Issuu on Google+


2

38 

Algebra

k apitel 2 ; algebr a


Centralt innehåll n

Linjära ekvationssystem

n

Hantering av algebraiska identiteter

n

Kvadrerings- och konjugatregeln

Algebra i olika sammanhang Algebra kännetecknas av att man arbetar med bokstäver, s.k. variabler. De finns i ekvationer, formler, regler och uttryck. Genom att lösa en ekvation bestämmer man värdet på den eller de variabler som ingår. En formel beskriver ett samband mellan variabler, t.ex. formeln för räta linjen y = kx + m. För givna värden på konstanterna k och m, kan vi uttalas oss om linjen. Vi kan även beräkna y för ett visst värde på x eller tvärtom. En regel uttrycker ett generellt samband, t.ex. kommutativa lagen, a ∙ b = b ∙ a. I algebraiska uttryck ingår variabler. Uttrycken kan ibland förenklas. Genom att tilldela variablerna värden kan uttryckets värde beräknas. De skrivsätt som vi är vana vid infördes i slutet av 1500-talet av matematikern och advokaten François Viète (1540–1603). Det första arbetet publicerades 1591 i In artem analyticem isagoge. Tidigare algebra hade kännetecknats av argumentation med ord. Rhindpapyrusen, som förvaras på British Museum i London, innehåller 85 problem från den egyptiska matematiken. Problem nr 26 lyder: Ett tal och dess fjärdedel är tillsammans 15. Vilket är talet?

x = 15 och lösa den. Lösningen på den tiden 4 byggde på att man väljer ett tal, i detta fall 4, vars fjärdedel är 1. Summan blir 5. Eftersom ­resultatet ska bli 15, divideras 15 med 5, 15/5 = 3. Talet som efterfrågas är 4 multipliceras med 3, dvs. 12. Den här metoden fungerar så länge det handlar om enkla problem. Men i ­dagens samhälle utförs beräkningar med datorer och utan algebra skulle de inte kunna utföras. Med algebra skulle vi ställa upp ekvationen x +

Algebra är ett kraftfullt redskap som behövs inte bara inom övrig matematik utan även inom andra vetenskaper.

Dina första uppgifter n

n

Summan av två tal är 2. Differensen mellan dem är 4. Bestäm deras produkt och kvot. En karavan i öknen består av 28 kameler som tillsammans transporterar 50 säckar med dadlar. Kamelerna är lastade med antingen 1, 2 eller 3 säckar. Antalet kameler med 1 säck är lika med antalet kameler som har 2 eller 3 säckar. Hur många av kamelerna bär på 3 säckar? k apitel 2; algebr a  

39


2.1 Linjära ekvationssystem

Avgiften till en sim- och motionshall kan betalas på två olika sätt. Alternativ 1 Medlemsavgift: 200 kr. Avgift per träningstillfälle: 25 kr Alternativ 2 Ingen medlemsavgift. Avgift per träningstillfälle: 50 kr Anta att kostnaden y kr är en funktion av antal träningstillfällen x. Då kan vi ställa upp följande ekvationer för de två alternativen. Alternativ 1 y = 200 + 25x Alternativ 2 y = 50x Vi har två linjära ekvationer med två okända variabler, x och y. De två enskilda ekvationerna har ett obegränsat antal lösningar. Till den första ekvationen finns exempelvis lösningarna (kontrollera gärna detta) x = 4 och y = 300, x = 10 och y = 450. Till den andra finns bl.a. lösningarna x = 4 och y = 200, x = 10 och y = 500. Tillsammans utgör ekvationerna ett linjärt ekvationssystem. För att visa att det är två ­sammanhörande ekvationer brukar en klammer användas:

y = 200 + 25x y = 50x

40 

k apitel 2 ; algebr a


Genom att lösa ekvationssystemet undersöker man om det finns en gemensam lösning för båda ekvationerna. I ovanstående exempel ger x = 4 olika y- värden i de två ekvationerna. Det innebär att x inte kan ha värdet 4. x kan inte heller vara 10 eftersom även det värdet gav olika y-värden. Ett ekvationssystem kan lösas grafiskt – genom att man ritar ekvationernas grafer och avläser deras skärningspunkt. algebraiskt – vilket innebär att man beräknar de båda variablernas värden. Lösningen till ovanstående ekvationssystem ger det antal träningstillfällen x som ger samma kostnad y kr för de två alternativen att betala avgiften.

Grafisk lösning av ekvationssystem Vi ritar de två graferna i samma koordinatsystem. y

kr

600

400

200

träningstillfällen 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 x

Skärningspunkten mellan de räta linjerna ger lösningen till vårt ekvationssystem. Det är den enda punkten som ligger på båda linjerna. Genom att avläsa koordinaterna får vi lösningen

x ≈8 y ≈ 400 Eftersom vi avläser värdena ur en graf kan vi inte vara säkra på att x = 8 och y = 400. Genom att sätta in de avlästa värdena i våra ekvationer kan vi kontrollera om x = 8 och y = 400. Ekvation 1: x = 8 ger y = 25 · 8 + 200 = 200 + 200 = 400 Ekvation 2: x = 8 ger y = 50 · 8 = 400 Det innebär att för åtta träningstillfällen är kostnaden 400 kr för båda alternativen.

k apitel 2; algebr a  

41


Grafisk lösning av ekvationssystem Lös ekvationssystemet grafiskt. x + y = 6   x − y = −2 Lösning: Skriv först om ekvationerna på k-formen. y = −x + 6 y = x +2 y

Ekvationernas grafer ritas för hand i samma koordinatsystem alternativt med grafräknare eller dator.

7 6

Det ser ut som om graferna skär varandra i punkten (2, 4). Vi kontrollerar om det stämmer.

5 4 3

Ekvation 1: x = 2 ger y = –2 + 6 = 4 Ekvation 2: x = 2 ger y = 2 + 2 = 4. Lösningen är

x =2 y =4

2 1 –4

–3

–2

–1

–1

–2

 x = 2 Svar:   y = 4

Ekvationssystem med parallella linjer  y = x + 3 Lös ekvationssystemet   y = x + 6 Lösning: Vi ser att k-värdet för de båda linjerna är 1 samt att de har olika m-värden (3 respektive 6). Det innebär att linjerna är parallella. Vi ritar även graferna på räknare eller dator. Linjer som är parallella har inga gemensamma punkter. Det innebär att ekvationssystemet saknar lösning. Svar: Ekvationssystemet saknar lösning.

42 

k apitel 2 ; algebr a

1

2

3

4

5

6

7

x


Ekvationssystem med sammanfallande linjer x+y =2 2x + 2y = 4

Lös ekvationssystemet

Lösning: Skriv om ekvationerna på k-formen samt dividera båda leden med 2 i den andra ekvationen.  y = −x + 2   y = −x + 2 Eftersom ekvationerna är identiska är lösningen alla punkter som ligger på linjen y = –x + 2, dvs. oändligt många lösningar. Svar: Linjen y = –x + 2.

2002

öva i 1 2

2001

Vilken lösning har ekvations­ systemen? y a) 5 4 3

2003

2 1 –3

–2

–1

1

–1

2

3

4

5

x

–2 –3

b)

3 2

2004

1 –3 –2

–1 –1 –2

y = x +2 a)  y =5

 y = 3x − 4 b)  y = x + 4

x + y =3 c)   2x + y = 4

x + y = 3 d)  x − y = 5

Lös följande ekvationssystem grafiskt med grafräknare eller dator. Svara med en decimal. 4x + 3 y = 26  2x − 3 y = 4 b)  a)  y = x +2  x + 4 y = −3  3 y = 4x −1 c)   2x + 3 y = 2

y

–4

Lös ekvationssystemen grafiskt.

1

2

x

5x − 2 y = 0 d)   2x − 5 y = 1

Bestäm grafiskt koordinaterna för skärningspunkten mellan linjerna a) y = 5x – 2 och y = 4 – 3x b) x + 2y = 0 och 2x – y = 3

–3 –4 –5

k apitel 2; algebr a  

43


1 2 3 5 6 7

öva ii 2005

Linn och Tobias köper frukt. Linn köper 3 nektariner och 1 banan för 18 kr. Tobias köper 2 nektariner och 2 bananer för 20 kr. a) Inför lämpliga variabler för stycke­ priset på ­nektarin respektive banan och ställ upp ett ekvations­ system. b) Lös ekvationssystemet grafiskt. c) Tolka resultatet.

2006

Ställ upp ett ekvationssystem x =1 som har lösningen  y = 3

2007

Hur många lösningar har följande ­ekvationssystem? Motivera ditt svar. x + y = 3 a)  x − y = 3

 x + 3y − 3 = 0 b)   2x + 6 y + 6 = 0

 2x + y + 8 = 0 c)   6x + 3 y = 9

 2x + 4 y = 4 d)   −4x + 2 y = −0, 5

2008

a) Hur ska graferna till ett ekvations­ system se ut för att skärnings­ punkt ska saknas? b) Ge exempel på ett ekvations­ system som saknar lösning.

2009

a) Hur ska graferna till ett ekvations­ system se ut för att det ska finnas oändligt många lösningar? b) Ge exempel på ett ekvations­ system som har oändligt många lösningar.

