) b) c) d)

e) f) g) h)

36 ; 2 5 18 36 ; 3 5 12 36 ; 4 5 9 36 ; 6 5 6

36 ; 12 5 3 36 ; 18 5 2 36 ; 36 5 1 36 ; 1 5 36

2. a) 23 ; 1 5 23 b) 23 ; 23 5 1 c) Nenhum.

b) 900 20 100 45 0 (sim)

e) 900 40 100 22 20 (não)

c) 900 25 150 36 00 (sim)

f) 900 60 300 15 00 (sim)

a) 1 305 3 10 435 15 0 (sim)

4. 1 e 13. 5. 1, 3, 5 e 15. 1, 5 e 25. 1 e 19. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30.

b) 1 1 3 1 0 1 5 5 9, e 9 é divisível por 3. 5. 297

6. 20, 18, 264 e 1 000. Os números pares são divisíveis por 2. 7. 1 Exercícios, página 104. 1. a) 109 3 19 36 1 (não)

c) 202 11 92 18 4 (não)

b) 119 9 29 13 2 (não)

d) 310 5 10 62 0 (sim)

2. 37 9 1 4 (não)

45 9 0 5 (sim)

62 9 8 6 (não)

72 9 0 8 (sim)

81 9 0 9 (sim)

d) 900 30 00 30 (sim)

4.

3. 1, 2, 3, 4, 6 e 12.

a) b) c) d)

a) 900 15 00 60 (sim)

54 9 0 6 (sim)

79 9 7 8 (não)

93 9 03 10 (não)

99 9 09 11 0 (sim)

6. 555 7. a)

719 23 029 31 6

b)

706 13 56 54 4

Para ser divisível, o resto deve ser 0, como o resto é 6, então, este é o menor número que deve ser subtraído.

Se sobra 4 para se ter 13 que é o divisor e assim obter resto 0 (para ser divisível), o menor número natural que se deve adicionar é 9.

8. 3 9. Números entre 40 e 50: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49. O único número que é divisível por 6 e 7 ao mesmo tempo é 42. 10. De 10 a 15, o número 60 é divisível por 10, 12 e 15; então, temos: 60 10 0 6

6 grupos de 10 equipes

60 12 0 5

5 grupos de 12 equipes

19


60 15 0 4

4 grupos de 15 equipes

10 – Critérios de divisibilidade Exercícios, página 110.

Chegou a sua vez, página 105. 1. a) 42 5 2 8 b) 43 5 3 8 c) 44 5 4 8

1. a) 259, 295, 529, 592, 925, 952 b) Para ser divisível por 2, o número deve ser par, então são divisíveis por 2 os números 592 e 952. c) Para ser divisível por 3, o número deve ter por soma de seus algarismos um número divisível por 3. Como todos os números são formados por 2, 5 e 9, e 2 1 5 1 9 5 16, que não é divisível por 3, então nenhum deles é divisível por 3.

d) 45 5 0 9

e) 46 5 1 9

2.

2. Quociente

Resto

32

6

32

3

32

12

3. 56 373 236 47 2 238 09 17 7 08 2 093      1 888 205

a) Sim, porque 12 756 é um número par. b) Sim, porque 1 1 2 1 7 1 5 1 6 5 21 é divisível por 3. c) Sim, porque: 56 4 16 14 0 d) Não, porque não termina em 0 ou 5. e) Sim, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 756 8 f) Não, porque: 36 94 4 3. a) 5 1 0 1 0 1 1 5 6, não é divisível por 9. b) 5 1 n 1 0 1 1 5 n 1 6 n 1 6 deve ser um número divisível por 9 e o menor possível; logo, n 1 6 5 9; então, n 5 3.

Desafio, página 105. Pelas informações dadas, o total de exercícios é um número: a) que está entre 50 e 100; b) divisível por 7, porque se contar de 7 em 7 não sobra resto; c) ímpar, porque contando de 2 em 2 sobra 1; d) não é divisível por 3, porque sobra 1 quando contado de 3 em 3. Os números que atendem às informações acima são 77 e 91, mas como 77 ao ser dividido por 5 deixa resto 2; então, o número de exercícios que João resolveu é 91, porque: 77 5 27 15

2 20

91 5 41 18

1

4. a) b)

• 3? Sim, porque 4 1 0 1 3 1 0 1 2 1 0 5 9. • 4? Sim, porque 20 é divisível por 4. • 8? Não, porque 020 não é divisível por 8. O menor número formado pelos três últimos algarismos que é divisível por 8 é 24; logo, devemos substituir n por 4.

5. a) 3 000 e 3 300 b) 3 000 6. Números entre 50 e 60: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 e 59. Divisível por 2: 52, 54, 56 e 58. Divisível por 3: 5 1 1 5 6; 5 1 4 5 9; 5 1 7 5 12. O número procurado é 54, porque, para ser divisível por 6, basta ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.


7.

6. Sim. a) Para ser divisível por 2, d pode ser 0, 2, 4, 6 ou 8, mas como deve também ser divisível por 3, 3 1 2 1 5 1 d 5 10 1 d, deve ser o menor número possível divisível por 3, então d 5 2. b) Para ser divisível por 9: 7 1 0 1 b 1 1 3 5 10 1 b deve ser o menor número possível divisível por 9, então b 5 8.

7. a) 22 R 1 3 22; 2 3 11 b) 60 R 1 3 60; 2 3 30; 3 3 20; 4 3 15; 5 3 12; 6 3 10 c) 17 R 1 3 17 8. a) 22 R 1, 2, 11 e 22 b) 60 R 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 c) 17 R 1 e 17

Brasil real, página 111. 1. a) Várias respostas possíveis; por exemplo: 1902, 1905, 1908, 1971, 2001. b) 1908 e 1980. 2.

9. Os fatores de um número são também seus divisores. Exercícios, páginas 115 e 116. 1.

a) Divisíveis por 2: 250, 1 050, 340, 350, 188, 60, 90 e 202. Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo: 1 050, 60 e 90. b) Seis. c) Divisíveis por 3: 1 050, 60, 90 e 171. Divisíveis por 4: 340, 188 e 60. Divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo: 60. d) 90 e 171. Chegou a sua vez!, página 112.

3.

12 1 5 1 29 1 13 1 11 70 5 5 14 R 14 reais 5 5 a) Sendo 4 bimestres e 6 a média de aprovação, a soma mínima para aprovação é: 4 ? 6 5 24 b) 24 2 (5 1 8 1 8) 5 24 2 21 5 3

11 – D  ivisores, fatores e múltiplos de um número natural Explorando, página 113. 1. 1 e 10; 2 e 5; isto é, 1, 2, 5 e 10. 2. 1, 2, 5 e 10. 3. Os fatores de um número são também seus divisores. 4. 1 3 20 5 20; 2 3 10 5 20; 4 3 5 5 20 5. 1, 2, 4, 5, 10 e 20.

Não. c) 26 5 1 3 26 26 5 2 3 13 Sim. 48 5 1 3 48 48 5 2 3 24 48 5 3 3 16 48 5 4 3 12 d) 48 5 6 3 8

a)

Sim. 92 5 1 3 92 92 5 2 3 46 92 5 4 3 23

Sim. 72 5 1 3 72 72 5 2 3 36 72 5 3 3 24 72 5 4 3 18 72 5 6 3 12 72 5 8 3 9 Não. 86 5 1 3 86 86 5 2 3 43

2.

13 1 23 1 22 1 27 1 22 1 25 132 5 5 22 1. 6 6 2.

a) b)

b) Não. c) Não. d) Sim.

3. a) b) c) d) e)

2, porque 14 5 2 3 7 2, 3, 6 e 9, porque 18 5 2 3 9 e 18 5 3 3 6 5, porque 25 5 5 3 5 3, 5 e 9, porque 45 5 3 3 15 e 45 5 5 3 9 2, 3, 6 e 9, porque 54 5 2 3 27, 54 5 3 3 18 e 54 5 6 3 9 f) 2, 5 e 10, porque 70 5 2 3 35, 70 5 5 3 14 e 70 5 10 3 7 4. Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15 Divisores de 25: 1, 5 e 25 Divisores de 15 e também de 25: 1 e 5 5. Divisores de 14: 1, 2, 7 e 14. Divisores de 35: 1, 5, 7 e 35. a) Os divisores de 14 que não são divisores de 35: 2 e 14 b) Os divisores de 35 que não são divisores de 14: 5 e 35 c) Os divisores de 14 que são também divisores de 35: 1 e 7

21


Por 2, porque 5 148 é par. Por 3, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18. Por 4, porque 48 é divisível por 4. Por 6, porque é divisível por 2 e por 3. Por 9, porque 5 1 1 1 4 1 8 5 18.

6. Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60. Maior divisor de 60 sem ser 60 é 30. 7. 0, 15, 30, 45, 60, 75 8. 300 13 40 23 1

2. Resposta em aberto.

Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, tirando 1, que é o resto, de 300, o número obtido será o maior múltiplo de 13 menor que 300. 300 2 1 5 299

12 – Números primos Exercícios, página 120 1. a) 15 b) 5 casas c) Século 21, 21 não é um número primo.

9. 100 13 09 7 Para ser múltiplo, a divisão deve ser exata. Então, adicionando a 100 o que falta para o resto ser 13 (13 2 9 5 4), obtemos o menor múltiplo de 13 maior que 100. 100 1 4 5 104 10. a) b) c) d) e) f)

202 36 0 0e4 4 Números naturais menores que 500 e com 3 algarismos iguais: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2: 222 e 444. Múltiplos de 3: 111, 222, 333 e 444. Múltiplos de 2 e 3: 222 e 444.

11. Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 e 30. Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25 e 30. Múltiplos comuns de 3 e 5: 0, 15 e 30. 12. 15 13. a) b) c)

2008 e 2020 três: 1992, 1996 e 2000 Década de 1980: 1984, 1988 Década de 1990: 1992, 1996 e 2000 Desafio!, páginas 116 e 117.

1.

1

2

5

3

4

1

6

4

7

8

3

0

2

2

5

5

8

9

22

3. a) 26 1 3 5 5 64 1 3 5 67 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, nem por 7, e prosseguindo as divisões: 67 11 1 6 R quociente menor que o divisor b) 42 1 52 5 5 16 1 25 5 41 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 41 7 6 5

R quociente menor que o divisor

c) 472 2 372 2 272 5 5 2 209 2 1 369 2 529 5 5 840 2 529 5 311 R é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 311 7 31 44 3 311 13 51 23 12

311 11 91 28 3 311 17 141 18 05

311 19 121 16 R quociente menor que o divisor 07

6 5

2. Não, pois é divisível por 7.

2 0

4. 47 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e: 47 7 R quociente menor que o divisor 5 6


51 não é primo, é divisível por 3. 69 não é primo, é divisível por 3. 83 é primo porque não é divisível nem por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 83 11 83 7 R quociente menor 7 7 13 11 que o divisor

6. O “segredo” é que o número de cima é igual à soma dos dois números abaixo dele: 63 5 33 1 30; 47 5 30 1 17; 38 5 17 1 21 a) a 5 63 1 47 5 110 b 5 47 1 38 5 85 c 5 110 1 85 5 195 b) Não, pois 195 é divisível por 5. Brasil real, página 121.

91 não é primo, é divisível por 7.

1. Nenhum deles é primo. O 15 é divisível por 5, o 36 e o 1 532 são pares.

91 7 21 13 0 97 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 97 7 97 11 27 13 9 8 R quociente menor 6 que o divisor 39 não é primo, é divisível por 3. 24 não é primo, é divisível por 2. 99 não é primo, é divisível por 3. 5. a) 131 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 131 7 131 11 61 18 21 11 R quociente igual 5 0 ao divisor b) 253 não é primo porque é divisível por 11: 253 7 253 11 43 36 33 23 1 0 c) 211 é primo porque não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5, e prosseguindo as divisões: 211 7 211 11 01 30 101 19 2 211 13 81 16 03

211 17 41 12 R quociente menor 7 que o divisor d) 391 não é primo porque é divisível por 17: 391 7 391 11 41 55 61 35 7 6 391 13 01 30

391 17 51 23 0

2. Sim (7 1 3 1 6 1 7 5 23), 23 é primo porque só tem dois divisores naturais: o 1 e ele mesmo. 3. a) 23, 31, 131, 5 e 13. b) Não, pois 299 (que é o total) é múltiplo de 13 (299 ; 13 5 23). 4. Um, o 17.

13 – Decomposição em fatores primos Exercícios, página 123. 1. a) 2 3 23 5 46 b) 5 3 17 5 85

c) 3 3 19 5 57 d) 7 3 11 5 77

2. b) 32 3 5 3 17 c) 24 3 32 3 11 d) 72 3 11 Alternativas b, c e d. 3. Não; 3 3 22 3 11 4. 112 56 28 14 7 1

2 2 2 2 7

112 5 24 3 7

5. (152 1 255) ; (32 1 1) 5 48 5 (225 1 255) ; (9 1 1) 5 24 5 480 ; 10 5 48 12 6 3 1

2 2 2 2 3

48 5 24 3 3

6. a) 24 3 3

23


b) 50 2 25 2 5 5 1 c)

d)

80 40 20 10 5 1

50 5 2 3 52

2 80 5 24 3 5 2 2 2 5

99 3 99 5 32 3 11 33 3 11 11 1

e) 108 54 27 9 3 1

2 108 5 22 3 33 2 3 3 3

f) 132 66 33 11 1

2 132 5 22 3 3 3 11 2 3 11

g) 210 105 35 7 1

2 210 5 2 3 3 3 5 3 7 3 5 7

h) 180 90 45 15 5 1

2 180 5 22 3 32 3 5 2 3 3 5

i) 234 117 39 13 1

2 234 5 2 3 32 3 13 3 3 13

7. 23 3 53 8.

24

1 200 600 300 150 75 25 5 1

2 1 200 5 24 3 3 3 52 2 a 5 4, b 5 1, c 5 2 2 a1b1c54111257 2

9. 240 2 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 10. 1 620 810 405 135 45 15 5 1

240 5 24 3 3 3 5 x54

2 1 620 5 22 3 34 3 5 2 n 5 34 3 3

3 3 5

11. a) b) c)

22 3 5 3 112 5 5 4 3 5 3 121 5 5 20 3 121 5 2 420 22 3 7 3 13 5 5 4 3 7 3 13 5 5 28 3 13 5 364 33 3 17 5 5 27 3 17 5 459 Brasil real, página 124.

75 3 25 5 5 5 1

1.

75 5 3 3 52

2. a) América Latina b) A coluna vermelha indica a expectativa de vida de 1965 a 1970, e a coluna azul indica a expectativa de vida de 2000 a 2005. c) África d) 44 2 44 5 22 3 11 22 2 11 11 1

3 5 5

49 7 7 7 1

49 5 72

54 27 9 3 1

54 5 2 3 33

2 3 3 3


70 2 35 5 7 7 1

70 5 2 3 5 3 7

15 000 7 500 3 750 1 875 625 125 25 5 1

67 5 1 3 67 (número primo) 59 5 1 3 59 (número primo) 71 5 1 3 71 (número primo)

76 2 38 2 19 19 1

76 5 22 3 19

56 28 14 7 1

56 5 23 3 7

2 2 2 7

b) Resposta possível: As principais causas dessa ameaça são a caça, o comércio clandestino, no qual as aves são capturadas enquanto filhotes, ainda no ninho, e a degradação em seu hábitat natural.

65 5 5 3 13

Exercícios, página 127. 1. 54, 72 2 R fator comum 27, 36 2 27, 18 2 27, 9 3 R fator comum 9, 3 3 R fator comum 3, 1 3 1, 1

a)

15 000 5 23 3 3 3 54

14 – Máximo divisor comum, mínimo múltiplo comum

65 5 13 13 1 3.

2 2 2 3 5 5 5 5

1 580 790 395 79 1

2 2 5 79

1 580 5 22 3 5 3 79

650 325 65 13 1

2 5 5 13

650 5 2 3 52 3 13

4 000 2 000 1 000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 2 2 5 5 5

4 000 5 2 3 5

20 2 10 2 5 5 1

m.d.c. (54, 72) 5 2 3 32 5 18 2. a)

5

3

50, 75 2 25, 75 3 25, 25 5 5, 5 5 1, 1

R fator comum R fator comum

m.d.c. (50, 75) 5 52 5 25

b)

112, 70 2 R fator comum 56, 35 2 28, 35 2 14, 35 2 7, 35 5

20 5 22 3 5

7,

7 7 R fator comum

1, 1 m.d.c. (112, 70) 5 2 ? 7 5 14

25


c) 150, 250 75, 125 25, 125 5, 25 1, 5 1, 1

m.d.c. (150, 250) 5 2 ? 5 5 50

d)

90, 225 2 45, 225 3 R fator comum 15, 75 3 R fator comum 5, 25 5 R fator comum 1, 5 5 1, 1 m.d.c. (90, 225) 5 32 ? 5 5 45

e)

56, 28, 14, 7, 7, 7, 1,

f)

84, 42, 21, 21, 7, 7, 1,

210 105 105 105 35 7 1

2 R fator comum 2 2 3 5 7 R fator comum

504, 252, 126, 63, 21, 7, 1, 1,

588 294 147 147 49 49 7 1

2 2 2 3 3 7 7

R fator comum

ExercĂ­cios, pĂĄgina 128. 1.

b)

144, 216, 288 2 R fator comum 72, 108, 144 2 R fator comum 36, 54, 72 2 R fator comum 18, 27, 36 2 9, 27, 18 2 9, 27, 9 3 R fator comum 3, 9, 3 3 R fator comum 1, 3, 1 3 1, 1 1 m.d.c. (144, 216, 288) 5 23 ? 32 5 72

R fator comum

2 ? 32 5 18

R fator comum

39, 65, 91 3 13, 65, 91 5 13, 13, 91 7 13, 13, 13 13 R fator comum 1, 1, 1 m.d.c. (39, 65, 91) 5 13

R fator comum R fator comum R fator comum R fator comum

90, 126 2 R fator comum 45, 63 3 R fator comum 15, 21 3 R fator comum 5, 7 5 1, 7 7 1, 1

R fator comum R fator comum

g)

4.

m.d.c. (56, 84, 210) 5 2 ? 7 5 14

m.d.c. (504, 588) 5 22 ? 3 ? 7 5 84

h)

96, 144, 240 2 48, 72, 120 2 24, 36, 60 2 12, 18, 30 2 6, 9, 15 2 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 N 5 24 ? 3 5 48

a)

3.

2

26

2 R fator comum 3 5 R fator comum 5 R fator comum 5

c)

30, 75 2 15, 75 3 5, 25 5 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (30, 75) 5 2 ? 3 ? 52 5 150 18, 60 2 9, 30 2 9, 15 3 3, 5 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (18, 60) 5 22 ? 32 ? 5 5 180 66, 102 2 33, 51 3 11, 17 11 1, 17 17 1, 1 m.m.c. (66, 102) 5 2 ? 3 ? 11 ? 17 5 1 122

d)

36, 54, 90 2 18, 27, 45 2 9, 27, 45 3 3, 9, 15 3 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1

m.m.c. (36, 54, 90) 5 22 ? 33 ? 5 5 540


48, 20, 40, 36 2 24, 10, 20, 18 2 12, 5, 10, 9 2 6, 5, 5, 9 2 3, 5, 5, 9 3 1, 5, 5, 3 3 1, 5, 5, 1 5 1, 1, 1, 1

7.

8.

8, 10 2 4, 5 2 2, 5 2 1, 5 5 1, 1

12, 6, 3, 3, 1, 1,

15, 24 2 15, 12 2 15, 6 2 15, 3 3 5, 1 5 1, 1

m.m.c. (12, 15, 24) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 múltiplos comuns de 12, 15 e 24: { 120, 240, 360, ...} 17 17 17 127 247 367 Como a quantidade de figurinhas está entre 200 e 300, só pode ser 247. 2 1 4 1 7 5 13

m.m.c. (8, 10) 5 23 ? 5 5 80

3. 12, 20 2 6, 10 2 3, 5 3 1, 5 5 1, 1

Brasil real, página 129.

m.m.c. (12, 20) 5 22 ? 3 ? 5 5 60 4. 15, 15, 15, 15, 5, 1, 1,

5, 10 2 5, 5 2 5, 5 5 1, 1

m.m.c. (4, 5, 10) 5 22 ? 5 5 20

m.m.c. (48, 20, 40, 36) 5 24 ? 32 ? 5 5 720 2.

4, 2, 1, 1,

25, 40 2 25, 20 2 25, 10 2 25, 5 3 25, 5 5 5, 1 5 1, 1

a) Números destacados: 165, 13, 2 000, 10, 20, 25, 45. 6 são divisíveis por 5, porque terminam em zero ou 5. b) 165 3 55 5 11 11 1 1 Divisores de 165 R 1, 3, 5 e 11.

m.m.c. (15, 25, 40) 5 2 ? 3 ? 5 5 600 600 minutos 5 10 horas 3

2

5. 20, 24, 30 2 10, 12, 15 2 5, 6, 15 2 5, 3, 15 3 5, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (20, 24, 30) 5 23 ? 3 ? 5 5 120 6. 15, 18 2 15, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1 m.m.c. (15, 18) 5 2 ? 32 ? 5 5 90 Os ônibus partirão juntos depois de 90 minutos, ou seja, 1 hora e 30 minutos, depois das 8 horas, ou seja, às 9 horas e 30 minutos.

c) (I) 80, 40, 20, 10, 5, 1, 1,

50 25 25 25 25 5 1

2 R fator comum 2 2 2 5 R fator comum 5

m.d.c. (80, 50) 5 2 ? 5 5 10 80 m (II) 10

20

30

40

50

60

70

80

10 20 50 m

30 40 50

Editoria de arte

e)

9 1 6 1 9 1 6 5 30 30 2 4 5 26 mudas  Contamos 4 árvores 2 vezes.

27


Retomando o que aprendeu, página 130. 1. múltiplos de 2 e 3 ao mesmo tempo 5 5 múltiplos de 6. M6 5 {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...} 8 casas: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48 2. 12c5 Divisível por 3 ⇒ 1 1 2 1 c 1 5 R deve ser múltiplo de 3 1121c15581c c pode ser: 1 (8 1 1 5 9) 4 (8 1 4 5 12) 7 (8 1 7 5 15) 1 1 4 1 7 5 12 3. 90, 135 2 45, 135 3 15, 45 3 5, 15 3 5, 5 5 1, 1 m.m.c. (90, 135) 5 270 múltiplos de 270 5 {0, 270, 540, 810, 1 080, ...} 3 algarismos: 270, 540 e 810. 4. Alternativa a. 2, 3, 5 2 1, 3, 5 3 1, 1, 5 5 1, 1, 1 m.m.c. (2, 3, 5) 5 30 Como sobra 1, possíveis resultados: {31, 61, 91, 121, ...} Como é múltiplo de 7: 91 exercícios 5. Alternativa d. 1 800 900 450 225 75 25 5 1

2 2 2 3 3 5 5

1 800 5 23 ? 32 ? 52 1 800 5 2a ? 3b ? c2 Temos: a 5 3 b52 c55 Portanto: a 1 b 1 c 5 3 1 2 1 5 5 10

28

6. Alternativa d. N 5 488a9b 488a9b é múltiplo de 5, portanto b 5 0 ou b 5 5. 488a9b é múltiplo de 3, portanto 4 1 8 1 8 1 1 a 1 9 1 b deve ser múltiplo de 3.  29 1 a 1 b deve ser múltiplo de 3. Possibilidades: b

a

a1b

0

1

1

0

4

4

0

7

7

5

2

7

5

5

10

5

8

13

7. Alternativa e. n.o exibido: 4, 8, 12, 16, 20, 24 Total de bolas: 4 1 8 1 12 1 16 1 20 1 24 5 84 8. Como (213466917 2 1) e (230402457 2 1) são primos, o m.m.c. (a) será igual ao produto dos dois e o m.d.c. (b) será igual a 1, portanto: ba 5 1a 5 1 9. Alternativa b. 6, 15 2 3, 15 3 1, 5 5 1, 1 m.m.c. (6, 15) 5 2 ? 3 ? 5 5 30 30 55 linha A R 6 10. Alternativa c. 18, 48 2 9, 24 2 9, 12 2 9, 6 2 9, 3 3 3, 1 3 1, 1 m.m.c. (18, 48) 5 24 ? 32 5 144


Geometria: As ideias intuitivas 15 – Ponto, reta e plano Chegou a sua vez!, página 134.

3.

a) BC ou BD ou AC b) AB ou AC c) AB ou CD ou BC

2. Respostas em aberto. 5.

a) AB e MN b) BN , BC ou CN c) AB e AM ou AC e AB

Exercícios, página 136. 1. c; c; a; b; c; b 2. Plana.

6. 10 segmentos.

3.

7. Nas figuras 3, 6 e 7. b) Não plana.

a) Plana.

c) 4

4.

1. Respostas em aberto. 3. Respostas em aberto.

b) 7

a) 8

8. c) V d) V

a) V b) F

Desafio!, página 137. 1. a, b, d, f e h.

Desafio!, página 144.

Editoria de arte

2. f

16 – A reta Exercícios, página 140. 1. Infinitas retas. Exercícios, página 146.

2. Uma única reta. 3. Inclinada.

1. a) 6 unidades.

4. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes.

d) Paralelas. e) Concorrentes.

a) Vertical.

b) Concorrentes.

5.

Desafio!, página 141.

b) 2 unidades.

2. a) 4u b) 2u c) 1u d) 6u e) 6u f) 10u

1. Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli, na rua Comandante Marcondes Salgado.

3. 38 quarteirões.

2. Paralelas.

17 – Giros e ângulos

3. Não.

4. Figuras a, d, e, h

Explorando, página 147. Exercícios, páginas 143 e 144. 1. Seis: PA, PB, PC, PD, PE e PF .

1. Em todas elas, há a ideia de volta ou giro em torno de algo.

2. PA, PB, PC, PD, PE, PF, EF; 7 segmentos.

2. a e C; b e A; c e D; d e B.

29


b) Tanto em Estação Central do Brasil (nos postes, por exemplo) como em São Paulo (nos prédios e estruturas, por exemplo) aparecem representações de retas paralelas e de retas concorrentes. c) Estruturas com triângulos, telhados, janelas dos prédios, por exemplo. d) Estação Central do Brasil: triângulos, quadriláteros e pentágonos. A Lua: nenhum; São Paulo: quadriláteros e triângulos.

Exercícios, página 149. 1. Alternativa a. 2. A 5 908; B 5 458; C 5 1308; D 5 958

18 – Polígonos Explorando, páginas 150 e 151. 1. A, simples; B, simples; C, simples; D, não simples, E não simples. 2. A, D; B, C, E. 3. Quando a origem da linha coincide com a sua extremidade, é fechada; quando não coincide, é aberta.

19 – Triângulos e quadriláteros Chegou a sua vez!, página 157. Editoria de arte

4. B, C. 5. Resposta em aberto. 6. Quadro B.

Sim, há dois lados paralelos.

Não há lados paralelos.

Sim, os lados opostos são paralelos.

Exercícios, páginas 153 e 154. 1. Sim; é uma figura geométrica plana limitada por uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta. 2. Porque ela não é limitada por uma linha formada por segmentos de reta. 3.

Exercícios, páginas 158 e 159. 1. 1: escaleno; 2: equilátero; 3: isósceles. 2. a) 1 e 3

3. Triângulo equilátero. 4.

a) Sim. b) Quadrilátero.

a) Triângulo isósceles. b) Triângulo escaleno.

4. Sim; polígono não convexo.

5.

5.

a) 6 triângulos.

a) Octógono. b) Quadrilátero.

b) 6 (A, C, D, E, G, J)

8. Sim.

c) 1 (C)

9. Como os polígonos são regulares, todos os lados têm a mesma medida.

5 cm

5 3 6 5 30  30 unidades

3 3 8 5 24  24 unidades

d) 2 (A, J) 7.

3 cm

1. a) Não, em A Lua não temos nenhum deles.

Editoria de arte

Brasil real, páginas 154 e 155.

B

A D

C E H

F

G I

J

Editoria de arte

a) 4 (B, F, H, I)

7. Triângulo.

Editoria de arte

b) Equilátero.

6.

6. 6 lados; hexágono.

30

b) 2 e 4


8.

Brasil real, páginas 160 e 161. 1.

Editoria de arte

a) Alagoas e Sergipe. b) Maranhão, Piauí, Rio Grande do Norte, Paraíba e Pernambuco. c) Pentágono. d) 8 lados; octógono. e) Resposta em aberto. 2. a) Retângulo: espera-se que os alunos, pelo menos, reconheçam que um retângulo é um polígono de 4 lados (quadrilátero) com 4 ângulos internos retos (que medem 90o). Outras características ainda podem ser citadas: é um polígono convexo, é um paralelogramo etc. Losango: quadrilátero, paralelogramo, os quatro lados têm mesma medida. b) 1: Amazonas 2: Pará 3: Amapá c) Resposta em aberto.

Desafio!, página 160. A

L

K

B

C

I

D

H

F

Editoria de arte

M J

E

Chegou a sua vez!, página 162.

G

São 20 triângulos, a saber: 2 triângulos grandes de lados G1: AE , EI e IA; G2: CG, GK e KC.

1.

2. Resposta pessoal. 3. Editoria de arte

12 triângulos pequenos de lados: P1: AB , BL e LA P2: BC , CD e DB P3: DE , EF e FD P4: FG , GH e HF P5: HI , IJ e JH P6: JK , KL e LJ P7: BD , DM , e MB P8: DF , FM e MD P9: FH , HM e MF P10: HJ , JM e MH P11: JL , LM e MJ P12: LB , BM e ML

Editoria de arte

6 triângulos médios de lados: M1: AD , DJ e JA M2: BE , EH e HB M3: CF , FL e LC M4: DG , GJ e JD M5: FI , IL e LF M6: HK , KB e BH

4.

5. Há várias possibilidades. 6. Resposta em aberto.

31


A forma fracionária dos números racionais 20 – A ideia de fração

9. c, b, d

Explorando, página 165. 1. b) 5

a) 3

Brasil real, páginas 169 e 170. 1.

2. Mesa 1 – comidos 4  4 dos 8 ou 8 sobraram  4 4 dos 8 ou 8

Mesa 2 – comidos 2  2 dos 8 ou 8 sobraram  6 6 dos 8 ou 8

b) 26 estados

Mesa 3 − comidos 5  5 dos 8 ou 8 sobraram  3 3 dos 8 ou 8

c) A região Nordeste é composta de 9 9 estados, então a fração é . 26 d) A região Sul é composta de 3 estados, 3 então a fração é . 26 e) A região Norte é composta de 7 estados, e a região Nordeste, de 9, então juntas têm 16 estados, portanto mais que a metade dos estados brasileiros (26).

Mesa 3. Exercícios, página 168. 1. a, b, d, e, f, h, i 2. 1 a) 4 3. a) 7 ; 1 8 8 b) 3 ; 7 10 10 4.

32

2. 1 b) 10 7 5 ; 12 12 1 5 d) ; 6 6

6.

7 12

7.

5 12

8.

17 30

b)

a) 10 partes b)

5 10

c) Resposta em aberto.

c)

3.

a) 22 carros deram a largada, e 5 carros não completaram a corrida. Então: 22  5  17  17 carros completaram a corrida. 17 é a fração dos participantes Logo, 22 dessa corrida que completaram o circuito.

b) Nesse período, 6 pilotos brasileiros venceram o GP Brasil de F1, em Interlagos, de 24 corridas realizadas. 6 Assim, a fração correspondente é . 24

1 8

5. 3 a) 7

a) Norte: Acre, Amazonas, Roraima, Rondônia, Pará, Amapá e Tocantins Sudeste: Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro e São Paulo Sul: Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul Centro-Oeste: Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Distrito Federal Nordeste: Maranhão, Piauí, Ceará, Rio Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergipe e Bahia

6 7


b) 60 questões

21 – Resolvendo problemas que envolvem frações

c) 30 questões d) total de questões: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60  5  12  12 5 questões

Brasil real, páginas 172 e 173. 1. a) arremessos: 60 5 corresponde a 60 5 1 corresponde a 60  5  12 5 3 corresponde a 3  12  36  36 5 arremessos

e) total de questões: 60

acertou: 60  20  40 40 fração de acerto: 60 24 f) 60

b) Se acertou 60 arremessos e 36 foram de 3 pontos, então acertou:

60  36  24  24 arremessos de 2 pontos Exercícios, páginas 173 e 174.

c) 3  36 1 2  24 

 108  48  156  156 pontos

12 30 b) No primeiro dia foram 30 testes: a)

4. a)

9 corresponde a 36 9 1 corresponde a 36  9 = 4  4 alunos 9

3.

1. Número de alunos: 36

2. 40 a) 670

errou: 20

5 corresponde a 30 5 1 corresponde a 30  5  6 5 3 corresponde a 3  6  18  18 testes 5 No segundo dia foram 40 testes: 8 corresponde a 40 8 1 corresponde a 40  8  5 8 5 corresponde a 5  5  25  25 testes 8 Na segunda fase este candidato acertou: 18  25  43  43 testes

2. a) 1 litro  1 000 mililitros

3. 4.

Número de questões

Área do conhecimento

14

Língua Portuguesa

6

Língua Estrangeira

6

Geografia

6

História

10

Matemática

6

Física

6

Química

6

Biologia

5 corresponde a 1 000 5 1 corresponde a 1 000  5  200  5  200 mililitros 250 b) 1000 c) 500

1 corresponde a 16 3 3 corresponde a 3  16  48  48 cocos 3 6 corresponde a 24 6 1 corresponde a 24  6  4  4 faltas 6 Compareceram: 24  4  20  20 candidatos

5. 3 corresponde a 42 a) 3 1 corresponde a 42  3  14  14 alunos 3

33


b) 42  14  28  28 alunos 6.

1 corresponde a 75 6 6 corresponde a 6  75  450 6 N  450 brinquedos

7. Primeiro colocado:

2 corresponde a 600 2 1 corresponde a 600  2  300  300 reais 2

11.

3 corresponde a 9 8 1 corresponde a 9  3  3 8 8 corresponde a 8  3  24  24 alunos 8 2 corresponde a 12 000 7 1 corresponde a 12 000  2  6 000 7

7 corresponde a 7  6 000  42 000  7  42 000 pessoas

Segundo colocado: 3 corresponde a 600 3 1 corresponde a 600  3  200  200 reais 3

12.

5 corresponde a 120 8

Terceiro colocado:

1 corresponde a 120  5  24 8

600  (300  200) 

 600  500  100  100 reais

8 corresponde a 8  24  192  192 8 candidatos

8. 1a redução: 2 corresponde a 2 048 e 1 024 2 1 corresponde a 2 048  2 = 1 024 e 2 1 024  2  512

9.

34

10.

2a redução: 2 corresponde a 1 024 e 512 2 1 corresponde a 1 024  2  512 e 2 512  2  256 3a redução: 2 corresponde a 512 e 256 2 1 corresponde a 512  2  256 e 2 256  2  128

13.

a)

2 corresponde a 18 2

1 corresponde a 18  2  9  9 2 quadradinhos

b)

3 corresponde a 18 3 1 corresponde a 18  3  6 3

2 corresponde a 2  6  12  12 3 quadradinhos

c)

6 corresponde a 18 6 1 corresponde a 18  6  3 6

5 corresponde a 5  3  15  15 6 quadradinhos

d)

9 corresponde a 18 9 1 corresponde a 18  9  2 9 4 corresponde a 4  2  8  8 9 quadradinhos

Então, n é 3. 4 corresponde a 2 400 000 4 1 corresponde a 2 400 000  4  600 000 4 3 corresponde a 3  600 000  1 800 000  4  1 800 000 reais


10 corresponde a 30 10 1 corresponde a 30  10  3 10 7 corresponde 7  3  21 10

14.

Faltaram: 30 − 21 = 9 → 9 dias 15. 1a loja: 4 corresponde a 300 4 1 corresponde a 300  4  75 4 Gastou: 75  2  77 2a loja e 3a loja: Gastou: 77 Restam: 300  3  77   300  231  69  69 reais

22 – Comparando números fracionários Explorando, páginas 175 e 176. 1. 1 2 3 4 5 a) ; ; ; ; 5 5 5 5 5 b)

1 2 3 4 5     5 5 5 5 5

2. 1 1 1 1 1 1 1 a)       10 8 6 5 4 3 2 2 1  b) 2 partes; 4 2 6 3  c) 6 partes; 10 5 4 8  d) 8 partes; 4 8 3.

1 2 3 4 5     2 4 6 8 10

2. Sim. 3. O metrô. 4. 1 1  a) (V) 3 6 2 1  6 6 1 2  b) (V) 3 6 2 2  6 6 1 3  c) (V) 3 6 2 3  6 6 2 1  d) (F) 3 3 2 3  (F) e) 3 3 1 2  f) (V) 5 10 2 2  10 10 2 3  (F) g) 3 6 4 3  6 6 2 2  h) (V) 3 6 4 2  6 6

23 – Obtendo frações equivalentes Exercícios, página 179. 1.

Exercícios, página 177. 1. a) 2, 3 e 4. b) Os dois comeram a mesma quantidade. 1 1 c) Sara: ; Lara: 4 8 d) • 3; 5 • 2; 3

3

2

2 6 16 8 a) e d) e 7 21 10 5 3 (sim) 2 (sim) 3

b)

4

5 15 8 2 e e) e 9 18 4 1 2 (não) 4 (sim) 7

3

3 21 15 5 c) e f) e 10 70 12 2 7 (sim) 6 (não)

35


2.

3

a)

5 9

7 x 21  e) então: x  21  7  x  3 7 49

5

15

 27

c)

5 8

3

25

 40

37

5

4

11 3

b)

3.

44

4

3

3 9  g) então: x  15  3  x  5 x 15

4. 10 1 10  2 20 10

então: a  5  4  a  20

3

5

x 5  h) então: x  5  5  x = 1 4 20

5 25  4 20 5

Exercícios, páginas 180 e 181.

3 12  5 20

1.

4

2

9 18  10 20

4

3

6. 2

7 14  então: x  9  2  x  18 9 x 2

a)

3

3 9  então: x  11  3  x  33 11 x 3 1 x  então: x  1  4  x  4 8 32

4

7

7 x  d) então: x  7  7  x  49 2 14

2.

2

2 1  10 5

4

2

2

5 irredutível 6

10 5  8 4

5

1 irredutível 3

2 5

20 25

a)

b)

20 4  25 5 5

15 3  3. 20 4

5

4.

a)

105 calculando o m.d.c. (105, 63), temos: 63 105, 35, 35, 7, 1,

63 21 7 7 1

3  fator comum 3 5 7  fator comum

m.d.c. (105, 63)  3  7  21 21

105 5  63 3

7

36

4

4 1  12 3

4

c)

3 irredutível 7

2

5. 7 a) A maior é . 8 3 b) 4 5 20 7 21   6 24 8 24

5

4

5

5 30 então: x  8  6  x  48  8 x 6

4

b)

f)

4

6

 12

5 a  9 36

21


tarde: 6  40  240  240 alunos

b) m.d.c. (63, 105) = 21

21

63 3  105 5

21

m.d.c. (240, 300)  60

240 4  300 5

5.

5

5 1 1 a)  h  60 12 12

5

b)

60 30 15 5 1

2 2 3  fator comum 5  fator comum

m.d.c. (15, 60)  3  5  15 15 1 15 1  h  4 60 4

15

30 c) m.d.c. (30, 60)  30 60

30

b) 8  4  10  22  22 meninos 2 22 11  40 20 2 c) 40  22  18  18 meninas 2 18 9  40 20 2 d) 4  12  16 8

m.d.c. (16, 40)  8

16 2  40 5 8 4

e)

4 1  12 3 4

10 m.d.c. (10, 60)  10 60

d)

10

10 1 1  h  60 6 6

10

45 m.d.c. (45, 60)  15 60 15

e)

45 3 3  h  60 4 4

15

60 f) 60

60

7. a) 8  5  4  12  10  1  40  40 alunos

30

30 1 1   h 60 2 2

15 60 m.d.c. (15, 60) 15, 15, 15, 5, 1,

60

60

60 1  60 1

→1h

60

6. manhã: 10  30  300  300 alunos

Brasil real, páginas 181 e 182. 1. a) Itália: 8 medalhas b) 6 medalhas. 6 3 c)  8 4 6 d) ; essa fração não pode ser 17 simplificada. 2. a) 52a  quinquagésima segunda; 16a  décima sexta 5 1 b) ou 285 57 c) Estados Unidos, China, Rússia e Austrália d) 35  32  27  17  111  111 medalhas

37


e)

6 2 12  g  3  6  g  18  3 g

111 m.d.c. (111, 285)  3 285 3

111 37  285 95 7 44 f) ; essa fração não pode ser 285 simplificada.

6

24 – Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador Exercícios, página 184.

Desafio!, página 183. a 54

12 g

*

24 e d 24

c 12

Editoria de arte

36 b

f 60

60 90

m.d.c. (60, 90)  30 30 60 2 2 2 ∗  → ∗ 90 3 3 3 30 18 2 a → a  2  18  a  36  3 54 18

2

1 2  2 4

2

2 1 e 4 4

b)

m.m.c. (2, 4)  4

1 1 , 6 8 4 1 4  6 24 4 4 3 , 24 24

m.m.c. (6, 8)  24 3

1 3  8 24 3

18 2 36  b  3  18  b  54  3 b

3 5 7 , , m.m.c. (8, 6, 12) = 24 8 6 12 3 4 2 3 9 5 20 7 14    8 24 6 24 12 24 3 4 2 9 20 14 , , 24 24 24

18 4

d)

2 c c24c8  3 12 4 8 2 d  d  2  8  d  16  3 24 8 12 2 24  e  3  12  e  36  3 e 12 20 2 f  f  2  20  f  40  3 60 20

38

1 1 e a) 2 4

c)

3 5 2 1 , , , m.m.c. (4, 18, 9, 6)  36 4 18 9 6 9 2 4 6 3 27  4 36 9

5 10  18 36 2

2 8 1 6   9 36 6 36 4

6

27 10 8 6 , , , 36 36 36 36

3 2 9 11 e) , , , m.m.c. (7, 5, 14, 10)  70 7 5 14 10 14 5 7 10

3 30 2 28 9 45    7 70 5 70 14 70 10

14

30 28 45 77 , , , 70 70 70 70

5

11 77  10 70 7


f)

7 14 9 11 , , , 20 15 10 30 m.m.c. (20, 15, 10, 30)  60 4 6 3

3

6

2

21 56 54 22 , , , 60 60 60 60 Chegou a sua vez!, página 185.

4

1 2 1 4 5 5 8 13 1  20 20 20

2

7 21 14 56 9 54 11 22     20 60 15 60 10 60 30 60

6.

7. 5 a) 9

10 5  6 3

Exercícios, páginas 190 e 191.

b)

a)

8 5 b) 9 8

c) 0

d)

1 2 e) 2 15

4. 6 1 6 2 4 a)     12 6 12 12 12 Editoria de arte

6 12

����� 1 � 2 6 12

4 12

3 1 3 2 5 1  1  8 4 8 8 8 ������ 3

2

8 8 ����� 5 8

Editoria de arte

b)

������

5. 2 1 1 3 4 8 3 11 1  12 12 12

3 5 1 1  4 6 2 9 10 6 1   12 12 12 19 6 13    12 12 12

5 1 1    6 2 3 5 3 2     6 6 6 2 2   0 6 6

1 1 5 3  1  m.m.c. (2, 3, 6, 4)  12 2 3 6 4 6 4 10 9  1   12 12 12 12 2 10 9  1   12 12 12  12  9  3 12 12 12 :3 3 1  12 4 3

c)

m.m.c. (6, 2, 3)  6

d)

9.  1 1 1   1   2  10  1 5   1   1   10 10  1 

m.m.c. (3, 4)  12

m.m.c. (4, 6, 2)  12

7 5 2   7 7 7

3.

2

b)

25 – Adição e subtração

2. 7 3 4 a)   9 9 9

4 9

2

5 6 11 b) 1  12 12 12

b)

8. 1 1 5 1 1 a) m.m.c. (2, 3, 6)  6 2 3 6 3 2 5 10 6 1 6 1 6  6

5 1 Azul: (livros); cor-de-rosa: (DVDs); 8 4 1 amarelo: (CDs) 8

1. 3 3 6 a) 1  7 7 7

m.m.c. (4, 5)  20

m.m.c. (10, 2)  10

6 10 6 4    10 10 10 10

2

4 2  10 5

2

39


10. Sim.

1 4

1

1 b

5

1 1

5 1

a

1 2

2 4

1 5 4

5

5 1

c

Editoria de arte

Desafio!, página 191.

5

1 5 2 5 7 1 ⇒d5 1 ⇒d5 2 4 4 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1a 5 ⇒ a 5  ⇒ a5  ⇒ a5 4 2 2 4 4 4 4 2 5 5 2 3 b1 5 ⇒ b5  ⇒ b5 4 4 4 4 4 7 7 7 4 3 1 1c 5 ⇒ c 5 1 ⇒ c 5  ⇒c5 4 4 4 4 4

26 – A forma mista Exercícios, página 194. 1. a)

3. 1 1 6 1 7 1 51 1 5 1 5 6 6 6 6 6 7 13 35 26 9 3  5  5 5 6 15 30 30 30 10

d

5

d5

21 1 54 5 5

2 3 2 15 2 17 51 5 1 5 3 3 3 3 7 d) 1 10 7 10 7 17 11 5 1 5 10 10 10 10 c) 5

4. 1 1 15 1 12 5 2 3 1 1 5 15 1 1 12 1 5 2 3 1 1 5 27 1 1 5 2 3 3 2 5 27 1 1 5 6 6 5 5 5 5 27 1 5 27 → 27 quilômetros 6 6 6 5. 4 2 7 1 11 1 5 5 3 10 4 2 7 51 1 11 1 1 5 5 3 10 30 24 30 20 21 5 1 1 1 1 5 30 30 30 30 30 5

17 2 55 3 3

Brasil real, página 195. 1 3 3 1 1 3 2 2 1 4 4 4 2 2 1 1 3 , e b) 2 3 4 c) Elas são iguais. 1 d) No bolo de rolo; 4 . 4 e) A maior soma é a do bolo de rolo. a) 4

c)

Editoria de arte

b)

3

3 10

d) 15 1 57 2 2 2.

40

125 25 5 30 6

1 a) 5 4 1 20 1 21 51 5 1 5 4 4 4 4 1 b) 10 3 1 30 1 31 10 1 5 1 5 3 3 3 3

Cuca de manteiga

1 1 3 3 1 13 1 5 3 2 4 4 5

1 1 3 3 1 131 1 5 3 2 4 4

5

4 6 36 9 9 1 1 1 1 5 12 12 12 12 12

5

64 16 1 5 55 12 3 3


Exercícios, página 201.

Bolo de rolo 1 3 1 4 12 12  4 4 2 41

1.

9 1

2 1

2

3

4

5

6

3

6

9

12

15

18

1 1 9 2 2

1 1 9 5 2 3

2.

g) Resposta em aberto.

2. Resposta em aberto.

Desafio!, página 196.

27 – Multiplicação Explorando, página 197. 1 5  → 2,5 quilos ou dois quilos e 2 2 meio

a) 5 

b) 8 3 2,5 5 20 → 20 reais 2. a) 6 metades de maçã b) 5 metades de maçã 5 1 ou 2 2 2

4 

5 

6 

2

3

4

5

6

4

6

8

10

12

3

6

9

12

15

18

8

12

16

20

24

5

10

15

20

25

30

6

12

18

24

30

36

3 12  5 5 4 8 b) 2   9 9 1 1 c) 5   10 2 a) 4 

5  12  10 6 1 e)  10  5 2 2 22  11  f) 3 3 d)

1

3 2 1   3. 4 2 3 2 1 4. 1 1 1 4 4 9 4 1     a) e) 3 7 21 10 8 45

1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , 1. 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Editoria de arte

7 cheios + 7 pela metade → 1 1 em 10 ; 3 2 2 cada bandeja ou

3 

4

1

Chegou a sua vez!, página 196.

c)

1

4 1 8 1 1  4 2

f) Resposta em aberto.

2 

1 3 1 12 1 12 1  4 4 2

1.

Fração irredutível

7 3 21 b)   8 2 16

1

1

f)

2

5

1

1

5 5

2 2

4 9 1   10 8 45

3 5 1   c) g) 45  8  10 5 3 9 4 9 1 3 1 1 2 5 1 2 11 11 8 45 d) h)     10 7 7 4 2 9 1 1 1 2 2 5.  10  4 → 4 quilogramas quilogramas 5 1

6.

7.

1 1 2  2 2 3 5 15 3 3    ou 3 → 3 de xícara de chá 2 2 4 4 4 1

1 5  8 2

1

4 1  5 2 1

d) 3; 5 ou 2 1 2 2

8. 1 12 5 4 

e) 5 amigas

3

 12 

21 63 quilômetros  63 → 63 4

1

41


28 – Divisão Explorando, página 202. 1.

1 4 7 11  1  1 • 4 1 11 7 5 4 13 10  1  1 • • 4 5 10 13 a) 1 b) Os dois fatores são frações nas quais o numerador de uma é igual ao denominador da outra, e vice-versa. •

2. a) 2 vezes

b) 3 vezes

c) 4 vezes

3. a) 2 vezes

b) 4 vezes

c) 6 vezes

Exercícios, páginas 205 e 206. 1. 2.

7 4 , inverso de 4 7 4 15

3. 1 4 a) 5  5   20 4 1 1 2 b) 7  7   14 2 1 1 1 1 1 c) 5    4 4 5 20 1 1 1 1 d) 7    2 2 7 14 5 5 1 5 e) 2    8 8 2 16 1 7 7 1 1 f) 14    10 10 20 14

7. 1 1 10 1 11 1  5 51  2 2 2 2 2 1 11 1 11 2     11  � 11 aventais 2 2 1 2 1 8. 1 1 12 1 13 1  a) 6  6 1  2 2 2 2 2 1 13  1  13  2  13 2 2 1 2 1 1 2 b) 10   10   20 2 1 9. 1 2 1 3 3 a)     4 3 4 2 8 1 4 1 7 7 b)     5 7 5 4 20 1 1 5 5 5 3 1     c) 6 3 5 2 6 2 1 1 7 1 7 4 7     d) 8 4 1 2 8 2 2 1 3 9 3 10 2 e)     5 10 5 3 9 1 3 3 1 1 1 30 3 f)     40 30 1 4 40 4 10.

2

11 4 g) 1  1   4 11 4 11 1   h) 1  11 4 5 9 i) 0   0   0 9 5

2 1 2 26 5. 3  6  3  1  4 � 4 copos 1

155

1

12.

a) b)

1 5 5    2 8 4

b)

1

2 5 1   1  3 4 2

3

1

4

10 9 15 10 8     4 3 8 3 9 4 1 4 4 5     1 5 5 1 1

1

2

1

1 1  0 2 2

1 2  4   8 → 8 pa cot es 2 1 5

1

1 5 4     2 5 8

2

5 1 1  6 2 5 3  1 8  4 6 6 6 3 11. 4 

3 4  465   620 � 620 620 pacotes 4 3

2 4 1  1  3 5 2

4 11 11 4

1 5 4. 4   4   20 → 20 xícaras 5 1

6. 465

42

a)


Brasil real, página 210. 1 7 7 1 1 c)     6 1 6 6 7

a) Quantidade de transplantes 1 000

Desafio!, página 206.

928

900

Sandra: 20 anos 1  20 Virgínia: 20  10 2 1 20   20  10

800

 20  2  18  18 anos

200

792

700 600 500 400

361

1

Editoria de arte

300

100

Maria: 2  18 2  18  36  36 anos Eu: 9

3  36  27  27 anos 4

1999

2003

29 – As frações e a porcentagem

Ano

1  928  232 25% de 928  4 em 2006: 928  232  1 160  1 160 transplantes 61% de 6 200  61  1% de 6 200

61  62  3782 6 200  3 782  2 418  2 418 pacientes

232

1

2004

b) c)

6 200  100  62

30 – Resolução de problemas

Exercícios, páginas 209 e 210. Exercícios, páginas 215 e 216.

1. 8 100 19 b) 19%  100 2. 50%

a) 8% 

43 100 120 d) 120%  100 c) 43% 

3. setor A

1. 1 a) 24 000 000   3 000 000  3 milhões 8 de reais 4 800 000 3 b) 24 000 000   14 400 000  5  14 400 000 reais

4. Alternativa a.

c) 24 000 000  (3 000 000  14 400 000)   24 000 000  17 400 000  6 600 000   6 600 000 reais

5. Alternativa d. 6. a) 6% de 35 000  6  1% de 35 000

2.

35 000  100  350 6% de 35 000  6  350  2 100   2 100 eleitores b) 35 000  2 100  32 900   32 900 eleitores

7. 1 650 pessoas

3.

8. 9 250 reais

9. a) 2; 25%

b) 4; 50%

c) 75%;

6 3 ou 8 4

1 2 1 III   7 6 3 1 3 1 II  IV   4 12 4 Frações equivalentes: II e IV I

1 2 7 6 13 1  1  3 7 21 21 21 21 13 8   21 21 21

43


4.

70

560 

4 1  40  1    2 2  40  5  2 8 2  16  16 latas  40  5

3  210 8 1

560  210  770  770 alunos 5.

3  30 000 56 1  30 000 3  10 000 56 56  56  10 000  560 000  56  560 000 habitantes

6. 3 1 15 4 11     4 5 20 20 20 11  44 20 1  44 11  4 20 20  20  4  80  80 litros 20 7. 2 1 8 5 13 1  1  5 4 20 20 20 13  65 20 1  6513  5 20 20  20  5  100  100 quilômetros 20 (comprimento da estrada) 100  65  35  35 quilômetros (faltam duplicar) 8. 8 5 3   a) 8 8 8 5  25 b) 8 1  255  5 8 3  3  5  15  15 litros 8 c)

44

1 5 8 8  8  5  40  40 litros 8

1  2  1  40 2 1    2

d) 40 2

8  40 21 1  40  8  5 21 21  21  5  105  105 reais 21

1

9.

2 1 8 5 1  1  5 4 20 20 20 13 7 7    20 20 20 20 7  1 400 20 1  1 400 7  200 20

13 13 (quanto  20 20 foi vendido da peça) (o que sobra da peça)

20  20  200  4 000  R$ 4 000, 00 (preço 20 de toda a peça) 4 000  5  800  800 metros

10. 180

a) 3600 

1  180  180 eleitores 20 deixaram de votar 1

b) 3 600  180  3 420  3 420 eleitores votaram 171 1  171  171 eleitores 3 420  20 1 votaram em branco 285

1  285  285 eleitores c) 3 420  12 anularam o voto 1

684 3 d) 3 420   2 052  2 052 votos para o 5 candidato vencedor 1

3 420  (2 052  285  171)   3 420  2 508  912  912 votos para o candidato que perdeu

e) 2 052  912  1 140  1 140 votos 200

11. 800 

1  200  R$ 200,00 (metade do 4 meu salário)

1 2  200  400  R$ 400,00 (meu salário)


12. 3 a) 1o dia: 5 5 3 2 (percurso que falta)   5 5 5 2o dia: 2 2 4   3 5 15 3 4 9 4 13 13 (fração 1  1  → 5 15 15 15 15 15 do percurso rodado nestes dois dias) b)

2  600 15 1  600 2  300 15 15 500 quilômetros  15  300  4 500 �44  500 15 (percurso total) 13. a) Estado A 2 400 000 4 = 9600000  9 600 000 12 000 000  5 toneladas 1 Estado B 3200 000 2  6 400 000  6 400 000 9 600 000  3 toneladas 1

Produção do estado A  9 600 000 toneladas

Produção do estado B  6 400 000 toneladas

O estado A produz mais trigo.

b) 9 600 000  6 400 000  3 200 000 O estado A produz 3 200 000 toneladas a mais que o estado B.

240 

3  180  180 meninas 4 1

120

240 

1  120  120 (número de meninas 2 pensado pelo gerente) 1

180  120  60  60 meninas não ganharão brinde

Chegou a sua vez!, página 217. 1. Alternativa b. 2. Resposta em aberto.

Retomando o que aprendeu, páginas 217 e 218. 1. 1 15  33  3  1  15  33 1    3  99 1  15   1    3 3  15  2.

100  500  500 rotações 3

:12

12 1  60 5 :12 3. Alternativa d. 13

1  13 13 cartas entregues 5 1 no 1o andar 65  13  52  52 cartas 65 

14.

60

15 13 2 2   → (fração do 15 15 15 15 percurso que ainda falta para completar a viagem)

c)

15.

14 9 5 5 (fração dos alunos   → 14 14 14 14 que obtiveram notas maiores que 6,0) 5  300 14 1  300 5  60 14 14  14  60  840  840 alunos 14 participaram da olimpíada

4. Alternativa d.

60

420 

5  300→ 300 candidatos rejeitados 7 1

420  300  120 → 120 candidatos aceitos

45


Fábrica C: 170  (51  102)  = 170  153  17  17 kg

5. Alternativa c. 1 parte pintada 5

9. 1o termo  1

20

1 20   20% 5 100

1  metade do 1o termo 2 1 1 1 1 3o termo   2    metade do 4 2 2 2 2o termo 2o termo 

20

1 19   1 1    1 1  6.   2 7 2 6    19 14

O segredo desta sequência é: O termo seguinte é igual à metade do termo anterior.

3 1    1 1   6 6

1 1 1 1 2    4 4 2 8 1 1 1 1 5o termo  2    8 8 2 16 1 1 1 1 2    6o termo  16 16 2 32 4o termo 

19 2   1 1  14 6

7

57 14 71 1 1 1  5 →5 está entre 14 14 14 14 14 os números naturais 5 e 6.

7. Alternativa a. 3 1 9 5 14 1  1  5 3 15 15 15 15 14 1 1   → fração que representa 15 15 15 15 o número de jogos que perdeu 1 2 15 15  15  2  30 → 30 (total de jogos do 15 torneio) 3  30  18  18 jogos vencidos 5 1  30  10  10 jogos empatados 3 18  3 1 10  1  54 1 10  64  64 (total de pontos da equipe) 8. Alternativa c. Fábrica A:

17 3  170  51  51 kg 10

1

Fábrica B: Dobro de 51  102  102 kg

46

A soma do 5o e do 6o termos é:

57 11  14

1 1 2 1 3 1  1  16 32 32 32 32 10. Alternativa d. 100  (45  20)   100  65  35  35 bolas amarelas 35  porcentagem de bolas amarelas 100 11. Alternativa d.

Editoria de arte

3

19 6   11  2 14

25% 

25 1  100 4

=

3 16

6 3  16 8

3 1 16

4 1  16 4


A forma decimal dos números racionais 31 – Trocando dinheiro Exercícios, página 223. 1. água: trinta e cinco reais e trinta e nove centavos; luz: sessenta e cinco reais e trinta e seis centavos. 2. a) R$ 9,04

b) R$ 6,23

c) R$ 29,37

d) R$ 57,28

e) R$ 128,09

3. Resposta em aberto. 4. a) 3 3 0,10 5 0,30; 6 3 0,05 5 0,30; 1 3 0,25 1 1 3 0,05 5 0,30 b) 35 centavos; qualquer produto, menos o cappuccino; posso adquirir, também, leite e carioca ou dois cariocas (sobrando ainda 5 centavos) etc. Brasil real, página 224. 1. Resposta em aberto. 2. a) R$ 0,04; quatro centavos b) R$ 0,32; trinta e dois centavos c) R$ 0,47; quarenta e sete centavos

d) R$ 1, 25; um real e vinte e cinco centavos e) R$ 0,05; cinco centavos f) R$ 13,50; treze reais e cinquenta centavos

3. Resposta em aberto. 4. R$ 930,00; resposta em aberto.

32 – Representação decimal Explorando, página 225. 1 . 10

Uma placa representa a décima parte ou

Uma barra representa a centésima parte ou

1 . 100 1 Um cubinho representa a milésima parte ou . 1000 Exercícios, páginas 230 e 231.

1.

415 5 400 10 5 1 5 5 400 1 10 1 5 1 1 541 1 5 4,15 100 100 100 100 100 10 100 4 inteiros 1 décimo 5 centésimos

47


2.

a)

b)

d)

5 inteiros

2 décimos

52 50 1 2 50 2 5 2 5 5 1 5 1 5 0, 52 100 100 100 100 10 100

c)

52 50 1 2 50 2 2 5 5 1 551 5 5, 2 10 10 10 10 10

5 décimos

2 centésimos

77 7 70 7 7 5 70 1 5 1 571 5 7, 7 10 10 10 10 10 7 inteiros

7 décimos

77 70 1 7 70 7 7 7 5 5 1 5 1 5 0, 77 100 100 100 100 10 100

e)

7 5 0, 7 10 7 5 0, 07 f) 100

7 décimos

7 centésimos

3. 3 3 10 3 13 51 1 5 1 5 a) 1, 3 5 1 10 10 10 10 10 13 b) 100 13 c) 1 000 2 2 4 000 2 4 002 d) 4, 002 5 4 541 5 1 5 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 85 e) 1 000 3 f) 10 47 47 200 47 247 521 5 1 5 g) 2, 47 5 2 100 100 100 100 100 135 h) 1 000 4. a) Um real e dezenove centavos. b) Cinco reais e vinte e nove centavos. c) Sete reais e quarenta e seis centavos. 5. a)

8 5 0, 8 10 ;2

22 11 5 6. a) 2, 2 5 10 5 ;2 ;4 44 11 5 b) 0, 44 5 100 25 ;4

48

b)

42 5 0, 42 100

d) Três reais e cinquenta e quatro centavos. e) Sessenta e seis centavos.

c)

225 5 2, 25 100

d)

406 5 4, 06 100

;25

25 1 5 c) 0, 25 5 100 4 ;25 ;2 4 20 4 24 12 5 1 5 5 d) 2, 4 5 2 10 10 10 10 5 ;2


;50

e) 2, 50 5 2

50 50 200 50 250 5 521 5 1 5 5 100 100 100 100 100 2

;50

;2

6 6 60 6 66 33 f) 6, 6 5 6 561 5 1 5 5 10 10 10 10 10 5 ;2

7. a) 0,35  trinta e cinco centésimos b) 18,427  dezoito inteiros e quatrocentos e vinte e sete milésimos c) 0,004  quatro milésimos d) 5,9  cinco inteiros e nove décimos 8.

350

e) f) g) h)

3,6 e 3,601 3,6  3,601, pois 3,6 5 3,600 e 600  601 0,95 5 0,9500 1,37 e 1,037 1,37  1,037, pois 1,37 5 1,370 e 370  37 0,064 e 0,12 0,064  0,12, pois 0,12 5 0,120 e 64  120

7. a) entre 0 e 0,5: 0,016; 0,405; 0,057 b) entre 0,5 e 1: 0,98; 0,71 c) entre 1 e 1,5: 1,02; 1,1

1 50 5 5 0, 50 2 100 350

33 – Propriedade geral dos números decimais

8. Caixa B, pois: 4,5  4,28  4,5 5 4,50 e 50  28 9. O portão da frente, pois: 4,3  4,18  4,3 = = 4,30 e 30  18

Exercícios, páginas 232 e 233. Brasil real, página 233.

1. As duas, porque 1,50 5 1,5. 2. 2,03; 2,030; 2,0300 3. a) 0,07000 e 0,07 5 b) 6 e 6,000 5 c) 0,015 e 0,150 

d) 9,32 e 9,3200 5 e) 2,025 e 2,25  f) 9 e 9,00 5

4. 5,010 5 5,01 5 5,0100 5 5,01000 5. a) b) c) d) 6. a) b) c) d)

3,7; 7,01; 3,016; 10,01; 1,0004 0,605; 0,28; 0,095 0,605 0,095 9,4 e 4,9 9,4  4,9, pois 9  4 7 e 7,1 7  7,1, pois 7 5 7,0 e 0  1 4,230 5 4,23 2,081 e 2,0095 2,081  2,0095, pois 2,081 5 2,0810 e 810  95

1. a) b)

Não, pois apesar do aumento do número de habitantes da Grande Rio, esse número ainda não ultrapassa a marca que a região da Grande São Paulo tinha em 2000. 23,2 milhões  21,1 milhões  20,4 milhões  17,8 milhões  11,9 milhões   10,6 milhões c) Resposta em aberto. Tratando a informação, página 234. a) 2005 b) 33,220 milhões  33,644 milhões   33,818 milhões  34,649 milhões   35,139 milhões c) Resposta em aberto. d) 1980: 25 inteiros e 23 milésimos; 1990: 28 inteiros, seiscentos e vinte e oito milésimos; década: série de 10; decênio, período de 10 anos.

49


Exercícios, páginas 236 e 237. 1.

amarelo: d 5 a 1 b 5 9,7 1 6,3 5 16 e 5 b 1 c 5 6,3 1 8,1 5 14,4 azul: f 5 d 1 e 5 16 1 14,4 5 30,4

a) 16,9 1 7,6 5 24,5 16,9 1 7,6 24,5 b) 35,2 2 9,8 5 25,4 35,2 2 9,8 25,4 c) 0,85 1 1,376 5 2,226 0,850 11,376 2,226 d) 25 2 18,25 5 6,75 25,00 218,25 6,75 e) 2,33 1 2,033 1 2,666 5 7,029 2,330 2,033 12,666 7,029 f) 15 2 9,85 1 3,275 5 5 5,15 1 3,275 5 8,425 15,00 2 9,85 5,15

5,150 13,275 8,425

2.

0,381 10,589 0,970 menor, pois 0,970  1  0  1

3.

3,000 21,899 1,101

4. O “segredo” é: o número acima é igual à soma dos dois números abaixo dele. Ex.: 6,1 5 3,4 1 2,7 verde: a 5 6,1 1 3,6 5 9,7

50

b 5 3,6 1 2,7 5 6,3 c 5 2,7 1 5,4 5 8,1

f d a 6,1 3,4

e b

c

3,6 2,7

2,7 0,9

5,4 1,8

3,6

Editoria de arte

34 – Adição e subtração de números decimais

5. a) Equipe B; 0,716  0,698, pois 716  698 b) 0,716 2 0,698 5 0,018 0,716 20,698 0,018 6. 7,4 2 4,78 5 2,62  2,62 m 7,40 24,78 2,62 7. 2,5 − 1,35 5 5 1,15  1,15 m 2,50 21,35 1,15 8. Comprimento: 0,25 1 1,70 1 0,15 1 3,80 1 1 0,15 1 4,10 1 0,25 5 10,40  10,40 m 0,25 1,70 0,15 3,80 ou 0,15 4,10 1 0,25 10,40 Largura: 0,25 1 3,80 1 0,15 1 4,50 1 0,25 5 5 8,95  8,95 m 0,25 3,80 0,15 4,50 10,25 8,95


9.

a) 1,4 1  5 10  5 10 2 1,4  5 8,6

10,0 2 1,4 8,6

b) 80,75 1  5 100  5 100 2 80,75  5 19,25 c) 345,27 1  5 1 000  5 1 000 2 345,27  5 654,73

100,00 2 80,75 19,25

Desafio!, página 237. Soma 5 1,6 1 2,1 1 1,4 5 5,1 A 5 5,1 2 (2,1 1 1,3) A 5 5,1 2 3,4 A 5 1,7 B 5 5,1 2 (1,5 1 A) B 5 5,1 2 (1,5 1 1,7) B 5 5,1 2 3,2 B 5 1,9 C 5 5,1 2 (1,6 1 1,5) C 5 5,1 2 3,1 C 5 2,0 D 5 5,1 2 ( C 1 1,3) D 5 5,1 2 ( 2,0 1 1,3) D 5 5,1 2 3,3 D 5 1,8 Brasil real, página 238. a) b) c) d)

1950 2 1960 1920 2 1940 2,99 2 1,50 5 1,49 Verdadeira.

a) b) c) d)

18 a 39 anos 36,4 2 35,3 5 1,1  1,1% 22,1 2 17,8 5 4,3  4,3% 20,8 2 16,7 5 4,1  4,1%

2.

Exercícios, páginas 241 e 242. 1. 108 108 5 5 10,8 10 100 572 572 5 5 57,2 b) 100 3 0,572 5 100 3 10 1000 92 92 5 5 9,2 c) 10 3 0,92 5 10 3 10 100 29 29 d) 1000 3 0, 0029 5 1 000 3 5 5 2,9 10 10 000 a) 10 3 1, 08 5 10 3

1000,00 2 345,27 654,73

10. x 5 (51,7 1 8,36) 2 (16,125 1 7,88) x 5 60,06 2 24,005 x 5 36,055 51,70 16,125 60,060 1 8,36 1 7,880 224,005 60,06 24,005 36,055

1.

35 – Multiplicação de números decimais

2. 22,5 cm 5 0,225 m 0,225 3 1 000 5 225  225 m 3. a) 5 3 9, 5 95 5 3 95 475 5 3 10 5 10 5 10 5 47, 5 b) 7 3 1, 25 125 7 3 125 875 7 3 100 5 100 5 100 5 8, 75 c) 12 3 8,3 8,3 12 166 1830 9 9,6 3

d) 25 3 0,64 0,64 3 25 320 1 1280 16,00 e) 3 3 0,989 0,989 33 2,967 f) 7,2 3 4,8 7, 2 34, 8 576 12 8 8 0 3 4, 5 6 g) 0,9 3 10,5 1 0 , 5 3 0 , 9 9, 4 5

51


A 1 B 5 1,542 1 3,075 A 1 B 5 4,617

h) 7,25 3 0,6 7, 2 5 3 0, 6 4, 3 5 0

257 30, 0 0 6 1, 5 4 2

i) 9,9 3 5,5

a) 9,05 2 2,5 3 2,5 5 5 9,05 2 6,25 5 2,80 2, 5 9, 0 5 32, 5 26, 2 5 1 2 5  2, 8 0 5 0 0  6, 2 5   b) (6 2 1,07) 3 3,1 5 5 4,93 3 3,1 5 5 15,283

j) 0,96 3 0,5 0,9 6 3 0,5 0, 4 8 0 4. a) 0,7 3 0,9 3 3,5 5 5 0,63 3 3,5 5 5 2,205 0, 7 0, 6 3 3 0, 9 33, 5 0, 6 3 315 1890 2, 2 0 5 b) 14,2 3 0,4 3 2,5 5 = 5,68 3 2,5 = = 14,2 5, 6 8 3 2, 5 2840 11 1 3 6 0 1 4, 2 0 0

c) 3,21 3 0,9 3 1,07 5 = 2,889 3 1,07 = = 3,09123 3, 2 1 3 0, 9 2, 8 8 9

2, 8 8 9 3 1, 0 7 20223 12 8 8 9 0 0 3, 0 9 1 2 3

d) 1,7 3 3 3 5,29 5 5 5,1 3 5,29 5 5 26,979 1, 7 33 5, 1

5, 2 9 3 5, 1 529 12 6 4 5 0 2 6, 9 7 9

5. A 5 257 3 0,006 e B 5 3 3 1,025 A 1 B 5 (257 3 0,006) 1 (3 3 1,025)

52

1, 5 4 2 13, 0 7 5 4, 6 1 7

6.

9,9 3 5,5 495 14 9 5 0 54,4 5

1 4, 2 3 0, 4 5,6 8

1, 0 2 5 33 3, 0 7 5

6, 0 0 21, 0 7 4, 9 3

4, 9 3 33, 1 493 11 4 7 9 0 1 5, 2 8 3

7. 4 3 22,6 1 8 3 13,8 5 5 90,4 + 110,9 5 5 200,8  200,8 cm 2 2, 6 34 9 0, 4

1 3, 8 38 1 1 0, 4

1

1 1 0, 4 9 0, 4 2 0 0, 8

8. 3,8 × 31 5 5 117,8  117,8 h 3, 8 33 1 38 11 1 4 0 1 1 7, 8 9. 12 3 (199 3 3,3 2 651) 5 5 12 3 (656,7 2 651) 5 5 12 3 5,7 5 5 68,4  68,4 anos 199 3 3, 3 597 1 5 9  7 0 6 5 6, 7 10. a) b) c) d) e)

6 5 6, 7 2 6 5 1, 0 5, 7

5, 7 31 2 114 15 7 0 6 8, 4

Estimativa: 30; valor exato: 30,6. Estimativa: 150; valor exato: 148,5. Estimativa: 63; valor exato: 63,9. Estimativa: 56; valor exato: 55,3. Estimativa: 72; valor exato: 73,08.


Brasil real, páginas 242 a 244. 1. a) Verdadeira, pois: 3,5 3 145,4 5 508,9 . . 509 1 4 5, 4 3, 5 7270  4 3 6 2 0 5 0 8, 9 0

b) (138,1 3 4) 2 509 5 5 552,4 2 509 5 43,4  43,4 m 5 5 2, 4 2 5 0 9, 0 4 3, 4

d) 5 006 ; 1 000 5 5,006  É o mesmo que multiplicar por 0,001. A vírgula é deslocada três casas para a esquerda. e) 5,7 ; 10 5 0,57

c) 160 1 138,1 5 298,1 2 3 140,8 5 281,6 298,1  281,6 1 6 0, 0 1 1 3 8, 1 2 9 8, 1

b) 502 ; 100 5 5,02  É o mesmo que multiplicar por 0,01. A vírgula é deslocada duas casas para a esquerda. c) 37 ; 10 5 3,7  É o mesmo que multiplicar por 0,1. A vírgula é deslocada uma casa para a esquerda.

3

1 3 8, 1 34 5 5 2, 4

f) 106,2 ; 100 5 1,062 2. De 6,1 para 0,61 a vírgula foi deslocada uma casa para a esquerda. É o mesmo que multiplicar por 0,1 ou dividir por 10.

1 4 0, 8 32 2 8 1, 6

d) Resposta em aberto. 2. a) b) 3. a)

b) c)

3. C D U d 1 2 4 ,1 1 7 312 + 304 + 287 903 Consumo médio 5 = = 301 � 301 0 5 1 7 , 3  7,3 litros 3 3 5 301  301 kWh 0 U d  Meta de consumo 5 consumo médio 3 0,8 Meta de consumo 5 301 3 0,8 5 240,8   240,8 kWh 3 100 4. 140,40 ; 2,16 5 14 040 ; 216 5 3 100 5 65 4,8 1 70,0 1 16,2 1 12,0 1 120 1 45 1 1 6,0 1 1,1 1 7,0 1 13,5 5 DM UM C D U 5 295,6  295,6 kWh 1 4 0 4 0 2 1 6 295,6 3 0,40 5 118,24  R$ 118,24 1 0 8 0 6 5  65 dólares Redução do consumo: 0 D U  295,6 3 20% 5 20 5 295,6 3 5 5. 162,80 ; 2,96 5 55  55 litros 100 5 295,6 3 0,20 5 DM UM C D U 1 6 2 8 0 2 9 6 5 59,12 → 59,12 kWh 1 4 8 0 5 5 Economia em reais: 0 D U  59,12 3 0,40 5 23,648  23,65  R$ 23,65

36 – Divisão de números decimais

[

[

Exercícios, páginas 249 e 250. 1 1. a) 63, 5 ; 10 5 63, 5 3 5 63, 5 3 0,1 5 6, 35 10

1 5 0,1 10

6. N 3 3,5 5 91 N 5 91 ; 3,5 5 910 ; 35 5 26 N 5 26 9 1 0 3 5 2 1 0 2 6 0  

53


7. 62,1 ; 27 5 2,3

f ) 171,6 ; 26 5 6,6

C DU d 2 7 0 6 2 1 8 1 0 2,3 0 U d 

UM C D U d 2 6 0 1 7 1 6 1 5 6 0 6,6 0 U d 

8. A 5 (17,25 2 8,47) ; 2 A 5 8,78 ; 2 A 5 4,39 2

1 7,2 5 8,4 7 8,7 8

11. 1468,32 ; 552 5 2,66  R$ 2,66 CM DM UM 1 4 6 3 6 3

C DU d c 2 0 0 8 7 8 7 8 0 4,3 9 1 8 0 0 U d  c 0

D 3 3 1

U d c 5 5 2 0 0 2 2 0 2,6 6 2 0 0 U d  c 0

12. 897 ; 78 5 11,5

9. a) 37 ; 100 5 0,37  0,37 metro b) 1,50 ; 100 5 0,015  0,015 metro

C DU d 78 8 9 7 1 1 7 1 1,5 3 9 0 DU d 0

10. a) 10,6 ; 2 5 5,3 C DU d 2 0 1 0 6 6 0 5,3 0 U d 

13. a) 70,8 ; 0,6 5 118 C DU 6 7 0 8 1 0 118 4 8 0

b) 7,25 ; 5 5 1,45 C DU d c 5 0 0 7 2 5 2 2 5 0 1,4 5 2 5 0 0 U d  c 0

DU d c 3 0 0 3 6 3 6 0 0,1 2 6 0 0 U d  c 0 d) 14,4 ; 12 5 1,2 C DU d 1 2 0 1 4 4 2 4 0 1,2 0 U d  e) 30,6 ; 20 5 1,53 C DU d c 2 0 0 3 0 6 1 0 6 0 1,5 3 6 0 0 U d  c 0

d) 21,4 ; 2,14 5 10 UM C D U 2 1 4 0 214 0 0 10

b) 5 ; 0,8 5 6,25 DU d c 8 5 0 2 0 6,2 5 4 0 U dc 0

c) 0,36 ; 3 5 0,12

54

C 8 4 3

e) 0,14 ; 2,8 5 0,05 DU d c 1 4 0 0 280 0 0,0 5 U dc

c) 13 ; 5,2 5 2,5

f) 5,12 ; 0,064 5 80

C DU d 52 1 3 0 2 6 0 2,5 0 U d

UM C D U 5 1 2 0 64 0 0 80

14. a) (1,2 1 4,8) ; 0,24 5 5 6,0 ; 0,24 5 25 1

1, 2 1 4, 8 6, 0

6 0 0 24 1 2 0 25 0


b) 24,8 ; 4 1 45,5 ; 5 5 5 6,2 1 9,1 5 15,3 2 4 8 0 8 0 0

40 6,2

Exercícios, página 251. 4 5 5 0 50 0

1.

