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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

Matemática Financeira e Comercial Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

Matemática Financeira e Comercial

Conteúdo Programático Capítulo 1 - Razão 1 - Introdução 2 - Razão 2.1 - Razões inversas. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 2 - Proporção

Carlos Eduardo Epprecht; Roberto Minello

1 - Introdução 2 - Proporção 2.1 - Definição 2.2 - Propriedade fundamental das proporções 2.3 - Outras propriedades das proporções 2.4 - Quarta proporcional. 2.5 - Proporção contínua 2.6 - Terceira Proporcional. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 3 - Grandezas proporcionais e Divisão proporcional. 1 - Introdução 2 - Grandezas diretamente proporcionais. 3 - Grandezas inversamente proporcionais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 4 - Regra de Sociedade 1 - Introdução 2 - Casos de Regra de Sociedade. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

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5 - Taxas equivalentes 6 - Prazo médio. 7 -Taxa Média x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 5 - Regra de três simples 1 - Introdução 2 - Tipos de grandezas 2.1 - Grandezas diretamente proporcionais 2.2 - Grandezas inversamente proporcionais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 11 - Descontos Simples 1 - Introdução 2 - Tipos de descontos 2.1 - Descontos comercial, bancário ou por fora 2.2 - Valor atual comercial 2.3 - Desconto racional ou desconto por dentro 2.4 - Valor atual racional 2.5 - Relação entre desconto comercial e o desconto racional. 3 - Taxa de juros simples e taxa de descontos simples. 3.1 - Taxa de juro simples 3.2 - Taxa de desconto simples 4 - Fluxo de caixa e Equivalência de capitais. 4.1 - Fluxo de caixa. 4.2 - Equivalência de capitais. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 6 - Regra de três composta 1 - Introdução x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 7 - Médias 1 - Introdução 2 - Tipos de Médias. 2.1 - Média Aritmética 2.2 - Média Geométrica 2.3 - Média ponderada 2.4 - Média harmônica x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 12 - Logaritmos. 1 - Introdução 2 - Definição 3 - Propriedades dos logaritmos 4 - Mudança de base 5 - Função logarítmica 6 - Logaritmos decimais 6.1 - Característica 6.2 - Mantissa x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 8 - Porcentagem. 1 - Introdução 2 - Elementos de cálculo percentual. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 9 - Operações sobre mercadorias 1 - Introdução 2 - Vendas com lucro 2.1 - Sobre o preço de custo 2.2 - Sobre o preço de venda 3 - Vendas com prejuízo 3.1 - Sobre o preço de custo 3.2 - Sobre o preço de venda. x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

Capítulo 13 - Juros compostos. 1 - Introdução 2 - Taxas equivalentes 3 - taxa efetiva e nominal 3.1 - Taxa nominal 3.2 - Cálculo de taxa efetiva x Exercício de fixação x Exercício propostos.

Capítulo 10 - Juros Simples. 1 - Introdução 2 - Regime de capitalização 2.1 - Regime de capitalização simples. 3 - Cálculo de juros simples e montante. 4 - Taxas proporcionais CopyMarket.com

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Capítulo 14 - Desconto Composto

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1 - Introdução 2 - Desconto racional composto x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

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1. Razão

Capítulo 15 - Capitalização e Amortização 1 - Introdução 2 - Capitalização Composta 2.1 - Rendas imediatas 2.1.1 - Fórmula do montante de uma renda imediata 2.2 - Rendas antecipadas 2.2.1 - Fórmula de um montante de uma renda antecipada. 3 - Amortização Composta 3.1 - Renda imediata 3.1.1 - Fórmula do valor atual de uma renda imediata 3.2 - Renda Antecipada 3.2.1 - Fórmula do valor atual de uma renda antecipada 3.3 - Rendas diferidas x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

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1. Introdução Uma escola tem 600 alunos, e realizou uma pesquisa mostrando o esporte preferido pelos alunos. Esporte Judô Futebol Natação Handebol Basquete Nenhum esporte

Capítulo 16 - Empréstimos.

No de alunos 50 150 200 50 60 90

Vamos analisar os dados da tabela acima através de alguns quocientes:

1 - Introdução 2 - Sistema Francês 2.1 - Montagem de uma planilha de amortização 2.1.1 - Tabela Price 2.2 - Sistema de amortização constante 2.2.1- Cálculo do saldo devedor 2.3 - Sistema de amortização misto x Exercícios de fixação x Exercícios propostos.

200 a) número de alunos que praticam natação número de alunos da escola 600 Significado: em cada 3 alunos da escola, apenas 1 pratica natação.

1 3

50 1 b) número de alunos que praticam judô número de alunos que jogam futebol 150 3 Significado: O número de alunos que jogam futebol é triplo do número de alunos que praticam judô. c) número de alunos que praticam esporte 510 número de alunos da escola 600 Significado: em cada 20 alunos da escola, 17 praticam esportes.

17 20

2. Razão Dados dois números racionais a e b, com b  0, chamamos de razão ao quociente de a para b. a Indicamos razão por ou a : b, onde a é o antecedente e b é o conseqüente. b 2.1. Razões inversas Duas razões são denominadas de inversas, quando o produto entre elas é igual a um.

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1


Exemplo:

comprimento real

2 1 2 1 e Ÿ x 1 1 2 1 2 1 400

Exercícios resolvidos

1 600

25 x

600y = 75

1) Estabeleça as razões entre os números abaixo: 2 e 10;

x = 25 x 400 x = 10.000cm ou x = 100m

1 3 e 2 4

0,1 e 0,01;

y 75

y

75 Ÿy 600

0,125m ou

y 12,5cm

Solução: A razão entre 2 e 10 é

2 10

A razão entre 0,1 e 0,01 é

1 5

5) O estado de Goiás tem uma área aproximada de 341.289km2. De acordo com o censo de 1991 esse estado tinha uma população, aproximada, de 4.012.562 habitantes. Qual é a densidade demográfica desse estado?

0,1 10 0,01

1 1 3 A razão entre e é 2 3 2 4 4

1 4 x 2 3

Solução: 4 6

densidade demográfica = número de habitantes área

2 3

densidade demográfica

4.012.562 hab 11,76 341.289 km 2

2) Calcule a velocidade média de um trem que percorre 120km em 3h. Solução:

Exercícios de fixação

Chamamos de velocidade média ao quociente entre a variação de espaço e a variação de tempo.

1) Calcule a razão entre os números: Vm

'S Ÿ Vm 't

120 3

a) 3 e 21

40Km / h

Significado: em cada 1 hora o trem percorre 40Km.

b) 0,333 ... e 2,1

c)

1 1 e 2 3

2) Determine a razão entre a terça parte de 0,12 e o dobro de 0,1.

4) (L.A.O.-SP) Analise a tabela abaixo sobre algumas escalas. Escala 1:250 1:400 1:600

Medida do desenho 10cm 25cm y

3) Determinar a razão entre 4cm2 e 2dm2.

Medida real 25m x 75m

4) (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é parte do segundo é igual a: 1 1 b) a) 9 3

As medidas x e y são respectivamente:

c) 1

3 , a razão entre o quíntuplo do primeiro e a terça 5 d) 9

e) n.r.a.

Solução: 5) Calcule a razão entre os volumes de dois cubos de aresta de medida 1cm e 2cm, respectivamente.

Escala = comprimento no desenho

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3


6) (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 hab/km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000km2 b) 250.000km2 c) 500.000km2 d) 1.000.000km2 e) n.r.a.

3) Num concurso público, havia 6.000 candidatos. Tendo sido aprovados 1.200, a razão entre o número de reprovados e o número de candidatos é de: 4) Multipliquei o antecedente de uma razão por 5 e dividi seu conseqüente por 2. A razão ficou:

7) (TRF) Uma estrada está representada por 15 cm num mapa de escala dessa estrada é: a) 3km

b) 30km

c) 300m

d) 3.000cm

1 . O comprimento real 20.000

e) 30.000dam

8) (ESPCEX) Um trem com a velocidade de 45 km/h, percorre certa distância em 3,5h. Nas mesmas condições com a velocidade de 60km/h, quanto gastará para percorrer a mesma distância?

a) dividida por 2 b) multiplicada por 5 c) dividida por 10

d) multiplicada por 10 e) n.r.a.

5) (EPCAR) Chama-se densidade demográfica a razão entre o número de habitantes de uma região e a área da mesma. Assim sendo, se a área do Distrito Federal for de 5.800km2 aproximadamente e sua densidade demográfica for de 203 hab/km2, então o número de habitantes deverá ser: a) superior a 1,5 x 106 b) inferior a 1,1 x 106 c) superior a 1,3 x 106

d) exatamente a 1,3 x 106 e) aproximadamente 1,2 x 106

9) (Fatec-96) Um terreno retangular tem 170m de perímetro. Se a razão entre as medidas é 0,7, então a área desse terreno, em metros quadrados, é igual a: 6) (TTN) Num mapa, cuja escala é 10) (IBGE) Observe o mapa de um sítio na escala 1:10.000

1 , a estrada Belém-Brasília tem 67cm. Calcular, em km, a 3.000.000

distância real. 7) (TTN) Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo Horizonte, de 729km, em 7h e 30min. Qual a sua velocidade média? 8) (UFMG) Dois caminhões-tanque carregam o mesmo volume de misturas de álcool e gasolina. A mistura de um contém 3% de álcool, e a do outro, 5% de álcool. Os dois caminhões descarregam suas cargas em um reservatório que estava vazio. A razão do volume de álcool para o de gasolina na mistura formada no reservatório, após os caminhões terem descarregado:

O proprietário do sítio pretende cercá-lo com três voltas de arame. A quantidade de arame que ele vai gastar é igual a: a) 1.800m

b) 2.000m

c) 3.600m

d) 4.200m

e) 5.400m

a)

a) 1

c) 0,333 ... e 0,666 ...

d)

1 5 e 3 3

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b) 1

c) 2

d) 3

c)

1 16

d)

1 12

e) n.r.a.

c) 1

d) 1

50

40

500

e) n.r.a.

10) Dois números inteiros são tais que um deles é igual à quarta parte do outro. A razão entre o menor desses números e a soma dos dois números pode ser expressa pela fração: a)

2) (E.E.Aer) O produto de duas razões inversas é igual a: a) 0

1 24

b) 1

400

1) Determine a razão entre os números. b) 1,2 e 0,02

b)

9) O proprietário de um terreno de 1.000m2 deseja construir uma horta com 4 canteiros de 50dm2 cada qual. A que fração do terreno corresponde a área total ocupada pela horta?

Exercícios propostos

a) 2 e 6

1 25

1 5

b)

1 3

c)

3 4

d)

2 3

e) n.r.a.

e) n.r.a.

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5


RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

1)

a)

b)

c)

2 6

comprimento no desenho 1 ­ Â&#x; °escala compriment o real 3 . 000 .000 6) ÂŽ ° ou  x 2.010km ÂŻÂ&#x; x 201.000.000cm o

1

Â&#x;

12 126 10010 . Â&#x; 10 Â&#x; Â&#x; 2 10 2 0,02 100 1,2

3 1 1 3 Â&#x; 9Â&#x;3Â&#x; x Â&#x; 6 2 3 2 0,666... 9 3 0,333...

1 3 d) 3 Â&#x; x Â&#x; 5 3 5 3

7) Vm

60

8)

1 2

's Â&#x; Vm 't

5

3% de ĂĄlcool

e

97% de gasolina

5% de ĂĄlcool

e

95% de gasolina

8% de ĂĄlcool

e

192% de gasolina

a Â&#x;k b

4) k

a Â&#x;k b

4800 Â&#x;k 6000

5xa Â&#x;k b 2

k

a alternativa correta ĂŠ a

b

4 x 50 Â&#x;k 100.000

200 Â&#x;k 100.000

1 500

b

4 5

5xax2 Â&#x;k b

a .10 b

a alternativa correta ĂŠ a

1 ­ °a 4 b Â&#x; b 4a ° a a ° 10) ÂŽk Â&#x;k Â&#x;k ab a  4a ° °a alternativa correta ĂŠ a a ° ÂŻ

d

nĂşmero de habitantes nĂşmero de habitantes ­ Â&#x; 203 Â&#x; °densidade demogrĂĄfica 5800 ĂĄrea °° o o 5) ÂŽÂ&#x; n de habitantes 5800 x 203 Â&#x; n de habitantes 1.177.400 °a alternativa correta ĂŠ a e ° ¯°

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1 24

8% Â&#x;k 192%

b

k

km h

caminhĂŁo A:

a alternativa correta ĂŠ a

Como no concurso haviam 6000 candidatos, sendo 1200 aprovados. O número de reprovados serå: 6000 – 1200 = 4800, logo a razão serå:

97,20

caminhĂŁo B:

k

1

729 x 2 Â&#x; Vm 15

729 Â&#x; Vm 15 2

9) 1000 m2 = 100.000 dm2 3)

67 x 3.000.000 Â&#x;

3

1

2)

67 Â&#x;x x

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6

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1a Â&#x;k 5a

1 5

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ExercĂ­cios resolvidos

TĂ­tulo: MatemĂĄtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

x 5

1) Calcular o valor de x na proporção: Solução: 10 x x

2. Proporção

Resposta: x

60 Â&#x;x 10

5 x 12 Â&#x; x

12 10 6

6

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 2) Determinar o valor de y na igualdade:

y 5 6

3 2

Solução : 2(y - 5) 3 x 6 Â&#x; 2y - 10 18 Â&#x; 2y 18  10 Â&#x; 2y 28 Â&#x; y

1. Introdução

28 Â&#x; y 14 2

Resposta: y 14

A proporção Ê assunto de muita importância na matemåtica, como tambÊm, na vida. Todo o estudo de aritmÊtica que fazemos tem por base a razão e a proporção, mostrando ao aluno suas aplicaçþes pråticas.

3) Obter o valor de x na proporção:

2. Proporção

Solução:

2.1. Definição

3 3 2 6

Chama-se de proporção a toda sentença que indica uma igualdade entre duas razþes.

2 Â&#x; 3x x x

2 3 Â&#x; 5 x 6

2x

3 1 1  2 3

2 x

5 Â&#x; 3x x 6

10 Â&#x;x 6

10 6 Â&#x;x 3 1

10 1 x Â&#x;x 6 3

10 Â&#x;x 18

5 9

Podemos representar as proporçþes das seguintes maneiras:

a b

c d

Exercícios de fixação

ou a : b = c : d ou a : b :: c : d

1) (ETAM-81) A proporção

com (a, b, c, d racionais, nĂŁo nulos). LĂŞ-se: “a estĂĄ para b assim como c estĂĄ para d â€?

a)

a c

b d

b)

a b

a b

d c

c pode tambĂŠm ser escrita: d b a

c)

c d

d c

a b

1 c) 2 1 3

4 x

d)

e) n.r.a.

2.2. Propriedade fundamental das proporçþes 2) Calcule o valor de x na proporção:

Em toda proporção o produto dos meios Ê igual ao produto dos extremos e vice-versa.

a b

c Â&#x; bxc d

a x d (a; b; c; d z 0)

x 2

1 3

0,5 2

1 x

3) O valor de x na proporção

x

a)

b)

Numa proporção os termos são a, b, c, d e de acordo com essa propriedade b e c são os meios e a e d são os extremos. Exemplo:

2 3

4 6

3x 4

=

2x 6

2

produto produto dos meios dos extremos

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8

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3 1 3

5 2

1 1  d) 2 3 2

x 1 4

1 4 ĂŠ?

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9


ExercĂ­cios propostos

2.3. Outras propriedades das proporçþes:

1) (PUC) Qual das seguintes equivalĂŞncias ĂŠ verdadeira:

P1 - Em toda proporção, a soma ou a diferença dos antecedentes estå para a soma ou a diferença dos conseqßentes, assim como um antecedente qualquer estå para o respectivo conseqßente.

a b

c ab œ d a

b)

a b

c œ ac d

c)

a b

c œ ac d

a)

d)

cd c

a b

cd d c

x

M

a; b; c; d z 0

c d

4 x

a b

cd c

a b

­a  b ° a ° c Â&#x; ÂŽou d °a  b ° ÂŻ b

cd c

a; b; c; d z 0

cd d

3

1 2 2

=

c d

­a  b ° a ° c Â&#x; ÂŽou d °a  b ° ÂŻ b

2

1 3

3) Determinar valor de M na proporção:

12

a; b; c; d z 0

P2 - Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos estå para o 1o ou para o 2o, assim como a soma dos dois últimos termos estå para o 3o ou 4o termo.

x 2,25

1 5

§ 1¡ 1 b) ¨1  ¸ y Š 2š 2 c)

a b

­ac °b  d ° c Â&#x; ÂŽou d °ac ° ÂŻb  d

bd

2) Calcule o termo desconhecido nas proporçþes abaixo: a)

a b

bd

c ac œ d bd

a b

a b

­ac °b  d ° c Â&#x; ÂŽou d °ac ° ÂŻb  d

(0,25)1/2

P3 - Em toda proporção, o produto dos antecedentes estå para o produto dos conseqßentes, assim como o quadrado de um antecedente qualquer estå para o quadrado do respectivo conseqßente.

0,666...

a b

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a; b; c; d z 0

cd d

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10

­ ac ° bd c °° Â&#x; ÂŽou d ° ac ° °¯ bd

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a2 b2

a; b; c; d z 0

c2 d2

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11


Proporçþes múltiplas: Quando temos uma igualdade de três ou mais razþes, dizemos que se trata de uma proporção múltipla. Consideremos a sÊrie de razþes iguais:

a b

c d

e f

g h

a b

/ , entĂŁo temos que:

c d

e f

g h

a  c  e  g / b  d  f  h /

/

1) Calcule x e y na proporção

4 6

6 Ê uma proporção múltipla pois: 9

246 369

246 3 69

­2 °3 ° °ou °° 4 Ž °6 °ou ° °6 °¯ 9

­12 °18 ° °ou 12 °°12 e Ž 18 °18 °ou ° °12 °¯18

x 2

e f

x Â&#x; 5 x 30 Â&#x; x 6 2 y Â&#x; 5 y 45 Â&#x; y 9 3

2 3

x 7

y , onde x - y = 40. 2

Solução: Pela propriedade P1, temos que:

4 6

x 7

6 9

­x  y °° 7  2 y Â&#x;ÂŽ 2 °x  y ¯° 7  2

x 40 Â&#x; 7 5 y 40 Â&#x; 2 5

x Â&#x; 5 x 280 Â&#x; x 56 7 y Â&#x; 5 y 80 Â&#x; y 16 2

Resposta: x = 56 e y = 16. 3) Determine os valores de p e q na proporção

p q

8 , onde p + q = 132. 3

Solução: Observe que as incógnitas agora são antecedente e conseqßente (e não antecedentes, como nos exercícios anteriores), por isso, aplicaremos a propriedade P2.

1)

ace bd  f

a b

c d

e f

2)

ace bd  f

a b

c d

e f

3)

ace bd  f

a b

c d

e f

4)

ace bd  f

a b

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x 15 Â&#x; 2 5 y 15 Â&#x; 3 5

2) Calcule o valor de x e de y na proporção

e observando as propriedades P1 e P2, podemos escrever:

c d

­x  y y °° 2  3 Â&#x;ÂŽ 3 °x  y °¯ 2  3

Resposta: x = 6 e y = 9

Generalizando, dada a sĂŠrie de razĂľes iguais:

c d

y , sabendo que x + y = 15. 3

Aplicando a propriedade P1, temos:

De fato

a b

x 2

Solução:

Exemplo:

2 3

ExercĂ­cios resolvidos

­ p  q 8  3 132 Â&#x; p 8 8 °° p Â&#x;ÂŽ 3 ° p  q 8  3 132 Â&#x; q 3 ¯° q Resposta: p = 96 e q = 36. p q

e f

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11 Â&#x; 11 p 1056 Â&#x; p 96 8 11 Â&#x; 11q 396 Â&#x; q 36 3

4) Obter os valores de a e b na proporção

12

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a b

5 , sabendo que a - b = 12. 4

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13


8 ­a  b  c a ° 5  2 1 5 Â&#x; 4 ° 8 °a  b  c b Â&#x; Â&#x;ÂŽ 5  2 1 2 4 ° abc 8 8 °a  b  c c Â&#x; ° 5  2 1 1 4 ÂŻ Resposta: a = 10, b = 4 e c = 2. a 5

Solução: Aplicando a propriedade P2, temos:

a b

­a  b 5 °° a Â&#x;ÂŽ 4 °a  b °¯ b

5  4 12 Â&#x; 5 a 5  4 12 Â&#x; 4 b

1 Â&#x; a 60 5 1 Â&#x; b 48 4

x 2

5) Uma substância química Ê composta de ouro e ferro na proporção 2 partes de ouro para cada 3 de ferro. Para fabricar 30g dessa substância, quantos gramas de ouro e de ferro serão necessårios? Solução: Aplicando a propriedade P1, temos:

y 3

e x y

­x  y °° 2  3 Â&#x;ÂŽ x y 30 °° ÂŻ23

30 x Â&#x; 2 5 y 30 Â&#x; 3 5

c 1

a Â&#x; 4a 40 Â&#x; a 10 5 b Â&#x; 4b 16 Â&#x; b 4 2 c Â&#x; 4c 8 Â&#x; c 2 1

7) Calcule os valores de x e y na proporção abaixo:

Resposta: a = 60 e b = 48.

x 2

b 2 e

x Â&#x; 5 x 60 Â&#x; x 12 2 y Â&#x; 5 y 90 Â&#x; y 18 3

y e xy = 96 4

Solução: Aplicando a propriedade P3, teremos: ­ x x y x2 96 x 2 4 x 96 Â&#x; Â&#x; 8 x 2 4 x 96 Â&#x; x 2 Â&#x; x 2 48 Â&#x; x 48 ° 2 x 2 4 2 8 4 8 ° °°Â&#x; x 4 3 e Â&#x;ÂŽ 2 2 96 x 16 ° x x y y Â&#x; 96 y xy 96 Â&#x; y 2 12 x 16 Â&#x; 8 y 2 96 x 16 Â&#x; y 2 ° 2 x 4 42 8 16 8 ° °¯ y 12 x 16 Â&#x; y 8 3

x 2

y 4

Resposta: x

Resposta: A substância química Ê formada por 12g de ouro e 18g de ferro.

4 3 e y

8 3

Exercícios de fixação

4) Encontre o valor de a e b, onde 6) Calcule os valores desconhecidos.

5) Calcular x e y na proporção

x 3

a 6

b e a b 2 2

y , sabendo-se que x + y = 30. 2

­a b c ° Ž5 2 1 °¯a  b  c 8

6) Calcule o valor de x e y na proporção

Solução: Aplicando a propriedade das proporçþes múltiplas, teremos:

7) Calcule dois nĂşmeros positivos cujo produto ĂŠ 24 e a razĂŁo entre eles ĂŠ 2 : 3.

x y

2 , sabendo-se que x + y = 15. 3

8) A razĂŁo entre a idade do filho e a do pai ĂŠ de 1 : 3. Sabendo-se que a soma das idades ĂŠ 72 anos, calcule a idade do filho. 9) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente serĂĄ: CopyMarket.com

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14

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15


x 10) Sabendo-se que x + y + z = 18 e que 2 x 11) Calcule o valor de x, y e z onde: 5

y 2

y 3

11) O complemento de um ângulo estå para o seu suplemento assim como 1 : 3. Calcular a medida do ângulo.

z , o valor de x ĂŠ: 4

12) A razĂŁo entre os dois nĂşmeros ĂŠ 3 : 8. Se a soma do maior com o dobro do menor ĂŠ 42, o maior deles ĂŠ:

z e x - y - z = 6. 1

12) (E.E.Aer) O denominador de uma fração supera de 3 unidades o numerador; aumentando-se os 2 . Calcule o numerador da fração. termos da fração de 1, a fração obtida resulta igual a 3 13) As dimensþes de um terreno retangular estão na razão

5 . Se a ĂĄrea do terreno ĂŠ de 1000m2, entĂŁo 8

13) Determinar os valores de a, b e c, onde

a 7

b 5

c 2

e a + b - c = 60.

14) (Banco do Brasil) Uma herança de R$ 101.500,00 deve ser dividida entre três pessoas, de modo que 3 2 da parte da terceira. Quanto da parte da segunda e aos a parte da primeira corresponda aos 4 5 tocarå a cada uma das três pessoas?

sua maior dimensão, em metros, mede: 14) (L.A.O. - SP) Misturando suco concentrado e ågua na proporção de uma parte de suco para três de ågua, fizemos 24 litros de refresco. Se tivÊssemos misturado a mesma quantidade de suco concentrado na proporção de 2 partes de suco para 5 de ågua, quantos litros de refresco teríamos conseguido?

Sendo a, b e c trĂŞs nĂşmeros racionais diferentes de zero, denomina-se de quarta proporcional desses a c nĂşmeros um nĂşmero x, tal que: b x

ExercĂ­cios propostos 4) (TCF) Sendo a 2 n.r.a a)

a 2

Exemplo: Calcular a quarta proporcional dos nĂşmeros 2; 5 e 8.

b , entĂŁo : 5

ab 7

b)

b 5

ab 2

c)

a 2

ab 5

5) Calcular x e y na proporção

x 3

y , sabendo que x - y = 5. 2

6) Calcular x e y na proporção

x y

2 , sabendo que x + y = 10. 3

7) Se

x 7

d)

b 5

ab 10

Solução: e) Temos:

8 Â&#x; 2x x

40 Â&#x; x

20

É toda proporção cujos meios são iguais. Exemplo:

1 3

3 9

3 cuja diferença entre seus termos Ê 10? 2

9) (ETF-SP) Se 760 litros de uma mistura contĂŠm ĂĄlcool e ĂĄgua na razĂŁo 14 : 5, entĂŁo o nĂşmero de litros de ĂĄlcool na mistura ĂŠ:

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2.6. Terceira proporcional

É uma proporção contínua.

10) O nĂşmero que diminuĂ­do de 3 unidades estĂĄ para o seu consecutivo assim como 5 estĂĄ para 6 ĂŠ:

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2 5

2.5. Proporção contínua

y e xy 189 , entĂŁo x - y vale: 3

8) Qual a fração equivalente a

2.4. Quarta proporcional

Sendo a e b dois nĂşmeros racionais, nĂŁo nulos, denomina-se de terceira proporcional desses nĂşmeros um nĂşmero x tal que: 16

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17


ExercĂ­cios propostos a Exemplo: b

b x

15) Calcule a quarta proporcional entre os nĂşmeros:

Obter a terceira proporcional dos nĂşmeros 2 e 4.

a) 1; 2 e 5

b)

Solução: 2 4

1 1 1 ; e 2 3 4

c) 0,1 ; 2 e

1 2

16) Calcule a terceira proporcional entre os nĂşmeros:

4 16 Â&#x; 2 x 16 Â&#x; x Â&#x;x 8 2 x

a) 2 e 3

b) 2 e

1 2

c)

1 1 e 2 5

ExercĂ­cios resolvidos 1) Calcular a quarta proporcional dos nĂşmeros 6; 5 e 9.

RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

Resolução: 6 5

CAP�TULO 2 – Proporçþes

9 Â&#x; 6x = 5 ˜ 9 Â&#x; 6x = 45 Â&#x; x = 7,5 x

1) a

2) Determinar a terceira proporcional dos nĂşmeros 2 e 12: 2) a)

Solução: 2 12

12 Â&#x; 2x = 12 x 12 Â&#x; 2x = 144 Â&#x; x = 72 x

1 5

§ b) ¨1  Š

x Â&#x; 5x 2,25

1¡ 1 ¸: 2š 2

Exercícios de fixação 15) (EPCAR) A quarta proporcional entre 12; 8 e a) 20

b)

5 2

c)

5 3 2

­ x ° 1 °2  2 °° c) ÂŽ ° x °Â&#x; ° 3 °¯ 2

75

d) 20 3

e) 40 3

16) A terceira proporcional entre 2 e 7 ĂŠ: a)

49 3

b)

49 2

c) 25,5

d) 26

b) 1,6

c) 5,0

d) 7,2

3 4 Â&#x; 2 1 x 2

3 2

1 3

2,25 Â&#x;x 5

4 3 Â&#x; xx x 2

4x

0,45

1 3 Â&#x; xx 2 2

2Â&#x; x

9 Â&#x;x 2

9 2 Â&#x;x 5 3

2 Â&#x;x 3 2

2x

2 Â&#x;x 3

4 3

Â&#x;

5 3 Â&#x; xx 5 3 3

3x

3 5 Â&#x; xx 2 3

9 3 x Â&#x;x 2 5

27 Â&#x;x 10

2,7

e) n.r.a. ­12 0,25 1 / 2 0,25 12 ° Â&#x; Â&#x; 6 0,666 / M °M ° 9 3) ÂŽ °Â&#x; M x 0,25 12 x 6 Â&#x; M x 0,25 ° 9 ° ÂŻ

17) (E.E.Aer) A terceira proporcional entre os nĂşmeros 5 e 6 ĂŠ: a) 0,5

2,25 Â&#x; x

e) n.r.a.

72 1 Â&#x; xM 8Â&#x; M 9 2

8 Â&#x; M 8 x 2 Â&#x; M 16 1 2

4) a

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­x  y °° 3  2 5) Ž °x  y °¯ 3  2

x 5 Â&#x; 3 1 y 5 Â&#x; 2 1

­x  y °° x 6) Ž °x  y ¯° y

2  3 10 Â&#x; 2 x 2  3 10 Â&#x; 3 y

­ ° ° °um ângulo o D ° q °complement o o 90  D °° 11) ÂŽsup lemento o 180q  D ° q 1 ° 90  D Â&#x; 1 x §¨180q  D ¡¸ 3 x §¨ 90q  D ¡¸ Â&#x; 180q  D 270q  3D Â&#x; ° q D 3 Š Š š š 180 ° ° q °Â&#x; D  3D 270q  180q Â&#x; 2D 90q Â&#x; D 90 Â&#x; D 45q 2 ¯°

x Â&#x; x 15 3 y Â&#x; y 10 2 20 5 Â&#x; 5 x x 10 x 2 Â&#x; 5 x x 20 Â&#x; x Â&#x;x 4 5 2 30 5 Â&#x; 5 x y 10 x 3 Â&#x; 5 x y 30 Â&#x; y Â&#x;y 6 5 3

­x y ° 7 3 e x x y 189 ° °x x y x2 189 x 2 49 x 189 Â&#x; Â&#x; 21 x x 2 49 x 189 Â&#x; x 2 Â&#x; ° 2 x 21 49 7 3 21 ° 7 ° 2 441 Â&#x; x 2 ° 441 Â&#x; x 21 7) ÂŽÂ&#x; x ° 2 2 x x y y y 9 x 189 189 ° Â&#x; Â&#x; 21 x y 2 9 x 189 Â&#x; y 2 Â&#x; °7x3 2 21 9 21 3 ° ° 2 81 Â&#x; y 2 81 Â&#x; y 9 °Â&#x; y °¯O valor de x - y 21 - 9 12

3 ­a 3 °b 8 Â&#x; a 8 x b ° °b  2a 42 Â&#x; b  2 x 3 x b 42 Â&#x; b 42 Â&#x; b  6 x b 42 Â&#x; ° 8 8 ° 168 42 4b  3b 168 ° b 3 12) ÂŽÂ&#x;  x b Â&#x; Â&#x; 7b 168 Â&#x; b Â&#x;b 7 1 4 4 ° 1 4 72 3 3 ° °a 8 x b Â&#x; a 8 x 24 Â&#x; a 8 Â&#x; a 9 ° °R : O maior nĂşmero ĂŠ 24 ¯°

­a 3 ° b 2 e a - b 10 ° ° a  b 3  2 Â&#x; 10 1 Â&#x; a 30 ° a 3 a 3 8) ÂŽ ° a  b 3  2 Â&#x; 10 1 Â&#x; b 20 ° b 2 b 2 ° 30 °R : A fração equivalente ĂŠ 20 ÂŻ

­ ĂĄgua o y x  y 760 °ålcool o x ° 760 19 ° x  y 14  5 Â&#x; Â&#x; 19 x x 760 x 14 Â&#x; 19 x x ° 9) ÂŽ x 14 x 14 ° x  y 14  5 760 19 Â&#x; Â&#x; 19 x y 760 x 5 Â&#x; 19 x y ° y 5 y 5 ° °¯R : O nĂşmero de litros de ĂĄlcool ĂŠ de 560 litros. 10)

x 3 x 1

5 Â&#x; 6 x  3 5 x  1 Â&#x; 6 x  18 5x  5 Â&#x; 6x  5x 6

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­a  b  c °7  5  2 ° °a  b  c 13) Ž °7  5  2 °a  b  c °7  5  2 ¯

x y

3.800 Â&#x; y

5  18 Â&#x; x

10.640 Â&#x; x 560 19 3.800 Â&#x; y 200 19

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420 a Â&#x; 10 x a 60 x 7 Â&#x; 10a 420 Â&#x; a Â&#x; a 42 10 7 300 b Â&#x; 10 x b 60 x 5 Â&#x; 10b 300 Â&#x; b Â&#x; b 30 10 5 120 c Â&#x; 10 x c 60 x 2 Â&#x; 10c 120 Â&#x; c Â&#x; c 12 10 2

­ ° x  y  z 101.500 ° °x 2 x y Â&#x; y 5 x x ° 5 2 ° 3 4 °x xzÂ&#x;z xx 4 3 ° °° 6 x  15 x  8 x 6 x 101.500 5 4 14) ÂŽ x  x  x 101.500 Â&#x; Â&#x; 6 6 2 3 ° 609.000 ° Â&#x; x 21.000 °29 x 609.000 Â&#x; x 29 ° ° y 5 x x Â&#x; y 5 x 21.000 Â&#x; y 52.500 ° 2 2 ° ° z 4 x x Â&#x; z 4 x 21.000 Â&#x; z 28.000 °¯ 3 3

14 5 10.640 Â&#x; x

a 60 Â&#x; 7 10 60 b Â&#x; 5 10 60 c Â&#x; 2 10

24

20

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15) a)

1 2

1 b) 2 1 3 0,1 c) 2

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5 Ÿ x 10 x 1 4 Ÿ 1xx x 2

1 1 1 x Ÿ xx 3 4 2

1 2 Ÿ 0,1 x x x

2x

1 Ÿx 12

1 1 Ÿ xx 2 10

1 12 Ÿ x 1 2

1 2 x Ÿx 12 1

1 Ÿx 1 10

1Ÿ x

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

1 6

3. Grandezas Proporcionais e Divisão Proporcional Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

10

1. Introdução 16) a)

2 3

2 b) 1 2

1 c) 2 1 5

3 Ÿ 2x x

9Ÿx

1 2 Ÿ 2x x

9 2

1 1 x Ÿ 2x 2 2

1 5 Ÿ 1 xx x 2

Ocorrem no dia-a-dia situações que envolvem números tais como: tempo; espaço; velocidade; pressão; massa; volume; salário; horas de trabalho; número de empregados etc. A cada uma dessas situações mencionadas acima chamamos de grandeza. 1 Ÿx 4

1 1 1 x Ÿ xx 5 5 2

1 4 Ÿx 2

1 Ÿx 25

1 1 x Ÿx 4 2

1 25 Ÿ x 1 2

Assim, o número de horas de viagem realizado por um automóvel depende da sua velocidade e do espaço a ser percorrido.

