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Los Números Complejos Marco Antonio Vásquez


Ingeniería en Sistemas – Universidad Mesoamericana

¿Qué son los Números Complejos? Los números complejos son una extensión de los números reales. Desde un punto de vista geométrico, la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos. Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones que siguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos.

Marco Antonio V.


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Propiedades de los Números Complejos Los Números Complejos no poseen orden. Es por eso que su representación mas común es como puntos en el plano complejo (x, y, z) Pueden ser representados de forma Vectorial Pueden ser representados de forma Polar Sirven para la resolución de sistemas de ecuaciones que se definen en el plano real

Marco Antonio V.


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Un número complejo z = x + iy se puede considerar como un vector OP cuyo punto inicial es el origen O, y cuyo punto final P es el punto (x,y). Algunas veces al vector OP se le llama vector de posición del punto P. Dos vectores que tienen la misma longitud y dirección se consideran iguales, aunque tengan diferentes puntos iniciales y finales. Por tanto escribiremos OP = AB.

Marco Antonio V.


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La suma de números complejos corresponde a la ley del paralelogramo para la suma de vectores.

En este caso, para sumar los números complejos z1 y z2, completamos el paralelogramo OABC cuyos lados OA y OC corresponden respectivamente a z1 y z2. La diagonal OB de este paralelogramo corresponde a z1+z2. Marco Antonio V.


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La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el Teorema Fundamental del Álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Esto nos permite encontrar raíces enésimas de cualquier ecuación . Marco Antonio V.


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Raíces Enésimas

Las raíces de un número complejo cumplen algunas propiedades interesantes, entre ella podemos destacar que la suma de todas las raíces de un número complejo es 0.

Marco Antonio V.


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Forma Binómica La formarán un par de números reales, al primero, a, se le denomina parte real y al segundo, b, parte imaginaria; pudiéndose escribir en la forma (a,b) o (a+bj). Si llevamos al valor de a sobre la abscisa de unos ejes coordenados y b sobre la ordenada, la intersección de las proyecciones me dará un punto, que desde el origen, se corresponderá con el módulo de un fasor. A a la llamamos parte real y a b parte imaginaria.

Marco Antonio V.


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Forma Polar El mismo punto anterior lo podíamos haber representado si hubiéramos conocido el módulo del fasor y el valor del ángulo que forma con la horizontal o argumento. Marco Antonio V.


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Paso de Forma Binómica a Polar Tal y como indica la gráfica inferior, el complejo en forma binómica será a+bj. Por lo que para obtener el módulo del fasor, r, habrá que aplicar Pitágoras en el triángulo rectángulo

Marco Antonio V.


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Si queremos obtener el ángulo alfa, α, recurriremos a la razón trigonométrica tangente

Marco Antonio V.


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Paso de Forma Polar a Binómica En este caso, tendremos el complejo expresado en la forma rα y no es que lo anterior haya sido difícil, pero este paso es aún más sencillo. Basta con aplicar las relaciones trigonométricas seno y coseno.

Marco Antonio V.


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También son parte de la transformada de Fourier

Son muy diversas y útiles sus aplicaciones en el área de análisis de frecuencias

Marco Antonio V.


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La transformada de Fourier, es utilizada además para las series de Fourier y para la transformada rápida de Fourier. Con las cuales se pueden realizar desde el tratamiento digital de señales, filtrado digital, resolución de ecuaciones de derivadas parciales, entre otras muchas. Por dar un ejemplo rápido se puede realizar un ecualizador de audio solo utilizando la TRF Matlab y cualquier ambiente de programación como c#

Marco Antonio V.


Los números complejos