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Din谩mica de Sistemas

Elementos y estructura de un modelo. Construyendo modelos

Profesor: Javier Torrealdea Ciencias de la Computaci贸n e Inteligencia Artificial


Elementos y estructura de un modelo de Dinámica de Sistemas Introducción Dinámica de Sistemas es un nombre propio que designa un determinado método de construcción de modelos de sistemas sociales susceptibles de ser simulados por ordenador. El origen de esta técnica se remonta a finales de los años cincuenta y su implantación definitiva se produce durante la década de los sesenta. El desarrollo de este método se debe al trabajo de J. W. Forrester del Instituto Tecnológico de Massachussets, el cual por primera vez utilizó técnicas pertenecientes a las disciplinas de ingeniería automática para el estudio de procesos sociales y económicos. Forrester construyó un puente entre los métodos empleados por los ingenieros en problemas tecnológicos y los métodos específicos de estudio de sistemas sociales. Al igual que ocurre en la automática, la búsqueda de los lazos de realimentación que operan dentro de un sistema y la forma en que estos determinan el comportamiento dinámico del mismo constituye la piedra angular sobre la que descansa la Dinámica de Sistemas. Un aspecto notable del método es su enorme capacidad descriptiva. Los modelos se representan mediante unos diagramas conocidos como diagramas de flujo. Un diagrama de flujo es una descripción gráfica del sistema en estudio construida de acuerdo a unas determinadas reglas. La claridad de estos diagramas en cuanto representación de la estructura global del sistema y de las relaciones entre las variables que lo constituyen es tan sorprendente que los modelos pueden ser presentados a no especialistas y ser inmediatamente entendidos. Ello hace posible su crítica y una confianza o desconfianza en los modelos fundamentada en un conocimiento completo de las hipótesis utilizadas en su construcción. Aspecto este nada desdeñable por cuanto, a menudo, aceptar la simulación por ordenador como medio para conocer la realidad suele ser más un tema de fe ciega depositada en los modelistas que de análisis racional de unos modelos que resultan completamente inaccesibles a la mayor parte de los estudiosos. En los ámbitos en los que la Dinámica de Sistemas intenta construir modelos de funcionamiento no suele haber leyes de comportamiento perfectamente establecidas. Los sistemas objeto de su estudio no están descritos por leyes matemáticas de carácter cuantitativo preciso y aceptadas unánimemente por la comunidad científica. En estos sistemas sí que hay expertos que conocen bien aquello con lo que trabajan, pero no siempre hay unanimidad de criterio entre los propios expertos. Es de notar, por otra parte, que el reino de las matemáticas es tremendamente limitado dentro del espectro total del conocimiento. De hecho, la matemática sólo aparece en todo su esplendor dentro de las regiones más profundas de la física teórica. No obstante, para que la Dinámica de Sistemas decida ocuparse de un problema, se requiere que, aun cuando no se conozcan leyes precisas que lo describan, los elementos que integran el sistema problemático posean atributos cuantificables y puedan llegar a ser establecidas relaciones funcionales de naturaleza cuantitativa entre dichos atributos. Así, con esta técnica, se han realizado aportaciones de interés en terrenos tan diversos como biología, economía, gestión empresarial, urbanismo, psicología y muchos otros.

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La simulación por ordenador requiere dos tipos de actividad diferentes. La primera de ellas es la construcción del modelo, se trata de la fase de modelado. La segunda tarea consiste en la introducción del modelo en el ordenador y en la explotación del mismo de acuerdo con los objetivos que indicaron su construcción. Se trata de la fase de simulación propiamente dicha. Aunque ambas fases estén siempre presentes en todo proceso de simulación por ordenador, deseamos destacar una importante diferencia relativa al énfasis, a la importancia que se le asigna a cada una de estas dos fases, en función de los intereses concretos del investigador que recurre a la simulación por ordenador. Pues bien, el modelador proveniente de disciplinas tecnológicas pone el énfasis en la segunda fase, en la ejecución y explotación del modelo. Este modelador construye modelos, no porque necesite el modelo, sino porque necesita ver que es lo que resulta en el ordenador. Para él, el modelo no supone ninguna aportación nueva al conocimiento. De hecho, conocía con toda precisión el modelo a utilizar antes de construirlo, conocía sus elementos constituyentes y las leyes precisas de interacción entre esos elementos. Lo que no podía hacer, sin ayuda del ordenador, era obtener la información cuantitativa precisa que de dichas leyes se infiere. Su interés es, precisamente, esa información exacta y ha recurrido al ordenador bien por la dificultad técnica de encontrar una solución analítica de su problema o bien porque encontrarla manualmente le hubiese llevado un tiempo desmedido. El énfasis, pues, está en la simulación, y en la simulación cuantitativa precisa. El modelo en sí no ha aportado conocimiento porque las leyes eran ya conocidas, se disponía ya de una teoría definida. La construcción del modelo ha podido requerir, que duda cabe, una gran destreza y habilidad por parte del modelador pero ningún conocimiento realmente nuevo ha aportado el modelo en sí. Por el contrario, el modelador que trabaja con Dinámica de Sistemas tiene para con los modelos que produce una relación diametralmente opuesta. Es obvio que construye modelos para ser simulados por ordenador, pero esto no es lo más importante o, al menos, no es lo único importante. El modelador se encuentra con un problema perteneciente a un dominio poco estructurado. No existen leyes universalmente aceptadas sobre como funciona el sistema en el que se encuadra el problema en estudio. No se sabe con seguridad siquiera cuáles son los elementos de interés ni como están relacionados entre sí. Para poder avanzar reúne expertos en el tema y trata de unificar criterios, trata de llegar a hipótesis consensuadas con las que construir el modelo. A continuación introduce el modelo en el ordenador y éste establece las consecuencias dinámicas de las hipótesis utilizadas. Esto es nada más, y tampoco nada menos lo que muestra una ejecución de simulación. Muestra el resultado de unas hipótesis, las consecuencias dinámicas de las opiniones de expertos en el sistema bajo estudio. La mente humana es buena para establecer relaciones estructurales pero lo es menos para seguir las implicaciones dinámicas de tales relaciones. Así, constantemente podemos observar como expertos en una determinada materia, coincidiendo en las hipótesis de partida no están de acuerdo en las consecuencias de dichas hipótesis. El ordenador es bueno en esta tarea, determina las consecuencias de unas hipótesis de partida con unicidad. Hay, por lo tanto, un gran énfasis en la construcción del modelo. Un modelo terminado supone un conocimiento que previamente no existía. Supone el descubrimiento de una especie de teoría de funcionamiento del sistema en estudio. Por lo tanto, la Dinámica de Sistemas es, antes que nada, un método de construcción de