1 8

1 2 x Ÿx 25 1

As grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais.

2. Grandezas diretamente proporcionais

2 25

2.1. Definição Uma grandeza A é proporcional a uma grandeza B, quando as razões entre os elementos de A e os seus correspondentes valores em B for uma constante, isto é, sendo A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

K

a1 b1

a2 b2

a3 b3

....

an bn

K é denominado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de proporcionalidade; Exemplo: Sejam as sucessões de números (3; 4; 5; 6) e (6; 8; 10; 12)

K

3 6

1 2

K

4 8

1 2

K

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade é

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5 10

1 2

K

6 12

1 2

1 . 2

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2) Divida o nĂşmero 60 em partes diretamente proporcionais a 2 e 3.

3. Grandezas inversamente proporcionais Solução: 3.1. Definição Uma grandeza A Ê inversamente proporcional a uma grandeza B, quando o produto de todos os elementos de A com os seus correspondentes em B for uma constante, isto Ê, se A = (a1; a2; a3;...; an) e B = (b1; b2; b3;...; bn), então:

x y x  y 60 ­° °23 Â&#x; x y ÂŽ °x  y 2 3 °¯ 2  3

x 60 Â&#x; 2 5 60 y Â&#x; 3 5

x Â&#x; 5 x 120 Â&#x; x 24 2 y Â&#x; 5 y 180 Â&#x; y 36 3

K = a1 ˜ b1 = a2 ˜ b2 = ... = an ˜ bn Exemplo:

3) Divida o nĂşmero 20 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

1) Sejam as sucessĂľes de nĂşmeros (1; 2; 4; 5) e (20; 10; 5; 4):

Solução:

K = 1 ˜ 20 = 20 K = 2 ˜ 10 = 20 K = 4 ˜ 5 = 20 K = 5 ˜ 4 = 20

x y x 1 2

Resposta: O coeficiente de proporcionalidade ĂŠ 20.

20 y 1 3

­x y °1 1 °  °2 3 Â&#x;ÂŽ °x y °1 1 °¯ 2  3

20 x Â&#x; 1 3 2 2 6 20 y Â&#x; 1 3 2 3 6

20 ˜ 6 20 x x 2 x Â&#x; 24 2 x Â&#x; x 12 Â&#x; Â&#x; 1 5 1 5 2 6 2 20 ˜ 6 24 y 3 y Â&#x; 24 3 y Â&#x; y Â&#x; Â&#x;y 8 1 5 3 3

Exercícios resolvidos 4) Divida o número 56 em partes proporcionais a 2 e 3 e ao mesmo tempo proporcional a 1 e 4. 1) Verifique se as seqßências de números abaixo são diretamente ou inversamente proporcionais. Solução: a) (2; 4; 5) e (6; 12; 15)

x Â&#x; 2 x1 2 x Â&#x; 3 x 4 12

Solução: Sendo K o fator de proporcionalidade mostraremos que a razão Ê uma constante.

K

2 6

4 12

5 15

x y 2 12 x  y 56

1 3

Logo, sĂŁo diretamente proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade ĂŠ

x y x 2  12 2 112 56 x Â&#x; 14 x 56 x 2 Â&#x; x Â&#x;x 8 14 14 2 x y y 2  12 12 56 x 12 56 y Â&#x; 14 y 56 x 12 Â&#x; y Â&#x;y 14 14 12

1 . 3

b) (1; 4; 10) e (20; 5; 2) Solução: K = 1 ˜ 20 = 4 ˜ 5 = 10 ˜ 2 = 20 Logo, sĂŁo inversamente proporcionais e o fator de proporcionalidade ĂŠ 20.

48

5) Divida o número 60 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 4. Solução :

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1 1 3 3 1 1 y Â&#x; 2x 4 2

x Â&#x; 1x

x y x 1 3

60

y 1 2

4) (E.E.Aer) Dividir 150m de seda em duas porçþes proporcionais aos números 2 e 3: a) 40m e 110m c) 50m e 100m e) n.r.a. b) 45m e 105m d) 60m e 90m

­x y °1 1 °  °° 3 2 Â&#x;ÂŽ °x y ° °1  1 ¯° 3 2

60 x 6 x Â&#x; 1 5 3

60 x Â&#x; 1 5 3 6 y 60 Â&#x; 1 23 2 6

72 Â&#x;x 3

3 x Â&#x; 72 3 x Â&#x; x

y 60 x 6 Â&#x; 1 5 2

2y Â&#x;

360 5

5) (CPFO) Dividindo-se 306 em partes diretamente proporcionais a 2; 5 e 11 resulta, respectivamente: a) 34; 119; 153 c) 153; 61,2; 27,8 e) n.r.a. b) 34; 85; 187 d) 80; 100; 126 6) Dividir o nĂşmero 60 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3.

24

2 y Â&#x; 72 2 y Â&#x; y

72 Â&#x;y 2

7) (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos nĂşmeros

5 3 e . 4 4

8) (Banco do Brasil) O lucro de determinada empresa foi dividido entre seus três sócios, na proporção de 3; 5 e 9. Sabendo que o segundo sócio recebeu R$ 40.000,00 a mais do que o primeiro, perguntase qual foi o lucro total da empresa e quanto coube a cada um dos sócios.

Exercícios de fixação 1) A tabela abaixo relaciona o valor de uma måquina em dólares com o tempo decorrido, em anos, após sua fabricação:

Valor (US$)

36

0 18.500

Tempo após a fabricação (anos) 1 2 3 18.000 17.500 17.000

4 16.500

9) (Banco do Brasil) A quantia de R$ 20.650,00 foi dividida entre duas pessoas, sendo que a primeira recebeu na razão direta de 8 e na razão inversa de 3 e a segunda pessoa recebeu na razão direta de 9 e na razão inversa de 4. Quanto recebeu cada pessoa? 10) (Banco do Brasil) A importância de R$ 684.000,00 foi dividida entre duas pessoas. Sabendo que a primeira recebeu na razão direta 7 e de 3 e que a segunda recebeu na razão direta de 9 e 4, calcular a parte de cada uma.

De acordo com a tabela, Ê verdade que: a) O tempo decorrido de fabricação Ê diretamente proporcional ao valor; b) O valor Ê inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. c) O tempo de fabricação e o valor são duas grandezas diretamente proporcionais; d) O decrÊscimo anual do valor da måquina Ê inversamente proporcional ao tempo decorrido após a sua fabricação. e) n.r.a.;

11) (TTN) Uma pessoa deseja repartir 135 balinhas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo 2 4 4 2 tempo diretamente proporcionais a e e inversamente a e . Quantas balinhas cada 3 7 9 21 criança receberå? 12) Dados os gråficos cartesianos:

2) (PUC) Se (2; 3; x) e (8; y; 4) sĂŁo duas sucessĂľes de nĂşmeros diretamente proporcionais, entĂŁo: a) x = 1 e y = 6 c) x = 1 e y = 12 e) n.r.a. b) x = 2 e y = 12 d) x = 4 e y = 2

I)

II)

y

III)

y

y

3) Duas grandezas, velocidade e tempo, estĂŁo relacionadas conforme a tabela: Vm (m/s) t (s)

10 20

20 10

25 8

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x

Aqueles que indicam, respectivamente, que y Ê diretamente proporcional a x; que y Ê inversamente proporcional a x; e que só a variação de y Ê proporcional a variação de x são:

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual Ê a constante de proporcionalidade? c) Construir o gråfico da velocidade em função do tempo. CopyMarket.com

x

x

40 5

a) III; I; II b) II; III; I 26

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c) I; III; II d) III; II; I

e) n.r.a.

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9) Um prĂŞmio de R$ 152.000,00 serĂĄ distribuĂ­do aos cinco participantes de um jogo de futebol de salĂŁo, de forma inversamente proporcional Ă s faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberĂĄ a cada um, se as faltas foram 1; 2; 2; 3 e 5? 10) Divida o nĂşmero 44 em partes diretamente proporcionais a 1 e 2 e inversamente proporcionais a 3 e 5, respectivamente.

ExercĂ­cios propostos 1) (PUC) Para que as sucessĂľes (9; x; 5) e (y; 8; 20) sejam diretamente proporcionais, isto ĂŠ, para que se 9 x 5 , os valores de x e y devem ser respectivamente: verifiquem a igualdade y 8 20 1 1 c) 2 e 5 d) 5 e 35 e) n.r.a. a) 2 e 36 b) e 4 5

2) (F. Carlos Chagas) Se as seqßências (a; 2; 5) e (3; 6; b) sĂŁo de nĂşmeros inversamente proporcionais e a + m ˜ b = 10, entĂŁo m ĂŠ igual a: a) 0,4 b) 1,0 c) 2,0 d) 2,5 e) 5,0 3) Duas grandezas, espaço e tempo, estĂŁo relacionados conforme a tabela abaixo: s (m) t (s)

40 2

60 3

80 4

Responda as perguntas abaixo:

a) Essas grandezas são diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais? b) Qual a constante de proporcionalidade? c) Esboçar o gråfico do espaço em função do tempo.

respectivamente: a) 130; 220; 110 b) 120; 180; 360

c) 360; 180; 120 d) 330; 220; 110

5 ­9 x ° y 8 20 ° °9 5 9 1 Â&#x; Â&#x; y 9 x 4 Â&#x; y 36 ° 1) ÂŽ y 20 y 4 °x 5 ° Â&#x; 20 x x 8 x 5 Â&#x; 20 x x 40 Â&#x; x ° 8 20 °A alternativ a correta ĂŠ a ÂŻ

40 Â&#x;X 20

2

­3a 2 x 6 5b ° °3a 12 Â&#x; a 12 Â&#x; a 4 3 ° ° 12 2) ° ÂŽ12 5b Â&#x; b 5 ° 12 ° a mb 10 4mx  Â&#x; 10 Â&#x; 20  12m 50 Â&#x; 12m 30 Â&#x; m ° 5 ° °¯A alternativa correta ĂŠ a d

100 5

4) (Mack) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos nĂşmeros

RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

1 1 1 , e , obtĂŠm-se 2 3 6

e) n.r.a.

30 Â&#x;m 12

5 2

3) a) essas grandezas sĂŁo diretamente proporcionais b) k

vm

c)

's 't

40 2

60 3

80 4

100 5

20

km h

s(m) 60

5) (Osec) A importância de R$ 780.000,00 deve ser dividida entre os três primeiros colocados de um concurso, em partes diretamente proporcionais aos pontos conseguidos por eles, que são 50; 43 e 37, respectivamente. Determinar a importância que caberå a cada um.

40

6) Dividir o nĂşmero 40 em partes inversamente proporcionais a 2 e 3. 2 3

7) (FEI) Dividir 46 em partes inversamente proporcionais a 1 e 1,3.

t(s)

8) (Banco do Brasil) Distribua 192 bolas entre quatro crianças, de tal modo que a segunda receba 15 bolas a mais do que a primeira, a terceira 6 bolas a mais que a segunda, e a quarta, 11 a mais que a terceira. CopyMarket.com

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­x  y  z 660 ° °x y z °1 1 1 °2 3 6 ° 660 660 x 6 660 x °xyz 2x Â&#x; 2x Â&#x; x Â&#x; Â&#x; x 330 °1 1 1 1 3  2 1 6 2 °   6 4) °Ž 2 3 6 2 y 660 660 °xyz 3y Â&#x; y Â&#x; Â&#x; y 220 °1 1 1 1 6 3   ° 6 °2 3 6 3 660 660 x 6 660 z z °xyz 6z Â&#x; z Â&#x; Â&#x; Â&#x; z 110 °1 1 1 1 3  2 1 1 6 6 °   6 6 °2 3 6 6 °¯A alternativ a correta ĂŠ a d

­x  y  z 780.000 ° y z °x ° 50 43 37 ° xyz x 780.000 ° Â&#x; 130 ° 50  43  37 50 °°Â&#x; x 300.000 5) ÂŽ y 780.000 ° xyz Â&#x; ° 50  43  37 43 130 °Â&#x; x 258.000 ° ° xyz z 780.000 Â&#x; ° 130 ° 50  43  37 37 °¯Â&#x; z 222.000 ­x  y 40 ° °x y °1 1 °2 3 ° ° x 40 6) ÂŽ x  y Â&#x; 3 2 °1  1 1 °2 3 2 6 ° ° x  y y Â&#x; 40 3 2 °1 1 1 °¯ 2  3 3 6

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­a  b 46 ° b a b °a Â&#x; 1 1 10 °1 ° 1 1,3 1 13 ° ° ab 46 x 13 46 a a 7) ÂŽ Â&#x; Â&#x; a Â&#x; a 26 13  10 1 23 ° 1  10 1 ° 1 13 13 ° 13b 46 x 13 13b 13 46 b ° ab Â&#x; Â&#x; Â&#x; xb ° 1 10 10 13  10 10 23 10 10 ° 1  13 13 13 ÂŻ

x Â&#x; 130 x 50

50 x 780.000 Â&#x; x

50 x 780.000 Â&#x; 130

y Â&#x; 130 y 43

43 x 780.000 Â&#x; y

43 x 780.000 Â&#x; 130

37 Â&#x; 130 z

37 x 780.000 Â&#x; z

2x Â&#x;

40 x 6 5

2x Â&#x; 8 x 6

2x Â&#x; 2x

3y Â&#x;

40 x 6 5

3y Â&#x; 8 x 6

3y Â&#x; 3y

48 Â&#x; x

48 Â&#x; y

48 Â&#x;y 3

­ a  b  c  d  e 152 . 000 °a b c d e ° 1 1 1 1 °1 °1 2 2 3 5 ° a 152 . 000 ° a b  c  d e Â&#x; °1 1 30  15  15  10  6 1 1 1 1    °  30 2 2 3 5 1 °1 152 . 000 x 30 ° a a . 60 000 Â&#x; Â&#x; ° 76 ° °° b a 2 b 60 . 000 Â&#x; b 30 . 000 Â&#x; 9) ÂŽ 1 °2 ° °c a Â&#x; 2 c 60 . 000 Â&#x; c 30 . 000 °1 ° 2 ° °d a Â&#x; 3 d 60 . 000 Â&#x; d 20 . 000 °1 ° °3 °e a Â&#x; 5 e 60 . 000 Â&#x; e 12 . 000 ° °1 ¯° 5

24

16

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26 x 10 Â&#x;b 13

20

­a  b  c  d 192 ° °b a  15 °c b  6 Â&#x; c a  15  6 Â&#x; c a  21 ° °d c  11 Â&#x; d a  21  11 Â&#x; d a  32 °a  a  15  a  21  a  32 192 Â&#x; 4a  68 192 Â&#x; ° 8) ÂŽ 124 31 °Â&#x; 4a 192  68 Â&#x; 4a 124 Â&#x; a 4 ° °b a  15 Â&#x; b 31  15 Â&#x; b 46 °c b  6 Â&#x; c 46  6 Â&#x; c 52 ° °d c  11 Â&#x; d 52  11 Â&#x; d 63 ° ÂŻR : As crianças vem receber respectivamente : 31 bolas; 46 bolas; 52 bolas; 63 bolas

37 x 780.000 Â&#x; 130

48 Â&#x;x 2

26 Â&#x; b

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aÂ&#x;

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­a  b 44 ° °a o 1 x 1 ° 3 ° °b o 2 x 1 °° 5 10) Ž a  b a ° °1  2 1 °3 5 3 °ab b ° 2 °1  2 °¯ 3 5 5

1½ 3 °° a ž 2° 1 5 °¿ 3 44 56 15 44 Â&#x; 56 15

Â&#x;

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b 2 5 3a Â&#x;

44 x 15 11

5 44 x 15 xb Â&#x; 2 11

3a Â&#x; 60

3a Â&#x; a

5 x b Â&#x; 60 2

60 Â&#x;a 3

5 xb Â&#x; b 2

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60 x 2 Â&#x;b 5

4. Regra da Sociedade Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht 24

1. Introdução Entendemos por regra de sociedade um grupo de pessoas que se reúnem, cada qual tendo um capital para ser aplicado por um período de tempo, numa atividade comercial podendo ocorrer lucros ou prejuízos. Os problemas de regra de sociedade serão resolvidos atravÊs das aplicaçþes dos casos de divisþes em partes diretamente proporcionais.

2. Casos de Regra de Sociedade 1o ) Capitais iguais e tempos diferentes Neste caso, o lucro ou prejuízo da sociedade serå dividido em partes diretamente proporcionais aos tempos de permanência dos sócios. Exemplo: 1) Três pessoas formam uma sociedade permanecendo o primeiro durante 12 meses, o segundo 8 meses e o terceiro 6 meses. Quanto ganhou cada um, se a sociedade apresentou um lucro de R$ 260.000,00? Solução: a + b + c = 260.000 a b c 12 8 6

Aplicando a propriedade das proporçþes teremos: abc a b c 260.000 a b c 12  8  6 12 8 6 26 12 8 6

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260.000 26

a Â&#x; 26a 12 ˜ 260.000 Â&#x; a 12

12 ˜ 260.000 Â&#x; a 120.000 26

260.000 26

b Â&#x; 26b 12 ˜ 260.000 Â&#x; b 8

8 ˜ 260.000 Â&#x; b 80.000 26

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260.000 26

c Â&#x; 26c 6 ˜ 260.000 Â&#x; c 6

6 ˜ 260.000 Â&#x; c 60.000 26

Solução: a + b + c = 22.200 a b 1.200 ˜ 15 800 ˜ 18

R.: O primeiro sĂłcio recebeu R$ 120.000,00; o segundo R$ 80.000,00 e o terceiro R$ 60.000,00.

c 1.000 ˜ 12

2o) Tempos iguais e capitais diferentes

Aplicando a propriedade das proporçþes teremos:

O lucro ou prejuízo serå dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais dos sócios: Exemplo: 1) Quatro pessoas formam uma sociedade de R$ 50,00; R$ 60,00; R$ 75,00 e R$ 25,00 respectivamente. No fim de certo tempo, a sociedade apresentou um lucro de R$ 840,00. Quanto coube a cada sócio? Solução: a + b + c + d = 840 a b c d 50 60 75 25

abc a b c 18.000  14.400  12.000 18.000 14.400 12.000 22.200 a b c 44.400 18.000 14.400 12.000 22.200 a 1 a 18.000 Â&#x; Â&#x; 2a 18.000 Â&#x; a Â&#x; a 9.000 44.400 18.000 2 18.000 2 22.200 b 1 b 14.400 Â&#x; Â&#x; 2b 14.400 Â&#x; b Â&#x; b 7.200 44.400 14.400 2 14.400 2 22.200 c 1 c 12.000 Â&#x; Â&#x; 2c 12.000 Â&#x; c Â&#x; c 6.000 44.400 12.000 2 12.000 2

Aplicando a propriedade das proporçþes teremos: abcd a b c d 50  60  75  25 50 60 75 25 840 a b c d 210 50 60 75 25 840 a 42.000 Â&#x; 210a 50 x 840 Â&#x; 210a 42.000 Â&#x; a Â&#x; a 200 210 50 210 840 b 50.400 Â&#x; 210b 60 x 840 Â&#x; 210b 50.400 Â&#x; b Â&#x; b 240 210 60 210 840 c 63.000 Â&#x; 210c 75 x 840 Â&#x; c Â&#x; c 300 210 75 210 840 d 21.000 Â&#x; 210d 25 x 840 Â&#x; 210d 21.000 Â&#x; d Â&#x; d 100 210 25 210

Exercícios de fixação

3o) Tempos diferentes e capitais diferentes

4) “Aâ€?, â€?Bâ€? e â€?Câ€? formaram uma sociedade, o sĂłcio “Aâ€? entrou com o capital de R$ 2.000,00, sĂłcio “Bâ€? com R$ 1.500,00 e o sĂłcio “Câ€? R$ 1.200,00 e tiveram um prejuĂ­zo de R$ 12.000,00. Sabendo que “Aâ€? ficou na sociedade 4 meses, “Bâ€? 8 meses, “Câ€? 6 meses, qual foi o prejuĂ­zo de cada um?

1) TrĂŞs pessoas desejam formar uma sociedade, entrando o primeiro com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 800,00 e o terceiro com R$ 1.000,00. Calcule o lucro de cada sĂłcio, sabendo que o lucro total da empresa foi de R$ 6.000,00. 2) Dois sĂłcios ao constituĂ­rem uma sociedade entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00. Na divisĂŁo do lucro, o segundo recebeu R$ 600,00 a mais que o primeiro. Quanto recebeu cada sĂłcio? 3) TrĂŞs pessoas formaram uma sociedade, o primeiro sĂłcio permanece 2 meses, o segundo 3 meses, o terceiro 5 meses. Sabendo que o lucro total foi de R$ 6.000,00, calcule o lucro de cada sĂłcio.

Os lucros ou prejuĂ­zos serĂŁo divididos em partes diretamente proporcionais aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sĂłcio. Exemplo: 1) Uma empresa teve lucro de R$ 22.200,00. O primeiro sĂłcio empregou R$ 1.200,0 durante 1 ano e 3 meses, o segundo sĂłcio R$ 800,00 por 1 ano e meio; o terceiro sĂłcio R$ 1.000,00 durante 1 ano. Qual foi o lucro de cada sĂłcio?

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5) (Banco do Brasil) Na constituição de uma sociedade, o sócio A entrou com R$ 51.000,00; B com R$ 85.000,00; C com R$ 153.000,00 e o D com R$ 221.000,00. Ao ser distribuído o lucro final do exercício, proporcionalmente às cotas do capital de cada sócio, D recebeu de lucro R$ 1.200,00. Calcule o lucro total e a parcela que coube a A; B e C.

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RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

6) TrĂŞs sĂłcios A; B; C investiram R$ 9.000,00 num negĂłcio que deu de lucro R$ 12.000,00. O sĂłcio A 1 1 entrou do capital, B entrou com do capital e C com o restante. 2 3 Determinar a parte do lucro que cabe ao sĂłcio B.

Exercícios propostos 1) Uma sociedade constituída por duas pessoas obteve R$ 1.800,00 de lucro total. O primeiro sócio entrou com um capital de R$ 300,00, o segundo sócio com R$ 600,00. Qual o lucro que coube a cada sócio? 2) Três pessoas formaram uma sociedade, o primeiro entrou com o capital de R$ 1.200,00, o segundo com R$ 1.500,00, o terceiro com R$ 2.000,00. Ao fim de 1 ano resolveram desfazer a sociedade, pois havia acumulado um prejuízo de R$ 6.000,00. Calcular o prejuízo de cada sócio. 3) Repartir o lucro de R$ 6000,00 entre dois sócios de uma empresa, sabendo que o primeiro aplicou R$ 1.000,00 na sociedade durante 2 meses e que o segundo aplicou R$ 1.500,00 durante 4 meses. 4) (TTN) Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. Calcule o lucro do sócio A. 5) Um prêmio de R$ 900,00 deve ser distribuído entre três pessoas de modo que a segunda receba o dobro da primeira e a terceira o triplo da segunda. Quanto a segunda recebeu? 6) (Banco do Brasil) Em uma certa sociedade, os capitais de A e B estão entre si como 3 estå para 5. Sabendo-se que esses capitais estiveram aplicados durante 15 e 18 meses, respectivamente, e que a sociedade teve prejuízo de R$ 311.100,00, calcular o prejuízo de cada sócio.

­a  b 1.800 ° a b ° ° 300 600 ° ab a b ° ° 300  600 300 600 1) ÂŽ a °1.800 Â&#x; 900a 300 x 1.800 Â&#x; 900a ° 900 300 °1.800 b ° Â&#x; 900b 600 x 1.800 Â&#x; 900b ° 900 600 °Â&#x; b 1.200 ÂŻ

540.000 Â&#x;a 900 1.080.000 1.080.000 Â&#x; b 900 540.000 Â&#x; a

­a  b  c 6.000 ° b c ° a °1.200 1.500 2.000 ° abc a b c ° °°1200  1500  2000 1.200 1.500 2.000 2) ÂŽ 6000 1200 x 6000 a Â&#x; a 1.531,91 ° 4700 1200 Â&#x; 4700a 1200 x 6000 Â&#x; a 4700 ° b 1500 x 6000 ° 6000 Â&#x; a 1.914,89 ° 4700 1200 Â&#x; 4700b 1500 x 6000 Â&#x; b 4700 ° c 2000 x 6000 ° 6000 Â&#x; 4700c 2000 x 6000 Â&#x; c Â&#x; a 2.553,19 °¯ 4700 2000 4700

­a  b 6000 ° b a b ° a Â&#x; °1000 x 2 1500 x 4 2000 6000 ° 3) ÂŽ 6000 ab a a ° 2000  6000 2000 Â&#x; 8000 2000 Â&#x; 8a 6 x 2000 Â&#x; a ° b 36000 ° 6000 Â&#x; a 4.500 °¯ 8000 6000 Â&#x; 8b 6 x 6000 Â&#x; a 8

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­a  b 28.000 ° a b a b ° Â&#x; ° 9.000 x 15 15.000 x 12 135.000 180.000 ° ab a a 28.000 28 ° Â&#x; Â&#x; 315.000 135.000 315 °°135.000  180.000 135.000 4) ÂŽ 28 x 135.000 Â&#x; a 12.000 °Â&#x; 315a 28 x 135.000 Â&#x; a 315 ° b b 28 ° 28.000 ° 315.000 180.000 Â&#x; 315 180.000 Â&#x; ° °Â&#x; 315b 28 x 180.000 Â&#x; a 28 x 180.000 Â&#x; a 16.000 °¯ 315

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a Â&#x; 135.000

5. Regra de TrĂŞs Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução São problemas onde relacionamos duas grandezas podendo ser diretamente ou inversamente proporcionais. Para solução dos mesmos consiste em formar com três valores conhecidos e a incógnita procurada, uma proporção e dela tiramos o valor desejado.

­a  b  c 900 °b 2a ° °c 6a ° 5) ÂŽ 900 Â&#x;a °a  2a  6a 900 Â&#x; 9a 900 Â&#x; a 9 ° 2 Â&#x; 2 x 100 Â&#x; 200 b a b b ° °R : A segunda pessoa recebeu R$ 200,00 ÂŻ

2. Tipos de grandezas. 2.1. Grandezas diretamente proporcionais 100

Duas grandezas sĂŁo diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas, a outra grandeza aumenta ou diminui na mesma razĂŁo. Exemplo: 1) Um automĂłvel fez 120Km com 10 litros de gasolina. Quantos litros de gasolina esse automĂłvel gastaria para percorrer 200Km?

3 c c2 ­ c1 3 Â&#x; 1 Â&#x; c1 x c2 °c 5 3 5 5 ° 2 °p1  p2 311.100 ° p2 311.100 ° p1 p2 Â&#x; p1  p 2 p2 Â&#x; 311.100 Â&#x; ° c1 c 2 3 8 c c c c  1 2 2 2 6) ÂŽ x c2  c2 x c2 5 5 ° ° 311.100 x 5 Â&#x; p 2 194.437,50 °Â&#x; p2 8 ° °p1  p2 311.100 Â&#x; p1  194.437,50 311.100 Â&#x; ° ÂŻÂ&#x; p1 311.100  194.437,50 Â&#x; p1 116.662,50

Distância 120 200 p2 Â&#x; c2

120 200

10 Â&#x; 120 x x

litros de gasolina 10 x

200 x 10 Â&#x; 120 x

2000 Â&#x; x

2000 Â&#x;x 120

16,66 litros de gasolina

2.2. Grandezas inversamente proporcionais Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando - se uma delas, a outra diminui na mesma razão que a primeira aumentou e vice-versa. Exemplo: 1) Um ônibus com a velocidade 60Km/h percorre a distância entre duas cidades em 3h. Que tempo levarå, se aumentar a velocidade mÊdia para 90Km/h? velocidade mÊdia 60 90

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38

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tempo 3 X

velocidade mĂŠdia 60 90

tempo x 3

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39


60 90

x Â&#x; 90 x 3

60 x 3 Â&#x; 90 x

180 Â&#x;x 90

180 Â&#x; x

Exercícios de fixação

2h

1) (ETF-SP) Uma pessoa ingere em um dia 1,5 L de ĂĄgua. Em 15 dias, ingerirĂĄ: a) 30 L b) 22,5 L c) 20 L d) 27,5 L e) n.r.a.

ExercĂ­cios resolvidos

2) Um operĂĄrio constrĂłi um muro em 10 dias trabalhando 8h por dia. Quanto tempo leva o mesmo operĂĄrio para construir o mesmo muro trabalhando 10h por dia?

1) Se 4 operårios tecem 200m de tecido por dia, quantos metros tecerão 6 operårios? Solução: Indicando por x a quantidade de metros que tecerão os 6 operårios, temos a seguinte disposição pråtica: no de operårios 4 6

metros de tecido 200 x

Se 4 operårios tecem 200m, mais a operårios tecerão mais metros. Nesse exemplo as grandezas são: número de operårios e metros de tecido, assinalamos essa variação na disposição pråtica, atravÊs de flechas do mesmo sentido. A proporção resultante serå: 4 6

200 Â&#x; 4x x

200 x 6 Â&#x; 4 x

1200 Â&#x; x

1200 Â&#x;x 4

3) Duas rodas dentadas, engrenadas uma na outra, têm respectivamente 16 e 32 dentes. Quantas voltas darå a menor, enquanto a maior då 10? 4) (ETF-SP) Para ladrilhar o piso de uma cozinha de 8,5m2 de årea, foram empregadas 250 lajotas de cerâmica. O número de lajotas iguais necessårio para ladrilhar uma garagem retangular com 5m de comprimento e 2,72, de largura Ê? a) 40 b) 340 c)390 d)400 e)460 5) (ETF-SP) Num livro de 192 påginas, hå 32 linhas em cada pågina. Se houvesse 24 linhas por pågina, o número de påginas do livro seria: a) 256 b) 144 c) 320 d) 240 e) 128

300m

Resposta: 6 operĂĄrios tecerĂŁo 300 metros de tecido. 2) Seis operĂĄrios levam 12 dias para executar uma obra, 4 operĂĄrios, em quanto tempo farĂŁo o mesmo trabalho? no de operĂĄrios 6 4

6) (ETF-SP) Um piloto dĂĄ uma volta completa no circuito em 1min 35seg. Para completar 54 voltas, ele levarĂĄ em mĂŠdia: a) 1h 25min 30seg. b) 1h 31,5min. c) 1h 31min. d) 31,5min. e) 315min. 7) (ESA) Um automĂłvel gasta 10 litros de combustĂ­vel para percorrer 65Km. Num percurso de 910Km a quantidade consumida em litros de combustĂ­vel serĂĄ de: a)1,4 b) 14 c) 140 d) 240 e) 1400

dias 12 x

É óbvio que 6 operårios levam 12 dias, menos operårios demorarão mais dias para a execução da obra. Como o tempo necessårio para realizar o trabalho Ê inversamente proporcional ao número de operårios empregados, indicamos essa variação com flechas de sentidos opostos. Invertendo a primeira razão § 4 ¡ , para que as flechas fiquem com o mesmo sentido, e teremos a seguinte proporção: ¨ ¸

8) Uma torneira jorra 1.035,5 litros de ĂĄgua por hora e enche certo reservatĂłrio em 12h. Determine em quanto tempo outra torneira, que jorra 20 litros por minuto, encheria o mesmo reservatĂłrio.

Š6š

no de operĂĄrios 4 6 4 6

12 Â&#x; 4x x

9) Um relĂłgio atrasa 1min.10seg. em 10h de funcionamento. Quanto atrasarĂĄ em 2 dias?

dias 12 x 12 x 6 Â&#x; 4 x

72 Â&#x; x

72 Â&#x;x 4

10) Uma fåbrica tem y de homens para execução de um trabalho em d dias, tendo contratado mais r homens para executar o mesmo trabalho. Em quantos dias o trabalho estarå executado? d r d r yd d yd a) dias b) dias c) dias. dias d) dias e) y yr yr ry dy

18dias

Resposta: 4 operĂĄrios executaram a obra em 18 dias

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Exercícios propostos

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Uma pessoa datilografa um trabalho, com 42 toques por minutos, em 2h. Quantos toques por minuto seriam necessários para essa pessoa realizar o mesmo trabalho em 6h? 2) Qual o tempo gasto por 2 homens para executar um trabalho que 4 homens, nas mesmas condições, executam em 10 dias? 3) Um ônibus com a velocidade de 80Km/h vai da cidade A até a cidade B em 2h. Nas mesmas condições e com a velocidade de 100Km/h, quanto tempo gastará para percorrer a mesma distância?

1) n º de toques

h

42

2

x

6

42 x

2)

4) (E.E.Aer-) A roda maior de uma engrenagem tem 75cm de raio e dá 900 voltas, enquanto a roda menor dá 1500 voltas. Qual é o raio da roda menor? 5) (UDF) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3h de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900m2? a) 7 h. b) 5 h. c) 9 h. d) 4 h. e) n.r.a 6) Uma turma de operários executa um trabalho, cujo coeficiente de dificuldade é 0,1, em 10 dias. Em quantos dias essa mesma turma faria um outro trabalho cujo coeficiente de dificuldades fosse 0,15?

asfaltarem

3 5

2 3

de uma determinada estrada . Para se

dessa mesma estrada, são necessários:

a) 7 dias e 12 h.

b) 15 dias

c) 20 dias

d) 22 dias e 12h.