Gruppaktivitet 1 2

olikhetssystem Ett ekvationssystem med två ekvationer kan ha en lösning, sakna lösning eller ha oändligt många lösningar. Vad händer om likhetstecknet ändras till ett olikhetstecken? Markera för varje uppgift lösningen i ett koordinatsystem samt motivera lösningen.  x < −1 2) 1)   y ≥ 2    

44 

 y ≤ 2x 3)   x > 3    

k apitel 2 ; algebr a

 y + x − 1> 0 4)   y > −5    

 x + y − 3 ≤ 0 5)   4x − 3y − 5 < 0    

 y ≥ 2x − 1  y ≤ x +1  y ≥ −x − 1 

6


Algebraisk lösning När man löser ekvationssystem grafiskt kan det behövas en kontroll för att veta om det är exakta värden som man har läst av. Algebraisk lösning har inte den nackdelen. Det finns två algebraiska metoder: Substitutionsmetoden som också kallas ersättningsmetoden. Den är ofta lämplig när någon av variablerna står ensam i ett av leden eller är enkel att lösa ut. Namnet kommer av att en av variablerna ersätts (substitueras) med ett uttryck från den andra ekvationen. Additionsmetoden som även benämns eliminationsmetoden. Den går ut på att systematiskt reducera antalet obekanta i ett ekvationssystem och kallas även Gauss eliminationsmetod. Den har fått sitt namn efter den store tyske matematikern Carl Friedrich Gauss (1777–1855). Gauss har fått namnet ”matematikernas konung” eftersom hans insatser berör praktiskt taget samtliga matematikens områden.

Substitutionsmetoden (I) Lös ekvationssystemet

y = 200 + 25x (från s. 40). y = 50x

Lösning: Här är substitutionsmetoden lämplig. Vi kan välja uttrycket för y i andra ekvationen och ersätta y i första ekvationen.

y = 200 + 25x y = 50x 50x = 200 + 25x 25x = 200    x = 8

Ersätt y i ekvation 1 med y = 50x. Lös ekvationen.

Sätt in x = 8 i någon av de ursprungliga ekvationerna för att beräkna värdet på y (här väljer vi den andra ekvationen): y = 50 · 8 = 400. Svar:

x =8 y = 400

k apitel 2; algebr a  

45


Substitutionsmetoden (II) Lös ekvationssystemet

3x + 2y = 4 med substitutionsmetoden. 2x + y = 1

Lösning: I det här ekvationssystemet står ingen av variablerna ensam i något av leden. Vi kan därför börja med att lösa ut en variabel ur den ena ekvationen och ersätta samma variabel i den andra ekvationen med detta uttryck. 3x + 2y = 4 2x + y = 1

Lös ut y ur den andra ekvationen.

3x + 2y = 4 y = 1− 2 x

Ersätt y i första ekvationen.

3x + 2(1 – 2x) = 4 3x + 2 ‒ 4x = 4 2‒x=4 ‒x = 2       x = ‒2

Multiplicera in i parentesen. Förenkla i vänsterledet.

Sätt in i ekvationen y = 1 – 2x.

y = 1 ‒ 2 · (–2) = 1 + 4 = 5 Det kan vara bra att göra en kontroll av lösningen, dvs. ersätta x och y i båda ekvationerna med de beräknade värden och se efter om det stämmer. Ekvation 1: x = ‒2, y = 5 ger V. L. = 3 · (–2) + 2 · 5 = ‒6 + 10 = 4 = H. L. Ekvation 2: x = ‒2, y = 5 ger V. L. = 2 · (‒2) + 5 = –4 + 5 = 1 = H. L. Det stämmer för båda ekvationerna. Svar:

x = −2 y =5

Additionsmetoden (I) Lös ekvationssystemet

3x + 2y = 7 med additionsmetoden. 5x − 2y = 9

Lösning: I det här ekvationssystemet är koefficienten framför variabeln y, 2 respektive ‒2 i de två ­ekvationerna. Om vi adderar dessa två ekvationer led för led (ledvis) försvinner y-termerna eftersom 2y ‒ 2y = 0. Additionsmetoden är här lämpligare än substitutionsmetoden. 3x + 2y = 7 5x − 2y = 9 8x = 16 x=2 46

Addera vänsterleden respektive högerleden med varandra.


Sätt in x = 2 i en av ekvationerna, förslagsvis den första, 3x + 2y = 7. 3 · 2 + 2y = 7

Lös ekvationen.

6 + 2y = 7 2y = 1 y = 0,5 Kontroll av svaret, x = 2 och y = 0,5 ger Ekvation 1: V. L. = 3 · 2 + 2 · 0,5 = 6 + 1 = 7 = H. L. Ekvation 2: V. L. = 5 · 2 ‒ 2 · 0,5 = 10 ‒ 1 = 9 = H. L. Svaret stämmer. Svar:

x =2 y = 0, 5

Additionsmetoden (II) Lös ekvationssystemet

3x + 5y = 4 med additionsmetoden. 2x + 4y = 3

Lösning: För att kunna eliminera en variabel med hjälp av additionsmetoden måste ekvationerna först skrivas om så att koefficienterna framför en av variablerna är lika stora men har motsatta tecken. Om vi multiplicerar den första ekvationen med ‒2 och den andra med 3 så kan vi eliminera x-termerna. (−2) ⋅ 3x + 5y = 4 3 ⋅ 2x + 4y = 3 − 6x − 10y = −8 6x + 12y = 9

Multiplicera samtliga termer i respektive ekvation.

Addera ledvis.

2y = 1 y = 0,5 Sätt in y = 0,5 i en av ekvationerna, t.ex. den andra ekvationen, 2x + 4y = 3. 2x + 4 · 0,5 = 3 2x + 2 = 3 2x = 1      x = 0,5 Svar:

x = 0, 5 y = 0, 5

k apitel 2; algebr a  

47


Algebraisk lösning av ekvationssystem Lös ekvationssystemen med valfri metod. a)

10x − 3y + 8 = 0 −20x + 6y − 16 = 0

b)

x + y =6 3 x + 3y = 6

Lösning: a)

10x − 3y + 8 = 0 −20x + 6y − 16 = 0

Dividera med 2 i den andra ekvationen.

10x − 3y + 8 = 0 −10x + 3y − 8 = 0

Använd additionsmetoden, addera ledvis.

0=0 Lösningen är alla punkter som ligger på linjen 10x ‒ 3y + 8 = 0, dvs. oändligt många lösningar.

b)

x + y =6 3 x + 3y = 6

Lös ut y ur den första ekvationen.

y =6− x 3 x + 3y = 6

x Ersätt y i andra ekvationen med 6 – . 3

x + 3(6 − x ) = 6 3 x + 18 ‒ x = 6

Multiplicera in i parentesen. Förenkla i vänstra ledet.

18 = 6 Ekvationssystemet saknar lösning. De två ekvationerna representerar två parallella linjer. Svar: a) Linjen 10x ‒ 3y + 8 = 0.

b) Saknar lösning.

a x + b1 y = c1 kan ha Ett linjärt ekvationssystem med två obekanta och två ekvationer 1 a 2x + b2 y = c 2 en lösning, sakna lösning eller ha oändligt många lösningar.

48 

k apitel 2 ; algebr a


1 2

öva i 2010

2011

2012

1 2 3 4 5 6 7

Lös följande ekvationssystem med substitutionsmetoden. y = x +2 a)  y =5

 y = 3x − 4 b)  y =x+ 4

4x + y = 7 c)   y = 2x + 1

3x + y = 18 d)   x = 3y

Lös följande ekvationssystem med additionsmetoden. y+x = 7 a)  y −x =3

 2x − 3 y = 8 b)  5x + 3 y = 20

 5x − 2 y = 4 c)  −5x + 6 y = 8

 2a + b = 6 d)  −2a − 3b = 8

a) Inför lämpliga variabler och ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att beräkna hur lång tid Peter bör träna vid varje ­maskin och hur många kcal han då förbränner vid varje maskin. b) Hur lång tid ska han tillbringa vid varje maskin?

Lös följande ekvationssystem med valfri algebraisk metod. 3x + 2 y = 9 a)  −x + 3 y = 8

2x + 9 y = −15 b)  5x + 9 y = −24

 7x + 3 y = 2 c)   2x − 6 y = 4

2x − 5 y = 12 d)  6x − 10 y = 6

2015

En idrottsklubb ska köpa nya bollar. De valde mellan typerna A och B. Olika alternativ jämfördes. Vid köp av 15 A-bollar och 5 B-bollar blev priset 3 715 kr. Om de istället köpte 8 A-bollar och 12 B-bollar blev priset 3 372 kr. De bestämde sig slutligen för att köpa tio bollar av varje sort. Hur mycket fick de betala?

2016

En linje l1 går genom punkterna (5, –2) och (–2, 5) och en annan linje l2 går genom punkterna (–10, –6) och (6, 2). Visa hur du kan bestämma linjernas skärningspunkt genom att ställa upp ett ekvationssystem och lösa det algebraiskt.

öva ii 2013

Jag tänker på två tal som har sum­ man 163 och differensen 33. Visa hur du kan bestämma de två talen med hjälp av att ställa upp ett ekvations­ system och sedan lösa det.

2014

Peter kör ett 45 minuter långt träningspass i ett gym med dels en roddmaskin och dels en spinning­ cykel. När han använder roddmaski­ nen förbrukar han 8,3 kcal/min och med spinningcykeln 5,9 kcal/min. Han vill totalt förbränna 300 kcal under sitt träningspass.

k apitel 2; algebr a  

49


2017

Lös ekvationssystemet  2x + 3 y − 1 = 0   8x − 9 y − 4 = 0 −4x + y + 2 = 0  och förklara resultatet.

2018

Lös ekvationssystemet 1122x + 3344 y = 12276  3344x + 1122 y = 10054 algebraiskt. T

2019

För vilket värde på det reella talet t har ekvationssystemet tx + 3 y − 1 = 0  4x − y − 2 = 0 a) en lösning b) oändligt många lösningar c) ingen lösning

Triangel mellan punkter

2020

a) Visa att ekvationssystemet  a1x + b1 y = c1  a2 x + b2 y = c2 har den generella lösningen  b2c1 − b1c2  x = a b − a b 1 2 2 1  a c − a  y = 1 2 2c1  a1b2 − a2b1 L b) Hur kan man från den gene­ rella lösningen avgöra om ett ekvationssystem har en entydig ­lösning eller saknar lösning? c) Tillämpa ovanstående resultat för att lösa ekvationssystemet 13x + 9 y = 92  11x + 16 y = 103

utmaning

Punkterna (0, –2), (–4, 4) och (6, –1) är de tre hörnen i en triangel. Rita in punkterna i ett koordinatsystem. Från punkten (–4, 4) drar man en höjd i triangeln. Bestäm det ekvationssystem vars lösning är skärningspunkten mellan höjden och basen.

