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™ÂÏ›‰·85

AÓ¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ & ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ 6.1

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛËÌ›ˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô ñ ™¯Â‰È¿˙ˆ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ ñ µÚ›ÛΈ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ñ µÚ›ÛΈ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘

6.2

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ - ∞Ó·ÏÔÁ›· ñ ∫·Ù·ÓÔÒ ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ Î·È ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ∂Èχˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x = ‚, ̤ۈ ·Ó·˙‹ÙËÛ˘ Ù˘ ٤ٷÚÙ˘ · 1 · +Á · ·Ó·ÏfiÁÔ˘ Ù˘ Û¯¤Û˘ = . °ÓˆÚ›˙ˆ, fiÙÈ ÁÂÓÈο ›ӷÈ:  ‚ x ‚+Á ‚

6.3

AÓ¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - π‰ÈfiÙËÙ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ñ ñ ñ ñ

6.4

∞Ó·ÁÓˆÚ›˙ˆ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙË ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ‰‡Ô ÌÂÁÂıÒÓ ™˘ÌÏËÚÒÓˆ ›Ó·Î˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ fiÙ·Ó ‰›ÓÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ÀÔÏÔÁ›˙ˆ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ fiÙ·Ó ‰›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ›Ó·Î¤˜ ÙÔ˘˜ ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ˆ˜ ÂȉÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ∞Ó··ÚÈÛÙ¿Óˆ ÁÚ·ÊÈο Ì›· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ñ ¢È·ÈÛÙÒÓˆ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÌÈ· ËÌÈ¢ı›· Ì ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ

6.5

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ñ √ÚÁ·ÓÒÓˆ Ù· ‰Â‰Ô̤ӷ ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Û ›Ó·Î· Î·È Î·Ù·Û΢¿˙ˆ Ì ‚¿ÛË ÙÔÓ ›Ó·Î· ·˘ÙfiÓ, fiÔ˘ ÎÚ›ÓÂÙ·È ··Ú·›ÙËÙÔ, Î·È ÙËÓ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ñ §‡Óˆ Ù· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜, fiÔ˘ ÎÚ›ÓÂÙ·È ··Ú·›ÙËÙÔ, ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Û ‰‡Ô Ï·›ÛÈ·: ·ÚÈıÌËÙÈÎfi Î·È ÁÚ·ÊÈÎfi

6.6

ª∂ƒ√™ ∞ 

∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ñ ñ ñ ñ

¢È·ÎÚ›Óˆ Â¿Ó ‰‡Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· °ÓˆÚ›˙ˆ fiÙÈ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ∫·Ù·Û΢¿˙ˆ ›Ó·Î˜ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ ¶·ÚÈÛÙ¿Óˆ Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ Î·È ¯·Ú¿˙ˆ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi ·˘Ù¿ ñ §‡Óˆ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ

¢∏ª√∫ƒπ∆√™ √ ∞µ¢∏ƒπ∆∏™ (460 - 370 .Ã.)

6o ∫ ∂ º ∞ § ∞ π √


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™ÂÏ›‰·86

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∏ «ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹»