10

2

x

4

x

2

10

Vm

h

80

2

100

x

40 Ÿx 2

40 Ÿ x

80

x

100

2

80 100

x Ÿ 10 x 2

4)

Raio

252 Ÿ x

252 Ÿx 2

126

dias

4

3)

16 Ÿ x

1,6h Ÿ x

20

1h 36min

e) 45 dias

2 da anterior, faria o mesmo percurso em? 5

10) Um acampamento com 10 soldados dispõem de víveres para 3 meses. Tendo chegado mais 20 soldados ao acampamento, por quanto tempo estará abastecido o acampamento? x 75 CopyMarket.com

horas

x Ÿ 2x 10

9) (CPFO-) Um motociclista fez o percurso de 40Km entre duas cidades em 35 minutos. Se sua velocidade fosse igual a

42 x 6 Ÿ 2x

4 2

7) (ETF-SP) A cantina da escola possuía um estoque de “hamburguer” a ser vendido a 1800 alunos durante 15 dias. Tendo havido uma greve no metrô, alguns alunos faltaram e o estoque de “hamburguer” se tornou suficiente para mais 5 dias. O número de alunos faltosos foi de: a) 1350 b) 900 c) 750 d) 450 e) 350 8) (UFB)São necessários 25 dias para que sejam asfaltados

2 Ÿ 2x 6

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42

voltas

75

900

x

1500

x

900

75

1500

900 Ÿ 15x 1500

CopyMarket.com

9 x 75 Ÿ x

9 x 75 Ÿx 15

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5)

área

hora

5100

3

11900

x

9) Vm

's Ÿ Vm 't Vm

5.100 11.900

6)

3 Ÿ 51x x

3 x 119 Ÿ 51x

coeficiente

357 Ÿ x

357 Ÿx 51

7h

dias

de dificuldade

0,1 0,15

7)

0,1

10

0,15

x

10 Ÿ 0,1x x

10 x 0,15 Ÿ x

alunos

68,57 27,42

10 x 0,15 Ÿx 0,1

1800

15

x

20

x

15 20

x 15 Ÿ 20 x 15 x 1800 Ÿ x 1800 20 1800 - 1350 450 d

25 x

dias

asfalto

25

2 3

x

3 5

2 3 Ÿ 2x 3 3 5

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25 x

3 2 Ÿ x 5 3

15 x 1800 Ÿx 20

15 Ÿ 2x

10 30

1350

45 Ÿ x

22,5dias ou x

22dias e 12h

2400 Ÿ Vm 35

68,57km / h

tempo

68,57

7 12

27,42

x

68,57

x

27,42

7 12

7 x Ÿ 2742x 6857 x Ÿ 12 x 2742x 6857 x 7 Ÿ 32.904 x 7 12 12 47.777 Ÿ x 1,46h Ÿ x 1h 27min 36seg 32.904

10) n º de soldados

dias

1800

8)

Ÿx

15dias

40 Ÿ Vm 35 60

tempo

10

3

30

x

10

x

30

3

x Ÿ 30 x 3

30 Ÿ x

47.999 Ÿ

1 mês

d

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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

(1o Grupo) 2h x 2 x

2 50 4 x Ÿ x 100 3

(2o Grupo) 50 objetos 100 objetos

2 1 42 x Ÿ x 2 3

2 Ÿ 2x 3

6Ÿx

(3o Grupo) 4 dias 3 dias 6 Ÿx 2

3

6. Regra de Três Composta Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

metros de profundidade 160 200

Consideremos o problema abaixo 1) Um operário, trabalhando 2h por dia fabrica 50 objetos em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para fabricar 100 objetos em 4 dias? Solução: Temos a seguinte disposição prática (1o Grupo) 2h x

2) Na perfuração de um poço de 160m de profundidade, 40 operários levaram 21 dias. Quantos dias 30 operários levariam na perfuração de 200m de um poço igual ?

(2o Grupo) 50 objetos 100 objetos

(3o Grupo) 3 dias 4 dias

no de operários 40 30

dias 21 x

Observando as grandezas acima (profundidade e dias necessários), então essas grandezas são diretamente proporcionais, portanto as flechas devem ter o mesmo sentido . Com relação a número de operários e dias necessários, podemos dizer que essas grandezas são inversamente proporcionais, portanto as flechas devem ter sentidos contrários. Para resolução do problema é necessário que todas as grandezas tenham flechas com o mesmo sentido.

Para resolvermos o problema proposto, comparamos cada grupo de valores com o grupo em que está o x (no exemplo, o 1o grupo), colocando uma flecha de formato diferente das demais para servir como termo de comparação. Nessa comparação devemos observar o grupo a ser analisado com o grupo que tem a variável x, sem a preocupação com os demais grupos.

160 30 x 200 40

160

30

21

200

40

x

21 4 3 Ÿ x x 5 4

21 3 Ÿ x 5

21 Ÿ 3 x x

5 x 21 Ÿ 3 x

105 Ÿ x

105 Ÿx 3

35dias

a) Comparando o 1o grupo com o 2o grupo Se

2h um operário faz x

50 objetos 100 objetos

Exercícios de fixação

Portanto, se em 2h um operário faz 50 objetos, mais objetos para fabricar serão necessários mais horas. Regra de três direta flechas com o mesmo sentido b) Comparando o 1o grupo com o 3o grupo Se

2h um operário faz em x

1) Com 16 máquinas de costura, aprontaram-se 80 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 240 uniformes em 24 dias? 2) Com uma bomba elétrica, eleva-se 2100 litros de água à altura de 6m em 60 min. Quanto tempo empregará essa bomba para elevar 6300 litros à altura de 4m? 3) Se 15 operários fazem uma casa em 12 dias, trabalhando 4h por dia, quantos operários serão necessários para fazer a mesma obra em 8 dias, trabalhando 5h por dia?

3 dias 4 dias

4) Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6h por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8h por dia, a estrada será concluída em?

Ora, se em 2h um operário leva 3 dias, mais dias menos horas o operário vai precisar. Regra de três inversa flechas com sentido contrários.

5) Oito pedreiros levantam um muro em 10 dias, trabalhando 6h por dia. Quantas horas por dia devem trabalhar 4 pedreiros para executarem o mesmo serviço em 6 dias?

Para a resolução final do problema, devemos deixar todas as grandezas com o mesmo sentido, e neste exemplo, devemos inverter o sentido da flecha do 3o grupo; antes de formar a proporção: CopyMarket.com

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9) Vinte operários, trabalhando 8h por dia, gastaram 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários trabalhando 9h por dia para construir um muro de 225m?

2 de um trabalho foram feitos por 24 operários em 10 dias, trabalhando 7 h. por dia. Em 5 quantos dias poderá terminar esse trabalho, sabendo-se que foram dispensados 4 operários, e os restantes trabalham 6h por dia? 7) Seis operários, trabalhando 3h por dia, durante 2 dias, fazem 10m de muro. Quantos operários serão necessários para fazer 20m de muro, se trabalharem 2h por dia, durante 4 dias?

10) Doze pedreiros constróem 27m2 de um muro em 30 dias, de 8h Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?

8) (ESPCEX) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8h por dia. Quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4h por dia?

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

6) Os

9) Doze máquinas, trabalhando 8h por dia, fazem 9000m de tecido, em 15 dias. Considerando quinze máquinas, quantas horas serão necessárias de trabalho por dia para se fazer 6000m de tecido em 10 dias? 10) Dez operários fazem 150m de uma construção em 18 dias de 8h de serviço. operários farão dessa mesma obra em 15 dias, trabalhando 6h por dia?

1)

homens

dias

toneladas

15

30

3,6

20

x

5,6

Quantos metros 20

10

x

3,6

30

3

5,6

Exercícios propostos 1) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se essa equipe for aumentada para 20 homens em quantos dias conseguirá extrair 5,6 toneladas de carvão? 2) Uma equipe de 20 operários escava 640m3 de terra em 8h de trabalho. Para escavar 500m3 em 5h de trabalho, de quantos operários deverá ser acrescida a equipe?

30 x

20 3,6 30 x Ÿ 15 5,6 x

2)

operários

3) Três máquinas operando 8h por dia produzem 4.800 parafusos. Quantos parafusos seriam produzidos por 7 máquinas que operassem 11h por dia? 4) (EPCAR) Certo motor consome 20 litros de óleo girando a 1500 rpm em 5h. Se esse motor funcionar a 1800 rpm durante 3h, qual será o consumo do óleo? 5) (C.N.) Vinte operários constróem um muro em 45 dias, trabalhando 6h por dia. Quantos operários serão necessários para construir a terça parte desse muro em 15 dias, trabalhando 8h por dia? 6) Um funcionário, trabalhando 8h por dia, produz 75 relatórios em 9 dias. Para que o mesmo funcionário produza 65 relatórios em 6 dias, é necessário que ele aumente o seu trabalho diário de um tempo correspondente a: a) 3h 56min b) 3h 42min c) 3h 10min d) 2h 50min e) 2h 24min. 7) (CEF-) Numa gráfica, 8 máquinas executaram um certo serviço em 5 dias, trabalhando 5h por dia. Se somente 5 dessas máquinas trabalharem 8h por dia, executarão o mesmo serviço em? a) 3 dias b) 4 dias c) 5 dias d) 6 dias e) 7 dias 8) (Banespa) Um carro percorre 4320km em 5 dias, rodando em média 8h/dia. Quantos dias serão necessários para percorrer 2916km, sabendo-se que a média a ser rodada é de 9h por dia? a) 2 dias b) 3 dias c) 4 dias d) 4,5 dias e) 6 dias

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48

20 x

72 Ÿ 72 x 84

30 x 84 Ÿ x

m3

35dias

hora

20

640

8

x

500

5

20

640

5

x

500

8

640 5 20 x Ÿ x 500 8

30 x 84 Ÿx 72

3200 Ÿ 3200 x 4000

20 x 4000 Ÿ 3200 x

80.000 Ÿ x

80.000 Ÿx 3.200

25

R: A equipe deverá ser acrescida de 5 operários. 3) máquinas

3 8 x 7 11

horas

parafusos

3

8

4800

7

11

x

4800 24 Ÿ 77 x

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4800 Ÿ 24 x x

77 x 4800 Ÿ x

77 x 4800 Ÿx 24

15.400

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4) litros de óleo

20 x

rpm

horas

20

1500

5

x

1800

3

1500 5 20 x Ÿ 1800 3 x

5) n º de

7500 Ÿ 7500 x 5400

20 x 5400 Ÿ 7500 x

108.000 Ÿ x

108.000 Ÿx 7.500

x 5

8

x

5

5

5

8

8 5 x Ÿx 5 8

5

a alternativ a correta é a

c

14,4 litros

8) distância

dias

horas

dias

hora

20

45

6

4320

5

8

x

15

8

2916

x

9

x

45

6

4320

5

9

20

15

8

2916

x

8

operários

x 20

x 45 6 x Ÿ 15 8 20

270 Ÿ 120x 120

20 x 270 Ÿ 120x

5400 Ÿ x

5400 Ÿx 120

5 4320 9 5 38.880 x Ÿ Ÿ 38.880 x x 2916 8 x 23.328 a alternativa correta é a b

45

R: Para construir a terça parte do muro serão necessários 15 operários.

6) hora

relatório

116.640 Ÿ x

116.640 Ÿx 38.880

3dias

dias

9) operários 8

75

9

x

65

6

8

75

6

x

65

9

8 75 6 8 450 x Ÿ Ÿ 450 x x 65 9 x 585 ou x 10h 24min

5 x 23.328 Ÿ 38.880x

8 x 585 Ÿ 450 x

4.680 Ÿ x

4680 Ÿx 450

10,4h

18 x

horas

dias

metros

20

8

18

300

16

9

x

225

16

9

18

300

20

8

x

225

43.200 Ÿ 43.200x 36.000

16 9 300 18 x x Ÿ 20 8 225 x

18 x 36000 Ÿ x

18 x 36.000 Ÿx 36.000

15dias

O funcionário deverá trabalhar 2h 24min a mais por dia. A alternativa correta é a

e 10) pedreiros

7) máquina

dias

dias

hora

hora

8

5

5

5

x

8

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m2

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50

12

27

30

8

16

36

24

x

16

27

24

8

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12

8 x

36

16 27 24 8 x x Â&#x; 12 36 30 x

30

10.368 Â&#x; 10.368x 12.960

x

8 x 12.960 Â&#x; x

8 x 12.960 Â&#x;x 10.368

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TĂ­tulo: MatemĂĄtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

10h

7. MĂŠdias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Muitas vezes os professores utilizam a mÊdia para calcular as notas bimestrais dos seus alunos. Em estatística a mÊdia Ê utilizada como medida de posição central destacando a mÊdia aritmÊtica como uma das medidas de tendência central.

2. Tipos de MĂŠdias 2.1. MĂŠdia AritmĂŠtica A mĂŠdia aritmĂŠtica de vĂĄrios nĂşmeros ĂŠ igual ao quociente da soma desses nĂşmeros pelo nĂşmero de parcelas. Exemplo: Calcular a mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros de 2; 4 e 6 ĂŠ:

ma

246 3

4

2.1. MĂŠdia GeomĂŠtrica A mĂŠdia geomĂŠtrica de vĂĄrios nĂşmeros ĂŠ a raiz, de Ă­ndice igual ao nĂşmero de fatores, do produto desses nĂşmeros. Exemplo: Calcular a mĂŠdia geomĂŠtrica dos nĂşmeros 4 e 25. mg

4 x 25

100

10

2.3. MĂŠdia Ponderada A mĂŠdia ponderada ĂŠ igual ao quociente da soma dos produtos de cada nĂşmero pelo respectivo peso, pela soma dos pesos.

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Exemplo:

Solução: a) m p

Calcule a mĂŠdia ponderada dos nĂşmeros 3; 4 e 5 cujo pesos sĂŁo respectivamente 1; 2 e 2. mp

3 x 1  4 x 2  5 x2 1 2 2

3 8 10 5

b) m p

21 4,2 5

A mĂŠdia harmĂ´nica de vĂĄrios nĂşmeros ĂŠ igual ao inverso da mĂŠdia aritmĂŠtica dos inversos desses nĂşmeros.

a)

0,01 e 4

b)

1 e 25 4

c)

1; 2 e 4

Exemplo: Calcular a mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros 2 e 4. mh

1 2 1 4 2 1

1 1  2 4 2

1 3 4 2 1

1 3 1 x 4 2

1 3 8

8 3

Solução:

ExercĂ­cios resolvidos 1) Calcular a mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros abaixo: a) 1; 2 e 3

b)

0,01 x 4

b) m g

1 x 25 4

1 1 ; 2 3

3

4 100

0,04 25 4

1x 2 x 4

3

8

5 2 3

23

2 10

0,2

2,5 2

c) 0,1 e 2 4) Calcular a mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros: a) 2 e 3

1 2  3 3

6 3

2

1 1  2 3 2

3 2 6 2 1

0,1  2 2

1 2  10 1 2

b) m a

c) ma

a) m g

c) m g

Solução: a) ma

13 4

3) Calculando a mĂŠdia geomĂŠtrica dos nĂşmeros abaixo:

2.4. MĂŠdia HarmĂ´nica

1

2 x1  3 x 2 2  6 8 1 2 3 3 2 x1  3 x1  4 x 2 2  3  8 11 2 4

b) 4; 5 e 6 5 6 2 1

Solução: 5x1 6 2 1 2 10 2 1

a) mh

5 12

21 10 2 1

21 1 x 10 2

21 20

b) m h

2) Calcular a mĂŠdia ponderada dos nĂşmeros abaixo:

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1 3 2 6 2 1

1 1 1 1   4 5 6 3

1 1 1 12 2,4 5 5 1 5 5 x 6 6 2 12 2 1 1 1 1 1 15  12  10 37 37 1 37 x 60 60 60 3 180 3 3 1 1

180 37

4,86

5) A mĂŠdia aritmĂŠtica dos 8 nĂşmeros de um conjunto ĂŠ 20. Se o nĂşmero 4 for retirado do conjunto, qual serĂĄ a nova mĂŠdia aritmĂŠtica?

2 e 3 cujos respectivos pesos sĂŁo 1 e 2 2; 3; 4 cujos respectivos pesos sĂŁo 1; 1 e 2 CopyMarket.com

1 1 1  2 3 2

54

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Solução a  a  ...  a 1 2 8 8

7) (Banco do Brasil) A mĂŠdia aritmĂŠtica dos 40 nĂşmeros de um conjunto ĂŠ 70. Os nĂşmeros 10 e 16 sĂŁo retirados desse conjunto. A mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros restantes ĂŠ? 20

a)73

b) 82

c) 108

d) 219

e) nra.

a1  a2  ...  a8 160 160  4 7

156 7

8) Sabe-se que a mĂŠdia aritmĂŠtica entre 2 nĂşmeros a e b ĂŠ igual a mĂŠdia geomĂŠtrica, entĂŁo, podemos afirmar que: 22,28

a) a e b sĂŁo primos entre si. b) os dois nĂşmeros a e b sĂŁo iguais.

Exercícios de fixação

c) a e b sĂŁo nĂşmeros compostos.

1) Calcular a mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros:

d) a e b sĂŁo nĂşmeros diferentes.

a) 4; 6 e 8 b)

1 ; 0,1; 2 2

c)

3 2 4 ; ; 8 5 9

e) n.r.a.. 9) (FAAP) Numa pequena empresa, com 20 funcionårios, a disposição dos salårios Ê a seguinte: número de empregados

salĂĄrio

12

R$ 600,00

5

R$ 700,00

3

R$ 1.000,00

2) Calcule a mĂŠdia ponderada dos seguintes nĂşmeros: a) 7; 8; 9 cujos pesos respectivos sĂŁo 1; 2 e 2. b) 11; 8 e 3 cujos pesos respectivos sĂŁo 2; 3 e 4.

Qual o salĂĄrio mĂŠdio dos empregados dessa empresa?

c) 15; 18 e 32 cujos pesos respectivos sĂŁo 2; 3 e 3

ExercĂ­cios propostos

3) Calcule a mĂŠdia geomĂŠtrica dos nĂşmeros: a) 4 e 100

1) (C.N.) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fĂłrmulas da coluna da direita, sendo a e b nĂşmeros inteiros positivos quaisquer, tem-se:

b) 0,45 e 0,05 c) 4 e 9 7 28

I - mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros a e b;

a)

ab

4) Calcular a mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros 4 e 6.

II - MĂŠdia ponderada dos nĂşmeros a e b;

b)

a b

5) (EPCAR) A mĂŠdia aritmĂŠtica dos nĂşmeros que aparecem no quadro; ĂŠ:

III - MĂŠdia geomĂŠtrica entre os nĂşmeros a e b;

c)

ab 2

lV - O produto do mdc pelo mmc de a e b;

d)

2ab ab

V - MĂŠdia aritmĂŠtica simples entre a e b;

e)

a.b

103,4 a) 54,86

b) 55,806

121,63 c)6,8

41,2

8,75 d)56,853

9,285 e) 56,853

6) Achar as mĂŠdias aritmĂŠticas e ponderadas entre os nĂşmeros 0,63; 0,45; 0,12, sabendo-se que os respectivos pesos sĂŁo 1; 2 e 7. CopyMarket.com

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a) b) c) d) e)

( I; b ); ( II; c ); ( IV; e) ( I; d ); ( II; c ); ( V; b ) ( I; d ); ( III; a ); ( IV; e) ( II; c ); ( III; a ); ( IV; e ) n.r.a.

a) 1

b) 6

c) 6,4

d) 8

1)

c

2)

­a  b ° 2 ° °m ° h Ž ° ab ° ° 10 °mg ¯

e) n.r.a.

3) Colocar em ordem de grandeza crescente a mĂŠdia aritmĂŠtica; a mĂŠdia geomĂŠtrica e a mĂŠdia harmĂ´nica dos nĂşmeros 6 e 12. 4) A mĂŠdia aritmĂŠtica de 11 nĂşmeros ĂŠ 40. Se dois nĂşmeros, 4 e 6 forem retirados qual serĂĄ a nova mĂŠdia?

b)

abc ab

c)

ab 2c

d)

e) n.r.a.

b) 7; 8; 8; 10; 12

c) 3,2; 4; 0,75; 2,13; 4,75

d) 70; 75; 76; 80; 82; 83; 90

8

5)

mp

6)

1 1 ­ °mh 1 1 1 bc  ac  ab   ° ° a b c abc Ž 3 3 ° 1 ° °¯a alternativ a correta Ê a d

7)

a) ma

8) Calcule a mĂŠdia geomĂŠtrica. a) 8; 15; 10; 12 b) 3; 4; 5; 6; 7; 8

64

4)

7) Calcule a mĂŠdia aritmĂŠtica; a) 3; 4; 1; 6; 5; 6

20

­ a1  a2  /  a11 ° 11 ° Ža1  a 2  /  a11 ° 430 °440  10 9 ¯

e)n.r.a

3abc bc  ac  ab

10 Â&#x; a  b

3)

6) A mĂŠdia harmĂ´nica entre os nĂşmeros a; b e c; 2abc ab

d) 8

2ab 2ab 32 ab 20 5 32 Â&#x; ab 64 5

6  12 ­ 9 °ma 2 ° °°mg 6 x 12 72 6 2 8,46 Ž 2 2 6 ab x x 12 144 °m 8 ° h ab 18 18 ° ¯°mh  mg  ma

5) Em um concurso pĂşblico, trĂŞs provas foram realizadas. Um candidato obteve nota 4 na primeira prova, que tinha peso 3. Obteve nota 9 na segunda, que tinha peso 2 e nota 8 na terceira prova, que tinha peso 5. Qual ĂŠ a mĂŠdia desse candidato?

a)

c) 0,6

RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

2) Sabendo-se que a mĂŠdia aritmĂŠtica e a mĂŠdia harmĂ´nica entre dois nĂşmeros naturais valem, respectivamente 10 e 32 pode-se dizer que a mĂŠdia geomĂŠtrica entre esses nĂşmeros serĂĄ igual a: 5 a)3,6

b) 2

9) Encontre a mĂŠdia harmĂ´nica.

40 440

4x39x28x5 3 25

12  18  40 10

70 10

7,0

1 bc  ac  ab 3abc

3abc bc  ac  ab

a) 5; 7; 12; 15 10) Em certo mĂŞs, um aluno obteve em portuguĂŞs as trĂŞs notas 2,4 e 6. A nota mensal desse aluno, calculada pela mĂŠdia ponderada, de pesos respectivamente iguais a 1, 2 e 2, excede sua nota mensal, calculada pela mĂŠdia aritmĂŠtica simples, de um valor igual a: CopyMarket.com

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3  4 1 6  5  6 6

4,16

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b) ma

7  8  8  10  12 5

c) ma

3,2  4  0,75  2,13  4,75 5

d) ma

70  75  76  80  82  83  90 7

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9

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2,96

79,42

8. Porcentagem Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

8)

9)

a) mg

4 8 x 15 x 10 x 12

b) mg

6 3x 4x6x5x7 x8

mh

1 1 1 1 1    5 7 12 15 4

10) a alternativa correta ĂŠ a

4 14.400

1. Introdução 10,95

6 12 x 30 x 56

1 84  60  35  28 420 4

É muito comum os veículos de comunicação apresentarem as seguintes expressþes:

6 20.160

1 207 420 4 1

x a cesta båsica teve um reajuste de 2,1%; x os rendimentos da caderneta de poupança para este mês foi de 1,21%. x 10% da população brasileira são fumantes.

5,39

1 207 1 x 420 4

1 207 1.680

1.680 207

Todos os enunciados acima podem ser expressos atravĂŠs de uma razĂŁo a qual denominamos de porcentagem.

8,11

2. Elementos do cĂĄlculo percentual Nos problemas de porcentagem, trĂŞs elementos sĂŁo importantes: O principal, que ĂŠ o nĂşmero sobre o qual se deve calcular a porcentagem; a taxa de porcentagem, que ĂŠ o nĂşmero de partes que devem ser tomadas em cada cem partes do principal e a porcentagem, que ĂŠ total das taxas.

e

Exemplo: 1) Em uma sala de aula tem 35 alunos, sendo 20% de meninas. Quantas sĂŁo as meninas dessa sala? c xi P Principal (c) = 35 100

taxa (i) = 20%

porcentagem (P)

P

35 x 20 100

P

700 100

7

ExercĂ­cios resolvidos: 1) Calcular a) 2% de 120

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b) 1,5% de 150

1 c) % de 30 3

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Solução:

3) O preço de um aparelho de som Ê de R$ 1.500,00. Se eu conseguir um desconto de 8%, quanto pagarei por ele?

a) 2 % de 120 Principal = 120 taxa = 2% Porcentagem = taxa x principal 240 2 x 120 Porcentagem = 100 100

Solução: taxa = 100% - 8% = 92% Principal = 1.500 Porcentagem = taxa x principal 92 Porcentagem = x 1.500,00 100

2,4

Resposta: 2% de 120 ĂŠ 2,4.

1380

Resposta: Pagarei pelo aparelho de som R$ 1.380,00. b) 1,5 % de 150 Principal = 150 Taxa = 1,5 % Porcentagem = taxa x principal 1,5 Porcentagem = 2,25 x 150 100

4) Uma fatura no valor nominal de R$ 400,00, foi quitada com dois descontos sucessivos sendo um de 2% e outro de 3%. Que taxa única de desconto daria o mesmo líquido? Solução: No caso de abatimentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

Resposta: 1,5% de 150 ĂŠ 2,25.

i = 1 - (1 - i1) ˜ (1 - i2) ˜ (1 - i3) ... (1 - i n ) i = 1 - (1 - 0,02) ˜ (1 - 0,03) i = 1 - (0,98) ˜ (0,97) i = 1 - 0,9506 i = 0,0494 i = 4,94%

1 c) % de 30 3 Principal = 30 1 taxa % 3 Porcentagem = taxa x principal Porcentagem = Resposta:

1 3

100

x 30

10 100

5) Uma televisĂŁo sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual a porcentagem equivalente a esses dois acrĂŠscimos?

0,1

1 % de 30 ĂŠ 0,1. 3

Solução: No caso de aumentos sucessivos usamos a seguinte fórmula:

2) Num concurso público compareceram 1.500 pessoas, sendo que 20% dos inscritos faltaram. Qual o número total de candidatos inscritos? Solução: Consideramos x, o número de candidatos participantes do concurso e 80% Ê a porcentagem de comparecimento. X 1.500

x 1.500

100 80 100 Â&#x; 80 x 150.00 Â&#x; x 80

6) A população de um município, com 60.000 habitantes cresce anualmente em 1%. Quantos habitantes terå no final de dois anos? 150.00 80

1.875

Solução: 1º. ano: 60.000 .

Resposta: O nĂşmero de candidatos ĂŠ 1.875.

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i = (1 + i1) ˜ (1 + i2) ˜ (1 + i3) ..., (1 + i n ) - 1 i = (1 + 0,1) ˜ (1 + 0,1) - 1 i = (1,1) ˜ (1,1) - 1 i = 1,21 - 1 i = 0,21 i = 21%

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1 100

600 Â&#x; 60.000  600  60.600 hab.

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2Âş. ano: 60.600

1 100

606 Â&#x; 60.600  606

8) O preço de uma geladeira Ê de R$ 1.200,00. Como vou comprå-la a prazo, o preço sofre um acrÊscimo de 10% sobre o preço à vista. Dando 20% de entrada e pagando o restante em duas prestaçþes iguais, o valor de cada prestação serå de:

61.206 hab

Resp. O número de habitantes no final de dois anos Ê de 61.206 hab. 9) (FEI) Num lote de 1.000 peças, 65% são do tipo A e 35% são do tipo B. Sabendo-se que 8% do tipo A e 4% do tipo B são defeituosas, quantas peças devem ser rejeitadas neste lote?

Exercícios de fixação 1) Quanto vale a) b) c) d)

10) (F. Objetivo) Aumentando-se, de 40%, os lados de um quadrado, sua ĂĄrea ficarĂĄ aumentada de:

1% de 200 ? 2,3% de 25? 0,1% de 1,04? 2% de 400?

a) 45% b) 20%

b) 9

c) 12

d) 15

e) 18

a) 1,04 A b) 0,98 A

3) (10%) 2 a)100%

b) 20%

c) 5%

d) 1%

c) R$ 250,00 d) R$ 150,00

e) n.r.a

c) R$ 7.200,00 d) R$ 7.500,00

c) 47% d) 47,8%

e) R$ 9.000,00

b) 75

c) 90

d) 87,5

e) 105

13) Uma sala de aula tem 40 alunos, sendo que15% dos alunos ficaram em recuperação. Calcule o número de alunos aprovados sem recuperação.

e) 54,6%

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1) O nĂşmero 5,94 representa 18% de: a) 36

b) 35

c) 34

d) 33

e) 32

2) Indique a opção que completa a igualdade (5%) 2 = a) 25%

64

b)

1 % 4

c) 10%

d) 0,1%

e) 0,001%

3) (Fuvest) Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50 teve um aumento passando a custar R$ 13,50. A majoração sobre o preço antigo Ê de: a) 1%

7) JoĂŁo comprou diretamente de uma fĂĄbrica um conjunto de sofĂĄs pagando R$ 322.000,00, incluindo o imposto sobre produtos industrializados (IPI). Sabendo-se que a alĂ­quota do imposto ĂŠ de 15% a.d., o valor do imposto foi de: CopyMarket.com

a) 61

ExercĂ­cios propostos

6) Certo ano, as taxas de inflação nos meses de maio, junho; e julho foram de 15%, 12% e 20%, respectivamente. No período de maio a julho desse mesmo ano, a taxa de inflação acumulada foi de, aproximadamente, a) 15,7% b) 45,2%

e) A

e) R$ 50,00

5) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando se concede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de 5% ĂŠ: a) R$ 5.700,00 b) R$ 6.900,00

c) 1,02 A d) 0,96 A

12) (Banespa) Um pequeno silo de milho, perde 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores era:

4) Um trabalhador, apĂłs ter recebido um aumento de 25% no seu salĂĄrio mensal, ficou recebendo a quantia de R$ 1.000,00 mensais. Podemos assim afirmar que este trabalhador teve um aumento mensal no seu salĂĄrio de: a) R$ 100,00 b) R$ 200,00

e) n.r.a.

11) A base de um retângulo de årea A Ê aumentada de 20% e sua altura Ê diminuída de 20%. A årea do novo retângulo formado Ê:

2) O nĂşmero 1,35 corresponde a 15% de: a) 6

c) 96% d) 82%

b) 10%

c) 12,5%

d) 8%

e) n.r.a.

4) (ETF-SP) Um levantamento sĂłcio-econĂ´mico entre os alunos da Federal, revelou que 22% das famĂ­lias tĂŞm casa prĂłpria, 30% tĂŞm automĂłvel e 12% tĂŞm casa prĂłpria e automĂłvel. O percentual dos que nĂŁo tĂŞm casa prĂłpria nem automĂłvel ĂŠ de: CopyMarket.com

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a) 46%

b) 54%

c) 30%

d) 40%

e) 60% RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

5) A expressão (10%)2 - (5%)2 é equivalente a: a)7,5% b)15%

c) 0,75% d) 25%

e) nra

6) Supondo que nos três primeiros meses do ano a inflação foi de 5%; 4%; 10% respectivamente, determinar, em porcentagens, a inflação acumulada no trimestre:

1) x

100

5,94

18

x 5,94 x

7) (UFV-MG) Numa loja, o preço de um par de sapatos era de R$ 140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentou o preço de todos os artigos em 50% e, em seguida, anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapatos ficou aumentado de: a) R$ 26,00 b) R$ 28,00

c) R$ 31,00 d) R$ 34,00

100 Ÿ 18 x 100.5,94 Ÿ 18 x 18

33

a alternativa correta é a d

2) 5% 2

e) n.r.a.

594 18

594 Ÿ x

§ 5 · ¨ ¸ © 100 ¹

2

§ 1 · ¨ ¸ © 20 ¹

2

1 400

0,0025

a alternativa correta é a b

8) Certa partida de mercadorias foi vendida por R$ 21.516,30 com lucro de R$ 3.126,30 sobre o preço de custo. Calcular de quantos por cento foi esse lucro.

3) 12,50

100

1,00

9) Após um aumento de 20%, um livro passa a custar R$ 180,00. O preço antes do aumento era: a) R$ 170,00 b) R$ 144,00

c) R$ 160,00 d) R$ 150,00

12,50 1,00

e) n.r.a.

b) 45% dos eleitores e) 66,6% dos eleitores

x

100 Ÿx 12,50

8%

a alternativa correta é a d

10) (ETF-SP) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir sobre sua autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores, 10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam o voto e, 4.500 votaram não. Diante disso, conclui-se que votaram sim: a) 11.250 eleitores d) 55% dos eleitores

x

100 Ÿ 12,50 x x

4) n (AUB) = n (A) + n (B) - n(A ˆ B) n (AUB) = 22 + 30 - 12 n (AUB) = 40%

c) 51% dos eleitores

R.: O percentual dos que não têm casa própria e nem automóvel é de 60%. a alternativa correta é a e

11) (Mack) Supondo que o preço K de um produto sofra 2 aumentos sucessivos de 10%, então esse preço passará a ser R$ 363,00, mas, caso ele tenha dois abatimentos sucessivos de 10%, então passará a ser M reais. Desta forma, K + M vale:

5)

1 1  100 400

2

§ 10 · § 5 · ¸ ¨ ¸ ¨ © 100 ¹ © 100 ¹ 4 1 3 % 0,75% 400 4

10% 2  5% 2

2

2

§1· § 1 · ¨ ¸ ¨ ¸ © 10 ¹ © 20 ¹

2

a alternativa correta é a c 6) i = (1 + i1) ˜ (1 + i2) ˜ (1 + i3) - 1 i = (1 + 0,05) ˜ (1 + 0,04) ˜ (1 + 0,1) - 1 i = (1,05) ˜ (1,04) ˜ (1,1) - 1 CopyMarket.com

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i = 0,2012

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i = 20,12% 7) 1,5 x 140 = 210

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

210 x 0,8 = 168 R.: O par de sapato teve aumento de R$ 28,00 em relação ao preço inicial. a alternativa correta é a b

9. Operações sobre Mercadorias Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

8) V = C + L 21.516,30 = C + 3.126,30

1. Introdução

C = 21.516,30 - 3.126,30 C = 18.390,00

L C

3.124,30 18.390

Neste capítulo apresentaremos outros problemas de porcentagens, que ocorrem na vida comercial, envolvendo as operações comerciais que podem gerar lucro ou prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.

