Page 1

I din hand håller du ett läromedel från Gleerups. Gleerups författare är lärare med erfarenhet från klassrummet. Lärare och elever hjälper till att utveckla våra läromedel genom värdefulla synpunkter på både innehåll och form. Vi förankrar våra läromedel i skolan där de hör hemma. Gleerups läromedel är alltid utvecklade i samarbete med dig! Har du som användare frågor eller åsikter, kontakta oss gärna på telefon 040-20 98 00 eller via www.gleerups.se Författare till detta läromedel är Ragnar Danielsson, Gert Gabrielsson och Bengt Löfstrand, alla tre med lång erfarenhet av undervisning i matematik för vuxna och ungdomar.


Gleerups Utbildning AB Box 367, 201 23 Malmö Kundservice tfn 040-20 98 10 Kundservice fax 040-12 71 05 e-post info@gleerups.se www.gleerups.se

Corda 2 © 2013 Ragnar Danielsson, Gert Gabrielsson, Bengt Löfstrand och Gleerups Utbildning AB Gleerups grundat 1826 Redaktör Marcus Ander Bildredaktör Ingrid Westman Formgivning och illustrationer Johan Annerstedt

Andra upplagan, första tryckningen ISBN 978-91-40-68334-2 Kopieringsförbud! Detta verk är skyddat av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-Presskopias avtal, är förbjuden. Ingen del av materialet får lagras eller spridas i elektronisk (digital) form. BONUSPresskopias avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare t ex kommuner/universitet. För information om avtalet hänvisas till utbildningsanordnarens huvudman eller BONUS-Presskopia. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig att erlägga ersättning till upphovsman/ rättsinnehavare. Prepress XXX Tryck & bind XXX


Innan du börjar... I Corda 2 får du arbeta med grundläggande moment i matematik. Med enkel text, tydliga figurer och illustrationer presenteras innehållet så att det ska vara lätt att förstå. Varje avsnitt inleds med kortfattad teori. Därefter kommer Exempel som visar hur du kan lösa uppgifterna

Förklaringar av viktiga ord och begrepp

Uppgifter där du tränar på det som behandlas i avsnittet I Corda 2 är exempel och uppgifter uppdelade i tre nivåer: 101 105 157

Grön färg. Grundläggande uppgifter, viktiga för att klara kunskapskraven för betyget E. Orange färg. Grundläggande uppgifter, där text och sammanhang är något mer krävande. Blå färg. Uppgifter med inriktning på kunskapskraven för betyget C.

Sist i varje kapitel finns Sammanfattning av det viktigaste i kapitlet Blandade uppgifter från kapitlet Test där du får pröva dina kunskaper betyder att testet ska göras utan räknare

betyder att räknare får användas

Sist i boken finns Facit till alla uppgifter. Där finns också ett register. På webben finns teorigenomgångar, övningar och tester m.m. se http://www.gleerups.se/digitala_larverktyg Vi hoppas att du ska tycka att Corda 2 hjälper dig att förstå matematiken. Lycka till! April 2013 Författarna CORDA 2 | 3


Innehåll 1 Tal med decimaler 1.1 Decimaltal Decimalsystemet Decimaler Decimaler och prefix 1.2 Huvudräkning Huvudräkning utan uppställning Addition och subtraktion med hjälp av uppställning Multiplikation med hjälp av uppställning Division med hjälp av uppställning 1.3 Prioriteringsregler Räknaren Sammanfattning 1 Tal med decimaler Blandade uppgifter 1 Tal med decimaler Test 1 Tal med decimaler utan räknare Test 1 Tal med decimaler med räknare

2 Att lösa problem 2.1 Att avrunda Närmevärden Tallinjen 2.2 Längd, vikt, volym och tid Enheter för längd, vikt och volym Enheter för tid 2.3 Enheter med ”per” Överslagsräkning Sammanfattning 2 Att lösa problem Blandade uppgifter 2 Att lösa problem Test 2 Att lösa problem utan räknare Test 2 Att lösa problem med räknare

3 Geometri 3.1 Vinklar Vinkelmått Mäta vinklar 3.2 Polygoner Några exempel på polygoner Fyrhörningar Trianglar Vinkelsumma

4 | CORDA 2

7 8 8 10 14 17 17 21 22 24 26 30 32 33 35 36

37 38 38 41 45 45 51 54 60 62 63 65 66

67 68 68 70 72 72 72 73 75


3.3 Omkrets och area Rektangel och kvadrat Triangel Cirkelns omkrets Cirkelns area Areaenheter Hektar 3.4 Volym Några vanliga rymdfigurer Volym av rätblock Volym av cylinder Volymenheter 3.5 Skala Förminskning Förstoring Areaskala och volymskala Sammanfattning 3 Geometri Blandade uppgifter 3 Geometri Test 3 Geometri utan räknare Test 3 Geometri med räknare

4 Tal i olika former 4.1 Negativa tal Tallinjen och negativa tal Addition och subtraktion med positiva tal Addition och subtraktion med negativa tal Multiplikation och division 4.2 Grundpotensform Potenser Stora tal och tiopotenser Stora tal i grundpotensform Räknaren och grundpotensform Små tal och tiopotenser Små tal i grundpotensform 4.3 Bråkräkning Olika namn på samma tal Addition och subtraktion med lika nämnare Addition och subtraktion med olika nämnare Multiplikation med heltal Division med heltal Multiplikation av bråk Division med bråk Sammanfattning 1 4 Tal i olika former Sammanfattning 2 4 Tal i olika former Blandade uppgifter 4 Tal i olika former Test 4 Tal i olika former utan räknare

