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Planeaciones didácticas Secuencia 17. Jerarquía de operaciones Bloque 3

Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Problemas multiplicativos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis —si fuera necesario— en problemas y cálculos con

números enteros, decimales y fraccionarios. Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

En la actividad “¿Quién tiene razón?”, los estudiantes resuelven un problema que los conduce al estudio de la Inicio 1

jerarquía de las operaciones. Responden preguntas al respecto y reflexionan sobre el orden en que una calculadora hace las operaciones.

120

En la sección “Nuestro trabajo” se organizan en equipos y leen las indicaciones para realizar su proyecto, que en esta

Planeación

secuencia consiste en calcular el área libre de su salón de clase. En la actividad “Vámonos en orden” se reúnen en equipo para retomar la actividad inicial; exploran y describen los

pasos que tienen que seguir o las teclas que deben oprimir en la calculadora para obtener el resultado correcto. Reflexionan sobre el procedimiento para realizar operaciones, es decir, analizan la jerarquía de las operaciones. Retoman los ejercicios anteriores para resolverlos utilizando la calculadora. En la actividad “Tienda de descuentos” solucionan problemas que implican la aplicación de la jerarquía de las operaciones. En el apartado “Tareas” realizan diversos ejercicios para practicar la jerarquía de las operaciones. Desarrollo

3

En la sección “¿Cómo vamos?” leen algunas indicaciones para llevar a cabo su proyecto. En “Orden de las operaciones” resuelven una operación que involucra potencias y el uso de paréntesis, y describen

121

122

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su procedimiento paso a paso. En la sección “Tareas” trabajan en varios ejercicios en los que se debe considerar la jerarquía de las operaciones y el

uso de paréntesis. En la sección “¿Cómo vamos?” responden algunas preguntas relacionadas con la elaboración de su proyecto. Realizan la actividad del apartado “Espacio tecnológico”. Socialización y cierre

124 y 125

En “Presentación de nuestro trabajo” exponen al grupo el resultado de su proyecto y responden algunas preguntas 1

relacionadas con la manera como lo realizaron.

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En la sección “¿Cómo nos fue?” contestan preguntas acerca del contenido de la secuencia.

Observaciones

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Secuencia 18. Monomios y polinomios Bloque 3

Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Problemas multiplicativos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades Los estudiantes resuelven la actividad “El área de la casa”, comparten en grupo sus estrategias de solución y

Inicio 1

establecen acuerdos. En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones que deben llevar a cabo para elaborar su diseño.

Planeación

En la actividad “Representaciones geométricas” retoman la actividad inicial, establecen una expresión algebraica que

representa el área del terreno y la calculan.

Páginas 126 127

128

Resuelven un problema que consiste en determinar el área de una bodega mediante el uso de

expresiones algebraicas. En “Monomios por monomios” analizan y comprenden el procedimiento para multiplicar y para dividir monomios. Estudian y entienden la propiedad distributiva. Desarrollo

3

Comprenden el concepto de factorizar. Escriben los factores de algunas expresiones algebraicas. Analizan las expresiones que representan una diferencia de cuadrados. En “Multiplicación de monomios y polinomios” identifican el tipo de expresiones que se muestran en una lista, y las resuelven. En el apartado “¿Cómo vamos?” leen algunas características que deben tener sus diseños. En la actividad “División de monomios” analizan y comprenden el procedimiento para dividir monomios.

Socialización y cierre

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130 y 131

Resuelven los ejercicios de la sección “Tareas”.

131

Presentan sus diseños a todo el grupo y comentan qué operaciones realizaron para obtener sus respuestas. En la sección “¿Cómo nos fue?” responden preguntas relacionadas con el contenido de la secuencia.

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Observaciones

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Secuencia 19. Ángulos interiores de los polígonos Bloque 3

Eje temático: Forma, espacio y medida

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Figuras y cuerpos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

Los estudiantes resuelven la actividad “Triangular polígonos”, responden las preguntas planteadas y comparten con

Inicio 1

sus compañeros sus respuestas.

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En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones del proyecto que realizarán durante la secuencia.

Planeación

En la actividad “Triangulación de polígonos” analizan y comprenden los conceptos de polígono cóncavo y polígono convexo. Revisan una estrategia para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono. Calculan la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono, sin usar transportador. En “Lados y triángulos” analizan la relación que hay entre el número de lados y el número de triángulos que forman

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134

las diagonales de un polígono convexo.

Desarrollo

3

Escriben una fórmula que relacione el número de lados con el número de triángulos que se forman al triangular un polígono. En la actividad “Relación entre ángulos y triángulos” establecen el vínculo que existe entre los ángulos interiores de un

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polígono y las medidas de los ángulos interiores de los triángulos en los que queda dividido un polígono. Completan una tabla y con esta información escriben una expresión que permite obtener la suma de los ángulos

interiores de cualquier polígono en relación con el número de sus lados.

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En la actividad “Ángulos externos” analizan un procedimiento para conocer la medida de los ángulos externos de un polígono. En el apartado “¿Cómo vamos?” responden preguntas que les apoyarán en la elaboración de su proyecto. En la sección “Tareas” resuelven algunos ejercicios que implican el cálculo de la suma de las medidas de los ángulos

137

interiores de un polígono. Socialización y cierre

Presentan su reporte al grupo y llevan a cabo un debate. Discuten y analizan las dificultades que tuvieron en la 1

elaboración de su trabajo.

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En la sección “¿Cómo nos fue?” responden preguntas relacionadas con el contenido de la secuencia.

Observaciones

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Secuencia 20. Teselas Bloque 3

Eje temático: Forma, espacio y medida

Duración: 2 semanas

Número de sesiones: 10

Tema: Figuras y cuerpos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades En la actividad “Triángulos en construcciones modernas”, los estudiantes identifican en un grupo de figuras cuáles

Inicio

cubren el plano sin dejar huecos. 1

Planeación

8

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Investigan si con los triángulos isósceles, los cuadrados, los hexágonos y los pentágonos es posible cubrir el plano. Examinan las características que debe cumplir una figura para poder formar un teselado con ella.

140

En la actividad “Tipos de teselados” revisan si con un triángulo y un cuadrado es posible formar un teselado. Analizan y comprenden lo que es un teselado regular.

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cómo formar teselados al combinar colores y utilizar la misma figura. Analizan y comprenden lo que es un teselado semirregular. Explican por qué dos teselados que se muestran son semirregulars y no regulares. Analizan y comprenden lo que es un teselado demi-regular. Exploran y entienden lo que es un teselado irregular.

Socialización y cierre Recursos digitales

1

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En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones del proyecto que realizarán durante la secuencia. En la actividad “Teselas y mosaicos” comprenden el concepto de teselado. Analizan si con las figuras de la página 138 se puede cubrir el plano sin dejar huecos.

En la actividad “El nombre de los teselados” revisan el procedimiento para nombrar a los teselados. Comprenden Desarrollo

Páginas

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144 a 146

En el apartado “¿Cómo vamos?” leen las indicaciones para elaborar un teselado irregular.

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Presentan sus catálogos al resto del grupo y explican por qué sus diseños cumplen con las condiciones solicitadas. En la sección “¿Cómo nos fue?” responden preguntas relacionadas con el contenido de la secuencia.

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Trabajan la actividad del plan de lección M2HZ-B3-PL1.

Observaciones

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Secuencia 21. Relación entre dm3 y litro Bloque 3

Eje temático: Forma, espacio y medida

Duración: 2 semanas

Número de sesiones: 10

Tema: Medida

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales.

Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera. Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

En la actividad “México exporta petróleo” los estudiantes resuelven un problema de conversión de litros a decímetros

Inicio 1

cúbicos. Comparten sus respuestas y estrategias con sus compañeros.

148

En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones para realizar un cartel.

Planeación

En la actividad “Envases de un litro” calculan el volumen de distintos envases con forma de prisma, al medir sus

longitudes directamente.

148

Analizan la relación que hay entre mililitros y centímetros cúbicos. En “El litro, ¿volumen o capacidad?” reflexionan sobre la equivalencia de centímetros cúbicos y litro y decímetros

cúbicos y litro. Analizan y comprenden el concepto de capacidad. Reflexionan sobre la diferencia entre capacidad y volumen. En la sección “¿Cómo vamos?” responden preguntas relacionadas con las mediciones que hicieron de los objetos de Desarrollo

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su proyecto. En la sección “Desde una gota hasta una alberca olímpica” resuelven diversos problemas relacionados con la

equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. Leen el texto del apartado “Espacio tecnológico” y comentan con sus compañeros el resultado de su consulta. En “¿Cuánto pesa un litro de agua?” leen un texto acerca del Sistema Internacional de Medidas.

Socialización y cierre

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En la actividad “Quilates” resuelven un problema de equivalencia entre quilates y gramos. En el apartado “¿Cómo vamos?” responden preguntas relacionadas con la equivalencia entre volumen y capacidad.

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Presentan sus carteles al grupo y entre todos responden preguntas acerca de sus estrategias y resultados. En la sección “¿Cómo nos fue?” contestan preguntas relacionadas con el contenido de la secuencia.

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Observaciones

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Secuencia 22. Relación funcional Bloque 3

Eje temático: Manejo de la información

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Proporcionalidad y funciones

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen

en dicha relación. Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

Los estudiantes resuelven un problema de proporcionalidad directa que los conduce al estudio del tema.

Inicio 1 Planeación

En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones para llevar a cabo su proyecto. En esta secuencia harán una

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recomendación a una familia que quiere organizar una fiesta. En la actividad “¿Cuánto le cuesta a la industria contaminar?” retoman el problema inicial y responden varias

preguntas que los llevan al análisis de la situación. Escriben una expresión algebraica que modela el problema. Elaboran una gráfica para observar el comportamiento de los datos. Analizan y comprenden el concepto de relación funcional. En la actividad “Hábitos de lectura” resuelven un problema en el que determinan si es una relación funcional y

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escriben la función correspondiente. Desarrollo

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En la actividad “El viaje”, en parejas, analizan la relación entre el tiempo y la distancia que recorre un automóvil.

Escriben una función que relacione la distancia y el tiempo. Elaboran una gráfica que muestre la distancia recorrida en función del tiempo. En la actividad “Variación conjunta” analizan las características de una función que representa una proporcionalidad directa. En la actividad “Tablas de relaciones funcionales de la forma y = kx” representan en una tabla los datos de distintas

relaciones funcionales. Analizan las semejanzas y diferencias entre ellas.

Socialización y cierre Recursos digitales

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Resuelven los ejercicios de la sección “Tareas”.

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Presentan su trabajo al grupo y comparan sus propuestas con el resto de sus compañeros. Responden las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”.

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Trabajan la actividad del plan de lección M2HZ-B3-PL2.

Observaciones

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Secuencia 23. Gráficas poligonales Bloque 3

Eje temático: Manejo de la información

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Análisis y representación de datos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis

de la información que proporcionan. Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

En la actividad “¡Las gráficas dicen más que mil palabras!”, los escolares analizan la información que se muestra en

Inicio

una gráfica de serie de tiempo y responden algunas preguntas 1

Planeación

 En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones para llevar a cabo su proyecto. En esta secuencia realizarán

158

una investigación. En la actividad “Valores de las variables” analizan el procedimiento que deben seguir para interpretar una gráfica. Resuelven las actividades de la sección “Tareas”.

159

En “Construcción de gráficas de serie de tiempo con datos no agrupados” exploran las características de un

histograma y de un polígono de frecuencias.

160

Elaboran una gráfica poligonal.

Desarrollo

3

Realizan los ejercicios de la sección “Tareas”. En la actividad “Gráficas poligonales de frecuencia” analizan las características de un polígono de frecuencias.

161

En la actividad “Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos” revisan las características de las variables

cualitativas y de las variables cuantitativas. Identifican el tipo de variables que se presentan en una tabla de datos. En la actividad “Presentación por intervalos” analizan y comprenden los conceptos de marca de clase, límite superior

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y límite inferior de un intervalo, rango.

Socialización y cierre

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Resuelven los ejercicios de la sección “Tareas”.

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Presentan su investigación a todo el grupo y la comparan con la de los demás compañeros. Responden las preguntas de la sección “¿Cómo nos fue?”.

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Observaciones

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Secuencia 24. Medidas de tendencia central en dato agrupados Bloque 3

Eje temático: Manejo de la información

Duración: 1 semana

Número de sesiones: 5

Tema: Análisis y representación de datos

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido Análisis de propiedades de la media y la mediana.

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

En la actividad “Propiedades de la media y la mediana”, los estudiantes analizan un problema, responden varias

Inicio

preguntas y las discuten entre ellos. 1

Planeación

En la sección “Nuestro trabajo” leen las indicaciones para realizar su proyecto. En esta secuencia harán un estudio

164

estadístico. En la actividad “Propiedades del promedio o media aritmética en datos no agrupados” retoman el problema inicial y

analizan las propiedades de la media. En la actividad “Propiedades de la mediana” analizan las propiedades de la mediana.

164 y 165 165

En “Promedio o media aritmética en datos agrupados” responden preguntas a partir de la información que muestra Desarrollo

Socialización y cierre

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1

un polígono de frecuencias.

166

Completan una tabla con base en la información de un polígono de frecuencias. Analizan y comprenden el concepto de frecuencia absoluta acumulada. En la sección “¿Cómo vamos?” leen indicaciones para continuar con su proyecto.

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Calculan la media y la mediana de los datos agrupados y representados en un polígono de frecuencias. En la actividad “De los datos al polígono de frecuencias” elaboran el polígono de frecuencias de un conjunto de datos.

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Presentan su trabajo al grupo y responden preguntas relacionadas con el mismo. Responden las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. Resuelven la evaluación tipo PISA.

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Observaciones

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Formato de planeación

Bloque:

Eje temático:

Duración:

Número de sesiones:

Tema:

Periodo: del __________ al ________ de _______________________ Contenido

Desarrollo de la secuencia Etapa

Sesiones

Actividades

Páginas

Inicio

Planeación

Desarrollo

Socialización y cierre Recursos digitales Observaciones

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Reproducción del libro del alumno Intención pedagógica Que los alumnos conozcan los aprendizajes que se espera tengan al finalizar el presente bloque de estudio.

Recomendaciones procedimentales Pida que observen la imagen. Después de algunos instantes, solicite que comenten voluntariamente sobre lo que ahí analizaron. Pregunte si alguien recuerda haber observado configuraciones como la que se muestra. Permita que los alumnos hagan los comentarios libremente sin descalificarlos. Se espera que algunos estudiantes puedan compartir experiencias como las observaciones que hayan hecho en algunos pisos o ventanas de edificios públicos, como iglesias y museos, aunque también es probable que otros hayan observado pinturas con motivos parecidos. Promueva el desarrollo de competencias de tipo social como esperar su turno para participar, el respeto al uso de la palabra y la tolerancia. Después pregunte ¿Qué creen que se representa? ¿Por qué piensan que esta imagen aparece en su libro de matemáticas? ¿Qué elementos matemáticos observan?

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Recomendaciones procedimentales Pida que algún alumno lea en voz alta la información sobre la Ventana del edificio de Física y Astronomía de la Universidad de Washington, EUA, y solicite que comenten sobre esa información o que planteen sus dudas al respecto. Permita los comentarios libres y fomente la participación propositiva. En caso de que los alumnos manifiesten dudas en relación con el significado de algunas palabras, no responda directamente, mencione que durante las siguientes actividades encontrarán las respuestas a sus dudas.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que: • Resuelvas problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas. • Justifiques la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas. • Resuelvas problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad. • Leas y comuniques información mediante histogramas y gráficas poligonales.

Pida a cuatro estudiantes que cada uno lea en voz alta los aprendizajes que se espera que alcancen durante este bloque de estudio. Invite a que, de manera voluntaria, expliquen lo que consideran que van a estudiar en cada uno de esos aprendizajes esperados. Permita que expresen libremente sus ideas y, aunque estas sean parcialmente correctas, no realice comentarios que profundicen sobre las temáticas a tratar. Solicite que relacionen alguno de esos aprendizajes esperados con la imagen. En caso de que no logren establecer alguna relación, pida que vayan al índice de su libro, que lean los contenidos de este bloque y, sin profundizar en la temática, indique que esa imagen tiene relación directa con la secuencia número 20. Solicite que un alumno lea en voz alta el título de esa secuencia y pregunte si alguien sabe lo que significa esa palabra. Es probable que algunos alumnos que tengan experiencias con actividades artísticas puedan comentar al respecto. Permita los comentarios libres pero no formalice el concepto que será motivo de la secuencia referida.

Ventana del edificio de Física y Astronomía de la Universidad de Washington, EUA. La ventana tiene como decoración uno de los teselados aperiódicos de Penrose, los cuales, al cubrir el plano, forman distintos patrones en lugar de repetir solo uno.

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Intención pedagógica 1) No, porque influye el orden en que los números fueron introducidos en diferente forma.

Inicio

Las operaciones han sido realizadas desde la primaria, sobre todo cuando llevaron a cabo ejercicios de cálculo mental, sin embargo, las resolvieron como aparecían de izquierda a derecha. Ahora se trata de que hagan cálculos numéricos que impliquen usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis —si fuera necesario— en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 2.º grado, pregunta 14. Procedimiento de Jorge

Recomendaciones procedimentales Para comenzar la actividad solicite que un estudiante lea en voz alta el contenido de lo que van a estudiar. Después pida que comenten en forma libre lo que se imaginan que se abordará, permita cualquier comentario sin descalificar alguno, aunque tenga ideas equivocadas. Para animarlos a participar, haga preguntas como ¿Qué creen que es la jerarquía de las operaciones? ¿Significa que hay operaciones más importantes que otras?

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¿Quién tiene la razón?

Observen las calculadoras de la izquierda. En la parte superior se muestra el orden en que cada alumno apretó las teclas y, abajo, el resultado que obtuvo. Jorge dice que son 276 cartulinas, y Juan Pablo, en cambio, dijo que necesitaban 472. ¿Pueden las dos respuestas ser correctas? ¿Por qué? 1) ¿Por qué obtuvieron resultados diferentes? 2) ¿Cuál de los dos obtuvo el resultado correcto? Argumenten su respuesta. 3) Anoten las operaciones que realizó cada estudiante. ¿Influye en el resultado el orden en que se resuelven las operaciones? Justifiquen su respuesta. 4) ¿Saben en qué consiste la jerarquía de operaciones? Si su respuesta es afirmativa, explíquenlo. R. M. Consiste en el orden en que tienen que realizarse las operaciones en problemas de operaciones combinadas. Expongan sus respuestas al grupo. Comenten acerca del orden en que la calculadora hizo las operaciones para que el alumno obtuviera la respuesta incorrecta. Con ayuda del maestro lleguen a una conclusión. A lo largo de las actividades regresarán a trabajar con este problema y entenderán dónde estuvo el error, así como el significado de la jerarquía de operaciones. Antes, formen un equipo para leer la información del proyecto que realizarán durante la secuencia. 4) R. M. No debería si se respeta el orden en que deben realizarse, es decir, si se utiliza la jerarquía de operaciones.

Es probable que algunos alumnos quieran usar sus propias calculadoras para realizar el cálculo que hicieron Jorge y Juan Pablo en la actividad “¿Quién tiene la razón?”. Permita lo anterior para que se ayuden a resolver la actividad.

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Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis –si fuera necesario– en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

Para hacer un trabajo de la clase de dibujo, cada alumno, de dos grupos de segundo grado, necesita ocho cartulinas. Jorge y Juan Pablo calcularon la cantidad de cartulina que juntarían considerando que en el salón de 2.° A hay 28 alumnos y en el de 2.° B, 31. Para obtener la respuesta, la maestra les pidió a Jorge y a Juan Pablo que usaran la calculadora.

En el siguiente sitio encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia.

Procedimiento de Juan Pablo

Planeación

Organice los equipos para empezar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad dado que en este momento todavía no comenzarán la elaboración de su trabajo.

Contenido

Reúnanse en equipos para resolver las actividades.

Sugerencia de contenido

Durante la plenaria del final de la actividad oriente las reflexiones hacia la consideración del orden de las operaciones pero no formalice sobre la jerarquía de ellas ya que esto es motivo de las actividades posteriores.

Jerarquía de operaciones

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2) R. M. La diferencia radica en la colocación de paréntesis y en que la calculadora de Jorge utiliza la jerarquía de operaciones, es decir, primero multiplicó 31 × 8 y al resultado le sumó 28. 3) La de Juan Pablo. Porque él introdujo la operación correcta.

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Nuestro trabajo En equipos de tres integrantes, calculen el área libre (aquella que no esté amueblada) de su salón de clases. ŠNecesitarán una cartulina, escuadras, calculadora y un flexómetro. ŠSe recomienda no considerar objetos pequeños como el bote de basura. ŠA lo largo de la secuencia, en los apartados “¿Cómo vamos?”, encontrarán herramientas e información para realizar este proyecto. Al final deberán exponerlo al grupo.

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Reúnete con dos compañeros y lean nuevamente el procedimiento que siguieron Jorge y Juan Pablo. Hagan en el cuaderno las operaciones propuestas por cada uno. Resuélvanlas sin usar calculadora. Š¿Obtuvieron el mismo resultado que alguno de los niños? ¿Cuál de los dos está en lo correcto? 1) Š¿Da el mismo resultado cuando escriben las operaciones que cuando lo hacen con una calculadora? ¿Por qué? 2) ŠUtilicen su calculadora y expliquen la forma como operó los datos para obtener los resultados de Jorge y Juan Pablo. 3) ŠExploren y describan los pasos o teclas que debió oprimir quien estaba equivocado para obtener el resultado correcto. 4)

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros. Si en una expresión aritmética aparecen combinadas varias operaciones, deberán resolverse en el siguiente orden: Primero las potencias y raíces; después las multiplicaciones y divisiones y, al final, adiciones y sustracciones. A este orden se le conoce como jerarquía de operaciones. Si dos operaciones tienen la misma jerarquía, siempre se realizarán de izquierda a derecha. Cuando necesitamos realizar operaciones en distinto orden al que indica la jerarquía o para evitar confusiones en la interpretación de expresiones algebraicas, usamos paréntesis, corchetes y llaves. Estos nos indican que primero debemos resolver la o las operaciones que se encuentran dentro. ŠObserven las siguientes expresiones, expliquen en el cuaderno el significado de cada una y obtengan el resultado. 5) 16 ⫹ 8 ⫻ 2 ⫽ 32

(16 ⫹ 8) ⫻ 2 ⫽ 48

La expresión (16 ⫹ 8) ⫻ 2 también puede escribirse como (16 ⫹ 8) 2. Seguramente ya saben quién se equivocó en el problema de la actividad inicial. ŠReescriban las operaciones necesarias para calcular el número de cartulinas y resuélvanlas. ŠRetomen las operaciones 16 + 8 × 2 y resuélvanlas con una calculadora convencional y con una calculadora científica. Opriman las teclas en el orden que se muestra. Š¿Qué diferencia hay en los resultados? 6) Š¿Qué diferencia hubo en el procedimiento? 7) Š¿Qué calculadora respeta la jerarquía de operaciones? Justifiquen su respuesta. La segunda Coméntenlo con su maestro y registren en grupo sus conclusiones.

1) R. L. Juan Pablo 2) R. M. Sí, siempre y cuando se respete la jerarquía de las operaciones en ambos casos, cuando esto no sucede, algunas veces son diferentes. 3) Jorge sumó a 28 el resultado de multiplicar 31 × 8 y Juan Pablo multiplicó 28 × 8 y 31 × 8 por separado y al final sumó los resultados. 4) (28 + 31) × 8 = o 31 × 8 + 28 × 8 =, como la calculadora utiliza la jerarquía de operaciones, primero realizaría las multiplicaciones y después sumaría los resultados, los paréntesis no son necesarios. 5) La primera indica que al resultado de multiplicar 8 × 2 hay que sumarle 16 y la segunda, que la suma 16 + 8 se multiplica por 2.

Desarrollo

Vámonos en orden

Recomendaciones procedimentales Organice equipos con compañeros diferentes a los que elaborarán el trabajo final. En lo posible integre equipos y aproveche la diversidad de alumnos, por ejemplo, procure que en todos haya estudiantes de ambos sexos. Dada la experiencia de los alumnos con problemas parecidos al de la situación inicial, se espera que no tengan dificultades para determinar de manera escrita el resultado correcto. Pero es importante que dé el tiempo necesario para que, con base en el resultado que saben deben obtener, exploren la manera como tienen que operar sus calculadoras para encontrar la solución. Enriquezca la actividad, proponga que resuelvan las siguientes operaciones: “tres más ocho, por nueve” y “tres más, ocho por nueve”. Pida que calculen los resultados en forma escrita y que después exploren la manera como deben seguir la secuencia de teclas para encontrar el resultado mediante su calculadora. Solicite que tres alumnos lean en voz alta, un párrafo cada quien, de la información y ejemplifique con algunas operaciones escritas en el pizarrón, por ejemplo: 3 + 4 × 5 – 8 + 6 ÷ 2 – (4 – 5)2 =

expresión aritmética. Es aquella en que intervienen operandos numéricos y operadores aritméticos como +, –, ⫻, y ÷. El resultado será siempre de tipo numérico. Por ejemplo: 3 + 7 = 10.

Pida que continúen con la resolución de la actividad “Vámonos en orden” y cuando todos los equipos hayan terminado, organice la confrontación final. Invite a algunos estudiantes a que expongan sus resultados y cómo los encontraron para que el resto del grupo los valide. Oriente las conclusiones hacia la manera como se deben resolver las operaciones en una expresión aritmética de acuerdo con la jerarquía de las operaciones y cómo influyen en ella los signos de agrupación.

6) Son diferentes por el orden en el que se hicieron las operaciones. 7) R. M. En que en el primero hicimos la multiplicación y después la suma y en el segundo, primero resolvimos la suma del paréntesis y después la multiplicación.

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Tienda de descuentos Resuelvan los siguientes problemas. Jorge y Juan Pablo fueron a una tienda de ropa y encontraron esta lista de precios.

Recomendaciones procedimentales La actividad “Tienda de descuentos” está diseñada para que los alumnos la resuelvan de manera individual, pero si nota que algunos no pueden hacerlo en forma exitosa, organice parejas o equipos pequeños de trabajo. Antes de que los alumnos empiecen a resolver esta actividad, haga algunas preguntas como Si alguien pagó lo que resulta de la operación 3(219) + 2(325), ¿qué artículos compró? ¿Cuántas piezas de cada uno de esos artículos compró? Si otra persona pagó lo que resulta de la operación (219 + 325)4, ¿cuántas piezas de cada artículo compró? Lo anterior con la intención de que tengan un acercamiento a la temática que se abordará.