50 9,1

6 a) 7 3 1 3 1 2,1 6 1 0 4 0 4

6, 2 1 9, 1 1 5, 3

b) 2 9 1 0 3

c) (0,05 ; 0,005) ; 0,5 5 5 10 ; 0,5 5 20 5 10

5 0 0 0

1 0 0 5 0 0 20

7 c) 1 1 4 0 1, 5 7 1 5 0 1 0 3

d) (2 3 1,1 1 3,83) ; 0,9 5 5 (2,2 1 3,83) ; 0,9 5 5 6,03 ; 0,9 5 6,7 1, 1 32 2, 2

1 3, 8 3 + 2, 2 0 6, 0 3

6 0 3 6 3 0 0

90 6,7

33 d) 1 0 0 1 0 0 0, 3 0 3 1

15. 512 ; 1,6 5 320  320 milhas 5 1 2 0 3 2 0 0

e) 1,3 ; 0,6 5 13 ; 6

16 320

6 1 3 1 0 2,1 4

16. D 5 (0,012 1 1,5) ; 1,68 D 5 1,512 ; 1,68 D 5 0,9 0, 0 1 2 11, 5 0 0 1, 5 1 2

15120 1680 0 0, 9

2.

0, 9 33 2, 7

Logo: 3 3 D 5 3 3 0,9 5 2,7 17. 9,9 ; 0,55 5 18  18 metros 9 9 0 4 4 0 0 0

55 18

18. a) 15,7 ; 3,14 5 5 1 5 7 0 0

7 4,1

314 5

b) Em cada oscilação completa, o pêndulo passa pelo observador duas vezes; logo, neste intervalo, ele vê o pêndulo passar 10 vezes.

7 a) 2 6 5 0 3,7 1 1 0 3 b) 67,2 ; 13 5 672 ; 130 1 3 0 6 7 2 2 2 0 5,1 6 9 0 0 1 2 0 11 c) 7 2 6 0 6, 5 4 5 0 6 d) 8,7 ; 2,3 5 87 ; 23 2 3 8 7 1 8 0 3,7 8 1 9 0 4

55


37 – Os números decimais e o cálculo de porcentagens

1,20 3 2 500 5 3 000,00 5 3 000 2500 1, 2 0 50000 12 5 0 0 0 0 3 0 0 0, 0 0 3

Exercícios, páginas 252 e 253. 1.

3 3 5 0, 03, então 3% 5 e 100 100 5 0,03 16 16 5 0,16, então 16% 5 b) 16% 5 e 100 100 5 0,16 21 21 c) 21% 5 e 5 0, 21, então 21% 5 100 100 5 0,21 a) 3% 5

42 42 5 0, 42, então 42% 5 d) 42% 5 e 100 100 5 0,42 55 55 5 0, 55, então 55% 5 e) 55% 5 e 100 100 5 0,55 150 150 f) 150% 5 e 5 1, 50, então 150%  100 100 5 1,50

4. 35% de 1 020 telhas 1 020 3 0,35 5 357  357 telhas 1020 0, 3 5 5100 13 0 6 0 0 3 5 7, 0 0 3

5. a) 85% de 16,8 metros quadrados 16,8 3 0,85 5 14,280 5 14,28 metros quadrados 1 6, 8 0, 8 5 840 11 3 4 4 0 1 4, 2 8 0 3

2. Custo atual: 980,00 1 15% de 980,00 150 15% 5 5 0,15 100 15% de R$ 980,00 é o mesmo que 980,00 3 0,15:

b) 16,8 2 14,28 5 2,52  2,52 metros quadrados 1 6, 8 0 2 1 4, 2 8 2, 5 2

980,00 3 0,15 5 147,0000 5 147,00 9 8 0, 0 0 0, 1 5 490000 1 980000 1 4 7, 0 0 0 0 3

9 8 0, 0 0 1 1 4 7, 0 0 1 1 2 7, 0 0 Custo atual: 980,00 1 147,00 5 1 127,00  R$ 1 127,00 3.

6. 8% 5

40% 5

40 5 0, 40 100

8% de 40% 5 0,08 3 0,40 5 0,032 0,0 8 3 0,4 0 0, 0 3 2 0 7. (3% de 250) 1 (7% de 150) 2 (4% de 90) 5 5 (0,03 3 250) 1 (0,07 3 150) 2 (0,04 3 90) 5 5 7,5 1 10,5 2 3,6 5 18,0 2 3,6 5 14,4 8.

a) 51% de 3 340 é o mesmo que 0,51 3 3 340:

a) 88  100% x  35%

0,51 3 3 340 5 1 703,40 5 1 703,4 3340 3 0, 5 1 3340 11 6 7 0 0 0 1 7 0 3, 4 0 b) 120% de 2 500 é o mesmo que 1,20 3 2 500:

56

8 5 0, 08 100

88 100 88 ⋅ 35 5 → x5 → x 35 100

 x 5 30,80  R$ 30,80

b) uma calça  R$ 88,00 2 R$ 30,80 5 5 R$ 57,20

duas calças  2 3 R$ 57,20 5 5 R$ 114,40


38 – Potenciação de números decimais Exercícios, página 253. 1. a) (3,7)2 5 3,7 3 3,7 5 13,69 b) (0,6)3 5 0,6 3 0,6 3 0,6 5 0,216

1 290 692,5 3 0,073 5 94 220,552   94 220,552 quilômetros quadrados, aproximadamente c) 1 290 692,5 2 94 220,552 5 1 196 472   1 196 472 quilômetros quadrados, aproximadamente d) Espírito Santo, Paraná, Rio de Janeiro e Santa Catarina.

c) (2,5)2 5 2,5 3 2,5 5 6,25 e) (2,7) 5 1 0

f) (4,1)2 5 4,1 3 4,1 5 16,81 g) (1,5)3 5 1,5 3 1,5 3 1,5 5 3,375 h) (3,02)1 5 3,02 2. (0,4)3 5 0,064 1 2 0,064 5 0,936 Falta 0,936.

Retomando o que aprendeu, páginas 255 e 256. 1. Alternativa c. Espaço ocupado pelas 16 pessoas: 16 3 0,30 5 4,8 Espaço entre as 16 pessoas: 1a 2a 3a 15a

16a

...

Editoria de arte

d) (0,3)4 5 0,3 3 0,3 3 0,3 3 0,3 5 0,0081

3. a) (1,2)2 1 (0,9)2 5 1,44 1 0,81 5 2,25 b) (1,2 1 0,9)2 5 (2,1)2 5 2,1 3 2,1 5 4,41 5 5 0, 05 e (0,05)2 5 0,05 3 0,05 5 100 5 0,0025

4. 5% 5

5. x 5 (0,6)2 1 (0,8)2 x 5 3,6 1 6,4 5 1,0 5 1 6. a 5 4 ; (0,4) a 5 4 ; 0,16 5 25 2

b 5 0,4 3 42 b 5 0,4 3 16 5 6,4 Logo, a  b. 7. (0,8 2 0,15 ; 0,3)3 ; 5,4 1 (0,5)2 5 5 (0,8 2 0,5)3 ; 5,4 1 0,25 5 5 (0,3)3 ; 5,4 1 0,25 5 5 0,027 ; 5,4 1 0,25 5 5 0,005 1 0,25 5 0,255

Brasil real, página 254. a) 11% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados 1 290 692,5 3 0,11 5 141 976,17   141 976,17 quilômetros quadrados b) 7,3% de 1 290 692,5 quilômetros quadrados

1

2

15

15 3 0,55 5 8,25 Comprimento da fila: 4,8 1 8,25 5 13,05  13,05 m 2. Alternativa b. 52 2 3 3 (4,1 2 1,8) 5 5 52 2 3 3 2,3 5 52 2 6,9 5 45,1 3. Alternativa c. 5,00 2 (3 3 0,20 1 1,50) 5 5 5,00 2 (0,60 1 1,50) 5 5 5,00 2 2,10 5 2,90  R$ 2,90 4. Alternativa e. Pessoas com curso universitário completo: 75% de 320; logo, 0,75 3 320 0,75 3 320 5 240  240 pessoas Total de pessoas do grupo: 320 Pessoas sem curso universitário completo: 320 2 240 5 80  80 pessoas 5. Alternativa a. Quantidade de vinho na pipa: 63 3 0,7 5 44,1  44,1 litros Quantidade de garrafas de 0,9 litro que a pipa pode encher: 44,1 ; 0,9 5 49  49 garrafas

57


6. 1 dólar vale R$ 2,85, 1 500 dólares valem: 1 500 3 2,85 5 4 275  R$ 4 275,00 7. Em um quilômetro lança 27,7 gramas, em 8 quilômetros lança: 8 3 27,7 5 221,6  221,6 gramas 8. Alternativa a. ; 4

40

; 4

10

;4

2,5

?

? 5 2,5 ; 4 ? 5 0,625 9. Valdir andou 41,04 quilômetros. Irmão de Valdir andou a terça parte de 41,04 quilômetros: 41,04 ; 3 5 13,68  13,68 quilômetros 10. Preço do litro de suco de laranja na indústria A: 1,80 ; 1,50 5 1,20  R$ 1,20 o litro Preço do litro de suco de laranja na indústria B: 1,20 ; 0,80 5 1,50  R$ 1,50 o litro Como 1,20  1,50, a indústria A vende o suco mais barato.

1 m 5 100 cm; logo, 48,6 m é 48,6 3 100 5 5 4 860  4 860 cm Total de pedaços de fita medindo 18 cm: 4 860 ; 18 5 270  270 pedaços 16. Expectativa de vida: (3,5 3 416 2 715) ; 10 5 (1 456 2 715) ; 10 5 5 741 ; 10 5 74,1  74,1 anos 17. Alternativa b. Comprimento da estrada de A a B: 103,2 quilômetros Comprimento da estrada de B a C: 3 3 de 103,2  3 103,2 4 4

3 25

Sendo

3 75 5 5 0, 75, logo: 4 100 3 25

3 3 103, 2 5 0, 75 3 103, 2 5 77, 4  4  77,4 quilômetros Comprimento da estrada de A a C: 103,2 + 77,4 5 180,6  180,6 quilômetros 18.

12. Alternativa a. 37,8 2 0,5 5 37,3  37,3 graus 13. Alternativa d. 1o número decimal (9 ; 2 1 4 3 1,25) 5 (4,5 1 5,0) 5 9,5 2o número decimal: (2 3 1,05 2 6,4 ; 4) 5 5 (2,10 2 1,6) 5 0,5 Produto desses dois números: 9,5 3 0,5 5 4,75 14. Alternativa b. 1320 ; 40 5 1320 3

3 25

1 , mas 40

1 25 25 1 5 5 3 40 1 000 100 10   3 25 0,25 0,1 Logo: 1 320 ; 40 5 1 320 3 0,25 3 0,1. 15. Alternativa b. Total de metros de fita: 4,86 3 10 5 48,6  48,6 m Total de centímetros de fita:

58

Editoria de arte

11. Alternativa b. 185,8 2 176,9 5 8,9  8,9 milhões

1a árvore

2a árvore

1a distância

3a árvore ...

2a distância

10a 11a árvore árvore 10a distância

105 ; 10 5 10,5  10,5 metros 19. Alternativa c. Preço da passagem em janeiro de 2005: R$ 1,50 Reajuste da passagem em janeiro de 2006: 20 20% de R$ 1,50  3 1, 50 100 20 3 1, 50 5 0, 20 3 1, 50 5 0, 30 100 Preço da passagem em janeiro de 2006: 1,50 1 0,30 5 1,80  R$ 1,80 Desconto para estudante: 10 3 1, 80 10% de R$ 1,80  100 10 3 1, 80 5 0,10 3 1, 80 5 0,18 100 Preço da passagem para estudante em janeiro de 2006: 1,80 2 0,18 5 1,62  R$ 1,62


Medindo comprimentos e superfícies 39 – Unidades de medida de comprimento Explorando, páginas 258 e 259. 1. Resposta pessoal. 2. Mariana, porque encontrou a menor quantidade de palmos. 3. Marcos, porque encontrou o menor valor em pedaços de barbante. Exercícios, página 262. 1. a) km

b) m

c) mm

d) cm

2. Distância em que se originou o relâmpago: 340 3 5 5 1 700 R 1 700 metros 3. Distância entre as duas cidades: 74 milhas Valor de uma milha: 1,609 km, aproximadamente Distância entre as duas cidades, em quilômetros: 74 3 1,609 5 119,066 R 119,066 km, aproximadamente 4. Comprimento do meu passo: 56 cm Comprimento do meu pé: 24 cm Comprimento do móvel: 1 passo e 2 pés Comprimento do móvel em centímetros: 56 1 2 3 24 5 56 1 48 5 104 R 104 cm 5. Distância do ponto A ao ponto B: 84,5 km Distância do ponto B ao ponto C: 3 3 84,5 5 253,5 R 253,5 km 6. a) Maior: Júpiter, com 143 000 km; menor: Mercúrio, com 4 860 km. b) 12 756 km c) 12756 . 1, 8 6800 d) 365 − 122 5 243 R 243 dias Desafio!, página 263. Alternativa b. Reginaldo: 600 metros Lúcia: 700 metros

40 – T  ransformação das unidades de medida de comprimento Exercícios, páginas 265 e 266. 1. Alternativa b. 43,2 R 43,2 3 100 5 4 320 R 4 320 cm 4 320 ; 24 5 180 R 180 lacinhos 2. Comprimento da sala: 5 400 mm Se 1 mm 5 0,001 m, então: 5 400 3 0,001 5 5,4 R 5,4 m Se 1 mm 5 0,000001 km, então: 5 400 3 0,000001 5 0,0054 R 0,0054 km A unidade de medida mais conveniente para medir a sala é o metro. 18 3. 18 mm 5 (18 ; 10) cm 5 cm 5 10 5 (18 3 0,1) cm 5 1,8 cm 4. Meu passo corresponde a 56 cm. Meu pé corresponde a 25 cm. Comprimento do terreno: 18 passos e 2 pés 18 3 56 1 2 3 25 5 1 008 1 50 5 1 058 R R 1 058 cm 1 058 m5 1 058 cm 5 (1 058 ; 100) m 5 100 5 (1 058 3 0,01) m 5 10,58 m 5. a)

1 5 m5 m 5 0,5 m 5 (0,5 3 100) cm 5 2 10 5 50 cm

2 4 m5 m 5 0,4 m 5 (0,4 3 100) cm 5 5 10 5 40 cm 9 225 c) km 5 km 5 2,25 km 5 4 100 5 (2,25 3 1 000) m 5 2 250 m b)

d)

18 360 m5 m 5 3,60 m 5 (3,60 ; 1 000) km 5 5 100 5 (3,60 3 0,001) km 5 0,0036 km

6. 1 polegada 5 25 mm 1 polegada 5  5  polegada  10  2  5   mm 5 (25 3 0,5) mm 5 25 mm 5 25 3 10  5 12,5 mm Sendo 1 mm 5 0,1 cm, então: 12,5 mm 5 (12,5 3 0,1) cm 5 1,25 cm

( )

59


7. 1 milha 5 1 609 m Se 1 m 5 0,001 km, então: 1 milha 5 (1 609 3 0,001) km 5 1,609 km 85 milhas 5 (85 3 1,609) km 5 136,765 km 8. 64 m correspondem a 6 400 cm Para ter 20 retalhos, cada um deve medir: 6 400 ; 20 5 320 R 320 cm 9. 10 km correspondem a 10 000 m Logo: 10 000 1 150 5 10 150 R 10 150 m

17. Alternativa c. 1 m corresponde a 100 m, logo 4 m correspondem a: 4 3 100 5 400 R 400 m

41 – Perímetro de um polígono Explorando, página 266.

10. Comprimento da tábua: 3,10 m Uma das partes tem 98 cm de comprimento, correspondendo a 0,98 m. Restam: 3,10 − 0,98 5 2,12 R 2,12 m As duas outras partes têm o mesmo comprimento, logo cada uma mede: 2,12 ; 2 5 1,06 R 1,06 m

1. frente: 35 m; fundo: 22 m metragem do fio: 35 1 22 1 35 1 22 5 5 114 R 114 m

11. Os 385 metros foram medidos com 97 cm, o que corresponde a 0,97 m, logo há 0,03 m de tecido a menos em cada metro vendido. Então: 385 3 0,03 5 11,55 R 11,55 m de tecido a menos

3. 30 1 40 1 50 5 120 R 120 m

12. a) Se cada centímetro corresponde a 10,5 km, então a distância real entre as duas cidades é: 10,5 3 15 5 157,5 R 157,5 km b) 68 250 m correspondem a 68,250 km, logo a distância desta cidade ao mar, no mapa, é: 68,250 ; 10,5 5 6,5 R 6,5 cm 13. Respostas em aberto. 14. Respostas em aberto. 15. Alternativa a. Dois armários de 1,60 m de comprimento ocupam: 1,60 3 2 5 3,20 R 3,20 m Comprimento da parede: 5 m Espaço livre: 5 − 3,20 5 1,80 R 1,80 m Comprimento da estante: 1 m 1,80 − 1 5 0,80 R 0,80 m (sobra) 16. Alternativa b. Percorreu no Brasil: 12,5 km Percorreu na Inglaterra: 9 milhas Uma milha corresponde a 1 600 m, e 1 600 m correspondem a 1,6 km, então na Inglaterra percorreu: 9 3 1,6 5 14,4 R 14,4 km Comparando o que percorreu nos dois países, temos:

60

12,5 , 14,4 e 14,4 − 12,5 5 1,9 R 1,9 km a mais

2. frente: 30 m; fundo: 30 m metragem do fio de arame: 30 3 4 5 5 120 R 120 m

Exercícios, páginas 267 e 268. 1. a) 3 1 4,1 1 1,5 1 3,8 5 12,4 R 12,4 cm b) triângulo equilátero R três lados de mesma medida 2,9 3 3 5 8,7 R 8,7 cm c) Reduzindo todas as unidades a cm, temos: 0,3 dm corresponde a 3 cm 12 mm correspondem a 1,2 cm 25 mm correspondem a 2,5 cm 3 1 3,6 1 1,2 1 3,1 1 2,5 5 13,4 R 13,4 cm 2. medida do comprimento: 10,2 cm medida da largura: metade do comprimento 10,2 ; 2 5 5,1 R 5,1 cm perímetro do retângulo: 10,2 1 5,1 1 10,2 1 5,1 5 30,6 R 30,6 cm 3. lajota hexagonal: 6 lados medindo 65 cm 65 cm correspondem a 0,65 m perímetro da lajota: 6 3 0,65 5 3,90 R 3,90 m 4. medida do comprimento: 12 m 1 do comprimento medida da largura: 3 1 12 3 5 4 R 4 m 3 extensão do muro: 12 3 2 1 4 3 2 5 24 1 8 5 32 R 32 m 5. Se a medida dos lados são três números consecutivos, e o menor é 5, então os outros dois são 5 1 1 e 5 1 1 1 1, isto é, 6 e 7; logo, o perímetro deste triângulo é: 5 1 6 1 7 5 18 R 18 cm


6.

Brasil real, página 269. a) O perímetro do retângulo e o do quadrado são iguais, então esse perímetro é: 7,2 3 2 1 10,6 3 2 5 14,4 1 21,2 5 35,6 R R 35,6 cm b) Tendo o quadrado quatro lados de mesma medida, o lado do quadrado mede: 35,6 ; 4 5 8,9 R 8,9 cm

1. a) 1 km corresponde a 1 000 m, logo 30 223 km correspondem a 30 223 000 m. 22 069 km correspondem a 22 069 000 m. 14 500 km correspondem a 14 500 000 m. 1 916 km correspondem a 1 916 000 m. b) São 30 223 km de linhas de tráfego, sendo 1 916 km de linhas eletrificadas, logo: 30 223 2 1 916 5 28 307 R 28 307 km são linhas de trens movidos a diesel. c) 30 223 km de linhas de tráfego 14 500 km de linhas estão em São Paulo, Minas Gerais e Rio Grande do Sul Logo: 30 223 2 14 500 5 15 723 R R 15 723 km não pertencem às três cidades acima citadas.

7. a) b) 8.

medida do lado da praça: 24,5 m perímetro da praça: 24,5 3 4 5 98,0 R 98 m 4 voltas ao redor da praça: 98 3 4 5 392 R 392 m medida do comprimento do pé de Ana: 0,8 m número de passos dados: 392 ; 0,8 5 490 R 490 passos

2. a) Se 1 m corresponde a 0,001 km, então 8 836 m correspondem a 8,836 km. b) Se a extensão total da ponte é 13 290 m e 8 836 m estão sobre o mar: 13 290 2 8 836 5 4 454 R 4 454 m estão sobre a terra. Como 1 m corresponde a 0,001 km, a extensão da ponte sobre a Terra é 4,454 km. c) largura total da ponte: 26,60 m Como 1 m corresponde a 100 cm, a largura da ponte, em cm, é 2 660 cm.

perímetro do quadrado: 20 cm medida do lado do quadrado: 20 ; 4 5 5 R 5 cm Este triângulo equilátero tem como medida de lado a mesma medida do lado do quadrado, então seu perímetro é: 3 3 5 5 15 R 15 cm

9. Total de metros de arame: 70 a) terreno quadrado de 17,2 m de lado perímetro do terreno: 17,2 3 4 5 68,8 R 68,8 m (sim) b) terreno retangular com 24,5 m de comprimento e 11,8 m de largura perímetro do terreno: 2 3 24,5 1 2 3 11,8 5 49 1 23,6 5 5 72,6 R 72,6 m (não) 10. Alternativa d. perímetro da folha retangular: 40 cm medida de um lado: 4 cm soma das medidas de outros lados: 40 2 4 2 4 5 32 R 32 cm dois lados de mesma medida: 32 ; 2 5 16 R 16 cm medidas dos outros lados: 16 cm, 4 cm e 16 cm 11. Alternativa d. medida do lado do quadradinho 5 1 cm figura X tem 20 lados: seu perímetro é 20 3 1 5 20 R 20 cm figura Y tem 18 lados: seu perímetro é 18 3 1 5 18 R 18 cm figura Z tem 32 lados: seu perímetro é 32 3 1 5 32 R 32 cm

3. a) Rio Amazonas: 6 868 km que correspondem a 6 868 000 m. rio Nilo: 6 695 km que correspondem a 6 695 000 m. 6 868 000 2 6 695 000 5 173 000 R R 173 000 m a mais b) 6 868 ; 65 . 105,66 c) Se 20 km correspondem a 1 cm, então 65 km correspondem a: 65 ; 20 5 3,25 R 3,25 cm 4. a) 1 m corresponde a 0,001 km, então 250 000 m correspondem a 250 km b) o quilômetro 5. a) b) c) d)

Londres e Nova Iorque; 400 km São Paulo; 60 km 450 km linha de Paris: 200 km linha de Chicago: 150 km 200 2 150 5 50 R 50 km

61


42 – U  nidades de medida de superfície

7. 7 km2 correspondem a 7 000 000 m2. 7 000 000 m2 correspondem a 700 ha. 60% de 700 ha ⇒ 60 ⇒ 3 700 5 0, 6 3 700 5 420 ha 100

Explorando, página 271. 1. 61

b) 700 2 420 5 280 R 280 ha

2. 69 Exercícios, página 272. 1. Alternativa d. 2. Alternativa b.

Brasil real, páginas 275 e 276. 1. 3 370 2 1 300 5 2 070 R 2 070 kg/ha 2. a) Minas Gerais b) Amapá c) estado de maior área (Minas Gerais): 1 888 922 ha estado de menor área (Amapá): 87 581 ha 1 888 922 2 87 581 5 1 801 341 R R 1 801 341 ha 1 801 341 ha correspondem a 18 013 410 000 m2.

3. A figura possui 22 quadrados. Como a área de cada um corresponde a 1 cm2, logo a área da figura é 22 cm2. Exercícios, página 274. 1. a) 1 dm2 corresponde a 0,01 m2, logo 21 dm2 correspondem a 0,21 m2. b) 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2, logo 1 250 cm2 correspondem a 0,125 m2. c) 1 km2 corresponde a 1 000 000 m2. d) 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, logo 0,72 hm2 corresponde a 7 200 m2.

3. a) 225 000 ; 2,5 5 90 000 R R$ 90 000,00 b) Em São Paulo, 1 alqueire corresponde a 2,42 ha. 2,5 alqueires correspondem a 2,5 3 2,42 5 6,05 R 6,05 ha. c) Na Bahia, 1 alqueire corresponde a 96 800 m2. 2,5 alqueires correspondem a: 2,5 3 96 800 5 242 000 R 242 000 m2

2. 1 dm2 corresponde a 0,01 m2. 3. 1 hm2 corresponde a 10 000 m2, que representa a área de um quadrado de 100 m de lado: 100 3 100 5 10 000 R 10 000 m2 4. 1,3 km2 corresponde a 1 300 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 103 ha correspondem a 1 030 000 m2. Então: 1,3 km2  103 ha 5. 1 600 cm2 correspondem a 0,16 m2. 100 caixas com 2 dúzias de piso: 100 3 24 5 2 400 R 2 400 pisos 2 400 3 0,16 5 384 R 384 m2 de piso 6. 10 000 m2 correspondem a 1 ha. 70 000 m2 correspondem a 7 ha. 1 ha é ocupado por 20 bois. 7 ha: 7 3 20 5 140 R 140 bois

62

4. a) b) c) d)

na região Norte 160 alqueires por R$ 595,00 o alqueire 595 3 160 5 95 200 R R$ 95 200,00 1 alqueire corresponde a 27 225 m2 160 alqueires correspondem a: 160 3 27 225 5 4 356 000 R 4 356 000 m2 1 alqueire corresponde a 2,7225 ha 160 alqueires correspondem a 435,6 ha 435,6 ha para 20 trabalhadores dá: 435,6 ; 20 5 27,78 R 21,78 ha para cada um

5. 1 alqueire corresponde a 48 400 m2. 3,5 alqueires correspondem a: 3,5 3 48 400 5 169 400 R 169 400 m2 6. 4,84 ha correspondem a 1 alqueire. 31,46 ha correspondem a: 31,46 ; 4,84 5 6,5 R 6,5 alqueires


7. a)

5 822 km2 correspondem a 5 822 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2. 5 822 000 000 m2 correspondem a: 5 822 000 000 ; 10 000 5 582 200 R R 582 200 ha b) 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 582 200 ha correspondem a: 582 200 ; 4,84 5 120 289,25 R R 120 289,25 alqueires 8. a) b)

1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2. 38 000 ha correspondem a: 38 000 3 0,01 5 380 R 380 km2 1 alqueire corresponde a 4,84 ha. 38 000 ha correspondem a: 38 000 ; 4,84 . 7 851,24 R R 7 851,24 alqueires, aproximadamente

43 – Áreas das figuras geométricas planas Explorando, página 277. a) b) c) d)

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal. Exercícios, páginas 282 e 283.

1. a) b) c)

medida do lado: 8 m área: 8 3 8 5 64 R 64 m2 medida da base: 12 cm medida da altura: 6 cm área: 12 3 6 5 72 R 72 cm2 medida da base menor: 4 cm medida da base maior: 6 cm medida da altura: 3 cm (6 1 4) 3 3 5 área: 2 10 3 3 5 5 15 R 15 cm2 2 d) medida da base menor: 5 cm medida da base maior: 7 cm medida da altura: 4 cm (7 1 5) 3 4 5 área: 2 12 3 4 5 24 R 24 cm2 5 2

2. medida da base: 8 cm medida da altura: 5,2 cm 8 3 5, 2 área: 5 2 41, 6 5 5 20, 8 R 20,8 cm2 2 3. medida da base: 10 cm 1 de 10 cm medida da altura: 2 1 3 10 5 5 R 5 cm 2 área: 10 3 5 5 50 R 50 cm2 4. medida da base: 18 cm 2 de 18 cm medida da altura: 3 2 3 18 5 12 R 12 cm 3 18 312 5 108 R 108 cm2 área: 2 5. a) medida do lado: 15 cm área: 15 3 15 5 225 R 225 cm2 b) 45 m2 correspondem a 450 000 cm2 450 000 ; 225 5 2 000 R 2 000 pisos 6. medida da base: 25 cm medida da altura: 16 cm 25 3 16 área: 5 200 R 200 cm2 2 1 cm2 corresponde a 0,0001 m2 200 cm2 correspondem a: 200 3 0,0001 5 0,02 R 0,02 m2 80 peças de 0,02 m2 de área cada uma: 80 3 0,02 5 1,6 R 1,6 m2 7. medida do comprimento: 8 m medida da altura: 2,75 m área: 8 3 2,75 5 22 R 22 m2 1 lata pinta 10 m2. 2 latas pintam 20 m2. Sobraram 2 m2, então é necessária uma 3a lata. 8.

a) b)

área da sala: 4,20 3 4,50 5 18,9 R 18,9 m2 área do corredor: 2,50 3 1,50 5 3,75 R 3,75 m2 área do 1o dormitório: 3 3 4,5 5 13,5 R R 13,5 m2 área do 2o dormitório: 4 3 4 5 16 R 16 m2 Carpete necessário: 18,9 1 3,75 1 13,5 1 16 5 52,15 R 52,15 m2 área do banheiro: 2,50 3 3 5 7,50 R 7,50 m2 área da cozinha: 4 3 4 5 16 R 16 m2 área da área de serviço: 1,70 3 4 5 5 6,80 R 6,80 m2 cerâmica necessária: 7,50 1 16 1 6,80 5 5 30,30 R 30,30 m2

63


Exercícios, páginas 284 e 285. 1.

12. área do telhado: 2 3 10 3 40 5 800 R 800 m2 Para cobrir 1 m2 usam-se 20 telhas. Para cobrir 800 m2: 800 3 20 5 1 600 R 1 600 telhas

A1: 4 3 3 5 12 R 12 cm2 A2: 2 3 5 5 10 R 10 cm2 Atotal 5 12 1 10 5 22 R 22 cm2

3 cm

A1

Editoria de arte

5 cm

b)

A2

2 cm 7 cm

A1: 5 3 3 5 15 R 15 cm2 332 A2: cm22 5 3 �R 33cm 2 Atotal 5 15 1 3 5 18 R 18 cm2

2.

1m

A1

A2

1m

A3

1m

5m

3m

1m

A1: 1 3 1 5 1 R 1 m2 A2: 1 3 5 5 5 R 5 m2 A3: 1 3 1 5 1 R 1 m2 Atotal 5 1 1 5 1 1 5 7 R 7 m2 3. Alternativa a. 5

4m 1m

m

A3

A2

a) cor-de-rosa: 3 u por 8 u; verde: 2 u por 12 u b) Não, o perímetro do retângulo cor-de-rosa é 22 u, e o do retângulo verde é 28 u. c) Ambos têm medida de área igual a 24 u2. d) Há várias soluções.

5 cm

2 cm

13.

64

A2

4m 4m

A1

4m

4m

2m

Editoria de arte

11. Alternativa b. área total: 17 3 24 3 2 1 5 3 24 3 2 1 17 3 5 3 2 5 5 816 1 240 1 170 5 1 226 R 1 226 cm2

A1

Editoria de arte

3 cm

9. área das paredes da frente e do fundo: 4 3 2,70 5 10,80 R 10,80 m2 área das paredes laterais: 3 3 2,70 5 5 8,10 R 8,10 m2 área total para revestir: 2 3 10,80 1 2 3 8,10 − (2 3 1,60 1 2) 5 5 21,60 1 16,20 − 5,20 5 5 37,80 − 5,20 5 32,60 R 32,60 m2 10. área das paredes da frente e do fundo: 8 3 4 5 32 R 32 m2 área das paredes laterais: 3 3 5 5 15 R 15 m2 área da porta: 1,5 3 2 5 3,0 R 3,0 m2 área da janela: 3 3 1 5 3 R 3 m2 área do teto: 8 3 5 5 40 R 40 m2 área a ser pintada: 2 3 32 1 2 3 15 1 40 − (3 1 3) 5 5 64 1 30 1 40 − 6 5 5 134 − 6 5 128 R 128 m2 1 lata pinta 40 m2. 2 latas pintam 80 m2. 3 latas pintam 120 m2. Sobram 8 m2, então é necessária mais uma lata R 4 latas

6 cm

a)

Editoria de arte

c) medida da frente: 4,20 1 2,50 1 3 5 5 9,70 R 9,70 m medida dos fundos: 4,50 1 4 5 8,50 R 8,50 m área do apartamento: 9,70 3 8,50 5 5 82,45 R 82,45 m2 preço do apartamento: 82,45 3 500 5 5 41 225 R R$ 41 225,00


A1: 4 3 4 5 16 R 16 m2 4 33 A2 ; 5 6 → 6 m2 2 A3 ; 4 3 3 5 12 R 12 m2 Atotal 5 16 1 6 1 12 5 34 R 34 m2 4. Alternativa c. perímetro da figura: 3 1 4 1 5 1 4 1 4 1 4 1 4 5 28 R 28 m largura da porta: 1 m rodapé: 28 2 1 5 27 R 27 m 5. Alternativa d.

m

20

m

20

16 m

16 m

Editoria de arte

10 m

34 m

6.

(34 1 10) 3 16 5 A; 2 44 3 16 5 5 352 → 352 m2 2 a) Aquadra: 18,29 3 36,57 5 668,8653 R R 669 m2, aproximadamente b) Ajogo: 10,97 3 23,77 5 260,7559 R R 261 m2, aproximadamente c) Tela: (17,07 3 2 1 34,77 3 2) 3 3 5 5 (34,14 1 69,54) 3 3 5 5 103,68 3 3 5 311,04 R 311,04 m2

7. área da quadra oficial: 20 3 12 5 240 R 240 m2 área do pátio da escola: 40 3 32 5 1 280 R 1 280 m2 área livre que restou no pátio: 1 280 2 240 5 1 040 R 1 040 m2 Brasil real, página 286. 1. a) b)

área do campo: 110 3 75 5 8 250 R 8 250 m2 placas de grama necessárias: 8 250 ; 3,5 . 2 357 R aproximadamente 2 357 placas de grama c) Sim. d) Resposta em aberto.

b) total de metros a percorrer: 305 909 total de quilômetros a percorrer: 305 909 metros correspondem a 305,909 quilômetros c) total de metros percorridos: 305 909 total de voltas dadas: 71 metros percorridos em cada volta: 305 909 ; 71 . 4 308,6 R 4 308,6 m, aproximadamente d) total de voltas a percorrer: 71 total de voltas dadas: 53 total de voltas que faltaram dar: 71 2 53 5 18 R 18 voltas metros percorridos aproximadamente em cada volta: 4 308,6 4 308,6 m correspondem a 4,3086 km quilômetros que faltavam para completar o circuito: 4,3086 3 18 . 77,55 R 77,55 km, aproximadamente Chegou a sua vez!, página 287. 1. 20 habitantes por quilômetro quadrado 2. densidade demográfica brasileira: 169799170 habi tan tes 5 19,94 8514204 km2 habitantes por quilômetro quadrado d5

3. 20 2 19,94 5 0,06 4. Resposta em aberto. Tratando a informação, página 288. a) b) c)

no período 1994-1995 período 2002-2003: 23 750 km2 período 2001-2002: 23 260 km2 km2 a mais de desmatamento: 23 750 2 23 260 5 490 R 490 km2 Expansão da pecuária e da agricultura, a grilagem de terras públicas e a exploração predatória de madeira. d) Mato Grosso e Pará e) Resposta em aberto. Desafio!, página 289.

2. a)

ano de inauguração: 1960 ano da 1a corrida: 1978 tempo que levou para receber a 1a corrida: 1978 2 1960 5 18 R 18 anos

1. Todas têm a mesma área. 2. 16 3. 8

65


iguais. Então a distância entre cada telefone será: 612 ; 20 5 30,6 R 30,6 km

Retomando o que aprendeu, páginas 289 e 290. 1. Alternativa b. 1a hora: 512 m

5. Alternativa c. 2 km2 correspondem a 2 000 000 m2. 1 ha corresponde a 10 000 m2, logo 2 000 000 m2 correspondem a: 2 000 000 ; 10 000 5 200 R 200 ha

:2 2 hora: 256 m a

:2 3a hora: 128 m :2 4a hora: 64 m :2 5a hora: 32 m Distância percorrida: 512 1 256 1 128 1 64 1 32 5 992 R 992 m 2. Alternativa c.  de comprimento: 85 cm   correspondem a 0,85 m 5 mesas   de largura: 60 cm   correspondem a 0,60 m metros necessários para cada mesa: 2 3 0,85 1 2 3 0,60 5 5 1,70 1 1,20 5 2,90 R 2,90 m metros necessários para as 5 mesas: 5 3 2,90 5 14,50 R 14,50 m 6 mesas quadradas de lado 70 cm correspondem a 0,70 m necessários para cada mesa: 4 3 0,70 5 2,80 R 2,80 m metros necessários para as 6 mesas: 6 3 2,80 5 16,80 R 16,80 m total de metros necessários para todas as mesas: 14,50 1 16,80 5 31,30 R 31,30 m 3. Alternativa a. largura: 3,50 m; comprimento: 6,30 m contorno da sala: 2 3 3,50 1 2 3 6,30 5 5 7,0 1 12,6 5 19,6 R 19,6 m comprimento da peça de gesso: 70 cm que correspondem a 0,7 m. total de peças de gesso necessárias: 19,6 ; 0,7 5 28 R 28 peças

1

2

3

4

5

......................

19o telefone

......................

18o telefone

4o telefone

3o telefone

2o telefone

km 28

1o telefone

Editoria de arte

4. Alternativa d.

km 640

18 19 20

640 � 28 � 612 � 612 km

Para serem colocados os 19 telefones, é preciso dividir a distância acima calculada, de acordo com a figura, em 20 partes

66

6. área da cartolina: 75 3 30 5 2 250 R 2 250 cm2 área recortada da cartolina: 20 3 10 3 10 5 2 000 R 2 000 cm2 área restante: 2 250 2 2 000 5 250 R 250 cm2 7. Alternativa a. área reservada para o plantio de laranja: 3 3 600 5 450 → 450 ha 4 1 ha corresponde a 10 000 m2. 10 000 m2 correspondem a 0,01 km2, então 450 ha correspondem a: 450 3 0,01 5 4,5 R 4,5 km2 8. a) área da placa: 1 1 1 1 3 5 → m2 que corresponde a 0,25 m2 2 2 4 4 1 m2 de piso necessita: 1 ; 0,25 5 4 R 4 placas b) área a ser coberta: 55 m2 área da placa: 0,25 m2 quantidade de placas usadas: 55 ; 0,25 5 220 R 220 placas 9. Alternativa e. quantidade de pisos na caixa: 12 3 1,5 5 18 R 18 pisos área ocupada pelos pisos de uma caixa: 18 3 0,25 5 4,5 R 4,5 m2 área ocupada pelos pisos das 20 caixas: 20 3 4,5 5 90 R 90 m2 10. Alternativa b. área a ser gramada: 5 3 4200 5 3000 → 3000 m2 7 quantidade de placas necessárias: 3 000 ; 2 5 1 500 R 1 500 placas 11. Alternativa c. área da região A: 8 3 8 5 64 R 64 m2 área da região B: 4 3 4 5 16 R 16 m2 quantidade de vezes que a região A representa a região B: 64 ; 16 5 4 R 4 vezes


VOLUME E CAPACIDADE 44 – Medindo o espaço ocupado Explorando, página 293. Figura A: 42 Figura B: 210 Figura C: 24 Figura D: 12

45 – Volume do paralelepípedo retângulo Exercícios, página 296. 1. V 5 30 3 18 3 12 5 6 480 R 6 480 m3 2. V 5 2,5 3 2,5 3 2,5 5 (2,5)3 5 15,625 R R 15,625 m3 3. V 5 8 3 5 3 1,5 5 60 R 60 m3 4. Vcubo 5 4 3 4 3 4 5 64 R 64 m3 Vparalelepípedo 5 8 3 4 3 2 5 64 R 64 m3 Os volumes são iguais. 5. V 5 3,40 3 2,10 3 0,80 5 5,712 R 5,712 m3 6. V 5 0,20 3 0,10 3 0,05 5 0,001 R 0,001 m3

46 – Unidades de medida de volume Exercícios, página 297. 1. a) b)

1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 840 dm3 correspondem a: 840 3 0,001 5 0,840 R 0,840 m3 1 mm3 corresponde a 0,000 000 001 m3. 14 500 000 mm3 correspondem a: 14 500 000 3 0,000 000 001 5 0,0145 R R 0,0145 m3 c) 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 1 000 dm3 correspondem a: 1 000 3 0,001 5 1 R 1 m3 2. a) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 3,5 m3 correspondem a: 3,5 3 1 000 5 3 500 R 3 500 dm3 b) 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 1 250 3 correspondem a: 1 250 3 0,001 5 1,25 R 1,25 dm3

c) 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 m3 corresponde a: 4 1 3 1 000 5 250 R 250 dm3 4 3. V 5 1 3 1 3 1 5 1 R 1 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 4. volume máximo de um bujão: 13,5 dm3 2 volume gasto: 3 13, 5 5 9, 0 → 9, 0 dm3 3 volume que resta: 13,5 2 9,0 5 4,5 R 4,5 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 4,5 dm3 correspondem a: 4,5 3 0,001 5 0,0045 R 0,0045 m3 5. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 1 golpe retira 100 dm3. 7 golpes retiram: 7 3 100 5 700 R 700 dm3 resta de ar após o 7o golpe: 1 000 2 700 5 300 R 300 dm3 1 dm3 corresponde a 0,001 m3. 300 dm3 correspondem a: 300 3 0,001 5 0,3 R 0,3 m3 Brasil real, página 298. 1. a) b) c)

97% de água salgada; resta 3% de água doce 1,36 bilhão 5 1,36 3 1 000 000 000 5 5 1  360 000 000 R 1 360 000 000 km3 volume de água do planeta: 3% 3 1 360 000 000 5 5 0,03 3 1 360 000 000 5 5 40 800 000 R 40 800 000 km3 volume de água doce do Brasil: 13,7% 3 40 800 000 5 0,137 3 40 800 000 5 5 5 589 600 R 5 589 600 km3 volume de água doce na bacia do Paraná: 7% 3 5 589 600 5 0,07 3 5 589 600 5 5 391 272 R 391 272 km3 d) volume de água doce no Brasil: 5 589 600 km3 volume de água doce em São Paulo: 89 434 km3 porcentagem de água doce brasileira em São Paulo:

67


89 434 ; 5 589 600  0,016 R aproximadamente, 1,6%

b) leitura do hidrômetro da esquerda: 1 088,9808 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 1 088,9808 m3 correspondem a 1 088 980,8 L. leitura do hidrômetro da direita: 79,6569 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 79,6569 m3 correspondem a 79 656,9 L. c) Resposta em aberto.

2. leitura do mês: 1 946 m3 leitura do mês seguinte: 2 018 m3 consumo: 2 018 2 1 946 5 72 R 72 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3. 72 m3 correspondem a 72 000 dm3.

47 – Unidades de medida de capacidade Exercícios, página 301. 1. V 5 10 3 7 3 2,5 5 175 R 175 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 175 m3 correspondem a 175 000 L.

2. desperdício de água em um dia: 1 600 L desperdício de água em 7 dias: 1 600 3 7 5 11 200 R 11 200 L desperdício de água em 30 dias: 1 600 3 30 5 48 000 R 48 000 L 3. a) ducha gasta: 135 L 1 chuveiro gasta da ducha: 3 1 3 135 5 45 → 45 L 3 b) Usando ducha, gastam-se: 30 3 135 5 4 050 R 4 050 L usando chuveiro, gastam-se: 30 3 45 5 1 350 R 1 350 L c) em 15 minutos, gastam-se: 45 L em 5 minutos, gastam-se: 15 L em 30 dias, economizam-se: 30 3 15 5 450 R 450 L

2. V 5 10 3 10 3 10 5 1 000 R 1 000 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 L. 1 000 cm3 correspondem a 1 L. 3. V 5 1,2 3 1,2 3 1,2 5 1,728 R 1,728 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 1,728 m3 corresponde a 1 728 L. gasto diário: 432 L dias necessários para esvaziar a caixa-d’água: 1 728  432 5 4 R 4 dias 4. a) 1,6 m corresponde a 16 dm. 50 cm correspondem a 5 dm. 45 cm correspondem a 4,5 dm. volume da banheira: 16 3 5 3 4,5 5 360 R 360 dm3 ou 360 L b) água para o banho: 16 3 5 3 3 5 240 R 240 dm3 ou 240 L c) R$ 1,50 o metro cúbico de água: 1 dm3 corresponde a 0,001 dm3. 240 dm3 correspondem a 0,240 m3. preço do banho: 1,50 3 0,240 5 0,36 R R R$ 0,36 5. Alternativa c. V 5 1,00 3 1,20 3 0,80 5 0,96 R 0,96 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,96 m3 corresponde a 960 dm3 ou 960 L. Brasil real, páginas 302 e 303. 1. a) Registro no hidrômetro: 98,6777 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 98,6777 m3 correspondem a 98 677,7 dm3 ou 98 677,7 L.

68

4. Com a torneira aberta, gastam-se de água: 12 L Com a torneira aberta apenas para molhar a escova e enxaguar a boca: 2 L economia de água: 10 L Em uma quinzena, com 4 escovações por dia, economizam-se: 15 3 4 3 10 5 600 R 600 L 5. gasto diário de uma torneira malfechada: 48 L desperdício em um mês: 48 3 30 5 1 440 R 1 440 L desperdício em uma hora: 48 ; 24 5 2 R 2 L 6.

1 de a) gasto de uma torneira aberta, 4 volta, por 15 minutos: 108 L 1 gasto de uma torneira aberta, de 4 volta, por 5 minutos: 108 ; 3 5 36 R 36 L b) gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 15 minutos: 380 L gasto de uma torneira, uma volta aberta, por 30 minutos: 380 3 2 5 760 R 760 L


c) gasto de uma torneira aberta meia-volta por 15 minutos: 280 L gasto de uma torneira aberta meia-volta, por 3 minutos: 280 ; 5 5 56 R 56 L litros de água ingeridos por dia por uma pessoa: 2 L quantidade de dias para ingerir 56 L: 56 ; 2 5 28 R 28 dias

Desafio!, página 304. 1. O volume também dobra. 2. Em ambos os casos o volume também dobraria. 3. O volume do bloco ficaria multiplicado por 8.

48 – O  utras medidas para medir capacidade Exercícios, página 306. 1. a) b) c) d) e) f)

1 mL corresponde a 0,001 L. 1 200 mL correspondem a 1,2 L. 1 cL corresponde a 0,01 L. 85 cL correspondem a 0,85 L. 1 hL corresponde a 100 L. 2 hL correspondem a 200 L. 1 dm3 corresponde a 1 L. 87 dm3 correspondem a 87 L. 1 m3 corresponde a 1 000 L. 3,5 m3 correspondem a 3 500 L. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L.

2. 1 mL corresponde a 0,001 L. 1 L. 500 mL correspondem a 0,5 L ou 2 3. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 0,36 m3 corresponde a 360 L. 4. 1 L corresponde a 1 dm3. 400 L correspondem a 400 dm3. 1 dm3 corresponde a 1 000 cm3. 400 dm3 correspondem a 400 000 cm3. capacidade de cada frasco: 50 cm3 quantidade de frascos necessários: 400 000 ; 50 5 8 000 R 8 000 frascos

5. 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3 ou 0,001 L. 7 500 000 cm3 correspondem a 7 500 L. 6. 1 cL corresponde a 0,01 L. 33 cL correspondem a 0,33 L. 7. volume do tanque: 0,06 m3 volume de gasolina no tanque: 3 3 0, 06 5 0, 045 → 0, 045 m3 4 falta para encher o tanque: 0,06 – 0,045 5 0,015 R 0,015 m3 1 m3 corresponde a 1 000 L. 0,015 m3 corresponde a 15 L. 8. 1 L corresponde a 1 000 mL. 10 000 L corresponde a 10 000 000 mL. quantidade de garrafas usadas: 10 000 000 ; 250 5 40 000 R 40 000 garrafas

Desafio!, página 306. 1. Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte suficiente para completá-lo. O que restar no balde menor será 1 litro de água. 2. Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita.

Retomando o que aprendeu, página 307. 1. medidas do sólido R comprimento: 40 cm; largura: 20 cm; altura: 60 cm V 5 40 3 20 3 60 5 48 000 cm3 2. volume do 1o sólido: 1,2 m3 volume do 2o sólido: 5 3 1, 2 5 0, 75 R →0 , 75 m 0,75 m33 8 3. volume do cubo A: 2 3 2 3 2 5 8 R 8 cm3 volume do cubo B: 0,5 3 0,5 3 0,5 5 0,125 R 0,125 cm3 quantidade de vezes em que o cubo B cabe no cubo A: 8 ; 0,125 5 64 R 64 vezes

69


4. volume da caixa: 6 3 3 3 2 5 36 R 36 cm3 volume do paralelepípedo: 2 3 1,5 3 1 5 3 R 3 cm3 quantidade de paralelepípedos para encher a caixa: 36 ; 3 5 12 R 12 paralelepípedos

8. suco consumido em cada refeição: 750 mL suco consumido diariamente: 750 3 2 5 1 500 R 1 500 mL suco consumido em uma semana: 1 500 3 7 5 10 500 R 10 500 mL 1 mL corresponde a 0,001 L, logo 10 500 mL correspondem a 10,5 L.

5. volume do reservatório após a evaporação: 5 3 1,20 3 (1,20 – 0,05) 5 5 5 3 1,20 3 1,15 5 6,9 R 6,9 m3

9. volume da caixa-d’água: 105 m3 consumo diário: 4 3 105 5 84 → 84 m3 / dia 5 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 84 m3/dia correspondem a 84 000 L/dia.

6. 1 hora equivale a 60 minutos. 1 minuto equivale a 60 segundos, logo 1 hora equivale a: 60 3 60 5 3 600 R 3 600 segundos a cada 20 segundos goteja 7 vezes, logo em 3 600 segundos vai gotejar: (3 600 ; 20) 3 7 5 180 3 7 5 1 260 R 1 260 gotas volume de cada gota: 0,2 cm3 volume total de água que vaza: 1 260 3 0,2 5 252 R 252 cm3 1 cm3 corresponde a 0,001 dm3. 252 cm3 correspondem a 0,252 dm3. 7. volume do reservatório: 10 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 10 m3 correspondem a 10 000 dm3 ou 10 000 L. Retirando 2 200 L, restam: 10 000 – 2 200 5 7 800 R 7 800 L 2a retirada de água: 1 3 7800 5 2600 → 2600 L 3 Restam: 7 800 – 2 600 5 5 200 R 5 200 L

10. quantidade de gotas a cada 5 minutos: 100 gotas quantidade de gotas em 1 minuto: 100 ; 5 5 20 R 20 gotas 1 hora corresponde a 60 minutos. quantidade de gotas em 1 hora: 60 3 20 5 1 200 R 1 200 gotas volume de cada gota: 3 mL volume total das gotas em 1 hora: 1 200 3 3 5 3 600 R 3 600 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 3 600 mL correspondem a 3,6 L. 3,6 L > 1 L 11. quantidade de óleo comprada: 100 3 120 5 12 000 R 12 000 L capacidade de cada recipiente: 750 mL 1 mL corresponde a 0,001 L. 750 mL correspondem a 0,75 L. quantidade necessária de recipientes: 1 200 ; 0,75 5 16 000 R 16 000 recipientes

Medindo a massa 49 – Unidades de medida de massa

b) c) d) e) f)

Chegou a sua vez!, página 310. 1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto.

50 – T  ransformação das unidades de medida de massa Exercícios, página 312. 1. a) um pacote de arroz: quilograma;

70

carga de um caminhão: tonelada; um comprimido: miligrama; laje de concreto: tonelada; uma pessoa: quilograma; ovo de codorna: grama

2. a) g

b) kg

c) g

d) g

e) kg

3. a) 1 kg corresponde a 1 000 g. 2,3 kg correspondem a 2 300 g. 3 kg corresponde a: b) 4 3 3 1000 5 750 → 750 g 4

f) kg


c) d)

1 mg corresponde a 0,001 g. 950 mg correspondem a 0,95 g. 1 quilate corresponde a 0,2 g. 24 quilates correspondem a: 24 3 0,2 5 4,8 R 4,8 g

4. 3,6 ; 0,2 5 18 R 18 quilates 5. a) b)

1 sanduíche é feito com 270 g. 200 sanduíches são feitos com: 200 3 270 5 54 000 R 54 000 g 1 g corresponde a 0,001 kg. 54 000 g correspondem a 54 kg. 1 kg corresponde a 1 000 g. 17,55 kg correspondem a 17 550 g. 270 g de carne para 1 sanduíche R R 17 550 de carne para: 17 550 ; 270 5 65 R 65 sanduíches

b) 1 L corresponde a 1 kg. 30 000 L correspondem a 30 000 kg. 2. 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 40 m3 correspondem a 40 000 L. Se em cada litro (dm3) há 0,5 kg, em 40 000 L há: 40 000 3 0,5 5 20 000 R 20 000 kg 1 tonelada corresponde a 1 000 kg. 20 000 kg correspondem a 20 toneladas. 3. Seis embalagens de 0,5 kg correspondem a: 6 3 0,5 5 3,0 R 3 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 3 kg correspondem a 3 000 g. quantidade de embalagens de 250 g: 3 000 ; 250 5 12 R 12 embalagens 4. a) b)

6. 1 kg corresponde a 0,001 t. 83 000 kg correspondem a: 83 000 3 0,001 5 83 R 83 t 7. 1 kg corresponde a 1 000 g. 6 kg correspondem a 6 000 g. quantidade de pedaços de 750 g cada: 6 000 ; 750 5 8 R 8 pedaços 8. 1 kg corresponde a 1 000 g. 1 000 g custam R$ 5,00. 100 g custam: 5 ; 10 5 0,50 R R$ 0,50 700 g custam: 7 3 0,50 5 3,50 R R$ 3,50 9. Alternativa a. 64 kg correspondem a 64 000 g. Emagreceu 450 g, ficou com: 64 000 – 450 5 63 550 g 63 550 g correspondem a 63,550 kg ou 63 kg e 550 g.

5. 1,5 m corresponde a 15 dm. 1,20 m corresponde a 12 dm. 80 cm correspondem a 8 dm. volume do tanque: 15 3 12 3 8 5 1 440 R 1 440 dm3 ou 1 440 L 1 litro tem 0,7 kg, 1 440 L têm: 1 440 3 0,7 5 1 008 R 1 008 kg 1 kg corresponde a 0,001 t. 1 008 kg correspondem a: 1 008 3 0,001 5 1,008 R 1,008 t 6. a) 1,20 m de comprimento correspondem a 12 dm. 80 cm de largura correspondem a 8 dm. 45 cm de altura correspondem a 4,5 dm. volume de água no reservatório: 12 3 8 3 4,5 5 432 R 432 dm3 ou 432 L b) massa de 1 L de água: 1 kg massa de 432 L de água: 432 kg

10. Alternativa b. quantidade de goiabada: 2 kg correspondem a 2 000 g. quantidade consumida: 250 1 200 1 450 5 900 R 900 g quantidade que restou: 2 000 – 900 5 1 100 R 1 100 g Exercícios, páginas 313 e 314. 1. a)

volume do reservatório: 30 m3 1 m3 corresponde a 1 000 dm3 ou 1 000 L. 30 m3 correspondem a: 30 3 1 000 5 30 000 R 30 000 L

25 cm correspondem a 0,25 m. volume da laje: 5 3 3,2 3 0,25 5 4 R 4 m3 4 m3 correspondem a 4 000 dm3. Se 1 dm3 corresponde a 1,5 kg, 4 000 dm3 correspondem a: 4 000 3 1,5 5 6 000 R 6 000 kg

Brasil real, página 314. 1. a)

1 quarta corresponde a 12 kg. 45 quartas correspondem a: 45 3 12 5 540 R 540 kg 1 @ corresponde a 15 kg. 540 kg correspondem a: 540 ; 15 5 36 R 36 @

71


1 de um quintal corresponde a 1 @. 4 1 @ corresponde a 15 kg. 1 quintal corresponde a: 4 3 15 5 60 R 60 kg c) 1 @ corresponde a 15 kg. 30,5 @ correspondem a: 30,5 3 15 5 457,5 R 457,5 kg d) boi: 510 kg 510 kg correspondem a: 510 ; 15 5 34 R 34 @ 1 @ custa R$ 46,00, 34 @ custam: 34 3 46 5 1 564 R R$ 1 564,00 vaca: 465 kg 465 kg correspondem a: 465 ; 15 5 31 R 31 @ 1 @ custa R$ 42,00, 31 @ custam: 31 3 42 5 1 302 R R$ 1 302,00 preço pago pelos animais: 1 564 1 1 302 5 2 866 R R$ 2 866,00 2. a) 1 t corresponde a 1 000 kg. 28,5 milhões de toneladas correspondem a: 28,5 milhões 3 1 000 5 28,5 bilhões R R 28,5 bilhões de quilogramas b) aumento de produção: 30 400 000 – 28 500 000 5 1 900 000 R R 1,9 milhão de toneladas 1 @ corresponde a 15 kg. 1 tonelada corresponde a 1 000 kg ou, em arrobas: 1 000 ; 15 . 66,67 @ 1 900 000 toneladas correspondem a: 1 900 000 3 66,67  126 673 000 R R 126,7 milhões de arrobas b)

Desafio!, página 315. 1. 1 pote de fermento equivale a 5 caixas de gelatina. 2 potes de fermento equivalem a 10 caixas de gelatina. 1 pote de chocolate equivale a 2 potes de fermento, logo: 1 pote de chocolate equivale a 10 caixas de gelatina. 4 potes de chocolate equivalem a 40 caixas de gelatina. 2 kg de açúcar equivalem a 40 caixas de gelatina.

72

2. 2 kg de açúcar correspondem a 2 000 g de açúcar. 4 potes de chocolate equivalem a 2 000 g. 1 pote de chocolate equivale a: 200 ; 4 5 500 R 500 g 3. Resposta em aberto. Retomando o que aprendeu, página 315. 1 1. 1 bloco tem 1 t, 20 blocos têm: 4 1 5 3 20 5 3 20 5 25 R 25 t 1 4 4 2. 1 m3 tem 150 g de massa. 1,2 kg corresponde a 1 200 g, logo 1 200 correspondem a: 1 200 ; 150 5 8 R 8 m3 de massa 3. massa da laje: 42 toneladas 42 toneladas correspondem a 42 000 kg. quantidade de blocos que formam a laje: 28 massa de cada bloco: 42 000 ; 28 5 1 500 R 1 500 kg 4. A produção dobra a cada ano. Em 2002, a produção foi de 125 kg. 2 toneladas correspondem a 2 000 kg, logo em 2003 a produção foi de 250 kg, em 2004 foi de 500 kg, em 2005 foi de 1 000 kg e, em 2006, a produção foi de 2 000 kg. 5. cada bolinha: 0,25 kg 1 kg corresponde a 1 000 g. 0,25 kg corresponde a: 0,25 3 1 000 5 250 g 28 bolinhas têm: 28 3 250 5 7 000 R 7 000 g caixa com as bolinhas: 7,35 kg ou 7 350 g caixa tem: 7 350 2 7 000 5 350 R 350 g 6. 1 pacote de feijão equivale a 500 g. 12 pacotes de feijão equivalem a: 12 3 500 5 6 000 R 6 000 g consumo de feijão por semana: 1,5 kg corresponde a 1 500 g. 6 000 g serão consumidos em: 6 000 ; 1 500 5 4 R 4 semanas 7. a) b)

volume de concreto na laje: 20 3 8 3 0,25 5 40 R 40 m3 1 m3 de concreto tem 1 000 kg. 1 000 kg correspondem a 1 t, logo: 1 m3 de concreto tem 1 t, 40 m3 de concreto têm 40 t.


SUMÁRIO 7.o ano Potências e raízes.............................................................................................. 75 O conjunto dos números inteiros....................................................................... 84 O conjunto dos números racionais. ................................................................... 102 Estudando as equações...................................................................................... 117 Estudando as inequações................................................................................... 147 Estudando os ângulos....................................................................................... 155 Estudando triângulos e quadriláteros.............................................................. 165 Razões e proporções. ......................................................................................... 167 Grandezas proporcionais................................................................................... 185 Porcentagem...................................................................................................... 200


Potências e raízes b) 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 3 0,9 5 (0,9)5 c) 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 3 7 5 5 710 2 2 2  2 d) ­ 3 5   5 5  5

Abertura, página 7. • Pra pensar, sem se cansar: Com quantos cubinhos se faz um cubo? Depende do tamanho do cubo. • Procure no dicionário: Qual a diferença entre censo e recenseamento? Censo: conjunto dos dados estatísticos dos habitantes de uma cidade, província, estado, nação etc., com todas as suas características. Recenseamento: arrolamento de pessoas ou de animais. • Número quadrado: E quantos quadradinhos terá o próximo número da sequência? A sequência começa com 4 quadradinhos, depois passa para 16 e depois para 256. Logo, o próximo número da sequência será 65 536. • Preste bem a atenção e conte de forma certeira: Quantos são os quadrados? São 14 quadrados no total: nove quadrados com 1 palito, quatro quadrados com 2 palitos e um quadrado com 3 palitos.

e) 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 1,5 3 ... 1,5 5(1,5)20   20 fatores

 3  3  3  3  3 f)   3   3   3   5    7  7  7  7  7 g) 1 3 1 3 1 3 1 3 ... 3 1 5 1100    100 fatores

2. a) 46 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 b) (0,7)3 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 2

 1  1  1 c) ­­­­­   5   3    8  8  8 d) 104 5 10 3 10 3 10 3 10 3. De acordo com as figuras, temos: a) 4 3 4 5 42 b) 2 3 2 3 2 5 23 4. a) 63 5 6 3 6 3 6 5 216 b) 105 5 10 3 10 3 10 3 10 3 10 5 100 000 c) 72 5 7 3 7 5 49 d) 112 5 11 3 11 5 121 e) 90 5 1 f) (0,3)3 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,027 g) (1,8)2 5 (1,8) 3 (1,8) 5 3,24

1 – Potência de um número racional Explorando, página 8. a) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 8 partes iguais. b) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 16 partes iguais. c) Desdobrando a folha, verificamos que ela ficou dividida em 32 partes iguais. d) De acordo com os itens anteriores, se dobrarmos a folha: • 6 vezes, ela ficará dividida em 64 partes iguais. • 7 vezes, ela ficará dividida em 128 partes iguais. • 8 vezes, ela ficará dividida em 256 partes iguais. Resposta em aberto. Exercícios, páginas 10 e 11. 1. a) 10 3 10 3 10 5 103

4

 1

5

 1

 1

 1

 1

 1

1

h)   5   3   3   3   3   5  2   2   2   2   2  32  2 4

16  2  2  2  2  2 i)   5   3   3   3   5 5 5 5 5 5 625           j) (2,5)0 5 1 5. De acordo com a figura, cada aresta tem 8 cubinhos; logo, o total de cubinhos será: 83 5 8 3 8 3 8, ou seja, 512 cubinhos. 6. De acordo com a figura, temos: 132 5 13 3 13 5 169 7. a) (0,2)2 5 (0,2) 3 (0,2) 5 0,04 b) Escrevendo 0,04 na forma de fração irredutível, temos: 44 1 0, 04 5 5 100  4 25

75


c) Escrevendo 0,04 na forma percentual, temos: 0,04 3 100 5 4%.

c) • 25 : 23 5 32 : 8 5 4 • 22 5 4 • 35 : 32 5 243 : 9 5 27 • 33 5 27

8. Das expressões, temos: (11 1 3)2 5 (14)2 5 14 3 14 5 196 112 1 32 5 121 1 9 5 130 Logo, as expressões não são iguais, pois 196 ≠ 130.

d) • 25 : 23 5 4 e 22 5 4 Logo, 25 : 23 5 22. • 35 : 32 5 27 e 33 5 27 Logo, 35 : 32 5 33.

9. De acordo com o enunciado, vem: N 5 2 3 (0,9) 2 (0,9)2 N 5 1,8 2 0,81 N 5 0,99

e) • (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 • 26 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 • (32)2 5 (9)2 5 9 3 9 5 81 • 34 5 3 3 3 3 3 3 3 5 81 • (22)3 5 (4)3 5 4 3 4 3 4 5 64 • 26 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64

10. a) x 5 24 3 22 x 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 y 5 28 y 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 256 Logo, x  y. b) x 5 22 3 52 x 5 2 3 2 3 5 3 5 5 100 y 5 (5 3 2)2 y 5 (10)2 y 5 10 3 10 5 100 Logo, x 5 y.

f) • (23)2 5 26, pois (23)2 5 64 e 26 5 64. • (32)2 5 34, pois (32)2 5 81 e 34 5 81. • (22)3 5 26, pois (22)3 5 64 e 26 5 64. 3. a) • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 33 5 3 3 3 3 3 5 27 • 23 3 33 5 8 3 27 5 216 • (2 3 3)3 5 (6)3 5 6 3 6 3 6 5 216

11. Como 40% 5 0,4, então, o quadrado de 40% será: (0,4)2 5 (0,4) 3 (0,4) 5 0,16

b) • 32 5 3 3 3 5 9 • 52 5 5 3 5 5 25 • 32 3 52 5 9 3 25 5 225 • (3 3 5)2 5 (15)2 5 15 3 15 5 225

12. 10 5 100 ou 10 5 10 ⇒ x 5 2 8o 5 y ⇒ y 5 1 Logo, x 2 y 5 2 2 1 5 1. x

x

2

c)

2 – Propriedades da potenciação

• 53 5 5 3 5 3 5 5 125 • 23 5 2 3 2 3 2 5 8 • 53 3 23 5 125 3 8 5 1 000 • (5 3 2)3 5 (10)3 5 10 3 10 3 10 5 1 000

Explorando, páginas 11 e 12. 1. De acordo com o esquema, temos: 33 5 3 3 3 3 3 5 27 Portanto, Larissa usou 27 cubinhos. 2. De acordo com os resultados obtidos por Carlos, temos: a) • 22 3 23 5 4 3 8 5 32 • 25 5 32 • 34 3 32 5 81 3 9 5 729 • 36 5 729 b) • 22 3 23 5 32 e 25 5 32 Logo, 22 3 23 5 25. • 34 3 32 5 729 e 36 5 729 Logo, 34 3 32 5 36.

76

d) • 22 5 2 3 2 5 4 • 42 5 4 3 4 5 16 • 22 3 42 5 4 3 16 5 64 • (2 3 4)2 5 (8)2 5 8 3 8 5 64 Resposta em aberto. Exercícios, página 16. 1. a) 75 3 74 5 75 + 4 5 79 b) (132)6 5 132 3 6 5 1312 c) 85 : 84 5 85 2 4 5 81 d) (x10)3 5 x10 3 3 5 x30 e) (0,6)10 : (0,6)7 5 (0,6)10 2 7 5 (0,6)3


7.

3

 3  3  3  3 3 3  3  9 f)    5   5   4  4    4  20

15

 7  7  7 g)      5   9 9  9    

20 2 15

 7 5   9

a) 35 000 5 35 3 103 b) 60 000 000 5 6 3 107 c) 920 000 5 92 3 104 d) 92 000 000 000 5 92 3 109

5

h) (0,9)8 3 (0,9) 3 (0,9)3 5 (0,9)8 + 1 + 3 5 5 (0,9)12 4

8. 9 5 32; 27 5 33; 729 5 36 (9 3 27) 729 5 (32 3 33) 36 5 (32 1 3) 36 5 35  36 5

i) (1,7)10 5 (1,7)10 3 4 5 (1,7)40   2. a 5 213; b 5 27; c 5 25 a) a 3 b 5 213 3 27 5 213 1 7 5 220 b) b : c 5 27 : 25 5 27 2 5 5 22 c) a 3 c 5 213 3 25 5 213 1 5 5 218 d) a : b 5 213 : 27 5 213 2 7 5 26 e) a2 5 (213)2 5 213 3 2 5 226 f) b3 5 (27)3 5 27 3 3 5 221 g) a 3 b 3 c 5 213 3 27 3 25 5 213 1 7 1 5 5 225 h) a : c 5 213 : 25 5 213 2 5 5 28 i) c4 5 (25)4 5 25 3 4 5 220 3. Sendo x 5 104 e y 5 103, temos: x3 5 (104)3 5 104 3 3 5 1012 y4 5 (103)4 5 103 3 4 5 1012 Logo, x3 5 y4. 4. a) (5 3 11 3 23)3 5 53 3 113 3 233 b) (23 3 3)4 5 (23)4 3 34 5 212 3 34 c) (35 : 52)2 5 (35)2 : (52)2 5 310 : 54 3

3

3

3

3

3

45  )44(23,1  4(5 2,3 (2)4,33 )(42,(1,1) 1 (2)5,1)55 (5 2,3 ((0,6) 2)4,3 (2(1,1) )5,1)55 2,3 (2)12 ,35 2,1 )12(5 (2)15 ,1)15 d) ((0,6) 7

7

  e)  1  3  2   5  1  3  2  7 3  3       7  3

3

35 1 5 35 2 6 5 321 5 3 36

5

7

9. a) (29 3 211 3 23) : (27)3 5 (29 1 11 1 3) : 27 3 3 5 5 223 : 221 5 223 2 21 5 22 5 4 10 b) (0, 4)2  (0, 4)9 3 (0, 4)7 3 (0, 4) 5 (0, 4)2 3 10 (0, 4)9 1 7 1 1 5 5 (0,4)20 : (0,4)17 5 (0,4)20 2 17 5 (0,4)3 5 5 (0,4) 3 (0,4) 3 (0,4) 5 0,064 10. a 5 27 3 34 3 72; b 5 25 3 32 3 7; c 5 25 3 3 3 7 a) a : b (27 3 34 3 72) : (25 3 32 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 2 3 3 72 2 1 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252 b) a : c (27 3 34 3 72) : (25 3 3 3 7) 5 27 2 5 3 34 2 1 3 3 72 2 1 5 22 3 33 3 7 5 5 4 3 27 3 7 5 756 c) b : c (25 3 32 3 7) : (25 3 3 3 7) 5 25 2 5 3 32 2 1 3 3 71 2 1 5 20 3 31 3 70 5 51333153 11. (104 )7 104 3 7 1028 5 5 5 (108 3 10)3 108 3 3 3 103 1024 3 103

3

f) (2,3)4 (2,1)5 5 (2,3)4  (2,1)5 5 (2,3)12 5 (2,1)15

5

5. a) a2 3 b2 5 (a 3 b)2 Como a 3 b 5 6, temos: a2 3 b2 5 62 5 36 b) a3 3 b3 5 (a 3 b)3 Como a 3 b 5 6, temos: a3 3 b3 5 63 5 216 6. giga: 1 000 000 000 5 109 mega: 1 000 000 5 106 miria: 10 000 5 104 quilo: 1 000 5 103 hecto: 100 5 102 deca: 10 5 101

1028 1028 5 27 5 24 1 3 10 10

5 1028 : 1027 5 1028 2 27 5 101 5 10 12. Sabendo que 1 024 5 210 e 64 5 26, temos: 1 0242 : 643 5 (210)2 : (26)3 5 210 3 2 : 26 3 3 5 5 220 : 218 5 220 2 18 5 22 5 4 13. a) Se o raio do Sol é 7 3 1010 cm e 1 km 5 5 105 cm, então, o raio do Sol será: 7 3 1010 : 105 5 7 3 1010 2 5 5 7 3 105 5 5 7 3 100 000 5 700 000 Logo, o raio do Sol tem aproximadamente 700 000 km.

77


b) 150 000 000 km 5 15 3 107 km c) A distância da Terra à Lua é 384 000 km; logo, sendo 1 km 5 103 m, temos: d 5 384 3 103 3 103 5 384 3 103 1 3 5 5 384 3 106  d 5 384 3 106 m d) O raio da Lua é aproximadamente 1 700 km; logo, sendo 1 km 5 105 cm, temos: rLua 5 1 700 3 105 5 17 3 102 3 105 5 5 17 3 102 1 5  rLua 5 17 3 107 cm e) O raio da Terra é 3,765 vezes maior que o raio da Lua. Como o raio da Lua é aproximadamente 1 700 km, o raio da Terra será, aproximadamente: 3,765 3 1 700 km 5 6 400,5 km

A: 36; B: 24; C: 64; D: 25; E: 72 b) Os quadrados são as figuras: A, C e D. c) Os números correspondentes às áreas dos quadrados são: A: 36; C: 64; D: 25 Exercícios, página 21. 1.

1 cm

a) Sim, basta formar 5 fileiras com 5 quadrados em cada uma. b) 25 é um quadrado perfeito, pois 25 5 52. c) Não, pois o número de quadrados em cada linha e em cada coluna não será o mesmo. d) Não, pois não há número natural que elevado a 2 resulte em 29.

Brasil real, página 18. a) De acordo com a tabela de referências, a maior distância entre os extremos do Brasil é de Norte a Sul. b) Sendo 1 km 5 103 m, temos: 4 402 km  4 402 3 103 m 4 325 km  4 325 3 103 m Chegou a sua vez!, página 19. a) 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 128 b) 36 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 729 c) 35 3 36 5 35 1 6 5 311 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5    7

1 cm

2. a)

11 vezes

5 531441 e) 26 3 26 5 26 1 6 5 212 5 2 3 2 3 2 3 2 3 ... 3 2 5 4 096  12 vezes

f) (0,3)6 5 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 (0,3) 3 3 (0,3) 3 (0,3) 5 0,000729 g) (0,7)7 5 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 3 3 (0,7) 3 (0,7) 3 (0,7) 5 0,0823543 h) (2,25)5 5 (2,25) 3 (2,25) 3 (2,25) 3 3 (2,25) 3 (2,25) 5 57,665038 i) (32)4 5 32 3 4 5 38 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5 6 561 j) (4)7 5 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 5 5 16 384

3 – Números quadrados perfeitos Explorando, página 19. a) Contando os quadradinhos de cada figura, temos:

78

2 2 3 3 5 2 2 3 32 3 5

Como o fator 5 não apresenta expoente par, 180 não é um quadrado perfeito.

5 177147 d) 310 3 32 5 310 + 2 5 312 5 3 3 3 3 3 3 3 3 ... 3 3 5  12 vezes

180 90 45 15 5 1

b)

225 75 25 5 1

3 3 5 5 3 2 3 52

Como todos os fatores apresentam expoente par, 225 é um número quadrado perfeito. c)

729 243 81 27 9 3 1

3 3 3 3 3 3 36

Como o fator apresenta expoente par, 729 é um número quadrado perfeito.


d)

1 000 500 250 125 25 5 1

2 2 2 5 5 5 23 3 53

Como os fatores não apresentam expoente par, 1 000 não é um número quadrado perfeito. e)

1 024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 210

Como o fator apresenta expoente par, 1 024 é um número quadrado perfeito. f)

1 225 245 49 7 1

5 5 7 7 52 3 72

Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 225 é um número quadrado perfeito. g)

1 600 800 400 200 100 50 25 5 1

2 2 2 2 2 2 5 5 26 3 52

Como todos os fatores apresentam expoente par, 1 600 é um número quadrado perfeito. h)

2 000 1 000 500 250 125 25 5 1

i)

2 025 675 225 75 25 5 1

3 3 3 3 5 5 34 3 52

Como todos os fatores apresentam expoente par, 2 025 é um número quadrado perfeito. 3. Para que 24 3 5x 3 112 seja um número quadrado perfeito, devemos ter todos os expoentes pares. Logo, os possíveis valores para o expoente x, dentre os números apresentados, são 6 e 10. 4. 38 3 114 é um quadrado perfeito, pois todos os fatores apresentam expoente par. 5. Para que 2n 3 76 não seja um número quadrado perfeito, basta que n seja um número ímpar. 6. Os números quadrados perfeitos entre 100 e 300 são: 112 5 121; 122 5 144; 132 5 169; 142 5 196; 152 5 225; 162 5 256; 172 5 289 Logo, existem 7 números quadrados perfeitos entre 100 e 300. 7. Entre 450 e 500, há um único quadrado perfeito; logo, N vale 484. Desafio!, página 22. a) A figura é formada por 42 ou 24 quadrados com lados medindo um palito. b) A figura é formada por 32 quadrados com lados medindo dois palitos. c) A figura possui 22 quadrados formados por três palitos. d) Para que não restem quadrados, devem ser removidos da figura 32 palitos.

2 2 2 2 5 5 5 24 3 53

Como o fator 5 não apresenta expoente par, 2 000 não é um quadrado perfeito.

79


2

81 34 (32)2 (9)2  9   9  9  5 2 5 5 5 3  2 2 2 5 100 10  10   10   2 35 (2 3 5) (10) 2 81 34 (32)2 (9)2  9   9   9  5 3 5 0,81 5 5 2 5 5 5   2 2 2 100 10  10   10    2 35 (2 3 5) (10)

Exercícios, página 24. 1. a) 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 26

0,81 5

5 (0,9) 3 (0,9) Logo, 0,81 5 0,9 . f) 36 2 18 2 9 3 3 3 1 22 3 32

26 5 (23)2 5 (8)2 5 8 3 8 Logo, 64 5 8 .

