Page 1

www.vntoanhoc.com

Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x

Heä quaû: lim

sin u(x) =1 u(x)®0 u(x)

u(x) =1 u(x)®0 sin u(x)

ln(1 + x) =1 x® 0 x

lim

lim

lim

x

æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R x ®¥ è xø 1

Heä quaû: lim (1 + x) x = e. x®0

lim

ex - 1 =1 x® 0 x

2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' 1 æ1ö ç ÷' = - 2 èxø x ( x )' = 1 2 x x (e )' = ex

u' æ1ö ç ÷' = - 2 u èuø ( u ) ' = u' 2 u u (e )' = u'.e u

(ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u ' 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' (tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u' 2 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u' 2 2 sin x sin u 3. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)

Trang 1


www.vntoanhoc.com

Tích phaân

Traàn Só Tuøng

NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát:

ò f(x)dx = F(x) + C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · · · ·

( ò f(x)dx ) ' = f(x)

ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C

(u = u(x))

4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: ·

Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.

Trang 2


www.vntoanhoc.com

Traàn Só Tuøng

Tích phaân

BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x))

ò dx = x + C

ò du = u + C

x a+1 ò x dx = a + 1 + C

(a ¹ -1)

ua+1 ò u du = a + 1 + C

dx = ln x + C x

(x ¹ 0)

ò

a

ò

ò e dx = e x

x ò a dx =

x

du = ln u + C u

ò e du = e u

+C

ax +C ln a

(a ¹ -1)

a

u ò a du =

(0 < a ¹ 1)

u

(u = u(x) ¹ 0)

+C

au +C ln a

(0 < a ¹ 1)

ò cos xdx = sin x + C

ò cos udu = sin u + C

ò sin xdx = - cos x + C

ò sin udu = - cos u + C

dx 2 ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C

du 2 ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C

dx

ò sin

2

x

= ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C

dx = x +C x

ò2

du

ò sin

2

du = u +C u

ò2

(x > 0) 1

ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

(a ¹ 0)

1 sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a

(a ¹ 0)

dx

1

ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò

ax + b

u

= ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C

1 dx = eax + b + C a

(a ¹ 0)

dx 2 = ax + b + C ax + b a

(a ¹ 0)

Trang 3

(u > 0)


www.vntoanhoc.com

Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x 2 + a) vôùi a > 0 1

laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

x2 + a

treân R.

Giaûi: Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' =

(x + x 2 + a)' x + x2 + a

2x

1+

2 x2 + a x + x2 + a

= =

x2 + a + x x 2 + a(x + x 2 + a)

=

Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. ìïex Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2 ïî x + x + 1

khi x ³ 0 khi x < 0

ìex khi x ³ 0 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R. 2x + 1 khi x < 0 î Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù: ìe x khi x > 0 F '(x) = í î2x + 1 khi x < 0 b/ Vôùi x = 0, ta coù: Trang 4

1 x2 + a

= f(x)


www.vntoanhoc.com

Traàn Só Tuøng

·

Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F '(0 - ) = limx®0

·

Tích phaân

F(x) - F(0) x 2 + x + 1 - e0 = lim= 1. x ®0 x-0 x

Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F '(0 + ) = lim+ x®0

F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = 1. x®0 x-0 x

Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1. ìe x khi x ³ 0 Toùm laïi: F '(x) = í = f(x) î2x + 1 khi x < 0 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Þ giaù trò cuûa tham soá. íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG ·

Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C

·

Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.

Trang 5


www.vntoanhoc.com

Tích phaân

Traàn Só Tuøng

ìx2 khi x £ 1 Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) = í îax + b khi x > 1 ì2x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í î2

khi x £ 1 khi x > 1

treân R.

Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: ì2x khi x < 1 a/ Vôùi x ¹ 1 , ta coù: F '(x) = í î2 khi x > 1 b/ Vôùi x = 1, ta coù: Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do ñoù : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a (1) x ®1

x ®1

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. F'(1) = lim x ®1

f(x) - F(1) x2 - 1 = lim= 2. x ®1 x - 1 x -1

· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. F '(1+ ) = lim+ x ®1

F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1 = lim+ = lim+ = a. x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1

Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2.

(2)

Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x laø moät nguyeân haøm cuûa F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R. Giaûi: Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = éë-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R Û F '(x) = f(x), "x Î R Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R ìa = 1 ìa = 1 ï ï Û ía - b = 4 Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = 2 î î Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x .

Trang 6


Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Tích phaân For Evaluation Only.

www.vntoanhoc.com

Traàn Só Tuøng

BAØI TAÄP æ x pö Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

1 . cos x

ì ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x ï0 ,x = 0 î ì 2 ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï 2 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2 ï1 ,x=0 î Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R. ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Baøi 4. a/

Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) =

b/

Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2

ÑS: a/ F(x) = Baøi 5. a/

x 3 + 3x 2 + 3x - 7 vaø F(0) = 8. (x + 1)2

x2 8 +x+ ; 2 x +1

x æ pö p vaø F ç ÷ = . 2 è2ø 4

1 b/ F(x) = (x - sin x + 1) 2

Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) =

b/

20x 2 - 30x + 7 æ3 ö treân khoaûng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - 3

Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0.

ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1;

b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22.

www.vntoanhoc.com

Trang 7


Edited by Foxit Reader Copyright(C) by Foxit Software Company,2005-2008 Traàn Só Tuøng For Evaluation Only.

Tích phaân

Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG

CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

1

ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C vôùi a ¹ 0.

Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì

Giaûi: 1 Ta luoân coù: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) vôùi a ¹ 0. a AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc:

1

1

ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) .

Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp:

ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/

3 ò (2x + 3) dx

b/ ò cos4 x.sin xdx

c/ ò

2e x dx ex + 1

d/ ò

(2 ln x + 1)2 dx x

Giaûi: 1 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 3 +C= + C. a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = . 2 2 4 8 3

b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = c/ Ta coù:

cos5 x +C 5

2ex d(ex + 1) x dx = 2 ò ex + 1 ò ex + 1 = 2 ln(e + 1) + C

(2 ln x + 1)2 1 1 d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C. x 2 2 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/

ò 2sin

2

x dx 2

b/ ò cot g2 xdx

c/ ò tgxdx Giaûi:

a/ Ta coù: ò 2sin 2

x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C 2

æ 1 ö b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò

sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x

Trang 8

d/ ò

tgx dx cos3 x


Traàn Só Tuøng

d/ Ta coù:

Tích phaân

tgx

ò cos

3

x

dx = ò

sin x d(cos x) 1 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C. 4 4 cos x cos x 3 3cos3 x

Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/

x

ò 1 + x dx 2

b/

òx

2

1 dx - 3x + 2 Giaûi:

a/ Ta coù:

x 1 d(1 + x 2 ) 1 dx = = ln(1 + x 2 ) + C 2 ò 1 + x2 ò 2 1+ x 2

b/ Ta coù:

òx

1 1 1 ö æ 1 dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) è x - 2 x -1 ø

2

= ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln

x-2 + C. x -1

BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x) = cos2 ; b/ 2 ÑS: a/

1 (x + sin x) + C ; 2

f(x) sin 3 x. 1 - cos x + cos3 x + C. 3

b/

Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/

ò e (2 - e

d/

e2-5x + 1 ò ex dx;

x

-x

)dx; b/ e/

ÑS: a/ 2e - x + C; x

d/

ex ò 2x dx ;

c/

2 2x.3x.5x ò 10x dx .

ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x

b/

1 - e2-6 x - e- x + C; e/ 6

c/

6x +C ln 6

ln(ex + 2) + C .

Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/

ò

d/

ò (1 - 2x)

x 4 + x -4 + 2 dx ; 2001

dx; e/

x3 1 ÑS: a/ - + C; 3 x d/

ò

b/

ò

3

x 5 x dx ; c/

òx

x 2 + 1 dx ;

3 - 4 ln x dx x 55 7 x + C; 7

b/

1 (1 - 2x)2002 - . + C; 2 2002 Trang 9

e/

c/

1 2 (x + 1) x 2 + 1 + C ; 3

1 (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C. 6


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng mình töø moät vaøi minh hoaï sau: ·

Vôùi f(x) = (x 3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x 6 - 4x 3 + 4.

·

Vôùi f(x) =

x 2 - 4x + 5 2 thì vieát laïi f(x) = x - 3 + . x -1 x -1

·

Vôùi f(x) =

1 1 1 thì vieát laïi f(x) = x - 5x + 6 x -3 x -2

·

Vôùi f(x) =

·

Vôùi f(x) = (2 x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x.

·

Vôùi f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x

2

1 1 thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1) 2 2x + 1 + 3 - 2x

= 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x. ·

tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1

·

cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1

·

x n (1 + x 2 ) + 1 1 = xn + . 2 1+ x 1 + x2

Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx. Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x) ta ñöôïc: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 . Khi ñoù: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =-

(1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C. 2003 2004

Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh:

I = ò x(ax + b)a dx, vôùi a ¹ 0

1 1 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x = .ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ta ñöôïc: 1 1 x(ax + b)a = [(ax + b) - b)(ax + b)a = [ò (ax + b)a+1 d(ax + b) - ò (ax + b)a d(ax + d)] a a Ta xeùt ba tröôøng hôïp : ·

Vôùi a = 2, ta ñöôïc: I = =

·

1 1 [ln ax + b + ] + C. 2 a ax + b

Vôùi a = –1, ta ñöôïc: I=

·

1 [ (ax + b)-1 d(ax + b) - ò (ax + b)-2 d(ax + b)] 2 ò a

1 1 [ d(ax + b) - ò (ax + b)-1 d(ax + b)] = 2 [ax + b - ln ax + b ] + C. 2 ò a a

Vôùi a Î R \ {-2; - 1}, ta ñöôïc:

I=

Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I =

òx

2

1 (ax + b)a+ 2 (ax + b)a+1 [ + ] + C. a2 a+2 a +1

dx - 4x + 3 Giaûi:

Ta coù:

1 1 1 (x - 1) - (x - 3) 1 æ 1 1 ö = = . = .ç ÷ x - 4x + 3 (x - 3)(x - 1) 2 (x - 3)(x - 1) 2 è x - 3 x -1ø 2

1 æ dx dx ö 1 d(x - 3) d(x - 1) 1 Khi ñoù: I = . ç ò -ò -ò ' = .(ln x - 3 - ln x - 1) + C ÷ = [ò 2 è x -3 x -1 ø 2 x -3 x -1 2 =

1 x -3 ln + C. 2 x -1

Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

dx x +2 + x -3 Giaûi:

Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1 1 1 1 2 I = ò ( x + 2 + x - 3)dx = [ò (x + 2) d(x + 2) + ò (x - 3) 2 d(x - 3)] 5 5 2 = [ (x + 2)3 + (x - 3)3 ] + C. 15

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I =

dx

ò sin x.cos Giaûi:

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin 2 x + cos2 x = 1,

Trang 11

2

x

.


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

1 1 sin 2 x + cos2 x sin x 1 sin x 2 . 1 . Ta ñöôïc: = = + = + sin x.cos 2 x sin x.sin 2 x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x 2 2 æ xö 1 d ç tg ÷ sin x d(cos x) 1 x 2 Suy ra: I = ò dx + ò dx = - ò +ò è 2ø = + ln tg + C. 2 2 x x x cos x cos x cos x 2 cos2 tg tg 2 2 2 Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I =

dx

ò cos

4

x

.

Giaûi: Söû duïng keát quaû: ta ñöôïc: I = ò

dx = d(tgx) cos2 x

1 dx 1 3 2 2 . = (1 + tg x)d(tgx) = d(tgx) + tg xd(tgx) = tgx + tg x + C. ò ò cos2 x cos2 x ò 3

BAØI TAÄP Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = (1 - 2x 2 )3 ;

b/

f(x) =

2 x - x 3ex - 3x 2 ; x3

(2 + x )2 ; x

d/

f(x) =

1 3x + 4 - 3x + 2

c/ f(x) =

12 5 8 7 x - x +C ; 5 7

b/

-

24 6 3 x x + x 3 x 2 + C; 7 5

d/

1é 3 3ù ë (3x - 4) + (3x + 2) û + C. 9

ÑS: a/ x - 2x 3 + c/ 6 3 x 2 +

4 - e x + ln x + C; 3x x

Baøi 10. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) =

1 ; 2 x - 6x + 5

b/

f(x) =

4x 2 + 6x + 1 ; 2x + 1

c/ f(x) =

4x 3 + 4x 2 - 1 ; 2x + 1

d/

f(x) =

-4x 3 + 9x + 1 ; 9 - 4x 2

ÑS: a/

1 x-5 ln + C; 4 x -1

1 b/ x 2 + 2x - ln 2x + 1 + C; 2

2 1 1 1 c/ x 3 + x 2 - x - ln 2x + 1 + C ; 3 2 2 4 Baøi 11. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:

Trang 12

x2 1 2x - 3 d/ - ln + C. 2 12 2x + 3


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

a/ (sin x + cos x)2 ;

pö pö æ æ b/ cos ç 2x - ÷ .cos ç 2x + ÷ ; 3ø è 4ø è

d/ cos 4 x;

e/ sin 4 x + cos4 x;

1 ÑS: a/ x - cos2x + C ; 2

b/

c/ cos3 x;

f/ sin 6 2x + cos6 2x.

1 7p ö 1 æ pö æ sin ç 5x + ÷ + sin ç x - ÷ + C 10 è 12 ø 2 è 12 ø

c/

3 1 sin x + si n3x + C; 4 12

d/

3 1 1 x + si n2x + si n4x + C; 8 4 31

e/

3 sin 4x x+ + C; 4 16

f/

5 3 x + sin 8x + C. 8 64

Trang 13


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau: Ñònh lyù: a/ Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì ò f(u)du = F(u) + C . b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù (j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: ò f(x)dx = ò f[j(t)].j '(t)dt. Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau: Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. + Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt. Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu Caùch choïn p p é x = a sin t vôùi - £ t £ ê 2 2 a2 - x 2 ê êë x = x cos t vôùi 0 £ t £ p a é é p pù x = vôù i t Î ê êë - 2 ; 2 úû \ {0} sin t ê a p ê êë x = cos t vôùi t Î[0; p] \ { 2 } p p é x = a tgt vôù i < t < ê 2 2 ê êë x = a cot gt vôùi 0 < t < p

x 2 - a2

a2 + x 2 a+ x a-x hoaëc a-x a+x (x - a)(b - x)

Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I =

x = acos2t x = a + (b – a)sin2t

ò

dx (1 - x 2 ) Giaûi:

Ñaët x = sin t; -

p p <t< 2 2 Trang 14

.


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Suy ra: dx = cos tdt &

dx (1 - x 2 )3

Khi ñoù: I = ò d(tdt) = tgt + C =

=

cos tdt dt = = d(tgt) 3 cos t cos2 t

x 1- x

2

Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: laø bôûi: -

+ C. (1 - x 2 )3 = cos3 t vaø tgt =

p p < t < Þ cos t > 0 Þ 2 2

Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

x 1 - x2

ìï cos2 t = cos t í ïîcos t = 1 - sin 2 t = 1 - x 2 x 2 dx x2 - 1

Giaûi: Vì ñieàu kieän x > 1 , ta xeùt hai tröôøng hôïp : ·

Vôùi x > 1 1 p 2 cos 2tdt ;0<t< Suy ra: dx = sin 2t 4 sin 2 2t x 2 dx 2dt 2(cos2 t + sin 2 t)2 dt =- 3 =sin 2t 8sin 3 t cos3 t x2 - 1

Ñaët: x = ú

1 1 1 1 = - (cot gt. 2 + tgt. + )dt 2 4 sin t cos t sin t cos t 1 1 1 2 1 = - (cot gt. 2 + tdt. + ) 2 4 sin t cos t tgt cos2 t 1 d(tgt) = - [- cot gt.d(cot gt) + tgt.d(tgt) + 2 ]. 4 tgt 1 d(tgt) I = - [- ò cot gt.d(cot gt) + ò tgt.d(tgt) + 2 ò ] 4 tgt 1 1 1 1 1 = - (- cot g2t + tg2 t + 2ln tgt ) + C = (cot g2 t - tg2t) - ln tgt + C 4 2 2 8 2 1 1 = x x2 - 1 - ln x - x2 - 1 + C. 2 2 Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm

Khi ñoù:

·

Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: cot g 2 t - tg 2 t = 4x x 2 - 1 vaø tgt = x - x 2 - 1 cos4 t - sin 4 t 4 cos2t 4 1 - sin 2 2t 4 1 laø bôûi: cot g t - tg t = = = = -1 cos2 t.sin 2 t sin 2 2t sin 2 2t sin 2t sin 2 2t 2

2

1 1 sin t 2sin 2 t 1 - cos2t 1 cos2 2t tgt = = -1 = = = 2 cos t 2sin t.cos t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2t sin 2 2t

Trang 15


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I =

dx ò (1 + x 2 )3 Giaûi:

Ñaët: x = tgt; -

p p dt < t < . Suy ra: dx = & 2 2 cos2 t

Khi ñoù: I = ò cos tdt = sin t + C =

x 1 + x2

dx (1 + x 2 )3

=

cos3 tdt = cos tdt. cos2 t

+C

Chuù yù: 1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù:

1 1 + x2

= cos t vaø sin t =

x 1 + x2

ì cos2 t = cos t p p ï laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í x 2 2 ïsin t = tgt.cos t = 1 + x2 î 2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt: I=

ò

dx 2

(a + x 2 )2 k +1

, vôùi k Î Z.

Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc: + Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp + Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y '(x)dx. + Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt + Böôùc 4: Khi ñoù I = ò g(t)dt. Daáu hieäu Haøm soá maãu coù Haøm soá f(x, j(x) a.sin x + b.cos x Haøm f(x) = c.sin x + d.cos x + e Haøm f(x) =

1 (x + a)(x + b)

Trang 16

Caùch choïn t laø maãu soá t = j(x) x x t = tg (vôùi cos ¹ 0) 2 2 · Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: t = x+a + x+b · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: t = x - a + -x - b


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 3 (2 - 3x 2 )8 dx. Giaûi: Ñaët: t = 2 - 3x . 2

Suy ra: dt = 6xdx

x3 (2 - 3x2 )8 dx = x2 (2 - 3x2 )8 xdx = Khi ñoù: I =

2-t 2-t 8 æ 1 ö 1 9 .t .ç - dt ÷ = (t - 2t 8 )dt. = 3 3 è 6 ø 18

1 1æ 1 2 ö 1 10 1 9 (t 9 - 2t 8 )dt = ç t10 - t 9 ÷ + C = t - t +C ò 18 18 è 10 9 ø 180 81

Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

x 2dx 1- x Giaûi:

Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2 Suy ra: dx = - 2tdt &

x 2 dx (1 - t 2 )2 ( -2tdt) = = 2(t 4 - 2t 2 + 1)dt t 1- x

2 2 æ1 ö Khi ñoù: I = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = -2 ç t 5 - t 3 + t ÷ + C = - (3t 4 - 10t 2 + 15)t + C 3 15 è5 ø =-

2 2 [3(1 - x)2 - 10(1 - x) + 15] 1 - x + C = - (3x 2 + 4x + 8) -1x + C 15 15

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx. Giaûi: 1 - t3 3 Ñaët: t = 1 - 2x Þ x = . Suy ra: 2xdx = - t 2 tdt, 2 2 3

2

2

x 5 3 (1 - 2x 2 )2 dx = x 2 3 (1 - 2x 2 )2 xdx = Khi ñoù: I =

3 7 4 (t - t )dt = 8ò

1 - t3 2 æ 3 2 ö 3 7 4 .t ç - t dt ÷ = (t - t )dt. 2 è 4 ø 8

3æ1 8 1 5 ö 3 (5t 6 - 8t 3 )t 2 + C ç t - t ÷+C= 8è8 5 ø 320

=

3 [5(1 - 2x 2 )2 - 8(1 - 2x 2 )] 3 (1 - 2x 2 )2 + C 320

=

3 (20x 4 - 4x 2 - 3) 3 (1 - 2x 2 )2 + C. 320

Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò sin 3 x cos xdx. Giaûi: Ñaët: t = cos x Þ t 2 = cos x dt = sinxdx, Trang 17


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

sin 3 x cos xdx = sin 2 x cos x sin xdx = (1 - cos2 x) cos x sin x dx = (1 - t 4 ).t.(2tdt) = 2(t 6 - t 2 )dt. 1 ö 2 æ1 Khi ñoù: I = 2 ò (t 6 - t 2 )dt = 2 ç t 7 - t 3 ÷ + C = (3t 6 - 7t 2 )t + C 3 ø 21 è7 =

2 (cos3 x - 7 cos x) cos x + C. 21

cos x.sin 3 xdx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + sin 2 x Giaûi: Ñaët: t = 1 - x Þ x = 1 - t 2at = 1 + sin 2 x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin 3 xdx sin 2 x.cos x.sin xdx (t - 1)dt 1 æ 1 ö = = = ç 1 - ÷ dt. 1 + sin 2 x 1 + sin 2 x 2t 2è t ø Khi ñoù: I =

1 æ 1ö 1 2 2 ç 1 - ÷ dt = f12(t - ln t + C = [1 + sin x - ln(1 + sin x)] + C ò 2 è tø 2

Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I =

cos2 xdx ò sin8 x . Giaûi:

Ñaët: t = cotgx 1 dx, sin 2 x cos2 xdx cos2 x dx 1 dx dx = = cot g 2 x 4 = cot g 2 x.(1 + cot g2 x)2 8 6 2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin 2 x = t 2 .(1 + t 2 )2 dt.

Suy ra: dt = -

2 1 ö æ1 Khi ñoù: I = ò t 2 .(1 + t 2 )dt = ò (t 6 + 2t 4 + t 2 )dt = ç t 7 + t 5 + t 3 ÷ + C 5 3 ø è7 1 = (15cot g 7 x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C. 105 Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I =

òe

x

dx - ex / 2 Giaûi:

Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = - ex / 2 dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx e- x / 2 dx -2tdt 1 = = = = 2(1 + )dt x x/2 x -x / 2 x/2 -x / 2 e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1 - t t -1 Trang 18


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

1 ö æ -x / 2 Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + + ln e- x / 2 + 1) + C. ÷ dt = 2(e è t -1 ø Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e - x / 2 , tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn. Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

dx 1 + ex

.

Giaûi: Caùch 1: Ñaët: t = 1 + ex Û t 2 = 1 + e x Suy ra: 2tdt = e x dx Û dx =

2tdt dx 2tdt 2tdt & = 2 = 2 . 2 t -1 1 + ex t(t - 1) t - 1

dt t -1 1 + ex - 1 Khi ñoù: I = 2 ò 2 = ln + C = ln +C t -1 t +1 1 + ex + 1 Caùch 2: Ñaët: t = e- x / 2 1 dx Suy ra: dt = e - x / 2dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx dx -2dt = = = 1 + ex ex (e- x + 1) ex / 2 e- x + 1 t2 + 1 Khi ñoù: I = - 2 ò

dt t +1 2

= - 2 ln t + t 2 + 1 + C = -2 ln e- x / 2 + e - x + 1 + C

Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

dx x +a 2

, vôùi a ¹ 0. .

Giaûi: Ñaët: t = x + x + a 2

x ö x2 + a + x dx dt æ Suy ra: dt = ç 1 + dx Û = ÷ dx = 2 2 2 t x +a ø x +a x +a è dt Khi ñoù: I = ò = ln t + C = ln x + x 2 + a + C. t dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò . (x + 1)(x + 2) Giaûi: Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ìx + 1 > 0 · Vôùi í Û x > -1 îx + 2 > 0 Ñaët: t = x + 1 + x + 2 Trang 19


Tích phaân

·

Traàn Só Tuøng

1 ö ( x + 1 + x + 2)dx dx 2dt æ 1 Suy ra: dt = ç + Û = ÷ dx = t 2 (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2) è 2 x +1 2 x + 2 ø dt Khi ñoù: I = 2 ò = 2 ln t + C = 2 ln x + 1 + x + 2 + C t ìx + 1 < 0 Û x < -2 Vôùi í + < x 2 0 î Ñaët: t = -(x + 1) + -(x + 2) [ -(x + 1) + -(x + 2)]dx 1 1 é ù Suy ra: dt = êdx = ú 2 (x + 1)(x + 2) ë 2 -(x + 1) 2 -(x + 2) û dx 2dt Û =t (x + 1)(x + 2) Khi ñoù: I = - 2 ò

dt = -2 ln t + C = -2 ln -(x + 1) + -(x + 2) + C t

BAØI TAÄP Baøi 12. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x4 x2 - x a/ f(x) = x (x - 1) ; b/ f(x) = 10 ; c/ f(x) = ; x -4 (x - 2)3 2

ÑS:

a/

9

1 2 1 (x - 1)12 + (x - 1)11 + (x - 10)10 + C. 12 11 10

x2 - 1 d/ f(x) = 4 ; x +1 b/

1 x5 - 2 ln 5 + C. 20 x + 2

1

x2 - x 2 + 1 d/ ln + C. 2 2 x2 + x 2 + 1

2x - 5 c/ ln x - 2 + C; (x - 2)2 Baøi 13. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x) = ÑS:

a/

2x x + x -1 2

;

b/ f(x) =

1 2

2 3

(x + a )

2 3 2 x (x 2 - 1)3 + C; 3 3

b/

(a > 0) ; x

a

2

x +a 2

2

c/ f(x) =

+ C;

æ3x 6 ö c/ 6 ç + x + ln 6 x - 1 ÷ + C. è 2 ø Baøi 14. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 cos5 x ; a/ f(x) = 3 ; b/ f(x) = cos x sin x

c/ f(x) =

sin x + cos x ; sin x - cos x

3

cos3 x 1 d/ f(x) = ; e/ f(x) = . sin x sin 4 x ÑS:

a/

33 2 3 3 sin x + 3 sin14 x - 3 sin 8 x + C; 2 14 4

Trang 20

1 3

x - x 2

.


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

b/

æx pö ln tg ç + ÷ + C; è2 4ø

c/

33 1 - si n2x + C; 2

d/

1 ln sin x - sin 2 x + C; 2

e/

1 - cot g3x - cot gx + C. 3

Baøi 15. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x) =

1 1 + e2 x

2 x.3x ; c/ f(x) = x 9 - 4x ÑS:

a/ c/

;

b/

f(x) =

x +1 ; x(1 + xex )

d/

f(x) =

1 ; x ln x.ln(ln x)

- ln(e- x + e-2 x + 1) + C; 1 3x - 2 x , ln x + C; 2(ln 3 - ln 2) 3 + 2x

Trang 21

xe x + C; 1 + xex

b/

ln

d/

ln ln(ln x) + C.


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM

BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

ò udv = uv - ò vdu.

Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn:

Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx. ì u = f1 (x) ìdu + Böôùc 2: Ñaët: í Þí îv îdv = f2 (x)dx + Böôùc 3: Khi ñoù: I = uv - ò vdu. Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh: I =

ò

x ln(x + x 2 + 1) x2 + 1

Vieát laïi I döôùi daïng: I = ò ln(x + x 2 + 1)

Giaûi: x x2 + 1

.

dx.

1+ x ì ì u = ln(x + x 2 + 1) ï x2 + 1 = ï ïdu = Ñaët : í Þí x x + x2 + 1 dv = ï ï x2 + 1 î ïv = x 2 + 1 î

dx x2 + 1

Khi ñoù: I = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - ò dx = x 2 + 1 ln(x + x 2 + 1) - x + C. Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos(ln x)dx. Giaûi: -1 ì ì u = cos(ln x) ïdu = sin(ln x)dx Ñaët : í Þí x îdv = dx ïîv = x Khi ñoù: I = x cos(ln x) + ò sin(ln x)dx.

(1)

Xeùt J = ò sin(ln x)dx. 1 ì ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx Ñaët: í Þí x îdv = dx ïîv = x. Khi ñoù: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I Trang 22

(2)


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

x Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = x.cos(ln x) + x.sin(ln x) - I Û I = [cos(ln x) + sin(ln x)] + C. 2 Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân: I1 = ò sin(ln x)dx vaø I 2 = ò cos(ln x)dx ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau: ·

Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: 1 ì ì u = sin(ln x) ïdu = cos(ln x)dx Ñaët : í Þí x îdv = dx ïîv = x Khi ñoù: I1 = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I 2 .

·

(3)

Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I2, nhö sau: 1 ì ì u = cos(ln x) ïdu = - sin(ln x)dx Ñaët : í Þí x dv dx = î ïîv = x Khi ñoù: I 2 = x.cos(ln x) - ò sin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I1 .

·

(4)

Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc: x I1 = [sin(ln x) - cos(ln x)] + C. 2

Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: I =

ò

x I 2 = [sin(ln x) + cos(ln x)] + C. 2

ln(cos x) dx. cos2 x Giaûi:

ì u = ln(cos x) ï Ñaët : í dx Þ dv = ïî cos2 x

sin x ì dx ïdu = cos x í ïîv = tgx

æ 1 ö Khi ñoù: I = ln(cos x).tgx + ò tg 2 xdx = ln(cos x).tgx + ò ç - 1÷dx 2 è cos x ø = ln(cos x).tgx + tgx - x + C. Baøi toaùn 2: Tính I = ò P(x)sin axdx (hoaëc ò P(x) cos axdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø a Î R * .

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Trang 23


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: ·

Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:

ì u = P(x) + Böôùc 1: Ñaët : í Þ îdv = sin axdx + Böôùc 2: Khi ñoù: I = -

ìdu = P '(x)dx ï . 1 í ïîv = - a cos ax

1 1 P(x) cos a + ò P '(x).cos ax.dx. a a

+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc. ·

Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x)cos axdx = A(x)sin ax + B(x) cos ax + C.

(1)

trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x). + Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: P(x).cos ax = [A '(x) + B(x)].sin a + [A(x) + B'(x)].cos x

(2)

Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x) + Böôùc 3: Keát luaän. Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn. Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau: – Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1. – Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2. Ví duï 4: Tính : I = ò x.sin 2 xdx (ÑHL_1999) Giaûi: Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn: 1 1 1 2 1 æ 1 - cos 2x ö I = ò xç ÷ dx = ò xdx - ò x cos2xdx = x - ò x cos 2xdx 2 2 2 4 2 è ø Xeùt J = ò x cos2xdx. dx ì du = dx = ï ìu = x ï x2 + 1 Ñaët : í Þí îdv = cos 2xdx ïv = 1 si n2x ïî 2 x 1 x 1 Khi ñoù: J = sin 2x - ò sin 2xdx = sin 2x + cos 2x + C. (2) 2 2 2 4 1 x 1 Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = x 2 + sin 2x + cos 2x + C. 4 4 8 Ví duï 5: Tính : I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx. Trang 24

(1)


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Giaûi: Ta coù: I = ò (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin xdx = (a1x 3 + b1x 2 + c1x + d1 ) cos x + (a2 x 3 + b 2 x 2 + c2 x + d 2 )sin x + C Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: (x 3 - x 2 + 2x - 3)sin x = [a2 x 3 + (3a1 + b2 )x 2 + (2b1 + c2 )x + c1 + d 2 ].cos x -[a1x 3 - (3a2 - b1 )x 2 - (2b2 - c1 )x + c2 - d1 ].sin x Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ìa 2 = 0 ï ï3a1 + b2 = 0 (I) vaø í 2b + c = 0 ï 1 2 ïîc1 + d 2 = 0

(2)

ì -a 2 = 1 ï ï3a2 - b1 = -1 (II) í 2b c = 2 ï 2 1 ïî- c2 + d1 = -3

Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: a1 = -1, b1 = 1, c1 = 4, d1 = 1, a2 = 0, b 2 = 3, c2 = -2, d 2 = -4. Khi ñoù: I = ( -x 3 + x 2 + 4x + 1)cos x + (3x 2 - 2x + 4)sin x + C.

(

)

Baøi toaùn 3: Tính I = ò eax cos(bx)dx hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: · Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ìdu = - bsin(bx)dx ì u = cos(bx) ï + Böôùc 1: Ñaët : í Þ í . 1 ax ax v e = dv e dx = î ïî a 1 b (1) Khi ñoù: I = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx. a a + Böôùc 2: Xeùt J = ò eax sin(bx)dx. ìdu = b cos x(bx)dx ì u = sin(bx) ï Þí Ñaët í 1 ax ax v = e îdv = e dx ïî a 1 b 1 b Khi ñoù: J = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I. (2) a a a a 1 b 1 b + Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = eaõ cos(bx) + [ eax sin(bx) - I] a a a a [a.cos(bx) + b.sin(bx)eax + C. a2 + b 2 Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc : ÛI=

·

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò eax cos(bx)dx = [A cos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3) trong ñoù A, B laø caùc haèng soá. Trang 25

(1)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (3), ta ñöôïc: eax .cos(bx) = b[- A sin(bx) + Bcos(bx)]eax + a[A cos(bx) + Bsin(bx)]eax = [(Aa + Bb).cos(bx) + Ba - Ab)sin(bx)]eax . a ì A= 2 ï ìAa + Bb = 1 ï a + b2 Þí Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í îBa - Ab = 0 ïB = b a2 + b 2 îï + Böôùc 3: Vaäy: I =

[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax + C. a2 + b 2

Chuù yù: 1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân: I1 = ò eax cos(bx)dx vaø I 2 = ò eax sin(bx)dx. ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau: · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: ìdu = - b sin(bx)dx ì u = cos(bx) ï Ñaët: í Þí 1 ax ax v e = îdv = e dx ïî a 1 b 1 b Khi ñoù: I1 = eax cos(bx) + ò eax sin(bx)dx = eax cos(bx) + I 2 . a a a a · Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau: ìdu = b cos(bx)dx ì u = sin(bx) ï Ñaët: í Þí 1 ax ax v e = îdv = e dx ïî a 1 b 1 b Khi ñoù: I 2 = eax sin(bx) - ò eax cos(bx)dx = eax sin(bx) - I1 . a a a a · Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:

(3)

(4)

[a.cos(bx) + b.sin(bx)]eax [a.sin(bx) - b.cos(bx)]eax + C. I = + C. 2 a2 + b 2 a2 + b 2 2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân: I1 =

J1 = ò eax sin 2 (bx)dx vaø J 2 = ò eax cos2 (bx)dx. Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò ex .cos2 xdx. Giaûi: Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng: 1 1 1 I = ò ex .(1 + cos2x)dx = ( ò ex dx + ò ex .cos 2xdx) = (ex + ò ex .cos2xdx) (1) 2 2 2 ·

Xeùt J = ò e x .cos 2xdx. Trang 26


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

ì u = cos2x Ñaët: í Þ x îdv = e dx

ìdu = -2 sin 2xdx í x îv = e

Khi ñoù: J = ex cos2x + 2 ò ex sin 2xdx ·

(2)

Xeùt: K = ò ex sin 2xdx. ì u = sin 2x ìdu = 2 cos 2xdx Ñaët: í Þ í x x îdv = e dx îv = e Khi ñoù: K = ex sin 2x - 2 ò e x cos 2xdx = ex sin 2x - 2J

(3)

Thay (3) vaøo (2), ta ñöôïc: 1 J = e x cos 2x + 2(ex si n2x - 2J) Û J = (cos2x + 2 sin 2x)ex + C 5

Caùch 2:

(4)

Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc: 1 1 1 I = [ex + (cos2x + 2 sin 2x)ex ] + C = (5 + cos2x + 2sin 2x)ex + C 2 5 10 1 I = ò ex .(1 + cos 2x)dx = (a + b.cos2x + c.sin 2x)ex + C. (5) 2 Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (5), ta ñöôïc: 1 x e (1 + cos 2x) = ( - b.sin 2x + 2c.cos2x)ex + (a + b.cos2x + c.sin 2x)e x 2 = [a + (2x + b) cos 2x + (c - 2b)sin 2x]ex . (6) ì2a = 1 ìa = 1/ 2 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2(2c + b) = 1 Þ í b = 1/ 10. ï2(c - 2b) = 0 ï c = 1/ 5 î î 1 Vaäy: I = (5 + cos 2x + 2sin 2x)ex + C. 10

Baøi toaùn 4: Tính I = ò P(x)eax dx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø a Î R* . PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ìdu = P '(x)dx ì u = P(x) ï + Böôùc 1: Ñaët : í Þ í . 1 ax ax v = e dv = e dx î ïî a 1 1 + Böôùc 2: Khi ñoù: I = P(x)eax - ò P '(x).eax .dx. a a

·

+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc. ·

Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc : Trang 27


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x).eax .dx = A(x)eax + C.

