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1º Bach CCSS

TEMA 3: FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

1.- FUNCIÓN EXPONENCIAL Sea “a” un número real positivo y distinto de 1. Llamaremos función exponencial de base “a” a una función real de variable real dada por: y=ax NOTA: Se exige que “ a” sea positivo porque no tiene sentido cualquier valor de x, sería una función constante.

 2 . Si “a” fuese 1 quedaría y=1x=1 para

DOMINIO Dominio = R

GRÁFICA Vamos a ver la gráfica y propiedades de las funciones y=2x, e y=(1/2)x

    

Dominio: R Creciente Pasa por (0,1) POSITIVA

lim f (x )   x 

lim f ( x )  0

x  

     

Dominio: R Dereciente Pasa por (0,1) POSITIVA lim f ( x)  0 x 

lim f (x)  

x  

EJERCICIOS Representa las gráficas de las siguientes funciones: y=3x, y=4x, y=5x, y=(1/3)x, y=(1/4)x, y=(1/5)x, ...

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Por tanto podemos concluir diciendo que todas las gráficas de las funciones y=ax con a>1 presentan las mismas características que la de y=2x, y si la base “a” es menor que 1, la gráfica es similar a la de y=(1/2)x. Por tanto podemos enunciar las siguientes propiedades:

y=ax

creciente

   

Dominio: R Continuas Pasan por (0,1) Pues a0=1 POSITIVAS

decreciente

NOTA: n

 1 Teniendo en cuenta que e  Lim1    2,718  1 n  n Se tendría que la gráfica de la función función y=ex es similar a la de y=2x y por tanto verifica las mismas propiedades que ésta. Y la función e-x verifica las mismas propiedades que (1/2)x

Al ser funciones POSITIVAS, no tienen sentido las ecuaciones de la forma: ax= nº negativo, a x= 0

PROPIEDADES:

ax.ay=ax+y ax : ay = ax-y (ax)y= ax.y 1 a x  x a x x a b      b a 0 a =1 a.b  x  a x .b x

ax a    bx b

     

x

Una potencia de base negativa puede ser positiva o negativa dependiendo de su exponente: o

Si el exponente es PAR, el resultado es POSITIVO. Ejemplos: (-2)4= 24 (-3)6= 36

o

Si el exponente es IMPAR, el resultado es NEGATIVO. Ejemplos (-2)5= - 25 (-3)7= - 37

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EJERCICIOS 3

3

2

1) Calcula: 2 ,

(-3) ,

2

831

-3 ,

(-1)

1    ,  5 

,

3

0

3  , 2

4    ,   3 

2  3

2

2) Reduce a una sola potencia: (-3)2.(-3)5.(-3)=

 53 =

(-3)7.(-3)3=

1   2

3

1 .  2

7

5

1 1 .  . =  2 2

7

5  5   :  3  3

2 3

(-3 ) =

7

3) Opera y simplifica las siguientes expresiones: a)

3 2 6 5 2 5 9 2  12 318 3 3

2

3

 53 . 2 3  . 92 2

d)

15 2 .12 4

5

b)

3 2 1 2 2 a b (6ab) . a   e) a . b 2 2 3  (2a b) (3a ) b 2 .a 7

c)

2 3.4 3.3.9 2 2 5.8.27.3  4

 

    1

1

12. 23 .  23 . 6  h)  j) 2  24. 2

49 2 .7 0.7 2 .25 f) 35 2.(5) 3 .(7) 2

4.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 2x=32 f) 9x=3 b) 3x=27 g) 8x=2 h) 121x=11 1 c) 2x= i) 32x=4 8

m) 3x= 3

1

n) 2x=

s) 7x=

x3. y 2

2

x2 . 2  3  y 2  y 2

 2  2 23  9   :  .   3  3  4

1 49

2

2

x2 2 x

o) 3 1 x+3 x+5 p) 9 =3 q) 7x=1 r) 5x=125

3 x 1

j) 2 4 2 k) 2x+1=256 l) 2x.3x=216

1 d) 3x= 9 x 2 3 x  2 e) 8 1

 

 3  2  5  3   3  1  g)      :    i)  5   3    5 

5x t)  25 5x x2

x

u) 7 .7  1 v) 22x+2.23x-6=2

5.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a)

2

1 x 2

1  (Sol x=2) 8 x 2 1 4

g) 4x-5.2x+4=0

n) 4x+1+ 2x+2=48

h) 4x-2x=2 (Sol x=1)

o) 3x+1+ 3x + 3x-1 =39

3x+9x-1=4 (Sol x=1)

p) 52x+2 -5x+2 =2500

c) 2x+2x+1=24 (x=3)

j) 3x+31-x=4 (Sol x=0, x=1)

q) 5x +5x-1 +5x-2= 31

d) 5x+1-30.5x+125=0 (Sol x=1)

k) ex-9.e-x+8=0 (x=0)

b) 5

2 x 1

 25

e) 2x-1+2x+2x+1=7 (Sol x=1) 2x

x

f) 5 -6.5 +5=0 (x=1, x=0)

i)

l)

e2x+1-2.ex+1+e=0 (sol:x=0)

m) 3

2x+2

x

r)

3x 

1 3 x 1

4

s) 7x + 72x+1 – 7x+2 = -41

-28.3 +3=0 (x=1, x=-2)

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2.- FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Definición: y