100 50 25 5 1

b) 49 7 7 7 1 72 72 5 7 3 7 Logo, 49 5 7 .

2

36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2  6   6   6  5 3 5 2  2 5 2 5 2 5 100 1 0  10   10    2 35 (2 3 5) (10) 2 36 22 3 32 (2 3 3)2 (6)2  6   6   6  5 3 5 0,36 5 5 2 5 2 5 2 5 100  10   10  2 35 (2 3 5) (10)2  10 

c) 25 5 5 5 1 52

0,36 5

5(0,6) 3 (0,6) 2

1 1  1  1  1 5 2 5  5  3  25  5  5  5 5 2

1 1 5 . 25 5

Logo, d) 49 7 7 7 1 72 9 3 3 3 1 32

2

49 72  7   7  7 5 2 5  5  3  9  3  3  3 3 49 7 5 . 9 3

Logo, e) 81 3 27 3 9 3 3 3 1 34 100 50 25 5 1

80

2 2 5 5 22 3 52

2 2 5 5 22 3 52

0, 0004 5

Logo, 0,36 5 0,6 . g)

4 2 2 2 1 22 10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1 0, 0004 5

2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54 4 22 (2)2 (2)2 (2)2  5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2  2

4 22 (2)2 (2)2 (2)2  2  5 4 5 4 5 2 22 5 2 5 2 5 10000  100  2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)  2   2  5 3 5 (0, 02) 3 (0, 02)  100   100  Logo, 0, 0004 5 0, 02 . h) 16 2 8 2 4 2 2 2 1 24


10 000 5 000 2 500 1 250 625 125 25 5 1

c) 676 2 338 2 169 13 13 13 1 22 3 132

2 2 2 2 5 5 5 5 24 3 54

22 3 133 5 (2 3 13)2 5 (26)2 5 26 3 26 Logo, 676 5 26 .

256 d) (4 16 24 (22)2 (4)2 )2 5 4 4 5 2 22 5 2 5 128 10000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100)2 64 4 22 2 2 16 2 (2 ) (4) (4) 5 4 32 4 5 2 22 5 2 5 2 5 000 2 35 (2 3 5 ) (4 3 25) (100) 16 2 8  4   4   4  5 5 3 5 (0, 04) 3 (0, 04)    4  100   100   100  2 Logo, 0, 0016 5 0, 04 . 1 0, 0016 5

28 5 (24)2 5 (16)2 5 16 3 16 Logo, 256 5 16 .

2. 2

169 13 169  13  5 , pois  5 400 20 400  20  Sendo x 5 3.

e) 1 764 2 882 2 441 3 147 3 49 7 7 7 1 22 3 32 3 72

13 169 . , chegamos em x 5 20 400 2

121 (11)2  11   11   11  5 5 3  2 5 196 14  14   14    (14) 11 Logo, n 5 . 14 n2 5

1 764 5 22 3 32 3 72 5 (2 3 3 3 7)2 5 5 (42)2 5 42 3 42 Logo, 1764 5 42 .

4. 210 3 52 3 72 5 (25 3 5 3 7)2 5 (1 120)2 5 5 (1 120) 3 (1 120)

f) 2 304 2 1 152 2 576 2 288 2 144 2 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 2 8 3 32

Logo, 210 3 52 3 72 5 1120 . 5. a) 484 2 242 2 121 11 11 11 1 22 3 112 22 3 112 5 (2 3 11)2 5 (22)2 5 22 3 22 Logo, 484 5 22 . b) 729 3 243 3 81 3 27 3 9 3 3 3 1 36

2 52 2 2 2 2 2 2 28

28 3 32 5 (24 3 3)2 5 (16 3 3)2 5 (48)2 5 5 48 3 48 Logo, 2304 5 48 . 6.

2

a) 4,84 5

484 (22)2  22   22   22  5 (2,2) 3 (2,2) 5 5 3  2 5 100 10  10   10    (10)

2

484 (22)2  22   22   22  5 (2,2) 3 (2,2) 4,84 5 5 5 5 3 100  10   10  (10)2  10  36 5 (33)2 5 (27)2 5 27 3 27

Logo, 729 5 27 .

Logo, 4,84 5 2,2 .

81


2

c) 60 bananas valem 5 moedas de prata, 729 (27)2  27   27   27  5 (2,7) 3 (2,7) 5 5 5 3 já que cada 12 bananas valem uma 100  10   10  (10)2  10  2 moeda de prata. 2 729 (27)  27   27   27  5 (2,7) 3 (2,7) 29 5 5 5 3    2 5 d) Transformando dúzias em unidades, 100  10   10   10  (10) temos: Logo, 7,29 5 2,7 . 1 dúzia 5 12 unidades. 2 676 (26)2  26   26   26  c) 6,76 5 5 ( , ) 3 ( ,6)dúzias e 1 5 54 unidades. 2 6 2 5 5 5 3  10   10  4 100 (10)2  10  2 2 2 Como 6 laranjas valem 2 moedas de ouro, 676 (26)  26   26   26  5 (2,6) 3 (2,6) 76 5 5 5 3 54 laranjas valem 18 moedas de ouro.    2 5 100  10   10   10  (10) 1 e) 3 quilogramas e de café valem 21 Logo, 6,76 5 2,6 . 2 1 2 moedas de prata, pois quilograma 256 (16)2  16   16   16  2 5 (1,6) 3 (1,6) 5 5 3 d) 2,56 5    2 5 100  10   10   10  (10) de café vale 3 moedas de prata. 2 2 f) 3 leitões valem 30 moedas de ouro, pois 256 (16)  16   16   16  5 (1,6) 3 (1,6) 56 5 5 5 5 3 1 leitão vale 10 moedas de ouro. 100  10   10  (10)2  10  g) Não é possível responder a essa Logo, 2,56 5 1,6 . questão, pois faltam dados. 2 1764 (42)2  42   42   42  e) 0,1764 5 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000  100   100  (100)2  100  Chegou a sua vez!, página 26. 2 1764 (42)2  42   42   42  a) Gráfico A: matrículas na Educação 3 5 (0, 42) 3 (0, 42) 5 5 5 10000  100   100  (100)2  100  Básica em 2006; b) 7,29 5

Logo,

0,1764 5 0, 42 .

Gráfico B: matrículas na Educação Básica em 2005 e 2006; 2304 (48)  48   48   48  f) 0,2304 5 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5    2 5 10000  100   100  Gráfico C: matrículas na EJA entre 2000  100  (100) e 2006. 2 2304 (48)2  48   48   48  b) Gráfico A: gráfico de setores; 3 5 (0, 48) 3 (0, 48) 5 5 5 10000  100   100  (100)2  100  Gráfico B: gráfico de barras; Logo, 0,2304 5 0, 48 . Gráfico C: gráfico de linhas. 12 c) Sim, pois, de acordo com o gráfico A, 7. Se x 5 2 , temos: 12 6 2 2 59,5% dos alunos foram matriculados 2 5 (2 ) 5 (64) 5 64 3 64 no Ensino Fundamental. Logo, x 5 64. d) Não; de acordo com as informações do 8. gráfico B, a quantidade de matrículas 1 521 3 na EJA permaneceu a mesma. 507 3 e) De acordo com o gráfico C, a 169 13 quantidade de matrículas na EJA vem 13 13 crescendo no período apresentado. 1 32 3 132 2

2

n2 5 1 521 5 32 3 132 5 (3 3 13)2 5 (39)2 5 5 39 3 39 Logo, n 5 39. Desafio!, p��gina 24. a) 36 ovos valem 12 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade de ovos, a quantidade de moedas de ouro também triplica. b) 54 galinhas valem 21 moedas de ouro R triplicando-se a quantidade inicial de galinhas, a quantidade de moedas de ouro também triplica.

82

Retomando o que aprendeu, página 27. 1. Alternativa c. Pelo sistema “mata-mata”, 8 times chegam às quartas de final, ou seja, 23 times estão participando dessa etapa. 2. Alternativa b. I) (3 1 5)2 5 32 1 52 (8)2 5 9 1 25 64 5 34 (Falso.) II) (102)3 5 105 106 5 105 (Falso.)


III) 7  72 5 73 73 5 73 (Verdadeiro.) IV) 100 5 0 1 5 0 (Falso.) Apenas a igualdade III é verdadeira. 3. Alternativa a. 1a expressão: (25 : 22) : 22 5 (25 2 2) : 22 5 23 : 22 5 21 5 2 2a expressão: 25 : (22 : 22) 5 25 : (22 2 2) 5 25 : 20 5 25 5 32 a) Verdadeiro, pois 2  32. b) Falso, pois 2  32. c) Falso, pois 2  32. 4. Alternativa d. (27 : 24) 2 22 5 (27 2 4) 2 4 5 23 2 4 5 8 2 4 5 4 Logo, n 5 4. 5. Alternativa e. a 5 (102 3 10)7 : (104)5 a 5 (102 1 1)7 : 1020 a 5 (103)7 : 1020 a 5 1021 : 1020 a 5 1021 2 20 a 5 101 a 5 10

8. Alternativa b. Para que um número seja quadrado perfeito, todos os expoentes dos fatores devem ser par. Dentre os fatores dados, o 5 é o único que tem expoente ímpar; portanto, se multiplicarmos 24 3 32 3 53 por 5, obteremos um número quadrado perfeito: (24 3 32 3 53) 3 5 5 24 3 32 3 54 9. Alternativa d. 2 916 1 458 729 243 81 27 9 3 1

2 2 3 3 3 3 3 3 22 3 36

22 3 36 5 (2 3 33)2 5 (2 3 27)2 5 (54)2 5 5 54 3 54 Logo, 2916 5 54 .

10. Alternativa a. 2 2704 (52)2  52   52   52  3 5 (5,2) 3 (5,2) 27, 04 5 5 5 5 100  10   10  (10)2  10  2 2704 (52)2  52   52   52  27, 04 5 5 5  10  5  10  3  10  5 (5,2) 3 (5,2) 2 100 2 ( 10 ) b 5 47 3 410 3 4 (45)7 2 Logo, 27, 04 5 5,2 . b 5 47 1 10 1 4  435 2 11. Alternativa e. b 5 418 : 435 64 121 4 1 0,64 2 1,21 5 2 1 2 5 b 5 436 : 435 100 100 8 11 b 5 436 2 35 52 1 2 5 2 1 0,8 2 1,1 5 1,7 10 10 1 b54 Logo, 4 1 0,64 2 1,21 5 1,7 . b54 12. Alternativa c. Logo, a + b 5 10 + 4 5 14. 81 9 x 5 0,81 5 5 5 0,9 6. Alternativa a. 100 10 x 5 36 5 729 121 11 y 5 0, 0121 5 5 5 0,11 y 5 93 5 729 10000 100 Logo, x 5 y.

Logo, x 2 y 5 0,9 2 0,11 5 0,79.

7. Alternativa c. Se x 5 27 3 38 3 7 e y 5 25 3 36, então: x 5 (27 3 38 3 7) : (25 3 36) 5 27 2 5 3 38 2 6 3 y 3 7 5 22 3 32 3 7 5 5 4 3 9 3 7 5 252 x Logo, 5 252. y

83


O conjunto dos números inteiros Abertura, página 28.

Pontos ganhos

Time

• O que é maior?: 7 graus Celsius abaixo de zero ou 70 graus Celsius abaixo de zero? 27 8C > 270 8C, pois 7 graus Celsius abaixo de zero está mais próximo do marco zero do que 70 graus Celsius abaixo de zero.

Gols marcados

Gols sofridos

Saldo de gols

Cruzeiro

53

52

45

17

Atlético-PR

48

61

62

21

Corinthians

53

41

46

25

Santa Cruz

28

41

76

235

Fonte: <www.cbfnews.uol.com.br >. Acesso em: 18 jul. 2007.

e) Colocando as informações dos dois times em uma tabela, vem:

4 – A ideia de números inteiros Explorando, página 29. 1. a) O andar térreo é indicado pelo número zero (0). b) Os botões que indicam os andares acima do térreo são: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 110 c) Os botões que indicam os andares abaixo do térreo são: 21, 22, 23, 24, 25, 26 d) Resposta em aberto. 2. a) Os times com saldo de gols positivo são: São Paulo, Vasco e Cruzeiro. Já os times com saldo de gols negativo são: Corinthians, Atlético-PR e Santa Cruz. b) Os saldos de gols positivos foram indicados com o sinal de mais (1), e os saldos negativos, com o sinal de menos (2). c) Como o saldo de gols é a diferença entre o número de gols marcados e o número de gols sofridos, temos: 5

2 621 39 223

Como a quantidade de gols sofridos foi maior, representamos o saldo de gols da seguinte forma: 223. d) Não; para que os times ficassem ordenados do maior saldo de gols para o menor, a tabela deveria ser organizada da seguinte forma: Time

84

Pontos ganhos

Gols marcados

Gols sofridos

Saldo de gols

São Paulo

78

66

32

134

Vasco

59

57

50

17

Time

Gols marcados

Gols sofridos

Saldo de gols

Flamengo

44

48

24

Palmeiras

58

70

212

De acordo com essa tabela, o Flamengo possui o maior saldo de gols.

Exercícios, página 34. 1. Representando as situações por números inteiros, temos: a) 28 pontos. b) 26 c) 1550 reais. d) 11 200 m e) 142 8C f) 121 gols. g) 24 000 m 2. Como Heródoto nasceu em 484 antes de Cristo, podemos representar essa data da seguinte forma: 2484. 3. Como a equipe marcou 17 gols e sofreu 20 gols, o saldo de gols será indicado por: 23. 4. O nível do mar é representado pelo número 0; logo, 395 metros abaixo do nível do mar é representado por: 2395. 5. Como o monte Aconcágua tem 6 959 m de altura, podemos representar sua altura da seguinte forma: 16 959 m. 6. Considerando o saldo inicial de R$ 300,00 e efetuando as operações para cada situação, temos: a) 1300 2 250 5 150 R 150 reais. b) 1300 1 200 5 1500 R 1500 reais. c) 1300 1 100 5 1400 R 1400 reais. d) 1300 2 320 5 220 R220 reais.


5 – O conjunto dos números inteiros

5. De acordo com o exercício 3 e considerando que cada intervalo na reta representa a distância de 100 km, vem: a) distância entre as cidades A e C R 200 km, pois há 2 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. b) distância entre as cidades A e D R 500 km, pois há 5 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. c) distância entre as cidades B e A R 600 km, pois há 6 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. d) distância entre as cidades E e B R 300 km, pois há 3 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. e) distância entre as cidades B e D R 1 100 km, pois há 11 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades. f) distância entre as cidades E e A R 900 km, pois há 9 intervalos entre os pontos que representam a localização dessas cidades.

Exercícios, página 37. 1. a) A profundidade é indicada por um número negativo. Logo, a profundidade referida será: 2300 m. b) A altura é indicada por um número positivo. Logo, a altura referida será: 115 000 m. c) A situação descrita será representada por: 21 700 m. d) A representação da profundidade que o submarino alcança é: 2609 m. 2. Avião A: 250 km

Avião B: 1150 km

3. De acordo com a figura, temos as seguintes posições para as cidades em relação à capital: a) cidade A R 14 b) cidade B R 22 c) cidade C R 16 d) cidade D R 19 e) cidade E R 25

6. a) 12, pois corresponde ao ponto R. b) O ponto S, pois corresponde ao número 21. c) o ponto Q, pois corresponde ao número 14. d) 25, pois corresponde ao ponto P.

4. Se cada intervalo do exercício anterior corresponder a 100 km, as posições das cidades B e C em relação à capital serão: Cidade B R 2200 km Cidade C R 1600 km

7. Fazendo a reta e localizando nela os pontos, temos: c) B 27

26

25

24

23

b) R

f) P

22

21

Brasil real, página 38. 1. 23 000 m e 26 915 m. 2. a) • A profundidade da exploração da pesca na costa brasileira deve ser

0

11

12

a) A

e) C

13

14

d) S 15

16

17

indicada com número inteiro negativo: 2200 m. • A menor temperatura registrada oficialmente na cidade de Caçador é indicada por um número inteiro negativo: 214 8C.

85


• A altitude do Pico da Neblina seria indicada por um número inteiro positivo: 13 014 m. b) A temperatura máxima no deserto do Saara durante o dia pode alcançar: 151 8C. c) A temperatura noturna mínima no deserto do Saara pode chegar a 24 8C.

d) 1500 R o módulo é 500. e) 0 R o módulo é 0. f) 111 R o módulo é 111. 4. Os dois números inteiros diferentes que possuem módulo igual a 20 são: 120 e 220. 5. a) 111 5 11 R Módulo de mais onze é igual a onze. b) 2 30 5 30 R Módulo de menos trinta é igual a trinta.

6 – Módulo de um número inteiro Exercícios, páginas 40 e 41. 1. a) De 15 a 0, há cinco intervalos; logo a distância é 5. b) De 28 a 0, há oito intervalos; logo a distância é 8. c) De 23 a 0, há três intervalos; logo a distância é 3. d) De 17 a 0, há sete intervalos; logo a distância é 7. e) De 22 a 15, há sete intervalos; logo a distância é 7. f) De 29 a 21, há oito intervalos; logo a distância é 8. g) De 12 a 17, há cinco intervalos, logo a distância é 5. h) De 24 a 14, há oito intervalos; logo a distância é 8.

6. Não, pois o módulo de um número inteiro está associado à distância; logo é sempre positivo. 7. a) 2 7  1 3

b) 2 35  1 60

3. Sendo o módulo de um número inteiro a distância desse número até o zero, vem: a) 131 R o módulo é 31. b) 2300 R o módulo é 300. c) 228 R o módulo é 28.

86

2 35 5 35 e 1 60 5 60 R 35 < 60

c) 213  110

213 5 13 e 110 5 10 R 13 > 10

d) 2 50 5 1 50

2 50 5 50 e 1 50 5 50 R 50 5 50

8. Os números inteiros que têm módulo menor que 3 são: 22, 21, 0, 11, 12.

2. a) De 90 km a oeste até 50 km a leste são 140 quilômetros, pois de 90 km até a origem são 90 km, e da origem até 50 km são 50 km. b) De 3 8C abaixo de zero até 12 8C acima de zero há 15 graduações, pois de 3 8C abaixo de zero até zero há 3 graduações, e de zero até 12 8C há 12 graduações. c) De 80 km ao norte até 30 km ao sul são 110 quilômetros, pois de 80 km até a origem são 80 km, e da origem até 30 km são 30 km. d) De 251 8C até 227 8C são 24 graduações: 51 2 27 5 24.

27 5 7 e 13 5 3 R 7 > 3

2 2 5 2; 21 5 1; 0 5 0; 11 5 1; 1 2 5 2 9. a) Dentre os números inteiros dados, os que têm módulo menor que 30 são: 213, 120, 127, 225.

213 5 13; 1 20 5 20; 2 25 5 25; 1 27 5 27

b) Dentre os números inteiros dados, os que possuem módulo entre 30 e 50 são: 232 e 240.

2 32 5 32 e 2 40 5 40

c) Dentre os números inteiros dados, 151 é o único que tem módulo acima de 50. 1 51 5 51. 10.

217 1 1 33 2 2 50 17 1 33 2 50 50 2 50 0


11.

b) 220 < 210, pois 220 está mais distante de zero que 210. c) 27 < 11, pois todo número positivo é maior que um número negativo.

a) O simétrico de 226 é 126, pois ambos estão à mesma distância do zero.

(

)

b) O módulo de 265 é 65 2 65 5 65 , e o oposto de 65 é 265, pois 65 e 265 estão à mesma distância do zero. 12. 81  34 1 30 81  81 1 1 111 2 O oposto de 2 é 22. 13. O oposto de 24 é 14.

22

21

0

11

12

13

14

15

14. De acordo com o enunciado, esses números são chamados números opostos ou simétricos.

7 – Comparação de números inteiros

2. De acordo com a reta numérica, temos: a) a > 0, pois a está à direita de zero. b) b < 0, pois b está à esquerda de zero. c) c > 0, pois c está à direita de zero. d) 0 > d, pois 0 está à direita de d. e) a > b, pois a é positivo, e b é negativo. f) a > c, pois a está à direita de c. g) d < a, pois d é negativo, e a é positivo. h) b < c, pois b é negativo, e c é positivo. i) b > d, pois b está mais próximo de zero que d. 3. a) O menor número inteiro positivo da figura é 128. b) O maior número inteiro negativo da figura é 221. c) O maior número inteiro da figura é 175. d) O menor número inteiro da figura é 296. 4. a) b) c) d) e)

Explorando, página 41. 1. a) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Montevidéu (122 8C). b) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Tóquio (0 8C). c) Estava mais quente em Tóquio (0 8C) que em Londres (23 8C). d) Estava mais quente em Londres (23 8C) que em Oslo (210 8C). e) Estava mais quente em Montevidéu (122 8C) que em Oslo (210 8C). f) Estava mais quente no Rio de Janeiro (130 8C) que em Londres (23 8C). 2. De acordo com a tabela, nesse dia fez mais frio em Oslo (Noruega).

Exercícios, páginas 44 e 45. 1. a) 22 > 26, pois 22 está mais próximo de zero que 26.

0 < 17 111 > 0 0 > 29 213 < 0 12 > 219

f) g) h) i) j)

230 < 16 17 < 120 211 > 230 21 < 15 220 < 23

5. O saldo nulo é igual a um saldo de gols zero. Como a equipe A teve um saldo negativo, e o número zero é maior que qualquer número negativo, a equipe que tem o maior saldo de gols é a equipe B. 6. Quanto mais à direita um número está do outro, maior será esse número; logo, colocando na ordem indicada, temos: a) 2100, 270, 210, 0, 120, 180 b) 112, 17, 11, 2100, 2160, 2300, 2500 7. a) Como o time Alegre sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 27. b) Como o time Bonito sofreu mais gols do que marcou, seu saldo é negativo: 25.

87


c) Como 25 está à direita de 27, 25 é maior que 27. Logo, a equipe Bonito é que passou para a fase seguinte do torneio.

20 8C e subiu 8 8C, a temperatura máxima em Brasília nesse dia foi: (120 8C) 1 (18 8C) 5 28 8C. b) Como a temperatura era 21 8C e aumentou em 6 8C, a temperatura ao meio-dia era: (21 8C) 1 (6 8C) 5 5 8C. c) Como a temperatura era 28 8C à meia-noite e subiu 7 8C ao meio-dia, a temperatura ao meio-dia era: (28 8C) 1 1 (17 8C) 5 21 8C.

8. Como 213 é menor que 29, pois 29 está à direita de 213, a equipe que deverá ser rebaixada é a equipe A.

10.

a) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 24, 21, 0, 12 e 16, pois todos esses números estão à direita de 25. b) Os números que podem ser colocados no lugar de x são: 220, 27, 24, 21 e 0, pois todos esses números respeitam a condição x  0.

2. a) Em Seul, a temperatura variou de 25 8C até 0 8C; logo, a temperatura variou em 5 8C. Em Buenos Aires, a temperatura variou de 18 8C até 21 8C; logo, a temperatura variou em 3 8C. Em Berlim, a temperatura variou de 23 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 5 8C. Em Moscou, a temperatura variou de 26 8C até 22 8C; logo, a variação da temperatura foi de 4 8C. No Cairo, a temperatura variou de 21 8C até 33 8C; logo, a variação da temperatura foi de 12 8C. b) Resposta em aberto. c) Resposta em aberto.

a) b) c)

A 5 {x   | x  2 20} R Forma simbólica. A 5 {219, 218, 217, 216, 215, 214, ...} R R Nomeação dos elementos. B 5 {x   | x  2 7} R Forma simbólica. B 5 {... 213, 212, 211, 210, 29, 28} R Nomeação dos elementos. C 5 {x   | 2 5  x  1 3} R Forma simbólica. C 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} R Nomeação dos elementos.

11.

12.

a) P 5 {x   | x  2 3} R P 5 {23, 22, 21, 0, 1, 2, ...} b) Q 5 {x   | 2 9  x  2 6} → Q 5 {28, 2 7, 2 6}

Desafio!, página 51.

c) R 5 {x   | x  2100} R R 5 {..., 2106, 2105, 2104, 2103, 2102, 2101}

1. Analisando a pirâmide, verificamos que a soma dos dois números inferiores é igual ao número acima.

A 5 {x   | 2 6  x  1 3}

2. Como a pirâmide segue o mesmo segredo da anterior, temos:

A 5 {25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12} a) Nesse conjunto, há três números inteiros não negativos. b) Nesse conjunto, há dois números inteiros positivos. c) O conjunto * é dos inteiros não nulos; logo, pertencem ao conjunto A os elementos: 25, 24, 23, 22, 21, 11 e 12.

216 116 216

1. a) Como a temperatura mínima era de

88

0 116

212 24 14 112 28 24

8 – Adição de números inteiros Explorando, páginas 45 e 46.

0

0 14 18

Exercícios, páginas 53 e 54. 1. a) (111) 1 0 5 111 b) 0 1 (213) 5 213 c) (234) 1 (23) 5 237

Editoria de arte

9.


2.

3.

d) e) f) g) h) i) j)

(28) 1 (251) 5 259 (121) 1 (121) 5 142 (149) 1 (260) 5 211 (2130) 1 (2125) 5 2255 (149) 1 (1121) 5 1170 (1820) 1 (2510) 5 1310 (2162) 1 (2275) 5 2437

a) b) c) d) e)

Para térreo  2  3  6, temos: (12) 1 (13) 1 (26) 5 (15) 1 (26) 5 21 Para térreo  2  1  3, temos: (22) 1 (21) 1 (13) 5 (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo  3  3, temos: (23) 1 (13) 5 0 (térreo) Para térreo  3  4  3  6, temos: (23) 1 (14) 1 (13) 1 (26) 5 (23) 1 (26) 1 1 (14) 1 (13) 5 (29) 1 (17) 5 22 Para térreo  1  6  6  1, temos: (21) 1 (16) 1 (26) 1 (11) 5 (21) 1 (11) 1 1 (16) 1 (26) 5 0 (térreo)

a) De acordo com a tabela, cada grupo obteve: A R (113) 1 (118) 5 131 B R (212) 1 (134) 5 122 C R (23) 1 (125) 5 122 D R (128) 1 (25) 5 123 E R (121) 1 (118) 5 139 b) De acordo com a pontuação total obtida no item anterior, os três primeiros colocados foram respectivamente os grupos E, A e D.

4. Representando o valor que Caio tem por um número positivo, e o valor da retirada, por um número negativo, temos: (13 600) 1 (24 000) 5 2400. Portanto, se Caio fizer essa retirada, seu saldo será de 2400 reais. 5. Representando o prejuízo por um número negativo (212), e o lucro, por um número positivo (1 29), vem: (212) 1 (129) 5 117 Logo, a florista teve um lucro de 17 reais. 6. Representando a data de nascimento de Júlio César por 2100 e sabendo que ele morreu com 56 anos, calculamos o ano de sua morte: (2100) 1 (156) 5 244 Logo, Júlio César morreu no ano 244 ou 44 a.C.

7. Representando 31 a.C. por 231 e sabendo que Marco Antônio morreu com 51 anos, calculamos o ano de seu nascimento: (231) 1 (251) 5 282 Logo, Marco Antônio nasceu em 282 ou 82 a.C. 8. Em 10 km há 10 000 m, pois 1 km 5 1 000 m. Em 10 000 m há 50 vezes 200 m, pois 10 000  200 5 50. Como a temperatura diminui cerca de 1 grau a cada 200 m de afastamento da superfície terrestre, temos: (120) 1 (250) 5 230 Logo, a temperatura na atmosfera a uma altura de 10 km é 230 graus. 9. Valor ganho com as respostas corretas: 52 × 20 5 1 040 R R$ 1 040, 00 Como Carlos acertou 52 perguntas de um total de 100, ele errou 48 perguntas; logo, Carlos pagou pelas respostas erradas o valor de: 48 × 22 5 1 056 R R$ 1 056, 00 Fazendo a diferença, vem: (11 040) 1 (21 056) 5 216 Logo, Carlos perdeu 16 reais no programa. 10. Para determinar o valor de x em cada caso, basta somar o resultado de cada igualdade com o simétrico das parcelas conhecidas. Assim, temos: a) (113) 1 (29) 5 14 b) (210) 1 (16) 5 24 c) 0 1 (17) 5 17 d) (13) 1 (13) 5 16 e) (23) 1 (27) 5 210 f) (218) 1 (120) 5 12 11. De acordo com as operações do extrato, podemos escrever: (17 200) 1 (110 000) 1 (213 000) 1 (28 000) 1 1 (15 000) 5 5 (17 200) 1 (110 000) 1 (15 000) 1 1 (213 000) 1 (28 000) 5 5 (122 200) 1 (221 000) 5 11 200 Logo, o saldo de Sérgio no dia 6 de junho era de 1R$ 1 200,00. 12. a) (127) 1 (113) 1 (228) 5 5 (140) 1 (228) 5 112

89


3. a) b) c) d) e) f)

c) (190) 1 (275) 1 (247) 5 5 (190) 1 (2122) 5 232 d) (211) 1 (120) 1 (135) 1 (227) 5 5 (211) 1 (227) 1 (120) 1 (135) 5 5 (238) 1 (155) 5 117 e) (132) 1 (268) 1 (222) 1 (148) 5 5 (132) 1 (148) 1 (268) 1 (222) 5 5 (180) 1 (290) 5 210

4. A soma dos dois números inferiores é igual ao número acima; com essa regra preenchemos as linhas que faltam:

f) (199) 1 (2100) 1 (2100) 1 (198) 1 (210) 5 5 (199) 1 (198) 1 (2100) 1 (2100) 1 1 (210) 5 5 (1197) 1 (2210) 5 213

275 2170 2140

g) (273) 1 (222) 1 (245) 1 (292) 1 (1250) 5 5 (2232) 1 (1250) 5 118 13. Como a e b são números inteiros opostos, o resultado da adição de a 1 b é 0, pois como a 5 2b, temos: (2b) 1 (1b) 5 0. 14. Sim; se a e b são números inteiros positivos, a soma de a 1 b também será positiva. 15. Sendo a 5 273, b 5 151 e c 5 217, temos: a) a 1 b R (273) 1 (151) 5 222 b) a 1 c R (273) 1 (217) 5 290 c) b 1 c R (151) 1 (217) 5 134 d) a 1 b 1 c R (273) 1 (151) 1 (217) 5 5 (290) 1 (151) 5 239

Exercícios, páginas 55 e 56. 1. a) b) c) d) e)

(120) 1 (218) 5 20 2 18 5 12 (230) 1 (121) 5 230 1 21 5 29 (281) 1 (217) 5 281 2 17 5 298 (137) 1 (152) 5 37 1 52 5 189 (215) 1 (122) 1 (26) 5 215 1 22 2 6 5 5 215 2 6 1 22 5 221 1 22 5 11

2. De acordo com a figura, vem: A R (27) 1 (210) 5 27 2 10 5 217 B R (217) 1 (19) 5 217 1 9 5 28 C R (28) 1 (120) 5 28 1 20 5 112

90

g) 31 1 14 5 145 h) 21 1 30 5 129 i) 40 2 63 5 223 j) 91 2 57 5 134 l) 290 1 10 5 280 m) 2100 1 104 5 14

7 1 17 5 124 28 2 2 5 210 29 1 14 5 15 24 2 4 5 28 19 2 23 5 24 240 2 11 5 251

280 230

230

260

250

195 1125

130

210

195

140

155

Editoria de arte

b) (250) 1 (230) 1 (212) 5 5 (280) 1 (212) 5 292

5. a) b) c) d) e) f)

7 1 20 2 4 5 27 2 4 5 23 217 1 14 1 3 5 217 1 17 5 0 27 2 16 2 10 5 27 2 26 5 11 225 2 21 2 40 5 246 2 40 5 286 35 1 18 1 62 5 53 1 62 5 1115 275 1 70 1 50 2 61 5 275 2 61 1 70 1 1 50 5 2136 1 120 5 216 g) 84 2 79 2 81 1 86 5 84 1 86 2 79 2 81 5 5 170 2 160 5 110 h) 264 2 96 2 77 1 200 5 2237 1 200 5 5 237 i) 292 1 17 1 34 1 20 5 292 1 71 5 221 j) 76 1 92 2 104 2 101 1 94 5 76 1 92 1 1 94 2 104 2 101 5 1262 2 205 5 157 l) 17 2 40 2 30 2 60 1 100 5 17 1 100 2 2 40 2 30 2 60 5 117 2 130 5 213 m) 81 1 19 2 95 2 105 1 260 2 110 5 81 1 1 19 1 260 2 95 2 105 2 110 5 5 1360 2 310 5 150

9 – Subtração de números inteiros Exercícios, página 58. 1. Para sabermos quantos anos Alexandre viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte:


(2323) 2 (2356) 5 2323 1 356 5 33 Logo, Alexandre viveu 33 anos. 2. Para sabermos quantos anos Pitágoras viveu, basta subtrair o ano de nascimento do ano de sua morte: (2496) 2 (2570) 5 2496 1 570 5 74 Logo, Pitágoras viveu 74 anos.

6. Resposta em aberto. Brasil real, páginas 59 e 60. 1. a) (130) 2 (210) 5 130 1 10 5 140 R 40 graus. b) (143) 2 (137) 5 143 2 37 5 16 R 6 graus. c) (143) 2 (212) 5 143 1 12 5 155 R 55 graus.

3. a) A diferença entre os pontos das duplas B e A é dada por: (1230) 2 (2150) 5 5 1230 1 150 5 5 1380 Logo, a dupla B fez 380 pontos a mais que a dupla A. b) • Rodada 2 R (1300) 2 (260) 5 300 1 1 60 5 360 A dupla A ganhou a rodada 2 com 360 pontos a mais. • Rodada 3 R (1280) 2 (2120) 5 1280 1 1 120 5 400 A dupla B ganhou a rodada 3 com 400 pontos a mais. • Rodada 4 R (1220) 2 (1150) 5 1220 2 2150 5 70 A dupla A ganhou a rodada 4 com 70 pontos a mais. c) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe A é: (2150) 1 (1300) 1 (2120) 1 (1220)

d) A expressão que representa o resultado das rodadas da equipe B é: 230 1 (260) 1 (1280) 1 (1150)

4. A diferença entre as temperaturas é dada por: (125) 2 (29) 5 125 1 9 5 34 Logo, a diferença é de 134 graus.

2. a) A menor temperatura mundial ocorreu na Antártida, na estação Vostok. A temperatura foi de 289 8C. (212) 2 (289) 5 212 1 89 5 177 Logo, a diferença das temperaturas mínimas de Xanxerê e Vostok é de 77 graus. b) (17) 2 (249) 5 17 1 49 5 156 Logo, a diferença de temperaturas ocorridas em Browning, em 1916, foi de 56 graus. c) (158) 2 (289) 5 158 1 89 5 1147 Logo, a diferença entre a maior e a menor temperatura registrada no mundo foi de 147 graus. d) Registrando as temperaturas negativas em ordem crescente, temos: 289 < 249 < 212 < 210

10 – Adição algébrica Exercícios, páginas 62 e 63. 1.

5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

0 2 (217) 5 0 1 17 5 117 (29) 2 (116) 5 29 2 16 5 225 (113) 2 (120) 5 113 2 20 5 27 0 2 (118) 5 0 2 18 5 218 (21) 2 (219) 5 21 1 19 5 118 (120) 2 (19) 5 120 2 9 5 111 (24) 2 (117) 5 24 2 17 5 221 (140) 2 (180) 5 140 2 80 5 240 (111) 2 (262) 5 111 1 62 5 173 (272) 2 (281) 5 272 1 81 5 19

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

2 (19) 5 29 2 (211) 5 111 1 (213) 5 213 1 (121) 5 121 3 2 (22) 5 3 1 2 2 (21 1 10) 5 11 2 10 7 1 (6 2 3) 5 7 1 6 2 3 1 2 (21 1 5) 5 1 1 1 2 5 9 1 (24 2 2) 5 9 2 4 2 2 2(1 1 1 2 4) 5 21 2 1 1 4

a) b) c) d)

27 1 (113) 5 27 1 13 5 16 10 2 (220) 5 10 1 20 5 130 211 2 (26) 5 211 1 6 5 25 32 1 (240) 5 32 2 40 5 28

2.

91


3. Como Lucca considerou os valores borrados como sendo a média aritmética dos valores vizinhos, vem: a) Às 9 horas R [(214) 1 (210)]  2 5 5 [224]  2 5 212 Logo, a temperatura às 9 horas era de 212 8C. b) Às 11 horas R [(210) 1 (28)]  2 5 5 [218]  2 5 29 Logo, a temperatura às 11 horas era de 29 8C. 4. a) 6 1 (29 1 1) 5 6 2 9 1 1 5 7 2 9 5 22 b) 8 2 (26 1 10) 5 8 1 6 2 10 5 14 2 10 5 5 14 c) 210 1 (6 2 4) 5 210 1 6 2 4 5 214 1 1 6 5 28 d) 2 1 (2 1 5 2 7) 5 2 1 2 1 5 2 7 5 9 2 7 5 5 12 e) 25 1 (2 2 4) 2 (7 2 1) 5 25 1 2 2 4 2 2 7 1 1 5 216 1 3 5 213 f) (25 1 3) 2 (5 2 9) 1 (8 2 1) 2 11 5 25 1 1 3 2 5 1 9 1 8 2 1 2 11 5 222 1 20 5 5 22 5. x 5 1 2 [4 1 (4 2 2 2 5) 2 (27 1 3)] x 5 1 2 [4 1 4 2 2 2 5 1 7 2 3] x51242412152713 x 5 111 2 15 x 5 24 y 5 2 2 [7 2 (21 2 3 1 6) 2 8] y 5 2 2 [7 1 1 1 3 2 6 2 8] y522721231618 y 5 16 2 11 y 5 15 Como x 5 24 e y 5 15, temos x < y. 6.

92

a)

30 1 [216 2 (27 1 10)] 5 5 30 1 [216 1 7 2 10] 5 5 30 2 16 1 7 2 10 5 5 37 2 26 5 5 111

b)

210 2 [11 1 (210 2 6) 1 1] 5 5 210 2 [11 2 10 2 6 1 1] 5 5 210 2 11 1 10 1 6 2 1 5 5 222 1 16 5 5 26

c)

18 2 (14 1 15) 2 [13 2 (16 2 21)] 5 5 18 2 14 2 15 2 [13 2 16 1 21] 5 5 18 2 14 2 15 2 13 1 16 2 21 5 5 134 2 63 5 5 229

d)

2(222) 2 [29 1 (27 2 23 2 26) 2 28] 5 5 122 2 [29 1 27 2 23 2 26 2 28] 5 5 122 2 29 2 27 1 23 1 26 1 28 5 5 199 2 56 5 5 143

e) 9 2 (210) 2 [221 2 (213 2 13 1 25)] 2 2 (218) 5 5 9 1 10 2 [221 1 13 1 13 2 25] 1 18 5 5 9 1 10 1 21 2 13 2 13 1 25 1 18 5 5 183 2 26 5 5 157 f) 11 1 [217 2 (222 1 16) 1 (229)] 2 2 (246 1 54) 5 5 11 1 [217 1 22 2 16 2 29] 1 46 2 54 5 5 11 2 17 1 22 2 16 2 29 1 46 2 54 5 5 179 2 116 5 5 237 7. Calculando o saldo de figurinhas para cada dia da semana que João jogou, vem: • 2a-feira R 217 1 43 1 14 1 23 2 45 5 5 262 1 80 5 118 • 3a-feira R 24 2 7 2 8 2 10 2 4 1 31 2 2 19 5 155 2 48 5 17 • 4a-feira R 19 2 21 1 36 2 100 2 35 1 1 100 5 1155 2 156 5 21 • 5a-feira R 223 1 24 2 25 1 26 2 27 1 1 28 5 275 1 78 5 13 • 6a-feira R 210 1 60 2 126 1 63 2 208 1 1 117 5 1450 2 334 5 1116 • Sábado R 299 1 85 2 121 2 310 1 420 1 1 115 5 2530 1 620 5 190 a) João ganhou mais figurinhas na 6a-feira. b) João se saiu pior na 4a-feira. c) De acordo com os saldos de figurinhas, em cada dia da semana, vem: 118 1 7 2 1 1 3 1 116 1 90 5 234 2 1 5 5 1233 Logo, a quantidade de figurinhas de João aumentou em 233. Desafio!, página 63. Resposta em aberto.


11 – Multiplicação de números inteiros

7. a) x ? (216) 5 216 R x 5 11, pois 11 é o elemento neutro da multiplicação de números inteiros. b) x ? (25) 5 (25) ? (19) R x 5 19, pois pela propriedade comutativa, temos: (19) ? (25) 5 (25) ? (19). c) x ? (28) 5 0 R x 5 0, pois a multiplicação de um número inteiro por zero é sempre zero. d) x ? (11) 5 111 R x 5 111, pois todo número inteiro multiplicado por 11 resulta no próprio número.

Exercícios, página 67. a) (18) ? (29) 5 272 b) (26) ? (25) 5 130 c) (17) ? (14) 5 128 d) (19) ? (17) 5 163 e) (28) ? (16) 5 248 f) (15) ? (211) 5 255 g) 0 ? (113) 5 0 h) (26) ? (218) 5 1108 i) (13) ? (121) 5 163 j) (28) ? 0 5 0 l) (211) ? (221) 5 1231 m) (220) ? (117) 5 2340 n) (117) ? (117) 5 1289 o) (25) ? (232) 5 1160

8. a) x ? (12) 5 26 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 26  (12) R x 5 23 Logo, x deve ser substituído por 23. b) (25) ? x 5 150 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 150  (25) R x 5 210 Logo, x deve ser substituído por 210. c) x ? (25) 5 210 Aplicando a operação inversa da multiplicação, vem: x 5 210  (25) R x 5 12 Logo, x deve ser substituído por 12.

2. Segredo: a multiplicação dos dois números inferiores é igual ao número acima. 212 000

115 23

180

210 25

28 12

24

Editoria de arte

2150

Esses itens poderiam também ser resolvidos da seguinte forma:

a) x ? (12) 5 26

x ? (12) 5 (12) ? (23)

a) (27) ? (111) ? (22) 5 (277) ? (22) 5 1154

Logo, x 5 23.

b) (29) ? (25) ? (23) 5 (145) ? (23) 5 2135

b) (25) ? x 5 150

c) (212) ? (26) ? (13) 5 (172) ? (13) 5 1216

(25) ? x 5 (25) ? (210)

d) (29) ? (29) ? (24) ? (21) 5 (181) ? (14) 5 5 1324

Logo, x 5 210.

e) (28) ? (110) ? (17) ? (12) 5 (280) ? (114) 5 5 21 120

x ? (25) 5 (25) ? (12)

Logo, x 5 12.

3.

f) (28) ? (16) ? 0 ? (211) 5 (248) ? 0 5 0 4. Respostas em aberto. 5. 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (22) 5 114 ou 27 ? (16 2 8) 5 27 ? (16) 1 (27) ? (28) 5 242 1 56 5 114 6. 25 ? (28 1 5) 5 25 ? (28) 1 (25) ? (15) 5 5 140 2 25 5 15

c) x ? (25) 5 210

9. a) O produto de dois números inteiros é positivo quando esses dois números possuem sinais iguais. Logo, em 8 quadradinhos, o resultado será positivo. b) O produto de dois números inteiros é negativo quando esses dois números possuem sinais diferentes. Logo, em

93


8 quadradinhos, o resultado será negativo.

5 (114) 1 (210) 5

5 14

b) xy 1 2x, para x 5 26 e y 5 23: Exercícios, página 68.

26 ? (23) 1 2 ? (26) 5

a) 81 1 (220) ? (14) 5

5 2(218) 1 (212) 5

5 81 1 (280) 5

5 118 2 12 5

5 81 2 80 5

5 16

5 11

c) 3a 2 7b, para a 5 18 e b 5 27:

b) (24) ? (27) 2 30 5

3 ? (18) 2 7 ? (27) 5

5 (128) 2 30 5

5 (124) 2 (249) 5

5 128 2 30 5

5 124 1 49 5

5 22

5 173

c) 223 2 (26) ? (13) 5

d) 2a 1 5b 2 10, para a 5 110 e b 5 22:

5 223 2 (218) 5

2 ? (110) 1 5 ? (22) 2 10 5

5 223 1 18 5

5 (120) 1 (210) 2 10 5

5 25

5 120 2 20 5

50

d) (29) ? (16) 2 (12) ? (227) 5

5 (254) 2 (254) 5

e) 3a 2 5b 1 4c, para a 5 21, b 5 21 e c 5 21:

5 254 1 54 5

3 ? (21) 2 5 ? (21) 1 4 ? (21) 5

50

5 (23) 2 (25) 1 (24) 5

e) 19 2 (24) ? (15) 5

5 23 1 5 2 4 5

5 19 2 (220) 5

5 27 1 5 5

5 19 1 20 5

5 22

5 139

f) 10 2 a 1 ab 2 2b, para a 5 21 e b 5 13:

f) 7 ? (23) 2 9 ? (26) 1 11 ? (22) 5

10 2 (21) 1 (21) ? (13) 2 2 ? (13) 5

5 (221) 2 (254) 1 (222) 5

5 10 2 (21) 1 (23) 2 (16) 5

5 221 1 54 2 22 5

5 10 1 1 2 3 2 6 5

5 243 1 54 5

5 11 2 9 5

5 111

5 12

g) (15) ? (111) 2 37 2 (22) ? (114) 5

5 (155) 2 37 2 (228) 5

5 155 2 37 1 28 5

5 183 2 27 5

5 146

h) 18 2 3 ? (27) 1 9 ? (24) 2 20 5

5 18 2 (221) 1 (236) 2 20 5

5 18 1 21 2 36 2 20 5

5 139 2 56 5

5 217

2. a) 2x 1 5y, para x 5 17 e y 5 22:

94

2 ? (17) 1 5 ? (22) 5

Desafio!, página 69. 1. As possíveis multiplicações de dois números inteiros em que o resultado dá 120 são: (11) ? (120); (21) ? (220); (12) ? (110); (22) ? (210); (14) ? (15); (24) ? (25) Para encontrar esses fatores, basta fatorar o número 20: 20 10 5 1

2 2 5 22 ? 5


2. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 16 são: (11) ? (16); (21) ? (26); (12) ? (13); (22) ? (23). Como a soma deve ser 25, os dois números inteiros procurados são: 22 e 23. As possibilidades para que o produto de dois números inteiros seja 210 são: (21) ? (110); (11) ? (210); (22) ? (15); (12) ? ?(25). Como a soma deve ser 13, os dois números inteiros procurados são: 15 e 22. Chegou a sua vez!, página 70. O gasto de Beto com o material escolar foi: 1 ? 2 1 5 ? 6 1 1 ? 5 1 1 ? 7 1 4 ? 1 5 2 1 30 1 1 5 1 7 1 4 5 48 R R$ 48,00 Como Beto levou R$ 50,00, ele conseguirá comprar tudo o que precisa, e ainda sobrarão 2 reais.

• 0  (15) 5 0 R 0  Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. • (17)  0 R A divisão não é definida para o divisor zero, portanto não pode ser efetuada em Z. 3. Na divisão x  (28) 5 12, x 5 216, pois (28) ? (12) 5 16. 4. Sim; Todo número dividido por ele mesmo dá 1. Se o quociente for 21, é porque os números têm mesmo módulo e sinais contrários, ou seja, são opostos. 5. Resposta em aberto. 6. Resposta em aberto. 7. a) (29)  (13) 5 23 b) (211)  (211) 5 11 c) (121)  (17) 5 13

12 – Divisão de números inteiros Exercícios, página 73.

d) (136)  (24) 5 29 e) 0  (120) 5 20 f) (231)  (131) 5 21 g) (145)  (23) 5 215

1. a) Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o resultado da divisão será negativo. b) Zero dividido por qualquer número inteiro negativo será sempre zero. c) Como o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o resultado da divisão será positivo. d) A divisão de zero por qualquer número inteiro estritamente positivo será sempre zero.

h) (152)  (12) 5 126 i) (265)  (25) 5 113 j) (290)  (16) 5 215 l) (164)  (116) 5 14 m) (239)  (213) 5 13 n) (196)  (224) 5 24 o) (2200)  (125) 5 28 p) (163)  (121) 5 13 q) (181)  (227) 5 23 8. Resolvendo as divisões do quadro, vem:

2. • (19)  (29) 5 21 R 21  Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. • (22)  (11) 5 22 R 22  Z; logo, essa divisão pode ser efetuada no conjunto Z. 3 3 R  Z; logo, essa • (23)  (22) 5 2 2 divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro). 11 11 R  Z; logo, • (111)  (15) 5 5 5 essa divisão não pode ser efetuada no conjunto Z (o resultado não é inteiro).

(2120)  (210) 5 112 (2200)  (250) 5 14 (260)  (112) 5 25

(196)  (216) 5 26

(180)  (28) 5 210

(148)  (124) 5 12

(1150)  (115) 5 110 (2121)  (111) 5 211 Somando os resultados obtidos, temos: (112) 1 (25) 1 (210) 1 (110) 1 (14) 1 (26) 1 1 (12) 1 (211) 5 5 112 2 5 2 10 1 10 1 4 2 6 1 2 2 11 5 5 128 2 32 5 24 Logo, a soma dos resultados dessas divisões dá 24.

95


d) (21)4 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 11

Exercício, página 74.

e) (11)6 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) 5 11

a) 31 1 (240)  (12) 5

5 31 1 (220) 5

5 31 2 20 5

5 111

f) (21)6 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) 5 11

b) 210 2 20  (14) 5

g) (11)3 5 (11) ? (11) ? (11) 5 11

5 210 2 (15) 5

h) (21)3 5 (21) ? (21) ? (21) 5 21

5 210 2 5 5

5 215

i) (11)5 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 5 11

c) (130)  (26) 1 (218)  (13) 5

5 (25) 1 (26) 5

5 25 2 6 5

5 211

j) (21)5 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 5 21 l) (11)7 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? (11) ? ? (11) ? (11) 5 11

d) 7  (27) 1 2 ? (26) 1 11 5

5 (21) 1 (212) 1 11 5

5 21 2 12 1 11 5

5 213 1 11 5

5 22

m) (21)7 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) 5 21 2. a) Podemos notar que, quando o expoente é um número par, a potência é sempre um número inteiro positivo. b) Podemos notar que, quando o expoente é um número ímpar, o sinal do resultado vai depender do sinal da base.

e) (236)  (24) 1 3 ? (23) 5

5 (19) 1 (29) 5

519295

50

f) 35 2 6 ? (16) 1 (154)  (26) 5

5 35 2 (136) 1 (29) 5

5 35 2 36 2 9 5

5 35 2 45 5

5 210

g) 2 1 (275)  (25) 2 4 ? (21) 5

5 2 1 (115) 2 (24) 5

5 2 1 15 1 4 5

5 17 1 4 5

5 121

Exercícios, páginas 76 e 77. 1. Como x é um número inteiro negativo e o expoente é par, a potência será sempre um número inteiro positivo. Logo, x2 será um número inteiro positivo. 2. Como a é um número inteiro negativo e o expoente é ímpar, a potência tem sempre o mesmo sinal da base. Logo, a3 será um número inteiro negativo. 3. a) (217)2 5 (217) ? (217) 5 1289

13 – Potenciação de números inteiros

b) (115)3 5 (115) ? (115) ? (115) 5 13 375

Chegou a sua vez!, página 74.

e) (25)4 5 (25) ? (25) ? (25) ? (25) 5 1625

a) (11)2 5 (11) ? (11) 5 11 b (21)2 5 (21) ? (21) 5 11 c) (11) 5 (11) ? (11) ? (11) ? (11) 5 11 4

96

c) (140)2 5 (140) ? (140) 5 11 600 d) (230)3 5 (230) ? (230) ? (230) 5 227 000 f) (13)5 5 (13) ? (13) ? (13) ? (13) ? (13) 5 5 1243 g) (15)4 5 (15) ? (15) ? (15) ? (15) 5 1625


4.

d) (19) ? (19)11 ? (19)8 5 (19)1 1 11 1 8 5 (19)20 a) (19)2 5 (19) ? (19) 5 181

e) (213)20  (213)14 5 (213)20 2 14 5 (213)6

b) (29)2 5 (29) ? (29) 5 181

f) (17)4 5 (17)4 ? 3 5 (17)12   g) (110)5 ? (110) ? (110)8 5 (110)5 1 1 1 8 5 5 (110)14

3

c) (19)3 5 (19) ? (19) ? (19) 5 1729 d) (29)3 5 (29) ? (29) ? (29) 5 2729 e) (12)5 5 (12) ? (12) ? (12) ? (12) ? (12) 5 5 132 f) (22)5 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 5 5 232 g) (21)10 5 11 R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. h) (23)4 5 (23) ? (23) ? (23) ? (23) 5 181 i) (27)3 5 (27) ? (27) ? (27) 5 2343 j) (2100)0 5 11 l) (21)101 5 21R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é negativo. m) (225)2 5 (225) ? (225) 5 1625 n) (110)6 5 (110) ? (110) ? (110) ? (110) ? ? (110) ? (110) 5 11 000 000

h) (120)7  (120)6 5 (120)7 2 6 5 (120)1 7.

2

a) ( 24)7 ? (24)10 ? (24)  (24)8 5     5 (24)7 1 10 1 1  (24)16 5     5 (24)18  (24)16 5

5 (24)18 2 16 5

5 (24)2 5

5 (24) ? (24) 5

5 116 2

6 6 2 b) (22)   (22) ? (22) ? (22) 5 5 (22)6 ? 2  (22)6 1 2 1 1 5     5 (22)12  (22)9 5

5 (22)12 2 9 5

5 (22)3 5

5 (22) ? (22) ? (22) 5

5 28

o) (21)9 5 (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) ? ? (21) ? (21) ? (21) ? (21) 5 21 p) (21)200 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é par, a potência é positiva. q) (11)99 5 11R Sendo 1 o módulo da base, os produtos sempre serão 1. Como o expoente é ímpar, a potência tem o sinal da base, que nesse caso é positivo. 5. Para a 5 (21)100 5 11 e b 5 (21)101 5 21, temos: a) a 1 b 5 (11) 1 (21) 5 0 b) a 2 b 5 (11) 2 (21) 5 11 1 1 5 12 6. a) (28)5 ? (28) ? (28)4 5 (28)5 1 1 1 4 5 (28)10 2

b) (12)6 5 (12)6 ? 2 5 (12)12   c) (210)9  (210)6 5 (210)9 2 6 5 (210)3

Exercício, página 77. a)

(29)2 2 (15) ? (116) 5 5 181 2 (180) 5 5 181 2 80 5 5 11

b)

(22)4  (116) ? (21)7 5 5 (116)  (116) ? (21) 5 5 (11)  (21) 5 5 21

c)

(26)2 2 (27)2 1 130 5 5 136 2 (149) 1 1 5 5 136 2 49 1 1 5 5 137 2 49 5 5 212

d)

52 2 (23)3 1 (24)2 5 5 25 2 (227) 1 (116) 5 5 25 1 27 1 16 5 5 52 1 16 5 5 168

97


e)

4 ? (25)3 1 (220)2 5 5 4 ? (2125) 1 (1400) 5 5 2500 1 400 5 5 2100

f)

112 2 4 ? (25)2 1 100 5 5 121 2 4 ? (125) 1 1 5 5 121 2 100 1 1 5 5 122 2 100 5 5 122

g)

17 2 3 ? (22) 2 (26) ? (21) 5 5 17 2 3 ? (14) 2 (136) ? (21) 5 5 17 2 12 2 (236) 5 5 17 2 12 1 36 5 5 53 2 12 5 5 141

h)

7 ? (22)2 2 5 ? (22)3 2 102 5 5 7 ? (14) 2 5 ? (28) 2 100 5 5 28 1 40 2 100 5 5 68 2 100 5 5 232

2

2

3. a)

36 5 6

b) 2 64 52 (18) 52 8 c)

100 5 10

d) 2 49 52 (17) 52 7 4. a)

400 5 20, pois 202 5 400.

b) 2 900 52 (130) 52 30, pois 302 5 900. 7

c) 2 2500 52 (150) 52 50, pois 502 5 2 500. d)

144 5 12, pois 122 5 144.

(

5. p 5 1 2 2 100 p 5 1 2 (210)

)

p 5 1 1 10 p 5 111 Logo, p 5 111. 6. x 5 81 (42 2 52) x 5 9  (16 2 25) x 5 9  (29) x 5 21

14 – Raiz quadrada exata de números inteiros

Logo, x 5 21. 7. Não, pois não existe em Z raiz quadrada de número negativo.

Exercícios, página 79. 1. a)

25 5 5

b)

64 5 8

c)

281 R Não existe em Z.

d)

1 51

15 – Expressões numéricas Exercício, página 80. a) (27 2 4) ? (29 1 2) 2 (272 1 2)  (25 2 5) 1 1 (29 2 4 1 6) 5

2.

9 R É um número inteiro, pois

9 5 3.

25 R É um número inteiro, pois 25 5 5. 37 R Não é um número inteiro, pois 62 5 5 36 e 72 5 49, e entre 6 e 7 não há números inteiros.

5 (211) ? (27) 2 (270)  (210) 1 (27) 5

5 177 2 (17) 2 7 5

5 177 2 7 2 7 5

5 177 2 14 5

5 163

b) (29 2 3)(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (25 1 4) 1 (236)(21 2 3) 5 64 R É um número inteiro, pois 64 5 8.  (29 2 3)(21 1 7) 2 10 2 (24 2 3) ? (2 5 1 4) 1 (236)(21 2 3) 5 80 R Não é um número inteiro, pois 82 5 64 e 92 5 81, e entre 8 e 9 não há 5 (212)(16) 2 10 2 (27) ? (21) 1 (236)(24) 5 números inteiros. 5 2 2 2 10 2 (17) 1 (19) 5 Logo, 37 e 80 não representam 5 2 2 2 10 2 7 1 9 5 números inteiros. 5 22 2 10 1 7 2 9 5

98


5 221 1 7 5

5 214

c) (21 2 4) ? (210 1 16) 2 (28)(12) 2 7 2 (21) ? (15) 5

1 16) 2 (28)(12) 2 7 2 (2 1) ? (15) 5 5 (25) ? (16) 2 24 2 7 2 (25) 5 5 2 30 2 24 2 7 1 5 5

b) Como para um homem de 50 anos com um estilo de vida saudável podemos abater 15 anos, um homem de 50 anos pode aparentar 35 anos. c) O gráfico ficaria da seguinte forma: A idade biológica menor que a cronológica 0 25

5 230 1 4 1 7 2 5 5

210

5 235 1 11 5

215

5 224

5 5 2 20 2 6 2 (235)(25) 5 5 5 2 20 2 6 2 (17) 5

5 5 2 [20 2 6 2 7] 5

5 5 2 20 1 6 1 7 5

5 18 2 20 5

5 22

5 23 1 27 2 2 2 1 5

5 26 1 27 5

5 121

f) (22 2 3)2 (225) 1 30 2 (210 1 36 )2 (22)3 2 52 5   5 (25)2 (225) 1 30 2 (210 1 6)2 (28) 2 25 5   30 2 (24)2 (28) 2 25 5 5 25  ( 2 25 ) 1     5 2 1 1 30 2 ( 1 16 )  ( 2 8 ) 2 25 5     5 21 1 30 2 (22) 2 25 5

5 21 1 30 1 2 2 25 5

5 21 1 30 1 2 2 25 5

5 226 1 32 5

5 16

Chegou a sua vez!, páginas 81 e 82. 1. a) A mulher, pois ela consegue abater mais anos da idade cronológica.

212 213

215 216

221 223

225 230

227 229

235 Homens Mulheres

2. a) A fábrica teve lucro nos meses de maio, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro. A fábrica teve prejuízo nos meses de janeiro, fevereiro e março. b) O lucro foi maior em novembro. c) Os meses que apresentam lucro zero são os meses de abril e junho. d) Lucro: 110 1 15 1 26 1 32 1 15 1 50 1 1 30 5 1178 Como o lucro da fábrica é dado em milhares de reais, o lucro total nos meses de lucro foi de R$ 178 000,00. Prejuízo: 220 2 10 2 5 5 235 O valor absoluto do prejuízo total em milhares de reais, foi de R$ 35 000,00. Portanto, o lucro foi maior em R$ 143 000,00.

e) (26)2  (212) 2 (23)3 1 (22)5  (24)2 2 50 5 5 36  (212) 2 (227) 1 (232)  (116) 2 1 5 5 23 1 27 1 (22) 2 1 5

25 26

220

d) (250)(25 2 5) 2 20 1 (242)(17) 2 (235)(21 2 16 ) 5     5) 2 20 1 (242)(17) 2 (235)(21 2 16 ) 5   5 (250)(210) 2 20 1 (26) 2 (235)(21 2 4) 5

30 anos 40 anos 50 anos 60 anos 70 anos

Editoria de arte

3. a) No eixo horizontal, a grandeza representada é o tempo. No eixo vertical, a grandeza representada é a temperatura. b) • A temperatura média é maior em julho. • A temperatura média é menor em janeiro e fevereiro. c) Em dezembro, a temperatura média era de 0 8C e, em fevereiro, a temperatura média era de 23 8C; logo, a temperatura em dezembro é maior que a temperatura em fevereiro, pois 0 8C > 23 8C.

99


d) • De abril para maio, a temperatura variou em 16 8C, pois 110 8C 2 4 8C 5 16 8C. Portanto, houve um aumento de 6 8C nesse período. • De dezembro para janeiro, a temperatura variou em 23 8C, pois 23 8C 2 0 8C 5 23 8C. Portanto, houve uma queda de 3 8C. e) A média da temperatura no 1o semestre é dada pela soma das temperaturas médias de cada mês dividido por 6:

(23) 1 (23) 1 (21) 1 (14) 1 (110) 1 (115) 6 5   5 23 2 3 2 1 1 4 1 10 1 15 6 5 5 27 1 29 6 5 5 22  6 . 3,6 R .3,6 8C Logo, a média da temperatura no 1o semestre foi de aproximadamente 3,6 8C.

• A média de temperatura no 2o semestre é dada por:

(118) 1 (117) 1 (112) 1 (17) 1 (13) 1 0 6 5   5 18 1 17 1 12 1 7 1 3 1 0 6 5

5 57  6 5 9,5 R 9,5 8C

Logo, a média da temperatura no 2o semestre foi de 9,5 8C.

Retomando o que aprendeu, páginas 82 e 83. 1. Alternativa b. (23) 2 (21) 5 23 1 1 5 22 Logo, o simétrico do número obtido é 12. 2. Alternativa c. A variação de temperatura é dada pela diferença entre a temperatura final e a inicial: (22 8C) 2 (14 8C) 5 22 8C 2 4 8C 5 26 8C Logo, a temperatura baixou 6 graus nesse período. 3. Alternativa a. (21)2 5 11 (I) (21)3 5 21 (II) Logo, a soma de (I) e (II) será: 11 2 1 5 0 4. Alternativa e.

100

Os números inteiros menores que 24 estão à sua esquerda. Daí vem: 24 > 27 > 210 > 212 Logo, dentre a sequência de números apresentada, há 3 números menores que 24. 5. Alternativa b. Primeiro, verificamos os resultados para as potências apresentadas: (13)5 5 1243

242 5 216

(21)10 5 11

(27)2 5 149 (22)3 5 28 Logo, há duas potências que representam números inteiros negativos. 6. Alternativa c. I) 224 5 (22)4 R Falsa, pois 224 5 216 e (22)4 5 116. II) 220 5 (22)0 R Falsa, pois 220 5 21 e (22)0 5 11. III) 223 5 (22)3 R Verdadeira, pois 223 5 28 e (22)3 5 28. IV) (12)6 5 (22)6 R Verdadeira, pois (12)6 5 132 e (22)6 5 132.

Logo, há 2 sentenças verdadeiras.

7. Alternativa c. De acordo com os saldos do quadro, vem: 12 400 1 850 2 680 1 450 2 1 720 2 750 5 5 3 700 2 1 750 5 5 1550 R Crédito de R$ 550,00. 8. Alternativa b. De acordo com o extrato bancário de Roberto, vem: 1236 2 51 2 400 1 1 320 2 92 2 813 2 45 2 2 184 2 90 1 352 2 150 2 46 2 120 5 5 11 908 2 1 991 5 283 Logo, o saldo da conta de Roberto no dia 10/8 ficou negativo em 83 reais. 9. Alternativa b. De acordo com o enunciado, podemos escrever: (210)2 ? x 5 2500 100 ? x 5 2500 100 ? x 5 25 ? 100 x 5 25 10. Alternativa d. a3 2 3 ? a2 ? x2, para a 5 10 e x 5 2, temos: (10)3 2 3 ? (10)2 ? (2)2 5


15. Alternativa a.

5 1 000 2 3 ? 100 ? 4 5 5 1 000 2 1 200 5

x 5 2(23)3 2 (22)3

5 2200

x 5 2(227) 2 (26) x 5 27 2 (64)

11. Alternativa a.

x 5 27 2 64

(23)2 ? 29 1(23)3 (23)2 5   5 9 ? 29 1(227) 9 5

x 5 237 y 5 (22)3 2 (23)2 2 (25)0 1 (22)4

5 9 ? 29 2 27 9 5

y 5 28 2 (19) 2 (11) 1 (116)

5 2324  9 5

y 5 218 1 16

y 5 28 2 9 2 1 1 16

5 9 ? 236 9 5

y 5 22

5 236

Logo, x ? y 5 (237) ? (22) 5 174.

12. Alternativa d. (210)3 2 9 ? (210)2 ? (22)2 5 5 21 000 2 3 ? (100) ? (4) 5

16. Alternativa b. a3 2 (b 2 c)3, para a 5 29, b 5 12 e c 5 110: 3

5 21 000 2 3 ? (400) 5

(29)3 2 (12) 2 (110) 5

5 21 000 2 1 200 5

5 2 729 2 12 2 10 5 3 5 2 729 2 28 5 5 2 729 2 2512 5

3

5 2 2 200 Logo, a metade do valor da expressão é: 22 200  2 5 21 100

5 2729 1 512 5

13. Alternativa e.

5 2217

A 5 (22)3 2 (28)  (22)

17. Alternativa d.

A 5 28 2 (14)

x 52 2 21 1 (23 1 4) 2 (22 2 6) 2 (23 1 5)

A 5 28 2 4 A 5 212 B 5 (22) ? (21) ? (11) ? (12) ? (21) ? (12) ? (22)    B5 B5

(12) ? (12) 

?

(22) ? (22)   

(14) ? (14) 

B5

116

x 52 2 21 1 (11) 2 (28) 2 (12)

x 52 2 21 1 1 1 8 2 2 x 52 2 18 2 2 x522822 x 5 28

Logo, o quadrado de x será 64, pois x2 5 (28)2 5 64.

Logo, A 1 B 5 212 1 16 5 14. 14. Alternativa b. (212)2  (27 2 11) 2 (24 1 2 2 1) ? (23)2 1 1 (22)4 ? (1 2 2)3 5 5 (1144)  (218) 2 (25 1 2) ? (19) 1 (116) ? ? (21)3 5 5 28 2 (23) ? (19) 1 (116) ? (21) 5 5 28 2 (227) 1 (216) 5 5 28 1 27 2 16 5 5 224 1 27 5 5 13

101


O conjunto dos números Racionais Abertura, páginas 84 e 85.

5. a) 1

5 • 1 1 é maior, menor, igual ou diferente 10 de 11,5? 5 5 0,5, então São iguais, pois 10 1 1 0,5 5 1,5. 5 é maior, menor, igual ou 10 diferente de 21,5? 5 52 0,5, então São iguais, pois 2 10 21 2 0,5 5 21,5.

b) 1

6 12

6

10 30

10

c) 2 5 40

6

51

10

51

5 5

1 2

52

1 3

1 8

d) 2 9 15

3

e) 1 16 40 f) 2 33 44

8

212

16 – O conjunto dos números racionais Exercícios, página 88. 1.

6. a) 1 2 → 10 2 0 0,5 1 Logo, 2 52 0,5. 2 b) 13 4 → 13

10 3,25 20 0 13 Logo, 1 51 3,25. 4

a) Racionais inteiros: 1, 2, 11, 12, 21 e 22.

c) 21 5 → 21

b) Racionais escritos na forma 5 5 fracionária: 1 ,2 . 10 10 c) Racionais escritos na forma decimal: 11,5; 21,5.

5

10 4,2 0 Logo,1

21 51 4,2. 5

d) 61 10 → 61

2. b) 17 pertence a IN, Z e Q. 3 c) 1 pertence a Q. 8 d) 22,7 pertence a Q. 3. Sim; o zero é um número racional, pois podemos escrevê-lo na forma racional, 0 0 etc. como por exemplo: ; 7 12 4. a) 24  IN

g) 16 [ IN

b) 24 [ Z

h) 16 [ Z

c) 24 [ Q

i) 16 [ Q

4  IN 9 4 e) 1  Z 9 4 f) 1 [ Q 9 d) 1

j) 21,6  IN

Logo,2

61 52 6,1. 10

e) 1 20 → 100 0

Logo, 1

20 0, 05

1 51 0, 05. 20

f) 350 → 300 50 0 0, 06

Logo, 2

3 52 0, 06. 50

g) 27100 → 270

l) 21,6  Z m) 21,6 [ Q

10

10 6,1 0

a) 25 pertence a Z e Q.

102

4

100

700 0,27 0 27 Logo, 1 51 0,27. 100

3

52

3 5

2 5 3 52 4 11 51

8 11


Logo, 2

39 52 6,5. 6

i) 23;10 → 23

10

30 2,3 0 7.

Logo,2

23 52 2,3. 10

9 a) 10,9 51 10 ;5 15 3 52 b) 21,5 52 10 ;5 2 ; 25 25 1 52 c) 20,25 52 100 ;25 4 ;2 18 9 d) 11,8 51 51 10 ;2 5 ;2 2 1 52 e) 20, 002 52 1000 ;2 500 ;5 55 11 f) 15,5 51 51 10 ;5 2

Desafio!, página 89. 2 Um litro de água completa apenas da 3 1 jarra. É fácil perceber que em da jarra 3 cabe 0,5 litro de água. Logo, na jarra toda cabe 1,5 litro de água.

17 – A reta numérica Exercícios, página 90. 1. Respondendo aos itens de acordo com a reta numérica, vem: 4 a) 1 R Ponto R. 3 1 b) Ponto B R 2 . 3 2 5 c) Ponto S R 2 ou 21 . 3 3 2 d) 1 R Ponto A. 3 e) 13 R Ponto M. 2. Respondendo aos itens de acordo com a

3. Fazendo a reta numérica e representando nela os pontos, vem: S 23

D 22

B

A 0

21 3 2 5

21,4 ou 2 2

9 ou 22 1 4 4

7 52 5 10;2 14;2

C 11

10,9 ou 1 9 10

12

R 13

Editoria de arte

reta numérica, vem: a) Abscissa do ponto A R 12 3 1 b) Abscissa do ponto B R 2 ou 21 . 2 2 c) Imagem geométrica do número 7  1 1 ou 1 3  R Ponto D.  2  2 d) Imagem geométrica do número 5  1 2 ou 2 2  R Ponto E. 2  2 1 e) Abscissa do ponto C R 1 2

6 h) 39 ;6 → 39 30 6,5 0

1 7 ou 1 2 1 3 3

4. Resposta em aberto.

Desafio!, página 91. 1. Alternativa d. a) 0,40 < 0,31 R Comparação falsa, pois 0,40 está à direita de 0,31 na reta numérica; logo, 0,40 > 0,31. 1 b) 1  R Comparação falsa, pois 1 está 2 1 à direita de na reta numérica; logo, 2 1. 1 2 4 c) 0, 4  R Comparação falsa, pois 10 4 5 0, 4. 10 d) 2 > 1,9 R Comparação verdadeira, pois 2 está à direita de 1,9 na reta numérica; logo, 2 > 1,9. 2. Alternativa a. De acordo com as posições marcadas na figura, o ponto A está na metade entre os pontos 0 e 1 km; logo, o ponto A representa 1 a posição km ou 0,5 km. 2 O ponto B está na metade entre os pontos 1,5 km e 2 km; logo, o ponto B representa a 3 posição 1,75 km 5 1 km. 4

103


Brasil real, páginas 91 e 92. 1.

2.

104

a) De acordo com a tabela, a produção industrial apresentou queda em relação ao mês anterior em 4 meses. b) De acordo com a tabela, a produção industrial apresentou crescimento em 5 meses. c) O crescimento foi maior no mês de junho. d) O maior número racional é 1,6% 5 16 5 5 0, 016, e o menor número 1000 21 52 0, 021. racional é 22,1% 5 2 1000 e) Colocando os números racionais da tabela em ordem decrescente, temos: 1,6% > 1,5% > 1,2% > 0,9% > 0,1% > > 20,5% > 21,5% > 22,0% > 22,1%

b)

c) d)

e) f) g)

Logo, a diferença, em módulo, entre as temperaturas estimadas para o Monte Roraima é de 5,24 m. 4 picos: Pico da Neblina, Pico 31 de Março, Pico do Cristal e Monte Roraima. 3 picos: Pico da Bandeira, Pico da Pedra da Mina e Pico das Agulhas Negras. A maior diferença se deu entre as medições do Pico da Pedra da Mina; essa diferença é para mais. Pico da Bandeira. 2 739,3 < 2 770,0 < 2 780,0 < 2 787,0 < < 2 889,8 < 2 992,4 < 3 014,1 No Amazonas.

18 – Adição algébrica de números racionais

a) Fazendo altitude nova menos a antiga, vem: Pico da Neblina R 2 993,78 2 3 014,1 5 Exercícios, página 94. 5 220,32 1. Logo, a diferença, em módulo, entre as 3 5 9 10 29 1 10 1 a) 2 1 52 1 5 51 temperaturas estimadas para o Pico da 4 6 12 12 12 12 Neblina é de 20,32 m. b) 12,35 2 3 5 20,65 Pico 31 de Março R 2 972,66 2 2 992,4 5 5 219,74 c) 2 1 1 3 52 5 1 6 5 25 1 6 51 1 4 10 20 20 20 20 Logo, a diferença, em módulo, entre as d) 20,48 2 1,6 5 22,08 temperaturas estimadas para o Pico 31 de Março é de 19,74 m. e) 11,55 1 4,75 5 16,30 Pico da Bandeira R 2 891,98 2 2 889,8 5 7 8 21 16 221 1 16 5 52 5 2,18 f) 2 6 1 9 52 18 1 18 5 18 18 Logo, a diferença entre as temperaturas estimadas para o Pico da g) 17,35 2 10 5 22,65 Bandeira é de 2,18 m. Pico da Pedra da Mina R h) 22,91 1 3,07 5 10,16 R 2 770,0 2 2 787,0 5 28,39 2. Logo, a diferença entre as temperaturas estimadas para o Pico da a) 2 1 5 2 1 5 4 1 5 2 3 5 4 1 5 2 3 5 6 511 3 6 2 6 6 6 6 6 Pedra da Mina é de 28,39 m. 2 5 1 4 5 3 4 1523 6 Pico das Agulhas1Negras R 1 2 5 2 5 5 511 3 6 2 6 6 6 6 6 R 2 791,55 2 2 787,0 5 4,55 b) 1 2 0,47 2 1,9 1 0,63 5 Logo, a diferença entre as 5 1,63 2 2,37 5 temperaturas estimadas para o Pico 5 20,74 das Agulhas Negras é de 4,55 m. Pico do Cristal R 2 769,76 2 2 780,0 5 c) 24,7 1 2 2 1,75 1 1,48 5 5 210,24 5 26,45 1 3,48 5 Logo, a diferença, em módulo, entre as 5 22,97 temperaturas estimadas para o Pico Cristal é de 10,24 m. d) 7 2 5 2 2 1 1 5 14 2 15 2 12 1 9 5 14 2 15 2 12 1 9 5 9 6 3 2 18 18 18 18 18 Monte Roraima R 2 734,06 2 2 739,3 5 5 25,24


5

23 2 27 4 52 18 18

;2 ;2

52

Brasil real, páginas 95 e 96. 2 9

3. A 5 14,75 1 (17,21) 1 (210,92) A 5 14,75 1 7,21 2 10,92 A 5 11,96 2 10,92 A 5 11,04

1. a) De acordo com as informações do enunciado, podemos organizar a seguinte tabela: Campeonato Sul-Americano de Atletismo Classificação

País

1o

4. Para saber quantos graus a temperatura aumenta, devemos fazer temperatura final menos temperatura inicial. Assim, temos: a) (123,5) 2 (111,8) 5 123,5 2 11,8 5 11,7 Logo, a temperatura aumentou 11,7 graus. b) (11,5) 2 (28,5) 5 11,5 1 8,5 5 10 Logo, a temperatura aumentou 10 graus. 5. Para x 5 20,67 e y 5 20,75, temos: a) x 1 y 5 20,67 1 (20,75) 5 20,67 2 2 0,75 5 21,42 b) x 2 y 5 20,67 2 (20,75) 5 20,67 1 1 0,75 5 10,08 c) 1 2 x 2 y 5 1 2 (20,67) 2 (20,75) 5 1 1 1 0,67 1 0,75 5 12,42 6. A distância do ponto A até o ponto P é o módulo de 210,75 m; logo, A está a 110,75 m de P. A distância do ponto P até o ponto B é 113,65 m. Portanto, a distância do ponto A ao B é dada: 10,75 m 1 13,65 m 5 24,40 m 7. Para a 5 21,75; b 5 13,6 e c 5 24,21, temos: a 2 b 1 c 5 21,75 2 (13,6) 1 (24,21) 5 5 21,75 2 3,6 2 4,21 5 5 29,56 8. Como a temperatura caiu 6 graus, temos: 13,5 8C 2 6 8C 5 22,5 8C Logo, a temperatura registrada às 18 horas nessa cidade era de 22,5 8C. 9. 2,5 2 [0,2 1 (23,7 1 5) 2 1,4] 5 5 2,5 2 [0,2 2 3,7 1 5 2 1,4] 5 5 2,5 2 0,2 1 3,7 2 5 1 1,4 5 5 17,6 2 5,2 5 5 12,4 Logo, o menor número inteiro maior que 12,4 é 13.

