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Seminario de Historia de las Matemáticas

Universidad El Bosque Bogotá D.C. Colombia

Las matemáticas en la Europa medieval 8 de abril de 2013

Margarita philosophica (Gregor Reisch 1503) Muestra los dos tipos de aritmética. Los algoristas (izquierda) se acabaron imponiendo a los abacistas (derecha).

María José Moreno Egresada en Ciencias Matemáticas por la Universidad Complutense de Madrid (España)


La Edad Media Límites tradicionales de la Edad Media (división según la política)

Límites de la Edad Media como período científico, matemático, filosófico.

476

Caída del Imperio Romano de Occidente

529

El Emperador Justiniano cierra la Escuela de Atenas.

1453

Caída del Imperio Romano de Oriente, o Imperio Bizantino

1429

Muerte de Al-Kashi, último gran matemático del mundo islámico.


Las 5 grandes civilizaciones de las MatemĂĄticas en la ĂŠpoca medieval India China

Arabia

Imperio Bizantino

Europa Occidental


Los problemas de los números romanos ARITMÉTICA COMPLEJA ● Sumar y restar es tedioso ● Multiplicar se hacía con sumas iteradas o duplicaciones. ● Dividir se hacía con restas iteradas o con mediaciones. HERRAMIENTAS DIFÍCILES DE MANEJAR ● Ábacos y tableros de calcular. ● Métodos complejos de operar con los dedos. ● Requerían un aprendizaje largo y mucha destreza GRANDES DIFICULTADES PARA EL COMERCIO ● El sistema era costoso ya que había que pagar a un experto. ● Necesitan operaciones complejas, como calcular tasas y conversiones de moneda. ● Los métodos de cálculo utilizados no quedaban registrados. Se anotaba solo el resultado de la operación, que había que suponer correcto.


Posiciones con los dedos, para representar los distintos nĂşmeros 3

Liber Abbaci. Leonardo de Pisa. Manuscrito de Sienna

30

300

3000


Llegada de los numerales actuales a Europa FASE 1: De la India al mundo islámico

Los hindúes no fueron los primeros pueblos con un sistema de notación posicional. Los números hindúes pasaron por dos etapas: ● Primero: 9 dígitos propios y un símbolo que representa una posición vacía ● Segundo: 10 dígitos. El cero es un número más, con el que se pueden realizar operaciones. (Brahmagupta, año 628 d.C)

Llegada ● ●

A través de la ruta de la seda. Posiblemente, llegó como traducción de un libro de Brahmagupta. Uso solamente académico.

Difusión ●

● ●

Al-Kwuarizmi da a conocer el sistema hindú en el año 825. Se dirigió a los comerciantes. Al-Kindi en el 830 contribuyó también a su popularización


Transmisión de la ciencia árabe CÓMO SE PRODUCE ● ●

Compiladores y Enciclopedistas. Traducción al latín de muchas obras griegas y árabes.

CÓMO LLEGA A OCCIDENTE Conquistas y reconquistas

● ● ●

Relaciones comerciales

Reconquista de Toledo 1085 Reconquista de Sicilia 1091 Reconquista de Jerusalem 1099


FASE 2: Del mundo islámico a la Europa de los estudiosos LA ÉPOCA DE LOS COMPILADORES: ● Boethius (480-524) ● Isidoro de Sevilla (570-636) ● Beda el Venerable (673-735)

EL PRE-RENACIMIENTO CAROLINGIO: ● Alcuino de York (735-804)

“Escuela de traductores de Toledo”

LA ÉPOCA DE LOS TRADUCTORES: ● Gerbert d'Aurillac (940 – 1003), posteriormente Papa Silvestre II ● Adelardo de Bath (1108 - 1152) ● Juan de Sevilla (? - 1180) ● Gerard de Cremona (1114 - 1187) ● Robert de Chester (s. XII)


Traducciones sobre al-Khwarizmi ● ● ●

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Sabio persa (ca. 780 – ca. 850) Popularizó el sistema de cálculo hindú. Le debemos los términos: algoritmo, guarismo y álgebra. LIBRO DE ARITMÉTICA Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind Llegó a Europa traducido por Adelardo de Bath (1108-1152). El manuscrito en latín comienza así: “Dixit algorizmi” algorizmi (Dijo al-Khwarizmi) Otra traducción lo llamó “Algoritmi de numero indorum” (Boncompagni, 1857)

LIBRO DE ÁLGEBRA Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala Llegó a Europa traducido por Robert de Chester (s.XII) y Gerardo de Cremona (1114-1187) La traducción de Chester: Liber algebrae et almucabola (Segovia, 1145)


Llegan los números... Año 711, invasión de España por los árabes. Año 722, con la batalla de Covadonga comienza la llamada “Reconquista”, que dura hasta 1492 Libro más antiguo escrito en latín que contiene los números indoarábigos: Codex Vigilanus (España, año 976). Fue escrito por el monje Vigila, y es una copia de un tratado anterior de Isidoro de Sevilla. No incluye el cero.

