Issuu on Google+

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA NA MODALIDADE EAD DISICPLINA DE ÁLGEBRA I PROF. Alcides Buss e Oscar Janesch ACAD. Marcio Batista de Souza (09402256)

Tarefa 02

1) Mostre que

é um ideal de

e encontre

tal que

Resolução Segundo Janesh e Taneja (2011)1: sejam de

quando: i)

um anele

; e ii)

Primeiro devemos observar que Segundo, temos que se resto zero) , por transitividade

é divisor de

divisor de . Pelo mesmo raciocínio, é o menor primo maior que

e

ou

, pois

é divisor de

, dizemos que é ideal

e

, logo é divisor de

. Como

é divisor de

e que também divide

. (p. 97).

. (ambas as divisões com

é um número primo, então

com

é

(uma vez que

).

Pelas propriedades de divisibilidade em , teremos:

Precisamos verificar se divisibilidade, se

é divisor de

, de modo que, pela propriedade de

divide cada uma das parcelas da soma então 20 é divisor da soma.

Vejamos:

1

JANESH, Oscar R.; TANEJA, Inder J. Álgebra I. 2 ed. Florianópolis: UFSC/EAD/CED/CFM, 2011.


Notemos que já foi mostrado que , logo Dado

, como

e

. Vejamos agora que:

.

, então

, sendo assim,

.

Portanto é ideal de . Pelo corolário 4.1.3 (Janesh e Taneja (2011)) existe da observação 4.1.4 – dos mesmos autores – que

, tal que

. Decorre

é o menor número natural que pertence a

. Logo devemos encontrar o menor cubo perfeito divisível por 20, neste caso, utilizamos a decomposição por primos de 20, de modo que 1ª possibilidade – 2ª possibilidade –

Logo,

Resposta:

, sendo que

é um ideal de

e

.


2) Dados ideais

de um anel

. Mostre que

. Dê um exemplo em que

.

Demonstração:

Dados

e

, pela proposição 4.2.2 (Janesh e Taneja (2011)), temos que

. Da intersecção dos ideais e , pela proposição 4.2.1, temos logo

,

. Seja

,

e

, então: logo

.

e , embora


3) Mostre que se

é um anel comutativo com unidade e simples, então

é um corpo.

Demonstração:

Dado

, um anel comutativo com unidade e simples, devemos mostrar que existe

de modo que ideais triviais, ou seja, de

. Se é

é simples, por definição, os ideais de e

Suponhamos então que

contradiz nossa hipótese, logo

, se pertence a

Decorre do Lema 4.1.1 que se corpo.

. , logo, se

, tal que

são somente os

e

é ideal de

não pertence a então , mas como

, então existe não é anel, o que

é simples, pela hipótese, então

, então contém um elemento inversível, logo

é


4) Verifique e determine: a. Verifique se

é ideal primo de

.

Resolução:

Pela definição 4.3.1 (Janesh e Taneja (2011)), temos que , e isso de fato é verdade; e se existe , mas

e

b. Verifique se

não pertencem a

é ideal maximal de

,

é ideal primo de

, tal que

, logo

, se

, de fato

não é ideal primo de

.

.

Resolução:

Pela definição 4.3.2 (Janesh e Taneja (2011)), dizemos que se que

, verdade! e se existe , logo

maximal de

ou

tal que , segue que

é ideal maximal de

. Decorre então ou

, e portanto

é ideal

.

c. Determine todos os ideais maximais e todos os ideais primos de

.

Resolução:

Primeiro devemos identificar quem são idéias de são:

. Sendo assim:

,

. As classes de


Pela proposição 4.3.1, temos que todo ideal maximal é primo em um anel comutativo e com unidade, logo, encontrando os maximais inferimos pela proposição que são ideais primos, restando verificar os demais ideais de

. Vejamos:

Ideais Maximais

Para determinarmos os ideais maximais de “Seja

um anel comutativo com unidade. Se

maximal

de

, prestemos atenção no teorema 4.3.1

é ideal de

e

, então existe um ideal

”.

tal que

Diante disso vejamos:

é maximal de

?

Não! Pela proposição 4.3.2 e 4.3.3. Supondo proposição 4.3.1, é também ideal primo, mas se é domínio, Logo

é maximal de

ideal maximal de

logo, pela

é ideal primo então pela proposição 4.3.2,

não é ideal primo nem maximal de

.

?

Não! Pelo teorema 4.3.1, isso poderia, parcialmente, ser garantido, mas pela definição, 4.3.2 (Janesh e Taneja (2011)), dizemos que não é verdade logo

não é maximal de

é maximal de

é ideal maximal de

de

?

.

?

de

tal que

ideal maximal e pela proposição 4.3.1, é também ideal primo de

é maximal de

, o que

, pelo mesmo motivo não é primo de

Sim! Pelo teorema 4.3.1 (Janesh e Taneja (2011)), existe modo que existe um ideal maximal

, se

. Logo .

, de é


Sim! Pelo teorema 4.3.1 (Janesh e Taneja (2011)), existe modo que existe um ideal maximal

de

tal que

ideal maximal e pela proposição 4.3.1, é também ideal primo de

é maximal de

de . Logo

?

exista um ideal maximal

de

tal que

maximal, restando-nos verificar se é ideal primo de

que ,

seja ideal primo de

e , logo

não é ideal primo de

, de modo que

. Logo

não é ideal

e

, de modo

.