Artículo

Precio ($)

Oferta

Pantalón

219

Sin descuento

Camisa

179

15% de descuento sobre el precio

Chaleco

199

20% de descuento sobre el precio

Chamarra

325

Sin descuento

Jorge comprará un pantalón y un chaleco, él sabe que del precio de los artículos que tengan 20% de descuento, solo pagará 80%. Š¿A qué artículos debe aplicar el descuento? A la camisa y al chaleco Š¿Qué operaciones debe realizar para saber el monto que pagará por el chaleco? R. M. Multiplicar $199 × 0.80 Š¿Qué monto pagará por los dos artículos? (199 × 0.80) + (179 × 0.85) = 311.35. Pagará $311.35 Una persona compra dos chamarras y dos chalecos. Para calcular el total puede usarse la expresión 2 (325 ⫹ (199 ⫻ 0.80)). ŠDescriban el orden en que deben resolverse las operaciones. Primero se multiplica

En caso de que encuentren la expresión 2(235) + 2(199 × 0.80) como equivalente a 2(325 + (199 × 0.80)), aproveche esa expresión para nombrar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición.

199 × 0.80, al resultado se le suma 325 y el total se multiplica por 2. ŠEscriban otra forma de expresar la situación anterior. R. M. (199 × 0.80 + 325) = 484.2 Š¿Cuánto tiene que pagar la persona por su compra? $968.40

Haga énfasis en que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual. Al día siguiente organice una confrontación de resultados y estrategias. Solicite que algunos estudiantes, voluntariamente, hagan los ejercicios en el pizarrón y expliquen paso a paso cómo resolvieron las operaciones para calcular el resultado. No permita que los alumnos descalifiquen el trabajo de quienes están al frente, mencione que, en caso de desacuerdos, deberán pedir la palabra para expresar su opinión con argumentos matemáticos.

Juan Pablo quiere comprar dos pantalones, tres camisas, un chaleco y una chamarra. ŠAnota las operaciones que debes resolver para saber lo que pagará. R. M. 2(219) + 3(179 × 0.85) + (199 × 0.8) + 325 = 1378.65 ŠResuélvelas utilizando una correcta jerarquía de operaciones y anota el resultado. $1378.65 Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Si hay alguna diferencia, coméntenla con el maestro y determinen cuál es el resultado correcto y por qué.

1. Resuelve en el cuaderno paso a paso las siguientes operaciones. a) 20 ⫹ 5 ⫻ 38 ⫽ 210

b) 0.42 ⫻ 5 ⫺ 7 ⫽ –4.9 14 d) 2 2 ⫹ 3 ⫻ 4 ⫺ ⫽ 9 2 f) 50 + 7 – (3 – 4) = 58

c) 230 ⫺ 4 ⫻ 5 2 ⫹ 14 ⫽ 144 50 6 e) ⫺ 68 ⫹ 34 ⫻ ⫽ 25 2 3 g) 3.75 + [2 × (25.5 – 12.5)] = 29.75 h) 4.6 + (2.5 × 5.4 + 3) = 21.1 i) [15 – (22 – 10 ÷ 2 )] × [5 + (3 × 4 – 3 )] = –28 Compara tus respuestas con las de otros compañeros. En caso de que existan diferencias, discutan los procedimientos empleados y lleguen a acuerdos.

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¿Cómo vamos? Reúnete con tu equipo para trabajar en la medición del salón de clases. R. L. ŠHagan una lista o relación de los muebles que hay en el salón. ŠCalculen el área del piso que ocupan usando los datos que obtengan al medir cada uno de sus lados. ŠCalculen el área del piso del salón (es probable que no tenga forma de un cuadrado o rectángulo, por lo que tu equipo tendrá que calcular áreas parciales y sumarlas). Š¿Tienen claro cómo van a conseguir el dato final que se les pide? Š¿Deberán ser iguales estos resultados? ¿Variarán por un poco o serán completamente distintos? ¿Por qué? Š¿Será necesario utilizar jerarquía de operaciones en su solución?

Recomendaciones procedimentales Nuevamente integre los equipos para continuar con el trabajo del cálculo del área libre del salón de clases, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Tome en cuenta que en este momento deben llevar a cabo diversas mediciones y reflexionar acerca de la manera como la jerarquía de las operaciones les puede ayudar a calcular el resultado final. Dé tiempo suficiente para llevar a cabo la actividad.

El orden de las operaciones

Ahora forme parejas con diferentes estudiantes para que resuelvan la actividad “El orden de las operaciones”. En esta ocasión puede dejar que los alumnos elijan libremente con quién compartir el trabajo, siempre que no sea un compañero con el que ya hayan realizado alguna actividad de esta secuencia.

Reúnete con un compañero para resolver la siguiente actividad. ŠResuelvan la operación y describan paso a paso el procedimiento que siguieron. 45 ⫺ (17 ⫹ 3 ⫻ 4) ⫹ 23 ⫺ 8 ⫽ 18 Š 32 ⫹ 3 1) Š¿Qué operación resolvieron primero? La multiplicación dentro del paréntesis. ŠPlanteen en el cuaderno una situación que se resuelva con esta operación. R. L. ŠLean el siguiente problema y elijan cuál de las operaciones que aparecen representa la solución. Justifiquen su elección.

1) Primero realizamos las operaciones que están dentro del paréntesis y después las sumas y restas.

Respecto a la primera operación que se presenta es posible que algunos estudiantes decidan realizar varias operaciones al mismo tiempo y como primer paso, sin afectar el resultado correcto; pueden resolver la división, la multiplicación y la potenciación. De hecho es deseable que los alumnos, poco a poco, vayan desarrollando la habilidad de observar, decidir y ejecutar varias operaciones en el mismo paso.

Pedro y sus dos amigos fueron a la cafetería de la escuela a desayunar y encontraron que los paquetes combo tenían 20% de descuento, entonces decidieron comprar, cada uno, un combo de $25. Si pagaron los tres combos con un billete de $200, ¿cuánto cambio les devolvieron? a) 200 ⫺ 9^3 ⫻ 25h ⫺ a 3 ⫻ 25 ⫻ 20 kC 100

Cuando todos los escolares hayan terminado su trabajo, solicite que algunos pasen al pizarrón a resolver las operaciones de la última bala. En cada caso pida que argumenten por qué van solucionando cada una de las operaciones para que el resto del grupo los valide.

b) 200 ⫺ ^3 ⫻ 25h ⫺ a 3 ⫻ 25 ⫻ 20 k 100

c) 6 200⫺ ^3 ⫻ 25h @ ⫺ a 3 ⫻ 25 ⫻ 20 k 100

No olvide que los estudiantes pueden proponer diversos procedimientos, por ejemplo, es probable que algunos decidan aplicar la propiedad distributiva en el caso de la primera operación. No descalifique ninguna estrategia e invítelos para que comprueben sus resultados con argumentos matemáticos.

Š¿Hay otra forma de representar la situación? Escriban en el cuaderno una operación equivalente a la que eligieron. R. M. 200 − [3(25 × 0.80)] ŠResuelvan las operaciones. Consideren el uso de los paréntesis y la jerarquía de operaciones. 14 ) ⫻ 2 ⫽ 85 2 45 2 Š^ h ⫺ 7 ⫹ 3 ⫽ 21 9

Š125 ⫺ (13 ⫹

20 ⫽ 5 2000 100 ⫺ ⫹2⫻5⫽ 0 100

Š 112 ⫺ 60 ⫻ 2 ⫹ Š

16 ⫹

0

Compartan sus respuestas con sus compañeros y valídenlas con el profesor.

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Escriban en el cuaderno las operaciones necesarias y resuelvan cada situación problemática. ŠEl costo para ir al cine con mis tres mejores amigos es de $ 40 por boleto, $ 90 del taxi y $ 28 por cada una de dos bolsas de palomitas que compramos. 1) 1) 2) 3) 4)

Recomendaciones procedimentales Se espera que los estudiantes no tengan dificultades para resolver el problema de la primera bala dado que es parecido a los que han resuelto desde la primaria. En este caso debe hacer énfasis en la escritura de la operación, para lo cual se sugiere utilizar la jerarquía de las operaciones, que arroja el resultado correcto, este puede ser calculado con estrategias personales. Tome en cuenta que la última igualdad de la tercera bala resulta verdadera si los alumnos resuelven las operaciones como se presentan de izquierda a derecha. Indique a los alumnos que pongan atención en el uso de la jerarquía de las operaciones para determinar dónde se deben colocar los paréntesis.

3(40) + 90 + 2(28) = 266 ŠPara una excursión del colegio, se necesita un autobús por cada 32 alumnos y uno (224 ÷ 32) + 1 = 8 extra por precaución, cuántos autobuses son necesarios para transportar: (96 ÷ 32) + 1 = 4 (n ÷ 32) + 1 Š224 alumnos 2) Š 96 alumnos 3) Š n alumnos 4) ŠColoquen el paréntesis en cada operación de manera que el resultado sea correcto. Š18 ÷(2 + 2)= 4.5

Š(15 – 4)× 3 = 33

8 Š(5 ⫹ 2)⫻ 3 ⫹ ⫽ 23 4

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. En caso de que haya diferencias, revisen hasta coincidir en los resultados.

Realiza las siguientes ac actividades en el cuaderno. 1. Resuelve utilizando la jerarquía de operaciones.

Mencione que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa de manera individual y tienen que aplicar lo que aprendieron en clase. Al día siguiente organice un intercambio de respuestas y estrategias. Solicite que algunos alumnos expongan sus resultados y las estrategias de resolución de cada ejercicio para que el resto del grupo los valide.

a) 2 a c) a

5) (3(245 × 0.8) + 5(120 × 0.85) + 99) 0.90 = $1 077.30

Nuevamente organice las parejas de trabajo para que concluyan la elaboración de su proyecto, según lo que se propone en la sección “¿Cómo vamos?”. Considere que en este momento deben concluir su trabajo por lo que es necesario que les dé suficiente tiempo para llevar a cabo esta actividad. Es deseable que los alumnos expresen sus operaciones y utilicen lo aprendido en la secuencia, por ello, si observa que algunos realizan las operaciones parciales, por ejemplo una operación para calcular cada área de los objetos y del salón de clases, invítelos a conjuntar esas operaciones en una sola usando la jerarquía de las operaciones y los paréntesis, en caso necesario.

39 45 ⫺ 128 ⫽ –95 k⫹ 3 13

28 2 35 ⫽ –4.98 k ⫺ 44 5⫹2

b) 12.5 ⫹ 75.28 ⫻ 4 ⫺ d) 2 2 ⫺

32.1 ⫽ 311.75 17.2

24 49 50 ⫹ ⫺ ⫽0 6 14 100

2. En una tienda, los productos A tienen 20% de descuento, los productos B tienen 15% de descuento y los productos C no tienen descuento. Si se compran cinco o más artículos, se hace 10% de descuento adicional al monto total. El precio del artículo A es $ 245, el de B es $ 120 y el de C es $ 99. a) ¿Cuánto gastará una persona que compra tres artículos A, cinco B y uno C? 5) b) ¿Cuánto gastará una persona que solo compra 10 artículos C? $891.00 c) ¿Cuánto gastarán en total las personas que compran lo que se indica en las dos preguntas anteriores? $1 968.30 3. Coloca el paréntesis de manera que el resultado sea correcto. a)

[(9 ⫹ 2) ⫻ 3 ⫹ 31] ⫽ 8

) 32 ⫽ 12 b) 21 ÷ 5( ⫹ 2 ⫹

Presenta tus resultados ante el grupo para validarlos. Para cada caso, justifica tu respuesta.

¿Cómo vamos? Trabaja nuevamente con tu equipo en la medición del salón de clases.

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ŠAhora que ya tienen el área del salón y de los muebles, ¿cómo pueden utilizar esta información para encontrar el área libre? R. L. ŠEscriban la o las operaciones que les permitan calcular el área del salón. Š¿Aplicaron lo aprendido sobre jerarquía de operaciones para representar la situación? ¿Fue necesario que utilizaran paréntesis? ¿Por qué? R. L. Š¿Por qué es importante saber en qué orden se resuelven las operaciones? R. M. Es importante saberlo para obtener el resultado correcto.

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Algunas calculadoras trabajan según la jerarquía de las operaciones (como las científicas o las graficadoras) y otras en el orden en que se les van introduciendo (como las más sencillas). Las hojas de cálculo electrónicas y las cajas registradoras también aplican la jerarquía de las operaciones.

Intención pedagógica

Š¿Qué pasaría si estas máquinas o herramientas no aplicaran correctamente la jerarquía de las

operaciones? R. M. El procedimiento para obtener los resultado sería más complicado.

El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo que realizó y los conocimientos que adquirió, así como la relación que existe entre ellos.

Las siguientes parejas de operaciones fueron resueltas en diferentes calculadoras oprimiendo las mismas teclas. ŠIdentifica y señala las que fueron resueltas en una calculadora que respeta la jerarquía de opera-

ciones. Justifica tus respuestas. 2 ⫺ 8 ⫼ 2 ⫽ ⫺3 18 ⫹ 24 ⫻ 2 ⫺ 21 ⫼ 3 ⫽ 21 2 ⫹ 6 ⫻ 5 ⫺ 8 ⫽ 24

Recomendaciones procedimentales

2 ⫺ 8 ⫼ 2 ⫽ ⫺2 18 ⫹ 24 ⫻ 2 ⫺ 21 ⫼ 3 ⫽ 59 2 ⫹ 6 ⫻ 5 ⫺ 8 ⫽ 32

Es importante garantizar que todos los alumnos cuentan con una calculadora para realizar las actividades que se proponen en la sección “Espacio tecnológico”. Prevenga lo anterior y solicite algunas a los compañeros o incluso a estudiantes de otros grados que puedan prestar una para quienes no tienen. Realice una lectura por párrafos de la información inicial y haga la pregunta de la primera bala para que, en lluvia de ideas, los alumnos la contesten en el grupo. Después indique que resuelvan individualmente la actividad de la segunda bala y cuando terminen organice nuevas parejas de trabajo, para que hagan la última actividad. Al final coordine la plenaria para que los alumnos compartan sus hallazgos.

Es importante que sepas si tu calculadora aplica la jerarquía de las operaciones. Reúnanse en parejas. Cada uno invente una operación que contenga potencias, multiplicaciones o divisiones y sumas y restas. Incluyan operaciones entre paréntesis. Cada uno resolverá, primero a mano y después con su calculadora, la operación que propone su compañero. Así podrá concluir si su calculadora aplica la jerarquía de operaciones. Comenten sus resultados con su maestro y con el grupo para llegar a una conclusión.

Cierre

Presentación de nuestro trabajo Presenten al grupo el resultado de su medición. Probablemente no todos obtuvieron los mismos resultados pero las expresiones u operaciones para los cálculos deben ser equivalentes. Š¿Cuáles pueden ser las razones de que no todos los equipos obtengan exactamente cantidades iguales como resultado? 1) ŠSi hubiera algún equipo que encontró un resultado significativamente distinto, puede que no haya sido ocasionado por errores de medición, sino por un error al realizar el cálculo. ŠComenten cómo plantearon el problema y en qué orden resolvieron las operaciones para llegar al resultado final. Š¿Otros compañeros usaron la misma expresión que tu equipo? R. L.

¿Cómo nos fue? Š¿Qué pasó con el resultado que obtuvo Jorge en la actividad inicial? ¿En qué orden hizo las operaciones la calculadora? 2) Š¿Cuál es la función de los paréntesis en expresiones algebraicas? ¿Te facilitó la solución de problemas y el cálculo de las operaciones combinadas? 3) ŠPlantea un problema y escribe la expresión que lo represente. R. L.

1) R. M. Puede ser que haya pequeñas diferencias en las medidas que cada equipo tomó 2) Fue incorrecto. Primero multiplicó 31 × 8 y al resultado le sumó 28. 3) R. M. Los paréntesis sirven para separar operaciones que deben resolverse en distinto orden al de la jerarquía de operaciones, indican que debemos resolver primero las operaciones que se encuentran dentro de estos. R. L.

Solicite que, de forma voluntaria, comenten sobre las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y al turno para participar. En caso de que las condiciones del grupo lo permitan, invítelos a realizar una reflexión crítica sobre su colaboración en el equipo en el cual participaron, así como una autoevaluación sobre los aprendizajes que adquirieron. Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

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Organice la presentación de los resultados de las mediciones, según lo establecido en la sección “Presentación de nuestro trabajo”. En esa presentación es importante que no solamente muestren sus resultados sino que también compartan sus estrategias de solución. Oriente las reflexiones grupales hacia la consideración de la estrategia que resuelve de manera más eficaz el problema.

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Bloque 3

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Intención pedagógica

Contenido Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

El área de la casa

Inicio

Los alumnos resolvieron multiplicaciones de expresiones algebraicas mediante el uso de modelos algebraicos en la secuencia 12 de este mismo texto. Ahora se trata de que solucionen problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división de polinomios, y que apliquen los procedimientos expertos. También se insertan en este tipo de operaciones algunos productos notables y la factorización, temáticas que antes se abordaban en tercer grado de secundaria.

Monomios y polinomios

Lee, analiza la imagen y responde. La siguiente ilustración corresponde a un terreno en el que se va a construir una casa. El área coloreada con azul es la superfice que ocupará la casa y el resto se usará como jardín y cochera.

Sugerencia de contenido En los siguientes sitios encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia. http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 2.º grado, preguntas 15, 16 y 17. http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 2.° de Secundaria, Matemáticas II, Bloque 2, página 4, actividad “La multiplicación en expresiones algebraicas”.

Recomendaciones procedimentales Para empezar la actividad solicite que un alumno lea en voz alta el contenido que se estudiará. Después pídales que hagan comentarios sobre lo que piensan que se abordará, permita cualquier comentario sin descalificar alguno, aunque tenga ideas equivocadas. Para animarlos a participar, hágales preguntas como ¿Qué operaciones se trabajarán en esta secuencia? ¿Qué les hace pensar que son esas?

1) Porque son las expresiones que representan el largo y ancho del terreno. 2) y2 3) 5y + 4 4) Si y = 5, el área del terreno será 54 unidades cuadradas; si y = 6, el área del terreno será de 70 unidades cuadradas. 5) El ancho mide y.

Se espera que los alumnos recuerden lo trabajado en la secuencia 12 para realizar la actividad “El área de la casa”. Incluso permita que regresen a dicha secuencia en caso de tener algunas dudas. Durante la plenaria del final de la actividad oriente las reflexiones hacia la consideración de la sustitución de la variable por algunos valores constantes como una forma de controlar las expresiones algebraicas que representan las diferentes áreas solicitadas.

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•¿Cuál expresión algebraica representa el largo del terreno? y + 4 •¿Cuál expresión algebraica representa el ancho del terreno? y + 1 •¿Cuál expresión algebraica representa el área del terreno? (y + 4)(y + 1) •Argumenta por qué las tres expresiones anteriores son correctas. 1) •¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área que ocupará la casa? 2) •¿Qué expresión algebraica representa el área que ocuparán el jardín y la cochera? 3) •¿Cuál es el área del terreno si y es igual a 5? ¿Y si y valiera 6? 4) •¿Cuánto mide de ancho un terreno rectangular que mide 2y de largo y su área es 2y 2? Elabora un dibujo que muestre la situación. 5) Comenta tus respuestas con tus compañeros y con el profesor. Reúnanse en equipos y lean, en el apartado “Nuestro trabajo”, la información necesaria para realizar el proyecto.

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Planeación

Nuestro trabajo En este proyecto trabajarán en equipos para diseñar los cuadernos para un fabricante. ŠDeberán entregar a su maestro un diagrama en el que se muestre un cuaderno abierto con el diseño final que cumpla las características requeridas por el fabricante. ŠPara ello, deberán tomar en cuenta los requisitos que encontrarán más adelante en el apartado “¿Cómo vamos?”. ŠA lo largo de la secuencia encontrarán más información en los apartados “¿Cómo vamos?”. A

Desarrollo

Representaciones geométricas

Recomendaciones procedimentales

B

Lee nuevamente la información del terreno de la página anterior y resuelve las actividades. Para calcular el área del terreno, este se dividió como se muestra en la figura de la derecha.

C

D

ŠEscribe una expresión algebraica que represente cada una de las áreas en que se dividió la figura. Para C retoma la expresión que escribiste antes. A y B 4 2 C y

Organice los equipos para comenzar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad dado que en este momento todavía no empezarán la elaboración de su trabajo, sino que solo conocerán algunas características y consideraciones para su elaboración. Tome en cuenta que la actividad “Representaciones geométricas” está diseñada para que sea resuelta de manera individual, pero si observa que algunos alumnos tienen problemas para llevarla a cabo, organice parejas o equipos para que la trabajen en forma colaborativa. Forme equipos con compañeros diferentes a los que elaborarán el trabajo final. En lo posible trate de que los equipos estén integrados por la diversidad de alumnos, por ejemplo, procure que en todos haya alumnos de ambos sexos y con características distintas.

D 4y

Los estudiantes tienen experiencia desde la primaria con el cálculo de áreas de figuras compuestas y con la descomposición de figuras en otras. Sin embargo, es conveniente que, antes de comenzar la solución de esta actividad, haga preguntas como ¿En qué figuras se dividió el terreno? ¿Es posible calcular el área de cada una de esas figuras? ¿Qué harían para calcular el área de cada figura?

ŠAhora suma las expresiones algebraicas anteriores para calcular el área de todo el terreno. Simplifica los términos semejantes. y  4  y2  4y  y2 + 5y + 4 ŠRevisa las expresiones algebraicas de la actividad anterior, ¿alguna coincide con las que escribiste antes? Sí, coinciden con dos de ellas. Como sabemos, el área de un rectángulo se puede calcular utilizando la fórmula base por altura. Si la base del terreno mide y  4 y el ancho y  1 . ¿Qué expresión algebraica permite representar la fórmula? (y + 4)(y + 1)

Es probable que algunos escolares cuestionen la posibilidad de escribir una expresión algebraica que represente el área de la región B, como se indica en la primera bala de esta actividad, dado que se considera a ese tipo de expresiones como las que contienen literales y números. En este caso, comente que la indicación es una generalidad para todas las regiones y, que para la región B escriban entonces la cantidad de unidades cuadradas que tiene su área.

Š¿Cómo pueden obtener el producto de la multiplicación? R. M. Multiplicando a los términos del primer binomio por los dos términos del segundo binomio. ŠResuelvan la multiplicación para conocer el área del terreno: (y + 4)(y + 1) = y2 + y + 4y + 4 Área = y + 5y + 4 2

Š¿Qué observas en los resultados obtenidos? ¿Qué relación hay con las expresiones algebraicas que anotaste para calcular el área de cada parte del terreno? Son las mismas expresiones. ŠAsigna diferentes valores a y, por ejemplo, 7 y 8. Escribe en el cuaderno distintas expresiones algebraicas para calcular el área del terreno usando estos valores y calcúlala. Š¿Cuál es el área del terreno cuando y vale 7? ¿Y cuándo vale 8? 1)

1) R. M. Para y = 7 tendremos (11)(8) = 88. Para y = 8 tendremos (12)(9) = 108. 88 unidades cuadradas; 108 unidades cuadradas. 2) 2(y + 4) + 2(y + 1) = 4y + 10

Durante la plenaria, al final de esta parte de la actividad, oriente las conclusiones hacia la manera de calcular el producto (y + 4)(y + 1). En caso necesario, indique a los alumnos que regresen a la secuencia 12 para recordar lo que hicieron para este tipo de operaciones.

Š¿Qué expresión algebraica representa el perímetro de la casa? 2) ŠExpresa el perímetro de todo el terreno de dos diferentes maneras. 4y + 10; 5y – y + 10 Compara tus resultados con tus compañeros y valídenlos con el profesor.

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Reúnete con un compañero para resolver las siguientes actividades. La ilustración muestra el terreno donde se va a construir una tienda de abarrotes. El área verde representa el espacio para atender a los clientes, el espacio azul es el mostrador y el área sin colorear es la bodega. 14

Recomendaciones procedimentales Es de esperar que, después de las conclusiones obtenidas en el trabajo de la página anterior, los alumnos puedan encontrar sin mayores complicaciones las multiplicaciones de expresiones algebraicas que simbolizan las áreas de las regiones que se representan para la tienda de abarrotes, sin embargo no será tan sencillo para ellos encontrar el producto de esas multiplicaciones, por ello acepte expresiones del tipo (14 – n – 1.5n)(6) para el área de la bodega y (14 – n – 1.5n) + (6) + (14 – n – 1.5n) + (6) para el perímetro de la misma región.

ŠObserven las medidas que se muestran y respondan. Š¿Qué expresión algebraica representa la medida del largo de la bodega? 14 − 2.5 n Š¿Qué expresión algebraica representa la medida del ancho de la bodega? 6 6

14

n

1.5n

1) (14 − 2.5n)(6) = 84 − 15n 2) 2(14 − 2.5n) + 12

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Monomios por monomios ŠConsideren las siguientes operaciones de expresiones algebraicas. (4a)(2b) = −4b (–2a)

(–13xy)(–4z) = 52xyz

Š¿Qué tipo de expresión algebraica representa cada una de las expresiones con las que se está operando? Solo tienen un término. ŠAnota una característica referente al número de miembros de cada factor que se está operando. Cada expresión solo tiene una constante y una parte literal. Cuando se multiplican entre sí dos monomios, debemos identificar los tres factores que los forman: el signo, los coeficientes numéricos y las literales, para de ese modo ir operando con cada uno de estos.

Considere que la actividad “Monomios por monomios” incluye la multiplicación de binomios, por ello es conveniente que divida el análisis de esta actividad en dos partes, una para la multiplicación de monomios y otra para la multiplicación de binomios. En cada una pida que un estudiante lea en voz alta la información del texto en rojo y apoye sus comentarios con ejemplos, sobre todo la que respecta a las expresiones del tipo x2 + ax + b que resultan de la multiplicación de binomios.

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Š¿Qué representa la expresión algebraica 6(n + 1.5n)? El área de la región azul y verde Š¿Cuál es el resultado de la multiplicación anterior? 15n

Reúnete con un compañero para realizar las actividades.

Tome en cuenta que la multiplicación que se indica en la penúltima bala del último ejercicio de la actividad “Representaciones geométricas” puede ser resuelta de dos maneras diferentes por los alumnos: una es resolver primero la suma del interior de los paréntesis, como se trabajó en la secuencia anterior y otra, aplicar la propiedad distributiva que se trabajó en la secuencia 12. Es deseable que surjan ambas formas de resolución, pero en caso de que no aparezca la segunda, no la mencione, esto se aborda más adelante en esta secuencia.

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ŠEscribe las expresiones algebraicas que representan el área y el perímetro de la bodega. A = 1) P = 2)

coeficientes numéricos. Son números

ŠResuelvan las dos operaciones planteadas al inicio de la actividad.

que representan valores constantes. Siempre aparecen acompañando a las literales o variables, de manera que las multiplican. Si una variable no tiene un coeficiente explícito, el valor de este es uno. literales. Son letras utilizadas para representar valores o números. También se les conoce como variables.

