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ESTRATEGIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE DESIGUALDADES 1) Un número real a es mayor o igual que otro b cuando a-b es mayor o igual que 0. El cuadrado de un número cualquiera es siempre mayor o igual que 0. 2) Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma un número cualquiera, la desigualdad se mantiene. a ≤ b ⇒ a + k ≤ b + k ∀k ∈ R 3) Si se suman miembro a miembro dos desigualdades, esta se mantiene: a ≤ b ⇒ a+c ≤b+d c ≤ d 4) Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un número positivo, esta se mantiene y si se multiplican por un número negativo, esta cambia de sentido.

a ≤ b ⇒ ak ≤ bk ∀k ≥ 0 a ≤ b ⇒ ak ≥ bk ∀k ≤ 0 En particular, si se cambian de signo los dos miembros de una desigualdad, esta cambia de sentido. 5) En una desigualdad de números positivos, si estos se invierten, la desigualdad cambia de sentido. 1 1 Si a, b > 0. a ≤ b ⇒ ≥ a b 6) Son muy importantes las desigualdades entre las medias de varios números reales. Sean a1, a2 , a3........, an, n números reales. Se definen las siguientes medias:

a1 + a 2 +...... + a n n

La media Aritmética: A(n) =

La media Geométrica: G ( n) = n a1 ⋅ a 2 ⋅ a3 ......a n Sólo para números positivos. La media Armónica: H (n) =

n 1 1 1 + + ...... a1 a 2 an

a1 + a 2 +...... + a n n 2

La media Cuadrática: Q(n) =

Sólo para números no nulos.

2

2

Se verifican las siguientes desigualdades: H(n) ≤ G(n) ≤ A(n) ≤ Q(n) Sólo son válidas las igualdades cuando: a1= a2 = a3=.......= an


7) Las desigualdades pueden utilizarse para obtener los valores máximo y mínimo de una función. Si F ≤ k (constante ) , el valor máximo de F es k. Si F ≥ k (constante ) , el valor mínimo de F es k

8) Las desigualdades de las medias, a veces se utilizan para resolver ecuaciones. Si se verifica una determinada desigualdad entre algunas de las medias, la igualdad (ecuación) sólo es válida cuando todos los números que intervienen en las medias, son iguales. 9) Desigualdad de Cauchy-Schwarz: Sean a1, a2 , a3........, an y b1, b2 b3........,bn números reales, se verifica:

(a1b1 + a 2 b2 + ......a n bn )2 ≤ (a12 + a 2 2 + ...... + a n 2 )⋅ (b12 + b2 2 + ...... + bn 2 ) En particular se verifica:

(ab + ac + bc )2 ≤ (a 2 + b 2 + c 2 )

2

⇒ ab + ac + bc ≤ a 2 + b 2 + c 2

La igualdad se verifica cuando ai=λbi con λ ∈ R y ∀i = 1,2,.....n 10) Sean a1, a2 , a3........, an y b1, b2 b3........,bn , dos sucesiones de números reales, ambas crecientes ó ambas decrecientes. Se verifica:

a1 + a 2 + ....an b1 + b2 + ...bn a1b1 + a 2 b2 + ...a n bn ⋅ ≤ ⇔ n n n (a1 + a 2 + ....a n )(b1 + b2 + ...bn ) ≤ a1b1 + a 2 b2 + ...a n bn La igualdad se verifca cuando ambas sucesiones son constantes. 11) Desigualdad de Jensen. Si x e y son números reales con x<y, cualquier punto del segmento de extremos x e y, se puede escribir: x+t(y-x)=(1-t)x+ty; con 0<t<1. Una función f : R → R se dice que es convexa si para cualquier par de puntos x,y ∈ R , se verifica: f ((1 − t ) x + ty ) ≤ (1 − t ) f ( x) + tf ( y) Si f es una función convexa en R, x1,x2...xn ∈ R y r1,r2...rn números reales positivosverificando: r1+r2...+rn =1. Entonces: f (r1 x1 + r2 x 2 + .....rn x n ) ≤ r1 f ( x1 ) + r2 f ( x 2 ) + ......rn f ( x n ) 12) Desigualdad de Hölder. Es una generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sean a1, a2 , a3........, an y b1, b2 b3........,bn números reales no negativos, entonces:


a1b1 + a2 b2 + ....an bn

≤ (a

1

p

+ a2 + ....an p

Siendo p y q números mayores que 1, tales que

) (b

1 p p

q

1

+ b2 + ....bn q

)

