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Chapitre 2

Généralités sur les fonctions

1) Rappels 1.1) étude calculatoire  Définition : Une fonction est « une machine » à transformer les nombres. Elle est définie par un procédé de calcul, une

fx

formule qui à tout nombre fait correspondre un seul nombre noté ( ) et appelé son image. On écrit

f:x

f(x)= ...

exemples :

f:x

f(x)= 3x – 7 est une fonction

g:x

g(x)=

3 x2– 4

est une autre fonction

2x

 Définition : Le domaine de définition de la fonction

f,

noté

Df , est l'ensemble des nombres réels pour lesquels on peut

calculer une image par, pour lesquels il y a bien une image qui existe.

exemples :

Df

=ℝ

Pour la fonction g le dénominateur ne peut pas être nul donc

x ≠ 0 Dg

= ℝ*

Calculs d'images

on remplace

x

par le nombre dans la formule, le procédé de calcul et on calcule en respectant les règles de

priorité. Ex :

f( -1 )= 3 × ( -1 ) g(3)=

– 7 = -3 – 7 = - 10

2

3×3 –4 2×3

=

3×9– 4 6

=

27 – 4 6

=

23 6


Calculs d'antécédents

il s'agit de retrouver le ou les nombres qui ont donné cette image par la fonction. Il faut résoudre une équation.

f

Ex : Quel est ou quels sont le ou les antécédents de 14 par la fonction ?

fx

On cherche le ou les nombres pour lesquels ( )= 14

f(x)= 3x – 7 = 14 x = 14 + 7 = 21

3

x=

21 3

=7

f

14 a pour antécédent 7 par la fonction .  Définitions : On appelle représentation graphique d'une fonction repère O ; i, j coordonnées (

f

ou courbe représentative de la fonction

ou courbe représentative de la fonction

f

et on note

x ;f(x) )

Cf

f

dans un

l'ensemble des points de

<

 méthodes Pour tracer la courbe représentative d'une fonction, on fait un tableau de valeurs pour calculer les images de plusieurs nombres, puis on place les points correspondants dans le repère et on trace la courbe passant par tous ces points, en lissant. Exemples : Trace le représentation graphique de la fonction

x  f(x)= x²

x

-3

- 2,5

-2

-1,5

-1

- 0,75

- 0,25

0

0,25

f(x)

9

6,25

4

2,25

1

0,5625 0,25 0,0625

0

0,0625

 Définition :

- 0,5

0,5

0,75

0,25 0,5625

1

1,5

2

2,5

3

1

2,25

4

6,25

9


f

Étudier le signe d'une fonction , c'est déterminer pour quelles valeurs de pour quelles valeurs de

x, les images sont positives et

x, elles sont négatives. f

 Définition : Soit une fonction et soient

f

est dite croissante si

f(a) < f(b)

f

est dite décroissante si

a et b deux nombres d'un intervalle I tels que a < b.

autrement dit si les images sont dans le même ordre.

f(a) > f(b)

autrement dit si les images sont dans l'ordre inverse.

f est croissante

f est décroissante

Remarque :

f

x augmentent, les f(x)

dire que est croissante signifie que lorsque les

dire que f est décroissante signifie que lorsque les

x augmentent, les f(x) diminuent.

On peut résumer tout ces résultats dans des tableaux de variations et/ou de signe. Exemple : pour la fonction carrée

x f(x)

–∞

0

+∞

+∞ +∞

0

1.2) étude graphique

augmentent aussi.


 méthodes Étant donnée une fonction

f.

f

1) Pour lire graphiquement l'image d'un nombre a par une fonction , on repère a sur l'axe des abscisses. On repère le point de la courbe

Cf qui a cette abscisse et on lit son ordonnée. C'est f(a).

2)

Pour lire graphiquement le ou les antécédents d'un nombre b

f

par une fonction , on repère b sur l'axe des ordonnées. On repère le ou les points de la courbe leurs abscisses. C'est les

x

Cf

qui ont cette ordonnée et on lit

tels que

f(x)= b.

3) Pour trouver graphiquement son domaine de définition repère l'ensemble décrit par les abscisses des points de la courbe

Cf .

4) Pour trouver graphiquement son signe, on regarde la position de la courbe abscisses. Si

Df

, on

Cf par rapport à l'axe des

Cf est au-dessus, la fonction est positive, et si Cf est au-dessous, la fonction est négative. On

détermine pour quels ensembles de

x

est-ce que cela se produit.

5) Pour étudier graphiquement ses variations, on regarde lorsqu'on parcourt la courbe croissants si elle « monte » ou si elle « descend ».

f

 Définition : Soit une fonction et soit I un intervalle.

