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MOMENTO LINEAR E COLISÕES

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MOMENTO LINEAR

A velocidade não especifica completamente a natureza de um movimento

Podemos utilizar a noção de momento linear (ou quantidade de movimento) para descrever a diferença entre esses dois corpos em movimento. O momento linear de um corpo de massa m em movimento com uma velocidade v é definido pelo produto da massa pela velocidade:

  p  mv

Unidade de p no SI:

1 kg m/s

é uma grandeza vetorial porque é igual ao produto da massa que é um escalar e a velocidade que é um vetor.

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O MOMENTO LINEAR DE UM SISTEMA DE N PARTÍCULAS É A SOMA VETORIAL DOS MOMENTOS LINEARES INDIVIDUAIS:

      P  p 1  p 2  ....  p N  m 1 v 1    m N v N Derivando em relação ao tempo a expressão do centro de massa:

 1 rC M  M

N

i 1

 m i ri

N

i 1

   m i v i  P  M v CM

Derivando novamente e usando a 2ª lei de Newton para um sistema de partículas:

   dP M a CM   F ( ex t )  dt    M a C M   F ( ex t )  P '

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Exemplo 2:

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Exemplo 3: Impulso numa colisão entre bolas de bilhar Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1,0 m/s.

m  0,3 kg  v  1,0 m/s A variação do momento linear da bola atingida é, em módulo:

p  mv  0,3 

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Exemplo 3: Impulso numa colisão entre bolas de bilhar Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1,0 m/s.

m  0,3 kg  v  1,0 m/s A variação do momento linear da bola atingida é, em módulo:

p  mv  0,3 1,0 m/s  0,3 kg m/s  I  que é o impulso transmitido pela bola branca na colisão.

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Exemplo 3: Impulso numa colisão entre bolas de bilhar Suponhamos que, ao ser atingida pela bola branca, uma bola de bilhar adquire a velocidade de 1,0 m/s.

m  0,3 kg  v  1,0 m/s A variação do momento linear da bola atingida é, em módulo:

p  mv  0,3 1,0 m/s  0,3 kg m/s  I  que é o impulso transmitido pela bola branca na colisão. Se o contacto dura

 t  1 0 3 s

F  Comparando

F 

p t

, a força média exercida na bola é

I t

 300 N

com a força peso das bolas

P  mg  (9,8 m/s 2 )(0,3 kg)  2,9 N

Observa-se que a força de interacção é bem maior que as forças externas

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COLISÕES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS Já vimos que as colisões, por envolverem basicamente apenas forças internas, conservam o momento linear

A energia se conserva ?

A energia total é sempre conservada

 mas pode haver transformação da energia cinética inicial (inicialmente só há energia cinética) em outras formas de energia: Energia potencial, energia interna na forma de vibrações, calor, perdas por geração de ondas sonoras, etc. Se a energia cinética inicial do sistema é totalmente recuperada após a colisão, a colisão é chamada de colisão elástica:

E (c) antes  E (c) depois caso contrário, a colisão é chamada de colisão inelástica:

E (C ) antes  E (C ) depois

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COLISÕES ELÁSTICAS NUMA DIMENSÃO

 v1a

antes:

 v2 a

m1 depois:

 v2 d

 v1d m1

Energia cinética:

m2

m2

1 1 EC  mv 2  2 2m

mv 

2

p2  2m

As equações básicas para uma colisão elástica são:

 p1 a  p 2 a  p1 d  p 2 d  2 p 22a p12d p 22d  p1 a  2m  2m  2m  2m 1 2 1 2 

 conservação de momento linear  conservação de energia cinética 9


Exemplo 4:

 colisão inelástica

 colisão perfeitamente inelástica

 colisão elástica

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Exemplo 5:

colisĂŁo perfeitamente inelĂĄstica

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Exemplo 6:

colisรฃo elรกstica

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Exemplo 5:

colisão perfeitamente inelástica

colisão elástica

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Exemplo 6: Suponha que um peixe nada em direção a outro peixe menor. Se o peixe maior tem uma massa de 5 kg e nada com velocidade de 1 m/s na direção de um peixe de 1 kg que está parado (v=0), qual será a velocidade do peixe grande logo após o almoço? Desprezamos o efeito da resistência da água.