(1)

trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x) + Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: P(x).eax = [A '(x) + aA(x)].eax

(2)

Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x). + Böôùc 3: Keát luaän Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn. Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau: · Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1. · Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2. Ví duï 7: Tính : I = ò xe3x dx. Giaûi: ìu = x Ñaët: í Þ 3x îdv = e dx

ìdu = dx 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x ï 1 3x . Khi ñoù: I = xe - ò e .dx = xe - e + C. í 3 3 3 9 ïîv = 3 e

Ví duï 8: Tính : I = ò (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx Giaûi: Ta coù: I = ò (2x3 + 5x 2 - 2x + 4)e2 x dx = (ax 3 + bx 2 + cx + d)e2x + C. (1) Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc: (2x 3 + 5x 2 - 2x + 4)e2x = [2ax 3 + (3a + 2b)x 2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2 x ì2a = 2 ìa = 1 ï3a + 2b = 5 ïb = 1 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc: í Û í ï2b + 2c = -2 ïc = -2 ïîc + 2d = 4 ïîd = 3 Khi ñoù: I = (x 3 + x 2 - 2x + 3)e2x + C.

Baøi toaùn 5: Tính I = ò x a .ln xdx, vôùi a Î R \ {-1}. 1 ì du = dx ì u = ln x ïï x Ñaët : í Þ í a îdv = x dx ïv = 1 x a+1 ïî a +1 x a+1 xa x a+1 x a+1 Khi ñoù: I = ln x - ò dx = ln x + C. a +1 a +1 a +1 (a + 1)2 Trang 28

(2)


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ví duï 9: Tính I = ò x 2 ln 2xdx. ì u = ln 2x Ñaët : í Þ 2 dv = x dx î

dx ì ïïdu = x x3 x3 x3 2 . Khi ñoù : I = ln 2x x dx = ln 2x + C. í ò 1 3 3 9 3 ïv = x ïî 3

BAØI TAÄP Baøi 16. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x) = ln x;

b/ f(x) = (x 2 + 1)e2x ;

c/ f(x) = x 2 sin x;

d/ f(x) = ex sin x; e/ f(x) = x.cos x; ÑS:

f/ f(x) = ex (1 + tgx + tg2 x).

a/ x ln x - x + C

b/

1 (2x 2 - x + 3)e2x + C; 4

c/ (2 - x)2 cos x + 2sin x + C;

d/

1 x e (sin x - cos x) + C; 2

e/ 2 x (x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C;

f/ ex tgx + C.

Baøi 17. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2

a/ f(x) = e ;

æ ln x ö b/ f(x) = ç ÷ ; è x ø

d/ f(x) = e-2 x .cos3x;

e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x 2 + K , (K ¹ 0);

x

ÑS:

a/ 2( x - 1)e

x

c/ f(x) = (x + 1)2 cos2 x;

ln 2 x b/ 2 ln x - 2x + C; x

+ C;

(x + 1)3 (x + 1)2 sin 2x (x + 1) cos2x sin 2x c/ + + + C; 6 4 4 8 e-2 x d/ (3sin 3x - 2 cos3x) + C; 13 f/

e/

x [sin(ln x) + cos(ln x ] + C; 2

x 2 K x + K + ln x + x 2 + K + C. 2 2

Baøi 18. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: a/ f(x) = x 3 ln x

(HVQY_1999)

b/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x

(ÑHPÑ_2000)

c/ f(x) = x sin x (ÑHMÑC_1998) ÑS:

a/

1 4 1 x ln x - x 4 + C; 4 16

1 x 1 b/ - (x2 + 2)cos2x + sin2x + cos2x + C; 2 2 4

c/ -2 x 3 cos x + 6x sin x + 12 x cos x - 12 sin x + C.

Trang 29


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM

BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x). + Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:

ìF(x) + G(x) = A(x) + C1 (I) í îF(x) - G(x) = B(x) + C2 1 + Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc: F(x) = [A(x) + B(x)] + C 2 laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).

Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) =

sin x . sin x - cos x Giaûi:

cos x sin x - cos x Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: sin x + cos x f(x) + g(x) = sin x + cos x sin x + cos x d(sin x - cos x) Þ F(x) + G(x) = ò dx = ò = ln sin x - cos x + C1. sin x - cos x sin x - cos x sin x - cos x f(x) - g(x) = = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 . sin x - cos x 1 ïìF(x) + G(x) = ln sin x - cos x + C1 Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln sin x - cos x + x) + C. 2 ïîF(x) - G(x) = x + C2 Choïn haøm soá phuï: g(x) =

cos4 x Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = sin 4 x + cos 4 x Giaûi: sin 4 x Choïn haøm soá phuï: g(x) = sin 4 x + cos4 x Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: sin 4 x + cs 4 x f(x) + g(x) = = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C1 sin 4 x + cos 4 x cos 4 x - sin 4 x cos2 x - sin 2 x cos 2x f(x) - g(x) = = = 4 4 2 2 2 2 2 sin x + cos x (cos x + sin x) - 2 cos x.sin x 1 - 1 sin 2 2x 2 Trang 30


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Þ F(x) - G(x) = ò

2 cos2x d(sin 2x) 1 sin 2x - 2 dx = - ò 2 =ln + C2 2 - sin 2x sin 2x - 2 2 2 sin 2x + 2

ìF(x) + G(x) = x + C1 ï Ta ñöôïc: í Þ F(x) = 1 2 + sin 2x = + F(x) G(x) ln C 2 ï 2 2 2 - sin 2x î

1æ 1 2 + sin 2x ö ln çx + ÷ + C. 2è 2 2 2 - sin 2x ø

Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = 2sin 2 x.sin 2x. Giaûi: 2

Choïn haøm soá phuï: g(x) = 2 cos x.sin 2x. Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: f(x) + g(x) = 2(sin 2 x + cos2 x).sin 2x = 2sin 2x Þ F(x) + G(x) = 2 ò sin 2xdx = - cos2x + C1 f(x) - g(x) = 2(sin 2 x - cos2 x).sin 2x = -2 cos2x.sin 2x = - sin 4x Þ F(x) - G(x) = - ò sin 4xdx =

1 cos 4x + C2 4

ìF(x) + G(x) = - cos2x + C1 1æ 1 ï ö Þ F(x) = ç - cos2x + cos 4x ÷ + C. Ta ñöôïc: í 1 2è 4 ø ïîF(x) - G(x) = 4 cos 4x + +C2 ex Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = x . e - e-x Giaûi: e- x Choïn haøm soá phuï: g(x) = x . e - e- x Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: ex + e- x f(x) + g(x) = x e - e- x ex + e- x d(ex - e- x ) Þ F(x) + G(x) = ò x dx = ò x = ln ex - e - x + C1 -x -x e -e e -e x -x e -e f(x) - g(x) = x = 1 Þ F(x) - G(x) = ò dx = x + C2 . e - e- x ìïF(x) + G(x) = ln ex - e- x + C1 1 Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln e x - e- x + x) + C. 2 ïîF(x) - G(x) = x + C2

BAØI TAÄP Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = ÑS: a/

sin x ; sin x + cos x

b/ f(x) = sin 2 x.cos 2x.

c/ f(x) =

ex e x + e- x

1 1 1 1 (x - ln sin x + cos x + C; b/ (si n2x - si n4x - x) + C; c/ (x + ln ex + e- x ) + C. 2 4 4 2

Trang 31


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn 5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau. 1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau: xdx

1

2

1.

ò x2 ± a = 2 ln x

2.

ò x2 - a2 = 2a ln x + a + C, vôùi a ¹ 0

dx

1

±a +C

(1)

x-a

Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I =

(2) xdx

ò x 4 - 2x2 - 2 Giaûi:

Ta coù:

dx xdx 1 d(x 2 - 1) = = ò x 4 - 2x 2 - 2 ò (x 2 - 1)2 - 3 2 ò (x2 - 1)2 - 3 1 1 x2 - 1 - 3 1 x2 - 1 - 3 = . ln +C= ln + C. 2 3 x2 - 1 + 3 4 3 x2 - 1 + 3

·

Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng:

xdx

xdx

ò x4 - 2x2 - 2 = ò (x 2 - 1)2 - 3

Ñaët t = x 2 - 1 Suy ra: dt = 2xdx & Khi ñoù : I =

xdx 1 dt = . 2 . 2 (x - 1) - 3 2 t - 3 2

1 dt 1 1 t- 3 1 x2 - 1 - 3 = . ln + C = ln + C. 2 ò t2 - 3 2 2 3 t + 3 4 3 x2 - 1 + 3

Trang 32


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

x 3dx Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 4 x - x2 - 2 Giaûi: æ 2 1ö 1 x - ÷+ 3 x dx 1 çè 2ø 2 æ 2 1ö Ta coù: I = ò = ò dçx - ÷ 2 2 2ø æ 2 1ö 9 2 æ 2 1ö 9 è x x ç ÷ ç ÷ 2ø 4 2ø 4 è è 1ö æ 2 1ö æ 2 1ö æ x - ÷d ç x - ÷ d ç x2 - ÷ ç 1 2ø è 2ø 1 2ø è = òè + ò 2 2 2 4 æ 2 1ö 9 æ 2 1ö 9 çx - ÷ çx - ÷ 2ø 4 2ø 4 è è 1 3 1 1 æ 2 1ö 9 1 1 2 2 +C = . ln ç x - ÷ - + . ln 2 2 è 2 ø 4 4 3 x2 - 1 + 3 2 2 x2 -

2

=

1 1 x2 - 2 ln x 4 - x 2 - 2 + ln 2 + C. 4 2 x +1

2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp phaân tích PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ñeå P(x) phaân tích ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc. Q(x) x2 Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx, vôùi a ¹ 0. (ax + b)2 PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 1 1 x 2 = 2 .a2 x 2 = 2 [(ax + b) - b]2 = 2 [(ax + b)2 - 2b(ax + b) + b2 ] a a a x2 1 (ax + b)2 - 2b(ax + b) + b 2 Ta ñöôïc: = . (ax + b)a a2 (ax + b)a =

ù 1 é 1 2b b2 . + 2 ê a-2 a-1 aú a ë (ax + b) (ax + b) (ax + b) û

1 é dx 2bdx b 2dx ù I = 2 . êò + ú a ë (ax + b)a-2 ò (ax + b)a-1 ò (ax + b)a û

Khi ñoù: =

1 é d(ax + b) 2bd(ax + b) b 2 d(ax + b) ù . + ê ú. a3 ë ò (ax + b)a-2 ò (ax + b)a-1 ò (ax + b)a û

Trang 33


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

x2 Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx. (1 - x)39 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 2 = (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 x2 (1 - x)2 - 2(1 - x) + 1 1 2 1 Ta ñöôïc: = = + . 39 39 37 37 (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x) (1 - x)39 Khi ñoù: I = ò =

dx 2dx dx -ò +ò 37 38 (1 - x) (1 - x) (1 - x)39

1 2 1 + + C. 36(1 - x)36 37(1 - x)37 38(1 - x)38

Chuù yù: Môû roäng töï nhieân cuûa phöông phaùp giaûi treân ta ñi xeùt ví duï: x3 Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx. (x - 1)10 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Taylo): x 3 = 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 . x3 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1)2 + (x - 1)3 Ta ñöôïc: = (x - 1)10 (x - 1)10 =

1 3 3 1 + + + . 10 9 8 (x - 1) (x - 1) (x - 1) (x - 1)7

é 1 3 3 1 ù Khi ñoù: I = ò ê + + + dx 10 9 8 (x - 1) (x - 1) (x - 1)7 úû ë (x - 1) 1 3 3 1 =+ C. 9 8 7 9(x - 1) 8(x - 1) 7(x - 1) 6(x - 1)6 Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò

dx , vôùi a ¹ 0 vaø n nguyeân döông. (ax + bx + c)n 2

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: ·

Tröôøng hôïp 1: Neáu n = 1 Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b 2 - 4ac Ÿ Khaû naêng 1: Neáu D > 0 1 1 1 (x - x 2 ) - (x - x1 ) Khi ñoù: = = . 2 ax + bx + c a(x - x1 )(x - x 2 ) a(x1 - x 2 ) (x - x1 )(x - x 2 ) =

æ 1 1 1 ö ç ÷. a(x1 - x 2 ) è x - x1 x - x 2 ø

Trang 34


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

æ 1 1 1 ö 1 [ln x - x1 - ln x - x2 ] + C. ç ÷ dx = ò a(x1 - x2 ) è x - x1 x - x2 ø a(x1 - x2

Do ñoù: I1 =

=

1 x - x1 .ln + C. a(x1 - x 2 ) x - x2

Ÿ Khaû naêng 2: Neáu D = 0 1 1 Khi ñoù: = 2 ax + bx + c a(x - x 0 )2 Do ñoù: I =

1 dx 1 =+ C. ò 2 a (x - x0 ) a(x - x0 )

Ÿ Khaû naêng 3: Neáu D < 0 æ p pö Khi ñoù thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi t Î ç - ; ÷ . è 2 2ø ·

Tröôøng hôïp 2: Neáu n > 1 Baèng pheùp ñoåi bieán t = x +

b 1 dt , ta ñöôïc: I n = n ò 2 2a a (t + k)n

Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët: 1 2ntdt ì ì ïu = 2 ïdu = - 2 n (t + k) Þ í (t + k)n +1 í ïdv = dt ïv = t î î Khi ñoù: I n = =

1 an

1 an

é t t 2 dt ù 1 ì t [(t 2 + k) - k]dt ü 2n 2n + = + ê 2 n ò (t 2 + k)n +1 ú an í (t 2 + k)n ò (t 2 + k)n +1 ý ë (t + k) û î þ

ì t dt dt é ùü + 2n ê ò 2 - kò 2 í 2 n n n +1 ú ý (t + k) û þ ë (t + k) î (t + k)

é t ù t n ê (t 2 + k)n + 2n(I n - kI n+1 ) ú Û 2nkI n+1 = (t 2 + k)n + (2n - a )I n ë û t Û 2(n - 1(kI n = 2 + (2n - 2 - a n -1 )I n +1 (1) n -1 (t + k) =

1 an

Chuù yù: Vì coâng thöùc (1) khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi saùch giaùo khoa 12, do ñoù caùc em hoïc sinh khi laøm baøi thi khoâng ñöôïc pheùp söû duïng noù, hoaëc neáu trong tröôøng hôïp ñöôïc söû duïng thì ñoù laø moät coâng thöùc quaù coàng keành raát khoù coù theå nhôù ñöôïc moät caùch chính xaùc, do vaäy trong töôøng hôïp n > 1 toát nhaát caùc em neân trình baøy theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Xaùc ñònh I1. – Böôùc 2: Xaùc ñònh In theo In–1 (chöùng minh laïi (1)). – Böôùc 3: Bieåu dieãn truy hoài In theo I1 ta ñöôïc keát quaû caàn tìm. Ví duï 5: Cho haøm soá f(x) =

1 x - (m + 2)x + 2m 2

Trang 35


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Tính tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx bieát: a/ m = 1

b/ m = 2. Giaûi: dx dx dx d(x - 2) d(x - 1) =ò -ò =ò -ò x - 3x + 2 x -2 x -1 x-2 x -1 x-2 = ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln + C. x -1

a/ Vôùi m = 1:

I = ò f(x)dx = ò

b/ Vôùi m = 2:

I = ò f(x)dx = ò

2

dx 1 =+ C. 2 (x - 2) x-2

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx (x + 4x + 3)3 2

Giaûi: Xeùt tích phaân J n = ò ·

Vôùi n = 1 dx dx 1 æ 1 1 ö 1 x +1 =ò = òç + C. ÷ dx = ln x + 4x + 3 (x + 1)(x + 3) 2 è x + 1 x + 3 ø 3 x +3 Vôùi n > 1 Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët: 1 2ntdt ì ì ïu = 2 ïdu = - 2 n (t - 1) Þ í (t - 1)n +1 í ïdv = dt ïv = t î î J1 = ò

·

dx , ta laàn löôït coù: (x + 4x + 3)n 2

2

Khi ñoù: J n = =

t t 2 dt t [(t 2 - 1) + 1]dt + 2n = + 2n ò (t 2 - 1)n+1 (t 2 - 1)n ò (t 2 - 1)n+1 (t 2 - 1)n

t é dt dt ù t + 2n ê ò 2 +ò 2 = 2 + 2n(J n + J n +1 ) n n n +1 ú (t - 1) (t - 1) û (t - 1)n ë (t - 1) 2

Û 2nJn+1 = Û Jn = Do ñoù:

t t - (2n - 1)Jn Û 2(n - 1)Jn = - 2 - (2n - 3)Jn-1 n (t - 1) (t - 1)n-1 2

1 é t ù = + 2n 3)J n 1 ú 2(n - 1)n êë (t 2 - 1)n-1 û

1æ t ö J2 = - ç 2 + J1 ÷ 2 è t -1 ø

1é t ù 1ì t ì 1æ t ö üü I = J3 = - ê 2 + 3J = + 3 + J í í 2 ç 1 ÷ ýý ú 2 4 ë (t - 1)2 4 î (t 2 - 1)2 ø þþ û î 2 è t -1 =-

x+2 3(x + 2) 3 x +1 + + ln + C. 2 2 4(x + 4x3+) 8(x + 4x + 3) 16 x + 3 2

Trang 36


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò

(lx + m )dx , vôùi a ¹ 0 vaø n nguyeân döông. (ax 2 + bx + c)n

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Phaân tích: lx + m =

l lb (2ax + b) + m 2a 2a

Khi ñoù: I n =

l (2ax + b)dx lb dx + (m - ) ò ò 2 n 2 2a (ax + bx + c) 2a (ax + bx + c)n

a/ Vôùi J n =

l (2ax + b)dx thì: ò 2a ((ax 2 + bx + c)n

Ÿ Neáu n = 1, ta ñöôïc: J1 =

l (2ax + b)dx l = ln ax 2 + bx + c + C. ò 2 2a ax + bx + c 2a

Ÿ Neáu n > 1, ta ñöôïc: Jn =

l (2ax + b)dx l 1 =. 2 + C. ò 2 n 2a (ax + bx + c) 2a(n - 1) (ax + bx + c)n-1

b/ Vôùi K n = ò

dx , ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong daïng 2. (ax + bx + c)n 2

Toång quaùt heïp: Trong phaïm vi phoå thoâng chuùng thöôøng gaëp tích phaân baát ñònh sau: I=ò

P(x)dx , vôùi a ¹ 0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 1. ax 2 + bx + c

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho ax 2 + bx + c ta ñöôïc: P(x) lx + m = Q(x) + 2 2 ax + bx + c ax + bx + c l 2ax + b lb 1 = Q(x) + . 2 + (m - ). 2 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c l (2ax + b)dx lb dx – Böôùc 2: Khi ñoù: I = ò Q(x)dx + ò 2 + (m - ) ò 2 . 2a ax + bx + c 2a ax + bx + c Chuù yù: Tuy nhieân trong tröôøng hôïp ax 2 + bx + c coù D = b2 - 4ac > 0 (ta ñöôïc hai nghieäm x1, x2), chuùng ta thöïc hieän pheùp phaân tích: lx + m = ax 2 + bx + c

1æ A B ö + ç ÷. a è x - x1 x - x 2 ø

Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

(2x 3 - 10x 2 + 16x - 1)dx x 2 - 5x + 6 Giaûi:

Trang 37


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

2x 3 - 10x 2 + 16x - 1 4x - 1 A B = 2x + = 2 + + x 2 - 5x + 6 x 2 - 5x + 6 x -3 x-2 Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 4x - 1 = A(x - 2) + B(x - 3) (1) Bieán ñoåi:

Ñeå xaùc ñònh A, B trong (1) ta coù theå löïa choïn moät hai caùch sau: · Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 4x - 1 = (A + B)x + 2A - 3B. ìA + B = 4 ì A = 11 Û í Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í î-2A - 3B = -1 î B = -7 ·

Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìA = 11 Laàn löôït thay x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í îB = -7 2x 3 - 10x 2 + 16x - 1 11 7 = 2x + Töø ñoù suy ra: . 2 x - 5x + 6 x -3 x -2 11 7 ù é Do ñoù: I = ò ê2x + dx = x 2 + 11ln x - 3 - 7 ln x - 2 + C. ú x -3 x -2û ë

Nhaän xeùt: Trong ví duï treân vieäc xaùc ñònh caùc heä soá A, B baèng hai caùch coù ñoä phöùc taïp gaàn gioáng nhau, tuy nhieân vôùi baøi toaùn caàn phaàn tích thaønh nhieàu nhaân töû thì caùch 2 thöôøng toû ra ñôn giaûn hôn. Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I n = ò

(a1x 2 + b1x + c1 )dx , vôùi a ¹ 0 (x - a )(ax 2 + bx + c)

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 2

Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b – 4ac · Khaû naêng 1: Neáu D > 0, khi ñoù: ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) Khi ñoù phaân tích:

a1x 2 + b1x + c1 A B C = + + 2 (x - a )(ax + bx + c) x - a x - x1 x - x 2

æ A B C ö Do ñoù: I = ò ç + + ÷ dx = A ln x - a + Bln x - x1 + Cln x - x2 + C è x - a x - x1 x - x2 ø ·

Khaû naêng 2: Neáu D = 0, khi ñoù: ax 2 + bx + c = a(x - x 0 )2 . a1x 2 + b1x + c1 A B C Khi ñoù phaân tích: = + + 2 (x - a )(ax + bx + c) x - a x - x 0 (x - x 0 )2 é A ù B C C Do ñoù: I = ò ê + + dx = A ln x - a + Bln x - x 0 + C. 2ú x a x x x x (x x ) 0 0 ë 0 û

·

Khaû naêng 3: Neáu D < 0

Trang 38


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Khi ñoù phaân tích:

a1x 2 + b1x + c1 A B(2x + b) C = + + (x - a )(ax 2 + bx + c) x - a ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c

B(2ax + b C é A ù Do ñoù: I = ò ê + 2 + 2 dx ë x - a ax + bx + c ax + bx + c úû dx = A ln x - a + Bln | ax 2 + bx + c | + C ò 2 ax + bx + c dx ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi Trong ñoù tích phaân J = ò 2 ax + bx + c æ p pö t Îç - ; ÷ . è 2 2ø Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: P(x)dx I=ò , vôùi a ¹ 0 vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2. (x - a )(ax 2 + bx + c) Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho (x - a)(ax 2 + bx + c) ta ñöôïc: P(x) a1x 2 + b1x + c1 = Q(x) + (x - a )(ax 2 + bx + c) (x - a )(ax 2 + bx + c) (a1x 2 + b1x + c1 )dx – Böôùc 2: Khi ñoù: I = ò Q(x)dx + ò (x - a )(ax 2 + bx + c) (x 2 + 2x - 2)dx Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x3 + 1 Giaûi: x 2 + 2x - 2 x 2 + 2x - 2 A B(2x - 1) C Bieán ñoåi: = = + 2 + 2 3 2 x +1 (x + 1)(x - x + 1) x + 1 x - x + 1 x - x + 1 (A + 2B)x 2 - (A - B - C)x + A - B + C = x3 + 1 ìA + 2B = 1 ì A = -1 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í-A + B + C = 2 Û íB = 1 ï A - B + C = -2 ïC = 0 î î x 2 + 2x - 2 1 2x - 1 Khi ñoù: =+ 2 3 x +1 x +1 x - x +1

2x - 1 ö x2 - x + 1 æ 1 2 Do ñoù: I = ò ç + 2 dx = ln | x + 1| + ln | x x + 1| + C = ln +C ÷ x +1 è x +1 x - x +1ø Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx , vôùi a ¹ b (x + a)2 (x + b)2

Trang 39


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: é (x + a) - (x + b) ù ê ú = 1, a- b ë û 2

1 1 é (x + a) - (x + b) ù = = (x + a)2 (x + b)2 êë (a - b)(x + a)(x + b) úû (a - b)2

1 ù é 1 êx + b x + aú ë û

2

=

1 (a - b)2

é 1 2 1 ù ê (x - b)2 - (x + a)(x + b) + (x + a)2 ú ë û 1 é 1 2 (x + a) - (x - b) 1 ù = . + 2 ê 2 (a - b) ë (x + b) a - b (x + b)(x + a) (x + a)2 úû =

2 æ 1 1 ö 1 ù 1 é 1 + ç ÷ 2 ê 2 (a - b) ë (x + b) a - b è x + b x + a ø (x + a)2 úû

ta ñöôïc: 1 é 1 2 æ 1 1 1 öù + ê ú (a - b)2 ë ò (x + b)2 a - b çè ò x + b ò x + a ò (x + a)2 ÷ø û 1 é 1 2 1 ù = (ln | x + b | - ln | x + a) | +C 2 ê (a - b) ë x + a a - b x + a úû

I=

é 2 x+a 2x + a + b ù ê a - b ln x + b - (x + b)(x + a) ú + C. ë û dx Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò (x + 3)2 (x + 1)2 =

1 (a - b)2

Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: é (x + 3) - (x + 1) ù ê ú = 1, 2 ë û 2

2

1 é (x + 3) - (x + 1) ù 1é 1 1 ù =ê = ê ú 2 2 4 ë x + 1 x + 3 úû (x + 3) (x + 1) ë 2(x + 3)(x + 1) û 1é 1 2 1 ù 1é 1 (x + 3) - (x + 1) 1 ù = ê + = ê + 2 2ú 2 4 ë (x + 1) (x + 1)(x + 3) (x + 3) û 4 ë (x + 1) (x + 1)(x + 3) (x + 3)2 úû =

1é dx dx dx dx ù -ò +ò +ò ê ò 2 4 ë (x + 1) x +1 x+3 (x + 3)2 ûú

=

1é 1 1 ù 1é x+3 2x + 4 ù - ln | x + 1 | + ln | x + 3 | + C = ê ln + C. ê ú 4 ë x +1 x + 3û 4 ë x + 1 (x + 1)(x + 3) úû

Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I =

P(x)

ò Q(x) dx

Trang 40


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Giaû söû caàn xaùc ñònh: I =

P(x)

ò Q(x)

baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: –

Böôùc 1: Phaân tích Q(x) thaønh caùc ña thöùc baát khaû quy, giaû söû laø: Q(x) = A n (x).Bm (x).C k (x), vôùi n, m, k Î N. trong ñoù A(x), B(x), C(x) laø ña thöùc baäc hai hoaëc baäc nhaát.

Böôùc 2: Khi ñoù ta phaân tích: P(x) E(x) = D(x) + n Q(x) A (x).Bm (x).Ck (x) é a1i .A'(x) ai2 ù m é b1j .B'(x) b2j ù k é c1t .C'(x) c2t ù = D(x) + å ê i + i ú + åê j + + ú + åê ú A (x) û j=1 ë B (x) Bj (x) û t =1 ë Ct (x) C j (x) û i=1 ë A (x) n

Xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá a1i , ai2 , b1j , b 2j , c1t ,ct2 baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh. –

Böôùc 3: Xaùc ñònh: n é i a .A'(x) ai ù m é bj .B'(x) b2j ù k é c1t .C'(x) ct ù I = ò D(x)dx + å ò ê 1 i + i 2 ú + åò ê 1 j + j ú + åò ê t + t2 ú A (x) û j=1 ë B (x) B (x) û t=1 ë C (x) C (x) û i=1 ë A (x)

x 3 - 3x 2 + x + 6 Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 3 dx. x - 5x 2 + 6x Giaûi: Ta coù: x 3 - 3x 2 + x + 6 2x 2 - 5x + 6 2x 2 - 5x + 6 a b c = 1 + = 1 + = 1+ + + . 3 2 3 2 x - 5x + 6x x - 5x + 6x x(x - 2)(x - 3) x x -2 x -3 Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 2x 2 - 5x + 6 = a(x - 3)(x - 2) + bx(x - 3) + cx(x - 2) Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: ·

Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 2x 2 - 5x + 6 = (a + b + c)x 2 - (5a + 3b + 2c)x + 6a ìa + b + c = 2 ìa = 1 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í5a + 3b + 2c = 5 Û í b = -2 ï6a = 6 ïc = 3 î î

·

Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìa = 1 ï Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í b = -2 ïc = 3 î Trang 41

(1)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Khi ñoù:

x 3 - 3x 2 + x + 6 1 2 3 = 1 + + x3 - 5x 2 + 6x x x -2 x -3

2 3 ö æ 1 Do ñoù: I = ò ç 1 + + ÷dx = x + ln | x | -2 ln | x - 2 | +3ln | x + 3 | +C. è x x -2 x -3ø Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

7x - 4 dx. x - 3x + 2 3

Giaûi: 7x - 4 7x - 4 a b c = = + + 2 2 x - 3x + 2 (x + 2)(x - 1) (x - 1) x -1 x + 2

Ta coù:

3

=

(b + c)x 2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c (x - 2)(x - 1)2

Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 7x - 4 = a(x + 2) + b(x - 1)(x + 2) + c(x - 1)2

(1)

Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: ·

Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá: Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù: 7x - 4 = (b + c)x 2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c. ìb + c = 0 ìa = 1 ï ï Û íb = 2 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ía + b - 2c = 7 ï2a - 2b + c = -4 ï c = -2 î î

·

Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng: ìa = 1 ï Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä: í b = 2 ï c = -2 î Khi ñoù:

7x - 4 1 2 2 = + . 2 x - 3x + 2 (x - 1) x -1 x + 2 3

é 1 2 2 ù 1 Do ñoù: I = ò ê + dx = + 2 ln | x + 1 | -2 ln + | x + 2 | +C. 2 ú x -1 x + 2 û x -1 ë (x - 1) x 3 - x 2 - 4x - 1 Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 4 + x3 Giaûi: Ta coù:

3

2

3

2

x - x - 4x - 1 x - x - 4x - 1 a b c d = = 3+ 2+ + 4 3 3 x -x x (x + 1) x x x x +1 =

(c + d)x 3 + (b - c)x 2 + (a + b)x + a x 3 (x + 1)

Trang 42


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

ìc + d = 1 ìa = -1 ï b + c = -1 ï b = -3 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í ïa + b = -4 ïc = 2 ïîa = -1 ïîd = -1 x 3 - x 2 - 4x - 1 1 3 2 1 Khi ñoù: =- 3 - 2 + . 4 3 x +x x x x x +1 3 2 1 ö 1 3 æ 1 Do ñoù: I = ò ç - 3 - 2 + ÷ dx = 2 + + 2 ln | x | - ln | x + 1 | + C. x x +1ø 2x x è x x 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN

Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I =

x k -1.P(x k )dx ò Q(x k ) .

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Ñaët t = xk, suy ra : dt = kx k -1dx, Khi ñoù: I =

1 P1 (t)dt k ò Q1 (t)

(1)

Trong ñoù P1(x), Q1(x) laø ña thöùc coù baäc nhoû hôn P(x) vaø (Q(x). ·

Böôùc 2: Tính tích phaân trong (1)

Chuù yù:

Ta nhaän thaáy söï môû roäng töï nhieân vôùi daïng: I =

ò

j '(x).P[j(x)]dx Q[j(x)]

trong ñoù j(x) laø moät ña thöùc baäc k cuûa x. Khi ñoù ñaët t = j(x). x 3dx Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 8 . (x - 4)2 Giaûi: Ñaët t = x4 x 3dx 1 dt Suy ra: dt = 4x dx & 8 = . 2 2 (x - 4) 4 (t - 4)2 3

Khi ñoù: I =

1 dt ò 2 4 (t - 4)2

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 =

1 [(t + 2) - (t - 2)]2 16

1 [(t + 2) - (t - 2)]2 1 é 1 2 1 ù Ta ñöôïc: I = dt = ò ê - 2 + dt ò 2 2 2 64 64 ë (t - 2) (t - 4) t - 4 (t + 2)2 úû Trang 43


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

=

1 é 1 1 t-2 1 ù - ln +C ê 64 ë t - 2 2 t + 2 t + 2 úû

1 æ 2t 1 t-2 =- ç 2 - ln 64 è t - 4 2 t + 2

ö 1 æ 2x 4 1 x4 - 2 ÷ + C = - 64 çç x 8 - 4 - 2 ln x 4 + 2 ø è

Ví duï 14: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ö ÷÷ + C ø

(2x + 1)dx

ò x 4 + 2x3 + 3x2 + 2x - 3 Giaûi:

Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò

(2x + 1)dx (x + x + 1)2 - 4 2

Ñaët t = x 2 + x + 1 . Suy ra: dt = (2x + 1)dx &

(2x + 1)dx dt = 2 . 2 (x + x + 1) - 4 t - 4 2

dt t -2 x2 + x - 1 Khi ñoù: I = ò 2 = ln + C = ln 2 + C. t+2 t -4 x + x +3 Ví duï 15: Tính tích phaân baát ñònh: I =

Bieán ñoåi I veà daïng: I =

1 Ñaët t = x + . x

ò

x2 - 1 ò x 4 + 1dx.

Giaûi: 1 1 1- 2 1- 2 x dx = ò æ 1 xö2 dx. 1 2 +x çx + ÷ -2 x2 xø è

1 æ Suy ra: dt = ç 1 - 2 è x

1 ö x 2 = dt ÷ dx & 2 t2 - 2 ø 1ö æ çx+ ÷ xø è 1-

1 - 2 dt 1 t-2 1 x Khi ñoù: I = ò 2 = ln +C = ln +C 1 t -2 2 2 t+ 2 2 2 x+ + 1 x x+

x2 - x 2 + 1 = ln + C. 2 2 x2 + x 2 + 1 1

4. SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Phöông phaùp naøy cho duø ít ñöôïc söû duïng ñoái vôùi caùc haøm soá höõu tæ, tuy nhieân trong nhöõng tröôøng hôïp rieâng noù laïi toû ra khaù hieäu quaû. Baøi toaùn 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Trang 44


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: I =

ò

P(x)Q '(x)dx Q n (x)

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

ì u = P(x) ìdu ï Böôùc 1: Ñaët í Q '(x)dx Þ í îv ïdv = Q n (x) î

·

Böôùc 2: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.