Cf pour

les

x


On dit que

f

admet un maximum sur I s'il existe une valeur

x1 de I telle que pour tout x

de I,

x2 de I telle que pour tout x

de I,

f(x) < f(x1) On dit que

f

admet un minimum sur I s'il existe une valeur

f(x2) < f(x)  Propriété : Étant donnés une fonction f, et un intervalle I.

f

1) Si ,est croissante puis décroissante sur I, alors elle admet un maximum sur I.

f

2) Si ,est décroissante puis croissante sur I, alors elle admet un minimum sur I. 1.3) Résolutions d'équations  Propriété

f

Étant donnés une fonction , et un nombre b.

fx

f

Résoudre l'équation ( ) = b revient à chercher le ou les antécédents de b par ,. On peut donc utiliser la méthode vue dans le paragraphe précédent pour trouver toutes les solutions.

 méthode Étant données deux fonctions

f et g. fx

Pour résoudre graphiquement l'équation ( ) =

g(x),

on

repère

d'intersection de

Cf

tous

et de

abscisses de ces points

les

points

Cg , et on lit les

2) Les fonctions usuelles 2.1) Les fonctions affines


 Définition : On dit qu'une fonction

f est affine lorsqu'elle est de la forme f : x

deux nombres réels donnés.

f(x)= ax + b. avec a et b

qui sont

a s'appelle le coefficient de linéarité ou coefficient directeur et b s'appelle

l'ordonnée à l'origine. Lorsque aa

f

b = 0 on a f

de la forme

de la forme

f:x

f:x

f(x)= ax et on parle de fonctions linéaires et lorsque a

= 0, on

f(x)= b et on parle de fonctions constantes.

 Propriété 1)

Df = ℝ

2)

f

est croissante si et seulement si

a

et décroissante si et seulement si

3)

f

s'annule si et seulement si

x=-

est strictement positif

a est strictement négatif.

b a

et si a > 0, elle est négative avant, positive après,

si a < 0, elle est positive avant, négative après.4) les représentations graphiques sont des droites. Pour les tracer, il suffit de deux points et donc calculer les images de deux

x. Dans le cas, d'une

fonction linéaire, un seul suffit car cette droite passe par l'origine. Dans le cas d'une fonction constante également car elle est parallèle à l'axe des abscisses.


2.2) La fonction carrée  Définition : C'est la fonction

f:x

f(x)= x²

 Propriété 1)

Df = ℝ

2)

f

est positive sur ℝ car un carré est toujours positive.

3)

x f(x)

–∞

0

+∞

+∞ +∞

0

4) La représentation graphique est appelée parabole. Elle admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.


2.3) La fonction cube  Définition : C'est la fonction

f:x

f(x)= x

3

 Propriété 1)

Df = ℝ

2)

f

est négative sur ℝ- et positive sur ℝ+ .

3)

x f(x)

–∞

–∞

0 0

+∞ +∞

4) La représentation graphique admet l'origine comme centre de symétrie.


2.4) La fonction inverse

 Définition : c'est la fonction

f:x

f(x)=

1 x

 Propriété 1)

Df = ℝ

2)

f

*

car le dénominateur ne peut pas être nul.

est négative sur ℝ- et positive sur ℝ+ .

3)

x f(x)

–∞

0

0

+∞ +∞

–∞

0

4) La représentation graphique est une hyperbole. Elle se compose de deux morceaux et admet l'origine comme centre de symétrie. La fonction n'est pas définie en 0. L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe : celle-ci se rapproche de cet axe de plus en plus, sans jamais le toucher, ni le couper quand rapproche de 0. L'axe des abscisses est aussi une droite asymptote : lorsque

x tend vers

la courbe se rapproche de l'axe de plus en plus, sans jamais le toucher, ni le couper.

x se

- ∞ ou vers + ∞


2.5) La fonction racine carrée  Définition : C'est la fonction

f:x

f(x)=

x

 Propriété 1)

Df = ℝ

2)

f

+

car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas.

est positive sur ℝ+ car une racine carrée est, par définition, positive.

3)

x

0

+∞ +∞

f(x)

0

4) La représentation graphique est une demi-parabole « couchée »

3) Les fonctions « fabriquées » à partir des fonctions usuelles 3.1) La fonction (u+k)  Définition : Soit u une fonction usuelle et k en nombre réel. La fonction (u+k) est la fonction définie par

x

x

x

(u+k)( )= u( ) + k

On calcule d'abord l'image par la fonction u puis on ajoute k. exemples :

x

x+4

3

x

x² - 2

:


 Propriété Les fonctions u et (u+k) ont le même domaine de définition et les mêmes variations. La courbe

Cu+k est obtenue à partir de Cu par une translation de vecteur k

3.2) La fonction u(

x

j

+k)

 Définition : Soit u une fonction usuelle et k en nombre réel. La fonction u (

x

x + k) est la fonction définie par :

x + k)

u(

On calcule d'abord

x + k puis l'image par la fonction u.

exemples :

x

1 x4

x

(

x - 2)²

 Propriété Les fonctions u et u ( La courbe

x + k) ont des variations qui similaires sur des intervalles décalés de k.