77 77 82 88 91 94 96 97 97 98 101 104 107 107 109 111 114 116 119 120

121 122 122 124 128 129 131 131 132 134 137 138 140 142 142 145 148 154 156 159 161 163 164 165 170

CORDA 2 | 5


5 Procent

171

5.1 Procentbegreppet 5.2 Att räkna procent av något Att räkna med förändringsfaktor 5.3 Hur många procent är förändringen? Minskning och ökning Moms 5.4 Procentuell jämförelse Sammanfattning 5 Procent Blandade uppgifter 5 Procent Test 5 Procent utan räknare Test 5 Procent med räknare

172 176 180 184 184 187 189 191 192 197 198

6 Formler, ekvationer och grafer

199

6.1 Variabler 6.2 Ekvationer 6.3 Formler i vardagslivet Valuta 6.4 Att visa samband i ett koordinatsystem Koordinatsystemet Linjära samband Sammanfattning 6 Formler, ekvationer och grafer Blandade uppgifter 6 Formler, ekvationer och grafer Test 6 Formler, ekvationer och grafer utan räknare Test 6 Formler, ekvationer och grafer med räknare

7 Statistik och sannolikhetslära 7.1 Rita och tolka diagram Stapeldiagram och cirkeldiagram Linjediagram Stolpdiagram Stolpdiagram med relativ frekvens 7.2 Medelvärde, median och typvärde 7.3 Sannolikheter Utfall och sannolikhet Kombinatorik Sammanfattning 7 Statistik och sannolikhetslära Blandade uppgifter 7 Statistik och sannolikhetslära Test 7 Statistik och sannolikhetslära med räknare

Facit Register Bildförteckning 6 | CORDA 2

200 207 215 220 221 221 223 227 228 231 232

233 234 234 238 241 243 245 249 249 252 256 257 260

261 290 291


Statistik och sannolikhetslära

7

7.1 Rita och tolka diagram Stapeldiagram och cirkeldiagram Linjediagram Stolpdiagram Stolpdiagram med relativ frekvens

7.2 Medelvärde och median 7.3 Sannolikheter Utfall och sannolikhet Kombinatorik

Sammanfattning 7 Statistik och sannolikhetslära Blandade uppgifter 7 Statistik och sannolikhetslära Test 7 Statistik och sannolikhetslära med räknare

Statistik och sannolikhetslära är två områden inom matematiken som ligger nära varandra. Statistik går ut på att samla in och bearbeta information och sedan presentera den i form av tabeller och diagram. I sannolikhetsläran gör man beräkningar på chanser och risker. Ett aktuellt exempel är frågan om hur jordens klimat kommer att förändras. Först sammanställer man statistiska data om allt som rör vårt klimat. Med ledning av detta gör man sedan beräkningar av sannolikheten för olika framtida förlopp.

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 233


7.1 Rita och tolka diagram Stapeldiagram och cirkeldiagram Hur man tolkar cirkeldiagram och stapeldiagram har visats i Corda 1. Här ger vi en kort repetition. I huset ”Majblomman” finns 12 lägenheter. Här ser vi alla medlemmarna i de 12 hushållen.

Man kan visa hur de boende fördelas efter kön, ålder m.m. i olika diagram. Vi visar några exempel. Vi startar med att sammanställa data i en tabell.

Män

9

Kvinnor

12

Pojkar

6

Flickor

8

Först några alternativ av stapeldiagram. Alternativ A Boende i Majblomman 15

10

5

0 234 | CORDA 2

Män Kvinnor Pojkar Flickor

I detta alternativ framgår tydligt antalen av de fyra olika kategorierna.


Alternativ B Boende i Majblomman 25

I detta alternativ vill man främst visa fördelningen mellan vuxna Män och barn. Det går även att utläsa Kvinnor antalet i var och en av de fyra Pojkar kategorierna.

20 15 10

Flickor

5 0

Vuxna

Barn

Alternativ C Boende i Majblomman 25 20

Män Kvinnor Pojkar Flickor

15 10

I detta alternativ vill man främst visa könsfördelningen. Det går även att utläsa antalet i var och en av de fyra kategorierna.

5 0

Manligt

Kvinnligt

Vill man speciellt framhålla andelen av t.ex. vuxna eller barn kan man rita ett cirkeldiagram. Det finns 21 vuxna, 14 barn och totalt 35 personer. Andel vuxna =

21 = 0,6 = 60 % 35

antalet vuxna delen = totala antalet personer det hela

Andel barn = 100 % – 60 % = 40 % Så här ritar man ett cirkeldiagram: 40 % av ett varv = 0,40 · 360° = 144°

Boende i Majblomman Vuxna Barn

144°

Man mäter upp medelpunktsvinkeln 144°, som visar andelen barn. Resten av cirkeln visar andelen vuxna. 7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 235


701

Anställda på CordaBil AB

Stapeldiagrammet visar hur de 30 anställda på CordaBil AB fördelas efter kön på olika avdelningar. 25 a Vilken är den största avdel20 ningen och hur många personer 15 jobbar där? b Hur många kvinnor finns det totalt på företaget?