– ∆È Â›Ó·È ÙÔ‡Ù· Ù· ÂÚ›ÂÚÁ· ÛÙËÓ ÔıfiÓË Û·˜ ·ÚÈ ¶¤ÙÚÔ; ÚÒÙËÛ·Ó ÙÔ ÌÂÛfiÎÔÔ ¿ÓÙÚ· Ô˘ ‰Ô‡Ï¢ ·ÔÚÚÔÊË̤ÓÔ˜ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÔ˘. ∂ΛÓÔ˜ ۋΈÛ ٷ Ì¿ÙÈ· Î·È ÎÔ›Ù·Í ¿Óˆ ·’ Ù· Á˘·ÏÈ¿ Ù· ·È‰È¿ Ô˘ Ì‹Î·Ó ¯·ÚÔ‡ÌÂÓ· ÛÙÔ ÁÚ·ÊÂ›Ô ÙÔ˘. – √ Ì·Ì¿˜ Ì·˜ › ӷ ÙÔÓ ÂÚÈ̤ÓÔ˘Ì ‰Ò, ‰ÈηÈÔÏfiÁËÛ·Ó ÙËÓ ·ÚÔ˘Û›· ÙÔ˘˜ ÎÔÈÙÒÓÙ·˜ Ì ÂÚȤÚÁÂÈ· ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹. – £· ͤÚÂÙ ·È‰È¿, ›Â Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜, fiÙÈ Ô ·Ù¤Ú·˜ Û·˜ ۯ‰ȿ˙ÂÈ ÛÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Ù· ÎÙ›ÚÈ· Ô˘ ηٷÛ΢¿˙Ô˘ÌÂ. ∂ÁÒ ¤¯ˆ ÙËÓ Ù¯ÓÈ΋ ˘ÔÛÙ‹ÚÈÍË ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ. ∞˘Ù¿ Ô˘ ‚ϤÂÙ fï˜ ÛÙËÓ ÔıfiÓË Â›Ó·È ÌÈ· ·Ï‹ ÔÈÎÔÓÔÌÈ΋ ÌÂϤÙË ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹. ∞Ó Â›¯·Ù ̿ıÂÈ ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Î·È ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ ‡ÎÔÏ· ı· ηٷϷ‚·›Ó·Ù fiÏ· ÙÔ‡Ù·». – •¤Úˆ ÙÔ˘˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜, ›Â Ô π¿ÛÔÓ·˜. ∂›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ·Î¤Ú·È˜ ÌÔÓ¿‰Â˜, ‰ËÏ·‰‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. ∞ÏÏ¿ ÔÈ ÚËÙÔ› ÙÈ Â›Ó·È; °È·Ù› ÙÔ˘˜ ϤÌ ¤ÙÛÈ; – ¶ÚÈÓ ÚÔÛ·ı‹Ûˆ Ó· Û·˜ ÂÍËÁ‹Ûˆ, ·˜ ‰Ô‡Ì ÙÈ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ Î·È ÙÔ ÏÂÍÈÎfi, ›Â Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜. ™˘Ì‚Ô˘Ï‡ÙËΠ¤Ó· ¯ÔÓÙÚfi ‚È‚Ï›Ô ·fi ÙË ‚È‚ÏÈÔı‹ÎË Î·È Û˘Ó¤¯ÈÛÂ: «ƒËÙfi˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔÓ Ô‡ÌÂ. ∏ ϤÍË ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ·Ú¯·›Ô “›ÚËη” ‰ËÏ·‰‹ ¤¯ˆ ÂÈ’ Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·Î›ÌÂÓÔ˜ ÙÔ˘ “ϤÁˆ”. ÕÚ· ÚËÙfi˜ Â›Ó·È Ô ÂÈˆÌ¤ÓÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∆· ÁÂÌ¿Ù· ·ÔÚ›· Ì¿ÙÈ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔÓ ¤Î·Ó·Ó Ó· Û˘Ó¯›ÛÂÈ: «∂ÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ Î·È Ù· ÁÓˆÛÙ¿ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È ·ÚÈıÌÔ› Ì ¿ÂÈÚ· ‰Âη‰Èο „ËÊ›·, Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ›˜ Ó· ÙÔ˘˜ ÂȘ ÔÏfiÎÏËÚÔ˘˜ ·ÊÔ‡ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ÙÂÏÂÈÒÓÔ˘Ó ÔÙ¤ Î·È Ô‡ÙÂ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¿. ∞˘ÙÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ¿ÚÚËÙÔ˘˜ Î·È ı· ÙÔ˘˜ Ì¿ıÂÙ ·ÚÁfiÙÂÚ· ÛÙÔ Û¯ÔÏ›Ի. ∫Ô›Ù·Í ¿ÏÈ ÙÔ ÏÂÍÈÎfi Î·È Û˘Ó¤¯ÈÛ οˆ˜ ÛÎÂÙÈÎfi˜. “√ÌÔÏÔÁÒ fiÙÈ ‰ÂÓ ‹ÍÂÚ· ·fi Ô˘ ÚÔ¤Ú¯ÂÙ·È Ë Ï¤ÍË ÚËÙfi˜, ÂÓÒ ÁÓˆÚ›˙ˆ ÙÔ “Ú‹ÙÔÚ·˜” ‹ ÙËÓ ¤ÎÊÚ·ÛË “ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹”. ∫·È Ó· ÛÎÂÊÙ› ηÓ›˜ fiÙÈ ÙfiÛ· ¯ÚfiÓÈ· ÙËÓ ·Ó·Ê¤Úˆ ÛÙ· Ì·ıËÌ·ÙÈο...» – ™˘ÁÓÒÌË, Ì˯·ÓÈÎfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÒÓ ‰ÂÓ Â›ÛÙÂ; ÚÒÙËÛ Ì ·ÊÔÏÈÛÙÈ΋ ·Ê¤ÏÂÈ· Ô π¿ÛÔÓ·˜. – ¡·È, Ì Âȉ›Î¢ÛË ÛÙÔ ÏÔÁÈÛÌÈÎfi, Ô˘ ÚÔ¸Ôı¤ÙÂÈ fï˜ ηϋ ÁÓÒÛË Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ. ™Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È Î¿ÙÈ ÂÚ›ÂÚÁÔ; ·fiÚËÛÂ Ô Î‡ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜. – Ÿ¯È ‚¤‚·È·, ‚È¿ÛÙËΠӷ ‰ÈÔÚıÒÛÂÈ Ô π¿ÛÔÓ·˜, ·ÏÏ¿ ÂÚ›ÌÂÓ· fiÙÈ ı· „¿¯Ó·Ù ÙË Ï¤ÍË ÛÙÔ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ÏÂÍÈÎfi. √ ·ÚÈÔ˜ ¶¤ÙÚÔ˜ ¯·ÌÔÁ¤Ï·Û Ì ÙËÓ ·Ú·Ù‹ÚËÛË ÙÔ˘ π¿ÛÔÓ· ÎÈ ‡ÛÙÂÚ· Ì ÈÔ ÛÔ‚·Úfi ‡ÊÔ˜ ›Â, ‰Â›¯ÓÔÓÙ·˜ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹: – ∞ÎÔ‡ÛÙ ·È‰È¿. °›ÓÂÙ·È Û˘¯Ó¿ ÌÈ· ·ÚÂÍ‹ÁËÛË Ì ÙÔ‡ÙÔ ÙÔ Ì˯¿ÓËÌ·. ÕÏÏÔÈ ÙÔ ·ÔʇÁÔ˘Ó ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Í¤ÚÔ˘Ó Ó· ÙÔ ¯ÂÈÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È ¿ÏÏÔÈ ÙÔ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Ó ÂÚ›Ô˘ Û·Ó ÙËÏÂfiÚ·ÛË. ∫·È Ù· ‰‡Ô Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜. ™ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ¤¯ˆ ËÏÂÎÙÚÔÓÈÎfi ÏÂÍÈÎfi, ·˘Ùfi fï˜ ‰Â ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ı· ¿„ˆ Ó· Û˘Ì‚Ô˘Ï‡ÔÌ·È ÙÔ ‚È‚Ï›Ô. ¶ÚÔÙÈÌÒ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒ ÙÔÓ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ Û ÈÔ Û‡ÓıÂÙ˜ Î·È ÈÔ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈΤ˜ ÂÚÁ·Û›Â˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ı· ‹Ù·Ó ÛˆÛÙfi Ó· ÙÔÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÛÙ¿‰ÈÔ, ·ÏÏ¿ ıˆÚÒ fiÙÈ Â›Ó·È Ï¿ıÔ˜ Ó· ·›˙ÂȘ Ô‰fiÛÊ·ÈÚÔ ÛÙËÓ ÔıfiÓË ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹. ∆Ô Ì˯¿ÓËÌ· ·˘Ùfi ‰Â ÊÙÈ¿¯ÙËΠÁÈ· Ó· ηٷÚÁ‹ÛÂÈ ÙȘ ‰ÈΤ˜ Ì·˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›Â˜, ·ÏÏ¿ ÁÈ· Ó· ‚ÂÏÙÈÒÛÂÈ ÙË ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÈ΋ Ì·˜ ÛΤ„Ë». ∆Ë Û˘˙‹ÙËÛË ‰È¤ÎÔ„Â Ô ·Ù¤Ú·˜ ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ Ô˘ Ì‹Î ‚È·ÛÙÈο Î·È ¤‰ˆÛ ¤Ó· Û¯¤‰ÈÔ ÛÙÔÓ Î‡ÚÈÔ ¶¤ÙÚÔ Ï¤ÁÔÓÙ·˜: «™ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ı· ۯ‰ȿÛÂȘ Ó· Ê·›ÓÂÙ·È Î·ı·Ú¿ fiÙÈ ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ». – ∆È ÛËÌ·›ÓÂÈ “·Ó¿ÏÔÁÔ” ·ÚÈ ¶¤ÙÚÔ;, ÚÒÙËÛ ·ÔÚË̤ӷ Ë ∞ıËÓ¿. ∂ΛÓÔ˜ ¯ˆÚ›˜ Ó· ··ÓÙ‹ÛÂÈ ·¢ı‡ÓıËΠÌÂȉÈÒÓÙ·˜ ÛÙÔÓ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘˜. – ™Ô˘ ‰›Óˆ “ÚËÙ‹ ÂÓÙÔÏ‹”, Ó· ʤÚÓÂȘ ÈÔ Û˘¯Ó¿ Ù· ·È‰È¿ ÛÙÔ ÁÚ·Ê›Ô. ¶¿ÓÙ· οÙÈ ı· Ì·ı·›ÓÔ˘Ì ·fi ÙȘ ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘˜.