Cu(x+ k) est obtenue à partir de Cu par une translation de vecteur - k

i


On obtient la courbe représentative de la fonction

x

x – 2)² en translatant la fonction carrée de

(

référence de 2 i 3.3) La fonction ku  Définition : Soit u une fonction usuelle et k en nombre réel. La fonction ku est la fonction définie par

x

:

x

k × u( )

On calcule d'abord l'image par la fonction u puis on multiplie par k. exemples :

x

−2 x

x

x

3 ²

 Propriété Les fonctions u et (ku) ont les mêmes domaines de définition. Si k est strictement positif, les fonction u et (ku) ont le même signe et les mêmes variations. Si k est strictement négatif, les fonctions u et (ku) ont des signes et des variations contraires.

Remarque : si 0 < |k| < 1 les variations sont moins rapides : la courbe est plus « aplatie ». si 1 < |k| les variations sont plus rapides : la courbe est plus « resserrée ».

3.4) La fonction u + v  Définition : Soit u et v deux fonctions usuelles. La fonction u + v est la fonction définie par

:


x

x

x

u( ) + v( )

On calcule les images par les fonctions u et v puis on les ajoute. exemples :

1

x

x

x

2

x

x+1+ x

3

3

 Propriété La fonction (u + v) a pour domaine de définition l'intersection des domaines de définition des fonctions u et v. Si u et v sont toutes les deux croissantes sur un intervalle I, alors (u + v) est aussi croissante sur I. Si u et v sont toutes les deux décroissantes sur un intervalle I, alors (u + v) est aussi décroissante sur I.

3.5) La fonction  Définition :

∣u∣

Soit u une fonction usuelle. La fonction ∣u∣ est la fonction définie par

x

∣u∣

x

:

x

( ) = |u( )|

On calcule d'abord l'image par la fonction u puis on prend la valeur absolue du résultat.

x

x

x

x

x

x

Sur les intervalles où u( ) > 0, on a ∣u∣ ( ) = u( ) et sur les intervalles où u( ) < 0, on a ∣u∣ ( ) = - u( ) exemple : soit u la fonction définie par u :

x

x

u( ) =

x² – 4 on a alors ∣u∣

x

: u( ) =

∣x² – 4∣

 Propriété 1) La fonction ∣u∣ a le même domaine de définition que la fonction u.

x

x

2) ∣u∣ et u ont les mêmes variations lorsque u( ) est positif et ont des variations contraires lorsque u( ) est négatif. 3)

C ∣u∣

est confondue avec

x

Cu

x

lorsque u( ) > 0 et

abscisses lorsque u( ) < 0 .

x f(x)

-∞

–2

+∞

0

2

4 0

+∞ +∞

0

C ∣u∣

est symétrique à

Cu

par rapport à l'axe des


4) Composées de fonctions usuelles 4.1) Définition  Définition : Soient u une fonction usuelle définie sur un intervalle I et v une fonction usuelle telle que l'enchaînement de la fonction u puis de la fonction v soit possible. On appelle fonction composée u suivie de v

x

fonction définie par

x

et on note v°u la

x

v°u( )= v(u( ) )

On calcule d'abord l'image par la fonction u puis on calcule l'image du nombre obtenu par la fonction v. On peut schématiser cela comme suit :

x

x

u( )

x

v(u( ) )

u suivie de v = v° u exemples : soit u la fonction définie sur [ 2 ; + ∞ [ par

x

u( ) =

x x

soit v la fonction définie sur [ 0 ; + ∞ [ par

x

v( ) =

x

La fonction composée v°u est la fonction définie par v X X

x

x–2

x

-2

x x

x

v°u( ) = v(u( )) =

 x −2

 x −2

u suivie de v = v° u

4.2) Propriétés  Propriété Soient u et v deux fonctions telles que la fonction composée u suivie de v soit définie sur un intervalle I. 1) Si u et v ont le même sens de variations, alors la fonction composée u suivie de v v°u est croissante sur I. 2) Si u et v ont des sens de variations contraires, alors la fonction composée u suivie de v v°u est décroissante sur I. Preuve : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et à valeurs dans un intervalle J et v une fonction définie sur l'intervalle J. 1) On suppose u croissante sur I et v croissantes sur J. Soient a et b deux nombres de I tels que a < b on a alors u(a) < u(b) car u est croissante sur I. puis v(u(a)) < v(u(b)) car v est croissante sur J. Ainsi v°u est bien croissante sur I. On ferait de même pour deux fonctions décroissantes ….


2) On suppose u croissante sur I et v décroissantes sur J. Soient a et b deux nombres de I tels que a < b on a alors u(a) < u(b) car u est croissante sur I. puis v(u(a)) > v(u(b)) car v est décroissante sur J. Ainsi v°u est bien décroissante sur I. On ferait de même si u était décroissante et v croissante.

Remarque : Cela nous permet de déduire le sens de variations de la fonction u( croissante, et décroissante si u est décroissante.

x + k) … elle est croissante si u est

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Chapitre3 Généralités sur les fonctions  

Cours de Maths de Première ES Numérique

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