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modelos. Una vez construido el modelo, al simularlo en el ordenador, no se estará interesado en una respuesta cuantitativa precisa. La búsqueda de valores precisos de las variables no sería consistente ni con la realidad de los sistemas con los que habitualmente se trabaja ni con la filosofía general subyacente en la construcción del modelo. La información que se busca es más bien de tipo cualitativo tal como tendencias al crecimiento o decrecimiento, al equilibrio o la fluctuación y, especialmente, si cabe esperar y de qué pueden depender modificaciones radicales de estas tendencias. El acuerdo entre expertos que es necesario para construir un modelo posee otra dimensión de gran dificultad. La vida es infinitamente rica en interacciones, detalles y matizaciones que confluyen en una determinada situación conflictiva. Un modelo de Dinámica de Sistemas se construye para arrojar alguna luz sobre los motivos de un comportamiento anómalo o simplemente, no siendo anómalo, sobre el que desearíamos actuar o comprender. De la multitud potencialmente infinita de implicaciones que pueden confluir sobre nuestro problema debemos seleccionar un conjunto que sea manejable y que sea responsable en lo fundamental del comportamiento en cuestión. O dicho en otras palabras, debemos extender nuestro consenso no solo a las hipótesis introducidas sino también a la suficiencia de las mismas, teniendo presente que necesariamente infinidad de posibles implicaciones deberán quedar fuera de nuestro modelo. Este es uno de los trabajos más delicados que debe realizar el modelador y significa que debe abordarse con gran tiento la tarea de definir el propósito del modelo y la frontera del mismo. A menudo se critican modelos porque no pueden dar cuenta de aspectos para los que no fueron construidos. No estará de más insistir en que no se puede evaluar un modelo mas que con referencia al propósito para el que ha sido construido. No podemos simplemente en abstracto decir que un modelo es bueno o es malo. La tarea más importante del modelador es definir con precisión el problema que pretende ser abordado por el modelo. En palabras de Forrester: " La habilidad de la persona que decide usar un modelo se manifiesta inmediatamente. Su primera decisión es hacer preguntas pertinentes que tengan respuestas de interés. Las preguntas triviales no pueden menos que conducir a respuestas triviales. Las preguntas que son demasiado generales no sirven para centrar el problema. Las preguntas que son demasiado restrictivas pueden confinar la investigación en regiones que no contienen ninguna respuesta. Las preguntas que son imposibles de contestar solo pueden conducir a desencanto".

Elementos y estructura de un modelo En esta sección presentamos cómo es la estructura de un modelo de Dinámica de Sistemas. En el primer apartado se hace una presentación somera de los componentes de un modelo la cual se complementa, en el segundo apartado, con un comentario sobre su global. Diagramas causales Los primeros estadios de la conceptualización de un modelo requieren definir el propósito del mismo. En función de ello hay decidir qué elementos han de ser tomados en consideración y cuáles de entre ellos están relacionados de forma que lo que ocurre en uno afecta de manera inmediata al otro. Por cuanto nuestro interés se centra en la 4


variación en el tiempo del valor cuantitativo atribuido a cada elemento (variable), las influencias buscadas son las que su manifestación consista en que una variable aumente o disminuya en función de que otra, de la cual depende, experimente algún tipo de variación. Una forma natural de representar elementos y relaciones es mediante un grafo orientado. A veces, cuando el sentido de la influencia es conocido, se suele incluir un signo más o un signo menos que hace alusión a una influencia del mismo sentido o de sentido opuesto según el caso. Por ejemplo, si la densidad de coches aumenta o disminuye cabe esperar que el numero de accidentes también aumente o disminuya respectivamente. Existe, por tanto, una influencia en el mismo sentido. Por el contrario, las ventas de coches seguramente dependerán del precio de los mismos pero la influencia será esta vez de sentido opuesto.

Densidad de coches

+

Accidentes

Precio

-

Ventas de coches

Fig.1. Dependencia causal entre variables

Establecer un grafo en el que aparezcan representados todos los elementos que componen el modelo junto con sus relaciones supone un paso importante en la definición de la estructura del mismo. Un grafo de esas características se conoce como diagrama causal o de influencias. No obstante, metodológicamente no es recomendable la construcción de un diagrama causal exhaustivo como primera fase en la construcción de un modelo aun cuando diagramas parciales o globales a alto nivel jerárquico puedan ser buenos como mecanismo de ayuda a la conceptualización. Sin embargo, de cara a facilitar la comprensión de las hipótesis introducidas en el modelo, es de gran ayuda disponer de un diagrama causal exhaustivo para la presentación del mismo a un público interesado. Dicho diagrama causal siempre puede deducirse sin dificultad una vez finalizada la construcción del modelo. Lazos realimentados El tipo de problemas en los que habitualmente trabaja la Dinámica de Sistemas se caracteriza porque en éstos siempre aparecen relaciones causales estructuradas en bucles cerrados. Ello no es sorprendente por cuanto detrás de un bucle cerrado de relaciones causales subyace el principio filosófico de que nada se hace impunemente. Una acción ejecutada por o sobre un elemento del bucle se propaga por el mismo de manera que tarde o temprano esa acción repercute sobre sus propios valores futuros. Esto es habitual en las organizaciones en las que el hombre es una parte más de las mismas, las cuales constituyen en buena medida nuestro principal objeto de estudio. Conviene distinguir dos tipos de lazos realimentados, lazos positivos y negativos. Positivos son aquellos en los que una variación en un elemento se ve reforzada por las influencias mutuas entre los elementos. Por el contrario, en los lazos negativos una variación en cualquiera de sus

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elementos tiende a ser contrarrestada por las influencias en sentido contrario que se generan en el lazo. La figura 2 muestra un ejemplo de ambos tipos de lazo.

Población

Población +

-

+

+ nacimientos

muertes Fig.2. Lazos positivo y negativo

Es importante notar que dinámicamente un lazo positivo tiende a producir situaciones de crecimiento o decrecimiento ilimitado, mientras que un lazo negativo tiende a producir equilibrio. Desde el punto de vista de la causalidad un modelo está siempre estructurado como un conjunto de lazos positivos y negativos interconectados entre sí. El comportamiento dinámico del mismo dependerá de cómo se vaya produciendo la alternancia en el dominio entre la tendencia a crecer o decrecer de los unos y la tendencia al equilibrio de los otros. Tipos de variables Distinguiremos tres tipos de variables en función de su propio cometido en el modelo. Variables de nivel, variables de flujo y variables auxiliares. Los niveles suponen la acumulación en el tiempo de una cierta magnitud. Son las variables de estado del sistema, en cuanto que los valores que toman determinan la situación en la que se encuentra el mismo. Los flujos expresan de manera explicita la variación por unidad de tiempo de los niveles. No es siempre inmediato decidir cuál de los tres tipos será el apropiado para representar a un elemento determinado del sistema real en estudio. Pensar en un cierto nivel de agua y en un grifo que lo abastece es una buena metáfora para mejor comprender los significados respectivos de estos dos tipos de variable. Las variables auxiliares son, como su nombre indica, variables de ayuda en el modelo. Su papel auxiliar consiste en colaborar en la definición de las variables de flujo y en documentar el modelo haciéndolo más comprensible. Además de las variables reseñadas, en todo modelo habrá también parámetros, o sea, variables que se mantienen constantes durante todo el horizonte temporal de ejecución del modelo. Organización de las variables y parámetros. Representación gráfica

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Toda variable de nivel va unida a una o más variables de flujo las cuales son responsables de la variación de la primera. De hecho, un nivel sólo cambia en cuanto se llena o vacía por los flujos que le afectan. Dejaremos que sean las figuras las que muestren al lector la representación gráfica de los componentes de un diagrama de flujo.