Medalhas Ouro

Prata

Bronze

Total de Medalhas

Total de Pontos

Brasil

26

11

17

54

498

2o

Colômbia

9

18

10

37

317

3o

Argentina

5

3

5

13

151

Medalhas conquistadas no Campeonato Sul-Americano de Atletismo em 2006

b) 30 25

26

20

18

15 10 5 0

17

11

9 5 Ouro

10 3

Prata

5

Brasil Colômbia Argentina

Editoria de arte

1 14 15 12 9 14 2 15 2 12 1 9 5 2 2 1 5 5 2 18 18 18 18 18

Bronze

2. a) 53,89 m 2 33,81 m 5 20,08 m b) 85,50 m 2 71,53 m 5 13,97 m R 1 397 cm 3. a) Sim. A diferença entre as marcas dos dois atletas é 4,32 m (58,21 m 2 53,89 m); Passaram-se 100 anos (2006 2 1906). b) Sendo o dardo arremessado do local onde o dardo da atleta anterior caiu, a distância entre o local de arremesso da primeira colocada e o da última colocada será encontrada somando-se a distância obtida por cada atleta: 58,21 1 46,91 1 45,95 1 45,50 1 44,99 1 1 43,99 1 41,76 1 41,54 1 35,66 5 5 404,51 Portanto, a distância seria de 404,51 m. c) A diferença entre as marcas obtidas pelas duas atletas é dada por: 58,21 2 71,53 5 213,32 Logo, o módulo dessa diferença é 13,32 m.

Desafio!, página 96. Aplicando a operação inversa da adição para descobrir os valores desconhecidos, completamos o quadro:

105


b) Triplo de 10,8: 3 ? (10,8) 5 12,4 0,8 3 2, 4

3 1 3 2 1 2 5 2 5 4 2 4 4 4 1 4

1 2

1

1

1

2 3

1

Editoria de arte

1

1 2

5 11 12

3 4

5

5

7 6

5

5

1 1

d) Dobro de 26,5: 2 ? (26,5) 5 213 16,5 2 13 ,0

23 11 12 2 5 51 12 12 12

23 12

5

;2

23 3 23 9 14 7 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 ;2 6 → 12

7 c) Quádruplo de 1 : 6 2  7  14  51 4 ? 1  6 3  3

1 2 1 1 5 2 5 2 2 2 2

3.

;4

11 1 11 3 8 2 2 5 2 5 5 12 4 12 12 12 ; 4 3

19 – Multiplicação de números racionais

d) (20,8) ? (20, 45) ? (20,5) 5  5 (10,36) ? (20,5) 5 20,18

Exercícios, página 98. 1.

 2  2 4 a) 1  ? 2  52 15  5  3  3  12  51 b) (24) ? 2 11  11      c) 1 1  ? 1 3  51 3  2   4  8   5  5 d) 2  ? (20, 4) 5 2  8   8

()

4. (25) ? (21,8) 2 (17) ? (11,2) 5 5 19 2 (18,4) 5 5 19 2 8,4 5 5 10,6 1    ? 2 4  51 1    4   10 2 2 

1

e) (26,4) ? (11,5) 5 29,60 2 6, 4 1,5 320 64 1 9,60 f) (20,7) ? (22,1) 5 11,47 2,1 0,7 1, 47

2.

106

5 a) Dobro de 2 : 8  1 5  5  52 2 ? 2  4  84 

1  3   1  3  ? 2 52 a) 22 ? 2  4 2  7  14 1  1   7   2   1  1  51 b) 2  ? 1  ? 2  9   7 1   6 3  27     c) (21,5) ? (10,36) ? (12,7) 5  5 (20,54) ? (12,7) 5 21,458

5. O dobro de 6,25 m é: 2 ? 6,25 m5 12,50 m. Como se trata de profundidade, podemos representar esse valor pelo número racional relativo: 212,50 m. 6. Se a cada quilômetro rodado consome-se 0,12 , de combustível, em 82,5 quilômetros serão consumidos: 82,5 ? 0,12 5 9,9 R 9,9 , 7. 5 ? (22,24) 1 3 ? (13,25) 5 5 (211,2) 1 9,75 5 5 211,2 1 9,75 5 5 21,45 8. a)

1  1  5  4  1  5 ? 2  1 2 ? 1  4 2  41  9 


5 1 10 9 210 1 9 1 52 1 52 1 5 52 9 2 18 18 18 18 10 9 210 1 9 1 52 1 5 52 18 18 18 18

b)

 10 1  1  2  3   1   1  1  1  1 1c) 6 5 1 ? 1 2 1 ? 2 52 2 2 52 1 52 1 52       (21,7) 5 5  6  5 6 (17,31) 30 ;30 30(173,1) ; (217) 5 24,3 31  10 5   2   3 

c)

   1   1  1  ? 2  52 1 2 2 1  52 1 1 1 52 6 1 5 52 1  2   3  30 5  6  5 6 30 30 d)

(20,28) ? (11,5) 2 (10,7) ? (20,72) 5 5 20,42 2 (20,504) 5 5 20,42 1 0,504 5 5 10,084

e)

0,625 2 (10,84) ? (10,6) 5 5 0,625 2 (10,504) 5 5 0,625 2 0,504 5 5 10,121

 12  1  5  5  52 5 (26 ) ? 1 f) (26);1  5   12 2  2

a)

 10

(12) ; (20,5) 5 (120) ; (25) 5 24

 100

180 36 000 0,5

 100 e) (10,66) ; (11,1) 5 (166) ; (1110) 5 10,6  100

660 110 000 0,6  10

f) (230,4) ; (14) 5 (2304) ; (140) 5 27,6  10

304 40 240 7,6 000  100

g) (21,44) ; (20,24) 5 (2144) ; (224) 5 16  100

 10

h) (16) ; (22,5) 5 (160) ; (225) 5 22,4

2.

73,1 17 051 4,3 00

 100 d) (20,18) ; (10,36) 5 (218) ; (136) 5 20,5

Exercícios, páginas 100 e 101. 2 1  6   9   6   7  2 a) 1 ;2  5 1  52  ? 2  7   7   7 1   9 3  3     2  3   11   3   14  6  ? 1 51  51 b) 1 ;1  7   14   7 1   11  11   1   1    5   10   5   9  1 5 2 ;2 c) 2  ? 2  51  27   9   27 3   102  6     1  1          d) 2 5 ;1 25  5 2 5  ? 1 8  52 1  8   8   8 1   25 5  5     2   4  4   1  2 e) 1 ;(12) 5 1  51  ? 1  7  7  7   2 1 

 10

20 – Divisão de números racionais 1.

(22,1) ; (22,8) 5 (221) ; (228) 5 10,75

 10 210 28 140 0,75 0

b) 7 2 5 ? (11,5) 5 5 7 2 7,5 5 5 20,5

 10

60 100 000

 10

25 2,4

3. Metade de 21,8% R (21,8) ; 2 5 20,9% Logo, a queda foi de 20,9%.

 10

107


4.

  21   2 ; 25   14   1 15

  2 5 8   5  1 12

5 1   3   3  3  1      5   12   21   15   3   9   3   10  ? 2 5 2 5 2  ? 1  ; 2  5 2 ; 2  ? 1   5  8 2   5 1   25 5   14 2   2   10   2 1   9 3     5 51 3

   5   5   21   14  ;1  5  ; 2  5 2 ;1   8   12   25   15      

5.

3 10

x 5 (15)  (212,5) 5 (150)  (2125) 5 20,4

5

1 1 4  10  5  10  10  10   52  2 ? 2 ? 2 2 2 5   9  4 1  3  5 1  9  3 

10 10 10 30 210 1 30 20 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 500 125 10 10 10 30 2 10 1 30 20 000 0,4 52 1 52 1 5 51 9 3 9 9 9 9 1  1  Sendo x 5 20,4, temos:  4   3   1   3  2 e) ;( 2 2 ) 1 1 ? 2   2 1 ; 2  5   a) Triplo de x R 3 ? (20,4) 5 21,2  3 1  8 2  4   2  3     3 10 1 1     2  1   1   1   2    5 ? 2 1 2 2 1 ? 2 5  b) Metade de x R (20,4)  2 5 (24)  (20) 5 20,2   3  2 1   2   4 2   3    3 10  1  1 1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 40 20 52 2 22  52 2 1 52 2 1 5 3 2  6  3 2 6 6 6 6 6 00 0,2 3 10

52

;2 1 1  1 1 1 1 2 3 1 22 2 3 1 1 4 2 52 2 22  52 52 2 1 5 52 52 1  2 1 1  4   8  3  25    6 4  3 5 2 6  64  6 6 6 6 ;2 3 2  5 a) 2 ;1  2 (12);2  5 2 12)?  ? 1  2 (1  5   5   5   4   5 1  8 2     1 1 21, 44);(10, 48) 2 (20,9);(11,2) 5 f) (  4   5   4   5       2);2  5 2 12)? 2  5  ? 1  2 (1  5   4   5 1  8 2     5 23 2 (20,75) 5 1  8  1 8 5 16 25 1 16 11 55 23 52 22  52 1 52 1 5 51 1 0,75 5 2  5  2 5 10 10 10 10   1 8 5 16 25 1 16 11 22,25 1 5 51  52 1 52 2 5 10 10 10 10  4  8  1   8   1   3  7. 2 2 (10,8)  (10,5) 5 b) 1 ;(12) 2 3 ? 2  5 1  2 2  5  ? 2 5 2 2 (11,6) 5  5   4   5   2 1  4  4   5 2 2 1,6 5  1   8   1   3   2 2  5 2 3 ? 2  5 1  ? 2   5 10,4  4   5   2 1  4    4 3 16 15 216 1 15 1 a) Valor da expressão na forma 52 1 52 1 5 52 ;2 5 4 20 20 20 20 4 2 fracionária: 1 51 . 16 15 216 1 15 1 10 ;2 5 52 1 5 52 20 20 20 20 b) Valor da expressão na forma decimal:

6.

c) (25,6)  (22,8) 2 (10,25)  (20,5) 5 5 12 2 (20,5) 5 5 12 1 0,5 5 12,5

10,4.

8. x 5 (10,2)  (20,04) 2 3 ? (21,6) x 5 25 2 (24,8) 4 5 4  4  5  5  d) ;(20, 4) 2 ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2  5 x 5 25 1 4,8 9 3 9  10  3  10  x 5 20,2 5 4  4  5  5  ;(20,5) 5 ;2 2 ; 2 5 3 9  10  3  10 

108


Desafio!, página 101. 1. Podemos representar o salário de Marcos 7 na forma de fração: . 7 Depois de pagar a prestação

d) (10,05) ? (10,05) ? (10,05) 5 (0,05)1 1 1 1 1 5 5 (0,05)3 2.

 1 2  1   1  1 a) 2  5 2  ? 2  51  9   9   9  81

da casa, sobram para Marcos: 7 3 723 4 4 2 do salário. 2 5 5 → 7 7 7 7 7 b) 1 1  5 1 1  ? 1 1  51 1  4   4   4  16 4 Com metade de ele paga a prestação do 6 7               carro: c) 2 1  5 2 1  ? 2 1  ? 2 1  ? 2 1  ? 2 1  ? 2 1  51 1 2        64  2  2  2  2  2  2  2 4 1 2 2 4 do salário. ;2 5 ? 5 → 6               7 7 7 7 1 21  1   1   1   1   1   1   1  2  ? 2  ? 2  ? 2  51  5 2  ? 2e a ?casa, 2 pagar Dessa forma, após 2   2   2   2   2   2  64  2  o carro sobram para Marcos: d) (20,7)3 5 (20,7) ? (20,7) ? (20,7) 5 7  3 2  7  3 1 2  7 5 725 2 2 5 20,343 2 1  5 2  5 → 5 2 5 7  7 7  7  7  7 7 7 7 7  4 0  12  7 5 725 2 2 e) 2 511 5 → do salário.  11  5 2 5 7  7 7 7 7 7 f) (10,9)3 5 (10,9) ? (10,9) ? (10,9) 5 2 representa De acordo com o enunciado, 5 10,729 7 R$ 276,00; pois é o que sobra para Marcos.  7 1 7 g) 1  51 1  3  3 Logo, representa R$ 138,00. 7 7 1 h) (24,2)2 5 (24,2) ? (24,2) 5 117,64 representa R$ 138,00; Como 7 7 i) (21,4)2 5 (21,4) ? (21,4) 5 11,96 representa: j) (16,2)0 5 11 7 ? 138 5 966  6 2  6   6  36 l) 1  5 1  ? 1  51  5   5   5  25

Portanto, o salário de Marcos é R$ 966,00. 2. Alternativa d. Duas fotos coloridas custam: 2 ? R$ 3,60 5 5 R$ 7,20. Logo, sobram para as cópias simples: R$ 10,00 2 R$ 7,20 5 R$ 2,80 Como uma cópia simples custa R$ 0,15, com R$ 2,80 poderei pagar: 2,80 : 0,15 5 18 Portanto, poderei pagar por 18 cópias simples.

 2     m) 2 3  5 2 3  ? 2 3  51 9  10   10   10  100 3.

 2     a) 2 5  5 2 5  ? 2 5  51 25  7   7   7  49 b) (10,8)3 5 (10,8) ? (10,8) ? (10,8) 5 5 10,512    4       c) 2 1  5 2 1  ? 2 1  ? 2 1  ? 2 1  51 1  2   2   2   2   2  16 d) (22,5)2 5 (22,5) ? (22,5) 5 16,25

21 – Potenciação de números racionais

4.  1 x 5 2 ;(12)  2

Exercícios, páginas 105 e 106. 1.

 9   9   9   9 1 1 1 1 1  9 3 5 1  a) 1  ? 1  ? 1  5 1   10   10   10   10   10  b) (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) ? (22,4) 5 5 (22,4)1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 (22,4)5 1 11 2         c) 2 11  ? 2 11  5 2 11  5 2 11   8   8   8   8 

 1  1 x 5 2  ? 1   2   2  1 x 52 4 a) Quadrado do número x:  1 2  1   1  2  5 2  ? 2  51 1  4   4   4  16  b) Cubo do número x:

109


5.

 3 2  9  a) 2  ;2  5  4   8 

1   1   9   8  1 5 1  ? 2  52  16 2   9 1  2    

 7   7   5 2 b) 2 ;2  2 2  5  9  6  6 1  2   7   6   25  5 2  ? 2 2 1 5  9 3   7 1   36     

51

2 25 24 25 1 2 51 2 52 3 36 36 36 36 3

2

 1  1 c) 3 ? 2  2 (212) ? 2  5  2   4   1 3  1  5 3 ? 2  2 (212 ) ? 1  16 4   8  3  3 3 3 3 6 3 52 2 2  52 1 52 1 51 8  4  8 4 8 8 8 2  2 2  2  4 d) 2  ? (210) 2 2  ;1  5  5   3   9 

 1 3  1   1   1  2  5 2  ? 2  ? 2  52 1  4   4   4   4  64

7. A 5 (20,25) : (22)2 2 (20,5)2 : (22) A 5 (20,25) : (14) 2 (10,25) : (22) A 5 20,0625 2 (20,125) A 5 20,0625 1 0,125 A 5 10,0625 8. (10,8) : (20,2)2 1 (22,7) : (20,3)2 5 5 (10,8) : (20,04) 1 (22,7) : (10,09) 5 5 20 1 (230) 5 5 20 2 30 5 210 9.

1 2 1 16 a 5 8 5 ? 52 1 b 1 81 16 Portanto, o quociente de a por b é 2. Logo,

10.

52

1  1  8  4   9  8 2 1  ? 1  5 2 2 (11) 5 5  9 1  4 1 5    

11.

8 8 5 13 2 1 52 2 52 5 5 5 5

2  3   16   27  5 1 7)5  ? 2  2 (27  9 1  8 1    

5 26 2 (27) 5 26 1 7 5 11

2

1 1 1 1 a) 3 22 5   5   ?   5  3   3   3  9 2

1 1 1 1 22 7b) 8 5  81  5  8  ?  8  5 64  ? (125 ) 5      25 1 3  1  1  1  1 1 c) (24) 23 5 2  5 2  ? 2  ? 2  52  4   4   4   4  64 d) (210)

22

2  1   1   1  1  5 2 5 2 ? 2 51  10   10   10  10 1

 1 1 e) (29) 21 5 2  52  9  9 3

6. a) (22)3 2 (20,5)3 5 5 28 2 (20,125) 5 5 28 1 0,125 5 27,875 b) (22)2 2 (20,5)2 5 5 14 2 (10,25) 5 5 14 2 0,25 5 13,75 c) (22)2 2 (22) ? (20,5) 1 (20,5)2 5

110

1 1 ; y 5 9 21 5 6 9 1 1 3 2 5 x1y5 1 5 1 5 6 9 18 18 18 5 Logo, x 1 y 5 . 18 x 5 6 21 5

 4 2  2 3  7   16   8   2 e) 2  ;2  2 2 ;2  2 2  ? (15) 5 1  3   3   25   9   27   2 3  16   8   7  4   2   7  2  ? (125 )1 5 2 ;   ;2  2 2  2 2  ? (15) 5 1 3   3   25   9   27   25 1

 1 3  1   1 2 1 a 5 2 2 3 5   5  ; b 5 4 2 2 5   5  2   8   4  16

  4  4 2 4   ? (210 ) 2 1 ;1  5 5 1  25 5   9   9  52

5 14 2 (11) 1 (10,25) 5 5 14 2 1 1 0,25 5 5 4,25 2 1 5 13,25

 1   1   1   1  1 f) 10 23 5   5   ?   ?   5  10   10   10   10  1000  2  21  1 1 5 g) 1  5   51  5   2  2  5    22  h) 2 3  5  1  4   3  2 4

2  4 2  4   4  16  5 2  5 2  ? 2  51 3 3 3 9        


 3  23  1 i) 2  5   3  2  2 2  2 3  2   2   2  8     5 2  5 2  ? 2  ? 2  52  3   3   3   3  27

3  2 3  2   2   2  8  5 2  5 2  ? 2  ? 2  52 27   3   3   3   3  

22 – Raiz quadrada exata de números racionais

Exercícios, página 108. 5 5  5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 1. 32De acordo com as figuras geométricas,   vem: 5 a) 36 5 6, pois 6 ? 6 ou 62 5 36. 5 (22) 5 (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22) 52 32 b) 0, 49 5 0,7, pois 0,7 ? 0,7 ou (0,7)2 5 0,49.  2 2 4 12. Para cada casa decimal que a vírgula 2 2 4 2   5 . c) , pois ou ? 5 se desloca à direita, diminuímos uma  3  9 3 3 9 3 unidade negativa no expoente de base 10. 2. Daí vem: a) 2 304 2 a) 0,01 5 1022 c) 0,0015 1023 1 152 2 b) 0,00001 5 1025 d) 0,000001 5 1026 576 2 13. 288 2  5  22  6 2  6   6  36 511, 44 a) 1  5 1  5 1  ? 1  51 144 2 25  6   5   5   5  72 2 4  1   1   1   1   1  1 24 b) 10 5   5   ?   ?   ?   5 5 0, 0001 36 2  10   10   10   10   10  10000 4 18 2  1   1   1   1  1 5   ?   ?   ?   5 5 0, 0001 9 3  10   10   10   10  10000 3 3 3 1 1 1 1 1 c) 2 23 5   5   ?   ?   5 5 0,125 1 28 ? 32  2   2   2   2  8   25  j) 2 1  5  1  2   1  2 2

d) 4 21 5

1 5 0,25 4

2 304 5 28 ? 32 5 (24 ? 3)2 5 (16 ? 3)2 5 (48)2 5 5 48 ? 48

Como 2 304 5 48 ? 48, temos, pela 23 23 23  3  1  3 2  2     a) 1 2  5  2  5 1  5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13definição, ) 51 27 que 2304 5 48.   3  3  3 3 23 23    3 3 2 1 2  5 1  5 (13) 5 (13) ? (13) ? (13) 51 27 b) 676 2  3  3 3 24 24 24 4 5   3 2  3   3   3   3  338 5  2 3 81 b)  2 1 5  2  5 1  5 1  5 1  ? 1  ? 1  ? 1  51  3        169 13 3 3 3 2 2 2 2 2 16                24 24 4 13 13  3  3  3  3  3  2 3 81 2  5 1  5 1  5 1  ? 1  ? 1  ? 1  51 1 22 ? 132  2   2   2   2   2   3  3 16 676 5 22 ? 132 5 (2 ? 13)2 5 (26)2 5 26 ? 26 22 22 1  22  2   1  1 3 2 c)  2  5  2  5 2  5 (26) 5 (26) ? (26) 51Como 36 676 5 26 ? 26, temos, pela  3  6  6  2 6 22 22 2  1  2 3  definição, que 676 5 26. 2  5 2  5 (26) 5 (26) ? (26) 51 36  6  6 6 21 21 21 c) 1 764 2   10  6 4 4 5 d) 2 2  5  2  5 1  51   5  5  882 2 5 5 6 441 3 15. 147 3 a) 56 5 22 1 33 1 52, pois 56 5 4 1 27 1 25. 49 7 b) 154 5 21 1 33 1 53, pois 154 5 2 1 27 1 125. 7 7 c) 385 5 23 1 32 1 52 1 73, pois 385 5 8 1 1 22 ? 32 ? 72 1 9 1 25 1 343. 1 764 5 22 ? 32 ? 72 5 (2 ? 3 ? 7)2 5 (42)2 5 42 ? 42 d) 160 5 22 1 30 1 52 1 72 1 92, pois 160 5 5 4 1 1 1 25 1 49 1 81. Como 1 764 5 42 ? 42, temos, pela definição, que 1764 5 42. 14.

111


d) 2 500 1 250 625 125 25 5 1

2 2 5 5 5 5 22 ? 54

2

 1   1   1  1 1 1 5 4 5 2 2 5   5   ?   5 (0, 04) ? (0, 04)  25   25   25  625 5 (5 )

2  1   1   1  1 1 1    5 4 5 2 2 5   5   ?   5 (0, 04) ? (0, 04)  25   25   25  625 5 (5 ) Daí, vem que x 5 0,04.

e) Sendo x 5 25 , então x 5 5, pois 5 ? 5 5 5 25. 36 6 f) Sendo x 5 , então x 5 , pois 49 7  6   6  36 .   ?   5  7   7  49

2 500 5 22 ? 54 5 (2 ? 52)2 5 (2 ? 25)2 5 (50)2 5 5 50 ? 50 Como 2 500 5 50 ? 50, temos, pela definição, que 2500 5 50 . 3.

4. a) 12,25 5

1225 100

; 25

2

49 72  7   7   7  5 5 2 5   5   ?   5 (3,5) ? (3,5) 4 ; 25  2   2   2  2

a) Sendo x2 5 100, então x 5 10, pois: 2 ; 25 1225 49 72  7   7   7  100 2 12,25 5 5 5 2 5   5   ?   5 (3,5) ? (3,5)  2   2   2  100 ;25 4 2 50 2 49 5 3,5 ? 3,5; temos, pela Como 12,25 5 25 5 4 5 5 definição: 12,25 5 3,5. 1 22 ? 52 2

;4 1296 324 182  18   18   18  5 5 2 5   5   ?   5 (3,6) ? (3,6)  5   5   5  100 ; 4 25 5 2 ;4 2  18   18   18  1296 324 18 b) Sendo x2 5 121,12 então ,96 5x 5 11, pois: 5 5 2 5   5   ?   5 (3,6) ? (3,6)  5   5   5  100 ; 4 25 5 121 11 324 Como 12,96 5 5 3,6 ? 3,6; temos,pela 11 11 25 2 1 11 definição: 12,96 5 3,6. 121 5 112 5 11 ? 11 2 ; 25 Portanto, x 5 11. 3025 121 112  11   11   11  c) 30,25 5 5 5 2 5   5   ?   5 (5,5) ? (5,5)  2   2   2  1 100 ;25 4 1 2 2 c) Sendo x2 5 , então x 5 ,;pois: 25 2       4 3025 121 11 11 11 11 16 30,25 5 5 5 2 5   5   ?   5 (5,5) ? (5,5)  2   2   2  100 ;25 4 16 2 2 8 2 121 Como 30,25 5 5 5,5 ? 5,5; temos, 4 2 4 2 2 pela definição: 30,25 5 5,5. 1 24 2 ;4 2916 729 272  27   27   27  2  1   1   1  29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4) d)  1 1 1   5   5   5  100 ; 4 25 5 4 5 2 2 5   5   ?   52    16 4 4 4 2     ; 4  2 (2 ) 2916 729 272  27   27   27  29 , 16 5 5 5 5 5 ? 5 (5, 4) ? (5, 4)   2 1  5   5   5  100 ; 4 25 5 Portanto, x 5 . 4 729 5 5, 4 ? 5, 4 ; temos, Como 29,16 5 ;16 16 1 25 d) Sendo x2 5 0, 0016 5 , 5 10000 ;16 625 pela definição: 29,16 5 5, 4 . 1 então x 5 ou x 5 0,004; pois: ;16  7 2  7   7  25 784 49 72 e) 0, 0784 5 5 5 2 5   5   ?   5 (0,28) ? (0  25   25   25  10000 ;16 625 25 625 5 2 ;16 2  7   7   7  784 49 7 125 5 0, 0784 5 5 5 2 5   5   ?   5 (0,28) ? (0,28)  25   25   25  10000 625 25 25 5 ;16 49 5 5 Como 0, 0784 5 5 0,28 ? 0,28; temos, 625 4 1 5 pela definição: 0, 0784 5 0,28 .

100 5 22 ? 52 5 (2 ? 5)2 5 (10)2 5 10 ? 10 Portanto, x 5 10.

112

b) 12,96 5


4 0

f) 0,1024 5

2

;16

5 ;16

 8   8  7.  8 441 5 21, pois 21 ? 21 5 441. 64 82 5 2 5   5   ?   5 (0,32) ? (0,32)   625 25 25      25 256 5 16, pois 16 ? 16 5 256. 25

2

;16

5 ;16

1024 10000

 8   8   8  64 82 5 2 5   5   ?   5 (0,32) ? (0,32)  25  25  25 625 25       64 Como 0,1024 5 5 0,32 ? 0,32; temos, 625 pela definição: 0,1024 5 0,32.

900 5 30 , pois 30 ? 30 5 900. Então, temos: 441 1 256 2 900 5 21 1 16 2 30 5 37 2 30 5 7 Logo, o valor da expressão é 7.

6. a10 ? b4 5 (a5 ? b2)2 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2) Como a10 ? b4 5 (a5 ? b2) ? (a5 ? b2), temos, pela definição, que

8 64 ; então x 5 , pois 15 225  8   8    ?   5 64 .  15   15  225 8 . Logo, x 5 15

8. Se x 5

11 121 5. Se a 5 ; então a 5 , pois 4 196  11   11  121   ?   5  4   14  196 .

a10 ? b4 5 a5 ? b2 .

23 – Estudo das médias Exercícios, página 110. 1. Para determinar a média aritmética, basta somar os cinco números e dividir essa soma por cinco: 2 25 1 (222) 1 (213) 1 15 1 30 225 2 22 2 13 1 15 1 30 260 1 45 5 5 5 5 5 5 15 52 52 3 5 2. Calculando a média aritmética ponderada, vem: 8 ? 2 1 15 ? 2 1 20 ? 1 1 16 1 30 1 20 66 5 5 5 13,2 2 12 11 5 5 3. Calculando a média ponderada para compra de Cristina, vem: 3 ? 21 1 2 ? 12 63 1 24 87 5 5 5 17, 4 312 5 5 Logo, o preço médio por caneta foi R$ 17,40. 4. Calculando a média aritmética, vem: 2 1 3 8 2 9 19 1 1 1 1 3 6 4 5 12 12 12 5 12 5 19 ? 1 5 19 3 3 3 12 3 36 5. Calculando a altura média dos jogadores, vem: 1,90 1 1,99 1 2, 01 1 2, 08 1 2,12 10,1 5 5 2, 02 5 5 Logo, a altura média dos jogadores é 2,02 m.

113


6. Para calcularmos o custo de cada copo de refresco, devemos calcular a média ponderada para o custo. Daí, vem: 8 ? 50 1 2 ? 85 400 1 170 570 5 5 5 57 8 12 10 10 Logo, o custo de cada copo de refresco é 57 centavos. 7. Nos cinco resultados, o primeiro valor refere-se aos gols marcados pelo clube, e o segundo valor refere-se aos gols sofridos por esse clube. Assim, temos: Gols marcados R 4 1 3 1 2 1 4 1 1 5 14 Gols sofridos R 2 1 3 1 3 1 0 1 1 5 9 a) O clube marcou 14 gols. b) O clube sofreu 9 gols. c) A média de gols marcados é dada por: 4 13 12 1 4 11 14 5 5 2,8 5 5 Logo, a média de gols marcados por esse clube foi de 2,8 gols. d) A média de gols sofridos é dada por:

2 13 13 1 0 11 9 5 5 1,8 5 5 Logo, a média de gols sofridos por esse clube foi de 1,8 gol.

8. Calculando a idade média dos jogadores dessa equipe, vem: 3 ? 20 1 2 ? 26 1 2 ? 23 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 5 3 12 12 11 11 11 11 11 5

60 1 52 1 46 1 21 1 24 1 25 1 27 1 30 285 5 5 23,75 12 12

Logo, a idade média dos jogadores dessa equipe é 23,75 anos. 9. De acordo com as notas, calculamos a média do aluno no bimestre: 4 ? 6 1 3 ? 8 1 2 ? 7,5 1 1 ? 9 24 1 24 1 15 1 9 72 5 5 5 7,2 4 13 12 11 10 10 Logo, a média desse aluno foi 7,2. 10. O preço médio do produto é dado por: 3500 ? 30 1 8 500 ? 24 105000 1 204 000 309 000 5 5 5 25,75 3500 1 8500 12000 12000 Logo, o preço médio desse produto, por unidade, foi R$ 25,75.

Brasil real, página 111. 1. a) De acordo com a tabela e com os dados do texto, em 2005 o IDH do Brasil estava médio. b) Como em 2005 o IDH era 0,792 e em 2004 era 0,790 (e 0,792 > 0,790), o IDH brasileiro foi maior em 2005. c) Melhorou; porque quanto maior o IDH, melhor é a qualidade de vida da população.

114


2. a) b)

Calculando a média dos indicadores medidos em 2000, temos: 0,502 1 0,615 1 0, 408 1,525 5  0,508 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2000 era 0,508. Calculando a média dos indicadores medidos em 2005, temos: 0, 420 1 0,648 1 0,540 1,608 5 5 0,536 3 3 Logo, o IDH dessa região em 2005 era 0,536. Tratando a informação, páginas 112 e 113.

1. a) Resposta em aberto.

b) Resposta em aberto.

c) Resposta em aberto.

2. a) De acordo com o gráfico, nasceram nessa maternidade nesse dia: 4 1 2 1 2 1 1 1 1 5 10 R 10 crianças. b) De acordo com o gráfico, 4 crianças nasceram com mais de 50 cm de altura: duas com 51 cm, uma com 52 cm e uma com 53 cm. c) Nenhuma. d) Calculando a média das alturas das crianças que nasceram nesse dia, temos:

491 4 ? 47 1 2 ? 48 1 2 ? 51 1 52 1 53 188 1 96 1 102 1 52 1 53 5 5 49,1 5 5 10 4 12 12 11 11 10 Logo, a média de altura das crianças foi 49,1 cm.

3. a) Calculando a média das alturas do time feminino, vem:

1,70 1 1,76 1 1,77 1 1,80 1 1,82 1 1,82 1 1,83 1 1,87 1 1,97 1 2, 00 1 1,94 1 1,92 22,2 5 5 1,85 12 12

Logo, a altura média do time era 1,85 m.

b) Calculando a média das alturas do time masculino, vem: 2, 00 1 1,86 1 2,11 1 2,11 1 1,92 1 1,91 1 1,91 1 2,11 1 2, 04 1 2,11 1 2, 06 1 2,11 5 12 5 24,25  2, 02 12 Logo, a altura média do time era 2,02 m. c) 2,02 2 1,85 5 0,17 Logo, o time masculino é 0,17 m ou 17 cm mais alto que o time feminino. d) De acordo com a tabela, a jogadora mais alta da seleção feminina é Alessandra. e) De acordo com a tabela, a jogadora mais baixa da seleção feminina tem 1,70 m de altura. f) A maior altura dos jogadores do time masculino é 2,11 m, e cinco jogadores possuem essa altura. g) Jogador mais baixo: 1,86 m. Jogadora mais alta: 2,00 m. A diferença entre essas alturas é: 1,86 m 2 2,00 m 5 20,14 m O número racional negativo indica que o jogador é mais baixo do que a jogadora. h) Iziane e Janeth possuem a mesma altura (1,82 cm). i) De acordo com a tabela, 4 jogadores possuem altura inferior a 2,0 m.

115


Retomando o que aprendeu, páginas 113 e 114.

1.

2.

3.

1  1 3  1 2 5 (22 ) ? 2  4 2  2 2

4.

 9 8  1 5 2 1  ;2  5 2   8   2 Alternativa a. 4 (0,1 2 0,01) : (0,2 2 0,02) 5  1   1   1   8   ? 2 5 2  ;2  5 2  514 5 (0,09) : (0,18) 5 10,5  2   8   2 1   1  8. Alternativa a. Alternativa d. Fazendo a diferença entre os pontos x 5 2(22)2 2 9  ; (21)100 2 2     considerados, temos: x 5 [2(14) 2 3] ; [11 2 2] 21,5 2 (26,35) 5 x 5 [24 2 3] ; [21] 5 21,5 1 6,35 5 14,85 x57 Logo, a distância entre os dois pontos 1 Se x 5 7, então x21 51 . considerados é 4,85 m. 7 9. Alternativa c. Alternativa d. 3 ? 12 1 18 ? 13 1 9 ? 14 36 1 234 1 126 396 5 5 5 13,2 5  1 3 1 18 1 9 30 30 x 5 (21 2 1) ?  2 2 2 3 ? 12 1 18 ? 13 1 9 ? 14 36 1 234 1 126 396 4  2 5 5 5 13,2 18  5 31  1  8  119 3 30 1 3 301 Logo, 2 a média das idades dos alunos é    2 51 2 5 5 x 5 (22) ?  2  2 5 (22 ) ? 2 1  4  4 2  2 4 2 2 2 13,2 2 anos. 3 1 2 10. Alternativa e. 51 2 5 5 1 2 2 2 106 1 125 1 95 1 104 430 Sendo x 5 1, o cubo de x será: 5 5 107,5 4 4 3 (1) 5 (1) ? (1) ? (1) 5 1. Logo, a média de pontos da equipe A nesse torneio é 107,5 pontos. Alternativa b.  3        2 2 1 ?  3 2 1 5 2 3 2 2  ?  3 2 2  5   2   2  2 2   2 2   5 1 5 5 2  ?   52 521,25  2   2  4 21,25 está entre os inteiros 22 e 21.

5. Alternativa c. 1 x 5 621 5 6  1 2  1   1  1 22 y 5 6 5   5   ?   5  6   6   6  36 1 1 6 1 7 x1y5 1 5 1 51 6 36 36 36 36 6. Alternativa e. 0,25 1 0,19 : (4 2 0,8 : 0,5 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 1,6 2 0,5) 5 5 0,25 1 0,19 : (4 2 2,1) 5 5 0,25 1 0,19 : (1,9) 5 5 0,25 1 0,1 5 0,35

11. Alternativa a.   1 2    2 2 1 1 1  ;2 3  5 2 1 1    4   2    4    2 5 21 1 2 2 2 1 1 4   ;2 3  5  4  4 4    4     2   3 4  3 5 21 1 2 1   ;2  5  4 4    4     2     1 3 5 21 1 1   ;2  5  4    4     1   3   ; 2 5 5 21 1 16   4  

 16 1   3   ; 2 5 5 2 1 16   4   16 5 1  15   3   15   4  5   ;2  5 2 5 2 ? 2  51 4  16   4   16 4   3 1   

7. Alternativa e. 12. Alternativa d. 2 3   22 ? 2 3  1 22 ;2 1  5 211,6 1 13,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14,  2  5    2    12 5    1  9  211  ,6 1   1 4 ;2 1 13  5,8 1 (210,7) 1 (214,2) 1 15, 4 5 211,6 1 13,8 2 10,7 2 14,2 1 15, 4 5 5 22 ? 1    8   4 2  12 5  

116

 9   1 5 2 1 4 ;2  5  2   8 

236,5 1 29,2 7,3 52 521, 46 5 5 Logo, a média aritmética é 21,46.

5


ESTUDANDO AS EQUAÇÕES b) 132 2 122 5 42 1 32 Da equação, vem: 1o membro R 132 2 122 2o membro R 42 1 32

Abertura, páginas 115 e 116. • Qual o número cujo triplo mais 6 dá 21? 5, pois o triplo de 5 é 15 com mais 6 dá 21. • No dicionário Aurélio, o significado das palavras são: Equivalente R de igual valor; aquilo que equivale. Equilíbrio R manutenção de um corpo na posição normal, sem oscilações ou desvios; igualdade de forças opostas. Equilátero R que tem os lados iguais entre si. Equidistante R que dista igualmente. Equilibrista R pessoa que se conserva em equilíbrio. • Você já ouviu falar em “incógnita”? x 1 y 5 67 e x 2 2y 5 46 x 1 y 5 67 → x 5 67 2 y I  x 2 2y 5 46 II Substituindo I em II, temos: 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221  (2 1) 3y 5 21 21 y5 3 y57 x 1 y 5 67 x 1 7 5 67 x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, x 5 60 e y 5 7.

24 – Igualdade

2. Sendo a 5 b e b 5 27, pela propriedade transitiva, a 5 27. 3. Pedro apenas mudou os termos de membro, passando o termo do 1o membro para o segundo e o do segundo para o 1o. Logo, Pedro utilizou a propriedade simétrica. 4. Sim, pois, pela propriedade simétrica, 21 5 x 1 1 R x 1 1 5 21. 5. Sendo x 5 3y e 3y 5 z 2 2, pela propriedade transitiva, x 5 z 2 2. 6.

2o– membro

7. Adicionando 26 ao 1o membro, o 2o membro também deverá ser adicionado de 26. Daí, vem: 8 2 6 ou 2  2o– membro

8. a) x 1 2 5 6 → x 1 2 2 2 5 6 2 2 x54 b) x 1 2 521 → x 1 2 2 2 521 2 2 x 5 23

As idades de Eva e Ivo Sendo os dois números ímpares, a diferença entre eles 6, e ainda a soma 40, depois de algumas tentativas concluímos que as idades são 17 e 23 anos. Exercícios, página 119 e 120.

1 ,o 7 o 2 membro também deverá ser multiplicado 1 por . Daí, vem: 7 (21) ? 17 ou 3     Multiplicando o 1o membro por

9. a) 3x 5 21 →

1. a) 82 1 2 5 6 ? 11 Da equação, vem: 1o membro R 82 1 2 2o membro R 6 ? 11

21 3 x57

1 1 ? 3 x 5 21 ? 3 3

x5

b) 3x 5215 →

15 3 x 5 –5

1 1 ? 3 x 5215 ? 3 3

x 52

117


25 – Equações

5. De acordo com as situações, escrevemos: a) x 1 31 5 100 b) x 2 8 5 41 c) 2x 1 31 5 73 d) 3x 2 13 5 47 1 1 e) x 1 x 5 35 2 3 f) 4x 5 x 1 72

Explorando, página 120. 1.

2.

3.

Como cada sorvete custa R$ 3,00, temos: a) 5 sorvetes custam: 5 ? 3 5 15 R 15 reais b) 10 sorvetes custam: 10 ? 3 5 30 R 30 reais c) 15 sorvetes custam: 15 ? 3 5 45 R 45 reais d) x sorvetes custam: 3x reais 6. Como o ponteiro da balança indicou 90 kg: a) se ganhar 10 kg R 90 1 10 5 100 R 100 kg b) se ganhar x kg R (90 1 x) R (90 1 x) kg c) se perder 5 kg R 90 2 5 5 85 R 85 kg d) se perder y kg R (90 2 y) R (90 2 y) kg Sendo a quantidade de carros no pátio da concessionária igual a 30, temos: a) se houvesse 3 vezes mais carros R 3 ? 30 5 90 R 90 carros b) se houvesse t vezes mais carros R 30 ? t c) se a quantidade de carros fosse dividida por 3 revendedores R 30 : 3 5 5 10 R 10 carros d) se a quantidade de carros fosse dividida por n revendedores R 30 : n Exercícios, página 123.

1.

2.

3.

4.

118

Idade atual de Karina: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 10 5 28 7. Massa de uma das caixas: x Logo, de acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 4x 5 20 8. Largura: x; comprimento: x 1 10 Sendo o triplo da largura igual ao dobro do comprimento, temos: 3x 5 2(x 1 10)

26 – Conjunto universo e conjunto solução de uma equação

Sim, é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 1 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1 5 0 R é uma equação, pois representa uma igualdade e tem um elemento desconhecido. x 2 1  0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 1 1  0 R não é uma equação, pois é uma desigualdade. x 2 1  0 R não é uma equação, pois não expressa uma igualdade. x 5 21 R é uma equação, pois representa uma igualdade. 25 1 23 5 22 ? 10 Embora seja uma igualdade, essa sentença não apresenta número desconhecido. Só há uma incógnita na equação, a incógnita x.

Explorando, páginas 123 e 124. 1. O número cujo triplo mais 6 dá 21 é o número 5. Representando a situação na forma de equação, temos: 3 ? x 1 6 5 21, sendo x o número desconhecido. 2.

3.

O número cuja metade mais o seu dobro dá 20 é o número 8. Representando a situação na forma da equação, temos: x 1 2x 5 20 , sendo x o número desconhecido. 2 O número que diminuído do seu triplo é igual ao quádruplo do número menos 18 é o número 3. Representando a situação na forma da equação, temos: x 2 3x 5 4x 2 18, sendo x o número desconhecido.


Exercícios, página 127. 1. a) x 2 7 5 0 x57 S 5 {7} b) x 1 9 5 0 x 5 29 S 5 {29} 3 c) x 2 5 0 8 3 x5 8 3 S5  8  d) x 1 1 5 0 x 5 21 S 5 , pois 21  IN. e) x 2 10 5 3 x 5 3 1 10 x 5 13 S 5 {13} f) x 2 6 5 210 x 5 210 1 6 x 5 24 S 5 {24} g) 2x 5 216 16 x 52 2 x 5 28 S 5 {28}

h) 4x 5 240 40 x 52 4 x 5 210 S 5 {210} i) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} j) 8x 5 28 8 x 52 8 x 5 21 S 5 {21} x l) 3 5 4 x53?4 x 5 12 S 5 {12} 1 2 m) x 1 5 3 3 2 1 x5 2 3 3 1 x5 3 1  S5  3

2. a) 7x 2 6 5 5x 1 4 7 ? (5) 2 6 5 5 ? (5) 1 4 35 2 6 5 25 1 4 29 5 29 R sentença verdadeira Logo, o número 5 é raiz da equação 7x 2 6 5 5x 1 4. x b) 3x 2 1 5 1 20 6 (6) 1 20 3 ? (6) 2 1 5 6 18 2 1 5 1 1 20 17 5 21 R sentença falsa Logo, o número 6 não é raiz da equação x 3x 2 1 5 1 20 . 6 c) 8 1 5x 5 0 1  8  8 1 5 ? 2 50  5 1  8 1 (28) 5 0 82850 0 5 0 R sentença verdadeira 8 é raiz da equação 8 1 5x 5 0. Logo, 2 5

d) y2 2 3y 5 8 2 y (22)2 2 3 ? (22) 5 8 2 (22) 4165812 10 5 10 R sentença verdadeira Logo, 22 é raiz da equação y2 2 3y 5 8 2 y. 1 1 5 3x 2 6 2 1  2  1  2 1 2?  1 5 3 ? 2  3 6  3 1  2 4 1 1 1 52 2 3 6 2 8 1 4 1 1 5 2 6 6 2 2

e) 2x 1

3

9 3 5 6 3 2 3 3 5 → sentença verdadeira 2 2 2 Logo, é raiz da equação 3 1 1 . 2x 1 5 3x 2 6 2 3. Para x 5 0: (0)2 2 5 ? (0) 1 6 5 0 0201650 6 5 0 R sentença falsa Para x 5 1: (1)2 2 5 ? (1) 1 6 5 0 1 2 5 1 6 5 0 2 5 0 R sentença falsa Para x 5 2: (2)2 2 5 ? (2) 1 6 5 0 4 2 10 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Para x 5 3: (3)2 2 5 ? (3) 1 6 5 0 9 2 15 1 6 5 0 0 5 0 R sentença verdadeira Logo, 2 e 3 são as raízes da equação x2 2 5x 1 6 5 0. 4. Para x 5 1 : 2 1  1  1  1 2 2 ? 2 53?   2  2 3  2 1  2 1 3 2 5 2 2 2 3 1 9 4 2 5 2 2 6 6 5 5 → sentença falsa 6

12 2 2 1 2

119


c) x 2 5 5 0 e x 5 25 x2550 x 2 5 1 5 50 15 x 5 15 x 5 25 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. d) 2x 5 18 e x 5 9 2x 18 5 2 2 x59 x59 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. e) 5x 5 215 e x 5 3 5x 5 215 5x 15 52 5 5 x 5 23 x53 As equações não são equivalentes, pois apresentam soluções diferentes. f) x 2 1 5 23 e x 5 22 x 2 1 5 23 x 2 1 1 1 52 3 1 1 x 5 22 x 5 22 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. g) 4x 5 16 e x 5 4 4x 5 16 4x 16 5 4 4 x54 x54 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. h) x 1 2 5 25 e x 5 27 x 1 2 5 25 x 1 2 1 2 2 52 5 1 (22) x 5 25 2 2 x 5 27 x 5 27 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.

1 : 3 1  1  2  1 1 2?  2 5 3 ? 2  3 2  3 1  3 2 1 2 2 51 2 3 2 3 4 3 3 2 2 5 2 6 6 3 3 1 1 5 → sentença falsa 6 3 1 Para x 5 : 6 1  1  1  1  1 2 2 ? 2 5 3 ? 2  6 2  3  6 3  2 1 1 1 2 2 5 2 3 2 2 3 2 3 3 4 2 5 2 6 6 6 6 1 1 2 52 → sentença verdadeira 6 6 1 2 1 Logo, é raiz da equação 2x 2 5 3x 2 . 2 3 6 Para x 5

5. Substituindo x por 25 na equação, temos: 3 ? (25 1 2) 2 5 ? (25 1 3) 5 1 3 ? (23) 2 5 ? (22) 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R sentença verdadeira Logo, 25 é raiz da equação 3 ? (x 1 2) 2 5 ? ? (x 1 3) 5 1, pois, substituindo x por 25, obtemos uma igualdade verdadeira.

27 – Equações equivalentes Exercícios, página 132. 1. a) x 1 4 5 7 e x 5 7 2 4 x1457 x 1 4 1 ( 24 ) 5 7 1 (24) x5724 x53 x5724Rx53 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução. b) x 1 2 5 9 e x 5 7 x1259 x 1 2 1 ( 22 ) 5 9 1 (22) x5922 x57 x57 As equações são equivalentes, pois apresentam a mesma solução.

120

( )

2.

a) x 1 2 5 5 x 1 2 2 2 5522 x53 S 5 {3} b) x 2 11 5 0 x 2 11 1 11 5 0 1 11 x 5 11 S 5 {11}


c) 4x 5 28 4x 8 52 4 4 x 5 22 S 5 {22} d) x 2 2 5 21 x 2 2 1 2 521 1 2 x51 S 5 {1} e) 6x 5 6 6x 6 5 6 6 x51 S 5 {1} f) 4x 5 3x 1 9 4x 2 3x 5 3x 1 9 2 3x x59 S 5 {9} g) 3x 5 7 3x 7 5 3 3 7 x5 3 7 S5  3 h) 5x 1 1 5 16 5x 1 1 2 1 5 16 2 1 5x 15 5 5 5 x53 S 5 {3} x 3 5 i) 4 10 2 x 3 4? 5 ?4 4 10 5 6 x5 5 6  S5  5 j) 10x 2 2 5 7x 10x 2 2 1 2 5 7x 1 2 10x 2 7x 5 7x 1 2 2 7x 3x 2 5 3 3 2 x5 3 2  S5  3 l) 6x 1 5 5 6 6x 1 5 2 5 5 6 2 5 6x 1 5 6 6

1 6 1  S5  6  m) 8x 1 4 5 0 8x 1 4 2 4 5 0 2 4 8x 4 52 8 8 4 4 1 x 52 52 8 4 2  1 S 5 2   2 x5

28 – Equações do 1°- grau com uma incógnita Exercícios, página 137. 1. a) 2x 2 8 5 8 2x 5 8 1 8 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8} b) 3x 1 1 5 19 3x 5 19 2 1 3x 5 18 18 x5 3 x56 S 5 {6} c) 7y 2 4 5 10 7y 5 10 1 4 7y 5 14 14 y5 7 y52 S 5 {2} d) 2t 1 1 5 28 2t 5 28 2 1 2t 5 29 9 t 52 2  9 S 5 2   2 e) 11 2 3y 5 2 23y 5 2 2 11 23y 5 29 ? (21) 3y 5 9 9 y5 3 y53 S 5 {3}

121


f) 3x 5 27 1 x 3x 2 x 5 27 2x 5 27 7 x 52 2  7 S 5 2   2 g) 9x 1 5 5 4x 9x 2 4x 1 5 5 0 5x 5 25 5 x 52 5 x 5 21 S 5 {21} h) 20 5 26x 1 32 0 5 2 6x 1 32 2 20 6x 5 12 12 x5 6 x52 S 5 {2}

 9 S 5 2   2 e) 20x 2 13 5 20 1 9x 20x 5 20 1 9x 1 13 20x 5 33 1 9x 20x 2 9x 5 33 11x 5 33 33 x5 11 x53 S 5 {3} f) 21x 1 1 5 11x 1 6 21x 5 11x 1 6 2 1 21x 5 11x 1 5 21x 2 11x 5 5 10x 5 5 5 5 1 x5 5 10 5 2 1  S5  2  g) 9x 2 23 5 13x 2 27 9x 5 13x 2 27 1 23 9x 5 13x 2 4 9x 2 13x 5 24 24x 5 24 ? (21) 4x 5 4 4 x5 4 x51 S 5 {1} h) 0,8 1 2x 5 x 1 3,5 2x 5 x 1 3,5 2 0,8 2x 5 x 1 2,7 2x 2 x 5 2,7 x 5 2,7 S 5 {2,7}

2. a) 7x 1 1 2 5x 5 9 2x 1 1 5 9 2x 5 9 2 1 2x 5 8 8 x5 2 x54 S 5 {4} b) y 1 9y 1 5 5 215 10y 1 5 5 215 10y 5 215 2 5 10y 5 220 20 y 52 10 y 5 22 S 5 {22} c) 17x 2 1 5 15x 1 3 17x 5 15x 1 3 1 1 17x 5 15x 1 4 17x 2 15x 5 4 2x 5 4 4 x5 2 x52 S 5 {2} d) 16 2 x 5 x 1 25 2x 5 x 1 25 2 16 2x 5 x 1 9 2x 2 x 5 9 22x 5 9 ? (21) 2x 5 29 9 x 52 2

122

3. Resolvendo as equações, temos: 10y 1 4 5 16y 2 8 9x 2 4 5 6x 1 8 10y 5 16y 2 8 2 4 9x 5 6x 1 8 1 4 10y 5 16y 2 12 9x 5 6x 1 12 10y 2 16y 5 212 9x 2 6x 5 12 26y 5 212 ? (21) 3x 5 12 6y 5 12 x54 12 S 5 {4} y5 6 y 5 2 S 5 {2} a) O valor do número y é 2. b) O valor do número x é 4. c) O produto de y por x: y?x52?458


d) O quociente de y por x: 2 y 2 1 5 5 x 4 2 2

c) 7x 2 3 ? (x 2 2) 5 3 ? (x 1 4) 7x 2 3x 1 6 5 3x 1 12 4x 1 6 5 3x 1 12 4x 5 3x 1 12 2 6 4x 5 3x 1 6 4x 2 3x 5 6 x56 S 5 {6} d) 2 ? (y 2 2) 1 5 ? (2 2 y) 5 23 ? (2y 1 2) 2y 2 4 1 10 2 5y 5 26y 2 6 23y 1 6 5 26y 2 6 23y 5 26y 2 6 2 6 23y 5 26y 2 12 23y 1 6y 5 212 3y 5 212 12 y 52 3 y 5 24 S 5 {24} e) 2 ? (1 2 t) 1 1 5 3 ? (t 2 3) 2 2t 2 2 2t 1 1 5 3t 2 9 2 2t 22t 1 3 5 t 2 9 22t 5 t 2 9 2 3 22t 5 t 2 12 22t 2 t 5 212 23t 5 212 ? (21) 3t 5 12 12 t5 3 t54 S 5 {4} f) 5 ? (m 1 1) 2 3 ? (2m 1 1) 5 4 ? (5 2 m) 5m 1 5 2 6m 2 3 5 20 2 4m 2m 1 2 5 20 2 4m 2m 5 20 2 4m 2 2 2m 5 18 2 4m 2m 1 4m 5 18 3m 5 18 18 m5 3 m56 S 5 {6}

4. 2x 2 6 5 10 3x 2 5 5 4 5x 2 7 5 8 2x 5 10 1 6 3x 5 4 1 5 5x 5 8 1 7 2x 5 16 3x 5 9 5x 5 15 16 9 15 x5 x5 x5 2 3 5 x 5 8 x 5 3 x53 S 5 {8} S 5 {3} S 5 {3} Logo, as equações equivalentes são: 3x 2 5 5 4 e 5x 2 7 5 8, pois apresentam a mesma solução. 5. Chamando o número desconhecido de x, vem: 3x 1 90 5 5x 3x 5 5x 2 90 3x 2 5x 5 290 22x 5 290 ? (21) 2x 5 90 90 x5 2 x 5 45 S 5 {45} Logo, o número é 45. Exercícios, página 139. 1. a) 3 2 (3x 2 6) 5 2x 1 (4 2 x) 3 2 3x 1 6 5 2x 1 4 2 x 23x 1 9 5 x 1 4 23x 5 x 1 4 2 9 23x 5 x 2 5 2 3x 2 x 5 25 24x 5 25 ? (21) 4x 5 5 5 x5 4 5 S5  4 b) 4 ? (x 2 2) 5 4 1 2 ? (x 2 1) 4x 2 8 5 4 1 2x 2 2 4x 2 8 5 2x 1 2 4x 5 2x 1 2 1 8 4x 5 2x 1 10 4x 2 2x 5 10 2x 5 10 10 x5 2 x55 S 5 {5}

2.

Para que a expressão seja igual a zero, devemos ter: x 2 2 ? (3 2 2x) 5 0 x 2 6 1 4x 5 0 5x 2 6 5 0 5x 5 6 6 x5 5 6  S5  5 6 Logo, devemos ter x 5 . 5

123


3. 3 ? (1,4 2 x) 1 5x 5 2 (x 2 4,8) 4,2 2 3x 1 5x 5 2x 1 4,8 4,2 1 2x 5 2x 1 4,8 2x 5 2x 1 4,8 2 4,2 2x 5 2x 1 0,6 2x 1 x 5 1 0,6 3x 5 0,6 0,6 x5 3 x 5 0,2 S 5 {0,2} Logo, x 5 0,2. 4. (m 2 3 ) ? x 1 3x 1 4 ? (m 2 5) 5 0 Sendo x 5 2, temos: (m 2 3) ? 2 1 3 ? 2 1 4 ? (m 2 5) 5 0 (m 2 3) ? 2 1 6 1 4 ? (m 2 5) 5 0 2m 2 6 1 6 1 4m 2 20 5 0 6m 2 6 1 6 2 20 5 0 6m 5 20 20 :2 10 m 5 :2 5 3 6  10  S5   3  10 Logo, a letra m é expressa pelo número . 3 5. Sendo as expressões iguais, temos: 3 ? (1,2x 2 2,4) 5 2 ? (1 1 1,5x) 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 2 1 3x 1 2,8 3,6x 2 7,2 5 4,8 1 3x 3,6x 5 4,8 1 3x 1 7,2 3,6x 5 12 1 3x 3,6x 2 3x 5 12 0,6x 5 12 12 x5 0,6 x 5 20 S 5 {20} Logo, x 5 20. Exercícios, página 140. 1.

x 5 12 5 5x x 60 1 5 5 5 5 5x 1 x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 S 5 {10}

a) x 1

124

x 52 3 7 7x x 21 2 52 7 7 7 7x 2 x 5 221 6x 5 221 3 21 7 x 52 52 6 3 2  7 S 5 2   2 x x 1 5 21 c) 5 2 2x 5x 210 1 52 10 10 10 2x 1 5x 5 210 7x 5 210 210 x5 7 x 5 30 S 5 {30} 5 d) 5 5 2 3x 7 35 5 21x 5 2 7 7 7 35 5 5 2 21x 0 5 5 2 21x 2 35 21x 5 230 3 30 10 x 52 52 21 3 7  10  S 5 2   7  1 x 2x 1 e) 2 52 1 6 2 3 4 2 6x 8x 3 2 52 1 12 12 12 12 2 2 6x 5 28x 1 3 26x 5 28x 1 3 2 2 26x 5 28x 1 1 26x 1 8x 5 1 2x 5 1 1 x5 2 1  S5  2  3y 5 y 5 2 5 2 f) 8 6 3 2 9y 20 8y 60 2 5 2 24 24 24 24 9y 2 20 5 8y 2 60 9y 5 8y 2 60 1 20 9y 5 8y 2 40 9y 2 8y 5 240 y 5 240 S 5 {240} b) x 2


2. Para A 5 B, temos: x 2 3x 1 51 2 2 5 4 10x 8 20 15x 1 5 2 20 20 20 20 10x 1 8 5 20 2 15x 10x 5 20 2 15x 2 8 10x 5 12 2 15x 10x 1 15x 5 12 25x 5 12 12 x5 25  12  S5   25  3.

4.

5.

Chamando o número de x, temos: 3 1 2 ?x1 5 ?x 5 2 3 18x 15 20x 1 5 30 30 30 18x 1 15 5 20x 18x 5 20x 2 15 18x 2 20x 5 215 22x 5 215 ? (21) 2x 5 15 15 x5 ou x 5 7,5 2  15  S 5   ou S 5 {7,5}.  2  Chamando o número desconhecido de x: x x 1 5 x 2 56 4 6 3x 2x 12x 672 1 5 2 12 12 12 12 3x 1 2x 5 12x 2 672 5x 5 12x 2 672 5x 2 12x 5 2672 27x 5 2672 ? (21) 7x 5 672 672 x5 7 x 5 96 S 5 {96} Representando o número por x: x x 1 5 2x 2 30 5 5x x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 x 5 10x 2 150 6x 5 10x 2 150 6x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150

x5

150 4

2 2

5

75 ou x 5 37,5 2

6. Se a pessoa calça 38, temos que N 5 38, então: 5x 38 5 17 4 152 5x 28 5 1 4 4 4 152 5 5x 1 28 0 5 5x 1 28 2 152 0 5 5x 2 124 25x 5 2124 ? (21) 5x 5 124 124 x5 5 x 5 24,8  24,8 cm Exercícios, página 142. 1.

x14 50 3 1 ? (x 1 4) 3x 12 2 2 50 3 3 3 3x 2 12 2 1 ? (x 1 4) 5 0 3x 2 12 2 x 2 4 5 0 2x 2 12 2 4 5 0 2x 2 16 5 0 2x 5 16 16 x5 2 x58 S 5 {8}

a) x 2 4 2

b)

c)

x 28 245x 2 1 ? (x 2 8) 8 2x 2 5 2 2 2 1 ? (x 2 8) 2 8 5 2x x 2 8 2 8 5 2x x 2 16 5 2x x 5 2x 1 16 x 2 2x 5 16 2x 5 16 ? (21) x 5 216 S 5 {216} x 22 x24 5 8 3 3 ? (x 2 2) 8 ? (x 2 4) 5 24 24 3 ? (x 2 2) 5 8 ? (x 2 4) 3x 2 6 5 8x 2 32 3x 5 8x 2 32 1 6 3x 5 8x 2 26 3x 2 8x 5 226 25x 5 226 ? (21)

125


5x 5 26 26 x5 5  26  S5   5  4x 3 x 23 2 5 d) 3 2 3 2 ? (x 2 3) 8x 9 2 5 6 6 6 8x 2 9 5 2 ? (x 2 3) 8x 2 9 5 2x 2 6 8x 5 2x 2 6 1 9 8x 5 2x 1 3 8x 2 2x 5 3 6x 5 3 3 3 1 x5 5 6 3 2 1  S5  2  32 x x 11 x e) 5 2 8 4 3 3 ? (3 2 x) 6 ? (x 1 1) 8x 5 2 24 24 24 3 ? (3 2 x) 5 6 ? (x 1 1) 2 8x 9 2 3x 5 6x 1 6 2 8x 23x 5 6x 1 6 2 8x 2 9 23x 5 22x 2 3 23x 1 2x 5 23 21x 5 23 ? (21) x53 S 5 {3} f)

2.

126

t 25 1 t 3t 1 14 2 5 2 2 3 3 12 6 ? (t 2 5) 1 ? (3t 1 14) 4 4t 2 5 2 12 12 12 12 6 ? (t 2 5) 2 4 5 4t 2 1 ? (3t 1 14) 6t 2 30 2 4 5 4t 2 3t 2 14 6t 2 34 5 t 2 14 6t 5 t 2 14 1 34 6t 5 t 1 20 6t 2 t 5 20 5t 5 20 20 t5 5 t54 S 5 {4}

2 ? (x 1 1) 52 2 x 3 2 ? (x 1 1) 6 3x 5 2 3 3 3

2 ? (x 1 1) 5 6 2 3x 2x 1 2 5 6 2 3x 2x 5 6 2 3x 2 2 2x 5 23x 1 4 2x 1 3x 5 4 5x 5 4 4 x5 5 4 S5  5 4 5 0,8 , e se encontra entre os 5 números inteiros 0 e 1. Logo, x 5

3. 2 x 1 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? (4x 2 1) 1 11 3 2 6 ? 5 ? (2x 2 3) 3 ? 3 ? (4x 2 1) 4x 66 1 5 1 6 6 6 6 4x 1 6 ? 5 ? (2x 2 3) 5 3 ? 3 ? (4x 2 1) 1 66

4x 1 6 ? [10x 2 15] 5 3 ? [12x 2 3] 1 66 4x 1 60x 2 90 5 36x 2 9 1 66 64x 2 90 5 36x 1 57 64x 5 36x 1 57 1 90 64x 5 36x 1 147 64x 2 36x 5 147 28x 5 147 7 147 21 x5 5 28 7 4  21  S5   4  7m 2 1 m24 5 2 3 6 ? 3 ? (m 2 2) 3 ? (7m 2 1) 2 ? (m 2 4) 2 5 6 6 6 6 ? 3 ? (m 2 2) 2 3 ? (7m 2 1) 5 2 ? (m 2 4)

4. 3 ? (m 2 2) 2

6 ? [3m 2 6] 2 21m 1 3 5 2m 2 8 18m 2 36 2 21m 1 3 5 2m 2 8 23m 2 33 5 2m 2 8 23m 5 2m 2 8 1 33 23m 5 2m 1 25 23m 2 2m 5 25 25m 5 25 ? (21) 5m 5 225 25 m 52 5 m 5 25 Logo, a solução da equação é um número negativo.


5.

a)

x24 x 22 21 5 3 8 8 ? (x 2 4) 3 ? (x 2 2) 24 2 5 24 24 24 8 ? (x 2 4) 2 24 5 3 ? (x 2 2) 8x 2 32 2 24 5 3x 2 6 8x 2 56 5 3x 2 6 8x 5 3x 2 6 1 56 8x 5 3x 1 50 8x 2 3x 5 50 5x 5 50 50 x5 5 x 5 10

340 1 4x 5 1 400 4x 5 1 400 2 340 4x 5 1 060 1 060 x5 4 x 5 265 Logo, foram atendidas 265 pessoas nesses meses.

2. De acordo com o enunciado: capacidade do 1 reservatório: 1 x Esvaziou−se : x  3 3 1 1 1 1 −se :  x Esvaziou Esvaziou−se Retirou : x−se 400  de água capacidade total do reservatório 3 1 13 3  3 litros  −  capacidade Esvaziou se −se: 400 x litros−se do reservatório litros de água rvatório de400 Retirou total do resetotal 3  capacidade água 3 3Retirou  Restou u no reservatório : x   5 3  do reservatório −se 400 litros de água 3 capacidade Os números naturais divisores deRetirou 10  u no reservatório : total x Restou Restou u no reservatório : x  5  são: 1, 2, 5 e 10. 5  3  Restou u no reservatório: x  1 3 5 b) Sendo x 5 10, o valor numérico da x 1 400 1 x 5 x 3 5 1 expressão 0,1  será: 5 x 6 000 9x 15x x 1 1 5 15 15 15 15 1 0,1  5 0,1  0,1 5 1 5x 1 6 000 1 9x 5 15x x 14x 1 6 000 5 15x c) Sendo x 5 10, o quadrado de x será: 2 14x 5 15x 2 6 000 10 5 10 ? 10 5 100 14x 2 15x 5 26 000 Desafio!, página 143. 2x 5 26 000 ? (21) De acordo com as dicas, podemos escrever: x 5 6 000 idade de Eva R x Logo, cabem no reservatório 6 000 litros de idade de Ivo R x 1 6 água. soma das idades igual a 40 R x 1 x 1 6 5 40 2x 1 6 5 40 3. De acordo com o enunciado: 2x 5 40 2 6 trabalham na matriz: x 2x 5 34 trabalham nas filiais: 4x 34 x 5 Como o total de funcionários é 1 365, 2 temos: x 5 17 x 1 4x 5 1 365 Logo, Eva tem 17 anos, e Ivo tem 23 (17 1 6) anos de idade. 5x 5 1 365 1 365 x5 5 x 5 273

29 – Usando equações na resolução de problemas Exercícios, páginas 148 e 149.

Logo, na matriz trabalham 273 funcionários e nas filiais trabalham 1 092 (4 ? 273) funcionários

1. De acordo com o enunciado: 4. De acordo com o enunciado: janeiro: 180 atendimentos total de eleitores pesquisados: x fevereiro, março, abril e maio tiveram a mesma quantidade de atendimento. Sendo 40  votos no candidato A, 40no % do total : 40A,x votos candidato x para cada mês, o total de atendimento 100 40  votos no candidato A, 40% do total40 :  x A,candidato 40% do total :40% do xtotal  total:: 40100 votos no A,40% x nesses meses é 4x. votos no candidato 35 100 100 B,% 35do % do total : 35x  x total de eleitores pesquisados votos no candidato votos no candidato A , 40 total : x total de eleitores pesquisados junho: 160 atendimentos B, 100 B35 , 35% docandidato total35 : 100 votos no candidatovotos total datono B, candi 35% do total xno total: de eleitores votos no candi 100 ato B, :35100 % do x  total de eleitores pesquisados votos  pesquisados indecisos :d3500 Como o total de atendimentos no 35 total: 100 x  total de eleitores pesquisados 35% do d ato B , 35 % do total : votos no candi indecisos : 3500 o  pessoas: 1 semestre foi de 1 400 indecisos : 3500  100 indecisos : 3500     3 500 indecisos: 180 1 4x 1 160 5 1 400 indecisos : 3500     

127


40x 35x 1 1 3 500 5 x 100 100 40x 35x 350 000 100x 1 1 5 100 100 100 100 40x 1 35x 1 350  000 5 100x 75x 1 350 000 5 100x 75x 5 100x 2 350  000 75x 2 100x 5 2350 000 225x 5 2350 000 ? (21) 25x 5 350 000 350000 x5 25 x 5 14 000 Logo, foram pesquisados 14 000 eleitores.

1 3 x 1 46,2 5 x 5 4 4x 924 15x 1 5 20 20 20 4x 1 924 5 15x 4x 5 15x 2 924 4x 2 15x 5 2924 211x 5 2924 ? (21) 11x 5 924 924 x5 11 x 5 84 Logo, a capacidade total do tanque é de 84 litros.

5. De acordo com o enunciado: 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte diagrama: total de pérolas: x um sexto do total1caiu Turistas  1: x um sexto do total caiu paradireita a direita   um sexto do total caiupara paraaadireita: : 6 x Inglês Espanhol   6 1 um sexto do total caiu para a direita : x    x 1 um a 6 1 1 para 42 � x 30 � x um sexto total caiu paraquinto a:direita    um ququ intdo o para a easquerda : x1x : 6 x int esquerda um o para 5 5    esquerda um qu int o para aesquerda: 1 : 5x 1 16 � não falam inglês nem espanhol.    int osegurou squerda : direita x um para a ecom 1 total de pérolas no colar umqu terço a mão : x total de pérolas 5 segurou   um terço com  3: 1x dedepérolas um A soma desses valores é o total de turistas total pérolasno nococlar umterço terçosegurou seguroucom coma amão mãodireita direita olar  total 1 :3 3 x colar no 1 total a mão direita: de pérolas no c um terço segurou com a mão direita : x o lar pesquisados. Assim, montamos a equação:   : x um décimo segurou com a mão esquerda  3 10 11  décimosegurou segurou com amão mão esquerda umdécimo x um décimo segurou com a esquerda um 1: : 10 (42 2 x) 1 x 1 (30 2 x) 1 16 5 70 x  6 pérolas ficar am presas colar . 1xx décimo segurou com ano mão esquerda : 10 um  com a mão esquerda: 10   6 pérolas ficaram presas no colar. 42 2 x 1 x 1 30 2 x 1 16 5 70 10    6 pérolas ficar m presas no colar .   6 pérolas ficar amapresas colar . ficaram seisnopérolas    2x 1 88 5 70   presas no colar. 2x 5 70 2 88 1 1 1 1 2x 5 218 ? (21) x1 x1 x1 x 16 5 x 6 5 3 10 x 5 18 5x 6x 10x 3x 180 30x 1 1 1 1 5 Logo, 18 turistas falavam inglês e espanhol 30 30 30 30 30 30 ao mesmo tempo. 5x 1 6x 1 10x 1 3x 1 180 5 30x 8. Do enunciado, podemos escrever: 24x 1 180 5 30x comprimento da tábua maior: x 24x 5 30x 2 180 3 comprimento da tábua menor: x 24x 2 30x 5 2180 5 26x 5 2180 ? (21) A soma das duas partes da tábua é igual a 120 cm de comprimento, então: 6x 5 180 3 180 x 1 x 5 120 x5 5 6 5x 3x 600 x 5 30 1 5 5 5 5 Logo, esse colar tinha 30 pérolas. 5x 1 3x 5 600 6. De acordo com o enunciado: 8x 5 600 600 capacidade do tanque: x x5 8 1 ponteiro indicava: x x 5 75 5 colocou: 46,2 litros comprimento da tábua maior: 75 cm ou 3 0,75 m nova indicação: x 4 comprimento da tábua menor: A soma do que o ponteiro indicava com 15 3 o que foi colocado corresponde à nova ? 75 5 45 cm ou 0,45 m 5 1 indicação. Então:

128


Portanto, o comprimento da menor parte da tábua é 0,45 cm. 9. Se 6 alunos escrevem apenas com a mão esquerda, e 2 escrevem com as duas mãos, podemos dizer que x escrevem apenas com a mão direita. Assim: 6 1 2 1 x 5 30 x 5 30 2 6 2 2 x 5 22 Logo, 22 alunos escrevem apenas com a mão direita. 10. Do enunciado, podemos escrever: percurso total: x 3 primeiro dia: x 5 4 segundo dia: x 15 terceiro dia: 800 km Somando os três dias, teremos o percurso total: 3 4 x1 x 1 800 5 x 5 15 9x 4x 12 000 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 4x 1 12 000 5 15x 13x 1 12 000 5 15x 13x 2 15x 5 212 000 22x 5 2 12 000 ? (21) 2x 5 12 000 12 000 x5 2 x 5 6 000 Logo, o percurso total foi 6 000 km. Portanto, a aeronave voou 3 600 km   3 1 200  ? 6000 5 3 600 no primeiro dia.  5 1  11. De acordo com o enunciado, podemos escrever: pontos na região A: x x pontos na região B: 2 a) Como Caio acertou 5 flechas na região A e 4 na região B, perfazendo 140 pontos, temos: 2 x 5? x 1 4 ? 5 140 21 5x 1 2x 5 140 7x 5 140 140 x5 7 x 5 20 Logo, cada flecha certeira na região A vale 20 pontos.

b) Lucca acertou 8 flechas na região A e 5 na região B. Logo, ele fez: 10

8 ? 20 1 5 ?

20 ? 160 1 50 5 210 pontos 21

Como Caio fez 140 pontos e Lucca 210 pontos, Lucca fez 70 pontos (210 2 140 5 5 70) a mais que Caio. 12. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 1o bimestre: x 2o bimestre: 2x 3o bimestre: 4x 4o bimestre: 8x 5o bimestre: 16x 6o bimestre: 32x O ano tem 6 bimestres e os acessos dobravam a cada visita. Sendo o total de visitas 756, podemos escrever: x 1 2x 1 4x 1 8x 1 16x 1 32x 5 756 63x 5 756 756 x5 63 x 5 12 Logo, foram feitas 12 visitas no 1o bimestre de 2007. 13. Do enunciado, podemos escrever: total de entrevistados: x 1 entrevistados que liam a revista A: ? x 3 2 entrevistados que liam a revista B: ? x 5 entrevistados que liam a revista C: 832 Somando os entrevistados das revistas A, B e C, teremos o total de pessoas entrevistadas: 1 2 x 1 x 1 832 5 x 3 5 5x 6x 12 480 15x 1 1 5 15 15 15 15 5x 1 6x 1 12 480 5 15x 5x 1 6x 2 15x 5 212 480 24x 5 212 480 ? (21) 4x 5 12 480 12480 x5 4 x 5 3 120 Logo, foram entrevistadas 3 120 pessoas. 14. Do enunciado, podemos escrever: Tiago ficou com x figurinhas.

129


Guilherme ficou com (x 1 20) figurinhas. Como foram rasgadas 36 das 200 figurinhas, sobraram 164 figurinhas (200 2 36 5 164). Então: x 1 (x 1 20) 5 164 x 1 x 1 20 5 164 x 1 x 5 164 2 20 2x 5 144 144 x5 2 x 5 72 Logo, Tiago tem 72 figurinhas, e Guilherme tem 92 figurinhas (72 1 20 5 92). 15. Sabemos que 1 hora 5 60 minutos, então: 12 horas 5 12 ? 60 5 720 minutos Do enunciado, podemos escrever: volume de água drenada pelo encanamento 1: 720 ? 30 5 21 600 litros de água volume de água drenada pelo encanamento 2: 720 ? x Como o total de água drenada é de 72 000 litros: 21 600 1 720x 5 72 000 720x 5 72 000 2 21 600 720x 5 50 400 50 400 x5 720 x 5 70 Logo, o segundo encanamento drena 70 litros de água por minuto. Brasil Real, página 150. 1. Do enunciado, vem: • 200 000 ligações com doação de 7 reais: 7 ? 200 000 5 1 400 000 • 100 000 ligações com doação de 15 reais: 15 ? 100 000 5 1 500 000 Como foram arrecadados 4 400 000 reais com todas as ligações, podemos escrever que as doações de 30 reais foram: 1 400 000 1 1 500 000 1 30 ? x 5 4 400 000 30x 5 4 400 000 2 1 400 000 2 1 500 000 30x 5 1 500 000 1500000 x5 30 x 5 50 000 Logo, foram 50 000 ligações com doação de 30 reais.