Ví duï 16: Tính tích phaân baát ñònh: I =

x 4dx ò (x 2 - 1)3 Giaûi:

Bieán ñoåi I veà daïng: I =

x 3 .xdx ò (x 2 - 1)3

ì u = x3 ìdu = 3x 2 dx ï ï Ñaët : í xdx Þ í 1 ïdv = (x 2 - 1)3 ïv = 4(x 2 - 1)3 î î Khi ñoù: I =

x3 3 x 2 dx + 4(x 2 - 1)3 4 ò (x 2 - 1)2

(1)

Xeùt tích phaân: x 2dx 1 [(x + 1) + (x - 1)]2 dx 1 é 1 2 1 ù J=ò 2 dx = ò = òê + 2 + 2 2 2 2 4 4 ë (x - 2) (x - 1) (x - 1) x - 1 (x + 1)2 úû 1æ 1 x -1 1 ö 1 æ x -1 2x ö (2) = ç+ ln + C = ç ln - 2 +C ÷ 4 è x -1 x +1 x +1ø 4 è x + 1 x - 1 ÷ø x3 3 æ x -1 2x ö Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = + ç ln - 2 + C. 2 3 4(x - 1) 16 è x + 1 x - 1 ø÷ Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh tích phaân J chuùng ta cuõng coù theå tieáp tuïc söû duïng tích phaân töøng phaàn nhö sau: ìu = x ìdu = dx ï ï Ñaët: í xdx Þ í 1 dv = v = ï ï (x 2 - 1)2 2(x 2 - 1) î î Khi ñoù: J = -

x 2

2(x - 1)

+

1 dx x 1 x -1 =+ ln . ò 2 2 2 x -1 2(x - 1) 4 x + 1

5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU

Trong phaàn naøy chuùng ta seõ ñi xem xeùt moät vaøi baøi toaùn ñöôïc giaûi baèng caùc phöông phaùp khaùc nhau vaø muïc ñích quan troïng nhaát laø caàn hoïc ñöôïc phöông phaùp suy luaän qua moãi ví duï. Trang 45


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

x2 - 3 Ví duï 17: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx. x(x 4 + 3x 2 + 2) Giaûi: Ñaët t = x 2 . Suy ra: dt = 2xdx & x 3 (2 - 3x 2 )8 dx = Khi ñoù: I =

t -3 dt. t(t + 1)(t + 2)

t -3

ò t(t - 1)(t + 2) dt

t -3 a b c (a + b + c)t 2 + (2a + 2b + c)t + 2a Ta coù: = + + = t(t + 1)(t - 2) t t + 1 t + 2 t(t + 1)(t + 2) ìa + b + c = 0 ìa = -3/ 2 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í3a + 2b + c = 1 Û í b = 4 ï2a = -3 ïc = -5 / 2 î î t -3 31 4 5 1 Khi ñoù: =+ t(t + 1)(t + 2) 2 t t +1 2 t + 2 4 5 1 ö 3 5 æ 31 Do ñoù: I = ò ç + ÷ dt = - ln t + 4 ln | t + 1 | - ln | t + 2 | + C 2 2 è 2 t t +1 2 t + 2 ø 3 5 = - ln(x 2 ) + 4 ln(x 2 + 1) - ln(x 2 + 2) + C. 2 2 Ví duï 18: Tính tích phaân baát ñònh: I =

dx

ò t(x6 + 1)2 . Giaûi:

Ñaët t = x 3 . Khi ñoù: I =

Suy ra: dt = 3x 2 dx &

dx 1 dt = . 2 6 2 x(x + 1) 3 t(t + 1)2

1 dt ò 2 3 t(t + 1)2

1 a bt ct (a + b)t 4 + (2a + b + c)t 2 + a Ta coù: 2 = + + = t(t + 1)2 t t 2 + 1 (t 2 + 1)2 t(t 2 + 1)2 ìa + b = 0 ï Ñoàng nhaát, ta ñöôïc: í2a + b + c = 0 Û ïa = 1 î

ìa = 1 ï í b = -1 ï c = -1 î

Þ

dt 1 t t = - 2 - 2 . 2 t(t + 1) t t + 1 (t + 1)2 2

é1 t t ù 1 1 1 - 2 dt = ln | t | - ln | t 2 + 1 | + . 2 +C Do ñoù: I = ò ê - 2 2ú 2 2 t +1 ë t t + 1 (t + 1) û 1 t2 1 1 x6 1 = (ln 2 + 2 ) + C = (ln 6 + 6 ) + C. 2 t +1 t +1 2 x +1 x +1

Trang 46


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

1 - x4 Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx. x(1 + x 4 ) Giaûi: Ñaët t = x 4 . Suy ra: dt = 4x 3dx & Khi ñoù: I = Ta coù:

1 - x4 1 1- t = . 4 x(1 + x ) 4 t(1 + t)

1 1- t dt 4 ò t(1 + t)

1- t a b (a + b)t + a = + = t(1 + t) t t + 1 t(t 2 + 1)2

ìa + b = -1 ìa = 1 1- t 1 2 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Ûí Þ = t(1 + t) t t + 1 îa = 1 î b = -2 2 ö |t| x4 æ1 Do ñoù: I = ò ç dt = ln | t | 2 ln | t + 1 | + C = ln + C = ln + C. ÷ (t + 1)2 (x 4 + 1)2 è t t +1ø Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I =

(x 3 - 1)dx ò x(x3 - 4)(x 4 - 4x + 1) . Giaûi:

Bieán ñoåi I veà daïng: I =

(x 3 - 1)dx ò (x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1)

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = (x 4 - 4x + 1)( -(x 4 - 4x) [(x 4 - 4x + 1) - (x 4 - 4x)](x 3 - 1)dx (x 3 - 1)dx (x 3 - 1)dx Ta ñöôïc: I = ò =ò 4 -ò 4 (x 4 - 4x)(x 4 - 4x + 1) x - 4x x - 4x + 1 1 1 x 4 - 4x = (ln | x 4 - 4x | - l n | x 4 - 4x + 1 |) + C = ln 4 + C. 4 4 x - 4x + 1 x2 - 1 dx. Ví duï 21: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 4 x + 2x 3 - x 2 + 2x + 1 Giaûi: Chia caû töû vaø maãu cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho x 2 ¹ 0, ta ñöôïc: 1ö 1 ö æ æ dçx + ÷ d ç x + + 1÷ xø x ø è I=ò dx = ò =ò è 2 2 2 1 1ö 1ö 1 ö æ æ æ x 2 + 2x - 1 + + 2 çx + ÷ + 2çx + ÷ - 3 ç x + + 1÷ - 4 x x xø xø x ø è è è 1-

1 x2

1 1 x + x +1- 2 1 x2 - x + 1 = ln + C = ln 2 + C. 4 x + 1 +1+ 2 4 x + 3x + 1 x Trang 47


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

BAØI TAÄP Baøi 20. Tính tích phaân sau: dx a/ ò 2 ; 4x + 8x + 3 1 2x + 1 ln + C; ÑS: a/ 4 2x + 3

dx ; - 7x + 10 1 x-5 b/ ln + C; 3 x-2 b/

òx

Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau: 2x - 7 5x - 7 a/ ò 2 dx; b/ ò 2 dx; x - 3x + 2 x - 3x + 2 ÑS:

dx . - 2x - 1 1 3x + 3 c/ ln + C. 4 3x + 1

c/ ò

a/

5ln x - 1 - 3ln x - 2 + C; b/

c/

3ln x + 2 - ln x + 3 + C;

d/

ò 3x

c/

2

2

2x + 7 dx; x + 5x + 6 2

2x + 5 dx; 9x - 6x + 1 9 x -1 5ln x + 1 - ln + C; 2 x +1 d/ ò

2

2 17 æ 1 ö ln 3x - 1 - . ç ÷ + C. 9 9 è 3x - 1 ø

Baøi 22. Tính caùc tích phaân sau: dx xdx 2x 2 + 41x - 91 a/ ò ; ; b/ ò dx; c/ ò 3 2 6x - 7x 2 - 3x (x + 1)(2x + 1) (x - 1)(x - x - 12) x3 - 1 d/ ò 3 dx; 4x - x ÑS:

(x 3 - 3x + 2)dx e/ ò ; x(x 2 + 2x + 1)

1 1 a/ ln x + 1 - ln x + + C; 2 2

(x + 2)2 dx f/ ò . x(x 2 - 2x + 1) b/ 4 ln x - 1 + 5 ln x - 4 + 7 ln x + 3 + C;

1 2 3 3 1 c/ - ln x + ln x - + ln x + + C; 3 33 2 11 3 d/

1 7 1 9 1 x + ln x - ln x - - ln x + + C; 4 16 2 16 2

e/ x + 2 ln x 4 ln x + 1 -

4 + C; x +1

f/ 4 ln x - 2 ln x - 1 -

9 + C. x -1

Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau: xdx xdx x 7dx a/ ò 4 ; b/ ò 4 ; d/ ; c/ ò 4 2 2 x - 3x + 2 x - 2x 2 - 1 (x + 1) f/ ò

x 5dx x2 - 1 dx ; g/ h/ ; ò x(x10 + 1)2 ò x 4 + 1 dx; x6 - x3 - 2

ÑS:

a/ c/

1 x2 - 2 ln + C; 2 x2 - 1 1 4 2

ln

b/

x 2 - (1 + 2) + C; d/ x 2 - (1 - 2)

Trang 48

x 5dx 2dx ò x6 - x3 - 2 ; e/ ò x(x 2 + 1) ;

i/ ò

x3 x 2dx k/ dx; ò (1 - x)10 . (x 2 + 1)2

1æ 1 ö 4 ç ln x - 1 + 4 ÷ + C; 4è x +1 ø 1 1 x3 - 2 ln x6 - x3 - 2 + ln 3 + C; 6 18 x + 1


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

x2 + C; x2 + 1

f/

1 x2 ln 2 + C; 8 x +4

e/

ln

g/

1 æ x10 ö 9 ln ç 10 + C; h/ ÷ + 10 9 è x +1ø x +1

1 é ù x+ - 2ú ê 1 x ln ê ú + C; 2 2 êx + 1 + 2 ú x ë û

i/

1é 1 ù 2 ln(x + 1) + + C; k/ 2 2 êë x + 1 úû

-

1 1 1 + C. 7 8 7(x - 1) 4(x - 1) 9(x - 1)9

2x 2 + 2x + 5 x 2 - 3x + 2 m n p a/ Tìm m, n, p ñeå f(x) = + + 2 (x - 1) x -1 x + 2

Baøi 24. Cho haøm soá f(x) =

b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) ÑS: a/ m = 3;n = 1; p = 1.

(ÑHTM_1994) 3 ln (x - 1)(x + 2) + C. x -1

b/

Baøi 25. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: a/ f(x) = ÑS: a/

x4 - 2 ; x3 - x

1 x2 - 1 ln + C. 2 x2

b/

1 2 1 x + 2 ln x - ln x 2 - 1 + C; 2 2

b/

(ÑHTM_1994)

1 x2 - 1 ln + C. 2 x2

3x 2 + 3x + 3 . Baøi 26. Cho haøm soá y = 3 x - 3x + 2 a b c + + . 2 (x - 1) x - 1 x - 2

a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c ñeå y = b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa y ÑS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/

(ÑHQG–Haø Noäi_1995) -

3 + 2 ln x - 1 + ln x + 2 + C. x -1

Baøi 27. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: a/ f(x) =

x 2001 (1 + x 2 )1002

c/ f(x) =

x2 - 1 (x 2 + 5x + 1)(x 2 - 3x + 1)

b/ f(x) =

1999

x(x

1001

1 æ x2 ö ÑS: a/ ç ÷ 2002 è 1 + x 2 ø c/

+ C;

1 x 2 - 3x + 1 ln + C. 8 x 2 - 5x + 1

Trang 49

b/

1 + 2000)

1 x1999 ln 1999 + C; 1999 - 2000 x + 2000


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 8:

NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC

Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn. 2. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn. 3. Phöông phaùp ñoåi bieán. 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng vieäc söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn. Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx sin(x + a)sin(x + b)

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin(a - b) sin[(x + a) - (x + b) 1= = sin(a - b) sin(a - b) ·

Böôùc 2: Ta ñöôïc: dx 1 sin[(x + a) - (x - b)] I=ò dx = dx ò sin(x + a)sin(x + b) sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) 1 sin(x + a).cos(x + b) - cos(x + a).sin(x + b) = dx ò sin(a - b) sin(x + a)sin(x + b) =

1 é cos(x + b) cos(x + a) ù dx - ò dx ò ê sin(a - b) ë sin(x + b) sin(x + a) úû

=

1 [ln | sin(x + b)} - ln | sin(x + a) |] + C sin(a - b)

=

1 sin(x + b) ln + C. sin(a - b) sin(x + a)

Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: dx sin(a - b) 1. I = ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 = . cos(x + a) cos(x + b) sin(a - b) 2. I = ò

dx cos(a - b) , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 = . sin(x + a) cos(x + b) cos(a - b)

Trang 50


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ví duï 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

·

1 . pö æ sin x.cos ç x + ÷ 4ø è

Giaûi: Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn p cos éæ x + p ö - x ù ÷ cos êç 4 ø ûú éæ pö ù è ë 4 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = = = 2 cos êç x + ÷ - x ú . p 4ø û 2 ëè cos 4 2 éæ pö ù pö pö æ æ cos êç x + ÷ - x ú cos ç x + ÷ cosx + sin ç x + ÷ sin x 4ø û 4ø 4ø ëè è è Ta ñöôïc: F(x) = 2 ò dx = 2 ò pö pö æ æ sin x.cos ç x + ÷ sin x.cos ç x + ÷ 4ø 4ø è è é pö ù æ sin ç x + ÷ ú ê cos x 4ø è = 2 êò dx + ò dx ú p sin x æ ö ê cos ç x + ÷ ú êë 4 ø úû è é pöù æ = 2 ê ln | sin x | - ln cos ç x + ÷ ú + C = 2 ln 4øû è ë

·

sin x +C pö æ cos ç x + ÷ 4ø è

Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm f(x) dx dx Ta coù: F(x) = 2 ò = 2ò 2 sin x.(cos x - sin x) sin x(cot gx - 1) = - 2ò

d(cot gx) d(cot gx - 1) = - 2ò = - 2 ln cot gx - 1 + C. cot gx - 1 cot gx - 1

Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx sin x + sin a

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: dx 1 dx · Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò = ò (1) sin x + sin a 2 sin x + a .cos x - a 2 2 · Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1). Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: dx 1. I = ò , vôùi | m | £ 1 sin x + m dx dx 2. I = ò vaø I = ò , vôùi | m | £ 1 . cos x + cos a cos x + m

Trang 51


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ví duï 2: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

1 . 2 sin x + 1

Giaûi: Bieán ñoåi f(x) veà daïng: 1 1 1 1 1 f(x) = = . = . 6x + p 6x - p p 4 1ö 2 æ sin x + sin sin .cos 2 ç sin x + ÷ 6 12 12 è 2ø

(1)

p æ 6x + p 6x - p ö cos ç ÷ è ø = 2 cos æ 6x + p - 6x - p ö 12 12 6 = Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = ç ÷ p è 12 12 ø 3 3 cos 6 2 cos

æ 3x + p 6x - p ö cos ç ÷ è ø 12 12 Ta ñöôïc: F(x) = ò 2 3 sin 6 + p .cos 6x - p 12 12 6x + p 6x - p 6x + p 6x - p 1 cos 12 .cos 12 + sin 12 .sin 12 = ò 6x + p 6x - p 2 3 sin .cos 12 12 6x + p 6x - p ù é cos sin 1 ê 12 dx + 12 dx ú = êò ò 6x - p ú 2 3 ê sin 6x + p ú cos ë û 12 12 1

6x + p 1 é 6x + p 6x + p ù 1 12 + C. = ln ê ln sin 12 - ln cos 12 ú + C = 6x 2 3ë 3 cos - p û 12 sin

Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: sin x.sin(x + a ) I = ò tgx.tg(x + a )dx = ò dx cos x.cos(x + a ) æ cos x.cos(x + a) + sin x.sin(x + a ) ö = òç - 1 ÷ dx cos x.cos(x + a ) è ø cos adx dx =ò - ò dx = cos a ò -x cos x.cos(x + a) cos x.cos(x + a )

(1)

· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1). Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau: Trang 52


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

1. I = ò tg(x + a ).cot g(x + b)dx. 2. I = ò cot g(x + a ).cot g(x + b)dx. pö æ Ví duï 3: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = tgx.tg ç x + ÷ . è 4ø Giaûi: pö pö pö æ æ æ sin x.sin ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ + sin x.sin ç x + ÷ è 4ø = è 4ø è 4 ø -1 Bieán ñoåi f(x) veà daïng: f(x) = pö pö æ æ cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ 4ø 4ø è è p cos 2 1 4 = -1 = . - 1. pö pö 2 æ æ cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ è 4ø è 4ø 2 dx 2 dx - ò dx = -x + Khi ñoù: F(x) = (1) ò ò pö pö 2 æ 2 æ cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ 4ø 4ø è è dx Ñeå ñi xaùc ñònh : J = ò ta löïa choïn moät trong hai caùch sau: pö æ cos x.cos ç x + ÷ è 4ø · Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn. p sin éæ x + p ö - x ù ÷ sin êçè éæ pö ù 4 ø úû ë 4 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = = = 2 sin êç x + ÷ - x ú p 4ø û 2 ëè sin 4 2 Ta ñöôïc: éæ pö ù pö pö æ æ sin êç x + ÷ - x ú sin ç x + ÷ cos x - cos ç x + ÷ sin x 4ø û ëè 4ø è 4ø J = 2ò dx = 2 ò è dx pö pö æ æ cos x.cos ç x + ÷ cos x.cos ç x + ÷ è 4ø è 4ø

·

é pö ù æ ê sin èç x + 4 ø÷ é ù sin x ú pö æ = 2 êò dx - ò dx ú = 2 ê - ln cos x ç x + ÷ + ln cos x ú + C cos x ú è 4ø ë û ê cos æç x + p ö÷ êë úû è 4ø cos x = 2 ln + C = - 2 ln 1 - tgx + C. pö æ cos ç x + ÷ è 4ø Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm döôùi daáu tích phaân dx dx Ta coù: J = 2 ò = 2ò 2 cos x.(cos x - sin x) cos x(1 - tgx)

Trang 53


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

d(tgx) d(1 - tgx) = - 2ò = - 2 ln 1 - tgx + C 1 - tgx 1 - tgx Vaäy ta ñöôïc: F(x) = -x - ln 1 - tgx + C. = 2ò

dx asin x + b cos x PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta coù theå löïa choïn hai caùch bieán ñoåi: · Caùch 1: Ta coù: 1 dx 1 dx = I= ò ò a2 + b2 sin(x + a ) a2 + b 2 2 sin x + a cos x + a 2 2 æ x+aö d ç tg ÷ 1 dx 1 2 ø è = = ò ò x+a a2 + b 2 2tg x + a cos2 x + a a2 + b 2 tg 2 2 2 1 x+a ln tg = + C. 2 a2 + b 2

Daïng 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

Caùch 2: Ta coù: 1 dx 1 sin(x + a)dx I= = 2 2 ò sin(x + a ) 2 2 ò sin 2 (x + a) a +b a +b 1 d[cos(x + a )] 1 cos(x + a ) - 1 ==ln + C. 2 2 ò cos 2 (x + a ) - 1 2 2 cos(x + a ) + 1 a +b 2 a +b Chuù yù: Chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp ñaïi soá hoaù vôùi vieäc ñoåi bieán: x t = tg . 2 2 . Ví duï 4: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = 3 sin x + cos x Giaûi: 2dx dx dx Ta coù: F(x) = ò =ò =ò pö æ æx p ö æx p ö 3 sin x + cos x sin ç x + ÷ 2sin ç + ÷ cos ç + ÷ 6ø è 2 12 ø è 2 12 ø è é æ x p öù d ê tg ç + ÷ ú dx x p è 2 12 ø û =ò =ò ë = ln tg + + C. æx p ö 2æx p ö æx p ö 2 12 2tg ç + ÷ cos ç + ÷ tg ç + ÷ è 2 12 ø è 2 12 ø è 2 12 ø

·

Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

a1 sin x + b1 cos x dx. a2 sin x + b2 cos x

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Trang 54


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

·

Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cos x - b 2 sin x)

·

Böôùc 2: Khi ñoù: A(a2 sin x + b 2 cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x) I=ò dx a2 sin x + b 2 cos x = A ò dx + Bò

a2 cos x - b2 sin x dx = Ax + Bln a2 sin x + b 2 cos x + C a2 sin x + b 2 cos x

Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

4 sin x + 3cos x . sin x + 2 cos x

Giaûi: Bieán ñoåi: 4sin x + 3cos x = a(sin x + 2 cos x) + b(cos x - 2sin x) = (a - 2b)sin x + (2a + b) cos x ìa - 2b = 4 ìa = 2 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í î2a + b = 3 î b = -1 Khi ñoù: f(x) =

2(sin x + 2 cos x) - (cos x - 2sin x) cos x - 2sin x =2. sin x + 2 cos x sin x + 2 cos x

cos x - 2sin x ö d(sin x + 2 cos x) æ Do ñoù: F(x) = ò ç 2 ÷ dx = 2 ò dx sin x + 2 cos x ø sin x + 2 cos x è = 2x - ln sin x + 2 cos x + C Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

a1 sin x + b1 cos x dx (a2 sin x + b2 cos x)2

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Bieán ñoåi : a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 cosx - b2 sin x)

·

Böôùc 2: Khi ñoù: I=ò

A(a2 sin x + b 2 cos x) + B(a2 cos x - b2 sin x) dx (a2 sin x + b 2 cos x)2 dx a cos x - b2 sin x + Bò 2 dx a2 sin x + b 2 cos x (a2 sin x + b 2 cos x)2

= Aò =

A

2

=

dx

ò a2 + b2 sin(x + a ) a 2

A a22 + b22

ln | tg

Trong ñoù sin a =

B 2 sin x + b2 cos x

x+a B |+C 2 a2 sin x + b 2 cos x

b2 a22 + b 22

vaø cos a =

a2 a22 + b 22

Trang 55


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ví duï 6: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

8cos x . 2 + 3 sin 2x - cos2x

Giaûi: Bieán ñoåi: f(x) =

8cos x 8cos x = 2 3sin x + 2 3 sin x cos x + cos x ( 3 sin x + cos x)2 2

Giaû söû: 8cosx = a( 3sinx + cosx) + b( 3 cosx - sinx) = (a 3 - b)sinx + (a + b 3)cosx ìïa 3 - b = 0 ìïa = 2 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Ûí ïî b = 2 3 îïa + b 3 = Khi ñoù: f(x) = Do ñoù: F(x) = ò =

2 2 3( 3 cos x - sin x) 3 sin x + csx ( 3 sin x + cos x) 2dx d( 3 sin x + cos x) - 2 3ò 3 sin x + cos x ( 3 sin x + cos x)2

1 2 3 æx p ö ln tg ç + ÷ + C. 2 è 2 12 ø 3 sin x + cos x

Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:

ò

2dx 1 æx p ö = ln tg ç + ÷ + C è 2 12 ø 3 sin x + cos x 2

Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx asin x + b cos x + c

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta xeùt 3 khaû naêng sau: 1. Neáu c = a2 + b2 Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi: 1 1 1 1 = = . asin x + b cos x + c c[1 + cos(x - a)] 2c cos2 x - a 2 trong ñoù sin a =

a a2 + b 2

vaø cos a =

b a2 + b 2

æ x -a ö dç ÷ 1 x -a 1 dx 1 Khi ñoù: I = ò = ò è 2 ø = tg + C. 2c cos2 x - a c cos2 x - a 2 2 2 2 2. Neáu c = - a2 + b 2 Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:

Trang 56


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

1 1 1 1 = = . asin x + b cos x + c c[1 - cos(x - a )] 2c sin 2 x - a 2 trong ñoù sin a =

a a2 + b 2

vaø cos a =

b a2 + b 2

æ x -a ö d 1 dx 1 èç 2 ø÷ 1 x-a Khi ñoù: I = ò = ò = cot g + C. 2c sin 2 x - a c sin 2 x - a c 2 2 2 3. Neáu c2 ¹ a2 + b 2 x Ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán t = tg . 2 Khi ñoù: dx =

2dt 2t 1 - t2 , sin x = & cos x = . 1 + t2 1 + t2 1 + t2

Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

2dx . 2sin x - cos x + 1 Giaûi:

x 1 1 1æ xö 1 2dt Ñaët: t = tg , ta ñöôïc: dt = . dx = ç1 + tg2 ÷ dx = (1 + t 2 )dx Þ dx = 2 2 cos2 x 2è 2ø 2 1 + t2 2 4dt x tg -1 2 2dt d(t + 1) t -1 1 + t 2 Khi ñoù: I = ò =ò 2 = 2ò = ln + C = ln +C x t +1 4t 1 - t2 t + 2t (t + 1)2 - 1 tg + 1 +1 2 1 + t2 1 + t2 æ x pö = ln tg ç - ÷ + C. è2 4ø Daïng 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

a1 sin x + b1 cos x + c1 dx. a1 sin x + b2 cos x + c2

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Bieán ñoåi: a1 sin x + b1 cos x + c1 = A(a2 sin x + b 2 cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b 2 sin x) + C ·

Böôùc 2: Khi ñoù: A(a2 sin x + b 2 cos x + c2 ) + B(a2 cos x - b2 sin x) + C I=ò a2 sin x + b2 cos x + c2 = A ò dx + Bò

a2 cos x - b2 sin x dx dx + C ò a2 sin x + b 2 cos x + c2 a2 sin x + b2 cos x + c2 Trang 57


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

= Ax + Bln a2 sin x + b2 cos x + c2 + C ò trong ñoù

òa

dx a2 sin x + b 2 cos x + c2

dx ñöôïc xaùc ñònh nhôø daïng 4. 2 sin x + b 2 cos x + c2

Ví duï 8: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) =

5sin x .. 2 sin x - cos x + 1

Giaûi: Giaû söû: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c = (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c. ì2a + b = 5 ìa = 2 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2b - a = 0 Û í b = 1 ïa + c = 0 ï c = -2 î î 2(2sin x - cos x + 1) + (2 cos x + sin x) - 2 Khi ñoù: f(x) = 2 sin x - cos x + 1 2 cos x + sin x 2 =2+ 2sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1 2 cos x + sin x 2 Do ñoù: F(x) = ò 2dx + ò dx - ò dx 2sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1 d(2 sin x - cos x + 1) 2dx = 2 ò dx + -ò 2 sin x - cos x + 1 2sin x - cos x + 1 æx pö = 2x + ln | 2sin x - cos x + 1 | - ln tg ç - ÷ + C. è2 2ø Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 7 laø: 2dx

æx

ò 2sin x - cos x + 1 = ln tg çè 2 - 4 ÷ø + C. a1 sin 2 x + b1 sin x cos x + c1 cos2 x dx. Daïng 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò a2 sin x + b2 cos x PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Bieán ñoåi: a1 sin 2 x + b1 sin x.cos x + c1 cos2 x = (A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b 2 cos x) + C(sin 2 x + cos2 x)

·

Böôùc 2: Khi ñoù: (A sin x + Bcos x)(a2 sin x + b 2 cos x) + C I=ò dx a2 sin x + b 2 cos x = ò (Asinx + Bcos x)dx + C ò

dx a2 sin x + b 2 cos x Trang 58


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

= - A cos x + Bsin x +

C

dx

ò a2 + b2 sin(x + a) 2

= - A cos x + Bsin x + trong ñoù sin a =

b2 2 2

a +b

2 2

2

C a22 + b22

ln | tg

x+a | +C 1 a2

vaø cos a =

2 2

a + b 22

.

4sin 2 x + 1 Ví duï 9: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = . 3 sin x + cos x Giaûi: Giaû söû: 4sin2 x + 1 = 5sin2 x + cos2 x = (asinx + bcosx)( 3sinx + cosx) + c(sin2 x + cos2 x) = (a 3 + c)sin 2 x + (a + b 3)sin x.cos x + (b + c) cos2 x. ìa 3 + c = 5 ìa = 3 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: ía + b 3 = 0 Û í b = -1 ï ïc = 2 îb + c = 1 î Do ñoù: F(x) = ò ( 3 sin x - cos x)dx - ò

2dx 3 sin x + cos x

1 æx p ö = - 3 cos x - sin x - ln tg ç + ÷ + C. 2 è 2 12 ø Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:

ò

2dx 1 æx p ö = ln tg ç + ÷ + C. è 2 12 ø 3 sin x + cos x 2

Daïng 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx . asin x + b sin x cos x + ccos2 x 2

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: dx (atg x + btgx + c) cos2 x

·

Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò

·

Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = tgx 1 dx dt Suy ra: dt = dx & = 2 2 2 2 cos x (atg x + btgx + c) cos x at + bt + c Khi ñoù: I = ò

2

dt . at 2 + bt + c

Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx 3sin x - 2sin x cos x - cos2 x 2

Trang 59


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Giaûi: Söû duïng ñaúng thöùc:

Ta coù:

dx = d(tgx) cos2 x

1ö æ d ç tgx - ÷ dx 1 d(tgx) 1 3ø è I=ò = ò = ò 2 2 2 2 (3tg x - 2tgx - 1) cos x 3 æ 1ö 4 3 æ 1ö 4 ç tgx - ÷ ç tgx - ÷ 3ø 9 3ø 9 è è 1 2 tgx - 1 3 3 + C = 1 ln tgx - 1 + C = 1 ln sin x - cos x + C. = ln 4 tgx - 1 + 2 4 3tgx + 1 4 3sin x + cos x 3 3

2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm: ·

Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích)

·

Haï baäc

·

Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc.

Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu. 2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1 a/ cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x - y)] c/ 2 1 b/ sinx.siny = [cos(x - y) - cos(x + y)] d/ 2

1 sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x - y)] 2 1 cosx.siny = [sin(x + y) - sin(x - y)] 2

Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cos3x.cos5x.

(ÑHAN–97)

Giaûi: 1 Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x) = (cos8x + cos2x) 2 1 1æ1 1 ö Khi ñoù: F(x) = ò (cos8x + cos2x)dx = ç sin 8x + sin 2x ÷ + C. 2 2è8 2 ø Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau: Trang 60


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

æp ö æp ö Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = tgxtg ç - x ÷ tg ç + x ÷ è3 ø è3 ø Giaûi: æp ö æp ö sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷ è3 ø è3 ø Ta coù: f(x) = æp ö æp ö cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷ è3 ø è3 ø

(1)

Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: 2p ö æp ö æp ö 1 æ sin x.sin ç - x ÷ .sin ç + x ÷ = sin x ç cos 2x - cos ÷ 3 ø è3 ø è3 ø 2 è 2p æp ö æp ö 1 æ ö cos x.cos ç - x ÷ .cos ç + x ÷ = cos ç cos + cos 2x ÷ 3 è3 ø è3 ø 2 è ø 1 1 1 1 1 = - cos x + cos 2x.cos x = - cos x + (cos3x + cos x) = cos3x. 4 2 4 4 4 Suy ra: f(x) = tg3x 1 1 sin 3x 1 d(cos3x) 1 Khi ñoù: F(x) = ò tg3xdx = ò dx = - ò = - ln cos3x + C. 4 4 cos3x 12 cos3x 12 2.2. Söû duïng pheùp haï baäc: ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau: 1 - cos2x 3sin x - sin 3x a/ sin 2 x = c/ sin 3 x = 2 4 1 + cos x 3 cos x + cos3x b/ cos2 x = d/ cos3 x = 2 4 ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc: sin 2 x + cos2 x = 1. ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính toaøn cuïc cho caùc bieåu thöùc, ví duï nhö: 1 1 sin 4 x + cos4 x = (sin 2 x + cos2 x)2 - 2sin 2 x.cos2 x = 1 - sin 2 2x = 1 - (1 - cos 4x) 2 4 1 3 = cos 4x + 4 4 3 sin 6 x + cos6 x = (sin 2 x + cos2 x)3 - 3sin 2 x + cos2 x) = 1 - sin 2 2x 4 3 3 5 = 1 - (1 - cos 4x) = cos 4x + . 8 8 8 Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : a/ f(x) = sin3 x.si n3x b/ f(x) = sin 3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x. Giaûi: Trang 61


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: f(x) =

3sin x - sin x 3 1 .sin 3x = sin 3x.sin x - sin 2 3x. 4 4 4

3 1 1 = ( cos 2x - cos 4x ) x - (1 - cos 6x) = (3 cos2x - 3cos 4x + cos6x - 1) . 8 8 8 Khi ñoù: F(x) =

1 (3cos2x - 3cos 4x + cos 6x - 1)dx 8ò 1æ 3 3 1 ö = ç sin 2x - sin 4x + sin 6x - x ÷ + C. 8è2 4 6 ø

b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng: f(x) =

3sin x - sin 3x cos3x + 3 cos x .cos3x + .sin 3x 4 4

3 3 = (cos3x.sin x + sin 3x.cos x) = sin 4x. 4 4 Khi ñoù: F(x) =

3 3 sin 4xdx = - cos 4x + C. ò 4 16

2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi. Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá : a/ f(x) =

sin x - cos x ; sin x + cos x

b/

f(x) =

cos2x . sin x + cos x

Giaûi: a/ Ta coù: F(x) = ò

sin x - cos x d(sin x + cos x) = -ò = - ln(sin x + cos x) + C sin x + cos x sin x + cos x

b/ Ta coù: F(x) = ò

cos 2x cos2 x - sin 2 x dx = ò dx sin x + cos x sin x + cos x

= ò (cos x - sin x)dx = sin x + cos x + C. Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

sin 3x.sin 4x . tgx + cot g2x

Giaûi: Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng: sin 3x.sin 4x sin 3x.sin 4x 1 = = sin 4x.sin 3x.sin 2x = (cos x - cos 7x)sin 2x cos x tgx + cot g2x 2 cos x.sin 2x Trang 62


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

1 1 = (sin 2x.cos x - cos 7x.sin 2x) = (sin 3x + sin x - sin 9x + sin 5x). 2 4 Khi ñoù: I =

1 (sin x + sin 3x + sin 5x - sin 9x)dx 4ò

1 1 1 1 = - (cos x + cos3x cos 5x - cos 9x) + C. 4 3 5 9 Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng:

ò sin

m

x.cos n xdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc

tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc. 3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN

Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Tính tích phaân baát ñònh sau: I = ò R(sin x, cos x)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ. Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau: –

Höôùng 1: Neáu R(- sin x, cos x) = - R(sin x, cos x) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx

Höôùng 2: Neáu R(sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx

Höôùng 3: Neáu R(- sin x, - cos x) = - R(sin x, cos x) thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx (ñoâi khi coù theå laø t = cotgx). Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng: 1. I = ò tg n xdx, vôùi n Î Z ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx. 2. I = ò cot g n xdx, vôùi n Î Z ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx.

Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi x bieán t = tg . 2

Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò Giaûi: Bieán ñoåi I veà daïng: I =

ò

(1 + sin x)cos x 2 + sin x

Ñaët t = sinx Suy ra: dt = cos xdx &

(1 + sin x) cos x 1+ t dx = dt 2 + sin x 2+t Trang 63

cos x + sin x.cos x dx. 2 + sin x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Khi ñoù: I = ò

1+ t 1 ö æ dt = ò ç 1 ÷dt = t - ln | 2 + t | + C = sin x - ln | 2 + sin x | + C 2+t è 2+tø

Nhaän xeùt: Trong baøi toaùn treân sôû dó ta ñònh höôùng ñöôïc pheùp bieán ñoåi nhö vaäy laø bôûi nhaän xeùt raèng: R(sinx, –cosx) = –R(sinx, cosx) do ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx. Ví duï 17: (ÑHTCKT HN_96): Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

Bieán ñoåi I veà daïng: I =

dx 4

3

5

sin x.cos x

.

Giaûi: dx

dx

ò 4 tg3 x.cos8 x = cos2 x 4 tg3 x

Ñaët: t = tgx Suy ra: dt = Khi ñoù:

dt

dx dx dt & = 2 cos x cos2 x 4 tg3 x 4 t 3

ò 4 t3

= 4 4 t + C = 4 4 tgx + C.

1 1 = ñieàu naøy raát quan troïng, khôûi 2 t |t| khi ñoù ta phaûi xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0.

Chuù yù: Nhö chuùng ta ñaõ thaáy trong vaán ñeà 8 laø

Ví duï 18: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

sin xdx cos x sin 2 x + 1 Giaûi: dt

Ñaët t = cosx Þ dt = –sinxdx do ñoù: I = - ò

t 2 - t2 Ta caàn xeùt hai tröôøng hôïp t > 0 vaø t < 0. Cuï theå: · Vôùi t > 0, ta ñöôïc: æ1ö dç ÷ dt 1 2 2 1 I=ò =ò ètø = ln 2 + 2 - 1 + C = ln t t 2 2 2 2 t2 2 - 1 -1 t t2 · Vôùi x < 0, ta ñöôïc: æ1ö dç ÷ dt 1 2 2 I=ò ln = -ò è t ø = + 2 -1 + C t t 2 2 2 t2 2 - 1 1 t t2 =-

1 ln 2

2 + 2 - t2 1 +C = ln t 2

Toùm laïi ta ñöôïc: Trang 64

2 + 2 - t2 + C. t

2 + 1 + sin 2 x + C. cos x


Traàn Só Tuøng

I=

Tích phaân

1 ln 2

2 + 2 - t2 1 +C= ln t 2

2 + 1 + sin 2 x + C. cos x

4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Chuùng ta ñaõ ñöôïc bieát trong vaán ñeà: Xaùc ñònh nguyeân haøm baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, ñoái vôùi caùc daïng nguyeân haøm: Daïng 1: Tính: ò P(x)sin axdx hoaëc ò P(x) cos axdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø a Î R* .

ì u = P(x) ì u = P(x) Khi ñoù ta ñaët: í hoaëc í îdv = sin axdx îdv = cos axdx Daïng 2: Tính: ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0 ì u = cos(bx) ì u = sin(dx) Khi ñoù ta ñaët: í hoaë c í ax ax îdv = e dx îdv = e dx x Ví duï 19: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò dx cos2 x Giaûi: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn, baèng caùch ñaët: ìu = x ìdu = dx ï í dx Þ í îv = tgx ïîdv = cos2 x sin x d(cos x) dx = x.tgx + ò = x.tgx + ln | cos x | +C. Khi ñoù: I = x.tgx - ò tgxdx = x.tgx - ò cos x cos x cos2 xdx Ví duï 20: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò . sin 3 x Giaûi: cos x.d(sin x) . sin3 x ì u = cos x ìdu = - sin xdx ï ï Ñaët: í d(sin x) Þ í 1 ïîdv = sin 3 x ïî v = - sin 2 x Bieán ñoåi I veà daïng: I =

Khi ñoù: I = -

ò

cos x dx cos x æ x = d ln tg ç sin 2 x ò sin x sin 2 x ò è 2

Trang 65

ö cos x x ÷ = - 2 - ln tg + C. sin x 2 ø


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

BAØI TAÄP Baøi 28. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá: a/ f(x) =

c/ f(x) = f/ ÑS:

1 pö æ cos x cos ç x + ÷ è 4ø cos2 x sin x + 3 cos x

b/ f(x) =

d/ f(x) =

f(x) = (sin 4x + cos 4x)(sin 6x + cos6x) a/ - 2 ln 1 - tgx + C;

b/ -

1 2 + sin x - cos x sin x e/ f(x) = sin x.si n2x.cos5x 1 + sin 2x pö æ g/ f(x) = sin ç x - ÷ . ( 2 + sin 2x ) è 4ø

1 æ x pö cot g ç + ÷ + C; è2 8ø 2

1 æ pö 1 1 1 æ x pö æ x pö c/ sin ç x + ÷ + ln tg ç + ÷ + C; d/ ln tg ç + ÷ + + C; 2 è 6ø 8 è2 6ø è 2 8 ø 2(sin x + cos x) 2 2 1æ1 1 1 1 3 ö e/ ç sin 2x + sin 4x - sin 8x ÷ + C; f/ (33x + 7sin 4x + si n8x) + C; 4è2 4 8 64 8 ø pö pö 1 æ p öù 1é æ æ g/ ê -4 cos ç x - ÷ + sin ç x + ÷ - sin ç 3x - ÷ ú + C. 2ë è 4ø è 4ø 3 è 4 øû Baøi 29. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá sau: sin 3 x a/ f(x) = (ÑHSP II Haø Noäi _1999) 3sin 4x - sin 6x - 3sin 2x b/ I = ò cos5x.tgxdx K = ò cos3x.tgxdx (ÑHNT Tp.HCM– A_2000) 1 x cot gx d/ f(x) = e/ f(x) = 2 sin 2x - 2sin x sin x 1 + sin x pö pö æ æ f/ f(x) = tg ç x + ÷ .cot g ç x + ÷ g/ f(x) = (x 2 + 2)sin 2x 3ø 6ø è è 1 si n3x - 1 ÑS: a/ - ln + C; 48 sin 3x + 1 1 b/ I = 2sinx - 2 sin 3x + sin 5x + C; K = - cos3x + 2 cos x + C; 3 1æ 2 cos x - 1 ö c/ ç + ln + C; d/ -x cot gx + ln sin x + C; 8 è 1 - cos x cos x - 1 ÷ø c/ f(x)=

e/

g/

pö æ cos ç x - ÷ sin x 1 3ø è f/ x + ln + C; ln + C; 1 + sin x 3 cos æ x + p ö ç ÷ 3ø è 1 1 3 - x 2 cos2x + x sin 2x - cos2x + C. 2 2 4

Trang 66


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 9: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá voâ tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1.

Phöông phaùp ñoåi bieán.

2.

Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.

3.

Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi.

Hai coâng thöùc thöôøng söû duïng: 1.

ò

2.

ò

xdx 2

x ±a dx x2 ± a

= x2 ± a + C = ln x + x 2 ± a + C.

1. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN

Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá voâ tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø æ I = ò R ç x, è

n

n

ax + b coù daïng: cx + d

axx + b ö ÷dx vôùi ad - bc ¹ 0. cx + d ø PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët: t =

·

n

ax + b ax + b b - dt n Þ tn = Û x= n cx + d cx + d ct - a

Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t)dt.

æ æ a+ x ö Chuù yù: Vôùi hai daïng ñaëc bieät: I = ò R ç x, ÷dx hoaëc I = ò R ç x, a-x ø è è ñaõ bieát vôùi pheùp ñoåi bieán: x = acos2t. Tröôøng hôïp ñaëc bieät, vôùi I = ò Vì

a-x ö ÷ dx chuùng ta a+ x ø

a+ x dx , ta coù theå xaùc ñònh baèng caùch: a-x

a+ x coù nghóa khi -a £ x < a neân x + a > 0, do ñoù (a + x)2 = a + x. a-x

Khi ñoù: I = ò

x+x a+ x dx xdx +ò 2 dx = ò dx = a ò a-x a - x2 a2 - x 2 a2 - x 2 Trang 67


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

ò

dx

ò

Trong ñoù:

xdx 2

ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = asint.

a2 + b 2

a -x

2

= -a a2 - x 2 + C.

Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx 3

x + 1[ 3 x + 1)2 + 1] Giaûi:

Ñaët: t = 3 x + 1 Þ t 3 = x + 1 . Suy ra: 3t 2dt = dx &

dx 3

x + 1[ 3 (x + 1)2 + 1]

=

3t 2 dt 3tdt = 2 2 t(t + 1) t + 1

3tdt 3 d(t 2 ) Khi ñoù: I = ò 2 = ò 2 = ln(t 2 + 1) + C = ln[ 3 (x + 1)2 + 1] + C. t +1 2 t +1 Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx 2x 2x + 1 Giaûi:

Ñaët: t = 2x + 1 Þ t 2 = 2x + 1 . Khi ñoù: I =

dt

1

Suy ra: 2tdt = 2dx &

t -1

1

ò t 2 - 1 = 2 ln t + 1 + C = 2 ln

Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx tdt dt = 2 = 2 2x 2x + 1 (t - 1)t t - 1

2x + 1 - 1 + C. 2x + 1 + 1 xdx

3

x2 - 4 x Giaûi:

Ta nhaän xeùt:

1 2

3

2

2 3

1 4

x = x , x = x vaø x = x , töø ñoù 12 laø boäi soá chung nhoû nhaát cuûa caùc 4

maãu soá, do ñoù ñaët x = t12 Suy ra: dx = 12t dt &

æ 9 4 12t17dt 12t14 dt t4 ö = 8 3 = 5 = 12 ç t + t + 5 ÷ dt t -1 t -1 ø è x2 - 4 x t - t xdx

11

3

æ 9 4 æ t10 t 5 1 ö t4 ö Khi ñoù: I = 12 ò ç t + t + 5 + + ln | t 5 - 1 | ÷ + C. ÷dt = 12 ç t -1ø è è 10 5 5 ø Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

dx (x + a)(x + b)

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ·

ìx + a > 0 Tröôøng hôïp 1: Vôùi í îx + b > 0 Trang 68


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ñaët: t = x + a + x + b ·

ìx + a < 0 Tröôøng hôïp 2: Vôùi í îx + b < 0 Ñaët: t = -(x + a) + -(x + b)

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx x 2 - 5x + 6 Giaûi:

Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò

dx (x - 2)(x - 3)

Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ·

ìx - 2 > 0 Vôùi í Û x > 3. îx - 3 > 0

Ñaët: t = x - 2 + x - 3

1 ö ( x - 2 + x - 3)dx æ 1 suy ra : dt = ç + Û ÷ dx = 2 (x - 2)(x + 3) è 2 x-2 2 x-3 ø Khi ñoù: I = 2 ò ·

dx 2dt = t (x - 2)(x - 3)

dt = 2 ln | t | + C = 2 ln | x - 2 + x + 3 | +C t

ìx - 2 < 0 Vôùi í Û x < 2. îx - 3 < 0

Ñaët: t = x - 2 + 3 - x

1 ù [ 2 - x + 3 - x]dx é 1 + dx = Û suy ra : dt = ê ú 2 (x - 2)(x - 3) ë2 2 - x 2 3 - x û Khi ñoù: I = -2 ò

dx 2dt =t (x - 2)(x - 3)

dt = -2 ln | t | +C = -2 ln | 2 - x + 3 - x | +C t

Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø

a2 - x 2 coù daïng:

I = ò R(x, a2 - x 2 )dx, vôùi ad - bc ¹ 0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: p p é ê x =| a | sin t vôùi - 2 £ t £ 2 (hoaëc coù theå t = x + a2 - x 2 ) ê ë x =| a | cos t vôùi 0 £ t £ p

·

Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(sin t, cos t)dt. Trang 69


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ví duï 5: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

x 3dx 1 - x2

.

Giaûi: ·

Caùch 1: Ñaët: x = sin t, Suy ra: dx = cos tdt & Khi ñoù: I =

p p <t< 2 2 x 3dx 1 - x2

=

sin 3 t.cos dt 1 = sin 3 tdt = (3sin t - sin 3t)dt cos t 4

1 3 1 (3sin t - sin 3t)dt = tgt + C = - cos t + cos3t + C ò 4 4 12

3 1 1 æ1 ö = - cost + (4 cos3 t - 3cosxt) + C = cos3 t - cost + C = ç cos2 t - 1÷ cost + C 4 12 3 è3 ø 1 é1 ù é1 ù = ê (1 - sin 2 t) - 1ú + C = ê (1 - x 2 ) - 1ú 1 - x 2 + C = - (x 2 + 2) 1 - x 2 + C 3 ë3 û ë3 û Chuù yù: Trong caùch giaûi treân sôû dó ta coù: ìï cos2 t = cos t p p - < t < Þ cos t > 0 Þ í 2 2 2 2 îï cos t = 1 - sin t = 1 - x ·

Caùch 2: Ñaët t = 1 - x 2 Þ x 2 = 1 - t 2 x 3dx

x 2 .xdx

x 2 .xdx

(1 - t 2 )( -tdt) = = = = (t 2 - 1)dt Suy ra: 2xdx = 2tdt & 2 2 2 t 1- x 1- x 1- x 1 1 1 Khi ñoù: I = ò (t 2 - 1)dt = t 3 - t + C = (t 2 - 3)t + C = - (x 2 + 2) 1 - x 2 + C 3 3 3 Daïng 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm soá höõu tæ ñoái vôùi x vaø

a2 + x 2 coù daïng:

I = ò R(x, a2 + x 2 )dx, vôùi ad - bc ¹ 0. PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: p p é x = | a | tgt vôù i < t < 2 2 ê 2 2 (hoaëc coù theå t = x + a + x ) ê ë x =| a | cot gt vôùi 0 < t < p

·

Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(sin t, cos t)dt.

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò 1 + x 2 dx. Giaûi: Trang 70


Traàn Só Tuøng

·

Tích phaân

Caùch 1: Ñaët: x = tgt, Khi ñoù: I = ò

Suy ra: dx =

dt dt & 1 + x 2 dx = . 2 cos t cos3 t

dt cos tdt cos tdt = = ò ò cos3 t cos4 t (1 - sin 2 t)2

Ñaët: u = sint. Khi ñoù: I = ò =

p p <t< . 2 2

Suy ra: du = cos tdt &

cos tdt du = (1 - sin 2 t)2 (u + 1)2 (u - 1)2

ù du 1 é u +1 2u = ê ln +C 2 2 4 ë u - 1 (u + 1)(u - 1) úû (u + 1) (u - 1)

1 é sin t + 1 2 sin t ù ln +C ê 4 ë sin t - 1 (sin t + 1)(sin t - 1) úû

é ù x x +1 2 ê ú 2 2 1 1+ x ú+C = ê ln 1 + x x x x 4ê æ öæ ö -1 ç + 1 ÷ç - 1÷ úú 2 ê 2 2 1+ x è 1+ x øè 1 + x øû ë ö 1 æ x + 1 + x2 = ç ln + 2x 1 + x 2 ÷ + C ÷ 4 çè x - 1 + x 2 ø 1 1 = (2 ln | x + 1 + x 2 | +2x 1 + x 2 ) + C = (ln | x + 1 + x 2 | + x 1 + x 2 ) + C. 4 2 ·

Caùch 2: Ñaët: t = x + 1 + x 2 Þ t - x = 1 + x 2 Þ (t - x)2 = 1 + x 2 Þ x =

t2 -1 2t

t2 - 1 t2 + 1 Þ 1+ x = t = 2t 2t 2

x æ Suy ra: dt = ç 1 + 1 + x2 è 1 + x 2 dx = Khi ñoù: I =

x + 1 + x2 2t 2 t2 + 1 ö dx = dx = dx Û dx = dt 2 2 2 ÷ + + 1 x t 1 2t ø

t2 + 1 t 2 + 1 1 (t 2 + 1)2 1æ 2 1 ö . 2 dt = dt = ç t + + 3 ÷ dt 3 2t 2t 4 t 4è t t ø

1 æ 2 1ö 1æ1 2 1 ö ç t + + 3 ÷ dt = ç t + 2 ln | t | - 2 ÷ + C ò 4 è t t ø 4è2 2t ø

ù 1 éæ 1ö 1 = êç t 2 - 2 ÷ + 4 ln | t |ú + C = éë 4x 1 + x 2 + 4 ln x + 1 + x 2 + C ùû 8 ëè t ø 8 û 1 = (ln x + 1 + x 2 + x 1 + x 2 ) + C. 2 ·

Caùch 3: Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn xdx ì ìï u = x 2 + 1 ïdu = Ñaët : í Þí x2 + 1 ïv = x îïdv = dx î Trang 71


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Khi ñoù: I = x x 2 + 1 - ò Vôùi J = ò

x 2dx x2 + 1

x 2dx [(x 2 + 1) - 1]dx dx = = ò x 2 + 1dx - ò 2 ò x +1 x2 + 1 x2 + 1

= I - ln x + x 2 + 1 + C

(2)

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = x x 2 + 1 - (I - a ln) x + x 2 + 1 + C Û 2I = x x 2 + 1 + ln x + x 2 + 1 + C ÛI=

x 2 1 x + 1 + ln x + x 2 + 1 + C. 2 2

Chuù yù: 1. Trong caùch giaûi thöù nhaát sôû dó ta coù: 1 x 1 + x2 = cos t vaø sin t = cos t 1 + x2 ì cos2 t = cos t p p ï laø bôûi: - < t < Þ cos t > 0 Þ í x 2 2 ïsin t = tgt.cos t = 1 + x2 î 2. Caû ba phöông phaùp treân (toát nhaát laø phöông phaùp 2) ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt:

ò

x 2 + adx =

a x 2 dx ln x + x 2 + a + x + a + C; ò = ln x + x 2 + a + C. 2 2 2 x +a

3. Vôùi tích phaân baát ñònh sau toát nhaát laø söû duïng phöông phaùp 1: dx ò (a2 + x2 )2 k +1 , vôùi k Î Z. 4. Vôùi tích phaân baát ñònh: Ñaët: t = x +

ò

(x + a)(x + b)dx ta coù theå thöïc hieän nhö sau:

a+b (b - a)2 &A=2 4

suy ra: dt = dx & (x + a)(x + b)dx = t 2 + Adt Khi ñoù: I = ò t 2 + Adt =

A t 2 ln t + t 2 + A + t +A +C 2 2

(b - a)2 a+b 2x + a + b = ln x + + (x + a)(x - b) + (x + a)(x + b) + C. 8 2 4 Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø

x 2 - a2 coù daïng:

I = ò R(x, x 2 - a2 )dx, vôùi ad - bc ¹ 0. Trang 72


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: · Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: é |a| é p pù x vôù i t = Î ê êë - 2 ; 2 úû \ {0} sin t (hoaëc coù theå t = x 2 - a2 ) ê ê x | a | vôùi t [0; ] \ { p}. Î p êë = cos t 2 ·

Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(sin t, cos t)dt.

Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

xdx 2x 2 - 1 + 3 x 2 - 1 Giaûi:

·

Caùch 1: Ñaët: t = x 2 - 1 Þ t 2 = x 2 - 1 Suy ra: 2tdt = 2xdx & Khi ñoù: I = ò Ta coù:

xdx 2x 2 - 1 + 3 x 2 - 1

=

xdx 2(x 2 - 1) + 3( x 2 - 1 + 1

=

tdt 2t + 3t + 1 2

tdt 2t + 3t + 1 2

t t a b (a + 2b)t + a + b = = + = (2t + 1)(t + 1) 2t + 3t + 1 (2t + 1)(t + 1) 2t + 1 t + 1 2

ìa + 2b = 1 ì a = -1 Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í Û í îa + b = 0 îb = 1 Khi ñoù:

t 1 1 =+ . 2t + 3t + 1 2t + 1 t + 1 2

1 1 ö 1 1 (t + 1)2 æ Do doù: I = ò ç + ÷ dt = - 2 ln | 2t + 1 | + ln | t + 1 | +C = 2 ln | 2t + 1 | + C è 2t + 1) t + 1 ø = ·

1 ( x 2 - 1 + 1)2 ln 2 2 x2 - 1 + 1

Caùch 2: Vì ñieàu kieän |x| > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp:

– Vôùi x > 1: Ñaët: x =

1 p , t Î [0; ) . cos t 2

Suy ra: dx =

sin tdt , cos2 t

1 sin t . dt 2 (1 + tg 2 t)tgt.dt (1 + tg2 t)tgt.dt = cos t cos t = = 2 2(1 + tg 2 t) - 1 + 3tgt 2tg 2 t + 3tgt + 1 2x 2 - 1 + 3 x 2 - 1 1 + 3tgt cos2 t xdx

Trang 73


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Khi ñoù: I = ò Ñaët: u = tgt.

(1 + tg2 t)tgt.dt . 2tg 2 t + 3tgt + 1 dt (1 + tg 2 t)tgt.dt u.du 2 Suy ra: du = = (1 + tg t)dt & = 2 2 2 cos t 2tg t + 3tgt + 1 2u + 3u + 1

1 1 ö 1 1 (u + 1)2 æ Khi ñoù: I = ò ç + +C ÷ dt = - ln 2u + 1 + ln u + 1 + C = ln 2 2 | 2u + 1 | è 2u + 1 u + 1 ø = –

1 (tgt + 1)2 1 ( x 2 - 1 + 1)2 ln + C = ln + C. 2 2tgt + 1 2 2 x2 - 1 + 1

Vôùi x < –1 (töï laøm)

Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh caùc haøm höõu tæ ñoái vôùi x vaø

ax 2 + bx + c coù daïng:

I = ò R(x, ax 2 + bx + c)dx, vôùi ad - bc ¹ 0 PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau: ·

Caùch 1: Ñöa I veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát. Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Ÿ Tröôøng hôïp 1: Neáu a > 0 vaø D < 0. 2 D é æ 2ax + b ö ù – Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = - ê1 + ç ú 4a ë è -D ÷ø û 2

– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =

2ax + b -D

– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, 1 + t 2 )dt Ÿ Tröôøng hôïp 2: Neáu a < 0 vaø D > 0. 2 D é æ 2ax + b ö ù – Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = - ê1 - ç ÷ ú 4a ë è D ø û 2

– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =

2ax + b D

– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, 1 - t 2 )dt Ÿ Tröôøng hôïp 3: Neáu a > 0 vaø D > 0. 2 ù D éæ 2ax + b ö – Böôùc 1: Ta coù: ax + bx + c = 1 êç ú ÷ 4a ëè D ø û 2

– Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = Trang 74

2ax + b D


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

– Böôùc 3: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò S(t, t 2 - 1)dt ·

Caùch 2: Söû duïng pheùp theá Euler: Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau: 1. Neáu a > 0, ñaët

ax 2 + bx + c = t - x a hoaëc t + x a.

2. Neáu c > 0, ñaët

ax 2 + bx + c = tx + c hoaëc tx - c.

3. Neáu tam thöùc ax 2 + bx + c coù bieät soá D > 0 thì ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ). Khi ñoù ñaët:

ax 2 + bx + c = t(x - x1 ).

Ví duï 8: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x 2 + 2x + 2dx. ·

Giaûi: Caùch 1: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: t = x + 1 Þ dt = dx. Khi ñoù: I = ò t 2 + 1dt.

·

Tích phaân treân chuùng ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong ví duï 6. Caùch 2: Söû duïng pheùp ñoåi bieán: x 2 + 2x + 2 = t - x Þ x 2 + 2x + 2 = (t - x)2 Û x =

t2 - 2 (t 2 + 2t + 2)dt Þ dx = 2(t + 1) 2(t + 1)2

é t 2 - 2 ù (t 2 + 2t + 2)dt 1 (t 4 + 4)dt Khi ñoù: I = ò x 2 + 2x + 2dx = ò ê t = ò . ú. 2 3 2(t + 1) 2(t + 1) 4 (t + 1) ë û Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: t 4 + 4 = [(t + 1) - 1]4 + 4 = (t + 1)4 - 4(t + 1)3 + 6(t + 1)2 - 4(t + 1) + 5. Do ñoù: I =

1 6 4 1 t2 4 [t + 1 - 4 + ]dt = [ - 3t + 6 ln | t + 1 | + ]+C ò 2 4 t + 1 (t + 1) 4 2 t +1

1 ( x 2 + 2x + 2 + x)2 = [ - 3( x 2 + 2x + 2 + x) + 4 2 +6 ln x 2 + 2x + 2 + x + 1 + Daïng 7: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

4

x 2 + 2x + 2 + x + 1

] + C.

dx (lx + m) ax 2 + bx + c

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 1 lx + m

Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t =

Böôùc 2: Baøi toaùn ñöôïc chuyeån veà: I = ò

dt at 2 + b t + g

Chuù yù: Phöông phaùp treân coù theå ñöôïc aùp duïng cho daïng toång quaùt hôn laø: Trang 75


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

I=ò

(Ax + B)dx (lx + m)n ax 2 + bx + c

Ví duï 9: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx (x + 1) x 2 + 2x + 2 Giaûi:

Ñaët: t =

1 1 Þ x = -1 x +1 t

dt ì 1 khi t > 0 ï t(- 2 )dt 2 dx dt 1 1 + t ï t suy ra: dx = - 2 dt, = ==í 2 dt t 1 1 (x + 1) x + 2x + 2 khi t < 0 t. 2 + 1 ï 2 +1 ïî 1 + t 2 t t Khi ñoù: Ÿ

Vôùi t > 0, ta ñöôïc: I = -ò

dt 1+ t

2

= - ln t + 1 + t 2 + C = - ln

1 1 + 1+ +C x +1 (x + 1)2

1 + x 2 + 2x + 2 x +1 1 - x 2 + 2x + 2 = - ln + C = ln + C = ln + C. x +1 x +1 1 + x 2 + 2x + 2 Ÿ

Vôùi t < 0, ta ñöôïc: I=ò

1 1 1 - x 2 + 2x + 2 = ln t + 1 + t + C = ln + 1+ + C = ln + C. x +1 x +1 (x + 1)2 1 + t2 dt

2

1 - x 2 + 2x + 2 Toùm laïi vôùi t ¹ 0 Û x ¹ -1 ta luoân coù: I = ln + C. x +1 3. SÖÛ DUÏNG TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm voâ tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Vôùi caùc haøm voâ tæ, trong phaïm vi phoå thoâng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn ít ñöôïc söû duïng, tuy nhieân chuùng ta cuõng caàn xem xeùt. Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: I =

ò

x 2 + adx Giaûi:

xdx ì ìï u = x 2 + a ïdu = Ñaët: í Þ í x2 + a ïîdv = dx ïv = x î

Trang 76


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Khi ñoù: I = x x 2 + a - ò Vôùi J = ò

x 2 dx x2 + a

x 2 dx

(1)

2

x +a

[(x 2 + a) - a]dx x2 + a

dx

= ò x 2 + adx - a ò

= I - a ln x + x 2 + a + C.

x2 + a

(2)

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = x x 2 + a - (I - a ln x + x 2 + a + C) Û I =

x 2 a x + a + ln x + x 2 + a + C. 2 2

4. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI

Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

x-a dx, vôùi a > 0 x+a

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

éx ³ a Vì ñieàu kieän ê ë x < -a' Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ·

Vôùi x ³ a thì:

x -a x-a 2xdx dx dx = ò dx = ò - aò x+a x 2 - a2 2 x 2 - a2 x 2 - a2

ò

= x 2 - a2 - ln x + x 2 - a2 + C. ·

Vôùi x < –a thì:

ò

x -a a-x dx 2xdx dx = ò dx = a ò -ò x+a x 2 - a2 x 2 - a2 2 x 2 - a2

= ln x + x 2 - a2 - x 2 - a2 + C. Ví duï 11: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

x -1 dx x +1 Giaûi:

éx ³ 1 Vì ñieàu kieän ê . Ta xeùt hai tröôøng hôïp: ë x < -1 x -1

·

Vôùi x < –1. Ta coù: 1- x dx 2xdx I=ò dx = ò -ò = ln x + x 2 - 1 - x 2 - 1 + C 2 2 2 x -1 x -1 2 x -1

x -1

Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

2

2 x -1

dx

Vôùi x ³ 1 . Ta coù: I = ò

2

dx = ò

2xdx

·

2

x -1

= x 2 - 1 - ln x + x 2 - 1 + C

dx , vôùi a ¹ 0 vaøb - c ¹ 0. ax + b + ax + c

Trang 77


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: I= =

1 1 ( ax + b + ax + c)dx = [ò (ax + b)1/ 2 d(ax + b) + ò (ax + c)1/ 2 d(ax + c)] ò b-c a(b - c) 2 [ (ax + b)3 + (ax + c)3 ] + C 2a(b - c)

Ví duï 12: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx + x -1 x +1 Giaûi:

Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc: 1 1 I = ò ( x + 1 + x - 1)dx = [ò (x + 1)1/ 2d(x + 1) + ò (x - 1)1/ 2 d(x - 1)] 2 2 1 = [ (x + 1)3 + (x - 1)3 ] + C 3 Chuù yù: Moät pheùp bieán ñoåi raát phoå bieán ñoái vôùi caùc haøm soá voâ tæ laø phöông phaùp phaân tích, chuùng ta seõ ñi xem xeùt caùc daïng cô baûn sau: Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh I = ò

v(x)dx u2 (x) ± a

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: ·

Böôùc 1: Phaân tích:

v(x) u2 (x) + a

=

a[u2 (x) + a] u2 (x) + a

+

bu(x)

+

u2 (x) + a

c u2 (x) + a

Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc a, b, c. ·

Böôùc 2: AÙp duïng caùc coâng thöùc: 1. ò

xdx 2

x ±a

2. ò

= x 2 ± a + C.

3. ò x 2 ± adx =

dx 2

x ±a

= ln x + x 2 ± a + C

x 2 a x ± a ± ln x + x 2 ± a + C. 2 2

Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

(2x 2 + 1)dx x 2 + 2x Giaûi:

Ta coù:

2x 2 + 1 x 2 + 2x

=

2x 2 + 1 (x + 1)2 - 1

=

a[(x + 1)2 - 1] (x + 1)2 - 1

Trang 78

+

b(x + 1) (x + 1)2 - 1

+

c (x + 1)2 - 1


Traàn Só Tuøng

=

Tích phaân

ax 2 + (2a + b)x + b + c x 2 + 2x

ìa = 2 ìa = 2 ï ï Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í2a + b = 0 Û í b = -4 ïb + c = 1 ïc = 5 î î Khi ñoù:

2x 2 + 1 x 2 + 2x

4(x + 1)

= 2 (x + 1)2 - 1 -

Do ñoù: I = ò [2 (x + 1)2 - 1 -

(x + 1)2 - 1

4(x + 1) (x + 1)2 - 1

+

5 (x + 1)2 - 1

5

+

(x + 1)2 - 1

]dx

= (x + 1) x2 + 2x - ln x + 1 + x2 + 2x - 4 x2 + 2x + 5ln x + 1 + x2 + 2x + C = (x + 1) x 2 + 2x + 4 ln x + 1 + x 2 + 2x - 4 x 2 + 2x + C.

BAØI TAÄP Baøi 30. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x3 x x3 1 ; e/ 3 ; c/ ; d/ ; 3 4 2x + 1 + 1 x+2 x + x 1+ x +1 1 x 1 f/ ; g/ 10 h/ tgx + 3 x +1 2x + 1 + 2x - 1 (2x + 1)2 - 2x + 1

a/

ÑS:

x +1 ; b/ 3 3x + 1

a/

1æ1 3 ö (3x + 1)5 + 3 (3x + 1)2 ÷ + C; ç 3è 5 ø

c/

1 (x 2 + 2)3 - 2 x 2 + 2 + C; 3

d/

b/

1 1 (2x + 1)3 - (2x + 1) + C; 6 4

33 4 3 3 (x + 1)2 - 3 x 4 + 1 + ln( 3 x 4 + 1 + 1) + C; 8 4 4

e/ 2 x - 3 3 x - 6 6 x + ln( 6 x + 1) + C; 36 (2x + 1)2 + 3 6 2x + 1 + 3ln 6 2x - 1 - 1 + C; 2 10 10 10 1 g/ (x + 1)19 - 10 (x + 1)9 + C; h/ - ln cos x + éê (2x + 1)3 - (2x - 1)3 ùú + C. û 19 9 3ë Baøi 31. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: x 1 1 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ 9x 2 - 6x x 2 + 6x + 8 x 2 + 2x + 3 x2 - x - 1 4x + 5 2x x2 + 1 x e/ ; f/ ; g/ ; h/ . 2 2 3 x x4 + 1 x 2 + 6x + 1 x + x2 - 1 1 + x + (1 + x ) f/

1 9x 2 - 6x + ln 3x - 1 + 9x 2 - 6x + C; b/ ln x + 1 + x 2 + 2x + 3 + C; 9 1 c/ ln x + 3 + x 2 + 6x + 8 + C; d/ ln x - + x 2 - x - 1 + C; 2 ÑS: a/

Trang 79


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

e/ 4 x 2 + 6x + 1 - 7 ln x + 3 + x 2 + 6x + 1 + C;

f/

2

1 1ö æ g/ ln x - + ç x - ÷ + 2 + C; x 2ø è Baøi 32a/ Bieát raèng

dx

ò

x2 + 3

Tính

ò

h/ 2 1 + 1 + x 2 + C.

= ln(x + x 2 + 3) + C.

Tìm nguyeân haøm cuûa F(x) = b/

2 2 2 x (x 2 - 1)3 + C; 3 3

ò

x 2 + 3dx

x 2 - 4x + 8dx.