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™ÂÏ›‰·87

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 87 -

∞.6.1. ¶ · Ú ¿ Û Ù · Û Ë Û Ë Ì Â › ˆ Ó Û Ù Ô Â  ›   ‰ Ô ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÙÔÔıÂÙ‹Û·Ì ÙÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›·. ΔÒÚ·, ı· ·ÓÔ›ÍÔ˘Ì ϛÁÔ ÙÔÓ ÔÚ›˙ÔÓÙ¿ Ì·˜ Î·È ·fi ÙËÓ Â˘ı›· ¿Ì ÛÙÔ Â›‰Ô. ∂›Ó·È ‡ÎÔÏÔ. ∞ÚΛ Ó· ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ¢ı›˜ Î·È ¤¯Ô˘Ì ÌÚÔÛÙ¿ Ì·˜ ¤Ó· Â›Â‰Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÏÏ¿ Ó· Ì·˜ ‰Â›ÍÂÈ. ∞˜ Ù· ‰Ô‡Ì ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ Ì ÌÈ· ·ÚÙ›‰· ÛοÎÈ.

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 1Ë ™Â ÌÈ· ÂÊËÌÂÚ›‰· ‰ËÌÔÛȇÙËΠÌÈ· ·ÚÙ›‰· ÛοÎÈ, fiˆ˜ Â›Ó·È ·˘Ù‹ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ÛηÎȤڷ.

¢ÒÛ ÔÓÔ̷ۛ˜ ÁÈ· ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÈÔÓÈÒÓ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÛηÎȤڷ Î·È ÊÙÈ¿Í ¤Ó· ›Ó·Î· Ì ·˘Ù¤˜.

8 7 6 5 4 3 2 1 ·

Á

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¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 2Ë ∏ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÂÓfi˜ ·ÛıÂÓÔ‡˜ ηٿ ÙËÓ ÙÚ›ÙË Ë̤ڷ ÓÔÛËÏ›·˜ ÙÔ˘, Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·.

➣ ➣

7:30

9:00 10:00 11:00 12:30 13:30 14:30 16:00 18:00 20:00 21:30 23:00

37,2

37,7

37,9

38,6

39,2

38,2

37,2

37

36,6

37,8

38,2

37,1

ªÔÚ›˜ Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂȘ ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ÙÚfiÔ; ¶Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û·Ì ӷ ¤¯Ô˘Ì ÌÈ· ÂÎÙ›ÌËÛË Ù˘ ıÂÚÌÔÎÚ·Û›·˜ ÙÔ˘ ·ÛıÂÓÔ‡˜ ÙȘ ÒÚ˜ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÂÙÚÈ¤Ù·È ·˘Ù‹;


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™ÂÏ›‰·88

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

ª·ı·›ÓÔ˘Ì ¶ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ÛÙÔ Â›‰Ô: ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô οıÂÙ˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¢ı›˜ √x Î·È Oy. ¶¿Óˆ Û οı ÌÈ· ·’ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. ∞˘Ù¤˜ ÔÈ ËÌÈ¢ı›˜ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ. 

√ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ √x ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ ÙÂÙÌËÌ¤ÓˆÓ ‹ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ x.



√ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ √y ϤÁÂÙ·È ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ ÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ‹ ËÌÈ¿ÍÔÓ·˜ ÙˆÓ y.



ΔÔ ÛËÌÂ›Ô √ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú¯‹ ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ.

y M(2,4)

4 3 2

A(3,1)

1

 To 3 Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞

1

2

3

x

 To 1 Â›Ó·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞



∏ ÙÂÙÌË̤ÓË Î·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ∞ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ fiÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ó·ÊÂÚıԇ̠ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞, ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞(3,1).



ΔÔ ˙‡ÁÔ˜ (3,1) ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ô ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ 1 Â›Ó·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, ϤÁÂÙ·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜, ÂÂȉ‹ ¤¯ÂÈ ÛËÌ·Û›· Ë ‰È¿Ù·ÍË, ‰ËÏ·‰‹ Ë ÛÂÈÚ¿, Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÙÔ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó.



ªÂ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘Ùfi ·ÓÙÈÛÙÔȯԇÌ Û οı ÛËÌÂ›Ô ∞ ¤Ó· ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (3,1), ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ .



∞ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·, οı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ .¯. ÙÔ (2,4) ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘.



ΔÔ Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ϤÁÂÙ·È ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi, ÁÈ·Ù› ÔÈ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ· (ÔÚıÔ-) Î·È ¤¯Ô˘Ì ÔÚ›ÛÂÈ ¿Óˆ ÙÔ˘˜ ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘ (-ηÓÔÓÈÎfi) .


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ª¤ÚÔ˜ ∞’ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 89 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ, Ì ÌÔÓ¿‰· ÙÔ 1 cm Î·È Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ Ù· ÛËÌ›· ∞(2,3), µ(3,2), °(4,5), ¢(5,5), ∂(1,4), ∑(7,3), ∏(7,2), £(6,2), π(6,0), ∫(0,5). ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· π Î·È ∫; ¶Ô‡ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·˘Ù¿; ªÔÚ›˜ Ó· ÁÂÓÈ·ÛÂȘ ÙȘ ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ ÛÔ˘ ÁÈ· Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË ‹ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ Ìˉ¤Ó;

2.

™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ Ù· ÛËÌ›· ∞(2,1), µ(1,2), °(2,3) Î·È ¢(3,2). ∆È Û¯‹Ì· Â›Ó·È ÙÔ ∞µ°¢; ∞Ó Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞° Î·È µ¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫, ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ∫;

3.

°Ú¿„ ¤ÓÙ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ӷ ˙‡ÁË ÛËÌ›ˆÓ, ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘˜. ªÔÚ›˜ Ó· Ù· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂȘ, Û ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ; ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

4.

™ÙÔ Û¯‹Ì· ‚ϤÔ˘Ì ÙÌ‹Ì· ÂÓfi˜ ›Ó·Î· ·Ô˘ÛÈÒÓ ·Ó¿ ÙÚ›ÌËÓÔ, ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ Ù˘ ∞’ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ ÂÓfi˜ Û¯ÔÏ›Ԣ. ∫¿ı ı¤ÛË ÙÔ˘ ›Ó·Î· ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (ÁÚ¿ÌÌ· ÛÙ‹Ï˘, ·ÚÈıÌfi˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜). (·) ™Â ÔÈ· ı¤ÛË ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Ì·ıËÙ‹ °ÂˆÚÁ›Ô˘; (‚) ∆È ·ÓÙÈÚÔÛˆ‡ÂÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË C8; (Á) ¶ÔÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÁÚ·Ê› ÛÙË ı¤ÛË D12 Î·È ÔÈÔ˜ ÛÙË ı¤ÛË ∂13;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ °π∞ ∆√ ™¶π∆π ™Â οı ‚È‚ÏÈ¿ÚÈÔ ˘Á›·˜ ·È‰ÈÔ‡, Ô˘ ·Ú¤¯ÂÈ ÙÔ ÀÔ˘ÚÁÂ›Ô ÀÁ›·˜ Î·È ¶ÚfiÓÔÈ·˜, ˘¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË ·‡ÍËÛ˘ ÙÔ˘ ‚¿ÚÔ˘˜ ÙˆÓ ‚ÚÂÊÒÓ ·fi 0 ¤ˆ˜ 3 ÂÙÒÓ. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛ¤ ÙÔ ÚÔÛÂÎÙÈο Î·È ·¿ÓÙËÛ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù·: (·) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Î·È ÔÈÔ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ‚Ú¤ÊÔ˘˜ ËÏÈΛ·˜ 15 ÌËÓÒÓ; (‚) ¶¿Óˆ ·fi ÔÈÔ ‚¿ÚÔ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ˘¤Ú‚·ÚÔ, ¤Ó· ‚Ú¤ÊÔ˜ ËÏÈΛ·˜ 18 ÌËÓÒÓ Î·È Î¿Ùˆ ·fi ÔÈÔ ‚¿ÚÔ˜ ıˆÚÂ›Ù·È ÏÈÔ‚·Ú¤˜; (Á) ∂›Ó·È Ê˘ÛÈÔÏÔÁÈÎfi ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙˆÓ 7,5 ÎÈÏÒÓ ÁÈ· ¤Ó· ‚Ú¤ÊÔ˜ 9 ÌËÓÒÓ;