50 

k apitel 2 ; algebr a

1 2 3 5


Linjära ekvationssystem med fler än två variabler I ett ekvationssystem med två variabler och två ekvationer kan man finna en lösning, ingen lösning eller oändligt många lösningar. Ekvationssystemet kan lösas grafiskt eller algebraiskt. Ökar vi antalet variabler behöver vi fler ekvationer för att eventuellt finna en entydig lösning. Här måste vi använda algebraiska lösningsmetoder. Vi visar lösningen av ett ekvationssystem med tre variabler med två olika metoder. I det första exemplet väljer vi att lösa ut en av variablerna ur en av ekvationerna och successivt eliminera den variabeln ur de andra ekvationerna. I det andra exemplet används Gausselimination och lämpliga multiplar av en av ekvationerna adderas till de övriga för att eliminera variabler.

Ekvationssystem med tre variabler (I)  x − 2y − 2z = 0  Lös ekvationssystemet  x − 3y − 5z + 1= 0  2x − y + z + 5 = 0 

Lösning: Vi löser ekvationssystemet med successiva elimineringar. Innan vi börjar elimineringen ser vi till att respektive ekvations konstantterm finns i högerledet.  x − 2y − 2z = 0   x − 3y − 5z = −1  2x − y + z = −5  Vi kan eliminera variabeln x ur den andra och den tredje ekvationen genom att lösa ut x i den första ekvationen, x = 2y + 2z, och ersätta x i de andra två ekvationerna med den utlösta variabeln.  x = 2y + 2z   2y + 2z − 3y − 5z = −1  2(2y + 2z) − y + z = −5 

Förenkla ekvation två och tre.

 x = 2y + 2z   −y − 3z = −1  3y + 5z = −5  I de två ekvationerna har vi bara två obekanta, y och z. Vi löser ut y, (y = 1 – 3z) ur den andra ekvationen och substituerar y i den tredje ekvationen.  x = 2y + 2z   y = 1− 3z  3(1− 3z) + 5z = −5 

Förenkla den tredje ekvationen.

k apitel 2; algebr a  

51


 x = 2y + 2z   y = 1− 3z  3 − 4z = −5  Tredje ekvationen ger 3 – 4z = –5 –4z = –8 z=2 Sätt in z = 2 i den andra ekvationen. Det ger y = 1 – 3 · 2 = 1 – 6 = – 5. Sätt in z = 2 och y = –5 i den första ekvationen. Det ger x = 2 · (–5) + 2 · 2 = –10 + 4 = –6  x = −6  Svar:  y = −5 z =2 

Ekvationssystem med tre variabler (II) x − 2y − 2z = 0  Lös ekvationssystemet  x − 3y − 5z + 1= 0  2x − y + z + 5 = 0 

(I) (II) (III)

Vi betecknar de tre ursprungliga ekvationerna med (I), (II) och (III). Vi ska göra elimineringar genom att addera lämpliga multiplar av en av ekvationerna till de övriga två ekvationerna. Det kan vara lämpligt att börja med ekvation (I) och x-variabeln. Multiplicerar vi ekvation (I) med (–1) och därefter adderar den till ekvation (II) är x-variabeln eliminerad ur den sistnämnda ekvationen. Multiplicerar vi ekvation (I) med (–2) och därefter adderar den till ekvation (III) är x-variabeln eliminerad ur den ekvationen. Innan vi börjar elimineringen ser vi till att respektive ekvations konstantterm finns i högerledet.  x − 2y − 2z = 0   x − 3y − 5z = −1  2x − y + z = −5 

(I) (II) (IIII)

Efter varje ekvation skriver vi vilken eliminering som är genomförd samt ger ekvationen en ny beteckning.  x − 2y − 2z = 0   −y − 3z = −1  3y + 5z = −5  52

(I′) = (I) (II′) = (II) − (I) (III′) = (III) − 2 (I)


Ekvation (II′) och (III′) kan nu betraktas som ett ekvationssystem med två variabler. Multiplicera ekv. (II′) med 3 och addera den till ekv. (III′)  x − 2y − 2z = 0   − y − 3z = − 1  − 4z = − 8 

Ekvation (III′′) ger: –4z = – 8 z=2

(I′′) = (I′) (II′′) = (II′) (III′′) = (III′) + 3(II′)

Sätt in z = 2 i ekvation (II′′): –y – 3 ∙ 2 = –1 –y=5 y = –5 Sätt in z = 2 och y = –5 i ekvation (I′′): x – 2 ∙ (–5) – 2 ∙ 2 = 0 x = –6  x = −6  Svar:  y = −5 z =2 

Ekvationssystem med flera lösningar  x + y − 2z = 4  Lös ekvationssystemet  2x − 3y + 4z = 4  5x − 2z = 16  Lösning: Vi löser ekvationssystemet genom att successivt eliminera variablerna. Variabeln y finns bara i den första och den andra ekvationen. Vi löser ut y ur den första ekvationen och ersätter y i den andra ekvationen.  y = 4 − x + 2z  Använd distributiva lagen i den andra ekvationen.  2x − 3(4 − x + 2z) + 4z = 4  5x − 2z = 16   y = 4 − x + 2z   2x − 12 + 3x − 6z + 4z = 4  5x − 2z = 16 

Förenkla den andra ekvationen.

k apitel 2; algebr a  

53


 y = 4 − x + 2z   5x − 2z = 16  5x − 2z = 16 

Den andra ekvationen är lika med den tredje ekvationen. Vi eliminerar en av dem.

Ekvationssystemet reduceras då till  y = 4 − x + 2z   5x − 2z = 16

Om vi löser ut 2z ur den andra ekvationen och ersätter 2z i den första ekvationen reduceras ekvationssystemet till  y = 4 − x + 5x − 16   2z = 5x − 16

Förenkla den översta ekvationen

 y = 4x − 12   2z = 5x − 16 Den första ekvationen beskriver ett samband mellan variablerna x och y. Den andra ekvationen beskriver ett samband mellan variablerna x och z. Ekvationssystemet har ingen entydig lösning utan oändligt många lösningar, givna av de framräknade sambanden mellan x och y och mellan x och z. Ett sätt att uttrycka lösningen är att t.ex. sätta x = t, där t är ett reellt tal, då är y = 4t – 12 och z = 2,5t – 8. x =t  Svar : y = 4t − 12 , t reellt tal  z = 2, 5t − 8 

öva i 1 2

Lös ekvationssystemen i 2021–2023  x − y + z = 10  2021 a)  x − y = 5  x+z =8   x + y = −4  b)  y + z = −4  x + y + z = −1   2x + 3 y = 6  2022 a)  x + y − z = 2  2x + 5 y − 2z = 0 

54 

k apitel 2 ; algebr a

 2x − 3 y − 5z = 15  b)  3x − y + 2z = 10  5x + y + 6z = 0   2x − 3 y + 4z = 4  2023 a)  x + y − 2z = 4  5x − 2z = 18   x + y = 14  b)  y + z = 15  x + z = 16 


1 2 3

2027

öva ii 2024

Amy och Carla är tillsammans 51 år, Amy och Bill är tillsammans 57 år och Bill och Carla är tillsammans 42 år. Ställ upp ett ekvationssystem och bestäm var och ens ålder.

2025

Bestäm värdet av x + y + z om 4x – y = 5, 4y – z = 7 och 4z – x = 18.

2026

Lös ekvationssystemen

5 6 7

a)

Kopplingsschemat visar tre parallell­ kopplade motstånd med respektive resistanser 10 W, 12 W och 15 W. Strömmen i huvudledningen är I = 1,5 A. Bestäm med hjälp av ekva­ tionssystemet strömmen i respektive grenledning.  I1 + I 2 + I 3 = 1, 5   10I1 = 12I 2 = 15I 3 I

x 1 = y 2 x 3 T = z 4 x + y + z = 20

 2x = 3 y = 5z b)   x + y + z = 270

I1 I2 I3

2028

10 Ω 12 Ω 15Ω

Bestäm a, b, c, d och e i ekvations­ systemet  2a + b = 100   b = 2a  c + 2d = b  a = d +e   4e = d

Problemlösning Här följer några uppgifter med utmaningar på ekvationssystem. Tänk på att strukturera lösningarna så att tankegångar kan följas. 1 2 3

öva ii 2029

Vilken area har det område i första kvadranten som begränsas av lin­ jerna y = 2x + 5 och y = 3x – 7?

2030

I en påse finns det rosa, gröna och vita godisbilar, minst en av varje färg. Antalet gröna och vita bilar är tillsammans fyra gånger antalet rosa bilar. Antalet rosa och vita är tillsam­

5 6

mans sex gånger större än antalet gröna bilar. Vilket är det minsta antalet bilar som finns i påsen? L

k apitel 2; algebr a  

55


2031

2032

2033

Amanda väljer fyra tal a, b, c och d. För vart och ett av talen bestämmer hon summan av talet och medel­ värdet av de andra tre. Hon får föl­jande fyra summor: 60, 64, 68 och 72. Bestäm medelvärdet av talen a, b, c och d. x y y z Bestäm x + y + z om = , = 7 4 8 10 x y z och + + = 27. 7 4 5

 x + 2 y + 3z = 11  2034 Vad är x + y + z om 3x + y + 2z = 14 2x + 3 y + z = 14  2035

Bestäm alla heltalspar (x, y) som är lösningar till ekvationerna x2 + y2 = x – 2xy + y och x2 – y2 = x + 2xy – y.