130

2. Sendo o total arrecadado em 2006 de 4 400 000 reais, e 4 840 projetos sociais apoiados por essa campanha, podemos escrever: 4 400000  909,10 4840 Logo, se o total arrecadado foi dividido igualmente entre os projetos sociais apoiados, cada um receberia, aproximadamente, R$ 909,10. 3. Se 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 30 reais cada uma, podemos escrever: 73 000 ? 3 ? 30 5 6 570 000 Logo, seria arrecadado R$ 6 570 000,00. 4. Se os 73 mil telespectadores fizessem 3 ligações no valor de 7, de 15 e de 30 reais cada uma, o total arrecadado seria: 73 000 ? 3 ? 7 1 73 000 ? 3 ? 15 1 73 000 ? 3 ? 30 5 5 1 1 533 000 1 3 285 000 1 6 570 000 5 5 11 388 000 Logo, seria arrecadado R$ 11 388 000,00. Desafios, página 150. 1. I. Alternativa e. Realizando uma única pesagem, podemos separar a massa de 24 kg em dois pratos com embalagens de 12 kg cada uma. Logo, é possível montar pacotes de 12 kg cada um. II. Alternativa c. Realizando exatamente duas pesagens, podemos na primeira pesagem distribuir 12 kg entre os dois pratos, de modo que a balança atinja novamente o equilíbrio. Para uma segunda pesagem, podemos formar pacotes de 6 kg. Com um pacote de 12 kg e outro de 6 kg, podemos montar um pacote de 18 kg. Logo, realizando duas pesagens, podemos montar pacotes de 6 kg, 12 kg e 18 kg. 2. De acordo com o enunciado, podemos escrever: total de abelhas: x 1 total numa flor de Kadamba: ?x 5 1 pousou numa flor de Silinda: ?x 3 1 1 voa sobre uma flor da Krutaja: 3 ?  x 2 5 3

 x 


A abelha que sobra voa atraída pelo perfume do jasmim. Como o total de abelhas é x: 1 1 1  1 ? x 1 ? x 1 3 ?  x 2 x 1 1 5 x 5 3 5  3 1 1 3x   5x x 1 x 13?  2 11 5 x 5 3 15   15 1  2x  1 1 x1 x1 3 ? 11 5 x 5 3  15 5 

1 1 2x x1 x1 11 5 x 5 3 5 3 1 x 1 x 11 5 x 5 3 9x 5x 15 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 15 5 15x 9x 1 5x 2 15x 5 215 2x 5 215 ? (21) x 5 15 Logo, o número de abelhas é 15.

30 – Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas Explorando, página 151. 1. Contando o número de quadradinhos que forma cada figura, temos: a) A figura é composta por 24 quadradinhos. b) A figura é composta por 9 quadradinhos. c) A figura é composta por 6 quadradinhos. d) A figura é composta por 16 quadradinhos. Para calcular, bastou contar o número de quadradinhos que formava cada figura. 2. Se cada quadradinho tem 1 cm de lado, sua área será 1 ? 1 5 cm2. Logo, a área de cada figura será: • figura a: 24 cm2, pois é formada por 24 quadradinhos. • figura b: 9 cm2, pois é formada por 9 quadradinhos. • figura c: 6 cm2, pois é formada por 6 quadradinhos. • figura d: 16 cm2, pois é formada por 16 quadradinhos. 3. Resposta em aberto.

Exercícios, página 153. 1. Do enunciado, podemos escrever: altura do retângulo: x medida da base: 2 ? x Sendo o perímetro do retângulo 60 cm, podemos escrever: x 1 2x 1 x 1 2x 5 60 6x 5 60 60 x5 6 x 5 10 Logo, a altura do retângulo é 10 cm, e a medida da base é 20 cm (2 ? 10). 2. Sendo as medidas dos lados desse triângulo expressas por três números inteiros consecutivos, e sabendo que um dos lados mede x, podemos escrever: x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 5 27 x 1 x 1 1 1 x 1 2 5 27 3x 1 3 5 27 3x 5 27 2 3 3x 5 24 24 x5 3 x58 Logo, as medidas dos lados desse triângulo são: 8 cm, 9 cm e 10 cm. 3. Sendo π 5 3,14, o comprimento da circunferência igual a 314 cm, e sabendo que esse comprimento é expresso por C 5 2 ? π ? r: 314 5 2 ? 3,14 ? r 314 5 6,28r 6,28r 5 314 (simétrica) 314 r5 5 50 6,28 Logo, o raio da circunferência é 50 cm. 4. Sendo a área do trapézio expressa por: (B 1 b) ? h , em que a base maior (B) A5 2 mede 20 cm, a altura (h) mede 15 m e a área (A) vale 270 m2, temos: (20 1 b) ? 5 270 5 2 (20 1 b) ? 15 5 270 2 300 1 15b 5 270 2 300 1 15b 540 5 2 2

131


300 1 15b 5 540 15b 5 540 2 300 15b 5 240 240 b5 15 b 5 16 Logo, a base menor do terreno mede 16 m. 5. Chamando de x a frente do terreno, podemos escrever: frente do terreno: x lateral do terreno: 3x Como o contorno do terreno mede 80 metros: x 1 3x 1 x 1 3x 5 80 8x 5 80 80 x5 8 x 5 10 Logo, se for colocada grade na frente do terreno, serão necessários 10 metros de grade. 6. Sabemos que a área A de um retângulo é dada por comprimento “a” vezes a largura “b”. Sendo uma das dimensões igual a 12 m, e área igual a 360 m2, temos: A5a?b 360 5 12 ? b 12b 5 360 (simétrica) 360 b5 12 b 5 30 Logo, a outra dimensão mede 30 m. 7. Sabemos que o perímetro de uma figura é a soma das medidas dos lados. Logo, de acordo com a figura, podemos escrever: 3x 1 2 1 3x 1 6 1 3x 1 2 1 3x 1 2 5 36 12x 1 12 5 36 12x 5 36 2 12 12x 5 24 24 x5 12 x52 Portanto, o valor de x é 2 cm. Retomando o que aprendeu, páginas 153 a 155. 1. Alternativa c. Resolvendo a equação, temos: 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3

132

3 ? (3x 1 5) 2 ? (2x 2 9) 48 2 5 6 6 6 48 3 ? (3x 1 5) 2 2 ? (2x 2 9) 5 6 9x 1 15 2 4x 1 18 5 48 5x 1 33 5 48 5x 5 48 2 33 5x 5 15 15 x5 5 x53 Verificando as alternativas: a) 3 x 5215 15 x 52 525 3 b) 3x 5 27 27 x5 59 3 c) 3x 5 9 9 x5 3 x53 d) 3x 5 15 15 x5 55 3 e) 3x 529 9 x 52 3 x 523 3x 1 5 2x 2 9 2 58 2 3 é, também, raiz da equação 3x 5 9. Logo, a raiz da equação

2. Alternativa a. 2x 1 x 1 (x 1 4) 5 116 R soma dos três números 2x 1 x 1 x 1 4 5 116 4x 1 4 5 116 4x 5 112 112 x5 4 x 5 28 Portanto, os três números são: 28, 56 (2 ? 28 5 56) e 32 (28 1 4 5 32). Logo, o produto desses três números é 28 ? 56 ? 32 5 5 50 176. 3. Alternativa b. 3x 2 (x 1 1) 5 2x 1 1 3x 2 x 2 1 5 2x 1 1 2x 2 1 5 2x 1 1


2x 5 2x 1 1 1 1 2x 5 2x 1 2 2x 1 x 5 2 3x 5 2 2 x5 3 Logo, o valor de x é

2 . 3

4. Alternativa a. 2 ? (1 2 0,4) 1 x 5 4 ? (0,1x 2 0,4) 2 2 0,8x 1 x 5 0,4x 2 1,6 2 1 0,2x 5 0,4x 2 1,6 0,2x 5 0,4x 2 1,6 2 2 0,2x 5 0,4x 2 3,6 0,2x 2 0,4x 5 23,6 20,2x 5 23,6 ? (21) 0,2x 5 3,6 3,6 x5 0,2 x 5 18 Logo, o valor de x é 18. 5. Alternativa e. Sendo 4 ônibus na excursão, e cada ônibus com 35 alunos, temos: 4 ? 35 5 140 Portanto, participaram da excursão 140 alunos. Como havia, ao todo, 150 pessoas na excursão, concluímos que 10 pessoas (150 2 140 5 10) eram professores. Logo, 10 professores foram a esse passeio. 6. Alternativa b. Capacidade total do tanque: x Escoou 68 litros de água, ficando a terça 1 parte da capacidade total: ?x 3 Com isso, podemos escrever: 1 x 1 68 5 x 3 1 204 3x 1 5 3 3 3 1x 1 204 5 3x 1x 5 3x 2 204 1x 2 3x 5 2204 22x 5 2204 ? (21) 2x 5 204 204 x5 2 x 5 102 Logo, a capacidade do tanque é 102 litros.

7. Alternativa c. Sendo o valor da média 12,5: (x 2 4) 1 x 1 2x 1 2 (x 1 6) 5 12,5 4 x 2 4 1 x 1 2x 1 2x 1 12 5 12,5 4 6x 1 8 5 12,5 4 6x 1 8 50 5 4 4 6x 1 8 5 50 6x 5 50 2 8 6x 5 42 42 x5 6 x57 Logo, o número x é 7. 8. Alternativa d. Do enunciado, vem: total de jogos: x 3 venceu: ?x 5 1 ?x empatou: 3 Perdeu 2 jogos. Daí, podemos escrever: 3 1 1 x 12 5 x 5 3 9x 5x 30 15x 1 1 5 15 15 15 15 9x 1 5x 1 30 5 15x 9x 1 5x 5 15x 2 30 9x 1 5x 2 15x 5 230 14x 2 15x 5 230 2x 5 230 ? (21) x 5 30 3 dos jogos que A equipe venceu 5 disputou, logo: 6 3 ? 30 51 Portanto, a equipe venceu 18 jogos. 9. Alternativa b. Sendo x a hora adicional e R$ 21,00 o valor pago, temos: 6 1 3x 5 21 3x 5 21 2 6 3x 5 15 15 x5 3 x55 Logo, o carro ficou no estacionamento 5 horas adicionais mais a primeira hora, ou seja, 6 horas (1 1 5 5 6).

133


10. Alternativa a. Sendo o número x, temos: 1 x 1 x 5 2x 2 30 5 5x 1x 10x 150 1 5 2 5 5 5 5 5x 1 1x 5 10x 2 150 5x 1 1x 2 10x 5 2150 24x 5 2150 ? (21) 4x 5 150 150 x5 4 x 5 37,5 Logo, o número é 37,5. 11. Alternativa e. total de recenseadores: x Se cada recenseador visitar 100 residências, faltariam 60 residências: 100 ? x 1 60 Se cada recenseador visitar 102 residências, todas seriam visitadas: 102 ? x Daí, podemos escrever: 100x 1 60 5 102x → total de residências 

total de residências

100x 5 102x 2 60 100x 2 102x 5 260 22x 5 260 ? (21) 2x 5 60 60 x5 2 x 5 30 Logo, foram contratados 30 recenseadores. 12. Alternativa c.

5 2 3x 50 2 2 ? 2 (x 2 5) 1 ? (5 2 3x) 6x 0 2 2 5 2 2 2 2 6x 2 2 ? 2 (x 2 5) 2 1 ? (5 2 3x) 5 0 3x 2 2 (x 2 5) 2

6x 2 2 ? [2x 2 10] 2 5 1 3x 5 0 6x 2 4x 1 20 2 5 1 3x 5 0 5x 1 15 5 0 5x 5 215 15 x 52 5 x 5 23 Logo, o valor de x é 23.

13. Alternativa a. custo da bola de vôlei: x custo da bola de basquete: x 1 40 Como foram compradas 6 bolas de basquete e 10 bolas de vôlei, podemos escrever:

134

10 ? x 1 6 ? (x 1 40) 5 1 280 10x 1 6x 1 240 5 1 280 16x 1 240 5 1 280 16x 5 1 280 2 240 16x 5 1 040 1 040 x5 16 x 5 64 O custo de cada bola de basquete foi 105 reais (65 1 40 5 105). Como o professor comprou 6 bolas de basquete, temos: 6 ? 105 5 630 Logo, foram gastos R$ 630,00 com as bolas de basquete. 14. Alternativa b. • total de amigos: x • Se cada amigo recebeu 2 convites, sobrarão 25 R 2x 1 25 • Se cada amigo recebeu 3 convites, faltarão 15 R 3x 2 15 Daí, vem: 2x 1 25 5 3x 2 15 2x 5 3x 2 15 2 25 2x 5 3x 2 40 2x 2 3x 5 240 2x 5 240 ? (21) x 5 240 A quantidade de convites disponíveis é: 2 ? 40 1 25 5 80 1 25 5 105 Logo, são 40 amigos e 105 convites. Se cada amigo recebeu 4 convites, serão necessários 160 convites (4 ? 40 5 160). Como só há 105 convites disponíveis, ainda faltariam 55 convites (160 2 105 5 55). 15. Alternativa c. Do enunciado, podemos escrever: 1a pergunta, ganhou: x 2a pergunta, ganhou: 2x 3a pergunta, ganhou: 3x 4a pergunta, ganhou: 4x O candidato recebeu R$ 15 000,00 por ter acertado as perguntas. Então: x 1 2x 1 3x 1 4x 5 15 000 10x 5 15 000 15 000 x5 10 x 5 1 500 Logo, o prêmio inicial era de R$ 1 500,00.


16. Alternativa b. 1a parte da tábua: 1,80 m 2a parte da tábua: 2x 3a parte da tábua: x Como o comprimento total da tábua é de 5,85 metros, temos: 1,80 1 2x 1 x 5 5,85 1,80 1 3x 5 5,85 3x 5 5,85 2 1,80 3x 5 4,05 4, 05 x5 3 x 5 1,35 Logo, o comprimento da segunda parte, em metros, é 2,70 (2 ? 1,35 5 2,70).

31 – Equação do 1°- grau com duas incógnitas Exercícios, páginas 158 e 159. 1. De acordo com cada situação, podemos escrever: a) x 1 y 5 61 b) 2x 2 7 5 y c) 3x 1 5y 5 100 d) x 5 y 1 7 ou x 2 y 5 7 1 e) ? x 5 2y 2 2 3 f) ? x 2 ? y 51 3 5 2. Sendo x a idade de Mariana e y a idade de Gabriela podemos escrever: x2y52 3. Sendo x o preço do livro e y o preço do caderno: a) x 1 y 5 32 b) x 5 y 1 25 c) x 5 6 ? y d) 2 ? x 1 5 ? y 5 60 4. Sendo x o número de carros e y o número de motos: a) Como no estacionamento há 20 veículos, temos: x 1 y 5 20 b) Sendo o número de carros igual ao triplo do número de motos, temos: x 5 3y c) Como o número de carros supera o número de motos em 12, podemos escrever: x 5 y 1 12

d) Sendo a metade do número de carros igual a cinco vezes o número de motos: 1 ? x 55? y 2 e) Como no estacionamento há 42 rodas, podemos escrever: 4x 1 2y 5 42 5. Sendo a equação 9 ? x 1 y 5 1: a) (0, 1) R 9 ? 0 1 1 5 1 01151 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. b) (1, 0) R 9 ? 1 1 0 5 1 91051 9 5 1 R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. c) (1, 28) R 9 ? 1 1 (28) 5 1 92851 1 5 1 R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. d) (21, 10) R 9 ? (21) 1 10 5 1 29 1 10 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 6. Sendo a equação 2x 1 3y 5 1, vem: a) (21, 21) R 2 ? (21) 1 3 ? (21) 5 1 22 2 3 5 1 25 5 1 R R igualdade falsa, logo, o par ordenado não é solução da equação. b) (21, 1) R 2 ? (21) 1 3 ? (1) 5 1 22 1 3 5 1 1 5 1 R R igualdade verdadeira, logo, o par ordenado é solução da equação. 7. Sendo x a medida do lado do quadrado e y a medida do lado do triângulo equilátero, temos: a) perímetro do quadrado: 4x perímetro do triângulo: 3y Logo, 4x 5 3y. b) Se o lado do quadrado mede 15 cm, o lado do triângulo medirá:

135


4 ? 15 5 3y 60 5 3y 3y 5 60 60 y5 3 y 5 20 Logo, o lado do triângulo medirá 20 cm. b) Se o lado do triângulo mede 12 cm, o lado do quadrado medirá: 4x 5 3 ? 12 4x 5 36 36 x5 4 x59 Logo, o lado do quadrado medirá 9 cm. 8. Depois de algumas tentativas, o único par ordenado que é solução das equações x 1 y 5 3 e x 2 y 5 1, é o par (2, 1). x1y53 21153 3 5 3 R verdadeira x2y51 22151 1 5 1 R verdadeira Outra maneira para a resolução seria: Como o par ordenado tem de satisfazer as duas equações, podemos isolar x na primeira equação e substituí-lo na segunda, ou seja: x 1 y 5 3 R x 5 3 2 y (I) e x 2 y 5 1 (II) Substituindo (I) em (II): 32y2y51 22y 5 1 2 3 22y 5 22 ? (21) 2y 5 2 2 y5 2 y51 Sendo x 5 3 2 y e substituindo o valor de y, temos: x5321 x52 Logo, o par ordenado que satisfaz as equações é (2, 1). 9. Sendo as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 5 7, temos: • (3, 22) em x 1 2y 5 1 R 3 1 2 ? (22) 5 21 3 2 4 5 21 21 5 21 R R igualdade verdadeira

136

• (3, 22) em x 2 2y 5 7 R 3 2 2 ? (22) 5 7 31457 757R R igualdade verdadeira Logo, o par (3, 22) é solução para as equações x 1 2y 5 21 e x 2 2y 5 7. 10. Existem várias possibilidades de resposta. Três possíveis respostas seriam os pares: (7, 1); (3, 3); (5, 2) • (7, 1) em x 1 2y 5 9 R 7 1 2 ? 1 5 9 71259 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (3, 3) em x 1 2y 5 9 R 3 1 2 ? 3 5 9 31659 9 5 9 R R igualdade verdadeira • (5, 2) em x 1 2y 5 9 R 5 1 2 ? 2 5 9 51459 9 5 9 R R igualdade verdadeira 11. Sendo a equação 4x 1 y 5 20, temos: a) se x 5 0 R 4 ? 0 1 y 5 0 0 1 y 5 20 y 5 20 Logo, quando x 5 0, uma solução é o par ordenado (0, 20). 1  3 3   1 y 5 20 b) se x 52 → 4 ? 2 4  4 1  23 1 y 5 20 y 5 20 1 3 y 5 23 3 , uma solução é o 4  3  par ordenado 2 , 23.  4  Logo, quando x 52

12. Sendo a equação 10x 2 3y 5 7: a) se y 5 1 R 10x 2 3 ? 1 5 7 10x 2 3 5 7 10x 5 7 1 3 10x 5 10 10 x5 10 x51 Logo, quando y 5 1, uma solução é o par ordenado (1, 1).


1  13  13 b) se y 5 → 10x 2 3 ?  57 3  3 1  10x 2 13 5 7 10x 5 7 1 13 10x 5 20 20 x5 10 x52 13 , uma solução é o Logo, quando y 5 3  13  par ordenado 2, .  3 

13. Sendo x 5 5y 1 6, o valor de y em cada uma das equações será: a) 2 ? x 1 y 5 34 2 ? (5y 1 6) 1 y 5 34 10y 1 12 1 y 5 34 11y 1 12 5 34 11y 5 34 2 12 11y 5 22 22 y5 11 y52 b) 3 ? x 2 2 ? y 5 221 3 ? (5y 1 6) 22y 5 221 15y 1 18 2 2y 5 221 13y 1 18 5 221 13y 5 2 21 2 18 13y 5 239 39 y 52 13 y 5 23 c) 5 ? x 5 y 5 ? (5y 1 6) 5 y 25y 1 30 5 y 25y 5 y 2 30 25y 2 y 5 230 24y 5 230 6 30 5 y 52 52 24 6 4

32 – Sistemas de duas equações do 1°- grau com duas incógnitas Explorando, página 159. 1. De acordo com o enunciado, podemos considerar as seguintes possibilidades:

Número de partidas vencidas

Número de partidas perdidas

Número de partidas disputadas (soma das partidas vencidas com as partidas perdidas)

0

4

01454

0 ? (2) 1 4 ? (1) 5 4

1

3

11354

1 ? (2) 1 3 ? (1) 5 5

2

2

21254

2 ? (2) 1 2 ? (1) 5 6

3

1

31154

3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7

4

0

41054

4 ? (2) 1 0 ? (1) 5 8

Soma dos pontos de acordo com as partidas disputadas

2. O único par que satisfaz as duas condições apresentadas é o par (3, 1), pois 3 1 1 5 4 é o número de partidas disputadas e 3 ? (2) 1 1 ? (1) 5 7 corresponde aos pontos somados. 3. Sendo x o número de partidas vencidas e y o número de partidas perdidas, e sabendo que a equipe disputou 30 jogos no total e somou 51 pontos, podemos escrever as seguintes equações para essa situação: x 1 y 5 30 Arte: I e 2 ? x 1 1 ? y 5 51 Arte: II Depois de algumas tentativas verificamos que o único par ordenado que satisfaz as equações I e II é o par (21, 9), ou seja, a equipe venceu 21 partidas e perdeu 9. Logo, a equipe teve 21 vitórias e 9 derrotas. Exercícios, páginas 164 e 165. 1. a) Chamando a quantidade de figurinhas de Carlos de x, e as de Celso de y, temos: x 1 y 5 201  x 5 2y b) Chamando a quantidade de livros com espessura de 3 cm de x, e com espessura de 5 cm de y, temos: x 1 y 5 15  3x 1 5y 5 50 2. Sendo o par ordenado (8, 1) e o sistema x 2 8y 5 0 , vem:  x 2 3y 5 5 (8, 1) em x 2 8y 5 0 R 8 2 8 ? (21) 5 0 82850 050R R igualdade verdadeira (8, 1) em x 2 3y 5 5 R 8 2 3 ? (1) 5 5 82355 555R R igualdade verdadeira

137


Logo, o par (8, 1) satisfaz as duas equações e, por isso, é solução do sistema.

y 5 23 Substituindo y em (I): x 5 2y x 5 2 ? (23) x 5 26

3. Sendo o par ordenado (23, 5) e o sistema 23x 1 2y 5 12 , vem:  3x 1 8y 5 31 (23, 5) em 2x 1 2y 5 12 R 2(23) 1 2 ? (5) 5 12 13 1 10 5 12 13 5 12 R igualdade falsa (23, 5) em 3x 1 8y 5 31 R 3 ? (23) 1 8 ? (5) 5 31 29 1 40 5 31 31 5 31 R igualdade verdadeira Logo, o par (23, 5) satisfaz apenas a equação 3x 1 8y 5 31 e, por isso, não é solução do sistema, pois não satisfaz a primeira equação. 4. x 1 y 5 20 a)  x 2 3y 52 12

(II)

Da primeira equação, vem: x 1 y 5 20 R x 5 20 2 y (I) Substituindo I em II: x 2 3y 5 212 (220y) 2 3y 5 212 20 2 y 2 3y 5 212 24y 5 212 2 20 24y 5 232 ? (21) 4y 5 32 32 y5 4 y58 Substituindo y em (I): x 5 20 2 y x 5 20 2 8 x 5 12 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (12, 8). x 5 2y (I) b)  2x 2 5y 5 3 (II) Substituindo (I) em (II), temos: 2x 2 5y 5 3 2 ? (2y) 2 5y 5 3 4y 2 5y 5 3 2y 5 3 ? (21)

138

Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 23). 5. x 1 y 5 10 a)  x 1 3y 5 14 Da primeira equação: x 1 y 5 10 R x 5 10 2 y Da segunda equação, temos: x 1 3y 5 14 R x 5 14 2 3y

(I) (II)

Comparando as equações (I) e (II): 10 2 y 5 14 2 3y 2y 5 14 2 3y 2 10 2y 5 4 2 3y 2y 1 3y 5 4 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x 5 10 2 y x 5 10 2 2 x58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (8, 2). y 5 6x (I) b)  3x 2 2y 5 54 Da segunda equação, temos: 3x 2 2y 5 54 22y 5 54 2 3x ? (21) 2y 5 254 1 3x 254 1 3x y5 (II) 2 Comparando as equações (I) e (II): 254 1 3x 6x 5 2 1 ? (254 1 3x) 12x 5 2 2 12x 5 1 ? (254 1 3x) 12x 5 254 1 3x 12x 2 3x 5 254 9x 5 254


54 9 x 5 26 x 52

Substituindo x em (I): y 5 6x y 5 6 ? (23) 5 236 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (26, 236). 6.

x 1 y 5 6 (I) a)  x 5 y 1 2 (II) Substituindo (II) em (I): x1y56 y121y56 2y 5 6 2 2 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (II): x5y12 x5212 x54 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (4, 2). x 5 2y (I) b)  2x 1 5y 5 9 (II) Substituindo a equação (I) em (II): 2x 1 5y 5 9 2 ? (2y) 1 5y 5 9 4y 1 5y 5 9 9y 5 9 9 y5 9 y51 Substituindo y em (I): x 5 2y x52?1 x52 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). x 1 y 5 5 c)  x 2 y 5 1 (II) Da primeira equação, temos: x1y55Rx552y (I)

Substituindo (I) em (II): x2y51 (5 2 y) 2 y 5 1 5 2 y 2y 5 1 22y 5 1 2 5 22y 5 24 ? (21) 2y 5 4 4 y5 2 y52 Substituindo y em (I): x552y x5522 x53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (3, 2). 2x 2 y 5 3 d)  3x 1 2y 5 8 (II) Da primeira equação, temos: 2x 2 y 5 3 2y 5 3 2 2x ? (21) y 5 23 1 2x (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 2y 5 8 3x 1 2 ? (23 1 2x) 5 8 3x 2 6 1 4x 5 8 7x 5 8 1 6 7x 5 14 14 x5 7 x52 Substituindo x em (I): y 5 23 1 2x y 5 23 1 2 ? (2) y 5 23 1 4 y51 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 1). y 5 3x 1 2 (I) e)  2x 2 y 524 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 24 2x 2 (3x 1 2) 5 24 2x 2 3x 2 2 5 24 2x 5 24 1 2 2x 5 22 ? (21) x52

139


Substituindo x em (I): y 5 3x 1 2 y 5 3 ? (2) 1 2 y5612 y58 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (2, 8). 2x 1 y 5 5 f)  8x 2 y 5 5 (II) Da primeira equação, temos: 2x 1 y 5 5 R y 5 5 2 2x (I) Substituindo (I) em (II): 8x 2y 5 5 8x 2 (5 2 2x) 5 5 8x 2 5 1 2x 5 5 10x 5 5 1 5 10x 5 10 10 x5 10 x51 Substituindo x em (II): 8x 2 y 5 5 8 ? (1) 2 y 5 5 82y55 2y 5 5 2 8 y 5 23 ? (21) y53 Logo, a solução do sistema é o par ordenado (1, 3). 7. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema, sendo x carros e y motos: x 1 y 5 22  4x 1 2y 5 74 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 4x 1 2y 5 74 4 ? (22 2 y) 1 2y 5 74 88 2 4y 1 2y 5 74 22y 5 74 2 88 22y 5 214 ? (21) 2y 5 14 14 y5 2 y57

140

Substituindo y em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 7 x 5 15 Logo, na revendedora há 15 carros e 7 motos. 8. Sendo x o preço do sorvete e y o preço do doce: x 2 y 5 4  x 1 2y 5 13 (II) Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I) Substituindo (I) em (II): x 1 2y 5 13 (4 1 y) 1 2y 5 13 4 1 y 1 2y 5 13 3y 5 13 2 4 3y 5 9 9 y5 3 y53 Substituindo y em (I): x541y x5413 x57 Logo, o preço do sorvete é 7 reais. 9. Chamando a lapiseira de x e a caneta de y: x 5 3y (I)  x 1 y 5 24 (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 24 3y 1 y 5 24 4y 5 24 24 y5 4 y56 Substituindo y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (6) x 5 18 Logo, a lapiseira custa 18 reais, e a caneta custa 6 reais.


Substituindo a equação (I) em (II), temos: x 1 y 5 160 5 y 1 y 5 160 3 5y 3y 480 1 5 3 3 3

10. Sabendo que o mais velho tem x anos, podemos dizer que o mais novo tem y anos. Assim: x 2 y 5 4  x 1 y 5 20 (II)  Da primeira equação, podemos escrever: x 2 y 5 4 R x 5 4 1 y (I)

5y 1 3y 5 480 8y 5 480 480 y5 8 y 5 60

Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 20 (4 1 y) 1 y 5 20 4 1 y 1 y 5 20 2y 5 20 2 4 2y 5 16 16 y5 2 y58 Substituindo y em (I): x541y x5418 x 5 12

Substituindo y em (I): 5 x5 ?y 3 20 5 x5 ? 60 31 x 5 100 Logo, já foram lidas 100 páginas do livro. 13. De acordo com o enunciado: x 5 4y () I  x 1 y 5 30 (II) 

Logo, os filhos do professor têm 12 e 8 anos. 11. Do enunciado, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 2,85 (II)   x 5 y 1 0,93 () I 

Substituindo a equação (I) em (II): x 1 y 5 30 4y 1 y 5 30 5y 5 30 30 y5 5 y56

Substituindo (I) em (II): x 1 y 5 2,85 (y 1 0,93) 1 y 5 2,85 y 1 0,93 1 y 5 2,85 2y 5 2,85 2 0,93 2y 5 1,92 1,92 y5 2 y 5 0,96 Substituindo y em (I): x 5 y 1 0,93 x 5 0,96 1 0,93 x 5 1,89 Logo, o comprimento da parte menor é 0,96 m, e o comprimento da parte maior é 1,89 m. 12. De acordo com o enunciado: 5  I x 5 3 ? y ()  x 1 y 5 1,60 (II)

Substituindo y em (I): x 5 4y x 5 4 ? (6) x 5 24 Logo, 6 professores ensinam Matemática nesse colégio. Desafio!, página 165. 1. De acordo com as balanças, a soma de um cubo com duas esferas equivale a 8 kg, e uma esfera equivale à soma de um cubo com 1 kg. Daí, podemos montar o seguinte sistema, sendo a esfera x e o cubo y: 2x 1 y 5 8 () I  x 5 y 1 1 (II) 

141


Substituindo (II) em (I): 2x 1 y 5 8 2 ? (y 1 1) 1 y 5 8 2y 1 2 1 y 5 8 3y 5 8 2 2 3y 5 6 6 y5 3 y52 Substituindo y em (II): x5y11 x5211 x53 Logo, como a esfera pesa 3 quilogramas, para equilibrar a balança, serão necessários 3 pesos de 1 quilograma. 2. Chamando de x o peso do cubo, de y o peso da esfera e de z o peso da pirâmide, de acordo com os valores marcados nas balanças, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 1 z 5 23 (III)  y 1 z 5 11 2x 1 y 5 28 

Da segunda equação, vem: y 1 z 5 11 R z 5 11 2 y (I) Da terceira equação, temos: 2x 1 y 5 28 R y 5 28 2 2x (II) Substituindo (I) em (II): x 1 y 1 z 5 23 x 1 y 1 (11 2 y) 5 23 x 1 y 1 11 2 y 5 23 x 1 11 5 23 x 5 23 2 11 x 5 12 Substituindo x em (II): y 5 28 2 2x y 5 28 2 2 ? (12) y 5 28 2 24 y54 Substituindo y em (I): z 5 11 2 y z 5 11 2 (14) z 5 11 2 4 z57

142

Logo: a) o cubo tem 12 kg. b) a pirâmide tem 7 kg. c) a esfera tem 4 kg. Brasil real, página 166. 1. Resolvendo o sistema: x 1 y 5 67  x 2 2y 5 46 (II) Da primeira equação, temos: x 1 y 5 67 R x 5 67 2 y (I) Substituindo (I) em (II): x 2 2y 5 46 (67 2 y) 2 2y 5 46 67 2 y 2 2y 5 46 23y 5 46 2 67 23y 5 221 ? (21) 3y 5 21 21 y5 3 y57 Substituindo y em (I): x 5 67 2 y x 5 67 2 (7) x 5 67 2 7 x 5 60 Logo, o 14 Bis percorreu 60 metros, durante 7 segundos. 2. Resolvendo o sistema: x 2 y 5252  10x 2 y 5 2 (II) Da primeira equação, temos: x 2 y 5 252 R 2 y 5 252 2 x ? (21) y 5 52 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 10x 2 y 5 2 10x 2 (52 1 x) 5 2 10x 2 52 2 x 5 2 9x 5 2 1 52 9x 5 54 54 x5 9 x56 Substituindo x em (I): y 5 52 1 x y 5 52 1 6 y 5 58 Logo, D. Pedro II foi aclamado imperador com 6 anos de idade e reinou durante 58 anos.


3. De acordo com o enunciado, podemos montar o seguinte sistema:

e) O produto que apresentou maior queda de preço foi a caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores). f) De acordo com a tabela de variação de preço, o produto que apresentou maior aumento de preço foi o lápis de cor (caixa com 12 cores).

y 5 x 1 21 (I)  2x 2 y 5 1 840 (II) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 1 840 2x 2 (x 1 21) 5 1 840 2x 2 x 2 21 5 1 840 x 5 1 840 1 21 x 5 1 861

Retomando o que aprendeu, páginas 168 e 169.

Substituindo x em (I): y 5 x 1 21 y 5 1 861 1 21 y 5 1 882 Logo, o primeiro volume de Machado de Assis foi impresso em 1861 e Papéis avulsos, em 1882. Tratando a informação, página 167. a) De acordo com a tabela, o produto que manteve o preço médio nos dois períodos foi: caderno universitário/capa dura/espiral/1 matéria com 96 folhas. b) Os produtos que apresentam queda no preço médio foram a caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores) e o caderno brochura 1/4 de capa dura com 96 folhas. c) Completando a tabela com as diferenças de preço, temos: Produto

Preço médio (em reais) Janeiro 2006 Janeiro 2007

Variação de preço

o

Lápis preto n 2 (unidade)

0,31

0,36

0,05

Lápis de cor (caixa com 12 cores)

2,43

2,60

0,17

Caneta hidrográfica (conjunto com 12 cores)

5,08

4,80

20,28

Caneta esferográfica cristal (unidade)

0,50

0,58

0,08

Borracha branca – látex (unidade)

0,22

0,28

0,06

Cola bastão (10 g)

2,48

2,55

0,07

Cola branca lavável (40 g)

0,94

0,95

0,01

Régua plástica cristal (30 cm)

0,96

1,03

0,07

Caderno universitário/capa dura/ espiral/1 matéria (96 folhas)

8,56

8,56

0

Caderno universitário/capa dura/ espiral / 10 matérias (200 folhas)

14,63

14,72

0,09

Caderno brochura 1/4 de capa dura (96 folhas)

2,22

2,16

20,06

Fonte: <www.procon.sp.gov.br>. Acesso em: 23/04/2007

d) As variações de preços que tiveram queda estão indicadas com valores negativos.

1. Alternativa c. De acordo com o enunciado, Caio ganhou x e Celso ganhou y, então: 2x 2 3y 5 10 2. Alternativa d. I) (2 7,5) em 8x 1 5y 5 231 R R 8 ? (27) 1 5 ? (5) 5 231 256 1 25 5 231 231 5 231 (igualdade verdadeira) Logo, I é verdadeira. II) (10, 25) em 4x 2 5y 5 65 R R 4 ? (10) 2 5 ? (25) 5 65 40 1 25 5 65 65 5 65 (igualdade verdadeira) (10, 25) em x 5 2y R 10 5 2 ? (25) 10 5 210 (igualdade falsa)

Logo, II é falsa, pois (10, 25) não é 4x 2 5y 5 65 . solução do sistema  x 5 2y

III) x 5 y 1 6 (I) 5x 2 4y 5 10 (II) Substituindo (I) em (II): 5 (y 1 6) 2 4y 5 10 5y 1 30 2 4y 5 10 y 5 10 2 30 y 5 220 Logo, a afirmativa III é verdadeira. 1  IV) 27,  em 3x 1 2y 5 220 R 2  1  1  → 3 ? (27) 1 2 ?  5220  2 1  221 1 1 5220 de verdadeira) 220 5220 (igualdad Logo, a afirmativa IV é verdadeira. Portanto, há três afirmações verdadeiras.

143


3. Alternativa e. Resolvendo o sistema: 3x 2 y 5 4 (II)  x 2 y 5 8 Da equação x 2 y 5 8, temos: x 2 y 5 8 R x 5 8 1 y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 2 y 5 4 3 ? (8 1 y) 2 y 5 4 24 1 3y 2 y 5 4 2y 5 4 2 24 2y 5 220 20 y 52 2 y 5 210 Colocando y em (I): x581y x 5 8 1 (210) x 5 8 2 10 x 5 22 Logo: x 1 y 5 22 1 (210) x 1 y 5 22 2 10 x 1 y 5 212 4. Alternativa b. 2x 2 y 523 (II)   2x 1 y 522 Da segunda equação, temos: 2x 1 y 5 22 R y 5 22 1 x (I) Substituindo (I) em (II): 2x 2 y 5 23 2x 2 (22 1 x) 5 23 2x 1 2 2 x 5 23 x 5 23 2 2 x 5 25 Substituindo x em (I): y 5 22 1 x y 5 22 1 (25) y 5 27 Logo, x 2 y 5 25 2 (27) x 2 y 5 25 1 7 x 2 y 5 2. 5. Alternativa a. Montando um sistema com as duas equações:

144

3x 1 4y 5 3 (II)  x 1 6y 5 8 Da equação x 1 6y 5 8, temos: x 1 6y 5 8 R x 5 8 2 6y (I) Substituindo (I) em (II): 3x 1 4y 5 3 3 ? (8 2 6y) 1 4y 5 3 24 2 18y 1 4y 5 3 214y 5 3 2 24 214y 5 221 ? (21) 14y 5 21 7 21 3 y5 5 14 7 2 Colocando y em (I): 3  3  x 58 2 6 ?  ��� 2 1 

x5829 x 5 21 Logo:

3  3 x3 2 y3 5 (21) 2    2  27  x3 2 y3 521 2   8 

3

27 8 8 27 3 3 x 2 y 52 2 8 8 35 3 3 x 2 y 52 8 x3 2 y3 521 2

6. Alternativa d. Sendo o preço da calça x e o preço da camiseta y: x 1 y 5 55  3x 1 2y 5 140 (II) Da equação x 1 y 5 55, vem: x 1 y 5 55 x 5 55 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 3x 1 2y 5 140 3 ? (55 2 y) 1 2y 5 140 165 2 3y 1 2y 5 140 2y 5 140 2 165 2y 5 225 ? (21) y 5 25


Colocando y em (I): x 5 55 2 y x 5 55 2 25 x 5 30 Logo, o preço da calça é R$ 30,00, e o da camiseta é R$ 25,00. 7. Alternativa c. Chamando de x os candidatos aceitos e de y os candidatos não aceitos, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 420 (II)  y 5 5x (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 420 x 1 5x 5 420 6x 5 420 420 x5 6 x 5 70 Colocando x em (I): y 5 5x y 5 5 ? (70) y 5 350 Logo, foram aceitos 70 candidatos. 8. Alternativa d. Chamando de x os DVDs de música brasileira e de y os de música estrangeira, podemos montar o seguinte sistema: x 1 y 5 36 (II)  x 5 3y (I) Aplicando a equação (I) em (II): x 1 y 5 36 3y 1 y 5 36 4y 5 36 36 y5 4 y59 Colocando y em (I): x 5 3y x 5 3 ? (9) x 5 27 Logo, são 27 DVDs de música brasileira. 9. Alternativa a. Chamando os carros de x e as motos de y, podemos montar o seguinte sistema de equações: x 1 y 5 36  4x 1 2y 5 126 (II)

Da equação x 1 y 5 36, vem: x 1 y 5 36 R x 5 36 2 y (I) Aplicando (I) em (II): 4x 1 2y 5 126 4 ? (36 2 y) 1 2y 5 126 144 2 4y 1 2y 5 126 22y 5 126 2 144 22y 5 218 ? (21) 2y 5 18 18 y5 2 y59 Colocando y 5 9 em (I): x 5 36 2 y x 5 36 2 (9) x 5 36 2 9 x 5 27 Logo, existem no pátio 27 carros. 10. Alternativa d. Do enunciado, vem:  x 1 y 5  x 2 y 5 

1 2 3 (II) 2

1  Da equação x 1 y 5 , vem: 2  1 1  x 1 y 5 2 → x 5 2 2 y (I)  Aplicando (I) em (II): 3 x2y5 2 3  1  2 2 y 2 y 5 2 1 3 2y2y5 2 2 3 1 22y 5 2 2 2 2 22y 5 2 22y 5 1 ? (21) 2y 5 21 1 y 52 2 1 Colocando y 52 em (I): 2 1 x5 2y 2 1  1 x 5 2 2  2  2

145


Então: 1 1 1 2 2 2 x5 2 x51 x5

Logo, o menor desses dois números é 2

1 . 2

11. Alternativa c. Chamando de x a área do lote maior e de y a área do lote menor: x 1 y 5 2 600 (II)  x 2 y 5 200 Da equação x 1 y 5 200, vem: x 2 y 5 200 R x 5 200 1 y (I) Aplicando (I) em (II): x 1 y 5 2 600 (200 1 y) 1 y 5 2 600 200 1 y 1 y 5 2 600 2y 5 2 600 2 200 2y 5 2 400 2 400 y5 2 y 5 1 200 Colocando y 5 1 200 em (I): x 5 200 1 y x 5 200 1 1 200 x 5 1 400 Logo, a área do lote maior é de 1 400 metros quadrados. 12. Alternativa a. Chamando de x os livros com 3 cm de espessura e de y os livros com 7 cm de espessura, temos: x 1 y 5 22  3x 1 7y 5 106 (II) Da equação x 1 y 5 22, vem: x 1 y 5 22 R x 5 22 2 y (I)

146

Substituindo (I) em (II): 3x 1 7y 5 106 3 ? (22 2 y) 1 7y 5 106 66 2 3y 1 7y 5 106 4y 5 106 2 66 4y 5 40 40 y5 4 y 5 10 Colocando y 5 10 em (I): x 5 22 2 y x 5 22 2 10 x 5 12 Logo, foram colocados 12 livros com espessura de 3 cm nessa pilha. 13. Alternativa c. Somando uma das diagonais, encontramos o número 2 1 5 1 8 5 15. Logo, a soma das horizontais, verticais e diagonais deverá ser 15. Pegando a primeira e a segunda linha, podemos montar o seguinte sistema: 2 1 3y 1 2x 5 15 → 2x 1 3y 5 15 2 2 → 2x 1 3y 5 13 (II)  x 1 5 1 5 1 y 5 15 → x 1 y 5 15 2 5 2 5 → x 1 y 5 5

Da equação x 1 y 5 5, vem: x 1 y 5 5 R x 5 5 2 y (I) Substituindo (I) em (II): 2x 1 3y 5 13 2 ? (5 2 y) 1 3y 5 13 10 2 2y 1 3y 5 13 y 5 13 2 10 y53 Colocando y 5 3 em (I): x552y x 5 5 2 (3) x52 Logo: x2 2 y2 5 (2)2 2 (3)2 x2 2 y2 5 4 2 9 x2 2 y2 5 25


Estudando as inequações Introdução, página 170. De acordo com o dicionário Aurélio, o significado das palavras é; • Inequação; desigualdade. • Inegável; não negável; evidente. • Ineficiente; sem eficiência. • Inenarrável; inarrável. • Inelegibilidade; não elegível. • Inegociável; que não se pode negociar. Todas as palavras começam com o prefixo “in”, que é um prefixo que indica negação.

33 – Desigualdade Exercícios, página 174. 1. De acordo com a situação exposta no enunciado, se Isa também levar sua mochila, que tem as mesmas coisas e é idêntica à de Bel, não muda nada, segundo o princípio aditivo. 2. Sendo a desigualdade 52 1 22 , (5 1 2)2, seu primeiro membro será 52 1 22. 3. Se x . 18 e 18 . y, concluímos, pela propriedade transitiva, que x . y. 4. Se a . x, não podemos afirmar que x . a. 5. Sim; pelo princípio aditivo. Sendo x 2 1 , 10, podemos escrever x 2 1 1 1 , 10 1 1.

8. Dada a desigualdade 2x , 7, se multiplicarmos ambos os membros por 21; 2x , 7 ? (21) 1x . 27 x . 27 Logo, a nova desigualdade é x . 27. 9. Dada a desigualdade 4x . 20, se 1 multiplicarmos ambos os membros por ; 4 4x . 20 5 1 1 ? 4 x . 20 ? 4 41 x.5 Logo, a nova desigualdade será x . 5.

34 – Inequação Explorando, página 175. a) De acordo com as falas, o interessado que tem a maior quantia é Nílton. b) De acordo com as falas, podemos afirmar a respeito das quantias de cada um; • Ana tem menos de 6 000, pois se dobrasse a quantia que tem não alcançaria 12 000. • Nílton tem mais de 24 000, pois com metade do valor que tem ele compraria o carro e ainda lhe sobraria dinheiro. • Ricardo tem 11 000, pois se comprasse o carro por 11 000 não lhe sobraria nada. • Kátia tem menos de 18 000, pois um terço de suas economias não atingiria a metade do valor pedido por Vágner, ou seja, 6 000 reais.

c) Não é possível afirmar que quantia Kátia tem exatamente, pois ela pode 6. Sendo a desigualdade x 1 9 . 20, se ter qualquer quantia abaixo de 18 000 adicionarmos 29 aos dois membros, reais. Ricardo tem 11 000 reais, pois se teremos; houvesse um desconto de 1 000 reais no x 1 9 1 (29) . 20 1 (29) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11 preço do carro ele compraria o carro e lhe 9) → x 1 9 2 9 . 20 2 9 → x . 11. Logo, obtemos a desigualdade sobrariam 1 000 reais. x . 11. d) O máximo que Ana pode ter é a terça 7. Sendo 3x , 12, podemos afirmar, pelo parte do máximo que Kátia pode ter, pois princípio multiplicativo, que x , 4. Então; Kátia tem no máximo 6 000 reais, o que 4 não corresponde à metade do valor do 1 1 ? 3x , 12 ? →x,4 carro, e Ana tem menos de 6 000, pois se 3 3

147


dobrasse o que ela tem, ainda assim não conseguiria comprar o carro. e) De acordo com as falas, podemos fazer as seguintes correspondências entre os possíveis compradores e as sentenças matemáticas; x . 12000 R Nílton 2 W 5 11 000 R Ricardo 2y , 12 000 R Ana m , 6000 R Kátia 3 f) O único interessado em uma situação que pode ser traduzida por uma equação é Ricardo.

Exercícios, páginas 177 e 178. 1. Sim, 3x 2 2 , 1 é uma inequação, pois representa uma desigualdade e tem um elemento desconhecido. 2. (2 1 10) ; (2 1 4) , 2 1 10 ; 2 1 4 Não é uma inequação, pois, embora represente uma desigualdade, não possui elemento desconhecido. 3. O 1o membro é o lado esquerdo do sinal de desigualdade, e o 2o membro é o lado direito. Então; 2 a) 1 2 4x , x 1  3  1o membro 2o membro

b)

x x 1 21 . 1 2 3 6     o o

1 membro 2 membro

4. Sendo x o número de letras e verificando se a inequação x , 5 pode ser aplicada à palavra; a) matemática R não, pois tem 10 letras e 10 . 5. b) zero R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. c) lado R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. d) área R sim, pois tem 4 letras e 4 , 5. e) quadrado R não, pois tem 8 letras e 8 . 5. f) par R sim, pois tem 3 letras e 3 , 5. 5. De acordo com cada item, podemos montar as seguintes desigualdades; a) 2x 1 7 . 20 2 x , 2y b) 3 c) 4x 2 1 . 20 4 d) x 1 x , 1 5

148

e) 3x 2

1 x .1 2

6. Se o lado do quadrado mede x, seu perímetro p1 será; p1 5 x 1 x 1 x 1 x R p1 5 4x Como os lados do retângulo medem 7 m e 3 m, seu perímetro será; p2 5 7 1 3 1 7 1 3 R p2 5 20 Sendo o perímetro do quadrado maior que o perímetro do retângulo, podemos escrever; p1 . p2 R 4x . 20 7. a) Sendo o custo da caneta x, e o custo da lapiseira y; x 1 y . 10, pois as duas juntas custam mais de 10 reais. b) Como o preço de três canetas é menor que o preço de 5 lapiseiras; 3x , 5y 8. Sendo x o comprimento do terreno e 30 metros a medida da largura, temos; a) o perímetro do terreno tem menos de 500 metros; x 1 30 1 x 1 30 , 500 2x 1 60 , 500 b) A área do terreno tem mais de 300 metros quadrados, então; 30 ? x . 300 30x . 300 9. Do enunciado, podemos escrever; capacidade do recipiente; x Retirando 3 litros, temos x 2 3. 1 metade da capacidade do recipiente; x 2 Retirando 3 litros desse recipiente ainda sobra menos da metade da capacidade do recipiente, então; 1 x 23 , x 2

35 – Inequação do 1°. grau com uma incógnita Desafio!, página 180. O salário de Paulo é obtido pela soma de uma parte fixa de R$ 500,00 e uma parte variável que corresponde a R$ 20,00 por aparelho vendido.


a) Se Paulo vendeu 54 aparelhos, seu salário será; 500 1 20 ? 54 5 500 1 1 080 5 1 580 R R R$ 1 580,00 b) Sendo o salário mensal s, quando ele vende p ou mais unidades todo mês, temos; s  500 1 20p

;2

g) 3 ? (x 2 1) 2 2x  13 3x 2 3 2 2x  13 x 2 3  13 x  13 1 3 x  16

Exercícios, página 180.

S 5 {x ∈ Q  x  16}

1.

h)

9 ? (x 2 2) 2 5 ? (x 2 3) , 1 9x 2 18 2 5x 1 15 , 1 4x 2 3 , 1 4x , 1 1 3 4x , 4 4 x, 4 x,1 S 5 {x ∈ Q | x , 1}

a) x 1 15 . 21 x . 21 2 15 x.6 S 5 {x ∈ Q  x . 6} b)

x 2 18 , 223 x , 223 1 18 x , 25 S 5 {x ∈ Q  x ,25}

c)

17 2 x , 30 2x , 30 2 17 2x , 13 ? (21) 1x . 213 x . 213 S 5 {x ∈ Q  x .213}

d) 11 2 9x  2x 29x  2x 2 11 29x 2 2x  211 211x  211 ? (21) 111x  111 x  11 11 x1 S 5 {x ∈ Q  x  1} e) 8x 1 19  10x 1 11 8x  10x 1 11 2 19 8x  10x 2 8 8x 2 10x  28 22x  28 ? (21) 12x  28 8 x 2 x4 S 5 {x ∈ Q | x  4} f) 13x 2 1 , 9x 1 1

13x , 9x 1 1 1 1 13x , 9x 1 2 13x 2 9x , 12 14x , 2

2 1 5 4 ;2 2  1  S 5 x ∈ Q | x ,  2   x,

2. Do enunciado, podemos escrever; perímetro do retângulo; 5  x 1 5 1 x 5 5 2x 1 10 perímetro do quadrado; 11 1 11 1 11 1 11 5 5 44 Para o perímetro do retângulo ser maior que o perímetro do quadrado, devemos ter;

2x 1 10 . 44 2x . 44 2 10 2x . 34 34 x. 2 x . 17 Logo, a medida do comprimento do retângulo deve ser maior que 17 cm.

3. De acordo com o enunciado; recipiente cheio; x Tirando 2 litros, restam; x 2 2 Restará no recipiente uma quantidade 3 da capacidade do recipiente; menor que 5 3 x 5 Com essas informações, podemos escrever; 3 x 22 , x 5 5x 10 3x 2 , 5 5 5

149


5x 2 10 , 3x 5x , 3x 1 10 5x 2 3x , 10 2x , 10 10 x, 2 x,5 Como do recipiente foram retirados 2 litros, podemos afirmar que a capacidade do mesmo é; x > 2 litros. Logo, os possíveis valores racionais de x são; 2 < x , 5

e)

4. a)

b)

x 5 2 1 x ,21 2 3 3x 10 6x 6 2 1 ,2 6 6 6 6 3x 2 10 1 6x , 26 9x 2 10 , 26 9x , 26 1 10 9x  4 4 x, 9  4  S 5 x ∈ Q | x ,  9   x 21 x .11 2 3 3 (x 2 1) 6 2x . 1 6 6 6 3(x 2 1) . 6 1 2x 3x 2 3 . 6 1 2x 3x . 6 1 2x 1 3 3x . 9 1 2x 3x 2 2x . 9 x.9 S 5 {x ∈ Q| x . 9} x 1 22x . 2 5 4 2 10 ? (2 2 x) 4x 5 . 2 20 20 20

c) 4x . 5 2 10 ? (2 2 x) 4x . 5 2 20 1 10x 4x . 215 1 10x 4x 2 10x . 215 26x . 215 ? (21) 6x , 15 ;3

15 5 5 6 ;3 2  5  S 5 x ∈ Q | x ,  2   x,

150

d)

x 11 x 22  4 8 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 2 2)  8 8 2 ? (x 1 1) < 1 ? (x 2 2) 2x 1 2 < x 2 2 2x < x 2 2 2 2 2x < x 24 2x 2 x < 24 x < 24 S 5 {x [ Q | x < 24} x . 2 ? (1 2 x) 2 2 ? 2 ? (1 2 x) x . 2 2 x . 2 ? 2 ? (1 2 x)

x . 2 ? [2 2 2x] x . 4 2 4x x 1 4x . 4 5x . 4 4 x> 5 4   S 5 x ∈ Q | x .  5   x 21 1 x 22 f) .2 1 4 6 3 3 ? (x 2 1) 4 ? (x 2 2) 2 .2 1 12 12 12 3 ? (x 2 1) .2 2 1 4 ? (x 2 2) 3x 2 3 .2 2 1 4x 2 8 3x 2 3 .210 1 4x 3x .210 1 4x 1 3 3x .2 7 1 4x 3x 2 4x .2 7 2 x .2 7 ? (21) 1 x ,1 7 x ,7 S 5 {x ∈Q | x , 7} 5. Resolvendo a inequação; 1 x ? (x 2 2) , 21 3 2 2 ? (x 2 2) 3x 6 , 2 6 6 6 2 ? (x 2 2) , 3x 2 6 2x 2 4 , 3x 2 6 2x , 3x 2 6 1 4 2x , 3x 2 2 2x 2 3x , 22 2x , 22 ? (21)


R$ 3,50 e o km rodado é R$ 1,15. Sendo v o valor da viagem e x o quilômetro rodado, podemos escrever; v 5 3,50 1 1,15x d) Em São Paulo, o valor da bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 2,10. Sendo vs o valor da viagem e x o quilômetro rodado, podemos escrever; v 5 3,50 1 2,10x Logo, em São Paulo, uma pessoa com 20 reais poderá percorrer; v 5 3,50 1 2,10x 20 5 3,50 1 2,10x 22,10x 1 20 5 3,50 22,10x 5 3,50 2 20 22,10x 5 216,5 ? (21) 2,10x 5 16,5 16,5 x 5 2,10 x  7,86

1x . 12 x.2 Fazendo a verificação, temos; • para 3, temos; 3 . 2 (sentença verdadeira) Logo, o número 3 pertence ao conjunto solução da equação. 6. Resolvendo a inequação; 3 ? (2x 2 1) , 5x 2 1 6x 2 3 , 5x 2 1 6x , 5x 2 1 1 3 6x , 5x 1 2 6x 2 5x , 2 x,2 Fazendo a verificação dos números em questão; • para 26, temos; 26 , 2 (sentença verdadeira) • para 23, temos; 23 , 2 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 , 2 (sentença verdadeira) • para 3, temos; 3 , 2 (sentença falsa) • para 6, temos; 6 , 2 (sentença falsa) Logo, os números 26, 23 e 0 pertencem ao conjunto solução da inequação, e os números 3 e 6 não pertencem a esse conjunto.

Portanto, em São Paulo, uma pessoa poderá percorrer de táxi 7 km, sem gastar todo o seu dinheiro (R$ 20,00).

Utilizando a equação do item c, em Curitiba, uma pessoa com 20 reais poderá percorrer; vc 5 3,50 1 1,15x 20 5 3,50 1 1,15x 20 2 1,15x 5 3,50 21,15x 5 3,50 2 20 21,15x 5 16,5 ? (21) 1,15x 5 16,5 16,5 x5 1,15 x  14,35

Brasil real, página 181. 1. a) Sendo o percurso de 12 quilômetros, o valor em cada cidade será; • São Paulo; 3,50 1 12 ? 2,10 5 3,50 1 1 25,2 5 28,70; pois a bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 2,10. Logo, o valor pago será R$ 28,70. • Rio de Janeiro; 4,30 1 12 ? 1,14 5 4,30 1 1 13,68 5 17,98; pois a bandeirada é R$ 4,30 e o km rodado é R$ 1,14. Logo, o valor pago será R$ 17,98. • Curitiba; 3,50 1 12 ? 1,15 5 3,50 1 1 13,80 5 17,30; pois a bandeirada é R$ 3,50 e o km rodado é R$ 1,15. Logo, o valor pago será R$ 17,30. b) O valor da bandeirada é maior na cidade do Rio de Janeiro, mas só esse fato não garante que a corrida seja mais cara no Rio, pois o valor do quilômetro rodado não é o maior das três cidades. c) Em Curitiba, o valor da bandeirada é

Portanto, em Curitiba, uma pessoa poderá percorrer de táxi 14 km, sem gastar todo o seu dinheiro (R$ 20,00).

a)

Resolvendo a equação; 145 1 5 ? (x 1 571) . 64 2 7 ? (68 2 x) 145 1 5x 1 2 855 . 64 2 476 1 7x 5x 1 3 000 . 2412 1 7x 5x . 2412 1 7x 2 3 000 5x . 23 412 1 7x 5x 2 7x . 23 412 22x . 23 412 ? (21) 12x , 13 412 3412 x, 2 x , 1 706

2.

151


0

Logo, o maior número inteiro que satisfaz a equação dada é 1 705.

Portanto, a Música do Parnaso foi impresso em 1705.

b) Resolvendo as inequações; 552 2 5 ? (x 2 221) , 8 ? (x 2 3) 2 11 ? (x 1 1 10) 2 221 552 2 5x 1 1 105 , 8x 2 24 2 11x 2 110 2 2 221 25x 1 1 657 , 23x 2 355 25x , 23x 2 355 2 1 657 25x , 23x 2 2 012 25x 1 3x , 22 012 22x , 22 012 ? (21) 12x . 12 012 2012 x. 2 x . 1 006 2 ? (105 2 y) y 1 86 40 13 1 1 , 2 2 12 9 4 18 36 2 ? 2 ? (105 2 y) 3 ? (y 1 86) 160 117 1 1 , 2 2 36 36 36 36 36

,

2 ? 2 ? (105 2 y) 117 1 2 2 36 36 36 3 ? (y 1 86) 1 160 , 117 2 2 ? 2 ? (105 2 y) 2 1

3y 1 258 1 160 , 117 2 2 ? [210 2 2y] 2 1 3y 1 418 , 117 2 420 1 4y 2 1 3y 1 418 , 2304 1 4y 3y , 2304 1 4y 2 418 3y , 2722 1 4y 3y 2 4y , 2722 2y , 2722 ? (21) 1 y . 1 722 y . 722 Logo, o menor número natural que satisfaz a primeira inequação é 1 007, e o menor número natural que satisfaz a segunda inequação é 723. Portanto, a história de Genji foi escrita em 1007, e Barbara Cartland escreveu 723 romances.

Tratando a informação, página 182. a) Observando os gráficos, podemos concluir que o gráfico 1 é de barras ou colunas, e o gráfico 2 é de linha.

152

b) O gráfico 1 trata da esperança de vida do brasileiro ao nascer; o gráfico 2 trata da evolução da esperança de vida no país, de 1960 a 2004. c) IBGE significa Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. d) De acordo com o gráfico 1, vemos que, em 1980 e em 2004, o sexo feminino é o que tem maior esperança de vida. e) Em relação a 1980, o brasileiro está vivendo, em média, mais 9 anos no ano de 2004 (71,7 2 62,7 5 9). f) De acordo com o gráfico, os anos em que a esperança de vida do brasileiro foi maior do que 60 anos foram os anos de 1980, 1991, 2000 e 2004.

Retomando o que aprendeu, página 183. 1. Sendo x o número de funcionários residentes na cidade A e sabendo que 50 trabalhadores vieram de outras cidades, temos; x . 50, pois o número de funcionários que residem na cidade A deve ser sempre maior que o número de funcionários vindos de outras cidades. 2. Multiplicando os dois membros da inequação 25x . 1 por (21);

25x . 1

15x , 21

5x , 21

? (21)

3. Resolvendo a inequação; x 13 x 2 2 ? (x 1 1) , 5 5 ? 2 ? (x 1 1) 1 ? (x 1 3) 5x 2 , 5 5 5   5x 2 5 ? 2 ? (x 1 1) , 1 ? (x 1 3) 5x 2 5 ? [2x 1 2] , x 1 3 5x 210x 2 10 , x 1 3 25x 2 10 , x 1 3 25x , x 1 3 1 10 25x , x 1 13 25x 2 x , 1 13 26x , 213 ? (21) 16x . 213 13 x .2 6 13   S 5 x ∈ Q | x .2  6  


4. Resolvendo a inequação; x 27 x 1 1 5 10 2 ? (x 2 7) x 10 1  10 10 10 2 ? (x 2 7) 1 x < 10 2x 2 14 1 x < 10 3x 2 14 < 10 3x < 10 1 14 3x < 24 24 x 3 x<8 Fazendo a verificação; • para 23, temos; 23 < 8 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 < 8 (sentença verdadeira) • para 5, temos; 5 < 8 (sentença verdadeira) • para 8, temos; 8 < 8 (sentença verdadeira) • para 9, temos; 9 < 8 (sentença falsa) Logo, os números 23, 0, 5 e 8 fazem parte do conjunto solução da inequação, e o número 9 não faz parte desse conjunto. 5. De acordo com o enunciado; 11 7 1 x2 , 18 15 12 110x 84 15 2 , 180 180 180

23x , 4x 2 8 1 33 23x , 4x 1 25 23x 2 4x , 25 27x , 25 ? (21) 17x . 225 25 x .2 7 25 Sendo x .2  2 3,57, então os números 7 inteiros negativos que fazem parte do conjunto solução da inequação são 23, 22 e 21. 7. Resolvendo a inequação; 4x 2 1 , 2 1 3x 4x , 2 1 3x 1 1 4x , 3 1 3x 4x 2 3x , 3 x,3 S 5 {0, 1, 2} Logo, sendo U 5 IN, o conjunto solução da inequação são os naturais 0, 1 e 2. 8. Do enunciado, podemos escrever; perímetro do triângulo; x 1 x 1 12 5 2x 1 1 12 perímetro do quadrado; 5 1 5 1 5 1 5 5 20 Sendo o perímetro do triângulo menor que o perímetro do quadrado, temos; 2x 1 12 , 20 2x , 20 2 12 2x , 8 8 x, 2 x,4 Logo, o valor inteiro de x é 3, pois x , 4.

110x 2 84 , 15 110x , 15 1 84 9. Resolvendo a inequação; 110x , 99 ;11 3 ? (2x 1 1) 10 ? (x 1 2) 99 9 2x 1 1 6x 2 1 x, 5 2 . 2 110 ;11 10 2 6 3 2 3 ? (2x 1 1) 10 ? (x 1 2) 3 ? 2 ? 1 ? 2 x 1 1 ( ) Logo, os valores de x que satisfazem o   2   2 3 ? (6x 2 1) . 9 6 6 6 6 problema são os valores de x , .     10 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 ? 10 ? (x 1 2) 1 ? (2x 1 1) 3 ? (6x 2 1) 2 . 2 6. Resolvendo a inequação; 6 6 6 6 7x 2 1 2x 2 4 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 1 ? (2x 1 1) . 2 ? 10 ? (x 1 2) 2 3 ? (6x 2 1) 3 ? (x 2 2) 2 , 2 3 3 ? 3 ? (2x 1 1) 2 1 ? (2x 1 1) . 2 ? 10 ? (x 1 2) 2 3 ? (6x 2 1) 6 ? 3 ? (x 2 2) 3 ? (7x 2 1) 2 ? (2x 2 4) 3 ? [6x 1 3] 2 2x 2 1 . 2 ? [10x 1 20] 2 18x 1 2 , 6 6 6 13 6 ? 3 ? (x 2 2) 2 3 ? (7x 2 1) , 2 ? (2x 2 4) 18x 1 9 2 2x 2 1 . 20x 1 40 2 18x 1 3 16x 1 8 . 2x 1 43 6 ? [3x 2 6] 2 21x 1 3 , 4x 2 8 16x . 2x 1 43 2 8 18x 2 36 2 21x 1 3 , 4x 2 8 16x . 2x 1 35 23x 2 33 , 4x 2 8

153


16x 2 2x . 35 14x . 35 ;7 35 5 x. 5 14 ;7 2

x,

3x x , 3 3 3x , x

 5  S 5 x ∈ Q | x .  2  

3x 2 x , 0

10. Alternativa d. Resolvendo a inequação; 3x 2 7 . 3 ? (21 1 2x) 2 2x 3x 2 7 . 23 1 6x 2 2x 3x 2 7 . 23 1 4x 3x . 23 1 4x 1 7 3x . 4 1 4x 3x 2 4x . 4 2x . 4 ? (21) 1x , 24 x , 24 S 5 {x [ Q | x , 24} Analisando as alternativas; a) 0 [ S R falsa, pois 0 . 24. b) 23 [ S R falsa, pois 23 . 24. c) 24 [ S R falsa, pois 24 5 24. d) 25 [ S R verdadeira, pois 25 , 24. 11. Do enunciado, podemos escrever a seguinte inequação; 0,5 ? x 1 1,75 . 4 0,5x . 4 2 1,75 0,5x . 2,25 2,25 x. 0,5 x . 4,5 S 5 {x [ Q | x . 4,5} Logo, x pode assumir valores maiores que 4,5. 12. 2x . 0 ? (21) 1x , 0 x,0 Assim, todos os números racionais negativos são solução dessa inequação. Portanto, a afirmação é verdadeira. 13. Sendo a inequação x ,

154

x 3

x , temos; 3

2x , 0 0 x, 2 x,0 Fazendo a verificação para os números dados; • para 29, temos; 29 , 0 (sentença verdadeira) • para 26, temos; 26 , 0 (sentença verdadeira) • para 0, temos; 0 , 0 (sentença falsa) • para 3, temos; 3 , 0 (sentença falsa) • para 12, temos; 12 , 0 (sentença falsa) Logo, os números 29 e 26 fazem parte do conjunto solução da inequação, e os números 0, 3 e 12 não fazem parte da solução dessa inequação. 14. Alternativa c. Resolvendo as inequações; 5n 1 25 . 5 500 5n . 5 500 2 25 5n . 5 475 5475 n. 5 n . 1 095 28n 1 3 501 . 210 2 5n 28n . 210 2 5n 2 3 501 28n . 25n 2 3 291 28n 1 5n . 23 291 23n . 23 291 ? (21) 13n , 13 291 3291 n, 3 n , 1 097 Logo, o número de foguetes é um número natural entre 1 095 e 1 097, portanto 1 096 foguetes.


Estudando os Ângulos Abertura, página 184.

ˆ ) 5 2x, temos: med (AÔB) 5 508 e med (MPQ ˆ med (AÔB) 5 med (MPQ ) ⇒ 50 5 2x 2x 5 50 50 x5 2

• O que eles têm em comum? As figuras têm o formato em comum, mas existem várias possibilidades de respostas.

x 5 25

36 – O ângulo e seus elementos 37 – Medida de um ângulo Exercícios, páginas 191 e 192. 1. De acordo com os elementos dos ângulos, vem:   a) Vértice: B; lados: BA e BC.   b) Vértice: O; lados: OM e ON. 2. De acordo com a figura, os ângulos são: AÔB, AÔC, BÔC 3. As medidas dos ângulos indicados são: a) med (AÔB) 5 208 b) med (AÔC) 5 488 c) med (AÔD) 5 558 d) med (AÔE) 5 908 e) med (AÔF) 5 1208 f) med (AÔG) 5 1808 g) med (BÔE) 5 med (AÔE) 2 med (AÔB) 5 5 908 2 208 5 708 h) med (EÔF) 5 med (AÔF) 2 med (AÔE) 5 5 1208 2 908 5 308

Logo, x 5 258. 9. Sendo as medidas de dois ângulos congruentes expressas por (2x 2 108) e (x 1 208), vem: 2x 2 10 5 x 1 20 2x 5 x 1 20 1 10 2x 5 x 1 30 2x 2 x 5 30 x 5 30 Logo, x 5 308. Desafio!, página 192. Às 6 horas, o ângulo de abertura formada pelos ponteiros do relógio será maior e corresponderá a um ângulo de 1808, ou seja, será um ângulo de meia-volta. Portanto, o ângulo aumentou e passou a ser 1808.

38 – O  perações com medidas de ângulos

4. Sabemos que uma volta corresponde a 3608; logo, meia-volta corresponde a 1808. 5. Um ângulo de uma volta mede 3608. 6. Utilizando um transferidor, encontramos as seguintes medidas: ˆ ) 5 458 a) med (ABC ˆ ) 5 1308 b) med (GHI ˆ ) 5 208 c) med (JLM ˆ ) 5 1308 d) med (NOP ˆ ) 5 208 e) med (DFE ˆ ) 5 908 f) med (QRS ˆ . ˆ  NOP ˆ  JLM ˆ e GHI 7. DFE ˆ são 8. Sabendo que os ângulos AÔB e MPQ congruentes e ainda que

Exercícios, página 195. 1. a)

18’ Como 1’ 5 60’’, temos: 18 ? 60 5 1 080 R 1 080’’ Logo, 18’ 5 1 080’’.

b)

2’ 15’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 2 ? 60 5 120 R 120’’ Logo, 2’ 15’’ 5 120’’ 1 15’’ 5 135’’.

c)

38 Como 18 5 60’ e 1’ 5 60’’, temos: 18 5 60 ? 60 5 3 600 R 3 600’’ Logo, 38 5 3 ? 3 600 5 10 800’’.

155


2. a)

408 Como 18 5 60’, temos: 40 ? 60 5 2 400 R 2 400’ Logo, 408 5 2 400’.

b)

128 37’ Como 18 5 60’, temos: 12 ? 60 5 720 R 720’ Logo, 128 37’ 5 720’ 1 37’ 5 757’.

c) 2 040’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 2 040 ; 60 5 34 R 34’ 2040 60

240 34 00 Logo, 2 040’’ 5 34’.

a)

5 710’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 5 710 ; 60 5 95’ 10’’ 5710 60

310 95 → 60 ? 95 1 10 10 95’ R Como 18 5 60’, temos: 95 ; 60 5 18 35’ 95 60

35 1 → 60 ? 1 1 35 Logo, 5 710’’ 5 95’ 10’’ 5 18 35’ 10’’.

b)

53 400’’ Como 1’ 5 60’’, temos: 53 400 ; 60 5 890’ 53400 60

540 890 → 60 ? 890 000 890’ R Como 18 5 60’, temos: 890 ; 60 5 148 50’ 890 60

724’ 31’’ R Como 18 5 60’, temos: 724 ; 60 5 128 4’ 724 60

124 12 → 60 ? 12 1 4 4 Logo, 43 471’’ 5 724’ 31” 5 128 4’ 31’’.

4. Para comparar as medidas, devemos trabalhar em uma mesma unidade, daí vem: a) 1 080’ Como 18 5 60’, temos: 1 080 ; 60 5 188 1080 60 480 18 → 60 ? 18 00 Logo, 208 é maior que 1 080’, pois 1 080’ 5 188. b) 720’ Como 18 5 60’, temos: 720 ; 60 5 128 720 60

3.

120 12 00 Logo, 128 e 720’ são iguais, pois 720’ 5 128.

5. Simplificando as medidas, vem: 20’’ a) 80 ’’ 5 1’ 20’’, pois 1’ 5 60’’ .  1’ 25’’ b) 12’ 145’’ 5 14’ 25’’, pois 1’ 5 60’’.  2’ 20’ c) 200 ’ 5 38 20’, pois 1° 5 60’.  38 30’’

31’

d) 18 90’ 90 ’’ 5 18 91’ 30’’ 5 28 31’ 30’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. 290 14 → 60 ? 14 1 50  1’  18 30’’ 31’ 50 18 90’ 90 ’’ 5 18 91’ 30’’ 5 28 31’ 30’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. Logo, 53 400’’ 5 890’ 5 148 50’.  1’  18 40’’ c) 43 471” 5 8 100 ’’ 5 58 1’ 40’’, pois 1’ 5 60’’ . e) Como 1’ 5 60’’, temos:  1’ 43 471 ; 60 5 724’ 31’’ 43471 60 10’’ 1’

156

147 724 → 60 ? 724 1 31 f) 88 120’ 70 ’’ 5 88 121’ 10’’ 5 108 1’ 10’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’. 271  1’  28 10’’ 1’ 31 88 120’ 70 ’’ 5 88 121’ 10’’ 5 108 1’ 10’’, pois 18 5 60’ e 1’ 5 60’’.  1’

 28


h) (418 50’ 14’’) ; 2 41º 50' 14'' 2 1°1 60’ 208 55’ 7’’

Exercícios, página 196 a 197. 1. a) 138 12’ 1 418 10’ 20’’ 138 12’ 00’’ 1 418 10’ 20’’ 548 22’ 20’’ Logo, 138 12’ 1 418 10’ 20’’ 5 548 22’ 20’’.

b) 358 20’ 2 108 15’ 30’’ 19’ 60’’  358 20' 00’’ 358 19’ 60’’ 2 108 15’ 30’’  2 108 15’ 30’’ 258 4’ 30’’ Logo, 358 20’ 2 108 15’ 30’’ 5 258 4’ 30’’.

c) 908 2 378 40’ 20’’ 59’ 60’’ 898 60’   908 00’ 00’’ 898 60' 00’’ 898 59’ 60’’ 2 378 40’ 20’’  2 378 40’ 20’’  2 378 40’ 20’’

528 19’ 40’’ Logo, 908 2 378 40’ 20’’ 5 528 19’ 40’’. d) 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 468 61’ 62’’ 2’’ 2’ 468 61’ 62'' 5 468 62' 2’’ 5 478 2’ 2’’  1’  18 Logo, 348 51’ 12’’ 1 128 10’ 50’’ 5 478 2’ 2’’.

e) 2 ? (508 19’) 508 19’ 3 2 1008 38’ Logo, 2 ? (508 19’) 5 1008 38’. f) 4 ? (108 24’ 45’’) 2

108 24’ 45'' 3 4 408 96’ 180’’ 00’’ 39’ 408 96’ 180'' 5 408 99' 5 41o 39’  3’  18 Logo, 4 ? (108 24’ 45’’) 5 418 39’.

g) (278 36’ 33’’) ; 3 27° 36' 33'' 3 00 00 00 98 12’ 11’’ Logo, (278 36’ 33’’) ; 3 5 98 12’ 11’’.

110’ 0 14’’ 0 Logo, (418 50’ 14’’) ; 2 5 208 55’ 7’’. i) 1808 2 548 12’ 49’’ 598 60’ 1798 60’   1808 00’ 00’’ 1798 60' 00’’ 1798 59’ 60’’ 2 548 12’ 49’’  2 548 12’ 49’’  2 548 12’ 49’’

1258 47’ 11’’ Logo, 1808 2 548 12’ 49’’ 5 1258 47’ 11’’.

j) 5 ? (28 55’ 30’’) 28 55’ 30’’ 3 5 108 275’ 150’’ 30’’ 37’ 108 275’ 150'' 5 108 277’ 30’’ 5 148 37’ 30’’  2’  48 Logo, 5 ? (28 55’ 30’’) 5 148 37’ 30’’.

2. a) 158 12’ 35’’ 1 278 18’ 1 138 51’ 30’’ 158 12’ 35’’ 278 18’ 00’’ 1 138 51’ 30’’ 558 81’ 65’’ 5”

22’

558 81’ 65 ” 5 55° 82’ 5’’ 5 568 22’ 5’’ 1°  1’ Logo, 158 12’ 35’’ 1 278 18’ 1 138 51’ 30’’ 5 5 568 22’ 5’’. b) (508 2 158 20’) ; 5 49°  60 ' 50 ° 00' 49° 60 ' → 2 15° 20 ' 2 15° 20 ' 34°40 ' 34°

40 ' 5

 1 240 6° 56 ' 4° 280 0 Logo, (508 2 158 20’) ; 5 5 68 56’. c) 2 ? (188 15’ 1 308 27’ 40’’) 2 818 17’ 30’’ 188 15’ 00’’ 488 42’ 40’’ 1 30o 27’ 40’’ 3 2 488 42’ 40’’ 968 84’ 80’’

157


968 84’ 80’’ 2 818 17’ 30’’ 158 67’ 50’ 7’77 ’’

15 15 15 8 88 67 50 ” ”5 ”55 16 16 16 8 8787 ’750 ’ ’50 50 ” ”” 67 67 ’ 50 ’ ’50

 1811 88

Logo, 2 ? (188 15’ 1 308 27’ 40’’) 2 818 17’ 30’’ 5 5 168 7’ 50’’. 3. A metade de 158 19’ 10’’ é: 158158 19’19’ 10”10” 2 2 1 60’ 1 60’ 78 39 78 ’39 35’ ”35”   18 1879’79’ 10”10” 11  60”  60”

7. Se dois ângulos somados medem 808, e um deles mede 278 18’ 14’’, o outro ângulo mede: 808 2 278 18’ 14’’ 5 59’ 60’’ 798 60’   80° 00’ 00’’ 798 60' 00’’ 798 59’ 60’’ 2 278 18’ 14’’  2 278 18’ 14’’  2 278 18’ 14’’

8. Se x representa cada uma das medidas a, b, c e d, escrevemos: a 1 b 1 c 1 d 5 4428 x 1 x 1 x 1 x 5 4428 4x 5 4428

1’ 1’

4428 4 x 51108 30’

70”70”

x5

Logo, a metade de 158 19’ 10’’ é 78 39’ 35’’.

4428 4  28 120’ 1108 30’ 0

4. Sendo a terça parte do ângulo 98 29’ 5’’, o ângulo procurado será: 98 29’ 5’’ 3 3 278 87’ 15’’

Logo, a, b, c e d valem 1108 30’.

