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Chapitre 4

Second Degré

1) Polynômes du second degré 1.1) Définitions  Définitions :

f

Un polynôme du second degré ou trinôme est une fonction définie sur ℝ de la forme

f:x

f(x)= ax² + bx + c

avec a, b et c qui sont trois nombres réels a ≠

0.

exemple :

f:x

f(x)= x² + 5x -

1

g:x

g(x)= 4x² - 3x +

2 2

 Définitions :

fx

On appelle forme canonique d'un trinôme une écriture de la forme ( )= a (

x

-  )² - 

 Propriété Tout trinôme admet une forme canonique

f(x)= a (x

b 2a

avec  = 2

b −4ac

et  =

-  )² - 

4a

f

=- ()

preuve :

f

Soit un trinôme défini par

fx

f:x x

En factorisant on a ( )= a( ² +

b Or (  ) = ( )= a 2a

f

f

2a

bx a

) + c = a(

x

 b

b + )² – a × 2a

2

  b

f(x)= ax² + bx + c

b + b× – + c = a× 2a

b

2 2

4a

-

2

2a

b

2

2a

+c=

2

=-

fx

Donc, on a bien ( )= a (

x

-  )² -  avec  = -

b −4ac 4a

b et  = - (  ). 2a

f

+ c = a(

b

2

4a

-

x b

b + )² 2a

2

2a

+c=

b

b

4a

2

4a

2

-

+c

2b

2

4a

+c


1.2) Trinômes et paraboles  Propriété

fx

x

x + c a pour représentation graphique une parabole qui se déduit de celle

1) Tout trinôme ( )= a ² + b représentant la fonction

x

x

a ² par une translation de vecteur  i -  j .

2) Le sommet de cette parabole a pour coordonnées S

 ;− 

preuve :

f

Soit un trinôme défini par

f:x

f(x)= ax² + bx + c (avec a ≠ 0). fx

x

Il s'écrit sous forme canonique : ( )= a (

-  )² -  et, d'après le chapitre sur les fonctions, on peut en

déduire que sa représentation graphique est une parabole qui se déduit de celle représentant la fonction

x

x

a ² par une translation de vecteur  i -  j .

2) Équations et inéquations du second degré

x

2.1) Équations du type a ² + b

x+c=0

 Définitions : Étant donné un trinôme

f:x

f(x)= ax² + bx + c

On appelle discriminant de ce trinôme et on note

avec a, b et c qui sont trois nombres réels a ≠ 0.

 le nombre donné par  = b2−4ac


 Propriété

x

Suivant le signe du discriminant  l'équation a ² + b 1) deux solutions si

x+c=0

admet :

 > 0 qui sont : −b− 

x1 =

2a

2) une unique solution si

x0 =

x2 =

et

−b  2a

 =0:

−b 2a

3) aucune solution si

 < 0.

preuve :

f

Soit un trinôme défini par

f:x

f(x)= ax² + bx + c (avec a ≠ 0).

fx

x

Il s'écrit sous forme canonique : ( )= a (

x

x

-  )²-  = a(

x + c = 0 est donc équivalente à a(x

L'équation a ² + b

⇔ a(

⇔ (

x

x

b + )² = 2a b + )² = 2a

b + )² 2a

2

4a

+ c = a(

x

b + )² 2a

2

b −4ac 4a

2

b

+

b

2a

b −4ac

)² -

4a

=0

2

b −4ac 4a 2

b −4ac 4a2 2

Pour connaître le nombre de solutions de cette équation, il faut étudier le signe de

b −4ac 4a

.

Or, 4a² étant le carré de 2a, c'est un nombre toujours positif, donc le nombre de solutions dépend du signe de b2−4ac =  . Si

 > 0, il y a deux solutions : x

De là

x

b =+ 2a

ou

x=-

b 2a

-

 

2

b −4ac 4a

2

b =+ 2a

2

b −4ac 4a2

b + = 2a

=-

b 2a

2

b −4ac 4a2

 b −4ac 2

 4a

2

 b −4ac  4a

2

x

b =+ 2a

2

-

ou

=-

b 2a

b + = 2a

 b −4ac

2

2a

 b −4ac

=

2

-

2a

=

2

b −4ac 4a 2

−b  2a

−b−  2a


Si

 = 0, il y a une solution : x +

Si

 < 0, il n'y a aucune solution. □

b = 0 et donc 2a

x

=-

b 2a

Remarque : les solutions d'une telle équation s'appellent également le racines de l'équation. Exemple :

x

Résoudre l'équation 2 ² - 12

x + 16 = 0

 = b2−4ac = (-12)² - 4×2×16 = 144 – 128 = 16 > 0 il y a donc deux solutions 12−4 8 −b−  12−  16 = = = =2 1= 4 4 2a 2×2 et 124 16 −b  12  16 = = = =4 2= 4 4 2a 2×2

x x

Cette équation admet deux solutions : 2 et 4.  Propriété Soit un trinôme On a alors

f(x)= ax² + bx + c avec a, b et c qui sont trois nombres réels a ≠

0, de racines

f(x)= a ( x - x1 )( x - x2 )

2.2) Signe d'un trinôme

 Propriété

fx

x

Soit un trinôme ( )= a ² + b

x + c avec a, b et c qui sont trois nombres réels a ≠

0.

Ce trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines. Autrement dit : 1) Si

 > 0 il y a deux racines x1 et x2 et on a :

x x² + bx + c

a

2) Si

x1 signe de a

0

 = 0 il y a une racine unique

x2 opposé du signe de a

x0 et on a :

0

signe de a

x1 et x2


x x² + bx + c

a

3) Si

x0 signe de a

0

 < 0 il n'y a aucune racine et on a :

x x² + bx + c

a

signe de a

signe de a

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Chapitre 4 Second Degré  

Cours de Maths de Première ES Numérique

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