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- 90 -

16:07

™ÂÏ›‰·90

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.2. § fi Á Ô ˜ ‰ ‡ Ô · Ú È ı Ì Ò Ó - ∞ Ó · Ï Ô Á › ·

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë Œ¯Ô˘Ì ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÚ›· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ·:

4

1,5

4,5

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ¶ÏÂ˘Ú¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

1,5 cm

4 cm

4,5 cm

¶ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

➣ ➣ ➣

∂Í‹ÁËÛ Ò˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ÛÂÈÚ¿˜. µÚ˜ ÁÈ· οı ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ÏÂ˘Ú¿ ÚÔ˜ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· Ô˘ ‚Á¿˙ÂȘ;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË ÊˆÙÔÁÚ·ÊÈ΋ Ì˯·Ó‹ ÁÈ· Ó· ·ÂÈÎÔÓ›ÛÔ˘Ì ÂÈÎfiÓ˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ. √È ÂÈÎfiÓ˜ ·˘Ù¤˜ ‰Â›¯ÓÔ˘Ó Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË. ™ÙË ÊˆÙÔÁÚ·Ê›· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ·È‰ÈÔ‡ Â›Ó·È 2 cm ÂÓÒ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘ ‡„Ô˜ Â›Ó·È 1,65 m = 165 cm.

¶fiÛË ı· Â›Ó·È ÙfiÙÂ Ë ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛ‹ ÙÔ˘ ÛÙË ÊˆÙÔÁÚ·Ê›·;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ™¯Â‰›·Û ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È ÌÂÙ¿ ۯ‰›·Û¤ ÙÔ ÌÂÁÂı˘Ṳ̂ÓÔ, ÒÛÙÂ Ë 6 ÏÂ˘Ú¿ Ì‹ÎÔ˘˜ 8 cm Ó· ¤¯ÂÈ Ó¤Ô Ì‹ÎÔ˜ 12 cm.

10

8

12


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™ÂÏ›‰·91

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 91 -

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∞ 4 Ë ™‡ÁÎÚÈÓ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

∞μ μ° Î·È . ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›˜; ∫§ §ª

μ

∂ ∑

ΔÈ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‚Á¿˙ÂȘ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁÒÓÈˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ∞μ°¢ Î·È ∫§ª¡.

ªÂÙ¿ Û‡ÁÎÚÈÓ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜:

∞μ μ° Î·È . ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›˜; ∂∑ ∑∏

£ ∏ ∫ §

ΔÈ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ‚Á¿˙ÂȘ ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙˆÓ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ∞μ°¢ Î·È ∂∑∏£. ¢

°

¡ ª

ª·ı·›ÓÔ˘Ì 

ΔÔ ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È Î·È ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ.



∏ ÈÛfiÙËÙ· ÏfiÁˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›·.



√ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ÂÓfi˜ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ȉ›Ô˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘, ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ ·fiÛÙ¿ÛÂȘ ÌÂÙÚÈÔ‡ÓÙ·È Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰·, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Îϛ̷η.



¢‡Ô Û¯‹Ì·Ù· ϤÁÔÓÙ·È fiÌÔÈ· fiÙ·Ó ÙÔ ¤Ó· ·ÔÙÂÏ› ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ‹ ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ (.¯. ÛÙËÓ ·Ú·¿Óˆ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ· ÙÔ ∞μ°¢ Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ∂∑£∏ Ì ÏfiÁÔ 2:1).

 ∞Ó ÔÈ ÏfiÁÔÈ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ Ï¢ÚÒÓ ‰‡Ô ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔÈ, ÙfiÙ ·˘ÙÔ› ı· Â›Ó·È ›ÛÔÈ Î·È Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜.  ∫¿ı ۯ¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ·‚ = ‰Á Â›Ó·È ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË Ì ÙË Û¯¤ÛË ·  ‰ =‚  Á

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ªÂÙÚԇ̠ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË, Û ¯¿ÚÙË, Ì Îϛ̷η 1:10.000.000 Î·È ÙË ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ›ÛË Ì 2,4 cm. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ;

§‡ÛË ∞ÊÔ‡ ‰›ÓÂÙ·È Ë Îϛ̷η 1:10.000.000, ÛÙÔ 1 cm ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó 10.000.000 cm ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·. ™˘ÓÂÒ˜, ·Ó Ù· 2,4 cm ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó Û x cm ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ:

2,4 x

1 = 10.000.000 . ∂Ô̤ӈ˜, ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙÈ:

1  x = 2,4  10.000.000 ‹

x = 24.000.000 cm = 240.000 m = 240 Km.


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- 92 -

™ÂÏ›‰·92

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

2.

¡· ‚ÚÂȘ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÙˆÓ ‰È·ÊfiÚˆÓ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Â›Ó·È ÛÙÔ Û¯¤‰ÈÔ. (·)

∞μ , ∂∑ , ∫§ , ∞μ , ∏£ , °¢ . °¢ ∏£ ∞μ ∫§ ∂∑ ∞μ

(‚)

°¢ , ∏£ , ∞μ , ∂∑ , ∫§ , °¢ . ∂∑ ∫§ ∞μ °¢ ∏£ °¢

μ 4,5 cm 2,5 cm

°

¢

∑ §

∏ ° £ ∞

¢

μ

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞μ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¡· ۯ‰ȿÛÂȘ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì Ï¢ڤ˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·˘ÙÔ‡, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ Ó· ›ӷÈ: 2:1.

3.

™Â ÌÈ· ʈÙÔÁÚ·Ê›· ÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È 4 cm, ÂÓÒ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ ‡„Ô˜ Â›Ó·È 1,76 m. ¶fiÛÔ ¤¯ÂÈ ÛÌÈÎÚ˘Óı› Ë ÂÈÎfiÓ· ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ ÛÙË ÊˆÙÔÁÚ·Ê›·;

4.

ŒÓ·˜ ÚÔ‚ÔϤ·˜ ‰È·Ê·ÓÂÈÒÓ ÚÔ‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ Î›ÌÂÓÔ ÌÈ·˜ ‰È·Ê¿ÓÂÈ·˜ ÛÙÔÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÙÔ›¯Ô. ∞Ó ¤Ó· “∞” ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 7 mm ÛÙË ‰È·Ê¿ÓÂÈ· Î·È 4,2 cm ÛÙÔÓ ÙÔ›¯Ô, ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË Ô˘ ‰›ÓÂÈ Ô ÚÔ‚ÔϤ·˜;

5.