27' 27'

'15’’ 278 8787 ' 5 288 27’ 15’’ 18 18

Logo, o ângulo é 288 27’ 15’’. 5. Dividindo 1458 em 4 partes, vem: 1458 4 18 60' 368 15' 0

2 de 378 40’, vem: 3

378 40’ 3 2 748 80’ 758 20’

20’

0

158

598 20’ 00’’ 1 358 50’ 20’’ 948 70’ 20’’

18

3

2 de 378 40’ é 258 6’ 40’’. 3

1418 35’

10. Sendo a soma das medidas dos ângulos Â, Bˆ e Cˆ igual a 1808, podemos escrever: 598 20’ 1 358 50’ 20’’ 1  5 1808 948 70’ 20’’ 1  5 180o  5 1808 2 948 70’ 20’’  5 1808 2 958 10’ 20’’  5 848 49’ 40’’

748 80’ 5 758 20’

0 20’ 258 6’ 40”  2’ 120”

Logo,

9. A soma de x com 388 25’ é igual a 1808, daí vem: x 1 388 25’ 5 1808 x 5 1808 2 388 25’ x 5 1418 35’ 1798 60’ 1808 00’ 1798 60’ 2 388 25’  2 388 25’ Logo, x 5 1418 35’.

Logo, dividindo 1458 por 4, encontramos 36° 15’’. 6. Calculando

528 41’ 46’’ Logo, o outro ângulo mede 528 41’ 46’’.

10’

948 70’ 20” 5 958 10’ 20” 18

1798 60’ 59’ 60” 180° 00’ 00’’ 1798 60' 00’’ 1798 59’ 60’’ 2 958 10’ 20’’  2 958 10’ 20’’  2 958 10’ 20’’

848 49’ 40’’

Logo, o ângulo  mede 848 49’ 40’’.


1. Utilizando um transferidor para determinar a medida do ângulo, concluímos que a lancha deve girar 308 para a direita para atracar no cais. 2. Mesmo utilizando a lente de aumento, o ângulo continuará medindo 308, pois permanece com a mesma abertura.

39 – ângulos consecutivos e ângulos adjacentes

Construindo os ângulos, vem: a) 458 Bissetriz de 458

bissetriz

b) 308

Bissetriz de 308

30�

bissetriz

c) 758

Bissetriz de 758

bissetriz

75�

Logo, cada ângulo obtido mede 378 30’. 4. Um ângulo raso tem 1808, então sua bissetriz terá: 0 908

Chegou a sua vez!, página 201.

45�

758 2  18 60 ' 378 30 ' 0

1808 2

40 – Bissetriz de um ângulo

3. A bissetriz divide um ângulo em duas partes iguais. Daí vem:

Ilustrações: Editoria de arte

Desafio!, página 197.

Logo, traçando a bissetriz de um ângulo raso, encontramos dois ângulos de 908. 5. De acordo com a figura, vem:  med (MÔB) 5 med (AÔM) 5 238, pois OM é bissetriz de AÔB.  med (AÔB) 5 2 ? med (MÔB), pois OM é bissetriz de AÔB. med (AÔB) 5 2 ? 23° 5 468 Logo, med (AÔM) 5 238 e med (AÔB) 5 468. 6. De acordo com a figura, vem:  med (AÔN) 5 med (NÔB) 5 158, pois ON é bissetriz de AÔB.  med (BÔM) 5 med (MÔC) 5 20o, pois OM é bissetriz de BÔC. med (AÔC) 5 med (AÔN) 1 med (NÔB) 1 1 med (BÔM) 1 med (MÔC) med (AÔC) 5 158 1 158 1 208 1 208 5 708 Logo, a medida do ângulo é 708. 7. Resposta em aberto.

d) 1208

Bissetriz de 1208

41 – Â  ngulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso

bissetriz

120�

Desafio!, página 204.

Exercícios, página 202. 1. Existem várias possibilidades de resposta. Uma delas seria: AÔB e BÔC são ângulos consecutivos. 2. De acordo com a figura, vem: a) AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. ˆ e D BC ˆ são ângulos adjacentes. b) A BD

Na foto 1, o ângulo em destaque é reto. Na foto 2, o ângulo em destaque é maior que um ângulo nulo e menor que um reto; logo, é um ângulo agudo. Na foto 3, o ângulo em destaque é maior que um ângulo reto e menor que um ângulo raso; logo, é um ângulo obtuso. Chegou a sua vez!, página 205. Resposta em aberto.

159


y5

1. a) Cada uma das partes indica um ângulo de 1808. b) Recortando ao meio as duas figuras do item anterior, encontramos ângulos de 908. 2. De acordo com as dobraduras do círculo, vem: a) Um ângulo de 1808 determina metade do círculo. b) A quarta parte do círculo determina um ângulo de 908. c) Dividindo o círculo em oito partes iguais, formamos ângulos de 458.

Ilustrações: Editoria de arte

3608 4 y 5 90° Assim, temos: Joaquina R y R 90° Joana R 2y R 2 ? 90° 5 180° y 908 R Jussara R 5 458 2 2 y 908 5 458 Júlia R R 2 2 Portanto, podemos construir o seguinte gráfico:

Tratando a informação, página 206 a 207.

Jussara Júlia

3. Possível resposta:

Joana Joaquina 180� 90� 45�

42 – Â  ngulos complementares e ângulos suplementares

45�

4. 1 dobra R divide o círculo em 2 partes iguais; 2 dobras R divide o círculo em 4 partes iguais; 3 dobras R divide o círculo em 8 partes iguais; 4 dobras R divide o círculo em 16 partes iguais. Logo, para dividir o círculo em 16 partes iguais, serão necessárias no mínimo 4 dobras.

Exercícios, página 210. 1.

Medida do ângulo que cada parte representa

2

1808

4

908

8

458

16

22,58 ou 228 30’

y 2

Júlia R

y 2

A soma de todas essas partes corresponde a 3608 em um círculo; logo, escrevemos: y y 2y 1 y 1 1 5 3608 2 2 2y 3y 1 5 360o 2 3y 1 y 5 360° 4y 5 360°

160

a) b) c)

Suplemento de 908 R 1808 2 908 5 908 Suplemento de 1508 R 1808 2 1508 5 308 Suplemento de 188 43’ R 1808 2 188 43’ 5 5 1618 17’

3.

6. Possível resposta: Se considerarmos que Joaquina ganhou y, podemos escrever: Joana R 2y Jussara R

Complemento de 88 R 908 2 88 5 828 Complemento de 358 18’ R 908 2 358 18’ 5 5 548 42’ Complemento de 898 R 908 2 898 5 18

2.

5. Fazendo a tabela, vem: Número de partes em que o círculo foi dividido

a) b) c)

a) Complemento do ângulo R 908 2 x b) Suplemento do ângulo R 1808 2 x c) Metade do suplemento do ângulo R 1808 2 x R 2 d) O quíntuplo do suplemento desse ângulo R 5 ? (1808 2 x) 4. Complemento de 578 R 908 2 578 5 338 Metade de 338 R 338 ; 2 5 16,58 ou 168 30’ Logo, a metade do complemento de 578 é 168 30’. 5. Sabemos que dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 908. Logo, o ângulo cuja medida é igual à medida do seu complemento será a bissetriz de 908, portanto 458.


6. a) Como os ângulos são adjacentes complementares, escrevemos: 358 1 x 5 908 x 5 908 2 358 x 5 558 b) Como os ângulos são adjacentes suplementares, escrevemos: x 1 1408 5 1808 x 5 1808 2 1408 x 5 408 c) Como os ângulos são adjacentes suplementares, escrevemos: x 1 1408 5 1808 2 x 2808 3608 1 5 2 2 2 d)

x 1 280° 5 360° x 5 360° 2 280° x 5 80° Como os ângulos são adjacentes complementares, escrevemos: 3x 1 2x 5 90° 5x 5 90° 908 x5 5 x 5 18°

7. Como os ângulos são complementares, escrevemos: x 2x 2 308 1 1 368 5 908 3 x 2x 1 1 68 5 908 3 6x x 188 2708 1 1 5 3 3 3 3 6x 1 x 1 18o 5 270o 7x 5 270° 2 18° 7x 5 252° 2528 x5 7 x 5 36° Logo, o valor de x é 368.  8. med (BÔP) 5 med (PÔC) 5 658, pois OP é bissetriz de BÔC. Como os ângulos BÔC e AÔC são suplementares, escrevemos: 658 1 658 1 med (AÔC) 5 1808 med (AÔC) 5 1808 2 1308 med (AÔC) 5 508 Logo, med (AÔC) 5 508.

9. Chamando o ângulo de x, podemos indicar o triplo da medida de seu complemento por 3 ? (908 2 x) e escrever: 3 ? (90°2 x) 5 111° 270° 2 3x 5 111° 23x 5 111° 2 270° 23x 5 2159° ? (21) 3x 5 159° 1598 x5 3 x 5 53° Logo, a medida desse ângulo é 538. 10. Chamando o ângulo procurado de x, como os ângulos são suplementares, escrevemos: x 1 938 50’ 5 1808 x 5 1808 2 938 50’ x 5 868 10’ Logo, o outro ângulo mede 868 10’. 11. Chamando o ângulo de x, o triplo da medida de seu suplemento será 3 ? (1808 2 x); assim, temos: 3 ? (180°2 x) 5 x 540° 2 3x 5 x 23x 2 x 5 2540° 24x 5 2540° ? (21) 4x 5 540° 5408 x5 4 x 5 135° Logo, o ângulo mede 1358.  12. med (AÔB) 5 med (BÔC) 5 x, pois OB é a bissetriz de AÔC. Como AÔD e DÔE são suplementares, escrevemos: x 1 x 1 90° 1 40° 5 180o 2x 1 130° 5 180o 2x 5 1808 2 130° 2x 5 508 508 x5 2 x 5 258 Logo, a medida de x é 258.

43 – Ângulos opostos pelo vértice Exercícios, página 213. 1. a) De acordo com a figura, os pares de ângulos congruentes são: x e z, w e y, pois são opostos pelo vértice.

161


b) De acordo com a figura, os pares de ângulos suplementares são: x e y, y e z, z e w, w e z, pois são ângulos adjacentes suplementares.

2. Os outros ângulos formados são 458, 1358 e 1358, pois 458 é oposto pelo vértice a 458, e 1358 é suplementar a 458. Logo, os três ângulos formados por essas retas são 458, 1358 e 1358.

3. Nas figuras os ângulos destacados são postos pelo vértice; assim, temos: a) 3x 2 608 5 2x 3x 2 2x 5 608 x 5 608 b) 5x 2 98 5 2x 1 15° 5x 2 2x 5 15° 1 9° 3x 5 24° 248 x5 3 x 5 8° 4. Como os ângulos são opostos pelo vértice, podemos escrever: 6x 2 218 5 3x 1 40° 6x 2 3x 5 40° 1 21° 3x 5 61° 61o x5 3 x 5 20° 20’ 618 3 18 60 ' 208 20 ' 0 Logo, a medida de x é 208 20’. 5. a) x 1 1108 5 1808 (x e 110° são ângulos suplementares.) x 5 1808 2 1108 x 5 708 Se x 5 708, então a 5 708, pois a e x são ângulos opostos pelo vértice. Se o ângulo oposto a y é 110°, então y 5 1108. Logo, a 5 708, x 5 708 e y 5 1108. b) x 5 458, pois o ângulo x é oposto pelo vértice ao ângulo de 45° indicado na figura. y 1 458 5 1808 (y e 45° são ângulos suplementares.) y 5 1808 2 458 y 5 1358 a 1 908 5 1808 (a e 90° são ângulos suplementares.)

162

a 5 1808 2 908 a 5 908 Se a 5 908, então b 5 908, pois a e b são ângulos opostos pelo vértice. Logo, x 5 458, y 5 1358, a 5 908 e b 5 908. Brasil real, páginas 213 e 214.

a) Resposta em aberto. b) Resposta possível: • Na Praça dos Viajantes, Londrina (PR). • Relógio de sol equatorial, em Santa Catarina. • Relógio de sol de Areia Preta, em Natal (RN). • Relógio solar de reclinação Sul, Oficina Cerâmica Francisco Brennand, em Recife (PE). • No Mosteiro de São Bento (1847), na cidade do Rio de Janeiro. • Na Igreja de Santo Antônio (1712), em Tiradentes (MG). • Na Praça Nossa Senhora da Conceição (1886), em Franca (SP). • Na Praça Tiradentes (1857), na cidade de Curitiba (PR). • Em Sobral (CE), de 1989. • Em Tefé (AM), de 1991. • Em Feira de Santana (BA), de 1993. c) Do texto, temos que, a cada 1 hora, o Sol se desloca 15 graus; assim: • em 2 horas R 2 ? 158 5 308. • em 5 horas R 5 ? 158 5 758. • em 8 horas R 8 ? 158 5 1208. • em 12 horas R 12 ? 158 5 1808. • em 18 horas R 18 ? 158 5 2708. Retomando o que aprendeu, página 215. 1. Alternativa b. Como o ângulo é 228 30’, seu dobro será: 228 3 448

30’ 2 60’

00

448 60 ’5 458  18

Logo, o ângulo mede 458. 2. Alternativa c. Como os ângulos são congruentes, escrevemos: 9x 2 438 5 7x 1 318 9x 2 7x 5 31° 1 438 2x 5 748


748 2 x 5 378 Logo, o valor de x é 378.

Logo, cada um dos ângulos obtidos medirá 148 17’ 55’.

x5

3. Alternativa a. Escrevendo 278 58’ 120’’ na sua forma mais simples, temos: 00”

7. Alternativa d. 3 med (AÔB), temos: Como mede (AÔC) 5 4 3 med AÔC 5  248 12’ 36’’ 4 248 12’ 36’’ 3 3 728 36’ 108’’

00’

278 58’ 120” 5 278 60’ 5 288  2’

 18

Logo, a forma mais simples do ângulo será 288.

med (AÔC) 5

4. Alternativa e. De acordo com o enunciado, temos: med (AÔC) 5 med (AÔB) 1 med (BÔC) med (AÔC) 5 258 1 47’ 28’’ 1 138 1 26’ 52’’ med (AÔC) 5 388 1 73’ 80’’ 258 47’ 28’’ 1 138 26’ 52’’ 388 73’ 80’’ 20”

)

(

48”

728 36’ 108’’ 4

728 36’ 108” 5 728 37’ 48”  18

728 37’ 48’’ 4 48” 4

med (AÔC) 5

728 37’ 1’1 60” 188 9’ 27” 0 108” 0

14’

388 73’ 80” 5 388 74’ 20” 5 398 14’ 20”

med (AÔC) 5188 9’ 27’’

Logo, o ângulo AÔC mede 398 14’ 20’’.

Da figura, temos: med (BÔC) 5 med (AÔB) 2 med (AÔC) 5 5 248 12’ 36’’ 2 188 9’ 27’’

 18

 1’

5. Alternativa a. Como A 5 358 1 58’ 1 (808 53’ 2 528 27’), temos: A 5 358 1 58’ 1 (288 26’) A 5 358 1 58’ 1 288 26’

248 12’ 36’’ 2 188 9’ 27’’ 68 3’ 9’’ Logo, med (BÔC) 5 68 3’ 9’’.

24’

A 5 638 1 84’ 5 648 24’  1°

808 2 528 288 358 1 288 638

4

1

5 3’ 27’ 26’

8. Alternativa c. 528 10’ 2 (818 50’ 2 358 10’) 5 5 528 10’ 2 (468 40’) 5 5 528 10’ 2 468 40’ 5 5 58 30’ 818 2 358 468

58’ 26’ 84’

Logo, A 5 648 24’. 6. Alternativa b. Dividindo 718 29’ 35’’ em cinco ângulos congruentes, temos: 718 29’ 35’’ 5  18 160’ 148 17’ 55’’ 89’ 35’’ 4’ 1240’’ 275’’ 0

50’ 10’ 40’

518 60’ 528 10’ 518 70’ 2 468 40’  2 468 40’

58 30’ Logo, multiplicando 6 por 58 30’, temos: 0’ 58 30’ 30 8 180 ’ 5 338 3 6  38 308 180’ Portanto, seis vezes o valor da expressão resulta em 338.

163


9. Alternativa b. O complemento de 378 28’ 50’’ é: 908 2 378 28’ 50’’ 59’ 60’’ 898 60’ 90°°° 00 00’’’ 00 00””” 898 60’ 00’’ 898 59’ 60’’ 90 00 00 90 2 378 28’ 50’’  2 378 28’ 50’’  2 378 28’ 50’’

528 31’ 10’’ Sendo 908 2 378 28’ 50’’ 5 528 31’ 10’’, então, o dobro do valor será: 2’ 528 31’ 10’’ 104 8 62 ’ 20” 5 1058 2’ 20” 3 2  18 1048 62’ 20’’ Logo, o ângulo é 1058 2’ 20’’.

10. Alternativa c. Com base no enunciado, temos: Ângulo desconhecido R x Terça parte da medida do suplemento 180o 2 x . desse ângulo R 3 Como a soma desses dois ângulos é 948, escrevemos: 1808 2 x x1 5 948 3 3x 1808 2 x 2828 1 5 3 3 3 3x 1 18082 x 5 2828 2x 5 2828 2 1808 2x 5 1028 1028 x5 2 x 5 518 Logo, a medida desse ângulo é 518. 11. Alternativa d. Como os ângulos são adjacentes suplementares, temos: 5x 1 2x 1 688 5 1808 7x 5 1808 2 688 7x 5 1128 1128 x5 7 x 5 168 Sendo os ângulos 5x e 2x 1 688, obtemos: 5 ? 16 5 808 2 ? 168 1 688 5 328 1 688 5 1008 Logo, o maior desses dois ângulos é 1008. 12. Alternativa e. De acordo com a figura, temos: 508 5 x 1 208 (Ângulos opostos pelo vértice.) x 1 208 5 508 x 5 50o 2 20o

164

x 5 30o 508 1 y 5 1808 (Ângulos adjacentes suplementares.) y 5 1808 2 508 y 5 1308 Logo, y 2 x 5 1308 2 308 5 1008. 13. Alternativa d. De acordo com a figura, temos: 1508 1 x 5 1808 (Ângulos adjacentes suplementares.) x 5 1808 2 1508 x 5 308 x 1 y 5 1508 (Ângulos opostos pelo vértice.) 30 1 y 5 1508 y 5 1508 2 308 y 5 1208 Logo, o valor de y é 1208. 14. Alternativa a. Como os ângulos são opostos pelo vértice, podemos escrever: a 5 b R 3x 2 208 5 2x 1 108 3x 2 2x 5 108 1 208 x 5 308 Então, temos: a 5 3x 2 208 a 5 3 ? 308 2 208 a 5 908 2 208 a 5 708 b 5 2x 1 108 b 5 2 ? 308 1 108 b 5 608 1 108 b 5 708 Logo, o valor de a 1 b 5 708 1 708 5 1408. 15. Alternativa c. De acordo com a figura, temos: med (BÔE) 5 208  med (DÔE) 5 med (BÔE) 5 208, pois OE é bissetriz de DÔB. med (CÔD) 5 908 med (BÔC) 5 med (BÔE) 1 med (DÔE) 1 1 med (CÔD) med (BÔC)5 208 1 208 1 908 5 1308 Como os ângulos AÔC e BÔC são suplementares, temos: med (AÔC) 1 med (BÔC) 5 1808 med (AÔC) 1 1308 5 1808 med (AÔC) 5 1808 2 1308 med (AÔC) 5 508 Logo, o ângulo AÔC mede 508.


Estudando triângulos e quadriláteros 44 – Reconhecendo triângulos

6.

45 – Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo Exercícios, páginas 220 e 221. 1. Fazendo as medições dos lados dos triângulos, temos: a) Como AB  AC, AB  BC e AC  BC, o triângulo é escaleno. b) Como AB  AC  BC, o triângulo é equilátero. c) Como AB  AC, o triângulo é isósceles. 2. Fazendo as medições dos ângulos dos triângulos, temos: a) Todos os ângulos são menores que 908, logo o triângulo é acutângulo. b) O triângulo possui um ângulo de 908, logo o triângulo é retângulo. c) O triângulo possui um ângulo maior que 908 e menor que 1808; logo, o triângulo é obtusângulo. 3. Chamando o terceiro ângulo de x, podemos escrever: x 1 358 1 558 5 1808 x 5 1808 2 358 2 558 x 5 908 Logo, o terceiro ângulo mede 908. 4. Não, pois a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 1808. 5. Sendo x a medida do ângulo desconhecido, podemos escrever: x 1 x 1 508 5 1808 2x 5 1808 2 508 2x 5 1308 1308 x5 2 x 5 658 Logo, a medida dos ângulos congruentes é 658.

a) Como 458, 908 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: 458 1 908 1 x 5 1808 x 5 1808 2 1358 x 5 458 b) Como x, x e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: x 1 x 1 x 5 1808 3x 5 1808 1808 x5 3 x 5 608 c) Como 608, 388 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: 608 1 388 1 x 5 1808 x 5 1808 2 988 x 5 828 d) Como x 1 1, x 1 2 e x são as medidas dos ângulos internos do ABC, temos: x 1 18 1 x 1 28 1 x 5 1808 3x 5 1808 2 38 3x 5 1778 177o x5 3 x 5 598 Desafio!, página 221. Resposta em aberto. Chegou a sua vez!, página 222. Resposta em aberto.

46 – Reconhecendo quadriláteros Exercícios, página 225. 1. a) De acordo com a ilustração, os paralelogramos são as figuras 1, 3 e 4, pois apresentam lados opostos paralelos dois a dois. b) Entre os paralelogramos, o retângulo é a figura 4, pois possui quatro ângulos retos. Entre os paralelogramos, o quadrado é a figura 3, pois possui os quatro lados e os quatro ângulos congruentes, todos ângulos retos.

165


c) Entre os quadriláteros desenhados, os trapézios são as figuras 2 e 5, pois possuem apenas dois lados paralelos. d) O trapézio retângulo é a figura 2, pois possui dois ângulos internos retos. 2. A união dos vértices C, M, L e C com segmentos de reta forma um triângulo equilátero, pois CM  ML  LC. A união dos vértices, A, M, L, O e A, nessa ordem, forma um quadrilátero, que é retângulo, pois possui quatro ângulos retos e os lados AM  LO e ML  AO. Logo, os polígonos formados são um triângulo equilátero e um quadrilátero, que é retângulo. Alternativa d. Brasil real, página 226. a) Resposta em aberto. b) Na 1a pintura: trapézio, retângulo e triângulos. Na 2a pintura: quadrados, triângulos, paralelogramos, trapézios e um círculo. c) Resposta em aberto.

47 – Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero Exercícios, páginas 227 e 228. 1. O quadrilátero em questão não é um paralelogramo, pois os lados opostos não são paralelos. 2. O paralelogramo em questão é um quadrado, pois ele é retângulo e losango. Daí, traçando uma de suas diagonais,

166

o quadrado ficará dividido em dois triângulos retângulos isósceles. Logo, esses triângulos são retângulos isósceles. 3. Sabendo que o retângulo possui quatro ângulos retos, ou seja, ângulos que medem 908, e sendo a, b, c e d as medidas dos quatro ângulos internos do retângulo, vem: a 5 908, b 5 908, c 5 908 e d 5 908 Daí, temos: a 1 b 1 c 1 d 5 908 1 908 1 908 1 908 5 3608 Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 3608. 4. Utilizando um transferidor, podemos verificar as seguintes medidas para a, b, c e d: a 5 608, b 5 608, c 5 1208 e d 5 1208 Daí, temos: a 1 b 1 c 1 d 5 608 1 608 1 1208 1 1208 5 5 3608 Logo, a 1 b 1 c 1 d 5 3608. Tratando a informação, página 230. Observando o mapa, temos: a) A Universidade de São Paulo se encontra delimitada por um trapézio retângulo. b) Sim, por exemplo, Rodovia Raposo Tavares e Avenida Politécnica. c) Sim, por exemplo, Rodovia Raposo Tavares, a Avenida Politécnica e a Avenida Corifeu de Azevedo Marques formam um triângulo retângulo. d) Resposta em aberto. e) Resposta em aberto. f) Não, nesse mapa não encontramos triângulos. Encontramos vários quadriláteros, entre eles o trapézio retângulo.


Razões e proporções Abertura, página 231. • De acordo com o Novo dicionário da língua portuguesa, de Aurélio Buarque de Holanda, os significados das palavras são, entre outros: Razoável  conforme à razão; moderado, comedido. Arrazoar  expor ou defender (causa, assunto, argumento etc.) alegando razões; censurar, repreender, arguir. Raciocinar  fazer raciocínio; pensar, refletir, considerar.

48 – Razão Explorando, página 233. 1. Acertos  12 e erros  20 2 12 5 8 a) Utilizando uma fração para comparar a quantidade de acertos com o total de 4 12 3 questões, vem: 5 . 20  4 5 12 b) Transformando em decimal, 20 chegamos a 0,6. c) Comparando as questões que Renata errou com o número total de questões, 4 8 2 temos: 5 . 20  4 5 8 d) Transformando em decimal, 20 chegamos a 0,4. 3 e) Como Renata acertou das questões, 5 se a atividade valesse 10 pontos no total, a pontuação obtida por Renata 2 3 seria:  10 5 6 R 6 pontos. 51 2. Como Roberto acertou 76, vem: a) Comparando o número de acertos com o total de questões, temos: 4 76 19 5 100  4 25 b) O percentual de acertos foi de 76%. 19 c) Como Roberto acertou das 25 questões, se fossem 50 testes, ele teria 2 19  50 5 38 R 38 testes. acertado: 25 1

d) Se fossem 25 testes, ele teria acertado: 1 19  25 5 19 R 19 testes. 25 1 Exercícios, páginas 236 e 237. 1. Determinando as razões, vem: 5 1 a) 5 20 4 b) Transformando 0,5 m em cm, vem: 0,5 m 5 50 cm 10 1 Logo, a razão será: 5 . 50 5 12 4 c) 5 15 5 d) Transformando 2 kg em g, vem: 2 kg 5 2 000 g 800 2 Logo, a razão será: 5 . 2000 5 e) Transformando 1 m2 em cm2, vem: 1 m2 5 1 m  1 m 5 100 cm  100 cm 5 5 10 000 cm2 10000 2 Logo, a razão será: 5 . 5000 1 f) Transformando 200 km em cm, vem: 200 km 5 20 000 000 cm Logo, a razão será: 4 1 5 5000000 20000000 2. Do enunciado, vem: número de participantes em 2006 880 11 5 5 número de participantes em 2005 800 10 Logo, a razão entre o número de participantes em 2006 e o número de 11 participantes em 2005 é . 10 3. Do enunciado, vem: comprimento 72 9 5 5 5 0,9 medida da envergadura 80 10 Logo, a razão entre o comprimento e a envergadura desse tipo de avião é 0,9. 4. Do enunciado, vem: a) A razão entre as medidas dos lados dos quadrados é: 20 2 5 30 3 b) O perímetro do quadrado 1 é dado por: 20 cm 1 20 cm 1 20 cm 1 20 cm 5 80 cm; o perímetro do quadrado 2 é dado por: 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 1 30 cm 5 120 cm

167


c) A área do quadrado 1 é 400 cm2 (20  20  400); a área do quadrado 2 é 900 cm2 (30  30  900). Daí a razão entre a área do quadrado 1 e a área do 400 4 quadrado 2 será:  900 9

8. Do enunciado vem que a razão entre o fluxo de saída e o fluxo de entrada de água expressa a eficiência do sistema. De acordo com a tabela, podemos escrever: • Sistema I  15 1 fluxo de saída     0,33 45 3 fluxo de entrada • Sistema II  fluxo de saída 10 1     0,25 fluxo de entrada 40 4

5. Tendo a equipe disputado 60 pontos e acumulado 45 pontos, podemos escrever: 45 3 pontos acumulados    0,75 60 4 pontos disputados

• Sistema III  5 1 fluxo de saída     0,125 40 8 fluxo de entrada • Sistema IV  fluxo de saída 10 1     0,5 fluxo de entrada 20 2

Logo, o índice de aproveitamento dessa equipe é 0,75. 6. De acordo com o esquema, as quantidades de lajotas são: • Total de lajotas pretas  2  20 5 40, pois há 20 colunas verticais com 2 lajotas pretas cada uma. • Total de lajotas brancas  8  20 5 160, pois há 20 colunas verticais com 8 lajotas brancas cada uma. • Total de lajotas brancas e pretas   200 lajotas (160 1 40 5 200). a) Para o revestimento serão necessárias 200 lajotas. número de lajotas pretas 40 1 b)   total de lajotas 200 5 c)

número de lajotas brancas 160 4   total de lajotas 200 5

d)

número de lajotas pretas 40 1   número de lajotas brancas 16 60 4

e) A razão obtida no item d significa que, para cada lajota preta, há 4 lajotas brancas. 7. Do enunciado vem que o índice de produtividade é a razão entre o lucro (L) e o número de funcionários (n). De acordo com a tabela, podemos escrever: L 68000   4250 • 2004  n 16 • 2005 

L 54 000   4500 n 12

L 86400   4320 • 2006  n 20 Logo, o índice de produtividade foi maior em 2005.

168

• Sistema V  5 1 fluxo de saída     0,25 20 4 fluxo de entrada Logo, entre os sistemas testados pela indústria, o que apresenta maior eficiência é o sistema IV, pois apresenta a maior razão. Brasil real, páginas 237 e 238. 1.

a) Determinando as razões entre a população estimada de 2050 e a população estimada de 2007 para os Estados Unidos e o Brasil, temos: 410 41 • Estados Unidos   300 30 250 25 • Brasil   190 19 Logo, a maior razão é a dos Estados 41 25 Unidos, pois  1,37   1,32. 30 19 b) A razão entre a população da Índia em 2007 e a previsão da população indiana 1130 113 em 2050 será de: .  1530 153 c) De acordo com a tabela, podemos fazer o seguinte gráfico: 2000

População estimada em milhões de habitantes 2007 2050

1500 1000 500 0

Índia República Popular da China

Estados Unidos

Brasil

Editoria de arte

Daí a razão entre o perímetro do quadrado 1 e o perímetro do quadrado 2 será: 80 2  120 3


d) Observando o gráfico, podemos concluir que os países que apresentam menor crescimento populacional no período dado são: República Popular da China e Brasil. 2.

a) Calculando as razões entre a produção efetiva anual de energia elétrica e a potência instalada para as usinas, temos: • Itaipu  90000000000 50000  5  7142,85 12600000 7 • Três Gargantas  84 000000000 60000  5  4615,38 18200000 13

b) Sabendo que 1 minuto 5 60 segundos, 500 25 500 segundos serão: de 5 60 3 minuto, ou seja, 8 minutos e 20 segundos. Logo, a luz do Sol leva cerca de 8 minutos e 20 segundos para chegar à Terra. 3. Se a velocidade média do veículo é 95 km/h, a cada hora ele percorrerá 95 km. Então: a) Em 1 hora, ele percorrerá 95 km. b) Em 2 horas, ele percorrerá 190 km (2 ? 95 5 190). c) Em 2 horas e meia, ele percorrerá 237,5 km (2,5 ? 95 5 237,5).

4. Calculando a velocidade média, temos: Logo, a razão é maior na usina hidrelétrica de Itaipu. 10 distância percorrida 00 m  8,33 m / s 5 velocidade média 5 tempo gasto 12 s b) Calculando a razão entre a potência distância percorrida 10 00 m instalada e a área inundada velocidade média 5 pelo 5  8,33 m / s tempo gasto 12 s reservatório para as usinas, temos: • Itaipu  12600000 28000  5  9333,33 1350 3 • Três Gargantas  18200000 4550000 5  16789,66  1084 271 Logo, a razão é maior na usina hidrelétrica de Três Gargantas.

Logo, a velocidade média de Adriano foi aproximadamente 8,33 m/s. 5. Do enunciado, temos: • Comprimento no desenho  5 cm. • Comprimento real R R 3 m 5 (3 ? 100) cm 5 300 cm.

comprimento no desenho 5 1 5 5 5 1 60 comprimento real 300 60 comprimento no desenho 5 1 escala 5 5 5 5 1 60 comprimento real 300 60 lgumas razões especiais 1 Logo, a escala utilizada foi de ou 1  60. Exercícios, página 242. 60 escala 5

49 – A

6. Do enunciado, temos: distância percorrida 51 10 km 5 5 85 km / h tempo gasto 6 h • Comprimento real R distância percorrida 51 10 km R 2 m 5 (2 ? 100) cm 5 200 cm. 5 5 85 km / h tempo gasto 6h • Escala utilizada R 1 ; 40 Logo, a velocidade média do automóvel no • Comprimento no desenho R x percurso foi de 85 km/h. comprimento no desenho escala 5 2. comprimento real a) De acordo com as informações, a Assim, temos: luz do Sol leva 500 segundos para percorrer 150 000 000 km; assim temos: 1 x 35 5 40 200 distância percorrida 15 5 0000000 km velocidade média 5 5 1 s x 5 300000 km / s 5 x tempo gasto 500 R x 5 5 cm ou 5 5 40 200 200 200 distância percorrida 15 50000000 km a5 5 5 300000 km / s 55 x tempo gasto 500 s 35 x 5 5 → x 5 5 cm Logo, a velocidade da luz no vácuo é 300 000 km/s. Logo, a largura da miniatura é 5 cm. 1. velocidade média 5

169


Brasil real, páginas 242 e 243. 1. Sabendo que distância percorrida velocidade média 5 tempo gasto e que a distância de São Paulo a Brasília é 1 150 km, podemos escrever: a) Para o tempo de 15 horas R 1150 km R 76,7 km / h 15 h b) Para o tempo de 12 horas e 30 minutos R 1150 km R 5 92 km / h 12,5 h

• Se a distância de Boa Vista a Governador Valadares é 5 064 km e o consumo de combustível foi 442 litros, temos: 5064 km  12 km / consumo médio 5 422  • Se a distância de Araraquara ao Rio de Janeiro é 694 km e o consumo de combustível 50 litros, temos: 694 km  13,9 km / consumo médio 5 50  • Se a distância de Mossoró a Vitória é 2 268 km e o consumo de combustível foi 156 litros, temos: 2268 km  14,5 km / consumo médio 5 156 

2. Com base no enunciado, temos: • Comprimento real R 408 km 5 5 (408 ? 100 000) cm 5 40 800 000 cm • Comprimento no desenho R 20,4 cm comprimento no desenho 20, 4 1 escala 5 5 5d) Se a distância de São Luís a Campina comprimento real 4 0800000 2000000 Grande é 1 530 km e o tempo para omprimento no desenho 20, 4 1 percorrê-la foi 30 horas, temos: 5 ou 1 ; 2 000 000. 5 comprimento real 40800000 2000000 d 1530 km vm 5 � vm 5 5 51 km / h Logo, a escala do mapa é 1 ; 2 000 000. t 30 h 3. Logo, a velocidade média do caminhão a) Sabendo que foi 51 km/h. velocidade média 5 distância percorrida, e) Com base no enunciado, temos: tempo gasto • Comprimento real R 2 268 km 5 d ou seja, v m 5 , temos: 5 (2 268 ? 100 000) cm 5 226 800 000 cm t • De acordo com a tabela, a distância • Comprimento no desenho R 11,34 cm de Caruaru a Fortaleza é 855 km. Se o comprimento no desenho 11,34 1 escala 5 5 5 tempo de viagem é de 11 horas, temos: comprimento real 226800000 200000 855 km comprimento no desenho 11,34 1 77,7 km / h vm 5 . ou escala 5 5 5 11 h comprimento real 226800000 20000000 • De acordo com a tabela, a distância de 1 ; 20 000 000. Brasília a Picos é 1 622 km. Se o tempo de viagem é 21 horas, temos: Logo, a escala utilizada no mapa é 1 ; 20 000 000. 1662 km 79,1 km / h. vm 5 21 h f) Com base no enunciado, temos: • De acordo com a tabela, a distância • Comprimento real R 991 km 5 de Aracaju a Anápolis é 1 800 km. Se o 5 (991 ? 100 000) cm 5 99 100 000 cm tempo de viagem é 22,5 horas, temos: • Comprimento no desenho R x 1800 80 km / h. vm 5 comprimento no desenho 1 x 22,5 escala 5 → 5 comprimento real 1000 00000 991000 b) Se a distância de Palmas a Bom Jesus 3 9,91 da Lapa é 1 598 km e a velocidade média da motocicleta é 79,9 km/h, ele comprimento no desenho 1 x percorrerá 79,9 km aescala cada5 hora. Então, → 5 → x 5 9,91 → x 5 9,91 cm comprimento real 1000 00000 99100000 para percorrer 1 598 km, ele levará: 1598 km 5 20 h. Portanto, o percurso 3 9,91 79,9 h comprimento no desenho 1 x foi feito em 20 horas. escala 5 → 5 → x 5 9,91 → x 5 9,91 cm comprimento real 1000 00000 99100000 c) Com base no enunciado, temos: distância percorrida Logo, a distância no mapa entre Chuí e consumo médio 5 litros consumido s Florianópolis é 9,91 cm.

170


c) Os estados com a população de até 1 milhão de habitantes são três: Acre, Roraima e Amapá. d) Resposta em aberto.

Chegou a sua vez!, página 244. Fazendo a pesquisa, concluímos que a densidade do ouro é douro 5 19,32 g/cm3 e da prata é dprata 5 10,49 g/cm3. Exercícios, página 245.

3.

a) Calculando a densidade demográfica para cada região, temos: 1. De acordo com o enunciado, temos: 14698878 hab. 14 kg 3 3,8 hab. • Norte R densidade demográfica 5 densidade 5 5 0 , 56 kg / dm 3860000 km2 25 dm3 14698878 hab. 5 3,8 hab./ km2 Logo, a densidade do bloco é 0,56densidade kg/dm3. demográfica 3860000 km2 2. De acordo com o enunciado, temos: 51019091 hab. 32,7 7 • Nordeste R densidade demográfica 5 8,1 g 3 1560000 km2 densidade 5 5 2 7 g cm , / 51019091 hab. 3 cm3 densidade demográfica 5 32,7 7 hab./ km2 2 1560000 km Logo, a densidade dessa pedra é 2,7 g/cm3. 78 472017 hab. 3. De acordo com o enunciado, temos: 84,3 h • Sudeste R densidade demográfica 5 930000 km2 4,3 g 3 78472017 hab. densidade 5 5 21,5 g /cm densidade demográfica 5 84,3 hab./ km2 0,2 cm3 930000 km2 Logo, a densidade desse metal é 21,5 g/cm3. 26973511 hab. 46,7 hab./ • Sul R densidade demográfica 5 4. De acordo com os dados dos bairros, 577 000 km2 temos: 26973511 hab. densidade demográfica 5 46,7 hab./ km2 125000 hab. 2 2 5208 ,3 hab / kmkm • Bairro A R densidade demográfica 5 577./000 2 24 km 125000 hab. 2 densidade demográfica 5 5208,3 hab.// km • Centro-Oeste R 24 km2 13020767 hab. 83800 hab. densidade demográfica 5 8, 0 hab./ km2 2 2 • Bairro B R densidade demográfica 5 5 5237 5 hab , ./k k m 1610000 km 2 16 km 13020767 hab. 83800 hab. 8, 0 hab./ km2 2densidade demográfica 5 2 densidade demográfica 5 5 5237 5 hab , ./k k m 1610000 km 2 16 km b) Resposta em aberto. Logo, o bairro B possui a maior densidade demográfica. Exercícios, página 249. Brasil real, página 246. 1. Escrevendo as frações na forma percentual, temos: 1. De acordo com o enunciado, temos: 13815 hab. 24, 4951 hab./ km2 • Bahia R densidade demográfica 5 564200 km2 a) 100 5 51% 13815 hab. densidade demográfica 24, 49 hab./ km2 5 564200 km2 6 10262000 habb) . 5 6% 5 51 ,52 hab./ km2 • Paraná R densidade demográfica 5 100 19200 km2 10262000 hab. 15, 4 densidade demográfica 5 5 51,52 hab./ km2 2 5 15, 4% c) 19200 km 100 Logo, a densidade demográfica da Bahia é 24,49 hab./km2 e a do Paraná é 51,52 hab./km2.

d)

2. De acordo com o mapa e sua legenda, temos: a) O estado brasileiro que atingiu 40 milhões de habitantes em 2004 foi São Paulo. b) Os estados com a população de 10 milhões a menos de 20 milhões de habitantes são quatro: Rio Grande do Sul, Minas Gerais, Rio de Janeiro e Bahia.

35

11 55 5 5 55% 20 100 35

e)

3 20

1 20 5 5 20% 5 100 3 20

171


f)

3 25 3 75 5 5 75% 4 100

3 25 3 0,375  100 5 0,375 5 5 37,5% g) 8 100 h)

7 0, 4375  100 5 0, 4375 5 5 43,75% 16 100

i)

2 0,666  100  0,666 5 5 66,6% 3 100

2. Escrevendo os números decimais na forma percentual, temos: 3 5 3% a) 0, 03 5 100 35 5 35% b) 0,35 5 100 142 5 142% c) 1, 42 5 100 62,5 5 62,5% d) 0,625 5 100 4,5 e) 0, 045 5 100 5 4,5% 22,8 5 22,8% f) 0,228 5 100 3. A figura está dividida em 25 partes iguais, das quais 9 partes estão pintadas de vermelho, ou seja, temos a razão 9 para 25. Daí:

34

9 36 5 5 36% 25 100 34

Logo, a área pintada de vermelho representa 36% da área total. 4. A equipe acumulou 34 pontos dos 40 pontos disputados, ou seja, uma razão de 34 para 40. Daí: 34 0,85  100 5 0,85 5 5 85% 40 100 Logo, o índice de aproveitamento dessa equipe foi 85%. 5. Do enunciado, temos a razão 5 para 60, pois 1 hora tem 60 minutos. Então: 5 0, 083  100  0, 083 5 5 8,3% 60 100 Logo, 5 minutos representam 8,3% de uma hora.

172

6. Do enunciado, temos a razão 19 para 200. Então: 19 0, 095  100  0, 095 5 5 9,5% 200 100 Logo, 19 pessoas representam 9,5% de 200 pessoas. 7. Podemos representar a quantidade de itens de plásticos recolhidos por meio da razão 250 para 400. Daí: 250 0,625  100 5 0,625 5 5 62,5% 400 100 Logo, a quantidade percentual de itens de plásticos recolhidos representa 62,5% do total. 8. De acordo com o gráfico, podemos representar a quantidade de jogadores que concluíram o Ensino Médio por meio da razão 68 para 112. Lembrar que o total de 68 jogadores que concluíram o Ensino Médio inclui os jogadores que possuem o superior incompleto. Temos, então: 68 0,60  100  0,60 5 5 60% 12 100 Logo, o percentual de jogadores que concluíram o Ensino Médio é aproximadamente 60%. Alternativa d. 9. Com base no enunciado, temos: a) Numeração cuja soma dos algarismos é 8: 8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71 e 80 R R 9 números. Logo, esse livro tem 9 páginas cuja soma dos algarismos é 8. b) A razão entre o número de páginas com soma dos algarismos 8 e o total de páginas é de 9 para 80. Então: 9 0,1125  100 5 0,1125 5 5 11,25% 100 80 Logo, essa numeração representa 11,25% do número total de páginas do livro. 10. Do enunciado, podemos escrever: • Total de fichas R 25 • Fichas ímpares R 13 • Fichas pares R 25 2 13 5 12 A razão entre o número de fichas pares e o total de fichas é 12 para 25. Temos, então:

34

12 48 5 5 48% 25 100 34

Logo, as fichas com números pares representam 48% do total de fichas.


11. De acordo com o gráfico, temos: a) Estudantes inscritos por área: • Engenharia → 8 1 6 5 14 • Computação → 6 1 5 5 11 Total 5 14 1 11 1 15 5 40 estudantes • Matemática → 11 1 4 5 15

Logo, o total de estudantes que se inscreveram para fazer o estágio é 40. b) A razão entre o número de estudantes de Matemática e o total de estudantes é 15 para 40. Daí: 15 0,375  100 5 0,375 5 5 37,5% 40 100

Logo, os universitários de Matemática representam 37,5% do total de inscritos. Tabela de descontos

Brasil real, página 250. 1. a) Em 1995, a participação feminina entre os pesquisadores brasileiros era 39% e em 2000 esse percentual foi para 44%. Logo, nesse período houve um aumento absoluto de 5% na participação feminina entre os pesquisadores brasileiros. b) De acordo com a tabela, a participação feminina é maior que a masculina nas áreas de: Ciências Biológicas, Ciências Humanas, Ciência da Saúde e Linguística, Letras e Artes. a) Calculando a taxa percentual de vitórias de cada piloto é: • Emerson Fittipaldi R 14 0, 0972  100  0, 0972 5 5 9,72% 100 144

23 0,113  100  0,113 5 5 11,3% 204 100

• Ayrton Senna R 41 0,255  100  0,255 5 5 25,5% 161 100 b) O melhor índice de aproveitamento foi de Ayrton Senna, com 25,5% de vitórias.

50 - Proporção Explorando, página 251. a) Fazendo a tabela, temos:

Descontos (em R$)

10

1

20

2

30

3

40

4

50

5

60

6

70

7

80

8

90

9

100

10

b) De acordo com a tabela do item anterior, temos: • Desconto para 40 litros R R$ 4,00 • Desconto para 60 litros R R$ 6,00 • Desconto para 90 litros R R$ 9,00 c) De acordo com a tabela, um desconto de R$ 10,00 corresponde a 100 litros de gasolina. d) Sendo o desconto de R$ 1,00 para cada 10 litros completos de gasolina, temos que para 420 litros de gasolina o desconto será de R$ 42,00, pois

2.

• Nelson Piquet R

Litros

3 42

1 x . 5 10 420 3 42

e) As razões estabelecidas com base na tabela são: 1 10 • Desconto de 2 reais para 20 litros R 2 1 5 10 20 • Desconto de 1 real para 10 litros R

• Desconto de 3 reais para 30 litros R 3 1 5 30 10

173


• Desconto de 4 reais para 40 litros R 4 1 R 5 40 10 • Desconto de 5 reais para 50 litros R 5 1 5 R 50 10 • Desconto de 6 reais para 60 litros R 6 1 5 R 60 10 • Desconto de 7 reais para 70 litros R 7 1 5 R 70 10

• Desconto de 8 reais para 80 litros R 8 1 R 5 80 10 • Desconto de 9 reais para 90 litros R 9 1 5 R 90 10 • Desconto de 10 reais para 100 litros R 10 1 R 5 100 10 f) Comparando as razões obtidas, 1 concluímos que são todas iguais a . 10

51 – P  ropriedade fundamental das proporções Exercícios, página 256. 1. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: a) Produto dos extremos : → 8 ? 80 5 640  8 ? 80 5 20 ? 32 Produto dos meios : → 20 ? 32 5 640  Logo, os números 8, 20, 32 e 80, nessa ordem, formam uma proporção. b) Produto dos extremos : → 1,2 ? 36 5 43,2  1,2 ? 36 5 6 ? 7,2  Produto dos meios : → 6 ? 7,2 5 43,2 Logo, os números 1,2; 6; 7,2 e 36, nessa ordem, formam uma proporção. c) Produto dos extremos : → 5 ? 2, 4 5 12 5 ? 2, 4  6 ? 1,5   Produto dos meios : → 6 ?1 1,5 5 9

Logo, os números 5; 6; 1,5 e 2,4 não formam uma proporção.

2. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: 5 3,5 5 8 x 5x 5 8 ? 3,5 5x 5 28

x5

150 6

x 5 25 Logo, a quarta proporcional dos números 6, 10 e 15 é o número 25.

x5

28 5 x 5 5,6

b) 0, 4 1,2 5 x 0,6

Logo, o valor de x é 5,6.

0,4x 5 0,6 ? 1,2

0,4x 5 0,72

3. Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos: a) 6 15 5 x 10 6x 5 10 ? 15 6x 5 150

174

x5

0,72 0, 4

x 5 1,8 Logo, a quarta proporcional dos números 0,4; 0,6 e 1,2 é o número 1,8.


4. a)

x 8 5 3 12 12x 5 3 ? 8 12x 5 24

24 x5 12 x52

x b) 10 5 7 2 ,1 7x 5 10 ? 2,1 7x 5 21

21 7 x53

x5

c) 2x 15 5 3 2 2 ? 2x 5 3 ? 15 4x 5 45 45 x5 4 x 5 11,25 d) e)

x 16 2 5 x 26 3 3 ? (x 1 6) 5 2 ? (x 2 6) 3x 1 18 5 2x 2 12 3x 2 2x 5 212 2 18 x 5 230 1 x 2 1,5 5 5 x 1 1,5 1 ? ( x 1 1,5) 5 5 ? (x 2 1,5) x 1 1,5 5 5x 2 7,5 x 2 5x 5 27,5 2 1,5 24x 5 29 ? (21) 4x 5 9 9 x5 4 x 5 2,25 1 2 x

3 4 5 1 3 3 x5 4

3 1 x5 4 6

f)

1 1  3 2

6 ? 3x 5 4 ? 1 18x 5 4 4 2 x5 5 18 9

5. Com base no enunciado, temos: 2 x 5 0,5 2 0,5x 5 2 ? 2 0,5x 5 4 4 x5 0,5 x58 Logo, serão necessários 8 ovos. 6. De acordo com o exposto, temos: 5 x 5 3 72 3x 5 5 ? 72 3x 5 360 360 x5 3 x 5 120 R x 5 120 cm ou 1,2 m Logo, a altura do bastão é 1,2 m. 7. De acordo com o exposto, temos: 1 12 5 25 x 1x 5 25 ? 12 x 5 300 R x 5 300 cm ou 3 m Logo, o comprimento real é 3 m. 8. Do exposto pelo enunciado, temos: 1 30 5 2500 x 1x 5 2 500 ? 30 x 5 75 000 R x 5 75 000 habitantes Logo, a população dessa cidade é 75 000 habitantes. 9. De acordo com o enunciado, temos: 2 x 5 5 16 5x 5 2 ? 16 5x 5 32 32 x5 5 x 5 6,4 R x 5 6,4 m/s Logo, a velocidade de A é 6,4 m/s. 10. De acordo com o enunciado, temos: 3 9 5 5 x 3x 5 5 ? 9 3x 5 45

175


45 3 x 5 15 R x 5 15 copos de água Logo, deverão ser misturados 15 copos de água. x5

11. De acordo com o enunciado, temos: • Para a medida real de 6,5 m ou 650 cm: 1 x 5 650 50 50x 5 650 ? 1 50x 5 650 650 x5 50 x 5 13 R x 5 13 cm • Para a medida real de 4,2 m ou 420 cm: 1 x 5 50 420 50x 5 420 ? 1 50x 5 420 420 x5 50 x 5 8,4 R x 5 8,4 cm Logo, as dimensões da cozinha no desenho serão 13 cm e 8,4 cm. Brasil real, página 257. 1. a) Se o interior de São Paulo tem 1 médico para 659 habitantes e a quantidade de médicos é 43 490, então a população do interior é aproximadamente: 1 43490 5 x 659 x 5 659 ? 43 490 x 5 28 659 910 R x 5 28 659 910 habitantes Logo, a população aproximada do interior de São Paulo é 28 659 910 habitantes. b) No estado de São Paulo a razão do número de habitantes por médico é 1 médico para 459 habitantes, que é maior que a dos padrões internacionais (1 médico para 1 000 habitantes). No Brasil a razão do número de habitantes por médico é 1 médico para 610 habitantes, que é maior que a dos padrões internacionais (1 médico para 1 000 habitantes). 2. A medida no mapa da Rua Maria Antônia é 3 cm e a escala do mapa é 1 ; 12 500. Daí, temos:

176

1 3 5 12500 x 1x 5 3 ? 12 500 x 5 37 500 R x 5 37 500 cm ou 375 m Logo, o comprimento real da Rua Maria Antônia é aproximadamente 375 m. 3. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 1 14,6 5 1450000 x 1x 5 14,6 ? 1 450 000 x 5 21 170 000 R x 5 21 170 000 cm ou 211,7 km Logo, a distância real entre as cidades é 211,7 km.

52 – Outras propriedades das proporções Exercícios, página 262. x 5 1. Do enunciado temos 5 e y 3 x 1 y 5 32. Aplicando as propriedades das proporções, temos: x 5 x1y 513 x1y 8 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 32, temos: 32 8 5 y 3 8y 5 3 ? 32 8y 5 96 96 y5 8 y 5 12 x 1 y 5 32 x 1 12 5 32 x 5 32 2 12 x 5 20 Logo, x 5 20 e y 5 12. a 7 5 e aplicando as propriedades b 8 das proporções, temos: a) a 1 b 5 45 a 7 a1 b 718 a1 b 15 5 → 5 → 5 b 8 b 8 b 8 Como a 1 b 5 45, temos: 45 15 5 b 8 15b 5 8 ? 45 15b 5 360

2. Sendo


b)

360 15 b 5 24 b5

a 1 b 5 45 a 1 24 5 45 a 5 45 2 24 a 5 21 Logo, a 5 21 e b 5 24. a 2 b 5 25 a 7 a2 b 728 a2 b 1 → 5 → 5 52 b 8 b 8 b 8

Como a 2 b 5 −5, temos: 5 1 2 52 b 8 2b 5 25 ? 8 2b 5 240 ? (21) b 5 40

a 2 b 5 25 a 2 40 5 25 a 5 25 1 40 a 5 35 Logo, a 5 35 e b 5 40.

3. De acordo com o exposto, temos: x y x2y x x2y x 5 → 5 → 5 5 2 522 5 3 5 Como x 2 y 5 1,5, temos: 1,5 x 5 3 5 3x 5 5 ? 1,5 3x 5 7,5 7,5 x5 3 x 5 2,5 x 2 y 5 1,5 2,5 2 y 5 1,5 2y 5 1,5 2 2,5 2y 5 21 ? (21) y51 Logo, os dois números são x 5 2,5 e y 5 1. 4. De acordo com o exposto, temos: a b c a 1 b 1c a a 1 b 1c a 5 5 → 5 → 5 8 5 2 8 1512 8 15 8 Como a soma a 1 b 1 c 5 90, temos: 90 a 5 15 8 15a 5 8 ? 90

15a 5 720 720 15 a 5 48 R a 5 48 cm

a5

Tomando as igualdades duas a duas, temos: 48 b 5 8 5 8b 5 5 ? 48 8b 5 240 240 8 b 5 30 R b 5 30 cm b5

48 c 5 8 2 8c 5 2 ? 48 8c 5 96 96 c5 8 c 5 12 R c 5 12 cm Logo, os segmentos medem a 5 48 cm, b 5 30 cm e c 5 12 cm. 5. Sendo os números x e y, temos: • Soma de dois números é 15,4 R x 1 y 5 15,4. x y • Razão R 5 7 4 Aplicando as propriedades das proporções, temos: x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 7 4 71 4 7 11 7 Como x 1 y 5 15,4, vem: 15, 4 x 5 11 7 11x 5 7 ? 15,4 11x 5 107,8 107,8 x5 11 x 5 9,8 x 1 y 5 15,4 9,8 1 y 5 15,4 y 5 15,4 2 9,8 y 5 5,6 Logo, o maior desses números é 9,8 e o menor desses números é 5,6. 6. Aplicando as propriedades das proporções, temos:

177


a)

6  x  y 55    x 2 y 5 15

x 6 x2y 6 25 x2y 1 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y 5

Como x 2 y 5 15, temos: 15 1 5 y 5 y 5 5 ? 15 y 5 75 x 2 y 5 15 x 2 75 5 15 x 5 15 1 75 x 5 90

{

}

S 5 (90, 75) b) 7  x  y 55   x 1 y 5 24 

x 7 x1y 715 x1y 12 5 → 5 → 5 y 5 y 5 y 5 Como x 1 y 5 24, temos: 24 12 5 y 5

12y 5 5 ? 24 12y 5 120 120 y5 12 y 5 10

x 1 y 5 24 x 1 10 5 24 y 5 24 2 10 x 5 14

{

}

S 5 (14, 10) c)  x y  5 3 4    x 1 y 5 35

178

x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 3 4 31 4 3 7 3 Como x 1 y 5 35, temos: 35 x 5 7 3

7x 5 3 ? 35 7x 5 105 105 x5 7 x 5 15 x 1 y 5 35 15 1 y 5 35 y 5 35 2 15 x 5 20

{

}

S 5 (15, 20) d)  x y  5 5  2  y 2 x 5 5  

x y y2x x y2x x → 5 → 5 5 2 5 522 2 3 2

Como y 2 x 5 6, temos: 6 x 5 3 2 3x 5 2 ? 6 3x 5 12 12 x5 3 x54

y2x56 y2456 y5614 y 5 10

S 5 (4, 10)

{

}

7. Conforme o enunciado, podemos escrever: • Suco de limão R x e água R y • Proporção R x 5 2 y 9 • Limonada R x 1 y 5 5,5 Aplicando as propriedades das proporções, temos: x 2 x1y 2 19 x1y 11 5 → 5 → 5 y 9 y 9 y 9 Como x 1 y 5 5,5, temos: 5,5 11 5 y 9 11y 5 9 ? 5,5 11y 5 49,5 49,5 y5 11 y 5 4,5 R y 5 4,5 litros de água


x 1 y 5 5,5 x 1 4,5 5 5,5 x 5 5,5 − 4,5 x 5 1 R x 5 1 litro de suco de limão Logo, serão necessários 1 litro de suco de limão e 4,5 litros de água. 8. De acordo com o enunciado, podemos escrever: x 1 y 5 16 R soma das idades dos dois filhos 5 x 5 R razão entre as idades 3 y Das propriedades das proporções, temos: x 5 x1y 513 x1y 8 → 5 → 5 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 16, vem: 16 8 5 y 3 8y 5 3 ? 16 8y 5 48 48 y5 8 y 5 6 R y 5 6 anos x 1 y 5 16 x 1 6 5 16 x 5 16 2 6 x 5 10 R x 5 10 anos Logo, as idades são 10 anos e 6 anos. 9. Denominando x os CDs clássicos e y os CDs de música popular, podemos escrever: x 1 y 5 45 R total de CDs x 1 R razão entre o número de CDs 5 y 4 Das propriedades das proporções, temos: x 1 x1y 114 x1y 5 5 → 5 → 5 y 4 y 4 y 4 Como x 1 y 5 45, vem: 45 5 5 y 4 5y 5 4 ? 45 5y 5 180 180 y5 5 y 5 36 R y 5 36 CDs

x 1 y 5 45 x 1 36 5 45 x 5 45 2 36 x 5 9 R x 5 9 CDs Logo, são 9 CDs clássicos e 36 CDs de música popular. 10. Chamando os bombons de nozes de x e os de frutas de y, podemos escrever: x 1 y 5 60 R total de bombons x y R razão entre os bombons 5 7 5 Das propriedades das proporções, temos: x y x1y x x1y x → 5 → 5 5 7 5 715 7 12 7 Como x 1 y 5 60, vem: 60 x 5 12 7 12x 5 7 ? 60 12x 5 420 420 x5 12 x 5 35 R x 5 35 bombons de nozes x 1 y 5 60 35 1 y 5 60 y 5 60 2 35 y 5 25 R y 5 25 bombons de frutas Logo, há nessa caixa 35 bombons de nozes e 25 bombons de frutas. 11. Chamando diesel de x e álcool de y, podemos escrever: x 2 5 R razão entre diesel e o álcool y 3 x 1 y 5 40 R total da mistura Das propriedades das proporções, temos: x 2 x1y 2 13 x1y 5 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 40, temos: 40 5 5 y 3 5y 5 3 ? 40 5y 5 120 120 y5 5 y 5 24 R y 5 24 litros de álcool

179


x 1 y 5 40 x 1 24 5 40 x 5 40 2 24 x 5 16 R x 5 16 litros de diesel Logo, há na mistura 24 litros de álcool e 16 litros de diesel.

12. Chamando a massa de alumínio de x e a massa de oxigênio de y, podemos escrever: x 7 R razão entre massas de alumínio 5 y 8 e oxigênio

x 1 y 5 51 R total de óxido de alumínio Das propriedades das proporções, temos: x 7 x1y 718 x1y 15 → 5 → 5 5 y 8 y 8 y 8 Como x 1 y 5 51, temos: 51 15 5 y 8 15y 5 8 ? 51 15y 5 408 y5

408 15

y 5 27,2 R y 5 27,2 g de oxigênio x 1 y 5 51 x 1 27,2 5 51 x 5 51 2 27,2 x 5 23,8 R x 5 23,8 g de alumínio Logo, a massa de alumínio será 23,8 g e a massa de oxigênio será 27,2 g. Brasil real, página 263. 1. a) Chamando o número de homens eleitos de x e o número de mulheres de y, podemos escrever: x 1 y 5 27 R total de unidades federativas y 1 5 R razão entre o número x 8 de mulheres eleitas e o número de homens eleitos

180

Das propriedades das proporções, temos: y1x 1 18 y1x 9 5 → 5 x 8 x 8

Como x 1 y 5 27, temos: 27 9 5 x 8 9x 5 8 ? 27 9x 5 216 216 x5 9 x 5 27 R x 5 27 homens

x 1 y 5 27 24 1 y 5 27 y 5 27 2 24 y 5 3 R y 5 3 mulheres Logo, foram eleitas 3 mulheres para o governo em 2006. b) Fazendo a pesquisa, verificamos que os estados do Brasil em que foram eleitas governadoras em 2006 foram: Rio Grande do Sul, Rio Grande do Norte e Pará. 2. O total de deputados federais é 517; desse total, 46 são mulheres. Daí a porcentagem de mulheres eleitas foi: 46 0, 089  100  0, 089 5 5 8,9% 517 100 Logo, a porcentagem de mulheres eleitas deputadas federais foi 8,9%. 3. Conforme o enunciado, temos: • Estados que não elegeram mulheres em qualquer dos cargos R 6 • Estados que elegeram 4 mulheres ou mais R 3 Logo, a razão entre os estados que elegeram 4 ou mais mulheres e os que não 3 1 elegeram mulheres é 5 . 6 2 4. Calculando 51,53% de 125 913 479: 51,53  125913479  64883216 mulheres 100 Logo, aproximadamente 64 883 216 mulheres estavam aptas a votar nas eleições de 2006. 5. De acordo com o enunciado, temos: • Não houve candidatura feminina R 9 unidades federativas • Total de unidades federativas R 27 Logo, a razão entre as unidades da Federação com nenhuma candidatura feminina e o total de unidades da 9 1 Federação é 5 . 27 3


6. Com base no enunciado, temos: E a superfície da região Sul é 199 314,9 1 281 748,5 1 95 346,2 5 • Total de candidaturas aprovadas pelo 5 576 409,6 R 576 409,6 km2. TSE R 16 038 c) A densidade demográfica é a razão • Candidaturas aprovadas de mulheres entre a população de uma região e a R 3 717 área dessa região. Daí: Daí a porcentagem de mulheres nessa 26973511 hab. 2 densidade demográfica 5 eleição foi: 2  46, 8 hab. / km 576409 6 km , 26973511 hab. 2 0,2318  100densidade demográfica 3717 5  0,2318 5 5 23,18% 2  46, 8 hab. / km 576409 6 km , 100 16038 Logo, a densidade demográfica da Logo, a porcentagem de mulheres região Sul do Brasil é 46,8 hab./km2. candidatas em 2006 foi 23,18%. d) A população da região Norte é: 669 736 1 594 587 1 3 232 330 1 Tratando a informação, páginas 264 e 265. 1 6 970 586 1 1 534 594 1 391 317 1 1 1 305 728 5 14 698 878 R 14 698 878 1. habitantes. E a área dessa região é: a) De acordo com o gráfico, o assunto 152 581,4 1 142 814,6 1 1 570 745,7 1 de maior interesse das mulheres é 1 1 247 689,5 1 237 576,2 1 224 299,0 1 Notícias do momento. 1 277 620,9 5 3 853 327,3 R 3 853 327,3 km2. b) De acordo com o gráfico, a expectativa Logo, a população e a superfície da de vida das mulheres é 74,29 anos. região Norte são, respectivamente, 14 698 878 habitantes e 3 853 327,3 km2. c) Somando as mulheres eleitas em 2004 nos cargos de vereadoras e prefeitas, e) A densidade demográfica da região temos: 6 549 1 408 5 6 957. Norte é: 14698878 hab. 2 Logo, em 2004 o total de mulheres densidade demográfica 5 2  3, 8 hab. / km 3853327 3 km , eleitas foi 6 957. 14698878 hab. 2 densidade demográfica 5 2  3, 8 hab. / km d) De acordo com o gráfico, o estado civil 3853327 3 km , da maioria das mulheres é solteira. Logo, a densidade demográfica da e) Sim, pois o número de mulheres eleitas região Norte é 3,8 hab./km2. em 2002 para deputada estadual foi f) A região que possui maior 129 e o de homens eleitos foi 906, o que superfície é a região Norte, pois corresponde a pouco mais de 7 vezes 3 853 327,3 . 576 409,6. 129. g) A região que possui a maior densidade 2. demográfica é a região Sul, pois a) Reproduzindo a tabela, temos: 46,8 . 3,8. Estado População Área (km ) Sigla Capital h) Sabemos que a densidade demográfica Acre 669 736 152 581,4 AC Rio Branco é a razão entre a população total de Amapá 594 587 142 814,6 AP Macapá uma região e a superfície dessa região. Amazonas 3 232 330 1 570 745,7 AM Manaus Logo, montando uma tabela com as Pará 6 970 586 1 247 689,5 PA Belém densidades demográficas aproximadas Paraná 10 261 856 199 314,9 PR Curitiba dos estados da região Norte e da região Rio Grande 10 845 087 281 748,5 RS Porto Alegre do Sul Sul, temos: 2

Rondônia

1 534 594

237 576,2

RO

Porto Velho

Roraima

391 317

224 299,0

RR

Boa Vista

Estados

Densidade demográfica (hab./km2)

Florianópolis

Acre

4,3

Palmas

Amapá

4,2

Amazonas

2,1

Santa Catarina Tocantins

5 866 568 1 305 728

95 346,2 277 620,9

SC TO

b) Os estados que compõem a região Sul são Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. A população dessa região é 10 261 856 1 10 845 087 1 1 5 866 568 5 26 973 511 R 26 973 511 habitantes.

Pará

5,6

Paraná

51,5

Rio Grande do Sul

38,5

Rondônia

6,5

Roraima

1,7

Santa Catarina

61,5

Tocantins

4,7

181


200d 5 3 ? 900 200d 5 2 700

i) Aproveitando os dados da tabela, elaboramos o gráfico de barras a seguir.

2700 200 d 5 13,5 Logo, o valor de d é 13,5. Alternativa a.

d5

Densidade demográfica (hab./km2)

Editoria de arte

Estados Tocantins Santa Catarina Roraima Rondônia Rio Grande do Sul Paraná Pará

4. De acordo com o enunciado, temos: 1 x 5 75 12 75x 5 1 ? 12 75x 5 12 12 x5 75 x 5 0,16 R x 5 0,16 m ou 16 cm Logo, o comprimento do muro na maquete será 16 cm. Alternativa d.

Amazonas Amapá Acre 0

10

20

30

40

50

60

70

(hab./km2)

j) Observando o gráfico, o estado que possui a maior densidade demográfica é Santa Catarina e o estado que possui a menor densidade demográfica é Roraima. Retomando o que aprendeu, páginas 266 e 267. 1. Com base no enunciado, temos: • Total de pessoas R 80   (I) • Usam óculos R 25   (II) Razão entre (II) e (I): 25 5 5 5 0,3125 80 16

distância percorrida , tempo gasto

200 m 5 8 m / s. 25 s Logo, a velocidade média desse corredor é 8 m/s. Alternativa e.

temos

d 3 e v 5 30, temos: 2 5 200 v d 3 d 3 → 5 2 5 200 900 200 (30)

182

3 ? (x 2 2) 5 1 ? (x 1 4) 3x 2 6 5 x 1 4 3x 2 x 5 4 1 6 2x 5 10 10 x5 2 x55 Logo, o quadrado de x é 25. Alternativa b. 6. Sendo x o número de homens e y o número de mulheres, temos: x 9 5 R razão entre homens e mulheres y 7 Das propriedades das proporções, temos:

2. Sabendo que

3. Se a proporção é

1 3 , aplicando a propriedade 5 x 22 x14 fundamental da proporção, temos:

x 1 y 5 320 R total de pessoas

Logo, a razão é 0,3125. Alternativa c.

velocidade média 5

5.

x 9 x1y 9 17 x1y 16 5 → 5 → 5 y 7 y 7 y 7 Como x 1 y 5 320, temos: 320 16 5 y 7 16y 5 7 ? 320 16y 5 2 240 y5

2240 16

y 5 140


x 1 y 5 320 x 1 140 5 320 x 5 320 2 140 x 5 180 Logo, o número de homens é 180. Alternativa c. 7. Com base no enunciado, temos: 1 14 5 300 x 1x 5 14 ? 300 x 5 4 200 R x 5 4 200 cm ou 42 m Logo, o comprimento real desse avião é 42 m. Alternativa b. 8. De acordo com o enunciado, podemos escrever: 2x 4 5 x 23 3 3 ? 2x 5 4 ? (x 2 3) 6x 5 4x 2 12 6x 2 4x 5 212 2x 5 212 12 x 52 2 x 5 26 2 6 5 y 15 6y 5 2 ? 15 6y 5 30 y 52

30 6

x55 Logo, x2 1 y2 5 (26)2 1 (5)2 5 36 1 25 5 61. Alternativa a. 9. De acordo com o enunciado, temos: 1 9 5 50 x 1x 5 9 ? 50 x 5 450 R x 5 450 cm ou 4,5 m 1 10 5 50 y 1y 5 50 ? 10 y 5 500 R y 5 500 cm ou 5 m Logo, as dimensões reais dessa cozinha são 4,5 m e 5 m. Alternativa b.

10. Conforme o enunciado, temos: x 6 x1y 6 15 x1y 11 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y 5 Como x 1 y 5 550, temos: 550 11 5 y 5 11y 5 5 ? 550 11y 5 2 750 2750 y5 11 y 5 250 x 1 y 5 550 x 1 250 5 550 x 5 550 2 250 x 5 330 Logo, o diâmetro da cratera de Vredefort é 300 km. Alternativa c. 11. De acordo com o enunciado, podemos montar a seguinte proporção: x y x1y x x1y x 5 → 5 → 5 11 5 11 1 5 11 16 11 Como x 1 y 5 1448, temos: 144 x 5 16 11 16x 5 144 ? 11 16x 5 1 584 1584 16 x 5 99 R x 5 998 x5

x 1 y 5 144 99 1 y 5 144 y 5 144 2 99 y 5 45 R y 5 458 Logo, x 2 y 5 998 2 458 5 548. Alternativa c. 12. Conforme o enunciado: • Distância entre A e B R 800 m 5 0,8 km • Tempo gasto R 0,025 h 0,8 km velocidade média 5 5 32 km / h 0, 025 h Logo, a velocidade média da composição nesse trecho é 32 km/h. Alternativa a. 13. Com base no enunciado, temos: 2 x 2 15 x1y 7 x1y 5 → 5 → 5 5 y 5 y 5 y

183


Como x 1 y 5 112, temos: 7 112 5 5 y 7y 5 5 ? 112 7y 5 560 560 y5 7 y 5 80 R y 5 80 mm

16. Sendo o primeiro maratonista x e o segundo, y, podemos escrever: x 2 y 5 3 R diferença entre velocidade média x 6 5 R razão entre velocidades y 5

x 1 y 5 112 x 1 80 5 112 x 5 112 2 80 x 5 32 R x 5 32 mm Logo, y − x 5 80 2 32 5 48 mm. Alternativa d. 14. Pelo enunciado, temos: a 2 a1 b 2 13 a1 b 5 → 5 → 5 5 b 3 b 3 b 3 Como a 1 b 5 908, pois o triângulo é retângulo, vem: 90 5 5 b 3 5b 5 3 ? 90 5b 5 270 270 5 b 5 54 R b 5 548 a 1 b 5 90 a 1 54 5 90 a 5 90 2 54 a 5 36 R a 5 368 Logo, essas medidas são: a 5 368 e b 5 548. Alternativa d. 15. Conforme o enunciado, podemos escrever: x R aroma de limão y R aroma de coco x 5 x1y 513 x1y 8 5 → 5 → 5 y 3 y 3 y 3 Como x 1 y 5 2 400 (total de frascos), temos:

184

Das propriedades das proporções, temos: 5 6 25 1 x x2y x2y → 5 → 5 5 6 5 5 y y y Como x 2 y 5 3, temos: x2y53 3 1 5 y 5 x 2 15 5 3 x 5 3 1 15 1y 5 3 ? 5 x 5 18 y 5 15 Logo, a velocidade média do maratonista mais veloz é 18 km/h. Alternativa b. 17. Sendo x a altura da ladeira e y o afastamento, podemos escrever: x x 10 x 1 R 5 10% → 5 → 5 y y 100 y 10 R declividade da ladeira

b5

2400 8 5 y 3 8y 5 3 ? 2 400 8y 5 7 200 7200 y5 8 y 5 900

Logo, foram adquiridos 1 500 frascos de detergente cujo aroma é limão. Alternativa d.

x 1 y 5 2 400 x 1 900 5 2 400 x 5 2 400 2 900 x 5 1 500

Como o afastamento é de 50 m, vem: x 1 5 50 10 10x 5 1 ? 50 10x 5 50 50 x5 10 x55Rx55m Logo, a altura da ladeira é 5 m. Alternativa b. 18. Sabemos que 13 km 5 1 300 000 cm, e conforme o enunciado podemos escrever: 1 x 5 500000 1300000 500 000x 5 1 ? 1 300 000 500 000x 5 1 300 000 x5

1300000 500000

x 5 2,6 Logo, o comprimento dessa estrada no mapa é 2,6 cm. Alternativa e.


Grandezas Proporcionais Introdução, página 269. Se um luthier demora 30 dias para fazer um violino, 30 luthiers demorariam 1 dia para fazer um violino.

53 – Números direta e inversamente proporcionais Explorando, página 270. 1. a) Sim, pois cada convidado que chega à festa deve levar duas garrafas de suco. b) Como cada convidado deve levar duas garrafas de suco, 6 convidados levaram 6 ? 2 5 12 garrafas de suco. c) Se tivesse chegado o dobro de convidados seriam 24 garrafas de suco. Pois, como o número de convidados dobrou, o número de garrafas de suco também dobrará. 2. De acordo com as cenas, temos: a) • cena 1 R cada pessoa receberá 12 pirulitos. • cena 2 R cada pessoa receberá 6 pirulitos. • cena 3 R cada pessoa receberá 3 pirulitos. b) Sim, pois aumentando o número de pessoas, diminuirá a quantidade de pirulitos que cada pessoa vai receber. c) Se há 3 pessoas e 12 pirulitos, cada pessoa receberá 4 pirulitos. d) Se o número de pessoas dobrar, cada pessoa receberá 2 pirulitos. Pois, dobrando o número de pessoas, o número de pirulitos recebidos reduzirá pela metade. Exercícios, página 275. 1. Fazendo a verificação se os números são diretamente proporcionais, temos: 4 1 9 1 7 1 a) 5 5 5 16 4 36 4 28 4 4 9 7 1 Como 5 5 5 , os números 16 36 28 4 4, 9 e 7 são diretamente proporcionais aos números 16, 36 e 28.

2 35 7 7 5 b) 175 10 2 50 7 2 , os números 7, 2 e 35 Como  50 175 não são diretamente proporcionais aos números 50, 175 e 10. 6 3 12 18 9 c) 5 5 14 7 7 4 2 3 12  Como , os números 6, 12 e 28 7 7 não são diretamente proporcionais aos números 14, 7 e 4. d)

2 1,5 3 2, 4 24 5 5 3 4 8 2,5 25 3 2 Como  , os números 1,5; 2 e 2,4 8 3 não são diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2,5.