Nivel

Contratación

Flujo

Parámetro 2

Auxiliar

Tiempo de contratación

Profesores

Diferencia

Parámetro 1

Profesores necesarios

Fig.3. Organización de las variables de Nivel y Flujo en un diagrama

En la figura 3 puede verse un diagrama de flujo en abstracto y un ejemplo de un posible fragmento de modelo concreto con idéntica estructura. En él aparece una variable de nivel junto con una variable de flujo que lo llena. Matemáticamente la variable de flujo supone la variación por unidad de tiempo del nivel y se representa con un cierto aspecto de válvula que está controlando el fluir de la magnitud que se acumula en el nivel. Su valor se establece en función de una variable auxiliar y de un parámetro. A su vez, la variable auxiliar depende del nivel y de otro parámetro. Las líneas de información representan la dirección de las relaciones de dependencia entre las variables. En todo sistema dinámico autónomo, la variación de sus estados depende de los valores en que se encuentran dichos estados. Resulta pues natural que un modelo mantenga la siguiente organización: I. Las líneas de información tienen siempre como punto de partida inicial los niveles o los parámetros (al fin y al cabo un parámetro no tiene otra misión que la de informar de su valor) y como punto de destino final los flujos. Dicho de otra manera, las variables de flujo son función de los niveles y de los parámetros. II. Las variables auxiliares forman parte de los caminos de información. De hecho, usualmente aparecerán variables auxiliares entre la información que arranca en los niveles y su destino final en los flujos. Estas variables van configurando la función que finalmente definirá a un flujo, de manera que documentan en forma comprensible cada paso en el tratamiento de la información que determina la definición de la variable de flujo.

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III. Por lo dicho, no tiene sentido un bucle cerrado construido únicamente con variables auxiliares. En todo lazo cerrado debe de aparecer un nivel y, en consecuencia, al menos un flujo. IV. Cuando un sistema no sea autónomo, es decir, cuando existan variables exógenas influyendo en el comportamiento del mismo, una o más líneas de información podrán evidentemente, y excepcionalmente, tener su origen en una variable auxiliar. Si así no fuera, la variable exógena no podría influir de ninguna manera en el modelo. La figura 4 muestra cuatro diagramas, tres de ellos incorrectos, con los que se pretende ilustrar las ideas comentadas. El diagrama a) es correcto. En el diagrama b) la información se genera en el flujo para terminar en el nivel lo cual es incorrecto. Podríamos aceptar como posible la toma de información desde un flujo. Si bien no es práctica recomendable, cabe pensar que el valor de un flujo pueda interesar en otra parte del sistema. No obstante, el hecho de informar a un nivel es algo carente de sentido puesto que un nivel no es un punto de toma de decisiones. Un nivel solo se ve afectado por la entrada o salida en el mismo de un flujo real de una magnitud que le hace aumentar o disminuir según el caso. El diagrama c) es completamente absurdo. Un flujo llenando una variable auxiliar es un dibujo humorístico para una persona familiarizada con los diagramas de Forrester. Es algo así como una manguera llenando de gasolina el medidor en lugar del depósito. El diagrama d) supone un circulo vicioso que sólo es posible cuando se verifique la igualdad entre todas las variables. No puede configurarse un lazo realimentado sólo con variables auxiliares.

Nivel Flujo

Parámetro 2

Auxiliar

Parámetro 1 (a)

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Nivel Flujo

Parรกmetro

(b)

Auxiliar

Nivel Flujo 2

Flujo 1 (c)

Auxiliar1 Auxiliar 2 (d)

Auxiliar 3

Fig. 4. Algunos errores posibles en el diagrama de flujo, (a) es correcto.

Subsistemas conservativos En un modelo hay que atribuir dimensiones a sus variables de manera que todas ellas se midan en unas determinadas unidades de medida. Si los niveles se miden en

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unas ciertas unidades, sus flujos asociados deberán medirse en esas mismas unidades partido tiempo. Una organización típica es aquella en la que un flujo está ligado a dos niveles de manera que actúa como una válvula de paso entre los mismos. Lo que sale de uno de ellos entra en el otro. Pues bien, una regla fundamental de construcción de diagramas de flujo exige que no puedan mezclarse distintas unidades. De esta manera los niveles se asocian entre sí en cascada o en paralelo formando estructuras por las que solo circula el mismo tipo de unidades bajo el control de flujos que se miden en esas mismas unidades por unidad de tiempo. Esas estructuras son conservativas en el sentido de que si incluimos en el balance los sumideros y las fuentes la cantidad total de la magnitud acumulada en las mismas se conserva. La figura 5 muestra un par de subsistemas conservativos. Nótese que los subsistemas conservativos están por su propia naturaleza aislados unos de otros. La única conexión posible entre ellos, y, además, necesaria, es a través de líneas de información que conecten niveles de un subsistema con flujos del otro.

( personas/mes) Contratación ( personas)

( unidades/persona*mes)

Personal en formación

Aprendizaje

Productividad

Material bruto

( unidades)

( personas/mes) producción ( unidades/mes)

( personas)

Personal produciendo

Despidos

Material elaborado

( personas/mes)

( unidades)

Fig.5. Dos subsistemas conservativos unidos por líneas de información

Ecuaciones Todas las relaciones entre las variables deben ser explícitamente cuantificadas. La forma más frecuente de establecer la relación entre dos variables es mediante una expresión analítica que proporciona la función que relaciona ambas variables. Poco más 10


puede decirse en abstracto a cerca de las ecuaciones por cuanto dependerán muy específicamente de cada situación particular. Conviene, no obstante, hacer un mínimo comentario referente a cada tipo de variable. Las ecuaciones de variables auxiliares pueden adoptar cualquier forma analítica si bien, por su propia naturaleza de variables añadidas para simplificar la descripción, no tienen porque ser expresiones complicadas. Muchas veces no conoceremos la relación algebraica precisa pero podremos tener un conocimiento expresable mediante una gráfica. Esta gráfica se traducirá en una tabla en el momento de su implementación. Esta forma de establecer dependencias es muy útil cuando nuestro conocimiento de la relación entre dos variables auxiliares tiene un carácter experimental y, también, cuando desconociendo la naturaleza exacta de la relación deseamos introducir hipótesis plausibles para la misma.

Población euskaldun

Porcentaje uso euskara

Relación población euskaldún Población total

Tabla con los valores Graph Lookup - Tabla con los valores 100

0 0

1

Fig. 6. Una ecuación auxiliar implementada mediante una tabla de valores.

Las ecuaciones más problemáticas de decidir siempre son las correspondientes a algunos flujos. En particular a aquellos que definen las políticas del sistema. Téngase en cuenta que los cambios en el estado del sistema corresponden a los flujos. Por ello, los flujos son los puntos del modelo donde se plasman las decisiones importantes. Cuál va a

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ser la política de contratación, cuál la de incremento de la inversión, de que dependen los contagios, son ejemplos de flujos típicos. Una buena parte del esfuerzo de construcción del modelo deberá dedicarse a la determinación de estos flujos. Las ecuaciones correspondientes a los niveles son siempre iguales. Un nivel es siempre y por definición la integración de todos los flujos que le afectan. Tal es así, que estas ecuaciones pueden ser escritas automáticamente por la máquina si se dispone del compilador adecuado. De esta manera, una vez establecidas todas las relaciones, si especificamos los valores que inicialmente tienen los niveles y atribuimos valores a los parámetros dispondremos de un conjunto de ecuaciones que el ordenador integrará numéricamente para proporcionarnos la evolución temporal de las variables. Dicho conjunto de ecuaciones es el modelo matemático propiamente dicho. Existen compiladores de simulación específicos de Dinámica de Sistemas.