X O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante

MV  mv  MV 'mv'  constante

(5 kg)(1 m/s)  (1 kg)(0)  (5 kg  1 kg)V ' 5 kg m/s  (6 kg)V ' 

5 kg m/s  (6 kg)V ' 

V '  (5 / 6) m/s  V ' 0.8 m/s

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ?   -------------------- (X) pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

      MV  mv  MV 'mv '  constante M=4m

m

X

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ?   -------------------- (X) pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV 'mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 ex )  (5 m)V '

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

m

X

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ?   -------------------- (X) pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV 'mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 ex )  (5 m)V '   (1 m)(-1 ex )  (5 m)V '

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

m

X

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ?   -------------------- (X) pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV 'mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (-1 e x )  (5 )V ' m

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

X

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ? -------------------- (X) O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV 'mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (-1 e x )  (5 )V '   X V '  1 / 5(e X )

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ? -------------------- (X) O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV 'mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (1 m)(-1 e x )  (5 m)V '   (-1 e x )  (5 )V '    X V '  1 / 5(e X ) V '  0,2eX (m / s )

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

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Exemplo 7: Considere agora e que o peixe grande está parado e o peixe pequeno(m) nada com uma velocidade inicial de 1 m/s na direção do peixe grande (M), vindo da direita. O que acontece ? -------------------- (X) O momento linear total antes do almoço = O momento linear total depois do almoço

     MV  mv  MV ' mv '  constante    (4 m)(0)  (1 m)(-1 m/s)e x  (5 m)V '        1ex  (5)V '  V '  (1 / 5)ex (m/s)  V '  0.20 ex (m/s)

  pantes doalmoço  pdepoisdoalmoço  constante 

M=4m

X

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O pêndulo balístico é um dispositivo usado para determinar o módulo da velocidade de uma bala de revólver ou espingarda. Ele é constituído por um grande bloco de madeira de massa M (ou uma caixa com areia dentro) pendurado por fios em um suporte. Os fios que prendem o bloco ou a caixa de areia são fios inextensíveis, flexíveis e de massa desprezável.

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Veja um exemplo: uma bala de massa m e velocidade v0 é disparada horizontalmente contra o bloco (veja na figura acima), penetrando e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). Com isso, o conjunto bala + bloco se eleva a uma altura máxima H em relação à posição de repouso (figura 2 abaixo). Conhecidos os valores de H, M, m e da aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo, faremos o inverso: daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São dados: m = 0,05 kg; M = 29,95 kg; g = 10 m/s2; v0= 600 m/s

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C A

B X

Uma bala de massa m e velocidade v0 é disparada horizontalmente contra o bloco (veja na figura acima), penetrando e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). Com isso, o conjunto bala + bloco se eleva a uma altura máxima H em relação à posição de repouso (figura 2 abaixo). Conhecidos os valores de H, M, m e da aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo, faremos o inverso: daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São dados: m = 0,05 kg; M = 29,95 kg; g = 10 m/s2; v0= 600 m/s

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X


C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg

A

m = 0,05 kg

B X

Uma bala de massa m e velocidade v0 é disparada horizontalmente contra o bloco (veja na figura acima), penetrando e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). Com isso, o conjunto bala + bloco se eleva a uma altura máxima H em relação à posição de repouso (figura 2 abaixo). Conhecidos os valores de H, M, m e da aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo, faremos o inverso: daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São dados: m = 0,05 kg; M = 29,95 kg; g = 10 m/s2; v0= 600 m/s

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C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg

A

B

X   p( sistema  ep(velocidade após) v0 é disparada horizontalmente contra o Uma bala de antes massa) m  (veja na figura  acima), penetrando  bloco e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). m.vBALA .vPendulo  +mbloco .v 'BALA M .v a' Pendulo Com isso,  oM conjunto bala seeleva uma altura máxima H em relação à

m = 0,05 kg

posição de repouso (figura 2 abaixo). Conhecidos os valores de H, M, m e da como após o choque pêndulo e bala têm igual velocidade aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo,  inverso: daremos  faremos o o valor de v0 e pediremos o valor de H. São v ' BALA  v ' Pendulo  v ' dados:  m = 0,05 kg; M = 29,95kg; g = 10  m/s2; v0= 600 m/s 

m.vBALA  M .vPendulo  m.v '  M .v ' colocando v ' em evidência    m.vBALA  M .vPendulo  v ' (m  M ) Qantes = Qdepois

como o vi = 1 m/s

pêndulo está antes em repouso m.v0 = (M+m).vi

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C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg

B

X   m.vBALA vB ' (m v0 M ) Uma bala de massa m e velocidade é disparada horizontalmente contra o bloco (veja na figura acima), penetrando   e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). 0,05bala  600 e X seveleva  29 ,95máxima ) Com isso, o conjunto + bloco uma altura H em relação à B ' (0,a05 posição de repouso (figura 2 abaixo).Conhecidos os valores de H, M, m e da  0(g), ,05épossível 600e X calcular o valor de v0. Nesse exemplo, aceleração da gravidade vB ' daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São faremos o inverso: 0,05 kg;  29 dados: m = 0,05 kg; M =(29,95 g =,95 10 )m/s2; v0= 600 m/s   30e X vB '  30   vB '  1e X (m / s )

m = 0,05 kg

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C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg m = 0,05 kg

B

  m.vBALA  vB ' (m  M )   0,05  600e X  vB ' (0,05  29,95)   0,05  600e X vB '  (0,05  29,95)   30e X vB '  30   vB '  1e X (m / s )

Em ( B)  Em (C )

X

Ec ( B )  E p ( B )  Ec (C )  E p (C ) Ec ( B )  0  0  E p (C ) Ec ( B )  E p (C ) 1 (m  M )vB2  (m  M ) gH C 2 1 2 vB  gH C 2 1 2 1  10  H C 2

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C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg m = 0,05 kg

B

  m.vBALA  vB ' (m  M )   0,05  600e X  vB ' (0,05  29,95)   0,05  600e X vB '  (0,05  29,95)   30e X vB '  30   vB '  1e X (m / s )

Em ( B)  Em (C ) Ec ( B )  E p ( B )  Ec (C )  E p (C ) Ec ( B )  0  0  E p (C )

X

Ec ( B )  E p (C ) 1 (m  M )vB2  (m  M ) gH C 2 1 2 vB  gH C 2 1 2 1  10  H C 2 1 HC  20 H C  0,05 m

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C

v0= 600 m/s

B

M = 29,95 kg

X m = 0,05 kg   p(Uma sistemabala antes )de  p(massa após ) m e velocidade v0 é disparada horizontalmente contra o        m.bloco vBALA  M .vPendulona m .v 'BALA acima), M .v 'Pendulo penetrando como após o choque pênduloalojada e bala têmnele igual (figura velocidade1v abaixo). 'BALA  v 'Pendulo  v ' (veja figura e ficando     o conjunto + bloco vse eleva a uma altura máxima H em relação à m.Com vBALA  isso, M .vPendulo  m.v '  M .vbala ' colocando ' em evidência    repouso (figura os valores m.posição vBALA  M .vde como2 oabaixo). pêndulo Conhecidos está antes em repouso de H, M, m e da Pendulo  v ' ( m  M )   aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo, m.vBALA  v ' (m  M ) faremos  o inverso: daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São 0,05  600e X  v ' (0,05  29,95) 2 dados: m =  0,05 kg; M = 29,95 kg; g = 10 m/s ; v0= 600 m/s  0,05  600e X v' (0,05  29,95)   30e X v' 30  Q = Q m.v = (M+m).v v '  1e X (m / s) antes