2. Do enunciado, podemos escrever: x y 32 5 5 40 72 128 Daí, temos: x 32 5 40 128 128x 5 40 ? 32 128x 5 1 280 1280 x5 128 x 5 10 y 32 5 72 128 128y 5 32 ? 72 128y 5 2 304 2304 y5 128 y 5 18 Logo, x 5 10 e y 5 18. 3. Do enunciado, podemos escrever: 3x 5 12 ? 30 5 104 Daí, temos: 3x 5 12 ? 30 3x 5 360 360 x5 3 x 5 120 10y 5 12 ? 30 10y 5 360

185


360 ⇒ y 5 36 10 Logo, os valores de x e y são respectivamente 120 e 36. y5

4. Representando as parcelas por x, y e z, podemos escrever: x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 3 7 4 3171 4 3 14 3 y 1z x x 1 y 1z x 5 ⇒ 5 14 3 14 3 Como a soma das três parcelas é igual a 420, temos: 420 x 5 14 3 14x 5 3 ? 420 14x 5 1 260 1260 x5 14 x 5 90 90 y 5 3 7 3y 5 7 ? 90 3y 5 630 630 y5 3 y 5 210 90 z 5 3 4 3z 5 4 ? 90 3z 5 360 360 z5 3 z 5120 Logo, as três parcelas são x 5 90, y 5 210 e z 5 120. 5. Representando as parcelas por a, b e c, podemos escrever: 2a 5 5b 5 4c 5 x Daí, podemos tirar: 2a 5 x ⇒ a 5 x 2 x 5b 5 x ⇒ b 5 5 x 4c 5 x ⇒ c 5 4 Como a soma das três parcelas deve ser 380, temos: a 1 b 1 c 5 380 x x x 1 1 5 380 2 5 4 10x 4x 5x 7600 20 1 20 1 20 5 20

186

10x 1 4x 1 5x 5 7 600 19x 5 7 600 7600 x5 19 x 5 400 Substituindo x, obtemos: x 400 5 5 200 2 2 x 400 b5 5 5 80 5 5 x 400 c5 5 5 100 4 4 Logo, as três parcelas são 200, 80 e 100.

a5

6. Sendo a parte de Divo x e a parte de Dalva y, temos: a) Para a divisão em partes diretamente proporcionais a 8 e 5, vem: y x1y x x1y x x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 8 15 8 13 8 8

Como a soma das três parcelas é 4 550, temos: 4 550 x 5 13 8 13x 5 8 ? 4 550 13x 5 36 400 36 400 x5 13 x 5 2 800 x 1 y 5 4 550 2 800 1 y 5 4 550 y 5 4 550 2 2 800 y 5 1 750 Logo, se a divisão for feita em partes diretamente proporcionais, Divo receberá R$ 2 800,00 e Dalva receberá R$ 1 750,00.

b) Para a divisão em partes inversamente proporcionais a 5 e 2, vem: 5x 5 2y 5 k Daí, obtemos: k k 5x 5 k ⇒ x 5 e 2y 5 k ⇒ y 5 5 2 Como x 1 y 5 4 550, temos: k k 1 5 45500 2 5 5k 45550 2k 1 5 10 10 10 2k 1 5k 5 45 500 7k 5 45 500 k 5 45500 7


x 5 6 500 Substituindo k, obtemos: k 6500 x5 5 5 1300 5 5 k 6500 y5 5 5 3250 2 2 Logo, se a divisão for feita em partes inversamente proporcionais, Divo receberá R$ 1 300,00 e Dalva receberá R$ 3 250,00.

7. Sendo x a massa do cobre e y a massa do zinco, vem: x y x1y x x1y x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 7 3 713 7 10 7 Como x 1 y 5 40, temos: 40 x 5 10 7

315 3 y 5 105 y5

45 z 5 3 2 3z 5 2 ? 45 3z 5 90 90 z5 3 z 5 30 Logo, a 1a parte do treino durou 45 minutos, a 2a parte durou 105 minutos e a 3a parte durou 30 minutos.

9. Do enunciado, podemos escrever: • cimento R x • saibro R y • areia R z Daí, temos: 10x 5 7 ? 40 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 10x 5 280 1 2 4 1 12 1 4 1 7 1 280 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x x5 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 10 1 2 4 1 12 1 4 1 7 1 Como x 1 y 1 z 5 420, pois é massa total x 5 28 da mistura, vem: x 1 y 5 40 420 x 5 28 1 y 5 40 7 1 y 5 40 2 28 7x 5 1 ? 420 7x 5 420 y 5 12 420 Logo, serão necessários 28 kg de cobre e x5 7 12 kg de zinco. x 5 60 8. Do enunciado, podemos escrever: 60 y 5 • preparação física R x 1 2 • treino de jogadas R y y 5 2 ? 60 • “racha” entre os jogadores R z y 5 120 Daí, temos: 60 z x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 5 3 5 7 5 2 ⇒ 31712 5 3 ⇒ 1 4 12 3 z 5 4 ? 60 z x 1 y 1z x x 1 y 1z x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 z 5 240 2 31712 3 12 3 Logo, serão necessários 60 kg de cimento Como x 1 y 1 z 5 180, pois é o tempo total para o preparo da mistura. do treino, vem: 180 x 10. Do enunciado, podemos escrever: 5 12 3 • transporte R x 12x 5 3 ? 180 • compras R y 12x 5 540 • hospedagem R z 540 x5 Daí, temos: 12 x y z x 1 y 1z x x 1 y 1z x x 5 45 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 3 2 51312 5 10 5 45 y x 5 y 5 z ⇒ x 1 y 1z 5 x ⇒ x 1 y 1z 5 x 5 3 2 51312 5 10 5 3 7 5 3y 5 7 ? 45 Como x 1 y 1 z 5 3 000, pois é o total 3y 5 315 separado, vem:

187


3000 x 5 10 5 10x 5 5 ? 3 000 10x 5 15 000 15000 x5 10 x 5 1 500 1500 y 5 5 3 5y 5 3 ? 1 500 5y 5 4 500 4500 y5 5 y 5 900 1500 z 5 5 2 5z 5 2 ? 1 500 5z 5 3 000 3000 z5 5 z 5 600 Logo, separei R$ 1 500,00 para transporte, R$ 900,00 para compras e R$ 600,00 para hospedagem. 11. Do enunciado, podemos escrever: • prêmio de Adriano R x • prêmio de Beto R y • prêmio de Carlos R z Daí, temos: 5x 5 8y 5 4z 5 k Logo, podemos tirar: k k ; 8y 5 k ⇒ y 5 ; 5x 5 k ⇒ x 5 8 5 k 4z 5 k ⇒ z 5 4 Como o prêmio é de 460 reais, temos: x 1 y 1 z 5 460 k k k 1 1 5 460 5 8 4 8k 5k k 18 400 1 1 5 40 40 40 40 8k 1 5k 1 10k 5 18 400 23k 5 18 400 18 400 k5 23 k 5 800 Substituindo k, obtemos: k 800 x5 5 5 160 5 5

188

k 800 5 5 100 8 8 k 800 z5 5 5 200 4 4 y5

Portanto, Adriano receberá R$ 160,00; Beto receberá R$ 100,00 e Carlos receberá R$ 200,00. Brasil Real, página 276. a) Sendo a área do parque x e 95 representando 95% por , temos: 100 95 8400 100 5 x 95x 5 100 ? 8 400 95x 5 840 000 840000 x5 95 x  8842 ,1 Logo, a área aproximada do parque é de 8 842,1 metros quadrados. b) Chamando de x a quantidade de cajus produzidos por um dos cajueiros e y a quantidade de cajus do outro cajueiro, vem: x y x1y x x1y x 5 ⇒ 5 ⇒ 5 3 497 3 1 497 3 500 3 Como os dois cajueiros produzem 80 000 frutos, temos: 80000 x 5 500 3 500x 5 3 ? 80 000 500x 5 240 000 240000 x5 500 x 5 480 x 1 y 5 80 000 480 1 y 5 80 000 y 5 80 000 2 480 y 5 79 520 Logo, cada árvore produz aproximadamente 480 e 79 520 cajus. c) Resposta em aberto. Exercícios, páginas 280 e 281. 1. De acordo com a tabela, vem: 4 2 a) 5 10 5 600 2 b) 5 1500 5 c) As razões dos itens a e b são iguais.


d) Como as razões dos itens a e b são iguais, as grandezas são diretamente proporcionais. 2. De acordo com a tabela, vem: 2 1 a) 5 6 3 15 3 b) 5 5 1 c) As razões dos itens a e b são inversas. d) Como as razões dos itens a e b são inversas, as grandezas são inversamente proporcionais. 3. a) Sendo o comprimento do retângulo 40 cm e a largura 8 cm, temos: A 5 8 ? 40 5 320 cm2 Logo, a área do retângulo é 320 cm2. b) Se a largura for 6 cm, a área do retângulo será: A 5 6 ? 40 5 240 cm2 Logo, se a largura do retângulo for 6 cm a área será de 240 cm2. c) Se a largura passar de 8 cm para 6 cm, 8 4 5 a razão será: 6 3 320 4 5 d) As áreas variam na razão: 240 3 e) As razões dos itens c e d são iguais. f) Podemos verificar nos itens c e d que as razões são iguais, logo as grandezas são diretamente proporcionais. 4. De acordo com a tabela, temos: 150 3 5 a) 200 4 300 3 5 b) 400 4 c) A razões dos itens a e b são iguais. d) Podemos verificar nos itens a e b que as razões são iguais, logo as grandezas são diretamente proporcionais. 5. De acordo com a tabela, temos: 60 6 a) 5 50 5 80 5 b) 5 96 6 c) As razões dos itens a e b são inversas. d) Podemos verificar nos itens a e b que as razões são inversas, logo as grandezas são inversamente proporcionais.

Desafio!, página 282. 1. De acordo com o gráfico, as grandezas

envolvidas são: consumo de gasolina (em litros) e distância percorrida (em quilômetros). 2. De acordo com o gráfico, as grandezas são diretamente proporcionais, porque, dobrando uma delas, a outra também dobra; triplicando uma delas, a outra também triplica... e assim por diante. 3. De acordo com o gráfico, com 1 litro de gasolina, o carro percorre 15 km, como as grandezas são diretamente proporcionais, com 7 litros de gasolina, Fabrício percorrerá 7 ? 15 5 105 km. 4. Como as grandezas são diretamente proporcionais, se o carro percorrer 90 56 90 quilômetros ele consumirá 15 litros de gasolina, pois a cada 15 km ele consome 1 litro de gasolina.

54 – Regra de três simples Exercícios, páginas 284 e 285. 1. Representando por x o tempo procurado, temos: Tempo

Clientes

5

3

x

36

Se duplicarmos o atendimento, o tempo também duplicará. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: 5 x 5 3 36 3x 5 5 ? 36 3x 5 180 180 x5 3 x 5 60 Logo, Onofre vai levar 60 minutos ou 1 hora para atender os 36 clientes. 2. Representando por x a altura do edifício, temos: Altura (m)

Sombra (m)

2

0,8

x

12

Se duplicarmos a sombra, também duplicará a altura. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais.

189


Daí, temos: 0,7 x 5 600 5 ⇒ 100x 5 0,7 ? 8 000 ⇒ 100x 5 5 600 ⇒ x 5 5 56 2 x 100 8 000 100 5 0,8 12 Portanto, serão retidos 56 gramas de 0,8x 5 2 ? 12 poeira. 0,8x 5 24 6. Representando por x o comprimento 24 x5 5 30 verdadeiro do fio, temos: 0,8 Portanto, a altura do edifício é de 30 m. 3. Representando por x o número de páginas procurado, temos:

Corda (m)

Fio (m)

2

40

2,05

x

Duplicando o comprimento do fio, também duplicará o comprimento da 30 x corda. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Se duplicarmos o número de linhas, a Daí, temos: quantidade de páginas cairá pela metade. 2 2, 05 82 5 ⇒ 2x 5 40 ? 2, 05 ⇒ 2x 5 82 ⇒ x 5 5 41 Logo, as grandezas são inversamente 40 x 2 proporcionais. 2 2, 05 82 5 ⇒ 2x 5 40 ? 2, 05 ⇒ 2x 5 82 ⇒ x 5 5 41 Daí, temos: 40 x 2 30x 5 45 ? 280 Portanto, o comprimento verdadeiro do fio 30x 5 12 600 é 41 m. 12 600 x5 7. Representando por x a concentração de 30 álcool procurada, temos: x 5 420 Concentração Portanto, seriam necessárias 420 páginas. Lata de cerveja (gramas por litro) Linhas

Páginas

45

280

4. Representando por x o comprimento procurado, temos: Largura (cm)

Comprimento (cm)

3

4

10,5

x

1

0,3

5

x

Duplicando a ingestão de cerveja, também duplicará a concentração de álcool no sangue. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: 1 5 5 ⇒ x 5 5 ? 0,3 ⇒ x 5 1,5 0,3 x

Duplicando a largura, também duplicará o comprimento. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos: Portanto, a concentração de álcool no 3 10,5 42 5 ⇒ 3x 5 4 ? 10,5 ⇒ 3x 5 42 ⇒ x 5 5 14 sangue seria de 1,5 grama por litro. x 3 42 4 ,5 ⇒ 3x 5 42 ⇒ x 5 5 14 8. Representando por x a quantidade de dias 3 procurada, temos: Portanto, o comprimento da foto ampliada Comprimento (c) Dias será de 14 cm. 5. Representando por x a massa de poeira procurada, temos:

600

x

180

6

Duplicando o comprimento da rua, também duplicarão os dias trabalhados. x 8 000 Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. Duplicando o volume, também duplicará Daí, temos: o ar filtrado. Logo, as grandezas são 600 180 3 600 5 ⇒ 180x 5 6 ? 600 ⇒ 180x 5 3 600 ⇒ x 5 5 20 diretamente proporcionais. x 6 180 Daí, temos: 3 600 0,7 x 600 5 180 ⇒ 180x 5 6 ? 600 ⇒ 180x 5 3 600 ⇒5x600 5 5 56 5 20 5 ⇒ 1006x 5 0,7 ? 8 000 ⇒ 100x 5 5 600 ⇒ x 5 x 100 8 000 100 180

190

Massa (gramas)

Volume (m3)

0,7

100


Para concluir a obra serão necessários 20 dias. Como já foram trabalhados 6 dias, faltam 14 dias para concluir a obra. Portanto, o trabalho estará terminado em 14 dias. 9. Representando por x a velocidade média procurada, temos: Velocidade (km/h)

Tempo (min)

75

40

x

50

Duplicando o tempo, a velocidade cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 3000 50x 5 75 ? 40 ⇒ 50x 5 3000 ⇒ x 5 5 60 50

12. Representando por x a quantidade de caminhões procurada, temos: Caminhões

Capacidade (m3)

16

5

x

4

Duplicando a capacidade dos caminhões, a quantidade de caminhões cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 80 4x 5 5 ? 16 ⇒ 4x 5 80 ⇒ x 5 5 20 4 Portanto, seriam necessários 20 caminhões.

13. Como a velocidade média do piloto é de 153 km/h, temos que o piloto percorre 153 km a cada hora. Transformando 153 km para metros, vem 153 000 m. Daí, temos: Portanto, a velocidade média do ônibus distância percorrida 15 53000 será de 60 km/h. velocidade média 5 5 5 42,5 m/s tempo gasto 3600 10. Representando por x a distância de distância percorrida 15 53000 velocidade 5 5 42,5 m/s Brasília a Salvador, nomédia mapa,5temos: tempo gasto 3600 Real (km) Desenho (cm) Logo, a velocidade média do piloto foi de 1 600 24 42,5 m/s. 1 200

x

14. De acordo com o enunciado, o problema Duplicando a distância real, a distância no é inversamente proporcional, pois desenho duplicará. Logo, as grandezas são duplicando a quantidade de operários o diretamente proporcionais. tempo cairá pela metade. Representando Daí, temos: por x o tempo procurado, temos: 1600 1200 28800 5 ⇒ 1600x 5 1200 ? 24 ⇒ 1600x 5 28800 ⇒ x 5Operários 5 18 Dias 24 x 1 600 16 48 28800 30 x 0x 5 1200 ? 24 ⇒ 1600x 5 28800 ⇒ x 5 5 18 1 600 30x 5 25 ? 48 Portanto, no mapa a distância que separa 30x 5 1 200 Brasília de Salvador é de 18 cm. 1 200 x5 11. Representando por x a quantidade de 30 água procurada, temos: x 5 40 Comprimento (m)

Volume (litros)

8

45 000

10

x

Logo, a cobertura estaria pronta em 40 dias.

15. Como a velocidade do piloto é de 25 m/s, Duplicando o comprimento, também temos que o piloto percorre 25 metros a duplicará o volume. Logo, as grandezas são cada segundo. Transformando 25 metros diretamente proporcionais. para quilômetros, vem 0,025 km, e Daí, temos: transformando 1 segundo em hora, vem 8 10 450000 1 5 ⇒ 8x 5 10 ? 45000 ⇒ 8x 5 450000 ⇒ x 5 5 56250 45000 x 8 hora 3 600 10 450000 Daí, temos: 5 ⇒ 8x 5 10 ? 45000 ⇒ 8x 5 450000 ⇒ x 5 5 56250 x 8 3 600 0, 025 velocidade 5 5 0, 025 ? 5 90 km/h 1 1 Portanto, cabem na piscina 56 250 litros de 3 600 água. Logo, a velocidade é de 90 km/h.

191


16. De acordo com o enunciado, o problema 1,5 10,5 556,5 5 ⇒ 1,5x 5 53 ? 10,5 ⇒ 1,5x 5 556,5 ⇒ x 5 5 371 é inversamente proporcional, pois 53 x 1,5 duplicando o tempo cairá 1,5a velocidade 10,5 556,5 5 ⇒ 1,5x 5por 53 ? 10 ,5 ⇒ 1,5x 5 556,5 ⇒ x 5 5 371 pela metade. Representando x o 53 x 1,5 tempo procurado, temos: Logo, o comprimento da sombra seria de Velocidade (km/h) Tempo (horas) 371 cm ou 3,71 m. 450

4

800

x

800x 5 4 ? 450 800x 5 1 800 1 800 x5 800 x 5 2,25 Logo, o avião levaria 2,25 h ou 2h15min. 17. De acordo com o enunciado, o problema é diretamente proporcional, pois duplicando o comprimento do muro também duplicará o tempo. Como já foram construídos 14 m do muro, ainda faltam 35 m, e sendo x o tempo para construir o restante do muro, temos:

20. De acordo com o enunciado, o problema é inversamente proporcional, pois duplicando a largura o comprimento cairá pela metade. Sendo x o comprimento procurado, temos: Comprimento (m)

Largura (m)

50

1,20

x

3

60 ⇒ x 5 20 3 Logo, o comprimento da outra tela é de 20 m.

3x 5 50 ? 1,2 ⇒ 3x 5 60 ⇒ x 5

21. De acordo com a tabela, o problema é diretamente proporcional, pois duplicando a área pintada também Comprimento (m) Tempo (dias) duplicará o tempo e a quantidade de tinta 14 4 usados. Sendo x o tempo procurado e y a 35 x quantidade de tinta gasta, temos para o tempo: 14 35 140 5 ⇒ 14x 5 4 ? 35 ⇒ 14x 5 140 ⇒ x 5 5 10 4 x 14 Área (m ) Tempo (h) 10 2 140 14x 5 4 ? 35 ⇒ 14x 5 140 ⇒ x 5 5 10 200 x 14 10 200 400 Logo, o restante do muro será construído 5 ⇒ 10x 5 2 ? 200 ⇒ 10x 5 400 ⇒ x 5 5 40 2 x 10 em 10 dias. 2

200 400 18. De acordo com 10 o enunciado, 5 ⇒ 10oxproblema 5 2 ? 200 ⇒ 10x 5 400 ⇒ x 5 5 40 2 x 10 é diretamente proporcional, pois duplicando a área também duplicará Para a quantidade de tinta, temos: a quantidade de azulejos. Sendo x a Área (m ) Tempo (ℓ) quantidade de azulejos procurada, temos: 10 1 2

Área (m2)

Quantidade de azulejos

3 ? 6,5 5 19,5

390

200

y

10 200 200 5 ⇒ 10y 5 1 ? 200 ⇒ 10y 5 200 ⇒ y 5 5 20 1 y 10 15 x 10 200 200 5 ⇒ 10y 5 1 ? 200 ⇒ 10y 5 200 ⇒ y5 5 20 19,5 15 5 850 10 5 ⇒ 19,15x 5 15y? 390 ⇒ 19,5x 5 5 850 ⇒ x 5 5 300 390 x 19Logo, ,5 o tempo será de 40 horas e serão 5 850 gastos 20 litros de tinta. 15 ? 390 ⇒ 19,5x 5 5 850 ⇒ x 5 19,5 5 300 Alternativa d. 19. De acordo com o enunciado, o problema é diretamente proporcional, pois Brasil Real, página 286. duplicando o comprimento da tábua 1. De acordo com a tabela, vem: duplicará sua sombra. Sendo x o a) Se 100 gramas de açaí tem 250 comprimento da sombra procurada, temos: quilocalorias, então 50 gramas terá 125 Comprimento (m) Sombra (cm) quilogramas, pois se a massa caiu pela 1,5 53 metade as calorias também caíram 10,5 x pela metade.

192


b) As frutas apresentadas na tabela que contêm menor quantidade de: • carboidrato R caju • proteínas R guaraná e maracujá • quilocalorias de energia R caju e pitanga • gordura R maracujá e pitanga

Logo, o suco continha 4,2 g de gordura. f) Chamando de x a quantidade de proteínas que o atleta deve ingerir e transformando 65 kg para gramas, temos: Consumo (g)

Massa do corpo (g)

1,5

1 000

x 65 000 c) Sendo x a quantidade de carboidratos procurada no abacaxi e y a quantidade 1,5 x 9 5 ⇒ 1000x 5 1,5 ? 65000 ⇒ 1000 x 5 97500 ⇒ x 5 procurada no guaraná, vem: 1000 65000 1,5 x 97 500 Carboidratos 5 ⇒ 1000x 5 1,5 ? 65000 ⇒ 1000x 5 97500 ⇒ x 5 5 97,5 Consumo (gramas) (gramas) 1000 65000 1000 100 12 Logo, um atleta de 65 kg deve ingerir 120 x 97,5 g de proteínas diariamente. 100 120 1 440 5 ⇒ 100x 5 12 ? 120 ⇒ 100x 5 1 440 ⇒ x 5 Chamando 5 14, 4 de y a quantidade de polpa 12 x 100 de cupuaçu necessária para ingerir 0 1 440 97,5 g de proteína, temos: ⇒ 100x 5 12 ? 120 ⇒ 100x 5 1 440 ⇒ x 5 5 14, 4 100

Para a polpa de guaraná: Consumo (gramas)

Consumo (g)

Carboidratos (gramas)

Proteínas (g)

100

1,7

y

97,5

100 y 9 750 5 ⇒ 1,7y 5 100 ? 97,5 ⇒ 1,7y 5 9 750 ⇒ y 5 5 1 , 7 97 , 5 1,7 80 y 100 y 9 750 100 80 5 ? 17,5⇒⇒1100 ,7y 5 100 ? 97,⇒ 5⇒ 1,71y400 5 9 750 5 ⇒ 100 y5 1 400 y5 5 14⇒ y 5 1,7  5 735 1,y75 8097 ,5 17,5 y 100 1 400 Logo, seria necessária a ingestão de ⇒ 100y 5 80 ? 17,5 ⇒ 100y 5 1 400 ⇒ y 5 5 14 5 735 g de cupuaçu. 100 Logo, foram consumidos 14,4 g de carboidratos no abacaxi e 14 g de carboidratos na polpa de abacaxi, ou seja, a pessoa consumiu 14,4 1 14 5 28,4 g de carboidratos. Exercícios, páginas 288 e 289. d) Sendo x a quantidade de proteínas ingeridas com o consumo do cupuaçu, 1. Indicando por x a quantidade de dias vem: procurada, podemos escrever: 100

17,5

55 – Regra de três composta

Consumo (gramas)

Proteínas (gramas)

Dias

Táxis

Consumo ()

100

1,7

30

25

100 000

7

x

x

36

240 000

100 7 132,6 5 ⇒ 100x 5 78 ? 1,7 ⇒ 100x 5 132,6 ⇒ x 5 As grandezas 5 1,326 número de táxis e quantidade 1,7 x 100 de dias são inversamente proporcionais e 132,6 as grandezas número de dias e consumo de x 5 78 ? 1,7 ⇒ 100x 5 132,6 ⇒ x 5 5 1,326 100 combustível são diretamente proporcionais. Logo, a pessoa ingeriu 1,326 g ou Daí, temos: 1 326 mg de proteínas. 30 36 100 000 30 3 600 000 5 ? ⇒ 5 x 25 240 000 x 6 000 000 e) Sendo x a quantidade de gordura contida na polpa de açaí, temos: 3 600 000x 5 30 ∙ 6 000 000 Consumo (g) Gorduras (g) 3 600 000x 5 180 000 000 100 12 180 000 000 x5 35 x 3 600 000 100 35 420x 5 50 5 ⇒ 100x 5 12 ? 35 ⇒ 100x 5 420 ⇒ x 5 5 4,2 12 x 100 Logo, uma frota de 36 táxis consumiria 420 240 000 , de combustível em 50 dias. 00x 5 12 ? 35 ⇒ 100x 5 420 ⇒ x 5 5 4,2 100

193


2. Indicando por x a quantidade de litros de água desperdiçados, podemos escrever: Gotas por minuto

Dias

Água ()

20

30

100

30

50

x

As grandezas número de dias e gotas por minuto são diretamente proporcionais à quantidade de água desperdiçada. Daí, temos: 20 2 30 1 100 2 100 ? 5 ⇒ 5 x x 5 30 1 50 5 2x 5 5 ∙ 100 2x 5 500 500 x5 2 x 5 250 Logo, foram desperdiçados 250 litros de água. 3. Indicando por x o número procurado, podemos escrever: Altura (m)

Comprimento (m)

Dias

2,5

30

24

2

25

x

As grandezas altura do muro e comprimento do muro são diretamente proporcionais ao número de dias. Daí, temos: 2,5 30 15 24 37,5 24 ? 5 → 5 25 x 25 x 21 37,5x 5 25 ∙ 24 37,5x 5 600 600 x5 37,5 x 5 16 Logo, o grupo de operários ergueria o muro em 16 dias. 4. Chamando a quantidade de operários de x, podemos escrever: Operários

Horas

Calçados

16

8

240

x

10

600

A grandeza horas trabalhadas é inversamente proporcional a número de operários e a grandeza pares de calçados é diretamente proporcional a número de operários. Daí, temos:

30x 5 16 ∙ 60 30x 5 960 960 x5 30 x 5 32 Logo, serão necessários 32 operários. 5. Chamando o número de dias de x, podemos escrever: Digitadores

Páginas

Dias

6

720

18

8

800

x

As grandezas número de digitadores e número de dias são inversamente proporcionais; as grandezas número de páginas e número de dias são diretamente proporcionais. Daí, temos: 1 8 720 120 18 120 18 ? 5 → 5 x x 100 6 1 800 100 120x 5 18 ∙ 100 120x 5 1 800 1 800 x5 120 x 5 15 Logo, em 15 dias 8 digitadores prepararão 800 páginas. 6. Sendo x o tempo procurado, podemos escrever: Velocidade (km/h)

Horas por dia

Dias

60

8

6

80

9

x

As grandezas velocidade e dias são inversamente proporcionais; as grandezas número de horas por dia e dias são inversamente proporcionais. Daí, temos: 10

80 9 6 90 6 ? 5 → 5 x x 60 60 81 90x 5 6 ∙ 60 90x 5 360 360 x5 90 x54 Logo, o mesmo percurso seria feito em 4 dias. 7. Sendo x a quantidade de caixas que o outro funcionário leva, podemos escrever: Caixas por vez

Tempo (min.)

Total de caixas

4

3

240

6

5

x

30

16 10 1 240 16 30 ? 5 → 5 30 x x 81 600 60

194

As grandezas número de caixas por vez e total de caixas são diretamente proporcionais;


as grandezas tempo e total de caixas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 4 5 240 20 240 ? 5 → 5 6 3 18 x x 20x 5 18 ∙ 240 20x 5 4 320 4320 x5 20 x 5 216 Logo, o funcionário mais devagar leva 216 caixas. Desafio!, página 289. a) Do enunciado temos que, o total de cimento gasto para construir a laje de 6 cm de espessura foi de 30 ? 40 5 5 1 200 kg de cimento. Sendo x a quantidade de cimento gasto em uma laje de 5 cm de espessura, temos: Espessura (cm)

Aumento (kg)

6

1 200

5

x

proporcionais. Daí, temos: 180

100 28 1260 100 5040 5 ? → 5 630 630 x x 71 5 040x 5 100 ∙ 630 5 040x 5 63 000 63000 x5 5040 x 5 12,5 Logo, 12,5 milhões de celulares sendo carregados simultaneamente utilizam a energia que pode abastecer por uma semana 630 residências. 2. Chamando de x o número de livros procurado, temos: Minutos por mês

Usuários (milhões)

Livros

Páginas

80

100

4 900 000

475

16

2

x

95

As grandezas minutos por mês, número de usuários e quantidade de livros são inversamente proporcionais. Enquanto as grandezas número de páginas e quantidade de livros são inversamente proporcionais. Daí, temos: 40 25 80 100 95 4900000 95000 4900000 ? ? → 5 5 x 475 1900 x 16 4 21

As grandezas espessura e cimento são diretamente proporcionais, pois dobrando a espessura da laje também 40 25 dobrará a quantidade de cimento 80 100 95 4900000 95000 4900000 ? ? → 5 5 utilizado. x 475 1900 x 16 4 21 Daí, temos: 95 000x 5 1 900 ∙ 4 900 000 6 5 6000 5 ⇒ 6x 5 5 ? 1200 ⇒ 6x 5 6000 ⇒ x 5 5 1000 5 9 310 000 000 95 000x 1200 x 6 9310000000 6000 x5 ⇒ 6x 5 5 ? 1200 ⇒ 6x 5 6000 ⇒ x 5 5 1000 95000 6 x 5 98 000 Logo, se a laje fosse de 5 cm de Logo, seriam necessários 98 000 livros. espessura seria economizado 1 200 2 1 000 5 200 kg de cimento. b) Se cada saco de cimento contivesse Tratando a Informação, páginas 290 e 291. 50 kg e a laje tivesse 5 cm de 1000 5 20 espessura, seriam utilizados 1. 50 sacos de cimento, pois a laje precisaria a) Em cada 100 entrevistados, 18 de 1 000 kg de cimento. afirmaram trabalhar em empresas que estimulam a amizade entre funcionários. Brasil Real, página 290. Para 300 000 entrevistados, 54 000 fariam tal afirmação, pois 1. Sendo x o número de celulares, podemos 18 escrever: 18% de 300000 → ? 300000 5 54 000 100 Número de celulares (milhões)

Dias

Residências

100

28

1 260

x

7

630

As grandezas número de celulares, número de dias e residências são diretamente

b) Do resultado, temos que menos de uma em cinco pessoas considera-se amiga do chefe. Sendo x o número de pessoas que se considera amiga do chefe em um grupo de 55 pessoas, temos:

195


Logo, menos de 11 pessoas se consideram amigas do chefe em um grupo de 55 pessoas. c) Calculando um terço de 210 1 ? 210 5 70 funcionários, temos: 3 funcionários. Como a empresa promoveu atividades para estimular a amizade entre seus colaboradores e de acordo com o quadro I, o número máximo de empregados satisfeitos que a empresa deverá esperar será: (50% de 70)  70. Daí, temos: 50 100 ? 70 5 35 Logo, o número máximo de empregados satisfeitos será de 35 1 70 5 105 funcionários. 2.

Se 130 crianças morrem, 5 000 2 130 5 5 4 870 crianças sobrevivem. Logo, para 5 000 nascimentos no Brasil espera-se que 4 870 crianças sobrevivam. c) Espera-se que sobrevivam menos crianças, pois a tabela mostra que a taxa de mortalidade nesse município é maior que a taxa de mortalidade nacional. Espera-se que sobrevivam 12 crianças a menos, em cada 1 000 nascimentos.

1 x 55 5 ⇒ 5x 5 55 ⇒ x 5 5 11 5 55 5

3. a) Sendo x o tempo procurado, podemos escrever: Brasileiro

Tempo (min.)

Mês

1

80

1

3

x

5

Como as grandezas número de brasileiros e meses são diretamente proporcionais à grandeza tempo, vem: 1 1 80 1 80 ? 5 → 5 x 15 x 3 5 x 5 15 ∙ 80 ⇒ x 5 1 200 min ou 20 h Logo, os brasileiros falam, em média, 1 200 min ou 20 h ao celular durante 5 meses. b) Representando por x a quantidade de megawatts/hora procurada, temos:

a) De acordo com a tabela, para cada 1 000 nascimentos, em São Francisco do Conde, 38 crianças morrem. Duplicando o número de nascimentos também duplicará o número de crianças mortas. Daí, para 2 000 nascimentos, espera-se que 76 crianças morram, ou seja, 1 924 crianças sobrevivam, pois 2 000 2 76 5 Megawatts/hora Celulares (milhões) 5 1 924. 315 100 Logo, para 2 000 nascimentos espera-se x 2 000 que 1 924 crianças sobrevivam. As grandezas megawatts/hora e Daí, para 3 500 nascimentos e sendo x o número de celulares são diretamente número de crianças mortas, temos: proporcionais. 38 x 133000 5 ⇒ 1000x 5 38 ? 3500 ⇒ 1000x 5 133000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 133 1000 3500 1000 Daí, temos: x 315 x ⇒ 1000x 5 133000 ⇒ x 5 133000 ⇒ x 5 133 ⇒ 1000x 5 38 ? 3500 5 ⇒ 100x 5 315 ? 2000 ⇒ 100x 5 630000 ⇒ 3500 1000 100 2000 315 x 630000 5 ⇒ 100x 5 315 ? 2000 ⇒ 100x 5 630000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 6300 megawatts / hora Se 133 crianças morrem, 100 3 500 20002 133 5 100 630000 5 3 367 crianças sobrevivem. ⇒x5 ⇒ x 5 6300 megawatts / hora 100 Logo, para 3 500 nascimentos espera-se que 3 367 crianças sobrevivam. Sendo y a quantidade de residências b) De acordo com a tabela, para cada procurada, temos: 1 000 nascimentos no Brasil, 26 Megawatts/hora Residências crianças morrem. Daí, para 5 000 315 1 260 nascimentos e sendo x o número de 6 300 y crianças que se espera que morram, temos: As grandezas megawatts/hora e 26 x 0 número13000 de residências são diretamente 5 ⇒ 1000x 5 26 ? 5000 ⇒ 1000x 5 130000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 130 proporcionais. 1000 5000 1000 x 130000 Daí, temos: ⇒ 1000x 5 26 ? 5000 ⇒ 1000x 5 130000 ⇒ x 5 ⇒ x 5 130 5000 1000

196


k k 315 6300 x 5⇒ ⇒ 200 5 ⇒ k 5 2 ? 200 ⇒ k 5 400 5 ⇒ 315y 5 1260 ? 6300 ⇒ 315y 5 7938000 2 2 1260 y k k 5 400, 400temos: Sendo 300 7938000 y5 ⇒ y5 ⇒ y 5 80 ⇒ 315y 5 1260 ? 6300 ⇒ 315y 5 7938000 ⇒ y 5 ⇒ y 5 25200 residências 5 5 y 315 k 400 y5 ⇒ y5 ⇒ y 5 80 7938000 5 5 ⇒ y5 ⇒ y 5 25200 residências 315 k 400 z5 ⇒ z5 ⇒ z 5 100 4 4 k 400 Logo, seriam abastecidas 25 200 z5 ⇒ z5 ⇒ z 5 100 Logo, 4 x 1 y 1 4z 5 200 1 80 1 100 5 380. residências. Portanto, Caio dividiu o número 380. c) Chamando de x a quantidade de minutos procurada, temos: Alternativa a. Telefones

Tempo (segundos)

2

4

5

8

16

x

Linhas

As grandezas número de linhas e número de telefones são diretamente proporcionais ao tempo. Daí, temos: 1

2

2 4 5 2 5 → ? 5 5 x x 72 18 9 16 8 360 ⇒ 2 ⇒ x 5 180 segundos ou 3 minutos Logo, mantendo a mesma proporção, levariam 3 minutos para vender 18 linhas e 16 telefones. 2x 5 5 ? 72 ⇒ 2x 5 360 ⇒ x 5

Retomando o que aprendeu, página 291. 1. Do enunciado, temos: a 12 15 5 5 28 b 20 Daí, a vem: 15 5 ⇒ 20a 5 15 ? 28 ⇒ 20a 5 420 ⇒ a 15 28 20 5 ⇒ 20a 5 15 ? 28 ⇒ 20a 5 420 ⇒ 420 28 20 ⇒a5 ⇒ a 5 21 420 20 ⇒a5 ⇒ a 5 21 20 12 15 5 ⇒ 15b 5 20 ? 12 ⇒ 15b 5 240 ⇒ 12 15 b 2 0 5 ⇒ 15b 5 20 ? 12 ⇒ 15b 5 240 ⇒ b 2240 0 ⇒ b5 ⇒ b 5 16 240 15 ⇒ b5 ⇒ b 5 16 Logo, a 15 1 b 5 21 1 16 5 37. Alternativa c. 2. Representando por x, y e z as parcelas, podemos escrever: 2x 5 5y 5 4z 5 k k 2x 5 k ⇒ x 5 2 k 5y 5 k ⇒ y 5 5 k 4z 5 k ⇒ z 5 4 Como a primeira parcela é 200, vem:

3. Sendo x, y e z os trechos asfaltados pelas empresas A, B e C, respectivamente, temos: x y z x 1 y 1z z 5 5 ⇒ 5 ⇒ 2 5 3 2 1513 3 x 1 y 1z z ⇒ 5 10 3 Como x 1 y 1 z 5 420, vem: 420 z 5 ⇒ 10z 5 3 ? 420 ⇒ 10z 5 1260 ⇒ 10 3 1260 ⇒ z5 ⇒ z 5 126 10 Logo, o trecho asfaltado pela empresa C foi de 126 km. Alternativa a. 4. Chamando de x, y e z a quantia que cada pessoa vai receber, podemos escrever: 5x 5 2y 5 10z 5 k k 5x 5 k ⇒ x 5 5 k 2y 5 k ⇒ y 5 2 k 10z 5 k ⇒ z 5 10 Como x 1 y 1 z 5 34 000, temos: k k k 1 1 5 34 000 5 2 10 2k 5k k 340000 1 1 5 10 10 10 10 2k 1 5k 1 k 5 340 000 8k 5 340 000 340000 8 k 5 42 500

k5

Daí, temos: k 42 500 x5 ⇒x5 5 8 500 5 5 k 42 500 y5 ⇒ y5 5 21 250 2 2 k 42 500 z5 ⇒ z5 5 4 250 10 10

197


Logo, a maior quantia paga será de R$ 21 250,00. Alternativa b.

5. Do enunciado, podemos escrever a partir da informação II: a b c a 1 b 1c c a 1 b 1c c 5 5 ⇒ 5 ⇒ 5 5 4 2 51 4 12 2 11 2 b 1c c a 1 b 1c c 5 ⇒ 5 4 12 2 11 2

120 ⇒ x 5 40 3 Logo, seriam necessárias 40 latas. Alternativa d.

3x 5 2 ? 60 ⇒ 3x 5 120 ⇒ x 5

9. Representando por x a quantidade de açúcar procurada, temos: Açúcar (kg)

Frutas (kg)

3

2,5

x

4

Velocidade (km/h)

Tempo (min.)

60

16

x

12

Como a 1 b 1 c 5 33, temos: 33 c 66 As grandezas são diretamente 5 ⇒ 11c 5 2 ? 33 ⇒ 11c 5 66 ⇒ c 5 ⇒ c 56 11 2 11 proporcionais. Daí, vem: 66 3 x 12 33 ⇒ 11c 5 66 ⇒ c 5 ⇒ c 56 5 ⇒ 2,5x 5 3 ? 4 ⇒ 2,5x 5 12 ⇒ x 5 ⇒ x 5 4,8 11 2,5 4 2,5 Daí, vem: 3 x 12 5 ⇒ 2,5x 5 3 ? 4 ⇒ 2,5x 5 12 ⇒ x 5 ⇒ x 5 4,8 b 6 b 5 → 53 ⇒ 2 b,5 5 4 ? 34⇒ b 5 12 2,5 4 2 4 Logo, ela deverá utilizar 4,8 kg de açúcar. a 6 a Alternativa b. 5 → 5 3 ⇒ a 5 5 ? 3 ⇒ a 5 15 5 5 2 10. Representando por x a velocidade média Logo, o filho mais velho tem 15 anos. na volta, temos: Alternativa d. 6. Sendo x o tempo procurado, temos: Watts

Tempo (horas)

40

15

60

x

Se duplicarmos a potência da lâmpada, o tempo cairá pela metade. Logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 600 60x 5 40 ? 15 ⇒ 60x 5 600 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 60 Portanto, a lâmpada deverá funcionar por 10 horas. Alternativa b. 7. Chamando de x o lado menor da foto ampliada, temos:

As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, vem: 960 12x 5 16 ? 60 ⇒ 12x 5 960 ⇒ x 5 ⇒ x 5 80 12 Logo, a velocidade média na volta é de 80 km/h. Alternativa c. 11. Representando por x o tamanho do tecido procurado, temos: Tecido (m)

Largura (cm)

105

50

x

70

As grandezas são inversamente 2,5 x 35 proporcionais. Daí, vem: 5 ⇒ 3,5x 5 2,5 ? 14 ⇒ 3,5x 5 35 ⇒ x 5 ⇒x5 10 3,5 14 3,5 5 250 70x 5 50 ? 105 ⇒ 70x 5 5 250 ⇒ x 5 ⇒ x 5 75 35 70 5x 5 2,5 ? 14 ⇒ 3,5x 5 35 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 5 250 3,5 70x 5 50 ? 105 ⇒ 70x 5 5 250 ⇒ x 5 ⇒ x 5 75 70 Logo, o lado menor da foto ampliada deve Logo, o tecido terá 75 m. medir 10 cm. Alternativa e. Alternativa b. 12. Chamando de x o tempo que o ponteiro 8. Representando por x a quantidade de menor levará para percorrer 42 graus, latas de óleo procurada, temos: temos: Lata (ℓ)

Quantidade de latas

2

60

3

x

As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, vem:

198

Ângulo (graus)

Tempo (min.)

30

60

42

x

As grandezas são diretamente


proporcionais. Daí, vem:

15. Sendo x a quantidade de recenseadores 30 42 2 520 que devem ser contratados, temos: 5 ⇒ 30x 5 60 ? 42 ⇒ 30x 5 2 520 ⇒ x 5 ⇒ x 5 84 Residências Recenseadores 60 x 30

2 520 5 60 ? 42 ⇒ 30x 5 2 520 ⇒ x 5 ⇒ x 5 84 30 Logo, o ponteiro menor levará 84 minutos para percorrer 42 graus. Alternativa e.

102

9

3 060

x

As grandezas são diretamente proporcionais. Daí, temos:

102 3060 27540 5 ⇒ 102x 5 9 ? 3060 ⇒ 102x 5 27540 ⇒ x 5 ⇒x5 9 x 102 13. Chamando de x o número de pacotes de pão procurado, temos: 102 5 3060 ⇒ 102x 5 9 ? 3060 ⇒ 102x 5 27540 ⇒ x 5 27540 ⇒ x 5 270 9 x 102 Pacotes Sanduíches 7

105

x

150

Logo, precisam ser contratados 270 recenseadores. Alternativa e.

As grandezas são diretamente 16. Sendo x, y e z as quantias a serem pagas, proporcionais. Daí, vem: 7 x 1050podemos escrever: 5 ⇒ 105x 5 7 ? 150 ⇒ 105x 5 1050 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 105 150 105 x 5 y 5 z ⇒ x 1 y 1 z 5 x ⇒ 30 40 50 30 1 40 1 50 30 1050 5 7 ? 150 ⇒ 105x 5 1050 ⇒ x 5 ⇒ x 5 10 x 1 y 1 z x 105 ⇒ 5 120 30 Logo, Cristina usará 10 pacotes de pão de Como x 1 y 1 z 5 90 mil, temos: forma. 90 x Alternativa a. 5 ⇒ 120x 5 30 ? 90 ⇒ 102x 5 2700 ⇒ 120 30 14. Sendo x o comprimento procurado, 2 700 ⇒x5 ⇒ x 5 22,5 5 mil ou 22500 podemos escrever: 120 Comprimento (m)

Largura (m)

80

35

x

25

As grandezas são inversamente proporcionais. Daí, temos: 2 800 25x 5 35 ? 80 ⇒ 25x 5 2 800 ⇒ x 5 ⇒ x 5 112 25 2 800 5x 5 2 800 ⇒ x 5 ⇒ x 5 112 25 Logo, o comprimento deverá passar de 80 m para 112 metros, ou seja, o comprimento deverá ser aumentado de 32 m, pois 112 2 80 5 32. Alternativa d.

Daí, temos: 22500 y 5 ⇒ 30y 5 40 ? 22500 ⇒ 30 40 900000 ⇒ 30y 5 900000 ⇒ y 5 ⇒ y 530000 30 22500 z 5 ⇒ 30z 5 50 ? 22500 ⇒ 30 50 1125000 ⇒ 30z 5 1125000 ⇒ z 5 ⇒ y 5 37500 30 Logo, o maior credor receberá R$ 37 500,00. Alternativa a.

199


Porcentagem 56 – Porcentagem Exercícios, página 296. 1. a) De acordo com a tabela, 10 crianças fazem parte da turma de Roberto. b) • Quantidade de meninos: 6. Logo: 6 0,6 ? 100 5 0,6 5 5 60% 10 100 • Quantidade de meninas: 4. Logo: 4 0, 4 ? 100 5 0, 4 5 5 40% 10 100 • Quantidade de crianças com cabelo preto: 5. Logo: 5 0,5 ? 100 5 0,5 5 5 50% 10 100 • Quantidade de crianças com cabelo loiro: 3. Logo: 3 0,3 ? 100 5 0,3 5 5 30% 10 100 2. De acordo com o enunciado, a turma tem 40 alunos, dos quais 26 têm 12 anos completos. Daí, vem: a) taxa percentual dos alunos que já completaram 12 anos: 26 0,65 ? 100 5 0,65 5 5 65% 40 100 b) Os 40 alunos representam 100% da turma. Como 65% da turma têm 12 anos completos, temos: 100% 2 65% 5 35%

Logo, 35% dos alunos ainda não completaram 12 anos.

3. Do enunciado, temos que em 40 g de óxido de magnésio há 24 g de magnésio. Daí: 24 0,6 ? 100 5 0,6 5 5 60% 40 100 Logo, a taxa percentual de magnésio na substância é de 60%. 4. Do exposto, podemos escrever: a) O clube de Antônio venceu 24 jogos, dos 30 que disputou. Logo, a taxa percentual de vitórias é de: 24 0,8 ? 100 30 5 0,8 5 100 5 80%

200

O clube de Alfredo venceu 21 jogos, dos 28 que disputou. Logo, a taxa percentual de vitórias é de: 21 0,75 ? 100 5 75% 28 5 0,75 5 100 Portanto, o time de Antônio teve 80% de aproveitamento, e o time de Alfredo teve 75% de aproveitamento. b) O que apresentou melhor campanha foi o clube A, o de Antônio. 5. Alternativa a. Representando por x o valor que Luciana ganha com a venda de cada sofá: x 5 1,5% de 8 200 5 0,015 ? 8 200 5 123 Logo, Luciana ganhou R$ 123,00 com a venda do sofá. 6. Sendo 100% o salário da funcionária, 8% são descontados para a Previdência Social. Logo, sobra do salário: 100% 2 8% 5 92% R 92% do salário Chamando de x o salário da funcionária: x 5 92% de 420 5 0,92 ? 420 5 386,40 Portanto, a funcionária recebe R$ 386,40. 7. Com o desconto de 15%, o valor pago pelo aparelho, em porcentagem, foi: 100% 2 15% 5 85% R 85% do valor original Representando o valor original do aparelho por x, podemos escrever: 85% de x 5 102 R 0,85 ? x 5 102 R 102 R x 5 120 R x5 0,85 Logo, o preço original do aparelho de som era R$ 120,00. 8. Representando por x o preço pago pela mercadoria, podemos escrever: • loja 1, desconto de 20% Logo, o valor pago em porcentagem será: 100% 2 20% 5 80% R 80% do valor original, que é 120 reais. Daí, temos: x 5 80% de 120 5 0,8 ? 120 5 96 R R R$ 96,00 Portanto, o valor pago na loja 1 será de R$ 96,00. • loja 2, desconto de 30% Logo, o valor pago em porcentagem será:


100% 2 30% 5 70% R 70% do valor original, que é 140 reais. Daí, temos: x 5 70% de 140 5 0,7 ? 140 5 98 R R R$ 98,00 Portanto, o valor pago na loja 2 será de R$ 98,00. Logo, o preço mais baixo é o da loja 1, R$ 96,00.

9. Representando por x o número de universitários que escolheram computação: x 5 35% de 40 5 0,35 ? 40 5 14 R R 14 universitários Logo, 14 universitários se inscreveram para fazer estágio em computação. 10. Como 45% dos alunos não confirmaram a ida no acampamento: 100% 2 45% 5 55% R 55% dos alunos já confirmaram a inscrição. Chamando de x os alunos que confirmaram a inscrição, temos: x 5 55% de 60 5 0,55 ? 40 5 33 R 33 alunos Logo, 33 alunos confirmaram a inscrição. 11. Do enunciado, podemos escrever: • Estudam no turno da manhã: 15 ? 30 5 5 450 alunos • Estudam no turno da tarde: 20 ? 25 5 5 500 alunos • Total de alunos da escola: 450 + 500 5 5 950 alunos • Como 52% dos alunos são meninas, temos: 100% 2 52% 5 48% R 48% dos alunos são meninos. Representando por x a quantidade de meninos: x 5 48% de 950 5 0,48 ? 950 5 456 Logo, estudam nessa escola 456 meninos. Brasil Real, páginas 297 e 298. 1. a) Das 8 415 apreensões de répteis no Brasil, em 2005, 6 347 foram no estado do Amazonas. Logo, a taxa percentual de apreensões é de: 6347 0,754 ? 100 5 75, 4% 8415  0,754 5 100

Portanto, a porcentagem de animais apreendidos no Amazonas é de 75,4%.

b) Representando por x o número de apreensões feitas no Sudeste brasileiro, temos: x 5 6% de 8 415 5 0,06 ? 8 415  505 R R 505 répteis Logo, no Sudeste brasileiro, foram apreendidos 505 répteis. 2. Representando por x a quantidade de espécies de répteis, temos: x 5 6% de 6 300 5 0,06 ? 6 300  378 R R 378 espécies de répteis Logo, na Amazônia, há 378 espécies de répteis diferentes. 3. De acordo com o texto, temos: a) • Crianças de 5 a 9 anos que trabalham: 280 228 • Crianças de 10 a 15 anos que trabalham: 2 708 066 • Crianças de 16 ou 17 anos que trabalham: 2 450 261 • Total de crianças: 5 438 555 Daí, vem: Percentual de crianças que trabalhavam na idade de 5 a 9 anos:

280228 0, 0515 ? 100  0, 0515 5 5 5,15% 5438555 100

Logo, a porcentagem aproximada das crianças entre 5 e 9 anos que trabalhavam é de 5,15%. b) Sendo x o número que representa 5,1% das crianças que trabalham em via pública: x 5 5,1% de 5 438 555 5 0,051 ? 5 438 555   277 366 Logo, trabalham, em via pública, aproximadamente 277 366 crianças. c) Se 68,6% das crianças que trabalham estão atrasadas na escola, então: 100% 2 68,6% 5 31,4% 31,4% das crianças que trabalham não estão atrasadas na escola. Se 80,5% das crianças que trabalham frequentam a escola, e cerca de 31,4% dessas crianças não estão atrasadas, temos: x 5 31,4% de (80% de 5 438 555) R R x 5 31,4% de (0,805 ? 5 438 555) R R x 5 31,4% de 4 378 036 R R x 5 0,314 ? 4 378 036 R x 5 1 374 703

Logo, das que trabalham e frequentam a escola, 1 374 703 crianças não estão atrasadas nos estudos.

201


d) Resposta em aberto. 4.

Tratando a informação, página 299. 1. Resposta em aberto.

a) A expressão “um em cada vez” representa 10%, pois: 1 0,1 ? 100 5 0,1 5 5 10% 10 100

2. Cada símbolo completo do CD representa 1 000 unidades vendidas. Daí, vem: a) R 500 unidades, pois 500 1 ? 1000 5 500 21

b) Em 2000, um em cada dez chefes de família não ganhavam um único centavo. Esse número representa 10% do total de chefes de família no Brasil. Chamando de x o total de chefes de família, temos: 10% de x 5 2600000 → 0,1 ? x 5 2600000 → 2 600 000 → x5 → x 5 26 000000 0,1

R 250 unidades, pois 250 1 ? 1000 5 250 41

Logo, havia 26 000 000 de chefes de família no Brasil em 2000. c) Se a cada chefe de família corresponde um domicílio, em 2000 havia no Brasil 26 000 000 de domicílios, dos quais 2 600 000 estavam sem rendimentos. d) Se 9,15% do total de residências do país corresponde a 4 099 domicílios sem rendimentos, e sendo x o total de residências do país, temos: 9,15% de x 5 4 099 → 0, 0915 ? x 5 4 099 → 4 099 → x  44 797 → x5 0, 0915

Logo, nessa época, o Brasil tinha 44 797 domicílios. e) • Usando o total de residências do item c, temos: 170000000 26000000  6,5 Logo, com esses dados, havia, em média, 6,5 pessoas em cada domicílio. • Usando o total de residências do item d, temos: 170000000  3 794 44797 Logo, com esses dados, havia, em média, 3 794 pessoas em cada domicílio. f) O mais confiável é o resultado encontrado no item c. g) As informações numéricas desse artigo são contraditórias. h) Resposta em aberto.

202

R 125 unidades, pois 125 1 ? 1000 5 125 81 b) As vendas em cada trimestre foram: 1o trimestre: 3 125 unidades 2o trimestre: 3 625 unidades 3o trimestre: 3 875 unidades 4o trimestre: 4 750 unidades • A venda foi inferior a 3 500 unidades, apenas no 1o trimestre. • A venda foi superior a 3 500 unidades, no 1o, no 2o , no 3o e no 4o trimestre. • No 2o trimestre foram vendidas 500 unidades a mais que no 1o trimestre, pois: 3 625 2 3 125 5 500 • No 2o trimestre foram vendidas 250 unidades a menos que no 3o trimestre, pois: 3 875 2 3 625 5 250 c) Organizando os dados em uma tabela, temos: Trimestre

1o

2o

3o

4o

Número de CDs vendidos

3 125

3 625

3 875

4 750

d) Observando as figuras do gráfico, verificamos que há 15 CDs completos 1 mais 3 partes com de CD. Como cada 8 CD representa 1 000 unidades, temos: 125 1 15 ? 1 000 + 3 ? ? 1000 5 15 000 + 81 375 5 15 375 Logo, foram vendidas, no ano, 15 375 unidades de CDs.


e) Construindo um gráfico de acordo com a tabela indicada, temos: Legenda 1 000 unidades 1º_ trimestre

2º_ trimestre

3º_ trimestre

4º_ trimestre

Retomando o que aprendeu, página 300. 1. Alternativa c. Do enunciado, temos: 1 0,25 ? 100 5 0,25 5 5 25% 4 100 Logo, esse número representa 25% dos alunos da academia. 2. Alternativa d. Do enunciado, temos: 8,5 0, 47 ? 100  0, 47 5 5 47% 18 100 Logo, o Brasil ocupa, aproximadamente, 47% da superfície da América do Sul. 3. Alternativa d. Sabemos que, no gráfico de setores, 360o corresponde a 100% em taxa percentual. Daí, temos que 25% corresponde a um ângulo de 90°. Logo, 75% corresponde a um ângulo de 270o em um gráfico de setores. Observando os gráficos, concluímos que o único gráfico em que 75% corresponde a um ângulo de 270o é o indicado pela alternativa d. 4. Alternativa e. Representando

7 em porcentagem, 2000

temos: 7 0, 0035 ? 100 5 0, 0035 5 5 0,35% 2000 100

Logo, sendo x o novo preço da passagem: x 5 116% de 15 R x 5 1,6 ? 15 R x 5 17,40 Portanto, o preço da passagem passou a ser R$ 17,40. 6. O valor percentual da bicicleta é de 100%; como Luís quer vendê-la com um lucro de 5%, o preço percentual de venda será: 100% + 5% 5 105% Logo, sendo x o preço de venda da bicicleta: x 5 105% de 180 R x 5 1,05 ? 180 R x 5 189 Portanto, o preço de venda da bicicleta será R$ 189,00. 7. Alternativa c. Do enunciado, podemos escrever: 50% de (10%)2 5 0,50 ? (0,10)2 5 0,50 ? 0,01 5 5 0,005 Logo, 50% do quadrado de 10% é 0,005. 8. A entrada do cinema custava R$ 13,00, o que corresponde a 100%. Com o aumento de 20%, o novo preço da entrada passará a ser, em porcentagem: 100% + 20% 5 120% Representando por x o novo preço da entrada: x 5 120% de 13 R x 5 1,20 ? 13 R x 5 15,60 Como a pessoa com 65 anos ou mais paga meia-entrada: 15,60 5 7,80 2 Logo, o preço da entrada desse cinema para uma pessoa com 65 anos ou mais é R$ 7,80. Chegou a sua vez, página 309. 1. Resposta em aberto. 2. Resposta em aberto. 3. Resposta em aberto 4. Reproduzindo as figuras e desenhando os eixos de simetria, temos:

Logo, o aumento do comprimento é de 0,35%. 5. Alternativa d. O valor percentual da passagem era de 100%, com o aumento de 16%, esse valor passou a: 100% + 16% 5 116%

5. Sim, pois os ângulos internos desse losango são 60o e 120o, que são diversos de 360o.

203


204


SUMÁRIO 8 . ano o

Os números reais............................................................................................... 207 Introdução ao cálculo algébrico....................................................................... 211 Estudo dos polinômios....................................................................................... 214 Estudo das frações algébricas........................................................................... 230 Equações do 1o. grau com uma incógnita............................................................. 236 Porcentagem e juro simples. ............................................................................... 245 Sistema de equações do 1o. grau com duas incógnitas.......................................... 248 Geometria. ........................................................................................................ 259 Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal..................... 262 Polígonos.......................................................................................................... 265 Estudando os triângulos................................................................................... 270 Estudando os quadriláteros.............................................................................. 276 Estudando a circunferência e o círculo............................................................. 282

206


OS NÚMEROS REAIS c) 36

Abertura, página 7. • Pra pensar, sem se cansar! 169, pois o quadrado é formado por 13 3 13 quadradinhos.

1–R  aiz quadrada exata de um número racional Explorando, página 8. 1.

1 1 3 1 5 1 7 1 9 1 11 5 36 a) Área 12: 1 3 12, 2 3 6, 3 3 4 b) Área 16: 1 3 16, 2 3 8, 4 3 4

2. Sim, o de medidas 4 3 4.

Exercícios, páginas 14 e 15. 1. a) b) c) d)

3. Não, pois existem números inteiros cujo quadrado seja 18. 4. Sim, um quadrado de lado 6, ou seja, 6 3 6. 5. Resposta pessoal.

2. a) 625 5 54 (Expoente par), sim. b) 784 5 24 3 72 (Expoentes pares), sim. c) 1 200 5 24 3 31 3 52 (Nem todos os expoentes são pares), não. d) 1 156 5 22 3 172 (Expoentes pares), sim. e) 2 000 5 24 3 53 (Nem todos os expoentes são pares), não.

Chegou a sua vez!, página 10. 152 5 225; 252 5 625; 452 5 2 025; 552 5 5 3 025; 652 5 4 225; 752 5 5 625; 852 5 7 225; 952 5 5 9 025. Chegou a sua vez!, página 12. a) 16

b) 25

121 sim, 112 5 121 169 sim, 132 5 169 186 não 441 sim, 212 5 441

3.

1 1 3 1 5 1 7 5 16

a) b) c) d) e) f) g) h)

484 5 222  a raiz é 22. 625 5 252  a raiz é 25. 729 5 272 a raiz é 27. 1 296 5 362  a raiz é 36. 1 849 5 432  a raiz é 43. 3 025 5 552  a raiz é 55. 4 096 5 642  a raiz é 64. 5 625 5 752  a raiz é 75.

a) b) c) d) e) f) g) h)

2,25 5 1,5, pois (1,5)2 5 2,25 3,61 5 1,9, pois (1,9)2 5 3,61 4,41 5 2,1, pois (2,1)2 5 4,41 7,84 5 2,8, pois (2,8)2 5 7,84 10,89 5 3,3, pois (3,3)2 5 10,89 27,04 5 5,2, pois (5,2)2 5 27,04 37,21 5 6,1, pois (6,1)2 5 37,21 51,84 5 7,2, pois (7,2)2 5 51,84

4.

1 1 3 1 5 1 7 1 9 5 25

207


5.

Chegou sua vez!, página 18. a) A 5 9,61 m2 ∴  5 9,61 5 3,1 m

a) 32 5 32 3 32 3 32 3 32 5 1 048 576 494 5 49 3 49 3 49 3 49 5 5 764 801 Como nos quadrados desses números, as quartas potências também são formadas pelos mesmos algarismos, dispostos em outra ordem. b) Resposta pessoal. 4

2 b) A 5 72,25 m ∴  5 72,25 5 8,5 m

2–R  aiz quadrada aproximada de um número racional Exercícios, página 17. 1. a)

150  12, pois (122 5 144, 132 5 169)

b)

200  14, pois (142 5 196, 152 5 225)

c)

350  18, pois (182 5 324, 192 5 361)

d)

500  22, pois (22 5 484, 23 5 529)

3–O  s números racionais e sua representação decimal Explorando, página 19. 1.

a)

3 5 0,6 5

b)

5 5 0, 4545... 11

c)

7 5 1, 4 5

d)

10 5 3,333... 3

g) 320  17,8, pois ((17,8)2 5 5 316,84; (17,9)2 5 320,41)

e)

1 5 0,2 5

h) 450  21,2, pois ((21,2)2 5 5 449,44; (21,3)2 5 453,69)

f)

2 5 0,666... 3

2

2

2. a)

2  1, 4, pois ((1,4)2 5 1,96; (1,5)2 5 2,25)

b)

10  3,1, pois ((3,1)2 5 9,61; (3,2)2 5 10,24)

c) 90  9, 4, pois ((9,4)2 5 88,36; (9,5)2 5 5 90,25) d) 130  11, 4, pois ((11,4)2 5 5 129,96; (11,5)2 5 132,25) e) 20  4, 4, pois ((4,4)2 5 19,36; (4,5)2 5 5 20,25) f) 40  6,3, pois ((6,3)2 5 39,69; (6,4)2 5 5 40,96)

a) 3,6  1,8, pois ((1,8)2 5 3,24; (1,9)2 5 5 3,61)

c) 10,7  3,2, pois ((3,2)2 5 10,24; (3,3)2 5 5 10,89) d) 18,5  4,3, pois ((4,3)2 5 18,49; (4,4)2 5 5 19,36) e) 54,6  7,3, pois ((7,3)2 5 53,29; (7,4)2 5 5 54,76) f) 69,27  8,3, pois ((8,3) 5 5 68,89; (8,4)2 5 70,56) 2

208

5 0,6

50 11 60 0,4545... 50 60 5 7 20 0

5 1,4

10 3 10 3,33... 10 1 10 0

5 0,2

20 3 20 0,666... 20 2 Nos casos a, c e e os decimais são exatos, enquanto nos casos b, d e f temos dízimas periódicas.

3.

b) 7,2  2,6, pois ((2,6)2 5 6,76; (2,7)2 5 5 7,29)

30 0

2. Tanto um como outro apresentam infinitas casas decimais sem que haja repetição periódica de algarismos. Exercícios, página 20. 1. a)

7 5 0,7 10

31 5 3,1 10 6 5 0, 06 c) 100 b)

d)

11 5 0,11 100

162 5 1,62 100 9 f) 5 0, 009 1000

e)


g)

29 5 0, 029 1 000

385 5 0,385 h) 1000 82 5 8,2 i) 10 2. a) b) c) d) e) f)

j)

163 5 16,3 10

427 5 4,27 l) 100 1104 5 1,104 m) 1000

1 5 0,5 2 7 5 2,333... 3 9 5 1,8 5 37 5 1,85 20 35 5 3,1818... 11 11 5 1,222... 9

11 g) 5 1,375 8 33 5 1,32 h) 25 3 5 0,15 i) 20 13 5 0,1444... 90 33 5 8,25 l) 4 25 5 4,1666... m) 6 j)

2. 3.

a) 6,25 (racional) b) 36 5 6 (racional) c) 2,010010001... (irracional) d) 30 5 5, 47722... (irracional) e) 2,4343... (racional) f) 5,02 (racional) g) 5 5 0,714285714285... (racional) 7 h) 6,161661666... (irracional) i) 10 (racional) j) 0,0025 (racional) 4.

39,69 5 6,3 (racional)

5.

5  2,23 ((2,23)2 5 4,9729; (2,24)2 5 5,0176)

6. Racionais: 26; 21,5; 2 2 ; 0; 21 . 3 5 Irracionais: 22,171171117...; 2 . 7. Alternativa d. 30 5 5, 4772255... (infinita e não periódica; irracional) 8. Alternativa a. 50 5 7, 0710678... (infinita e não periódica; irracional) 9. 22 5 3,142857142857142857...           7 período

Exercícios, página 25. a) b) c)

5 5 1,666... R infinita e periódica. 3 7 5 2,645751... R infinita e não periódica. 13 5 2,6 R finita. 5

d) 0,202002000... R infinita e não periódica. 9 5 4,5 R finita. e) 2 f) 2,161616... R infinita e periódica. g)

16 5 4 R finita.

h) 5,131131113... R infinita e não periódica.

período

período

Representação infinita e periódica (período: 142 857); racional.

4 – Os números irracionais 1.

40 5 6,324555320 R infinita e não periódica.

Exercícios, página 29. 1. a) C 5 2 3 3,14 3 9 5 56,52 ⇒ C 5 56,52 cm b) C 5 2 3 3,14 3 1,5 5 9,42 ⇒ C 5 9,42 cm c) C 5 2 3 3,14 3 0,25 5 1,57 ⇒ C 5 1,57 cm 2. C 5 2 pr ⇒ 50,24 5 2 3 3,14 3 r ⇒ 50,24 5 5 6,28 3 r ⇒ r 5 50,24 5 8 ⇒ r 5 8 cm 6,28 3. O comprimento não é da roda, é do pneu. 0,60 5 1,884 ⇒ C 5 1,884 m a) C 5 2  3,14  2 b) d 5 5 000 3 1,884 5 9 420 ⇒ d 5 9 420 m 4. C 5 2  3,14  20 5 125,6 5 31, 4 ⇒ C 5 31, 4 cm 4 4 5. C 5 2 3 3,14 3 6 5 37,68 ⇒ C 5 37,68 cm

209


6. C 5 2pr ⇒ 94,2 5 2 3 3,14 3 r ⇒ 94,2 5 5 6,28r ⇒ r 5 94,2 5 15 ⇒ r 5 15 cm  6,28 Diâmetro: 30 cm

Brasil real, página 32. 25 , 7 a)  1,7 R 2005 foi 1,7 vez a de 2002. 14,9 25,7  1,3 R 2005 foi 1,3 vez a de 2003. 19, 4 25,7  1,1 R 2005 foi 1,1 vez a de 2004. 23,5

5 – Os números reais Exercícios, página 31.

b)

877  29,6 ∴ As exportações foram de aproximadamente 29,6 milhões de dólares.

c) d) e)

2005 - U$ 25 700 000 Crescimento:  2006 - U$ 29 600 000 U$ 3 900 000 Crescimento 3 900 000 25 700 000  0,15 ∴ foi de 15% aproximadamente. Holanda. Resposta em aberto.

1. a) b) c) d)

Pertencem a IN: 0 e 1 Pertencem a Z: 24, 0 e 1 Pertencem a Z, mas não a IN: 24 Pertencem a Q, mas não a Z: 22, 3, 2 1 4 e 0,666...

a) b) c) d)

Reais e naturais: 6 Reais e inteiros: 6 e 26 Reais e racionais: 6, 26 e 6,6 Reais e irracionais: 6

2.

3.

5 5 2,23... 22 5 2, 44... 9 22 é maior que ∴ 9

5

e) 2 9 ∈ IR 29 ∉ IR f) g) 2p  IR2 h) 2,66...  IR1

a) 100  IR* b) 100  IR1 c) 100  IR2 d) 9 ∈ IR 5. a)

7 1 5 5 2,6 1 2,2 5 4,8

b)

7  2 5 2,6 3 1,4 5 3,6

c)

5 2 2 3 5 2,2 1 1,7 5 3,9

)

d) 8  3 5 8  1,7 5 13,6 e) 2 10 2 2 52 3,1 2 1, 4 52 4,5 f)

10  5 5 3,1 2,2 5 1, 4

g) 21 1 7 521 1 2,6 5 1,6 h) 5 2 5 5 5 2 2,2 5 2,8 6. 2

 5 1  5  4

2

 5 212 1   5  4

 216 1 25   25  21 1  5   5 16   16 

210

1. Aro 12 → Diâmetro: 12 polegadas 5 5 12 3 2,54 5 30,48 ⇒ 30,48 cm  Raio 5 15,24 cm C 5 2 3 3,14 3 15,24 5 95,7 ⇒ 95,7 cm 2.

4.

(

Chegou a sua vez!, página 34.

1,25 m de altura ⇒ Aro 20 Diâmetro: 20 polegadas 5 20 3 2,54 5 5 50,8 ⇒ 50,8 cm Raio: 50,8 5 25,4 ⇒ 25,4 cm 2 C 5 2 3 3,14 3 25,4 5 159,5 ⇒ 159,5 cm b) A resposta depende da altura do aluno. a)

Retomando o que aprendeu, página 34. 1.  5 1764 5 42 m P 5 4 3 42 5 168 m Alternativa b. 2. Diâmetro: 39 cm ⇒ Raio: 19,5 cm C 5 2 3 3,14 3 19,5 5 122,46 ⇒ 122,46 cm Alternativa a.  3. x 5 51,84 5 7,2  x 2 y 5 7,2 2 6,4 5 0,8 y 5 40,96 5 6, 4 Alternativa d.

4. 1 volta: C 5 2 3 3,14 3 1,5 5 9,42 ⇒ 9,42 cm n.o de voltas: 489,84 5 52 voltas 3 9  216 1 25   25  9, 42 21 1  5  5  5 16 Alternativa e. 4 16   16  9 3 5 16 4

5. 1 volta: C 5 2 3 3,14 3 5 5 31,4 ⇒ 31,4 m 7 voltas 5 7 3 31,4 5 219,8 ⇒ 219,8 m Alternativa c.


INTRODUÇÃO AO CÁLCULO ALGÉBRICO 6–O  uso de letras para representar números

3. A 5 (4x) ? (3y) 5 12xy 4. P 5 5x 1 3y

Explorando, páginas 36 e 37.

5. x 2 3y 6. A 5 a2 1 bc

1. Apenas números: a, b, e Número e letras: c, f, g Apenas letras: d

7.

2.

8.

a) b) c)

a) 7x 1 10 b) 12y 1 9

A 5 a ? b ⇒ A 5 3 ? 6 5 18 A 5 2x ? y ⇒ A 5 (2 ? 6,2) ? 2,4 5 5 12,4 ? 2,4 5 29,76 A 5 2 ⇒ A 5 (2,5)2 5 6,25

a) 2x 1 10, inteira. x b) , fracionária. 3y c) a2 2 b3, inteira.

3. Resposta em aberto.

d)

4. a) n 5 5 ⇒ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 5 15 Soma 5 5 ? (5 1 1) 5 5 ? 6 5 30 5 15 2 2 2 A fórmula é verdadeira para n 5 5. n 5 10 ⇒ 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 1 8 1 9 1 10 5 55 Soma 5 10 ? (10 1 1) 5 10 ? 11 5 110 5 55 2 2 2 A fórmula é verdadeira para n 5 10.

e) f) g) h)

x2 , inteira. 4 x (a 2 b), inteira. 2p 1 m2, inteira. a3 2 b3, inteira. 3b 2 ac, inteira.

8–V  alor numérico de uma expressão algébrica

Exercícios, páginas 44 e 45. b) Soma 5 100 ? (100 1 1) 5 100 ? 101 5 10100 5 5050 2 2 2 1. 100 ? (100 1 1) 100 ? 101 10100 5 5 5 5050 2 2 2 a) 4 ? 22 2 2 ? 6 5 4 ? 4 2 2 ? 6 5 16 2 12 5 4 b) 4 ? (0,4)2 2 (0,4) ? (1,2) 5 4 ? 0,16 2 0,48 5 Exercícios, página 38. 5 0,64 2 0,48 5 0,16 2. C 5 10 1 0,3 ? (P 2 1); P 5 18 kg C 5 10 1 0,3 ? (8 2 1) 5 10 1 0,3 ? 7 5 5 10 1 2,1 5 12,1 O custo será de R$ 12,10.

1. a) x b) y3 c) a d) b5

e) b 1 c f) a ? x g) 2y h) m 6

a) 2x 1 2y b) (x 1 y) ? (x 2 y)

c) x 1 y d) x2 1 3x

2

2.

2

3. 2

7 – Expressões algébricas ou literais Exercícios, páginas 41 e 42. 1. 2x 1 5y 2. h 1 m

a) b) c)

5 ? 02 2 18 ? 0 2 8 5 0 2 0 2 8 5 −8 5 ? (1,2)2 2 18 ? (1,2) 2 8 5 5 5 ? (1,44) 2 18 ? (1,2) 2 8 5 5 7,2 2 21,6 2 8 5 −22,4 5 ? (−2)2 2 18 ? (−2) 2 8 5 5 5 ? 4 2 18 ? (−2) 2 8 5 20 1 36 2 8 5 48

4. N 5 103 1 2 ? 10t, t 5 5 N 5 103 1 2 ? 105 5 1 000 1 2 ? 100 000 5 1 000 1 200 000 5 201 000 Compraram o produto 201 000 pessoas.

211


3

3  1 65 1 1 64 1 2 (22) 1 2 (28) 2 x 1 x , x 5 4  2  5. 265 8 8 x g) 5 5 5 8 5 3 64 63 63 1 1 2 18(28) 2 7 2 1 1  1  1 (2 1 2)3 12 8 8 8  2 4 1 4 5 2 4 212 5 2 2 5 5 4 4 4 4 4 1 1 1 28 27 51 50 1 1 1 5 4 5 2 4 12 5 22 5 51 51 5 5 1 4 4 4 4 10 10 10 h) 5 5 5 ? 5 5 10 51 10 2 51 50 1 1 1 10 1 6. N 5 105 ? 24t, t 5 2 5 5 5 51 1 8 50 1 1 51 N 5 105 ? 24 ? 2 5 100 000 51 5 5 1 10 ? 25 5 10 5 10 5 ? 5 5 10 51 10 2 51 50 1 1 1 5 100 000 ? 256 5 25 600 000 10 1 5 5 O número de bactérias5será 25 600 000. 2 2 2 150  3  5 10 ? 1 1 5 1000 ? (1 1 1,5) 5 1000 ? (2,5) 5 1000 ? 6,25 5 6 12. A 5 1 13 1 10 28   7. p 5 ⇒ p 5 14 100   5 5 14 2 2 2 2 2 150  3  p ? (p 2 a) ? (p 2 b) ? (p 5 A5 102? c) 11 5 1000 ? (1 1 1,5) 5 1000 ? (2,5) 5 1000 ? 6,25 5 6250 100   14 ? (14 2 5) (14 2 13) ? (14 2 10) 5

5 14 ? 9 ? 1 ? 4 5 504 8. y 5 6 1 1,2 2 3,2 5 5 1 1,2 2 3,2 5 3 1,2

9. V 5

14, 4 14, 4 5 5 3,2 ⇒ V 5 3,2 1,5 1 3 4,5

5 ? C 1 7, C 5 24 4 5 120 N 5 ? 24 1 7 5 1 7 5 30 1 7 5 37 4 4 120 175 1 7 5 30 1 7 5 37 ⇒ N 5 37 4 11. 2 a) 4 2 2 ? 4 5 16 2 8 5 8 5 4 2 2 4 10. N 5

Tratando a informação, páginas 45 e 46. 1. Na cidade: 186 700 000 ? 0,83 5 5 154 961 000 . 155 milhões No campo: 186 700 000 ? 0,17 5 5 31 739 000 . 31,7 milhões 2. Possível resposta: calculando a porcentagem nos dois casos ou calculando uma e subtraindo o resultado do total. 3.

a) Brancos 5 186 700 000 ? 0,499 5 5 93 163 300 . 93,2 milhões 2 2 1 1 2 1 16 1 8 1 1 25   b) 5Pardos 5 186 700 000 ? 0,431 5 b) (21) 2 2 ? (21) ? 1   5 1 1 1 5 4  4 4 16 16 516 80 467 700 . 80,5 milhões 2 1  1 2 1 16 1 8 1 1 25 c) Negros 5 186 700 000 ? 0,063 5 ? 1   51 1 1 5 5 4  4 4 16 16 16 5 11 762 100 . 1108 milhões 2 d) Outros 5 186 700 000 ? 0,007 5 8 1 8 ? 10 64 1 80 144 c) 5 5 5 16 5 4 5 1 306 900 . 1,3 milhão 9 9 9 10 64 1 80 144 5 5 5 16 5 4 4. Gráfico pictórico ou pictograma. 9 9 2 2 Não, pois, por exemplo, o percentual d) 3 ? ((−2) 2 (−2) ) 2 10 ? ((−2) 1 (−2)) ? de negros é nove vezes o percentual de ? ((−2) 2 (−2)) 5 3 ? (4 2 4) 2 10 ? (−4) ? outros, isso significa que o número de ? 0 5 3 ? 0 1 40 ? 0 5 0 1 0 5 0 homenzinhos que representa os negros 2 2 2 (12) 2 1 2deveria 9 28ser nove vezes o número de 2 2 2 2 3 1 1       e) 5  3 2 1 2 (21) 5  3  21 5  3  21 5 9 21 5 homenzinhos 9 9 que representa os outros (2), 2 2 2 o que não acontece. 2 1 29 28 1  21    2 23  2 1 2 (21) 5  21 5  21 5 21 5 5 9 9 9  3    3  5. 2 • 2 homenzinhos para outros 1 2 (0,5) 1 2 0,25 0,75 f) 5 5 52 0,25 • 18 homenzinhos para negros (6,3% é 24 1 1 23 0,5 ? (28) 1 1 nove vezes 0,7%) 3 • 123 homenzinhos para pardos (43,1% é 3  1 65 1 1 1 64 2 (22) aproximadamente 61,5 vezes 0,7%)   8 2 2 ( ) 265 g)  2  8 g) 5 5 8 5 5 8 • 3 63 142 homenzinhos para brancos (49,9% 63 1 1 2 64 2 1 (28)  1  1 (22)3 é aproximadamente 71,2 vezes 0,7%) 8 8 8  2 

212


9 – Uma consideração importante

c) Região Norte. 3000 d)  2,1 (Aproximadamente o dobro) 1400

Exercícios, página 47. 1.