Comparen sus resultados con los de otros compañeros.

3) x 2 + 4x + 3 4) x 2 – 5x + 4 5) x 2 + x – 6

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Hay distintas maneras de representar una multiplicación de expresiones algebraicas, a estas expresiones se les conoce como equivalentes. Una propiedad de las operaciones que permite que esto suceda es la propiedad distributiva. Por ejemplo: (a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc a(b + c) = ab + ac ŠAhora resuelvan las multiplicaciones. Š(2x + b)(5) = 10x + 5b

Š (3.5x)(2 + 7a – y) = 7x + 24.5xa – 3.5xy

ŠEfectúen las siguientes operaciones para encontrar una expresión algebraica equivalente, en cada caso. Š(x + 3)(x + 1) = 3)

Š (x – 1)(x – 4) = 4)

Š (x + 3)(x – 2) = 5)

Las expresiones algebraicas anteriores representan expresiones del tipo x2 + ax + b.

ŠAnalicen el procedimiento que siguieron al multiplicar cada una de ellas y respondan: Š¿Qué procedimiento les permite encontrar los factores cuya multiplicación da como resultado una expresión de este tipo? R. M. La variable de los binomios es la variable de la expresión, y los términos constantes se determinan de tal manera que al multiplicarse den el término constante, y sumados den la constante del término lineal.

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ŠUsen el procedimiento que encontraron para escribir los factores que representen las siguientes expresiones algebraicas: Šx 2 + 7x + 10 = 1)

Š x 2 – 6x – 16 = 2)

Š x 2– 4x – 5 = 3)

ŠEfectúen las operaciones para encontrar una expresión algebraica equivalente: Š (x + 3)2 =4)Š (x + 5)2 = 5)

Š (x – 3)2 =6)

Š (x – 5)2 = 7)

Las expresiones algebraicas anteriores representan expresiones del tipo x 2 + 2ax + a 2.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

(x + 5) (x + 2) (x – 8) (x + 2) (x – 5) (x + 1) x 2 + 6x + 9 x 2 + 10x + 25 x 2 – 6x + 9 x 2 – 10x + 25 R. M. Encontrar el binomio de la forma (x – a)2.

Recomendaciones procedimentales

Š¿Qué procedimiento les permite encontrar los factores cuya multiplicación da como resultado una expresión del tipo x 2 + 2ax + a 2? R. M. Encontrar el binomio de la forma (x + a)2

Tenga en cuenta que las actividades de esta página están integradas por un alto contenido matemático, debido a esto merecen especial atención. Por un lado se atiende a los productos notables y por otro, se trata la factorización de esos productos, temas que antes eran motivo de estudio en tercer grado. Por lo anterior, es conveniente que enriquezca estas actividades con ejercicios mediante los cuales los alumnos encuentren utilidad a ese tipo de operaciones, como: a) De los lados de cuadrados y rectángulos, calcular su área. Los lados de esas figuras deben ser binomios, iguales y conjugados. b) Una vez conocida el área de cuadrados y rectángulos, calcular la medida de los lados. Las áreas deben ser como trinomios cuadrados perfectos y como diferencias de cuadrados. c) Dada una multiplicación de cantidades que se puedan interpretar como ese tipo de binomios, por ejemplo (54)2 = (50 + 4)2 = 502 + 2(50)(4) + 42 = 2500 + 400 + 16 = 2 916 o (63) (57) = (60 + 3)(60 – 3) = 602 – 32 = 3 600 – 9 = 3591.

Š ¿Qué procedimiento les permite encontrar los factores cuya multiplicación da como resultado una expresión del tipo x 2 – 2ax + a 2? 8) Al procedimiento de descomponer en factores una expresión algebraica se le denomina factorizar. Por ejemplo, expresiones algebraicas de la forma x 2 + 2ax + a 2 pueden representarse como factores de la siguiente forma: (x + a)(x + a). Estos se representan geométricamente de la forma que se muestra. Al producto del cuadrado de un binomio se le llama trinomio cuadrado perfecto. Esto es igual al cuadrado del primer término (x 2), más el doble producto del primero por el segundo (2xa), más el cuadrado del segundo término (a 2). Expresiones de la forma (x – a)2 también cumplen con dicha condición. Š Escriban los factores que representen las siguientes expresiones algebraicas. Si lo consideran conveniente, apóyense en modelos geométricos. Šx 2 + 8x + 16 = (x + 4)2

Š x 2 – 12x + 36 = (x – 6)2

Šx – 14x + 49 = (x – 7) 2

2

Š x 2 + 18x + 81 = (x + 9)2

ŠEfectúen las operaciones para encontrar una expresión algebraica equivalente: Š(x + 3)(x + 3) = x2 + 6x +Š 9 (x – 4)(x + 4) = x2 – 16 Š (x + 6)(x – 6) = x2 – 36 Las expresiones algebraicas anteriores representan expresiones del tipo x 2 – a 2 = (x + a)(x – a) y se les conoce como diferencia de cuadrados. Š¿Qué procedimiento les permite encontrar los factores cuya multiplicación da como resultado una expresión del tipo x 2 – a 2? La variable es x y el término independiente es a. Usen el procedimiento que encontraron para escribir los factores que representen cada una de las siguientes expresiones algebraicas: 9) En el primer grupo monomios, en el segundo moŠx 2 – 100 = (x – 10) (x + 10)Š x 2 – 25 = (x – 5) (x + 5) Š x 2 – 49 = (x – 7) (x + 7) nomios y polinomios, y en Comenten con sus compañeros acerca del método que emplearon para encontrar el tercero polinomios. los resultados. Después, preséntenlos y valídenlos con el profesor. 10) La distributiva 11) (3x)(x) = 3x2; ab(–4a2b) Multiplicación de monomios y polinomios = –4a3b2; –5x(3xy) = 15x2y; (xy)(–2x2y – x) = Reúnete con dos compañeros y observen los siguientes grupos de operaciones. –2x3y2 – x2y; (5)(3x – 2) = 15x – 10; (y)(9x – y) = 9xy Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 – y2 (3x)(x)  ab (4a 2b)  5x (3xy) 

(xy)(2x 2y  x) 

(n  1)(n  1) 

(5)(3x  2)  (y)(9x  y) 

(2  x)(xy  xyz  3x)  (p  q)(2  p  q) 

Š¿Qué tipo de expresiones algebraicas se multiplican en cada grupo? 9) Š¿Qué propiedad permite resolver las operaciones del segundo y el tercer grupo? 10) ŠResuelvan las operaciones en el cuaderno. 11) Comparen sus resultados con los de otros compañeros y coméntenlos con su profesor. Escriban en el cuaderno una conclusión acerca de cómo multiplicar expresiones algebraicas.

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Organice la confrontación del final de esta actividad. Solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y las estrategias que usaron para calcularlos. En cada uno solicite la validación del grupo. Oriente las conclusiones hacia la determinación de la técnica que resuelve de manera más eficiente esas operaciones. Se espera que los alumnos puedan concluir que la propiedad distributiva es la que permite resolver las operaciones de la actividad “Multiplicación de monomios y polinomios”. Organice los equipos de manera que en ellos se encuentre una diversidad de estudiantes tal que se puedan ayudar unos a otros. Trate de integrar estudiantes de diferentes estilos de aprendizaje en cada equipo.

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¿Cómo vamos? 1) R. M. Se necesitan las medidas de cada una de las secciones de la hoja. 2) Los márgenes superior, inferior y de color morado miden x de ancho, espacio de hoja rayada 2x. Medida de las hojas 21 cm por 25 cm. 3) Área de la parte cuadriculada = (25 − 4x)(21 − x) = 4x2− 25x − 84x + 525 = 4x2 – 109x + 525 4) Área de la parte rayada = 2x (21 − x) = 42x − 2x2 5) R. M. x = 2. Área cuadriculada = (25 − 4(2))(21 − 2) = 17 × 19 = 323 cm2. Área rayada = 2(2)(21 – 2) = 4 × 19 = 76 cm2

Recomendaciones procedimentales Organice nuevamente los equipos para que concluyan el diseño de los cuadernos que será su trabajo final de esta secuencia, según lo que se propone en la sección “¿Cómo vamos?”. Considere que en este momento tienen que concluir su trabajo por lo que debe dar el tiempo necesario para llevar a cabo esta actividad. Es deseable que los alumnos comuniquen sus resultados y apliquen lo aprendido en esta secuencia, por ello si observa que algunos expresan el área de la parte rayada como 2x(21 – x), solicite que resuelvan esa multiplicación para nombrar dicha área con una expresión algebraica equivalente a la primera. Forme las parejas para resolver la actividad “División de monomios” de una manera diferente a como ha integrado los demás equipos, por ejemplo, puede dar tarjetas con la multiplicación de dos monomios a la mitad del grupo y a la otra mitad dar tarjetas con monomios que contengan los resultados de los productos dados a los primeros alumnos para que encuentren su pareja.

Reúnete con tu equipo para trabajar en el diseño para los cuadernos. Las hojas deben tener un margen superior y uno inferior de ancho x, del color que asignen a cada una de las cinco materias para las cuales harán los cuadernos. También deben tener un margen color morado en el extremo opuesto al espiral ancho x. Debajo del margen superior deben tener un espacio, con renglones rayados, para el encabezado, títulos, fecha, etcétera. Este espacio tendrá el doble de ancho que la franja de color morado. El resto de la hoja será cuadriculada. Las dimensiones de la hoja son 21 cm de ancho y 25 cm de alto. ŠPara hacer su diseño escriban en una lista los datos que necesitan. 1) ŠSeparen los datos cuyo valor conocen de los datos que desconocen. 2) ŠCalculen el área de la parte cuadriculada de la hoja. 3) ŠCalculen el área de la parte rayada de la hoja. 4) ŠAsignen un valor a x y hagan los cálculos. 5) ŠRealicen un diagrama de un cuaderno abierto donde se vea claramente representada cada área, con sus dimensiones, utilizando el valor de x asignado en el inciso anterior. 6)

División de monomios Resuelvan en parejas la siguiente actividad. La operación que permite calcular la altura del rectángulo de la página 129 es la que se muestra en seguida. Resuélvanla.

冢 冣 冢 xx 冣 =

2x 2 2 = 2x 2

Después de que resuelvan la primera división de monomios, solicite que un alumno lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo y escriba en el pizarrón otras divisiones de monomios para que algunos alumnos pasen a resolverlas y el resto del grupo valide los resultados. En cada caso pida que argumenten sus respuestas.

6)

2

x

El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es igual al cociente de los coeficientes y la parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tengan la misma base. Observen los siguientes ejemplos:

2x

Organice la confrontación final y oriente las conclusiones hacia la técnica para dividir monomios. Se sugiere que enriquezca la actividad y plantee divisiones de polinomios entre monomios, induzca la resolución y separe los términos del dividendo para transformarla en varias divisiones de monomios.

x

ŠDescriban el procedimiento que siguieron para resolverla y2 contrástenlo con lo si2 x = 1, luego dividimos =x guiente.R. M. Dividimos primero

x

x

2

25 cm

6n  2m x 21 cm

(2)(3)(n) (2)(m)



3n m

冢 冣 冢 x 冣 2

8 8x 2  4x2 4

x2 2

Al dividir monomios el cociente puede ser un monomio con coeficiente fraccionario o entero, un número o una fracción con literales. Š¿Están de acuerdo con lo anterior? Argumenten su respuesta. R. L. ŠAhora resuelvan las siguientes divisiones. 2n –36x 3y 7z 4 –n = −3xy 5z4 = (24x 5y 2z 6)  4x 2yz 3 = 6x3yz3 3m –6m 12x 2y 2 ŠReflexionen. Š¿Qué pueden concluir en cuanto a qué resulta de la división de dos monomios formados por varias literales con coeficientes numéricos? Un monomio Š¿Siempre resulta un coeficiente distinto de 1? ¿Siempre aparecen en el resultado todas las variables que aparecían en los factores originales? R. M. No siempre

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Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. Observen qué forma tienen las divisiones en cuanto a coeficientes y variables. Comenten con su maestro y redacten una conclusión general. ŠReúnete con un compañero para resolver las siguientes divisiones: 24x 5y 2z 6  4x 2yz 3  6x3yz3 36x 3y 7z 4  12x 2y 2  3xy 5z4 Š15m 3  5m  3m2

Intención pedagógica El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo realizado y los conocimientos que adquirió, así como los usos que pueden dar a esos conocimientos.

Realiza en el cuaderno la las siguientes actividades. 1. Encuentra los factores que corresponden a las siguientes expresiones algebraicas 4 2 2 a) x 2 – 16x + 64 = (x − 8)2 b) x 2 + x – 20 = (x + 5)(x − 4) c) x 2 – = (x − ) ( x + ) 3 3 9 6x 9 d) x 2 – 8x + 12 = (x − 6)(x − 2) e) x 2 + + = (x + 3 )2 2 4 2 2. Resuelve las siguientes operaciones. a) 2x (32x  2)  64x2 + 4x c) (2  x)(xy  3x)  2xy − 6x − x2y + 3x2

Recomendaciones procedimentales Mencione que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y que necesitan aplicar las técnicas que se trabajaron en el salón de clases sobre la multiplicación y la división de expresiones algebraicas. Al día siguiente organice un intercambio de respuestas y estrategias. Solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y cómo resolvieron cada ejercicio para que el resto del grupo los valide.

b) 4a(2  a)  8a − 4a2 d) (a)(a  x)(2  a)  2a2 − a3 + 2ax − a2x 22

3. Observa la siguiente figura y realiza lo que se indica. a) Calcula el área de la superficie blanca. 352 − 22x – 4x2 b) Calcula el área de la superficie azul. 22x + 4x2

x 16

Prepare la presentación de los diseños de los cuadernos, de acuerdo con lo que se estableció en la sección “Presentación de nuestro trabajo”. Es importante que no solamente expongan sus resultados sino que también compartan sus estrategias de solución. Oriente las reflexiones grupales hacia las distintas maneras como puede expresar el área de cada una de las regiones que conforman las hojas, pero insista en la consideración del producto de los factores que pudieran haber tomado en cuenta.

4. Resuelve las siguientes divisiones. Simplifica el resultado. a) b)

24x 3y 5  18x 4y 5  48x 10y 3  4xy2 + 3x2y2 – 8x8 6x 2y 3 12x 3y 5  18x 5y 7  48x 12y 6  4xy3 + 6x3y5 − 16x10y4 3x 2y 2

2x

Muestra a tus compañeros los resultados de las actividades y valídalos con el maestro.

Reúnete con tu equipo y muestren su diseño al resto de sus compañeros. Š¿Son iguales todos los diagramas? R. L. Š¿Qué elementos diferentes pueden tener los diagramas? R. L. ŠComenten en grupo qué operaciones realizaron para llegar a las respuestas. ŠReflexionen en grupo qué valores numéricos pueden asignarse a la variable x y por qué.

¿Cómo nos fue?

1) R. M. La diferencia está en el número de operaciones que se hacen en cada caso. 2) R. M. La suma se “distribuye” con la multiplicación. 2(4 + 8) = 2(4) + 2(8) = 8 + 16 = 24.

Cierre

Presentación de nuestro trabajo

Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

Š¿Qué diferencia hay en el proceso de multiplicar varios polinomios comparada con multiplicar un solo polinomio con varios monomios? 1) ŠExplica de qué manera se aplica la propiedad distributiva en la multiplicación de expresiones algebraicas y menciona un ejemplo. 2) ŠMenciona tres ejemplos de situaciones que se resuelvan por medio de multiplicación de expresiones algebraicas. R. L.

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Pídales que comenten sobre las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y al turno para participar. En caso de que las condiciones del grupo lo permitan, invítelos a realizar una reflexión crítica sobre su colaboración en el equipo en el cual participaron, así como una autoevaluación sobre los aprendizajes que adquirieron.

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Bloque 3

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Intención pedagógica

Sugerencia de contenido

Contenido Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Triangular polígonos Inicio

Los alumnos determinaron la suma de los ángulos interiores de los triángulos y de los cuadriláteros en la secuencia 3 de este mismo texto. Ahora se trata de que formulen una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Ángulos interiores de los polígonos Reúnete con un compañero para resolver la siguientes actividades. Ernesto trabaja en una vidriería y tiene que recortar tres espejos que le encargó un cliente con la forma que se muestra.

En los siguientes sitios encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia. http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 2.º grado, pregunta 35. Para recortar los espejos, Ernesto debe medir los lados y los ángulos de cada diseño.

http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 2.° de Secundaria, Matemáticas II, Bloque 3, página 3, actividades “Problemas de ángulos interiores de polígonos”, “Fórmula para sumar ángulos interiores de polígonos” y “Ángulos dentro de polígonos”.

1) Cuadrilátero: 360º; pentágono: 540º; heptágono: 900º

•¿Por qué es necesario que mida los ángulos? Para saber en dónde tiene que hacer el corte. •¿Cuánto miden los ángulos de cada diseño? R. L. •¿Cuánto suman los ángulos en cada caso? 1) •¿Qué estrategia utilizaron para calcular la suma de los ángulos interiores de los polígonos? R. L. En equipo, analicen y calculen… •la suma de los ángulos interiores de un triángulo. 180º •la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. 360º

Recomendaciones procedimentales

Contesten. •¿Cómo calcularías la suma de los ángulos interiores de un polígono si solo conoces el número de lados? R. M. Dividiéndolo en triángulos. •¿Qué características piensas que debe tener la expresión que sirva para encontrar la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono? R. M. Deberá tener el número 180 en su fórmula. Compartan sus ideas con su profesor.

Para comenzar la actividad solicite que un estudiante lea en voz alta el contenido que se estudiará. Después pídales que hagan comentarios sobre lo que se imaginan que se abordará, permita cualquier comentario sin descalificar alguno, aunque tenga ideas equivocadas. Para animarlos a participar, haga preguntas como ¿Qué es un polígono? ¿Qué son los ángulos interiores? ¿A qué se refiere el contenido cuando habla de una regla?

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Planeación

Organice las parejas para que resuelvan la primera parte de la actividad “Triangular polígonos”. Permita el uso del transportador para trabajar esta parte de la actividad. Después, integre los equipos con tres parejas para realizar la segunda parte de la actividad. Permita que los alumnos regresen a la secuencia 3 para ayudarse en esta parte.

A lo largo de las actividades regresarán a trabajar con este problema. Antes, formen un equipo para leer la información del proyecto que realizarán durante la secuencia.

Nuestro trabajo Realizarán un informe escrito sobre cómo se puede calcular la suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier polígono. Es decir, deberán describir el trabajo solicitado e incluir: ŠTres ejemplos de polígonos. ŠCuánto vale la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono de n lados. ŠUna justificación de dicho resultado. ŠDurante la secuencia encontrarán más información acerca del proyecto en el apartado “¿Cómo vamos?”.

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Desarrollo

Triangulación de polígonos Reúnete con un compañero. Compartan las estrategias que utilizaron para calcular la suma de los ángulos interiores de los polígonos de la actividad inicial. Juntos resuelvan las actividades. Los polígonos pueden ser de dos tipos: cóncavos y convexos. Un polígono cóncavo es aquel que tiene, al menos, uno de sus ángulos internos mayor que 180º. Un polígono convexo es aquel que, al trazar sus diagonales, estas quedan en el interior de la figura.

Recomendaciones procedimentales Organice los equipos para empezar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad dado que en este momento los alumnos todavía no comenzarán la elaboración de su informe, sino que solo conocerán algunas características y consideraciones para llevarlo a cabo.

ŠEscribe en tu cuaderno una definición para la diagonal de un polígono. La diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. ŠUtiliza tu definición de las diagonales y traza las que corresponden a cada uno de los siguientes polígonos. Colorea de verde los polígonos cóncavos y de azul los convexos.

Verde

Azul

Organice parejas diferentes a las de la actividad inicial para que resuelvan la actividad “Triangulación de polígonos”. Se espera que la estrategia que la mayoría de los alumnos haya usado para calcular la suma de los ángulos interiores de los polígonos de la actividad del principio sea la medición, así que es probable que algunos tengan resultados diferentes, sobre todo para el caso del pentágono y del heptágono.

Azul Verde

Divida esta actividad en dos partes: una para la definición y trazo de las diagonales, y otra para el conocimiento de la estrategia de triangulación que permite calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono.

Verde Azul

Compara tu definición con las del resto del grupo y la forma en que trazaste las diagonales. Junto con el profesor, analicen las definiciones y realicen los cambios convenientes.

Mientras los estudiantes trabajan con la primera parte de la actividad, dibuje en el pizarrón algunos polígonos como los que aparecen en esta parte del libro. Cuando hayan concluido, pida que tracen las diagonales de estos polígonos y apoyen sus conclusiones con lo hecho en el pizarrón.

ŠEscriban en el cuaderno, utilizando la definición de diagonal de un polígono, cómo se puede calcular la suma de los ángulos interiores del pentágono. 1) ŠContrasten su estrategia con la de otros compañeros y valídenla con la siguiente información. Después registren sus conclusiones en el cuaderno. R. L. Una estrategia para calcular la suma de los ángulos interiores de un polígono es dividir al polígono en regiones triangulares. Para esto hay que tener cuidado de que no se traslapen los triángulos y que ninguna región sea omitida. Š¿Será posible triangular cualquier polígono? Argumenten su respuesta. 2) Š¿Por qué es útil triangular un polígono para calcular la medida de sus ángulos? 3) Observen los siguientes tres ejemplos para triangular un hexágono y describan en el cuaderno cómo se llevó a cabo cada una de las triangulaciones. E

E

E

M

M

I

I

O

C

X

X

X

O

C

M

1) R. M. Trazando todas las diagonales de uno de los vértices del polígono para dividirlo en tres triángulos, y como los ángulos de cada triángulo suman 180º, la suma de los ángulos del pentágono es igual a 180 × 3 = 540º. 2) Sí, porque a partir de un polígono de cuatro lados podemos trazar diagonales. 3) R. M. Porque se conoce el valor de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

En la segunda parte de la actividad, considere que no es tan sencillo que todos los alumnos encuentren la estrategia de triangulación para calcular la suma de los ángulos interiores del pentágono, aun cuando tienen la experiencia de haber triangulado cuadriláteros. Por ello, aunque no todas las parejas encuentren esa forma, organice un intercambio de estrategias para que entre todos vayan construyendo la regla poco a poco. Para apoyar la respuesta de la penúltima pregunta, dibuje algunos polígonos cóncavos y otros convexos para que los alumnos determinen cuáles diagonales les sirven para triangular esos tipos de polígonos.

I

O

C

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ŠEn los hexágonos de la página anterior, sin usar transportador, calculen la suma de las medidas de los ángulos interiores. Argumenten su procedimiento. Š¿Por qué será útil dividir el hexágono en triángulos para calcular la suma de las medidas de sus ángulos interiores? R. M. Porque ya sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180° y solo hay que

Recomendaciones procedimentales

multiplicar este número por los triángulos que se forman. Š¿Cuál de las triangulaciones les parece más eficiente para encontrar las medi-

Tome en cuenta que probablemente algunos estudiantes consideren como correctas todas las triangulaciones de los hexágonos de la página anterior para utilizarlas en el cálculo de la suma de los ángulos interiores de esos polígonos. En este caso solicite la validación del grupo y oriente las reflexiones para que lleguen a determinar cuál es la triangulación que permite calcular la suma de los ángulos interiores del hexágono con preguntas como ¿En cuál de las triangulaciones los ángulos de los triángulos son o forman los ángulos del hexágono? ¿Esta misma triangulación se podrá hacer con todos los polígonos?

das de los ángulos? ¿Por qué? La primera triangulación. Visualmente es más sencilla.

1) ŠTriangulen los polígonos dados en la actividad inicial utilizando la estrategia en la que se selecciona un vértice del polígono y, a partir de ese, se trazan las diagonales. Analicen el número de triángulos en los que queda dividida cada una de las figuras y calculen la suma de los ángulos interiores en cada caso. 1)

Respecto a la actividad “Lados y triángulos”, encargue de tarea que lleven hojas de reúso al salón de clases. Tenga también este tipo de hojas por si alguno de los estudiantes no las puede conseguir. Considere que esta actividad está diseñada para que los escolares la resuelvan de manera individual, pero si nota que algunos no logan solucionarla con éxito, integre parejas o equipos para que trabajen colaborativamente.

Comparen sus respuestas con las del resto de sus compañeros. Discutan con el profesor cuál es la triangulación más eficiente y por qué.

Lados y triángulos Realiza la siguiente actividad para ver la relación que hay entre el número de lados y el número de triángulos que forman las diagonales de un polígono convexo. ŠCon tu juego geométrico traza, en hojas blancas, polígonos de 7, 8, 9, 10, 15 y 20 lados. Triangula cada uno de ellos y completa la siguiente tabla.

Aproveche esta actividad para desarrollar en los alumnos otro tipo de habilidades y actitudes, como el uso de los instrumentos para realizar los trazos y la limpieza al realizarlos. Enfatice que la manera como se les solicita triangular los polígonos es de la forma que permite conocer la suma de los ángulos interiores del polígono. Por otro lado, es probable que no sea tan fácil para los escolares recordar o investigar el nombre de los polígonos de más de diez lados, por ello, si algunos no logran saberlo, no detenga la actividad, mencione que eso lo pueden investigar en sus casas y continúe con el ejercicio.

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Nombre del polígono convexo

Número de lados

Número de triángulos interiores

Triángulo

3

1

Cuadrilátero

4

2

Pentágono

5

3

Hexágono

6

4

Heptágono

7

5

Octágono

8

6

Nonágono

9

7

Decágono

10

8

Pentadecágono

15

13

Isodecágono

20

18

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ŠConsiderando la información de la tabla, ¿cuál es la relación entre el número de lados y el número de triángulos en los que queda dividido el polígono? El número de triángulos interiores es igual al número de lados del polígono menos dos. ŠCon la conjetura anterior, y sin trazar los polígonos, responde en cuántos triángulos quedarán divididos los siguientes polígonos si se triangulan con respecto a sus diagonales:

Sugerencia de contenido

ŠPolígono de 30 lados: 28 triángulos ŠPolígono de 100 lados: 98 triángulos

Un polígono de n número de lados queda dividido en n – 2 triángulos que incluyen todos los ángulos interiores del polígono.

ŠEscribe una fórmula que relacione el número de lados (n) con el número de triángulos: Número de triángulos = n – 2.

Recomendaciones procedimentales

ŠPresenten al grupo la fórmula que propusieron. Analícenlas y, con ayuda de su profesor, lleguen a acuerdos basados en argumentos geométricos.

Haga notar que los triángulos en los que se deben dividir los polígonos tienen que incluir todos los ángulos interiores del polígono y no los ángulos que no pertenezcan al polígono.