depois

0

vi = 1 m/s

i

30


C

v0= 600 m/s M = 29,95 kg m = 0,05 kg

B X

Uma bala de massa m e velocidade v0 é disparada horizontalmente contra o bloco (veja na figura acima), penetrando e ficando alojada nele (figura 1 abaixo). Com isso, o conjunto bala + bloco se eleva a uma altura máxima H em relação à posição de repouso (figura 2 abaixo). Conhecidos os valores de H, M, m e da aceleração da gravidade (g), é possível calcular o valor de v0. Nesse exemplo, faremos o inverso: daremos o valor de v0 e pediremos o valor de H. São dados: m = 0,05 kg; M = 29,95 kg; g = 10 m/s2; v0= 600 m/s

31


v0= 600 m/s M = 29,95 kg m = 0,05 kg

X

Vamos agora considerar o movimento de subida do conjunto bloco + bala. Para esse movimento podemos aplicar a conservação da energia mecânica:

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Exemplo 8: Pêndulo balístico  sistema para medir a velocidade de uma bala Colisão totalmente inelástica:

m v1 a  ( m  M ) v d 

m vd  v1 a mM

v

m+M M

m

y

Há conservação de energia mecânica após a colisão  a energia cinética depois da colisão se transformou em energia potencial depois do colisão:

EC (d )  E p (d )  Então:

v1 a 

mM m

1 (m  M ) vd2  m  M  gh  vd  2 gh 2

2 gh

m  10 g

Numericamente, se: M  4 kg h  5 cm

v1a 

4,01  2  9,8  0,05 m/s  400 m/s  1400 km/h 0,01 34


Determinação do valor da velocidade relativa entre dois corpos. Coeficiente de restituição. Colisões elásticas, inelásticas e colisões completamente inelásticas.

35


Determinação do valor da velocidade relativa entre dois corpos. Coeficiente de restituição. Colisões elásticas, inelásticas e colisões completamente inelásticas.

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p p

37


Um ponto material de massa 0,2Kg, possui, num certo instante, velocidade v de módulo igual a 10 m/s, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Determine, nesse instante, o módulo, a direção e o sentido da quantidade movimento do ponto material.

p X

38


Um ponto material de massa 0,20Kg, possui, num certo instante, velocidade v de módulo igual a 10 m/s, direção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Determine, nesse instante, o módulo, a direção e o sentido da quantidade movimento do ponto material.

p X

  p  mv   p  0,2 10eX   p  2,0eX ( Kg .m / s)

39


Um ponto material de massa 0,2Kg, possui, num certo instante, velocidade v de módulo igual a 10 m/s, direcção horizontal e sentido da esquerda para a direita. Determine, nesse instante, o módulo, a direcção e o sentido da quantidade movimento do ponto material.

p

p

p 40


É dada a função horária da velocidade v=10+5t(SI), de um ponto material de massa m=2,0 Kg. Determine, o módulo da quantidade de movimento no instante 3 segundos.

41


É dada a função horária da velocidade v=10+5t(SI), de um ponto material de massa m=2,0 Kg. Determine, o módulo da quantidade de movimento no instante 3 segundos.

v  10  5t v  10  5  3 v  10  15 v  25m / s 42


É dada a função horária da velocidade v=10+5t(SI), de um ponto material de massa m=2,0 Kg. Determine, o módulo da quantidade de movimento no instante 3 segundos.

v  10  5t

p  mv

v  10  5  3

p  2,0  25

v  10  15 v  25m / s

p  50kg  m / s

43


A quantidade de movimento de um ponto material de massa 0,2 Kg tem mĂłdulo igual a 0,8 Kg.m/s. Determina a sua energia cinĂŠtica.