∏ Û‡ÓıÂÛË ÌÈ·˜ ÌÏÔ‡˙·˜ Â›Ó·È 80% ‚·Ì‚¿ÎÈ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÔÏ˘ÂÛÙ¤Ú·˜. AÓ Ë ÌÏÔ‡˙· ˙˘Á›˙ÂÈ 820 gr, fiÛ· ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ· ˙˘Á›˙Ô˘Ó Ù· Ó‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ÔÏ˘ÂÛÙ¤Ú· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ;

6.

¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜:

7.

√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È x+2 Î·È x. (·) ¡· ÁÚ¿„ÂȘ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ ¶ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÙÔ x. (‚) ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ›Ó·Î·: x 2 4 ¶ 8 16

∫ϛ̷η 1: 5 3: 8 1: 30 1: 100 M‹ÎÔ˜ Û ۯ¤‰ÈÔ 4 c m 12 cm 2 cm 3,5 cm ¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Ì‹ÎÔ˜ 24 m 10 m

\

8.

AÓ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘, Û ¤Ó· Û¯¤‰ÈÔ Ì Îϛ̷η 1:250, Â›Ó·È 3x5, ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ ı· Â›Ó·È .....x..... .

9.

∞Ó ·Ó·Î·Ù¤„Ô˘Ì 2 ÎÈÏ¿ ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ· Î·È 3 ÎÈÏ¿ ΛÙÚÈÓÔ ¯ÚÒÌ·, ÊÙÈ¿¯ÓÔ˘Ì ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·fi¯ÚˆÛË ÙÔ˘ ÔÚÙÔηϛ. ∞Ó ·Ó·Î·Ù¤„ÂȘ 5 ÎÈÏ¿ ÎfiÎÎÈÓÔ ¯ÚÒÌ· Î·È 6 ÎÈÏ¿ ΛÙÚÈÓÔ, ı· ¿ÚÂȘ ÙËÓ ›‰È· ·fi¯ÚˆÛË; ¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.


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™ÂÏ›‰·93

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 93 -

¢ƒ∞™Δ∏ƒπ√Δ∏Δ∂™ °π∞ Δ√ ™¶πΔπ

1.

™¯Â‰›·Û ٷ Û¯‹Ì·Ù· Û ÌÈÏÈÌÂÙÚ¤ ¯·ÚÙ›: (·) ΔÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞ Ì Îϛ̷η 9:1 (‚) ΔÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ μ Ì Îϛ̷η 12:1 (Á) ΔÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ° Ì Îϛ̷η 7:1.

μ

°

2.

ŸÙ·Ó Ô ∫ÒÛÙ·˜ ¤ÎÏÂÈÛ ٷ ‰Ò‰Âη ¯ÚfiÓÈ· ›¯Â ÙÔ ¤Ó· ÙÚ›ÙÔ Ù˘ ËÏÈΛ·˜ Ù˘ ÌËÙ¤Ú·˜ ÙÔ˘. ŸÙ·Ó ı· Á›ÓÂÈ Â›ÎÔÛÈ ¯ÚfiÓˆÓ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ËÏÈÎÈÒÓ ÙÔ˘˜ ı· ·Ú·Ì›ÓÂÈ Ô ›‰ÈÔ˜;

3.

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂȘ ÌÂÚÈΤ˜ ·fi ÙȘ ·’ ¢ı›·˜ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ fiÏÂˆÓ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ·ÂÚÔÔÚÈ΋ ÁÚ·ÌÌ‹, ¤¯ÔÓÙ·˜ ˘fi„Ë fiÙÈ Ë Îϛ̷η ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ ¯¿ÚÙË Â›Ó·È 1:6.000.000 Î·È Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÂȘ ¤Ó· ›Ó·Î· ¯ÈÏÈÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÔÛÙ¿ÛÂˆÓ ÁÈ· ÙȘ fiÏÂȘ ·˘Ù¤˜.