Relación entre ángulos y triángulos

Mientras los alumnos trabajan en la tabla de la página anterior y en analizar los datos obtenidos, dibuje en el pizarrón diversos polígonos convexos para que los alumnos los utilicen para argumentar sus respuestas a la pregunta de la primera bala. Incluso dibuje polígonos que no están considerados en la tabla, un endecágono y un dodecágono por ejemplo.

En el siguiente heptágono triangulado están indicados con un número los ángulos que conforman cada uno de los triángulos. Como puedes ver, la medida del ángulo H es igual a la suma de las medidas del ángulo 1 y el ángulo 6. Es decir,  H   1   6. ŠRealiza esta misma equivalencia entre las medidas de los ángulos interiores del polígono HIDALGO y las medidas de los ángulos interiores de los triángulos. H 6

5

1

7

Se espera que, a partir del ejercicio anterior, los alumnos no tengan mayores problemas para resolver los ejercicios de la segunda bala.

I

Organice la confrontación del final de esta actividad. Pida a algunos alumnos que expongan sus resultados y las estrategias que usaron para calcularlos. En cada uno solicite la validación del grupo. Oriente las conclusiones hacia la determinación de la fórmula que permite calcular el número de triángulos en que se divide un polígono y que incluye todos los ángulos interiores del polígono.

1114

O2 13

D

3 4

G

Se espera que los alumnos puedan resolver de manera individual los ejercicios de la actividad “Relación entre ángulos y triángulos”, sin embargo, en caso de que observe que algunos estudiantes tienen dificultades para realizarlos, organice parejas o equipos para que los resuelvan colaborativamente.

15

9

12

A 8

10

L  I  ⬔5 + ⬔ 7 + ⬔11 + ⬔14

L

⬔8 + ⬔10

 D  ⬔13

G 

⬔3 + ⬔4 + ⬔9

 A  ⬔15 + ⬔12

 O  ⬔2

Para abreviar la confrontación de resultados sobre la suma equivalente a los ángulos del heptágono, pida a seis alumnos que cada uno lea en voz alta sus resultados para que el resto del grupo los valide.

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En los polígonos de la actividad inicial, realiza el procedimiento anterior y encuentra la suma de los ángulos interiores de cada uno. ŠUtiliza lo que conoces en relación con la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo y, con esa información, completa la siguiente tabla. Nombre del polígono

Sugerencia de contenido La fórmula que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono de n lados es (n – 2)180°. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 360° cuando se considera solamente un ángulo exterior por cada vértice del polígono, sin importar el número de lados de este.

Recomendaciones procedimentales Dé suficiente tiempo para que los alumnos completen la tabla. En caso necesario, permita que consulten la tabla de la página 134 para que la puedan completar. Es posible que los alumnos apliquen diferentes formas para encontrar la suma de los ángulos interiores del polígono, esto incluye la regla de tres. Permita esta y cualquier otra estrategia que les ayude a calcular correctamente esa suma.

Triángulo

3

1

180°

Cuadrilátero

4

2

360°

Pentágono

5

3

540º

Hexágono

6

4

720º

Heptágono

7

5

900º

Octágono

8

6

1080º

Nonágono

9

7

1 260°

Decágono

10

8

1440º

Pentadecágono

15

13

2340º

Isodecágono

20

18

3240º

n-gono

n

n–2

(n – 2)(180º)

riores de un polígono de 11 lados y otro de 13. (11 – 2)(180) = 1 620°; (13 – 2)(180) = 1 980° Comenta tus resultados con el resto del grupo y con el profesor.

Ángulos externos Exterior

Sugiera que hagan otros polígonos para comprobar su hipótesis sobre la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono. Sin embargo, no solicite una demostración formal, acepte cualquier argumento, incluso uno que incluya el trazo de un polígono cuyos ángulos son fáciles de calcular, como el cuadrado y el rombo o el rectángulo.

Interior

Para conocer los ángulos externos de un polígono basta con trazar una extensión de sus segmentos, como se muestra en la figura de la izquierda. El ángulo que se forma, adyacente al interno, es uno de los externos. Traza un triángulo en el cuaderno y marca sus ángulos interiores y exteriores. Después, traza un polígono cualquiera y haz lo mismo. Completa la siguiente tabla. Nombre del polígono

No organice un intercambio de resultados ni de estrategias dado que estas conclusiones deben ser consideradas por los alumnos en la presentación de su trabajo final.

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Suma de los ángulos interiores del polígono (S)

ŠUtiliza la expresión para determinar la suma de las medidas de los ángulos inte-

Para comenzar la actividad “Ángulos externos” pida que un alumno lea en voz alta la información que aparece en rojo. Después trace una figura como la del libro para reafirmar el concepto de ángulo exterior o externo. Si lo considera conveniente trace los dos ángulos exteriores a un mismo ángulo interno del polígono y solicite que argumenten la congruencia o incongruencia de esos dos ángulos exteriores.

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Número de triángulos interiores

ŠCon la información de la tabla, escribe una expresión que permita obtener la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono (S) en relación con el número de sus lados (n). (n – 2)(180°)

Organice la confrontación final para que los alumnos lleguen a acuerdos sobre la fórmula que permite calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono a partir de conocer el número de lados que lo forman.

Prohibida su venta

Número de lados (n)

Número de lados (n)

Suma de ángulos exteriores (S)

Triángulo

3

180°

Hexágono

6

720°

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¿Cómo vamos? Con tu equipo analiza el resultado que obtuvieron en la última tabla de la página anterior y escriban para su reporte una conjetura que relacione los datos de la tabla. Š¿Qué relación hay entre un ángulo externo y su adyacente? ¿Cuánto miden? 1) Š¿Cuánto mide el ángulo exterior de un pentágono regular? 72º Š¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un hexágono? 720º Realicen su reporte utilizando todos los conceptos que estudiaron en las actividades anteriores. Recuerden utilizar ejemplos específicos.

Resuelve los siguientes p problemas. 1. Cuántos lados tiene un polígono si la suma de sus ángulos interiores es: a) 3 600° 2)

b) 2 340° 3)

Argumenta tus respuestas. 2. Calcula la medida de cada ángulo interno de un cuadrilátero, si sus ángulos internos son x  10, 2x  20, 3x  50 y 2x  20. 4)

1) Son ángulos suplementarios y miden 180°. 2) 22 lados, porque (22 – 2)(180) = 3 600° 3) 15 lados, porque (15 – 2) (180) = 2 340º 4) Los ángulos internos de un cuadrilátero suman 360°; x = 50. 60° + 120° + 100° + 80° = 360º 5) Es falsa. R. M. Porque todos los polígonos con el mismo número de lados, regulares o irregulares, se pueden dividir en el mismo número de triángulos (la suma de los ángulos internos de cualquier polígono es de (n – 2)(180°).

Intención pedagógica El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo realizado y los conocimientos que adquirió, así como los usos que puede dar a esos conocimientos.

Recomendaciones procedimentales Organice los equipos para que elaboren su informe. Indique a los estudiantes que deben incluir las respuestas a las preguntas planteadas en el apartado “¿Cómo vamos?”, además de lo que se indicó en el apartado “Nuestro trabajo”, de la página 132. Enfatice que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y que necesitan aplicar las técnicas que se estudiaron en la secuencia. Al día siguiente coordine un intercambio de respuestas y estrategias. Solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y la forma como resolvieron cada ejercicio para que el resto del grupo los valide.

3. Escribe en el cuaderno un argumento que explique por qué la siguiente afirmación es falsa o verdadera: 5) La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono regular es diferente a la de un polígono irregular que tiene la misma cantidad de lados. Comenta tus resultados con tus compañeros. Argumenta tus respuestas y con argumentos matemáticos valídalos.

Cierre

Presentación de nuestro trabajo Entreguen su reporte al profesor y lleven a cabo un debate entre todo el grupo. ŠAnalicen y discutan las mayores dificultades que enfrentaron durante el desarrollo del proyecto y cómo las superaron. ŠMatemáticamente, ¿qué fue lo más complicado y qué fue lo más fácil? R. L. ŠCómo les sirvió lo visto en las actividades anteriores y cómo elaboraron sus ejemplos. R. L.

¿Cómo nos fue? Š¿Qué estrategia resultó más útil para calcular la suma de los ángulos interiores 6) de cualquier polígono? 6) 7) Š¿Cuál es la relación que sirve para calcular la suma de las medidas de los án8) gulos interiores de un polígono? 7) Š¿Cómo se puede obtener la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono? 8) Š¿De qué manera utilizaste lo que aprendiste, sobre la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono de n lados, al hacer tu reporte? R. L. Š¿Cómo enfrentaron la dificultad de medir los ángulos sin transportador? R. L.

Invítelos a que comenten sus respuestas de las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y la tolerancia. En caso de que las condiciones del grupo lo permitan, sugiera que hagan una reflexión sobre su colaboración en el equipo en el cual participaron, así como una autoevaluación sobre los aprendizajes que adquirieron. Finalmente, elabore un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

R. M. Usar la fórmula. (n – 2)(180) La suma de los ángulos externos de un polígono siempre es 360º.

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Recoja los informes y organice la plenaria, de acuerdo con lo que se estableció en la sección “Presentación de nuestro trabajo”. Pida a algunos equipos que expongan sus resultados para que el resto del grupo los valide.

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Bloque 3

20

Teselas

Intención pedagógica Contenido

Con las actividades de esta secuencia los alumnos analizarán y explicitarán las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

Inicio

Nuevas losetas

Sugerencia de contenido En los siguientes sitios de Internet encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia.

Un fabricante de losetas para piso desea ampliar su muestrario con nuevos diseños. Sin embargo, para que sus losetas se vendan, debe considerar que con un mismo modelo de loseta se cubra la superficie del piso sin dejar huecos. Determina cuáles de los siguientes modelos pueden incluirse en su nuevo muestrario.

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 2.º grado, pregunta 36. http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 2.° de Secundaria, Matemáticas II, Bloque 3, página 2, actividades “Dibujando figuras para cubrir planos”, “Figuras regulares o irregulares como recubrimiento” y “Polígonos regulares como recubrimiento”.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Recomendaciones procedimentales Para comenzar la actividad “Nuevas losetas” pregunte a los estudiantes ¿Han visto pisos o paredes que estén cubiertos con mosaicos? ¿En dónde? ¿Han observado pisos o paredes cubiertos por mosaicos de figuras iguales? ¿Otros cubiertos por mosaicos de diferentes figuras? ¿Recuerdan las figuras que tienen esos mosaicos? ¿Todas las figuras de los mosaicos se colocan en la misma posición?

Figura 4

Figura 5

Figura 6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

Es probable que algunos escolares pregunten si pueden calcar y recortar figuras como las de los modelos de los mosaicos para resolver la situación. Permita esta y cualquier otra estrategia, y dé suficiente tiempo para realizar la actividad. Sin embargo, no promueva el uso de la estrategia referida, ya que esta se propone más adelante. Aunque la actividad está diseñada para que los estudiantes la resuelvan de manera individual, si observa que algunos no la pueden realizar de esta manera o si deciden calcar y recortar las figuras, organice parejas o equipos para que la trabajen.

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•¿Con qué losetas es posible cubrir la superficie de un piso sin dejar huecos? Con las figuras 1, 3, 6, 7, 8 y 9. Justifica y argumenta tu respuesta. Analiza si las respuestas de tus compañeros también son válidas.

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En el transcurso de las actividades retomarán este problema. Antes, formen un equipo y lean la información que se proporciona en el apartado “Nuestro trabajo” acerca del proyecto que realizarán en la secuencia.

Planeación

Nuestro trabajo Elaborarán por equipos un catálogo de mosaicos para tapizar una pared de su salón de clases. ŠCada diseño deberán hacerlo en una hoja tamaño carta. ŠNecesitarán hojas de colores, tijeras, cinta adhesiva, regla, escuadras y compás. ŠAl finalizar, cada equipo tapizará con uno de sus diseños una superficie rectangular de la pared del salón, asignada por el profesor, de manera que la pared quede cubierta por todos los diseños.

Recomendaciones procedimentales Organice los equipos para comenzar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad, pues en este momento todavía no van a empezar la elaboración de su informe, sino que solo conocerán algunas características y consideraciones para su elaboración. Es probable que algunos alumnos pregunten si pueden utilizar las figuras de la actividad de la página anterior para elaborar su catálogo de mosaicos. Sin limitar su uso, sugiera que continúen con el trabajo de la secuencia porque más adelante se brinda información adicional sobre las características de los mosaicos que pueden incluir.

ŠA lo largo de la secuencia, en el apartado “¿Cómo vamos?”, encontrarán información que les ayudará a realizar su trabajo.

Desarrollo

Teselas y mosaicos La palabra teselado proviene del latín tessella. Así llamaban los romanos a las losetas que formaban el pavimento de sus ciudades. Ahora, se llama tesela a cada una de las piezas que forman un mosaico y se utilizan para cubrir un plano. La tesela o mosaico debe tener las siguientes condiciones: ŠNo puede superponerse una tesela a otra. ŠNo puede quedar algún hueco entre ellas.

Encargue de tarea hojas de reúso para que los estudiantes realicen los ejercicios de la actividad “Teselas y mosaicos”. Tenga a la mano algunas hojas de este tipo por si algún alumno tuviera problemas para conseguirlas. En caso necesario, organícelos en parejas para que compartan los materiales y las tareas por realizar. Solicite a un estudiante que lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo y después haga preguntas para garantizar que todos los alumnos han comprendido el texto, por ejemplo ¿Qué condiciones deben cumplir las figuras que forman una tesela?

Con diferentes figuras geométricas se pueden diseñar muchos tipos de recubrimientos. Esas figuras pueden ser todas iguales o combinarse. Se pueden conseguir diversos teselados con polígonos regulares y una infinidad de combinaciones de polígonos irregulares, siempre que cumplan con las condiciones mencionadas arriba.

Considere que la reproducción y recortado de todas las figuras puede llevar un periodo que exceda una sesión de trabajo, por ello, en caso necesario, encargue estas actividades de tarea para que en el salón de clases solo se haga el acomodo de las figuras y se determine con cuáles es posible cubrir la hoja sin dejar huecos.

Antes de trabajar en los mosaicos para la pared del salón, realiza las siguientes actividades. ŠTraza varias veces el primer diseño de la actividad inicial en una hoja blanca y recorta todas las copias que hagas. ŠBusca la manera de juntarlas. Cubre toda la hoja de papel sin dejar huecos. ŠRepite lo mismo con los demás diseños de la actividad inicial. Š¿Con todos los diseños se puede cubrir la hoja completa sin dejar huecos? 1) ¿A qué se debe esto? Porque no todas reúnen las características de un teselado.

1) No, las únicas figuras que permiten cubrir todo el piso son la 1, la 3, la 6, la 7, la 8 y la 9.

Compara tu trabajo con el de tus compañeros. Analícenlos con la ayuda de su profesor.

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Analiza las figuras y contesta. Š¿Qué tipo de triángulos forman la figura de la izquierda? Triángulos equiláteros Š¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos interiores? 60º ŠSi escogiéramos uno de los vértices del triángulo, ¿cuántos triángulos iguales compartirían ese vértice, sin superponerse y sin dejar huecos entre ellos?

Sugerencia de contenido

6

¿Cuánto suman los ángulos de los triángulos que coinci-

den en un vértice? 360º

Los únicos polígonos regulares con los que se puede hacer una tesela en el plano son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Š¿Se pueden crear teselados uniendo triángulos isósceles iguales? ¿Y con triángulos escalenos? ¿Por qué? No, porque la suma de los ángulos que se comparten en un mismo vértice no sería igual a 360°, como en el caso de los triángulos equiláteros.

Recomendaciones procedimentales

ŠSi se forma un teselado con cuadrados, ¿cuánto suman los ángulos de los cuadrados que comparten un mismo vértice? 360º

Se espera que los estudiantes recurran a las conclusiones obtenidas en las secuencias 3 y 19 para determinar la medida de los ángulos interiores de las figuras involucradas en la actividad. Sin embargo, si algunos recurren al uso del transportador, no descalifique este recurso y pida que mencionen las medidas encontradas para que el resto del grupo las valide. Haga énfasis en que las figuras deben cubrir por completo el plano porque de otra manera los escolares pueden formular ideas equivocadas sobre los teselados, por ejemplo, los triángulos isósceles iguales resultado de unir los vértices de un pentágono regular con su centro, cubren ese pentágono sin sobreponerse y sin dejar huecos, pero no cubren el plano en su totalidad, porque si así fuera, lo haría también el pentágono regular.

ŠMide cada ángulo interior de los pentágonos regulares que forman la siguiente figura y contesta en el cuaderno las siguientes preguntas.

B3

LA

EC

Aproveche los ejercicios de esta página para que los estudiantes desarrollen otro tipo de habilidades y actitudes, como el uso de los instrumentos de trazo y de medición, así como la limpieza al realizarlos. Antes de que hagan la construcción de los hexágonos regulares, en lluvia de ideas, pídales que comenten las formas en las que harían esa construcción. Se espera que de esta forma los alumnos no inviertan mucho tiempo al investigar las diversas maneras de realizar esa tarea.

MS

1) Tres, sumarían 324º. 2) No es posible, porque la suma de los ángulos que pueden coincidir en un vértice no es igual a 360º 3) R. M. Sí se puede. Porque la suma de los ángulos que coinciden en un mismo vértice puede ser 360°, como en el caso de la figura de la actividad inicial. 4) Sí. R. M. Porque no se superponen ni quedan huecos entre ellos (la suma de los ángulos que coinciden en un mismo vértice es de 360°).

Š¿Cuántos pentágonos regulares pueden compartir el mismo vértice sin encimarse? ¿Cuánto suman los ángulos que comparten dicho vértice? 1) Š¿Es posible cubrir completamente un plano con estos polígonos? ¿Por qué? 2) Š¿Se puede cubrir la hoja si todos los pentágonos son iguales pero irregulares? ¿Por qué? 3) Š¿Sucederá lo mismo con los hexágonos regulares? ¿Por qué? 4) ŠTraza en el cuaderno un hexágono regular y mide cada uno de sus ángulos. Úsalo como molde y traza varios hexágonos hasta formar un tapete. Š¿Cuántos hexágonos pueden compartir un vértice sin encimarse? ¿Cuánto suman los ángulos que comparten un mismo vértice?Tres hexágonos. Suman 360°. Comparte tus respuestas con tus compañeros. Reflexionen y, de acuerdo con lo anterior, contesten la siguiente pregunta entre todos.

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Š¿Qué característica tiene la suma de los ángulos interiores de las figuras geométricas que cubren un plano, sin traslaparse ni sobreponerse, y que coinciden en un punto? La suma debe ser 360°.

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Tipos de teselados Seguramente habrás concluido que un teselado depende de la suma de los ángulos interiores de las figuras geométricas que coinciden en un punto. Copia tres veces el triángulo equilátero y dos veces el cuadrado en una hoja blanca y recorta las cinco figuras.

Sugerencia de contenido Los teselados se pueden formar usando varias veces una sola figura o varias veces diferentes figuras. Lo importante es que la suma de los ángulos interiores de las figuras que cubren el plano sea de 360° sin traslaparse ni sobreponerse, y que coincidan en un punto.

ŠIntenta hacer que todas las figuras coincidan en un vértice sin que se superpongan ni queden huecos. ¿Fue posible hacerlo? Sí fue posible.

Recomendaciones procedimentales

Š¿Cuánto suman los ángulos interiores que coinciden en el punto central? 3(60º) + 2(90º) = 360° Š¿Es posible crear un teselado combinando cuadrados con triángulos equiláteros? ¿Por qué? Sí. Porque al sumar los ángulos que coinciden en un solo vértice se

Se espera que, después de la experiencia con los ejercicios de las actividades anteriores, los estudiantes puedan realizar exitosamente, de manera individual, la actividad “Tipos de teselados”.

obtienen 360º. Los teselados regulares se forman a partir de la repetición de polígonos regulares iguales. Sin embargo, no todos los polígonos regulares sirven para recubrir el plano.

La intención de que los alumnos copien el triángulo equilátero y el cuadrado de los que están en el libro es que no inviertan mucho tiempo en esta parte de la actividad pero, si lo considera conveniente, pida que los tracen para promover algunas competencias que desarrollaron en cursos anteriores.

Š¿Con qué polígonos regulares se pueden hacer teselados? Con el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. Š¿Por qué no se pueden usar otros? Porque los ángulos que coinciden en un mismo vértice no suman 360°.

Solicite a un alumno que lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo y pida que expresen sus ideas sobre cuáles son los polígonos regulares que ellos piensan que sí pueden cubrir el plano. Permita cualquier hipótesis sin descalificar alguna y parta de ahí para pedirles que elaboren la tabla que se solicita en la cuarta viñeta azul. Se espera que los alumnos regresen a la secuencia 19 para deducir la medida de los ángulos interiores de los polígonos regulares que enlistará en la tabla.

ŠConstruye una tabla donde presentes los cálculos necesarios para demostrar con cuáles polígonos regulares es posible hacer teselados. Analiza si con los octágonos y los dodecágonos se puede. Inclúyelos en la tabla. Ver solucionario ŠCopia varias veces el octágono regular en una hoja.

Š¿Es posible crear un teselado solamente con octágonos? ¿Por qué? No es posible porque quedan huecos entre ellos. ŠSi no lo es, ¿con qué otra figura se puede combinar para lograr un teselado? ¿Cómo lo sabes? 1)

1) Se puede teselar en combinación con cuadrados. R. M. Esto es posible conocerlo ya que la suma de los ángulos que coinciden en un mismo vértice es 270° y para completar los 360° hacen falta 90° que es la medida del ángulo interno de un cuadrado.

Durante el intercambio de resultados, solicite que algunos estudiantes usen las figuras que recortaron y muestren sus resultados y la forma como llegaron a ellos para que el resto del grupo los valide. Además de la conclusión a la que se pide que lleguen los alumnos en la confrontación final de esta actividad, debe orientar las reflexiones para que concluyan qué polígonos regulares sí permiten cubrir el plano.

Discute tus resultados con tus compañeros. Justifica geométricamente por qué con algunos polígonos no se pueden hacer teselados. Concluyan con ayuda de su profesor.

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El nombre de los teselados Para dar nombre a un teselado es necesario contar cuántos lados tiene cada polígono que rodea un vértice. Por ejemplo, el siguiente teselado se llama “6.6.6”.

Recomendaciones procedimentales La actividad “El nombre de los teselados” está diseñada para que los alumnos la resuelvan en forma individual. Solo en caso de que observe que algunos estudiantes tienen dificultades para hacerla satisfactoriamente, forme parejas o equipos para que trabajen de manera colaborativa. ŠRemarca un vértice en cada teselado. Después, anota cuántos lados tiene cada polígono que rodea un vértice. Al final escribe el nombre de cada teselado.

Antes de que los estudiantes empiecen la solución de esta actividad pida que observen los primeros tres teselados y pregunte ¿Qué tienen en común esos teselados? ¿En qué son diferentes? Esto es con la intención de que noten que esas configuraciones están formadas por un mismo polígono regular aunque estén coloreados de diferentes maneras. Solicite a un estudiante que lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo. Aclare que el nombre de teselados regulares se da solo a los que están formados por el mismo polígono regular y que, aquellos integrados por dos o más polígonos regulares reciben otro nombre. Pida que observen los últimos dos teselados y, con la intención de que no consideren los colores como una característica para clasificarlos, pregunte ¿Estos teselados son regulares o no? ¿Qué les permite afirmar lo anterior?

3.3.3.3.3.3

Se dice que un teselado es regular cuando todos los polígonos que comparten un vértice son iguales. ¿De qué otra forma podrías definir un teselado regular? Es aquel que está formado por polígonos regulares.

Es probable que algunos estudiantes comenten que existen teselados formados por figuras iguales, como los que se pueden obtener con rectángulos, rombos y romboides, por ejemplo. Comente que, aunque es correcta su observación, en este caso solo se están considerando los polígonos regulares, es decir, polígonos que tienen la misma medida en sus ángulos y la misma medida en sus lados.

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4.4.4.4

Con teselados regulares, cambiando la combinación de colores, se obtienen diseños muy distintos. Si además se usan diferentes polígonos regulares, podemos encontrar gran variedad de teselados. Los siguientes son ejemplos de lo que se puede hacer combinando colores y utilizando la misma figura para teselar.

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Š¿A partir de qué figura se formaron los teselados anteriores? 1) Š¿Qué similitudes y diferencias observas en los dos teselados anteriores? 2) ŠTraza en una hoja cuadriculada un teselado usando el patrón anterior, cambiando los colores. Muestra tu trabajo a otros compañeros y comenten la estrategia que siguieron para determinar el patrón. En parejas lean la siguiente información y resuelvan las actividades. Los teselados semirregulares se forman con dos o más polígonos regulares (diferentes entre sí). El número de lados de los polígonos que rodean un vértice debe ser el mismo en todos los vértices del teselado. En este tipo de teselados, todos los polígonos que rodean cualquier vértice siempre son los mismos. Solo existen ocho teselados semirregulares. ŠAnalicen los polígonos que forman el siguiente teselado. Š¿Qué polígonos regulares lo forman? 3)

1) A partir de polígonos regulares (triángulos equiláteros). 2) R. M. Que la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice es de 360º. 3) El teselado está formado por cuadrados, hexágonos regulares y dodecágonos regulares. 4) Cuadrado: 360º; Hexágono: 720º; Dodecágono: 1800º 5) Un cuadrado, un hexágono y un dodecágono 6) No, porque quedan huecos.

Recomendaciones procedimentales Organice la muestra de los teselados que los alumnos hicieron con triángulos equiláteros en los que cambiaron los colores. Pida que voluntariamente algunos escolares muestren sus teselados y solicite que el grupo trate de encontrar la manera como se determinó el patrón. En caso de que no lo logren, pida que el autor del teselado la comente para que el resto del grupo la valide. Aproveche este intercambio para promover el desarrollo de competencias de tipo social, como la tolerancia y el respeto. Organice parejas de trabajo para que resuelvan la parte de la actividad “El nombre de los teselados” correspondiente a los teselados semirregulares. En caso de que haya organizado parejas o equipos en la primera parte de la actividad, cambie los integrantes para promover el trabajo entre compañeros con diversidad de características.

Š¿Cuántos grados miden los ángulos interiores de cada polígono? 4) ŠRemarquen un vértice y los polígonos que lo rodean. Š¿Qué polígonos lo rodean? 5) Š¿Cuántos grados suman los ángulos que coinciden en cada vértice? 360º

Encargue de tarea que copien y recorten el dodecágono en cartulina para utilizar el tiempo de la clase en la construcción y el análisis del que esta figura forma parte. Es probable que algunos estudiantes observen que la figura reproducida es igual a la más grande de las que forman el teselado de la imagen y que, por tanto, los otros polígonos regulares deben ser el cuadrado y el hexágono. En este caso mencione que en el teselado que deben construir los dodecágonos tienen que compartir un lado, lo que no ocurre con los dodecágonos del teselado de la imagen.