Kontor Verkstad Försäljning Lager

10 5

c Rita en nytt stapeldiagram med 0 Kvinnor Män en stapel för varje avdelning. Dela staplarna så att man kan avläsa hur många kvinnor respektive män det finns. d Vilket av cirkeldiagrammen visar korrekt fördelningen mellan kvinnor och män på företaget? Vilken färg visar andelen kvinnor? A

702

B

C

D

Diagrammet visar hur svenska folkets matvanor ändrats från 1980 till 2005. Konsumtion av livsmedel per person och år

källa: Jordbruksverket

Mjöl o gryn Kött Mjölk Grädde, Ost o ägg 1980 1990 2000 2005

Matfett Köksväxter Frukter o bär Socker o sirap Kaffe o te 0 236 | CORDA 2

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200 Kg eller Liter


a Ungefär hur många kg frukter och bär konsumerades per person år 2005? Hur mycket blir det i genomsnitt per dag? b Ungefär hur många liter mjölk konsumerades i genomsnitt per person och dag år 1980? Jämför med motsvarande konsumtion år 2005. c För en av kategorierna har konsumtionen mellan 1980 och 2005 minskat med ca en fjärdedel. Vilken?

703

Diagrammet visar åldersfördelningen i Sverige år 2000 och en prognos för år 2020. a Hur många personer fanns det i åldersgruppen 0 till 18 år i Sverige år 2000? b Hur många personer fanns det i åldersgruppen 19–64 år i Sverige år 2000? c Hur många personer fanns det i åldersgruppen 65 år och äldre år i Sverige år 2000? d Vilken åldersgrupp beräknas öka mest i Sverige mellan år 2000 och år 2020? e Visa åldersfördelningen i Sverige år 2000 med ett cirkeldiagram.

704

Miljoner 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

2000

2020

0–18 år 19–64 år 65– år

Cirkeldiagrammet visar fördelningen mellan olika lägenheter i bostadsområdet Blåklockan. Det fanns ettor, tvåor och treor. Antalet ettor var minst och antalet treor var störst. Det fanns 20 tvåor. Hur många ettor fanns det och hur många treor fanns det? Gör en uppskattning med hjälp av diagrammet.

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 237


Linjediagram Diagrammet visar jordens folkmängd de år när antalet passerar hela miljarder. Detta är ett exempel på ett linjediagram. Jordens folkmängd i miljarder 2054 9 2028 8 2013 7 1999 6 1987 5 1974 4 1960 3

1927

2 1804 1 0

År

1800

1850

1900

1950

2000

2050

Källa: FN-statistik. Skattning och prognos över utvecklingen av jordens folkmängd.

Linjediagram används ofta när man vill visa hur ett antal av något ändras med tiden. Man låter x-axeln visa tiden och y-axeln antalet.

705

Studera diagrammet över jordens folkmängd. a Hur många år tog det för jordens folkmängd att öka från 1 till 2 miljarder? b Hur många år tog det för jordens folkmängd att öka från 5 till 6 miljarder? c Starta år 1804 och bestäm hur lång tid det är mellan varje fördubbling av jordens folkmängd enligt diagrammet.

238 | CORDA 2


706

Linjediagrammet visar antal biobesök per år i Sverige åren 2000–2011.

20

a Ungefär hur många biobesök var det år 2000?

16

Antal biobesök (miljoner)

18

14

b Ungefär hur många biobesök per dag var det i genomsnitt år 2000?

12 10

c År 2010 var Sveriges folkmängd 9 400 000. Hur många biobesök blir det i genomsnitt per person det året?

8

d Mellan vilka år ökade biobesökandet med ca 14 %?

0

6 4 2

707

2011

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

År

Diagrammet visar utsläppen av växthusgaser i Sverige 1990–2011. Utsläpp av växthusgaser i Sverige (miljoner ton) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1990

År 1995

2000

2005

2010

a Vilket år var utsläppen som störst och ungefär hur mycket var det? b Jämför utsläppen år 1990 och år 2011. Ungefär hur många procent var minskningen? c Enligt Kyoto-protokollet ska Sverige minska utsläppen med 8 % perioden 1990–2012. Av diagrammet framgår att målet nåddes redan tidigare. Vilket år då?

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 239


708

Diagrammet visar folkmängden i några länder i olika världsdelar under perioden 1950–2000 och en prognos för utvecklingen perioden 2000–2050.

Miljoner invånare

Folkmängd 1950–2000

Prognos 2000–2050

Källa: FN

45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030 2040 2050

Sverige Bulgarien Ghana Malaysia Syrien Venezuela

År

a Vilket land hade störst folkmängd 1950 och beräknas ha minst folkmängd 2050? b Vilket land hade störst folkmängd 1960? Ungefär hur stor var den? c Vilket land hade störst folkmängd 1990? Ungefär hur stor var den? d Vilket land beräknas ha störst folkmängd 2050? Ungefär hur stor beräknas den vara? e Ungefär vilket år hade Sverige och Ghana lika stor folkmängd? f Vilket land beräknas få en tio gånger så stor folkmängd under perioden 1950–2050? 240 | CORDA 2


Stolpdiagram I huset ”Vitsippan” finns 19 lägenheter. Här ser vi alla 19 familjerna som bor i huset.

Hur många barn per familj finns det? Vi räknar antalet barn i varje familj och skriver resultatet i en frekvenstabell. Frekvens betyder antal.