1 3 x x 2 + 3 + ln(x + x 2 + 3) + C. 2 2 1 b/ (x - 2) x 2 - 4x + 8 + 2 ln x - 2 + x 2 - 4x + 8 + C. 2 Baøi 33. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 1 ; b/ . a/ (x 2 + 16)3 (1 - x 2 )3 ÑS: a/

x

ÑS: a/

x

+ C. 16 x + 16 1 - x2 Baøi 34. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 x -1 1 a/ ; b/ ; c/ ; (x - 1) 1 - x 2 (x + 1) x 2 + 1 (x - 1) - x 2 + 2x + 3 d/

+ C;

2

1 x + x2 + x + 1

;

1+ x ÑS: a/ + C; 1- x

b/

e/

x2 x2 + x + 1

;

f/

1 . 1+ x + 1+ x

1 - x + 2(x 2 + 1) b/ ln x + x + 1 + 2 ln + C; 2(x + 1) 2

1 2 + -x 2 + 2x + 3 c/ - ln + C; 2 2(x - 1) 3 1 t4 d/ + ln + C, vôùi t = x + x 2 + x + 1. 3 2(1 + 2t) 2 1 + 2t e/ f/

1 1 1 (2x - 3) x 2 + x + 1 - ln x + + x 2 + x + 1 + C; 4 8 2 1 1 1 t -1 1+ x x + x - x.t + ln + C, vôùi t = . 2 2 4 t +1 x

Trang 80


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 10: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ SIEÂU VIEÄT Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sieâu vieät ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông phaùp cô baûn sau: 1.

Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn

2.

Phöông phaùp phaân tích

3.

Phöông phaùp ñoåi bieán

4.

Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.

1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN

Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät döïa treân caùc daïng nguyeân haøm cô baûn PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñaïi soá, ta bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng nguyeân haøm cô baûn ñaõ bieát. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ I = ò

dx x e - e- x

b/

J=

2 x.ex dx 16 x - 9 x

Giaûi: d(ex ) 1 ex - 1 a/ Ta coù: I = ò 2x = ln +C e - 1 2 ex + 1 b/ Chia töû vaø maãu soá cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho 4x, ta ñöôïc: x éæ 4 ö x ù æ4ö d êç ÷ ú ç ÷ 1 3 è ø ëè 3 ø û dx = 1 . 1 ln J=ò dx = 2x ò 4 æ 4 ö2x 4 2 æ4ö ln ln 1 1 ç ÷ 3 çè 3 ÷ø 3 è3ø

x

æ4ö ç ÷ -1 è3ø +C x æ4ö ç ÷ +1 è3ø

1 4 x - 3x = .ln x + C. 2(ln 4 - ln 3) 4 + 3x 2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH

Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp phaân tích PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc. dx . Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò 1 - ex Trang 81


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

x

Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = 1 - e ) + e

x

Giaûi:

1 (1 - ex ) + ex ex = = 1 + . 1 - ex 1 - ex 1 - ex æ ex ö d(1 - ex ) Suy ra: I = ò ç 1 + dx = ò dx - ò = x - ln 1 - ex + C. x ÷ x 1- e è 1- e ø

Ta ñöôïc:

3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN

Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp ñoåi bieán PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Phöông phaùp ñoåi bieán ñöôïc söû duïng cho caùc haøm soá sieâu vieät vôùi muïc ñích chuû ñaïo ñeå chuyeån bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà caùc daïng höõu tæ hoaëc voâ tæ, tuy nhieân trong nhieàu tröôøng hôïp caàn tieáp thu nhöõng kinh nghieäm nhoû ñaõ ñöôïc minh hoaï baèng caùc chuù yù trong vaán ñeà 4. dx Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò . 2x 1+ e Giaûi: ·

Caùch 1: Ñaët t = 1 + e2 x Û t 2 = 1 + e2 x tdt dx tdt dt & = 2 = 2 Suy ra: 2tdt = 2e2 x dx Û dx = 2 t -1 1 + e2 x t(t - 1) t - 1

dt 1 t -1 1 1 + e2x Khi ñoù: I = ò 2 = ln + C = ln +C 2 t -1 2 t +1 1 + e2x + 1 · Caùch 2: Ñaët: t = ex dx dx dx dx -dt Suy ra: dt = -e-xdx Û - dt = x , = = = . e 1 + e2x e2x (e-2x + 1) ex e-2x + 1 t2 +1 dx dt Khi ñoù: ò = -ò = - ln t + t 2 + 1 + C = - ln e - x + e- x + 1 + C. 2x 2 1+ e t +1 dx Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh : I = ò x e - ex / 2 Giaûi: 1 dx Ñaët t = e- x / 2 . Suy ra: dt = e- x / 2dx Û - 2dt = x / 2 , 2 e dx dx e - x / 2 dx -2tdt 1 ö æ = x = x/ 2 = = 2 ç1 + ÷ dt x x/ 2 -x / 2 -x / 2 e -e e (1 - e ) e (1 - e ) 1- t è t -1 ø 1 ö æ -x / 2 Khi ñoù: I = 2 ò ç 1 + + ln e- x / 2 + 1 + C. ÷dt = 2(e è t -1 ø 4. PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN

Baøi toaùn 4: Tìm nguyeân haøm caùc haøm sieâu vieät baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn Trang 82


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

PHÖÔNG PHAÙP CHUNG

Baøi toaùn 1: Tính: ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx) vôùi a, b ¹ 0 ì u = cos(bx) ì u = sin(bx) Khi ñoù ta ñaët: í hoaë c í ax ax îdv = e dx îdv = e dx Baøi toaùn 2: Tính: ò P(x)eax dx vôùi a Î R * ì u = P(x) Khi ñoù ta ñaët: í ax îdv = e dx Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (tg 2 x + tgx + 1)ex . Giaûi: Ta coù: F(x) = ò (tg 2 x + tgx + 1)e x = ò (tg2 x + 1)ex + ò ex tgxdx. (1) Xeùt tích phaân J = e x tgxdx. dx ì = (1 + tg2 x)dx ì u = tgx ïdu = 2 cos x Ñaët: í Û í x dv e dx = î ï v = ex î Khi ñoù: J = e x tgx - ò (tg 2 x + 1)ex . Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc F(x) = ex tgx + C.

(2)

5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU

Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò

dx 1 + e2 x Giaûi:

Ta coù:

dx 1 + e2x

Khi ñoù: I = ò

=

dx ex e-2x + 1

d(e- x ) e

-x

+1

=

e- x dx e-2x + 1

=-

d(e- x ) e-2x + 1

(1)

= - ln(e- x + e-2 x + 1) + C

Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán ñeå laøm töôøng minh lôøi giaûi, baèng caùch: Ñaët t = ex .

Khi ñoù: I = ò

Suy ra: dt = e x dx & dt t 1+ t

2

t2

dt 1 + e2x

dt = -ò 1 +1 t2

=

dt t 1 + t2

æ1ö dç ÷ è t ø = - ln 1 + 1 + 1 + C t t2 1 + 1 t2

= - ln(e- x + e-2x + 1) + C. Trang 83


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Ñöông nhieân cuõng coù theå ñaët t = e–x ta seõ thu ñöôïc lôøi giaûi gioáng nhö treân, xong seõ thaät khoù giaûi thích vôùi caùc em hoïc sinh caâu traû lôøi “Taïi sao laïi nghó ra caùch ñaët aån phuï nhö vaäy?” Chuù yù: Neáu caùc em hoïc sinh thaáy khoù hình dung moät caùch caën keõ caùch bieán ñoåi ñeå ñöa veà daïng cô baûn trong baøi toaùn treân thì thöïc hieän theo hai böôùc sau: – Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët t = ex Suy ra: dt = e x dx & ex e2x - 2e x + 2dx = t 2 - 2t + 2dt = (t - 1)2 + 1dt –

Khi ñoù: I = ò (t - 1)2 + 1dt.

Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: Ñaët u = t – 1

Suy ra: du = dt & (t - 1)2 + 1dt = u2 + 1du u 2 1 Khi ñoù: I = ò u2 + 1du = u + 1 + ln u + u2 + 1 + C 2 2 t -1 1 = (t - 1)2 + 1 + ln t - 1 + (t - 1)2 + 1 + C 2 2 ex - 1 2 x 1 = e - 2ex + 2 + ln ex - 1 + e2 x - ex + 2 + C 2 2 ex Ví duï 8: Tìm nguyeân haøm haøm soá : f(x) = x e + e- x Giaûi: -x e Choïn haøm soá phuï: g(x) = x e + e- x Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù: ex - e- x f(x) - g(x) = x e + e -x ex - e -x d(ex + e- x ) Þ F(x) - G(x) = ò x dx = = ln ex + e - x + C1 ò -x x -x e +e e +e x -x e +e f(x) + g(x) = x = 1 Þ F(x) + G(x) = ò dx = x + C2 . e + e- x ìïF(x) + G(x) = ln ex + e- x + C1 1 Ta ñöôïc: í Þ F(x) = (ln e x + e- x + x) + C. 2 ïîF(x) - G(x) = x + C2 BAØI TAÄP Baøi 35. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 1 1+ x a/ 2 x.e x ; b/ ; c/ ; x 1+ e x(1 + x.ex ) x

x

e/ e .sin(e );

e2 x f/ 2x ; e +2

g/

1 ; x ln x

Trang 84

d/

ln x ; x 2

h/ x.ex .


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

2 x.ex a/ + C; 1 + ln 2

ÑS:

xe x c/ ln + C; 1 + xex

ex b/ ln + C; 1 + ex

2 ln x. ln x + C; e/ - cos(e x ) + C; 3 1 2 g/ ln ln x + C; h/ e x + C. 2 Baøi 36. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: d/

a/ f/

e2x - 1 ; ex

b/ (1 + e3x )2 .e3x ;

1 .e x ; x

g/

sin x ; ecos x

ÑS: a/ ex + e- x + C;

b/

d/ ln

t -1 + C, vôùi t = t +1

f/ 2e

x

+ C;

c/

f/

e2x

1 ln e2x + 1 + C; 2

1

; d/

; e/

e2x

4 x ex + 1 e +1 1 + ex 1 h/ x . e (3 + e- x ) 1 4 4 (1 + e3x )3 + C; c/ 4 (ex + 1)7 - 4 (ex + 1)3 + C; 9 7 3 t -1 ex + 1; e/ 2t + ln + C, vôùi t = 1 + ln x; t +1

g/ e- x + C;

4

h/ ln

3ex + C. 3ex + 1

Baøi 37. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: 2 3x

a/ x e ; ÑS: a/

2x

3

x

b/ e .cos3x;

c/ e .sin x;

e/ x n .ln x, n ¹ -1.

1 3x 1 2x e (9x 2 - 6x + 2) + C; b/ e (2 cos3x + 3sin 3x) + C; 27 13 1 1 æ 3 3 3ö c/ e x (sin x - cos x) + C; d/ - 2 ç ln 3 x + ln 2 x + ln x + ÷ + C; 2 2x è 2 2 4ø x n +1 x n +1 e/ ln x + C; n +1 (n + 1)2

Baøi 38. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau: (1 + sin x)ex x 2 ex c/ a/ b/ ; 1 + cos x (x + 2)2 ln x e/ ln(x + x - 1); f/ ; x 1 + ln x 2

ÑS:

æ ln x ö d/ ç ÷ ; è x ø

g/

e x + e- x + 2; x ln(x + x 2 + 1) x2 + 1

d/

1 1+ x ln ; 1 - x2 1 - x

.

x -2 x ex sin x a/ .e + C; b/ + C; c/ e x (e3x + e2x ) + C; x+2 1 + cos x 2 1 æ 1+ x ö d/ ç ln e/ x ln(x + x 2 - 1) - x 2 - 1 + C; ÷ + C; 4 è 1- x ø 2 f/ (1 + ln x) 1 + ln x - 2 1 + ln x + C; g/ x 2 + 1. n x + x 2 + 1 - x + C. 3

Trang 85


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

§Baøi 2: TÍCH PHAÂN 1. Ñònh nghóa tích phaân: Ta coù coâng thöùc Niutôn – Laipnit: b

ò f(x)dx = F(x)

b a

= F(b) - F(a).

a

b

Chuù yù: Tích phaân ò f(x)dx chæ phuï thuoäc vaøo f, a, b maø khoâng phuï thuoäc vaøo caùch kyù a

hieäu bieán soá tích phaân. Vì vaäy ta coù theå vieát: b

b

b

a

a

a

F(b) - F(a) = ò f(x)dx = ò f(t)dt = ò f(u)du = ... 2. YÙ nghóa hình hoïc cuûa tích phaân: Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø khoâng aâm treân [a ; b] thì tích phaân

b

ò f(x)dx

laø dieän tích

a

hình thang cong giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa haøm soá y = f(x, truïc Ox) vaø hai ñöôøng thaúng x = a vaø x = b. 3. Caùc tính chaát cuûa tích phaân: Giaû söû caùc haøm soá f(x), g(x) lieân tuïc treân khoaûng K vaø a, b, c laø ba ñieåm cuûa K, döïa vaøo ñònh nghóa tích phaân ta coù caùc tính chaát sau: a

Tính chaát 1. Ta coù ò f(x)dx = 0 a

b

a

a

b

Tính chaát 2. Ta coù ò f(x)dx = - ò f(x)dx. b

b

a

a

Tính chaát 3. Ta coù ò kf(x)dx = k ò f(x)dx, vôùi k Î R. b

b

b

a

a

a

Tính chaát 4. Ta coù ò [f(x) ± g(x)dx = ò f(x)dx ± ò g(x)dx. c

b

c

a

a

a

Tính chaát 5. Ta coù ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx. b

Tính chaát 6. Neáu f(x) ³ 0, "x Î [a; b]thì ò f(x)dx ³ 0 a

b

b

a

a

Tính chaát 7. Neáu f(x) ³ g(x), "x Î [a; b] thì ò f(x)dx ³ ò g(x)dx. Trang 86


Traàn Só Tuøng

Tích phaân b

Tính chaát 8. Neáu m £ f(x) £ M, "x Î [a; b] thì m(b - a) £ ò f(x)dx £ M(b - a). a

t

Tính chaát 9. Cho t bieán thieân treân ñoaïn [a; b] thì G(t) = ò f(x)dx laø nguyeân haøm cuûa a

f(t) vaø G(a) = 0. Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: 2

x 2 - 2x a/ I = ò dx; x3 1

x 4

4

J = ò (3x - e )dx.

b/

0

Giaûi: 2

2ö æ1 2 ö æ a/ Ta coù: I = ò ç - 2 ÷ dx = ç ln | x | + ÷ x ø è xø 1è x x æ3 2 ö b/ Ta coù: J = ç x - 4e 4 ÷ è2 ø

2

= (ln 2 + 1) - (ln1 + 2) = ln 2 - 1. 1

4

= (24 - 4e) - (0 - 4) = 28 - 4e. 0

Chuù yù: Trong ví duï treân ta ñaõ söû duïng ñònh nghóa cuøng caùc tính chaát 1, 3 vaø 4 ñeå tính tích phaân Ví duï sau ñaây seõ söû duïng tính chaát 5 ñeå tính tích phaân cuûa haøm chöùa daáu trò tuyeät ñoái. Ví duï 2: Tính tích phaân sau: J =

1

òe

x

- 1 dx.

-1

Giaûi: x

Xeùt daáu cuûa haøm soá y = e – 1 Ta coù: y = 0 Û ex - 1 = 0 Û x = 0 x > 0 Þ ex > 1 Þ y > 0

Nhaän xeùt raèng:

x < 0 Þ ex < 1 Þ y < 0 Ta coù baûng xeùt daáu: x

–¥

–1

0

y’

– 0

1

-1

0

0

1

+ 0

1

Do ñoù: J = ò (1 - ex )dx + ò (ex - 1)dx = (x - e) -1 + (ex - x) 0 = e +

1 - 2. 2

Chuù yù: Söû duïng tính chaát 6, 7, 8 ta seõ ñi chöùng minh ñöôïc caùc baát ñaúng thöùc tích phaân. p 3p / 4 dx p Ví duï 3: Chöùng minh raèng: £ ò £ . 2 4 p / 4 3 - 2sin x 2 Giaûi:

Trang 87


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

é p 3p ù Treân ñoaïn ê ; ta coù: ë 4 4 úû 2 1 1 1 £ sin x £ 1 Þ £ sin 2 x £ 1 Û 1 £ 3 - 2sin 2 x £ 2 Û £ £ 1. 2 2 2 3 - 2sin 2 x Do ñoù:

3p / 4

ò

p/ 4

trong ñoù:

3p / 4 3p / 4 1 dx dx £ ò £ 2 ò dx. 2 3 2sin x p/ 4 p/ 4

3p / 4

ò

p/ 4

3p / 4

1 1 p dx = x = & 2 2 p/ 4 4

3p / 4

ò

(1) 3p / 4

dx = x

p/ 4

= 2.

(2)

p/ 4

dx p 3p / 4 p Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: £ ò £ (ñpcm). 2 4 p / 4 3 - 2sin x 2 ìx + a khi x < 0 Ví duï 4: Cho haøm soá: f(x) = í 2 îx + 1 khi x ³ 0 a/ Xeùt tính lieân tuïc cuûa haøm soá ñaõ cho taïi ñieåm x0 = 0. b/ Vôùi a ñeå haøm soá lieân tuïc taïi x = 0, haõy xaùc ñònh

1

ò f(x).dx.

-1

Giaûi: a/ Haøm soá xaùc ñònh vôùi moïi x Î R. Ta coù:

lim f(x) = lim+ (x 2 + 1) = 1 vaø lim- f(x) = lim- (x + a) = a.

x®0+

x®0

x®0

x ®0

f(0) = 1. Vaäy: · Neáu a = 1 thì lim+ f(x) = lim- f(x) = f(0) = 1 Û haøm soá lieân tuïc taïi x0 = 0 x®0

x®0

· Neáu a ¹ 1 thì lim+ f(x) ¹ lim- f(x) Û haøm soá giaùn ñoaïn taïi x0 = 0 x®0

x®0

b/ Ta coù: 1

0

0

0

1

-1

-1

-1

-1

0

2 ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx = ò (x + 1)dx + ò (x + 1)dx =

11 . 6

Chuù yù: Nhö vaäy chuùng ta söû duïng haàu heát caùc tính chaát ñeå giaûi caùc ví duï veà tích phaân, duy coøn tính chaát thöù 9 ôû ñoù coù moät daïng toaùn maø caùc hoïc sinh caàn quan taâm laø “Ñaïo haøm cuûa haøm soá xaùc ñònh bôûi tích phaân”. Ta coù caùc daïng sau: x

Daïng 1: Vôùi F(x) = ò f(t)dt Þ F '(x) = f(x). a a

x

x

a

Vôùi F(x) = ò f(t)dt thì vieát laïi F(x) = - ò f(t)dt Þ F '(x) = -f(x).

Trang 88


Traàn Só Tuøng

Tích phaân u(x)

Daïng 2: Vôùi F(x) =

ò

f(t)dt Þ F¢(x) = u'(x)f[u(x)].

ò

f(t)dt thì vieát laïi:

a u(x )

Daïng 3: Vôùi F(x) =

v(x)

F(x) =

u(x)

ò

f(t)dt -

a

v(x )

ò

f(t)dt Þ F '(x) = u'(x)f[u(x)] - v'(x)f[v(x)]

a

minh hoaï baèng ví duï sau: Ví duï 5: Tính ñaïo haøm cuûa caùc haøm soá: x

a/ F(x) = ò (e + cos t )dt; t

2

b/ G(x) =

c/ H(x) =

ò (t

3

ò (t

2

+ 2 + 1)dt;

x2

a

x2

a

+ sin t)dt.

2x

Giaûi:

x

a/ Ta coù: F(x) = [ò (et + cos t 2 )dt]' = ex + cos x 2 . a

a

x2

b/ Ta coù: G(x) = [ ò (t + t + 1)dt]' = [- ò (t 2 + t 2 + 1)dt]' = (u)'.(u2 + u2 + 1) 2

2

x2

a

trong ñoù: u = x2, do ñoù: G '(x) = (x 2 )'.(x 4 + x 4 + 1) = 2x(x 4 + x 4 + 1). x2

x2

2x

c/ Ta coù: H '(x) = [ ò (t + sin t)dt]' = [ ò (t + sin t)dt - ò (t 3 + sin t)dt]' 3

2x

3

3

a

a

3

= (u)'.(u + sin u) + (v)'.(v + sin v), trong ñoù: u = x 2 vaø v = 2x, do ñoù: H '(x) = (x 2 )'.(x 6 + sin 2 ) + (2x)'.(8x + sin 2x) = 2x(x 6 + sin x 2 ) + 2(8x 3 + sin 2x) TOÅNG KEÁT CHUNG:

Ñeå tính tích phaân xaùc ñònh ngoaøi caùc phöông phaùp cô baûn maø chuùng ta ñaõ bieát ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm, cuï theå coù: 1. Phöông phaùp söû duïng baûng nguyeân haøm cô baûn. 2. Phöông phaùp phaân tích 3. Phöông phaùp ñoåi bieán 4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 5. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi. coøn coù theâm moät vaøi phöông phaùp khaùc ví duï nhö phöông phaùp cho lôùp tích phaân ñaët bieät. Vaán ñeà 1: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Baèng vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát, töø ñoù ta xaùc ñònh ñöôïc giaù trò cuûa tích phaân. Trang 89


Tích phaân

Traàn Só Tuøng 1

x5 Ví duï 1: (ÑHTM HN_95) Tính tích phaân: I = ò 2 dx. 0 x +1 Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 5 = x 5 + x 3 - x 3 - x + x = x 3 (x 2 + 1) - x(x 2 + 1) + x. 1

1

x ö 1 1 æ é1 4 1 2 1 ù 2 Ta ñöôïc: I = ò ç x 3 - x + 2 ÷dx = ê x - x + ln(x + 1)]ú = ln 2 - . 2 2 4 x +1 ø ë4 û0 2 0è Ví duï 2: (Ñeà 91) Cho f(x) =

sin x cos x + sin x

æ cos x - sin x ö a/ Tìm hai soá A, B sao cho f(x) = A + B ç ÷ è cos x + sin x ø p/ 2

ò

b/ Tính

f(x)dx.

0

Giaûi: a/ Ta coù:

sin x æ cos x - sin x ö (A + B) cos x + (A - B)sin x = A + Bç ÷= cos x + sin x cos x + sin x è cos x + sin x ø

ìA + B = 0 1 Û A=B=- . Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc: í 2 îA - B = 1 b/ Vôùi keát quaû ôû caâu a/ ta ñöôïc: p/ 2

ò

f(x)dx =

p/2

0

ò 0

cos x - sin x ù é 1 é 1 ù ê - 2 - 2(cos x + sin x údx = êë - 2 x - ln(cos x + sin x)úû ë û

p/2 0

p =- . 4

BAØI TAÄP Baøi 1. Tính caùc tích phaân: a/

4

ò 0

1

dx ; x

b/ ò x 1 - xdx; 0

ÑS: a/ 4

b/

4 5

c/

1

x 2 - 2x - 3 c/ ò dx; 2-x 0 1 - ln 2 2

d/

d/

2

ò 1

dx x + 1 + x -1

1 (3 3 - 2 2 - 1) 3

Baøi 2. Tính caùc tích phaân: p 2

p 8

4 sin x a/ ò ; 1 + cos x 0

b/ ò tg 2 2x(1 + tg 2 2x)dx;

ÑS: a/ 2

b/

3

ex c/ ò x dx; 2 (e + 1) 0

0

1 6

c/

1 6

Baøi 3. Tìm caùc giaù trò cuûa a ñeå coù ñaúng thöùc: Trang 90

e3

d/ ò 1

d/ 2 2

ò1 [a

2

+ (4 - 4a)x + 4x 3 ]dx = 12.

dx x 1 + ln x


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

ÑS: a = 3 Baøi 4. Cho hai haøm soá f(x) = 4cosx + 3sinx vaø g(x) = cosx + 2sinx. a/ Tìm caùc soá A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) b/ Tính

p 4 0

ò

g(x) dx. f(x)

2 1 ÑS: a/ A = ; B = - ; 5 5

p 1 7 - ln 10 5 4 2

b/

Baøi 5. Tìm caùc haèng soá A, B ñeå haøm soá f(x) = Asinpx + B thoaû maõn ñoàng thôøi caùc ñieàu kieän: f '(1) = 2 vaø

2

ò0 f(x)dx = 4.

2 ÑS: A = - ; B = 2. p

Trang 91


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå tính tích phaân xaùc ñònh coù hai daïng cô baûn (ngoaøi ra coøn daïng 3) döïa treân ñònh lyù sau: Ñònh lyù: a. Neáu ò f(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm trong [a ; b] thì: j (b)

j (b)

òj(a) f(u)du = F(u) j(a)

b. Neáu haøm soá f(x) xaùc ñònh vaø lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b], haøm soá x = j(t) xaùc ñònh vaø (i) Toàn taïi ñaïo haøm j’(t) lieân tuïc treân ñoaïn [a; b] (ii) j(a) = a vaø j(b) = b. (iii) Khi t bieán ñoåi töø a ñeán b thì x bieán thieân trong ñoaïn [a ; b] Khi ñoù:

b

b

òa f(x)dx = òa f[j(t)]j '(t)dt. b

Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tính tsch phaân I = ò f(x)dx. a

Giaûi: Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp. Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt b

Böôùc 5: Khi ñoù: I = ò g(t)dt. a

Löu yù: Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu

Caùch choïn

2

é x = a sin t vôùi - p / 2 £ t £ p / 2 ê ë x = a cos t vôùi 0 £ t £ p

x 2 - a2

é a p p ê x = sin t vôùi t Î [- 2 ; 2 ] \ {0} ê p a ê êë x = cos t vôùi t Î [0; p] \ { 2}

2

a -x

2

a +x

2

é x = a tgt vôùi - p / 2 < t < p / 2 ê ë x = a cot gt vôùi 0 < t < p

Trang 92


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Daáu hieäu a+ x hoaëc a-x

Caùch choïn a-x a+x

x = acos2t x = a + (b - a)sin 2 t

(x - a)(b - x) Ví duï 1: (ÑHTCKT_97) Tính tích phaân : I = ò

0

2 2

x2 1 - x2

dx.

Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dx = costdt Ñoåi caän: x 2 dx

Ta coù:

2 p Þt= . 2 4

vôùi x= 0 Þ t = 0; x =

1 - x2

=

sin 2 t.cos tdt

sin 2 t.cos tdt sin 2 t cos tdt 1 = = = (1 - cos2t)dt. cos t cos t 2 1 - sin 2 t

1 p/ 4 Khi ñoù: I = ò (1 - cos 2t)dt = 2 0 Ví duï 2: Tính tích phaân : I =

1æ 1 ö ç t - sin 2t ÷ 2è 2 ø

2/ 3

ò 2

p/ 4

= 0

p 1 - . 8 4

dx x x2 - 1 Giaûi:

Ñaët x =

1 cos t , khi ñoù : dx = - 2 dt sin t sin t

Ñoåi caän:

vôùi x= 1 Þ t = p/2; x =

1 cos tdt 2 Khi ñoù: ò sin t = 1 p/ 3 1 sin t -1 sin 2 t p/ 2

-

p/ 2

2 p Þt= . 3 3

p/2

p

ò dt = t p / 3 = 6

p/ 3

Chuù yù: Cuõng coù theå söû duïng pheùp ñoåi: I =

2/ 3

ò 2

Töø ñoù söû duïng pheùp ñoåi bieán t =

dx x

2

1 1- 2 x

.

1 , ta seõ nhaän ñöôïc: I = x

Roài tieáp tuïc söû duïng pheùp ñoåi bieán t = sinu, ta ñöôïc I =

3/2

ò

1/ 2

p/3

dt 1- t

2

p/ 3

. p

ò du = u p / 6 = 6 .

p/3

Ñoù chính laø lôøi giaûi coù theå boå sung (ñeå phuø hôïp vôùi haïn cheá chöông trình cuûa Boä Trang 93


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

GD&ÑT) haàu heát caùc taøi lieäu tham khaûo tröôùc ñaây. 0

a+ x dx, (a > 0) a-x

Ví duï 3: Tính tích phaân : I = ò a

Giaûi: Ñaët x = a.cos 2t, khi ñoù: dx = -2a.sin 2tdt. Ñoåi caän: Ta coù:

vôùi x = -a Þ t =

p p ; x=0Þ t= 2 4

a+ x a + a.cos2t dx = (-2a.sin 2tdt) = cot gt (-2a.sin 2tdt) a-x a - a.cos2t = -4a.cos2 t.dt = -2a(1 + cos2t)dt. p/ 2

p/2

æ 1 ö æ pö = a ç1 - ÷ . Khi ñoù: I = -2a ò (1 + cos 2t)dt = -2a ç t - sin 2t ÷ è 2 ø p/ 4 è 4ø p/ 4 b

Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tính tích phaân I = ò f(x)dx. a

Giaûi: Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp, roài xaùc ñònh x = y(x) (neáu coù theå). Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dx = j’(t)dt Böôùc 3: Tính caùc caän a vaø b töông öùng theo a vaø b Böôùc 4: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt b

Böôùc 5: Khi ñoù: I = ò g(t)dt. a

Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø: Daáu hieäu

Caùch choïn

Haøm coù maãu soá

t laø maãu soá

Haøm f(x, j(x))

t = j(x)

Haøm f(x) =

a.sin x + b.cos x c.sin x + d.cos x + e

t = tg

x x (vôùi cos ¹ 0) 2 2

· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët: Haøm f(x) =

1 (x + a)(x + b)

t = x+a+ x+b · Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët: t = -x - a + -x - b

Trang 94


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Ví duï 4: Tính tích phaân : I =

p/3

cos dx p / 6 sin x - 5sin x + 6

ò

2

Giaûi: Ñaët x = sint, khi ñoù: dt = cosxdx vôùi x =

Ñoåi caän: Ta coù:

p 1 p 3 Þt= ; x= Þt= 6 2 3 2

cosdx dt dt = 2 = sin x - 5sin x + 6 t - 5t + 6 (t - 2)(t - 3) 2

B ö [(A + B)t - 2A - 3B]dt æ A =ç + ÷ dt = (t - 2)(t - 3) è t -3 t -2 ø ìA + B = 0 Töø ñoù: í Û î-2A - 3B = 1 Suy ra:

ìA = 1 í î B = -1

cos xdx 1 ö æ 1 =ç ÷ dt. sin x - 5sin x + 6 è t - 3 t - 2 ø 2

Khi ñoù: I =

3/2

ò

1/ 2

1 ö t -3 æ 1 ç ÷dt = ln t -2 è t -3 t -2ø

Ví duï 5: Tính tích phaân : I =

7

ò 0

3/2

= ln 1/ 2

3(6 - 3) 5(4 - 3)

x3dx 3

1 + x2 Giaûi:

Ñaët t = 3 x 2 + 1 Þ t 3 = x 2 + 1, khi ñoù: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = Ñoåi caän:

3t 2dt . 2x

vôùi x = 0 Þ t = 1; x = 7 Þ t = 2. 3

x 3 .3t 2 dt Ta coù: = = 3t(t 3 - 1)dt = 3(t 4 - t)dt. 3 2xt 1 + x2 x dx

2

æ t5 t 2 ö Khi ñoù: I = 3ò (t - t)dt = 3 ç - ÷ è5 2ø 1

2

4

= 1

141 . 10 b

Baøi toaùn 3: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 3 tính tích phaân I = ò f(x)dx. a

Giaûi: Döïa vaøo vieäc ñaùnh giaù caän cuûa tích phaân vaø tính chaát cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ta coù theå löïa choïn pheùp ñaët aån phuï, thoâng thöôøng: ·

Vôùi I =

a

ò f(x)dx = 0

coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = –t

-a

·

Vôùi I =

p/2

ò

f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t =

0

Trang 95

p - x. 2


Tích phaân

·

Traàn Só Tuøng p

Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = p – x 0

·

Vôùi I =

2p

ò f(x)dx

coù theå löïa choïn vieäc ñaët t = 2p – x

0

·

b

Vôùi I = ò f(x)dx coù theå löïa choïn vieäc ñaët x = a + b + t a

Ghi chuù: Xem vaán ñeà 6 1

Ví duï 6: Tính tích phaân : I = ò x 2004 sin xdx -1

Giaûi: 0

Vieát laïi I veà döôùi daïng: I = ò x

2004

-1

1

sin xdx + ò x 2004 sin xdx.

(1)

0

0

Xeùt tích phaân J = ò x 2004 sin xdx. -1

Ñaët x = - t Þ dx = -dt khi ñoù: 3t 2dt = 2xdx Þ dx = Ñoåi caän:

x = –1 Þ t = 1; 0

Khi ñoù: I = - ò ( -t) 1

2004

3t 2dt . 2x

x=0Þt=0 1

sin(- t)dt = - ò x 2004 sin xdx. 0

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0.

(2)

Ví duï 7: (ÑHGT Tp.HCM_99) Tính tích phaân : I =

p/2

ò 0

cos 4 x dx. cos 4 x + sin 4 x

Giaûi: Ñaët t =

p - x Þ dx = -dt 2

Ñoåi caän:

vôùi x = 0 Þ t =

p p ; x = Þ t = 0. 2 2

p cos 4 ( - t)(-dt) p/ 2 p/2 sin 4 tdt sin 4 x 2 Khi ñoù: I = ò = ò = ò dx. 4 4 4 4 p p p / 2 cos 4 ( - t) + sin 4 ( - t) 0 cos t + sin t 0 cos x + sin x 2 2 0

Do ñoù: 2I =

p/2

ò 0

p/2 cos 4 x + sin 4 x p p dx = ò dx = Þ I = . 4 4 2 4 cos x + sin x 0

Trang 96


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

BAØI TAÄP Baøi 6. Tính caùc tích phaân sau: x dx 4 0 x + x2 + 1

1

a/ ò x 5 (1 - x 3 )6 dx; b/ ò 0

ÑS: a/

1 ; 168

b/

1

p 3 18

c/

p

3

c/ ò x 5 1 - x 2 dx; d/ ò 2 0

0

848 ; 105

d/

1 1 - ln 2. 2 2

Baøi 7. Tính caùc tích phaân sau: p 6 0

cos x.dx ; 6 - 5sin x + sin 2 x

a/

ò

c/

cos x.dx ò-1 e x + 1 ; 1

ÑS: a/ ln

10 ; 9

b/ d/

b/

p 2 ; 12

p 2 0

cos x dx; 7 + cos2x

ò ò

p

0

x.sin x.cos2 xdx

c/ sin1;

Trang 97

d/

p ; 3

sin x.cos3 x dx 1 + cos2 x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN b

ò udv = uv

b a

Coâng thöùc:

a

b

- ò vdu a

b

Baøi toaùn1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx. a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: b

b

a

a

Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: I = ò f(x)dx = ò f1 (x).f2 (x)dx. ì u = f1 (x) ìdu Böôùc 2: Ñaët: í Þ í îv îdv = f2 (x 2 )dx b

b

Böôùc 3: Khi ñoù: I = uv a - ò vdu. a

Chuùng ta caàn nhôù laïi caùc daïng cô baûn: Daïng 1: I = ò P(x)sin axdx (hoaëc ò P(x) cos axdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø a Î R * khi ñoù ñaët u = P(x).

Daïng 2: I = ò eax cos(bx) (hoaëc ò eax sin(bx)) vôùi a, b ¹ 0 khi ñoù ñaët u = cos(bx) hoaëc u = sin(bx)).

Daïng 3: I = ò P(x)eax dx (hoaëc I = ò P(x)eax dx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[x] vaø a Î R * khi ñoù ta ñaët u = P(x).