Š¿Sucede lo mismo en todos los vértices? Sí Š¿Este es un teselado semirregular? Justifiquen su respuesta. Sí, pues está formado por más de dos polígonos regulares.

7) Un triángulo equilátero, porque hacen falta 60º para que la suma sea de 360º.

ŠAhora, reproduzcan en cartulina o en cartoncillo el siguiente polígono regular. Š¿Cuánto suman los ángulos interiores del polígono? 1800º

Es importante que oriente las reflexiones finales hacia la consideración de la suma de los ángulos interiores de los polígonos regulares que coinciden en un mismo vértice.

Š¿Cuánto mide cada ángulo interior? Justifiquen geométricamente su respuesta. 150º Š¿Será posible construir un teselado únicamente con este polígono? ¿Por qué? 6) ŠCopien en su cuaderno dos veces el polígono que reprodujeron en cartulina de manera que coincida uno de sus lados como se muestra. Š¿Cuánto suman los ángulos de los dos polígonos que coinciden en un mismo vértice? 300º Š¿Qué otro u otros polígonos regulares se necesitan para formar un teselado? Justifiquen su respuesta. 7) ŠCompleten el teselado para comprobar sus respuestas. Š¿Qué tipo de teselado se formó? ¿Por qué? 8)

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y juntos escriban en el cuaderno una conclusión acerca de las actividades realizadas. 8) Un teselado semirregular, porque está formado por dos polígonos regulares.

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Explica a tus compañeros de equipo por qué los dos siguientes teselados son semirregulares y no regulares.

Recomendaciones procedimentales Haga notar que las figuras con las que se combinan los triángulos equiláteros del segundo teselado de los dos primeros de esta página, son cuadrados. Dé algunos minutos para que los alumnos observen las imágenes de estos dos teselados y después pida que algunos alumnos argumenten sobre su decisión para que el resto del grupo valide sus respuestas y argumentos. Reúnete con tu equipo y encuentren los cuatro teselados semirregulares que faltan. Para ayudarte en esta tarea, toma en cuenta lo siguiente:

Considere que la actividad propuesta después de las imágenes de los dos primeros teselados de esta página está dirigida a los equipos que trabajan en el diseño del catálogo de mosaicos. Se espera que los estudiantes recurran a la estrategia de trazar y recortar los polígonos regulares sugeridos para buscar los teselados semirregulares faltantes. Por lo anterior, deles tiempo suficiente para la búsqueda de esos teselados.

ŠDos de los teselados están formados por hexágonos y triángulos. ŠOtro teselado está formado por cuadrados y triángulos, y el teselado restante está formado por octágonos y cuadrados. 1) Cuando la suma de todos los ángulos que convergen en un mismo vértice sea igual a 360°. 2) Las piezas que lo formen no pueden superponerse ni dejar huecos entre ellas. 3) 360º 4) R. L. (Pueden ser triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares). 5) Son tres: 4.6.12; 8.8.4; 3.12.12.

No organice algún intercambio de resultados y estrategias, puesto que la actividad anterior forma parte del trabajo final de los equipos y, hasta el final de la secuencia es cuando deben compartir sus resultados. Pida que avancen en el trabajo del diseño de su catálogo de mosaicos, como se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Enfatice en que deben llevar un registro de las respuestas a las preguntas que ahí se plantean y sugiera que anoten ese registro en una cartulina para exponerlas al resto del grupo en el momento que se solicite.

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Con tu equipo trabajen en el diseño de sus mosaicos. ŠTrabajen en el diseño de teselados regulares y semirregulares. Š¿De qué forma puedes comprobar que un mosaico cubre todo el plano? 1) Š¿Qué características debe cumplir una tesela? 2) Š¿Cuánto deben sumar los ángulos interiores que comparten un mismo vértice en una tesela? 3) Š¿Qué figuras eligieron para su mosaico regular? 4) Š¿Cuántos y cuáles son los teselados semirregulares posibles con tres polígonos en un vértice? 5)

Los teselados demi-regulares

Indique a los estudiantes que continúen trabajando en los mismos equipos que preparan el trabajo final para resolver la actividad “Los teselados demi-regulares”.

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¿Cómo vamos?

Reúnete con tus compañeros de equipo y analicen los siguientes teselados. Después, contesten las preguntas de la siguiente página.

Teselado 1

Teselado 2

Teselado 3

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Recomendaciones procedimentales

Teselado 4

Pida que observen los cinco teselados, los tres últimos de la página anterior y los dos primeros de esta, y después pregunte ¿Qué diferencias encuentran entre estos y los teselados semirregulares? Se espera que algunos estudiantes puedan descubrir el hecho de la coincidencia de diferentes polígonos regulares en los puntos de estos teselados, a diferencia de los teselados semirregulares.

Teselado 5

Š¿Qué polígonos forman cada teselado? Son polígonos regulares. ŠRemarquen en cada teselado un vértice y los polígonos que coinciden en él. ŠAnota, para cada caso, los polígonos que rodean cada vértice y la medida de los ángulos correspondientes. ŠTeselado 1: Dodecágono: 150º, Cuadrado: 90º y Triángulo equilátero: 60º ŠTeselado 2: Cuadrado: 90º, Triángulo equilátero: 60º y Hexágono: 120º ŠTeselado 3: Dodecágono: 150º, Cuadrado: 90º, Triángulo equilátero: 60º, Hexágono: 120º ŠTeselado 4: Cuadrado: 90º y Triángulo equilátero: 60º ŠTeselado 5: Triángulo equilátero: 60º, Cuadrado: 90º y Hexágono: 120º Š¿Cuántos grados suman los ángulos en cada caso? 1) ŠEn cada caso, ¿se repite el mismo patrón en todos los vértices? 2) Š¿Qué características en común tienen todos los teselados? 3) ŠExpliquen por qué a este tipo de teselados se les llama demi-regulares. 4) Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y juntos registren en el cuaderno sus conclusiones. Confronten sus acuerdos con la siguiente información. Todos los teselados anteriores son demi-regulares, pues se construyen combinando varios tipos de polígonos regulares, pero de modo que no todos los vértices tienen el mismo patrón. Cuando un teselado presenta diferentes patrones en cada dos o más vértices ya no se le puede dar un solo “nombre”. Existen veinte diferentes teselados con dos patrones distintos, y 61 teselados con tres patrones distintos. Todavía no se sabe cuántos teselados existen con cuatro patrones.

También es probable que algunos escolares hagan notar el hecho de que los colores les ayudan a reconocer los diferentes patrones que forman estos teselados, pero si no surge esta respuesta, no la induzca, esto lo deben encontrar los alumnos con el trabajo del resto de la actividad.

1) En los vértices que se unen suman 360º. 2) Sí, pues aunque sean diferentes medidas, todas terminan por sumar 360º. 3) Que no se repite el mismo patrón en los vértices en que coinciden los polígonos. 4) Porque se construyen combinando varios tipos de polígonos regulares, pero de modo que no todos los vértices tienen el mismo patrón.

Registre en el pizarrón las conclusiones de la plenaria respecto a los teselados anteriores. Después solicite que lean en silencio la información del texto que aparece en rojo y pida que comparen lo que leyeron con las conclusiones que se registraron para que rectifiquen o ratifiquen todas sus conclusiones o parte de ellas. Antes de comenzar la actividad “Teselados irregulares” haga preguntas como ¿Qué diferencias encuentran entre el teselado de esta actividad y los que han trabajado hasta el momento? Se espera que los alumnos puedan identificar que en los anteriores se utilizaron polígonos regulares y en este no. Si es posible, encargue de tarea que los estudiantes reproduzcan el rombo en sus casas. Después forme los equipos para que resuelvan esta actividad. Aproveche para integrar estudiantes que pudieran tener poca relación en un ámbito fuera de la escuela.

Teselados irregulares Reúnete en equipo para realizar las siguientes actividades. ŠReproduzcan la figura de la dercha y formen en el cuaderno un teselado, siguiendo el patrón que se muestra. Š¿El polígono que forma el teselado es regular? Justifiquen su respuesta. No, porque está formado por un rombo que no es un polígono regular. Š¿Cuántos polígonos rodean el mismo vértice? 3 y 4 en algunos casos Š¿Se repite el mismo patrón en todos los vértices? No Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y juntos determinen un posible nombre para este teselado.

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El teselado anterior es irregular ya que está formado por rombos, que no son polígonos regulares porque no todos sus ángulos son iguales. Además, si contamos el número de polígonos que rodean un vértice, no siempre vamos a obtener la misma respuesta.

Recomendaciones procedimentales El arquitecto catalán Antoni Gaudí (1852-1926) decoraba sus construcciones con mosaicos.

Solicite que lean en silencio la información del apartado “Historias de vida”. Después pida que, en lluvia de ideas, expresen lo que hayan entendido de la misma. Posteriormente haga preguntas que les permitan abundar sobre la información, por ejemplo, ¿De qué nacionalidad era Antoni Gaudí? ¿Cuántos años vivió? Cuando los estudiantes terminen de registrar sus ideas sobre las diferencias y similitudes entre los trencadís de Gaudí y los teselados tradicionales en sus cuadernos, coloque una línea vertical en medio del pizarrón. Titule una mitad como “Similitudes” y la otra como “Diferencias” y pida que algunos alumnos voluntariamente pasen a escribir sobre lo que hicieron en sus cuadernos para que los demás compañeros les validen sus respuestas. Antes de que los alumnos resuelvan el último ejercicio de la actividad “Teselados irregulares” solicite que observen los teselados que se muestran y mencionen las principales diferencias que encuentren con respecto a los trabajados anteriormente. Se espera que los alumnos identifiquen la desigualdad entre los lados de algunos polígonos que se utilizan en los teselados de esta página. Mencione que la pregunta de la primera viñeta se refiere a si los polígonos tienen todos sus lados y sus ángulos iguales o no, es decir, si son polígonos regulares o irregulares. Organice la confrontación final de la actividad. Solicite a algunos estudiantes que expongan sus respuestas y en cada una pida que argumenten con elementos propios del tema trabajado.

Propuso el sistema llamado trencadís: mosaico construido con fragmentos esmaltados de cerámica de desecho. A la derecha observamos el detalle de una banca diseñada por Gaudí y ubicada en el parque Güell en Barcelona, España. ŠAnota en el cuaderno las similitudes y las diferencias entre el trencadís y la forma de los teselados tradicionales. 1)

1) Las similitudes entre el trencadís y un teselado tradicional radica en que no puede superponerse una tesela a otra, y si bien puede quedar un pequeño hueco entre ellas, esta distancia es mínima. Esto nos permite deducir que el recubrimiento de un plano puede hacerse de dos formas posibles: regular e irregularmente. Esta última característica es distintiva del trabajo de A. Gaudí.

Detalle de banca del parque Güell.

Ahora analicen los siguientes teselados.

Š¿Cómo son los polígonos que los forman? Irregulares Š¿Qué características comparten con el teselado anterior? Que también están formados por polígonos irregulares. ŠExpliquen por qué estos teselados también son irregulares. Porque se construyen combinando varios polígonos irregulares. ŠRetomen la información del apartado “Historias de vida” y expliquen por qué el trencadís forma teselados irregulares.

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Comparte tus respuestas con tus compañeros.

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¿Cómo vamos? Réunete nuevamente con tu equipo y trabajen en el diseño de un teselado irregular. Š¿Les fue difícil encontrar los cuatro teselados semirregulares faltantes? R. L. ŠSi aún no descubren los cuatro teselados semirregulares, estos son los nombres de cada uno: 3.6.3.6

3.3.3.3.6

3.3.4.3.4

4.8.8

Š¿Es suficiente conocer los nombres de los teselados para trazarlos? Expliquen sus razones y, si no lo han hecho aún, tracen los cuatro teselados semirregulares anteriores. 1) ŠUna vez listos los mosaicos para su catálogo, elijan el que más les guste y tracen en cartulina las figuras que usarán en el mosaico para la pared del salón.

Intención pedagógica 1) R. M. Sí, ya que al tener el orden y la cantidad de lados de un polígono respecto al vértice donde convergen todos, es posible calcular el ángulo interno de cada uno de ellos y por lo tanto trazar el teselado correspondiente.

El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el estudiante reflexione sobre el trabajo que realizó y los conocimientos que adquirió, así como los usos que puede dar a esos conocimientos en un ámbito del saber humano.

Recomendaciones procedimentales Organice los equipos para que trabajen en el diseño de su teselado irregular, así como para concluir el diseño de su catálogo de mosaicos, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. También es importante que en este momento organice a los alumnos para que se distribuyan las tareas que se requieran para elaborar las figuras con las que tapizarán la región que se les asigne.

Realiza en tu cuadern cuaderno los trazos que se indican. 1. Traza un teselado demi-regular con dos patrones diferentes de los que aparecen en esta secuencia. Recuerda que todos los polígonos que traces deben ser regulares y que no es posible encontrar un solo nombre para el teselado, ya que se repiten dos patrones diferentes alrededor de los vértices. R. L. 2. Traza un teselado irregular diferente de los que aparecen en esta secuencia. Explica por qué es irregular. R. L.

Presentación de nuestro trabajo Expongan en equipo su catálogo de mosaicos. ŠExpliquen por qué cumplen con las condiciones que se solicitaron. ŠPidan al profesor que les asigne el lugar donde harán su mosaico y trabajen en su elaboración.

¿Cómo nos fue? Comenten con sus compañeros y con el profesor las siguientes preguntas. Š¿Se puede hacer una tesela con cualquier figura irregular? Expliquen su respuesta. 2) Š¿Cuál fue la mayor dificultad a la que se enfrentaron al diseñar sus teselas? ¿Cómo la resolvieron? R. L. Š¿Encontraron y dibujaron los teselados semirregulares que faltaban? Sí ŠDescriban en un párrafo cómo pueden relacionarse las matemáticas con el arte en general. R. L. ŠExpliquen también cómo se vinculan el arte con los recubrimientos en el plano. 3)

2) Sí se puede lograr, siempre y cuando la suma de los ángulos que convergen en cada uno de los vértices sea 360°. 3) R. M. En distintas culturas han utilizado estas teselaciones para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. Por ejemplo, el famoso pintor M.C. Escher fue un gran investigador de las teselaciones, lo que puede notarse en sus bellas imágenes con patrones geométricos. De la misma manera, el arte morisco usa las teselas como base de su decoración.

Cierre

Expón tu trabajo, argumenta tus explicaciones y con ayuda del profesor, valídalas.

Organice a los equipos para que expongan sus mosaicos según lo que se establecen en el apartado “Presentación de nuestro trabajo”. En cada uno solicite la validación del grupo. En caso posible, tramite el permiso correspondiente para que el resto de los grupos de la escuela visite la exposición de mosaicos. Solicite que comenten las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y la tolerancia. Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

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Enfatice en que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y que tienen que aplicar los conocimientos adquiridos en el salón de clases. Al día siguiente organice un intercambio de respuestas y estrategias. Solicite que algunos estudiantes expongan sus teselados y argumenten por qué son demi-regulares o irregulares para que el resto del grupo los valide.

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Bloque 3

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Intención pedagógica

Contenido

Los alumnos han trabajado con medidas de volumen y de capacidad de manera independiente, ahora se trata de que establezcan la relación entre el decímetro cúbico y el litro. También que deduzcan otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales y, al mismo tiempo, establezcan equivalencias entre unidades del Sistema Internacional de Unidades y algunas unidades socialmente conocidas, como el barril, quilates, quintales, etcétera.

Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

México exporta petróleo Resuelve el problema. En el año 2011, México exportó casi 488 402 000 barriles de petróleo. Si en un barril caben casi 159 litros, ¿cuántos decímetros cúbicos ocuparían esta cantidad de barriles de petróleo? ¿A cuántos metros cúbicos equivale este volumen? 77655918000 dm3. 77655918 m3 Presenta y argumenta el procedimiento que seguiste para resolver el problema.

Sugerencia de contenido En el siguiente sitio encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia.

A continuación se muestra el proyecto que desarrollarán en el transcurso de la secuencia, la forma de trabajo y los materiales que necesitarán. 1 barril de petróleo = 158.9872295 litros

Planeación

http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 2.° de Secundaria, Matemáticas II, Bloque 2, página 3, actividades “Relación entre medidas de volumen y capacidad” y “Conversión de medidas de capacidad”.

Desarrollo

Pida que resuelvan individualmente la actividad “México exporta petróleo”, después, de manera grupal, analice las respuestas.

ŠBusquen en su casa o en una tienda diez diferentes objetos que tengan indicadas las cantidades en mililitros (mL) o litros (L). ŠHagan una tabla donde indiquen el nombre del objeto, la cantidad de mililitros o litros que contiene, la forma geométrica que tiene (prisma, cilindro, etc.), y una cuarta columna donde anoten las dimensiones que necesitan tomar en cuenta para calcular su volumen. ŠPresentarán sus resultados y respuestas al grupo mediante un cartel. ŠEn la sección “¿Cómo vamos?” encontrarán infomación para realizar el proyecto.

1 litro

Organice las parejas para empezar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad dado que en este momento todavía no comenzarán la elaboración de su informe, sino que solamente conocerán algunas características que deberán considerar. Indique a los estudiantes que deben organizarse para conseguir los objetos que se solicitan.

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Nuestro trabajo Reúnanse en parejas para trabajar en el proyecto.

Recomendaciones procedimentales Para comenzar el trabajo con la secuencia, pida a un estudiante que lea en voz alta el contenido que se abordará. Después haga preguntas como ¿Qué unidades de volumen han trabajado? ¿Qué unidades de capacidad conocen? ¿Qué se mide en barriles? ¿Qué se mide en quilates? ¿Qué es un quintal? Si los estudiantes manifiestan dudas sobre esas unidades, no haga formalizaciones en este momento, esto se hará con el trabajo de la secuencia.

Relación entre dm3 y litro

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Envases de un litro Reúnete con un compañero y juntos realicen la actividad. Necesitarán tres envases diferentes, cada uno de un litro de capacidad, con forma de prisma, como los que se muestran a la izquierda. ŠMidan las dimensiones de los envases y calculen su volumen. Š¿Coinciden los resultados que obtuvieron para los tres prismas? Si no es así, expliquen por qué. R. M. No, tienen dimensiones diferentes, pero el volumen es aproximado. ŠSi hubieran medido las dimensiones de cada prisma con absoluta precisión, ¿cuántos cm3 tendría de volumen cada envase? R. M. 1000 3 Š¿En cuántos cm3 cabe un litro? En 1000 cm

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ŠSi cada caja tiene capacidad de un litro, que es igual a 1 000 mililitros, ¿qué relación hay entre la cantidad de cm3 que tiene el volumen de la caja y la cantidad de mililitros que tiene de capacidad? 1000 cm3 = 1000 mL Š¿Que relación hay entre la unidad de volumen y la unidad de capacidad que usaron para resolver el problema? 1 cm3 = 1 mL

Recomendaciones procedimentales

Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, analícenlas y justifíquenlas.

Tenga en cuenta que los envases que los alumnos llevarán pueden contener un litro, pero su capacidad es mayor. Por lo anterior, antes de que realicen las mediciones de las dimensiones de los envases, pida que en sus casas marquen hasta dónde llega el litro del líquido que contienen esos envases para que los resultados sean lo más precisos posibles.

El litro, ¿volumen o capacidad? A continuación se muestran dos cubos, uno de 10 cm y otro de 1 dm de arista. ¿Cuál es el volumen de ambos cubos? Si el primer cubo tiene una capacidad de 1 litro, ¿cuál será la capacidad del segundo? Del primer cubo: 1 000 cm3. Del segundo cubo: 1 dm3 También 1 litro Š¿Cuántos centímetros cúbicos caben en un litro? 1 000 Š¿Cuántos centímetros hay en un decímetro? 10 ŠEntonces, ¿cuántos decímetros cúbicos caben en un litro? 1

Una de las maneras como los estudiantes pueden distinguir entre el concepto de capacidad y volumen en la actividad “El litro, ¿volumen o capacidad?”, es plantear una situación como la siguiente Un caja cúbica sin tapa se construye con placas plásticas de 1 mm de espesor. Otra caja cúbica sin tapa se construye con placas metálicas de 1 cm de espesor. Si ambas cajas tienen aristas de 10 cm, ¿en cuál de las cajas caben más frijoles (o lentejas, agua, aceite, etcétera)? capacidad. Propie-

El litro es la capacidad o volumen que tiene un decímetro cúbico y se representa con l o L. El litro es una unidad de medida que no pertenece oficialmente al Sistema Internacional de Medidas (SI), pero es aceptada porque es muy común su uso. En el SI, la unidad que se usa para medir volumen es el metro cúbico.

Pida a un estudiante que lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo. Después realice precisiones respecto de ella, por ejemplo, la sinonimia que se puede aceptar entre capacidad o volumen.

dad de una cosa de contener otras dentro de ciertos límites.

Organice una confrontación al final de la actividad. Oriente las conclusiones hacia equivalencias de uso común, por ejemplo, cuántos litros caben en un metro cúbico y la equivalencia entre el centímetro cúbico y el mililitro.

Analiza con tus compañeros cuál es la diferencia, si existe, entre capacidad y volumen.

Planteen otros ejercicios de equivalencia entre unidades de capacidad y de volumen. Resuélvanlos individualmente e intercámbienlos con sus compañeros. Analicen las diferencias y, con ayuda de su profesor, encuentren las respuestas correctas. R. L.

Forme las parejas para que empiecen el diseño de su cartel, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Antes de esto, encargue de tarea los objetos. Indique a los estudiantes que registren sus resultados en tablas que elaborarán en sus cuadernos y después, que se organicen para hacerlas en cartulina.

Con base en las equivalencias entre capacidad y volumen que han encontrado hasta ahora, ¿cuántos mililitros se requieren para llenar un prisma que tiene volumen de 1 m3? 1 000 000

¿Cómo vamos? Š¿En qué unidades midieron las dimensiones de los objetos? R. M. En centímetros ŠCon base en las medidas de los objetos, calculen el volumen y anoten el resultado en una quinta columna de la tabla. R. L. Š¿Qué dificultades enfrentaron al calcular el volumen de los objetos? ¿Cómo las superaron? R. L.

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Desde una gota hasta una alberca olímpica ŠCon un compañero resuelvan los problemas. Un frasco contiene 125 mL de jarabe para la tos. Si el contenido completo de este frasco se puede servir en 25 cucharaditas, ¿cuántos mililitros de líquido caben en una cucharadita? 5 mL Si una cucharada sopera tiene un volumen de 15 cm3, ¿cuántos mililitros de líquido caben en una cucharada sopera? 15 mL

Recomendaciones procedimentales Coordine a las parejas de estudiantes para que resuelvan la actividad “Desde una gota hasta una alberca olímpica”, y “¿Cuánto pesa un litro de agua?”. Conduzca un intercambio grupal de resultados y estrategias después de concluir la actividad. Pida que algunas parejas muestren a los demás sus resultados así como la manera como los encontraron para que el resto del grupo los valide.

Alberca olímpica Francisco Márquez, fue construida para los juegos olímpicos que se llevaron a cabo en la Ciudad de México en octubre de 1968.

ŠUna barrica, cuba, o tonel es un recipiente de madera utilizado para la elaboración del vino. Las maderas que se utilizan en su construcción, le agregan diferentes sabores y aromas al vino. Si una barrica tiene una capacidad de 220 litros, ¿cuántas botellas de vino de 750 mL pueden llenarse con el vino que contiene una barrica? 293 botellas

Tenga en cuenta lo siguiente en los problemas: a) En el primer problema, los alumnos deben argumentar con la equivalencia entre el centímetro cúbico y el mililitro. b) Los alumnos pueden convertir primero las dimensiones de la alberca en decímetros para obtener la cantidad de litros como producto de esas tres medidas. c) La respuesta del tercer problema debe ser un número entero. d) Para enriquecer el ejercicio, pida la respuesta en dólares y en pesos mexicanos. e) Permita el uso de la calculadora para abreviar el tiempo de resolución de las operaciones.

Para conocer más sobre cuánta agua se desperdicia en un día, visita la página www.agua.org.mx (da clic en los vínculos: Actúa, ahorra e infórmate, ¿cuánta agua se desperdicia en un día?) Comenta con tus compañeros el resultado de tu consulta. (consulta 6 de septiembre de 2012, 18:15 horas)

En México, también utilizamos otras unidades para medir capacidad y volumen que no pertenecen al Sistema Métrico Decimal, sino al Sistema de Medidas Inglés, usado principalmente en Estados Unidos de América. ŠUn galón de gasolina en el estado de California, en EUA, costaba 4.20 dólares en abril de 2012. En México, un litro de gasolina costaba 10.09 pesos. Si un galón equivale a 3.78 litros, y el dólar se vendía a 13.30 pesos, ¿cuál era la diferencia en precio entre un litro de gasolina vendido en EUA y uno vendido en México? Hay una diferencia de $4.68 ŠLos refrescos se venden en muchas presentaciones, entre ellas la lata de 355 mL. Es una cantidad extraña si consideramos que también se venden botellas de refresco de 600 mL, 1 litro, 2 litros, etc. Si una onza líquida estadounidense equivale a 29.5735296 mL, ¿a cuántas onzas equivalen los 355 mL? 12 onzas

Solicite a un alumno que lea en voz alta la información del texto que aparece en rojo y pregunte ¿Qué pasaría si se siguiera considerando el kilogramo como el peso de un litro de agua?, con la intención de que los estudiantes reflexionen sobre la importancia de utilizar medidas convencionales constantes. Indique a los estudiantes que hagan en sus casas el ejercicio de la sección “Espacio tecnológico”. Al día siguiente pida que, en lluvia de ideas, comenten sobre lo que encontraron en esa página web y propongan algunas acciones que pueden promover en sus casas y en la escuela para cuidar el agua.

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ŠLa alberca olímpica Francisco Márquez mide 50 m de largo, 21 m de ancho y 1.80 m de profundidad. ¿Cuántos litros de agua contiene? ¿A cuántos kilolitros equivale ese volumen? 1 890 000 litros

¿Cuánto pesa un litro de agua? En el Sistema Internacional de Medidas se utiliza el kilogramo como unidad principal para medir la masa de un objeto. Cuando se inventó el Sistema Métrico Decimal a finales del siglo XVIII, se decidió que el kilogramo correspondiera a la masa de agua que cabe dentro de un decímetro cúbico (un litro). Sin embargo, como esta depende de su presión y temperatura, no era una cantidad constante. Fue así como se decidió construir un objeto cuya masa fuera exactamente 1 kg. Este objeto se conserva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, Francia. R. M. Hectogramo, tonelada, decagramo; miligramo ŠExisten también los submúltiplos y múltiplos del gramo (1 kg = 1 000 gramos). ¿Cuáles son los otros submúltiplos y múltiplos del gramo? 1) ŠUn múltiplo del gramo que quizá no anotaste, se usa para pesar las cosechas: un quintal equivale a 100 kilogramos. ¿Cuántos quintales hay en una tonelada? 10 quintales.