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™ÂÏ›‰·94

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

π™∆√ƒπ∫∏ ∞¡∞¢ƒ√ª∏ √È Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ‰È·ÌÔÚÊÒıËÎ·Ó Î·È ÂÍÂÏ›¯ÙËÎ·Ó ·Ú¿ÏÏËÏ· Ì ÙËÓ ·ÓıÚÒÈÓË ÛΤ„Ë. º˘ÛÈο ÌÂÁ¤ıË, fiˆ˜ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜, ÙÔ Ì‹ÎÔ˜, Ë ÂÈÊ¿ÓÂÈ· Î·È Ô fiÁÎÔ˜, ¤‰ÈÓ·Ó ·ÊÔṲ́˜ ÁÈ· ̤ÙÚËÛË Î·È ÁÈ· Û‡ÁÎÚÈÛË, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· ÏfiÁÔ˘˜ Î·È ·Ó·ÏÔÁ›Â˜. ∏ Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋, fï˜, ÌÂϤÙË ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ ·˘ÙÒÓ ¿Ú¯ÈÛ ÛÙËÓ ·Ú¯·›· ∂ÏÏ¿‰· ÙÔÓ 6Ô .Ã. ·ÈÒÓ·. √ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜, Ô˘ ¤˙ËÛ ·fi ÙÔ 580 .Ã. ̤¯ÚÈ Èı·ÓfiÓ ÙÔ 490 .Ã., ‹Ù·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ÚÒÙÔ˘˜ ŒÏÏËÓ˜ Ô˘ ·Û¯ÔÏ‹ıËΠ̠ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. À¿Ú¯ÂÈ ÌÈ· ·Ú¿‰ÔÛË Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ ÙÔÓ ÙÚfiÔ Ì ÙÔÓ ÔÔ›Ô Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ Ô‰ËÁ‹ıËΠ۠·˘Ù‹Ó ÙËÓ ¤Ú¢ӷ. ™ÙËÓ ∞ÏÂÍ¿Ó‰ÚÂÈ·, fiÔ˘ ¤˙ËÛ ·ÚÎÂÙ¿ ¯ÚfiÓÈ·, ‚Ú¤ıËΠÌÈ· ̤ڷ ÎÔÓÙ¿ Û οÔÈÔ ÛȉËÚÔ˘ÚÁÂ›Ô fiÔ˘ Ù¤ÛÛÂÚȘ Ù¯ӛÙ˜ ÎÙ˘Ô‡Û·Ó Ì ٷ ÛÊ˘ÚÈ¿ ÙÔ˘˜ ¤Ó· ˘Ú·Îو̤ÓÔ Ì¤Ù·ÏÏÔ. √ ‹¯Ô˜ ·fi Ù· ÎÙ˘‹Ì·Ù· ‹Ù·Ó ·Ú¿ÍÂÓ· ÌÂψ‰ÈÎfi˜. ∞˘Ùfi ΤÓÙÚÈÛ ÙËÓ ÂÚȤÚÁÂÈ· ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·, Ô˘ ·Ó·˙‹ÙËÛ ÙÔ ÏfiÁÔ Ù˘ ·ÚÔÛ‰fiÎËÙ˘ ÌÂψ‰›·˜ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ‹¯ˆÓ. ∑‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ù¯ӛÙ˜ Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÈ Ù· ÛÊ˘ÚÈ¿ ÙÔ˘˜. ¶·Ú·Ù‹ÚËÛ fiÙÈ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ. ™˘ÁÎÚ›ÓÔÓÙ·˜ ÙÔ ÈÔ ‚·Ú‡ Ì ٷ ˘fiÏÔÈ·, ‚ڋΠÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ H, B Î·È 1 ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ™Î¤ÊÙËΠfiÙÈ ÔÈ ÏfiÁÔÈ ·˘ÙÔ›, Èı·ÓfiÓ, Ó· ›¯·Ó οÔÈ· Û¯¤ÛË Ì ÙÔ˘˜ ‹¯Ô˘˜ Ô˘ ¿ÎÔ˘ÛÂ. ¶‹Ú ÙfiÙ ٤ÛÛÂÚȘ ÌÂÙ·ÏÏÈΤ˜ ¯ÔÚ‰¤˜ Î·È ÙȘ Ù¤ÓÙˆÛ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ٷ Ì‹ÎË ÙÔ˘˜ Ó· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ÏfiÁÔ˘˜. ¢ËÏ·‰‹, Ë ‰Â‡ÙÂÚË Â›¯Â Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ٷ H ÙÔ˘ Ì‹ÎÔ˘˜ Ù˘ ÚÒÙ˘. ∏ ÙÚ›ÙË B Î·È Ë Ù¤Ù·ÚÙË Â›¯Â Ì‹ÎÔ˜ ›ÛÔ Ì ÙÔ 1 Ù˘ ÚÒÙ˘. ŒÎÚÔ˘Û ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ Î·È ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ ÔÈ ‹¯ÔÈ Â›¯·Ó ÙËÓ ›‰È· ÌÂψ‰È΋ Û¯¤ÛË Ì ·˘Ù‹Ó Ô˘ ¿ÎÔ˘Û ÛÙÔ ÛȉËÚÔ˘ÚÁ›Ô. ◊Ù·Ó ÌÈ· “·ÚÌÔÓ›·” ‹¯ˆÓ (Û˘Á¯ÔÚ‰›·). ªÂ ÙÔÓ ÙÚfiÔ ·˘Ùfi, Ô ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ ·Ó·Î¿Ï˘„ ·ÚÌÔÓÈÎÔ‡˜ ÙfiÓÔ˘˜ Ù˘ ÌÔ˘ÛÈ΋˜ Îϛ̷η˜. ŒÙÛÈ, ÔÈ ÏfiÁÔÈ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÂÚÌ‹Ó¢·Ó Ê·ÈÓfiÌÂÓ· Ô˘ ηÓ›˜ ̤¯ÚÈ ÙfiÙ ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ Û˘Û¯ÂÙ›ÛÂÈ Î·È Ó· ÂÍËÁ‹ÛÂÈ. √ ‰ÚfiÌÔ˜ ÁÈ· ÙËÓ ·Ó·˙‹ÙËÛË Ù˘ ÁÓÒÛ˘ ›¯Â ·ÓÔ›ÍÂÈ. ∏ ¤Ú¢ӷ Î·È Ë ÂÚÌËÓ›· ÙˆÓ Ê·ÈÓÔÌ¤ÓˆÓ Ù˘ ʇÛ˘ ›¯Â ‹‰Ë ‰È·ÌÔÚÊÒÛÂÈ ÛÙÔ ÓÔ˘ ÙˆÓ ·ÓıÚÒˆÓ ¤Ó· Ó¤Ô ÎÒ‰Èη, ÌÈ· Ó¤· “·ÁÎfiÛÌÈ·” ÁÏÒÛÛ·: Ù· Ì·ıËÌ·ÙÈο.


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™ÂÏ›‰·95

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 95 -

™Ã∂¢π√ ∂ƒ°∞™π∞™ ™ÙÔ Û¯‹Ì· ‚ϤÂȘ ÙÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, Ì ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ¯ˆÚ›˙ÂÈ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ, ÔÚ›˙ÔÓÙ·˜ ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜, ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· ̤ÚË ÙÔ˘.

M

M

M

∞µ Aª

∞ª ªµ

µ

5

1 4

µ

2

1

µ

1,618 1,618

√È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ›¯·Ó ÂÈϤÍÂÈ ÙÔÓ ÙÚ›ÙÔ ÙÚfiÔ ˆ˜ ηχÙÂÚÔ ·ÈÛıËÙÈο Î·È Î·Ù·Û··˙·Ó fiÏ· Ù· ÌÓËÌ›· ÙÔ˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ·˘Ù‹ ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘˜, fiˆ˜ .¯. ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Ó·Ô‡ ÙÔ˘ ¶·ÚıÂÓÒÓ· Ù˘ ∞ÎÚfiÔÏ˘ ÙˆÓ ∞ıËÓÒÓ. ∏ ·Ó·ÏÔÁ›· ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿ÛÙËΠ¯Ú˘Û‹ ÙÔÌ‹”. “¯

∞ÏÏ¿ Î·È Ë Ê‡ÛË Ê·›ÓÂÙ·È fiÙÈ ¤¯ÂÈ ·ÚfiÌÔȘ ÚÔÙÈÌ‹ÛÂȘ!

∆ËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· Ì‹ÎË ÙˆÓ ÌÂÏÒÓ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÈÓÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜, ·ÏÏ¿ Î·È ÛÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ÔÏÏÒÓ Ê˘ÙÒÓ Î·È ˙ÒˆÓ.



Y¿Ú¯ÂÈ Ù¤ÙÔÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· ÛÙ· ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Ô˘ ·Ú·ÙËÚԇ̠Á‡Úˆ Ì·˜.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‚ÚÂȘ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ÛÂ: (·) ÌÓËÌ›·, (‚) ˙ˆÁÚ·ÊÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜, (Á) ·ÓıÚÒÈÓ˜ ηٷÛ΢¤˜, (‰) Û¯‹Ì·Ù· ˙ÒˆÓ Î·È Ê˘ÙÒÓ, (Â) ·ÓıÚÒÈÓÔ ÛÒÌ· Î·È ¿ÏÏ·.



™˘Ó‰¤ÂÙ·È Ë ÂÈÏÔÁ‹ Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜” ·fi ÙÔ˘˜ ·ÓıÚÒÔ˘˜ ÛÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÔ¯‹ Ì ÂÈÛÙËÌÔÓÈο, ·ÈÛıËÙÈο, ÎÔÈÓˆÓÈο, ıÚËÛ΢ÙÈο, ÔÈÎÔÓÔÌÈο, ÔÏÈÙÈÛÙÈο Î.Ï. ·›ÙÈ·; ∂¿Ó Ó·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂȘ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ ÛÔ˘.



¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ·ÔÙ˘ÒÛÂȘ, Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ›Ûˆ˜ Î·È ÙÔ˘ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹, Û¯¤‰È· ÙˆÓ ÌÔÚÊÒÓ ‹ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›· Ù˘ “¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜”.