2036

Lös ekvationssystemet  x 2 + y 2 = 225  2 2  x + z = 169  y + z = 14 

y + 3x = T och 4x = T – 2y. Bestäm 10x om 2

 2 5 ⋅3 5 8 ⋅5 8  T = +  8 32  

T

Reflektera och diskutera 2.1 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 Ett linjärt ekvationssystem kan ha fler än en lösning. 2 När man adderar ekvationer i ett ekvationssystem elimineras

alltid en variabel. 3 Ett ekvationssystem med tre variabler och tre

ekvationer har alltid en entydig lösning. Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

56 

k apitel 2 ; algebr a

1

5 6


Gruppaktivitet Linjer och plan Ekvationen ax + by + c = 0 är den allmänna formen för en rät linje. När du arbetar med räta linjen rör du dig i två dimensioner, vanligtvis i ett xy-plan. Du kan i detta plan rita in linjer som är parallella, skär varandra eller sammanfaller.

1 3 4 5 6

Ekvationen ax + by + cz + d = 0 är den allmänna formen för ett plan, dvs. en ekvation med tre variabler. När du arbetar med plan rör du dig i tre dimensioner. Till din hjälp för att lösa den här utmaningen kan du använda A4-ark och låta dem representera plan. n

Undersök hur två plan kan förhålla sig till varandra. Rita dina lösningar och tolka dem med ord.

n

L ägg till ett ytterligare plan. Utgå från resultatet ovan och undersök hur de tre planen kan förhålla sig till varandra. Rita dina lösningar och tolka dem med ord.

utmaning Gamla mynt Thérèse har hittat en burk med gamla kopparmynt, 1-öringar, 2-öringar och 5-öringar. Hon räknar till 50 mynt till ett värde av 1,81 kr. Hur många mynt finns det av varje slag?

k apitel 2; algebr a  

1 2 3 4 5 6

57


2.2 Algebraiska identiteter I kurs 1c har du arbetat med att förenkla algebraiska uttryck och lösa linjära ekvationer. Du har också bekantat dig med tre räknelagar för addition och multiplikation. Kommutativa lagen för

addition: a + b = b + a multiplikation: a · b = b · a

Associativa lagen för

addition: (a + b) + c = a + (b + c) multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c)

Distributiva lagen:

a(b + c) = a · b + a · c

För att öka förståelsen för algebraiska operationer och tolka uttryck kan man ta hjälp av ­geo­metri. Den kommutativa lagen för multiplikation kan vi åskådliggöra med en rektangel. När vi säger att vi har en rektangel med måtten x · 3, så tolkar vi det att den har basen b = x och höjden h = 3. Roterar vi den 90°, så får vi en rektangel med basen b = 3 och höjden h = x, dvs. måtten 3 · x. Men det är samma rektangel så det gäller att x · 3 = 3 · x, vilket vi känner igen som kommutativa lagen för multiplikation.

3 x

Oavsett vilket värde vi väljer på variabeln x kommer uttrycket i vänsterledet (V. L.) att vara lika med uttrycket i högerledet (H. L.).

x

3

En likhet som gäller för alla värden på variablerna kallas för en algebraisk identitet.

Identitet: En likhet som gäller för alla värden.

Algebraiska identiteter Är följande likheter algebraiska identiteter? x +5 = x + 5 a) b) 2(x + 7) = 2x + 7 2 2 2 Lösning: a) Ja, likheten gäller för alla x b) Nej. Distributiva lagen ger att 2(x + 7) = 2x + 14 vilket inte är lika med 2x + 7. Svar: a) Ja

58 

k apitel 2 ; algebr a

b) Nej


Ekvationslösning Lös ekvationerna a) 5x + 6 – 2x + 9 = 13 – 3x c) 5x + 6 – 2x + 9 = 4x + 13 – x

b) 5x + 6 – 2x + 9 = –8x + 28 – 13 +11x

Lösning: a) 5x + 6 – 2x + 9 = 13 – 3x Förenkla i vänster led. Addera 3x i båda leden. 3x + 15 = 13 – 3x Subtrahera 15 i båda leden. 6x + 15 = 13 Dividera med 6 i båda leden. 6x = –2 1 x =− 3 Förenkla i båda leden. b) 5x + 6 – 2x + 9 = –8x + 28 – 13 +11x 3x + 15 = 3x + 15 Denna likhet är sann för alla x, dvs. likheten är en identitet c) 5x + 6 – 2x + 9 = 4x + 13 – x 3x + 15 = 3x + 13 Subtrahera 3x i båda leden. 15 = 13 Denna likhet är falsk, ekvationen saknar lösning. 1 Svar: a) x = − b) Alla reella x c) Saknar lösning 3

Bestämma konstanter Bestäm konstanterna A och B så att likheten 6x = A(x + 1) + B(x – 2) är en identitet. Lösning: Vi vill att likheten ska vara en identitet, dvs. likheten ska gälla för alla x. Om vi väljer x = 2 blir andra termen i högerledet B · 0 = 0 och vi kan bestämma konstanten A. x = 2 ger 12 = A(2 + 1) 12 = 3A    A = 4 Sätter vi istället in x = –1 blir första termen i högerledet 0 och vi får ekvationen –6 = B · (–1 – 2) –6 = –3B    B = 2 Vi sätter in A = 4 och B = 2 i likheten och förenklar. 6x = 4(x + 1) + 2(x – 2) 6x = 4x + 4 + 2x – 4 6x = 6x Likheten gäller för alla x Svar: A = 4 och B = 2.

k apitel 2; algebr a  

59


1 2

öva i 2037

6

2038

2039

60 

öva ii

Undersök om följande likheter är identiteter. a+b a b = + a) c c c b) (a + b) ⋅ c = ab + ac 1 1 2 c) + = a b ab a b 2(a + b) d) + = b a ab Är följande likheter identiteter? Motivera ditt svar. a) 10x + 101 = 101 + 10x b) 2012 – 15y = 15y – 2012 c) (x + 11) – 2x = x – (2x + 11) d) (–7)2(x – 3) = –72(x – 3) Är följande likheter identiteter? Motivera ditt svar. Om svaret är nej, bestäm de värden som likheten gäller för. a) 4(x + 3) = 4 + x + 3 b) 2(x + 9) – 11 = 2x + 7 c) (x + 6) + 3x = x + 3(x + 2) d) (x + 6) + 3x = 2(x + 3) + 2x

2040

Lös ekvationerna a) 200(3x – 9) = 3(200x – 600) b) (x – 24) – 2x = x – (24 – 2x) c) 2012 – 2011x = 2011x – 2012 d) 4(11 – 2x) + 15 = 1 –2(x – 29)

2041

Bestäm konstanterna A och B så att likheten blir en identitet. a) A(2x + 5) = x + B b) 12 = A(x – 1) + B(5 + x)

k apitel 2 ; algebr a

2042

Lös ekvationerna a) x(x + 5) – 2(x – 3) = x(x – 6) b) 9y – y(3 – y) = y(y + 6) c) 10 – 2x(x – 1) + x(2x – 8) = = 7(1 – 2x)

2043

Bestäm konstanterna A och B så att likheten blir en identitet. a) A(x + 5) + 7 = B(2x + 1) b) A(4 – x) + 3x = B(9 + 2x)

2044

För vilka värden på konstanterna A, B och C är x2 + 3x + 1 = = Ax(x + 2) + Bx(3 – x) + C(x + 3) en identitet.

2045

För vilka värden på talet t är ­ekvationen en identitet? a) t(x + 2) = x + t b) t(x – 1) = x – t

2046

För vilka värden på talet a är likheten xa + 2a = x + 2a2 en identitet?

1 2 3 5 6


Multiplikation av parentesuttryck Vi tar återigen rektangeln med måtten x · 3 och en annan rektangel med måtten 2 · 3 och placerar dem bredvid varandra som figuren visar. Vi får då en ny rektangel med måtten (x + 2) · 3. Arean av den stora rektangeln är (x + 2) · 3 = 3 · (x + 2) (kommutativa lagen)

3 x

2

Den arean är densamma som summan av areorna av de mindre rektanglarna dvs. 3 · x + 3 · 2. Alltså är 3 · (x + 2) = 3 · x + 3 · 2, den distributiva lagen. Sambandet gäller för alla värden på x, med andra ord är även distributiva lagen en identitet. Vi bygger vidare på rektangeln med två rektanglar, en med måtten x · y och en med måtten 2 · y, se figur. Vi får då en ännu större rektangel med måtten (x + 2) · (3 + y) som är uppbyggd av fyra mindre rektanglar med måtten x · 3, 2 · 3, x · y och 2 · y. Den stora rektangelns area är summan av areorna av de mindre rektanglarna. Det ger (x + 2) · (3 + y) = x · 3 + x · y + 2 · 3 + 2 · y .

y 3 2

x

Det här sättet att multiplicera två parentesuttryck kallas utvidgade distributiva lagen.

Utvidgade distributiva lagen: (a + b )(c + d) = ac + ad + bc + bd

Multiplikation av parentesuttryck Multiplicera och förenkla a) (a + 5)(b + 6) b) (x – 1)(4 + y) c) 3(a – 4)(2a – 3) Lösning: Utvidgade distributiva lagen ger a) (a + 5)(b + 6) = a · b + a · 6 + 5 · b + 5 · 6 = ab + 6a + 5b + 30 b) (x – 1)(4 + y) = x · 4 + x · y – 1 · 4 – 1 · y = 4x +xy – 4 – y c) 3(a – 4)(2a – 3) =

Använd distributiva lagen på de två parenteserna.

= 3(a · 2a – a · 3 – 4 · 2a – 4 · (–3)) =

Förenkla varje term i parentesen.

= 3(2a2 – 3a – 8a + 12) =

Förenkla i parentesen.

= 3(2a – 11a + 12) = 6a – 33a + 36

Multiplicera in faktorn 3.