44


A quantidade de movimento de um ponto material de massa 0,2 Kg tem módulo igual a 0,8 Kg.m/s. Determina a sua energia cinética.

p  mv 0,8  0,2  v 0,8 v 0,2 v  4m / s 45


A quantidade de movimento de um ponto material de massa 0,2 Kg tem módulo igual a 0,8 Kg.m/s. Determina a sua energia cinética.

1 2 p  mv Ec  mv 2 0,8  0,2  v 1 2 0,8 Ec   0,2  4 v 2 0,2 Ec  0,116 v  4m / s Ec  1,6 J 46


TPC ex 15, 16 pรกgina 105 47


Uma peça de artilharia de massa 2,0 toneladas dispara uma bala de 8,00 Kg. A velocidade do projéctil no instante em que abandona a peça é de 250 m/s. Calcule a velocidade de recuo da peça, desprezando a acção de forças externas.

48


Uma peça de artilharia de massa 2,0 toneladas dispara uma bala de 8,00 Kg. A velocidade do projéctil no instante em que abandona a peça é de 250 m/s. Calcule a velocidade de recuo da peça, desprezando a acção de forças externas.

49


Uma peça de artilharia de massa 2,0 toneladas dispara uma bala de 8,00 Kg. A velocidade do projéctil no instante em que abandona a peça é de 250 m/s. Calcule a velocidade de recuo da peça, desprezando a acção de forças externas.

  p(antes )  p(após)     M  vP  m  vB  M  v ' P  m  v ' B

50


Uma peça de artilharia de massa 2,0 toneladas dispara uma bala de 8,00 Kg. A velocidade do projéctil no instante em que abandona a peça é de 250 m/s. Calcule a velocidade de recuo da peça, desprezando a acção de forças externas.

  p (antes )  p(após )     M  vP  m  vB  M  v ' P  m  v ' B     0  0  2000  v ' P 8,0  250ex   2000  v ' P  8,0  250ex   8,0  250  v 'P  ex 2000   v ' P  1,0ex (m / s ) 51


52


53


54


55


Coeficiente de restituição

Módulo da velocidade relativa antes do choque

Módulo da velocidade relativa após o choque

56


Determina o valor do coeficiente de restituição

57


Determina o valor do coeficiente de restituição

58


59


60


61


62


63


64


0 m/s 0 m/s

65


66


67


A quantidade de movimento conserva-se em todos os casos 68


69


70


71


TPC ex 15, 16 pรกgina 105 72


73


O máximo afastamento da posição de equilíbrio é igual à amplitude do corpo e ocorre quando a função seno toma o valor de 1 valor máximo da função, a equação do movimento vem então: Y=4,0x10-2x1 (m)

74


O número de oscilações descritas num segundo equivale à frequência para obter o número de oscilações por minuto basta multiplicar por 60 Como obter o número de oscilações por segundo ou frequência ?

75


  2f  f  2  O número de oscilações descritas num segundo equivale à frequência para obter o número de oscilações por minuto basta multiplicar por 60 Como obter o número de oscilações por segundo ou frequência ?

f  3 2

f  3 2 1

 f  6

1 f  Hz 6

76


  2f  f  2  O número de oscilações descritas num segundo equivale à frequência para obter o número de oscilações por minuto basta multiplicar por 60 Como obter o número de oscilações por segundo ou frequência ?

1 O número de oscilações por min uto  60   10 oscilações por min uto 6

f  3 2

f  3 2 1

 f  6

1 f  Hz 6

77


f 

1 Hz 6

4,0

-4,0

78


f 

1 Hz 6

4,0 A distância s percorrida pelo oscilador num período será

s =4A

s =4x4,0x10-2 s =1,6x10-1 (m) -4,0

79

11 momento linear4 pendulo balistico moodle  
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