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16:07

- 96 -

™ÂÏ›‰·96

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.3. A Ó ¿ Ï Ô Á ·  Ô Û ¿ - π ‰ È fi Ù Ë Ù Â ˜ · Ó · Ï fi Á ˆ Ó  Ô Û Ò Ó

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë ™Â ÌÈ· ·Ú¤· οÔÈÔ˜ ˘ÔÛÙ‹ÚÈ˙ fiÙÈ ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÓıÚÒÔ˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘. ªÂÙÚ‹ıËηÓ, ÏÔÈfiÓ, fiÏÔÈ Î·È ¤‚·Ï·Ó ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.

ªÔÚ›˜ Ó· ÂȂ‚·ÈÒÛÂȘ ‹ Ó· ·ÔÚÚ›„ÂȘ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ·˘Ùfi;

¶Ò˜ ‰ÈηÈÔÏÔÁ›˜ ÙÔ Û˘ÌÂÚ·ÛÌ¿ ÛÔ˘; µ¿ÚÔ˜ Û ∫g ⁄„Ô˜ Û m

58 1,60

71 1,65

56 1,62

68 1,72

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë O Ì·Ó¿‚˘ Ô˘Ï¿ÂÈ Ù· ηÚÔ‡˙È· ÚÔ˜ 0,4 Q ÙÔ ÎÈÏfi. ª¤Û· Û ÌÈ· Ë̤ڷ Ô‡ÏËÛ 11 ηÚÔ‡˙È· Ô˘ ˙‡ÁÈ˙·Ó 100 ÎÈÏ¿ Û˘ÓÔÏÈο. √ Ì·Ó¿‚˘ ¤ÁÚ·ÊÂ, Û’ ¤Ó· ¯·ÚÙ›, Ù· ÏÂÊÙ¿ Ô˘ ÂÈÛ¤Ú·ÙÙ οı ÊÔÚ¿. •¤¯·ÛÂ, fï˜, Ì›· ÊÔÚ¿ Ó· ÙÔ ÛËÌÂÈÒÛÂÈ.

ªÔÚ›˜ Ó· ÙÔÓ ‚ÔËı‹ÛÂȘ Û˘ÌÏËÚÒÓÔÓÙ·˜ Ù· ÎÂÓ¿ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: TÈÌ‹

6 Q 2,8 Q 5,2 Q 3,2 Q

3,6 Q 4,8 Q 2,4 Q 1,6 Q 4,4 Q 2 Q

∫ÈÏ¿

¢ÈηÈÔÏfiÁËÛ ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Ô˘ ¤Î·Ó˜ Î·È ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ ¤Ó· ÁÂÓÈÎfi ηÓfiÓ·.

ª·ı·›ÓÔ˘ÌÂ





¢‡Ô ÔÛ¿ ϤÁÔÓÙ·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Â¿Ó ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, Ô˘ fiÙ·Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.



¢‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, fiÙ·Ó ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ‰›ÓÔ˘Ó ¿ÓÙ· ›‰ÈÔ ËÏ›ÎÔ: y = · . ∆Ô ËÏ›ÎÔ · ϤÁÂÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ . x



∆· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ x Î·È y Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: y = ·  x fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜.



ŸÙ·Ó ÙÔ ÔÛfi y Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ ÔÛÔ‡ x, Ù· ‰‡Ô ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË · Û¯¤ÛË: y= · x Î·È Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ ‹ ·%. 100 100

∏ Û¯¤ÛË y = ·  x ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÌÈ· ·ÏÏËÏÂ›‰Ú·ÛË ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, Ô ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜, ÙÚÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î.Ô.Î. ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÛÔ‡ ÂÈʤÚÂÈ ‰ÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi, ÙÚÈÏ·ÛÈ·ÛÌfi Î.Ô.Î. ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡.


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16:08

™ÂÏ›‰·97

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 97 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

¡· Û˘ÌÏËÚˆı› Ô ›Ó·Î·˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Ì 2 Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = . 3

§‡ÛË x

0

1

0,3 5 3

y

y = ·  x

3

2

T· ÔÛ¿ x Î·È y Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: y = 3  x

2

ÕÚ· ÁÈ· x = 0 , Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y ı· ›ӷÈ: y = 3  0 = 0,

2

2

ÁÈ· x = 1 Â›Ó·È y = 3  1 = 3

2

2

3

6

3

15 6 = 2,5

Î·È ÁÈ· x = 0 ,3 Â›Ó·È y = 3  0,3 = 3  10 = 30 = 0,2

y x= a

5

5

2

5

°È· y = 3 , ı· ›ӷÈ: x = 3 : 3 = 3  2 =

2

3

9

°È· y = 3 , ı· ¤¯Ô˘ÌÂ, ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·: x = 3 : 3 = 3  2 = 2 = 4,5

2.

™Â ¤Ó· ‰È¿Ï˘Ì· ˙¿¯·Ú˘ Ë ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· Û ˙¿¯·ÚË Â›Ó·È 23%. ¶fiÛ· ÁÚ·ÌÌ¿ÚÈ· ˙¿¯·Ú˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó Û 300 gr ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜;

§‡ÛË ¶ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ· 23% Û ˙¿¯·ÚË ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Û 100 gr ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 23 gr ˙¿¯·ÚË. ÕÚ·, Ù·

23 οı ÔÛfiÙËÙ·˜, ·fi ÙÔ ‰È¿Ï˘Ì·, Â›Ó·È ˙¿¯·ÚË. 100

23

¢ËÏ·‰‹, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: ¶ÔÛfiÙËÙ· ˙¿¯·Ú˘ = 100  ¶ÔÛfiÙËÙ· ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜.

23

∂Ô̤ӈ˜: y = 100  x. H Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ οÓÂÈ Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ y Î·È x Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·.

23

ŒÙÛÈ, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: y = 100  300 gr = 69 gr.

3.

ŒÓ· ÏÔ›Ô ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Î·Ï‡ÙÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 80 Km Û 2 ÒÚ˜. ™Â fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ı· ηχ„ÂÈ ·fiÛÙ·ÛË 2.000 Km;

§‡ÛË ÃÚfiÓÔ˜ (ÒÚ˜)

2

x

AfiÛÙ·ÛË (km)

80

2.000

2

x

∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ: 80 = 2000

ÕÚ·: 80  x = 2  2.000

∂Ô̤ӈ˜: 80  x = 4.000. √fiÙÂ: x =

4.000 = 50 ÒÚ˜. 80


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16:08

- 98 -

™ÂÏ›‰·98

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÛ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·; (∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË)

™ø™∆√ §∞£√™

(·) (‚)

√ ·ÚÈıÌfi˜ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÒÓ Î·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ÎÔÛÙ›˙Ô˘Ó ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÙÒÌ·ÙÔ˜ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ Ï·ÎÒÓ Ô˘ Â›Ó·È ÛÙڈ̤ÓÔ (Á) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÂÚÁ·ÙÒÓ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÔ˘Ó ¤Ó· ¤ÚÁÔ. (‰) ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ‰Â‰Ô̤ÓÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ (Â) ∏ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Î¿Ï˘„Ë ÌÈ·˜ ·fiÛÙ·Û˘. (ÛÙ) ∏ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘. (˙) ∏ ËÏÈΛ· ÂÓfi˜ ·ÓıÚÒÔ˘ Î·È Ë ÂÚÈÔ˘Û›· ÙÔ˘. (Ë) ∆Ô ÔÛfi Ô˘ Íԉ‡ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜, ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Ï·¯Â›· Î·È ÙÔ ÔÛfi Ô˘ ÎÂÚ‰›˙ÂÈ.