Resumen Un modelo de Dinámica de Sistemas es en última instancia un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. En cualquier caso, el modelador sin formación específica no tiene por qué reconocer el modelo matemático subyacente. El esfuerzo del método se centra precisamente en servir de intermediario entre el mundo real y la representación matemática del mismo que el ordenador va a utilizar para calcular las evoluciones temporales que consideremos de interés. Situados en la perspectiva del modelista, su primera tarea consiste en determinar cuáles son los elementos que integran el modelo de acuerdo con los objetivos establecidos y decidir cuáles de ellos están relacionados entre sí. En esta tarea puede ser de ayuda ir construyendo un diagrama que muestre los elementos e ir especificando aquellos que están relacionados entre sí. Un diagrama de estas características se conoce como diagrama causal. En un diagrama causal la naturaleza de la relación entre los elementos no está todavía explicitada, se trata de una fase inicial en la conceptualización del modelo en la que se establece qué elementos pueden estar directamente relacionados y cuáles no. Simultáneamente, no después de terminar el diagrama causal, se debe iniciar la clasificación de las variables que aparecen en el modelo. De acuerdo con las reglas de modelado de Dinámica de Sistemas hay dos tipos importantes de variables que deben ser discernidas. Las variables de estado del sistema, llamadas niveles y las variables responsables del cambio de las variables de estado, llamadas flujos. El modelador debe de encajar los niveles con los flujos responsables del cambio de los mismos construyendo subsistemas por los que circula un flujo continuo de una misma materia desde un nivel a otro o entre un nivel y un sumidero o fuente. A estos subsistemas, en los que la variación en un nivel se produce a expensas de una variación opuesta en otro nivel la cuál está regulada por flujos que a modo de válvulas controlan el fluir de una magnitud entre niveles, les llamamos subsistemas conservativos. El modelador debe, además, buscar los lazos de realimentación que definen los valores de las variables de flujo en función de los niveles y las tomas de información que relacionan entre sí los diversos subsistemas conservativos del modelo. A continuación debe de precisar las relaciones entre las variables las cuales se establecerán mediante ecuaciones o relaciones funcionales de naturaleza experimental o hipotética. Las

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ecuaciones para los niveles resultan inmediatas de establecer por cuanto suponen la integración de los flujos que les afectan a partir de un determinado valor inicial. Para escribir las ecuaciones de los flujos el modelista se valdrá de ecuaciones auxiliares con idea de documentar la dependencia de los flujos respecto de los niveles. Deberán, también, especificarse valores de los parámetros.

Bibliografía Business Dynamics John D. Sterman, MacGraw-Hill, 2000. Modelling the Environment Andrew Ford, Island Press, 1999. Introduction to computer simulation: a system dynamics modelling approach N. Roberts et al., Addison Wesley, 1983. Dinámica de Sistemas J. Aracil y A. Gordillo, Alianza Universidad, 1997. World Dynamics J.W. Forrester-Mit Press, 1974. Software project dynamics; an integrated approach T.Abdel-Hamid y S.E. Madnick-Prentice Hall 1991. Software para Dinámica de Sistemas: Vensim Ventana Systems,Inc., Harvard, Massachusetts.

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Construyendo modelos

Ejercicio 1 Construye un diagrama de flujo (representación de Forrester) y escribe ecuaciones que se ajusten al contenido semántico que representa cada uno de los siguientes diagramas causales. Simula cada modelo pero, antes de ver el resultado, dibuja en una hoja de papel lo que esperas que ocurra. Familiarízate con Vensim.

a)

precio + + cambio en el precio + tasa de inflación

b)

temperatura habitación temperatura café -

+ diferencia de temperaturas

+ cambio temperatura +

constante café

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c)

alimento normal per cápita

tasa de mortalidad -

-

+

disponibilidad de alimento muertes

+

+ -

+ alimento per cápita

población

+

-

producción anual de alimento + nacimientos +

tasa de nacimiento

Ejercicio 2 Mientras haya oportunidades de empleo en un núcleo urbano gente se ve atraída hacia el lugar. El crecimiento de la población, debido a la inmigración, tiende a producir un incremento en el volumen de negocios dentro del área. La expansión económica adicional crea oportunidades de empleo adicionales. Mientras dura el crecimiento económico, el crecimiento de la población tiende a producir un crecimiento de casas a ritmo elevado para poder acomodar a toda la población. Suponiendo que sólo se dispone de una extensión fija de terreno para uso comercial y de viviendas el incremento de casas y locales comerciales hace que disminuya el terreno para la posible expansión comercial del área. Conforme la falta de terreno comienza a dificultar el crecimiento, las oportunidades de empleo disminuyen. La disminución de oportunidades de empleo detiene la inmigración y el incremento de la población se frena. Se pide: Medita y construye un diagrama de flujo y ecuaciones. Dibuja la evolución temporal esperable.

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Ejercicio 3

Se trata de estudiar la conservación de una determinada población de ballenas sometida a una extinción importante por acción de la pesca. Si la población se encuentra por debajo de un cierto umbral se tiene una situación de subpoblación. En esas condiciones las tasas de nacimiento bajan debido a que por la falta de densidad es difícil que se encuentren parejas, falta de protección para las crías etc. Si la población se encuentra por encima de otro umbral máximo se tiene una situación de superpoblación que determina problemas de densidad relativamente elevada, por lo que los nacimientos totales tienden a estabilizarse mientras que las tasas de mortalidad tienden a aumentar. Se supone que la mortalidad debida a la pesca es proporcional a la población total, pero que debido al aumento de eficacia en la tecnología pesquera los sistemas de detección cada vez más sofisticados pueden ir aumentando la constante de proporcionalidad.

Se pide:

¿ Qué salida esperas obtener del ordenador? Dibújala.

1. Diagrama de flujo y ecuaciones. Se supone que podrás acceder a la información que necesites. No obstante, a falta de información exacta procura inventarte unos valores razonables para los parámetros que necesites.

2. Si un año especialmente adverso muriesen un numero importante de ballenas, sea por motivos naturales o por fortuna de la flota pesquera, ¿ qué pasaría? Dibújalo y compruébalo en la máquina.

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Ejercicio 3. Ballenas

Densidad de referencia nacimientosfun

muertesfun

Densidad relativa Efecto en muertes

Efecto en nacimientos

Extension

Densidad

Tasa de nacimientos

Tasa de muertes

Tasa normal nacimientos

Tasa normal muertes Ballenas Nacimientos

Muertes Catastrofe

Ballenasini

Pesca

Constante de pesca

activador pesca

Graph for Ballenas 4M 123 12

3M

3 3

3

1 2

3

2

2M

3

2

3

2

1

1M

2

1 1

2

2

1

1880

Ballenas : pesca08 Ballenas : pesca06 Ballenas : pesca03

1

1910 1940 Time (a単os) 1 2

1 2

3

1 2

3

2

1 2

3

1 2

3

1

1

1970

3

2000 ballenas ballenas ballenas

activador pesca= STEP(1,1870) Units: **undefined** Ballenas = INTEG(+Nacimientos-Muertes-Pesca,Ballenasini)

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2

1

0 1850

3

3

2

1

3

3

3


Units: ballenas Ballenasini= 3.1821e+006 Units: ballenas Catastrofe= (1/TIME STEP)*PULSE(1940,TIME STEP) Units: ballenas/año Constante de pesca= 0.03 Units: uno/año Densidad= Ballenas/Extension Units: ballenas/(kmetro*kmetro) Densidad de referencia= 0.01 Units: ballenas/(kmetro*kmetro) Densidad relativa= Densidad/Densidad de referencia Units: adimensional

Efecto en muertes = muertesfun(Densidad relativa) Units: **undefined** Efecto en nacimientos = nacimientosfun(Densidad relativa) Units: **undefined** Extension= 1e+008 Units: kmetro*kmetro FINAL TIME = 2000 Units: años INITIAL TIME Units: años