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Quilates Cuando hablamos de diamantes, un quilate equivale a 0.205 gramos. En el oro, su pureza se mide en quilates de tal manera que oro de 24 quilates es oro puro y oro de 12 quilates es mitad oro y mitad otro metal. Un diamante de 3 quilates se monta en un anillo de oro de 18 quilates. ¿Cuánto pesa el diamante? ¿Se puede saber cuánto pesa el anillo? 0.615 gramos. No

Intención pedagógica

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Con ayuda de su profesor, valídenlas.

El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que los estudiantes reflexionen sobre el trabajo que realizaron y los conocimientos que adquirieron, así como las estrategias que usaron para resolver los problemas.

¿Cómo vamos? Š¿Qué relación existe entre el volumen calculado y el número de mililitros o litros indicado en la etiqueta del objeto? R. L. Š¿Cómo deberían ser estas cantidades entre sí? R. M. Equivalentes. Š¿En qué unidades deben calcular el volumen de un objeto para que coincida con el número de mililitros? En centímetros cúbicos Š¿En qué unidades deben calcular el volumen de un objeto para que coincida con el número de litros? En decímetros cúbicos

Recomendaciones procedimentales

acuñar. Fabricar una moneda o medalla por medio de cuño o troquel.

Organice las parejas para que trabajen en la conclusión de su cartel, de acuerdo con las indicaciones que se dan en el apartado “¿Cómo vamos?”. Comente que en este momento completarán la tabla en su cartulina y darán respuesta a las preguntas que se les hacen para compartirlas cuando se les solicite.

Resuelve en tu cuaderno los problemas. 1. En el boxeo profesional, los boxeadores peso pluma deben pesar más de 122 libras y menos de 126 libras. Si una libra equivale a 0.45359237 kilogramos, ¿cuáles son los límites de peso para estos boxeadores en kilogramos? Más de 55.33 kilogramos y menos de 57.15 kilogramos. 1 1 2. La Casa de Moneda en México acuña monedas de oro y plata que pesan una onza (oz), oz, de oz, 2 4 1 1 1 de oz, de oz y de oz. La onza troy se usa para pesar metales preciosos como el oro y la plata. Una 5 10 20 1 onza troy equivale a 31.1034768 gramos. ¿Cuántos gramos pesa una moneda de de oz? 6.22 gramos 5 3. Las etiquetas que identifican diferentes materiales envasados, embotellados o enlatados muestran la cantidad del contenido en mililitros o en miligramos. ¿A qué se refieren estas unidades de medida? ¿Qué es lo que miden? ¿Por qué algunos contenidos vienen etiquetados en mililitros y otros en miligramos? ¿Es correcto medir azúcar en mililitros en lugar de miligramos? 1)

Haga énfasis en que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas que estudiaron en la secuencia. Al día siguiente solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y estrategias para que el resto del grupo los valide. Organice a las parejas para que expongan sus carteles a partir de lo que se indica en el apartado “Presentación de nuestro trabajo”. En cada uno solicite la validación del grupo.

Presentación de nuestro trabajo R. L. Presenten sus carteles al resto del grupo y juntos analicen las siguientes cuestiones: Š¿Qué estrategias utilizaron cuando la forma del objeto que midieron era irregular (ni prisma ni cilindro) para calcular su volumen? ŠSi vierten el contenido del objeto que midieron en otro recipiente, ¿cambia su volumen? ¿Qué ventajas podría ofrecer este procedimiento? Š¿Demostraron que el número de decímetros cúbicos coincidía con el número de litros?

¿Cómo nos fue?

1) R. M. Unas a capacidad y otras a peso. Porque algunos son líquidos y otros son sólidos. No. Porque el azúcar no es un líquido, es un sólido. 2) Son equivalentes, por ejemplo, 1 cm3 = 1 mL 3) 776 55918 m3 4) R. M. Realizando las equivalencias.

Cierre

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Arguméntalas y, con ayuda del profesor, valídalas.

Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

Š¿Cuál es la relación entre las unidades de capacidad y las de volumen? 2) Š¿Cuál es el volumen que ocupa el petróleo que exporta México en un año? 3) Š¿Cómo resolvieron los problemas donde aparecen unidades diferentes de las usadas en el sistema métrico decimal? 4)

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Pida a los estudiantes que comenten sus respuestas a las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y aguardar el turno para participar. En caso de que las condiciones del grupo lo permitan, invítelos a realizar una reflexión crítica sobre su colaboración en el equipo en el cual participaron, así como una autoevaluación sobre los aprendizajes que adquirieron.

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Bloque 3

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Relación funcional

Intención pedagógica

Sugerencia de contenido

Contenido Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Lee la información y resuelve individualmente.

Inicio

Se espera que, con las actividades de la secuencia, los estudiantes representen algebraicamente y analicen una relación proporcional de la forma y = kx, y asocien los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

El presidente municipal de una comunidad agrícola está preocupado porque una industria instalada en el municipio tira contaminante al río. Por ello decidió cobrar una multa de $7.30 por mililitro de contaminante arrojado. Para medir la cantidad de contaminante que sale hacia el río, las autoridades colocaron un medidor especial en el desagüe y obtuvieron la información que se muestra en la tabla. El contador de la industria quiere calcular el costo de las multas.

En los siguientes sitios de Internet encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia. http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 1er grado, preguntas 39 a 42 y 47.

Completa la tabla para encontrar la multa que pagarán cada día de la semana. Día

http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 1.° de Secundaria, Matemáticas I, Bloque 4, página 3, actividad “Más relaciones de proporcionalidad y = kx”.

Recomendaciones procedimentales

1) Multiplicar 7.3 por la cantidad de contaminante diario. 2)

Para comenzar el trabajo con la secuencia, pida a un estudiante que lea en voz alta el contenido que se abordará. Después, para explorar las ideas que tienen los alumnos sobre el contenido que van a estudiar, haga preguntas como ¿Qué imaginan que se trabajará en la secuencia? ¿Qué significa la expresión y = kx? ¿Qué son las cantidades variables?

Oriente las reflexiones finales hacia dos aspectos: las características de las cantidades que se relacionan de manera proporcional y la operación que se debe realizar para calcular el valor de la variable dependiente a partir del valor de la variable independiente.

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Multa ($)

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9.7

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6.3

45.99

4.8

35.04

3

21.9

Planeación

Para activar los conocimientos previos de los alumnos pregunte Si por dos kilogramos de tortillas se pagan 24 pesos, ¿cuánto se debe pagar por cinco kilos? ¿Y por siete kilos y medio?

Contaminante (mL)

Contaminante (mL)

Multa ($)

Lunes

3

21.9

Martes

6.3

45.99

Miércoles

4.8

35.04

Jueves

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Viernes

14.4

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Sábado

12

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•¿Qué operación hiciste para encontrar cuánto debe pagar de multa la industria? 1) •Elabora en tu cuaderno una tabla de datos de dos columnas, una para la cantidad de contaminante y otra para la multa, con los datos ordenados de mayor a menor. 2) •¿Qué relación hay entre la multa y la cantidad de contaminante que se arroja? Justifica tu respuesta. R. M. A mayor cantidad de contaminante mayor multa. •¿En este problema existe una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué? Sí, porque cuando la cantidad de contaminante aumenta, la multa aumenta en Discute tus respuestas con otros compañeros y con el maestro.la misma proporción. Antes de continuar con el trabajo de la secuencia, reúnete con dos compañeros para leer la información acerca del proyecto que llevarán a cabo.

Nuestro trabajo En este proyecto harán una recomendación a una familia que quiere organizar una fiesta en un salón. Para ello, la familia les proporcionará una lista de lugares que investigó en Internet. ŠAsignarán una variable al número de invitados y otra al costo de la fiesta. ŠDeterminen una función que permita calcular el costo de la fiesta en relación con el número de invitados para distintos salones. A lo largo de la secuencia, en el apartado “¿Cómo vamos?”, encontrarán información para llevar a cabo el proyecto.

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Desarrollo

¿Cuánto le cuesta a la industria contaminar? Regresemos al problema de la fábrica que contamina al río del municipio. Analiza con un compañero la tabla que construiste y responde. Š¿De qué depende cuánto tiene que pagar la industria al municipio? De la cantidad de contaminante que emita.

Recomendaciones procedimentales

ŠSi aumenta el número de mililitros que la industria arroja al río, ¿qué sucederá con la multa que debe pagar? ¿Qué sucederá si disminuye la cantidad de mL? Aumenta. Disminuye. Sí Š¿Esta es una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué?

Integre las parejas para resolver la actividad “¿Cuánto cuesta a la industria contaminar?”. Aproveche esta organización para conformar parejas de alumnos de manera aleatoria, por número de lista por ejemplo.

Porque las dos cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción. ŠAsignen la literal x al número de mililitros de contaminante y la literal y a lo que se paga de multa, y escriban una expresión algebraica que indique el costo de arrojar x mililitros de contaminante al río: y = 7.3x

Con la intención de que los alumnos recuerden las diferentes formas en que se puede indicar la multiplicación de una cantidad constante por una variable, pregunte ¿Cómo se indica la multiplicación de 4 por “x”? Solicite que algunos alumnos pasen al pizarrón a escribir sus propuestas para que el resto del grupo las valide. También pregunte ¿Qué forma tiene una expresión algebraica que representa la manera de calcular una cantidad desconocida a partir de una que sí se conoce?, para que recuerden que esa expresión debe ser una igualdad.

Š¿Qué valores puede tomar la variable x? Cualquiera Š¿Qué valores puede tomar la variable y? Depende del valor que tome x. Š¿Por qué factor se multiplica x para obtener el valor de y? Por 7.3

ŠPara verificar la expresión, calculen nuevamente la multa de los días que aparecen en la tabla de la página anterior.

Haga hincapié en que deben trazar las gráficas de las tres expresiones algebraicas que permiten calcular el costo de la multa cuando cambia el cobro por mililitro de contaminante que se arroja al río.

ŠSi no obtuvieron los mismos resultados, revisen la expresión algebraica para modificarla y volver a verificar su validez. ŠSi el presidente municipal decide cobrar $8.50 por mililitro de contaminante, ¿qué expresión algebraica permite calcular el costo de la multa? y = 8.5x

Para evitar que los alumnos se confundan con los puntos de las tres gráficas, solicite que usen un color diferente para cada una de ellas.

ŠSi el presidente municipal decidiera cobrar $6.95 por mililitro de contaminante, ¿las multas serían mayores o menores? ¿Por qué? Serían menores que si cobrara $7.3 por mililitro Š¿Qué expresión algebraica permite calcular el costo de la multa? y = 6.95x ŠEn su cuaderno, tracen una gráfica con el número de mililitros de contaminante en el eje horizontal y el costo de la multa en el vertical. Ver solucionario

Mientras los alumnos hacen sus gráficas en los cuadernos, trace un sistema coordenado en el pizarrón y después solicite a tres parejas que pasen al pizarrón y que cada una elabore una de las gráficas de las expresiones algebraicas que escribieron. Use estas gráficas para que los alumnos argumenten su participación en la confrontación final.

ŠMarquen las coordenadas que corresponden a distintas parejas de mililitros y multas. Unan los puntos y prolonguen la gráfica hasta que interseque al eje vertical. Š¿Qué forma tienen las gráficas? Son rectas. Š¿En qué coordenada intersecan al eje vertical? ¿Por qué sucede esto? 1) ŠDescriban las semejanzas y diferencias de las gráficas y argumenten a qué se deben. 2) Š¿Cómo aumenta el costo de la multa cuando se incrementa la cantidad de contaminante? ¿Este cambio tiene alguna relación con el factor de proporcionalidad? 3) Comparen sus respuestas con las de otro equipo y discútanlas con su profesor.

1) En (0,0). R. M. Porque cuando x = 0 no hay multa. 2) Semejanzas: todas son rectas que pasan por el origen. Diferencias: tienen distinta inclinación. 3) Multiplicando por 7.3. Sí, es el factor de proporcionalidad.

Enriquezca el análisis de las gráficas con preguntas como ¿Qué gráfica corresponde a la mayor multa por mililitro? ¿Cómo se observa lo anterior en las gráficas?

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Si aumentamos un conjunto de cantidades al doble, cada una se incrementa de distinta forma, pero todas aumentan en la misma proporción y se multiplican por un mismo factor, que en este caso es 2. Cuando una cantidad depende del valor de otra, se dice que entre ellas hay una relación funcional o función. Entre el costo de la multa y la cantidad de contaminante existe una relación funcional. Cuando una relación funcional representa una relación de proporcionalidad directa, esta puede escribirse como y = kx, en la que k representa la constante de proporcionalidad, es decir, indica el valor por el que se debe multiplicar x para obtener y. A la variable x le llamamos variable independiente y a la variable y le llamamos variable dependiente.

Recomendaciones procedimentales Realice una lectura en voz alta de la información del texto que aparece en rojo. Después plantee preguntas que permitan a los estudiantes relacionar las variables que usaron en sus expresiones algebraicas con lo que representan en la situación inicial, por ejemplo ¿Qué representa la constante de proporcionalidad? ¿Qué representa la variable dependiente? ¿Qué representa la variable independiente? Organice equipos de hasta cuatro integrantes para resolver la actividad “Hábitos de lectura”. En esta ocasión puede organizar los equipos de manera que en todos participen estudiantes de diferente sexo, con la intención de promover entre ellos la tolerancia al compartir tareas con diversas maneras de ser. Mientras los alumnos trabajan, recorra los equipos para observar la forma en la que resuelven la actividad y recoger estrategias que le parezcan interesantes durante la confrontación final. Impulse a cada equipo para que encuentre una manera de comprobar si su expresión algebraica es correcta. Esta comprobación se puede hacer dando algún valor a la variable independiente de manera que el valor de la independiente sea fácilmente controlable, 2 horas por ejemplo. Enriquezca el análisis de las expresiones que representan la cantidad de hojas que leen, en promedio, Joaquín y Mariel con preguntas como ¿Quién de ellos tiene una lectura más rápida? ¿Cómo se refleja lo anterior en las expresiones algebraicas?

Discutan en grupo lo anterior y registren sus conclusiones en el cuaderno.

Hábitos de lectura En equipo resuelvan el problema. Respondan en el cuaderno. 1) El número de horas que leen. 2) La cantidad de páginas que leen. 3) y = 35x. El factor de proporcionalidad es 35. 4) y = 38x. El factor de proporcionalidad es 38. 5) Mariel. Porque el factor de proporcionalidad es mayor. 6) Sí. Porque se multiplica por un factor proporcional. 7) Independiente el número de invitados. Dependiente, el costo total. 8) Alegría: 89.9; Buenavista: 129; Cosmos: 55; Danubio: 143.3; Embajador: 140. 9) Alegría: 222; Buenavista: 155; Cosmos: 363; Danubio: 139; Embajador: 142

Reúna los equipos para que continúen el trabajo del diseño de su recomendación, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Dé algún tiempo para que los alumnos construyan las tablas y contesten las preguntas, pero no organice algún intercambio de respuestas y estrategias dado que eso se realizará hasta el final del trabajo con la secuencia.

A Joaquín y a Mariel les gusta leer. Joaquín lee en promedio 35 páginas por hora. Mariel, en cambio, puede leer 38 páginas por hora. ŠSi representamos lo anterior como una función, ¿cuál es la variable independiente, es decir, qué representa x? 1) Š¿Cuál es la variable dependiente? 2) ŠEscriban una función que represente la cantidad de hojas, en promedio, que puede leer Joaquín. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 3) ŠEscriban una función que represente la cantidad de hojas que puede leer Mariel. ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 4) Š¿Cuál de los dos amigos lee más páginas después de dos horas? Argumenten su respuesta. 5) Comparen sus expresiones con las de otros compañeros. En caso de que haya diferencias, sustituyan los valores de x y y para validar sus respuestas.

¿Cómo vamos? Reúnete con tus compañeros para trabajar en el proyecto. ŠEn su recomendación proporcionarán información acerca de cómo calcular el costo de la fiesta y el lugar donde les conviene organizarla de acuerdo con los precios que les presenten y del número de invitados. La lista que la familia les entregó es la siguiente: El costo por invitado en el salón Alegría es de $89.90; en el salón Buenavista es de $129; en el salón Cosmos, $55; en el salón Danubio es de $143.30 y en el salón Embajador es de $140.00. Hagan una tabla en la que muestren cuál sería el costo de la fiesta en cada salón si se invitara a 50 personas, a 75, a 100, a 125, a 150, a 175 y a 200. Ver solucionario. Š¿El costo por invitado en cada salón representa una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué? 6) Š¿Cuál es la variable independiente en cada caso? ¿Cuál es la variable dependiente? 7) Š¿Cuál es el factor de proporcionalidad en cada caso? 8) ŠSi la familia solo quiere gastar $20 000, ¿a cuántas personas podría invitar en cada salón? 9) Registren esta información para su reporte final.

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El viaje Resuelvan en parejas la siguiente actividad. Un automovilista sale de su casa y avanza con velocidad constante de 60 km/h por un camino recto.

Recomendaciones procedimentales Š¿Qué distancia recorrerá después de 2 horas? ¿Y después de 3 horas? 120 km. 180 km.

Los alumnos cuentan con experiencia en el trabajo de situaciones en las que se desplaza un móvil a una velocidad constante, ya que lo han estudiado en la asignatura de Ciencias. Por lo anterior, se espera que no tengan dificultades para notar la dependencia entre las variables de la actividad “El viaje”. Sin embargo, si nota que a algunos se les dificulta contestar las preguntas, sugiera que elaboren una tabla con distintos valores para la variable independiente para determinar el valor correspondiente de la variable dependiente.

Š¿Tienen una relación de proporcionalidad directa la distancia que recorre el automóvil y el tiempo transcurrido? ¿Por qué? Sí. Porque el tiempo aumenta conforme aumenta la distancia en la misma proporción. Š¿Cuál es la variable independiente? El tiempo transcurrido Š¿Cuál es la variable dependiente? La distancia recorrida Š¿Cuál es el factor de proporcionalidad? 60 ŠEscribe una función entre la distancia (d) recorrida por el automovilista y el tiempo (t). d = 60t

Si los alumnos asignan un valor con números decimales al tiempo que se solicita en la novena viñeta, invítelos para que den significado contextual a ese resultado. Haga preguntas como ¿Qué representa la parte entera de ese cociente? ¿Qué representa la parte decimal? ¿Cuántos minutos representan la parte decimal del cociente?

ŠUsa la función que escribiste para calcular qué distancia recorrerá el automovilista en 6 horas. 360 km ŠElabora en tu cuaderno una gráfica que muestre la distancia recorrida por el automovilista como función del tiempo. ¿Qué forma tiene? Es una línea recta Š¿Cuánto tiempo tardará el automovilista en recorrer 550 km? 9.16 h

Cambie los integrantes de las parejas para que resuelvan la actividad “Variación conjunta”. Después de que contesten las preguntas, pida que un alumno lea en voz alta la información posterior a esas preguntas. Después pregunte Además de una tabla y una expresión algebraica, ¿de qué otra manera se ha representado la variación conjunta de las variables en una función? para que los alumnos reflexionen sobre la representación gráfica que se ha hecho de las mismas funciones.

Reúnanse con otros compañeros y comparen la relación funcional utilizada en esta situación y en las anteriores. ŠEscriban en su cuaderno qué semejanzas y diferencias observan entre ellas y respondan. R. M. Todas al gráficas son líneas rectas. Š¿Cómo reconocen si una función representa una relación de proporcionalidad directa o no? Justifiquen su respuesta. R. M. Porque su gráfica es una línea recta.

Variación conjunta

Oriente las conclusiones grupales hacia los siguientes aspectos:

Responde con un compañero lo siguiente.

a) La forma y = kx de las relaciones de proporcionalidad directa. b) El punto donde intersecta a los ejes coordenados la gráfica de una relación de proporcionalidad directa. c) Los valores de las variables en la tabla para el caso del inciso anterior.

ŠEn una relación funcional, dos variables están relacionadas una con la otra. ¿Qué sucede si se modifica una de las dos? La otra también se modifica. Š¿Cómo es la variación conjunta de las variables en una función que representa una proporcionalidad directa? Si una aumenta, la otra también. Si una dismunye, la otra también, en la misma proporción. Como hemos visto, la variación conjunta entre variables se puede representar por medio de una tabla o mediante una expresión algebraica. Revisen sus respuestas con su profesor y registren sus conclusiones.

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1) x

Recomendaciones procedimentales Nuevamente organice las parejas para que resuelvan la actividad “Tablas de relaciones funcionales de la forma y = kx”. En esta ocasión puede permitir que los estudiantes elijan con quién compartir el trabajo, siempre que no sea una persona con la que ya formaron una pareja en alguna actividad de esta secuencia. Considere que en este momento solo se trata de distinguir la forma algebraica de una relación de proporcionalidad directa de una que no lo es, por eso no profundice en el análisis de la expresión y = 4x + 2 sobre lo que representa cada uno de sus elementos, basta con que los alumnos afirmen que este tipo de expresiones no corresponden al tipo de relaciones funcionales que se tratan en la secuencia. Tenga en cuenta que no será fácil para los alumnos determinar el factor de proporcionalidad de los datos de la tercera tabla, sobre todo porque no conocen el método de las diferencias finitas para calcularlo. Por lo anterior, permita cualquier estrategia, incluso el ensayo y error para tratar de encontrar dicho factor, pero en caso de que no logren encontrarlo, induzca ese cálculo con preguntas como ¿Cuál es la diferencia entre dos valores consecutivos de la variable dependiente? Si multiplico el valor de la variable independiente por esa diferencia, ¿qué debo hacer al resultado para encontrar el valor de la variable dependiente? Reúna otra vez a los equipos para que concluyan el trabajo del diseño de su recomendación, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Dé tiempo suficiente para que los alumnos terminen su trabajo. Indique a los estudiantes que en la argumentación de su recomendación deben utilizar las tablas y las gráficas que fueron construyendo en el transcurso del trabajo con la secuencia.

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y=

x 2

0

0

1

0.5

2

1

3

1.5

4

2

x

y = 5.5x

0

0

1

5.5

2

11

3

16.5

4

22

x

y = –3x

0

0

1

–3

2

–6

3

–9

4

– 12

x

y = 4x + 2

0

2

1

6

2

10

3

14

4

18

Tablas de relaciones funcionales de la forma y = kx Reúnete con un compañero y representen en una tabla de datos las siguientes relaciones funcionales. Después respondan en su cuaderno. 1) x 2

y=

y = 5.5x

y = –3x

y = 4x + 2

Š¿Qué diferencias encuentran entre las dos primeras funciones y la tercera? 2) Š¿Es la tercera relación funcional una relación de proporcionalidad directa? No Š¿Es la cuarta relación funcional una relación de proporcionalidad directa? ¿Por qué? 3) Š¿Cómo reconoces en una tabla que una relación funcional es una relación de proporcionalidad directa? 4) Š¿Cómo reconoces en una expresión algebraica que una relación funcional es una relación de proporcionalidad directa? Si es de la forma y = kx en donde k es el factor de proporcionalidad. Encuentren el factor de proporcionalidad que corresponde a cada dato de las tablas y escriban la función que les corresponde. x

y

x

y

x

y

x

y

0

0

0

0.75

5

35

10

2

1

5

1

1.50

10

70

20

4

2

10

2

2.25

15

105

30

6

3

15

3

3.00

20

140

40

8

4

20

4

4.50

25

175

50

10

5

5)

7

0.2

Inventen en el cuaderno una situación que pueda representarse con cada una de las expresiones anteriores. Una para cada función. R. L. 2) En que en la tercera, el valor de “y” disminuye a medida que “x” aumenta. 3) No, porque, aunque representa una recta, esta no pasa por el origen. 4) R. M. Observando si los valores de la columna de “y” cambian proporcionalmente respecto a los valores de la columna de “x”. 5) No es una relación funcional de proporcionalidad directa. 6) En el del salón Danubio. En el salón Cosmo

Comparen y argumenten sus respuestas con las de otros compañeros y discútanlas en clase con el profesor.

¿Cómo vamos? Reúnanse de nuevo con su equipo para trabajar en la comparación de los salones de fiesta. Comparen los resultados que se obtienen para el costo del salón de fiestas, tracen, en el mismo plano cartesiano, una gráfica para cada expresión algebraica que obtuvieron. Š¿Qué sucede con el costo, en todos los salones, cuando aumenta el número de invitados? Aumenta Š¿En cuál salón cambia más rápidamente? ¿En cuál cambia más lentamente? 6) Š¿Cuál es la relación del cambio en el costo con la constante de proporcionalidad k? Si k es mayor, el costo es mayor. Escriban una recomendación claramente argumentada para la familia. R. M. Que mientras más caro sea el precio por persona, más caro saldrá el costo del salón.

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1) y = 3x, donde y es el número de compases; x es el número de días. Necesita 1 semana.

Problemas de relaciones funcionales Resuelve con un compañero los problemas. Escriban una función que represente cada caso, elaboren una tabla para los primeros diez datos y tracen la gráfica correspondiente. Laura aprende tres compases de una pieza para violín cada día. 1) ¿Cuántas semanas necesita Laura para aprender la pieza si esta tiene 21 compases? ¿Cuántas si tiene 33? ¿Cuántas si tiene 120? 11 días. 40 días Carlos ahorra $25 a la semana para comprar un videojuego. Si el videojuego cuesta $650, ¿cuántas semanas necesita? ¿Cuántas si cuesta $596? Ver solucionario ¿Cuántas si cuesta $721? Necesita ahorrar 29 semanas. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y valídenlas con el profesor. Después, en grupo, redacten una conclusión acerca del tema trabajado en la secuencia.

x

y

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

6

18

7

21

8

24

9

27

10

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Intención pedagógica El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo realizado en la secuencia y los conocimientos que adquirió.

Recomendaciones procedimentales Tome en cuenta que las gráficas de la actividad “Problemas de relaciones funcionales” no son una línea recta. Sin embargo, para efectos de este trabajo acepte ese tipo de gráficas sin realizar precisiones que son motivo de estudio en otro grado.

2) La primera. La segunda y la tercera. Por el factor de proporcionalidad. 1. Representa las siguientes funciones mediante una tabla y una gráfica, y responde las preguntas: Haz las actividades en el cuaderno.

y = 2.6x

y = 0.3x

y = 0.3x + 2

y=

–1 2x

Enfatice que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas que se trabajaron en el salón de clases. Al día siguiente, después de que los alumnos le entreguen sus ejercicios de este apartado, solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y la manera en que los encontraron para que el resto del grupo los valide.

y = –3x – 1

a) ¿Cuál función crece más rápidamente? ¿Cuál crece más lentamente? ¿Por qué? 2) b) ¿Alguna decrece en lugar de crecer? ¿Cuál? ¿Por qué? 3) c) Determina si las siguientes funciones representan una relación de proporcionalidad directa. Justifica tu respuesta. Entrega tu tarea al profesor para que valide tus respuestas.