Daïng 4: I = ò x a .ln xdx, vôùi a Î R \ {-1} khi ñoù ñaët u = lnx. Ví duï 1: Tính tích phaân: I =

p/2

ò (x

2

+ 1)sin xdx.

0

Giaûi: ì u = (x 2 + 1) ìdu = 2xdx Ñaët: í Û í îv = - cos x îdv = sin xdx p/ 2

2

Khi ñoù: I = - (x + 1) cos x 0 + 2 Xeùt tích phaân J =

p/ 2

ò

p/ 2

ò

x cos xdx = 1 + 2

0

p/2

ò 0

x cos xdx.

0

Trang 98

x cos xdx

(1)


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

ìu = x Ñaët: í Û = dv cos xdx î p/ 2

ìdu = dx í îv = sin x

Khi ñoù: J = x sin x 0 -

p/ 2

ò

sin xdx =

0

p p p/ 2 + cos x 0 = - 1 2 2

(2)

æp ö Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = 1 + 2 ç - 1 ÷ = p - 1. è2 ø p

Ví duï 2: (Ñeà 37). Tính tích phaân: I = ò e2 x sin 2 xdx. 0

Giaûi: p

Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò e2x sin 2 xdx = 0

1 p 2x e (1 - cos2x)dx 2 ò0

p

·

1 e2 p 1 Xeùt tích phaân: I1 = ò e dx = e2 x = 2 2 2 0 0

·

Xeùt tích phaân: I 2 = ò e2 x cos2xdx

p

(1)

2x

(2)

p 0

ìdu = -2sin 2xdx ì u = cos2x ï Ñaët: í Û í 1 2x 2x îdv = e dx ïîv = 2 e p

p 1 e2 p 1 p 2x Khi ñoù: I 2 = e2x cos 2x + ò e2x sin 2xdx = - + ò e sin 2xdx 2 2 2 0 0 0

·

(3)

p

Xeùt tích phaân: I 2, 1 = ò e2x sin 2xdx 0

ìdu = 2 cos 2xdx ì u = sin 2x ï Ñaët: í Û í 1 2x 2x îdv = e dx ïîv = 2 e p

p 1 Khi ñoù: I 2, 1 = e2x sin - ò e2x cos 2xdx = -I 2 . 2 0 0 14 4244 3

(4)

I2

Thay (4) vaøo (3), ta ñöôïc: I 2 =

e2 p 1 e2 p 1 - - I2 Û I2 = - . 2 2 4 4

1 e2 p 1 e2 p 1 1 Thay (2), (5) vaøo (1), ta ñöôïc: I = [ - -( - )] = (e2 p - 1). 2 2 2 4 4 8 2

ln(1 + x) dx. x2 1

Ví duï 3: (ÑHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phaân: I = ò Trang 99

(5)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Giaûi: 1 ì du dx = ì u = ln(1 + x) ï ïï 1+ x Ñaët: í Û í dx dv = ïî ïv = 1 x2 ïî x 2

2 2 1 1 1 1 ö æ1 Khi ñoù: I = - ln(x + 1) + ò dx = - ln 3 + ln 2 + ò ç + ÷dx x x(x + 1) 2 è x 1 + x ø 1 1 1 2

1 3 = - ln 3 + ln 2 + (ln | x | - ln(x + 1)) = - ln 3 + 3ln 2. 2 2 1

BAØI TAÄP Baøi 8. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/

ò

p 2

0

ò

1

0

ÑS: a/

1

b/ ò (x + 1)2 e x dx;

ex .sin 3x dx;

0

p 2 0

e/ ò cos x.ln(1 + cos x)dx; f/

x ln(x + 1)dx 2

3 - 2e x ; 13

c/

b/

5e2 - 1 ; 4

c/

7e3 - 1 27

Trang 100

ò

e

1

e

(x.ln x)2 dx; ln x

ò1e (x + 1)2 dx.

1 d/ ln 2 - ; 2

e/

p - 1; 2

f/

2e . e +1


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 4: TÍNH TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM CHÖÙA DAÁU TRÒ TUYEÄT ÑOÁI b

Baøi toaùn: Tính tích phaân: I = ò f(x, m)dx. a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: Xeùt daáu bieåu thöùc f(x, m) treân [a, b]

Böôùc 1:

Töø ñoù phaân ñöôïc ñoaïn [a, b] thaønh caùc ñoaïn nhoû, giaû söû: [a, b] = [a, c1 ] È [c1 , c2 ] È ... È [ck , b]. maø treân moãi ñoaïn f(x, m) coù moät daáu. Böôùc 2: Khi ñoù: I =

c1

c2

b

a

c1

ck

ò f(x, m) dx + ò f(x,m) dx + ... + ò f(x, m)dx.

Ví duï 1: Tính tích phaân: I =

4

òx

2

- 3x + 2dx

-1

Giaûi: Ta ñi xeùt daáu haøm soá f(x) = x 2 - 3x + 2 treân [–1, 4], ta ñöôïc: x

–1

f(x)

1 +

2

0

1

4

0

+

2

4

1

2

Khi ñoù: I = ò (x 2 - 3x + 2)dx - ò (x 2 - 3x + 2)dx + ò (x 2 - 3x + 2)dx -1

1

2

4

3 3 3 19 æ1 ö æ1 ö æ1 ö = ç x 3 - x 2 + 2x ÷ - ç x 3 - x 2 + 2x ÷ + ç x 3 - x 2 + 2x ÷ = . 2 2 2 è3 ø -1 è 3 ø1 è 3 ø2 2 Chuù yù: Vôùi caùc baøi toaùn chöùa tham soá caàn chæ ra ñöôïc caùc tröôøng hôïp rieâng bieät cuûa tham soá ñeå kheùo leùo chia ñöôïc khoaûng cho tích phaân, ta xeùt hai daïng thöôøng gaëp trong phaïm vi phoå thoâng sau: b

Daïng 1: Vôùi tích phaân: I = ò x - a dx. a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Khi ñoù vôùi x Î [a, b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp: Tröôøng hôïp 1: b

Neáu a ³ b thì: b

æ x2 ö 1 I = ò (a - x)dx = ç ax - ÷ = (a - b)(a + b - 2a ) è 2 øa 2 a Tröôøng hôïp 2:

Neáu a < a < b thì: Trang 101


Tích phaân

Traàn Só Tuøng b

x2 I = ò (a - x)dx + ò (x - a)dx = (ax - ) 2 a a a

a a

b

x2 + ( - ax) 2 a

1 = a 2 + (a + b)a + (a2 + b 2 ). 2 Tröôøng hôïp 3: Neáu a £ a thì: b

b

x2 1 I = ò (x - a )dx = ( - ax) = (a - b)(2a - a - b). 2 2 a a b

Daïng 2: Vôùi tích phaân: I = ò x 2 - ax + b dx. a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Khi ñoù vôùi x Î [a, b] caàn xeùt caùc tröôøng hôïp: b

Neáu D = a 2 - 4b £ 0 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx

Tröôøng hôïp 1:

a

2

Neáu D > 0 thì x + ax + b = 0 coù hai nghieäm phaân bieät x1 < x 2 .

Tröôøng hôïp 2: ·

b

Neáu x1 < x 2 £ a hoaëc b £ x1 < x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx. a

·

b

Neáu x1 £ a < b £ x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx. a

·

x2

b

Neáu x1 £ a < x 2 < b thì: I = - ò (x + ax + b)dx + ò (x 2 + ax + b)dx. 2

a

·

x2

x1

b

Neáu a £ x1 < b £ x 2 thì: I = ò (x 2 + ax + b)dx - ò (x 2 + ax + b)dx. a

·

x1

x1

x2

2

b

Neáu a £ x1 £ x2 £ b thì: I = ò (x + ax + b)dx - ò (x + ax + b)dx + ò (x2 + ax + b)dx. a

2

x1

x2

Chuù yù: Vôùi baøi toaùn cuï theå thöôøng thì caùc nghieäm x1, x2 coù theå ñöôïc so saùnh töï nhieân vôùi caùc caän a, b ñeå giaûm bôùt caùc tröôøng hôïp caàn xeùt vaø ñaây laø ñieàu caùc em hoïc sinh caàn löu taâm. 1

Ví duï 2: (ÑHYD TP.HCM_96) Tính tích phaân: I = ò x. x - a dx (a > 0) 0

Giaûi: Ta ñi xeùt caùc tröôøng hôïp sau: Tröôøng hôïp 1: Neáu a ³ 1 1

1

1

æ x 3 ax 2 ö a 1 Khi ñoù: I = - ò x.(x - a)dx = - ò (x - ax)dx = - ç ÷ = - . 2 ø0 2 3 è 3 0 0 2

Tröôøng hôïp 2: Neáu 0 < a < 1

Trang 102


Traàn Só Tuøng

Tích phaân a

1

a

1

0

0

Khi ñoù: I = - ò x.(x - a)dx + ò x.(x - a)dx = - ò (x 2 - ax)dx + ò (x 2 - ax)dx 0

a

a

1

æ x 3 ax 2 ö æ x 3 ax 2 ö a3 a 1 = -ç ÷ +ç ÷ = - + . 2 ø0 è 3 2 øa 3 2 3 è 3

BAØI TAÄP Baøi 9. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/ g/

ò

5

-3 4

ò 3 x ò0 | 2 - 4 | dx; 1

x 2 - 6x + 9dx;

a/ 8;

ÑS:

Baøi 10. Tính caùc tích phaân sau: p 2 p 2 p

ò

c/

ò

0

| sin x | dx; 1 - sin 2xdx;

ÑS: a/ 2;

1

-1

1

ò-1

4 - | x | .dx;

h/

3

x 3 - 2x 2 + xdx.

ò0

3 2 2 2 f/ ; 3 b/

2 3 ln ; 7 4 1 g/ 4 + ; ln 2

c/

ò

p

ò

2p

0

d/

0

b/ 4; c/ 2 2;

(| 2x - 1 | -(x |2 )dx;

e/

b/

e/ 2(5 - 3);

a/

ò

b/

(| x + 2 | - | x - 2 | dx;

| x | dx ; -1 x - x 2 - 12

c/ ò f/

1

4

1

ò-1

| x | -xdx

5 ; 2 24 3 + 8 h/ . 15 d/

2 + 2 cos2xdx 1 + sin x.dx.

d/ 4 2.

1

Baøi 11. Cho I(t) = ò | ex - t | .dx, t Î R 0

a/ Tính I(t). b/ Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa I(t), vôùi t Î R. ìt + 1 - e, t ³ e ï ÑS: a/ í2t.ln t - 3t + e + 1, 1 < t < e b/ ïe - t - 1, t £ 1 î

min I(t) = ( 3 - 1)2 , t = e.

Baøi 12. Tính caùc tích phaân sau: a/

1

ò0

| x - m | dx;

b/

2

ò1 | x

2

- (a + 1)x + a | dx.

ì1 ïï 2 - m, m £ 0 ÑS: a/ í ïm 2 - m + 1 , 0 < m £ 1. ïî 2

Trang 103

ì 3a - 5 ,a ³ 2 ï 6 ï ï (a - 1)3 3a - 5 b/ í ,1< a < 2 6 ï 3 ï 5 - 3a , a£1 ï î 6


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 5: CAÙCH TÍNH:

b

b

òa max[f(x), g(x)]dx, òa min[f(x), g(x)]dx.

Phöông phaùp: · Ta tìm max[f(x), g(x)], min[f(x), g(x) baèng caùch xeùt hieäu: f(x) - g(x) treân ñoaïn [a ; b] ·

Giaû söû ta coù baûng xeùt daáu: x

a

c

f(x) – g(x)

+

b

0

Töø baûng xeùt daáu ta coù: – vôùi x Î [a; c] thì max[f(x), g(x)] = f(x) – vôùi x Î [c; b] thì max[f(x),g(x)] = g(x). b

c

b

òa max[f(x),g(x)dx = òa [f(x),g(x)]dx + òc max[f(x), g(x)]dx c b = ò f(x).dx + ò g(x).dx a c

·

Töø ñoù:

·

Caùch tìm min[f(x), g(x)] thöïc hieän töông töï. 2

Ví duï: Tính tích phaân: I = ò max[f(x), g(x)]dx, trong ñoù f(x) = x 2 vaø g(x) = 3x - 2. 0

Giaûi: Xeùt hieäu: f(x) - g(x) = x - 3x + 2 treân ñoaïn [0 ; 2] : 2

x f(x) – g(x)

0

1

0 +

0

2 –

Do ñoù: – Vôùi x Î [0; 1] thì max[f(x); g(x)] = x 2 –

Vôùi x Î [1; 2] thì max[f(x); g(x)] = 3x - 2 1

2

0

1

Ta coù: I = ò max[f(x); g(x)]dx + ò max[f(x); g(x)]dx 1

2

x3 æ3 ö = ò x dx + ò (3x - 2)dx = + ç x 2 - 2x ÷ 0 1 3 0 è2 ø1 1 3 17 = +6-4- +2 = . 3 2 6 1

2

2

BAØI TAÄP

Baøi 13. Tính caùc tích phaân sau: 2

a/

ò0

c/

2

max(x; x 2 )dx;

ò0 min(x; x

ÑS: a/

55 ; b/ 6

3

)dx;

b/ d/

4 ; 3

c/

2

ò1 min(1; x p 2 0

ò

2

)dx;

(sin x, cos x)dx.

7 ; 4

Trang 104

d/

2 - 2.


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 6:

LÔÙP CAÙC TÍCH PHAÂN ÑAËC BIEÄT

Trong vaán ñeà naøy ta ñi chöùng minh roài aùp duïng moät soá tính chaát cho nhöõng lôùp tích phaân ñaëc bieät. Tính chaát 1: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm leû treân [–a ; a] thì: I =

a

ò f(x)dx = 0.

-a

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Bieán ñoåi I veà daïng: I = Xeùt tính phaân J =

a

0

a

-a

-a

0

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

(1)

0

ò f(x)dx.

-a

Ñaët x = - t Þ dx = -dt Ñoåi caän:

x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0

Maët khaùc vì f(x) laø haøm leû Þ f(–t) = –f(t). 0

a

a

a

0

0

Khi ñoù: J = - ò f(-t)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx. Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0 (ñpcm). AÙp duïng: Ví duï 1: Tính tích phaân: I =

1/ 2

æ1- x ö cos x.ln ç ÷ dx. è 1+ x ø -1/ 2

ò

Giaûi: æ1- x ö Nhaän xeùt raèng: haøm soá f(x) = cos x.ln ç ÷ coù: è1+ x ø ·

é 1 1ù Lieân tuïc treân ê - ; ú ë 2 2û

·

æ 1- x ö æ1- x ö f(x) + f(-x) = cos x.ln ç ÷ + cos( -x).ln ç ÷ è1+ x ø è1+ x ø é æ1- x ö æ 1 + x öù = ê ln ç ÷ + ln ç ÷ cos x = ln1.cos x = 0. è 1 - x ø úû ë è1+ x ø Þ f(- x) = - f(x). é 1 1ù Vaäy, f(x) laø haøm leû treân ê - ; ú , do ñoù theo tính chaát 1 ta ñöôïc I = 0. ë 2 2û

Chuù yù quan troïng: 1. Khi gaëp daïng tích phaân treân thoâng thöôøng hoïc sinh nghó ngay tôùi phöông phaùp tích Trang 105


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

phaân töøng phaàn, xong ñoù laïi khoâng phaûi yù kieán hay. Ñieàu ñoù cho thaáy vieäc nhìn nhaän tính chaát caän vaø ñaëc tính cuûa haøm soá döôùi daáu tích phaân ñeå töø ñoù ñònh höôùng vieäc löïa choïn phöông phaùp giaûi raát quan troïng. 2. Tuy nhieân vôùi moät baøi thi thì vì tính chaát 1 khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi kieán thöùc cuûa saùch giaùo khoa do ñoù caùc em hoïc sinh leân trình baøy nhö sau: 0 1/ 2 æ1- x ö æ1- x ö (1) I = ò cos x.ln ç ÷ dx + ò cos x.ln ç ÷ dx . è 1+ x ø è1+ x ø -1/ 2 0 Xeùt tính chaát J =

0

æ1- x ö cos x.ln ç ÷ dx è1+ x ø -1/ 2

ò

Ñaët x = - t Þ dx = -dt 1 1 Ñoåi caän: x = - Þ t = . x = 0 Þ t = 0. 2 2 Khi ñoù: 0 1/ 2 1/ 2 æ1+ t ö æ1- t ö æ1- x ö I = - ò cos(- t).ln ç ÷ dx ÷ dt = - ò cos t.ln ç ÷dt = - ò cos x.ln ç è1+ x ø è1- t ø è1+ t ø 1/ 2 0 0

(2)

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 0. 3. Vaäy keå töø ñaây trôû ñi chuùng ta seõ ñi aùp duïng yù töôûng trong phöông phaùp chöùng minh tính chaát ñeå giaûi ví duï trong muïc aùp duïng. Tính chaát 2: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân ñoaïn [–a ; a] thì: a

a

-a

0

I=

ò f(x)dx = 2 ò f(x)dx.

PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

Bieán ñoåi I veà daïng: I = Xeùt tính phaân J =

a

0

a

-a

-a

0

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(x)dx

(1)

0

ò f(x)dx.

-a

Ñaët x = - t Þ dx = -dt Ñoåi caän: x = –a Þ t = a; x=0Þt=0 Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f(–t) = f(t) 0

a

a

0

a

a

0

0

Khi ñoù: J = - ò f( -t)dt = ò f(t)dt = ò f(t)dt = ò f(x)dx

(2)

a

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc I = 2 ò f(x)dx ñpcm. 0

Chuù yù quan troïng: 1. Trong phaïm vi phoå thoâng tính chaát treân khoâng mang nhieàu yù nghóa öùng duïng, do ñoù khi gaëp caùc baøi toaùn kieåu naøy chuùng ta toát nhaát cöù xaùc ñònh: I =

a

ò f(x)dx

-a

Trang 106


Traàn Só Tuøng

Tích phaân 1

baèng caùch thoâng thöôøng, thí duï vôùi tích phaân: I = ò x 2dx. -1

1

2x 3 Ta khoâng neân söû duïng pheùp bieán ñoåi: I = 2 ò x dx = 3 0

1

2

0

2 = . 3

bôûi khi ñoù ta nhaát thieát caàn ñi chöùng minh laïi tính chaát 2, ñieàu naøy khieán baøi toaùn trôû x3 neân coàng keành hôn nhieàu so vôùi caùch laøm thoâng thöôøng, cuï theå: I = 3

1

-1

2 = . 3

2. Tuy nhieân khoâng theå phuû nhaän söï tieän lôïi cuûa noù trong moät vaøi tröôøng hôïp raát ñaëc bieät. Tính chaát 3: Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø chaün treân R thì : I=

a

f(x)dx a + ò ax + 1 = ò f(x)dx vôùi "a Î R vaø a > 0. -a 0 PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI

f(x)dx 0 f(x)dx a f(x)dx = ò x +ò x Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò x -a a + 1 -a a + 1 0 a +1 a

Xeùt tính phaân I1 = Ñaët

0

f(x)dx x -a a + 1

ò

x = - t Þ dx = -dt

Ñoåi caän: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a. Maët khaùc vì f(x) laø haøm chaün Þ f)–t) = f(t). 0

f(- t)dt a a t f(t)dt a at f(t)dt =ò t =ò t -t a + 1 a + 1 a 0 0 a +1

Khi ñoù: I1 = ò

a t f(t)dt a f(x)dx a (a x + 1)f(x)dx a =ò x =ò = ò f(x)dx. t x a 1 a 1 a 1 + + + 0 0 0 0

a

Vaäy: I = ò AÙp duïng:

1

x 4 dx Ví duï 2: Tính tích phaân: I = ò x -1 2 + 1 Giaûi: 0

x 4dx 1 x 4dx Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò x +ò x -1 2 + 1 0 2 +1 Xeùt tích phaân J =

0

x 4 dx ò x -1 2 + 1

Ñaët x = –t Þ dx = –dt Ñoåi caän:

x = –1 Þ t = 1,

x = 0 Þ t = 0. Trang 107

(1)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng 0

( -t)4 dt 1 t 4 .2 t.dt 1 x 4 .2 x.dx =ò t =ò x -t 2 + 1 2 + 1 1 0 0 2 +1

Khi ñoù: J = - ò

(2)

1

x 4 .2 x.dx 1 x 4dx 1 x 4 (2 x + 1)dx 1 4 1 +ò x =ò = ò x dx = . x x 5 2 +1 0 2 +1 0 2 +1 0 0

Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: I = ò

é pù Tính chaát 4: Neáu f(x) lieân tuïc treân ê 0; ú thì: ë 2û

p/ 2

ò

f(sin x)dx =

0

p/2

ò

f(cos x)dx.

0

CHÖÙNG MINH

p - x Þ dx = -dt 2 p p Ñoåi caän: x = 0 Þ t = , x = Þ t = 0. 2 2

Ñaët t =

Khi ñoù:

p/ 2

ò

f(sin x)dx = -

0

0

p/2 p/2 p f(sin( t)dt = f(cos t)dt = ò ò ò f(cos x)dx ñpcm. 2 p/ 2 0 0

Chuù yù quan troïng: Nhö vaäy vieäc aùp duïng tính chaát 4 ñeå tính tích phaân: I=

p/2

ò

f(sin x)dx (hoaëc I =

p/2

0

ò

f(cos x)dx).

0

thöôøng ñöôïc thöïc hieän theo caùc böôùc sau: p Böôùc 1: Baèng pheùp ñoåi bieán t = - x nhö trong phaàn chöùng minh tính chaát, 2 ta thu ñöôïc I =

p/2

ò

f(cos x)dx.

0

Ñi xaùc ñònh kI (noù ñöôïc phaân tích kI = a

Böôùc 2:

p/ 2

ò 0

thöôøng laø: 2I =

p/2

ò

f(sin x)dx +

0

p/ 2

ò

f(cos x)dx =

0

AÙp duïng: Ví duï 3: Tính tích phaân: I =

ò 0

cosn xdx cos n x + sin n x Giaûi:

Ñaët t =

p - x Þ dx = -dt 2

Ñoåi caän:

x=0Þ t=

p , 2

x=

p Þ t = 0. 2

Trang 108

ò

f(cos x)dx)),

0

ò [f(sin x) + f(cos x)]dx . 0

Töø ñoù suy ra giaù trò cuûa I. p/2

p/ 2

f(sin x)dx + b

p/ 2


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

æp ö cosn ç - t ÷ ( -dt) p/ 2 p/ 2 sin n tdt sin n x è 2 ø Khi ñoù: I = ò dx. = = p ö ö ò0 cosn t + sin n t ò0 cosn x + sin n x næp p / 2 cos n æ ç - t ÷ + sin ç - t ÷ è2 ø è2 ø 0

Do ñoù: 2I =

p/2

ò 0

p/2 cos n x + sin n x p p dx = dx = Þ I = . ò 2 4 cos n x + sin n x 0 b

a+b b Tính chaát 5: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = f(x) thì I = ò xf(x)dx = f(x)dx. 2 òa a CHÖÙNG MINH

Ñaët x = a + b - t Þ dx = -dt Ñoåi caän: x = a Þ t = b;

x=bÞt=a

a

b

b

a

Khi ñoù: I = ò (a + b - t)f(a + b - t)( -dt) - ò (a + b - t)f(t)dt b

b

b

b

b

a

a

a

a

a

= ò (a + b)f(t)dt - ò tf(t)dt = (a + b) ò f(t)dt - ò xf(x)dx = (a + b)ò f(t)dt - I b

a+ b b Û 2I = (a + b)ò f(t)dt Û I = f(x)dx. 2 òa a Heä quaû 1: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I =

p-a

ò

xf(sin x)dx =

a

p p-a f(sinx)dx 2 aò

Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = p – t Þ dx = –dt. AÙp duïng: p

x sin xdx . 2 0 4 - cos x

Ví duï 4: Tính tích phaân: I = ò

Giaûi: p

p x sin xdx x sin xdx p = 2 ò 3 + sin 2 x = ò xf(sin x)dx. 4 (1 sin x) 0 0 0

Bieán ñoåi I veà daïng: I = ò Ñaët x = p - t Þ dx = -dt Ñoåi caän:

x = p Þ t = 0;

x = 0 Þ t = p.

0

(p - t)sin(p - t)dt p (p - t)sin tdt p p sin tdt p t sin tdt Khi ñoù: I = - ò =ò =ò -ò 2 2 4 - cos2 ( p - t) 4 - cos2 t p 0 0 4 - cos t 0 4 - cos t p

p p d(cos t) d(cos t) d(cos t) I Û 2I = -p = p 2 ò 2 ò 2 0 4 - cos t 0 4 - cos t 0 cos t - 4

= -pò

p p d(cos t) p 1 cos t - 2 ÛI= ò = . ln 2 2 0 cos t - 4 2 4 cos t + 2

p

= 0

Trang 109

p ln 9 . 8


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Heä quaû 2: Neáu f(x) lieân tuïc treân [0 ; 1] thì: I =

2 p-a

ò

xf(cos x)dx = p

a

2 p-a

ò

f(cos x)dx.

a

Höôùng daãn chöùng minh: Ñaët x = 2p – t Þ dx = –dt. AÙp duïng: Ví duï 5: Tính tích phaân: I =

2p

ò x.cos

3

xdx

0

Giaûi: Ñaët x = 2 p - t Þ dx = -dt Ñoåi caän:

x = 2p Þ t = 0; 0

x = 0 Þ t = 2p. 2p

ò (2p - t).cos (2p - t)(-dt) = ò (2p - t).cos

Khi ñoù: I =

3

2p 2p

3

tdt

0

p 2p = 2 p ò cos tdt - ò t cos tdt = ò (cos3t + 3cos t)dt - I 2 0 0 0 3

2p

3

2p

pæ1 ö Û 2I = ç sin 3t + 3sin t ÷ = 0 Û I = 0. 2è3 ø0 b

Tính chaát 6: Neáu f(x) lieân tuïc vaø f(a + b – x) = –f(x) thì I = ò f(x)dx = 0. a

CHÖÙNG MINH

Ñaët x = a + b - t Þ dx = -dt Ñoåi caän: x = a Þ t = b; x=bÞt=a a

b

b

b

a

a

Khi ñoù: I = ò f(a + b - t)( -dt) = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0. AÙp duïng: Ví duï 6: (CÑSPKT_2000) Tính tích phaân: I =

p/2

ò 0

æ 1 + sin x ö ln ç ÷ dx. è 1 + cos x ø

Giaûi: Ñaët t =

p - x Þ dx = -dt 2

p p , x = Þ t = 0. 2 2 æ æp öö 0 p p/ 2 ç 1 + sin èç 2 - t ÷ø ÷ æ 1 + cos t ö æ 1 + sin t ö Khi ñoù: I = ò ln ç ( dt) = ln dt = ln ç ÷ ç ÷ ÷ dt ò ò p æ ö 1 + sin t 1 + cos t è ø è ø ç 1 + cos ç - t ÷ ÷ p/2 0 0 ç ÷ è2 øø è

Ñoåi caän:

=-

x=0Þt=

p/ 2

ò 0

æ 1 + sin x ö ln ç ÷ dx = -I Û 2I = 0 Û I = 0. è 1 + cos x ø Trang 110


Traàn Só Tuøng

Chuù yù:

Tích phaân

Neáu ta phaùt bieåu laïi tính chaát 6 döôùi daïng:

“Giaû söû f(x) leân tuïc treân [a ; b], khi ñoù:

b

a

a

b

ò f(x)dx = ò f(a + b - x)dx"

Ñieàu ñoù seõ giuùp chuùng ta coù ñöôïc moät phöông phaùp ñoåi bieán môùi, cuï theå ta xeùt ví duï sau: Ví duï 7: Tính tích phaân: I =

p/ 4

ò

ln(1 + tgx)dx.

0

Giaûi: Ñaët t =

p - x Þ dx = -dt 4

Ñoåi caän:

x=0Þt=

p p , x= Þt=0 4 4

0

p/ 4 p/ 4 p 1 - tgt 2 Khi ñoù: I = - ò ln[1 + tg( - t)dt = ò ln(1 + )dt = ò ln dt 4 1 + tgt 1 + tgt p/ 4 0 0

=

p/ 4

p/ 4

0

0

ò [ln 2 - ln(1 + tgt)]dt = ln 2 ò

Û 2I =

dt -

p/ 4

ò

p/ 4

ln(1 + tgt)dt = ln 2.t 0 - I

0

p ln 2 p ln 2 ÛI= . 4 8

Tính chaát 7: Neáu f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0 ; 2a] vôùi a > 0 thì 2a

a

a

0

ò f(x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx. CHÖÙNG MINH

Ta coù:

2a

a

2a

0

a

ò f(x)dx = ò f(x0dx + ò f(x)dx a

Xeùt tích phaân I 2 =

(1)

2a

ò f(x)dx. a

Ñaët x = 2a - t Þ dx = -dt Ñoåi caän: x = a Þ t = a;

x = 2a Þ t = 0.

0

a

a

a

0

0

Khi ñoù: I 2 = - ò f(2a - t)dt = ò f(2a - t)dt = ò f(2a - x)dx Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc: 2a

a

a

a

a

0

0

0

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò f(2a - x)dx = ò [f(x) + f(2a - x)]dx . (ñpcm)

AÙp duïng: Ví duï 8: Tính tích phaân: I =

3p

ò sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx. 0

Trang 111

(2)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Giaûi: Vieát laïi I döôùi daïng: I=

3p / 2

ò

3p

ò

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx +

0

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.

(1)

3p / 2 3p

ò

Xeùt tích phaân J =

sin x.sin 2x.sin 3x.cos5xdx.

3p / 2

Ñaët x = 3p - t Þ dx = -dt Ñoåi caän:

x= 0

ò

Khi ñoù: J = -

3p 3p Þt= , 2 2

x = 3p Þ t = 0.

sin(3p - t).sin 2(3p - t).sin 3(3p - t).cos5(3p - t)dt

3p / 2

=-

3p / 2

ò

sin t.sin 2t.sin 3t.cos5tdt = -

3p / 2

ò

0

sin x.sin 2x.sin 3x.cos 5xdx. (2)

0

Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I = 0. Tính chaát 8: Neáu f(x) lieân tuïc treân R vaø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì :

a+T

ò a

T

f(x)dx = ò f(x)dx. 0

CHÖÙNG MINH

Ta coù:

T

a

a+ T

0

0

a

ò f(x)dx = ò f(x)dx + ò

Xeùt tích phaân I3 =

T

ò

T

f(x)dx +

ò

f(x)dx

(1)

a+ T

f(x)dx.

a+ T

Ñaët t = x - T Þ dx = dt Ñoåi caän: x = a + T Þ t = a;

x = T Þ t = 0.

0

a

a

a

0

0

T

a+ T

0

a

Khi ñoù: I3 = ò f(t + T)dt = - ò f(t)dt = - ò f(x)dx. Thay (2) vaøo (1) , ta ñöôïc:

ò f(x)dx =

ò

(2)

f(x)dx. (ñpcm)

AÙp duïng: Ví duï 8: Tính tích phaân: I =

2004 p

ò

1 - cos2xdx.

0

Giaûi: Vieát laïi I döôùi daïng: I= 2

2004 p

ò 0

2p

4p

0

2p

sin x dx = 2( ò sin x dx +

ò

sin x dx + ... +

Theo tính chaát 8, ta ñöôïc: Trang 112

2004 p

ò

2002 p

sin x dx)

(1)


Traàn Só Tuøng 2p

ò

Tích phaân

sin x dx =

0

4p

ò

2p

p

2p

0

p

sin x dx = 1002( ò sin xdx - ò sin xdx) p 0

= 1002 2(cos x + cos x

2p p )

= 4008 2.

Nhaän xeùt: Nhö vaäy neáu baøi thi yeâu caàu tính tích phaân daïng treân thì caùc em hoïc sinh nhaát thieát phaûi phaùt bieåu vaø chöùng minh ñöôïc tính chaát 8, töø ñoù aùp duïng cho tích phaân caàn tìm.

BAØI TAÄP Baøi 14. Tính caùc tích phaân sau: a/ ò

1

1p 2 p 2

e/ ò

1 - x2 dx; 1 + 2x

b/

p 2 p 2

ò

x 2 | sin 2 x | dx; 1 + 2x

p x + cos x dx; c/ ò x.sin 3 x.dx; 2 0 4 - sin x

x 4 + sin x dx; -1 x 2 + 1

f/ ò

1

p

2

g/ ò (ex .sin x + e2 .x 2 )dx; -1

p sin 7 x dx 2 k/ dx. ; ò0 -1 (e x + 1)(x 2 + 1) sin 7 x + cos7 x

1

h/ ò ln 3 (x + x 2 + 1) dx; i/ ò -1

ÑS:

1

sin 2 x dx; -p 3x + 1

d/ ò

p ; 4 p 4 f/ - ; 2 3 a/

1

1 ln 9; 2 2 g/ e2 ; 3 b/

c/

3p ; 4

p ; 2 p i/ ; 4

e/ p + 2;

d/

h/ 0;

p k/ . 4

Baøi 15. Cho lieân tuïc treân R vaø thoaû maõn: f(x) + f(- x) = 2 - 2 cos 2x , "x ÎR 3p

Tính tích phaân I = ò 23 p f(x)dx. -

Baøi 16. Chöùng minh raèng:

ÑS: 6.

2

tga 1 e

ò

cot g a x.dx dx + = 1, (tga > 0) . 1 ò 2 x +1 e x(x 2 + 1)

æ1ö Baøi 17. Cho haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [0; + ¥) thoûa maõn f(t) = f ç ÷ , vôùi "t > 0 vaø ètø haøm soá. p ì ïïf(tgx) , neáu 0 £ x £ 2 g(x) = í ïf(0) , neáu x = p ïî 2 Chöùng minh raèng: é pù a/ g(x) lieân tuïc treân ê 0; ú ; ë 2û

b/

Trang 113

p 4 0

ò

p 2 p 4

g(x).dx = ò g(x).dx.