2

2

k apitel 2; algebr a  

61


Två åkrar En åker har formen av en rektangel med sidorna (x – 10) m och (x + 30) m. Dess area är 1500 m2 större än arean av en kvadratisk åker med sidan x m. Bestäm respektive åkers area. Lösning: Ett uttryck för rektangelns area är (x – 10)(x + 30) m2. Kvadratens area är x2 m2. Rektangelns area är 1500 m2 större än kvadratens. Det leder till ekvationen: (x – 10)(x + 30) = x2 + 1500 x + 30x – 10x – 300 = x + 1500 2

2

x + 20x – 300 = x +1500 2

2

20x – 300 = 1500

Använd distributiva lagen i vänsterledet. Förenkla i vänsterledet. Subtrahera med x2 i båda leden. Addera 300 i båda leden.

20x = 1800 x = 90 Rektangelns area är (90 – 10)(90 + 30) m2 = 80 · 120 m2 = 9600 m2 Kvadratens area är 902 m2 = 8100 m2

1 2

öva i 2047

62 

Multiplicera och förenkla a) (a – 9)(a + 2) b) (b + 7)(b – 3) c) (12 – c)(c + 5) d) (1,2x + 1)(3x – 2) e) (5a – 3)(3a – 5) f) (9 + 2x)(3x + 4)

2050

Multiplicera och förenkla a) (y + 2)(y – 2) b) (b + 9)(b – 9) c) (3x + 1)(3x – 1)

2051

Multiplicera och förenkla a) (x + 5)(x + 5) b) (10 + z)(10 + z) c) (2x + 1) (2x + 1)

2048

Multiplicera och förenkla a) 2(a + 2)(a + 6) b) 10(b – 0,1)(1 – b) c) 3(11 – y)(2y + 7)

2052

Multiplicera och förenkla a) (a – 3)(a – 3) 1 b) (x – )2 2 c) (3 – 5y)2

2049

Förenkla genom att använda distri­ butiva lagarna och potenslagarna. a) (1 – x) · x2 b) (x2 + x)(x – 2) c) x(2 + x)(3 – x2)

2053

Förenkla a) 5x + (x - 3)(4 + x) b) (2 + y)(1 - y) + (y + 3)(y + 1) c) a(3a – 4) - (a + 1)(3a - 5)

k apitel 2 ; algebr a


2054

Multiplicera och förenkla a) x2 · x3 b) x2(x3 + 1) c) (x2 + 1)(x3 + 1)

2055

Lös ekvationerna a) x(x – 8) = x2 – 152 b) (x + 1)(x – 8) = x2 – 152 c) (y + 2)2 – (y + 3)(y – 1) = 0 d) 3(2x + 1)(4 – x) = 16 – 6(x – 1)2

2056

En kvadratisk tomt med sidan x m har samma area som en rektangulär tomt med sidorna (x + 24) m och (x – 16) m. Bestäm tomternas area.

öva ii

1 2

Bestäm talen A och B så att likheten (x + A)(x – 3) = x2 + 4Bx + (A + B) gäller. (x + 2)(x − 3) (2x − 1)(x + 1) 2058 Förenkla – 2 3 2059 a) Multiplicera och förenkla (a + b)(a – b) samt förklara med ord sambandet mellan vänsterled och högerled. b) Är likheten en identitet? 2057

2060

a) Multiplicera och förenkla (a + b)2 samt förklara med ord sambandet mellan vänsterled och högerled. b) Är likheten en identitet?

2061

a) Multiplicera och förenkla (a – b)2 samt förklara med ord sambandet mellan vänsterled och högerled. b) Är likheten en identitet?

2062

Produkten av två på varandra ­följande jämna heltal är lika stor som summan av kvadraten på det första talet och 100. Bestäm de två talen.

2063

Bestäm tre på varandra följande hel­ tal så att produkten av de två största talen är 200 mer än produkten av de två minsta talen.

k apitel 2; algebr a  

6

63


Konjugatregeln och kvadreringsreglerna I övning 2050 multiplicerade du två parenteser, där den ena var summan av två variabler, a och b, och den andra differensen av samma variabler, dvs. (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2 = a2 – b2 Efter förenklingen återstår kvadraten på den första termen (a2) minus kvadraten på den andra termen (b2). Sambandet kallas konjugatregeln. Man säger att de två parenteserna är varandras konjugat. Konjugatregeln är en algebraisk identitet, dvs. den gäller för alla tänkbara värden på de reella variablerna. Övningarna 2051 och 2052 leder fram till följande två algebraiska identiteter: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 = a2 – 2ab + b2 Sambanden benämns första respektive andra kvadreringsregeln. Vid utvecklingen får vi två kvadrattermer a2 respektive b2 och en tredje term 2ab som brukar kallas dubbla produkten. Tecknet framför den bestäms av tecknet i parentesen. De här reglerna är mycket viktiga och återkommer ständigt inom olika områden av ­matematiken. De kan även vara till nytta vid rent numeriska beräkningar som följande exempel visar.

Algebraiska identiteter Konjugatregeln (a + b)(a – b) = a2 – b2 1:a kvadreringsregeln (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2:a kvadreringsregeln (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Numeriska beräkningar med konjugat-och kvadreringsreglerna Beräkna utan räknare a) 20102 b) 2012 · 2008 Lösning: a) Vi använder 1:a kvadreringsregeln 20102 = (2000 + 10)2 = 20002 + 2 · 2000 · 10 + 102 = 4 000 000 + 40 000 + 100 = 4 040 100 b) Vi använder konjugatregeln 2012 · 2008 = (2010 + 2)(2010 – 2) = 20102 – 22 = 4 040 100 – 4 = 4 040 096 Svar: a) 4 040 100

64 

k apitel 2 ; algebr a

b) 4 040 096


Utveckla med konjugat-och kvadreringsreglerna Utveckla med hjälp av lämplig regel. a) (x + 11)(x – 11)

2

 x c) 4  3 −   2

b) (2x + 1)2

Lösning: a) Vi använder konjugatregeln: (x + 11)(x – 11) = x 2 – 112 = x2 – 121 b) 1:a kvadreringsregeln ger (2x + 1)2 = (2x)2 + 2 · 2x · 1 + 12 = 4x2 + 4x + 1. Tänk på att hela termen 2x ska kvadreras, det markeras genom att sätta parentes om den, (2x)2, innan vi utför kvadreringen. (2x)2 = 4x2 2 2  2   x x x  c) 2:a kvadreringsregeln ger 4  3 −  = 4  32 − 2 ⋅ 3 ⋅ +    = 4  9 − 3x + x  = 36 – 12x + x2  2 2  4  2    Tänk på att kvadraten ska utvecklas först innan man multiplicerar med 4. x I utvecklingen av kvadraten ska hela termen kvadreras. 2 Svar: a) x2 – 121

b) 4x2 + 4x + 1

öva i 1 2

2064

Beräkna utan räknare genom att använda lämplig regel a) 1005 · 995 b) 412 c) 5010 · 4990 d) 9982

2065

Utveckla parenteserna med hjälp av konjugatregeln a) (x + 2)(x - 2) b) (y + 5)(y - 5) c) (3 - z)(3 + z) d) (10 + a)(10 – a) e) (7 + 2y)(2y –7)   yy f)  x +   − x  2 3 3 2

2066

Utveckla parenteserna med hjälp av kvadreringsreglerna b) (11 – b)2 a) (a + 9)2 c) (2x + 1,5)2 d) (1,1 – 0,2y)2

c) 36 – 12x + x2

2067

Utveckla parenteserna med hjälp av ­lämplig regel a) (2x + 3)2 b) (3 – 2x)2 c) (2x + 3)(3x + 2) d) (2x + 3)(3 – 2x)

2068

Utveckla parenteserna med hjälp av ­lämplig regel    a)  y + x   y − x  3 2 3 2 2

y x c)  −  3 2 2069

2

x y b)  +  2 3

  y y d)  x +   − x  2 3 2 3

Utveckla parenteserna a) x(1 + 2x)(1 – 2x) b) (y2 – 3)2 c) (2x2 + 3)(2x2 – 3) d) ((2x)2 + (3y)2)2 k apitel 2; algebr a  

65


1 2 3

öva ii 2070

5 6

2071

Bestäm det som är utelämnat så att vänster led är identiskt lika med höger led. a) (x + 3)(n – n) = x2 – 9 b) (a + n)(a – n) = n – 4 c) (n + n)(n – n) = y2 – 1 d) (n + n)(n – n) = 16a2 – 0,01 Bestäm det som är utelämnat så att vänster led är identiskt lika med höger led. a) (a – 5)2 = n – 10a + n b) (7 + b)2 = n + n + b2 c) (n + x)2 = 100 + n + n d) (n – n)2 = 81 – n + y2

2072

Utveckla parenteserna b) (a + b – c)2 a) (a + b + c)2 c) (a – b – c)2 d) Jämför dina utvecklingar och förklara hur man kan skriva ner resultatet direkt.

2073

Utveckla parenteserna b) (a – b)3 a) (a + b)3

2074

Använd identiteterna du bestämde i föregående övning. a) (1 + x)3 b) (y – 2)3 c) (2x – 1)3

2075

Visa konjugatregeln geometriskt med hjälp av en rektangel med sidorna (a + b) och (a – b). L

2076

Visa andra kvadreringsregeln geome­ triskt genom att betrakta (a – b) som sidan i en kvadrat. L

Problemlösning Här följer några uppgifter där du får användning för konjugat- och kvadreringsreglerna. Motivera dina lösningar. 1 2 3

öva ii 2077

5 6

Skriv ett förenklat uttryck för rektangelns a) omkrets b) area c) Bestäm rektangelns area och ­omkrets om x = 2,00 cm

Beräkna utan räknare värdet av 2011 · 2013 – 20122

2080

Beräkna utan räknare 1 +100 1 +101 1 +102 1 +103 ⋅105

x

A = 8x

2079

2081

De positiva reella talen x och y är lösningar till ekvationerna x4 – y4 = 2009 och x2 + y2 = 49. Bestäm x och y.