Antal barn per familj

Frekvens

0

4

1

5

2

6

3

3

4

1

I en frekvenstabell finns två kolumner med antal. Förväxla dem inte! På tredje raden i tabellen står talen 2 och 6. Vad betyder det? Det betyder att 6 familjer hade 2 barn och inte att 2 familjer hade 6 barn! Frekvenstabellen brukar illustreras med ett stolpdiagram.

Frekvens 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

Antal barn per familj

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 241


Frekvens

709

I ett nybyggt hus finns 22 lägenheter. Diagrammet visar antalet lägenheter efter storlek. a Hur många två-rumslägenheter finns det? b Hur många fem-rumslägenheter finns det? c Sex lägenheter är lika stora. Hur många rum har var och en av dessa lägenheter?

7 6 5 4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

710

När Jolanta var på semester fiskade hon varje morgon. Hon tog en bild varje dag på sin fångst. a Gör en frekvenstabell. b Rita ett stolpdiagram.

711

I en klass gjorde man en enkät där eleverna fick svara på frågan: – Hur många syskon har du? Resultatet visas i diagrammet. a Hur många elever hade tre Frekvens syskon? 12 b Elva av svaren var lika. Vilket var svaret? 10 c Samtliga elever i klassen 8 svarade. Hur många svar fick man? 6 d På en klassfest fick eleverna ta med sig sina syskon som 4 gäster. Hur många gäster 2 kunde det bli som mest på 0 klassfesten? 0

242 | CORDA 2

1

2

3

4

5

Antal rum

Antal syskon


Stolpdiagram med relativ frekvens I vissa fall anger man frekvensen i procent. Detta kallas relativ frekvens. I stadsdelen Blomsterängen gjorde man en beräkning av antalet lägenheter efter storlek. Resultatet sammanställdes i en tabell.

Antal rum per lägenhet

Frekvens

1

67

2

114

3

236

4

196

5

48

För att beräkna relativa frekvenserna lägger vi till en kolumn i tabellen. Vi börjar med att summera frekvenserna. Det blir 661, dvs. det finns totalt 661 lägenheter i Blomsterängen. Antal rum per lägenhet

Frekvens

Relativ frekvens

1

67

10 %

2

114

17 %

3

236

36 %

67 ≈ 0,10 = 10 % 661 114 Andelen tvåor = ≈ 0,17 = 17 % 661

4

196

30 %

osv.

5

48

7%

661

100 %

Summa:

Vi ritar ett stolpdiagram med relativ frekvens på y-axeln.

Andelen ettor =

Relativ frekvens i % 40

30

20

10

0 1

2

3

4

5

Antal rum

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 243


712

Vid en vuxenutbildning gjorde man en enkät. De studerande fick svara på frågan: – Hur många kurser läser du denna terminen? Följande svar gavs: 3 3 2 3

5 2 4 5

4 4 3 4

5 1 2 2

2 4 4 3

4 3 5 4

1 3 4 3

1 4 3 4

2 5 4 1

3 2 4 4

Gör en frekvenstabell. Beräkna relativa frekvenser. Rita ett stolpdiagram med relativ frekvens. 713

Maria har en hemsida där hon gör reklam för sin frisörsalong. Under 40 dagar kollade hon hur många besökare hennes hemsida hade haft den dagen. Resultatet sammanställde hon i ett stolpdiagram. a Hur många dagar hade hon fyra besökare per dag på hemsidan?

Relativ frekvens (%) 35 30 25 20 15 10 5 0 0

b Hur många dagar hade hon mer än ett besök per dag på hemsidan? 714

Anja spelar forward i sitt fotbollslag. Under en säsong noterade hon antal mål hon gjort per match. Resultatet sammanställde hon i ett diagram. a I hur många procent av matcherna gjorde Anja mål? b Under säsongen spelade hon 45 matcher för laget. Hur många mål gjorde hon totalt?

1

2

3

4

Antal besök per dag

Relativ frekvens i % 40

30

20

10

0 0

244 | CORDA 2

1

2

3

4

Antal mål per match


7.2 Medelvärde, median och typvärde Vi återvänder till huset ”Vitsippan” där det finns 19 lägenheter.

Vad är medelvärdet av antal barn per familj? Vi startar med att räkna ut hur många barn det finns totalt. Totalt antal barn = 30 Antalet familjer = 19 Medelvärdet =

Totalt antal barn 30 = ≈ 1,6 Antalet familjer 19

Medelvärdet är 1,6 barn per familj. Vi kunde också använt frekvenstabellen när vi bestämde medelvärdet: Antal barn per familj

Frekvens

Antal barn per familj · frekvens

0

4

0·4= 0

1

5

1·5= 5

2

6

2 · 6 = 12

3

3

3·3= 9

4

1

4·1= 4

19

30

Summa:

Här får vi totala antalet familjer. Medelvärdet =

Här ser vi att det är vanligast med 2 barn. Frekvensen är störst, 6 familjer har 2 barn. Man säger att typvärdet (det vanligaste värdet) är 2 barn. Här får vi totala antalet barn.

