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Chapitre 2

Systèmes linéaires

1) Rappels 1.1) Définitions  Définitions : Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est la donnée de 2 équations où il y a deux inconnues d'exposant 1 (pas de carré, pas de cube). (S)

{

axbyc=0 a 'xb' yc'=0

x et y sont les deux inconnues et L1 et L2 désignent les deux équations. Résoudre un tel système c'est trouver tous les couples solutions, c'est-à-dire tous les ( x ; y ) solutions des deux équations simultanément. On appelle déterminant de ce système le nombre réel

 =

∣ ∣

a b = ab' - a'b a ' b'

exemple : (S)

{

4 x – y –21=0 3x2 y –13=0

 Propriété Étant donné un système (S)

{

axbyc=0 de déterminant . a 'xb' yc'= 0

Si  ≠ 0, alors le système admet un unique couple solution. Si  = 0, alors le système admet

{

une infinité de solution si les deuxéquations sontéquivalentes aucune solution si elles ne sontpas équivalentes.

remarque : quand  = 0, pour savoir si les équations sont équivalentes, on multiplie l'une ou les deux équations de façon à avoir les mêmes coefficients devant

x par

exemple. Si elles sont identiques, alors les deux équations

initiales sont équivalentes. Exemple : (S1)

{

2x6y –1=0 3x9 y – 2=0

 = 2×9 – 3×6 = 18 – 18 = 0. Le système admet soit une infinité de couples solutions, soit aucun couple solution. Faisons : L1  3×L1 (S1)

et

L2  -2×L2

{

6x18y –3=0 6x18 y – 4=0

Les deux équations ne sont pas identiques. Le système n'admet aucun couple solution

S

= ∅.


1.2) Techniques de résolution  Méthode de résolution : par combinaison linéaire On suppose que le système admet un unique couple solution c'est-à-dire que  ≠ 0. Pour trouver cherche à éliminer

y.

x on

Cela se fait en multipliant les deux équations par des coefficients judicieusement

choisis de telle façon qu’en ajoutant membres à membres ces deux nouvelles équations les terme en s’éliminent. Pour trouver

y, on élimine de la même façon x

y

avec une autre combinaison linéaire.

Exemple : 4 x – y=21 L1 (S3) 3x2 y=13 L 2

{

 = 4×2 – 3×(-1) = 8 + 3 = 11 ≠ 0 L1 2×L 1 L 2 4 x – y=21 (S3) 3x2 y=13 L 3×L −4×L 2 1 2

{

Faisons L2 

L1 + L2

L1 8x−2 y3x2y=4213 (S3) 12x−3y−12x−8y=63−52 L 2

{

{

11x=55 (S3) −11 y=11

{

55 =5 11 ⇔(S3) 11 y= =−1 −11 x=

Le système (S3) a pour unique solution le couple ( 5 ; -1 ). 1.3) Résolution d'un système linéaire de trois équations à trois inconnues  Définitions : Un système linéaire de trois équations à trois inconnues est la donnée de trois équations où il y a trois inconnues. (S)

L1 axbycz= d L2 a 'xb' yc'z=d' a '' xb' ' yc'' z=d'' L 3

{

x, y et z sont les trois inconnues et L1 L2 et L3 désignent les trois équations.  Méthode Il faut se ramener à un système triangulaire en faisant des combinaisons linéaires de L1 et L2 dans L2 et de L1 et L3 dans L3 , puis en faisant une combinaison avec les nouvelles L2 et L3 dans L3 . Exemple : x10y−3z= 5 L1 2x− y2z=2 L 2 ⇔ −x yz=−3 L 3

{

L1 x10y−3z= 5 2x− y2z=2 L 2 L 2−2×L 1 ⇔ −x yz=−3 L3 L 3L 1

{

L1 x10y−3z= 5 2x− y2z−2x−20y6z=2−10 L 2 −x yzx10y−3z=−35 L3

{


L1 x10y−3z= 5 L2 ⇔ −21 y8z=−8 ⇔ 11 y−2z=2 L 3 11×L 221×L 3

{ {

{

x10y−3z= 5 ⇔ −21 y8z=−8 231y−42z−231y88z= 42−88

{

x10y−3z= 5 −21 y8z=−8 46z=−46

x= 2 y=0 z=−1

S = {(2 ; 0 ; -1)} 1.4) Résolutions de problèmes De nombreux problèmes issus de domaines variés peuvent se résoudre grâce à des systèmes d'équations. Pour cela, il faut mettre en plus quatre étapes :

le choix des inconnues : Étape importante, c'est elle qui permet de commencer la résolution de l'exercice. Il est guidé par la question posée et correspond à ce que l'on cherche. Cette étape doit être accompagnée des contraintes que doivent vérifier ces nombres (entiers, positifs, ...) la mise en système : C'est la traduction de l'énoncé en langage mathématiques. Cette étape doit être expliquée et justifiée par des phrases extraites de l'énoncé. la résolution : On utilise les techniques vues précédemment. le retour au problème posé : Il faut répondre à la question posée par une phrase en français.