Retomando o que aprendeu, páginas 49 e 50. 1. (2( 2 2) 2 ( 2 2)) ? (( 2 2) 1 ( 2 2)) 1 ( 2 2) ? ( 2 2)3 2

a) x 2 4 5 0 ⇒ x 5 4 1 2 b) 1 2 3a 5 0 ⇒ −3a 5 −1 ⇒ a 5 22 (2( 22) 2 ( 22)) ? (( 22) 1 ( 23 2)) 1 ( 22) ? ( 22)3 2 ( 22) 55 (2 1 2) ? (22 2 2) 1 (22) ? (28) 2 242 5 2 c) 2 1 5x 5 0 ⇒ 5x 5 −2 ⇒ x 5 2 5 4 ? (24) 1 16 1 2 5216 1 16 1 2 5 2 5 d) 2 2 2b 5 0 ⇒ −2b 5 −2 ⇒ b 5 1 Alternativa a. 2. a) x 1 y 5 0 ⇒ x 5 −y b) x 2 2y 5 0 ⇒ x 5 2y y c) 2x 1 y 5 0 ⇒ 2x 5 −y ⇒ x 5 2 2 Chegou a sua vez!, página 48.

2.

5

3. y 5 20 ? x 1 30 Alternativa d.

2. 8 1 x 1 7 5 18 ⇒ x 5 18 2 8 2 7 ⇒ x 5 3

5. A 5 4 ? ax 2 2 ? a2x 5 4 ? ax 2 2 ? (ax)2 5 4 ? 10 2 2 ? 102 5 4 ? 10 2 2 ? 100 5 5 40 2 200 5 −160 Alternativa b. 3 150 ? 50 1 40 5 1 40 5 75 1 40 5 115 6. 2 2 Alternativa c.

1.

22

0,2 52 2 0, 4 2 0,5 2 0,1 Alternativa e.

4. (−2)3 1 2 ? (−2)2 5 −8 1 2 ? 4 5 −8 1 8 5 0 Alternativa c.

Brasil real, páginas 48 e 49.

2

(0, 4) ? (0,5) 5

1. Não, porque 8 1 0 1 7 5 15 não é divisível por 9. 3. xy 5 10x 1 y 5 9x 1 (x 1 y) As parcelas são divisíveis por 9, então a soma também o é.

(22)

2 (29) 1 (29) 2 4 ? 5 ? (22) 9 1 81 1 40 9 1 11 a) Total: 86 700 000 1 83 200 000 1 16 800 000 5 5 5 52 7. x 5 ? 2 5 10 10 5 186 700 000 (Aproximadamente 2 2 (29) 1 (29) 2 4 ? 5 ? (22) 9 1 81 1 40 186,7 milhões de habitantes) 9 1 11 x5 5 5 52 2?5 10 10 86700000  5,16 (Aproximadamente b) Alternativa a. 16800000 5 vezes) 21 2144 ? 122 1 4 ? 12 1 10 5 1 48 1 10 52 24 1 48 1 10 5 34 º C 8. T1 5 c) 16 800 000 ? 1,5 5 25 200 000 6 6 21 2 144 2 T1 5 ? 12 1 4 ? 12 1 10 5 de 1 48 1 10 52 24 1 48 1 10 5 34 º C (Aproximadamente 25,2 milhões 6 6 idosos) 21 2324 T2 5 ? 182 1 4 ? 18 1 10 5 1 72 1 10 52 54 1 72 1 10 5 28 º C d) Solteiros: 79 900 000 6 6 20100 12 6 200 000 1 4 900  2324 Outros: T 50  700  ? 18 1 4 ? 18 1 10 5 000 5 1 72 1 10 52 54 1 72 1 10 5 28 º C 25 6 6 5 61 800 000 A temperatura diminuiu 6 8C. 79 900 000 2 61 800 000 5 18 100 000 Alternativa d. Existem 18 100 000 solteiros a mais que 1 1 2 1 2 328 25 os outros. 5 9. A 5 ? 2 5 2 5 2 2 3 4 3 12 12 e) 186 700 000 ? 0,736 5 137 411 200 1 2 2 2 1 2 2 3   católicos B5 ? 2 52 2 5 521 2  3  3 3 3 3 73,6% f)  4,8 5 25 1 12 17 15, 4% A 2 B 52 11 5 5 12 12 12 A área é 4,8 vezes maior, Alternativa b. aproximadamente. Justificativa em aberto. 2

2. a) Os suecos. b) 2o lugar.

10. 11 ? (11 2 1) 1 1 5 11 ? 10 1 1 5 110 1 1 5 5 111 jogos Alternativa e.

213


ESTUDO DOS POLINÔMIOS 10 – Monômio ou termo algébrico

Coeficiente : 20, 06 d)  3 Parte literal : bc

Explorando, página 52.

1  Coeficiente : 5 e)  Parte literal : m4

1. a) A 5 x ? y b) P 5 x 1 y 1 x 1 y 5 2x 1 2y c) O item b apresenta uma soma de dois “termos” e o item a apresenta um único “termo”.

Coeficiente : 1 f)  3 5 2 Parte literal : a x y Coeficiente : 6,2 g)  3 3 Parte literal : x y

2. P1 5 x 1 x 1 x 1 x 1 x 5 5x P2 5 x 1 x 1 x 1 y 1 y 5 3x 1 2y

Coeficiente : 220 h)  4 3 Parte literal : a bc

3. a) b) c) d)

(I) A 5 2a ? 3a 5 6a2 (II) A 5 a ? 2a 5 2a2 , 5 3a 1 a 5 4a A 5 4a ? 2a 5 8a2 A área do retângulo ABCD é a soma da área (I) com a área (II): 8a2 5 6a2 1 2a2 Exercícios, página 55.

2. a ? b 3. V 5 (2a) ? (2a) ? (2a) 5 8a3 4. 6,20 ? x ? y 5.

6.

Sim. Sim. Não. Sim. Não. Sim. Não. Sim. Não. Não.

Coeficiente : 7 a)  3 Parte literal : a Coeficiente : 21 b)  5 Parte literal : xy 2  Coeficiente : 2 3 c)  Parte literal : m2n4

214

Exercícios, página 56. 1. Grau 4: 5a3b, 26m2n2 2. 10a3x3y é do 7o grau.

1. 5x

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

12  Coeficiente : i)  5  tem. Parte literal : Nao

3. m5x3y4 é do 3o grau em relação à variável x. 4. 2 1 n 1 2 5 13 ⇒ n 1 4 5 13 ⇒ n 5 9 5. x6 é o monômio de maior grau. 6. 28a4, 26a3, 7a2, 10a, 5 Exercícios, páginas 58 e 59. 1.

1 2 xy 5 b) 4xy, 2xy 1 c) 2 x2, 10x2 2 a) 3x2y,2

2.

a) a2 1 6a2 2 2a2 5 5a2 b) 17ax 2 18ax 5 2ax 3 5xy 1 3xy 8xy c) xy 1 xy 5 5 5 5 5 2 2 2 d) 0,7x y1 3,1x y 5 3,8x y e) 10bc 2 12bc 1 7bc 2 3bc 5 2bc 2x2y2 1 2 2 4 2 2 5 2 2 6x2y2 1 8x2y2 2 15x2y2 f) xy 1 xy 2 xy 5 5 18 3 9 6 18 2x2y2 1 2 2 4 2 2 5 2 2 6x2y2 1 8x2y2 2 15x2y2 x y 1 x y 2 x y 5 5 3 9 6 18 18


3 4ay 1 3ay 2 16ay 9ay ay 2 4ay 5 52 4 4 4 4ay 1 3ay 2 16ay 9ay 2 4ay 5 52 4 4 h) 0,9ab3 1 2,5ab3 2 5,2ab3 5 21,8ab3

b)

g) ay 1

% bicicletas 44

3. a) b) c)

0,6ab2 2 ab2 1 0,3ab2 1 0,5ab2 5 0,4ab2 0,4 ? (21) ? (26)2 5 0,4 ? (21) ? 36 5 214,4 0,4 ? (0,4) ? (20,2)2 5 0,4 ? (0,4) ? (0,04) 5 5 0,0064

26

14 8

4. 5x2y2 1 P 5 9x2y2 ⇒ P 5 5 9x2y2 2 5x2y2 ⇒ P 5 4x2y2

0

Sudeste

5. a) 2ax b) 22ax 6.

7.

8. 9.

1. 2.

a) b)

c) 3ax d) 7ax

7x 2 (22x 1 x) 1 (23x 1 5x) 5 5 7x 2 (2x) 1 2x 5 10x 5y2 2 (24y2 1 7y2) 1 (2y2 1 9y2 2 11y2) 5 5 5y2 2 3y2 1 (23y2) 5 2y2

c)

Nordeste

Sul

Centro-Oeste

Norte

região

Transporte: 60 000 000 ? 0,53 5 5 31 800 000 Infantil: 60 000 000 ? 0,29 5 17 400 000 Lazer: 60 000 000 ? 0,17 5 10 200 000 Esporte: 60 000 000 ? 0,01 5 600 000

3.

a) Bicicletas. b) Bicicletas. c) 10ab 2 3ab 2 (ab 1 2ab 2 5ab) 2 8ab 5 3 3x 1 10x 1 20x 1 10 1000 5 10ab 2 3ab 2 (22ab) 2 8ab 5 c) x 1 x 1 (2x 1 1) 5 100 ⇒ 5 10 10 10 5 10ab 2 23ab 5 13ab 3 3x 1 10x 1 20x 1 10 1000 ⇒ x 1 x 1 (2x 1 1) 5 100 5 d) 2xy 1 25xy 1 2xy 2 (xy 1 4xy 210 2xy) 2 8xy 5 10 10 5 2xy 1 25xy 1 2xy 2 3xy 2 8xy 5 ⇒ 33x 1 10 5 1000 ⇒ 33x 5 990 ⇒ x 5 30 5 2xy 1  2 14xy 5 212xy Portanto: Carros: 30% 3 Motos: ? 30 5 9% a) 20bc 2 27bc 2 (11bc 2 40bc 2 6bc) 1 5bc 5 10 5 20 bc 2 2 7 bc 2 ( 2 35 bc ) 1 5 bc 5   Bicicletas: 2 ? 30 1 1 5 61%   5 20bc 2 33bc 5 213bc Exercícios, páginas 63 e 64. b) 15bc 1. 1,2ax 2 (20,6ax 1 3,4ax 2 2,9ax) 2 a) b8 2 (7,3ax 2 0,8ax) 5 1,2ax 2 (20,1ax) 2 b) 5x7 2 6,5ax 5 25,2ax c) 14y2 2y 1 5y 1 3y 5 10y d) 21,2a3 e) 20,75x2y3 Brasil real, páginas 59 a 61. m2n f) 2 14 d 5 9x 1 5x 1 18x 5 32x g) 2a5m2 a) Porcentagem da frota de bicicletas por região Região

Quantidade estimada

Porcentagem

Sudeste

26 400 000

44%

Nordeste

15 600 000

26%

Sul

8 400 000

14%

Centro-Oeste

4 800 000

8%

Norte

4 800 000

8%

2. a) b) c) d) e) f) g)

20a6b3c5 23ax3y2 1,35y7 0,1x5y3 40m3n3p2 x4y4z3 21,96a2m3n2

215


3. P 5 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n 1 4n P 5 48n

i) 21,9xy4 j) 4n l) 21,6b 1 m) 2 b2 4 3 n) y 2 o) 10ax2 p) x2 q) 0,125mx

4. A 5 (3,5x) ? (1,6x) ⇒ A 5 5,6x2 5. a) produto: (22a2x) ? (21,6ax) 5 3,2a3x2 b) 3,2 ? (20,5)3 ? (20,5)2 5 5 3,2 ? (20,125) ? (0,25) 5 20,1 5   5 6. (2ax) ? 2 ax2 5 (a2x) 52 a4x4 2   4 5 5 v.n. 5 2 ? ( 2 2)4 ? (21)4 52 ? 16 ? 1 52 40 2 2 7. 4a

2. 4xy 3. (30a7x3)  (6a4x2) 1 (26a3x) 5 5 5a3x 2 6a3x 5 2a3x

4. (220xy) ? (5x2y3) (10xy2) 5 100x3y4 (10xy2) 5 10x2y2 8. (2a) ? (2m) ? (2m3) ? (2a) 5 a2m4 2 3 2 3 4 2 2 2 2     1 (220xy4 ) ? (51x y ) (10xy ) 5 100x y  (10xy ) 5 10x y v.n. 5   ? (22) 5 ? 16 5 1 16  4 5. (20a4m2)  (29am 1 5am) 5 3 5 (20a4m2)  (24am) 5 25a3m 9. 2 a2b 4 6. (210x3y)  (22xy) 5 5x2 10. 5ab, 10a3b2, 20a5b3 Resposta errada. Regra: multiplicar por 2a2b 11 6 7. (2x6 1 x6)  (2x3) 5 (3x6)  (2x3) 5 23x3 b Próximos termos: 40a7b4, 80a9b5, 160a   Resposta certa. último termo 11.

xy2 1 2xy2 1 6xy2 1 2 9 xy 1 xy2 1 3xy2 5 5 xy2 2 2 2

12. a) b) c) d)

A 5 x ? (0,5x) 5 0,5x2 Aamarelos 5 12 ? (0,5x2) 5 6x2 Aazuis 5 12 ? (0,5x2) 5 6x2 Atotal 5 24 ? (0,5x2) 5 12x2

8. 23a3b3 Exercícios, página 67. 1.

a10 4x8 2125y9 100a4b2 81x8y4 1 m4n2 f) 25 g) 0,25a2b4 h) a4m20x12 4 6 4 xy i) 9 j) a14c21 x 4y 4 l) 25 m) 0,01p10

Explorando, página 64. V1 5 a 1 2a 5 3a3 V2 5 a3 1 2a3 1 4a3 5 7a3 V3 5 2 ? (4a3) 1 2 ? (2a3) 1 2 ? a3 5 5 8a3 1 4a3 1 2a3 5 14a3 V4 5 2 ? (4a3) 1 2 ? (2a3) 1 2 ? a3 5 5 8a3 1 4a3 1 2a3 5 14a3 3

3

Exercícios, página 66. 1. a) b) c) d) e)

a5 x 1 4x3 23y3 1 3 ax f) 2 g) 24xy2 1 h) 3

216

a) b) c) d) e)

2.

a) (1,5b2c3)2 5 2,25b4c6 b) (0,4a5b3)3 5 0,064a15b9

1 x 2 3 2 4. (27y 1 10y 1 2y)  (210y 2 15y2) 5 5 (5y)3  (225y2) 5 (125y3)  (225y2) 5 25y 3. (22xy)2 (8xy2) 5 (4x2y2)(8xy2) 5

5.

a) (210x3)2 5 100x6 b) (100x6)  (5x4) 5 20x2


4 2  1 8 20  1 8 18 c) 2 7a 1 5b 2 9c 1 13b 1 10c 2 5a 2 8b 1 c 5  1 2 5  1 4 9 2 6. 2 2 a c   2 4 a c  1 c 5  16 a c    16 a c  1 c 5 5 2a 1 10b 1 2c         4 2 d) 6x 2 5y 1 3xy 1 2xy 2 5x 1 9y 1 4x 2  1 8 20  1 8 18    1 a2c5  2 a4c9 1 c2 5  ac    a c  1 c2 5 2 xy 2 y 5 5x 1 3y 1 4xy   16  16    4  e) 8x2 2 6x 1 1 1 7x 2 6x2 2 3 2 3x 2 x2 2 5 5 2 2 2 5 c 1 c 5 2c 5 x2 2 2x 2 7

Retomando o que aprendeu, página 68. (5x) ? (2,5x) 12,5x2 5 5 6,25x2 2 2 Alternativa d.

1. A 5

2. x2 2 0,2ax 1 2,5x2 2 a2 2 4,1ax 2 2x2 2 1,2a2 5 5 1,5x2 2 4,3ax 2 2,2a2 (trinômio) 3. a) x2 1 ax 1 ax 1 ax 1 x2 b) A 5 x ? x 1 a ? x 1 a ? x 1 a ? x 1 x ? x 5 2x2 1 3ax

 5x 1 x  1   1  1  2.  x 1 x 2 x ? 5 5   2 x ? 5 5 5 2    5  2    4. 0,5a 1 (2b 2 0,6ab 1 0,8a) 2 (0,7b 2 1,2ab) 5 7x 7x 1   6x  12x 2 5x  3 ,5 5 x 5 0,5a 1 2b 2 0,6ab 1 0,8a 2 0,7b 1 1,2ab 5 5 5 5 2 x ? 5 5  ? 5 ? 5 5  2 10 10 2   5   5 1,3a 1 1,3b 1 0,6ab 7x 7x  12x 2 5x  5x 5.   ? 5 5 10 ? 5 5 2 5 3,5 10   a) 7a2 2 5a2 1 9a 2 2 2 2a 1 a2 2 1 5 Alternativa c. 5 3a2 1 7a 2 3 3. Menor: 3,5x b) 8ab 2 a 2 7b 1 5 2 5ab 1 2 2 b 1 4a 1 Maior: 30 ? (3,5x) 5 10,5x 1 2ab 2 6b 5 5ab 1 3a 2 14b 1 7 Produto: (3,5x) ? (10,5x) 5 36,75x2 c) 5a 1 3b 2 5a 1 a 2 4b 1 b 5 a Alternativa b. d) 2x2 2 2xy 2 x2 1 3xy 1 y2 2 2y2 2 xy 5 5x 14x 1 5x 19x 5 x2 2 y2 5 5 5 9,5x 4. 7x 1 2 2 2 6. Alternativa a. a) Binômios: a2 2 b2, x 1 2a b) Trinômios: y2 2 2y 1 1, x2y2 1 4xy 1 4

11 – Polinômios

7. a) b)

Exercícios, página 70. 1. 2x 1 3y 2. 45 1 0,50x

23r2 1 5rs 1 9r2 1 rs 2 6s2 2 14s2 1 1 6r2 1 5rs 1 8s2 5 12r2 1 11rs 2 12s2 12 ? (0,5)2 1 11 ? (0,5) ? (0,2) 2 12 ? (0,2)2 5 5 3 1 1,1 2 0,48 5 3,62

3. 4x 1 2y

Exercícios, páginas 72 e 73.

4.

1. 6o grau.

a) 10x 1 y b) 10y 1 x

2. 3o grau em relação a x.

5.

3. 2x 1 x3 2 9x2 2 2 5 x3 2 9x2 1 2x 2 2

a) 2a 1 b b) 2a 2 b

4. Incompleto; x3 1 0x2 1 0x 2 1.

6. a ? a 1 b ? a 1 b ? a 1 b ? b 5 a2 1 2ab 1 b2

5. a) 5x5 1 7x4 1 2x3 2 5x2 2 x 1 3 b) 5o grau.

Exercícios, página 71.

6. x5 1 0x4 1 0x3 1 0x2 1 0x 1 1

1. a) 5y 1 4y3 2 1 1 2y2 2 y3 2 y 1 7y2 2 1 5 5 3y3 1 9y2 1 4y 2 2 b) a2x 2 5a2x2 1 3a2x 2 7ax2 1 a2x2 2 2 2a2x 1 5ax2 5 2a2x 2 4a2x2 2 2ax2

7. a) 4o grau. b) Incompleto. c) x4 1 0x3 2 10x2 1 0x 1 9

217


Desafio!, página 73.

9.

1. a) As medidas indicadas correspondem aos perímetros. b) 6x 2. P1 5 6x; P2 5 6x 1 6; P3 5 6x 1 12

10.

3. a) 6 ? (5x) 5 30x b) 10 ? (6x) 5 60x Exercícios, páginas 75 e 76. 1. x2 2 9x 1 5 1 3x2 1 7x 2 1 5 4x2 2 2x 1 4 2. a) b) c) d)

2x 1 5y 3x 1 2y 2x 1 5y 1 3x 1 2y 5 5x 1 7y 5 ? 60 1 7 ? 300 5 300 1 2 100 5 2 400 Juntos gastaram R$ 2 400,00.

11.

3. D 5 (5ax 2 10x 2 9a) 2 (3ax 2 8x 2 12a) 5 5 5ax 2 10x 2 9a 2 3ax 1 8x 1 12a 5 5 2ax 2 2x 1 3a 4.

1 2a a 1 4x 1 1 3x 1 a 1 3x 1 a 5 2 3 3a 1 4a 1 6a 1 6a 19a 5 13x 1 5 13x 1 6 6

a) P 5 3x 1

b) 13 ? 1 1

12.

19 ? 6 5 13 1 19 5 32 6

5. a) b) c) d)

0,6x 2 1 0,4x 1 2 0,6x 2 1 1 0,4x 1 2 5 x 1 1 (0,6x 2 1) 2 (0,4x 1 2) 5 0,2x 2 3

a) b) c)

Loja A: 0,6x 1 2y Loja B: 0,4x 1 3y Diferença: (0,6x 1 2y) 2 (0,4x 1 3y) 5 5 0,2x 2 y

a) Oposto: 28x3 1 5x2 1 9x 2 4 b) A soma de qualquer número com seu oposto é zero. c) (8x3 2 5x2 2 9x 1 4) 2 (28x3 1 5x2 1 9x 2 4) 5 5 16x3 2 10x2 2 18x 1 8 a) b) c) d)

P1 1 P2 1 P3 5 (a 1 b 1 c) 1 (a 2 b 1 c) 1 1 (a 1 b 2 c) 5 3a 1 b 1 c P1 1 P2 2 P3 5 (a 1 b 1 c) 1 (a 2 b 1 c) 2 2 (a 1 b 2 c) 5 a 2 b 1 3c P1 2 P2 1 P3 5 (a 1 b 1 c) 2 (a 2 b 1 c) 1 1 (a 1 b 2 c) 5 a 1 3b 2 c P1 2 P2 2 P3 5 (a 1 b 1 c) 2 (a 2 b 1 c) 2 2 (a 1 b 2 c) 5 2a 1 b 1 c

a) b)

P 1 Q 5 x2 1 a2 2 2ax 1 2x2 1 5ax 1 3a2 5 5 3x2 1 4a2 1 3ax v.n. 5 3 ? (24)2 1 4 ? 102 1 3 ? 10 ? (24) 5 5 3 ? 16 1 4 ? 100 2 120 5 5 48 1 400 2 120 5 328 P 2 Q 5 x2 1 a2 2 2ax 2 2x2 2 5ax 2 3a2 5 5 2x2 2 2a2 2 7ax v.n. 5 2(1,2)2 2 2 ? (0,5)2 2 7 ? (0,5) ? (1,2) 5 5 21,44 2 2 ? (0,25) 1 4,2 5 5 21,44 2 0,5 1 4,2 5 2,26

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

6a 2 15b 1 7c 7y2 2 4ay 1 5a2 22a3 1 5a2b 2 ab2 2 5b3 2x2 1 2y2 1 4x2y2 0,2a2 2 0,6b2 2 0,8c2 4a2 2 4ab 1 5b2 1 2c2 0,2x3 1 0,3x2 1 0,4x 2 6 2ab 1 2a2b2 3y3 2 6y2 1 3

6.

Exercícios, páginas 81 e 82. 1. a) b)

(ab 1 6) (ab 2 2) 5 a2b2 2 2ab 1 6ab 2 12 5 5 a2b2 1 4ab 2 12 (x 2 20) (x 1 9) 5 x2 1 9x 2 20x 2 180 5 5 x2 2 11x 2 180

7. (13x2 2 11x 2 15) 1 (27x2 2 2x 1 16) 5 5 6x2 2 13x 1 1 2. Ax2 1 Bx 1 C a) 2bx (1 2 a) 1 2x (a 2 b 2 c) 2 2x (a 2 c) 5 A 5 6, B 5 213, C 5 1 5 2bx 2 2abx 1 2ax 2 2bx 2 2cx 2 2ax 1 2cx 2 2ax 1 2cx 52 A1B1C561 1 5126 5(213) 2bx 21 2abx 2ax 2 2bx 2 2cx 2 2ax 1 2cx 2 2ax 1 2cx 52 2abx b) 3a (2a 2 b) 2 a (6a 2 3b) 2 b (3a 2 5b) 5 2 2 8. (7x 1 2xy 1 3y 2 2x y ) 2   2 2 2 2 2 2 2 (6x 2 13xy 1 2y 2 x y ) 5 5 6a 2 3ab 2 6a 1 3ab 1 3ab 2 5b 5 3ab 2 5b 2 2 2 2 2 2 5 x 1 15xy 1 y 2 x5y 6a 2 3ab 2 6a 1 3ab 1 3ab 2 5 b 5 3ab 2 5b

218


2 4 2 y ? (2x 2 y) 5 xy 2 y2 3 3 3 2 2 2 4. a ? (a 2 ab 1 b ) 1 b ? (a 2 ab 1 b2) 5 5 a3 2 a2b 1 ab2 1 a2b 2 ab2 1 b3 5 a3 1 b3 3. A verde 5

5. 10 ? (x 1 4y) 5 10x 1 40y 6. V 5 3x ? y ? (x 1 y) 5 3x2y 1 3xy2 7. A 5 (3x 1 2y) ? (3x 2 y) 5 5 9x2 2 3xy 1 6xy 2 2y2 5 5 9x2 1 3xy 2 2y2

d) (x 1 y)3 5 (x 1 y) (x 1 y) (x 1 y) 5 5 x3 1 3x2y 1 3xy2 1 y3 14. VI 5 x ? (3x 1 1) ? 2x 5 6x3 1 2x2 VII 5 (x 1 1) ? x ? (x 1 3) 5 x3 1 4x2 1 3x VI 1 VII 5 7x3 1 6x2 1 3x 15. A 5 (a 1 x)(a2 2 ax 1 x2) 5 a3 2 a2x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3

A 5 (a 1 x)(a2 2 ax 1 x2) 5 a3 2 a2x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3 B 5 (a 2 x)(a2 1 ax 1 x2) 5 a3 1 a2x 1 ax2 2 a2x 2 ax2 2 x3 5 a3 2 x3

B 5 (a 2 x)(a2 1 ax 1 x2) 5 a3 1 a2x 1 ax2 2 a2x 2 ax2 2 x3 5 a3 2 x3 8. A 5 (a 1 b)2 5 (a 1 b) (a 1 b) 5 5 a2 1 2ab 1 b2 A 2 B 5 (a3 1 x3) 2 (a3 2 x3) 5 2x3 2 2 v.n. 5 4 1 2 ? 4 ? 2 1 2 5 16 1 16 1 4 5 36 16. 9. Averde 5 (3x 1 y) ? (2x 2 y) 5 a) (x 2 2) (x 2 3) 2 (x 2 4) (x 2 5) 5 5 6x2 2 3xy 1 2xy 2 y2 5 6x2 2 xy 2 y2 5 (x2 2 5x 1 6) 2 (x2 2 9x 1 20) 5 4x 2 14 v.n. 5 6 ? 22 2 2 ? 1 2 12 5 24 2 2 2 1 5 21 b) (a3 2 b3)(2a 1 b) 2 (a2 1 b2)(a2 2 b2) 5 a4 1 a3b 2 ab3 2 b4 2 a4 1 a2b 2 (1,2a 1 0,5b)(1,2a 1 0,5b) 5 1,44a 2 0,6ab 1 0,6ab 1 0,6ab 10. 2 2 0,25b 4 3 3 4 4 2 2 2 2 4 (a3 2 b3)(a 1 b) 22(a2 1 b2)(a2 2 b ) 5 a 1 a b 2 ab 2 b 2 a 1 a b 2 a b 1 b 5 2 ,2a 1 0,5b)(1,2a 13 0,5b) 5 1,44a 2 0,6ab 1 0,6ab 1 0,6ab 2 0,25b (a 2 b3)(a 1 b) 22 (a2 1 b2)(2a2 2 b2) 5 a4 1 a3b 2 ab3 2 b4 2 a4 1 a2 b2 2 a2b2 1 b4 5 5 a3b 2 ab3 51,44a 2 0,25b c) (a 2 2b) a (b 2 3) 1 b (1 2 a) 5 (a 2 2b)  ab 2 3a 1 b 2 ab  5 11. (a 2 2b) a (b 2 3) 1 b (1 2 a) 5 (a 2 2b)  ab 2 3a 1 b 2 ab  5 a) (x 1 7) (x 1 5) 5 x2 1 12x 1 35 2 2 2 2 5 (a 2 2b) 23a 1 b 52 3a 1 ab 1 6ab 2 2b 52 3a 1 7ab 2 2b b) (y 2 6) (y 1 5) 5 y2 2 y 2 30 c) (2a 1 b) (a 2 5 2b) 52b) 23a 1 b 52 3a2 1 ab 1 6ab 2 2 b2 52 3a2 1 7ab 2 2b2 (a 2 2 5 2a 2 4ab 1 ab 2 2b2 5 2a2 2 3ab 2 2b2 d) (x 2 1)(x 1 1) 1 3(x 2 1)(x 2 1) 1 3(x 2 1) 1 1 5 d) (3a 2 1,5x) (0,7a 2 5x) 5 2 2 2 5 x 1 x 2 x 2 1 1 3x 2 3x 1 3x 1 3 1 3x 2 3 1 1 5 4x 2 3x 2 5 2,1a2 2 15ax 2 1,05ax 1 7,5x 5 5 x2 1 x 2 x 2 1 1 3x2 2 3x 1 3x 1 3 1 3x 2 3 1 1 5 4x2 2 3x 5 2,1a2 2 16,05ax 1 7,5x2 e) (2x 1 1) (26x2 2 5x 1 3) 5 17. (x2 2 xy 1 y2)(x2 1 xy 1 y2)(x2 2 y2) 5 5 212x3 2 10x2 1 6x 2 6x2 2 5x 1 3 5 5 (x4 1 x3y 1 x2y2 2 x3y 2 x2y2 2 xy3 1 x2y2 1 xy3 1 y4)(x2 2 y2) 5 5 212x3 24 16x32 1 x 1 3 5 (x 1 x y 1 x2y2 2 x3y 2 x2y2 2 xy3 1 x2y2 1 xy3 1 y4)(x2 2 y2) 5 (x4 1 x2y2 1 y4)(x2 2 y2) 5 x6 2 x4y2 1 x4y2 2 x f) (a2 2 1) (2a2 2 2a 1 1) 5 2 2 4 2 2 6 4 2 4 2 2 4 2 4 6 6 6 5 (x24 1 5 2a4 2 2a3 1 a2 2 2a2 1 2a 1x 5 y 1 y )(x 2 y ) 5 x 2 x y 1 x y 2 x y 1 x y 2 y 5 x 2 y 5 2a4 2 2a3 2 a2 1 2a 2 1 v.n. 5 26 2 (21)6 5 64 2 1 5 63

2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 g) (a 1 x)(a 2 ax 1 x ) 5 a 2 a x 1 ax 1 a x 2 ax 1 x 5 a 1 x 2 3 2 2 2 2 3 3 3 (a 1 x)(a 2 ax 1 x ) 5 a 2 a x 1 ax 1 a x 2 ax 1 x 5 a 1 x Desafio!, página 83. 2 x 1 ax2 1 a2x 2 ax2 1 x3 5 a3 1 x3 Pela ponta esquerda, na ordem: 12. (2x2 2 x 2 3) (3x2 1 x 2 2) 5 BRDRCRA 5 6x4 1 2x3 2 4x2 2 3x3 2 x2 1 2x 2 9x2 2 Pela ponta direita, na ordem: 2 3x 1 6 5 6x4 2 x3 2 14x2 2 x 1 6  A 5 ARCRDRB 5 6; B 5 21; C 5 214; D 5 21 e E 5 6, logo: A 1 B 1 C 1 D 1 E 5 6 2 1 2 14 2 1 1 6 5 24 Brasil real, páginas 84 e 85. 13. 1. a) (x 1 6)2 5 (x 1 6) (x 1 6) 5 x2 1 12x 1 36 2 a) Nordeste: x; Norte: x 1 1,3; Centrob) (a 2 2b) 5 (a 2 2b) (a 2 2b) 5 -Oeste: x 1 4; Sudeste: x 1 5; Sul: x 1 5. 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 b) Nordeste: y; Norte: y 1 2,7; Centro-Oeste: c) (1 1 3xy) 5 (1 1 3xy) (1 1 3xy) 5 y 1 4,3; Sudeste: y 1 4; Sul: y 1 5,3. 5 1 1 6xy 1 9x2y2 2

219


2.

(82,2 1 0,2 1 80,2 1 79,6 1 78,9 1 78,5 1 77,5 1 75,3 1 71,9 1 70,8 1 65,2 1 65,2 1 63,6 1 47,0) 13 950,9 Média 5 13 5 73,14 anos

a) Média 5 b) c) d)

Maior esperança de vida: 82,2 anos no Japão Menor esperança de vida: 47 anos na África do Sul Variação da esperança: 82,2 2 47 5 35,2 anos. Variação Japão/Brasil: 82,2 2 70,8 5 11,4 anos Segundo dados do PNUD, a pior expectativa de vida ao nascer do planeta é a Suazilândia, na África, com 31,3 anos. Exercícios, páginas 89 e 90.

7.

12x2 1 5x 2 2 3x 1 2

1. a) b) c) d) e)

27x2 1 2 a 2 b2 7x2 2 4ax 5y4 2 8y3 2 3 (x4y4 1 x4y6 2 x5y5)  (x4y4) 5 1 1 y2 2 xy 3 f) a3b 2 a 2 5 g) 2x4 2 x2 1 x 2 3 3 1 2 2 5 h) 2 3 a b 1 4 ab

212x2 2 8x 2 3x 2 2 3x 1 2 0 8.

2x4 2 9x3 2 6x2 1 16x 2 3 2 2x4 2 x3 1 3x2

(60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4)  (10ax) 5 5 6a3x 2 4ax3 1 9a3x3 (60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4)  (10a2x2) 5 5 6a2 2 4x2 1 9a2x2 (60a4x2 2 40a2x4 1 90a4x4)  (210a2x) 5 5 26a2x 1 4x3 1 9a2x3

3. (12a2x3 1 15a3x2)  (3ax) 5 4ax2 1 5a2x

x2 2 5x 1 1

10x3 1 5x2 2 15x 2x2 1 x 2 3 2 2x2 2 x 1 3 0 P 5 x2 2 5x 1 1 v.n. 5 52 2 5 ? 5 1 1 5 1 9.

a)

x3 2 3x2 2 x 1 6

x 22

4. (x3y3 1 4x2y2 2 x2y) 1 (23x2y2 1 2x2y 2 xy2 2 xy) (xy) 5 2 x3 1 2x2 (x y 1 4x y 2 x2y) 1 (23x2y2 1 2x2y 2 xy2 2 xy) (xy) 5 2 x2 2 x 1 6 3 3 2 2 2 2 2 2 5 x y 1 x y 1 x y 2 xy 2 xy (xy) 5 x y 1 xy 1 x 2 y 2 1 x2 2 2x 2 2 2 2 2 1 x y 2 xy 2 xy (xy) 5 x y 1 xy 1 x 2 y 2 1 2 3x 1 6 3 3

x2 2 x 2 3

2 2

5 4 3 2 3 2 5. (2a 2 8a 2 20a )(2a ) 2 (a 1 4a 2 10a) 5 5 a3 2 4a2 2 10a 2 (a3 1 4a2 2 10a) 5 2 8a2

6. (6x2 1 13x 2 5)  (3x 2 1) v.n. para x 5 20,5 6x2 1 13x 2 5 3x 2 1 26x2 1 2x

0 v.n. 5 2 ? (20,5) 1 5 5 21 1 5 5 4

220

3x 2 6 0 2 Q5x 2x23 R50 b) 2x2 1 7x 2 15 22x2 2 10x

2x 1 5

15x 2 5 215x 1 5

2x2 1 x 2 3

2 10x3 2 3x2 1 16x 2 3

2. a) b) c)

4x 2 1

2 3x 2 15 3x 1 15 0 Q 5 2x 2 3 R50

x 15 2x 2 3


c) x3 1 2x2 2 3x 2 5 3 2 2 x 2 x 1 2x

11. 2

x 1 x 22

2x3 2 7x2 1 11x 2 10

x 11

3

22x 1 4x

x2 2 x 2 5

2 x 2 x 12

Q5x11 R 5 22x 2 3

2x2 2 3x 1 5

23x2 1 11x 2 10

2

Ax2 1 Bx 1 C

3x2 2 6x 5x 2 10 2 5x 1 10

2 2x 2 3

∴ A 5 2, B 52 3, C 5 5

0 5A 1 3B 1 2C 5 10 2 9 1 10 5 11

d) x3 2 1

x 21

3

2x 1 x

2

12.

2

x 1 x 11

x5

2

x 21

2 x3 1 5x2

2 2x4

2

2 x 1x

5

4

3

(1)

2 6x 1 30 3

2

x 2 2x 1 5x 1 7x 2 16x 1 30 5

2x 1 2x4 2 6x3

0

1 2x2 2 10x 6x

x 21 2x 11

x 22

2

x2 2 2x 1 6 x3 2 x 1 5

2x3 1 7x2 2 16x 1 30

Q 5 x2 1 x 1 1 R50

x3 2 2x2 1 6x 2

15x 2 10x 1 30

e) 5

4

3

2

6x 1 3x 2 13x 2 4x 1 5x 1 3 26x

5

3

1 4x 1 2x 4

3

2

25x2 1 10x 2 30

3

3x 2 2x 2 1

0

3 2x2 1 x 23

v.n. 5 (22)3 2 (22) 1 5 5

2

3x 2 9x 2 2x 1 5x 1 3 23x4

5 28 1 2 1 5 5 21

1 2x2 1 x 2 9x3

1 6x 1 3

1 9x3

2 6x 2 3 0

Q 5 2x 1 x 2 3 R50 2

13. 9x3 2 36x2 1 29x 2 6 x 2 3 29x3 1 27x2 29x2 1 29x 2 6 9x2 2 27x 2x 2 6 2 2x 1 6

10. 22x4 1 5x2 1 2x 1 4 2x4 2 8x2

x2 2 4 2 2x2 2 3

2

2 3x 1 2x 1 4 3x2

9x2 2 9x 1 2

212 2x 2 8

Q 5 22x2 2 3 R 5 2x 2 8 Q 1 R 5 22x2 1 2x 2 11

0 2

 1  1 v.n.5 9 ? 2  2 9 ? 2  1 2 5 3  3   59 ?

1 9 1 12 5 9 3

51 13 12 56 14. (2x 1 3) ? (x 2 1) 1 6 5 5 2x2 2 2x 1 3x 2 3 1 6 5 2x2 1 x 1 3

221


15. 3x3 2 2x2 2 41x 1 60

x 23

23x3 1 9x2

3x2 1 7x 2 20

2

7x 2 41x 1 60

2

23x 2 12x

27x2 1 21x

3x 2 5

2 5x 2 20

2 20x 1 60

5x 1 20

20x 2 60

¨

x14

0

0 O terceiro fator é 3x 2 5. 16. P 5 (x2 2 1) ? (x 1 2) 1 (x 2 3) 5 x3 1 2x2 2 x 2 2 1 x 2 3 P 5 x3 1 2x2 2 5 x3 1 2x2 2 5

x 22

2x3 1 2x2

x2 1 4x 1 8

4x2 2 5 24x2 1 8x 8x 2 5 28x 1 16 Q 5 x2 1 4x 1 8 R 5 11 17.

11

3x3 2 15x2 2 12x 1 60 23x3

1 12x

x2 2 4 3x 2 15 5 P1

215x2

1 60

15x2

2 60 0

3x3 2 15x2 2 12x 1 60 x2 2 7x 1 10 23x3 1 21x2 2 30x

3x 1 6 5 P2

2

6x 2 42x 1 60 26x2 1 42x 2 60 0 P1 ? P2 5 (3x 2 15) ? (3x 1 6) 5 5 9x2 1 18x 2 45x 2 90 5 9x2 2 27x 2 90 Tratando a informação, páginas 90 e 91. 1.

222

(74, 4 2 66,8) 1 (74,7 2 67) 1 (74,9 2 67,3) 1 (75,2 2 67 7,6) 1 (75,5 2 67,9) 1 (75,8 2 68,2) 6 7,6 1 7,7 1 7,6 1 7,5 1 7,6 1 7,6 45,6 Média 5 5 5 7,6 anos 6 6 75,8 1 68,2 144 b) Em 2005: Média 5 5 5 72 2 2 74, 4 1 66,8 141,2 Em 2000: Média 5 5 5 70,6 2 2 Diferença: 72 2 70,6 5 1,4 ano

a) Média 5


c)

Idade (em anos)

Expectativa de vida ao nascer 78 76 74 72 70 68 66

74,4

74,7

66,8 67,0

74,9

67,3

75,2

75,5

75,8

67,6

67,9

68,2

1 2 1  1   x 6. 1 1 x 1 2 x 5 1 2 16 4  4   1 16 v.n.5 1 2 ? 42 5 1 2 51 21 5 0 16 16 7. (2a 1 3)2 1 (a 2 5)2 5 4a2 1 12a 1 9 1 a2 2 2 10a 1 25 5 5a2 1 2a 1 34 2

05

03

02

01

04

20

20

20

20

20

20

00

8. (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 2 2(x2 2 1) 5 x2 1 2x 1 1 1 x2 2 2x 1 1 2 2x 1 2 5 2 (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 2 2(x2 2 1) 5 x2 1 2x 1 1 1 x2 2 2x 1 1 2 2x 1 2 5 4 9. Ano Homens Mulheres a) Verdadeira. b) Falsa; (3y 2 a) (3y 1 a) 5 9y2 2 a2. 2. c) Falsa; (2c 1 a)2 5 4c2 1 4ac 1 a2. a) Mais: Distrito Federal d) Verdadeira. Menos: Alagoas 10. (2a 1 b)2 2 6ab 2 (a 2 b)2 5 4a2 1 4ab 1 b2 2 6ab 2 a2 1 2ab 2 b2 5 b) Não, apenas o 2o e o 3o lugares: Santa 2a 1 b)2 2 6ab 2 (a 2 b)2 5 4a2 1 4ab 1 b2 2 6ab 2 a2 1 2ab 2 b2 5 3a2 Catarina e Rio Grande do (Sul. 11. (3xy 1 7) (3xy 1 7) 5 (3xy 1 7)2 5 1921,1 c) Média 5 5 71,1 anos 5 9x2y2 1 42xy 1 49 27 Abaixo da média estão 14 estados. d) Resposta em aberto.

12. ((x 1 4)2 2 (x2 1 8x) 5 x2 1 8x 1 16 2 x2 2 8x 5 16

13. (a 2 2b)2 2 (a2 2 2ab 1 4b2) 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 a2 1 2ab 2 4b2 52 2a (a 2 2b)2 2 (a2 2 2ab 1 4b2) 5 a2 2 4ab 1 4b2 2 a2 1 2ab 2 4b2 52 2ab

12 – Os produtos notáveis Exercícios, páginas 97 e 98. 1. a) 49a2 2 1 b) 4 1 36x 1 81x2 c) 36x2 2 12xy 1 y2 4 d) 9x2 1 4ax 1 a2 9 e) a8 2 m8 f) a6 1 12a3y2 1 36y4 g) m4 1 4m2n3 1 4n6 1 h) b2c2 2 a2 9 i) 9a2b2 1 6ab 1 1 2. a) (2a2 1 0,6b) (2a2 2 0,6b) 5 4a4 2 0,36b2 b) (1 1 0,5x) (1 2 0,5x) 5 1 2 0,25x2 c) (abc 1 1,6) (abc 2 1,6) 5 a2b2c2 2 2,56

14. x2 1 y2 5 153; xy 5 36 (x 1 y)2 5 x2 1 2xy 1 y2 5 x2 1 y2 1 2xy 5 5 153 1 2 ? 36 5 153 1 72 5 225 15. a2 1 4b2 5 30; ab 5 5 (a 2 2b)2 5 a2 2 4ab 1 4b2 5 5 a2 1 4b2 2 4ab 5 30 2 4 ? 5 5 5 30 2 20 5 10 16. O outro é b 1 c, pois (b 2 c) (b 1 c) 5 b2 2 c2. 17. (b3 2 a) (b3 1 a) 1 (b2 2 a) (b2 1 a) 1 1 (b 2 a) (b 1 a) 5 5 b6 2 a2 1 b4 2 a2 1 b2 2 a2 5 5 b6 1 b4 1 b2 2 3a2 v.n. 5 (21)6 1 (21)4 1 (21)2 2 3 ? (21)2 5 5111112350 18. O quadrado da soma de dois números mais 5: (x 1 y)2 1 5. Alternativa c. 19.

3. (3x 1 5) (3x 2 5) 5 9x2 2 25 Alternativa a. 4. (2x 2 y3)2 5 4x2 2 4xy3 1 y6 A resposta de Caio está errada.

a) 6x b) 6x c) x2 1 6x 1 6x 1 36 5 x2 1 12x 1 36

20.

a) (a 1 b)3 5 a3 1 3a2b 1 3ab2 1 b3 5. (a 2 b)2 1 (a 1 b)(a 2 b) 2 (a 1 b)2 5 b) (1 2 2a)3 5 1 2 6a 1 12a2 2 8a3 2 2 2 2 2 2 2 5 a 2 2ab 1 b 1 a 2 ab 1 ab 2 b 2 a 2 2ab 2 b 5c) a2 2 4ab (2x 12 y)b3 5 8x3 1 12x2y 1 6xy2 1 y3 2 2 2 2 2 2 a 2 ab 1 ab 2 b 2 a 2 2ab 2 b 5 a 2 4ab 2 b d) (4y 21)3 5 64y3 2 48y2 1 12y 2 1

223


s) x (a 1 b) 1 y2 (a 1 b) 2 z (a 1 b) 5 21. (a 2 b)3 2 (a3 2 b3) 1 4ab (a 2 b) 5 5 (a 1 b) (x 1 y 2 z) 5 a3 2 3a2b 1 3ab2 2 b3 2 a3 1 b3 1 4a2b 2 4ab2 5 a2b 2 ab2 2 5 3 3 2 1 2 2 b3 2 a3 1 b3 1 4a2b 2 4ab2 5 a2b 2 ab2 t) x 2 x 5 x (5x 2 3) 4 4 4

13 – Fatorando polinômios Exercícios, página 100.

2. a) 2mx2 2 2my2 5 2m (x2 2 y2) b) v.n. 5 2 ? 10 ? 16 5 320

1. a) 30 5 2 ? 15 5 3 ? 10 5 5 ? 6 b) 60 5 2 ? 30 5 3 ? 20 5 6 ? 10 c) 48 5 2 ? 24 5 3 ? 16 5 4 ? 12 d) 120 5 2 ? 60 5 3 ? 40 5 4 ? 30 Existem outras possibilidades. 2. a) b) c) d)

180 5 22 ? 32 ? 51 420 5 22 ? 31 ? 51 ? 71 200 5 23 ? 52 648 5 23 ? 34

ab a2b ab2 ab  1 a  1 2 5 1 2 b 8 4 2 2  4 2 

u)

3. xy3 1 7xy2 23xy 5 xy ? (y2 1 7y 2 3) v.n. 5 6 ? (20 2 3) 5 6 ? 17 5 102 4. a (2x 2 y) 1 b (2x 2 y) 1 c (2x 2 y) 5 5 (2x 2 y) (a 1 b 1 c) v.n. 5 20 ? 12 5 240 5.

semiperímetro

 3x y 1 3xy 53xy ? (x 1 y)  2

2

área

3. ax 1 ay 5 a ? (x 1 y)

v.n.5 3 ? 32 ?

4. a) x2 2 y2 5 (x 1 y) (x 2 y) b) b2 2 c2 5 (b 1 c) (b 2 c)

24 5 1152 2 Desafio!, página 104.

ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 Exercícios, páginas 102 e 103. soma dos + velhos  ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 a(c 1 d) 1 b(c 1 d) 5 (c 1 d) (a 1 b) 1.  soma dos 1 novos a) 10a 1 10b 5 10 (a 1 b)  ac 1 ad 1 bc 1 bd 5 59 ? 34 5 2 006 b) 4a 2 3ax 5 a ? (4 2 3x) 2 c) a 1 5ab 5 a ? (a 1 5b) Exercícios, página 105. d) xy 1 y2 2 y 5 y ? (x 1 y 21) e)

1 1 1 1  a 1 b 5 a 1 b 3 6 3 2 

f) 35c 1 7c2 5 7c ? (5 1 c) g) 24x5 2 8x4 2 56x3 5 8x3 (3x2 2 x 2 7) h) p ? a2 1 pab 1 pb2 5 p (a2 1 ab 1 b2) i) 35x3y2 2 14x2y3 5 7x2y2 ? (5x 2 2y) j) y 1 y3 1 y5 1 y75 y (1 1 y2 1 y4 1 y6) l) xy 2 x3y3 5 xy ? (1 2 x2y2) m) 120ax3 2 100ax2 1 60ax 5 5 20ax (6x2 2 5x 1 3) n) a (m 1 1) 2 b (m 1 1) 5 (m 1 1) (a 2 b) o) x (n 1 h) 1 y (n 1 h) 5 (n 1 h) (x 1 y) p) b2m2 1 4b2mn 5 b2 ? m (m 1 4n) 2 5 8 3 2 3 2 q) a 1 a 5 a (a 1 4) 3 3 3 3 5 a a a a r) 1 1 5 ? (1 1 a2 1 a4) 2 2 2 2

224

 (c 1 d)

soma dos + velhos

1. a) b) c) d) e) f) g)

a2 1 ab 1 ax 1 bx 5 5 a (a 1 b) 1 x (a 1 b) 5 (a 1 b) (a 1 x) ax 2 x 1 ab 2 b 5 5 x (a 2 1) 1 b (a 2 1) 5 (a 2 1) (x 1 b) a5 1 a3 1 2a2 1 2 5 5 a3 (a2 1 1) 1 2 (a2 1 1) 5 5 (a2 1 1) (a3 1 2) bx2 2 2by 1 5x2 2 10y 5 5 b (x2 2 2y) 1 5 (x2 2 2y) 5 5 (x2 2 2y) (b 1 5) cx 1 x 1 c 1 1 5 5 x ? (c 1 1) 1 1 ? (c 1 1) 5 (c 1 1) (x 1 1) 2b2 1 2 2 b2k 2 k 5 5 2 (b2 1 1) 2 k (b2 1 1) 5 (b2 1 1) (2 2 k) 5y3 2 4y2 1 10y 2 8 5 5 y2 (5y 2 4) 1 2 (5y 2 4) 5 (5y 2 4) (y2 1 2)

(a 1 b) 

soma dos 1 novos


a g)  49h2 2 81p2 5 (7h 1 9p) (7h 2 9p) 2  1   1  1 h) 2 x2y2 5  1 xy  2 xy 100    10  10 2 c c  c  i) b2 2 5 b1  ? b 2  16  4  4 a2  1 a  1 a 1 j) 2 5 1  ? 2  25 4 2  5 2 5 4 4 2 2 2 2 l) x 2 y 5 (x 1 y ) (x 2 y ) m) a2b4 2 x2 5 (ab2 1 x) (ab2 2 x) n) a6 2 b6 5 (a3 1 b3) (a3 2 b3) 1 o) x10 2 100 5 (x5 1 10) (x5 2 10) 1 y 2  p) y8 2 9 5 (y4 1 3) (y4 2 3) q) r2 2 81s4 5 (r 1 9s2) (r 2 9s2)

ax a a  2 5 1 (x 2 1) 1 (x 2 1) 5 (x 2 1) 1 1 2 2 2  a a a  2 5 1 (x 2 1) 1 (x 2 1) 5 (x 2 1) 1 1  2 2 2  h) x 2 1 1

i) 15 1 5y 1 2ay 1 6a 5 5 5 (3 1 y) 1 2a (y 1 3) 5 (y 1 3) (5 1 2a) j) a12 1 a8 2 a4 2 1 5 a8 (a4 1 1) 2 1 ? (a4 1 1) 5 5 (a4 1 1) (a8 2 1) l) 2an 1 n 2 2am 2 m 5 5 n (2a 1 1) 2 m (2a 1 1) 5 (2a 1 1) (n 2 m) 1 1 1  m) 1 x 1 xy 1 y 5 (1 1 x) 1 y (x 1 1) 5 (x 1 1)  2 2 2  1 1  y 1 y 5 (1 1 x) 1 y (x 1 1) 5 (x 1 1)  1 y 2 2  2. ac 2 bc 1 ad 2 bd 5 5 c (a 2 b) 1 d (a 2 b) 5 (a 2 b) (c 1 d) v.n. 5 (21, 1) ? (2, 5) 5 22,75

2.

3. a) b) c)

ax 2 bx 1 cx 1 ay 2 by 1 cy 5 5 x (a 2 b 1 c) 1 y (a 2 b 1 c) 5 5 (a 2 b 1 c) (x 1 y) am 1 bm 1 m 2 an 2 bn 2 n 5 5 m (a 1 b 1 1) 2 n (a 1 b 1 1) 5 5 (a 1 b 1 1) (m 2 n) a (x 1 y) 1 b (x 1 y) 1 x (a 1 b) 1 y (a 1 b) 5 5 (x 1 y) (a 1 b) 1 (a 1 b) (x 1 y) 5 5 2 (a 1 b) (x 1 y)

4. a) x2 2 xz 1 2xy 2 2yz 5 5 x (x 2 z) 1 2y (x 2 z) 5 (x 2 z) (x 1 2y) b) v.n. 5 5 ? 27 5 135 5.

5x 1 2y 5 29 2x 2 2y 5 13 

1

7x 5 42 ⇒ x 5 6

v. n. 5

18 26 ? 5 9 ? 13 5 117 2 2

a) b) c) d) e) f)

(x 2 5)2 2 16 5 (x 2 5 1 4) (x 2 5 2 4) 5 5 (x 2 1) (x 2 9) (y 1 1)2 2 9 5 (y 1 1 1 3) (y 1 1 2 3) 5 5 (y 1 4) (y 2 2) (a 1 b)2 2 c2 5 (a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) (m 1 5)2 2 25 5 5 (m 1 5 1 5) (m 1 5 2 5) 5 m (m 1 10) (3x 2 1)2 2 x2 5 5 (3x 2 1 1 x) (3x 2 1 2 x) 5 5 (4x 2 1) (2x 2 1) (x3 1 2)2 2 x6 5 5 (x3 1 2 1 x3) (x3 1 2 2 x3) 5 5 2 (2x3 1 2)

a) b)

x2 2 (x 2 y)2 5 (x 1 x 2 y) (x 2 (x 2 y)) 5 5 (2x 2 y) ? y x2 2 (x 1 2)2 5 (x 1 x 1 2) (x 2 (x 1 2)) 5 5 (2x 1 2)  (22)

3.

4. a2b2 2 x2 5 (ab 1 x) (ab 2 x) v.n. 5 7 ? 3 5 21 5. 9x2 2 y2 5 (3x 1 y) (3x 2 y) v.n. 5 (26) ? (212) 5 72

Exercícios, página 107. 1. a) x2 2 81 5 (x 1 9) (x 2 9) b) 100 2 a2 5 (10 1 a) (10 2 a) 4 2 2  c) b2 2 5 b 1  b 2  25  5 5 d) 1 2 m2n2 5 (1 1 mn) (1 2 mn) e) 16x2 2 9y2 5 (4x 1 3y) (4x 2 3y) 1   1 1 f) 2 4y2 5  1 2y  2 2y 9   3 3

Exercícios, páginas 109 e 110. 1. a) b) c) d)

Sim; (x 1 3y)2. Sim; (4a 2 3x)2. Não. Sim; (2x 2 1)2.

2. 4x2 1 16x 1 16 5 4 ? (x2 1 4x 1 4) 5 5 4 ? (x 1 2)2

Alternativa d.

225


x 5 0  3. x 1 10x 1 25 5 (x 1 5)  O lado mede b) x 2 12x 5 0 ⇒ x (x 2 12) 5 0 ⇒ ou x 2 12 5 0 ⇒ x 5 12 x 1 5. x 5 0   2 x 2 12x 5 0 ⇒ x (x 2 12) 5 0 ⇒ ou 4. x 2 12 5 0 ⇒ x 5 12 a) 4x2 2 12xy 1 9y2 5 (2x 2 3y)2  2 2 b) y 1 10y 1 25 5 (y 1 5) x 5 0  2 2 2 c) x 1 5x 5 0 ⇒ x (x 1 5) 5 0 ⇒ ou c) 81n 2 18n 1 1 5 (9n 2 1) x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 x 5 0 d) 4a2 1 16ax 1 16x2 5 (2a 1 4x)2   2 e) 121x2y2 1 44xy 1 4 5 (11xy x1 1 2)52 x 5 0 ⇒ x (x 1 5) 5 0 ⇒ ou 2 x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 2 1 1   f) x2 2 x 1 5 x 2  x 1 1 5 0 ⇒ x 521 5 25  5  2 d) x 2 1 5 0 ⇒ (x 1 1)(x 2 1) 5 0 ⇒ ou g) 100p2 2 20np 1 n2 5 (10p 2 n)2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 x 1 1 5 0 ⇒ x 521  h) y2 1 14y 1 49 5 (x 1 7)2  2 0 ⇒ ou 6 3 3 2x 2 1 5 0 ⇒ (x 1 1)(x 2 1) 5  i) a 1 12a 1 36 5 (a 1 6) 2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 1 1 1 1 1  j) m2 2 m 1 5  m 2  4 3 9 2 3 x 1 8 5 0 ⇒ x 52 8  2 l) 4p2 2 28p 1 49 5 (2p 2 7)2 e) x 2 64 5 0 ⇒ (x 1 8)(x 2 8) 5 0 ⇒ ou x 2 8 5 0 ⇒ x 5 8 m) 16x4 1 8x2y 1 y2 5 (4x2 1 y)2 x 1 8 5 0 ⇒ x 52 8   2 2 n) x2 2 2bcx 1 b2c2 5 (x 2 xbc) 2 64 5 0 ⇒ (x 1 8)(x 2 8) 5 0 ⇒ ou x 2 8 5 0 ⇒ x 5 8 o) m10 1 4m5n3 1 4n6 5 (m5 1 2n3)2  x 5 0 5.  2 f) x 2 9 x 5 0 ⇒ x ( x 2 9 ) 5 0 ⇒ ou a) Sim; (x 1 8y)2. x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 x 5 0 b) v.n. 5 102 5 100   x2 2 9x 5 0 ⇒ x (x 2 9) 5 0 ⇒ ou 6. (x2 1 2xy 1 y2) 1 (x2 2 2xy 1 y2) 5 x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9  5 (x 1 y)2 1 (x 2 y)2 x 1 9 5 0 ⇒ x 52 9 v.n. 5 (29)2 1 132 5 81 1 169 5 250  g) x2 2 81 5 0 ⇒ (x 1 9)(x 2 9) 5 0 ⇒ ou 7. x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9 x 1 9 5 0 ⇒ x 52 9   a) 11 2 x 2 81 5 0 ⇒ (x 1 9)(x 2 9) 5 0 ⇒ ou b) 112x x 2 9 5 0 ⇒ x 5 9  c) 12a x 5 0 d) 2abx  h) x2 2 x 5 0 ⇒ x (x 2 1) 5 0 ⇒ ou e) 19 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1 x 5 0  f) 1x  2 x 2 x 5 0 ⇒ x (x 2 1) 5 0 ⇒ ou 8. 4a2 2 12a 1 9 5 (2a 2 3)2 x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1  2 v.n. 5 (27) 5 49 x 1 0,6 5 0 ⇒ x 52 0,6  i) x2 2 0,36 5 0 ⇒ (x 1 0,6)(x 2 0,6) 5 0 ⇒ ou Exercício, página 110. x 2 0,6 5 0 ⇒ x 5 0,6 x 1 0,6 5 0 ⇒ x 52 0,6  3 3 22 2  a) a 1 b 5 (a 1 b) (ax 2 ab 20 ,3615b0)⇒ (x 1 0,6)(x 2 0,6) 5 0 ⇒ ou b) m3 2 n3 5 (m 2 n) (m2 1 mn 1 n2) x 2 0,6 5 0 ⇒ x 5 0,6  c) x3 2 8 5 (x 2 2) (x2 1 2x 1 4) d) a3 1 1 5 (a 1 1) (a2 2 a 1 1) Exercícios, página 112. Exercício, página 111. x 1 5 5 0 ⇒ x 52 1. 5  a) x2 2 25 5 0 ⇒ (x 1 5)(x 2 5) 5 0 ⇒ ou a) a4 2 b4 5 (a2 1 b2) (a2 2 b2) 5  2 2 x 1 5 5 0 ⇒ x 52 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5 5 (a 1 b ) (a 1 b) (a 2 b)  2 25 5 0 ⇒ (x 1 5)(x 2 5) 5 0 ⇒ ou b) 3x2 2 6x 1 3 5 3 ? (x2 2 2x 1 1) 5 x 2 5 5 0 ⇒ x 5 5  5 3 ? (x 2 1)2 2

226

2

2


c) d)

m2x 2 x 5 x ? (m2 2 1) 5 5 x ? (m 1 1) (m 2 1) 5a2 1 30ab 1 45b2 5 5 5 (a2 1 6ab 1 9b2) 5 5 ? (a 1 3b)2

14 – Cálculo do m.m.c. de polinômios

e) x3y 2 xy3 5 xy(x2 2 y2) 5 5 xy ? (x 1 y) (x 2 y) f) m8 2 n8 5 (m4 1 n4) (m4 2 n4) 5 5 (m4 1 n4) (m2 1 n2) (m2 2 n2) 5 5 (m4 1 n4) (m2 1 n2) (m 1 n) (m 2 n) g)

Exercícios, páginas 114 e 115. 1. a) m.m.c. (54, 72) 5 23 ? 33 5 216 54 5 21 ? 33 72 5 23 ? 32

x3 2 xy2 1 x2y 2 y3 5 5 x (x2 2 y2) 1 y (x2 2 y2) 5 5 (x2 2 y2) (x 1 y) 5 5 (x 1 y) (x 2 y) (x 1 y) 5 5 (x 1 y)2 (x 2 y)

b)

m.m.c. (200, 100, 80) 5 24 ? 52 5 400 200 5 23 ? 52 100 5 22 ? 52 80 5 24 ? 5

c) m.m.c. (42, 63, 105) 5 2 ? 32 ? 5 ? 7 5 630 42 5 2 ? 3 ? 7 63 5 32 ? 7 1  105 1   1   51 3 ? 5 ? 7  p2 1 2 p2 5 1 1 p2 1 1 p 1 2 p 2d)  m.m.c. 2 (18, 4   4   24, 36, 72) 5 23 ? 32 5 72   1   18 5 2 ? 32 p 1 2 p 2   24 5 23 ? 3

h) a4 2 ax3 5 a (a3 2 x3) 5 5 a (a 2 x) (a2 1 ax 1 x2) 1 4  1 p 5 1 1 16 4  1  1   1  1  p4 5 1 1 p2 1 2 p 2 5 1 1 p2 1 1 4  4   4  2  i) 1 2

2 36 5 22 ? 32 4 2 4 4 4 2   y 1 y 5 y  y2 1 y 1  5 y  y 1  72 5 23 ? 32 3 9 3 9 3   2 4 4 4 2   1 y 5 y  y2 1 y 1  5 y  y 1  x 5 5 ? 72  2 2 9 3 9 3   2.  ⇒ m.m.c. (x, y) 5 2 ? 5 ? 7 5 2 450 y 5 2 ? 52 ? 7 l) x3y 2 y 5 y (x3 2 1) 5 y (x 2 1) (x2 1 x 1 1)

j) y3 1

m) ax2 2 a 1 bx2 2 b 5 5 a (x2 2 1) 1 b (x2 2 1) 5 5 (x2 2 1) (a 1 b) 5 5 (x 1 1) (x 2 1) (a 1 b) 2. 5x2 2 10xy 1 5y2 5 5 (x2 2 2xy 1 y2) 5 5 5 (x 2 y)2 v.n. 5 5 ? 62 5 5 ? 36 5 180 3. ab2 2 ac2 1 b3 2 bc2 5 5 a (b2 2 c2) 1 b (b2 2 c2) 5 5 (b2 2 c2) (a 1 b) 5 (b 1 c) (b 2 c) (a 1 b) 4. x3y 1 2x2y2 1 xy3 5 xy (x2 1 2xy 1 y2) 5 5 xy (x 1 y)2 v.n. 5 10 ? (25)2 5 10 ? 25 5 250 5. ax3 2 ax 1 bx3 2 bx 5 5 ax (x2 2 1) 1 bx (x2 2 1) 5 5 (x2 2 1) (ax 1 bx) 5 5 (x 1 1) (x 2 1) x (a 1 b) 5 5 x (a 1 b) (x 1 1) (x 2 1)

3.

4.

x 5 23 ? 3 ? 11 3 2  ⇒ m.m.c. (x, y) 5 2 ? 3 ? 5 ? 11 5 3 960 y 5 32 ? 5 ? 11

a 5 25 ? 53  7 3  ⇒ m.m.c. (a, b) 5 2 ? 5 5 16000 b 5 27 ? 52

5. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) l)

m.m.c. (xy6, x4y5) 5 x4y6 m.m.c. (a5x2, a2y) 5 a5x2y m.m.c. (xy3, x2y2, x4y) 5 x4y3 m.m.c. (3x6, 5x4) 5 15x6 m.m.c. (ab3, a4c2, bc) 5 a4b3c2 m.m.c. (x3y3, x4y2, x2y5) 5 x4y5 m.m.c. (9x3, 6ax2) 5 18ax3 m.m.c. (4a, 6a2b, 9b3) 5 36a2b3 m.m.c. (18a2b3, 24ab4) 5 72a2b4 m.m.c. (12b2c, 16bc5, 20b3c) 5 240b3c5 m.m.c. (15m3x, 10mx3, 20m2x2) 5 5 60m3x3 m) m.m.c. (14a2p6, 21a4p3, 42a5p5) 5 42a5p6

227


6.

 8x2 2 a)  m.m.c. 5 8x (x 2 5) 2x 2 10 5 2 (x 2 5) b)

c)

 2 3  m.m.c. 5 x y (x 1 y) x 1 x y 5 x (x 1 y) xy3 3

2

2

8. 6x2 2 4xy 2 9px 1 6py 5 5 2x (3x 2 2y) 2 3p (3x 2 2y) 5 5 (3x 2 2y) (2x 2 3p) 4x2 2 12px 1 9p2 5 (2x 2 3p)2 m.m.c. 5 (3x 2 2y) (2x 2 3p)2

  m.m.c. 5 a (x 1 a)(x 2 a) x 2 a 5 (x 1 a)(x 2 a)

ax 2 a2 5 a (x 2 a) 2

Retomando o que aprendeu, páginas 115 e 116.

2

 m.m.c. 5 x (y 1 5)2 d) 2 2 y 1 10y 1 25 5 (y 1 5)  xy 1 5x 5 x (y 1 5)

1. Custo do sanduíche: 1 1 2x 1 5x 7x x1 x5 5 5 2 10 10

  e) x 2 x 5 x (x 2 1) m.m.c. 5 5ax (x 2 1) ax 2 a 5 a (x 2 1) 5ax

Custo de 50 sanduíches: 50 ?

2

2a 2 2b 5 2 (a 2 b)(a 2 b)  f) 3a 1 3b 5 3(a 1 b)  m.m.c. 5 6 (a 1 b)(a 2 b) a2 2 b2 5 (a 1 b)(a 2 b)    g) x 2 49 5 (x 1 7)(x 2 7) m.m.c. 5 2x (x 1 7)(x 2 7)  2x 1 14 5 2 (x 1 7)  x2 2 7x 5 x (x 2 7) 2

h)

2x2 1 2x2y 5 2x2 (1 1 y) 2  m.m.c. 5 6x (1 1 y) 6x 1 6xy 5 6x (91 1 y) 

x2 2 6x 1 9 5 (x 2 3)2  3 3 i) (x 2 3)3  m.m.c. 5 x (x 2 3) x4 2 3x3 5 x3 (x 2 3) 

Lucro: 50x 2 35x 5 15x Alternativa c.

7x 5 35x 10

2. n 5 1 ⇒ 12 1 3 ? 1 1 1 5 1 1 3 1 1 5 5 n 5 2 ⇒ 22 1 3 ? 2 1 1 5 4 1 6 1 1 5 11 n 5 3 ⇒ 32 1 3 ? 3 1 1 5 9 1 9 1 1 5 19 (5, 11, 19, ...) Alternativa b. 3. V 5 2a ? (0,5a) ? (4,5a) 5 4,5a3 Alternativa b. 4. v.n. 5 2 ? (23)2 1 8 5 2 ? 9 1 8 5 5 18 1 8 5 26 Alternativa c. 5.

xy x2y 3 , , x y, 2x4y, 4x5y, 8x6y, 16x7y 4 2 O 7o termo será 16x7y. Alternativa a.

5a 1 10 5 5(a 1 2)  6. (2x 1 3)2 2 (2x 2 1)2 5 40 ⇒ 4x2 1 12x 1 9 2 4x2 1 4x 2 1 5 40 ⇒ j) 2a 1 4 5 2 (a 1 2)  m.m.c. 5 30 (a 1 2) (2x 1 3)2 2 (2x 2 1)2 5 40 ⇒ 4x2 1 12x 1 9 2 4x2 1 4x 2 1 5 40 ⇒ 3a 1 6 5 3(a 1 2)  ⇒ 16x 1 8 5 40 ⇒ 16x 5 32 ⇒ x 5 2 2  a 2 25 5 (a 1 5)(a 2 5) 7. P 5 2 (x 2 3) 1 2 (2x 1 1) 5  l) a2 2 10a 1 25 5 (a 2 5)2 m.m.c. 5 (a 1 5)2 (a 2 5)2 5 2x 2 6 1 4x 1 2 5 6x 2 4 a2 210a 1 25 5 (a 1 5)2  Alternativa a. x2 2 2x 1 1 5 (x 2 1)2  3 m) (x 2 1)3  m.m.c. 5 2 (x 2 1)  2x 2 2 5 2 (x 2 1) 

8. A 5 (b 1 c) (a 1 10) 5 5 ab 1 ac 1 10b 1 10c Alternativa a.

9. (x 1 y)2 2 (2x 1 y)(2x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2 1 2x2 2 2xy 1 xy 2 y2 5 7. a6 2 a5 1 a 2 1 5 a5 (a 2 1) 1 1 (a 22 1) 5 (x 1 y) 2 (2x 1 y)(2x 1 y) 5 x2 1 2xy 1 y2 1 2x2 2 2xy 1 xy 2 y2 5 5 (a 2 1) (a5 1 1) 5 3x2 1 xy 5 x (3x 1 y) a10 1 2a5 1 1 5 (a5 1 1)2 Alternativa b. m.m.c. 5 (a 2 1) (a5 1 1)2

228


10.

3x3 2 15x2 2 12x 1 60 23x3

112x

x2 2 4 3x 2 15     Q1

215x2

160

15x2

260

Alternativa a.

2

23x3 1 21x2 2 30x

3x 1 6  Q2

6x

2

Soma dos coeficientes: 22 1 8 2 4 1 15 5 17

0 3x 2 15x 2 12x 1 60 x2 2 7x 1 10 3

14. (3x3 2 4x 1 6) 2 (5x3 2 8x2 2 9) 5 5 22x3 1 8x2 24x 1 15

2 42x 1 60

15. a2x 1 b2x 1 a2y 1 b2y 5 5 x (a2 1 b2) 1 y (a2 1 b2) 5 (a2 1 b2) (x 1 y) v.n. 5 (2,25) ? (0,8) 5 1,8 Alternativa b. 16. A 5 x2 2 9 5 (x 1 3) (x 2 3)

26x2 1 42x 2 60 0 Produto: Q1 ? Q2 5 (3x 2 15) (3x 1 6) 5 5 9x2 2 27x 2 90 Alternativa d. 28,8 28,8 5 5 6, 4 1,5 1 3 4,5 Alternativa e.

11. V 5

P 5 2 (x 1 3) 1 2 (x 2 3) 5 32 ⇒ ⇒ 2x 1 6 1 2x 2 6 5 32 ⇒ ⇒ 4x 5 32 ⇒ x 5 8 A 5 82 2 9 5 64 2 9 5 55 ⇒ 55 cm2 Alternativa d.

17. A 5 (a 2 1)2 ? (a2 2 1) 5 (a2 2 2a 1 1)(a2 2 1) 5 a4 2 a2 2 2a3 1 2a 1 a2 2

A 5 (a 2 1)2 ? (a2 2 1) 5 (a2 2 2a 1 1)(a2 2 1) 5 a4 2 a2 2 2a3 1 2a 1 a2 2 1 12. A 5 a ? c Alternativa a. A 5 a4 2 2a3 1 2a 2 1 13. P 5 (8x2 1 1) (3x 2 1) 1 (4x 2 2) 5 5 24x3 2 8x2 1 3x 2 1 1 4x 2 2 5 5 24x3 2 8x2 1 7x 2 3 P  (x 2 1) : 24x3 2 8x2 1 7x 2 3 x 2 1 224x3 1 24x2

24x2 1 16x 1 23

16x2 1 7x 2 3 216x2 1 16x

a4 2 2a3 1 2a 2 1 2 a4 1 3a3 1 a2

a2 1 a 1 4

a3 1 a2 1 2a 2 1 2a3 1 3a2 1 a 2 4a 1 3a 2 1

24a2 1 12a 1 4 15a 1 3

23x 2 3 223x 1 23 Resto: 20

a2 2 3a 2 1

20

Resto: 15a 1 3 Alternativa b.

229


Estudo das frações algébricas 15 – Fração algébrica Exercícios, página 119.

16 – Simplificação das frações algébricas

50 1. x 2.

Desafio!, página 123. O erro está na divisão por zero. Como partimos da informação de que a 5 b, no passo em que dividimos ambos os lados da igualdade por (b 2 a), estamos na verdade dividindo por zero, o que é um absurdo.

x2y n

3. a) x  0 b) x  0 c) a 1 4  0 ⇒ a  −4 1 d) 2x 2 1  0 ⇒ x  2 c 4. 2x 1 y 5. a)

Exercícios, páginas 123 e 124. 1.

15x2y 5 5x2 3y

2x3 2 6x2 5 x2 2 3x 2x (x 1 3) (x 2 3) x2 2 9 5 5 x 23 c) x 13 x 13 b)

a2 2 8a 1 15 5a 25 d) a 23 6.

2.

x 2a x Brasil real, página 120.

1. 8 850 hectares 5 8 850 hm2 5 88,50 km2 2. 305 km em 5 horas. 305 v5 5 61 km / h 5 3. Se considerarmos que Fortaleza localiza-se entre Jericoacoara e Canoa Quebrada, teremos d 5 305 1 182 5 487 ⇒ 487km. 487 6 h 81

a)

5  11 5 5 17 11  17

b)

2 3  7 2 5 55 3  5  7  11

c)

25  36 22 4 3 7 5 1 5 3 2 3 3

d)

25  57  113 2 2 5 2 5 4 9 3 25 5 2  5  11

2  5 7 7 a) 70 5 2 5 220 22 2  5  11 80 24  5 2 b) 5 3 2 5 200 5 2 5 c)

135 33  5 3 3 5 2 2 5 2 5 180 4 2 2 3  5

d)

98 2  72 7 7 5 2 5 5 140 25 10 2 57

a)

5a b a 5 4c 20 bc

b)

x 4y y 5 2 x6 x

c)

12m2x 6m 5 5x 10mx2

d)

2a3b2c 2c 5 2 a4 b4 ab

e)

2m10n7 2m5 5 7 5 5 5m n

f)

x2y2 y 5 6x 6x3y

3.

∴ Saindo às 10 h, chegará às 16 h. 4.

182 x 182 b) x 11 a)

5. Carol, pois fez o percurso em menos tempo.

230


5

4.

g)

8 8 2 5 5 4a 2 4x 4 (a 2 x) a2x

h)

2h3 2h3 2h 5 2 5 2 h 21 h 2h h (h 2 1)

17 – Adição e subtração de frações algébricas

3

Exercícios, páginas 127 e 128.

(a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) a 1 b 2c (a 1 b)2 2 c2 5 5 b 1c 2a (b 1 c)2 2 a2 (b 1 c 1 a) (b 1 c 2 a)

1.

(a 1 b 1 c) (a 1 b 2 c) a 1 b 2c 5 b 1c 2a (b 1 c 1 a) (b 1 c 2 a)

a)

3a 5a 9a 1 10a 19a 1 5 5 2b 3b 6b 6b

7b 2a 28bx 1 6a 1 5 3x 4x2 12x2 2 x y x 2 y2 2 5 c) 2y 2x 2xy b)

5. a)

ac 2 c c (a 2 1) a 21 5 5 2 c ( c 2 1 ) c 21 c 2c

b)

3x 1 3y 3(x 1 y) x1y 5 5 3 2 3a 3(1 2 a) 1 2a

c)

(a 1 b) (a 2 b) a2 2 b2 a1 b 5 5 3