“Debemos saber que los indios tienen un talento más sutil y todas las demás razas son inferiores a ellos en la aritmética y en la geometría y en otras artes. Y esto se muestra claramente en las 9 figuras con las que ellos son capaces de designar cada uno de los grados y los órdenes (de los números). Y estas son las formas:”


Ábaco de Gerberto Gerberto d'Aurillac (ca. 940 – 1003), más tarde Silvestre II, fue el llamado “Papa matemático”.

Estudió en Cataluña, cuando esta era ya cristiana. Allí conoció los números indios. Su ábaco se hizo popular. Tenía los números arábigos grabados en las cuentas. Representación de los números en un ábaco de Gerberto. A la derecha, notación actual.


FASE 3: Difusión del nuevo sistema de numeración en Europa

Alexandre de Villedieu (1175-1240?) “Carmen de Algorismo”

Johannes de Sacrobosco (1195?-1256) “Algorismus vulgaris” “Tractatus de Sphaera”

Leonardo de Pisa (1170?-1250?) “Liber abbaci”


Leonardo de Pisa ¿Cuál era su nombre? ● ¿Dónde nació? ● ¿Dónde y cuándo murió? ● ¿Se casó? ¿Tuvo hijos? ● ¿Qué aspecto tenía? ● ¿A qué se dedicó, aparte de las matemáticas? ● ¿Cuál es su papel en la historia de las matemáticas? ● ¿Por qué fue olvidado por la historia? ●

Estatua de Leonardo, en Pisa. Siglo XIX


Liber Abbaci, manuscrito de Siena

“Aquí comienza el libro de los cálculos, escrito por Leonardo Pisano, de familia Bonacci, en el año 1202” Por un documento legal sabemos que su padre se llamaba Guilielmo, y que tenía un hermano llamado Bonaccinghus. “Filios Bonacci” se refiere seguramente al nombre de su familia. Filios Bonacci

Guillaume de Libri 1838

Fibonacci


Importancia de Leonardo de Pisa ●

Escribió el Liber abbaci dirigido a los comerciantes, no a los estudiosos. Un libro fácil de entender y lleno de ejemplos prácticos. Dio a conocer en el mundo occidental la aritmética moderna con el sistema de numeración posicional hinduarábigo. Popularizó el álgebra, que luego fue la base de la ciencia moderna y de la ingeniería. Marcó el principio del sistema financiero, modernizando la contabilidad. TIEMPO

LUGAR

PERSONA


El tiempo y el lugar:

Pisa, finales del siglo XII ● ●

PISA· ●

● ●

Mapa de Italia, siglo XIII

Centro del mundo occidental. Ser comerciante en Pisa era ser miembro muy importante de la sociedad. Pisa, Génova, Venecia, dominaban el comercio con la otra orilla del Mediterráneo. Fin de la “Edad Oscura”. Surgen las universidades (Bologna, 1088). En Salerno se crea la primera escuela de Medicina. Traductores en Pisa de autores griegos: Euclides, Arquímedes, Aristóteles, Galeno, Ptolomeo...


La persona adecuada:

Leonardo Pisano PISA·

BUGIA·

“Cuando mi padre, a quien su país había nombrado notario público en las aduanas de Bugia, en representación de los mercaderes de Pisa que allí iban, estaba en su cargo, me llevó con él mientras yo era todavía un niño, y pensando en la utilidad y la conveniencia futura, deseó que yo permaneciera allí y recibiera instrucción en contabilidad. Allí, cuando yo había sido introducido en el arte de los nueve símbolos indios gracias a una notable enseñanza, el conocimiento del arte pronto me gustó más que todo lo demás”.


Obras de LeonardoPisano ●

Liber Abbaci (1202, reeditado en 1228)

Practica Geometriae (1220)

Flos (1225)

Liber Quadratorum (1225)

Di Minor Guisa

Comentarios al libro X de los Elementos de Euclides


Liber Abbaci: características ● ● ● ● ●

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COSAS POSITIVAS Más de 600 páginas, muy exhaustivo. Es la “summa aritmética” más importante de la Edad Media. Introduce las cifras indo-arábigas en Occidente. Proporciona reglas para hacer operaciones con ellas. Se dirige a la audiencia correcta: los comerciantes, a los que les da herramientas de cálculo mucho más poderosas que el ábaco. Incluye la notación moderna de fracción, con raya horizontal. COSAS NEGATIVAS Más de 600 páginas, de lectura no siempre sencilla. Sigue a los árabes en el empleo de palabras y no símbolos. Por ejemplo, la incógnita es “la cosa”. No se da cuenta de que el sistema posicional permite evitar las facciones, usando números decimales.