Totalt antal barn 30 = ≈ 1,6 Antalet familjer 19 7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 245


Nu ska vi bestämma medianen, dvs. värdet ”i mitten”. Vi ställer upp alla 19 familjerna i Vitsippan i rangordning efter antalet barn. Vi startar till vänster med de som har minst antal barn. Där hamnar de som har 0 barn. Längst till höger hamnar de som har flest dvs. 4 barn. I mitten hamnar en familj med 2 barn.

9 familjer

9 familjer Medianen = 2 barn per familj

I Vitsippan är medianen 2 barn per familj.

Exempel 1 Paul har kastat en tärning tio gånger. Han beräknar medelvärdet och medianen av antal prickar.

3+3+2+1+2+4+6+5+1+1 28 = = 2,8 10 10 2+3 Rangordning: 1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 Medianen = = 2,5 2 Medelvärde:

Svar: Medelvärdet är 2,8 prickar och medianen är 2,5 prickar.

När det finns ett jämnt antal värden finns det två värden i mitten. Medianen är då lika med medelvärdet av dessa två värden. I de exempel vi hittills sett är medelvärde och median ungefär lika. I följande exempel ska vi se att det finns fall där medelvärde och median är mycket olika. 246 | CORDA 2


Exempel 2 På en ö finns sex små stugor och en herrgård. Arealerna för de små stugorna är 380 m2, 400 m2, 410 m2, 420 m2, 430 m2 och 440 m2. Herrgårdens areal är 16 000 m2. Beräkna medelvärde och median av arealerna på ön.

Medelvärde (m 2): 18 480 380 + 400 + 410 + 420 + 430 + 440 + 16 000 = = 2 640 7 7 Medianen (m2): 420

380 400 410 420 430 440 16 000 Värdet i mitten. Svar: Medelvärdet är 2 640 m 2 och medianen 420 m2 . Eftersom ett av värdena är mycket större än de övriga blir medelvärdet 2 640 m2 missvisande. Alla värdena utom ett är mindre än medelvärdet. Medianen 420 m2 ger oss en annorlunda information. De som har större areal än 420 m2 är lika många som de som har mindre areal än 420 m2. I det här exemplet är det meningslöst att tala om typvärde eftersom det är få observationer och alla är olika.

Medelvärde

T.ex. Bestäm medelvärdet av talen 6, 3, 2, 6 och 12 : Summan av samtliga tal Medelvärdet = 6 + 3 + 2 + 6 + 12 = 5,8 5 Antalet tal

Median

T.ex. Bestäm medianen av talen 6, 3, 2, 6 och 12 Talen i rangordning: 2 3 6 6 12 Talet i mitten Medianen = 6

Typvärde

Det värde som är vanligast (har högst frekvens).

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 247


715

På ett litet företag fanns nio anställda. Av dessa hade sju anställda 20 000 kr per månad i lön. En anställd hade 19 000 kr per månad och en annan hade 39 000 kr per månad i lön. a Beräkna medellönen vid företaget. b Bestäm medianlönen vid företaget.

716

Bestäm medelvärde och median för arealerna på ön om herrgården inte tas med i beräkningen (Exempel 2).

717

Beräkna medelvärde, median och typvärde för antal fiskar per dag, som Jolanta fick under sin semester (uppgift 710).

718

Vid ett matteprov i en klass deltog 16 elever. Resultatet visas i frekvenstabellen. Jens och Jahmal var sjuka och gick hem. De fick 0 poäng på provet.

Poäng

Frekvens

0

2

18

4

a Bestäm medelvärde, median och typvärde om Jens och Jahmals resultat tas med i beräkningen.

19

4

22

2

b Bestäm medelvärde, median och typvärde om Jens och Jahmals resultat inte tas med i beräkningen.

24

3

25

1

c Tycker du att Jens och Jahmals resultat ska tas med i beräkningen? Motivera ditt svar! 719

a Rangordna figurerna efter storlek på arean. Använd först ögonmått. Mät sedan i figurerna och beräkna areorna. Jämför resultaten! Vilken figur har medianarean? b Rangordna figurerna efter storlek på omkretsen. Använd först ögonmått. Mät sedan i figurerna och beräkna omkretsarna. Jämför resultaten! Vilken figur har medianomkretsen?

248 | CORDA 2

A

B

D

E

C


7.3 Sannolikheter Utfall och sannolikhet En tärning är en kub med sex sidor. När vi kastar tärningen kan vi få upp en, två, tre, fyra, fem eller sex prickar. Man säger att det finns sex olika utfall. Eftersom tärningen är symmetrisk är det lika stor chans att vilken som helst av de sex sidorna kommer upp. Sannolikheten att få ”sexa” är därför lika stor som att få ”etta” eller vilket annat antal som helst. Sannolikheten för ”sexa” =

1 ≈ 0,17 = 17 % 6

Hur stor är sannolikheten att få "etta eller sexa" vid ett kast med en tärning? Nu finns det två önskade utfall av totalt sex. Sannolikheten att få "etta eller sexa" = 2 = 1 ≈ 0,33 = 33 % 6 3

Exempel 3 I ett lotteri fanns 200 lotter kvar varav 40 var vinstlotter. Hur stor är sannolikheten för vinst när man tar en lott?

Sannolikheten för vinst =

40 = 0,2 = 20 % 200

Svar: Sannolikheten för vinst är 20 %.

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 249


Exempel 4 I en karamellburk finns godiskulor i olika färger och smaker. Det finns 100 mint, 180 syrliga och 220 lakrits. Hur stor är sannolikheten att man får en godiskula med mintsmak om man slupmässigt tar en kula ur burken?

