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Universidad Fermín Toro Facultad de Ciencias Económicas y Sociales calc Análisis de Universidad Fermín Toro

Esta semana

Cálculos

María Emilia Nicodemo 25 de Febrero 2013


La toma de decisiones es un problema que se presenta en la vida de todo ser humano, pues prácticamente casi todos sus actos conllevan implícita una decisión previa a su realización, pero las personas usualmente no son conscientes de las numerosas decisiones que toman en la vida diaria. En la toma de decisiones está inmersa la incertidumbre ya que no hay nada que garantice que las condiciones en las que se tomó la decisión sigan siendo las mismas, ya que estamos en un medio que cambia constantemente; aunque las que se toman sin previo análisis, al azar, están más expuestas que aquellas que siguen el proceso adecuado, por ello es de gran utilidad conocer que procesos se deben aplicar y abarcar para tomar decisiones efectivas. Para lograr una efectiva toma de decisiones se requiere de una selección racional, por ello, lo primero que se debe hacer es tener claro el objetivo que se quiere alcanzar; considerando las diferentes alternativas, evaluando cada una de sus ventajas, limitaciones y adoptando la que se considere más apropiada para conseguir el objetivo propuesto.

 Métodos  Determinísticos

 Métodos  Probabilísticos

 Métodos  Híbridos


Los modelos determinísticos es un modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre.

PROGRAMACIÓN LINEAL

Se llama programación lineal al conjunto de técnicas matemáticas que permiten Optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, función lineal de varias variables, sujeta a una serie de restricciones, expresadas mediante inecuaciones lineales El conjunto solución, se llama región factible. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible. La programación lineal es el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos limitados en las actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos. Es un procedimiento que encuentra su aplicación práctica en casi todas las facetas de los negocios, desde la publicidad hasta la planificación de la producción. Problemas de transporte, distribución, y planificación global de la producción son los objetos más comunes del análisis de PL


Aquí te presentamos un Ejemplo para que veas de lo que hablamos Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (lt) (1 (unidad) Nutricionales porción) Niacina Tiamina Vitamina C Costo

3,2 1,12 32

4,9 1,3 0

0,8 0,19 93

13 15 45

2

0,2

0,25

0

Variables de Decisión:   

X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta

Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3 Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales    

Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0

Solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,48


MÉTODO DEL SIMPLEX

Es un método genérico de solución de problemas lineales, desarrollado por George Dantzig en 1947. Tip Curioso Un algoritmo es una serie de pasos para cumplir con una tarea determinada.

El método Simplex es un algoritmo de solución muy utilizado para resolver programas lineales Este se basa en que si la función objetivo “f” no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables. Una propiedad general del método simplex es que resuelve la programación lineal en iteraciones, donde cada iteración desplaza la solución a un nuevo punto esquina que tienen potencial de mejorar el valor de la función objetivo. El proceso termina cuando ya no se puede obtener mejoras El método simplex resuelve problemas no determinados y con


un uso más práctico en la economía y administración ya que se requiere máxima ganancias, minimizar horas de trabajo, producción, mantenimiento, requerimientos, costos, etc.

EJEMPLO Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex: Max

s.a.

40*X1 + 60*X2 2*X1 + 1*X2 <= 70 1*X1 + 1*X2 <= 40 1*X1 + 3*X2 <= 90 X1 >= 0 X2 >= 0

Para poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma: X1 2 1 1 -40

X2 1 1 3 -60

X3 1 0 0 0

X4 0 1 0 0

X5 0 0 1 0

70 40 90 0

En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2.


Luego, para escoger que variable básica deja la base debemos buscar el mínimo cociente entre el lado derecho y los coeficientes asociados a la variable entrante en cada fila (para aquellos coeficientes > 0 marcados en rojo en la tabla anterior). El mínimo se alcanza en Min {70/1, 40/1, 90/3} = 30 asociado a la tercera fila, el cual corresponde a la variable básica actual X5, en consecuencia, X5 deja la base. En la posición que se alcanza el mínimo cociente lo llamaremos "Pivote" (marcado con rojo) el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, logrando la siguiente tabla al cabo de una iteración: X1 X2 X3 X4 X5 5/3 0 1 0 -1/3 2/3 0 0 1 -1/3 1/3 1 0 0 1/3 -20 0 0 0 20