1 q q

1 1 + =1 p q

PROBLEMAS SOBRE DESIGUALDADES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS Ejemplo nº 1.desigualdades: 2 1 1 + a b

Si a y b son dos números positivos, demuestra las siguientes

( M . Arm.) ≤ ab ( M .Geo.) ≤

a+b ( M . Arit.) ≤ 2

a2 + b2 ( M .Cua.) 2

Indicación Al ser

(

a− b

)

2

≥ 0 . Se deduce (M.Geométrica ≤ M. Aritmética).

Al ser ( a − b) ≥ 0 ⇒ 2a + 2b ≥ (a + b) ⇒ 2

Al ser

2

2

2

a2 + b2 a + b ≥ 2 2

a+b 2 1 ab 2ab 2 ≥ ab ⇒ ≤ = ⇒ ≤ ab ⇒ ≤ ab 1 1 2 a+b ab a+b ab + a b

Ejemplo nº 2.- Demostrar que para todo x real se verifica x2-6x+13 ≥4 Indicación Pasa todo al primer miembro y expresa este como un cuadrado. También puede hacerse utilizando la gráfica de una parábola. Ejemplo nº 3.- Demostrar que ∀x ∈ R se verifica

x2 + 2 x2 +1

≥2

Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para

x2 +1 x2 +1

Ejemplo nº 4.- Probar que x 3 + y 3 + z 3 ≥ 3 xyz ∀x, y, z ∈ R Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para x3, y3, z3

y

1 x2 +1


Ejemplo nº 5.- Probar que si a1, a2,........, an son todos positivos y a1a2....... an=1, se verifica que a1+ a2+........+an>n Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica y ten en cuenta cuando es válida la igualdad.

Ejemplo nº 6.- Probar que

yz zx xy + + ≥ 3 ∀x, y, z ≥ 0 x2 y2 z2

Indicación Quita denominadores y piensa en la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.

Ejemplo nº 7.- Probar que (a + b )(b + c )(a + c ) ≥ 8abc ∀a, b, c ≥ 0 Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para a y b; a y c; b y c. Multiplica miembro a miembro las tres desigualdades anteriores. Ejemplo nº 8.- Probar que si θ es un ángulo agudo, entonces tag θ +cotag θ ≥2. ¿Qué ocurre con tag θ +cotag θ para los demás valores de θ ? Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica.

 n + 1 Ejemplo nº 9.- Probar que ∀n > 1 ⇒ n!<    2 

n

Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica para los números 1,2,3...,n que son diferentes.

Ejemplo nº 10.- Encontrar el valor mínimo de x+y+z, sabiendo que x2y3z=108 y x,y,z ≥ 0 . ¿Para qué valores se obtiene este mínimo? Indicación x x y y y , , , , , z es menor o igual que la aritmética. Deduce 2 2 3 3 3 que el valor mínimo es 6. La igualdad se obtiene para x=2,y=3,z=1. La media geométrica de

Ejemplo nº 11.- Encontrar el volumen de una caja rectangular en términos de las áreas x,y,z de las tres caras diferentes que coinciden en un vértice. Suponer que la caja está cerrada. Probar que para una superficie dada A, el volumen V es el mayor posible cuando la caja es un cubo.


Indicación Si las aristas son a, b y c ⇒ xyz=a b c y en consecuencia V= xyz . La media geométrica de x, y, z es menor o igual que la aritmética y el valor máximo es A A V= que se obtiene cuando x=y=z, es decir en una caja cúbica. 6 6 2 2 2

Ejemplo nº 12.- Probar que de todos los triángulos con perímetro P el que tiene mayor área es el equilátero. Indicación Si p es el semiperímetro, el área es: A= p( p − a)( p − b)( p − c) (Fórmula de Herón) La media geométrica de p-a, p-b y p-c es menor o igual que la aritmética y el valor p2 máximo es A= . La igualdad e válida cuando p-a = p-b = p-c, es decir cuando el 3 3 triángulo es equilátero.