Totala antalet godiskulor: 100 + 180 + 220 = 500 Antalet med mintsmak: 100 100 = 0,2 = 20 % Sannolikheten för en mintkula: 500

Antal önskade utfall Totala antalet utfall

Svar: Sannolikheten att få en godiskula med mintsmak är 20 %.

Sannolikhet

En sannolikhet är ett tal mellan 0 % och 100 %. Sannolikhet kan anges i bråkform, decimalform eller som procent. T.ex. kast med mynt: 1 Sannolikheten för ”krona” = = 0,5 = 50 % 2

Flera utfall

Finns det flera önskade utfall gäller: Antal önskade utfall Sannolikheten = Totala antalet utfall T.ex. Sannolikheten att få ”trea, fyra eller femma” vid ett kast med en tärning är: 3 1 = = 0,5 = 50 % 6 2

720

Vi gör ett kast med en tärning. Hur stor är sannolikheten att få a ”tvåa”? b ”tvåa eller trea”? c ”etta, tvåa eller trea”?

250 | CORDA 2


721

722

I påsen finns kulor i olika färger. Ali tar en kula i påsen utan att titta. Hur stor är sannolikheten att kulan är a röd?

b blå?

c gul eller grön?

d inte röd?

I ett lotteri fanns 120 lotter kvar varav 23 var vinster. Laila tog 10 lotter. a Hur stor var vinstchansen när hon kollade första lotten? b Tyvärr visade det sig att det var en nitlott. De åtta följande var också nitlotter. Nu vill jag äntligen ha vinst! sa Laila. Hur stor är chansen att Laila får vinst på sin tionde lott?

723

Ett kort dras slumpmässigt från en kortlek. Hur stor är sannolikheten att kortet är a ett hjärter eller ett ruter? b ett spader? c en sjua? d spader sju?

724

Kortlek En kortlek har fyra s.k. färger: spader, hjärter, ruter och klöver. I varje färg finns 13 olika kort som kan numreras från 1 till 13. Totalt har kortleken 52 olika kort.

Moa och Ida har köpt en penninglott en gång i veckan i ett helt år utan att vinna någon gång. – Nu måste vi snart vinna, sa Moa, chansen måste öka för varje gång det inte blivit vinst. – Nej, sa Ida, jag tror att vinstchansen är densamma oavsett hur många gånger man förlorat. Vem har rätt Moa eller Ida? Motivera!

725

Om man kastar ett häftstift kan man inte veta om det är lika stor chans att få ”spets upp” som ”spets ned”. För att ta reda på detta får man göra många kast. I en skolklass kastade man häftstift 500 gånger och fick ”spets ned” 163 gånger. Därefter gjorde man ytterligare 1 000 kast och fick ”spets ned” 320 gånger till. Hur stor är sannolikheten för ”spets upp” och ”spets ned” vid kast med denna typ av häftstift?

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 251


Kombinatorik Carl har fem skjortor och åtta slipsar i sin garderob. Hur många olika kombinationer är möjliga av ”skjorta med slips”? Till varje skjorta kan man ha 8 slipsar. 1 skjorta ger 8 kombinationer. 5 skjortor ger 5 · 8 = 40 kombinationer. Carl har alltså 40 möjliga kombinationer av skjorta och slips. En dag tar Carl slumpmässigt en skjorta och en slips från garderoben. Hur stor är sannolikheten att det blev en blå skjorta och en gul slips? Alla 40 utfallen är lika sannolika. Därför är sannolikheten 1/40 = 2,5 % Exempel 5 Tim och Caj var på restaurang Olga och åt lunch.

LUNCHMENY Förrätt 1. Sillbricka 2 Mixed sallad

a Hur många olika kombinationer av förrätt, huvudrätt och efterrätt är möjliga enligt menyn?

Huvudrätt 1. Oxbringa à la Olga 2. Husets fiskgryta 3. Husets vegetariska

b De bestämmer sig för att välja de tre rätterna helt slumpmässigt. Hur stor är sannolikheten att de valt samma?

Efterrätt 1. Glass à la Olga 2. Säsongens frukt 3. Chokladmousse 4. Pannacotta

a) Till varje förrätt finns 3 huvudrätter. Det blir totalt 2 · 3 = 6 kombinationer. Till varje kombination av förrätt och huvudrätt finns 4 efterrätter. Det blir totalt 2 · 3 · 4 = 24 kombinationer. Svar: Det finns totalt 24 möjliga kombinationer.

252 | CORDA 2


b) Varje kombination är lika sannolik. Alltså är sannolikheten att de valt samma 1/24 ≈ 4,2 % Svar: Sannolikheten att de valt samma är 4,2 %.

726

Om t.ex. Tim valt först finns det en möjlighet av 24 att Caj väljer samma.

Kaj och Aisha är medlemmar i en matlagningsklubb. Det finns totalt 5 män än och 20 kvinnor i klubben. Man har bestämt att utse en styrelse på två personer – en man och en kvinna – genom lottning. a Hur stor är sannolikheten att Kaj blir utsedd? b Hur stor är sannolikheten att Aisha blir utsedd? c Hur många kombinationer av styrelser med en man och en kvinna är möjliga? d Hur stor är sannolikheten att både Kaj och Aisha blir utsedda?