40 10 30 1800

El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 1.800. Se recomienda al lector hacer una representación gráfica del problema y notar como las soluciones factibles del método corresponden a vértices del dominio de puntos factibles. La actual tabla no corresponde a la solución óptima del problema P) debido a que existe una variable no básica con costo reducido negativo, por tanto X1 entra a la base. Posteriormente, mediante el criterio del mínimo cociente calculamos la variable que debe dejar la base: Min {40/(5/3), 10/(2/3), 30/(1/3)} = 15, asociado a la fila 2 (variable básica actual X4), por tanto X4 deja la base. Obtenido lo anterior se aplica una iteración del método: X1 X2 X3 X4 X5 1 -5/2 1/2 0 0 1 0 0 3/2 -1/2 0 -1/2 1/2 0 1 0 0 0 30 10

15 15 25 2100

Finalmente se alcanza la solución óptima del problema P) y se verifica que los costos reducidos asociados a las variables no básicas (X4 y X5 son mayores o iguales que cero).


Los modelos probabilísticas están ampliamente basados en aplicaciones estadísticas para la evaluación de eventos incontrolables (o factores), así como también la evaluación del riesgo de sus decisiones. Los modelos probabilísticas son vistos de manera similar que a un juego; las acciones están basadas en los resultados esperados.

LÓGICA BAYESINA La lógica de Bayes es un tipo de análisis permite cuantificar un resultado incierto, probabilidad de que ocurra, mediante el relacionados previamente conocidos. El Bayesiano está circunscrito, como técnica las llamadas técnicas cualitativas, cuya característica es que sus insumos son es decir, opiniones que dan una cualificación a hechos o datos observados.

estadístico que determinando la uso de datos modelo de pronostico en principal juicios de valores; valoración o

Su rol como instrumento de pronóstico es muy importante ya que permite hacer inferencias sobre la probabilidad de ocurrencia de una situación dada (hipótesis / escenario), sobre la base de las evidencias observadas; por ello, es un instrumento extraordinario para el monitoreo o seguimiento de situaciones de interés.


La aplicación del modelo bayesiano como técnica de pronostico está sujeta a la posibilidad de hacer seguimiento a una situación de interés determinada.

Pasos del Modelo Bayesiano como técnica de pronóstico  Se percibe y se evalúa una situación a la luz de las evidencias y acontecimientos observados  Se formulan los escenarios probables / hipótesis alternativas y se le asignan unas probabilidades subjetivas iniciales. Tales escenarios deben cumplir con la condición de exhaustividad y exclusión mutua.  Se inicia el proceso de seguimiento y monitoreo de todos los eventos (acontecimientos), hechos que inciden en el direccionamiento de las tendencias.  Con base en el registro de eventos (evidencias) se ajustan por el método de Bayes las probabilidades de ocurrencia asignadas a cada escenario.  Una vez hecho los cálculos tomando como base los juicios de valor de los analistas y expertos se hacen los gráficos de tendencias.  Visualizando los gráficos de tendencias en cuanto a las posibilidades de ocurrencia de cada escenario, se evalúa la necesidad de dar “el alerta”.  De ser requerido dar “el alerta”; la misma tendrá que fundamentarse de manera lógica y convincente en las evidencias obtenidas hasta el momento. Tal “alerta” deberá servir de base para una toma de decisiones oportuna ante la situación planteada.


Ejemplo Si

la única información de que

disponemos a la hora de realizar una apuesta en una carrera de caballos es que hay 10 equinos participantes, podemos elegir cualquiera de los mismos como ganador basándonos en que la probabilidad de ganar es de 1 entre 10, es decir, de 0,10. Sin embargo, aplicar ese tipo de matemáticas a las carreras, probablemente redundará en pérdidas monetarias, y es aquí donde la lógica de Bayes entra en acción. Volviendo a las carreras, podemos decir que cada uno de los caballos habrá corrido ya algunas carreras y poseerá, por lo tanto, un historial propio. Por ejemplo, si “Rayo” ha ganado todas las carreras en las que ha participado y “Trueno” las ha perdido todas, hay una base de

evidencia para apostar por “Rayo”, en lugar de hacerlo por “Trueno”. Sin embargo, es viable el acceso a más información sobre cada equino participante. Por ejemplo, su ascendencia y genética de campeón; su rendimiento bajo diferentes condiciones climáticas; su posición de salida en la pista, así como el tiempo transcurrido desde la última carrera o los kilómetros de la misma. En definitiva, toda esta información puede ayudarnos a efectuar una estimación sobre las posibilidades de victoria de un caballo mucho mejor que la simplista aproximación de “1 entre 10”, anteriormente mencionada. El análisis de todos esos factores constituye el “proceso de Bayes”, un método también muy utilizado en el mundo de los deportes.