0,17 ou 17%

2. Vendas com lucro 9) x

100

180

1,2

x 180

2.1. Sobre o preço de custo 2.2. Sobre o preço de venda

1 180 Ÿ 1,2 x 180 Ÿ x 1,2 1,2

150

Exemplos:

a alternativa correta é a d

1) Por quanto devo vender um aparelho de som que comprei por R$ 1.200,00 e desejo lucrar 30% sobre a compra?

10) eleitores faltosos

Ÿ 22.500 x 0,1 = 2.250

votos brancos ou nulos

Ÿ 22.500 x 0,15 = 3.375

votaram não

Ÿ

Solução: V = C+L V: preço de venda C: preço de custo L: lucro

4.500 10.125

R: Deverei vender o aparelho por R$ 1.560,00

22.500 - 10.125 = 12.375

12.375 22.500

V = 1200+1200 ˜ 0,3 V = 1200+360 V = 1.560

0,55 ou 55%

2) Comprei um quadro por R$ 4.500,00 e quero obter um lucro de 10% sobre o preço de venda. Por quanto deverei vender esse quadro?

a alternativa correta é a d

Solução: 11) K ˜ (1,1) ˜ (1,1) = 363

1,21K

363 Ÿ K

363 ŸK 1,21

C= R$ 4.500,00 L= 0,1 V V?

300

M = 300 (1 - 0,1) ˜ (1 - 0,1) Ÿ M = 300 ˜ 0,9 ˜ 0,9 Ÿ M = 243

K + M = 300 + 243 = 543 CopyMarket.com

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V = C+L V = 4500+0,1V 1V-0,1V= 4500 0,9V=4500 4500 V 0,9 V = 5000

R: O quadro deverá ser vendido por R$ 5.000,00 68

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7) (Mauå) Um produto cujo custo foi de R$ 272,00 deve ser vendido com lucro de 15% sobre o preço de venda. O preço de venda Ê: a) R$ 280,00 c) R$ 300,00 e) R$ 400,00 b) R$ 320,00 d) R$ 350,00

3. Vendas com prejuízo 3.1. Sobre o preço de custo 3.2. Sobre o preço de venda

8) (EPC do Ar) Na venda de um certo objeto houve lucro de R$ 12,00 que correspondente a 16% do preço de custo. Qual o preço de custo do objeto?

Exemplo: 1) Uma saca de batata foi vendida com um prejuĂ­zo de 15% sobre o preço de custo. Sabendo-se que essa saca custou R$ 200,00. Qual foi o preço de venda? Solução: V: preço de venda V=C-P C: preço de custo V= 200-0,15 ˜ 200 P: prejuĂ­zo V= 200-30 V= 170

10) Um comerciante vendeu uma geladeira de R$ 1.300,00 por R$ 850,00. Calcule a porcentagem do seu prejuĂ­zo.

R: Logo, a saca de batata foi vendida por R$ 170,00.

ExercĂ­cios propostos

2) Um automóvel custando R$ 5.500,00 foi vendido com um prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Calcule o preço de venda. V CP V 5.500  0,1V 1V  0,1V 5.500 1,1V 5.500 V V

1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 1.560,00, com prejuízo de 12% sobre seu preço de custo. O preço de custo dessa mercadoria Ê de : 2) Uma fatura no valor de R$ 800,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%; 6% e 10%. Calcule o valor líquido da fatura. 3) Maria vendeu um relógio por R$ 650,00 com um prejuízo de 3,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 6% sobre o custo, ela deveria ter vendido por:

5.500 1,1 5.000

4) Joana vendeu um fogão com prejuízo de 6% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ela tenha comprado o produto por R$ 650,00, o preço de venda foi de:

R: O preço de venda do automóvel foi de R$ 5.000,00

5) (TTN) Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com lucro de 10%, em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transaçþes representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de:

Exercícios de fixação 1) Determinar por quanto se deve vender um objeto, comprado por R$ 350,00, para se obter um lucro equivalente a 2,5% do custo. 2) Uma pessoa vendeu um carro por R$ 9.000,00 perdendo o equivalente a 10% do preço de compra . Qual foi o preço de compra? 3) Aumentar o preço de um produto em 30% e, em seguida, conceder um desconto de 20% equivale aumentar o preço original em: 4) Um comerciante comprou uma partida de 10 sacas de batatas por R$ 2.100,00. Por quanto deve vender cada saca para obter um lucro total de 15% sobre o preço de custo? 5) (Banco do Brasil) Calcule o prejuízo de certo comerciante que vendeu suas mercadorias por R$ 36.394,40, perdendo nessa transação uma quantia equivalente a 3% do preço de custo. 6) Uma televisão foi vendida por R$ 1.050,00, com um prejuízo de 6,5% do preço de custo. Por quanto deveria ser vendida, para se obter um lucro equivalente a 3% do custo? CopyMarket.com

9) (Banco do Brasil) Uma pessoa vendeu um objeto por R$ 14.400,00, perdendo o equivalente a 10% do preço de compra. Qual foi o preço de compra? a) R$ 14.000,00 c) R$ 16.000,00 e) n.r.a b) R$ 15.000,00 d) R$ 17.000,00

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6) Um comerciante comprou vårias peças de tecido por R$ 47.200,00 e uma partida de arroz por R$ 35.100,00.Vendeu o tecido com 7% de prejuízo e o arroz, com 11,5% de lucro. Ao todo, ganhou ou perdeu? Quanto? 7) Calcule o valor líquido de uma guia de recolhimento de imposto sindical, no valor de R$ 2.000,00, que sofreu a redução de 12% sobre esse valor total, e, em seguida, outro abatimento de 6% sobre o líquido da primeira redução. 8) Uma partida de arroz foi vendida por R$ 2.150,00, com um lucro de R$ 650,00 . Calcule a porcentagem desse lucro em relação ao preço de custo. 9) Uma bicicleta no valor de R$ 650,00, foi vendida por R$ 350,00. De quantos por cento foi o prejuízo? 10) João vendeu uma måquina de escrever por R$650,00 com prejuízo de 12% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 10% sobre o preço de custo, ele deveria ter vendido por:

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RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS 1)

1560 1560

0,12C ?

P C

3)

L

800 (1  0,05) x (1  0,06) x (1  0,1)

L L

800 x 0,95 x 0,94 x 0,9 642,96

V P

650,00 3,5%C

C  0,035C

650,00

0,965C

650,00 Â&#x;C 0,965

673,57

10)

CP

P

0,06 V

V

C V

650,00 ?

V 650,00  0,06 x V 1,06V 650,00 650,00 1,06

16.500,00  0,1 x 16.500,00

1.650,00  5.850,00

2000,00 1  0,12 x 1  0,06

2000,00 x 0,88 x 0,94 R$1.654,40

V CL 2.150,00 C  650,00 C 2.150,00  650,00 C 1.500,00

L C

650,00 1.500,00

30.000 Â&#x; X

V P C L

R$650,00 0,12C ? 0,1C

30.000 Â&#x;X 650

V

613,20

7.500,00 14.850,00

46,15%

CP

650,00

C  0,12C

650,00

0,88C Â&#x; C

V

L C

0,433 ou 43,3%

650,00 o 100 300,00 o X 650,00 100 X 300,00 650 X

CL 673,57  0,06 x 673,57 673,57  40,41 713,98

16.500,00  1.650,00 14.850 20.700,00  14.850,00 5.850,00

6)

9)

650,00

C

5)

8)

CP

V

C

4)

1772,72

P (1  i1) x (1  i2 ) x (1  i3 )

L

V V V V

L

C  0,12C 0,88C

1560 Â&#x;C 0,88

C

2)

7) L

CP

V

1560

V

650,00 Â&#x;C 0,88

738,64

CL

V

738,64  0,1 x 738,64

V

812,50

0,5050 Â&#x; 50,50%

7.500,00

Tecido 47.200,00 x 0,93

43.896,00

Arroz 35.100,00 x 1,115

39.136,50

R : Ganhou R$4.759,50 CopyMarket.com

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0

1

n-1

n

O juro total dos n períodos será: J = J 1 + J 2 + J 3 + ... + J n

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Quando emprestamos um capital a uma pessoa (física ou jurídica), recebemos de volta a quantia emprestada mais uma quantia que denominamos de juros. Chamamos de juros simples a remuneração de um capital (C) aplicado a uma taxa (i), por um período de tempo determinado (n). A taxa de juro indica o valor do juro a ser pago numa unidade de tempo, e será expresso em porcentagem do capital. Exemplos: a) A taxa de juro de 5% a.d. - significa que o valor do juro é igual 5% do capital, por dia. b) A taxa de juro de 20% a.m. - significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por mês.

J = Ci + Ci + C i = ... + C i J = Cin Para o caso do Montante teremos: M =C+ J M = C + Cin M = C (1 + in )

Exercícios Resolvidos 1) Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 2.000,00 colocado a taxa 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses. Dados: J=? J=C. i. n C=R$ 2.000,00 J=2000 ⋅ 0,01 ⋅ 14 i=1% a.m. J=280 n=1 ano 2 meses = 14 meses R: Os juros obtidos serão de R$ 280,00.

Capital (principal ou valor presente) É a quantia aplicada ou emprestada por um período de tempo. Prazo (ou tempo) É o período de aplicação do capital.

2) Um capital de R$4.000,00 rendeu em 1 mês a importância de R$1.000,00 de juros. Calcular a taxa. Dados: C=R$ 4.000,00 n= 1 mês i=? J=R$1.000,00

2. Regime de capitalização O regime de capitalização pode ser simples ou composto.

J = C.i.n 1.000 = 4000.i.1 1.000 = 4000i i=

2.1. Regime de capitalização simples No regime de capitalização simples, a taxa de juro incide sobre o capital inicial, e no final de cada período os juros obtidos serão iguais ao produto do capital pela taxa do período.

3. Cálculo do juros simples e montante. Seja um capital (C) aplicado a uma taxa (i) por período, durante n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples.

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1.000 Ÿ i = 0,25 ou i = 25% a.m. 4.000

3) Durante quanto tempo é necessário empregar o capital de R$ 200,00 para que renda R$ 80,00 de juros, sendo a taxa 1% a.m.? Solução: C= R$ 200,00 J= R$ 80,00 i= 1% a.m. n=?

Os juros formados no final de cada período serão iguais, e portanto teremos: Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

3

J 1 = J 2 = J 3 = .... = J n = C i

10. Juros Simples

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2

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J = C.i.n 80 = 200.0,01.n 80 = 2n 80 Ÿ n = 40 meses ou 3 anos e 4 meses n= 2 Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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4) Calcular o capital que, aplicado a taxa de 1% a.m., produz em 1 ano e 1 mês, juros de R$ 650,00. Solução: i=1% a.m. n=13 meses J= R$ 650,00

i1 i = 2 n1 n2 i2 1,5 = Ÿ i1 = 18% a.a. 12 1

J = C.i.n 650 = C.0,01.13 650 = C.0,13 650 C= Ÿ C = 5.000 0,13

5. Taxas equivalentes Duas taxas são denominadas de equivalentes, quando aplicadas a um mesmo capital, num mesmo período de tempo, produzem juros iguais.

5) Calcular o montante de um capital de R$ 1.200,00, empregado durante 2 anos e 6 meses a taxa de 0,5% a.m.. Solução: M=? C=R$ 1.200,00 n= 2 anos e 6 meses = 30 meses i= 0,5% a.m.

Calcular os juros produzidos pelo capital de R$ 1.000,00: a) a taxa de 2% a.m., durante 3 meses. b) a taxa de 1,5% a.a., durante 4 anos.

M=C(1+in) M=1200(1+0,005 ⋅ 30) M=1200(1+0,15) M=1200 ⋅ 1,15 M= 1.380

Solução: a) J=? C= R$ 1.000,00 i= 2% a.m n= 3 meses

4. Taxas proporcionais Duas taxas são denominadas de proporcionais, quando seus valores formam uma proporção com os seus respectivos períodos de tempo, reduzidos numa mesma unidade. Assim, sendo teremos:

b) J=? C=R$ 1.000,00 i=1,5% a.a. n=4 anos

J= C. i. n J= 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 3 J= 60,00

J=C. i. n J=1000 ⋅ 0,15 ⋅ 4 J=60,00

Como os juros obtidos são iguais, podemos afirmar que 2% a.m. é uma taxa equivalente a 1,5% a.a.

i1 i = 2 n1 n2

6. Prazo médio

Exemplos:

Para o cálculo do prazo médio, mencionaremos quatro casos a saber:

1) Qual a taxa mensal proporcional a taxa de 24% a.a.

a) Capitais e taxas iguais.

Solução: i1 i = 2 n1 n2 i1 24 = Ÿ 12i1 = 24 Ÿ i1 = 2% a.m. 1 12

Neste caso o prazo médio é calculado pela média aritmética simples dos prazos dados. Exemplo: 1) Uma pessoa aplicou R$ 1.000,00, a taxa de 2% a.a., durante 2 meses e R$ 1.000,00, a mesma taxa, durante 4 meses. Qual o prazo médio dessa aplicação?

2) Calcule a taxa anual proporcional a 1,5% a.m.

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Exemplo:

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Solução: 2+4 6 = = 3 meses ( prazo médio ) 2 2 76

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b) Capitais diferentes e taxas iguais Quando os capitais são diferentes e as taxas iguais, o prazo médio é calculado pela média aritmética ponderada dos prazos pelos capitais. Exemplo: Determine o prazo médio de aplicação de dois capitais, de R$ 1.200,00, e R$ 1.800,00, aplicadas durante 1 ano e 3 anos, respectivamente, a taxa iguais? Solução: Multiplicando os prazos pelos respectivos capitais. 1.1.200 = 1.200 3.

7. Taxa média Sejam os capitais C1; C2; C3...Cn , aplicamos as taxa i1; i2; i3... respectivamente, durante o mesmo período de tempo. A taxa média im é obtida pela soma dos capitais acima, aplicados a esta taxa e no mesmo prazo, obtendo um total de rendimentos idênticos as aplicações originais. im =

1.800 5.400 = 3.000 6.600

C1 • i1 + C2 • i2 + Λ Λ Cn • in C1 + C2 + Λ Λ + Cn

Exemplo: 1) João aplicou seu capital de R$ 7.000,00 da seguinte maneira:

Dividindo a soma dos produtos pela soma dos capitais teremos: 6.600 = 2,2 ano 3.000

R$ 1.500,00 a 2% a.m. R$ 2.000,00 a 1,5% a.m. R$ 3.500,00 a 2,5% a.m.

R: O prazo médio é de 2,2 anos.

Qual seria a taxa única, que poderia aplicar seu capital, para se obter o mesmo rendimento? Solução:

c) Capitais iguais e taxas diferentes.

1500. 0,02 + 2000 . 0,015 + 3500. 0,025 1500 + 2000 + 3500 30 + 3 − +87,5 i= = 0,0210 7000 i = 2,1% i=

Quando os capitais são iguais e as taxas diferentes, a solução é idêntica ao caso anterior. d) Capitais e taxas diferentes. Quando os capitais e as taxas são distintos, o prazo médio é calculado pela soma dos produtos dos capitais pelo tempo de aplicação e pela sua respectiva taxa dividida pela soma dos produtos do capital por essa referida taxa de aplicação.

1) Determine os juros produzidos por um capital de R$ 10.000,00 empregado a taxa de 3% a.a. em 4 anos.

Exemplo: Qual o prazo médio de aplicação de dois capitais: R$ 800,00 em 20 dias a 1,5% a.a., R$ 1.000,00 a 2% a.a. em 30 dias? Tempo 20 30

Capital 800 1.000

Taxas = 0,015 0,02 =

Exercício de fixação

2) Um capital de R$ 5.000,00 rendeu em 5 meses a importância de R$ 1.800,00. Calcule a taxa anual.

Valor ponderado 240 600 840

3) Um capital de R$ 14.4000,00 aplicado a 22 % a.a. rendeu R$ 880,00 de juros. Durante quanto tempo esteve empregado? 2 de seu capital em letras durante 90 dias, a taxa de 2,5% a.m.(juros 5 simples) e recebe R$ 9.600,00 de juros. Calcule o capital de aplicação desta pessoa.

4) Se uma pessoa aplica somente Prazo médio =

Soma dos valores ponderados Soma dos produtos dos capitais pela taxa

1 de seu capital a juros simples comerciais de 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o 4 restante do dinheiro a uma taxa de 24% a.a., pelo mesmo prazo de regime de capitalização. Sabendose que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros, mais do que a outra, o capital inicial era de:

5) Carlos aplicou

840 840 840 Prazo Médio = = = = 26,25 dias (800.0,015) + (1000.0,02) 12 + 20 32

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6) Um capital de R$ 8.000,00 foi dividido em 2 partes. A primeira parte foi investida a uma taxa de 1% a.a., durante 2 anos e rendeu os mesmos juros que a segunda parte que fora investida a taxa de 1,5% a.a. por 3 anos. Calcule o valor da parte menor.

6) Um capital foi aplicado da seguinte maneira: seus dois terços rendendo 4%a.a e a parte restante rendendo 3% a.a. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de R$ 500,00. Qual era o capital inicial?

7) A soma de um capital com os seus juros, aplicado durante 110 dias, à taxa de 7% a.a. é igual a R$ 2.553,47. Determinar o valor dos juros, considerando-se o ano com 360 dias.

7) (EPCAR-81) Um capital foi colocado a render juros simples a uma taxa tal que após 10 meses o capital e os juros reunidos se elevaram a R$ 13.440,00 e após 18 meses se elevaram a R$ 16.512,00. Qual é o capital?

8) (Receita Federal) O prazo que duplica um capital aplicado a taxa de juros simples de 4% a.m. é: a)1 ano c) 20 meses e) n.r.a. b) 15 meses d) 25 meses

8) (Sec. Mun.Fin-SP) Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado a juros simples e, ao final de 2 bimestres, produziu o montante de R$ 16.320,00. A taxa mensal dessa aplicação foi de: a) 2,2% b) 3,6% c) 4,2% d) 4,8% e) 6,6%

9) (TTN) O capital que, investido hoje a juros simples de 12% a.a., se elevará a R$ 1.296,00 no fim de 8 meses é:

9) O capital de R$ 3.000,00, aplicado à taxa anual de 1% no fim de 200 dias, produzirá o montante de:

10) Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada?

10) Colocaram-se a mesma taxa: R$ 800,00 durante 3 meses e R$ 200,00 durante 5 meses. A diferença entre os juros é de R$ 700,00. Qual é a taxa?

11) Calcule a taxa anual proporcional a: a) 2,5% a.m. c) 1,2% a.m. b) 3% a.t. d) 3% a.s.

11) Ache a taxa mensal proporcional a: a) 3,6% a.t. b) 12% a.s.c

d) 12% a.a.

12) (Receita Federal) Aplicar um capital a taxa de juros simples de 5% a.m., durante 10 meses, é equivalente a investir o mesmo capital por 15 meses a taxa de: a) 7,5% a.m. b) 3,33% a.m. c) 3% a.m. d) 12% a.a.

12) Calcule a taxa bimestral de juros simples, equivalente a 126% a.a. 13) Qual a taxa trimestral de juros simples equivalente a 10% a.a.? 14) Aplicou-se a juros simples os capitais de R$ 1.000,00 a 2% a.m., R$ 1.500,00 a 3% a.m. e R$ 2.000,00 a 3,5% a.m. durante um mês. Qual foi a taxa média do investimento? 15) Qual o prazo médio para juros de R$ 2.000,00 em 30 dias a 1% a.d., R$ 2.500,00 a 2% a.d. em 40 dias.

Exercícios propostos 1) Um capital de R$ 6.000,00 aplicando durante 2 meses, a juros simples, rende R$ 2.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada.

13) Sobre a taxa proporcional é correto afirmar: a) Sempre se refere a juros exatos. b) Normalmente refere-se a juros compostos. c) Utilizado em equivalência de capitais a juros comerciais e compostos. d) Dá nome aos contratos. e) Refere-se a juros simples. 14) (FTE-93) Um banco efetuou os seguintes empréstimos com juros simples conforme tabela abaixo. Calcule a taxa média mensal destas operações: Principal(R$) 10.000,00 20.000,00

2) Calcular o juro e o montante de uma aplicação de R$ 10.000,00 durante 1 ano, a taxa de juros simples de 0,5%a.m. 3) Em quanto tempo um capital colocado a 0,4% a.m., rende

) 2,4% a.d.

a) 10% a.m.

2 do seu valor? 5

4) (FAAP) Um investimento de R$ 24.000,00, foi aplicado parte a juros de 1,8% a.m., e parte a 3% a.m. Se os juros mensais forem de R$ 480,00, quais as partes correspondentes do investimento?

b) 11% a.m.

Taxa mensal 20% 10% c) 12% a.m.

Prazo (meses) 2 4 d) 13,33% a.m.

e) 15% a.m.

15) Três capitais iguais a R$ 2.000,00 foram aplicados a mesma taxa durante 2, 3 e 4 meses respectivamente. Qual o prazo médio?

5) (Mack) A taxa de 4% ao mês (juros simples), R$ 200,00 dobrou de valor ao fim de: a) 18 meses c) 25 meses e) 50 meses b) 24 meses d) 48 meses

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1)

C = R $6.000,00 n = 2 me J = R$2.000,00 i =?

2)

C = R $10.000,00 n = 1 ano = 12meses i = 0,5% a.m.

6)

J = C• i• n 2.000 = 6.000 • i • 2 2.000 = 12.000i 2.000 1 i= Ÿ i = Ÿ i = 0,166 12.000 6 i = 16,6% a.m. J = C• i• n J = 10.000 • 12 • 0,005 J = 600

i = 0,4% a.m J = 0,4C

4)

7)

J = C• i• n 0,4C = C • 0,004 • n n=

C=

0,4 Ÿ n = 100 meses 0,004

C= 13.440 16.512 = 1 + 10i 1 + 18i

240 Ÿ C1 = 20.000 0,012 C2 = 24.000 − C1 C2 = 24.000 − 20.000 Ÿ C2 = 4.000 C1 =

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5,7i = 0,23 0,23 = 0,04 i= 5,7 i = 4% a.m.

J = C• i• n 400 = 200 • 0,04 • n 400 Ÿ n = 50 meses n= 8

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16.512 1 + 18i

1 + 18i 16.512 = 1 + 10i 13.440 1 + 18i 1,23 = 1 + 10i 1 1(1 + 18i ) = 1,23(1 + 10i ) 1 + 18i = 1,23 + 12,3i 18i − 12,3i = 1,23 − 1

0,012C1 = 240

C = 200 n=?

13.440 1 + 10i

M = C (1 + i • n ) 16.512 = C(1 + 18i)

n = 18 meses M = 16.512

C1 + C2 = 24.000 Ÿ C2 = 24.000 − C1 J 1 + J 2 = 480 C1 • i1 • n + C2 • i2 • n = 480

i = 4% a.m. J = 400

J 1 − J 2 = 500

M = C (1 + i • n ) 13.440 = C(1 + 10i)

n = 10meses M = 13.440

C1 • 0,018 • 1 + (24.000 − C1 ) • 0,03 • 1 = 480 0,018C1 + 720 − 0,03C1 = 480 0,018C1 − 0,03C1 = 480 − 720 − 0,012C1 = − 240(− 1)

5)

n = 1 ano

0,08C 0,03C − = 500 Ÿ 0,08C − 0,03C = 1500 Ÿ 0,05C = 1500 3 3 1500 C= Ÿ C = 30.000 0,05

M = 10.600,00 C=?

1 C2 = C 3 i2 = 3% a.a.

2C 0,08C • 0,04 • 1 = J1 = 3 3 1C 0,03C J2 = • 0,03 • 1 = 3 3

M = J +C M = 600 + 10.000

3)

2 C1 = C 3 i1 = 4% a.m. n = 1 ano

C=

82

13.440 13.440 13.440 13.440 = ŸC= ŸC= Ÿ C = 9.600,00 1 + 10i 1 + 10 • 0,04 1 + 0,4 1,4

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8)

M = C (1 + i • n ) 16.320,00 = 15.000,00 (1 + 1• 4)

C = 15.000,00 n = 4 meses M = 16.320,00

16.320,00 = 1 + 4i 15.000,00 1,088 − 1 = 4i

i=?

i1 0,024 = Ÿ i1 = 0,024 • 30 Ÿ i1 = 0,72 Ÿ i1 = 72% a.m. 30 1

0,088 = i Ÿ i = 0,022 Ÿ i = 2,2% a.m. 4 R: A alternativa correta é a 9)

a M = C (1 + i • n)

C = 3.000,00 M =? 0,01 i= 360 n = 200 dias

12)

§ 0,01 · M = 3.000¨1 + • 200 ¸ © 360 ¹ 2 · § M = 3000¨1 + ¸ © 360 ¹ 1 · § M = 3.000¨1 + ¸ © 180 ¹

J 1 = C • 0,05 • 10 = 0,5C J 2 = C • i • 15 J = J2 0,5C = 15 • C • i 0,5 i= Ÿ i = 0,033 ou i = 3,3% a.m.. 15

J 1 = 800 • i • 3 = 2.400i J 2 = 200 • i • 5 = 1000i

a alternativa correta é a

b

13) a alternativa correta é a

e

14) im =

J 1 − J 2 = 700 2.400i - 1000i = 700

C1 • i1 + C2 • I2 C1 + C2

10.000 • 0,2 + 20.000 • 0,1 4.000 4 2 Ÿ im = Ÿ im = Ÿ im = Ÿ 30.000 30.000 30 15 Ÿ im = 0,133 ou im = 13,3% a.m..

im =

1.400i = 700 700 1 i= Ÿ i = Ÿ i = 0,5 Ÿ i = 50% a.m. 1.400 2 11)

i1 i = 2 n1 n2 0,12 i1 0,12 = Ÿ 12i1 = 0,12 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 0,01 Ÿ i1 = 1% a.m. 1 12 12

d)

181 · M = 3.000§¨ ¸ © 180 ¹ M = 3.016,66 10)

i1 i = 2 n1 n2

c)

a alternativa correta é a d

i1 i2 a) n = n 1 2 3,6 i1 3,6 = Ÿ 3i1 = 3,6 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 1,2% a.m. 1 3 3

15) Prazo médio =

2+3+4 = 3 meses. 3

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i1 i2 b) n = n 1 2 12 i1 12 = Ÿ 6i1 = 12 Ÿ i1 = Ÿ i1 = 2% a.m. 1 6 6

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2. Tipos de desconto

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

2.1. Desconto comercial, bancário ou por fora O desconto comercial incide sobre o valor nominal do título, e eqüivale ao juros simples onde o capital inicial corresponde ao valor nominal do título de crédito. dc = N ˜ i ˜ n

11. Desconto Simples Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

dc: Valor do desconto comercial; N: Valor nominal do título; i: taxa de desconto; n: tempo.

Na vida comercial e industrial as relações de compra e venda entre os negociantes ou negociantes e consumidores podem ser a vista ou a prazo.

2.2. Valor Atual Comercial

Quando uma compra é feita a vista, a pessoa que adquire o bem, paga ao vendedor, em dinheiro ou cheque no ato da mesma.

A=N-d A = N - N in

No caso de uma compra a prazo, o comprador assume um compromisso em quitá-lo em uma data futura.

A = N (1- in)

É normal que o credor receba um título de crédito que é o comprovante da sua dívida, caso o mesmo deseje quitar antes da data de vencimento obterá um abatimento que é denominado de desconto.

Exercícios resolvidos

Os títulos de crédito mais conhecidos são: duplicatas; letras de câmbio; nota promissória. Desconto (d): é o abatimento que se faz sobre um título de crédito, quando o mesmo é quitado antes do seu vencimento; Valor Nominal (N): é o valor do título quando quitado no dia do vencimento; Valor Atual (A): é o valor líquido recebido (ou pago) antes do vencimento. Exemplo: Uma pessoa portadora de um título de crédito no valor de R$ 10.000,00 deseja resgatar o mesmo antes de seu vencimento por R$ 8.000,00.

1) Calcular o desconto comercial de um título de crédito no valor R$ 2.000,00 à taxa 6% a.m., sendo resgatado 2 meses e 10 dias antes do vencimento. Solução: dc = ? N = R$ 2.000,00 0,06 i 0,06a.m 0,002a.d 30 n = 2 meses e 10 dias = 70 dias

2) Uma duplicata de R$ 6.000,00, foi resgatada 120 dias antes do seu vencimento, sofreu R$ 300,00 de desconto por fora (comercial). Qual a taxa anual usada na operação?

Valor nominal (N): R$ 10.000,00 Valor atual (A): R$ 8.000,00

N = R$ 6.000,00 1 n= 120 dias = ano. 3 dc = R$ 300,00 i=?

Desconto: (d) = 10.000,00 - 8.000,00 = 2.000,00 Ÿ d = R$ 2.000,00 O exemplo acima mostra as relações envolvidas em uma operação de desconto:

dc = N ˜ i ˜ n 300 = 6000 ˜ i ˜

ou N = A + d

1 3

300 = 2.000 i Ÿ i = i=

d = N – A ou A = N - d

dc = N ˜ in dc = 2.000 . 0,002 ˜ 70 dc = 280

300 2000

3 Ÿ i = 0,15 ou i = 15% a.a. 20

3) Calcular o valor atual de um título de crédito no valor nominal de R$ 1.000,00 que, sofreu um desconto comercial, a uma taxa de 3% a.m., 108 dias antes do vencimento. CopyMarket.com

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A = N (1 - in)

3) (CEF) Uma nota promissĂłria foi resgatada 5 meses antes do vencimento, sofrendo um abatimento de R$ 30.000,00. Se o desconto foi comercial simples, a taxa de 48% a.a., o valor pago foi: a)R$ 180.000,00 d) R$ 135.000,00 b)R$ 175.000,00 e) R$ 120.000,00 c)R$ 150.000,00

0,03 A = 1.000 (1 ˜ 108) 30 A = 1.000 (1 - 0,108) A = 1.000 (0,892) A = 892 4) Os descontos comerciais de 2 tĂ­tulos de crĂŠditos vencĂ­veis em 90 dias, colocados a taxa de 3% a.a., somam R$ 200,00 e o desconto do primeiro excede o da segunda em R$ 50,00. Calcular os valores nominais desses tĂ­tulos. dc1 = N1 ˜ i ˜ n dc1 = N1 ˜ 0,03 ˜ Â&#x; dc1 = N1 ˜ dc2 = N2 ˜ i ˜ n 0,03 1 dc2 = N2 ˜ 0,03 ˜ Â&#x; dc2 = N2 ˜ 4 4 dc1 + dc2 = 200 Â&#x; dc1 = 200 - dc2 dc1 = dc2 + 50 200 - dc2 = dc2 + 50 200 - 50 = 2 dc2 150 Â&#x; dc2 = 75 150 = 2 dc2 Â&#x; dc2 = 2 dc1 = 200 - dc2 dc1 = 200 - 75 Â&#x; dc1 = 125 0,03 dc1 = N1 ˜ 4 0,03 4.125 125 = N1 ˜ Â&#x; 4 ˜ 125 = 0,03 N1 Â&#x; N1 = 4 0,03

4) Um título de crÊdito de R$ 1.200,00 tem valor líquido de R$ 1.000,00 quando descontada por fora 2 meses antes de seu vencimento. Qual Ê a taxa de vencimento? 5) (Banco do Brasil) Uma pessoa deseja obter um emprÊstimo de R$ 30.000,00 no prazo de 120 dias, a 6% a.m., de desconto comercial simples. Qual o valor do título para produzir aquela importância líquida? a)R$ 39.473,68 c) R$ 35.432,20 b)R$ 38.528,12 d) R$ 34.318,20 6) (Receita Federal) simples. Sabendo em dias, Ê: a)120 c)100

O valor atual de uma duplicata ĂŠ 5 vezes o valor de seu desconto comercial que a taxa de desconto adotada ĂŠ de 60% a.a., o vencimento do tĂ­tulo, expresso c) 130 d) 150

e) 140

2.3. Desconto Racional ou Desconto por dentro É o desconto que incide sobre o valor atual de um título de crÊdito. Indicaremos desconto racional por dr. dr

Ar x i x n

1

Valor do Desconto Racional em função do Valor Nominal Ar = N - dr

N1 = 16.666,67

2

Substituindo 2 em 1, teremos: dr = (N - dr) ˜ i ˜ n dr = N ˜ i ˜ n - dr ˜ i ˜ n dr + dr ˜ i ˜ n = N ˜ i ˜ n dr (1 + in) = N ˜ i ˜ n N .i.n dr = 1  i.n

0,03 4 0,03 300 Â&#x; 75 ˜ 4 = N2 ˜ 0,03 Â&#x; 300 = N2 ˜ 0,03 Â&#x; N2 = 75 = N2 ˜ 4 0,03 dc2 = N2 ˜

N2 = 10.000,00

2.4. Valor Atual Racional

Exercícios de fixação

Ar = N - dr

1) Calcule o valor nominal de certa nota promissĂłria que, descontada 2 meses antes do vencimento, Ă  taxa de 1,5% a.m., de desconto comercial simples, deu um valor atual de R$ 2.100,00. 2) Uma nota promissĂłria, com o valor nominal de R$ 10.000,00, foi resgatada 2 meses e 5 dias antes de seu vencimento, utilizando a taxa de 36% a.a. Qual foi o desconto comercial? CopyMarket.com

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N .i.n 1  i.n N (1  i.n)  N .i.n Â&#x; Ar Ar = 1  i.n Ar = N 

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N 1  i.n

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2.5. Relação entre Desconto Comercial e o Desconto Racional dc = N ˜ i ˜ n dc 1  i.n

dr =

dr = Â&#x;

3) quociente entre os descontos comercial e racional Ê de 1,2. Qual serå a taxa de juros se o prazo de antecipação Ê de 4 meses.