727

Linda har fyra olika par örhängen och fem olika armband i sitt smyckeskrin. a Hur många olika kombinationer av armband och ett par örhängen har Linda att välja emellan? En dag tar hon slumpmässigt ett armband och ett par örhängen ur smyckeskrinet. Hur stor är sannolikheten att hon fick b de röda örhängena? c det röda armbandet? d både de röda örhängena och det röda armbandet?

728

I V5 tippar man vinnaren i fem olika travlopp. I varje lopp tävlar ett antal hästar om segern. När Sam tippade startade 12 hästar i första loppet, 10 hästar i andra, 10 hästar i tredje, 11 hästar i fjärde och 13 hästar i det femte loppet. a Hur många olika kombinationer av tipsrader har Sam att välja mellan? b Hur stor är sannolikheten att han får alla rätt om han tippar en rad helt slumpmässigt? c Med ett system kan man tippa flera olika tipsrader. Sam är med i en klubb som tippar ett system med 720 rader. Ingen kan något om hästar så de tippar helt slumpmässigt. Hur stor är deras chans att få alla rätt? 7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 253


Exempel 6 Hur stor är sannolikheten att få krona två gånger i följd när man kastar ett mynt?

Efter första kastet finns två olika utfall: 1. Krona 2. Klave Efter andra kastet finns fyra olika utfall: 1. Krona, klave

Krona i första, klave i andra

2. Krona, krona 3. Klave, klave 4. Klave, krona

Krona i första, krona i andra

Sannolikheten är 1 = 0,25 = 25 %

Klave i första, krona i andra

Klave i första, klave i andra

4

Svar: Sannolikheten är 25 %. Anta att vi i stället hade kastat två mynt samtidigt. Hur stor är då sannolikheten att båda mynten visar ”krona”? Svaret är att det blir samma sannolikhet. Att kasta ett mynt två gånger eller kasta två mynt en gång ger samma fyra olika utfall.

729

Johanna kastar två mynt samtidigt. Hur stor är sannolikheten att mynten hamnar med olika sidor upp?

730

Sannolikheten att det föds en pojke eller en flicka är ungefär lika stor, dvs. 50 %. Välj slumpmässigt en familj med 2 barn. Hur stor är sannolikheten att a båda barnen är pojkar? b båda barnen är flickor? c barnen har olika kön?

254 | CORDA 2


731

Kim kastar en gul och en röd tärning. a Hur många utfall är möjliga? b Hur stor är sannolikheten att få en ”dubbelsexa”, dvs. att både den gula och den röda tärningen visar sexor? c Hur stor är sannolikheten att summan av antalet prickar är 11? d Vilken sannolikhet är störst – att summan av prickarna är 11 eller att summan av prickarna är 10?

732

Nicole har tre mynt i sin börs – en enkrona, en tiokrona och en femkrona. Nicole skakar börsen tills två mynt faller ut. a Hur många olika belopp i kr kan det bli? b Hur stor är sannolikheten att det blev 15 kr? c Hur stor är sannolikheten att det blev mer än sex kronor?

733

Hotell Asia har tre våningsplan, A, B och C. Varje våningsplan har 20 rum. Rummen är numrerade A1, …, A20, B1, …, B20, C1, …, C20. Bokningen av lediga rum sker helt slumpmässigt. a Kevin ska boka rum för två olika tillfällen. Hur stor är sannolikheten att han båda gångerna hamnar på tredje våningen? b Mari och Carola bokade rum samtidigt. Hur stor är sannolikheten att de hamnade på samma våningsplan? c När Joel bodde på hotellet första gången hade han rum B3. Hur stor är sannolikheten att han får samma rum nästa gång han bokar? d När Kevin hade bokat rum för två olika tillfällen upptäckte han till sin stora förvåning att han båda gångerna fått samma rum. Hur stor är sannolikheten att detta ska inträffa?

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 255


Sammanfattning 7 Statistik och sannolikhetslära Stapeldiagram

Exempel: I en skolklass finns det 20 flickor och 15 pojkar. Två alternativ till stapeldiagram: Antal

Antal

25

40 35 30 25 20 15 10 5 0

20 15 10 5 0

Cirkeldiagram

Flickor Pojkar

Exempel: I en skog finns 45 % gran, 35 % tall och 20 % björk

Gran Tall Björk

Frekvens

Stolpdiagram

Exempel: I en skolklass hade 4 elever 3 husdjur, 8 hade 2 husdjur, 9 hade 1 husdjur och 8 hade inget husdjur.

10 8 6 4 2 0

Medelvärde, median och typvärde

0

1

2

3

Antal husdjur

T.ex. Bestäm medelvärdet, medianen och typvärdet av talen 6, 3, 2, 6 och 12 : Summan av samtliga tal Medelvärdet = 6 + 3 + 2 + 6 + 12 = 5,8 5

Talen i rangordning: 2 3 6 6 12

Antalet tal

Talet i mitten

Medelvärdet = 5,8, medianen = 6 och typvärdet = 6 Sannolikhet

Flera utfall

En sannolikhet är ett tal mellan 0 % och 100 % 1 T.ex. Sannolikheten för ”krona” = = 0,5 = 50 % 2 Antal önskade utfall Sannolikheten = Totala antalet utfall T.ex. Sannolikheten att få ”trea, fyra eller femma” vid ett 3 1 tärningskast är: = = 0,5 = 50 % 6 2

256 | |CORDA CORDA22


Blandade uppgifter 7 Statistik och sannolikhetslära 734

Diagrammet visar anställda på Corda Metall AB fördelade efter ålder och kön. a Hur många anställda finns det totalt? b Hur många procent är 20–34 år? c Hur många kvinnor är 35–49 år?