TEORÍA DE JUEGOS Su objetivo consiste en analizar cómo deberían tomarse estas decisiones, y en un sentido más restringido, como son tomadas de hecho. Todo el mundo tiene que adoptar cada día una serie de decisiones. En tiempos de incertidumbre la teoría de juegos podría venir al primer plano como herramienta estratégica porque pueden ofrecer perspectivas de cómo los "jugadores" podrían actuar en diferentes circunstancias además de otra clase de información valiosa para la toma de decisiones

Características * La teoría de juegos fue ideada para constituirse en un instrumento útil, no solo en los casos en que el azar y las decisiones propias fuesen los únicos factores relevantes, sino para ayudar el proceso de toma de decisiones en circunstancias más complejas. * Algunas decisiones precisan de una profunda reflexión, mientras que otras son prácticamente automáticas. * Las decisiones de cada uno están vinculadas a los objetivos que se pretendan conseguir, y así, cuando se conocen las consecuencias de cada alternativa, la adopción de una solución determinada resulta una tarea sencilla. * Una vez que se conoce a donde se quiere llegar, el problema se reduce a seleccionar los medios que le conduzcan a ese lugar. Sin embargo, cuando el azar interviene en el juego, las decisiones se vuelven bastante complicadas.


Aplicaciones La Teoría de Juegos actualmente tiene muchas aplicaciones, sin embargo, la economía es el principal cliente para las ideas producidas por los especialistas en Teoría de Juego. Entre las disciplinas donde hay aplicación de la Teoría de Juegos tenemos: la economía, ciencia política; biología; filosofía.

Ejemplo Considere un caso simplificado en el cual existen dos participantes: usuarios de buses (pasajeros) y conductores de buses (clásico chofer de micro). Considerando el sistema de los paraderos diferidos, vemos que cada participante tiene dos posibilidades: Usuarios: Esperar el bus en el paradero más cercano o Esperarlo en el paradero correspondiente. Conductores: Parar en todos los paraderos o Parar sólo en los paraderos que le corresponden. La siguiente matriz de pagos resume las utilidades para cada uno ante las distintas combinaciones de estrategias.

Respuesta: Los equilibrios de Nash corresponden a los pagos de 15,10 y de 20,30. Esto debido a que si estamos en cualquiera de esas situaciones (ej: los choferes parando en cualquier lugar y los pasajeros esperando en cualquier lugar), las utilidades serán tal que ninguno de los dos agentes tendrá incentivos para cambiar su comportamiento. No existen incentivos para cambiar de posición.


MÉTODOS HÍBRIDOS Este modelo permite simular la evolución de cada alternativa (y finalmente actuar según ciertos criterios específicos) en el contexto de la supuesta evolución de algunos factores exógenos altamente inciertos. Mientras el componente histórico, basado en datos, puede basarse en modelos estadísticos más o menos convencionales, las técnicas basadas en la extracción de conocimientos podrían cubrir los aspectos más inciertos. Por

MODELO DE TRANSPORTE Y LOCALIZACIÓN El modelo de transporte es un problema de optimización de redes donde debe determinarse como hacer llegar los productos desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda, minimizando los costos de envío. El modelo busca determinar un plan de transporte de una mercancía de varias fuentes a varios destinos.

ejemplo, se podría utilizar un modelo difuso, basado en reglas, para almacenar primero la experiencia humana existente y las hipótesis, y combinar después, finalmente, este conocimiento. Más o menos convencionales, las técnicas basadas en la extracción de conocimientos podrían cubrir los aspectos más inciertos. Por ejemplo, se podría utilizar un modelo difuso, basado en reglas, para almacenar primero la experiencia humana existente y las hipótesis, y combinar después, finalmente, este conocimiento.

Entre los datos del modelo se cuenta: * Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada destino. * El costo de transporte unitario de la mercancía de cada fuente a cada destino.

Usos del modelo El modelo se utiliza para realizar actividades como: control de inventarios, programación del empleo, asignación de personal, flujo de efectivo, programación de niveles de reservas en prensas entre otras.


Tipos de método de transporte Esquina Noroeste Pasos:

1- Situarse en la celda noroeste de la tabla 2- Agotar la oferta de cada fila antes de pasar a la fila siguiente 3- Agotar las necesidades de cada columna antes de pasar a la columna siguiente. 4- Comprobar que todas las ofertas y demandas estén cubiertas.