, devemos admitir

, por definição,

é maximal de

ou

. De fato, isso não ocorre porque

.

?

Não! Pelo teorema 4.3.1 (Janesh e Taneja (2011)), não existe de exista um ideal maximal

de

tal que

maximal, restando-nos verificar se é ideal primo de Para que que ,

seja ideal primo de e

Resposta: Ideais Maximais:

d. Verifique se

não é ideal

e

, de modo

.

ou

, logo

e

, de modo que

. Logo

, devemos admitir

, por definição, , mas

. De fato, isso não ocorre, pois não é ideal primo de

; Ideais Primos:

é ideal maximal de

e

.

.

.

Resolução:

Pelo teorema 4.3.1, seja é ideal de , como . Logo

é

.

Não! Pelo teorema 4.3.1 (Janesh e Taneja (2011)), não existe de

Para que

, de

um anel comutativo com unidade, e

, então existe é ideal maximal de

, ideal maximal de .

tal que


5) Determine a melhor estrutura algébrica do anel quociente

.

Resolução

Já temos que

é anel quociente, restando-nos verificar passo a passo,

primeiro se tem unidade e é comutativo e por segundo se

é ideal maximal de

,

de modo que se for maximal pelo teorema 4.4.2 então será corpo. Temos que a unidade de e se

é igual a unidade de logo a unidade de

é anel comutativo então o anel Verificando se

é

, e pelo corolário 4.4.1,

é também comutativo.

é ideal maximal, teremos do teorema 4.3.1, seja

anel comutativo com unidade, e , ideal maximal de maximal de

, de modo que

é ideal de tal que

, como . Logo

um , então existe é ideal

.

Pelo teorema 4.4.2 a melhor estrutura algébrica do anel quociente

é corpo.


6) Descreva os elementos do anel quociente É verdade que

é isomorfo à

e faça as tabelas de operações de .

?

Resolução:

Temos que

, descrevendo os elementos de , teremos:

Logo,

, sendo assim, as tabelas de operações de , serão:

Para verificarmos se unidade, e

é isomorfo à

têm unidade, então

Afirmando que

é isomorfo à

é unidade de

(o que afirma que

temos pela proposição 5.3.1 que se , vejamos de

, temos que:

não é unidade de

).

têm unidade:

tem


Afirmando que

é unidade de

, temos que:

(o que afirma que

Afirmando que

é unidade de

).

, temos que:

(o que afirma que

Diante disso, temos que

não é unidade de

não é unidade de

não é isomorfo à

).

, pelo fato de

não ter unidade.


7) Verifique se cada uma das funções abaixo é um homomorfismo de anéis, e também calcule

,

e verifique se

a.

é um monomorfismo e se

,

é um epimorfismo.

;

Resolução:

Verificando se de

Tomando

Logo, homomorfismo.

é homomorfismo, seja

e

e

, temos:

, portanto

,

não é


b.

;

Resolução:

Verificando se de

Logo,

é homomorfismo, seja

;

é homomorfismo.

Pela definição,

, sendo assim:

Pela definição,

Pela proposição 5.2.4, se

, desse modo:

, então

é monomorfismo, sendo assim:

e


;

é monomorfismo.

Pela definição, se

, então

;

é um epimorfismo, logo:

é epimorfismo.


c.

;

;

Verificando se de

é homomorfismo, seja ,

,e

temos:

Logo,

;

é homomorfismo.

Pela definição,

, sendo assim:

Pela definição,

Tomando

, desse modo:

, temos

, logo

Pela proposição 5.2.4, se

, então

;

Pela definição, se

.

é monomorfismo, sendo assim:

é monomorfismo.

, então

;

é um epimorfismo, logo:

é epimorfismo.

,

,


8) Seja

o anel das funções

subconjunto não vazio. Dado

, onde

é um

, defina

. Mostre que

é a função nula em

. Pela definição 5.1.2

é um ideal maximal de .

Resolução

Sendo A anel, então temos que

ou seja,

Pela proposição 5.2.3, Para que

. é um ideal do anel das funções.

seja maximal, pelo teorema 4.3.2, adotamos

, supomos que existe um ideal maximal então

. Logo

é um ideal maximal de .

do anel , então

um ideal do anel , com ., como


9) Prove que

e

não são isomorfos (como anéis).

Resolução:

Vamos demonstrar a contraprova dessa proposição, ou seja, que existe isomorfismo. Suponhamos que

Desse modo, como

;

, onde

;

é a unidade imaginaria

não é homomorfismo, então também não é

isomorfismo, uma vez que este segundo conserve propriedades a partir do homomorfismo.


10) Encontre as raízes sextas complexas de

e represente-as graficamente.

Resolução:

Aplicamos a segunda fórmula de Moivre, segundo a proposição 6.4.1 (Janesh e Taneja (2011)), de modo que:

Escrevendo

na forma trigonométrica, teremos:

Obtendo o argumento das raízes sextas complexas de

, teremos:


Sendo assim, as raízes sextas complexas de

são:

O Gráfico das raízes implica em:

Fonte: O autor, 2011


tarefa de algebra 2