Liber Abbaci: capítulos 1. Lectura y escritura de los números en el sistema indo-arábigo. 2. Multiplicación de números enteros. 3. Suma de números enteros. 4. Resta de números enteros. 5. División de números enteros. 6. Multiplicación de números enteros por fracciones. 7. Fracciones. 8. Precios de las mercancías más comunes. 9. Comercio. 10. Relaciones de parentesco. 11. Conversión de Monedas. 12. Problemas y soluciones. 13. La regla de la falsa posición. 14. Raíces cuadradas y raíces cúbicas. 15. Proporciones, geometría y álgebra.


Liber Abbaci: problemas Dos torres de 30 y 40 pies de altura están situadas a 50 pies una de otra. Entre ellas hay una fuente. Desde lo alto de cada torre, dos pájaros inician al mismo tiempo el vuelo hacia la fuente y la alcanzan simultáneamente. ¿Dónde estaba la fuente? Un hombre entró a una huerta que tenía siete puertas y tomó un cierto número de manzanas. Al abandonar la huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba más una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban más una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana; ¿cuántas manzanas había tomado en un principio? En lo alto de una torre hay un mástil de 20 pies de altura. El mástil cae a tierra sin desprenderse de la torre, de modo que su extremo toca el suelo a una distancia de 12 pies de la base de la torre. Se trata de saber la altura de la torre.


Liber Quadratorum Mayor aportación en teoría de números entre Diofanto y Fermat. Ejemplo de problema Encontrar un número de tal manera que su cuadrado aumentado o disminuido en 5 unidades siga siendo un cuadrado. Fibonacci descubrió que ningún número entero cumple esa condición. Así que el resultado tiene que ser una fracción. Leonardo utilizó algunos resultados que tienen que ver con las ternas pitagóricas y con las identidades notables; en concreto, que m2 – n2, 2mn y m2 + n2 forman una terna pitagórica siendo m y n enteros y 0 < n < m. Y que La solución que obtiene es 41/12


Emperador Federico II ●

El problema anterior fue propuesto por el Emperador Federico II para probar la sabiduría de Leonardo de Pisa. En 1225 Federico II hace un descanso en esa ciudad y manifiesta su deseo de conocer al famoso genio matemático. Asesorado por Juan de Palermo y Teodoro, reputados filósofos, plantea a Leonardo tres problemas.


Flos

Los otros dos problemas los encontramos en su libro Flos (Flos super solutionibus quarundam quaestionum ad numerum et geometricam, es decir, Flor de soluciones de algunas cuestiones sobre números y geometría). Segundo problema: Encontrar un número tal que su cubo más el doble de su cuadrado más 10 veces él mismo sea igual a 20. En lenguaje actual, se trata de resolver la ecuación: 10x + 2x2 + x3 = 20 Aún quedaban 3 siglos para que Tartaglia y Cardano atacaran el problema de la ecuación cúbica, así que Leonardo consiguió una aproximación. No explica cómo la obtiene, pero es una aproximación muy buena y es esta:


Flos Tercer problema: Tres hombres se reparten al azar una suma de dinero. Después, el primero aporta a un fondo común la mitad de su parte, el segundo un tercio de la suya y el tercero un sexto de la suya. Dividen este fondo común en tres partes iguales y se lo reparten entre sí. Al final el primero tiene la mitad de la suma inicial, el segundo la tercera parte y el tercero la sexta parte. ¿Cuál era la suma inicial? Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con soluciones enteras. Fibonacci lo resolvió con las técnicas de la época, es decir sin usar los determinantes.


Di minor guisa ● ●

Libro perdido por muchos años. En 2003 la historiadora de las matemáticas Rafaella Franci encuentra una copia en la Biblioteca Riccardiana de Florencia. La copia es anónima y está sin fechar, aunque es de 1290 aproximadamente. Está escrito en lengua vernácula. Son 178 páginas con 31 capítulos cortos. ¾ partes son copias de los problemas de los capítulos 8 al 11 del Liber Abbaci. El libro es más sencillo, corto y menos completo que el Liber Abbaci. Se omiten todos los primeros capítulos, dando por conocido el sistema de numeración y su manejo. Tiene capítulos que no tenía el Liber Abbaci, sobre cálculo de interés y depreciación.