3) Sí, las dos últimas, porque el factor de proporcionalidad es negativo.

Cierre

Presentación de nuestro trabajo Presenten su recomendación al grupo y comparen las propuestas. R. L. Š¿Comprendieron los argumentos de los otros equipos? ¿Por qué? Š¿Los otros equipos comprendieron sus argumentos? Š¿Todos usaron los mismos argumentos? ¿Hubo diferencias en la argumentación? ¿Cuál argumento resultó más convincente? Š¿Tuvieron dificultades para elaborar su trabajo? ¿Cómo las enfrentaron?

Comente las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, sino solamente participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como respetar el turno para participar y la empatía. Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

¿Cómo nos fue? ŠEscribe una explicación de lo que entiendes por “variación conjunta entre variables”. 4) Š¿Cómo distingues que una relación funcional es una relación de proporcionalidad directa? 5) Š¿Te sirvió esta secuencia para reafirmar lo que habías aprendido antes acerca de la proporcionalidad directa? ¿Por qué? R. L.

Organice a los equipos para que expongan su recomendación a partir de lo que se indica en el apartado “Presentación de nuestro trabajo”. En cada uno solicite la validación del grupo.

4) R. M. Es la relación proporcional entre dos variables y podemos representarla mediante una tabla.

Discute tus respuestas con tus compañeros y tu maestro. Registren sus conclusiones en el cuaderno. 5) R. M. Gráficamente porque es una línea recta que pasa por el origen. Algebraicamente si es de la forma y = kx.

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Bloque 3

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Gráficas poligonales

Intención pedagógica Contenido Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y análisis de la información que proporcionan.

¡Las gráficas dicen más que mil palabras!

Inicio

Por medio del trabajo con las actividades de esta secuencia, los alumnos buscarán, organizarán y presentarán información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia), según el caso y analizarán la información que proporcionan esos recursos.

En 2008 y 2009, por falta de lluvia, las presas que abastecen de agua al Distrito Federal no alcanzaron los niveles necesarios para cubrir el consumo de los habitantes de esta entidad.

Sugerencia de contenido

Analiza con algunos compañeros la información que se muestra en la gráfica.

En los siguientes sitios de Internet encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia. precipitación. Es un

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 2.º grado, pregunta 13.

fenómeno atmosférico que consiste en la caída de agua desde el cielo en forma de lluvia, aguanieve, o granizo. Se mide en milímetros, que indican la altura de agua que cae en una superficie plana de un metro cuadrado.

http://www.hdt.gob.mx/hdt/materiales-educativos-digitales/ 1.° de Secundaria, Matemáticas I, Bloque 4, pagina 1, actividad “Aplicación de los datos en una gráfica”.

Recomendaciones procedimentales

Para activar los conocimientos previos de los alumnos pida que observen la gráfica de la actividad “¡Las gráficas dicen más que mil palabras!” y pregunte dónde han visto este tipo de gráficas y para que se usan. Organice los equipos para que contesten las preguntas de esa actividad pero no propicie ninguna confrontación grupal. Deje que los alumnos se queden con las ideas concluidas en los equipos para que más adelante las ratifiquen o rectifiquen, según se avance con el trabajo.

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Planeación

Para empezar el trabajo de la secuencia, solicite que un alumno lea en voz alta el contenido que se abordará. Después haga preguntas como ¿Qué imaginan que se tratará en esta secuencia? ¿Saben lo que es un histograma? ¿Qué son las gráficas poligonales? ¿A qué creen que se refiere la característica de series de tiempo? Así puede explorar las ideas que tienen los alumnos sobre el contenido que se abordará.

1) En septiembre del 2009 2) Cantidad de lluvia y meses del año 3) Los puntos representan la frecuencia absoluta de cantidad de lluvia para cada mes. Las líneas son las variaciones de lluvia entre mes y mes.

Cantidad de lluvia (mm)

Precipitación media en el Distrito Federal, 2008-2009 250 200 150

2008 2009

100 50 0

Ene Feb Mar Abr

May Jun

Jul

Ago Sep Oct Nov Dic

Meses del año

Fuente: smn.cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2008.gif smn.cna.gob.mx/climatologia/precipitacion/estados/est-2009.gif

•¿En qué mes y año llovió más? 1) •¿Cuáles son las variables que se presentan en la gráfica? 2) •¿Qué representan las líneas de la gráfica y los puntos sobre ellas? 3) A este tipo de gráficas se les llama gráficas de serie de tiempo. Se utilizan cuando se tiene información de una variable cuantitativa a través del tiempo. Sirve para conocer o determinar los patrones de comportamiento que tiene la variable en estudio, en este caso, la precipitación pluvial. A lo largo de la secuencia regresarán a trabajar con este problema. Antes formen un equipo para leer la información del proyecto que realizarán.

Nuestro trabajo En equipos, harán una investigación sobre la temperatura máxima y mínima promedio o la temperatura media o las precipitaciones pluviales medias en su estado en los últimos años. La temperatura media mensual se obtiene calculando el promedio de las medias de las temperaturas máximas y mínimas registradas en un mes de un periodo determinado. La información la podrán encontrar en la página electrónica del Sistema Meteorológico Nacional de la Comisión Nacional del Agua. Durante la secuencia encontrarán más información en el apartado “¿Cómo vamos?”.

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Desarrollo

Valores de las variables Para interpretar una gráfica de serie de tiempo es necesario analizar lo siguiente: Título: Nos indica la población y la variable que se estudia. Variables: Las variables que se presentan en la gráfica anterior son cantidad de lluvia y meses del año.

Recomendaciones procedimentales

3 Š¿En qué unidades de medida se expresa la cantidad de lluvia? En mm

Forme los equipos para comenzar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad dado que en este momento todavía no van a empezar la elaboración de su investigación, sino que solo se informarán de algunas características y consideraciones para su elaboración. Sin embargo, pida que decidan su tema y que en su casa ingresen a la referencia de investigación para hacer la recopilación de datos.

Š¿Qué variable se representa en el eje X? ¿Y en el eje Y? ¿Por qué crees que suceda esto? En X los meses y en Y la cantidad de lluvia. Porque la cantidad de lluvia depende del mes. 3 Š¿Qué valores toma en la gráfica la variable cantidad de lluvia? Están en un rango de 0 a 250 mm Š¿Y meses del año? Todos

Š¿A qué cantidad de lluvia representa cada uno de los puntos aproximadamente? R. M. En enero del 2008 y 2009, 0 y 20 aprox. Fuente: Nos indica de dónde fueron extraídos los datos.

Aunque la actividad “Valores de las variables” está diseñada para que los estudiantes la resuelvan de manera individual, en caso de que observe dificultades en algunos de ellos para interpretar correctamente la información de la gráfica, integre equipos o parejas para que la resuelvan en forma colaborativa.

1. Observa la gráfica y contesta co en el cuaderno. Producción y consumo de maíz blanco y amarillo, 1999-2004

Enfatice que el ejercicio del apartado “Tareas” debe ser resuelto en casa, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas estudiadas en clase. Al día siguiente solicite que algunos estudiantes expongan sus resultados y la manera en que se observan estos en la gráfica para que el resto del grupo los valide. Enriquezca la actividad de las “Tareas”. Solicite que, además de analizar y contestar las preguntas respecto a la gráfica sobre la Producción y consumo de maíz blanco y amarillo, 1999-2004, busquen en revistas o periódicos gráficas de serie de tiempo y las lleven al salón. Después, pida que, voluntariamente, pasen al frente a mostrar sus gráficas. Plantee preguntas que les permitan analizar la información que proporcionan, por ejemplo, ¿Qué información se representa? ¿Qué representa cada una de las variables? ¿En qué unidades se mide cada una de las variables? ¿De dónde se obtuvo esa información?

Fuente: Centro de Estudios de las Finanzas Públicas de la H. Cámara de Diputados, con datos de la Secretaría de Agricultura, Ganadería, Desarrollo Rural, Pesca y Alimentación y la Secretaría de Economía. Noviembre 2004.

a) b) c) d)

¿En qué unidades se mide cada variable? 1) Escribe qué observas en relación con la producción y la demanda o el consumo de maíz. 2) Del periodo mostrado, ¿en qué año México tuvo la mayor producción de maíz? ¿Y la menor? 3) ¿Qué acciones crees que debe realizar el gobierno mexicano cuando el consumo es mayor que la proporción? 4)

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Justifica cómo llegaron a esas conclusiones. Con la ayuda de su profesor verifiquen que sean correctas.

¿Cómo vamos? Reúnete con tus compañeros para trabajar en el proyecto. ŠCon la información que cada uno recabó, elaboren las tablas con la media mensual de temperatura o de las precipitaciones de su estado. Š¿Qué tema decidieron trabajar: la variación de temperatura o las precipitaciones? Š¿En qué mes y año se presentó la mayor diferencia mensual entre las temperaturas máxima y mínima?

1) En miles de toneladas y en años 2) R. M. La producción es considerablemente menor que la demanda al principio y para el 2004 la diferencia entre consumo y producción ha disminuido. 3) Mayor: 2004; menor: 2000 4) R. M. Importar maíz.

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Reúna los equipos para que continúen el trabajo del diseño de su recomendación, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Dé suficiente tiempo para que los alumnos construyan las tablas y contesten las preguntas, pero no organice algún intercambio de respuestas y estrategias dado que eso se realizará hasta el final del trabajo con la secuencia.

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Construcción de gráficas de serie de tiempo con datos no agrupados Reúnete con un compañero para resolver lo que se pida. La gráfica de la izquierda es un histograma, muestra los datos (de la tabla que aparece abajo) sobre todo el pronóstico de las temperaturas máximas para Monterrey. La gráfica que aparece debajo de esta información señala cómo se forma el polígono de frecuencia con datos no agrupados, al unir los puntos medios de la parte superior de cada barra del histograma con segmentos de recta. Se llama gráfica poligonal de frecuencia con datos no agrupados, porque los datos de una variable no permite clasificarlos o agruparlos.

Después del análisis grupal, organice las parejas para que resuelvan la actividad. En esta ocasión puede permitir que los alumnos elijan el compañero con el cual trabajarán. Sin embargo, plantee condiciones sobre la integración de las parejas, por ejemplo, que en las siguientes actividades no podrán reunirse nuevamente con el compañero que escojan en esta ocasión.

Temperatura (oC)

Antes de comenzar el trabajo con la actividad “Construcción de gráficas de serie de tiempo con datos no agrupados” conduzca un análisis grupal del histograma y de la gráfica poligonal con preguntas como ¿Cuál es el título de cada gráfica? Si el título es el mismo, ¿quiere decir que ambas gráficas representan la misma información? ¿En qué fecha se obtuvo la información presentada? ¿Consideran que es confiable la fuente de información? ¿Por qué?

Temperatura (oC)

Recomendaciones procedimentales

Fuente: Comisión Nacional del Agua. Pronóstico del tiempo. Monterrey. http://smn.cna.gob.mx/index.php?option=com_conten t&view=article&id=48:pronostico-del-tiempo&catid=6&Itemid=40. (consulta: 31 de agosto de 2012, 5:22 horas)

Mientras los alumnos trabajan, recorra los equipos para observar la forma en que resuelven la actividad. Recoja las estrategias que le parezcan interesantes durante la confrontación final. Impulse a los equipos para que establezcan relaciones entre los datos de las tres representaciones de la misma información con preguntas como ¿Qué datos de la tabla se observan en las gráficas?

Fuente: Comisión Nacional del Agua. Pronóstico del tiempo. Monterrey. smn.cna.gob.mx/index.php?option=com_content&v iew=article&id=48:pronostico-del-tiempo&catid=6&Itemid=40. (consulta: 31 de agosto de 2012, 5:22 horas)

histograma. Representación gráfica de una distribución de frecuencias por medio de rectángulos, cuyas anchuras representan intervalos de la clasificación y cuyas alturas representan las correspondientes frecuencias.

Enriquezca la actividad. Solicite que, además de presentar la gráfica poligonal de las temperaturas mínimas, las representen también en el histograma. Se espera que los alumnos coloquen una barra de un color diferente para las temperaturas mínimas a un lado de las que ya aparecen para las temperaturas máximas.

Observen la gráfica anterior y con base en la tabla contesten. Pronóstico de temperaturas máximas y mínimas (ºC) para Monterrey

Organice un intercambio grupal de resultados y estrategias para que los estudiantes las validen.

Días de la semana

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Temperatura máxima (ºC)

35

33

33

37

36

36

36

Temperatura mínima (ºC)

25

23

22

22

22

22

23

1) La de 33º y serán ŠEn la gráfica de las temperaturas máximas pronosticadas para Monterrey, realiza la gráfica poligonal corresponlos días martes y diente a las temperaturas mínimas pronosticadas para miércoles. ese mismo periodo de tiempo. datos no agrupados. Es el conjunto de observaciones que se presenta en su forma original tal y como fue recolectado, para obtener información directamente de él.

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Š¿Cuál es la temperatura máxima más baja pronosticada para esos días? 1) Š¿Cuántos grados Celsius subió la temperatura más baja a la más alta? 4º

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a) En tu cuaderno, realiza realiz la gráfica poligonal correspondiente a las temperaturas pronosticadas para la ciudad de Los Cabos para el día 31 de agosto de 2012, de las 10:00 a las 19:00 horas. Ver solucionario Pronóstico de temperaturas (°C) en la ciudad de Los Cabos el 31 de agosto de 2012 Hora del día Temperatura (°C)

Recomendaciones procedimentales

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

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30

31

31

30

30

30

31

31

Enfatice que el ejercicio del apartado “Tareas” lo deben resolver en casa, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas aprendidas en el salón de clases. Al día siguiente solicite que algunos estudiantes expongan sus gráficas para que el resto del grupo las valide. Oriente la revisión que los alumnos hagan de las gráficas de sus compañeros con preguntas como ¿Las gráficas propuestas contienen todos los elementos que se han sugerido en la secuencia? ¿Qué elemento no es posible anotar? ¿Por qué? ¿Todos representaron la misma variable en los ejes del sistema coordenado? ¿Qué diferencias observan en esas gráficas? ¿A qué se deben esas diferencias? ¿Esas diferencias hacen que la información que se proporciona sea distinta? ¿Por qué? Enriquezca la actividad, pida que también construyan el histograma correspondiente a la misma situación.

b) Elige la escala que consideres más adecuada y justifica tu elección. ŠEn ese periodo de tiempo, ¿cuál es la temperatura más baja pronosticada? 28º Š¿Y la más alta? 31º

Gráficas poligonales de frecuencia La siguiente gráfica es un polígono de frecuencias y representa la condición de nutrición de mujeres mexicanas de 20 años o más.

Distribución porcentual de mujeres de 20 o más años por grupos de edad según su condición de nutrición, 2006

polígono de frecuencias. Estas gráficas sirven para estudiar el comportamiento de un grupo de datos.

Se espera que los alumnos puedan resolver de manera individual la actividad “Gráficas poligonales de frecuencia”. Sin embargo, en caso de que algunos estudiantes no lo puedan hacer de esa forma, intégrelos con otro compañero para que reciban el apoyo necesario.

50 Desnutrición

45

Adecuado

40

Porcentaje

Sobrepeso 35

Obesidad

Organice el intercambio de respuestas cuando los alumnos concluyan. Solicite que para cada respuesta se indique de qué manera la gráfica proporciona esa información.

30 25 20 15 70-79

10

Conduzca un análisis más profundo de la información de la gráfica con preguntas como ¿Qué porcentaje aproximado corresponde a cada condición de nutrición en el grupo de 20 a 29 años? ¿Cuánto suman los porcentajes anteriores? ¿Cuál es la suma aproximada de los porcentajes de las condiciones de nutrición en cada grupo de edad? ¿Por qué ocurre lo anterior?

80 y más

5 0

20-29

30-39

40-49 50-59 60-69 Edad en años

Fuente: SSA, INSP. Encuesta Nacional de Salud y Nutrición, 2006. Tomado de: Mujeres y hombres en México 2010. Inegi, 2010. www.inegi.org.mx/prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/sociodemografico/mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf. (consulta: 31 de agosto de 2012,18:30 horas)

De acuerdo con la OMS, el índice de masa corporal (IMC) define el sobrepeso con un valor igual o superior a 25; la obesidad, igual o superior a 30; valores entre 20 y 24.9 son considerados adecuados y menores a 20 como desnutrición. Š¿En qué grupos de edad se da el problema de obesidad? En todos los rangos de edad Š¿En qué grupo de edad se da el mayor porcentaje con sobrepeso y obesidad? 50-59 años Š¿Qué conclusión obtienes de la gráfica? Comparte tus conclusiones con el grupo. R. L.

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Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos Las variables de un conjunto de datos pueden clasificarse en cualitativas o cuantitativas según la escala de medición. Las variables cualitativas expresan características como el nombre de las personas, el orden de llegada de corredores, entre otras. Las variables cuantitativas expresan cantidades numéricas. Pueden ser discretas o continuas. Las discretas solo admiten valores enteros: 2, 5, 7. Las variables continuas tienen la propiedad de que entre dos valores puede existir otro. Cuando nos referimos a datos agrupados estamos trabajando con variables continuas. Por ejemplo, el intervalo de 25 a 27 admite cantidades como 25.00, 25.7…

Recomendaciones procedimentales Haga una lectura en voz alta de la información del texto que aparece en rojo de la actividad “Polígono de frecuencia con datos agrupados o intervalos”. Antes de comenzar la lectura pida que durante ella, los alumnos identifiquen los términos de difícil comprensión. Después de la lectura, solicite que mencionen los términos identificados y dé las explicaciones necesarias para que los entiendan. Es probable que algunos alumnos se refieran a los términos que están resaltados en negritas; en este caso apoye la explicación con ejemplos de las variables utilizadas en las gráficas anteriores, por ejemplo una variable cualitativa es el nombre de los meses del año en las gráficas de la situación inicial y una variable cuantitativa es la cantidad de lluvia medida en milímetros en la misma situación.

La obesidad es un problema de salud que aumenta en México. En una investigación sobre el estado nutricional de alumnos de cinco a trece años de edad en siete primarias de la zona norte del Distrito Federal, se obtuvo lo siguiente: Número de niños con: Peso normal o ideal (N)

Edad (años)

Pida a algunos alumnos que comenten sus respuestas a las preguntas planteadas y mencionen la parte de la tabla donde pueden justificar esa respuesta, así como las estrategias que usaron para encontrar los datos que no se obtienen directamente de la tabla. No permita discusiones sin bases, exija que toda argumentación se haga usando los recursos matemáticos que han aprendido y desarrollado hasta el momento.

Desnutrición leve (DL)

Desnutrición severa (DS)

Sobrepeso (S)

Obesidad (O)

5

21

2

0

77

5

6

29

4

0

8

4

7

31

6

0

10

4

8

72

10

4

14

7 8

9

80

12

3

18

10

96

14

1

23

7

11

48

2

1

4

6

12

52

4

1

5

3

13

45

3

0

6

2

Subtotal

474

57

10

95

46

Total

474

67

141

Fuente: Los datos se basan en el estudio denominado Deficiencias de peso corporal en escolares de 5-13 años en siete escuelas del Distrito Federal. Dr. Mario de Jesús Mesas Guzmán.

Š¿Qué tipo de variables se presentan en la tabla? Variables cuantitativas Š¿En qué edad hay más niños con problemas de sobrepeso y obesidad? 10 años Š¿Qué porcentaje de alumnos tiene problemas de desnutrición? 9.8% Š¿Qué porcentaje de alumnos tiene problemas de sobrepeso y obesidad? 20.6% Š¿Cuál de los dos problemas es mayor? ¿El de desnutrición o el de obesidad y sobrepeso? El de sobrepeso y obesidad

Tenga en cuenta que en este momento solo se analizan los datos de la tabla, así que por ningún motivo solicite la construcción de alguna gráfica; esto es motivo del trabajo de la siguiente actividad. Integre parejas con compañeros que no hayan trabajado juntos en esta misma secuencia para que hagan los ejercicios de la actividad “Presentación por intervalos”.

Presentación por intervalos

Reúnete con un compañero y completa la siguiente tabla. Para calcular la marca de clase o punto medio del intervalo, sumen los límites inferior y superior de cada intervalo y dividan entre dos el resultado. El límite inferior es el menor número de un intervalo y el límite superior es el número mayor.

Número de niños con:

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Edad por intervalos

Marca de clase

Peso normal o ideal (N)

5-7

6

81

12

0

25

13

Desnutrición leve (DL)

Desnutrición severa (DS)

Sobrepeso (S)

Obesidad (O)

8-10

9

248

36

8

55

22

11-13

12

145

9

2

15

11

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En el conjunto de datos agrupados por intervalos la diferencia entre la edad mínima y máxima se denomina amplitud total o rango. En este caso la amplitud es 13 – 5 = 8. El intervalo de los datos recorre ocho edades. Por ello, a la amplitud o el rango, también se le llama recorrido. ŠTracen en su cuaderno los polígonos de frecuencia para cada estado nutricional, en un mismo plano cartesiano y con diferentes colores. En el eje Y representen las frecuencias (número de niños), y en el eje X, los rangos de clase.

Intención pedagógica Realiza la actividad sigui siguiente.

El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo realizado en la secuencia y los conocimientos que adquirió, así como la manera en que puede aplicar esos conocimientos en situaciones de su vida.

1. Traza en el cuaderno una gráfica poligonal que permita comparar la cantidad de horas promedio de trabajo por semana entre mujeres y hombres mayores de catorce años. Ver solucionario Responde y argumenta tu respuesta. Grupos Hombres Mujeres Š¿Quiénes trabajan más horas a la semana: las mujeres o los de edad hombres? Las mujeres 14-29 43.3 49 Š¿Cuántas horas más por semana trabajan las mujeres en 30-59 48.5 54.7 cada grupo de edad? ¿En qué grupo de edad es mayor la 34.9 60 y más 32.1 diferencia? 1) Š¿Qué otra información relevante puedes obtener de la gráfica Fuente: Inegi-STPS. Encuesta Nacional de Ocupación y Empleo, poligonal? R. L. 2009. Segundo trimestre. Base de datos. Tornado de: Tomado de: Mujeres y hombres en México 2010. Inegi, 2010. www.inegi.org.mx/ prod_serv/contenidos/espanol/bvinegi/productos/integracion/ sociodemografico/mujeresyhombres/2010/MyH_2010.pdf

Recomendaciones procedimentales Solicite que algunas parejas compartan sus gráficas de la actividad “Presentación por intervalos”, de la página anterior, para que el resto del grupo las valide. En cada caso solicite que expliquen la manera en que fueron encontrando los valores de las variables que se representan.

Con tus compañeros de clase revisa tus respuestas y justifiquen sus razonamientos.

Nuevamente, enfatice que los ejercicios del apartado “Tareas” deben ser resueltos en casa, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas vistas en clase. Al día siguiente, organice el intercambio de respuestas y de estrategias para que el grupo los valide. Aproveche este ejercicio para promover el significado de la parte decimal de las cantidades involucradas; pregunte, por ejemplo, ¿Cuántas horas y minutos trabajaron en promedio las mujeres de 30 a 59 años?

1) De 14 a 29, 5.7; de 30 a 59, 6.2; de 60 o más, 2.8. En el de 30 a 59 años

¿Cómo vamos? Reúnanse nuevamente para trabajar en su proyecto. ŠRecuperen la información de las tablas que elaboraron y construyan, en una hoja de papel milimétrico, un histograma con la información por analizar. ŠDespués construyan los polígonos de frecuencia que representen la temperatura media mensual, las temperaturas máximas y mínimas promedio, la temperatura media o las precipitaciones de su entidad. Š¿Qué tipo de datos son los que trabajaron: cualitativos o cuantitativos? ¿Por qué? Cuantitativos

Cierre

Presentación de nuestro trabajo Presenten las gráficas correspondientes a las temperaturas o precipitaciones así como los resultados de su análisis. ŠEs importante que el equipo expositor plantee preguntas de reflexión al resto de los equipos para que las contesten en forma oral. Al final presentarán sus conclusiones. ŠLos demás equipos complementarán las conclusiones presentadas. ŠCompartan la información pegándola en los pasillos de la escuela o en paredes donde la puedan leer los demás grupos.

¿Cómo nos fue? Š¿En qué otras situaciones podrías utilizar un polígono de frecuencia para presentar y analizar información? R. L. Š¿En qué casos es conveniente agrupar datos por intervalos? ¿Qué característica debe tener la variable para determinar los intervalos? Cita dos ejemplos. 2)

2) R. M. Los datos se agrupan en intervalos cuando la variable que se trabaja toma un gran número de valores o es continua. Cantidades de dinero y número de habitantes.

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Integre los equipos para que concluyan su investigación, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Indique a los estudiantes que preparen sus respuestas a las preguntas planteadas en los diversos apartados donde obtuvieron datos para realizar este trabajo. Organice a los equipos para que expongan su recomendación a partir de lo que se indica en el apartado “Presentación de nuestro trabajo”. Solicite la autorización correspondiente para que los alumnos compartan sus trabajos y conclusiones con el resto de la comunidad escolar. Pida a los estudiantes que comenten sobre las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”.

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Bloque 3

24

Intención pedagógica

Contenido Análisis de propiedades de la media y mediana.

Propiedades de la media y mediana Inicio

Los alumnos saben obtener la media aritmética y la mediana de un conjunto de datos. Ahora se trata de que, mediante el trabajo con las actividades de esta secuencia, analicen las propiedades de esas medidas de tendencia central para darles sentido en la solución de diversos problemas, además de calcular esas mismas medidas en conjuntos de datos agrupados.

Reúnete con un compañero y resuelvan. Unos niños acordaron llevar a la clase unos dulces para luego repartírselos en partes iguales. Patricia llevó cinco, Pedro ocho, Manuel cuatro, Lilia tres y Juan no llevó. ¿Cuántos dulces le tocan a cada uno? Cuatro

Sugerencia de contenido 1) Entre 4 y 5

En el siguiente sitio de Internet encontrará ejercicios para que los alumnos practiquen el contenido de esta secuencia.

Para comenzar el trabajo con la secuencia, solicite que un alumno lea en voz alta el contenido que se abordará. Después haga las siguientes preguntas ¿Cómo se calcula la mediana? ¿Con qué otro nombre conoce a la media? ¿Creen que esas medidas tengan algunas propiedades iguales? Así puede activar los conocimientos previos de los estudiantes.

A lo largo de las actividades regresarán a trabajar con este problema. Antes, reúnanse en equipo y lean la descripción del proyecto que realizarán durante la secuencia.