= 1850

Muertes= Ballenas*Tasa de muertes+0.4*Ballenas*Catastrofe Units: ballenas/año muertesfun( [(0,0)(4,5)],(0,1),(0.5,1),(1,1),(2,1),(2.22356,1.09649),(2.41692,1.25),( 2.54985,1.42544),(4,5)) Units: adimensional Nacimientos = Ballenas*Tasa de nacimientos Units: ballenas/año nacimientosfun( [(0,0)(4,2)],(0,0.5),(0.108761,0.719298),(0.217523,0.877193),(0.338369,0.964 912

18


),(0.5,1),(2,1),(2.18731,0.982456),(2.3565,0.938596),(2.53776,0.868421 ),(2.70695 ,0.798246),(4,0.25)) Units: adimensional Pesca Units: **undefined** SAVEPER = 1 Units: años Tasa de muertes = Efecto en muertes*Tasa normal muertes Units: uno/año Tasa de nacimientos =Efecto en nacimientos*Tasa normal nacimientos Units: uno/año Tasa normal muertes= 1/70 Units: uno/año Tasa normal nacimientos= 1/14 Units: uno/año TIME STEP = 0.0625 Units: años

Graph Lookup - nacimientosfun

Graph Lookup - muertesfun 5

2

0

0 0

4

19

0

4


Ejercicio 4 Introducción de un producto en el mercado Un distribuidor de un producto mantiene una política agresiva de introducción del mismo en el mercado. Para ello destina una parte del beneficio de las ventas a incrementar el número de vendedores. Pensemos, por ejemplo, que vende ordenadores a un determinado precio que suponemos constante y que de cada ordenador vendido una parte del beneficio se destina a mantener vendedores. En conjunto, si sabemos cuál es el coste de un vendedor y sabemos en un momento dado cuántos son los pedidos totales que ha recibido la empresa sabremos cuál es el número indicado de vendedores, es decir, aquellos que pueden mantenerse de acuerdo al presupuesto de que se dispone para vendedores. El número real de vendedores tiende a ser el de vendedores indicados pero, por motivos de que hay que contratar a las personas adecuadas, se tarda un tiempo en el ajuste. Los pedidos que la empresa consigue dependen, naturalmente, del número de vendedores y de la eficacia en las ventas de estos. Por eficacia en las ventas de un vendedor entendemos el número de pedidos que es capaz de conseguir por unidad de tiempo. En general la eficacia en las ventas dependerá de factores tales como la habilidad del vendedor, la calidad del producto, los precios y la presión de la competencia etc. No obstante, a efectos de este ejercicio, supondremos todos estos factores fijos y que determinan una eficacia media idéntica para cada vendedor que tan sólo depende del plazo de entrega. El plazo nominal de entrega, y por otra parte mínimo, es dos meses. En estas condiciones un vendedor puede llegar a conseguir cerca de 40 pedidos por mes. Conforme el plazo de entrega aumenta los potenciales compradores irán redirigiendo su compra hacia productos de la competencia. Debe notarse, y esto es importante, que no se conoce nunca el plazo real de entrega. Posiblemente se le ha dicho al cliente, y de buena fe, que va a ser dos meses y luego resulta que son cuatro. Pero, el plazo de entrega que influye en la eficacia en las ventas no es el plazo real de entrega, sino el plazo conocido. El plazo de entrega se va conociendo con retraso y es este plazo conocido (el real retrasado) el responsable del cambio de actitud del potencial comprador. Conforme los vendedores consiguen pedidos, y en la medida en que no se satisfacen instantáneamente sino con un cierto retraso, estos se acumulan como pedidos pendientes. La empresa tiene una capacidad límite de distribución de 2000 unidades por mes. Mientras los pedidos a satisfacer por unidad de tiempo no excedan esta capacidad límite la empresa podrá mantener su retraso nominal de dos meses en la entrega. Si más y más pedidos deben ser satisfechos debido al aumento del número de vendedores, llegará un momento en el que, al no poder suministrar a la velocidad requerida, el plazo en la entrega aumentará. Este es de hecho el motivo del aumento del plazo, no un capricho, sino la imposibilidad de dar abasto. Supondremos un número inicial de vendedores igual a 10. Un número inicial de pedidos pendientes igual a 800. La parte del beneficio en ventas que en definitiva se destina a mantener vendedores 100 Euros. El coste total de un vendedor 2000 Euros/mes. El tiempo para que el retraso real en la entrega se llegue a conocer 6 meses. El tiempo de ajuste del número de vendedores a los que requiere el mercado 20 meses.

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Se pide: Meditar un rato sobre la estructura global que se está describiendo. ¿Qué comportamiento cabe esperar? Construye un modelo preciso. Simúlalo y estudia cómo se comporta al variar algún parámetro al que pueda ser sensible.

Introducción de un producto en el mercado.

Eficacia

Vendedores

+ +

+

Pedidos Lazo positivo de vendedores

Presupuesto

Lazo negativo de eficacia +

+

Retraso entrega

21


Tiempo de ajuste de vendedores

vendedoresini <Eficacia en las ventas>

Vendedores Contrataci贸n

Pedidos Vendedores indicados Presupuesto

Lazo positivo de vendedores

Coste por vendedor Fracci贸n destinada a vendedores

<Vendedores>

Lazo negativo de eficacia en ventas Pedidos Plazo normal Eficacia en las ventas

Pedidos entrantes Eficacia tabla Pedidos salientes

Pedidos Pendientes

Plazo conocido Flujo percepci贸n

Velocidad de entrega Tiempo de reconocimiento Plazo de entrega Entrega tabla L铆mite pendientes

22


50 150 4,000

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes 1

1

1

1

1

3 1

2

2

3

30 75 2,000

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes

2 2 3

1

3

3 3

2 3 2 3

10 0 0

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes

3

Eficacia en las ventas : Nominal 2 Vendedores : Nominal 3 3 Pedidos : Nominal

2

16

1

32 48 Time (meses)

1

2

2

2

3

3

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes

3

2

3 1

2 3

1

2

2

1

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes

64

pedidos/(persona*mes) 2 2 personas 3 pedidos/mes

1

2 3

1

30 75 2,000

1

1

2

0

50 150 4,000

2

3

3 2

2

1

2 3

3 3

10 0 0

3

pedidos/(persona*mes) personas pedidos/mes

2

1 1

3 1

2

1

0

16

Eficacia en las ventas : ajustevende 10 2 Vendedores : ajustevende 10 3 3 Pedidos : ajustevende 10

23

32 48 Time (meses)

1 2

1 2

3

2 3

2 3

64

pedidos/(persona*mes) 2 personas 3 pedidos/mes


15

11.25

2 2 1

1

2

2

Simulation 7.5 Control Paramaters

1

2

1

FINAL TIME = 72 Units: meses

1

SAVEPER = 0.0625 12 12 Units: meses

2 12

TIME 0STEP = 0.0625 Units:0meses

12

1

2 1

2

INITIAL 3.75 TIME = 0 Units: meses

12

2

1

2

1

1

12

24

******************************** .eficacia Plazo conocido : ajustevende 10 ********************************

36 Time (meses) 1

Plazo de entrega : ajustevende 10

1 2

48

1 2

1 2

60

1 2

1 2

Eficacia en las ventas = LOOKUP EXTRAPOLATE ( Eficacia tabla , Plazo conocido / Plazo normal ) Units: pedidos/(persona*mes) Eficacia tabla ( [(0,0)-(5,60)],(0,45),(0.513814,42.8873),(1,40),(1.77881,34.6479) ,(2.56129,28.3099),(5,4) ) Units: pedidos/(persona*mes) Entrega tabla ( [(0,0)-(2,4000)],(0,0),(0.8,1600),(0.92268,1788.73),(1.00515,1901.41) ,(1.18041,1971.83),(1.5,2000),(2,2000) ) Units: pedidos/mes Flujo percepci贸n = ( Plazo de entrega - Plazo conocido ) / Tiempo de reconocimiento Units: meses/mes L铆mite pendientes = 4000 Units: pedidos Pedidos = Eficacia en las ventas * Vendedores Units: pedidos/mes Pedidos entrantes = Pedidos Units: pedidos/mes Pedidos Pendientes = INTEG( Pedidos entrantes - Pedidos salientes , 800) Units: pedidos Pedidos salientes = Velocidad de entrega Units: pedidos/mes Plazo conocido = INTEG( Flujo percepci贸n , 2) Units: meses