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 7:

TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ (xem laïi vaán ñeà 7 cuûa baøi hoïc 1)

BAØI TAÄP Baøi 18. Tính caùc tích phaân sau: x4 - 1 dx; x2 + 9

a/ ò

3

e/ ò

4 2

0

0

x15 .dx (x8 + 1)2

4

x.dx ; -1 (x + 2)2

b/ ò

c/ ò

1

35 5 25 e/ . 125 + ; 192 192

c/

9 5 2 x .dx (2x 2 + 18)dx d/ ; ò0 (x 5 + 1)3 ; (x 2 - 6x + 13)2

1

g/ ò x(1 - x 2 )n dx;

0

4 b/ ln 3 - ; 3

5

1

; f/ ò (1 + x)n dx;

20 p - 18; 3

ÑS: a/

1

0

11p 7 2 + ; d/ ; 8 4 45

2 n +1 - 1 f/ ; n +1

g/

1 . 2(n + 1)

Baøi 19. Tính caùc tích phaân sau: 2

ò1

a/

tga

d/ ò1

e

f/ ò

1

ÑS:

x 3 .dx ; x8 + 1

1 2 0

b/ ò

x 3 .dx ; x 2 - 3x + 2

c/ ò

2

0

dx ; x(x 4 + 1)

2 cot ga b (a - x )dx x.dx dx e/ + , (tga > 0) 1 ò0 (a + x 2 )2 , (a, b > 0); 1 + x 2 òe x(1 + x 2 )

2+ 6 2

x2 + 1 dx; x4 + 1

1+ 5 2 1

g/ ò

(x 2 + 1)dx . x4 - x2 + 1

a/

p ; 16

1 21 3 7 b/ ln + ln ; 4 2 4 2

e/

b ; a + b2

p f/ ; 8

p g/ . 4

Trang 114

1 32 c/ ln ; 4 17

d/ 1;


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC

Vaán ñeà 8:

(xem laïi vaán ñeà 8 cuûa baøi hoïc 1)

BAØI TAÄP Baøi 20. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/ g/

p 8 0

cos2x.dx ; sin 2x + cos2x

p 4 0

sin x.dx ; 6 sin x + cos6 x

p 2 0

sin x + 7 cos x + 6 dx; 4sin x + 3 cos x + 5

ò ò

ò

ÑS:

a/

p 1 + ln 2; 16 8

e/

5p ; 32

f/

p

4 sin 3 x.dx ; 1 + cos4 x

p

b/ ò 4 0

p 4 p 4

e/ ò

c/ ò 4 0

dx ; sin x + 2sin x cosx - 8cos2 x 2

sin 6 x + cos6 x dx; 6x + 1 p 2 0

h/ ò

b/ 2 ln

f/ ò

cos2x.dx ; (sin x + cos x + 2)3

sin x.cos x dx 2

a .cos2 x + b 2 .sin 2 x

3+2 2 ; 2

8 5+8 2 ; 27 (2 + 2 )2

p 4 0

g/

1 2 c/ ln ; 6 5

dx (a, b ¹ 0) 2 d/ ln 4; 3

p 9 1 + ln + ; 2 8 6

h/

1 . |b|+|a|

Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/

p 2 p 6

cis3 x.dx ; sin x

p

x.sin x.cos3 x.dx;

ò

ò0

ÑS:

p 4 0

b/ ò

p 2 p 3

cos x - sin x dx; 2 + sin 2x

c/ ò

p

x.sin x.dx ; 2 cos x 3

p

f/ ò x - cos4 x.sin3 x.dx.

e/ ò 3p

0

a/ ln( 2 + 1);

æ 3+ 2ö b/ ln ç ÷; è 2 +1 ø

p d/ ; 3

e/

c/ -

f(x) =

A.cos x B.cos x . + (2 + sin)2 2 + sin x

0 p f(x).dx. 2

ò

Baøi 23. Tính caùc tích phaân sau: a/

ò

2

x .cos x.dx; b/

p2 p2 4

ò

f/

4p . 35

sin 2x coù theå bieåu dieãn döôùi daïng: (2 + sin x)2

ÑS: A = –4; B = 2; ln4 – 2. p 2 0

9 ; 24

3

4p - 2 ln(2 + 3); 3

Baøi 22. Tìm hai soá A, B ñeå haøm soá f(x) =

Töø ñoù tính:

cot g. 3 sin3 x - sin x.dx ; sin3 x

p 3 p 4

cos ( x ).dx; c/ ò 2

Trang 115

x.dx ; sin2 x


Tích phaân

d/

Traàn Só Tuøng p 4 0

ò

p3 8 0

x.tg x.dx; p2 a/ - 2; 4

ÑS:

2x x f/ ò x 2 .sin .dx; 0 2

e/ ò sin 3 x.dx;

2

3p2 1 b/ + ; 8 2

c/

p 1 p2 d/ - ln 2 - ; e/ 3p - 6; 4 2 32

p(9 - 4 3) ; 36

f/ -8(p2 + 4).

Baøi 24. Tính caùc tích phaân sau: a/ c/

p

n-1

ò0 sin

p

x.cos(n + 1).dx, (n Î N, n ³ 1); b/ ò cosn -1 x.sin(n - 1)x.dx; 0

p 2 cosn 0

ò

p 2 0

d/ ò cos n x.sin(n + 2)x.dx.

x.sin(n + 1)x.dx;

ÑS: a/ 0;

b/ 0;

c/ 0;

d/

1 . n +1

Baøi 25. Tính caùc tích phaân sau: p 2 0

a/ I = ò ( cos x - sin x )dx; p 2 0

c/ I = ò

5cosx - 4sinx ; (cosx + sin x)3

ÑS: a/ 0;

b/ p

Baøi 26. Ñaët: I = ò 6 0

p 2 0

cosn x.dx ; cosn x + sin n x

p 2 0

3sin x + 4 cos x dx. 3sin 2 x + 4 cos2 x

b/ I = ò d/ I = ò

p ; 4

c/

1 ; 2

d/

p 2 3

+ ln 3.

p sin 2 x.dx cos2 x.dx vaø J = ò 6 . 0 sin x + 3 cos x sin x + 3.cos x

a/ Tính: I – 3J vaø I + J. 5p 3 3p 2

b/ Töø caùc keát quaû treân haõy tính caùc giaù trò cuûa I, J vaø K : K = ò ÑS: a/ I - 3J = 1 - 3; I + J = Baøi 27.a/ b/

Chöùng minh raèng:

p 2 0

ò

1 ln 3; 4

cos2x.dx . cos x - 3 sin x

1 3 -1 b/ K = ln 3 . 8 2 p

cos6 x.cos6x.dx = ò02 cos5 x.sin x si n6x.dx

p

Tính: J = ò 2 cos5 x.cos7 x.dx. 0

ÑS: b/ J = 0.

Trang 116


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 9:

TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SOÁ VOÂ TÆ (xem laïi vaán ñeà 9 cuûa baøi hoïc 1)

BAØI TAÄP Baøi 28. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/

æ x -1 ö

3

dx

ò2 3 çè x + 1 ÷ø . (x - 1)2 ; ò0

2 2

ÑS:

b/

1+ x .dx; 1- x

6

ò4 1

dx

0

(1 + x m ).m 1 + x m

e/ ò

a/

3 3 ( 3 - 3 2 ); 2

d/

1 (p + 4 - 2 2 ); 4

x - 4 dx . ; c/ x+2 x+2

b/ ln3 - 1; e/

x .(x - 2).dx; 4-x

1

ò0

, m Î N*.

c/ p - 4; 1 - 1. 2

m

Baøi 29. Tính caùc tích phaân sau: a/ d/

dx

4

ò2 x 2

ò-1

16 - x 2

; b/

x 2 4 - x 2 .dx;

1 æ pö ÑS: a/ - ln ç tg ÷ ; 4 è 12 ø d/

5p 3 ; 6 4

dx

6

ò2

3

x x2 - 9

1

c/ ò x3 . 1 + x2 dx;

;

0

2

e/ ò x (x 2 + 4)3 .dx;

f/ ò

0

b/

p ; 18

e/

32 (4 2 - 1); 5

c/

0

3 2

x 2 . (3 - x 2 )3 .

2 ( 2 - 1); 15 f/

9 (4 p + 9 3). 64

Baøi 30. Tính caùc tích phaân sau: a/ e/

4 4 3 3

ò

a

ò0

ÑS: a/

x2 - 4 dx; x

x 2 x 2 - x 2 .dx;

b/

1

ò 22

1 - x2 .dx; x2

c/

2a

f/ ò x 2ax - x 2 .dx; g/ 0

1 (4 3 - p); 3

b/

1 p (4 - p); c/ ; 4 6

pa4 ; e/ 16

pa3 f/ ; 2

g/

p 2 0

ò

dx ; x + 3 + x +1

b/

1

p . 6n

dx

ò-1 1 + x +

Trang 117

1 + x2

dx

ò

n

ò0

x - x2 a 2

2

a -x

;

1

x 2 .dx

0

2x - x 2

d/ ò

;

x n -1.dx

d/

Baøi 31. Tính caùc tích phaân sau: a/

1 2 1 4

2n

(a > 0; n ³ 2).

1 (3p - 8); 4

;


Tích phaân

c/

Traàn Só Tuøng

dx

2

ò1 x2 (

ÑS: a/

x2 + 1 + x)

;

19 - 3 - 2; 6 c/ ln

(2x + 1)dx

8

ò4

x 2 - 4x + x + 2

x n .dx

0

x3 + a3

;

b/ 1;

(2 + 5)( 2 - 1) 2 2 - 5 + ; 2 2

a

Baøi 32. Cho I = ò

d/

1 d/ 8 - 3 2 - ln(3 + 2 2). 2

; (a > 0,n Î N)

a/ Vôùi giaù trò naøo cuûa n thì I khoâng phuï thuoäc vaøo a. b/ Tính I vôùi n tìm ñöôïc. 1 ÑS: a/ n = ; 2

b/

2 ln(1 + 2 ). 3

Trang 118


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

TÍCH PHAÂN CAÙC HAØM SIEÂU VIEÄT

Vaán ñeà 10:

(xem laïi vaán ñeà 10 cuûa baøi hoïc 1)

BAØI TAÄP Baøi 33. Tính caùc tích phaân sau: a/ ò

ln 2

d/ ò

e

0

1

dx ; x(1 + ln 2 x

ÑS: a/

ln 5

1 - e2x .dx; b/

ò0

e/ ò

e

1

ex . e x - 1 dx; ex + 3

1 + ln 2 x dx; x

1æ 2- 3ö ç 3 + ln ÷; 2è 2+ 3ø p d/ ; 4

b/ 4 - p;

2 1 + ln(1 + 2); 2 2

e/

dx

e

c/ ò

1

f/ ò

e

1

2

x 1 - ln x

;

ln x 3 1 + ln 2 x . x

c/

p ; 6

f/

3 3 ( 16 - 1). 8

Baøi 34. Tính caùc tích phaân sau: a/

2

ò0

ln x dx; x2

e2 æ 1 1 ö b/ ò ç 2 ÷ dx; e è ln x ln x ø

p 3 p 6

e ln x.dx ln(x + 1).dx e/ ò d/ ò ; ; 0 1 (x + 1) 2 x +1 1

ÑS: a/

1 (1 - 2 ln 2 ); 2

b/

d/ 2 ln 4 - 4 2 + 4;

f/ ò

1 (2e - e2 ); 2 e/ 0;

ln(lnx).dx ; x

e3

c/ òe2

ln(sin x).dx . cos2 x

c/ ln f/

27 ; 4e

3 3 3 p ln - . 3 2 6

Baøi 35. Tính caùc tích phaân sau: a/ c/

p 2 0

ò

log 2 (1 + tgx).dx;

p (1 + sin x)1+cosx 2 ln 0 1 + cosx

ò

p ÑS: a/ ; 8

p b/ ln 2; 8

dx;

p

b/ ò 4 ln(1 + tgx)dx; 0

x.ex dx ; 0 (1 + e x )3

d/ ò

1

e2 + 4e + 1 1 æ e + 1 ö c/ 2 ln 2 - 1; d/ - ln ç ÷. 4(e + 1)2 2 è 2 ø

Trang 119


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 11: PHÖÔNG TRÌNH

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN

Ñeå giaûi phöông trình, baát phöông trình tích phaân thoâng thöôøng tröôùc tieân ta caàn ñi xaùc ñònh tích phaân trong phöông trình, baát phöông trình ñoù, sau ñoù seõ thu ñöôïc moät phöông trình, baát phöông trình ñaïi soá quen thuoäc.

BAØI TAÄP x

Baøi 36. Giaûi vaø bieän luaän phöông trình sau vôùi aån x: 2 ò (mt - m + 2)dt = 3 - m 0

ÑS: · m > 4 : voâ nghieäm · m = 4 : x1 = x 2 = ·m=0: x=

1 2

3 4

· 0 ¹ m < 4 : x1, 2 =

m-2± 4-m m

Baøi 37. Bieän luaän theo m soá nghieäm cuûa phöông trình:

x

1 1 (t )dt = m ò t 2 1

1 : voâ nghieäm 2 1 · m= :x=1 2 1 · m > : 2 nghieäm 2

ÑS: · m <

x

Baøi 38. Cho I(x) = ò (e2t + e-2t )dt. 0

a/ Tính I(x) khi x = ln2 b/ Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: I(x) = m. 15 ÑS: a/ ; b/ x = ln m + 1 + m 2 , "m 8 Baøi 39. Giaûi caùc phöông trình sau vôùi aån x (x > 0) : x x x dt p p 1 + ln t a/ ò b/ ò = ; c/ ò et - 1.dt = 2 - ; dt = 18; 2 2 2 t 1 0 2 t t -1 e

x

d/ ò (2 t -1.ln 2 - 2t + 2)dt = 2 x 0

2

-x

1 + . 2

Trang 120

x

e/ ò 7 t -1 .ln 7dt = 6 log 7 (6x - 5), vôùi x ³ 1. 0


Traàn Só Tuøng

f/

Tích phaân x

ò

3 2

tdt 1 - t2 . 1 + 1 - t2

ÑS: a/ x = e5 ; x = e-7 ; d/

x = 1;

= 6 - 2x(1 + 2 1 - x 2 ) b/ x = 2;

c/ x = ln2;

e/ x = 1; x = 2;

1 f/ x = . 2

x

3

Baøi 40. Tìm m ñeå phöông trình: x + ò [3t 2 + 4(6m - 1)t - 3(2m - 1)]dt = 1 1

coù 3 nghieäm phaân bieät coù toång bình phöông baèng 27. ÑS: m = 1. Baøi 41. Giaûi caùc phöông trình sau: x 3 a/ ò (4sin 4 t - )dt = 0; 2 0

c/

x

ò 0

dt 2 3

(1 - t )

x

b/ ò cos(t - x 2 )dt = sin x; 0

= tgx vôùi x Î [0; 1).

p ÑS: a/ x = K , K Î Z; 2 b/

é x = Kp ê ê x = ± l2p l = 0, 1, 2,... ê ê x = 1 ± 1 + m8p , m = 0, 1, 2... 2 ë

Trang 121

c/

x = 0.


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 12: THIEÁT LAÄP COÂNG THÖÙC TRUY HOÀI 1. Nhaän xeùt: Trong nhöõng tröôøng hôïp haøm döôùi daáu tích phaân phuï thuoäc vaøo tham soá n (n Î N), khi ñoù ngöôøi ta thöôøng kyù hieäu In ñeå chæ tích phaân phaûi tính. 1. Hoaëc laø ñoøi hoûi thieát laäp moät coâng thöùc truy hoài, töùc laø coâng thöùc bieåu dieãn In theo caùc In+K, ôû ñaây 1 £ K £ n. 2. Hoaëc laø chöùng minh moät coâng thöùc truy hoài cho tröôùc. 3. Hoaëc sau khi coù coâng thöùc truy hoài ñoøi hoûi tính moät giaù trò I n 0 cuï theå naøo ñoù. 2. Moät soá daïng thöôøng gaëp: Daïng 1: I n =

p/ 2

ò sin

n

x.dx (n Î N)

0

· Ñaët: u = sin n -1 x Þ du = (n - 1)).sin n -2 x.dx dv = sin x.dx Þ v = - cos x. Þ I n = éë - sin n-1 x.cos x]p0 / 2 + (n - 1).(I1- 2 - I n ) Daïng 2: I n =

p/ 2

ò

cos n x.dx (n Î N)

0

n -1

· Ñaët: u = cos x Þ du = -(n - 1).cosn -2 x.dx dv = cos x.dx Þ v = sin x. Þ I n = éë cosn -1 x.sin x]p0 / 2 + (n - 1).(I n -2 - I n ) Daïng 3: I n =

p/ 4

ò

tg n x.dx.

0

æ 1 ö · Phaân tích: tg n +2 x = tg n x.tg 2 x = tg n x. ç - 1 ÷ = tg n x(1 + tg2 x - 1) 2 è cos x ø 1 Suy ra: I n +2 + I n = (khoâng duøng tích phaân töøng phaàn) n +1 Daïng 4: I n =

p/ 2

ò

n

x .cos x.dx vaø J n =

0 n

· Ñaët: u = x Þ du = n.x dv = cos x.dx Þ v = sin x

p/ 2

ò

x n .sin x.dx.

0

n -1

.dx.

2

æpö Þ I n = ç ÷ - nJ n - 1 è2ø · Töông töï: J n = 0 + nI n -1

(1) (2) n

· Töø (1) vaø (2) Þ I n + n(n - 1)I n -2

æ pö =ç ÷ . è2ø

Trang 122


Traàn Só Tuøng

Tích phaân 1

Daïng 5: I n = ò x n .ex .dx 0

· Ñaët:

u = x n Þ du = nx n-1 .dx

dv = ex .dx Þ v = e x . I n = [x n .e x ]10 - nI n -1 1

1 xn = dx hay I x n .e- x .dx n x ò 0 e 0

Daïng 6: I n = ò · Ñaët:

u = x n Þ du = nx n-1 .dx

dv = e- x .dx Þ v = -e- x . Þ I n = [-x x .e- x ]10 + nI n-1 e

Daïng 7: I n = ò ln n x.dx (n Î Z* ) 1

· Ñaët:

u = ln n x Þ du = n.ln n-1 x,

dv = dx Þ v = x.

1 dx x

Þ I n = [x.ln n x]1e - n.I n -1 Û I n = e - nI n -1.

BAØI TAÄP Baøi 42. Cho I n = ò sin n x.dx vaø J n = ò cos n x.dx , vôùi n Î N, n ³ 2. Chöùng minh caùc coâng thöùc truy hoài sau: 1 n -1 1 n -1 I n = - sin n -1 x.cos x + I n -2 . J n = sin x.cos n -1 x + J n -2 . n n n n AÙp duïng ta tính I3 vaø J4. 1 2 ÑS: · I3 = - sin 2 x.cos x - cos x + C. 3 3 1 3 3 · J 4 = sin x.cos3 x + x + sin 2x + C. 4 8 16 Baøi 43. Cho I n = ò x n .sin x.dx vaø J n = ò x n .cos x.dx , vôùi n Î N, n ³ 2. Chöùng minh raèng: I n = -x n .cos x = nx n -1.sin x - n(n - 1).I n -2. J n = x n .sin x + n.x n -1 .cos x - n(n - 1).J n -2 . AÙp duïng ta tính I2 vaø J2. ÑS: · I 2 = -x 2 - cos x + 2x.sin x + 2 cos x + C. · J 4 = x 2 sin x + 2x cos x - 2sin x + C. Trang 123


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Baøi 44. Cho I n = ò x n .e x .dx, n Î N, n ³ 1. Chöùng minh raèng: I n = x n .e x - n.I n -1 . AÙp duïng tính I5. ÑS: I 5 = ex (x 5 - 5x 4 + 20x 3 - 60x 2 + 120x - 120) + C. Baøi 45. Cho I n =

p/2

ò sin

n

x.dx, (n Î N)

0

a/ Thieát laäp coâng thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. b/ Tính In. c/ Chöùng minh raèng haøm soá f: N ® R vôùi f(n) = (n + 1)I n .I n +1. d/ Suy ra J n =

p/ 4

ò cos

n

x.dx.

0

ì (n - 1)(n - 3)(n - 5)...1 p ïï n(n - 2)(n - 4)...2 . 2 , n chaün I(n) = í ï (n - 1)(n - 3)(n - 5)...2 , n leû ïî n(n - 2)(n - 4)...3

ÑS: b/

f(n) = f(0) = I 0 .I1 =

c/ Baøi 46. Ñaët; I n =

p/4

p . 2

d/

Jn = In .

ò tg x.dx, (n Î N) n

0

Tìm heä thöùc lieân heä giöõa In vaø In+2. ÑS: I n + I n + 2 = 1

Baøi 47. Cho I n = ò 0

1 . n +1

xn dx, (n Î N* ) 1- x

Chöùng minh raèng: (2n + 1)I n + 2n.I n -1 = 2 2. 1

e - nx dx, (n Î N* ) -x 1- e 0

Baøi 48. Cho I n = ò

a/ Tính I1. b/ Tìm heä thöùc giöõa In vaø In–1. ÑS: a/

I1 = ln

2e ; b/ 1+ e

I n + I n -1 =

Trang 124

1 (e1- n) - 1) 1- n


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 13: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC TÍCH PHAÂN ·

Cho hai haøm soá f(x) vaø g(x) lieân tuïc treân [a ; b]

Daïng 1: Neáu f(x) ³ 0, "x Î [a; b] thì :

b

ò f(x) ³ 0 a

daáu “=” xaûy ra khi f(x) = 0, "x Î [a; b] b

Daïng 2: Ñeå chöùng minh: ò f(x).dx £ a

b

ò g(x).dx . a

§ ta caàn chöùng minh: f(x) £ g(x), "x Î [a; b] § daáu “=” xaûy ra khi f(x) = g(x), "x Î [a; b] § roài laáy tích phaân 2 veá. b

Daïng 3: Ñeå chöùng minh: ò f(x).dx £ B (B laø haèng soá). a

ìf(x) £ g(x), "x Î [a; b] ï § ta tìm moät haøm soá g(x) thoûa caùc ñieàu kieän: í b ï ò g(x).dx = B îa b

Daïng 4: Ñeå chöùng minh: A £ ò f(x).dx £ B . a

§ ta tìm 2 haøm soá h(x) vaø g(x) thoûa ñieàu kieän: ì h(x) £ f(x) £ g(x), "x Î [a; b] ïb b í ï ò h(x).dx = A, ò g(x).dx = B îa a § Hoaëc ta chöùng minh: m £ f(x) £ M, vôùi m = min f(x), M = max f(x) b

sao cho: ò m.dx = m(b - a) = A, a

Daïng 5:

b

b

a

a

b

ò M.dx = M(b - a) = B. a

ò f(x).dx £ ò | f(x) | dx . daáu “=” xaûy ra khi f(x) ³ 0, "x Î [a; b] § BÑT (5) ñöôïc suy ra töø BÑT daïng 2 vôùi nhaän xeùt sau: "x Î [a; b] , ta luoân coù: - | f(x) | £ f(x) £ | f(x) | b

b

b

a

a

Û - ò | f(x) | dx £ ò f(x).d(x) £ ò | f(x) | dx a

b

Û

ò f(x).dx a

b

£ ò | f(x) | .dx. a

Ghi chuù: Trang 125

(laáy tích phaân 2 veá)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

1. Thöïc chaát chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân chính laø chöùng minh: f(x) £ g(x), "x Î [a; b]. Neáu daáu “=” xaûy ra trong baát ñaúng thöùc f(x) £ g(x) chæ taïi moät soá höõu haïn ñieåm x Î [a; b] thì ta coù theå boû daáu “=” trong baát ñaúng thöùc tích phaân. 2. Do BÑT laø moät daïng toaùn phöùc taïp, neân moãi daïng treân coù nhieàu kyõ thuaät giaûi, vì vaäy trong phaàn baøi taäp naøy, khoâng ñi theo töøng daïng treân maø ñi theo töøng kyõ thuaät giaûi. Kyõ thuaät 1: Duøng phöông phaùp bieán ñoåi töông ñöông hoaëc chaën treân, chaën döôùi

BAØI TAÄP Baøi 49. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: 1 1 x19 .dx 1 <ò < a/ 3 3 6 20 20 2 0 1 + x c/

1 < 50

1/ 2

dx

ò (3 + 2 cos x) 0

2

<

1 . 2(3 + 3)2

Baøi 50. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: p/2 2 p e.p a/ < ò esin x .dx < b/ 2 2 0 c/

0<

3

ò 1

b/ d/

p < 6

1

ò 0

dx 2

4-x -x

3

<

p 2 . 8

200 p

cos x.dx 1 < x 200 p 100 p

ò

1

2 1 1 - £ ò e- x .dx £ 1. e 0

e- x .sin x p dx < 2 x +1 12e t

2 3 (tg t +3tgt) tg 4 x p p Baøi 51. Cho I(t) = ò dx, vôùi 0 < t < . Chöùng minh raèng: tg(t + ) > e 3 cos 2x 4 4 0 t

2

æ ln x ö Baøi 52. Ñaët: J(t) = ò ç ÷ dx, vôùi t > 1. x è ø 1 Tính J(t) theo t, töø ñoù suy ra: J(t) < 2, "t > 1. Kyõ thuaät 2: Duøng baát ñaúng thöùc Coâsi hay Bu Nhia Coáp Ski

BAØI TAÄP Baøi 53. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/

p/ 2

ò

sin x(2 + 3 sin x )(7 - 4 sin x )dx <

0

b/

p/ 3

ò

cos x(5 + 7 cos x - 6 cos x)dx <

p/ 4

c/

e

ò

27p 2

2p . 3

ln x(9 - 3 ln x - 2 ln x)dx £ 8(e - 1)

1

Baøi 54. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/

p/ 3

ò(

8cos2 x + sin 2 x + 8sin 2 x + cos2 x )dx £ p 2

0

Trang 126


Traàn Só Tuøng

b/

Tích phaân e

ò(

3 + 2 ln 2 x + 5 - 2 ln 2 x )dx £ 4(e - 1)

1

Baøi 55. Söû duïng baát ñaúng thöùc daïng 5 chöùng minh: a/

1

sin x x.dx p < ; 1 + x2 4 0

ò

ò

b/

3 cos x - 4sin x 5p £ . x2 + 1 4

Kyõ thuaät 3: Söû duïng GTLN – GTNN cuûa haøm soá treân mieàn laáy tích phaân baèng baûng bieán thieân.

BAØI TAÄP Baøi 56. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: 2 2 x.dx 1 <ò 2 < ; a/ 5 1 x +1 2 c/ 54 2 £

11

ò(

1

0 < ò x(1 - x)2 .dx <

b/

0

4 ; 27

x + 7 + 11 - x ).dx £ 108;

-7

d/ 2.e

-1/ 4

2

£ òe

x2 -x

2

.dx £ 2e ;

p 3 < 3

e/

0

p

ò 0

dx 2

cos x + cos x + 1

<

2p 3 . 3

Kyõ thuaät 4: Söû duïng tính chaát ñoàng bieán, nghòch bieán cuûa haøm soá baèng caùch tính ñaïo haøm

BAØI TAÄP Baøi 57. Chöùng minh caùc baát ñaúng thöùc: a/

3 < 4

p/3

sin x.dx 1 ò x < 2; p/ 4

b/ 2 p 7 £

2p

ò

(2 + sin x)(6 - sin x).dx £ 2 p 15.

0

1

1

c/ e > 1 + x, "x ¹ 0. Suy ra : ò e x

1+ x 2

dx >

0

x

d/ e ³ x, "x. Suy ra :

200

ò

p+ 4 4

2

e- x .dx £ 0, 01.

100

x e/ 1 < ln x < , vôùi x > e. Suy ra : 0,92 < e

4

dx

ò 3 ln x

< 1.

3

Kyõ thuaät 5: Söû duïng baát ñaúng thöùc Bu Nhia Coáp Ski trong tích phaân baøi taäp 9.16

BAØI TAÄP Baøi 58. Chöùng minh raèng neáu f(x), g(x) laø hai haøm soá lieân tuïc treân [a ; b] thì ta coù: Trang 127


Tích phaân

Traàn Só Tuøng 2

b b æb ö 2 2 f(x).g(x).dx £ f (x).dx. çò ÷ ò ò g (x).dx. a a èa ø

(BÑT treân goïi laø BÑT Bua Nhia Coâp Ski trong tích phaân) Baøi 59. Chöùng minh raèng: 2

1 1 æ1 ö ç ò f(x).g(x).dx ÷ £ ò f(x).dx.ò g(x).dx 0 0 è0 ø

Baøi 60. Cho f(x) laø haøm soá xaùc ñònh lieân tuïc treân [0 ; 1] vaø f(x) £ 1, "x Î [0; 1] . Chöùng minh raèng: 1

ò 0

Baøi 61. Bieát ln 2 =

1

2

æ1 ö 1 - f (x).dx £ 1 - ç ò f(x).dx ÷ . è0 ø 2

dx

2

ò x + 1. Chöùng min h : Ln2 > 3 . 0

Trang 128


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 14: TÍNH GIÔÙI HAÏN CUÛA TÍCH PHAÂN ·

Trong baøi toaùn tìm giôùi haïn cuûa tích phaân thöôøng coù 2 daïng sau: t

Daïng 1: Tìm lim ò f(x).dx, (t > a) t ®¥

Ta tính tích phaân

a t

ò f(x).dx

phuï thuoäc vaøo t, sau ñoù duøng ñònh lyù veà giôùi haïn ñeå tìm

a

keát quaû. b

Daïng 2: Tìm lim ò f(x, n).dx , (n Î N) n ®¥

a

b

Ÿ Duøng BÑT tích phaân ñem tích phaân veà daïng: A £ ò f(x, n).d(x) £ B a

b

Þ lim A £ lim ò f(x,n).dx £ lim B n ®¥

n ®¥

n ®¥

a

b

Ÿ Sau ñoù, neáu: lim A = lim B = l thì lim ò f(x, n).dx = l n ®¥

n ®¥

n ®¥

a

* Nhaéc laïi ñònh lyù haøm keïp: “Cho ba daõy soá an , b n , cn cuøng thoaû maõn caùc ñieàu kieän sau: ìï"n Î N * , a n £ b n £ C n . Khi ñoù: lim b n = l ” í lim a = lim C = l n ®¥ n n ïîn®¥ n ®¥

BAØI TAÄP Baøi 62. a/

Tính I(x) =

x

dt

ò t(t + 1) , (x > 1)

b/

Tìm lim I(x) x ®+¥

1

ÑS: a/ ln Baøi 63. a/

2x ; x +1

Tính I(b) =

ln10

ò b

ÑS: a/

ex .dx 3

ex - 2

3é 1 ù 6 - (eb - 2)2 / 3 ú ê 2ë 2 û

;

b/

ln 2.

b/

Tìm lim I(b)

b/

6.

1

e- nx .dx (n Î N* ) -x 0 1+ e

Baøi 64. Cho I n = ò

Trang 129

b ® ln 2


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Tính I n + I n -1 , töø ñoù tìm lim I n . x ®+¥

t2 + 1 b/ ÑS: a/ ln 4 + ln (t + 2)2 Baøi 65. a/

ln4.

x

Tính I(x) = ò (t 2 + 2t).e t .dt. Tìm lim I(x) x ®-¥

0

b/

Tính I(x) =

x

2t.ln t.dt

I(x). ò (1 + t 2 )2 , (x > 1). Tìm xlim ®+¥ 1

ÑS: a/ 0; Baøi 66. a/

b/

ln 2.

Tính theo m vaø x > 0 tích phaân: I m (x) =

em

ò t.(m - ln t).dt. x

b/

Tìm lim- I m (x). Tìm m ñeå giôùi haïn naøy baèng 1.

ÑS: a/

x®0

1 2m éëe + 2x 2 ln x - (2m + 1)x 2 ùû 4

Trang 130

b/

1 2m e ; m = ln 2. 4


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN §Baøi 1: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG Vaán ñeà 1: DIEÄN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Dieän tích hình thang cong giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: ì(c) : y = f(x) ïy = 0 (truïc hoaønh Ox) ï ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: í x = a ï ïîx = b (a < b)

S=

b

ò f(x) dx

(1)

a

2. Phöông phaùp giaûi toaùn: ì* Ta caàn phaûi tìm ñaày ñuû 4 ñöôøng nhö treân í î* vaø vì caàn phaûi boû daáu giaù trò tuyeät ñoái neân ta coù 2 caùch giaûi sau: Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: y

* Veõ ñoà thò (C) : y = f(x) vôùi x Î [a ; b]

(C): y = f(x)

a/ Tröôøng hôïp 1: Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn treân truïc hoaønh Ox (hình a) thì:

S 0

a

(1) Û S = ò f(x).dx a

y

b/ Tröôøng hôïp 2: Neáu ñoà thò (C) naèm hoaøn toaøn döôùi truïc hoaønh Ox (hình b) thì:

a

0

b

S

b

x

x

(Hình a)

(1) Û S = - ò f(x).dx a

c/ Tröôøng hôïp 3: Neáu ñoà thò (C) caét truïc hoaønh Ox taïi moät ñieåm coù hoaønh ñoä x = x0 (nhö hình c) thì: (1) Û S =

b

(Hình a)

b

x0

b

a

a

ò f(x).dx + ò -f(x) .dx

y

(C): y = f(x) S

0

a

x

S = S1 + S2

S

b

a (Hình c)

* Ghi chuù: Neáu f(x) khoâng ñoåi daáu treân ñoaïn [a ; b] thì ta duøng coâng thöùc sau: S=

b

ò f(x)dx a

Trang 131


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: Ÿ

Giaûi phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm : f(x) = 0 (*)

Ÿ

Giaûi (*) ñeå tìm nghieäm x treân ñoaïn [a ; b].

Ÿ

Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt daáu f(x) treân ñoaïn [a ; b] ñeå boû daáu giaù trò tuyeät ñoái hoaëc ta söû duïng tröïc tieáp coâng thöùc sau: S=

b

ò f(x)dx a

Ÿ

Neáu (*) coù nghieäm x = x0 vaø f(x) coù baûng xeùt daáu nhö hình beân thì: S=

x0

b

a

x0

ò f(x)dx - ò f(x)dx.

x f(x)

a

x0 +

0

b –

Ghi chuù: (1) Dieän tích S luoân laø moät giaù trò döông (khoâng coù giaù trò S £ 0). (2) Vôùi caâu hoûi: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi (C): y = f(x) vaø truïc hoaønh” thì ta phaûi tìm theâm hai ñöôøng x = a, x = b ñeå laøm caän tích phaân, hai ñöôøng naøy chính laø giao ñieåm cuûa (C) vaø truïc Ox, laø 2 nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0 (theo phöông phaùp ñaïi soá). Vôùi caâu hoûi ñôn giaûn hôn nhö: “Tính dieän tích giôùi haïn bôûi ñöôøng (C) : y = f(x) thì ta phaûi hieåu ñoù laø söï giôùi haïn bôûi (C) vaø truïc hoaønh. (3) Moät soá haøm coù tính ñoái xöùng nhö: parabol, ñöôøng troøn, elip, haøm giaù trò tuyeät ñoái, moät soá haøm caên thöùc; lôïi duïng tính ñoái xöùng ta tính moät phaàn S roài ñem nhaân hai, nhaân ba, ... (cuõng coù theå söû duïng toång hoaëc hieäu dieän tích). (4) Phaàn lôùn daïng toaùn loaïi naøy ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò hieäu quaû hôn; moät soá ít phaûi duøng phöông phaùp ñaïi soá nhö haøm löôïng giaùc vì veõ ñoà thò khoù.

