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TEMA 9: SUCESIONES. LÍMITE DE SUCESIONES. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sucesión. Hacia la idea de límite. Definición de límite. Sucesiones que tienden a infitnito. Operar con los símbolos +∞ y -∞. Límites de operaciones con sucesiones. Límites indeterminados.

1. SUCESIÓN. HACIA LA IDEA DE LÍMITE. Una sucesión es cualquier relación entre los números naturales y un conjunto de números reales tal que a cada número natural “n”, llamado índice, le coresponde un número real

, llamado término.

Las cadenas ilimitadas de número reales se llaman sucesiones. Se representan

,

por:

,

, 2

Ejemplo:

2 2 2 2 2

,…

1 2 3 4 5

5 5 5 5 5

5. Calcula los 5 primeros términos.

7 9 11 13 15

El término general de una sucesión, si existe, es la expresión algebraica que permite calcular cualquier término en funcion del índice. tiene por límite el número real L cuando, a medida que “n” Una sucesión toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproximan cada vez más al número L.

lim Ejemplos: Investiga que valor podría tener el límite de la siguiente sucesión.

1

0,5 0,1

Luego

0

1 0,01 100 1 0,001 1000 En el infinito esta función tiende a 0, aunque nunca llegue a alcanzar ese valor.


Si una suceción tiene por límite un número real se llama Convergente. 2. DEFINICIÓN DE LÍMITE. Matemáticamente se define límite como: “Se dice que un número L es límite de una sucesión, de término general

, si

y L es menor que un número

la diferencia en valor absoluto entre cualquiera, , previamente elegido”

Expresado matemáticamente (definición de Cauchy):

|

| y su límite, se

Ejemplo: Calcula a partir de que término la sucesión diferencian en menos de una centésima. 1. Inverstigo si

2

1 1

2

3 1

2 2

3 1

tiene límite.

2,5 2,09

2

2,09 2

100 3 100 1

2

2.

1000 3 1000 1

2,009 2,0009

Aplico la definición de Cauchy para calcular “n”

2 2

3 1 3

2

0,01

2 1

2

1

1 1

0,01

0,01

1 1

|

0,01

0,01 0,99 0,01

1

99

|

.


A partir de

se cumple la definición de Cauchy.

Ejercicio para casa: Dada la sucesión

, calcula a partir de qué

término su diferencia con el límite es de una milésima. 3. SUCESIONES QUE TIENDEN A INFINITO. Consideramos la siguiente sucesion 3,

5,

7,

1. Calculamos sus términos.

2 9, …

21, …

201

Sus términos se hacen cada vez mayores, de manera que por más alto que pongamos el listón, más grande es dicho valor. Diremos por tanto que la sucesión tiende a +∞.

lim

Supongamos ahora la sucesión de término general algunos términos: 1,

8,

27, …

, Calculamos

1000, …

10000

Sus términos se van haciendo cada vez menores, de modo que por bajo que pongamos el listón, existen términos menores que él. Diremos por tanto que la sucesión tiende a -∞.

lim

Las sucesiones que tienen por límite +∞ ó -∞ se llaman Divergentes. 4. OPERAR CON LOS SÍMBOLOS +∞ Y -∞ Veamos un cuadro resumen para realizar operaciones aritméticas enre número real cualquiera “a”. SUMAS Y RESTASº

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

PRODUCTOS

0 0 ∞ ∞

∞ ∞

COCIENTES

0 0 0 ∞

∞ 0

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

∞ ∞

POTENCIAS

∞ y un

0

1 1

∞ ∞

∞, 0, ∞ 0

0


5. LÍMITES DE OPERACIONES CON SUCESIONES. •

El límite de una suma es igual a la suma de sus límites.

lim •

lim

El límite de un producto es igual al producto de sus límites.

lim •

lim

lim lim

El límite del producto de un número por una sucesión es igual al número por el límite de la sucesión.

lim •

lim

El límite de un cociente es igual al cociente de sus límites.

lim •

lim

lim

El límite de una suceción elevada a otra es igual al límite de dicha sucesión elevada al límite de la otra sucesión.

lim

lim y

Ejercicio: Dadas las sucesiones y

a)

2 1 5 5

b)

5 7

7

y

5

2

1 5

7

c)

10 7 5

y

2

1 5

2 5

. Calcula:


2

√2

6. LÍMITES INDETERMINADOS. Hemos visto que existen sucesiones convergentes (que tienden a un número real), sucesiones divergentes (que tienden a infinito) y también hay otras sucesiones en las que el límite es indeterminado. Un límite es indeterminado cuando no se puede calcular directamente su valor. Estos límites surgen siempre que aparece alguna de las siguientes expresiones: 0 ∞ ; ∞ ∞ ; ∞ 0 ; ; 1 ; ∞ ; 0 0 ∞ Racionales

Exponenciales

Límite de un cociente de Polinomios Para resolver una indetermintación del tipo

, se dividen el numerador y el

denominador por la máxima potencia de “n” de netre los que aparecen en la división. Ejemplo: Calcula el límite de la sucesión:

2

5

7 1 0 1

2

2

∞ ∞

5

7

2

0

1

0 1

0 0

0

Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos. Límite de la indeterminación (∞-∞) Para soluciónar una indeterminación del tipo (∞-∞) se multiplica y divide por el conjugado. Ejemplo: 1

2

1

2

2 2

1 1

1

2 2

0 1

2 1

2

1

2

Ahora hay que resolverlo como la primera indeterminación. 1

1

√ 1 2

1 √

1

∞ ∞

2

0


Ejercicios: Calcula los límites propuestos en la página de recursos. Límites con Indeterminación Tenemos la sucesión de término general 1

. Vamos a estudiar como se

comporta dicha sucesión 1

1 1

2

1

1 2

2,25

1

1 3

2,3703

1 10

1 1 1

1 100 1 1000

2,59 2,704 2,7169

Vemos que cada término es mayor que el anterior, por eso se dice que es una sucesión Creciente. Si calculamos el término de un “n” muy grande; .

.

=2,718281…

Podemos notar que esta sucesión va a estar acotada, es decri, no va a tender a infinito. Por tanto decimos que: lim 1

1

Toda sucesión que cumpla las dos condiciones anteriores, ser creciente y estar acotada superiormente, tiene límite. Los límites de las sucesiones que tienden a 1 están asociadas al número e. • •

El número e es irracional, e i, tiene infinitas cifras decimales. Además es trascendente, e i, no es solución de ninguna ecuación algebraica, es la base de los logaritmos naturales o neperianos.

Por lo tanto, para resolver las indeterminaciones de este tipo procederemos partideno de: lim 1

1

Tomaremos como: •

1

" "

Entonces tendremos la siguietne resolución:

Ejemplo: Calcula


lim 1

1

lim

1

1

4

lim 1

3

Junto a este método podemos incluir otro procedimiento para realizar estos límites. Por ejemplo utilicemos la sucesión: 2 2

3 2

1. Arreglamos el cociente para lograr tener la fórmula del número e. lim

2

2 2

5

lim 1

2

5 2

2

2. Para conseguir el uno en el numerador de la fracción pasamos el 5 dividiendo el denominador:

lim

1

1

2

2

5

3. Para conseguir que el exponenete sea el mismo que el denominador de la fracción debemos multiplicar el exponente existente por el denominador de esta manera:

lim

1

1 2

5

2

lim

1

1 2

5

2

4. Resolver el límite como un fracción

lim

2 2

3 2


TEMA 9 DE MATEMÁTICAS