N .i.n 1  i.n

d r (1  i.n)

dc

Nin Nin

dc dr

1  i.n

ExercĂ­cios resolvidos

dc dr

1  i.n

1) Um tĂ­tulo de crĂŠdito de valor nominal de R$ 1.600,00 sofre um desconto racional simples a taxa de 1,5% a.m., 75 dias antes do seu vencimento. Calcule o desconto racional e o valor atual.

1,2 1  4i 1,2  1 4i

Solução: N = R$ 1.600,00 i = 1,5% a.m. n = 75 dias = 2,5 meses

0,2

N .i.n dr = 1  i.n 1.600.0,015.2,5 dr 1  0,015.2,5 60 60 dr Â&#x; Â&#x; dr 1  0,0375 1,0375

N 1 i x n 1600 Â&#x; Ar 1  0,015 x 2,5

Ar Ar

57,83

0,5 ou i

5% a.m.

É a taxa que incide sobre o capital inicial. 1600 Â&#x; Ar 1  0,015 x 2,5

1600 Â&#x; Ar 1,0375

3.2. Taxa de desconto simples (id)

1.542,17

É a taxa que incide sobre o valor nominal de um título de crÊdito. A taxa de juros simples e a taxa de desconto comercial são equivalentes, quando o valor atual for igual ao capital e o montante como valor nominal. Ou seja M = N e A = C

?

2 mĂŞs 3 i 1% a.m. 0,01 a.m. d c  d r 60 20 dias

N.i.n 60 N.i.n  1  i.n 2 N.0,01. 23 N.0,01.  3 1  0,01. 23 0,02N  3

0,2 Â&#x;i 4

3.1. Taxa de juro simples (ij)

Solução:

n

1  in N .i.n

3. Taxa de juros simples e taxa de desconto simples

2) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título de crÊdito, Ê de R$ 60,00. O prazo Ê de 20 dias e a taxa de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título.

N

4i Â&#x; i

N .i.n

0,02N 3 1 0,02 3

60

60

0 , 02 N  3

0 , 02 N 3 1  0 , 02 3

60

0 , 02 N  3

0 , 02 N 3 0 , 02 3

60

0 , 02 N 0 , 02 N 3  . 3 3 3 , 02 0 , 02 N 0 , 02 N  60 3 3 , 02 0 , 02 . 3 , 02 N  0 , 02 . 3 N 3 . 3 , 02

0,0604 N - 0,06 N = 543,60 Â&#x; 0,0004 N = 543,60 Â&#x; N =

543,60

A = N ˜ (1 - i ˜ n) Â&#x; C = N (1 - id ˜ n) =

M = C (1 + i ˜ n) Â&#x; N = C (1 + ij ˜ n) Â&#x;

1

N C = 1 + ij ˜ n Â&#x; C N

1 1  i j .n

2

60 Comparando 1 e 2 teremos:

60 . 3 . 3 , 02 3 . 3 , 02

1  id x n

1 Â&#x; id 1 ij x n

ij (taxa de desconto) 1 ij x n

1  id x n

1 Â&#x; ij 1 ij x n

id (taxa de juro) 1  id x n

Â&#x; N = 1.359.000,00

0,0004

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C = 1 - 1d ˜ n N

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ExercĂ­cios resolvidos 90

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1) Calcule a taxa de juro simples (mensal) equivalente a uma taxa de desconto comercial simples de 1% a.d., num prazo de 2 meses? Solução:

12) Um tĂ­tulo de crĂŠdito foi resgatado 60 dias antes de seu vencimento, sendo o valor nominal de R$ 1.800,00. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 200,00, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetivo.

ij = ? id = 1% = 0,01 ˜ a.d. n = 2 meses = 60 dias

13) Uma duplicata foi descontada 3 meses antes do seu vencimento, a taxa de desconto comercial de 6% a.a. Qual a taxa de juro efetiva anual dessa operação?

ij

14) Complete o quadro abaixo:

id 1  id .n

0,01 Â&#x; ij 1  0,01.60 ij = 0,025 ou ij = 2,5% a.d. ij

0,01 Â&#x; ij 1  0,6

0,01 0,4

Taxa de desc. Com. 3% a.m.

a) b) c)

Taxa de juro efetiva 10% a.m. 10% a.d.

2% a.d.

2) Uma instituição financeira cobra uma taxa de juros simples de 6% a.m. para emprÊstimo de 30 dias. Calcule a taxa de desconto comercial simples equivalente?

4. Fluxo de caixa e EquivalĂŞncia de capitais

ij = 6% = 0,06 a.m.

4.1. Fluxo de caixa

n = 30 dias = 1 mĂŞs id = ? ij ij = 1  i j .n 0,06 Â&#x; id id 1  0,06.1

Prazo 10 dias 5 dias

Chamamos de fluxo de caixa a sucessĂŁo de pagamentos ou recebimentos ao longo do tempo. Para uma melhor compreensĂŁo representaremos um diagrama de fluxo de caixa.

0,0566 Â&#x; id

5,66%a.m 0

1

2

3

4

5

perĂ­odos

Por Convenção:

Exercícios de fixação 7) Determine o valor atual racional e comercial de um título de R$ 6.500,00 resgatado 2 meses antes do vencimento a taxa de 2% a.m.

x o eixo horizontal, orientado para a direita indica o perĂ­odo de tempo; x as setas orientadas para cima indicam as saĂ­das de caixa; x as setas orientadas para baixo indicam as entradas de caixa;

8) O desconto comercial aplicado a uma letra de câmbio resgatada 5 meses antes do vencimento à taxa de 1% a.m. foi de R$ 10,00. Qual serå o valor do desconto se fosse racional?

Veja o exemplo de um diagrama de fluxo de caixa:

9) O valor atual racional simples de um tĂ­tulo ĂŠ igual a metade do seu valor nominal. Calcular a taxa de desconto sabendo-se que o pagamento desse tĂ­tulo foi antecipado de 2 meses.

1) Uma pessoa fez uma aplicação de R$ 5.000,00 e recebeu R$ 6.000,00 após 5 meses. 5.000

10) Uma duplicata foi submetida a dois tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 1% a.m., vencível em 90 dias com desconto comercial. No segundo caso, com desconto racional, mantendo as demais condiçþes. Sabe-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 450,00. O valor nominal do título era de:

1

11) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial de uma dívida Ê de R$ 120,00. O valor nominal desse título, a 1% a.m., com antecipação de 1 mês Ê:

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2

3

4

5

meses

6.000

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4.2. EquivalĂŞncia de Capitais Dois ou mais capitais com datas de vencimentos distintas, sĂŁo chamados de equivalentes quando “transportadosâ€? para uma mesma data focal, a uma mesma taxa, produzem valores iguais. Exemplo 1) Verificar se os capitais R$ 384,00, com vencimento para 1 mĂŞs e R$ 600,00 com vencimento para 5 meses, sĂŁo ou nĂŁo equivalentes pelo critĂŠrio do desconto comercial simples a 10% a.m., na data focal 3.

N1 = R$ 1.000,00 n = 1 mĂŞs N2 = R$ 1.200,00 n = 3 meses N=? n = 5 meses i = 6% a.m.

A1 + A2 = A N1 ˜ (1 - in) + N2 ˜ (1 - in) = N (1 - in) 1.000 (1 - 0,06 ˜ 1) + 1.200 (1 - 0,06 ˜ 3) = N (1 - 0,06 ˜ 5) 1.000 ˜ 0,94 + 1.200 ˜ 0,82 = N ˜ (1 - 0,30) 940 + 984 = 0,7 N 1.924 = 0,7 N 1.924 Â&#x; N = 2.748,57 N= 0,7

600 3) Um comerciante possui dois títulos de crÊditos, sendo um no valor R$ 1.000,00 com vencimento para 40 dias e o outro no valor de R$ 1.500,00 com vencimento para 60 dias. Necessitando de dinheiro, decide descontå-las hoje, em um banco que efetua a operação a taxa de desconto comercial de 6% a.m. Qual o valor recebido pelo comerciante pelos dois títulos?

meses 0

1

2

3

4

5 V = A1 + A2

data focal

40 )+ 1.500 (1 - 0,06 ˜ 2) 30 V = 1.000 (1 - 0,08) + 1.500 (1 - 0,12) V = 1.000 ˜ 0,92 + 1.500 ˜ 0,88 V = 920 + 1.320 V = 2.240 V = 1.000 (1 - 0,06 ˜

384 A= N(1-in) A = 600(1-0,1.2) =480 384 384 A N= 1  in 1  0,1.2 0,8

480

ExercĂ­cios Resolvidos 1) Um tĂ­tulo de crĂŠdito de valor nominal de R$ 800,00, com vencimento para 45 dias ĂŠ substituĂ­do por outro para 60 dias. Calcule o valor nominal do novo tĂ­tulo sabendo que a taxa de desconto comercial simples ĂŠ de 3% a.m.

A=A1+a2 x x  800= 1  0,06 1  0,12

Solução: N1 = R$ 800,00 n = 45 dias = 1,5 mês N=? n = 60 dias = 2 meses i = 3% a.m.

4) Uma loja vende um eletrodomÊstico por R$ 800,00. A prazo, pode-se pagar a mercadoria em 2 pagamentos mensais iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto serå cada um desses pagamentos, se foram adotados, na operação o desconto racional a taxa de 6% a.m. e a data focal a do ato da compra?

A1 = A N1 (1 - i ˜ n) = N (1 - i ˜ n) 800 (1 - 0,03 ˜ 1,5) = N (1 - 0,03 ˜ 2) 800 (1 - 0,045) = N (1 - 0,06) 800 ˜ 0,955 = N ˜ 0,94 764 = N ˜ 0,94 764 N= Â&#x; N = 812,77 0,94

x x  1,06 1,12 800.1,06.1,12 = 1,12x + 1,06x 949,76 = 2,18x 949,76 Â&#x; x= 2,18

800 =

x = 435,67 2) Uma pessoa deve dois tĂ­tulos de crĂŠditos: um no valor de R$ 1.000,00 com vencimento para 1 mĂŞs e outro de R$1.200,00 para 3 meses. Entretanto, nĂŁo podendo resgatĂĄ-lo no vencimento, propĂľe ao credor substituĂ­-los por um tĂ­tulo Ăşnico para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial simples ĂŠ de 6% a.m., calcule o valor nominal do tĂ­tulo Ăşnico.

Exercícios de fixação 15) Um título de crÊdito no valor de R$ 800,00, com vencimento para 60 dias Ê substituído por outro com vencimento para 90 dias. Calcule o valor nominal do novo título sabendo que a taxa de desconto comercial simples Ê de 1% a.m.

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16) Uma empresa vende mercadorias por R$ 5.730,00 à vista ou em dois pagamentos iguais, sendo o primeiro para 30 dias e o segundo para 60 dias. Qual o valor das parcelas que a empresa aplica, sendo a taxa de desconto comercial de 3% a.m. 17) Um lojista possui 2 duplicatas: uma de R$ 1.200,00 para 30 dias e a outra de R$ 600,00 para 60 dias. Não podendo resgatå-los no vencimento, propþe ao credor substituí-los por um único título para 5 meses. Sabendo que a taxa de desconto comercial Ê de 1% a.m. Calcular o valor nominal do título único. 18) Uma loja vende uma bicicleta por R$ 800,00 à vista ou 10% de entrada e o restante para 30 dias. Qual serå o valor desse pagamento, se a loja opera, nas vendas à prazo, com taxa racional de 0,5% a.m. 19) Uma papelaria vende R$ 350,00 em mercadorias. O pagamento pode ser a prazo em dois pagamentos mensais e iguais; o primeiro vence em 30 dias. De quanto serå cada um desses pagamentos, se forem adotados, na operação, o critÊrio de desconto racional de 0,5% a.m. e a data focal do ato da compra?

9) Resgatei um título em um banco que me pagou líquido de R$ 6.200,00. O resgate deu-se a 20 dias antes do vencimento, a taxa de 3% a.m. pelo desconto racional. Qual Ê o valor nominal desse título? 10) Uma loja vende um guarda roupa à vista por R$ 3.000,00. A prazo, pode-se pagar em três pagamentos mensais e iguais, o primeiro vence em 30 dias. De quanto serå cada um dos pagamentos, se forem adotados, na operação, o desconto racional de 8% a.m. e como data focal a do ato da compra? RESPOSTAS DOS EXERC�CIOS PROPOSTOS 1.

dc

N xi x n

dc

4.000 x 0,04 x 1 Â&#x; d c

dc

4.000 x 0,04 x 2 Â&#x; d c

320

dc

4.000 x 0,04 x 3 Â&#x; d c

480

soma Â&#x; 960

ExercĂ­cios propostos 1) Uma empresa descontou trĂŞs duplicatas no valor de R$ 4.000,00 cada, com vencimento para 30; 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto cobrada pelo banco ĂŠ de 4% a.m., o valor total do desconto, pelo regime de juros simples, em reais, foi de: 2) Um tĂ­tulo de crĂŠdito no valor nominal de R$ 1.500,00, em 3 meses, tem como desconto comercial R$ 300,00. Determine a sua taxa anual.

R.: O valor total do desconto foi de R$ 960,00

2.

4) (TTN) Utilizando o desconto racional, o valor que devo pagar por um tĂ­tulo com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$ 29.500,00 e desejo ganhar 36% a.a., ĂŠ de: a)R$ 24.000,00 d) R$ 18.800,00 b)R$ 25.000,00 e) R$ 24.190,00 c)R$ 27.500,00

N xixn

dc

300 1.500 x i x 0,25 300

3) Uma nota promissĂłria foi resgatada 2 meses antes de seu vencimento sendo Ă  taxa de 6% a.a. Sabendo-se que o valor atual comercial foi de R$ 800,00, qual seria seu valor nominal?

i

3.

Ac 800

6) A diferença entre os descontos comercial e racional de um título pagåvel em 120 dias, a 1% a.m. Ê igual à R$ 120,00. Determine o valor nominal, desconto comercial e o desconto racional.

800

800

N

7) Complete o quadro abaixo:

4% a.m.

Taxa de juros 60% a.m. 20% a.m.

4.

Prazo 10 dias 30 dias

8) Um negociante tem duas dĂ­vidas a pagar, uma de R$ 3.000,00 com 45 dias de prazo e outra de R$ 8.400,00, pagĂĄvel em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dĂ­vidas por uma Ăşnica, com 30 dias de prazo. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial ĂŠ de 12% a.a., o valor nominal dessa dĂ­vida serĂĄ de: CopyMarket.com

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375i

300 Â&#x; i 0,8 375 i 80% a.a.

5) quociente entre o desconto comercial e o desconto racional Ê de 1,2. Qual serå o prazo de antecipação se a taxa de juros for de 5% a.a.?

Taxa de desc. com. 6% a.m.

160

N 1  i x n

1¡ § N ¨1  0,06 x ¸ 6š Š N 1  0,01

N  0,99 800 Â&#x;N 0,99

808,08

N xixn 1 i x n 29.500 x 0,03 x 6 dr Â&#x; dr 1  0,03 x 6 29.500  4.500 R$25.000 dr

A alternativa correta ĂŠ a

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5.310 Â&#x; dr 1,18

4.500

b

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N xi xn N xi xn 1 i x n 1,2 1  i x n

5.

dc dr

c)

1 i x n

0,2 Â&#x; 1  0,2 x n 0,04 1  0,2n 0,2 0,04  0,008n 0,2 0,008n 0,2  0,04 0,008n 0,16 0,16 n Â&#x; n 20 meses 0,008 . 0,04

1,2 1  0,05n 1,2  1 0,05n 0,2 n

6.

0,05n 0,2 Â&#x;n 0,05

dc  d r

4 anos

120

N xixn 120 1 i x n N x 0,01 x 4 120 N x 0,01 x 4  1  0,01 x 4 0,04 N 120 0,04 N  1,04 1,04 x 0,04 N  0,04 N 120 x 1,04

8.

N xixn 

A1  A2

124,80 Â&#x;N 0,0016

7. a)

dc

N xi xn

dc

78.000 x 0,01 x 4

dr

N xixn 1 i x n

78.000 x 0,01 x 4 3.120 Â&#x; dr Â&#x; dr 1  0,01 x 4 1,04

3.000 1  0,015  8.400(1  0,02)

3.000

3.000 x 0,985  8.400 x 0,98 2.955  8.232

ij b)

9.

id id

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0,06 0,98

N

10.

0,375 Â&#x; id

N

N 1  0,02 1,02 x 6.200

N

6.324

2 3

6.200

ij 0,6 Â&#x; id 1,6

N x 0,99

N x 0,99

N 1 i x n 1  0,03 x

1  ij x n 0,6 Â&#x; id 1  0,6 x 1

Ar

6.200

0,06 Â&#x; ij Â&#x; ij 1 1 0,02  1  0,06 3 0,0612 ou i j 6,12% a.m.

N 1  0,01 x 1

N (1  0,01)

11.187 N 0,99 N 11.300

78.000,00

0,06

ij

N 1  i x n

3.000 1  0,01 x 1,5  8.400 1  0,01 x 2

3.120

id 1  id x n

ij

A

N1 1  i x n  N 2 x 1  in

0,0416 N  0,04 N 124,80 0,0016 N 124,80 N

ij 1  ij x n

id

37,5% a.m.

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x x x   3.000 1  0,08 x 1 1  0,08 x 2 1  0,08 x 3 x x x   3.000 1,08 1,16 1,24 x x 1,16 x 1,24  x x 1,08 x 1,24  x x 1,08 x 1,16 3.000 x 1,08 x 1,16 x 1,24 1,08 x (1,16) x 1,24

1,08 x 1,16 x 1,24

1,4384 x  1,3392 x  1,2528x 4.660,42 4,0304x 4.660,42 4.660,42 x Â&#x; x 1.156,32 4,0304

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0 ,1 b) log 10 = x œ 10x= 0,1 1 10x = 10 10x = 10-1 x = -1

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

c) log

12. Logaritmos

5 1

Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução Os povos antigos indicavam quantidade através de pedrinhas ou faziam marcas em madeira ou osso.

5

1 = x œ ( )x = 5 5 (5-1)x = 51/2 5-x = 51/2 1 -x= 2 1 x=2

Os cálculos aritméticos nessa época eram complicados de se efetuar. Com o desenvolvimento do comércio, das navegações e da astronomia, no fim do século XVI, foi necessário criar novos métodos que tornassem os cálculos mais simples. Os logaritmos surgiram para facilitar os cálculos e graças aos matemáticos Henry Briggs e John Napier que elaboraram as primeiras tábuas de logaritmos. O logaritmo é utilizado em química para verificar se uma solução é ácida, básica ou neutra e em matemática financeira para estudar juros compostos.

2. Definição

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: 1

a)log 12 =

b) log 4 2 =

c) log 5 5 =

d) log 50, 2 =

e) log 1 /216

1 / 100 f) log 10 =

3. Propriedades

Sendo a e b números reais e positivos, com a z 1, chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que se deve dar a base a de modo que a potência obtida seja igual a b.

Log a

(a; b  R, b > 0; 0 < a z 1) b - logaritmando a - base do logaritmo x - logaritmo

= log ba + log ca

Sendo (a; b; c  R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0) log a

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: b) log0,1 =

( a c )

b) Logaritmo do quociente

Exercícios resolvidos a) log 42 =

a) Logaritmo do produto Sendo (a; b; c  R; 0 < a z 1; b > 0 e c > 0)

Log ba = x œ ax = b

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b = log ba - log ca c

c) Logaritmo da potência

c) log 1 /55 =

Sendo (0 < a z 1; b > 0 e D  R)

Solução: a) log 42 = x œ 2x = 4 2x = 22 x=2 CopyMarket.com

Exercícios de fixação

D

log = ba = D .log ba

100

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101


d) Logaritmo da raiz n - ĂŠsima

ExercĂ­cios resolvidos

Sendo (0 < a z 1; b > 0 e n Â? N*)

1) Sendo log2 z 0,3010 e log3 z 0,4771. Calcule o valor de log 62

1/ n

n

log a b = log ba =

1 . log ba n

Solução: log(2.3) log 62 log 2

ExercĂ­cios resolvidos

3 b) log ( ) 2

0,3010  0,4771 # 2,59 0,3010

2) Dados log 3 = y . Calcular log 30 3 Solução:

1) Dados log2 # 0,3010 e log3 # 0,4771. Calcule: a) log6 =

log 2  log 3 log 2

log 30 3

d) log 2 =

c) log4 =

log 30 log 3

log(3.10) log 3

log 3  log10 log 3

y 1 y

Solução: 3) Simplificar:

a) log6 = log (2 Â&#x2DC; 3) = log2 + log3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

(log32 ).(log32 )

3 b) log ( ) = log3 - log2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761 2

Solução:

c) log4 = log2 = 2 Â&#x2DC; log2 = 2 Â&#x2DC; 0,3010 = 0,6020 2

d)log 2 = log 2

1/ 2

log 3 log 2 . log 2 log 3

1 = Â&#x2DC; log2 = 0,5 Â&#x2DC; 0,3010 = 0,1505 2

1 1

b) (log54 ).(log25 )

log 4 log 5 1 . log 5 log 2

Exercícios de fixação 2) Dados log2 # 0,3010; log3 # 0,4771 e log7 # 0,8451

log 2 2  1. log 5 . log 5 log 2 2 log 2  1log 5 . 2 log 2 log 5

Calcule: a) log9 =

b) log5 =

c) log6 =

e) log 6 =

f) log

g) log21 =

2 2

d) log12 =

Exercícios de fixação 3) Sendo log2 = m e log3 = n, calcule:

4. Mudança de base As propriedades operatórias dos logaritmos são vålidas somente para logaritmos que estão na mesma base. No caso de logaritmos de bases diferentes precisamos reduzir esses logaritmos para uma mesma base. log ba = CopyMarket.com

log log

a c a c

onde: b > 0 ; 0< a z 1

;

0<cz1

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a) log 12 2 =

b) log

=

c) log 34 =

d) log 18 4 =

e) log 3 6 =

27 f) log 12 =

4) Simplifique as expressĂľes: a) (log 32 ) Â&#x2DC;(log

102

20 5

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3 2

)=

b) (log 53 ) Â&#x2DC; (log

4 25

) Â&#x2DC; (log 92 ) =

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b) sistema neperiano É o sistema cuja base vale e. O número e é irracional e vale 2,71828... Os logaritmos na base e são denominados de neperianos ou naturais.

5. Função logarítmica Denominamos de função logarítmica a toda função do tipo: f(x) = log ax ou y = log ax (0 < a z 1 e x > 0)

Exemplo: log 7e = ln7

A função logarítmica pode ser classificada em crescente (a > 1) ou decrescente (0 < a z 1). Gráficos

6.1. Característica e Mantissa

y = log 2x x

log 2x

y

2

1 4 1 2

log 24

-2

1

log 22

-1

-1

1

log 12

0

-2

2

log 22

1

4

log 42

2

1

1

Característica de log y 1º. Caso: y t 1 ¼ ½

Quando o y for um número maior ou igual a 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de algarismos que y apresenta na parte inteira e subtraindo uma unidade.

Exercícios resolvidos 1) Determine a característica de: a) log 300

b) log12,85

Solução: y = log x 1 4 1 2

x 12

log

a) log 300 Ⱥ c = 3 - 1 = 2 x 2

y

log12,85 Ⱥ c = 2 - 1 = 1

1

-2

2

1

-1

1

log 24 log 22

1

2

4

2º. Caso: 0 < y < 1

¼ ½

1

log 12

0

-1

2

log

1

4

-2

log

2 2 4 2

2

Quando y é um número compreendido entre 0 e 1, a característica de log y é obtida pela quantidade de zeros que y apresenta antes do primeiro algarismo significativo.

Exercícios resolvidos 1) Determine a característica de:

6. Logaritmos decimais

a)log 0,001

b) log 0,12

Os sistemas de logaritmos são: Solução:

a) sistema decimal É aquele cuja base vale 10.

a) 0,001 têm três zeros antes do primeiro algarismo significativo; então a característica é -3;

Por volta de 1614, o matemático Henry Briggs elaborou a primeira tabela de logaritmos na base 10.

b) 0,12 tem um zero antes do primeiro algarismo significativo, então a característica é -1.

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3) Assinale a alternativa falsa: a) log1 = 0

6.2. Mantissa

x )= logx â&#x20AC;&#x201C; logy y

b) log (

c) log

d) log (x Â&#x2DC; y) = log x + log y

A mantissa ĂŠ encontrada nas tĂĄbuas de logaritmos decimais. Encontramos mantissas dos logaritmos decimais dos nĂşmeros inteiros compreendidos entre 1 e 1.000.

ExercĂ­cios resolvidos

a bD

D . log ba

e) n.r.a.

4) (PUC-RS) Se log2 = x e log3 = y, entĂŁo log375 ĂŠ: a) y + 3x

c) y - x + 3

b) y + 5x

d) y - 3x + 3

e) 3 (x + y)

1) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo: a) log 500

5) O produto: (log 92 ) Â&#x2DC; (log 52 ) Â&#x2DC; (log 35 ) ĂŠ igual a:

b) log 930

Solução:

a)0

a) log500 mantissa: 0,698970

b) 1

c) 10

d) 30

e)

6) SĂŁo dados: log = a e log = b. O valor de log ĂŠ: a b b a) b) c) 1 a  b 1 a  b 1 a  b

b) log930 mantissa: 0,968483

1 2

d)

a 1 a  b

e)

b 2a

7) Determine a caracterĂ­stica de:

Exercícios de fixação 5) Determine a característica de cada logaritmo a seguir:

1 10

a) log 100

c) log 231,6

e) log

b) log 0,001

d) log 5

f) log 32

1 2

a) log 2,61

c) log

b) log 0,012

d) log 20

e) log

12 5

f) log 2,168

8) Obtenha a mantissa dos logaritmos abaixo, consultando a tĂĄbua de logaritmos:

ExercĂ­cios propostos

a) log13

c) log 0,2

b) log201

d) log 2,16

e) log25

1) Calcular pela definição os logaritmos abaixo: o ,1 = a) log 10

1

c) log 10, 225 =

b) log 3 3

d)log 8 2 =

e) log 182 =

2) (Fuvest) O valor da expressĂŁo:

 (2) 2  3  27 ĂŠ: (3  5)0  log 42

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a) â&#x20AC;&#x201C;7

b) â&#x20AC;&#x201C;1

c) 1

d)2

e) 7

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 2

-3x

1) a) log 0,1 = x œ 10x = 0,1 10

10x

2)

1

=

-4 + 3

=

10 10x = 10-1

3) C

b) log —3 = x œ 3x = — 3 3x = 31/2

4) log2 = x; log3 = y

1

x=

2

log375 = log (3 ˜ 53) = log3 + log53 = log3 + 3 log5 =

1/25

c) log 0,2

= log 1/25 = log

1/25

x œ

x

x

5

log3 + 3˜

25

5

log5

˜

log9

—2

= x œ (—2 )x = 8

1/8

( )

x

=

15

x

=

2

2

1/2

log 9

˜3

2

2

= 2

=

log 15

2

log

9 15

=

log 15

= 1 2

log

32

2

=

15

log 15 2 ˜ log

3 15

= b 2a

1/2

a alternativa correta é a CopyMarket.com

log2 ˜ log5 ˜ log3 log2 log5

2.log3

15 2

( ) -3x

=

6) log 3 = a e log 2 = b

—2

8

1

=

log5

a alternativa correta é a e

x = 6

1

log2

log3

log32

1 x = 3

œ

˜

log2 ˜ log5 ˜ log3 log2 log5

(21/2)x = 23

2

e) log —2 = x

3

5) (log 9 ) ˜ (log 2 ) ˜ (log 5 ) = log2

8

5

2

(1)

x=2

d) log

= log3 + 3 ˜ (log10 - log2) =

2

a alternativa correta é a d

2

=

( 10 )]

[

log3 + 3 (1 - log2) = log3 + 3 - 3 log2 = y - 3x + 3

1

(1) 5

( 1)

1/25 1/5

2/10

log 1/5

1

=

-1

1 6

a alternativa é a C

x = -1

3

-1

=

1 -2

x= 

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e

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7)

Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

a) log2,61 o c = 0

13. Juros Compostos Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

b) log0,012 o c = -2

1. Introdução

c) log0,5 o c = -1

No regime de capitalização composta os juros de cada período são calculados da seguinte maneira:

d) log20 o c = 1

C = M0 e) log 12

=

log2,4 o c = 0

M1 = M 0 + J 1 1 J1 = M0.i

5 f) log2,168 o c = 0

M2 = M1 + J 2 2 J2 = M1.i

M3 = M2 + J3 ... 3 J3 = M2.i...

Calculando os montantes a partir da época zero e substituindo o resultado obtido, numa época, tem-se no montante seguinte: 8)

M0 = C M1 = M0 + M0 ˜ i = M0 (1 + i) = C (1 + i) M2 = M1 + M1 ˜ i = M1 (1 + i) = C (1 + i) ˜ (1 + i) = C (1 + i)2 M3 = M2 + M2 ˜ i = M2 (1 + i) = C (1 + i)2 ˜ (1 + i) = C (1 + i)3

a) log13 mantissa: 0,1139

Podemos escrever para a época n: b) log201

Montante no final de n períodos:

M = C (1 + i)n

mantissa: 0,3032

Os juros obtidos no final de n períodos serão dados por:

c) log 0,2

J=M-C J = C (1 + i)n - C J = C [(1 + i)n - 1]

mantissa: 0,30103

d) log 2,16 mantissa: 0,33445

Exercícios resolvidos 1) Um capital de R$ 2.000,00, foi aplicado a uma taxa de 2% a.m. durante 8 meses. Calcular o montante.

e) log25 mantissa: 0,3979

1º. Processo (com o uso da tabela) M = C (1 + i)n C = R$ 2.000,00 i = 2% a.m. = 0,02 a.m. M = 2.000 (1 + 0,02)8 n = 8 meses CopyMarket.com

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M = 2.000 (1,02)8 M = 2.000 ˜ 1,17 M = 2.343,32 2º. Processo: com uso de logaritmos. M=?

2º processo : ( com o uso de logarítimos) M= C.(1+i)n 4500 = 2000 (1+i)3 log 4500 = log [ 2000. (1+i)3]

n

M = C (1 + i) M = 2.000 ˜ (1 + 0,02)8 M = 2.000 ˜ (1,02)8 log M = log [2.000 ˜ (1,02)8] log M = log 2.000 + log (1,02)8 log M = log 2.000 + 8 ˜ log 1,02 log M = 3,3010 + 8 ˜ 0,0086 log M = 3,3010 + 0,0688 log M = 3,3698 Ÿ M = 10 3,3698= 2.343,15

log 4500 = log 2000 + log (1+i)3 log 4500 – log 2000 = log (1+i)3 log

2,25 = (1 + i)3 — 2,25 =

i=?

3

1 + i = 2,25 0,333... 1 + i = 1,31 i = 1,31 - 1 i = 0,31 a.m.

ou

i = 31% a.m.

4) Calcular os juros compostos de um capital de R$6.000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.

3) Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado a juros compostos durante 3 meses, obtendo-se o montante de R$ 4.500,00. Calcule a taxa mensal de aplicação. M = R$ 4.500,00

— (1 + i)3

3

Solução: com uso de logaritmos: n=? M = C (1 + i)n C = R$ 3.000,00 i = 3% a.m. = 0,03 a.m. 6.000 = 3.000 (1 + 0,03)n log6= log [3 ˜ (1,03)n] M = R$ 6.000,00 log6 = log3 + log (1,03)n log6 - log3 = n ˜ log (1,03) log 6  log 3 n log 1,03 0,77815  0,47712 n 23,5meses 0,0128

n = 3 meses

= log (1+i)3

log 2,25 = log (1 + i)3

2) Durante quanto tempo se deve aplicar um capital de R$ 3.000,00 a uma taxa de 3% a.m., para produzir um montante de R$ 6.000,00.

Solução: C = R$ 2.000,00

4500 2000

1,31 = 1+i i = 1,31-1 i = 0,31 a. m. i = 31% a. m.

Solução: J=? C = R$ 6.000,00 n = 5 meses 0,06 0,005a.m. i = 6%a.a.= 12 n J = C [(1 + i) - 1] J = 6.000 [(1 + 0,005)5 - 1] J = 6.000 [(1,005)5 - 1] J = 6.000 [1,025 - 1] J = 6.000 ˜ 0,025 J = 151,50

n

M = C (1+ i)

4.500 = 2.000 ˜ (1 + i)3 4500 = (1 + i)3 2000

Exercícios de fixação 1) João colocou R$ 10.000,00 em um banco, a juros compostos de 8% a.a., capitalizados anualmente. Ao final de 2 anos obteve juros no valor de:

2,25 = (1 + i)3 —2,25 = 3— (1+i)3

3

2,25

1 3

2) Para um capital de R$ 200,00. Calcule o montante em cada caso: a) n = 15 meses e i = 24% a.a. b) n = 18 meses e i = 72% a.a.

=1+i

3) Para um capital de R$ 1.000,00. Calcule a taxa i em cada caso: a) J = R$ 200,00 e n = 2 anos. b) J = R$ 105,00 e n = 3 meses. CopyMarket.com

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4) Maria aplicou seu capital durante 3 anos, a taxa nominal de 12% a.a., no regime de juros simples. Caso houvesse aplicado a juros compostos, à mesma taxa, com capitalização semestral, teria recebido R$ 2.633,36 a mais. Quanto recebeu de juros?

iM: taxa mensal de juros compostos; it: taxa trimestral de juros compostos; is: taxa semestral de juros compostos; iA: taxa anual de juros compostos.

5) Qual o capital que, aplicado a juros compostos durante 3 meses, com capitalização anual, a taxa de 5% a.a. produziu um montante de R$ 322.102,00?