24

2

72 meses meses


Plazo de entrega = Pedidos Pendientes / Velocidad de entrega Units: meses Plazo normal = 2 Units: meses Tiempo de reconocimiento = 6 Units: meses Velocidad de entrega = Entrega tabla ( Pedidos Pendientes / Límite pendientes ) Units: pedidos/mes ******************************** .Vendedor ******************************** Contratación = ( Vendedores indicados - Vendedores ) / Tiempo de ajuste de vendedores Units: personas/mes Coste por vendedor = 2000 Units: euros/(persona*mes) Fracción destinada a vendedores = 100 Units: euros/pedido Presupuesto = Fracción destinada a vendedores * Pedidos Units: euros/mes Tiempo de ajuste de vendedores = 20 Units: meses Vendedores = INTEG( Contratación , vendedoresini ) Units: personas Vendedores indicados = Presupuesto / Coste por vendedor Units: personas vendedoresini = 10

Units: personas

25


Ejercicio 5. Meseta Kaibab

La meseta Kaibab tiene una extensión de unos 727000 acres y está situada en la parte norte del Gran Cañón en Arizona. Con anterioridad a 1907 existía un rebaño de ciervos de aproximadamente 4000 individuos. En 1907 se estableció una recompensa por la caza de pumas, lobos y coyotes, todos ellos predadores naturales de ciervos. En un periodo de unos 15 ó 20 años hubo una aniquilación considerable de estos predadores y, consecuentemente un inmediato incremento en la población de ciervos. Para 1918 la población de ciervos había aumentado más de 10 veces. El evidente exceso de animales en la zona dio lugar a la primera de una serie de advertencias, que investigadores competentes realizaron, en el sentido de una necesidad urgente de cambiar la política de recompensas, o de llevar a cabo un rápido proceso de reducción de ciervos, sacándolos de la región. En ausencia de predación por sus predadores naturales, o por el hombre como cazador, el rebaño alcanzó 100000 individuos en 1924. Debido a la falta de comida suficiente el 60% del rebaño murió en dos inviernos sucesivos. La destrucción de tanta vegetación, debida al exceso de pastoreo, impidió la recuperación de la reserva de alimentos hasta el punto de que la muerte de nuevos animales y la reducción de la tasa de natalidad condujo a una población de la mitad de la que teóricamente podía haber sido mantenida.

26


Se pide: a) Meditar sobre el tipo de estructura que puede ser responsable del comportamiento hist贸rico observado. b) Construye un modelo de Din谩mica de Sistemas y util铆zalo para simular diversas hip贸tesis que desees estudiar.

27


Modelo Kaibab

Predadores

Ciervos

Hierba Tiempo recuperaci贸n +

<Predadores>

Ciervos

Predaci贸n

<Ciervos matados>

<Hierba> Ciervos Crecimiento ciervos Alimento per c谩pita Tasa ciervos Alimento necesario f tasa ciervo Disponibilidad alimento

28


Predadores Caza

Crecimiento predadores <Ciervos>

Extensi贸n Tasa predadores

Tasa caza

Densidad ciervos

f tasa predadores

Ciervos matados

Predadores f ciervos matados

<Disponibilidad alimento> Capacidad hierba f tiempo creci

Salud terreno Hierba comida ciervo

Tiempo crecimiento f hierba comida Pastoreo Hierba Crecimiento hierba

Efecto heladas

f heladas

<Ciervos>

Hierba

<Time>

******************************** .Ciervos ******************************** Alimento necesario = 3 Alimento per c谩pita = Hierba / Ciervos Capacidad hierba = 540000

29


Caza = Predadores * Tasa caza * STEP ( 1, 1907) Ciervos = INTEG( Crecimiento ciervos - Predaciรณn , 4000) Ciervos matados = f ciervos matados ( Densidad ciervos ) Crecimiento ciervos = Ciervos * Tasa ciervos Crecimiento hierba = Efecto heladas * ( Capacidad hierba - Hierba ) / Tiempo crecimiento

Crecimiento predadores = Predadores * Tasa predadores Densidad ciervos = Ciervos / Extensiรณn Disponibilidad alimento = Alimento per cรกpita / Alimento necesario Efecto heladas = f heladas ( Time ) Extensiรณn = 800000 f ciervos matados ( [(0,0)-(0.1,120)],(0,0),(0.01,10),(0.0181269,21.7105),(0.0283988,38.8158) ,(0.041994,66.4474),(0.0510574,82.8947),(0.0598187,92.7632),(0.0728097,98.6842) ,(0.1,100) ) f heladas ( [(1900,0)-(1950,1)],(1900,1),(1931.57,1),(1931.57,0.3),(1934,0.3) ,(1934,0.5),(1934,0.5),(1935,1) ) f hierba comida ( [(0,0)-(4,4)],(0,0),(1.00302,2),(1.29305,2.54386),(1.54683,2.84211) ,(1.71601,2.91228),(1.94562,2.98246),(2.39275,2.98246),(2.98489,2.98246) ,(4,3) ) f tasa ciervo ( [(0,-1)-(4,0.4)],(0,-1),(1,0),(1.18557,0.109155),(1.42268,0.16831) ,(1.74227,0.2),(2,0.2),(3,0.2),(4,0.2) ) f tasa predadores ( [(0,-1)-(15,0.2)],(0,-1),(3.78866,-0.243662),(4.76804,-0.104225) ,(6,0),(7.28093,0.043662),(9.02062,0.0690141),(13.6598,0.1),(15,0.1) ) f tiempo creci ( [(0,0)-(1,20)],(0,20),(0.0463918,15.6338),(0.0876289,12.2535) ,(0.154639,8.30986),(0.242268,5.91549),(0.35567,3.94366),(0.458763,2.25352) ,(0.548969,1.40845),(0.652062,1.05634),(0.744845,0.84507),(0.837629,0.56338) ,(0.93299,0.528169),(1,0.5) ) Hierba = INTEG( Crecimiento hierba - Pastoreo , 540000) Hierba comida ciervo = f hierba comida ( Disponibilidad alimento ) Pastoreo = Ciervos * Hierba comida ciervo Predaciรณn = Ciervos matados * Predadores Predadores = INTEG( Crecimiento predadores - Caza , 300) Salud terreno = Hierba / Capacidad hierba Tasa caza = 0.3 Tasa ciervos = f tasa ciervo ( Disponibilidad alimento )

30


Tasa predadores = f tasa predadores ( Ciervos matados ) Tiempo crecimiento = f tiempo creci ( Salud terreno ) TIME STEP = 0.125 ******************************** .Control ******************************** Simulation Control Paramaters FINAL TIME = 1940 INITIAL TIME = 1900 SAVEPER = TIME STEP

Graph Lookup - f tiempo creci 20

0 0

1

Tiempo de crecimiento de la hierba en funci贸n de la salud del terreno (Hierba/ Capacidad hierba). Graph Lookup - f hierba comida 4

0 0 4 Hierba comida por ciervo en funci贸n de la disponibilidad de alimento.