Anställda på Corda Metall AB 30 25 20

10 5

d Hur många procent av kvinnorna är 35–49 år? 735

20–34 år 35–49 år 50–64 år

15

0

Kvinnor

Män

Diagrammet visar fördelningen av äppelträd, päronträd och plommonträd på en fruktodling. Det finns flest äppelträd. Plommonträden är 10 %. a Hur många procent är päronträden? b Hur många procent är äppelträden?

736

Eleverna i en klass fick svara på frågan: – Hur många husdjur har ni hemma i familjen? Diagrammet visar resultatet av enkäten. a Hur många elever svarade att de hade 3 husdjur i familjen? b Hur många elever besvarade enkäten?

Frekvens 10 8 6 4 2 0 0

1

2

3

Antal husdjur

c Hur många husdjur totalt hade de elever som besvarade enkäten? d Beräkna medelvärdet av antal husdjur per familj? e Rita om diagrammet så att det blir ett diagram med relativ frekvens.

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 257


737

I ett lotteri finns det 22 vinstlotter och 178 nitlotter kvar. Axel tar en lott. Hur stor är sannolikheten att han vinner?

738

Johanna jämförde priset på svenska jordgubbar på några olika ställen: 20 kr/liter 30 kr/liter 30 kr/liter 31 kr/liter 35 kr/liter 25 kr/liter 30 kr/liter 32 kr/liter 35 kr/liter 38 kr/liter a Beräkna medelvärdet av priset per liter. b Bestäm medianen av priset per liter. c Bestäm typvärdet av priset per liter.

739

Mät i figurerna och beräkna omkrets och area av rektanglarna. B

A

D

C

E

a Vilken rektangels omkrets är lika med medianen? b Vilken rektangels area är lika med medianen? 740

I ett lotteri återstod 60 lotter, varav 6 var vinstlotter. Hur stor är vinstchansen om man tar en lott?

741

Malin kastar en tärning 150 gånger. a Ungefär hur många gånger kan hon räkna med att få en sexa? b Hur stor är sannolikheten att Malin får en sexa i sista kastet?

742

Ett chokladhjul har nummer från 1 till 50. Hur stor är sannolikheten att vinna om man satsar på a nr 7?

743

b nr 12 och nr 18?

Hur många tal med fyra siffror kan man skriva med siffrorna 2, 3, 4 och 5 a om samma siffra får användas flera gånger i samma tal? b om samma siffra inte får användas flera gånger i samma tal?

258 | CORDA 2


744

Diagrammet visar medelålder hos kvinnor i Sverige då första barnet föds. a Vilket år var medelåldern 25 år när kvinnan födde sitt första barn?

Kvinnans ålder vid första barnets födelse 30 29 28 27

b Ungefär hur många år senare födde kvinnor sitt första barn år 2000 jämfört med trettio år tidigare?

26 25 24

c Lägg märke till att y-axeln inte börjar på noll. Man säger att den är ”stympad”. Det finns då en risk att diagrammet kan misstolkas vid en hastig blick. På vilket sätt?

745

23 22 21

Vid ett lotteri fick en person 2,5 miljoner kronor i vinst. Nio grannar med samma postkod fick 100 000 kr vardera. a Beräkna medelvärde och median av vinstbeloppen. b Varför är det missvisande att endast ange medelvärdet av de tio grannarnas vinster?

746

Bilden visar Emils garderob där han har skor och strumpor, som förvaras åtskilda i par. a Hur många olika kombinationer av par av skor och par av strumpor kan han välja mellan? b En dag tar han slumpmässigt ett par skor och ett par strumpor i garderoben. Hur stor är sannolikheten att det blir samma färg på skor och strumpor?

7 STATISTIK OCH SANNOLIKHETSLÄRA | 259


TTestt 7 Statistik och sannolikhetslära med räknare Antal

1

2

Diagrammet visar antalet pojkar och flickor i en förskolegrupp. Hur många procent är flickor?

Flickor Pojkar 10

Bestäm medelvärde, median och typvärde av talen: 1 4 6 90 4 6 8 4 7 4

5

0

3

4

En lantbrukare odlar vete, havre och korn. Ungefär hur många procent är havre? A 25 % B 35 % C 45 % D 65 %

Havre Korn Vete

Antalet medlemmar i Paddeln Diagrammet visar antalet medlemmar i kanotklubben Paddeln. Under en femårs- 60 50 period minskade medlemstalet. Hur många procent var minskningen? 40 30 20 10 0 1980

5

I en färja finns hytter med olika antal bäddplatser. Hur många bäddar finns det totalt på färjan?

1985

1990

1995

2000

2005

Frekvens 14 12 10 8 6

6

Gör ett kast med en tärning. Hur stor är sannolikheten att du får ”minst femma”?

4 2 0 1

7

2

3

4

Alf har tre sorters bröd och fem sorters pålägg. Hur många olika kombinationer smörgåsar kan han göra?

260 | CORDA 2

Antal bäddar per hytt

Corda2 smakprov  

Smakprov på Corda