Val

Maracay

Caracas

Oferta 100

Almacén Barinas

10

18

8

Almacén Guanare

17

13

19

60

Almacén Barqto

20

6

24

40

Demanda

50

80

70

200

30

20

40

40

70

Costo Total de Transporte= (30*10) + (70*8) + (20*17) + (40*13) + (40*6) CTT= 1960


Esquina Noroeste Pasos:

1- Situarse en la celda noroeste de la tabla 2- Agotar la oferta de cada fila antes de pasar a la fila siguiente 3- Agotar las necesidades de cada columna antes de pasar a la columna siguiente. 4- Comprobar que todas las ofertas y demandas estén cubiertas.

Val

Maracay

Caracas

Oferta 100

Almacén Barinas

10

18

8

Almacén Guanare

17

13

19

60

Almacén Barqto

20

6

24

40

Demanda

50

80

70

200

50

50

30

30

40

Costo Total de Transporte= (50*10) + (50*18) + (30*13) + (30*19) + (40*24) CTT= 3320

Ejemplo Una empresa de alimentos ha decidido expandir su línea de enlatados abriendo una nueva localización de fábrica. Esta expansión se debe a la capacidad limitada en su planta existente. La siguiente tabla muestra una serie de factores relevantes propuestos por la administración de la empresa para tomar la decisión de localización final, así como su importancia relativa y las calificaciones dadas según el grupo de expertos para dos ciudades de interés. Del análisis anterior se puede concluir que la ciudad A es preferible para localizar la nueva planta.


TÉCNICA MONTECARLO

E

s un método simplificado de

simulación, pero también incluye factores de probabilidad. La simulación es guiada por un muestreo al azar para tomar en cuenta la probabilidad de que el evento suceda. El muestreo al azar se usa para simular sucesos naturales con el fin de determinar la probabilidad de los eventos bajo estudio. Se emplea una tabla de números al azar para obtener la muestra al azar. El Montecarlo es un medio de tanteo para ver qué sucedería cuando ciertos eventos, normales y anormales, se presenten. Este enfoque es productivo y dice lo que probablemente sucederá en los eventos reales sin analizar los eventos comprobables existentes

Algoritmos El algoritmo de Simulación Monte Carlo Crudo o Puro está fundamentado en la generación de números aleatorios por el método de Transformación Inversa, el cual se basa en las distribuciones acumuladas de frecuencias: ♦ Determinar la/s V.A. y sus distribuciones acumuladas (F) ♦ Generar un número aleatorio uniforme ∈ (0,1). ♦ Determinar el valor de la V.A. para el número aleatorio generado de acuerdo a las clases que tengamos. ♦ Calcular media, desviación estándar error y realizar el histograma. ♦ Analizar resultados para distintos tamaños de muestra.


Otra opción para trabajar con Monte Carlo, cuando la variable aleatoria no es directamente el resultado de la simulación o tenemos relaciones entre variables es la siguiente: ♦ Diseñar el modelo lógico de decisión ♦ Especificar distribuciones de probabilidad para las variables aleatorias relevantes. ♦ Incluir posibles dependencias entre variables. ♦ Muestrear valores de las variables aleatorias. ♦ Calcular el resultado del modelo según los valores del muestreo (iteración) y registrar el resultado ♦ Repetir el proceso hasta tener una muestra estadísticamente representativa ♦ Obtener la distribución de frecuencias del resultado de las iteraciones ♦ Calcular media, desvío. ♦ Analizar los resultados

Ejemplo En la imagen inferior se muestra un análisis histórico de 200 días sobre el número de consultas diarias realizadas a un sistema de información empresarial (EIS) residente en un servidor central. La tabla incluye el número de consultas diarias (0 a 5) junto con las frecuencias absolutas (número de días que se producen 0, 1, ..., 5 consultas), las frecuencias relativas (10/200 = 0,05, ...), y las frecuencias relativas acumuladas.


Podemos interpretar la frecuencia relativa como la probabilidad de que ocurra el suceso asociado, en este caso, la probabilidad de un determinado número de consultas (así, p.e., la probabilidad de que se den 3 consultas en un día sería de 0,30), por lo que la tabla anterior nos proporciona la distribución de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta (la variable aleatoria es el número de consultas al EIS, que sólo puede tomar valores enteros entre 0 y 5). Supongamos que queremos conocer el número esperado (o medio) de consultas por día. La respuesta a esta pregunta es fácil si recurrimos a la teoría de la probabilidad: Denotando por X a la variable aleatoria que representa el número diario de consultas al EIS, sabemos que:


Calculos  

Revista Mensual sobre Analisis de Problemas y Toma de Decisiones

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