ExercĂ­cios resolvidos

6) Para um capital de R$ 3.000,00. Calcule n em cada caso: a) J = R$ 918,00 e i = 8,5% a.m. b) J = R$ 1.106,60 e i = 6,8% a.m.

1) Qual a taxa semestral equivalente a 6% a.a.?

7) Uma geladeira custa R$ 720,00 à vista e pode ser paga em duas prestaçþes mensais iguais, sendo paga a primeira prestação no ato da compra. Se os juros (compostos) são de 25% a.m., o valor de cada prestação Ê de:

1,06

8) Um capital de R$ 3.000,00 esteve aplicado a taxa mensal de 2% a.m. num regime de capitalização composta. Após um período de 5 meses, os juros dessa aplicação serão de:

(1  i s ) 2

1 + is = 1,0295 is = 1,0295 - 1 is = 0,0295 ou is = 2,95% a.s.

9) Um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos, na base de 10% a.a. Seu montante final ĂŠ: a) 30% superior ao capital inicial; b) 130% do valor do capital inicial; c) aproximadamente 150% do capital inicial; d) aproximadamente 133% do capital inicial.

2) Qual a taxa anual equivalente a 4% a.m.?

10) Uma televisão foi adquirida atravÊs de um plano sem entrada em três prestaçþes mensais e iguais e consecutivas de R$ 120,00 cada uma, sendo a primeira a trinta dias da data da celebração do contrato. Admitindo-se uma taxa de 5% a.m., e capitalização composta, o valor desse bem na data do contrato Ê:

(1 + iA) = (1 + iM)12 1 + iA = (1 + 0,04)12 iA = (1,04)12 - 1

iA = 1,60103-1 iA = 0,60103 ou iA = 60,10% a.a.

3. Taxa Nominal e Efetiva

2. Taxas equivalentes Duas ou mais taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, em um mesmo período de tempo, produzem montantes iguais. Exemplo Calcular o montante produzido por um capital de R$ 1.000,00 durante 1 ano, nas seguintes condiçþes: a) 1% a.m.

(1 + iA) = (1 + is)2 1 + 0,06 = (1 + is)2

3.1. Taxa Nominal

Ă&#x2030; a taxa em que o perĂ­odo de capitalização ĂŠ diferente do perĂ­odo a que se refere a taxa. Exemplos x 10% a.a. capitalizados trimestralmente; x 15% a.a. capitalizados mensalmente;

b) 13% a.a.

a) M1 = C . (1+i)n => M1 = 1.000 (1+0,01)12 => M1 = 1.000 . (1,01)12 => M1 =1.000 . 1,13 => M1 = 1.130 b) M2 = C (1+i )n => M2 = 1.000 (1+0,13)1 => M2 = 1.000 . 1,13 => M2 = 1.130 As taxas são equivalentes pois produziram o mesmo montante ao final do período de aplicação.

3.2. Cålculo da taxa efetiva i: taxa efetiva no período inteiro; sendo iK: taxa nominal correspondente a i; K: número de capitalizaçþes no período;

(1 + id)360 = (1 + is)2 = (1 + it)4 = (1 + iM)12 = (1 + iA)1

i

ik k

id: taxa diĂĄria de juros compostos; CopyMarket.com

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3) O capital de R$ 10.000,00, colocado a juros compostos, capitalizados mensalmente, durante 3 meses, elevou-se no final desse prazo para R$ 15.000,00. Calcule a respectiva taxa de juros.

ExercĂ­cios resolvidos 1) Qual a taxa efetiva relativa Ă  taxa nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente?

4) Certo capital foi colocado a juros compostos de 12% a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos. Sabendo que rendeu R$ 2.600,00 de juros, qual o montante obtido?

ik 0,06 0,005 k 12 i = 0,5% a.m. i

5) Um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 8% a.a., com capitalização trimestral, durante 1 ano e meio. Calcule os juros obtidos.

2) Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 12% a.a., com capitalização mensal? ik 0,12 0,01 k 12 i = 1% a.m. (1 + iM)12 = (1 + iA) (1 + 0,01)12 = 1 + iA i

6) Um capital C foi aplicado, a juros compostos, a uma taxa i dada para um certo perĂ­odo. O montante no fim de n perĂ­odos ĂŠ M. O capital C pode ser determinado pela seguinte expressĂŁo: M M b) M Â&#x2DC; (1 + i)n c) d) e) n.r.a. a) M Â&#x2DC; (1 - i)n (1  i ) n 1  i) n 7) Uma pessoa precisa de R$ 6.000,00 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro com as seguintes taxas de juros: x 2% compostos trimestralmente; x 2% compostos bimestralmente; x 2% ao mĂŞs a juros simples.

iA = (1,01)12 - 1 iA = 1,13 - 1 iA = 0,13 ou iA = 13% a.a.

Qual Ê a melhor opção?

Exercícios de fixação 11) Se uma caderneta de poupança, em regime de capitalização composta, apresentou um rendimento de 12% num mês e 15% no mês seguinte, o rendimento total desse bimestre foi de:

8) Calcular a taxa anual de juros compostos, equivalente, a:

12) Ache a taxa efetiva de juros anuais equivalente as seguintes taxas efetivas: a) 2% a.s. b) 3% a.m.

9) Calcular a taxa nominal e a efetiva anual correspondentes a 1,5% a.m.

a)10% a.s.

b) 5% a.t.

13) Qual a taxa bimestral equivalente aos juros compostos de 10% a.a.?

RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS

14) Qual a taxa anual equivalente aos juros compostos a 2% a.s.? 15) Um capital de R$ 1.000,00 vai ser aplicado a taxa de juros compostos de 2% a.t. ou 10% a.a. Qual aplicação renderå mais? 16) Uma instituição financeira realiza um emprÊstimo a um cliente, sendo a taxa de juros compostos de 12% a.a., com capitalização mensal. Pergunta-se: a) Qual a taxa efetiva mensal a ser paga pelo cliente? b) Qual a taxa efetiva anual a ser paga pelo cliente?

Exercícios propostos 1) A aplicação de R$ 5.000,00 a taxa de juros compostos de 20% a.m. irå gerar, após 4 meses, o montante de: a) R$ 10.358,00 c) R$ 10.378,00 e) n.r.a. b) R$ 10.368,00 d) R$ 10.388,00 2) Considerando um depósito de R$ 5.000,00 em um banco que lhe pague juros compostos de 6% a.a., calcule os juros e o montante após decorrido o prazo de 1 ano.

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1) C = R$ 5.000,00 M = ? i = 20% a.m. = 0,2 a.m. n = 4 meses

M M M M M

= = = = =

C (1 + i)n 5000 (1 + 0,2)4 5000 Â&#x2DC; (1,2)4 5000 Â&#x2DC; 2,07 10.368,00

a alternativa correta ĂŠ a b 2) C = R$ 5.000,00 i = 6% a.a. J = ? M = ? n = 1 ano

M = C (1 + i)n M = 5000 (1 + 0,06)1 M = 5000 Â&#x2DC; 1,06 M = 5300 J = C Â&#x2DC; [(1 + i)n - 1] J = 5000 [(1 + 0,06)1 - 1] J = 5000 [1,06 - 1] J = 5000 Â&#x2DC; 0,06 J = 300,00

3) C = R$ 10.000,00 n = 3 meses

M = C (1 + i)n 15000 = 10.000 Â&#x2DC; (1 + i)3

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M = R$ 15.000,00 i = ?

log15 = log [10 Â&#x2DC; (1 + i)3] log15 = log10 + log (1 + i)3 log15 - log10 = log (1 + i)3 log15 log (1 + i)3 = 10 log1,5 = log (1 + i)3 1,5 = (1 + i)3 3

1,5

3

1  i

R.: A melhor opção Ê 2% ao mês a juros simples. 8) a)

3

1 + i = (1,5)0,333...

1 + i = 1,14 i = 1,14 - 1 i = 0,14 i = 14% a.m. 4) i

12 2

= 6% a.s. = C [(1 + i)n - 1]

n = 4 sem. J = R$ 2.600,00 C=?

5) C = R$ 1.000, 00

i n

8 4

= 2% a.t.

18 3

6 trimestre

C

2600 = C [(1 + 0,06)4 - 1] 2600 = C [(1,06)4 - 1] 2600 = C [1,26 - 1] 2600 = C Â&#x2DC; 0,26

(1 + is)2 = 1 + iA (1 + 0,1)2 = 1 + iA (1,1)2 = 1 + iA 1,21 = 1 + iA 1,21 - 1 = iA i = 0,21 i = 21% a.a.

b) (1 + it)4 = 1 + iA (1 + 0,05)4 = 1 + iA (1,05)4 = 1 + iA 1,22 = 1 + iA 1,22 -1 = iA iA = 0,22 iA = 22% a.a.

9) taxa nominal: 1,5 x 12 = 18% a.a. (1 + iA) = (1 + im)12 (1 + iA) = (1 + 0,015)12 (1 + iA) = (1,015)12 1 + iA = 1,20 iA = 1,20 - 1 iA = 0,20 iA = 20% a.a.

2600 0,26 M = J + C Â&#x; C = 10.000 M = 2.600 + 10.000 M = 12.600

J = C [(1 + i)n - 1] J = 1000 [(1 + 0,02)6 - 1] J = 1000 [(1,02)6 - 1] J = 1000 [1,13 - 1] J = 1000 Â&#x2DC; 0,13 J = 130

6) d 7) a)

i = 2% a.t. n = 8 trimestres C = R$ 6.000,00 J=?

b) i = 2% a.b. n = 12 bim C = R$ 6.000,00 J=?

J = C [(1 + i)n - 1] J = 6000 [(1 + 0,02)8 - 1] J = 6000 Â&#x2DC; [(1,02)8 - 1] J = 6000 Â&#x2DC; [1,17 - 1] J = 6000 Â&#x2DC; 0,17 J = 1.020 J = C Â&#x2DC; [(1 + i)n - 1] J = 6000 [(1 + 0,02)12 - 1] J = 6000 [1,27 - 1] J = 6000 Â&#x2DC; 0,27 J = 1.620

c) J = C Â&#x2DC; i Â&#x2DC; n J = 6000 Â&#x2DC; 0,02 Â&#x2DC; 24 J = 2.880,00 CopyMarket.com

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Solução: A ? N R$1,200,00 n 2meses i 1,5%a.m

TĂ­tulo: MatemĂĄtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

A A

14. Desconto Composto Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução A idÊia de desconto em juros compostos Ê igual ao regime de juros simples: corresponde ao abatimento que uma pessoa física ou jurídica ganha ao quitar um título de crÊdito antes de seu vencimento. Desconto Ê a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

2) Determinar o desconto racional composto de um título de R$ 6.000,00 vencível em 2 anos, a taxa de 2% a.a. Solução: N R$6.000,00 dr n 2 anos i 2%a.a. dr

dr

N (1  i ) n 6.000 6.000  (1  0,02) 2 6.000 6.000  1,0404 6.000  5.767,01

dr

232,99

Em desconto composto temos dois tipos: o racional e o comercial.

dr

Como o desconto comercial composto ĂŠ pouco utilizado no sistema Financeiro Brasileiro, ficaremos limitados ao estudo do desconto racional composto.

2. Desconto Racional Composto Ă&#x2030; o desconto obtido pela diferença entre o valor nominal e o valor atual, quando uma dĂ­vida ĂŠ quitada antes de seu vencimento.

Como se trata de desconto racional, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.

3) desconto racional composto de um título de crÊdito no valor nominal de R$ 1.200,00 foi de R$ 200,00. Sabendo que a taxa de desconto foi de 1,5% a.m., qual foi o prazo de antecipação do pagamento?

N

R$1.200,00

dr

R$200,00

i 1,5%a.m

M = C (1 + i)n fazendo M = N e C = A, teremos: N N A(1  i ) n ou Ar (1  i ) n dr N  A

>

n

?

@

N N 1  (1  i )  n (1  i ) n Simbologia utilizada em desconto composto: N: Valor nominal; Ar: Valor atual racional; i; Taxa de desconto composto. N

dr n 

1200 (1  0,015) n 1200 200 1200  (1,015) n 1200  1000  (1,015) n 200 1200 

(1,015)

n

(1,015) n

12

12 10 1,2

log(1,015) n  log 1,2 n log(1,015) log 1,2 n

1) Calcule o valor atual de um tĂ­tulo de crĂŠdito de R$ 1.200,00 quitado 2 meses antes de seu vencimento, a taxa de desconto composto de 1,5% a.m. MatemĂĄtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

N (1  i ) n

10.(1,015) n

ExercĂ­cios resolvidos

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N

Solução:

dr = N - A

dr

N (1  i ) n 1.200 (1  0,015) 2 1.200 1.200 Â&#x; Â&#x; A 1.165,05 1,03 (1,015) 2

A

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log 1,2 log 1,015

0,0792 0,0065

12,18 meses

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4) Um tĂ­tulo de crĂŠdito no valor de R$ 800,00 com vencimento para 4 meses, ĂŠ substituĂ­do por outro com vencimento para 2 meses. Sabendo-se que a taxa de juros ĂŠ de 2% a.m., qual ĂŠ o valor nominal do novo tĂ­tulo?

6) Um título de crÊdito no valor de R$ 1.800,00 foi resgatado antes do seu vencimento por R$ 1.200,00. Calcular o tempo de antecipação do resgate, sabendo-se que a taxa do desconto foi de 2% a.a., capitalizados anualmente.

Solução:

7) Uma pessoa, jurĂ­dica que deve um tĂ­tulo de crĂŠdito de R$ 6.000,00 com vencimento para 2 meses, deseja substituĂ­-lo por outro com vencimento para 4 meses. Supondo uma taxa de desconto composto de 1,5% a.m., calcule o valor nominal do novo tĂ­tulo.

N

R$800,00

N' ?

4 meses

n

2 meses

i 2% a.m.

i

2% a.m.

n

A

8) Uma loja tem 2 títulos de crÊdito de valores nominais iguais a um de R$ 1.000,00 e R$ 1.200,00 com vencimentos para 1 mês e 2 meses respectivamente. Sabendo que o dono da loja não possui dinheiro, propþe a substituição desses dois títulos por um só, dentro de 3 meses, e a taxa de desconto composto de 2% a.m.. Qual Ê o valor nominal desse novo título?

A'

800 N' (1  0,02) 4 (1  0,02) 2 800 N' (1,02) 4 (1  0,02) 2 800 N' (1,02) 4 (1,02) 2 800 N' 1,0824 1,0404 1,0824 N ' 1,0404 Â&#x2DC; 800 832,32 N' Â&#x; N ' 768,96 1,0824

Exercícios propostos 1) Desejo descontar um título de crÊdito de R$ 2.000,00 resgatado 2 meses antes de seu vencimento. Qual o valor atual do mesmo, descontado a uma taxa de 10% a.a.? 2) Qual serå o desconto composto que um credor då pelo dÊbito de R$ 1.600,00 com a antecipação de 1 ano, a taxa de 1,5% a.m.? 3) valor atual de um título Ê de R$ 1.300,00 e a taxa de desconto composto Ê de 2,5% a.a., com a antecipação de 6 meses. Qual Ê o valor nominal do mesmo? 4) Uma loja resgata um título no valor de R$ 3.000,00 pelo valor atual de R$ 2.400,00. Como o tempo de antecipação foi de 7 meses, qual Ê a taxa de desconto?

Exercícios de fixação 1) Um título de crÊdito de valor nominal igual a R$ 1.500,00 Ê quitado 2 meses antes do vencimento, a taxa de desconto racional composto de 1% a.m. Calcule o valor atual do título. 2) Calcule o desconto composto de um título de crÊdito de R$ 2.000,00 que foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, a taxa de 1,5% a.m.? 3) Complete o quadro abaixo. Valor nominal (R$) 500,00 400,00 800,00

Taxa (% a.m.) 1 10 3 0,5

PerĂ­odo (meses) 2 1

desconto composto (R$)

5) Um título de crÊdito de R$ 1.800,00 com vencimento para 1 ano serå substituído por outro para 2 anos. Calcular o valor nominal do novo título, empregando a taxa de 2% a.a. com capitalizaçþes semestrais. 6) Uma moto estå sendo vendida com uma entrada de R$ 1.600,00 mais uma prestação de R$ 250,00

para 30 dias e outra de R$ 300,00 para 60 dias. Encontre o valor da moto, considerando a taxa de juros de 2,5% a.m. 6) (Receita Federal) Um equipamento que custa, a vista R$ 1.400.000,00 estå sendo vendido com financiamento, nas seguintes condiçþes: entrada igual a 30% do preço a vista e o saldo em duas parcelas iguais, a taxa de juro compostos de 7% a.m. Se a primeira parcela deverå ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverå ser de:

600,00 40,00 200,00

4) Uma loja de tecidos resolve quitar um título de R$ 2.000,00 com a antecipação de 2 anos. A firma credora do título propþe um pagamento de R$ 1.650,00 pela mesma. Qual a taxa de desconto composto? 5) Recebi R$ 300,00 de desconto composto pela antecipação de 1 ano, de um título de crÊdito no valor de R$ 1.800,00. Qual foi a taxa de desconto? CopyMarket.com

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RESPOSTAS DOS EXERCĂ?CIOS PROPOSTOS 1) N = R$ 2.000,00

N (1  i ) n

A=

n = 2 meses = ano 1 A= ?

A

6

A 2) dr = ?

n = 1 ano = 12 meses i = 1,5% a.m.

dr

N

1%a.s.

N N' (1  i ) n (1  i ) n ' 1800 N (1  0,01) 2 (1  0,01) 4 1800 N' (1  0,1) 2 (1,01) 4 1,04.1800 1800 N ' Â&#x; N' 1.835,29 1,02 1,02 1,04

i = 1% a.s. A = Aâ&#x20AC;&#x2122;

dr dr

266,67

1.600 

6)

250 300  (1  0,025)1 (1  0,025) 2 250 300 x 1600   1,025 (1,025) 2 300 x 1600  243,90  1,05 x 1600  243,90  285,71 Â&#x; x 2.129,61 x 1600 

A = R$ 2.400,00 n = 7 meses

n = 6 meses = 0,5 ano

i=?

N A (1  i) n N 1300 1  i) n N 1300 (1,025)0,5 N 1300 1,01 1300 1.01.1300

2 2

2000 Â&#x; A 1969,78 1,02

i = 2,5% a.a.

N=?

i

Nâ&#x20AC;&#x2122; = n = 4 sem.

N (1  i ) n

1.600 (1  0,015)12 1.600 1600  1,20 1600  133,33

dr dr

3) A = R$ 1.300,00

n = 2 sem.

2000 1 (1  0,1) 6 2000 1,1 ,.17

i = 10% a.a.

N = R$ 1.600,00

5) N = R$ 1.800,00

N (1  i ) n 3000 240 (1  i ) 7 A

240  (1  i ) 7 3000 3000 (1  i ) 7 2400 7

(1  i ) 7

1  i 1,25

7 1

1,25

7

1  i 1,250,14 1  i 1,03 i 1,03  1 i 0,03 i 3% a.m.

7)

x x  (1  0,07)1 (1  0,07) 2 x x 1.400.000  420.000  1,07 (1,07) 2 1,07 x  1x 980.000 (1,07) 2 1.400.000

420.000 

980.000 . (1,07) 2 2,07 x 1,14.980.000 2,07 x 1.117.200.000 2,07 x 1.117.200.000 x Â&#x; 2.07

N 1316,15

x = 539.710,14

4) N = R$ 3.000,00

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TĂ­tulo: MatemĂĄtica Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

0

1

2

3.........n-1

n

Considere o problema abaixo:

15. Capitalização e Amortização Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

1. Introdução

Uma pessoa deposita em um banco, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 200,00. Determine o montante da renda, sabendo que essa instituição financeira paga juros compostos de 1% a.m. capitalizados mensalmente. Calculando o montante teremos:

Quando queremos constituir um capital, para aquisição de um bem qualquer, devemos depositar periodicamente uma quantia fixa, em uma instituição financeira. Este exemplo Ê de capitalização.

M = 200 + 200 (1 + 0,01) + 200 (1 + 0,01)2 + 200 (1 + 0,01)3 + 200 (1 + 0,01)4 M = 200 + [1 + (1 + 0,01) + (1 + 0,01)2 + (1 + 0,01)3 + (1 + 0,01)4]

Por amortização entendemos a ação de pagar uma dívida, em Êpocas distintas. A sucessão de pagamentos para constituir um capital ou para amortizar uma divida Ê denominada de renda. As rendas podem ser classificadas da seguinte forma:

A soma dos termos entre colchetes ĂŠ uma PG onde: a1 = 1 q = (1 + 0,01) e an = (1 +0,01)4 Calculando a soma teremos: Sn

a) quanto ao prazo: As rendas sĂŁo denominadas temporĂĄrias quando o nĂşmero de termos ou parcelas ĂŠ finito e perpĂŠtuas quando o nĂşmero de termos ĂŠ infinito. b) quanto a periodicidade: As rendas sĂŁo denominadas periĂłdicas quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos sĂŁo iguais e nĂŁo periĂłdicas quando esses intervalos sĂŁo diferentes. c) quanto ao valor dos termos:

a1 .(q n  1) q 1

>

@

1. (1 0,01) 5  1 (1,01) 5  1 Â&#x; Sn Â&#x; Sn (1  0,01)  1 1,01 Calculando o montante: Sn

1,05  1 Â&#x; Sn 0,01

0,05 Â&#x; Sn 0,01

5

M = C Â&#x2DC; Sn M = 200 Â&#x2DC; 5 M = 1.000 2.1.1. FĂłrmula do montante de uma renda imediata

As rendas sĂŁo consideradas constantes quando todos os pagamentos sĂŁo iguais. Em caso contrĂĄrio, ou seja, quando os pagamentos sĂŁo diferentes entre si, sĂŁo chamadas de rendas variĂĄveis.

O montante M de uma renda certa ĂŠ a soma dos montantes compostos de diversos pagamentos. Mn = C + C (1 + i)1 + C (1 + i)2 + ............+ C (1+ i)n

2. Capitalização composta

Mn = C [1 + (1+ i) 2 + (1+ i)3 + ...............+ (1 + i)n]

2.1. Rendas imediatas

A soma dos termos acima formam uma PG, onde:

As rendas imediatas estĂŁo classificadas em antecipadas e postecipadas. Uma renda ĂŠ imediata postecipada quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem no final de cada perĂ­odo. Um fluxo de caixa seria: T1 CopyMarket.com

T2

T3

Tn-1

Tn

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a1 = 1 e q = 1 + i e an = (1 + i)n

Sn

a1 (q n  1) q 1

Sn

1. (1  i ) n  1 Â&#x; Sn 1 i 1

>

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@

(1  i ) n  1 i

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O montante serĂĄ calculado pela fĂłrmula: ÂŞ (1  i ) n  1Âş M C.ÂŤ Âť i Âź ÂŹ

3) Calcule a taxa em que uma pessoa efetuando depósitos mensais no valor de R$ 100,00 forma o montante de R$ 530,91, ao fazer o quinto depósito. Solução: C = R$ 100,00 Mn = R$ 530,91 n = 5 meses i=?

(1  i ) n  1 fator de acumulação de capital de uma sÊrie de pagamentos. Indicamos i 1 por S n i

Mn = C.S n i 530,91 = 100 S 5 S

Portanto a fĂłrmula do montante vai ficar: M=CÂ&#x2DC;S n

= 5

i

5

i

S

i

i

530,91 100

=5,3091

ExercĂ­cios resolvidos 1) Uma pessoa deposita R$ 600,00 mensalmente. Sabendo-se que esse capital foi aplicado a uma taxa de 1% a.m., quanto possuirĂĄ no final de um ano e meio?

Consultando a tabela financeira, para n = 5, S

Solução: C = R$ 600,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 18 meses

4) Quantas prestaçþes mensais imediatas de R$ 150,00 devem ser colocadas a taxa de 1% a.m., a fim de se formar um montante de R$ 922,80?

Mn = C Â&#x2DC; S n i Mn = 600 Â&#x2DC; S 18

Solução: C = R$ 150,00 n=? i = 1% a.m. Mn = R$ 922,80

0,01

Mn = 600 Â&#x2DC; 19,6147 Mn = 11.768,82

Mn = C Â&#x2DC; S n i 922,80 = 150 Â&#x2DC; S S

2) Qual a importância que uma pessoa deve depositar em um banco, no final de cada semestre, a taxa de 5% a.s., capitalizados semestralmente, de tal modo que ao fazer o sexto depósito forme o capital de R$ 2.000,00?

= 5,3091, teremos i = 3% a.m. 5 i

=

n i 922,80 150

n 0,01 S

= 6,1520 n 0,01

Solução: C=? i = 5% a.s. = 0,05 a.s. Mn = R$ 2.000,00

Mn = C Â&#x2DC; S n i

Consultando a tabela financeira para S

= 6,1520 e i = 1% a.m. teremos: n i

2000 = C Â&#x2DC; S 6

0,05 6,1520

2.000 = C Â&#x2DC; 6,80191 2.000 C Â&#x; C 294,04 6,80191

n=6

Logo serão necessårias 6 prestaçþes mensais.

Exercícios de fixação

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1) Determinar o valor da prestação que deverá ser capitalizada mensalmente, a 3% a.m. para que se tenha, no final de 12 meses, um montante de R$ 4.000,00.

Mn + 200 = 200 ˜ S n+1 i

2) Qual o montante de 5 aplicações mensais de R$ 800,00 cada uma, a taxa mensal de 1,5%?

__ Mn = 200 ˜ S - 200 5+1 i

3) Quantos pagamentos de R$ 1.224,31 serão necessários, considerando uma taxa de 3% a.m. para constituir um capital de R$ 6.500,00? 4) Uma pessoa que faz uma aplicação de R$ 1.000,00 em 10 meses, gera um montante de R$ 12.578,00. Calcular a respectiva taxa mensal. 2.2. Rendas antecipadas Denominamos de rendas antecipadas, quando os pagamentos ou recebimentos dos termos ocorrem no início de cada mês respectivo. No caso de capitalização antecipada começa a ocorrer, a partir do contrato, como mostra o fluxo de caixa abaixo; T1

T2

T3

0

1

2

T4 ................ Tn 3 .................. n-1

__ Mn = 200 ˜ (S - 1) 5+1 i __ Mn = 200 ˜ (S - 1) 5+1 0,01 __ Mn = 200 ˜ (S - 1) 6 0,01 __ Mn = 200 ˜ (6,15202 - 1) __ Mn = 200 ˜ 5,15202 __ Mn = 1.030,40

n

Considere o problema abaixo: Uma pessoa deposita em uma caderneta de poupança R$ 200,00, no início de cada mês, durante 5 meses. Calcule o montante da renda, sabendo que essa instituição paga juros compostos de 1% a.m., capitalizados mensalmente. Solução: C = R$ 200,00

2.2.1. Fórmula de um montante de uma renda antecipada. __ Mn = C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... + C (1 + i)n Somando C a ambos os membros: __ Mn + C = C + C (1 + i) + C (1 + i)2 + .......... C (1 + i) n __ Mn + C = C [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + ........... + (1 + i)n] Observando o segundo membro da igualdade temos o montante de uma renda imediata de n+1 termos. __ Mn + C = C ˜ S n+1 i

n = 5 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. __ Mn = ? __ Mn é o montante de uma renda antecipada. __ Mn = 200 (1+ 0,01)+ 200 (1+ 0,01)2 +200(1+ 0,01)3+200(1+ 0,01)4+200(1+ 0,01)5

Mn = C ˜ S -C n+1 i __ Mn = C (S - 1) n+1 i

Somando 200 a ambos os membros: __ Mn+200=200+200(1+0,01)+200(1+0,01)2+200(1+0,01)3+200(1+0,01)4+200(1+0,01)5

Exercícios resolvidos Observando o segundo membro da igualdade, teremos o montante de uma renda imediata de n + 1 termos: __ CopyMarket.com

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1) Determine o montante produzido por 8 parcelas de R$ 500,00 colocadas mensalmente a juros de 1,5% a.m. sendo a primeira parcela antecipada. CopyMarket.com

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3.000 = 405,74 ˜ (S Solução: C = R$ 500,00 n=8 i = 1,5% a.m.

3000 405,74

__ Mn = C ˜ (S - 1) __ n+1 i Mn = 500 ˜ (S - 1) 8+1 0,015 __ Mn = 500 ˜ (S

-1 7 i

7,39 = S - 1 7 i 7,39 + 1 = S

- 1) 9 0,015

7 i 8,39 = S

__ Mn = 500 ˜ (9,5593 -1) __ Mn = 500 ˜ 8,5593 __ Mn = 4.279,65

7 i Consultando a tabela financeira para S

= 8,39 e n = 7, teremos i = 6% a.t. 7 i

4) Quantos depósitos mensais antecipados de R$ 350,00 são necessários para constituir um montante de R$ 3.802,13 a taxa de 1,5% a.m. capitalizados mensalmente?

2) Uma pessoa deseja fazer depósitos no início de cada bimestre, em um banco que paga 12% a.a. para constituir o montante de R$ 1.500,00 no fim de 1 ano sendo os juros capitalizados bimestralmente. Solução: C=? M n R$1.500 n = 1 ano = 12 meses = 6 bim. i = 2% ao bimestre

S

- 1) 7 i

Solução: n=? C = R$ 350,00 Mn = R$ 3.802,13 i = 1,5% a.m. = 0,015 a.m.

__ Mn = C ˜

(S - 1) n+1 i

M n = C.(S -1) n+1 i

3.802,13 = 350 (S - 1) n+1 0,015

1.500= C.(S -1) 6+1 0,02

3.802,13 350

S n+1 0,015 -1

1.500 = C.(S -1) 7 0,02 1.500 = C.(7,43428 – 1) 1.500 = C. 6,43428 1.500 Ÿ C 233,13 C= 6,43428

10,86 = S n+1 0,015 10,86 + 1 = S n+1 0,015 11,86 = S n+1 0,015

3) Uma empresa realizou 6 depósitos trimestrais antecipados de R$ 405,74 e obteve o montante de R$ 3.000,00. Qual foi a taxa de juro? Solução: n = 6 trimestres C = R$ 405,74 Mn = R$ 3.000,00 i=?

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Consultando a tabela financeira para S = 11,86 e i = 1,5% a.m., teremos n = 10. Mn = C ˜ (S -1) n+1 i

n + 1 = 11 n = 11 - 1 n = 10

3.000 = 405,74 . (S - 1) 6+1 i Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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200 200 200 N Â&#x; A4 Â&#x; A4 Â&#x; A4 Â&#x; A4 192,31 1,04 (1  I ) 4 (1  0,01) 4 (1,01) 4 O valor atual de uma renda ĂŠ calculado pela soma dos valores atuais dos seus termos, assim sendo teremos; A4=

Exercícios de fixação 5) Uma pessoa deseja capitalizar de uma forma antecipada 5 prestaçþes mensais de R$ 250,00 a 2% a.m. Qual o montante ao final da aplicação? 6) Um montante de R$ 3.200,00 foi capitalizado em 6 parcelas mensais, a taxa de 2%a.m., sendo a primeira capitalizada antecipadamente. Calcule o valor da prestação.

An = A1 + A2 + A3 + A4 An = 198,02 + 196,08 + 194,17 + 192,31 An = 780,58 3.1.1. FĂłrmula do valor atual de uma renda imediata

7) Calcule o nĂşmero de termos de uma renda anual antecipada de termo R$ 250,00, cujo montante, a taxa de 1% a.a. ĂŠ de R$ 1.288,00.

Seja An o valor atual de uma renda e A1; A2 ...... An valores atuais dos seus termos. Calculando a soma teremos:

3. Amortização composta

An = A1 + A2 + ........... + An N N N An   .....  (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n

3.1. Renda imediata

ÂŞ 1 1 1 Âş NÂŤ   .....  Âť 1 (1  i ) 2 (1  i ) n Âź ÂŹ (1  i )

Considere o problema:

AN

Uma pessoa tem uma dívida e deseja amortizar em 4 prestaçþes mensais de R$ 200,00, sendo 1% a.m. a taxa de juros. Qual Ê o valor da dívida amortizada?

Os termos entre os colchetes formam uma PG onde: a1 =

Solução:

Calculando a soma dos termos teremos:

N = R$ 200,00

a1ªqn 1º Ÿ  Sn q1

i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 4 meses

1

O problema pede para calcular o valor atual das prestaçþes na Êpoca zero. (no ato da compra e assinatura de contrato). N A (1  i ) n

Â&#x;Sn

O valor atual da primeira prestação Ê de: A1=

N Â&#x; A1 (1  I )1

200 Â&#x; A1 (1  0,01)1

A2=

N Â&#x; A2 (1  I ) 2

200 Â&#x; A2 (1  0,01) 2

200 Â&#x; A2 (1,01) 2

200 Â&#x; A2 1,02

196,08

A3=

N Â&#x; A3 (1  I ) 3

200 Â&#x; A3 (1  0,01) 3

200 Â&#x; A3 (1,01) 3

200 Â&#x; A3 1.03

194,17

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Sn

200 Â&#x; A1 1,01

ÂŞ xÂŤ

1

1i ÂŹÂŤ 1i n 1 1 1i

1Âş  Âť 1Âť Âź

1

Â&#x;Sn

1i

ÂŞ1 1i n Âş Âť xÂŤ ÂŤÂŹ 1i n Ÿ Â&#x;Sn 11i 1i

1

1 1 1 ;q= e an = 1 i 1 i (1  i ) n

1i

ÂŞ1 1i n Âş Âť xÂŤ ÂŤÂŹ 1i n Ÿ Â&#x; i 1i

1 ÂŞ1 1i n Âş 1i 1i n 1 Âť x Â&#x;Sn xÂŤ 1i ÂŤÂŹ 1i n Ÿ i ix 1i n

(1  i ) n  1 Ê denominado de fator de amortização e indicamos por a (1  i ) n .i

198,02

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An = N Â&#x2DC; a

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Exercícios resolvidos

Exercícios de fixação

1) Calcule o valor de uma dívida que pode ser amortizada em 6 prestações mensais de R$ 120,00 cada uma, sendo 1% a.m. a taxa de juros?