2082

Bestäm utan räknare värdet av uttrycket

(cm)

A = 5x 2x

2078

66 

Bestäm utan räknare värdet av (82 - 62 )(4 2 - 22 ) uttrycket 2 2 2 2 (4 - 3 )(2 -1 )

k apitel 2 ; algebr a

T

( 1+

x + 1− x

då x = 0,25.

) ( 1+

x − 1− x

)


Konjugat- och kvadreringsreglerna   i uttryck och ekvationer Konjugatregeln och kvadreringsreglerna förekommer ofta i uttryck och ekvationer. Det innebär för det mesta utveckling av parenteser och förenklingar. Som vanligt gäller prioriterings­reglerna. Det är också viktigt att tänka på teckenändringar.

Förenkling av uttryck Förenkla uttrycken. a) 3a2 + (3 – a)(3 + a)

b) 2(x + 5)2 – x(2x – 1)

Lösning: a) 3a2 + (3 – a)(3 + a) = = 3a2 + 9 – a2 = 2a2 + 9 b) 2(x + 5)2 – x(2x – 1) = = 2(x2 + 10x + 25) – (2x2 – x) = = 2x2 + 20x + 50 – 2x2 + x = = 21x + 50 c) 5 – (1 – 2y)2 = = 5 – (1 – 4y + 4y2) = = 5 – 1 + 4y – 4y2 = 4 + 4y – 4y2 Svar: a) 2a2 + 9

b) 21x + 50

c) 5 – (2 – y)2

Använd konjugatregeln.

Använd kvadreringsregeln och distributiva lagen. Tänk på teckenändring när du tar bort andra parentesen.

Använd andra kvadreringsregeln. Tänk på teckenändring.

c) 4 + 4y – 4y2

Ekvationslösning Lös ekvationerna. a) (x + 4)(x – 4) = (x – 1)2 b) (3x + 2)2 – 2x = 9x2 Lösning: a) (x + 4)(x – 4) = (x – 1)2 x2 – 16 = x2 – 2x + 1 –16 = –2x + 1 –17 = –2x x = 8,5 b)

(3x + 2)2 – 2x = 9x2 9x + 12x + 4 – 2x = 9x2 10x + 4 = 0 10x = –4 x = –0,4 2

Utveckla parenteserna. Subtrahera med x2 i båda leden. Subtrahera med 1 i båda leden. Dividera med –2 i båda leden.

Utveckla parentesen i vänster led. Förenkla i vänster led samt subtrahera med 9x2 i båda leden.

k apitel 2; algebr a  

67


Du kan alltid sätta in ditt svar i den ursprungliga ekvationen för att pröva om lösningen är korrekt. Räkna ut varje led för sig. V. L. (3 ⋅ (−0, 4) + 2)2 − 2 ⋅ (−0, 4) = (−1, 2 + 2)2 + 0, 8 = 0, 8 2 + 0, 8 = 0,64 + 0, 8 = 1, 44 H. L. 9 ⋅ (−0, 4)2 = 9 ⋅ 0,16 = 1, 44 Eftersom V. L. = H. L. så är x = –0,4 en rot till ekvationen. Svar: a) x = 8,5 b) x = –0,4

Beräkna sidor i en triangel I en rätvinklig triangel är hypotenusan 4,0 cm längre än en av kateterna. Den andra kateten är 6,0 cm. Bestäm triangelns omkrets. Lösning: Börja med att rita en rätvinklig triangel och markera det som är givet. Vi betecknar den okända kateten med x. Pythagoras sats lyder: a2 + b2 = c2 Den ger: x2 + 6,02 = (x + 4,0)2 x2 + 36,0 = x2 + 8,0x + 16,0 36,0 = 8,0x + 16,0 20,0 = 8,0x x = 2,5 Hypotenusans längd i cm är 2,5 + 4,0 = 6,5 Triangelns omkrets i cm är 2,5 + 6,0 + 6,5 = 15

(cm)

x + 4,0

6,0

x

Svar: Omkretsen är 15 cm

1 2

öva i 2083

2084

68 

Förenkla uttrycken så långt som möjligt a) 3a2 + 2(a + 1)2 b) (a + b)2 + (a – b)2 c) (2x + 1)(2x – 1) – 2x(x + 1) d) 6x2 – (x + 2)2 Förenkla först uttrycket (a + 2)(1 – a) – (2a2 – 3a + 1) och beräkna därefter värdet för a = 1.

k apitel 2 ; algebr a

2085

Lös ekvationerna a) x2 + 22 = x(x – 11) b) (x + 1)(x – 7) = x2 c) x(x + 5) = (x – 5)2 d) (x + 3)(x – 3) = x2 – 3x

2086

Lös ekvationerna a) 2x(x + 3) = 2x2 +18 b) (2x + 7)(2x – 7) = 2 + 4(x – 5)2 c) (x + 4)(x – 4) – (x – 5)(x + 5) = 30x d) 5x2 + 5(3 – x)(3 + x) = 9x


2087

Pröva om det angivna värdet är en rot till ekvationen. Om så inte är fal­ let lös ekvationen. a) x(x – 2) = (x + 3)(x – 3) – 1, x = 2 b) (2x – 1)2 = 2(x + 1)2 + 2x2, x = 0 c) (x + 9)(x – 5) = x2 + 3, x = 12 d) (x + 1)2 – (x + 1)(x – 1) + (x – 1)2 = = x(x + 1), x = 1

2088

Den rätvinkliga triangeln och rek­ tangeln har samma area. Bestäm den.

2092

Anna ska sy en duk av ett kvadratiskt tyg­ stycke. Hon kantar tygstycket med ett 5 cm brett band varvid arean ökar med 0,21 m2. Bestäm den färdiga dukens mått. T

2093

Bestäm konstanterna A och B så att 1 A B + = 1 + x 1 − x 1 − x 2 är en identitet. T

Är följande likheter identiteter? Motivera ditt svar. Om svaret är nej, bestäm de värden som likheten gäller för. a) (x + 17)2 = x2 – 34x + 289 b) (x + 6)2 = 36x + 12 + x2 c) x(x + 5)(5 – x) = 25x – x3 d) (2x + 3)(3x – 2) = 5x2 + 5x + 6

2094

Visa följande identiteter. a) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 b) (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3

2095

Visa att för tre på varandra föl­ jande heltal gäller att produkten av det minsta och det största talet är ett mindre än kvadraten på det i mitten. L

2090

I en rektangel är diagonalen 2,0 cm längre än basen. Höjden är 10,0 cm. Bestäm rektangelns omkrets och area.

2096

2091

I en likbent triangel är höjden mot den tredje sidan 2,0 cm kortare än de lika långa sidorna. Den tredje sidan är 12 cm. Bestäm triangelns omkrets och area.

Visa att för tre på varandra följande heltal gäller att differensen mellan kvadraten på det största talet och kvadraten på det minsta talet är fyra gånger så stor som det i mitten. L

s–2

2s s+3

s 1 2 3

öva ii 2089

5 6

k apitel 2; algebr a  

69


Faktorisering När du använder distributiva lagen, konjugatregeln eller kvadreringsreglerna så multiplicerar du parenteser och får ett uttryck utan parenteser. Ibland kan man istället behöva gå åt andra hållet, dvs. skapa produkter av faktorer som består av uttryck. Distributiva lagen säger att a(b + c) = ab + ac. Termerna i högerledet har den gemensamma faktorn a. Om vi har termer med gemensamma faktorer kan distributiva lagen användas baklänges: ab + ac = a(b + c). Uttrycket har delats upp i faktorer eller faktoriserats. Man säger även att faktorn a har brutits ut.

Gemensam faktor a) Vilken gemensam faktor har termerna i uttrycket 4x + 8?

b) Faktorisera uttrycket.

Lösning: a) Vi skriver varje term som en produkt av två faktorer så att vi ser den gemensamma faktorn, 4x + 8 = 4 · x + 4 · 2. Båda termerna innehåller faktorn 4. b) V  i kan bryta ut den gemensamma faktorn, 4x + 8 = 4 · x + 4 · 2 = 4(x + 2) För att vara säker på att faktoriseringen är korrekt, kan man alltid utföra multiplikationen. 4(x + 2) = 4x + 8 Svar: a) 4

b) 4(x + 2)

Faktorisera Faktorisera a) 5x + 45y – 30

b) xy + x

Lösning: a) 5x + 45y – 30 = =5·x+5·9·y–5·6= = 5(x + 9y – 6) b) xy + x = = x · y + x · 1 = = x(y + 1)

c) 2a2b – 5ab2 + ab

Faktorisera varje term. Varje term innehåller faktorn 5. Bryt ut den!

Faktorisera varje term. Båda termerna innehåller faktorn x. Bryt ut den!

c) 2a2b – 5ab2 + ab = =2·a·a·b–5·a·b·b+a·b= = ab(2a – 5b + 1)

Faktorisera varje term. Varje term innehåller faktorerna a och b. Bryt ut faktorn ab. Parentesen som är kvar kan inte faktoriseras.

Vi gör en kontroll genom att använda distributiva lagen på det sista uttrycket. ab(2a – 5b + 1) = ab · 2a – ab · 5b + ab · 1 = 2a2b – 5ab2 + ab. Svar: a) 5(x + 9y – 6)

70 

k apitel 2 ; algebr a

b) x(y + 1)

c) ab(2a – 5b + 1)

Faktoriseringen är korrekt.


Uttryck som gemensam faktor Skriv x(x + 3) + 5(x + 3) som en produkt. Lösning: Att skriva som en produkt är detsamma som att faktorisera. De två termerna innehåller faktorn x + 3. Vi bryter ut den. x(x + 3) + 5(x + 3) = (x + 3)(x + 5) Svar: (x + 3)(x + 5)

1 2

öva i 2097

Faktorisera genom att först be­stämma den gemensamma faktorn. a) 3x – 9 b) 12x + 21 c) 2,4x + 3,6y d) 50 – 50y

Faktorisera uppgifterna i 2098–2101. 2098

a) a2 + a c) 5b – 15b2

b) 4a + 12a2 d) a2 – a3

2099

a) a + ab c) 10x2 + 24x

b) a2 – ab d) 3x2y + 3xy

2100

a) 4a – 8b + 12 b) 9x + 18xy – 9y c) 6a + 18ab + 36a2

2101

a) 5(x – 2) + x(x – 2) b) y(2y – 1) – 3(2y – 1) c) a(a + b) + b(a + b)

utmaning

1

I ett rätblock är den sammanlagda längden av de 12 kanterna x cm. Det längsta avståndet mellan två hörn är y cm. Bestäm ett uttryck för rätblockets begränsningsarea.