Sea a  R+. Diremos que log a x  y  a  x  Cuando la base es el número “e”, se denota loge Ln (se llama logarítmo neperiano) .  Cuando la base es “10”m se denota log10  Log ( se llama logaritmo decimal) . Ejemplos: Log2 4 = Log2 22= 2 Log2 2 = Log2 21= 1 Log2 8 = Log2 23= 3 Log2 16 = Log2 24= 4

Log2 32 = Log2 25= 5

Log2 1 = Log2 20= 0

Log3 3 =Log3 31=3

Log3 9 =Log3 32=2

Log3 27 =Log3 33=3

DOMINIO Puesto que la función y=2x era positiva, nunca tomaba valores negativos ni cero, entonces no tiene sentido hallar Log2 –4, Log2 –32, Log2 0... pues 2nº siempre me va a dar positivo (nunca me da cero ni negativo). Es decir solo tiene sentido hallar logaritmos de números positivos, o dicho de otra forma: El dominio de la función logarítmica es (0, )

GRAFICAS Ejemplo. Mediante el cálculo de una tabla de valores vamos a dibujar sobre unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones y=2x y= Log2 x y=x (recta. Basta con hallar dos puntos de la gráfica. Por ejemplo (0,0), (1,1) )

Como puede observarse, si doblásemos la hoja por la gráfica de la función y=x, se superpondrían las gráficas de las funciones y=2x, y la de y=Log2x. Es decir son funciones inversas. Observar las tablas de las dos funciones: son inversas.

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Ejercicio Dibujar mediante una tabla de valores en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones: y=3x y= Log3 x y=x

Ejemplo. Mediante el cálculo de una tabla de valores vamos a dibujar sobre unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones x

1  2 y= Log 1 x y= 

2

y=x

Como puede observarse, si doblásemos la hoja por la gráfica de la función y=x, se superpondrían las gráficas de las funciones y=(1/2)x, y la de y= Log 1 x . Es decir son funciones inversas. Observar las 2

tablas de las dos funciones: son inversas.

Ejercicio Dibujar mediante una tabla de valores en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las funciones: y=(1/3)x y= Log 1 x y=x 3

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De los ejemplos antes vistos, y fijándonos en las gráficas de las funciones logarítmicas, podemos enunciar las siguientes propiedades:     

Dominio: R+ = (0, ) Log a 1=0. (Pasan por (1,0)) Logaa=1 Es continua en R+ Es creciente si a>1 Y decreciente si a<1

 si a  1 Lim Log a x   x -  si a  1   si a  1 Lim Log a x   x0  si a  1

APLICACIÓN A LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. la función exponencial y logarítmica son inversas. Por tanto se utiliza una para despejar la otra en las euaciones. Para despejar la exponencial se utiliza la logarítmica. 2x=8

Puesto que 8 es potencia de 2, descomponemos en factores

2x=23

Y quedaría

x=3 2x=5

Puesto que 5 no es potencia de 2, para despejar x hemos de aplicar a los dos miembros Log2, con lo que quedaría:

Log22x=Log25 Y por tanto: x= Log25

Para despejar la función logarítmica se utiliza la exponencial. Log2x=5 Por la definición de logarítmo quedaría x=25

Logx8 =3

Por la definición de logarítmo quedaría

x3=8

De dónde

x=2

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PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS. Log

a

(x.y) = Loga x + Log

a

y

Log

a

(x/y) = Loga x - Log

a

y

Log

a

(x)n = n.Loga x

Log a x 

Log b x Log b a

EJERCICIOS 1.- Halla el resultado de las siguientes expresiones: a) log2 8+log3 27+log5 125

d) 2.Log4 64 + Log2 32 – 3.log7 49

b) log 100+ log 0,01 + log 0,1

e) Log 0,10+ 7. Log 10 – 5( Log 100- 3. Log 0,001)

c) Log5 625 – log9 81+ log8 64

f) 2.Log4 16 + Log2 32 – 3.log7 49

2.- Calcula el valor de las siguientes expresiones: g)

Log a a 2 a

h)

2 Loga a

i)

Loga1

j)

10 Log a

2

k)

Log10 1010

l)

eLn 8

m) k a

n)

Log10 2

Log k x

7 Log 7 x

2

3.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) log 7 = log x + log 3 (Sol x=7/3) b) Log 7

k) 2. Log x + 3. Log x =5 ( Sol x=10) l)

x  Log 7 5  2 (Sol x=49) 5

m) Log 8 + (x2-5x+7).Log 3 = Log 24

c) logx 100 – Logx 25 =2 (Sol x=2, x=-2) d) Log (x+1) – Log x =1 (Sol x=1/9) e) Log 2  Log ( x  3)  Log 2 x (Sol x=9/2, x=2) f) Log(3x+5) – Log(2x+1) = 1 – Log 5

h) 2. Log x – Log (x+6) =0 (Sol x=3, x=-2) i) log(2x-3) – log(x+1) = log(2x-5)-log(1-x)

x 2

n)

2.Log x - Log 16  Log

o)

log 2  Log (11  x 2 )  2 (Sol: x=3, x=1/3) Log (5  x )

p)

Log (5 x  4)  Log 2 

(Sol x=3)

g) Log (4x-1) – Log (3x-2) = Log 2 (Sol x=3/2)

 2 4 j) 4log(x)- log x   =log5 5 

Log x = Log 2 + 2. Log (x-3) ( Sol x=9/2 x=2)

( Sol x=8, x=0)

1 Log ( x  4) (Sol x=0, 2

x=-36/25) q) Log (2x+4) + Log(3x+1) – Log 4 = 2. Log(8-x) (Sol: x=3, x=-42)

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Función Exponencial y Logarítmica  

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