8) Calcule o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.200,00, nos seguintes casos:

Solução: N = R$ 120,00 i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 6 meses

taxa de juros a)2% a.m. b) 5% a.t.

An = N . a n i An = 120 . a 6 0,01 An = 120 ˜ 5,79548

prazo 18 meses 6 trimestres

9) Paguei 10 prestações de R$ 150,00 num financiamento feito a base de 1% a.m. Qual o valor da dívida amortizada? 10) Comprei uma geladeira que à vista sairia por R$ 1.200,00, pagando em 6 prestações mensais de R$ 221,52. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

An = 695,46

11) Calcule o número de prestações mensais de R$ 245,32 pagarei uma dívida de R$ 1.500,00, se o financiamento foi feito a base de 3,5% a.m.? 2) Qual o valor da prestação mensal para amortizar, com 6 prestações, um empréstimo de R$ 3.000,00 a juros de 2% a.m.?

12) Uma chácara é colocada a venda por R$ 80.000,00 a vista ou a prazo nas seguintes condições: 20% de entrada e o restante em 15 meses com juros de 2% a.m. Qual é o valor da prestação?

Solução: An = R$ 3.000,00 N=? i = 2% a.m. n = 6 meses a = 5,60143

An = N ˜ a

3.2. Renda Antecipada n i Considere o seguinte problema:

3.000 = N ˜ a

Uma pessoa deseja amortizar uma dívida com 4 prestações mensais antecipadas de R$ 150,00, sendo 1% ao mês a taxa de juros?

6 0,02 3.000 = N ˜ 5,60143

3.000 ŸN N= 5,60143

Solução:

535,58

N = R$ 150,00

3) Uma moto custa a vista, R$ 12.000,00. Para compra a prazo, é dado o seguinte plano de pagamento:

10% de entrada e o restante em 5 prestações mensais de R$ 2.494,53. Calcule a taxa de financiamento.

n = 4 meses A primeira prestação vai ser paga no ato da compra, portanto seu valor é igual a 150.

Solução: An = 12.000 ˜ 0,9 = 10.800 An = N ˜ a n i N = 2.494,53 n = 5 meses 10.800 = 2.494,53 ˜ a i=? 5 i 10.800 a = 2.494,53 5 i a = 4,33 5 i Consultando a tabela financeira para a

i = 1% a.m. = 0,01 a.m.

= 4,33 e n = 5, teremos i = 5% a.m. 5 i

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A1 A1 A2 A3 A4

N (1  i ) n N (1  i ) n N (1  i )1 N (1  i ) 2 N (1  i ) 3

150 (1  0,01) 0 150 (1  0,01)1 150 (1  0,01) 2 150 (1  0,01) 3

150 150,51 1,01 150 148,51 1,01 150 150 (1,01) 2 1,02 150 (1,01) 3

150 1,03

Sn

147,06

1 ÂŞ 1 1Âş xÂŤ  Âť n 1i ÂŤÂŹ 1i 1Ÿ Sn Â&#x;Sn 1 1 1i

145,63

Â&#x;Sn

An

ĂŠ o valor atual de uma renda antecipada assim sendo:

An

A1  A2  A3  A4

An

150  148,51  147,06  145,63

An

591,20

N

1 ÂŞ1 1i n Âş Âť xÂŤ 1i ÂŤÂŹ 1i n Ÿ Â&#x;Sn 11i 1i

1 ÂŞ1 1i n Âş Âť xÂŤ 1i ÂŤÂŹ 1i n Ÿ Â&#x; i 1i

ÂŞ1 1i n Âş 1i 1i n 1 Âť x Â&#x;Sn xÂŤ ÂŤÂŹ 1i n Ÿ i ix 1i n

a n i

Em renda antecipada ocorre um pagamento no ato da compra e teremos n-1 prestaçþes, a pagar: __ An - N = N Â&#x2DC; a n-1 i __ an = N + N Â&#x2DC; a n-i i

N N N   ... (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n

Subtraindo (N) a ambos os membros: 1 N N An  N N  N    ...  (1  i ) n (1  i )1 (1  i ) 2 N N N An  N   ...  (1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) n An  N

1

1i

(1  i ) n  1 (1  i ) n .i

3.2.1. FĂłrmula do valor atual de uma renda antecipada

An

a1ªqn 1º Ÿ  q1

__ An = N (a + 1) n-1 i

ÂŞ 1 1 Âş 1 NÂŤ   ...  Âť 1 (1  i ) n Âź (1  i ) 2 ÂŹ (1  i )

ExercĂ­cios resolvidos

1) Determine o valor atual de uma anuidade antecipada de 8 termos mensais de R$ 150,00, sendo a taxa de 2% ao mĂŞs.

Os termos entre colchetes formam uma PG onde: 1 1 1 ; an a1 eq 1 i (1  i )1 (1  i ) n

Solução: An ?

N R$150,00 n 8meses i 2%a.m.

An = N . (a + 1 ) n-1 i An = 150.(a +1) 8-1 0,02 An = 150.(a +1) 7 0,02 An = 150.(6,47199+1) An = 150.7,47199 An = 1.120,80

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15) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 1.000,00 são necessários para se amortizar uma dívida de R$ 6.795,50 sendo a taxa de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 2) Calcule o valor da prestação mensal antecipada para amortizar, com 5 pagamentos, realizado numa compra de R$ 600,00 sendo a taxa de juros de 1,5% a.m.

16) Uma televisão é vendida em 4 prestações mensais e iguais a R$ 300,00, sendo a primeira paga como entrada. Se a taxa de juros do financiamento é de 8% ao mês, calcule o preço a vista?

Solução

An

R$600,00

n 5meses i 1,5%a.m. N ?

3.3. Rendas diferidas

An = N .(a +1) n-1 i 600= N.(a +1) 5-1 0,015 600 = N. (a +1) 4 0,015 600 = N . (3,85438+1) 600 Ÿ N 123,60 N= 4,854338

Em rendas diferidas o primeiro pagamento ocorre após um período de carência. O número de períodos que antecede o primeiro vencimento é denominado de diferimento de renda. Consideremos uma renda imediata de n termos e que apresenta um período de carência m, como mostra o esquema abaixo: T1

0

1

T2

2 .............m

T3...............Tn

m +1 m+2.......m+n-1

m+n

3) Quantas prestações semestrais antecipadas de R$ 120,00 serão necessárias para amortizar uma dívida no valor de R$ 857,35 com taxa de 10% ao semestre? Solução: n=? i = 10% ao semestre N = R$ 120,00 An R$857,35

O valor atual de uma renda diferida de n termos com m períodos de carência é igual ao valor atual de uma renda de m+n termos menos o valor atual da renda de m termos. A n = N(a +1) n-1 i 857,35=120.(a +1) n-1 0,1 857,35 a +1 120 n-1 0,1 7,14 = a +1 n-1 0,1 a = 7,14 - 1 n-1 0,1 a = 6,14 n-1 0,1

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i Considere o problema abaixo: 1) Qual o valor de uma dívida amortizada em 4 prestações mensais de R$ 200,00, sendo a taxa de juros de 1% a.m., com uma carência de 2 meses? Solução: Indicamos renda diferida por m/An Solução: N = R$ 200,00 n = 4 meses m = 2 meses i = 1% a.m. = 0,01 a.m. m/An = ?

Consultando a tabela financeira a = 6,14 e i = 10% teremos n-1 = 10 n-1 0,1 N=11

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i m/An = 200 ˜ (a -a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 ˜ (a -a ) 4+2 0,01 2 0,01 m/An = 200 ˜ (5,79548 - 1,97040)

Exercícios de fixação 13) Calcule o valor atual de uma renda antecipada de 6 parcelas iguais de R$ 200,00 sendo a taxa de juro de 1% a.m.

m/An = 200 ˜ 3,82508

m/An = 765,02

14) Uma pessoa realizou um financiamento de R$ 6.000,00 feito em 8 parcelas mensais iguais com taxa de 2% ao mês. Calcular a parcela antecipada do financiamento. CopyMarket.com

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Exercícios resolvidos 1) Calcule o valor atual de uma renda de 6 termos mensais de R$ 180,00 com 2 meses de carência, sendo a taxa de juro de 2% a.m.

1) Uma empresa deposita em uma caderneta de poupança R$ 50.000,00, no início de cada bimestre. Sendo a taxa de 18% a.a., capitalizada bimestralmente, calcular o montante no fim de 1 ano.

Solução: m/An = ? m/An = N ˜ (a -a ) N = R$ 180,00 m+n i m i n = 6 meses m = 2 meses m/An = 180 ˜ (a -a ) i = 2% a.m. = 0,02 6+2 0,02 2 0,02 a.m. m/An = 180 ˜ (a -a ) 6+2 0,02 2 0,02

2) Uma pessoa deseja formar um fundo de provisões de forma que, depois do 8o depósito, possua o montante de R$ 1.500.000,00. Quanto deve depositar no fim de cada ano, em um banco que paga juros compostos de 9% a.a.? 3) Determine o montante de uma renda trimestral, antecipada, de R$ 120,00 a taxa de 12% ao ano, durante 2 anos? 4) Uma aplicação mensal de R$ 100,00 em 8 meses, gera um montante de R$ 958,00. Calcular a taxa mensal.

m/An = 180 ˜ (7,32548 - 1,94156)

5) preço de uma moto à vista é de R$ 8.000,00. Um comprador dá 20% de entrada e o restante é financiado a uma taxa de juros de 2% ao mês em 6 meses. Calcule o valor da prestação mensal.

m/An = 180 ˜ 5,38 m/An = 969,10 2) Uma pessoa deseja amortizar uma dívida de R$ 3.000,00 com 5 prestações mensais. Qual o valor dessas prestações, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mês e a carência de 2 meses? Solução: m/An = R$ 3.000,00 N=? i = 1% a.m. = 0,01 a.m. n = 5 meses m = 2 meses

Exercícios propostos

6) Um terreno é vendido com R$ 3.500,00 de entrada e o restante em 14 prestações mensais de R$ 300,00 cada. Calcular o valor à vista desse terreno, sendo usado a taxa de 24% ao ano, capitalizada mensalmente. 7) Calcule o valor de 6 prestações mensais na compra de um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 900,00, sabendo-se que o juro cobrado é de 1% ao mês e as prestações são antecipadas?

m/An = N ˜ (a -a ) m+n i m i 3.000 = N . (a -a ) 5+2 0,01 2 0,01 3.000 = N ˜ (a -a ) 6+2 0,02 2 0,02

8) Quantos pagamentos mensais antecipados de R$ 150,00 são necessários para uma dívida de R$ 1.159,23, com taxa de juros de 12% ao ano, capitalizados mensalmente? 9) Uma televisão foi comprada com R$ 600,00 de entrada e 6 prestações mensais de R$ 100,00, diferidas de 3 meses. Sendo os juros de 2% a.m., qual o preço a vista da televisão?

3.000 = N (6,72819 - 1,97040)

10) Determinar o valor atual de uma renda mensal de 7 termos iguais a R$ 200,00 com carência de 3 meses, sendo de 3% a.m. a taxa de juros.

3.000 = N . 4,75779 3.000 N Ÿ N = 630,54 4.75779

11) Uma agência vende um automóvel por R$ 12.000,00 e oferece dois planos de pagamentos: Plano A: 10% de entrada e 10 prestações mensais iguais a R$ 1.140,29.

Exercícios de fixação

Plano B: 20% de entrada e 8 prestações mensais iguais de R$ 1.310,49.

17) Qual o valor de uma dívida assumida por uma empresa que pagou 8 prestações mensais de R$ 850,00, a taxa de juros de 2% ao mês, com um período de carência de 3 meses?

Qual dos dois planos tem a menor taxa de juros mensais?

18) Qual o valor atual de uma dívida que deve ser amortizada em 5 prestações mensais de R$ 300,00, sendo de 3% ao mês a taxa de juros e pagando a primeira prestação 3 meses depois de realizado o empréstimo? 19) Uma loja em promoção anuncia: “compre e pague em 8 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 2 meses”. Se a taxa de financiamento é de 1,5% ao mês, qual é o valor da prestação de uma secadora de roupa cujo preço a vista é de R$ 1.200,00? CopyMarket.com

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12) Dois automóveis iguais são vendidos por agências diferentes, de acordo com os planos abaixo: Agência 1: R$ 5.000,00 de entrada e 20 prestações mensais de R$ 400,00; Agência 2: R$ 3.000,00 de entrada e 30 prestações mensais de R$ 500,00; Se a taxa de juros mensais de mercado for de 2%, qual das agências terá o menor preço à vista?

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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

__ Mn = C ˜ (S - 1) n+1º i

4) C = R$ 100,00

C = R$ 50.000,00

i

18 6

__

Mn = C ˜ S nº i

1) Mn = ?

3% a.b.

n = 6 bim.

Mn = R$ 958,00

958 = 100 (S - 1 ) 9º i

Mn = 50.000 ˜ S 6º 0,03

i=?

958 = S -1 9º i 100

Mn = 50.000 ˜ 6,46841

n = 8 meses

9,58 + 1 = S 9º i S = 10,58 9º i

Mn = 323.420,50

Consultando a tabela financeira p/ n = 9 e S Mn = C ˜ S nº i

2) C = ?

M = R$ 1.500.000,00

1.500.000 = C ˜ S 8º 0,09

5) Solução:

1.500.000 = C ˜ 11,02847

n = 8 meses i = 9% a.a. = 0,09 a.a.

__ 3) Mn = ?

An = 8.000 ˜ 0,8 = 6.400

An = N ˜ a nº i

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

6.400 = N ˜ a 6º 0,02

__

n = 6 meses

6.400 = N ˜ 5,60143

Mn = C ˜ (S - 1) n+1º i __

N=?

N

1.500.000 ŸC 11,02847

Mn = 120 ˜ (S

C = R$ 120,00

__

136,011,61

N = 6.400

Ÿ N = 1.142,56

5,60143

- 1) 9º 0,03 6) Solução:

12 i= = 3% a.a. 4

Mn = 120˜ (10,15911 -1)

n = 8 trimestres

Mn = 120 ˜ 9,15911

__

__

entrada: R$ 3.500,00

An = N ˜ a nº i

n = 14

An = 3.500 + 300 ˜ a 14º 0,02

N = R$ 300,00

An = 3.500 + 300 ˜ 12,10625

Mn = 1.099,09

i= CopyMarket.com

= 10,58, teremos i = 4%. 9º i

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24 = 2% a.m. 12

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An = 7.131,87

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7) Solução: __

__

An = R$ 900,00

An = N ˜ (a +1) n-1º i

N=?

900 = N ˜ (a

10) m/An = N ˜ (a m+nº i

N=

n=6

a ) = mº i

m/An = 200 ˜ (a 7+3º 0,03

+1) 5º 0,01

a ) = 3º 0,03

m/An = 200˜ (a - a ) = 3º 0,03 10º 0,03

900 = N ˜ (4,85343 +1)

i = 1% a.m.

-

m/An = 200 ˜ (8,53020 - 2,82861) =

900 Ÿ N = 153,76 5,85343

m/An = 200 ˜ 5,70159 = 8) n = ? __

__

An = R$ 1.159,23

An = N ˜ (a + 1) n-1º i

N = R$ 150,00

1.159,23 = 150 ˜ (a +1) n-1º 0,01

i=

12 = 1% a.m. 12

m/An = 1.140,32

Plano B:

11) Plano A:

1.159,23 = a +1 150 n-1º 0,01 150 7,73 = a +1 n-1º 0,01 a = 7,73 - 1 n-1º 0,01

12.000 ˜ 0,9 = 10.800

12.000 ˜ 0,8 = 9,600

An = N ˜ a nº i

An = N ˜ a nº i

10.800 = 1.140,29 ˜ a 10º i

9.600 = 1.310,49 ˜ a 8º i

10.800

a = 6,73 n-1º 0,01 Consultando a tabela financeira a = 6,73 e i = 1%. n-1º 0,01 n-1=7

9.600

a = 10º i 1.140,29

a = 8º i 1.310,49

a = 9,47 10º i

a = 7,325 8º i

i = 1%

i = 2%

n=8 R.: O plano A tem a menor taxa. 9) 600 + 100 (a 6+3º 0,02

a ) = 3º 0,02

600 + 100 (a 9º 0,02

a ) = 3º 0,02

12) Agência

Agência 1 5.000 + 400 a = 20º 0,02

2

3.000 + 500 a = 30º 0,02

600 + 100 (8,16224 - 2,8839) =

5.000 + 400 ˜ 16,351433 =

3.000 + 500 ˜ 22,396456 =

600 + 100 ˜ 5,2783 =

5.000 + 6.540,57 = 11.540,57

3.000 + 11.198,23 = 14.198,23

600 + 527,83 = 1.127,83

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R.: Comprar o carro na agência 1 é a melhor opção. 146

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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

0

T

T

T ......

T

T

1

2

3 ...... n-1

n

A dívida será dade pela seguinte relação;

16. Empréstimos Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

D=R˜a n i onde:

1. Introdução:

D - dívida inicial

Quando uma pessoa física ou jurídica realiza um empréstimo para aquisição de um bem qualquer é esperada a devolução do capital acrescido de juros.

R - Prestação

Neste capítulo estudaremos as maneiras mais comuns de pagamento de uma dívida. São os sistemas de amortização.

a

A distinção de um sistema de amortização do outro é a maneira de pagamento das prestações podendo ser constantes, variáveis ou até únicas, sendo composta de duas partes: juros e amortização.

2. Planos de amortização de empréstimos.

- fator de amortização n i Exemplo: 1) Uma pessoa adquire uma dívida no valor de R$ 4.000,00, que deverá ser amortizada, pelo método francês, com 5 prestações anuais, à taxa de 10% ao ano. Calcule o valor da prestação. D = R$ 4.000,00 n=5 i = 10% a.a.

Quando quitamos um empréstimo, podemos abater no imposto de renda, os juros cobrados.

D=R˜a n i 4.000 = R ˜ a 5 0,1 4.000 = R ˜ 3,79079

Denominaremos a amortização (A) e o juro (J) que estão compondo a prestação (R). R=A+J

R Antes de estudarmos os principais sistemas de amortização, vamos definir alguns termos importantes: a) b) c) d) e) f)

4.000 Ÿ R 1.055,19 3,79079

2.1.1. Montagem de uma planilha de amortização

credor é o indivíduo que concede o empréstimo; devedor ou mutuário é a pessoa que recebe o empréstimo; IOF é o imposto sobre operações financeiras; Amortização (A) é o pagamento em prestações de um capital emprestado; Juros é a remuneração do capital; Prestação (R) é a composição da amortização com juros.

Período 1 O valor da primeira prestação é de R$ 1.055,19 com uma taxa de juro de 10% ao ano sobre o valor da dívida.

Os principais sistemas de amortização são: sistema francês; sistema de amortização constante; sistema de amortização misto.

J1 = 10% de 4.000 Ÿ J1 = 0,1 ˜ 4.000 Ÿ J1 = 400 A primeira amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros. A1 = 1.055,19 - 400 Ÿ A1 = 655,19

2.1. Sistema Francês No sistema francês de amortização o devedor paga, periodicamente as prestações que compreendem os juros e a amortização da dívida, de modo que efetuado o último pagamento, a dívida está quitada. CopyMarket.com

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O saldo devedor do período 1 (D1) D1 = 4.000 - 655,19 Ÿ D1 = 3.344,81 CopyMarket.com

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Período 2

Representação gráfica:

Após o pagamento da 1a. prestação o saldo devedor é de R$ 3.344,81. Os juros serão de: Prestação

J2 = 10% de 3.344,81 Ÿ J2 = 0,1 ˜ 3.344,81 Ÿ J2 334,48 A segunda cota de amortização será calculada pela diferença entre a prestação e os juros do período 2.

Amortização

Juros

A2 = 1.055,19 - 334,48 Ÿ A2 = 720,71 D2 = 3.344,81 - 720,71 Ÿ D2 = 2.624,10

Período 3

Período

J3 = 10% de 2.624,10 Ÿ J3 = 0,1 ˜ 2624,10 Ÿ J3 = 262,41 A3 = 1.055,19 - 262,41 Ÿ A3 = 792,78 D3 = 2.624,10 - 792,78 Ÿ D3 = 1.831,32

Exercícios de fixação

Período 4

1) Uma dívida de R$ 10.000,00 deve ser paga, pelo sistema francês, mediante 6 prestações, a taxa de juros de 3%. Calcular o valor da prestação.

J4 = 10% de 1.831,32 Ÿ J4 = 0,1 ˜ 1.831,32 Ÿ J4 = 183,13 A4 = 1,055,19 - 183,13 Ÿ A4 = 872,06 D4 = 1.831,32 - 872,06 Ÿ D4 = 959,26

2) Um financiamento de R$ 12.000,00 é feito à taxa de 18% ao ano (tabela Price) e a liquidação em 5 meses. Construa a planilha de amortização.

Período 5

Exercícios propostos

J5 = 10% de 959,26 Ÿ J5 = 0,1 ˜ 959,26 Ÿ J5 = 95,93 A5 = 1.055,19 - 95,93 Ÿ A5 = 956,26 D5 = 959,26 - 959,26 Ÿ D5 = 0 Período (n) 0 1 2 3 4 5

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.055,19 1.055,19 1.055,19 1.055,19 1.055,19

400 334,48 262,41 183,13 95,93

655,19 720,71 792,78 872,06 959,26

Saldo devedor (Dn) 4.000 3.344,81 2.624,10 1.831,32 959,26 __

1) Uma pessoa realizou um empréstimo de R$ 4.000,00 sabendo que a taxa de juros cobrada pela instituição é de 12% ao ano e que a dívida deve ser quitada em 5 meses. Calcule o valor das prestações pelo sistema Price. 2) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 a um cliente, com base na tabela Price e a juros de 12% ao ano, para ser devolvido em 6 meses. Construir a planilha de amortização.

2.2. Sistema de Amortização Constante (SAC) Neste sistema, como no anterior, o devedor paga o empréstimo em prestações periódicas, englobando juros e amortização.

2.1.2. Tabela Price O sistema Price de amortização é um caso particular do sistema de amortização francês e apresenta as seguintes características: a) os pagamentos das prestações são mensais; b) a taxa de juros compostos é anual; c) no cálculo é utilizada a taxa proporcional ao período considerado.

A diferença é que neste sistema, a amortização é constante em todos os períodos. A amortização vai ser obtida pelo quociente do valor da dívida pelo número de períodos, em que deve ser quitado o financiamento. Exemplo: 1) Um banco faz um empréstimo de R$ 6.000,00 para ser pago pelo SAC em 4 prestações anuais, a taxa de 3% ao ano. Construa o quadro de amortização.

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Solução: D = R$ 6.000,00 n=4 i = 3% ao ano

Pelo gráfico observamos que a amortização é constante, que o valor das prestações são decrescente, e os juros decrescem em função do saldo devedor. 2.2.1. Cálculo do saldo devedor

Calculando o valor da amortização. 6.000 D A= 1.500 ŸA Ÿ A 4 n

O saldo devedor do período será calculado pelo saldo devedor do período anterior menos a amortização. Dn = Dn-1 - A

Período 1 J1 = D ˜ i Ÿ J1 = 6.000 ˜ 0,03 Ÿ J1 = 180 R1 = J1 + A Ÿ R1 = 180 + 1.500 Ÿ R1 = 1.680 D1 = D - A Ÿ D1 = 6.000 - 1.500 Ÿ D1 = 4.500

Logo para: n = 1 Ÿ D1 = D - A n = 2 Ÿ D2 = D1 - A Ÿ D2 = D - A - A Ÿ D2 = D - 2A n = 3 Ÿ D3 = D2 - A Ÿ D3 = D - 2A - A Ÿ D3 = D - 2A - A Ÿ D3 = D - 3A

Período 2 J2 = D1 ˜ i Ÿ J2 = 4.500 ˜ 0,03 Ÿ J2 = 135 R2 = J2 + A Ÿ R2 = 135 + 1.500 Ÿ R2 = 1.635 D2 = D1 - A Ÿ D2 = 4.500 - 1.500 Ÿ D2 = 3.000

SDK = D - K ˜ A Exemplo:

Período 3 J3 = D2 ˜ i Ÿ J3 = 3.000 ˜ 0,03 Ÿ J3 = 90 R3 = J3 + A Ÿ R3 = 90 + 1.500 Ÿ R3 = 1.590 D3 = D2 - A Ÿ D3 = 3.000 - 1.500 Ÿ D3 = 1.500

1) Uma pessoa faz um empréstimo de R$ 6.000,00 em um banco através do SAC em 10 prestações anuais, a taxa de 15% ao ano. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a sexta prestação. Solução:

Período 4 J4 = D3 ˜ i Ÿ J4 = 1.500 ˜ 0,03 Ÿ J4 = 45 R4 = J4 + A Ÿ R4 = 45 + 1.500 Ÿ R4 = 1.545 D4 = D3 - A Ÿ D4 = 1.500 - 1.500 Ÿ D4 = 0 Período (n) 0 1 2 3 4

D = R$ 6.000,00 n = 10 i = 15% ao ano Ÿ i = 0,15 a.a.

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.680 1.635 1.590 1.545

180 135 90 45

1.500 1.500 1.500 1.500

Saldo devedor (Dn) 6.000 4.500 3.000 1.500 ---

Baseado no exemplo acima podemos fazer a representação gráfica.

D ŸA N

6.000 ŸA 10

600

SDk = D - K ˜ A SD6 = 6.000 - 6.600 SD6 = 6.000 - 3.600 SD6 = 2.400

Exercícios de fixação 3) Elabore uma planilha de pagamento, baseado no SAC, correspondente a um financiamento de R$ 10.000,00, a taxa de 1% a.m. a ser liquidado em 8 prestações mensais.

Prestação

Juro Amortização 1º

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A

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4) Um financiamento de R$ 5.000,00 é amortizado pelo sistema de amortização constante em 8 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Calcule: a) a cota de amortização; b) a primeira parcela de juros; c) a primeira prestação; d) saldo devedor após o pagamento da 4a prestação.

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Exercícios propostos

Período 0 1 2 3 4

3) Na compra de uma casa, uma pessoa faz um empréstimo de R$ 60.000,00, a financeira utiliza a taxa de juros compostos de 3% a.m. Essa importância será amortizada através do sistema de amortização constante (SAC), em 6 prestações mensais. Construa a planilha de amortização. 4) Um financiamento de R$ 4.000,00 deverá ser pago em 8 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo SAC a uma taxa mensal de 2% a.m. Pede-se: a) a cota de amortização; b) juro pago na primeira prestação; c) valor da primeira prestação; d) o saldo devedor após o pagamento da 6a prestação.

Prestação

Juros

Amortização

1.577,35 1.577,35 1.577,35 1.577,38

500 392,27 273,76 143,40

1.077,35 1.185,08 1.303,98 1.433,98

Saldo devedor 5.000 3.922,65 2.737,57 1.433,98 ---

b) Sistema de amortização constante

x neste sistema as amortizações serão calculadas pelo quociente da dívida inicial pelo número de períodos. D n x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. x a prestação (R) será dada pela expressão: R=A+J A

2.3. Sistema de Amortização Misto (SAM) O sistema de amortização misto é um sistema moderno, pois seus cálculos são feitos pela média aritmética do sistema francês e do sistema de amortização constante.

x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização do período (A).

Exemplo: SDn = SDn-1 – A 1) João fez um empréstimo de R$ 5.000,00, em um banco pelo SAM em 4 prestações anuais, a taxa de 10% ao ano. Construa a planilha para as seguintes situações: a) sistema francês; b) sistema de amortização constante; c) sistema de amortização misto. Solução: a) Sistema francês

x as prestações são iguais e calculadas pela seguinte relação: R =

A=R-J

x o saldo devedor do período é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior e a amortização do período.

R

R

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Juros

Amortização

1.750 1.650 1.500 1.350

500 375 250 125

1.250 1.250 1.250 1.250

Saldo devedor 5.000 3.750 2.500 1.250 ---

x as amortizações serão obtidas pela média aritmética entre as amortizações do sistema francês e as do sistema de amortização constante; x os juros serão calculados sobre o saldo devedor anterior. x a prestação (R) será dada pela expressão: R = A + J x o saldo devedor do período (SDn) é calculado pela diferença do saldo devedor do período anterior (SDn-1) e a amortização (A). SDn = SDn-1 – A Período (n) 0 1 2 3 4

D 5.000 ŸR Ÿ a a n i 4 0,01 5.000 Ÿ R 1.577,35 3,16987

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Prestação

c) Sistema de amortização mista

D a n i

x o juro é calculado sobre o saldo devedor anterior; x a amortização será calculada pela diferença entre o valor da prestação e os juros do período correspondente.

Dados: D = R$ 5.000,00 n=4 i = 10% ao ano = 0,1 ao ano

Período 0 1 2 3 4

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Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.663,68 1.601,17 1.538,68 1.476,19

500 383,63 261,87 134,20

1.163,68 1.217,54 1.276,79 1.341,99

Saldo devedor (Dn) 5.000 3.836,32 2.618,78 1.341,99 ---

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Exercícios de fixação 5) Um financiamento de R$ 15.000,000 deve ser pago em 4 amortizações constantes mensais sem carência. A taxa de juros é de 2% a.m. Construa a planilha de financiamento.

3) Solução D = R$ 60.000,00 i = 3% a.m. Ÿ i = 0,03 a.m.

Exercício proposto

A =

D n

60.000 = 10.000 6

n=6 5) Um equipamento foi adquirido por R$ 12.000,00 e será pago em 6 prestações mensais, a taxa de 2% a.m. Construa a planilha do SAM.

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) D = R˜a 5º 0,01 4.000 = R ˜ 4,85343

4.000 R= 4,85343

Período (n) 0 1 2 3 4 5 6

Juros (Jn)

Amortização (An)

11.800 11.500 11.200 10.900 10.600 10.300

1.800 1.500 1.200 900 600 300

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

4) D = R$ 4.000,00

Ÿ R = 824,16

a) A

n=8

D = R$ 6.000,00

12 = 1% a.m. 12

4.000 8

500

c) R1 = J1 + A Ÿ R1 = 80 + 500 Ÿ R1 = 580 d) SDK = D - K ˜ A

K=6

D=R˜a nº i

D n

Saldo devedor (Dn) 60.000 50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 __

b) J1 = i ˜ D Ÿ J1 = 0,02 ˜ 4.000 Ÿ J1 = 80

i = 2% a.m. = 0,02 a.m.

2)

i =

Prestação (R)

SD6 = 4.000 - 6. 500

A= ?

SD6 = 4.000 - 3.000

6.000 = R ˜ a 6º 0,01

SD6 = 1.000

n=6 5)

6.000 = R ˜ 5,79548 R=

Período (n) 0 1 2 3 4 5 6

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Período 0 1 2 3 4 5 6

6.000 Ÿ R = 1.035,29 5.79548

Prestação (R)

Juros (Jn)

Amortização (An)

1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,29 1.035,30

60 50,25 40,40 30,45 20,40 10,25

975,29 985,04 994,89 1.004,84 1.014,89 1.025,05

Saldo devedor (Dn) 6.000 5.024,71 4.039,67 3.044,78 2.039,94 1.025,05 –

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Prestação

Juros

Amortização

2.191,16 2.171,16 2.151,15 2.131,16 2.111,16 2.091,13

240 200,98 161,57 121,78 81,59 41

1.951,16 1.970,18 1.989,58 2.009,38 2.029,57 2.050,13

Saldo devedor 12.000 10.048,84 8.078,66 6.089,08 4.079,70 2.050,13 -

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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

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Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS Meses

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

Mai.

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

01 02 03 04 05

1 2 3 4 5

32 33 34 35 36

60 61 62 63 64

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125

152 153 154 155 156

182 183 184 185 186

213 214 215 216 217

244 245 246 247 248

274 275 276 277 278

305 306 307 308 309

335 336 337 338 339

06 07 08 09 10

6 7 8 9 10

37 38 39 40 41

65 66 67 68 69

96 97 98 99 100

126 127 128 129 130

157 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 250 251 252 253

279 280 281 282 283

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110

131 132 133 134 135 136 137 138 139 140

162 163 164 165 166 167 168 169 170 171

192 193 194 195 196 197 198 199 200 201

223 224 225 226 227 228 229 230 231 232

254 255 256 257 258 259 260 261 262 263

284 285 286 287 288 289 290 291 292 293

315 316 317 318 319 320 321 322 323 324

345 346 347 348 349 350 351 352 353 354

21 22 23 24 25

21 22 23 24 25

52 53 54 55 56

80 81 82 83 84

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

202 203 204 205 206

233 234 235 236 237

264 265 266 267 268

294 295 296 297 298

325 326 327 328 329

355 356 357 358 359

26 27 28 29 30

26 27 28 29 30

57 58 59

85 86 87 88 89

116 117 118 119 120

146 147 148 149 150

177 178 179 180 181

207 208 209 210 211

238 239 240 241 242

269 270 271 272 273

299 300 301 302 303

330 331 332 333 334

360 361 362 363 364

31

31

212

243

Dias

90

151

304

365

NOTA: Se o ano for bissexto aumentar uma unidade ao resultado, caso o mês de fevereiro esteja incluído na contagem.