3 4 5 6

Rätblock

Gruppaktivitet Medelvärden

a +b , 2 2 det geometriska medelvärdet G som G = ab och det harmoniska medelvärdet H som H = 1 1 + Undersök för olika värden på talen a och b sambandet mellan de tre medelvärdena. a b Formulera ett påstående och visa det algebraiskt.

Låt a och b vara två reella tal. Det arit­metiska medelvärdet A definieras som A =

k apitel 2; algebr a  

1 2 3 4 5 6

71


Faktorisering med konjugat- och kvadrerings­ reglerna I många faktoriseringar räcker det inte att bryta ut gemensamma faktorer utan man kan behöva använda konjugat- och kvadreringsreglerna. Man bör därför behärska dessa regler både framlänges och baklänges. Termerna i uttrycket x2 – 49 har inga gemensamma faktorer, men det kan ändå faktoriseras. ­Uttrycket x2 – 49 består av differensen av två kvadrattal x2 och 72. Det kan jämföras med ­konjugatregeln som omvänt lyder a2 – b2 = (a + b)(a – b). Tillämpar vi konjugatregelns omvändning på x2 – 49 får vi x2 – 49 = x2 – 72 = (x + 7)(x – 7) Även kvadreringsreglerna kan användas för faktoriseringar. Deras omvändning är a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Betraktar vi de vänstra leden så ser vi att de består av två kvadrattermer a2 respektive b2 och en tredje term 2ab. Tecknet framför den tredje termen avgör om det är första eller andra kvadreringsregeln. Uttrycket x2 + 6x + 9 har två kvadrattermer, x2 och 32. Den tredje termen kan faktoriseras som 6x = 2 · 3 · x. Alltså kan vi använda första kvadreringsregeln baklänges och vi får x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.

Faktorisering med konjugatregeln Faktorisera a) x2 – 16 b) 4a2 – 25b2 Lösning: a) Vi vet att 16 = 42, det ger x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4) b) Vi vet att 4a2 = (2a)2 och 25b2 = (5b)2. Det ger följande faktorisering: 4a2 – 25b2 = (2a)2 – (5b)2 = (2a + 5b)(2a – 5b) Svar:

72 

a) (x + 4)(x – 4)

k apitel 2 ; algebr a

b) (2a + 5b)(2a – 5b)


Faktorisering med kvadreringsreglerna Faktorisera a) x2 – 12x + 36 b) 9x2 + 12x + 4 Lösning: a) Vi vet att 36 = 62 och 12 = 2 · 6. Det ger följande faktorisering x2 – 12x + 36 = x2 – 2 · 6 · x + 62 = (x – 6)2 b) Vi vet att 9x2 = (3x)2, 4 = 22 och 12 = 2 · 3 · 2. Det ger följande faktorisering 9x2 + 12x + 4 = (3x)2 + 2 · 3x · 2 + 22 = (3x + 2)2 Svar: a) (x – 6)2 b) (3x + 2)2

Skriv som en produkt Skriv uttrycket 7x2 – 28x +28 som en produkt . 7x2 – 28x +28 =

Bryt ut den gemensamma faktorn 7.

= 7(x – 4x + 4) = 2

Använd andra kvadreringsregeln.

= 7(x – 2 · 2 · x + 2 ) = 2

= 7(x – 2)

2

4 = 22 och 4x = 2 · 2 · x

2

Svar: 7(x – 2)2

öva i 2102

2103

Faktorisera a) 9 – z2 c) x2 + 10x + 25 Faktorisera a) a2 + 4ab + 4b2 b) 4y2 – 12y + 9 2 x2 4y – c) 25 9 z2 d) 4 + z + 1

2104

Faktorisera så långt som möjligt a) 64 – 4x2 b) 10x2 + 5 c) 12 – 12x + 3x2 d) 9y2 + 24y + 16

2105

Faktorisera så långt som möjligt a) 3a2 + 6ab + 3b2 b) a3 – 2a2b – ab2 c) a2b2 + 2ab + 1 d) 32a + 112ab + 98ab2

b) 16x2 – 81 d) y2 – 8y +16

k apitel 2; algebr a  

73


1 2 3

öva ii 2106

5 6

2107

Skriv som en produkt av faktorer b) y4 – 1 a) x3 – 9x 3 2 c) x – x + x – 1

2108

Faktorisera x6 – x4 – x2 + 1 så långt som möjligt. T

2109 Visa identiteten (a + b + c)3 =

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(a + c)(b + c)

Skriv som en produkt (1 + x + y)2 – (1 – x – y)2.

Problemlösning I de här uppgifterna får du användning av det du har lärt dig i detta kapitel. Kom ihåg att motivera lösningarna. 1 2 3 5 6

öva ii 2110

Skriv 202 - 122 som en potens av 2.

2111

Bestäm utan räknare värdet av A2 - B2 om A = 2012x + 2012-x och B = 2012x - 2012-x.

2112

2113

2114

Bestäm samtliga heltalspar (x, y) som är lösningar till ekvationen 1 1 5 + = . L x y 11

En triangel är begränsad av linjerna y = –x – 1, y = 2x – 1 och y = k, där k är ett positivt heltal. För vilka värden på k är triangelns area mindre än 2012 a. e.? L 1 1 Bestäm värdet på xy om x − = y − x y och x ≠ y.

Reflektera och diskutera 2.2 Avgör för varje påstående om det är sant, falskt eller sant om (sant under vissa förutsättningar). Motivera svaren med ord eller beräkningar där det är möjligt. 1 Konjugatregeln innebär att två likadana algebraiska uttryck multipliceras. 2 Faktorisering innebär att två eller flera algebraiska uttryck multipliceras. 3 Andra kvadreringsregeln säger att kvadraten på differensen av två termer

är detsamma som differensen av termernas kvadrater. 4

74 

En likhet är en identitet om den gäller för alla värden.

k apitel 2 ; algebr a

Svar med motiveringar finns på lärarwebben.

1

5 6


TESTER 2.1

  1

Ekvationssystem

Lös följande ekvationssystem grafiskt  y = x +1 a)   y = 3x − 1

  2

  4

 5x − y = 0 c)   2x + y = −7

Lös följande ekvationssystem algebraiskt  2x + y = 2 a)   3x − 2 y = 3

  3

3x + y = 2 b)   2x + y = 3

 9x − 4 y = 5 b)   y = 3 − 2x

 2x − 5 y + 6 = 0 c)   5x − 3 y − 4 = 0

Figuren visar två räta linjer i ett koordinatsystem. a) Ange det ekvationssystem som visas i koordinat- systemet. b) Vilken lösning har ekvationssystemet? Till en konsert såldes 1 200 biljetter i två prisklasser. De dyraste kostade 350 kr/st och de billigaste 250 kr/st. Biljettintäkterna var 345 500 kr. Hur många biljetter av den dyraste sorten såldes?

y 4 3 2 1 –4

–3

–2

–1

–1

1

2

3

4

En lantbrukare som har får och hönor berättar att djuren sammanlagt har 47 huvuden och 132 ben. Hur många får har lantbrukaren?

  6

Lös ekvationssystemen.  x + 2y + z =1  b)  2x − y − z = 2  3x + y + 2z = 5 

x

–2

  5

 x − 2y =1  a)  2 y − z = 3  x + y + z = −2 

5

 x + 2y + z = 0  c)  x − y − z = 1  −2x + 3 y + z = 2 

  7

En liksidig triangel har i centimeter sidlängderna x + 2y, 5y – x och 3x – y där x och y är positiva heltal. Bestäm triangelns minsta möjliga omkrets.

  8

Bestäm för olika värden på det reella talet t lösningarna till ekvationssystemet  9x + ty − 3 = 0   tx + y − 1 = 0

k apitel 2; algebr a  

75


TESTER Algebraiska identiteter

2.2

  1

  2

Använd distributiva lagen a) (5a – 3b)(2a + b) b) (2x – 4)(x + 8)

c) 2(x + 3)(5 – 2x)

Utveckla parenteserna a) (5x + 7)(5x – 7)

c) 4(1 – 6x)2

  3

a) Förenkla 2(x + 3)(x – 5) – (2x – 1)(x – 9) b) Lös ekvationen 2(x + 3)(x – 5) = (2x – 1)(x – 9)

  4

Bestäm konstanterna A och B så att likheten A(2x + 1) + B(1 – 5x ) = 2x + 7 blir en identitet.

  5

Faktorisera så långt som möjligt a) 25x – 15 b) 6x2 – 21x

  6

d) 24x – 16x

e) 25x – 49y

Beräkna utan räknare a) 44 · 46

b) 592

c) 201 · 199 – 202 · 198

(

  7

  8

c) x2y + 4xy x2 x 1 + + f) 4 5 25

2

76 

b) (2x + 9)2

)(

2

)

(

2

)

2

d) 1 − 2 1 + 2

e)

Lös ekvationerna a) (x + 3)2 = x2 + 6x + 6 c) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9

b) (x + 3)2 = x2 + 3x + 6 d) (x + 3)2 = x2 – 6x + 3

2+ 8

f)

5012 - 4992 512 - 492

Visa att (a – b)2 + (c – d)2 + 2(a – d)(b – c) = (a – c)2 + (b – d)2

k apitel 2 ; algebr a


Blandade övningar 1 2

öva i   1

6

  5

Lös följande ekvationssystem grafiskt.