Trang 132


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 2: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI HAI ÑÖÔØNG (C1), (C2) 1. Dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi hai ñöôøng (C1), (C2) ì(C1 ): y = f(x) ï(C ):y = g(x) ï 2 í ïx = a ïîx = b (a < b)

b

S = ò f(x) - g(x) dx

ñöôïc tính bôûi coâng thöùc:

a

2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Caùch 1. Phöông phaùp ñoà thò: * Treân cuøng maët phaúng toaï ñoä ta veõ 2 ñoà thò: (C1 ) :y = f(x) vaø (C2 ) : y = g(x) . a/ Tröôøng hôïp 1: (C1) khoâng caét (C2) §

y

Xaùc ñònh vò trí: Treân ñoaïn [a ; b] thì (C1) naèm treân (C2) hay (C2) naèm treân (C1) baèng caùch veõ moät ñöôøng thaúng song song vôùi truïc tung Oy caét hai ñoà thò taïi M vaø N. Khi ñoù neáu M ôû treân N thì ñoà thò chöùa M seõ naèm treân ñoà thò chöùa N.

M S 0

N

a

(C1) (C2)

b

x

(hình 2a)

b

§

Neáu (C1) naèm treân (C2) thì: S = ò [f(x) - g(x)]dx. (h.2a)

y

a

b

§

M

Neáu (C2) naèm treân (C1) thì: S = ò [g(x) - f(x)]dx. (h.2b) a

§

S

Trong tröôøng hôïp 1, ta coù theå duøng tröïc tieáp coâng thöùc sau:

0

b

N

a

S = ò [f(x) - g(x)]dx .

(C2) (C1)

b

x

(hình 2b)

a

b/ Tröôøng hôïp 2: (C1) caét (C2) taïi ñieåm I coù hoaønh ñoä x0. S=

x0

ò a

g(x) - f(x) dx +

b

ò f(x) - g(x) dx

x0

y

Hoaëc duøng coâng thöùc sau: S=

x0

b

a

x0

S1

ò [f(x) - g(x)]dx + ò [f(x) - g(x)]dx

0

a

I x0

(C1): y = f(x) S2

(C2): y = g(x)

b

Caùch 2. Phöông phaùp ñaïi soá: §

Laäp phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm: f(x) = g(x) (*)

§

Neáu (*) voâ nghieäm treân khoaûng (a ; b) thì ta xeùt hieäu f(x) – g(x) ñeå boû daáu “| |”.

§

Neáu (*) coù moät nghieäm x0 thuoäc khoaûng (a ; b) thì: Trang 133

x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng x0

b

a

a

S = ò f(x) - g(x) dx + ò f(x) - g(x) dx roài xeùt laïi töø ñaàu treân caùc ñoaïn [a; x 0 ] vaø [x 0 ; b]. Ghi chuù: (1) Trong thöïc haønh ta neân duøng phöông phaùp ñoà thò. (2) Khi giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) khoâng chaéc chaén nhö soá höõu tæ hoaëc soá voâ tæ, ta neân thöïc hieän theâm vieäc giaûi phöông trình hoaønh ñoä f(x) = g(x) cho chính xaùc. (3) Hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C1) vaø (C2) laø caùc caän cuûa tích phaân. (4) Treân ñaây khi tính dieän tích ta ñaõ coi x laø bieán, y laø haøm. Tuy nhieân trong moät soá tröôøng hôïp ta coi y laø bieán cuûa haøm x (nghóa laø x = f(y)), khi ñoù vieäc tính dieän tích seõ ñôn giaûn hôn.

Trang 134


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 3: DIEÄN TÍCH HÌNH PHAÚNG GIÔÙI HAÏN BÔÛI NHIEÀU ÑÖÔØNG

§

Xeùt ñaïi dieän 4 ñöôøng (C1 ), (C2 ), (C3 ), (C4 ) .

§

Ta duøng phöông phaùp ñoà thò (duy nhaát)

§

Veõ 4 ñöôøng treân cuøng moät maët phaúng vaø xaùc ñònh hoaønh ñoä giao ñieåm giöõa chuùng (x1, x2, x3, x4)

§

y (C4)

(C1)

B

C

(C3) S2 S3 S A 1

Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S = S1 + S2 + S3 x1

x3

x4

x1

x2

x3

0

x1 x2 x3

Û S = ò [(C1 ) - (C3 )]dx + ò [(C4 ) - (C3 )]dx + ò [(C4 ) - (C2 )]dx.

Trang 135

(C2)

D x4

x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

Vaán ñeà 4: DIEÄN TÍCH LÔÙN NHAÁT VAØ DIEÄN TÍCH NHOÛ NHAÁT Tìm dieän tích lôùn nhaát vaø nhoû nhaát cuûa hình phaúng S. Phöông phaùp: § Thieát laäp coâng thöùc tính S theo moät hoaëc nhieàu tham soá cuûa giaû thieát (giaû söû laø m), töùc laø, ta coù: S = g(m). § Tìm giaù trò lôùn nhaát, giaù trò nhoû nhaát cuûa g(m) baèng moät trong caùc phöông phaùp: + Tam thöùc baäc hai + Baát ñaúng thöùc Coâsi hoaëc Bu Nhia Coâp Ski. + Söû duïng ñaïo haøm Chuù yù: Caùc caän a, b thöôøng laáy töø nghieäm x1, x2 laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (C) vaø (d). Ví duï 1: (Vaán ñeà 1): Tính dieän tích cuûa mieàn kín giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y = x 1 + x 2 , truïc Ox vaø ñöôøng thaúng x = 1. Giaûi: *

Ñöôøng cong (C) : y = x 1 + x 2 caét truïc hoaønh Ox khi: x 1 + x 2 = 0 Û x = 0.

*

Ta coù: x 1 + x 2 ³ 0, vôùi moïi x Î [0; 1] . Do ñoù dieän tích S caàn tìm laø: 1

S = ò x 1 + x 2 .dx. 0

*

Ñaët: u 1 + x 2 Þ u2 = 1 + x 2 Þ 2u.du = 2xdx Þ u.du = xdx.

*

Ñoåi caän: x = 0 Þ u = 1;

*

Ta coù: S =

2

ò 0

æ u3 ö u2du = ç ÷ è 3 ø

x = 1 Þ u = 2. 2

= 0

1 (2 2 - 1) (ñvdt) 3

Ví duï 2: (vaán ñeà 1): Tính dieän hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng 1 + ln x y= ; x = 1, x = e. x Giaûi: *

Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S =

e

ò 1

1 + ln x dx x

1 dx. x x = e Þ u = 2.

*

Ñaët: u = 1 + ln x Þ u2 = 1 + ln x Þ 2u.du =

*

Ñoåi caän: x = 1 Þ u = 1; 2

æ2 ö * Ta coù: S = ò 2u .du = ç u3 ÷ è3 ø 1

2

2

= 1

2 2 (2 2 - 1 = (2 2 - 1) (ñvdt) 3 3

Ví duï 3 (vaán ñeà 2): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x 2 - 2x vaø y = -x 2 + 4x. Trang 136


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Giaûi: *

*

y

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa 2 ñöôøng: x 2 - 2x = - x 2 + 4x Û 2x 2 - 6x = 0 Û x = 0 hay x = 3.

A

Ñoà thò (P1): y = x 2 - 2x vaø (P2 ) :y = -x 2 + 4x nhö treân hình veõ. Hai ñoà thò caét nhau taïi 2 ñieåm O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3).

*

(P1)

4 3

– 0 1 – 1

Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 3

1

2 3

4 (P2)

3

3

x

æ 2x 3 ö S = ò éë -x + 4x) - (x - 2x) ùûdx = ò (-2x + 6x)dx = ç + 3x 2 ÷ = 9 (ñvdt) è 3 ø 0 0 2

2

2

Ví duï 4 (vaán ñeà 2): Parabol y2 = 2x chia hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn x 2 + y2 = 8 thaønh hai phaàn. tính dieän tích moãi phaàn ñoù Giaûi: *

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P): y2 = 2x vaø (C):x 2 + y2 = 8; é x = 2 Þ y = ±2 x 2 + 2x = 8 (vôùi x ³ 0) Û x 2 + 2x - 8 = 0 Û ê ë x = -4 (loaïi) Toïa ñoä giao ñieåm B(2 ; 2), C(2 ; –2).

*

y

Ta tính dieän tích tam giaùc cong OAB; Ñaët: S1 = SOAB =

2

ò

2x.dx +

0

2

2

o

2 3ö 8 æ 2x.dx = ç 2. x ÷ = . 3 è ø0 3

ò 0

Tính:

ò

8 - x 2 .dx

2

2

vôùi:

2 2

2 2

ò

–2

(P) B S1 2 C

8 - x 2 .dx = I.

2

Ñaët: x = 2 2.sin t Þ dt = 2 2.cos t.dt. Ñoåi caän: x = 2 Þ t = p / 4 ; ÞI=

p/ 2

ò2

x = 2 2 Þ t = p/ 2

2.cos t.2 2.cos t.dt = 8

p/ 4

p/2

ò

2

cos t.dt = 8

p/ 4 p/2

æ sin 2t ö = 4çt + = p - 2. ÷ è 2 ø p/ 4 8 2 + p-2 = p+ . 3 3

*

Do ñoù: S1 =

*

4 Do tính ñoái xöùng neân: SOBAC = 2.SOAB = 2 p + . 3 Trang 137

p/ 2

1 + cos 2t dt 2 p/ 4

ò

A 2 2

x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

* Goïi S laø dieän tích hình troøn (C) Þ S = p.R 2 = 8p *

4ö æ Goïi S2 laø phaàn dieän tích hình troøn coøn laïi Þ S2 = S - SOBAC = 8p - ç 2 p + ÷ 3ø è 4 Û S2 = 6 p - . 3

Ví duï 5 (vaán ñeà 4): Chöùng minh raèng khi m thay ñoåi thì Parabol (P): y = x2 + 1 luoân caét ñöôøng thaúng (d): y = mx + 2 taïi hai ñieåm phaân bieät. Haõy xaùc ñònh m sao cho phaàn dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng thaúng vaø parabol laø nhoû nhaát. Giaûi: * Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P) vaø (d): x 2 + 1 = mx + 2 Û x 2 - mx - 1 = 0

(1)

y

D = m 2 + 4 > 0, "m

(P) (d)

*

Vaäy (d): luoân caét (P) taïi 2 ñieåm phaân bieät A, B coù hoaønh ñoä x1, x2 laø nghieäm cuûa (1). * Dieän tích hình phaúng S laø:

A

2 B

x2

x2

æ x 3 mx 2 ö + x÷ S = ò (mx + 2 - x - 1)dx = ç - + 2 è 3 ø x1 x1 2

x1

0

x

x2

1 m = - (x 32 - x13 ) + (x 22 - x12 ) + (x 2 - x1 ) 3 2 1 = - (x 2 - x1 ). éë2(x 22 + x1x 2 + x12 ) - 3m(x 2 + x1 ) - 6 ùû 6 1 1 4 =m 2 + 4. ëé2(m 2 + 1) - 3m 2 - 6 ûù = (m 2 + 4)3 ³ . 6 6 3 4 Vaäy: min S = khi m = 0. 3 Ví duï 6 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x2 , y =

x2 27 ,y= . 8 x

Giaûi: x2 27 * Ñoà thò (P1 ) : y = x , (P2 ) : y = , (H) : y = 8 x 2

nhö treân hình veõ. *

(P1) A

9

x2 =

27 Û x 3 = 27 Û x = 3 Þ toaï ñoä A(3, 9). x

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P2) vaø (H): Trang 138

(P2)

(H)

Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (P1) vaø (H):

*

y

9/2 3

B

S2 S1

0

3

6

9

x


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

x 2 27 æ 9ö = Û x = 6 Þ toaï ñoä B ç 6, ÷ . 8 x è 2ø *

Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: 3

S = S1 + S2 = ò (x 2 0

6 æ 27 x 2 x2 )dx + ò ç 8 8 3è x

ö ÷ dx = ... = 27 ln 2 (ñvdt) . ø

Ví duï 7 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: parabol (P): y = 4x - x 2 vaø caùc ñöôøng tieáp tuyeán vôùi parabol naøy, bieát raèng caùc tieáp tuyeán ñoù ñi qua M(5/2, 6). Giaûi: *

*

Phöông trình ñöôøng thaúng (d) qua M heä soá goùc K:

(d2)

5ö æ y = Kç x - ÷ + 6 è 2ø

6

(d) tieáp xuùc (P) khi heä sau coù nghieäm:

4

ì 5ö æ 2 ï4x - x = K ç x - ÷ + 6 2ø è í ï4 - 2x = K î *

y

(1)

(d1) M

S1

S2

A

3

(2) (P)

Theá (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 5 4x - x 2 = (4 - 2x)(x - ) + 6 2

0

1

B 4

2 5/2

x

éx = 1 Þ K = 1 Û x 2 - 5x + 4 = 0 Û ê ë x = 4 Þ K = -4 *

Vaäy coù 2 phöông trình tieáp tuyeán laø: (d1 ) :y = 2x + 1; (d 2 ) : y = -4x + 16

*

Dieän tích hình phaúng S caàn tìm: S = S1 + S2 =

5/2

ò (2x + 1 - 4x + x

2

)dx +

1

4

ò (-4x + 16 - 4x + x

2

)dx = ... =

5/ 2

9 (ñvdt). 4

Ví duï 8 (vaán ñeà 3): Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x 2 - 4x + 3 vaø y = 3. Giaûi: *

Veõ ñoà thò (C): y = f(x) = x 2 - 4x + 3

ì f(x), f(x) ³ 0 * Xeùt ñoà thò (C’) : y = f(x) = í î -f(x), f(x) < 0 *

Töø ñoà thò (C) ta suy ra ñoà thò (C’) nhö sau: ì+ Giöõ nguyeân phaàn ñoà thò (C) naèm treân Ox í î+ Laáy ñoái xöùng phaàn ñoà thò (C) naèm döôùi Ox qua truïc hoaønh

*

Ñoà thò (C’) laø hôïp cuûa 2 phaàn treân Trang 139

y (C) 3

0 1 –1

2

3 4

x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

* Ñöôøng thaúng y = 3 caét (C’) taïi A(0 ; 3), B(4 ; 3). * Goïi S laø dieän tích hình phaúng caàn tìm. * Do tính ñoái xöùng neân ta coù: S = 2(S1 + S2 ) 2

2 é1 ù 2 = 2.ò (3 - x - 4x + 3 )dx = 2 ê ò [3 - (x - 4x + 3)]dx + ò [3 - ( -x 2 + 4x - 3)]dx ú 0 1 ë0 û ............... = 8 (ñvdt) 2

Baûng xeùt daáu: x x2–4x+3

0 +

1 0

2 –

Trang 140

3 0

+


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

BAØI TAÄP Baøi 1. Cho Parabol (P): y = x 2 - 4x + 3 vaø ñöôøng thaúng (d) : y = x – 1. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ (P) vaø truïc Ox; b/ (P), truïc Ox vaø truïc Oy; c/ (P), truïc Ox, x = 2 vaø x = 4; d/ (P) vaø (d); e/ (P), (d), x = 0 vaø x = 2. 4 4 9 b/ ; c/ 2; d/ ; ÑS: a/ ; 3 3 2 Baøi 2. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 1 a/ (C) : y = x + 2 , tieäm caän xieân cuûa (C), x = 1 vaø x = 3; 2x 5 b/ y = x(x + 1) , truïc Ox, truïc Oy vaø x = 1;

e/ 3.

c/ 2(y - 1)2 = x vaø (y - 1)2 = x - 1 ; d/ y = x 2 - 2x + 2, y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 - 4x + 3 vaø y = 1; x2 1 8 e/ y = , y = , y = (vôùi x > 0). 8 x x 1 418 4 9 b/ ; c/ ; d/ ; e/ 7ln2. ÑS: a/ ; 3 35 3 4 Baøi 3. Tính dieän tích giôùi haïn bôûi: a/ (C) : y = x 2 - 2x vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi O(0 ; 0) vaø A(3 ; 3) treân (C). b/ (C) : y = x 3 - 2x 2 + 4x - 3, y = 0 vaø tieáp tuyeán vôùi (C) taïi tieáp ñieåm coù hoaønh ñoä x = 2. 9 ; ÑS: a/ 4

b/

5 . 48

Baøi 4. Cho Parabol (P): y2 = x vaø ñöôøng troøn (C) : x 2 + y2 - 4x +

9 = 0. 4

a/ Chöùng toû (P) vaø (C) tieáp xuùc nhau taïi A vaø B. b/ Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùc tieáp tuyeán chung taïi A vaø B. æ3 6ö 6 6 æ3 6ö 6 6 6 ÑS: a/ A ç ; x+ ; Bç ; x. b/ . ÷; y = ÷; y = è2 2 ø 6 4 è2 2 ø 6 4 2 Baøi 5. Ñöôøng thaúng (d): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C): x 2 + y2 = 5 thaønh hai phaàn, tính dieän tích moãi phaàn. 5p 5 15p 5 ÑS: S1 = - ; S2 = + . 4 2 4 2 Baøi 6. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng a/ y = x 2 , y = x.

b/ x - y3 + 1 = 0; x + y - 1 = 0.

c/ x 2 + y2 = 8; y2 = 2x.

d/ y = 2 - x 2 ; y3 = x 2 . Trang 141


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

x

e/ y = ÑS: a/

1 - x4

; x = 0; x =

1 ; 3

b/

1 . 2

5 ; 4

4 c/ 2 p + ; 3

d/

32 ; 15

e/

p . 12

Baøi 7. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = x.ex ; y = 0; x = -1; x = 2.

b/ y = x.ln 2 x; y = 0; x = 1; x = e.

c/ y = e x ; y = e- x ; x = 1.

d/ y = 5x -2 ; y = 0; x = 0; y = 3 - x.

e/ y = (x + 1)5 ; y = ex ; x = 1. ÑS: a/ e2 -

2 + 2; 3

24 1 + ; 25ln 5 2

d/

b/

1 2 (e - 1); 4

e/

23 - e. 2

c/ e +

1 - 2; 2

Baøi 8. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y =

x2 + 2x vaø y = x + 4; 2

b/ y = - x 2 + 2 x + 3 vaø 3x + 5y - 9 = 0;

c/ y =

x vaø y = 0; x = 1; x = 2; x +1

d/ y = ln x ; y = 0; x =

ÑS: a/

26 ; 3

b/

55 ; 6

2 c/ 1 - ln ; 3

1 vaø x = e. e

2 d/ 2 - . e

Baøi 9. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = sin x + cos2 x, caùc truïc toaï ñoä vaø x = p; b/ y = sin 2 x + sin x + 1, caùc truïc toaï ñoä vaø x =

p . 2

c/ y = x + sin x; y = x; x = 0; x = 2 p. d/ y = x + sin 2 x; y = p;x = 0; x = p. p ÑS: a/ 2 + ; 2

b/ 1 +

3p ; 2

c/ 4;

d/

p . 2

Baøi 10. Dieän tích giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng thaúng x = –1; x = 2; y = 0 vaø Parabol (P) baèng 15. Tìm phöông trình cuûa (P), bieát (P) coù ñænh laø I(1 ; 2). ÑS: y = 3x 2 - 6x + 5. x 2 + 2x - 3 Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (C): y = , tieän caän xieân x+2 x = 0 vaø x = m > 0. Tìm giôùi haïn cuûa dieän tích naøy khi m ®+ ¥. æm+2ö ÑS: S = 3ln ç ÷ ; lim S = +¥. è 2 ø m ®+¥ Trang 142


Traàn Só Tuøng

Baøi 12. Cho (H): y =

Tích phaân

2x . x -1

a/ Chöùng minh raèng hình phaúng ñöôïc giôùi haïn bôûi (H), tieäm caän ngang vaø caùc ñöôøng thaúng x = a + 1; x = 2a + 1 coù dieän tích khoâng phuï thuoäc vaøo tham soá a döông. b/ Laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa (H) taïi goác toaï ñoä. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (H), (d) vaø ñöôøng thaúng x = 2. ÑS: a/ 2ln2;

b/ 2ln3.

Baøi 13. Cho Parabol (P) : y = x2. Hai ñieåm A vaø B di ñoäng treân (P) sao cho AB = 2. a/ Tìm taäp hôïp trung ñieåm I cuûa AB b/ Xaùc ñònh vò trí cuûa A, B sao cho dieän tích cuûa phaàn maët phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø caùt tuyeán AB ñaït giaù trò lôùn nhaát. ÑS: a/ y = x 2 +

1 ; 1 + 4x 2

b/ max S = 1; A( -1; 1);B(1; 1).

æ1 ö Baøi 14. Ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M ç ; 1÷ vaø caùc baùn kính truïc döông Ox, Oy laäp è2 ø thaønh moät tam giaùc. Xaùc ñònh (D) ñeå dieän tích tam giaùc coù giaù trò nhoû nhaát vaø tính giaù trò ñoù. ÑS: (D) : y = -2x + 2. Baøi 15. Cho Parabol (P): y = x2. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng (d) ñi qua I(1 ; 3) sao cho dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi (d) vaø (P) ñaït giaù trò nhoû nhaát. ÑS: y = 2x + 1. Baøi 16. Treân Parabol (P) : y = x 2 laáy hai ñieåm A(–1 ; 1) vaø B(3 ; 3). Tìm ñieåm M treân » cuûa (P) sao cho tam giaùc MAB coù dieän tích lôùn nhaát. cung AB æ1 1ö ÑS: M ç ; ÷ è3 9ø Baøi 17. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): y = x 2 + 1 vaø caùc ñöôøng thaúng y = 0; x = 0; x = 1. Tieáp tuyeán taïi ñieåm naøo cuûa (C) seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. 5 æ1 5ö ÑS: max S = ; M ç ; ÷ . 4 è2 4ø

Trang 143


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

§Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY Chuù yù: Khi tìm theå tích cuûa vaät theå troøn xoay ta caàn xaùc ñònh: * Mieàn hình phaúng (H) sinh ra. ((H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: x =..., x = ..., y = ..., y = ...) * (H) quay quanh truïc Ox hoaëc truïc Oy ñeå ta duøng coâng thöùc thích hôïp. Neáu (H) quay quanh truïc Ox thì haøm döôùi daáu tích phaân laø y = f(x), bieán x vaø hai caän laø x. Neáu (H) quay quanh truïc Oy thì haøm döôùi daáu tích phaân laø x = f(y), bieán y vaø hai caän laø y. Vaán ñeà 1: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C) :y = f(x); y = 0; x = a;x = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b

b

V = pò y .dx = pò [d(x)]2 .dx 2

a

y

a

y

(C) (H)

a

(C)

b

(H)

a

x

b

b

x

b

Dieän tích: S = ò f(x) .dx

Theå tích: V = pò [f(x)]2 .dx

a

a

Vaán ñeà 2: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C) :x = f(y), x = 0, y = a, y = b (a < b) sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng thöùc: b

b

a

a

V = pò x 2 .dy = p ò [f(y)]2 .dy y

y

b

(C)

b

(C)

(H)

x

0

0

x

a

a b

b

Dieän tích: S = ò f(y) dy.

Theå tích: V = pò [f(y)]2 .dy

a

a

Trang 144


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C1 ) : y = f(x), (C2 ) : y = g(x), x = a, x = b (a < b) vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi: b

V = pò f 2 (x) - g 2 (x) .dx

(3)

a

* f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox, vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b]. *

Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau: y

TH1: (C1 ) Ç (C2 ) = Æ vaø f(x) > g(x) ³ 0, "x Î [a; b]: b

(C1) y (C2)

(H)

(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx a

0

a

b

a

b

x

y

TH2: (C1 ) Ç (C2 ) = Æ vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î [a; b]:

0

b

(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx

x (C2) (Cy )

(H)

1

a

TH3: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä

y

x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, "x Î [a; b]:

A

(H)

B (C2)

b

(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx

0

a

TH4: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, "x Î [a; b]: b

(3) Û V = pò [f 2 (x) - g 2 (x)].dx a

Trang 145

a

b (C1)

x

y a

b

(C1)

0

x A

(H)

B

(C2)


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

TH5: (C1 ) caét (C2 ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a

y

xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân: (3) Û V = V1 + V2 c

b

a

c

(C1) B V1

A

V2

C

= p ò [f 2 (x) - g2 (x)]dx + pò [g2 (x) - f 2 (x)]dx.

(C2) a

c

b

x

Vaán ñeà 4: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: (C1 ) : x = f(y), (C2 ) : x = g(y), y = a, y = b (a < b) vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi: b

V = pò f 2 (y) - g 2 (x) .dy

(4)

a

y

TH1: (C1 ) Ç (C 2 ) =Æ vaø x1 = f(y) > x 2 = g(y) ³ 0, vôùi moïi y Î [a; b]. b

C2

b x2

(4) Û V = pò [f (y) - g (y)].dy 2

C1

2

(H)

x1

a

a

0 y

TH3: (C1 ) caét (C2 ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä y A = a < yB = b vaø x1 = f(y) > x 2 = g(y) ³ 0,

x

C2

C1

vôùi moïi y Î [a; b].

B

b x2

b

a

(4) Û V = pò [f 2 (y) - g 2 (y)].dy

(H)

x1

A x

a

* Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3. Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân: a/ quanh truïc hoaønh b/ quanh truïc tung. Giaûi: a/ (P): y 2 = 8x Û (P) : y = ± 8x (x ³ 0) Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh truïc Ox laø:

Trang 146


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

2

2

0

0

y

V = p ò y 2 .dx = p ò 8x.dx = 16 p (ñvtt).

(P) 4

1 b/ (P) : y = 8x Û x = y 2 8 2

0

Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø: 4

2

x

2

4

1 899 p æ1 ö æ ö V = p ò 2 - ç y2 ÷ du = p ò ç 2 2 - y 4 ÷ dy = ... = (ñvtt). 64 ø 32 è8 ø -1 -4 è 2

– x=2

Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : y = 2x - x 2 . Tính theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H) a/ quay quanh truïc hoaønh b/ quay quanh truïc tung. Giaûi: a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø: 2

2

V = p ò y .dx = pò (2x - x 2 )2 dx = ... = 2

0

0

16 p (ñvtt). 15

y 1

b/ (P) : y = 2x - x 2 Û x 2 - 2x + y = 0 (1) D' = 1- y ³ 0 Û 0 £ y £ 1

(P)

x1

x2

(H)

é x1 = 1 - 1 - y , (0 £ x1 £ 1) (1) Û ê êë x 2 = 1 + 1 - y, (1 £ x 2 £ 2)

0

1

2

x

Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø: 1

1

1

0

0

V = p ò (x - x )dy = pò (x 2 + x1 )(x 2 - x1 )dy = p ò 2(2 1 - y )dy = ... = 2 2

2 1

0

8p . 3

x2 + y 2 = 1 quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa 4 khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân.

Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip:

Giaûi:

y

x2 x2 1 2 2 (E) : + y = 1 Û y = 1Û y=± 4 - x 2 , (| x |£ 2) 4 4 2 Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø: 2

V = p ò y 2 .dx = -2

2

p 8p (4 - x 2 ).dx = ... = (ñvtt). ò 4 -2 3

1 –2

0

2

–1

Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x, y = 2 - x vaø y = 0. Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy. Giaûi: Trang 147

x


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

·

y = x Û x = x1 = 2

·

y = 2 - x Û x = x 2 = 2 - y.

·

Theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy laø: 1

y 2 1

1

V = p ò (x - x )dy = p ò [(2 - y)2 - (y 2 )2 ] 2 2

2 1

0

0

0

y= x A 1

2

4

x

y = 2-x

32 p = (ñvtt). 15

BAØI TAÄP Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = lnx; y = 0; x = 2.

b/ x 2 + y - 5 = 0; x + y - 3 = 0.

c/ y = x 2 ; y = x.

d/ y = x 2 - 4x + 6; y = -x 2 - 2x + 6.

e/ y = x(x - 1)2 .

f/ y = x.e x ; x = 1; y = 0 (0 £ x £ 1)

g/ y = e x ; y =- x + 2 ; x = 0; x = 2.

h/ y = x ln(1 + x 3 ); x = 1.

i/

(P) : y = x 2 (x > 0), y = -3x + 10; y = 1 (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)).

p k/ y = cos 4 x + sin 4 x; y = 0; x = ; x = p. 2 153p 3p ÑS: a/ 2 p(ln 2 - 1)2 ; b/ ; c/ ; 5 10 d/ 3p

p e/ . 105

g/ p(e2 - 1)2 ;

h/

p (2 ln 2 - 1). 3

f/

p(e2 - 1) ; 4

i/

56 p . 5

k/

3 p2 . 8

Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: a/ y = x 2 ; y = 1; y = 2. .

b/ y = x 2 ; x = y2 .

c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2. 3p 3p ÑS: a/ ; b/ ; c/ 24 p2 . 2 10 1 Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong y = ; truïc Ox; x = 1 vaø x = t x a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox. b/ Tính: lim S(t) vaø lim V(t). t ®+¥

t ®+¥

Trang 148


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

p ÑS: a/ S(t) = ln t; V(t) = p - ; t

b/ lim S(t) = +¥; lim V(t) = p t ®+¥

t ®+¥

Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): x 2 + y2 = 8 vaø parabol (p): y2 = 2x. a/ Tính dieän tích S cuûa (D). b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox. ÑS: a/

4 - 2 p. 3

b/

4p (8 2 - 7). 3

Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng: æxö a/ y = b ç ÷ èaø

2/3

(0 £ x £ a) quanh truïc Ox.

b/ y = sin x; y = 0 (0 £ x £ p) a/ quanh truïc Ox

b/ quanh truïc Oy.

2

x æxö c/ y = b ç ÷ ; y = b a èaø a/ quanh truïc Ox.

b/ Quanh truïc Oy.

d/ y = e - x ; y = 0 (0 £ x < +¥) quanh truïc Ox vaø Oy. ÑS: a/

3 pab 2 ; 7

p2 b/ a / Vx = ; 2

b / Vy = 2 p2 .

4 c/ a / Vx = pab 2 ; 15

pab 2 b / Vy = . 6

p d/ a / Vx = ; 2

b / Vy = 2p.

Trang 149


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: a/

2

ò

2 + x .dx;

2

x2 - 1 dx; x

b/

-2

c/

ò 1

d/

x 2 dx e/ ò 2 ; 2 0 (x + 1) g/

òe

x

f/

0

4 - x2

ò 1

;

dx

ò

(1 + x 2 )3

p/ 4

ò 0

;

x dx; cos2 x

p/ 4

sin 4 x + cos 4 x h/ ò dx; 3x + 1 -p / 4

.cos xdx;

0

i/

x 2dx

0

1

p/ 2

1

p

cos2x.dx ò sin x + cos x + 2 ; 0

k/

5 p / 12

ò

p / 12

8 (4 - 2); 3 1 1 e/ - + ln 2; 4 4

dx ; sin 2x + 2 3 cos2 x + 2 - 3

p 3 p 2 ; c/ 3- ; d/ ; 3 2 3 2 p 2 1 p/ 2 3p f/ + ln ; g/ (e - 1); h/ ; 4 2 2 16 3 i/ 2ln3 – 2; k/ . 4 1 ì-2)x + 1), x £ 0 . Tìm giaù trò K ñeå Baøi 2. Bieát f(x) = í ò f(x).dx = 1. 2 K(1 x ), x > 0 î -1 ÑS: a/

b/

ÑS: K = 3. Baøi 3. a/ Cho haøm soá f(x) =

e 2x

ò t.ln t.dt. Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x.

ex

2x sin t æ 3p ö b/ Tìm giaù trò x Î ç 0; ñeå haø m soá f(x) = ÷ ò t dt ñaït cöïc ñaïi. è 2 ø x

ÑS: a/ x = - ln 2.

b/ x =

p . 3

x

2t + 1 dt, - 1 £ x £ 1. t 2t + 2 0

Baøi 4. Cho haøm soá f(x) = ò

2

Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f. æ 1ö ÑS: a/ min f = f ç - ÷ ; b/ max f = f(1). è 2ø x

Baøi 5. Cho haøm soá f(x) = ò (t - 1)(t - 2)2 dt. Tìm ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò f. 0

Trang 150


Traàn Só Tuøng

Tích phaân

17 ö 4 ö æ 4 112 ö æ æ ÑS: CT : ç 1; - ÷ ; Ñ.Uoán : ç 2; - ÷ ; ç ; ÷ è 12 ø è 3 ø è 3 81 ø Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : x 2 + y2 = 5 thaønh 2 phaàn, tính dieän tích cuûa moãi phaàn. ÑS: S1 =

5p 5 - ; 4 2

S2 =

15p 5 + . 4 2

1 Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y = ; y = 0 ; x = 1; x = 2. Tìm x toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù dieän tích lôùn nhaát. æ3 2ö ÑS: M ç ; ÷ . è2 3ø Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P) ((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát. 4 æ1 1ö æ 1 1ö ÑS: min S = ; A ç ; ÷ hay A ç - ; ÷ . 3 è2 4ø è 2 4ø ì x 2 y2 =1 ï Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í16 4 . ïx = 4 2 î Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. ÑS:

128p . 3

ìy = ax 2 , a > 0 Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: í . y = bx, b > 0 î Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a vaø b. ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø. Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y = x 2 - 4x + 3 , y = x + 3.

(Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002)

109 (ñvdt). 6 Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: ÑS:

x2 x2 y = 4vaø y = . 4 4 2

(Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002)

Trang 151


Tích phaân

Traàn Só Tuøng

ÑS: 2 p +

4 (ñvdt). 3 -3x - 1 vaø hai truïc x -1 (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002)

Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): y = toaï ñoä. ÑS: 1 + 4 ln

4 (ñvdt). 3

Baøi 14. Tính tích phaân I =

2 3

ò

5

ÑS:

p/2

ò 0

ÑS:

2

x x +4

.

(Ñeà thi.......................................... khoái A_2003)

1 5 ln . 4 3

Baøi 15. Tính tích phaân I =

dx

1 - 2sin 2 x dx. 1 + sin 2x (Ñeà thi.......................................... khoái B_2003)

1 ln 2. 2 2

Baøi 16. Tính tích phaân I = ò x 2 - x dx. 0

(Ñeà thi.......................................... khoái D_2003) ÑS: 1. Baøi 17. Tính tích phaân I =

ÑS:

2

x ò 1 + x + 1 dx. 1 (Ñeà thi.......................................... khoái A_2004)

11 - 4 ln 2. 3

Baøi 18. Tính tích phaân I =

e

ò 1

ÑS:

1 + 3 ln x.ln x dx x (Ñeà thi.......................................... khoái B_2004)

116 . 135 3

Baøi 19. Tính tích phaân I = ò ln(x 2 - x)dx. 2

(Ñeà thi.......................................... khoái D_2004) ÑS: 3ln3 – 2.

www.vntoanhoc.com Trang 152

tich phan  

manh cuong

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you