Ejemplo nº 13.- Demostrar que ∀ x, y , z ∈ R , x2+y2+z2 ≥ xy+yz+xz Indicación Utiliza la desigualdad entre las medias cuadrática y aritmética de x,y,z. Ejemplo nº 14.- Halla todas las ternas (x,y,z) de números reales que son solución de la ecuación:

(

)

(

)

(

)

(

)

3x 5 y + 7 z + 5 y 3x + 7 z + 7 z 3x + 5 y = 2 3x + 5 y + 7 z (Extremadura 2.008)

Indicación Aplica la desigualdad entre la media aritmética y geométrica a los números: 5y + 7 z 3x + 7 z 3x + 5 y x x z 3 y ;5 y ; 7 y por separado y suma miembro a miembro. 2 2 2 Ten en cuenta que la igualdad se verifica cuando los números son iguales. x lg 3 x lg 3 ; z= ∀x ∈ R La solución es: 3 x = 5 y = 7 z ⇒ y = lg 5 lg 7

Ejemplo nº 15.- Demostrar que si a1, a2,........, an son números reales positivos, se verifica:

1 1 1 (a1 + a 2 + .......a n ) + + ..... + an  a1 a 2

  ≥ n 2  (Fase Nacional 1.980)

Indicación Ten en cuenta que la media armónica es menor o igual que la media aritmética.


Ejemplo nº 16.- Sean P y Q los polinomios P=x3+ax2+bx+c y Q= x3+Ax2+Bx+C. Si las tres raíces de P son positivas y las de Q son inversas de las de P, demuestra que aA>9 y bB>9. (Fase de Distrito 2.004) Indicación Aplica las relaciones de Cardano en P y Q para demostrar que aA=bB. Utiliza la desigualdad entre la media armónica y la aritmética. z2 2 2 Ejemplo nº 17.- Sea f(x,y,z)= x + y + . Hallar su valor mínimo sabiendo que 2 x+y+z=10. ¿Para qué valores se obtiene este mínimo? Indicación

(

)

z   Aplica la desigualdad de Cauchy-Schwarz a las ternas  x, y ,  y 1,1, 2 y ten en 2  cuenta cuando se verifica la igualdad.

Ejemplo nº 18.- Demostrar la desigualdad de Nesbitt: a b c 3 + + ≥ b+c a+c b+a 2 Indicación Si llamas s=a+b+c, se puede escribir la fracción

a s = − 1 y de forma similar las b+c b+c

otras dos fracciones. 1 [(a + b ) + (a + c ) + (b + c )] . De todo ello se deduce: 2 a b c 1 1 1   1 + + = [(a + b ) + (a + c ) + (b + c )] ⋅  + + −3 b+c a+c a+b 2 a+b a+c b+c

Ten en cuenta que: s = a + b + c =

La media armónica es menor o igual que la media aritmética.

Ejemplo nº 19.- Sean a, b y c números positivos. Demostrar que: a + b + 3c a + 3b + c 3a + b + c 15 + + ≥ 3a + 3b + 2c 3a + 2b + 3c 2a + 3b + 3c 8 (Fase Nacional 2.010) Indicación 7 c a + b + 3c s + 2c 1 3 Si llamas s=a+b+c, se puede escribir la fracción y de = = + 3a + 3b + 2c 3s − c 3 3s − c forma similar las otras dos fracciones. c b a 3 Sustituyendo cada fracción, hay que demostrar: + + ≥ 3s − c 3s − b 3s − a 8 c 3s La fracción y de forma similar se expresan las otras dos fracciones = −1 + 3s − c 3s − c del primer miembro de la desigualdad. Ten en cuenta la desigualdad entre las medias aritmética y armónica de los números:


3s-a; 3s-b y 3s-c.

Ejemplo nº 20.- Sea P un punto interior a un triángulo ABC. Por P se trazan paralelas KP, MP y NP a los lados AB, AC y BC que dividen al triángulo inicial en tres triángulos y tres paralelogramos. Sean S1, S2 y S3 las áreas de los nuevos triángulos y S el área del triángulo ABC. Probar que: S ≤ 3(S1+ S2+ S3) (Extremadura 2.006) Indicación Los triángulos que se forman al trazar las paralelas son semejantes al inicial. La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza, basándote en ello, prueba que:

S1 + S 2 + S 3 S

=1⇔

S1 + S 2 + S 3 = S

Utiliza la desigualdad entre la media aritmética y la cuadrática para los números: S1 , S 2 y S 3


Desigualdades