31


Graph Lookup - f tasa ciervo 0.4

-1 0

4

Tasa de crecimiento neto de ciervos en funci贸n de la disponibilidad de alimento.

Graph Lookup - f tasa predadores 0.2

-1 0

15

Tasa crecimiento de predadores en funci贸n de los ciervos matados por predador.

Graph Lookup - f ciervos matados 120

0 0

0.1

Ciervos matados por predador en funci贸n de la densidad de ciervos.

32


1

100,000 100 600,000 60

3

3

3

3

2

3 3

4

1 1

50,000 50 300,000 30 0 0 0 0

3 4

1

3 1

2 4

3

1 2 1 1

1

1

1905 1 Ciervos : Current 2 Predadores : Current 3 3 Hierba : Current Disponibilidad alimento : Current

2

4

2

4

2

4

2

4

2

1925 Time (a単os) 1

2

1 2

3

1 2

3 4

33

4

2

2 3

4

4

1 2

3

1 2

3 4

4

2

1935

1

4

1 2

3

2 3

4

3

3

3

4

2

1915

1

1

1

4

3 4

2


Ejercicio 6 Cortes en el suministro de heroína aumentan la delincuencia

El Diario Donostiarra 24/Enero/2001 Donostia- La próxima vez que oiga que ha habido una redada policial y que una cantidad considerable de heroína ha sido aprehendida no crea que las calles de la ciudad, su coche o su piso van a estar por ello más seguros. De hecho, un estudio reciente del tráfico de heroína en San Sebastián demuestra que cuanto más se controla el mercado de heroína resulta más probable que usted sea robado o que su casa sea desvalijada por un adicto necesitado de su dosis. El estudio, que va a hacerse público en menos de una semana, ha sido realizado por la Comisión para el estudio de las drogas dependiente de la Dirección de Sanidad del Gobierno Vasco. Dada su importancia, muy probablemente tendrá repercusiones más allá del ámbito de nuestra ciudad. Dicho estudio proporciona la primera evidencia estadística que pone en entredicho la creencia común de que un aumento de la presión policial para reducir el suministro de heroína debe conducir a una reducción de la delincuencia. Por el contrario, el estudio muestra que los embargos de heroína conducen, tan sólo, a precios más elevados y que como resultado de la subida del precio la delincuencia aumenta. Las cifras muestran que como resultado de una subida de un 10% en el precio de la heroína la delincuencia aumenta, en promedio, un 3% siendo esta cifra superior en las zonas menos céntricas de nuestra ciudad. El estudio se ha basado en un análisis de los precios de la heroína y el número de delitos relacionados con la droga a lo largo de un periodo de 40 meses desde junio de 1997 hasta setiembre de 2000. Los datos sobre precios se han obtenido de la Brigada de Narcóticos de la Ertzaintza y las estadísticas sobre delincuencia provienen de los ordenadores de la Policía Municipal de San Sebastián. La Comisión para el estudio de las drogas admite que "una comunidad que tuviera éxito en eliminar o virtualmente eliminar, su suministro de heroína podría solucionar su problema de drogo delincuencia en no mucho tiempo". No obstante, esto no se ha conseguido en ningún sitio y la policía lo que consigue es capturar grandes alijos de droga que reducen tan sólo temporalmente el suministro de heroína. "Aunque el sentir convencional mantiene que tales esfuerzos conducen a una reducción de la delincuencia", dice el estudio, algunas personas que conocen mejor el escenario de la heroína creen que ocurre precisamente lo contrario. Según ellos, "éxitos marginales en reducir el suministro de heroína conducen a mayor, no menor, índice de delincuencia". La Comisión concluye que su estudio sobre tráfico de heroína en San Sebastián "sugiere que el sentir convencional es erróneo y que la gente más familiarizada con el problema de la heroína está en lo cierto. Es decir, reducciones temporales en el suministro y en la disponibilidad de heroína no producen la reducción de delincuencia que los responsables políticos y el público en general quieren, semejantes esfuerzos producen un incremento en la delincuencia que nadie desea".

34


Basándote en la descripción anterior se desea que: a) Definas el objetivo del modelo que vas a construir estableciendo los dos modos de referencia descritos en la ficción anterior en los que se muestre la evolución temporal de las variables que consideres de interés. b) Construyas un modelo de Dinámica de Sistemas capaz de reproducir los dos modos de referencia establecidos, escribiendo ecuaciones precisas y asignando valores razonables a los parámetros utilizados. c) Utilices el modelo para estudiar diversas políticas de actuación o diversos escenarios posibles analizando los resultados obtenidos.

35


Modelo

Consumo de heroína

Activador2 Consumo promedio

<Time>Activador 1

Aprehensión Presión policial Heroina Entrada de heroina

f policia

Consumo <Adictos>

Efecto precio en entrada

Relación

Consumo por adicto

f precio en entrada Disponibilidad <Relación precio>

f consumo

Demanda Relación normal Dosis normal

36

<Adictos>


Precio de la hero铆na

Relaci贸n precio

Precio percibido

<Disponibilidad> Precio normal Efecto disponibilidad en precio

Precio Ajuste precio

Precio instantaneo f disponibilidad en precio

Tiempo ajuste precio

Adictos y delitos

<Precio>

<Dosis normal>

Dinero necesario

Dinero por delito

Heroina promedio Frecuencia de delitos <Heroina>

Capacidad soportable

<Relaci贸n normal>

Cambio adictos Adictos

<Disponibilidad> Tiempo ajuste

f ajuste

37

Delitos


Ecuaciones

******************************** Adictos y Delitos ******************************** Adictos = INTEG( Cambio adictos , 2000) Units: Adictos Cambio adictos = ( Capacidad soportable - Adictos ) / Tiempo ajuste Units: Adictos/semana Flujo de ajuste de los adictos a la capacidad soportable. Capacidad soportable = Heroína promedio / ( Dosis normal * Relación normal ) Units: Adictos Número de adictos que pueden mantenerse con normalidad con la heroína promedio. Delitos = Adictos * Frecuencia de delitos Units: Delitos/semana Dinero necesario = Dosis normal * Precio Units: Pesetas/(semana*adicto) Dinero semanal necesario para mantener su hábito por adicto. Dinero por delito = 30000 Units: Pesetas/delito Dinero que un adicto obtiene por término medio por delito. f ajuste ( [(0,0)(1,26)],(0,2),(0.0592784,6.77465),(0.113402,10.4366),(0.185567,15.0141), (0.273196,18.8592),(0.360825,21.9718),(0.443299,23.8028),(0.518041,24.6268),(0.713 918,25.3592) ,(1,26) ) Units: semanas Tabla que da el tiempo de ajuste de drogadictos en función de la disponibilidad. Frecuencia de delitos = Dinero necesario / Dinero por delito Units: Delitos/(semana*adicto) Numero de veces por semana que un adicto debe delinquir para sostener su adicción.