1.5) Résolution graphique d'un système d'équations

Étant donné un système (S)

{

axby=c a 'xb' y=c'

Ce système est équivalent au système (S')

{

a c y=− x b b a' c' y=− x b' b'

Dans un repère, on trace les droites (d1) et (d2) d'équations respectives L1 et L2. La position relative de ces deux droites donne le nombre de solutions du système (S).  Propriété 1. Si les droites (d1) et (d2) sont sécantes en un point A (x0;y0) alors le système a un unique couple solution : le couple (x0;y0). 2. Si les droites (d1) et (d2) sont strictement parallèles alors le système n'a pas de solution. 3. Si les droites (d1) et (d2) sont confondues alors le système a une infinité de couples solutions : les coordonnées de tous les points de cette droite.


Preuve : Les couples solutions du système sont les (x;y) vérifiant les deux équations de droite, c'est-à-dire les coordonnées des points appartenant aux deux droites. Si elles sont sécantes, il n'y a donc qu'un seul couple solution : les coordonnées du point d'intersection. Si elles sont strictement parallèles, les droites n'ont aucun point commun : il n'y a donc aucun couple solution. Si elles sont confondues, les droites ont tous leurs points en commun : il y a donc une infinité de solutions. remarque : (d1) et (d2) sont parallèles si et seulement si − or −

a a' = − b b'

a a' a a' ⇔ − ×bb' = − ×bb' = − b b' b b' ⇔ - ab' = - a'b ⇔ - ab' + ab' = -a'b + ab'

⇔ 0 = ab'- a'b

exemples :

{

4 x – y –21=0 1) (S) ⇔ 3x2 y –13=0

{

y=4x−21 3 13 y=− x 2 2

On trace les droites (d1) et (d2) dans un repère. Ces droites sont sécantes en A de coordonnées (5; -1).

Le système a donc un unique couple solution (5; -1).


2) (S')

{

2x6y –1=0 ⇔ 3x9 y – 2=0

{

1 1 y=− x 3 6 1 2 y=− x 3 3

On trace les droites (d1) et (d2) dans un repère. Ces droites sont strictement parallèles : le système n'a aucune solution.

2) Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues 2.1) Inéquations linéaires à deux inconnues  Définitions :

x + by

C'est une inéquation de la forme a

 c où il y a deux inconnues (ou <, >, ).

 Propriété La droite

(d)

x

d'équation a

y

+b

y

+ c = 0 ou

=-

a b

x-

c dans un repère O ; i, j b

partage le plan

en deux demi-plans :

x + by

- l'un contenant les points dont les coordonnées sont solutions de l'inéquation a

- et l'autre contenant les points dont les coordonnées sont solution de l'inéquation a On dit que les demi-plans sont de frontière

<c

x + by

> c.

(d).

Remarque : La droite frontière est exclue de l'ensemble des solutions dans le cas d'une inégalité stricte. Elle en fait partie dans le cas d'une inégalité large.

x + 3y

Exemple : Résous graphiquement l'inéquation 2

6


 Méthode :

(d) d'équation y

x

2 + 2 et pour trouver le demi-plan solution, on teste les 3 coordonnées de l'origine. Si elles sont solutions de l'inéquation, le plan contenant l'origine est solution. Dans le cas contraire, c'est celui qui ne contient pas l'origine qui est solution. La droite frontière fait partie des solutions car l'inégalité est large. On trace la droite

= -

Dans cet exemple, les coordonnées de l'origine O (0;0) sont solutions de l'inéquation car 2×0 + 3×0 = 0  6. L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc le demi-plan P2 , non-hachuré, de frontière comprise ( on peut donc tracer

(d)

(d) en trait plein).

2.2) Système d'inéquations linéaires à deux inconnues  Définitions : Résoudre un système d'inéquations linéaires à deux inconnues c'est représenter dans un repère l'ensemble des points M dont les coordonnées vérifient simultanément toutes les inéquations du système.

 Méthode : Pour chaque inéquation, on trace les droites frontières et on détermine les demi-plans solution dans le même repère. L'ensemble des solutions du système est représenté par le domaine qui reste non-hachuré.


exemple :

{

3 x – 2 y –9 0 I 1 3 x4 y27

On trace les droites

I2

(d1)

d'équation

y

=

3 2

x-

9 2

et

(d2)

d'équation

y

=-

3 4

x+

27 . 4

Les coordonnées de l'origine O (0;0) sont solutions de la première inéquation car 3×0 - 2×0 – 9 = - 9 < 0. L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc le demi-plan P 1 , non-hachuré, de frontière comprise ( on peut donc tracer

(d1) en trait pointillé).

(d1) non-

Les coordonnées de l'origine O (0;0) sont solutions de la deuxième inéquation car 3×0 + 4×0 = 0  27. L'ensemble des solutions de cette inéquation est donc le demi-plan P2 , non-hachuré, de frontière comprise ( on peut donc tracer

(d2) en trait plein).

L'ensemble des solution du système est représenté par le domaine non-hachuré ci-dessus ( et

(d2) compris)

(d2)

(d1) non compris

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Chapitre 2 Systèmes Linéaires d'Équations et d'Inéquations  

Cours de Maths de Première ES

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