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158

n

Log

50

698970

100

n

000000

log

150

n

176091

log

200

n

301030

log

1 2 3 4 5 6 7 8 9

000000 301030 477121 602060 698970 778151 845098 903090 954243

51 52 53 54 55 56 57 58 59

707570 716003 724276 732394 740363 748188 755875 763428 770852

101 102 103 104 105 106 107 108 109

004321 008600 012837 017033 021189 025306 029384 033424 037426

151 152 153 154 155 156 157 158 159

178977 181844 184691 187521 190332 193125 195900 198657 202397

201 202 203 204 205 206 207 208 209

303196 305351 307496 309630 311754 313867 315970 318063 320146

10

000000

60

778151

110

041393

160

204120

210

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Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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Matemรกtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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Matemรกtica Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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970

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Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

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Título: Matemática Financeira e Comercial Autores: Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht Editora: CopyMarket.com, 2000

Tábuas e Tabelas Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

TÁBUA FINANCEIRA

r = 0,5%

162

n

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

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r = 1% n

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(1 + i)

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S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

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6 7 8 9 10

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11 12 13 14 15

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16 17 18 19 20

1,17258 1,18430 1,19615 1,20811 1,22019

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21 22 23 24 25

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26 27 28 29 30

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29,52563 30,82089 32,12910 33,45039 34,78489

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S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

163


r = 1,5% n

n

-n

(1 + i)

S

1 2 3 4 5

1,01500 1,03022 1,04568 1,06136 1,07728

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0,98522 1,95588 2,91220 3,85438 4,78264

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6 7 8 9 10

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0,91454 0,90103 0,88771 0,87459 0,86167

5,69719 6,59821 7,48593 8,36052 9,22218

11 12 13 14 15

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16 17 18 19 20

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21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,02000 1,04040 1,06121 1,08243 1,10408

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6 7 8 9 10

1,12616 1,14869 1,17166 1,19509 1,21899

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11,86326 13,40121 14,23683 15,45038 16,68214

11 12 13 14 15

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14,13126 14,90765 15,67256 16,42617 17,16864

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21,39863 22,06762 22,72672 23,37608 24,01584

a

r = 2,5% n

0,98039 1,94156 2,88388 3,80773 4,71346

S nº i 1,00000 2,02000 3,06040 4,12161 5,20404

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16 17 18 19 20

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24,47052 25,83758 27,22514 28,63352 30,06302

21 22 23 24 25

31,51397 32,98668 34,48148 35,99870 37,53868

26 27 28 29 30

nº i

n

-n

(1 + i)

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A nº i

r = 2%

(1 + i)

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,02500 1,05062 1,07689 1,10381 1,13141

6,30812 7,43428 8,58297 9,75463 10,94972

6 7 8 9 10

9,78685 10,57534 11,34837 12,10625 12,84926

12,16872 13,41209 14,68033 15,97394 17,29342

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0,65978 0,64684 0,63416 0,62172 0,60953

1,67342 1,70689 1,74102 1,77584 1,81136

0,59758 0,58586 0,57437 0,56311 0,55207

r = 3% n

0,97561 0,95181 0,92860 0,90595 0,88385

nº i 0,97561 1,92742 2,85602 3,76197 4,64583

S nº i 1,00000 2,02500 3,07562 4,15252 5,25633

1,15969 1,18869 1,21840 1,24886 1,28008

0,86230 0,84127 0,82075 0,80073 0,78120

5,50813 6,34939 7,17014 7,97087 8,75206

11 12 13 14 15

1,31209 1,34489 1,37851 1,41297 1,44830

0,76214 0,74356 0,72542 0,70773 0,69047

18,63929 20,01207 21,41231 22,84056 24,29737

16 17 18 19 20

1,48451 1,52162 1,55966 1,59865 1,63862

17,01121 17,65805 18,29220 18,91393 19,52346

25,78332 27,29898 28,84496 30,42186 32,03030

21 22 23 24 25

20,12104 20,70690 21,28127 21,84438 22,39646

33,67091 35,34432 37,05121 38,79223 40,56808

26 27 28 29 30

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

164

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,03000 1,06090 1,09273 1,12551 1,15927

0,97087 0,94260 0,91514 0,88849 0,86261

0,97087 1,91347 2,82861 3,71710 4,57971

1,00000 2,03000 3,09090 4,18363 5,30914

6,38774 7,54743 8,73612 9,95452 11,20338

6 7 8 9 10

1,19405 1,22987 1,26677 1,30477 1,34392

0,83748 0,81309 0,78941 0,76642 0,74409

5,41719 6,23028 7,01969 7,78611 8,53020

6,46841 7,66246 8,89234 10,15911 11,46388

9,51421 10,25776 10,98318 11,69091 12,38138

12,48347 13,79555 15,14044 16,51895 17,93193

11 12 13 14 15

1,38423 1,42576 1,46853 1,51259 1,55797

0,72242 0,70138 0,68095 0,66112 0,64186

9,25262 9,95400 10,63496 11,29607 11,93794

12,80780 14,19203 15,61779 17,08632 18,59891

0,67362 0.65720 0,64117 0,62553 0,61027

13,05500 13,71220 14,35336 14,97889 15,58916

19,38022 20,86473 22,38635 23,94601 25,54466

16 17 18 19 20

1,60471 1,65285 1,70243 1,75351 1,80611

0,62317 0,60502 0,58739 0,57029 0,55368

12,56110 13,16612 13,75351 14,32380 14,87747

20,15688 21,76159 23,41444 25,11687 26,87037

1,67958 1,72157 1,76461 1,80873 1,85394

0,59539 0,58086 0,56670 0,55288 0,53939

16,18455 16,76541 17,33211 17,88499 18,42438

27,18327 28,86286 30,58443 32,34904 34,15776

21 22 23 24 25

1,86029 1,91610 1,97359 2,03279 2,09378

0,53755 0,52189 0,50669 0,49193 0,47761

15,41502 15,93692 16,44361 16,93554 17,41315

28,67649 30,53678 32,45288 34,42647 36,45926

1,90029 1,94780 1,99650 2,04641 2,09757

0,52623 0,51340 0,50088 0,48866 0,47674

18,95061 19,46401 19,96489 20,45355 20,93029

36,01171 37,91200 39,85980 41,85630 43,90270

26 27 28 29 30

2,15659 2,22129 2,28793 2,35657 2,42726

0,46369 0,45019 0,43708 0,42435 0,41199

17,87684 18,32703 18,76411 19,18845 19,60044

38,55304 40,70963 42,93092 45,21885 47,57542

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a

a nº i

S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

165


r = 3,5% n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a

r = 4,5%

r = 4% S

nº i

n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a

S

nº i

0,96154 0,92456 0,88900 0,85480 0,82193

nº i 0,96154 1,88609 2,77509 3,62990 4,45182

1,00000 2,04000 3,12160 4,24646 5,41632

1 2 3 4 5

1,03500 1,07122 1,10872 1,14752 1,18769

0,96618 0,93351 0,90194 0,87144 0,84197

nº i 0,96618 1,89969 2,80164 3,67308 4,51505

6 7 8 9 10

1,22926 1,27228 1,31681 1,36290 1,41060

0,81350 0,78599 0,75941 0,73373 0,70892

5,32855 6,11454 6,87396 7,60769 8,31661

6,55015 7,77941 9,05169 10,36850 11,73139

6 7 8 9 10

1,26532 1,31593 1,36857 1,42331 1,48024

0,79031 0,75992 0,73069 0,70259 0,67556

5,24214 6,00205 6,73274 7,43533 8,11090

6,63298 7,89829 9,21423 10,58280 12,00611

11 12 13 14 15

1,45997 1,51107 1,56396 1,61869 1,67535

0,68495 0,66178 0,63940 0,61778 0,59689

9,00155 9,66333 10,30274 10,92052 11,51741

13,14199 14,60196 16,11303 17,67699 19,29568

11 12 13 14 15

1,53945 1,60103 1,66507 1,73168 1,80094

0,64958 0,62460 0,60057 0,57748 0,55526

8,76048 9,38507 9,98565 10,56312 11,11839

13,48635 15,02581 16,62684 18,29191 20,02359

16 17 18 19 20

1,73399 1,79468 1,85749 1,92250 1,98979

0,57671 0,55720 0,53836 0,52016 0,50257

12,09412 12,65132 13,18968 13,70984 14,21240

20,97103 22,70502 24,49969 26,35718 28,27968

16 17 18 19 20

1,87298 1,94790 2,02582 2,10685 2,19112

0,53391 0,51337 0,49363 0,47464 0,45639

11,65230 12,16567 12,65930 13,13394 13,59033

21,82453 23,69751 25,64541 27,67123 29,77808

21 22 23 24 25

2,05943 2,13151 2,20611 2,28333 2,36324

0,48557 0,46915 0,45329 0,43796 0,42315

14,69797 15,16712 15,62041 16,05837 16,48151

30,26947 32,32890 34,46041 36,66653 38,94986

21 22 23 24 25

2,27877 2,36992 2,46472 2,56330 2,66584

0,43883 0,42196 0,40573 0,39012 0,37512

14,02916 14,45112 14,85684 15,24696 15,62208

31,96920 34,24797 36,61789 39,08260 41,64591

26 27 28 29 30

2,44596 2,53157 2,62017 2,71188 2,80679

0,40884 0,39501 0,38165 0,36875 0,35628

16,89035 17,28536 17,66702 18,03577 18,39205

41,31310 43,75906 46,29063 48,91080 51,62268

26 27 28 29 30

2,77247 2,88337 2,99870 3,11865 3,24340

0,36069 0,34682 0,33348 0,32065 0,30832

15,98277 16,32959 16,66306 16,98371 17,29203

44,31174 47,08421 49,96758 52,96629 56,08494

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1,00000 2,03500 3,10622 4,21494 5,36247

1 2 3 4 5

1,04000 1,08160 1,12486 1,16986 1,21665

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

166

n

-n

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,04500 1,09202 1,14117 1,19252 1,24618

6 7 8 9 10

r = 5% n

-n

S nº i 1,00000 2,04500 3,13702 4,27819 5,47071

n

(1 + i)

(1 + i)

0,95694 0,91573 0,87630 0,83856 0,80245

a nº i 0,95694 1,87267 2,74896 3,58753 4,38998

1 2 3 4 5

1,05000 1,10250 1,15762 1,21551 1,27628

0,95238 0,90703 0,86384 0,82270 0,78353

0,95238 1,85941 2,72325 3,54595 4,32948

1,00000 2,05000 3,15250 4,31012 5,52563

1,30226 1,36086 1,42210 1,48610 1,55297

0,76790 0,73483 0,70319 0,67290 0,64393

5,15787 5,89270 6,59589 7,26879 7,91272

6,71689 8,01915 9,38001 10,80211 12,28821

6 7 8 9 10

1,34010 1,40710 1,47746 1,55133 1,62889

0,74622 0,71068 0,67684 0,64461 0,61391

5,07569 5,78637 6,46321 7,10782 7,72173

6,80191 8,14201 9,54911 11,02656 12,57789

11 12 13 14 15

1,62285 1,69588 1,77220 1,85194 1,93528

0,61620 0,58966 0,56427 0,53997 0,51672

8,52892 9,11858 9,68285 10,22283 10,73955

13,84118 15,46403 17,15991 18,93211 20,78405

11 12 13 14 15

1,71034 1,79586 1,88565 1,97993 2,07893

0,58468 0,55684 0,53032 0,50507 0,48102

8,30641 8,86325 9,39357 9,89864 10,37966

14,20679 15,91713 17,71298 19,59863 21,57856

16 17 18 19 20

2,02237 2,11338 2,20848 2,30786 2,41171

0,49447 0,47318 0,45280 0,43330 0,41464

11,23402 11,70719 12,15999 12,59329 13,00794

22,71934 24,74171 26,85508 29,06356 31,37142

16 17 18 19 20

2,18287 2,29202 2,40662 2,52695 2,65330

0,45811 0,43630 0,41552 0,39573 0,37689

10,83777 11,27407 11,68959 12,08532 12,46221

23,65749 25,84037 28,13238 30,53900 33,06595

21 22 23 24 25

2,52024 2,63365 2,75217 2,87601 3,00543

0,39679 0,37970 0,36335 0,34770 0,33273

13,40472 13,78442 14,14777 14,49548 14,82821

33,78314 36,30338 38,93703 41,68920 44,56521

21 22 23 24 25

2,78596 2,92526 3,07152 3,22510 3,38635

0,35894 0,34185 0,32557 0,31007 0,29530

12,82115 13,16300 13,48857 13,79864 14,09394

35,71925 38,50521 41,43048 44,50200 47,72710

26 27 28 29 30

3,14068 3,28201 3,42970 3,58404 3,74532

0,31840 0,30469 0,29157 0,27902 0,26700

15,14661 15,45130 15,74287 16,02189 16,28889

47,57064 50,71132 53,99333 57,42303 61,00707

26 27 28 29 30

3,55567 3,73346 3,92013 4,11614 4,32194

0,28124 0,26785 0,25509 0,24295 0,23138

14,37519 14,64303 14,89813 15,14107 15,37245

51,11345 54,66913 58,40258 62,32271 66,43885

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a

nº i

S

nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

167


r = 5,5% n

n

-n

(1 + i)

(1 + i)

a

nº i

r = 6% S

nº i

n

n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,05500 1,11302 1,17424 1,23882 1,30696

0,94787 0,89845 0,85161 0,80722 0,76513

0,94787 1,84832 2,69793 3,50515 4,27028

1,00000 2,05500 3,16802 4,34227 5,58109

1 2 3 4 5

1,06000 1,12360 1,19102 1,26248 1,33823

0,94340 0,89000 0,83962 0,79209 0,74726

0,94340 1,83339 2,67301 3,46511 4,21236

1,00000 2,06000 3,18360 4,37462 5,63709

6 7 8 9 10

1,37884 1,45468 1,53469 1,61909 1,70814

0,72525 0,68744 0,65160 0,61763 0,58543

4,99553 5,68297 6,33457 6,95220 7,53763

6,88805 8,26689 9,72157 11,25626 12,87535

6 7 8 9 10

1,41852 1,50363 1,59385 1,68948 1,79085

0,70496 0,66506 0,62741 0,59190 0,55839

4,91732 5,58238 6,20979 6,80169 7,36009

6,97532 8,39384 9,89747 11,49132 13,18079

11 12 13 14 15

1,80209 1,90121 2,00577 2,11609 2,23248

0,55491 0,52598 0,49856 0,47257 0,44793

8,09254 8,61852 9,11708 9,58965 10,03758

14,58350 16,38559 18,28680 20,29257 22,40866

11 12 13 14 15

1,89830 2,01220 2,13293 2,26090 2,39656

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14,97164 16,86994 18,88214 21,01507 23,27597

16 17 18 19 20

2,35526 2,48480 2,62147 2,76565 2,91776

0,42458 0,40245 0,38147 0,36158 0,34273

10,46216 10,86461 11,24607 11,60765 11,95038

24,64114 26,99640 29,48120 32,10267 34,86832

16 17 18 19 20

2,54035 2,69277 2,85434 3,02560 3,20714

0,39365 0,37136 0,35034 0,33051 0,31180

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25,67253 28,21288 30,90565 33,75999 36,78559

21 22 23 24 25

3,07823 3,24754 3,42615 3,61459 3,81339

0,32486 0,30793 0,29187 0,27666 0,26223

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37,78608 40,86431 44,11185 47,53800 51,15259

21 22 23 24 25

3,39956 3,60354 3,81975 4,04893 4,29187

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39,99273 43,39229 46,99583 50,81558 54,86451

26 27 28 29 30

4,02313 4,24440 4,47784 4,72412 4,98395

0,24856 0,23560 0,22332 0,21168 0,20064

13,66250 13,89810 14,12142 14,33310 14,53375

54,96598 58,98911 63,23351 67,71135 72,43548

26 27 28 29 30

4,54938 4,82235 5,11169 5,41839 5,74349

0,21981 0,20737 0,19563 0,18456 0,17411

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59,15638 63,70577 68,52811 73,63980 79,05819

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,06500 1,13422 1,20795 1,28647 1,37009

0,93897 0,88166 0,82785 0,77732 0,72988

0,93897 1,82063 2,64848 3,42580 4,15568

1,00000 2,06500 3,19922 4,40717 5,69364

1 2 3 4 5

1,07000 1,14490 1,22504 1,31080 1,40255

0,93458 0,87344 0,81630 0,76290 0,71299

0,93458 1,80802 2,62432 3,38721 4,10020

1,00000 2,07000 3,21490 4,43994 5,75074

6 7 8 9 10

1,45914 1,55399 1,65500 1,76257 1,87714

0,68533 0,64351 0,60423 0,56735 0,53273

4,84101 5,48452 6,08875 6,65610 7,18883

7,06373 8,52287 10,07686 11,73185 13,49442

6 7 8 9 10

1,50073 1,60578 1,71819 1,83846 1,96715

0,66634 0,62275 0,58201 0,54393 0,50835

4,76654 5,38929 5,97130 6,51523 7,02358

7,15329 8,65402 10,25980 11,97799 13,81645

11 12 13 14 15

1,99915 2,12910 2,26749 2,41487 2,57184

0,50021 0,46968 0,44102 0,41410 0,38883

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11 12 13 14 15

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0,47509 0,44401 0,41496 0,38782 0,36245

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15,78360 17,88845 20,14064 22,55049 25,12902

16 17 18 19 20

2,73901 2,91705 3,10665 3,30859 3,52365

0,36510 0,34281 0,32189 0,30224 0,28380

9,76776 10,11058 10,43247 10,73471 11,01851

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16 17 18 19 20

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27,88805 30,84022 33,99903 37,37896 40,99549

r = 6,5% n

CopyMarket.com

-n

r = 7,5%

-n

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

-n

r = 8% n

-n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

1 2 3 4 5

1,07500 1,15562 1,24230 1,33547 1,43563

0,93023 0,86533 0,80496 0,74880 0,69656

0,93023 1,79557 2,60053 3,34933 4,04588

1,00000 2,07500 3,23062 4,47292 5,80839

1 2 3 4 5

1,08000 1,16640 1,25971 1,36049 1,46933

0,92593 0,85734 0,79383 0,73503 0,68058

0,92593 1,78326 2,57710 3,31213 3,99271

1,00000 2,08000 3,24640 4,50611 5,86660

6 7 8 9 10

1,54330 1,65905 1,78348 1,91724 2,06103

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6 7 8 9 10

1,58687 1,71382 1,85093 1,99900 2,15892

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7,33593 8,92280 10,63663 12,48756 14,48656

11 12 13 14 15

2,21561 2,38178 2,56041 2,75244 2,95888

0,45134 0,41985 0,39056 0,36331 0,33797

7,31542 7,73528 8,12584 8,48915 8,82712

16,20812 18,42373 20,80551 23,36592 26,11836

11 12 13 14 15

2,33164 2,51817 2,71962 2,93719 3,17217

0,42888 0,39711 0,36770 0,34046 0,31524

7,13896 7,53608 7,90378 8,24424 8,55948

16,64549 18,97713 21,49530 24,21492 27,15211

16 17 18 19 20

3,18079 3,41935 3,67580 3,95149 4,24785

0,31439 0,29245 0,27205 0,25307 0,23541

9,14151 9,43396 9,70601 9,95908 10,19449

29,07724 32,25804 35,67739 39,35319 43,30468

16 17 18 19 20

3,42594 3,70002 3,99602 4,31570 4,66096

0,29189 0,27027 0,25025 0,23171 0,21455

8,85137 9,12164 9,37189 9,60360 9,81815

30,32428 33,75023 37,45024 41,44626 45,76196

n

(1 + i)

(1 + i)

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,08500 1,17722 1,27729 1,38586 1,50366

6 7 8 9 10

r = 8,5%

r = 7% n

n

n

168

n

-n

r = 9% n

0,92166 0,84946 0,78291 0,72157 0,66505

a nº i 0,92166 1,77111 2,55402 3,27560 3,94064

1,00000 2,08500 3,26222 4,53951 5,92537

1 2 3 4 5

1,09000 1,18810 1,29503 1,41158 1,53862

1,63147 1,77014 1,92060 2,08386 2,26098

0,61295 0,56493 0,52067 0,47988 0,44229

4,55359 5,11851 5,63918 6,11906 6,56135

7,42903 9,06050 10,83064 12,75124 14,83510

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

2,45317 2,66169 2,88793 3,13340 3,39974

0,40764 0,37570 0,34627 0,31914 0,29414

6,96898 7,34469 7,69095 8,01010 8,30424

17,09608 19,54925 22,21094 25,09887 28,23227

16 17 18 19 20

3,68872 4,00226 4,34245 4,71156 5,11205

0,27110 0,24986 0,23028 0,21224 0,19562

8,57533 8,82519 9,05548 9,26772 9,46334

31,63201 35,32073 39,32300 43,66545 48,37701

CopyMarket.com

-n

a nº i

S nº i

0,91743 0,84168 0,77218 0,70843 0,64993

0,91743 1,75911 2,53129 3,23972 3,88965

1,00000 2,09000 3,27810 4,57313 5,98471

1,67710 1,82804 1,99256 2,17189 2,36736

0,59627 0,54703 0,50187 0,46043 0,42241

4,48592 5,03295 5,53482 5,99525 6,41766

7,52333 9,20043 11,02847 13,02104 15,19293

11 12 13 14 15

2,58043 2,81266 3,06580 3,34173 3,64248

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6,80519 7,16073 7,48690 7,78615 8,06069

17,56029 20,14072 22,95338 26,01919 29,36092

16 17 18 19 20

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0,25187 0,23107 0,21199 0,19449 0,17843

8,31256 8,54363 8,75563 8,95011 9,12855

33,00340 36,97370 41,30134 46,01846 51,16012

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

169


r = 10% n

-n

r = 11% n

-n

r = 18% n

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,10000 1,21000 1,33100 1,46410 1,61051

0,90909 0,82645 0,75131 0,68301 0,62092

0,90909 1,73554 2,48685 3,16987 3,79079

1,00000 2,10000 3,31000 4,64100 6,10510

1 2 3 4 5

1,11000 1,23210 1,36763 1,51807 1,68506

0,90090 0,81162 0,73119 0,65873 0,59345

0,90090 1,71252 2,44371 3,10245 3,69590

1,00000 2,11000 3,34210 4,70973 6,22780

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1,77156 1,94872 2,14359 2,35795 2,59374

0,56447 0,51316 0,46651 0,42410 0,38554

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7,71561 9,48717 11,43589 13,57948 15,93742

6 7 8 9 10

1,87041 2,07616 2,30454 2,55804 2,83942

0,53464 0,48166 0,43393 0,39092 0,35218

4,23054 4,71220 5,14612 5,53705 5,88923

7,91286 9,78327 11,85943 14,16397 16,72201

11 12 13 14 15

2,85312 3,13843 3,45227 3,79750 4,17725

0,35049 0,31863 0,28966 0,26333 0,23939

6,49506 6,81369 7,10336 7,36669 7,60608

18,53117 21,38428 24,52271 27,97498 31,77248

11 12 13 14 15

3,15176 3,49845 3,88328 4,31044 4,78459

0,31728 0,28584 0,25751 0,23199 0,20900

6,20652 6,49236 6,74987 6,98187 7,19087

16 17 18 19 20

4,59497 5,05447 5,55992 6,11591 6,72750

0,21763 0,19784 0,17986 0,16351 0,14864

7,82371 8,02155 8,20141 8,36492 8,51356

35,94973 40,54470 45,59917 51,15909 57,27500

16 17 18 19 20

5,31089 5,89509 6,54355 7,26334 8,06231

0,18829 0,16963 0,15282 0,13768 0,12403

7,37916 7,54879 7,70162 7,83929 7,96333

n

(1 + i)

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,12000 1,25440 1,40493 1,57352 1,76234

0,89286 0,79719 0,71178 0,63552 0,56743

0,89286 1,69005 2,40183 3,03735 3,60478

1,00000 2,12000 3,37440 4,77933 6,35285

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

1,97382 2,21068 2,47596 2,77308 3,10585

0,50663 0,45235 0,40388 0,36061 0,32197

4,11141 4,56376 4,96764 5,32825 5,65022

8,11519 10,08901 12,29969 14,77566 17,54874

11 12 13 14 15

3,47855 3,89598 4,36349 4,88711 5,47357

0,28748 0,25668 0,22917 0,20462 0,18270

5,93770 6,19437 6,42355 6,62817 6,81086

16 17 18 19 20

6,13039 6,86604 7,68997 8,61276 9,64629

0,16312 0,14564 0,13004 0,11611 0,10367

6,97399 7,11963 7,24967 7,36578 7,46944

r = 12% n

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-n

-n

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1,18000 1,39240 1,64303 1,93878 2,28776

0,84746 0,71818 0,60863 0,51579 0,43711

0,84746 1,56564 2,17427 2,69006 3,12717

1,00000 2,18000 3,57240 5,21543 7,15421

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

2,69955 3,18547 3,75886 4,43545 5,23384

0,37043 0,31393 0,26604 0,22546 0,19106

3,49760 3,81153 4,07757 4,30302 4,49409

9,44197 12,14152 15,32700 19,08585 23,52131

19,56143 22,71319 26,21164 30,09492 34,40536

11 12 13 14 15

6,17593 7,28759 8,59936 10,14724 11,97375

0,16192 0,13722 0,11629 0,09855 0,08352

4,65601 4,79322 4,90951 5,00806 5,09158

39,18995 44,50084 50,39594 56,93949 64,20283

16 17 18 19 20

14,12902 16,67225 19,67325 23,21444 27,39303

0,07078 0,05998 0,05083 0,04308 0,03651

5,16235 5,22233 5,27316 5,31624 5,35275

n

(1 + i)

r = 15% n

-n

r = 20% n

(1 + i)

-n

(1 + i)

a nº i

1,20000 1,44000 1,72800 2,07360 2,48832

0,83333 0,69444 0,57870 0,48225 0,40188

0,83333 1,52778 2,10648 2,58873 2,99061

1,00000 2,20000 3,64000 5,36800 7,44160

6 7 8 9 10

2,98598 3,58318 4,29982 5,15978 6,19174

0,33490 0,27908 0,23257 0,19381 0,16151

3,32551 3,60459 3,83716 4,03097 4,19247

9,92992 12,91590 16,49908 20,79890 25,95868

28,75514 34,93107 42,21866 50,81802 60,96527

11 12 13 14 15

7,43008 8,91610 10,69932 12,83918 15,40702

0,13459 0,11216 0,09346 0,07789 0,06491

4,32706 4,43922 4,53268 4,61057 4,67547

32,15042 39,58050 48,49660 59,19592 72,03511

72,93901 87,06804 103,74028 123,41353 146,62797

16 17 18 19 20

18,48843 22,18611 26,62333 31,94800 38,33760

0,05409 0,04507 0,03756 0,03130 0,02608

4,72956 4,77463 4,81219 4,84350 4,86958

87,44213 105,93056 128,11667 154,74000 186,68800

n

(1 + i)

r = 24%

(1 + i)

a nº i

S nº i

1,15000 1,32250 1,52087 1,74901 2,01136

0,86957 0,75614 0,65752 0,57175 0,49718

0,86957 1,62571 2,28323 2,85498 3,35216

1,00000 2,15000 3,47250 4,99337 6,74238

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

2,31306 2,66002 3,05902 3,51788 4,04556

0,43233 0,37594 0,32690 0,28426 0,24718

3,78448 4,16042 4,48732 4,77158 5,01877

8,75374 11,06680 13,72682 16,78584 20,30372

20,65458 24,13313 28,02911 32,39260 37,27971

11 12 13 14 15

4,65239 5,35025 6,15279 7,07571 8,13706

0,21494 0,18691 0,16253 0,14133 0,12289

5,23371 5,42062 5,58315 5,72448 5,84737

42,75328 48,88367 55,74971 63,43968 72,05244

16 17 18 19 20

9,35762 10,76126 12,37545 14,23177 16,36654

0,10686 0,09293 0,08081 0,07027 0,06110

5,95423 6,04716 6,12797 6,19823 6,25933

n

-n

S nº i

r = 25% n

-n

(1 + i)

a nº i

S nº i

1,24000 1,53760 1,90662 2,36421 2,93116

0,80645 0,65036 0,52449 0,42297 0,34111

0,80645 1,45682 1,98130 2,40428 2,74538

1,00000 2,24000 3,77760 5,68422 8,04838

1 2 3 4 5

1,25000 1,56250 1,95312 2,44141 3,05176

0,80000 0,64000 0,51200 0,40960 0,32768

0,80000 1,44000 1,95200 2,36160 2,68928

1,00000 2,25000 3,81250 5,76562 8,20703

6 7 8 9 10

3,63522 4,50767 5,58951 6,93099 8,59443

0,27509 0,22184 0,17891 0,14428 0,11635

3,02047 3,24232 3,42122 3,56550 3,68186

10,98006 14,61528 19,12294 24,71245 31,64344

6 7 8 9 10

3,81470 4,76837 5,96046 7,45058 9,31323

0,26214 0,20972 0,16777 0,13422 0,10737

2,95142 3,16114 3,32891 3,46313 3,57050

11,25879 15,07349 19,84186 25,80232 33,25290

24,34928 29,00167 34,35192 40,50471 47,58041

11 12 13 14 15

10,65709 13,21479 16,38634 20,31906 26,19563

0,09383 0,07567 0,06103 0,04921 0,03969

3,77569 3,85136 3,91239 3,96160 4,00129

40,23787 50,89495 64,10974 80,49608 100,81514

11 12 13 14 15

11,64153 14,55192 18,18989 22,73737 28,42171

0,08590 0,06872 0,05498 0,04398 0,03518

3,65640 3,72512 3,78010 3,82408 3,85926

42,56613 54,20766 68,75958 86,94947 109,68684

55,71747 65,07509 75,83636 88,21181 102,44358

16 17 18 19 20

31,24259 38,74081 48,03860 59,56786 73,86415

0,03201 0,02581 0,02082 0,01679 0,01354

4,03330 4,05911 4,07993 4,09672 4,11026

126,01077 157,25336 195,99416 244,03276 303,60062

16 17 18 19 20

35,52714 44,40892 55,51115 69,38894 86,73617

0,02815 0,02252 0,01801 0,01441 0,01153

3,88741 3,90993 3,92794 3,94235 3,95388

138,10855 173,63568 218,04460 273,55576 342,94470

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

170

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(1 + i)

a nº i

S nº i

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

171


r = 30% n

-n

n

(1 + i)

(1 + i)

1 2 3 4 5

1,30000 1,69000 2,19700 2,85610 3,71293

0,76923 0,59172 0,45517 0,35013 0,26933

6 7 8 9 10

4,82681 6,27485 8,15731 10,60450 13,78585

11 12 13 14 15

a nº i

r = 35% n

S nº i

n

(1 + i)

0,76923 1,36095 1,81611 2,16624 2,43557

1,00000 2,30000 3,99000 6,18700 9,04310

1 2 3 4 5

0,20718 0,15937 0,12259 0,09430 0,07254

2,64275 2,80211 2,92470 3,01900 3,09154

12,75603 17,58284 23,85769 32,01500 42,61950

17,92160 23,29809 30,28751 39,37376 51,18589

0,05580 0,04292 0,03302 0,02540 0,01954

3,14734 3,19026 3,22328 3,24867 3,26821

16 17 18 19 20

66,54166 86,50416 112,45541 146,19203 190,04964

0,01503 0,01156 0,00889 0,00684 0,00526

3,28324 3,29480 3,30369 3,31053 3,31579

n

(1 + i)

1 2 3 4 5

-n

(1 + i)

a nº i

1,35000 1,82250 2,46037 3,32151 4,48403

0,74074 0,54870 0,40644 0,30107 0,22301

0,74074 1,28944 1,69588 1,99695 2,21996

1,00000 2,35000 4,17250 6,63287 9,95438

6 7 8 9 10

6,05345 8,17215 11,03240 14,89375 20,10656

0,16520 0,12237 0,09064 0,06714 0,04974

2,38516 2,50752 2,59817 2,66531 2,71504

14,43841 20,49186 28,66401 39,69641 54,59016

56,40535 74,32695 97,62504 127,91255 167,28631

11 12 13 14 15

27,14385 36,64420 49,46967 66,78405 90,15847

0,03684 0,02729 0,02021 0,01497 0,01109

2,75188 2,77917 2,79939 2,81436 2,82545

74,69672 101,84057 138,48476 187,95443 254,73848

218,47220 285,01386 371,51802 483,97343 630,16546

16 17 18 19 20

121,71393 164,31381 221,82364 299,46192 404,27359

0,00822 0,00609 0,00451 0,00334 0,00247

2,83367 2,83975 2,84426 2,84760 2,85008

344,89695 466,61088 630,92469 852,74834 1152,21026

r = 36% n

-n

r = 40% n

(1 + i)

a nº i

S nº i

n

(1 + i)

1,36000 1,84960 2,51546 3,42102 4,65259

0,73529 0,54066 0,39754 0,29231 0,21493

0,73529 1,27595 1,67349 1,96580 2,18074

1,00000 2,36000 4,20960 6,72506 10,14608

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

6,32752 8,60543 11,70338 15,91660 21,64657

0,15804 0,11621 0,08545 0,06283 0,04620

2,33878 2,45498 2,54043 2,60326 2,64945

14,79866 21,12618 29,73161 41,43499 57,35158

11 12 13 14 15

29,43933 40,03750 54,45099 74,05335 100,71256

0,03397 0,02498 0,01837 0,01350 0,00993

2,68342 2,70840 2,72676 2,74027 2,75020

16 17 18 19 20

136,96908 186,27795 253,33801 344,53969 468,57398

0,00730 0,00537 0,00395 0,00290 0,00213

2,75750 2,76287 2,76681 2,76972 2,77185

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S nº i

-n

(1 + i)

a nº i

1,40000 1,96000 2,74400 3,84160 5,37824

0,71429 0,51020 0,36443 0,26031 0,18593

0,71429 1,22449 1,58892 1,84923 2,03516

1,00000 2,40000 4,36000 7,10400 10,94560

S nº i

6 7 8 9 10

7,52954 10,54135 14,75789 20,66105 28,92547

0,13281 0,09486 0,06776 0,04840 0,03457

2,16797 2,26284 2,33060 2,37900 2,41357

16,32384 23,85338 34,39473 49,15262 69,81366

78,99815 108,43749 148,47498 202,92598 276,97933

11 12 13 14 15

40,49565 56,69391 79,37148 111,12007 155,56810

0,02469 0,01764 0,01260 0,00900 0,00643

2,43826 2,45590 2,46850 2,47750 2,48393

98,73913 139,23478 195,92869 275,30017 386,42024

377,69188 514,66096 700,93891 954,27692 1298,81661

16 17 18 19 20

217,79533 304,91347 426,87885 597,63040 836,68255

0,00459 0,00328 0,00234 0,00167 0,00120

2,48852 2,49180 2,49414 2,49582 2,49701

541,98833 759,78367 1064,69713 1491,57600 2091,70638

Matemática Financeira e Comercial - Roberto Domingos Minello e Carlos Eduardo Epprecht

172


Apostila de matematica financeira (1)