38


Heroína promedio = SMOOTH ( Heroína , 52) Units: Gramos Promedio a largo plazo de la heroína disponible en el mercado. Tiempo ajuste = f ajuste ( Disponibilidad ) Units: semanas

******************************** Consumo de Heroína ******************************** Activador 1 = 0 Units: adimensional Activa (1) o desactiva (0) la presión policial a largo plazo. Activador2 = 0 Units: adimensional Activa (1) o desactiva (0) la aprehensión policial puntual. Aprehensión = 0.2 * Heroína * PULSE ( 2, TIME STEP ) / TIME STEP * Activador2 Units: Gramos/semana Aprehensión policial puntual de heroína Consumo = Adictos * Consumo por adicto Units: Gramos/semana Consumo por adicto = f consumo ( Disponibilidad ) Units: Gramos/(semana*adicto) Consumo promedio = SMOOTH ( Consumo , 12) Units: Gramos/semana Consumo promediado en tres meses. Demanda = Adictos * Dosis normal Units: Gramos/semana Demanda semanal total de heroína Disponibilidad = Relación / Relación normal Units: adimensional Dosis normal = 3.5 Units: Gramos/(semana*adicto) Dosis normal media de un adicto a la semana Efecto precio en entrada = f precio en entrada ( Relación precio ) Units: adimensional Efecto del precio medio de la heroína en el suministro de heroína hacia la zona.

39


Entrada de heroína = Consumo promedio * Efecto precio en entrada * ( 1 - Presión policial ) Units: Gramos/semana f consumo ( [(0,0)(4,4)],(0,0),(0.103093,1.30986),(0.154639,1.77465),(0.247423,2.29577),(0.340206,2.66 197) ,(0.402062,2.85915),(0.463918,3.05634),(0.556701,3.23944),(0.680412,3.38028),(0.82 4742,3.4507) ,(1,3.5),(2,3.5),(3,3.5),(4,3.5) ) Units: Gramos/(semana*adicto) Tabla de consumo per cápita en función de la disponibilidad f policia ( [(0,0)(250,1)],(0,0),(53.4794,0),(75.3866,0.0246479),(89.5619,0.0598592),(106.314,0.14436 6) ,(117.268,0.323944),(125,0.5),(125.644,0.75),(247.423,0.75) ) Units: adimensional f precio en entrada ( [(0,0)(6,5)],(0.123711,0.0528169),(0.340206,0.299296),(0.634021,0.616197) ,(1,1),(1.29897,1.25),(1.79381,1.74296),(2.33505,2.25352),(2.87629,2.65845),(3.44845, 3.02817) ,(4.05155,3.23944),(4.62371,3.32746),(5.01031,3.39789),(5.98454,3.4331) ) Units: adimensional Efecto del precio en la entrada de heroína. Un precio elevado indica simultáneamente un déficit de la misma y un mercado atractivo por lo que se incrementará el flujo de entrada. Heroína = INTEG( Entrada de heroína - Consumo - Aprehensión , 28000) Units: Gramos Heroína a la venta. Presión policial = f policia ( Time ) * Activador 1 Units: adimensional Relación = Heroína / Demanda Units: semanas Relación heroína a la venta entre demanda total. Relación normal = 4 Units: semanas El tiempo que se prevé como deseable para aguantar sin nuevo suministro. Por debajo de la cantidad de heroína que permite aguantar ese tiempo el mercado empieza a alarmarse y a considerar que la heroína comienza a escasear. ********************************

40


.Precio de la heroína ******************************** Ajuste precio = ( Precio instantáneo - Precio ) / Tiempo ajuste precio Units: Pesetas/(semana*gramo) Flujo de ajuste del precio real al precio instantáneo que es el que corresponde al equilibrio para esas condiciones de mercado. Efecto disponibilidad en precio = f disponibilidad en precio ( Disponibilidad ) Units: adimensional f disponibilidad en precio ( [(0,0)(4,5)],(0,5),(0.113402,3.67958),(0.195876,2.95775),(0.412371,2.02465) ,(0.608247,1.51408),(1,1),(1.75258,0.9),(2,0.9),(3,0.9),(4,0.9) ) Units: adimensional Efecto de la disponibilidad en el precio de la heroína. El mercado no suele descender el precio cuando la disponibilidad aumenta, sí al revés. Precio = INTEG( Ajuste precio , 16000) Units: Pesetas/gramo Precio instantaneo = Efecto disponibilidad en precio * Precio normal Units: Pesetas/gramo Precio que corresponde según el mercado a la disponibilidad dada. Le llamo instantáneo en el sentido de que es el que debería ser si el mercado se ajustase instantáneamente. Pero, no lo hace, lleva un cierto tiempo que el precio sea el que corresponde. Precio normal = 16000 Units: Pesetas/gramo Precio normal de un gramo. A largo plazo, podría tomarse como un nivel. Precio percibido = SMOOTH ( Precio , 2) Units: Pesetas/gramo Promedio del valor del precio en los últimos tres meses. Relación precio = Precio percibido / Precio normal Units: adimensional Relación que nos dice si el precio está más alto o más bajo de lo normal. Tiempo ajuste precio = 1 Units: semanas El tiempo de ajuste es muy pequeño en el mercado de heroína. De hecho puede que los efectos se noten de un día para otro.

******************************** .Control ********************************

41


Simulation Control Paramaters FINAL TIME = 250 Units: semanas The final time for the simulation. INITIAL TIME = 0 Units: semanas The initial time for the simulation. SAVEPER = 0.1 Units: semanas The frequency with which output is stored. TIME STEP = 0.01 Units: semanas The time step for the simulation.

Graph Lookup - f ajuste 26

Tabla que da el tiempo de ajuste de drogadictos en funci贸n de la disponibilidad de hero铆na.

0 0

1

42


Graph Lookup - f disponibilidad en precio 5

Efecto de la disponibilidad en el precio de la heroína. El mercado no suele descender el precio cuando la disponibilidad aumenta, sí al revés.

0 0

4

Graph Lookup - f consumo 4

Tabla de consumo per cápita en función de la disponibilidad

0 0

4

43


Una aprehensi贸n aislada de hero铆na en t=2

40,000 Gramos 20,000 Pesetas/gramo 6,000 Delitos/semana

2

2

2 2

2

2 2 2

30,000 Gramos 15,000 Pesetas/gramo 4,000 Delitos/semana

2

2

2

3

3

3

2

3

3

3

3 3

1

3

1

3

3

1

3 1

1

1

1

2

2

31

31

1

2

2

1

3

2

3

1

2

3

1

1

20,000 Gramos 10,000 Pesetas/gramo 2,000 Delitos/semana 0 Heroina : Normal Precio : Normal Delitos : Normal

1

1

1

1 2

2

1 2

3

3

1 2

3

4

1 2

3

1 2

3

1

1

5

1 2

3

6

1 2

3

7 8 9 Time (semanas)

1

1

2 3

2 3

1 2

3

10

1 2

3

1 2

3

11

1 2

3

12

1 2

3

13

1 2

3

14

15

Gramos Pesetas/gramo Delitos/semana 1

2 3

Acci贸n policial intensa que imposibilita la entrada de hero铆na

40,000 60,000 20,000 2,000

4

Gramos Pesetas/gramo Delitos/semana Adictos Gramos Pesetas/gramo Delitos/semana Adictos

0 0 0 0

Gramos Pesetas/gramo Delitos/semana Adictos

4

4

4

4 4

2

2

2

2

2 2 4

1

20,000 30,000 10,000 1,000

4

1

1

1

1 1 4 1

3 2

2

2 3

3

4

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

4

3

4

3 3

1

0 Heroina : Presion Policial Precio : Presion Policial Delitos : Presion Policial Adictos : Presion Policial

25

50

1 2

1 2

3

1 2

3 4

75

3 4

1 2

3 4

1 2

3 4

1

100 125 150 Time (semanas) 1

2

1 2

3 4

3 4

44

1 2

3 4

1

4

225

250

Gramos Pesetas/gramo 3 Delitos/semana 4 Adictos 1

2 3

4

1

200

1 2

3 4

1

175

1 2

4 3

1

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