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SESIÓN 2.

ESTADÍSTICA

CÁLCULO DE MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DESPERSIÓN


DEFINICIÓN DE MEDIDAS DE TENCENCIA CENTRAL Al describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que para tal fin, suele situarse en el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central. Dentro de las medidas de tendencia central tenemos: Media Mediana Moda Rango Medio Para el cálculo de todas estas medidas empezaremos con la tabla de frecuencias no agrupadas utilizando el ejemplo de las edades.


CÁLCULO DE LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

EJEMPLO 

a) b) c) d)

Al levantar una encuesta de 53 estudiantes respecto a edad se obtuvieron los siguientes resultaos: 22, 19, 21, 19,19, 24, 18, 19, 21, 21, 19, 19, 21, 20, 19, 19, 22, 19, 18, 23, 20, 19, 18, 19, 19, 20, 19, 24, 19, 20, 23, 29, 21, 19, 22, 18, 19, 19, 19,19, 18,18, 17,27,17, 19, 20, 28, 22, 29, 24, 21 y 23. Calcula el Rango Medio Calcula la Media Calcula la Mediana Calcula la Moda


Lo primero que se debe tener es nuestra tabla de frecuencia no agrupada, que es la siguiente VARIABLE

FRECUENC IA

17

2

18

6

19

20

20

5

21

6

22

4

23

3

24

3

27

1

28

1

29

2


A) Para calcular el Rango Medio, se aplica la siguiente fórmula: Datomenor + Datomayor RangoMedio = 2 17 + 29 RangoMedio = = 23 2

B) Para calcular la Media, se aplica la siguiente fórmula: fx ∑ x= n Donde: x = Media x = Variable que estamos estudiando f = frecuencia n = numero de datos ∑ = Suma


Para facilitar la aplicaci贸n de esta f贸rmula, a la tabla inicial se le agrega una columna llamada (fx), la cual es la multiplicaci贸n de la variable por la frecuencia, se suman los resultados y se aplica la f贸rmula VARIABLE

FRECUENC IA

fx

17

2

34

18

6

108

19

20

380

20

5

100

21

6

126

22

4

88

23

3

69

24

3

72

27

1

27

28

1

28

29

2

58

suma

53

1090

1090 x= = 20.56 53


C) Para calcular la Mediana, se aplica la siguiente f贸rmula: Caso 1 n = par La mediana es el promedio de los datos que se encuentran a la mitad, ordenados de mayor a menor o de menor a mayor. Caso 2 n = impar La mediana es el dato que se encuentra en el centro ordenados de mayor a menor o de menor a mayor. En este ejemplo n= 53 y es numero impar aplica el caso 2 y para resolverlo se aplica lo siguiente.


Utilizo la tabla inicial donde ya tengo los datos ordenados y voy eliminando uno de cada extremo hasta que quede el dato de central. 17,17,18,18,18,18,18,18,19,19,19,19,19,19,19,19,19, 19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,20,20,20,20,20,21, 21,21,21,21,21,22,22,22,22,23,23,23,24,24,24,27,28, 29,29. La mediana de este ejercicio es

~ x = 19

NOTA: si n = par los dos datos que quedan al centro se suman y se dividen entre dos y el resultado es la mediana.


D) Para realizar el cĂĄlculo de la moda, simplemente se observa en la tabla el dato que tienen mayor frecuencia y ĂŠste es la moda; puede haber la posibilidad de que exista mas de un dato lo que se conoce con bi-modal si son dos, y multi-modal si son mas de dos datos. En el caso del problema de las edades, la moda es:

xˆ = 19


DEFINICIÓN DE MEDIDAS DE DISPERSIÓN Estas medidas como su nombre lo indica, nos dicen que tan dispersos están los datos con respecto a la media. Dentro de las medidas de dispersión tenemos:  Rango.  Varianza.  Desviación Estándar. Para el cálculo de todas estas medidas continuamos utilizando la tabla de frecuencias no agrupadas con el ejemplo de las edades.


Utilizando el ejemplo ya mencionado, calcula: a) El rango b) La Varianza c) La desviaci贸n Est谩ndar. A) Para calcular el Rango, se aplica la siguiente f贸rmula: RANGO = Dato Mayor - Dato Menor Rango = 29-17= 12


B) Para calcular la Varianza, se aplica la siguiente fórmula:

S

2

f (x − x) ∑ =

2

n −1

Donde: ∑= suma f = frecuencia x = variable x = media n = numero de datos Para el cálculo de la varianza se tomará nuevamente la tabla inicial y se agregaran 3 columnas, las cuales se ven a continuación su desarrollo.


(x −x )

f x −x

-3.56

12.67

25.34

6

-2.56

6.55

39.32

19

20

-1.56

2.43

48.67

20

5

-0.56

0.31

1.56

21

6

0.44

0.19

1.16

22

4

1.44

2.0

8.29

23

3

2.44

5.95

17.86

24

3

3.44

1.83

35.50

27

1

6.44

41.47

41.47

28

1

7.44

55.35

55.35

29

2

8.44

71.23

142.46

VARIABL E

FRECUENC IA

17

2

18

SUMA

( x − x)

2

(

)

416.98

2

Para el cálculo de la varianza tomo la sumatoria de la última columna y la divido entre el total de datos menos uno. 416.98 2 s = = 8.018 52


C) Para calcular la Desviación Estándar, se aplica la siguiente fórmula:

Donde: ∑= suma f = frecuencia x = variable x = media n = numero de datos

S=

f ( x − x) 2 n −1

Para el cálculo de la desviación estándar se le saca raíz cuadrada al resultado que se obtuvo de la varianza

S = 8.018 = 2.83


INTERPRETACIÓN DE LOS RESULTADOS Los resultados obtenidos, se deben interpretar, aunque sin duda alguno los dos mas importantes son la media y la desviación estándar, pues esta ultima nos indica que tanto están dispersos los datos con respecto a la media que es el promedio de todos los datos. Es por ello que entre la desviación estándar sea mas pequeña nos indica que existe menor dispersión y obtenemos mas uniformidad en los datos, de aquí que se pueden plantear tres tipos de curvas.


Leptocurtica: Curva o que tiene muy poca dispersi贸n y es alta pues todos los datos estan cercanos al media

Mesocurtica: Es la que se conoce como distribuci贸n normal

Platocurtica: Es una curva muy achatada, que tiene mucha dispersi贸n.


Los histogramas que se construyeron con las tablas de frecuencias agrupadas, nos ayudan a ver gráficamente como es nuestra curva, pero lo importante es hacer el cálculo de las medidas de tendencia central y dispersión para poder describir los datos que se analizan. Es parte de la Estadística Inferencial trabajar con estos valores para poder concluir por medio de hipotesis, pero en este curso no es parte de nuestro estudio.

Sesión 2 calculo de medidas de tendencia central y dispersión 2  
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