3

 y = 3x + 5 a)   y = −2x + 10

1

 y + x = 12 b)   y + 3x = 16

2

–4

 6x + 3 y − 9 = 0  2x + 4 y = 8 c)  d)   4x + y − 3 = 0  x + 2y = 4   2

  3

y 4

x + 2y = 4 b)  x + y = 1

x+ y =5 c)   2x + y = 10

 4x − y = 15 d)   −2x + 3 y = 5

Karna köpte 1 kg äpplen och 2 kg clementiner för 32 kr. Björn köpte 2 kg äpplen och 1 kg clementiner för 28 kr. Vad kostade äpplena respektive clemen­ tinerna per kg?

–2

–1

–1

1

2

3

4

5

x

–2

Lös ekvationssystemen algebraiskt.  3x + y = 10 a)   2x − y = 5

–3

a) Ange ett ekvationssystem vars ­grafiska lösning visas i figuren. b) Bestäm lösningen.   6

I vilken punkt skärs linjen y = 2x + 5 av linjen y = 3x – 7?

  7

I figuren visas graferna till de två ­ekvationerna y = f(x) och y = h(x). y 5

f(x)

4 3 2

h(x)

1 –5 –4 –3 –2

–1 –1

1

2

3

4

5 x

–2 –3 –4 –5

a) Bestäm h(0). b) Bestäm det värde för vilket h(x) = 0. c) Använd figuren för att bestämma lösningen till ekvationssystemet   4

Till en konsert fanns biljetter för 100 kr och för 150 kr. Det såldes 500 biljet­ ter och intäkterna var 60 000 kr. Hur många biljetter såldes i varje prisklass?

 y = f (x )   y = h(x ) (NP Ma B vt 00)

k apitel 2; algebr a  

77


8

en bok märkt G. Thérèse betalar 251 kr för fyra böcker, två märkta E, en märkt F och en märkt G. a) Ställ upp ett ekvationssystem som beskriver situationen. b) Vilket pris har respektive bok?

Figuren kan användas för att grafiskt lösa ett linjärt ekvationssystem. y 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2

–1 –1

1

2

3

4

5 x

–2 –3 –4 –5

a) Ange lösningen till ekvationssyste­ met. b) Vilket är ekvationssystemet? (NP Ma B vt 02)

  9

Lös ekvationssystemen  x + y =1  a)  3x + 2 y = 5  5x + 3 y = 9   x − 2 y + 2z = −2  b)  2x − 2 y + z = 3  3x − 5 y + 5z = 5   x + 2y =1  c)  2x − y + 3z = 0  3 y − z = −2 

 2x + 5 y − 2z = 4  10 Vad är x + y + z om  7 x − y + 2z = 13  9x − 4 y = 1  11

78 

Carolina, Mattias och Thérèse är i en bokhandel och köper pocketböcker. Böckerna är märkta med bokstäverna E, F eller G som kod för priset. Carolina betalar 129 kr för två böcker, en märkt E och en märkt G. Mattias betalar 202 kr för två böcker märkta F och

k apitel 2 ; algebr a

12

Multiplicera och förenkla a) 2x(6 + x2) b) (2x – 3)(x + 2) c) (x + 3)(x – 2) d) (x – 4)2 e) (x + 2)(x – 2) f) (2x + 3)2

13

Förenkla uttrycket (2x + 5)(3x – 1) + x(9x – 11) och ­beräkna därefter dess värde för x = 1.

14

Beräkna utan räknare a) 562 – 442 b) 782 c) ( 12 - 3 )2 d) 1005 · 995

15

Lös ekvationerna a) (2x – 1)2 = 4(x + 1)2 b) 4x – (x + 3)2 = 11 – x2


16

17

Faktorisera a) x2 + 150x c) 66x + 99y e) 6x3 – 4x2

d) 2a + b = 2a + 2b e) 2(a – b)2 = (2a – 2b)2

b) x3 – 16x d) 3x2 – 27x f) 2x4 + 8x2

f) 22

Förenkla a) (a – b)2 – (a + b)(a – b) 2 x a c) 3 − 3 (a + 3) b) 16 +1 4 3

( )

( )

b) Lös ekvationssystemet och besvara uppgiften.

a) Skriv ett förenklat uttryck för ­omkretsen av rektangeln. b) Skriv ett förenklat uttryck för arean. c) Hur stor är arean om omkretsen är 50 m?

23

I skolans cafeteria köper Nicola 3 bullar och 1 burk coca-cola för 42 kr. Janne köper 2 bullar och 2 burkar coca-cola för 44 kr. Hur mycket får Steven betala för 4 bullar och 1 burk coca-cola?

24

På en teater är alla platser ordnade i parallella rader med lika många platser i varje rad. Antalet platser i en rad är 16 färre än antalet rader. Hur många platser finns det totalt om summan av antalet platser i en rad och antalet rader är 70?

25

Bestäm a och b så att ekvationssystemet  y = ax + b   6x − 3 y + 24 = 0

(m)

x –3 x+7

19

1 2 3

Multiplicera och förenkla b) 5x(4x + 5)(x – 2) a) (3x2 + 2)2 2 c) (3y – 5) – 2(3y – 5)(3y + 5) e) (x – 3)3 d) x(x – 11)2 f) (2x + 1)3

öva ii 20

5 6

21

Skriv talet (102 – 82)(92 – 72)(82 – 62) (72 – 52)(62 – 42)(52 – 32)(42 – 22)(32 – 12) som en produkt av primtal. Vilka av följande likheter är identi­teter? Förklara med ord samt skriv ett höger­ led som är lika med vänsterledet för de identiteter som är felaktiga. a) 2(a + b) = 2a + 2b a+b a b = + 2 2 2 c) (a + b)2 = a2 + b2

b)

a) Formulera en uppgift som kan be­skrivas med följande ekvations­ system:  x + y = 105   x − y = 37

d) (2x – 3)2 – (2x + 3)(2x – 3) + + 6x(2x – 3) 18

a+b = a + b

a) har oändligt många lösningar b) saknar lösning. 26

Vid en folkomröstning med svars­ alternativen ”JA” och ”NEJ” fick NEJalternativet 1 000 000 fler röster än JAalternativet. Om 50 000 av JA-rösterna hade valt ”NEJ” hade NEJ-alternativet fått precis dubbelt så många röster som JA-alternativet. Hur många deltog i folkomröstningen? T

k apitel 2; algebr a  

79


27

28

29

1 2 3 5 6

I en dunge växer tre ekar. Deras sam­ manlagda ålder är 900 år. När det yngsta trädet blir lika gammalt som inne­ varande ålder för det näst yngsta trädet, kommer det trädet att vara lika gam­ malt som det äldsta trädets inne­varande ålder och fyra gånger så gammalt som det yngsta trädets inne­varande ålder. Hur gammalt är det äldsta trädet nu? Morgan har ritat tre olika mång­ hörningar som han beskriver på följande sätt: Tillsammans har mina månghörningar 14 sidor. Den andra månghörningen har dubbelt så många sidor som den första. Dubblar jag den andra månghörningens sidor och subtraherar det svaret från 17 får jag den tredje månghörningens sidor. Vilka månghörningar har Morgan ritat? Sidan i en kvadrat är 1 enhet kortare än långsidan i en rektangel, vars kortsida är 2 enheter kortare än dess långsida. T a) Vilken area är störst, kvadratens eller rektangelns? b) Hur mycket skiljer det mellan ­areorna?

Bestäm för olika värden på konstanten a lösningen till ekvationen x(x + a) = (x + 1)(x + 2).

31

Förenkla (x – y – 1)(x – y + 1) + + (x + y – 1)(x + y + 1) T

32

Skriv som en produkt, 120x2 + 97x – 84. T

33

a) Visa att (x – y)2 = (y – x)2 för alla x och y. b) Visa att (x – y)3 = –(y – x)3 för alla x och y. c) Undersök vilket samband som finns mellan (x – y)n och (y – x)n för olika positiva heltal n.

34

a) Visa att differensen av kvadraterna av två på varandra följande heltal alltid är udda. b) Undersök differensen av kubikerna av två på varandra följande heltal.

öva iii 35

Den här uppgiften handlar om en följd av minst fyra på varandra följande heltal. Du ska ta produkten av det första och det sista och jämföra det resultatet med produkten av det andra talet och det näst sista. n

n

n

80 

30

Du kan börja din undersökning med olika mängder av fyra på varandra följande tal. U  ndersök därefter mängder med fem på varandra följande tal, sex på varandra ­följande tal osv. Vad händer om mängden består av n på varandra följande tal?

k apitel 2 ; algebr a


sammanfattning

Linjära ekvationssystem. System av förstagradsekvationer i flera variabler. y

Grafisk lösning av ekvationssystem. Vid grafisk lösning av ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och två variabler ritas de båda linjerna och skärningspunktens koordinater avläses. Substitutionsmetoden. En algebraisk lösning där en variabel löses ut i en av ekvationerna och det erhållna uttrycket ersätter samma variabel i den andra ekvationen.

x

Additionsmetoden. En algebraisk metod där en variabel elimineras genom att addera ekvationernas vänsterled respektive högerled. Vid behov skrivs ekvationerna först om genom lämpliga förlängningar. Identitet. En likhet som gäller för alla variabelvärden. Kommutativa lagen för addition: a + b = b + a för multiplikation: a · b = b · a Associativa lagen

för addition: (a + b) + c = a + ( b + c) för multiplikation: (a · b) · c = a · (b · c)

Distributiva lagen: a(b + c) = ab + ac Utvidgade distributiva lagen: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Konjugatregeln: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Första kvadreringsregeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Andra kvadreringsregeln: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Faktorisering. Om termerna i ett uttryck har en gemensam faktor kan faktorn brytas ut. Man säger att uttrycket faktoriseras. ab + ac = a(b + c)

k apitel 2; algebr a  

81


e2c_2_111209