Olvido de Leonardo ●

Pocos datos biográficos No inventó técnicas nuevas. Su papel principal fue el de divulgador de los números y técnicas árabes. La “nueva aritmética” se hizo popular: más de 100 libros en los siguientes 300 años. Las nuevas técnicas pronto se asimilaron y dejaron de verse como algo importante.

PERO LA PRINCIPAL RAZÓN DE SU OLVIDO FUE...


… la invención de la imprenta de tipos móviles ●

Se inventó en 1436. El primer libro matemático impreso es la Aritmética de Trevisso (1478). Los autores de los libros no incluían referencias. Solamente la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità de Luca Pacioli (1494) nombra a Leonardo de Pisa.

Primera edición impresa del Liber Abbaci: Boncompagni (1857).


Recuperando a Leonardo ●

Pietro Cossali (1748-1815) escribió el primer libro italiano de Historia de las Matemáticas. Para documentarse leyó, entre otros, la Summa de Luca Pacioli, y encontró la referencia a Leonardo de Pisa. Buscó los manuscritos de los libros de Leonardo y comprendió su importancia.


Sucesión de “Fibonacci” ●

Edouard Lucas (1842-1891)

El historiador Guillaume de Libri le da a Leonardo de Pisa el apodo “Fibonacci” en 1838. El matemático francés Edouard Lucas se interesa por la sucesión y le da el nombre de “sucesión de Fibonacci”. 1870. Comienza la fascinación por la sucesión y sus propiedades.

En 1963 se funda The Fibonacci Association, que desde entonces publica una revista trimestral llamada The Fibonacci Quarterly sobre la famosa sucesión.


Liber Abbaci: problema de los conejos La llamada “sucesión de Fibonacci” tiene su origen en un problema del Liber Abbaci (problema 18 del capítulo 12).

“Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también”

En rojo, parejas en edad reproductiva.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144


Sucesión de Fibonacci La sucesión de Fibonacci normalmente se inicia con los valores 0 y 1, y se define matemáticamente así:

En el siglo XIX se demostró que el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión tiene como límite el llamado “número aúreo” Φ ≈ 1,61803. F(n-1) 1+ F(n) F(n-2) F(n-1) F(n-2) + Φ = lim = lim = lim 2/1 = 2 n→∞ F(n-1) n→∞ n→∞ F(n-1) F(n-1) 3/2 = 1,5 F(n-2) 5/3 = 1,666 8/5 = 1,6 De ahí se deduce que Φ = 1 + Φ 13/8 = 1,625 Φ 21/13 = 1,615 Multiplicamos ambos lados por Φ y tenemos la ecuación: Φ2 = 1 + Φ 34/21 = 1,619 Aplicando la fórmula de las ecuaciones de 2º grado, nos quedamos 55/34 = 1,618 con la solución positiva, que es: ... Φ =

1 + √5 2

= 1,6180339887...


Sucesión de Fibonacci Fórmula de Lucas para calcular un término de la sucesión, sin calcular los anteriores:

Famosa identidad de Binet (1843), popularizada por Lucas.

Algunas de las muchas identidades conocidas que cumplen sus términos:


Sucesi贸n de Fibonacci


Filotaxia y Fibonacci P = Número de vueltas Q = Número de hojas Divergencia o característica de la planta = P/Q

Ejemplo de planta con divergencia 5/8


Filotaxia y Fibonacci Algunas divergencias, que contienen los números de la sucesión: ●

Olmo, tilo, lima: 1/2

Haya, avellano: 1/3

Roble, cerezo, manzano: 2/5

Peral, rosal, sauce llorón: 3/8

Almendro, puerro: 5/13

Sauce llorón

Almendro


PĂŠtalos y Fibonacci


Espiral de Fibonacci Esta es la espiral de Fibonacci

El Nautilus es un molusco que tiene forma de espiral, pero NO de Fibonacci. Como se puede ver en la imagen, no coinciden.


Para saber mรกs... SOBRE LEONARDO DE PISA

Ricardo Moreno Castillo. Fibonacci. El primer matemรกtico medieval. Ed. Nivola, 2012. Keith Devlin. The Man of Numbers. Fibonacci's Arithmetic Revolution. 2012 (Amazon.com) Keith Devlin. Leonardo & Steve.The young genius who beat Apple to market by 800 years. 2011 (Amazon.com)


Para saber mรกs... HISTORIA GENERAL DE LAS MATEMรTICAS


Matemáticas en la Edad Media europea