Nuestro trabajo

Planeación

Recomendaciones procedimentales

En equipo, realizarán un estudio estadístico sobre el peso de sus compañeros del salón o del colegio.

estudio estadístico. Un estudio es estadístico cuando es posible realizar un análisis de los resultados obtenidos en términos de su representatividad.

Forme las parejas para que resuelvan la actividad “Propiedades de la media y mediana” y organice una confrontación de resultados al final de esta. Haga énfasis en que las preguntas deben ser contestadas sin realizar el cálculo de la medida involucrada. Organice los equipos para empezar el trabajo del apartado “Nuestro trabajo”. No invierta mucho tiempo en esta actividad, ya que en este momento todavía no van a comenzar la elaboración de su estudio estadístico.

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ŠCada equipo deberá medir el peso de los alumnos por estudiar o pedirles a sus compañeros que se pesen fuera del colegio. ŠCalcularán el peso promedio de todos los alumnos y la mediana de los datos. Necesitarán una calculadora u hoja electrónica de cálculo, escuadras, regla y hojas de papel milimétrico (el papel es opcional). ŠA finalizar el estudio, presentarán sus resultados al grupo. Durante la secuencia encontrarán información que les ayudará a realizarlo en los apartados “¿Cómo vamos?”

Propiedades del promedio o media aritmética en datos no agrupados Lee nuevamente el problema inicial y responde. ŠCalcula cuántos dulces le tocan en promedio a cada niño. Š¿Cuál es la menor cantidad de dulces que llevaron? 0 dulces Š¿Y la mayor? 8 dulces

Tome en cuenta que la actividad “Propiedades del promedio o media aritmética en datos no agrupados” está diseñada para que los alumnos la solucionen de manera individual. Sin embargo, si observa que algunos estudiantes tienen problemas para hacerlo de esa forma, organícelos en parejas. Prohibida su venta

•Sin hacer cálculos, ¿consideran que a cada uno le tocarán más de ocho dulces? No •¿Entre qué valores se encuentra la cantidad de dulces que le tocará a cada uno? 1) •¿La cantidad de dulces que le tocará a cada niño será igual a la cantidad de dulces que llevaron algunos? Solo en un caso Comenten sus respuestas en grupo.

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html Cuestionario de 1er grado, preguntas 49 y 50.

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Medidas de tendencia central en datos agrupados

Š¿Se encuentra el promedio entre el valor mínimo y el máximo? Sí. Propiedad 1: La media es un valor comprendido entre los valores extremos.

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Propiedad 2: La media no tiene por qué ser igual a uno de los valores de los datos.

Desarrollo

Š¿Coincide el promedio con algunos de los datos? Sí

Š¿Consideras que hay que incluir a Juan aunque no haya llevado dulces? Argumenta tu respuesta. R. M. Sí, porque es una persona más.

Recomendaciones procedimentales Mientras los estudiantes resuelven los ejercicios, observe lo que hacen para orientar ciertas acciones que pudieran realizar. Por ejemplo, es común que algunos alumnos pretendan usar la calculadora para efectuar operaciones como las que se presentan en esta actividad; no permita el uso de ese instrumento, invítelos con firmeza a resolver mentalmente los cálculos.

Propiedad 3: Hay que tener en cuenta los valores nulos en el cálculo del promedio. ŠOtro grupo de cinco niños llevó las siguientes cantidades de dulces: 5, 4, 3, 4, 4. ¿Cuántos dulces le tocan a cada uno? 4 ŠEn el problema inicial, ¿cuáles son las cantidades de dulces que se alejan del valor medio obtenido? El 8 y el cero

Organice una confrontación de resultados cuando los alumnos concluyan la actividad “Propiedades del promedio o media aritmética en datos no agrupados”. Enriquezca la actividad. Proponga variantes de la situación para que los alumnos calculen la media y analicen desde otra situación algunas propiedades de esa medida. Puede proponer lo siguiente: Propiedad 2: Si Juan hubiera llevado ocho dulces, ¿cuántos le hubieran tocado a cada uno? Propiedad 4: Si Juan hubiera llevado cien dulces, ¿cuántos le hubieran tocado a cada uno? Si lo considera pertinente, pregunte a los alumnos si el valor de la media puede tener dos o más valores diferentes. Esto para que noten que el valor de la media de un conjunto de datos es única. Lo anterior puede ser reforzado con las variantes propuestas para las propiedades 2 y 4.

Š¿En qué caso el valor representa mejor a los datos: en el problema inicial o en esta situación? Justifica. R. M. En la segunda situación Propiedad 4: La media de un conjunto de valores se ve influenciado por los valores extremos. ŠSi Lilia hubiera llevado dos dulces en lugar de tres, ¿cuántos dulces le hubiera tocado a cada uno en promedio? 3.8 ŠEn la situación del reparto de dulces, ¿es posible obtener este resultado? No. Porque el resultado debe ser entero, pues no podemos partir un dulce de modo que solo repartamos 0.8 de él. Propiedad 5: El valor obtenido de la media de números enteros puede ser una fracción que no tenga sentido en el contexto de los datos.

Propiedad 1: En un conjunto de datos, una mitad son iguales o menores que la mediana y la otra, son iguales o mayores que la mediana.

En caso de haber organizado equipos para resolver la actividad anterior, desintégrelos e invite a los estudiantes para que resuelvan la actividad “Propiedades de la mediana” de manera individual. a) Enriquezca el análisis de las propiedades de la mediana con la siguiente variante del problema inicial: Si al equipo de los niños mencionados se hubiera integrado Rocío y ella hubiera llevado seis dulces, ¿qué valor adquiere la mediana? ¿Este valor es igual a alguno de los valores de los datos? ¿Este valor tiene sentido en el contexto del problema?

Si calculáramos la mediana suponiendo que Juan llevara dos dulces, en vez de ninguno, ¿la mediana seguiría siendo cuatro? Sí

Organice un intercambio de resultados y estrategias al término de la actividad para que los alumnos los validen.

Propiedades de la mediana ŠCalcula la mediana de los datos del problema inicial. Š¿En qué lugar de los cinco datos se encuentra la mediana? En el de en medio Dos Š¿Cuántos datos son mayores que el valor de la mediana? ¿Cuántos son menores? Dos

Propiedad 2: La mediana no es sensible a la presencia de valores extremos. Š¿Cuántos valores de la mediana encontraste? Uno Š¿Puede darse el caso de que en un conjunto de datos haya más de un valor para la mediana? Argumenta. No. Siempre habrá un solo valor. Propiedad 3: La mediana de un conjunto de datos es única.

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Promedio o media aritmética en datos agrupados Peso de los estudiantes de la escuela secundaria Núm. 125

Reúnete con tu equipo para realizar las siguientes actividades.

60 50 Frecuencia

Recomendaciones procedimentales Antes de comenzar el trabajo con la actividad “Promedio o media aritmética en datos agrupados” conduzca un análisis grupal de la gráfica poligonal con las siguientes preguntas: ¿Qué información se presenta en la gráfica? ¿Qué representan las variables? ¿Cuántos estudiantes tienen entre cero y veintinueve kilogramos de peso? ¿Entre cuántos estudiantes creen que se realizó ese estudio? Después del análisis grupal, organice los equipos para que resuelvan la actividad. Tenga en cuenta que estos equipos deben integrarse con los estudiantes que realizarán el estudio estadístico, producto de la secuencia.

30 20 10 0 0-29

30-34

55-59

60-64

65-70

Š¿Cuál dato les permite calcular el peso promedio: los valores extremos de los intervalos, la frecuencia o el punto medio? La frecuencia

Compartan sus respuestas con sus compañeros, arguméntenlas y, con ayuda de su profesor, lleguen a consensos. ŠCompleten la tabla con la información proporcionada en la gráfica anterior. Intervalo de peso (kilogramos)

Punto medio del intervalo (P )

Frecuencia (F ) o cantidad de estudiantes

Frecuencia por el punto medio del intervalo (F × P )

30-34

32

10

320

35-39

37

17

629

40-44

42

39

1638

45-49

47

52

2444

50-54

52

34

1768

55-59

57

8

456

60-64

62

3 Total de n =163

Mientras los alumnos trabajan, recorra los equipos para observar la forma en que resuelven la actividad. Recoja las estrategias que le parezcan interesantes durante la confrontación final. Impulse a cada equipo para que establezcan relaciones entre los datos de las tres representaciones de la misma información con preguntas como ¿Qué datos de la tabla se observan en las gráficas?

186 estudiantes Suma de todos los productos (F × P) = 7441

ŠCalculen el peso promedio o media del peso de todos los estudiantes. 45.65 kg Š¿Consideran que el promedio obtenido es exacto o aproximado? Expliquen su respuesta. Es aproximado, porque el punto medio del intervalo no necesariamente representa el peso de todos los estudiantes que se encuentran dentro de ese rango. ŠEscriban el procedimiento que utilizaron para calcular el promedio del peso en datos agrupados. Suma de todos los productos (P × F) entre el número de datos.

Organice un intercambio grupal de resultados y estrategias para que los alumnos validen los propios. Pregunte si el valor obtenido es igual al que calcularon en la primera parte de esta actividad.

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40-44 45-49 50-54 Peso (kilogramos)

Š¿Con qué datos cuentan para calcular el peso promedio de los estudiantes? R. M. Observando la gráfica, el pico indica el peso promedio.

Antes de que los alumnos resuelvan la sección de la actividad correspondiente a la tabla, pida que observen los datos que en ella se solicitan y pregunte ¿Por qué en la tabla no hay filas para los intervalos de 0 a 29 y de 65 a 70 kilogramos? ¿Este caso se contrapone con la propiedad 3 enunciada para la media en la página 165? ¿Por qué?

Prohibida su venta

35-39

Š¿Cuál es el peso promedio de los estudiantes de esta escuela secundaria? Está entre 45 y 49 kg.

Haga notar que la pregunta de la tercera bala admite más de un dato como respuesta. Es probable que durante el primer intercambio de respuestas y estrategias, surjan algunas ideas equivocadas, como calcular el promedio al sumar el valor medio de los intervalos y dividiendo entre el número de intervalos. En este caso pregunte Si se realizó el estudio entre 163 estudiantes, ¿cuál debe ser el divisor de la división que permite calcular esa medida de tendencia central? Sin embargo, no proponga la manera correcta de realizar el cálculo de la media, esto es parte del trabajo de la siguiente parte de la actividad.

200

En los polígonos de frecuencia de datos agrupados solo conocemos los intervalos y su frecuencia. El polígono de frecuencias de la izquierda presenta el peso en kilogramos de los 163 estudiantes de una escuela secundaria, cuyas edades se encuentran entre 12 y 15 años.

40

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Comparen sus procedimientos con los de sus compañeros y, con ayuda de su profesor, valídenlos.

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Recuerden que para una colección de datos no agrupados, la mediana es el dato o valor que se encuentra en la mitad de los datos ordenados en forma ascendente o descendente. Š¿Cómo obtendrían la mediana de los datos agrupados del peso de los estudiantes si solo pudieran usar los intervalos, las marcas de clase correspondientes y las frecuencias? 1) Š¿Qué tendrían que considerar para encontrar el peso que tiene 50% de datos encima y 50% debajo de él? R. M. El dato o valor que se encuentra a la mitad.

1) R. M. Usando el punto medio de cada intervalo para todas las frecuencias de cada rango y ordenándolos de menor a mayor.

Recomendaciones procedimentales

Š¿Cuántos datos de peso hay en total? 163 ¿Cuál es la mitad de estos 81.5, la mediana ocupa el lugar 82, porque quedan 81 datos por abajo y datos?

Considere que para resolver la actividad de esta página debe organizar a los alumnos en los mismos equipos que para las de la página anterior, aunque se trabaje en otra sesión.

81 por arriba. El peso de los estudiantes es una variable continua y, debido a que sus valores están agrupados, necesitamos calcular la frecuencia absoluta acumulada para cada intervalo.

Se espera que en este momento los alumnos tengan los elementos suficientes para realizar con éxito esta parte de la actividad. Por lo anterior, no haga comentarios antes de que la resuelvan. Permita que trabajen libremente y organice un intercambio de resultados y estrategias hasta el final de la actividad.

La frecuencia absoluta acumulada se obtiene al sumar la frecuencia absoluta de cada intervalo a la frecuencia absoluta del intervalo anterior. Observa que la frecuencia acumulada del primer intervalo coincide con la frecuencia que tenga. ŠCompleten la tabla con las frecuencias absoluta y acumulada del peso de los estudiantes. Intervalo de peso (kg)

Frecuencia absoluta (F)

Mientras los alumnos trabajan en la solución de esta actividad, recorra los equipos y haga preguntas que los inviten a reflexionar sobre lo que hacen. Por ejemplo, ¿Qué son las marcas de clase de los intervalos? ¿Por qué se afirma que el peso de los estudiantes es una variable continua? ¿Cuántos datos se tienen en total en ese estudio? ¿Cuántos de esos datos deben estar debajo de la mediana? Permita que regresen a la secuencia 23 en caso de tener dudas sobre las respuestas a algunas de esas preguntas.

Frecuencia absoluta acumulada (FA)

30-34

10

35-39

17

10 + 17 = 27

10

40-44 45-49

39 52

66 + 52 = 118

50-54

34

118 + 34 = 152

55-59

8

60-64

3

152 + 8 = 160 163

27 + 39 = 66

Š¿Qué representa el valor 163 de la frecuencia acumulada?El total de estudiantes ŠSi la mediana es el dato que se encuentra en la mitad, ¿cuál es su valor? 47 kg Š¿Cómo lo calculan? 2)

2) R. M. Localizando dentro de la frecuencia acumulada el intervalo en el que aparece el valor 82, que corresponde a la mediana de los datos.

Al término de la confrontación sobre los resultados y las estrategias de la actividad anterior, mantenga la organización de los equipos para que se pongan de acuerdo sobre la manera en que van a realizar su estudio, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Sería interesante que dividiera los equipos para que a dos o tres de ellos les corresponda realizar el estudio con estudiantes de la misma edad, para observar las semejanzas y diferencias que obtienen al final del trabajo y analizar las causas de esas características de los trabajos.

ŠSi se considerara el punto medio de ese intervalo como una aproximación, ¿cuál sería el valor de la mediana? 47 kg

¿Cómo vamos? Reúnete con tu equipo y organicen su trabajo con las sugerencias siguientes. ŠRealicen el estudio estadístico sobre el peso con niños que tengan la misma edad. Con ayuda de su profesor obtengan y organicen la información en una tabla como la siguiente: R. L. Estudiantes de 2.° A 1

Edad 14

Sexo F

Peso (kg) 57

2

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Resuelve los problemas. Calcula la media y la mediana de datos agrupados. 1. El polígono de frecuencias muestra los casos confirmados de influenza AH1N1 en México hasta el 18 de junio de 2009.

Número de casos confirmados

y

Recomendaciones procedimentales Si lo considera pertinente, encargue de tarea la actividad de los casos confirmados de influenza AH1N1. Si lo hace de esta manera, indique a los alumnos que esa actividad debe realizarse en casa, como las tareas de otras ocasiones, de manera individual y tienen que aplicar las técnicas o conceptos vistos en clase. Al día siguiente, solicite que algunos alumnos expongan sus resultados y argumenten sus respuestas con lo visto hasta el momento respecto a la media aritmética y a la mediana en datos agrupados.

2 500

2 313

2 158

2000 1 352

1 500 1 000

752 531

500

317 140

0 0-9

10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 Más de 60 Grupos de edad (años)

x

Fuente: portal.salud.gob.mx/descargas/pdf/influenza/situacion_actual_ epidemia_180609.pdf

ŠCalcula: La edad promedio 20.4 años La mediana 14.5 Š¿En qué intervalo de clase se encuentra la mediana? En el 10-19 Š¿Cuál de las medidas de tendencia central que calculaste representa la información que proporciona la gráfica? La moda o la mediana ŠComprueba que la media y mediana obtenida cumplen las propiedades de cada medida de tendencia central.

Se espera que los alumnos no tengan problemas para resolver de manera individual la actividad “De los datos al polígono de frecuencias”. Sin embargo, no descarte la posibilidad de una organización colaborativa en caso de que algunos estudiantes no la puedan solucionar individualmente. Tenga en cuenta que los alumnos pueden calcular la mediana una vez que han ordenado de menor a mayor las temperatura en sus cuadernos, sin embargo, insista para que construyan la tabla con la frecuencia acumulada y la usen para calcular esa medida.

De los datos al polígono de frecuencias Las siguientes cantidades corresponden a las temperaturas máximas en grados Celsius (ºC) en Ciudad Juárez, Chihuahua, durante julio y agosto de 2008.

Organice de nuevo los equipos para que concluyan su estudio estadístico, según se establece en el apartado “¿Cómo vamos?”. Tome en cuenta que, si se decidió hacer una distribución de la población por edad de los estudiantes, la investigación que cada equipo debe hacer respecto al peso normal por sexo debe ser de acuerdo con la edad de la población estudiada. Haga notar que su conclusión sobre el problema de nutrición en la población estudiada puede ser por sobrepeso, por obesidad o por desnutrición.

32

35

33

34

35

37

36

30

25

29

35

34

32

34

37

35

34

32

35

35

35

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33

26

27

31

35

35

36

36

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35

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30

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33

30

32

31

27

32

28

36

ŠEn el cuaderno, ordena de menor a mayor las temperaturas y calcula su amplitud total o rango. Ver solucionario. Ver solucionario. ŠRealiza el polígono de frecuencias con la marca de clase y la frecuencia absoluta. Š¿Cuál es la temperatura promedio durante julio y agosto de 2008? 32.85 °C Construye una tabla con la frecuencia acumulada y calcula la mediana. Ver solucionario. La mediana es 35°C.

¿Cómo vamos? Reúnete con tu equipo y calcula la media y la mediana de los pesos agrupados de las niñas y los niños. ŠInvestiguen cuál es el peso normal de una niña y un niño de 14 años, y comparen los valores de la media y la mediana de cada población. ŠDeterminen si hay algún problema de nutrición en la población estudiada. ŠEn equipo escriban las conclusiones acerca de lo que represente en el estudio cada medida de tendencia central calculada.

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Realiza con un compañero las actividades. ŠLos datos de abajo muestran el tiempo en minutos realizado por 25 hombres y 25 mujeres en una carrera de atletismo. Tiempo de mujeres

Tiempo de hombres

40 77 51 62

70

76 75 56 64 78

78 33 34 45 47

62 61 43 50 62

58 43 76 49

47

66 63 78 62 75

76 42 63 41 67

50 57 58 54 75

67 74 65 61

79

Intención pedagógica El apartado “¿Cómo nos fue?” tiene como principal propósito que el alumno reflexione sobre el trabajo realizado en la secuencia y los conocimientos que adquirió, así como la manera en que aplicó esos conocimientos en el estudio realizado con un problema actual en una muestra de la población escolar.

61 51 52 49 53

ŠCon base en esta información completen la tabla y contesten lo que se pide. Mujeres

Hombres

Intervalo de clase (minutos)

Marca de clase (P)

Frecuencia de clase (FM)

FM ⫻ P

Frecuencia de clase (FH)

30-39

34.5

0

0

2

69

FH ⫻ P

40-49

44.5

4

178

6

267

50-59

54.5

3

163.5

8

436

60-69

64.5

8

516

6

387

70-79

74.5 Totales

10 25

745

3 25

223.5

1602.5

Recomendaciones procedimentales Organice las parejas para que realicen la parte de la actividad “De los datos al polígono de frecuencias” de esta página. Forme las parejas con alumnos que no hayan compartido el trabajo en alguna actividad anterior.

1382.5

Coordine a los equipos para que expongan su estudio estadístico a partir de lo que se indica en el apartado “Presentación de nuestro trabajo”.

ŠEn una hoja de papel milimétrico, realicen un polígono comparativo de frecuencias con datos agrupados, que muestre la cantidad de hombres y mujeres por intervalo de tiempo. Ver solucionario. ŠCalculen: Media: 1) Mediana: 2)

Presentación de nuestro trabajo Cada equipo realizará una presentación de las medidas de tendencia central (media y mediana) de las poblaciones de niños y niñas de 14 años de edad. R. L. Š¿El peso promedio de las niñas y los niños se encuentra entre los valores del peso normal para esta edad? Š¿Existe algún problema nutricional en el promedio de las poblaciones estudiadas? Š¿Qué tipo de problema nutricional aparece? Š¿Cuál de las dos medidas de tendencia central: media o mediana, consideran que representan a los datos obtenidos? Argumenten sus respuestas. ŠMuestren a los demás compañeros cómo se cumplen las propiedades de la media y la mediana obtenidos. Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y, con ayuda del profesor, verifiquen cuáles son correctas.

¿Cómo nos fue?

1) Hombres: 55.3; mujeres: 64.1 2) Hombres: 53; mujeres 65 3) Los hombres. Su FH × P fue más bajo, por tanto la media es menor. Sus tiempos fueron más cortos.

Cierre

ŠEn promedio, ¿quién hizo mejor tiempo: los hombres o las mujeres? ¿Por qué? 3)

De ser posible, solicite la autorización correspondiente para que los alumnos compartan sus trabajos y conclusiones con el resto de la comunidad escolar. Pida que comenten sobre las preguntas del apartado “¿Cómo nos fue?”. No permita discusiones ni descalificaciones, solo participaciones propositivas. Aproveche este momento para el desarrollo de competencias de tipo social, como el respeto a la opinión de los demás y la empatía. En caso de que las condiciones del grupo lo permitan, invítelos a realizar una reflexión crítica sobre su colaboración en el equipo en el cual participaron, así como una autoevaluación sobre los aprendizajes que adquirieron. Finalmente, haga un resumen de los contenidos abordados en la secuencia e invite a los estudiantes para que identifiquen las partes donde tienen dudas y puedan solicitar la ayuda necesaria.

4) R. M. Porque no se conocen con exactitud el valor de los datos que aparecen en cada intervalo.

Š¿Cuáles medidas de tendencia central calculadas fueron significativas para el estudio? R. L. Š¿Por qué las medidas de tendencia central en datos agrupados son una aproximación? 4)

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Evaluación tipo PISA UNIDAD: Orientación Intención pedagógica

Cuando se realizan recorridos o visitas guiadas a lugares naturales como bosques, selvas y montañas, es muy importante no separarse del grupo porque se corre el riesgo de perderse. Es necesario contar siempre con una brújula y un mapa del lugar que se visita, además de informar a familiares o amigos la fecha y la hora aproximada de regreso del viaje. Cuando una persona se pierde en un ambiente natural, es de gran ayuda que tenga noción de cuánto ha caminado y en qué dirección.

La evaluación tipo PISA tiene como propósito evaluar los conocimientos y habilidades que los alumnos adquirieron a lo largo del bloque, mediante problemas planteados en diversos contextos.

Recomendaciones procedimentales Pregunta 1: ORIENTACIÓN

De manera anticipada solicite a sus alumnos que tengan listo el siguiente material: lápiz, goma, sacapuntas y calculadora de funciones básicas.

Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas.

Una persona caminó en el bosque siguiendo la trayectoria azul. Calcula el ángulo que debe girar para que quede mirando hacia el campamento después de caminar el segundo tramo.

Indique a los estudiantes que primero lean toda la sección “Evaluación tipo PISA” y después respondan los reactivos. Asegúrese de que los escolares hayan comprendido las preguntas antes de resolverlas.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo ses 180º, entonces el ángulo que falta debe medir 180º – 90º – 25º = 65º

Mencione a los estudiantes que pueden escribir todas las operaciones o las tablas que necesiten para contestar las preguntas.

Pregunta 2: ORIENTACIÓN

Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.

Si una persona camina 2 km y luego una distancia x en línea recta a partir del campamento, ¿qué área hay que rodear para encontrarla? Considera ␲ = 3.14

a) 12.56 + 12.28x b) 12.56 + 12.56x + 3.14x2 c) 24.56 + 12.28x d) 24.56 + 12.28x + 6.14x2 Pregunta 3: ORIENTACIÓN

Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas.

Una persona caminó siguiendo una trayectoria rectangular. ¿Qué enunciados corresponden a la descripción del recorrido? Caminó al norte, después giró 90º al oeste.

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No

Caminó al norte, después giró 180º al oeste.

No

Caminó al oeste, después giró 90º al sur.

No

Caminó al sur, después giró 90º al este.

No

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UNIDAD: Calidad del agua El ser humano requiere agua para llevar a cabo muchas de sus actividades, es por ello, que es importante monitorear la calidad de esta. En 2001 había 1 132 plantas de tratamiento de aguas municipales en todo el país. Cada una estaba diseñada para tratar 80 622 litros de agua por segundo. Sin embargo, 194 de las plantas estaban fuera de servicio, el resto de las plantas de tratamiento trabajaron limpiando 51 litros de agua por segundo. Unos de los contaminantes más frecuentes del agua son los sólidos disueltos. La gráfica muestra la cantidad de sólidos disueltos en el río Pánuco según datos tomados en una zona de monitoreo.

Recomendaciones procedimentales Al final de la actividad puede revisar de manera grupal cada uno de los reactivos para que sus alumnos comparen y validen sus respuestas y sus estrategias.

Fuente: http://app1.semarnat.gob.mx/dgeia/estadisticas_2000/compendio_2000/03dim_ambiental/03_02_Agua/index.shtml#calidad

Pregunta 1: CALIDAD DEL AGUA

Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.

Tomar una ducha de cinco minutos equivale a gastar 100 litros de agua, por lo que en un año, una persona gasta 36 500 litros en ducharse. ¿Cuánto tiempo tardaría una planta de tratamiento en limpiar el agua utilizada en un año por una persona que tome duchas de 15 minutos diariamente. Respuesta: 35.78 minutos

Pregunta 2: CALIDAD DEL AGUA

Contexto: Público

Aprendizaje esperado: Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.

¿Qué cantidad de sólidos disueltos hubo en el río Pánuco en cada año? I. 1991

a. 600 mg/L

II. 1992

b. 710 mg/L

III. 1997

c. 450 mg/L

IV. 2000

d. 700 mg/L

a) I-a, II-d, III-b y IV-c Pregunta 3: CALIDAD DEL AGUA

b) I-a, II-c, III-b y IV-d Contexto: Público

c) I-d, II-b, III-c y IV-a

d) I-d, II-c, III-b y IV-a

Aprendizaje esperado: Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.

¿Qué afirmaciones podrían incluirse en un informe sobre sólidos disueltos en el Río Pánuco? En 1992 había 800 mg por litro.

No

En 1991 había 600 000 mg por metro cúbico.

No

En 1994 hubo un incremento respecto a 1993.

No

En el 2000 había 700 000 mg por metro cúbico.

No

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Bloque 3 Santillana "Matemática"  

Muy buen libro, al lado de cada contenido te sugiere la forma de darlo con ejemplos. Lo recomiendo.

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