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·)

¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ‰›ÓÔ˘Ó ¿ÓÙ· ÙÔ ›‰ÈÔ ËÏ›ÎÔ Ï¤ÁÔÓÙ·È .................................................................................................................................... .

(‚)

∞Ó ÙÂÙÚ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·fi ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡ ........................................................................................................... .

(Á)

∆· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙË Û¯¤ÛË: ................................................................... .

3.

∂ͤٷÛ ·Ó Ù· ÔÛ¿ Ô˘ ‰›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·: (·) (‚) x 3 5 7 x 3 4 6 11 y 8 10 12 y 0 , 9 1,2 1,8 3,3

4.

™ÙÔÓ ›Ó·Î· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, Ù· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ÀÔÏfiÁÈÛ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹

5.

·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘˜ Î·È Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·. x

5

y

10,05

0

1

3,7 2

0,61

0,125

0,55

MÈ· Û˘ÓÙ·Á‹ ÁÈ· ΤÈÎ ·Ó·Ê¤ÚÂÈ: “4 ·˘Á¿, 1 ·Î¤ÙÔ Ê·Ú›Ó·, ÙÔ˘ ÌÈÛÔ‡ ÎÈÏÔ‡, 250 gr ‚Ô˘Ù‡ÚÔ˘, 2 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ· ˙¿¯·ÚË, 1 ‚·Ó›ÏÈ·, 1 ÊÏÈÙ˙¿ÓÈ Á¿Ï·”. µÚ˜ Ò˜ ı· Á›ÓÂÈ Ë Û˘ÓÙ·Á‹ ·Ó ı¤ÏÂȘ Ó· ÊÙÈ¿ÍÂȘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‰fiÛË Î·È ¤¯ÂȘ 7 ·˘Á¿; x 2 x+2 = . ÀÔÏfiÁÈÛ ÙÔ x Î·È ÙÔ ÏfiÁÔ . ∆› ·Ú·ÙËÚ›˜; 3 6 3+6

6.

¢›ÓÂÙ·È Ë ·Ó·ÏÔÁ›·

7.

KÂÊ¿Ï·ÈÔ 150.000 Q ηٷ٤ıËΠÛÙËÓ ÙÚ¿Â˙· Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 9,5%. ¶fiÛÔ ı· ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ, ÌÂÙ¿ ·fi 1 ¯ÚfiÓÔ;


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16:08

™ÂÏ›‰·99

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 99 -

∞.6.4. ° Ú · Ê È Î ‹  · Ú ¿ Û Ù · Û Ë Û ¯ ¤ Û Ë ˜ · Ó · Ï Ô Á › · ˜

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ ∏ Û¯¤ÛË, ÌÂٷ͇ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = 3, ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: y = 3  x O ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ›ӷÈ:

x

0

0,5

1,5

y

0

1,5

4,5

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ÎÂÓ¿ ÙÔ˘ ›Ó·Î· Î·È Ì ¿ÏϘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏfiÁˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y y

µÚ˜ Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ·Ú·¿Óˆ ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ.

5 4

¶ÚÔÛ¿ıËÛ ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ, Â¿Ó Ù· ÛËÌ›· ·Ó‹ÎÔ˘Ó Û ̛· ËÌÈ¢ı›· ‹ fi¯È.

3 2 1

∏ ËÌÈ¢ı›· ·˘Ù‹ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0,0) ‰ËÏ·‰‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ;

O

1

2

3

4

x

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì ∞fi Ù· ·Ú·¿Óˆ ˙‡ÁË ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÙÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· fiÙÈ:



∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙ· ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ (x, y) ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ̛· ËÌÈ¢ı ›· Ì ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ √(0,0) ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ


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21:11

- 100 -

™ÂÏ›‰·100

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ›Ó·Î˜ ∞, μ, ° Î·È ¢. (·) ¡· Á›ÓÂÈ Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·ÂÈÎfiÓÈÛË ÙˆÓ ˙¢ÁÒÓ (x, y) ÙˆÓ ÈÓ¿ÎˆÓ ÛÙÔ Â›Â‰Ô Î·È (‚) Ó· ‰È·ÈÛÙˆı› Û ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù¿ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·.

x y

0 0

1 2

2 1

3 1,5

B

x y

0 1

1 1,5

2 2

3 2,5

°

x y

0 0

1 1

2 2

3 3

¢

x y

0 0

1 0,5

2 1

3 1,5

§‡ÛË √ ›Ó·Î·˜ ∞ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ x Î·È y Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È

1

2

3

·Ó¿ÏÔÁ·, ·ÊÔ‡ 2 ≠ 1 = 1,5 .

O ›Ó·Î·˜ μ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ x Î·È y Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È

1

2

3

·Ó¿ÏÔÁ·, ·ÊÔ‡ 1,5 ≠ 2 ≠ 2,5 .

O ›Ó·Î·˜ ° Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ · = 1



H ËÌÈ¢ı›· Ô˘ ÙËÓ ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ¤¯ÂÈ ·Ú¯‹ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È Â›Ó·È Ë ∧ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xO y ÙˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ

O ›Ó·Î·˜ ¢ Â›Ó·È ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ · = 0,5


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21:12

™ÂÏ›‰·101

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 101 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

¢‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ · = 1,5. (·) ¢ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ¤Ó·Ó ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÛÒÓ, Ô ÔÔ›Ô˜ Ó· ÂÚȤ¯ÂÈ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ‰‡Ô ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ. (‚) μÚ˜ Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î¿ ÛÔ˘. (Á) ™¯Â‰›·Û ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙˆÓ ÔÛÒÓ x Î·È y, Û ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ.

2.

™Â ηٿÏÏËÏÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂȘ ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÁÈ· οı ̛· ·fi ÙȘ ·ÎfiÏÔ˘ı˜ Û¯¤ÛÂȘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜: 1 (·) y = ( )  x, (‚) y = 3  x, (Á) y = 5,5  x, (‰) y = 10  x, (Â) y = 0,01  x. 2

3.

∞ÓÙÈÛÙÔ›¯ÈÛ οı ›Ó·Î· Ì ¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜:

4.

(∞)

x y

4 10

7 17,5

12 30

(1)

y = 2x + 3

(B)

x y

5 11

7,5 16

9 19

(2)

y = 3x

(°)

x y

2 7

3 9

10 23

(3)

y = 12:x

(¢)

x y

2 6

4 3

6 2

(4)

y = 2,5x

(∂)

x y

2 1

5 2,5

0,5 0,25

(5)

y = 2x + 2

(Z)

x y

0,2 2,4

6 14

10 22

(6)

y = 2x + 1

(H)

x y

1 3

1,2 3,6

2,5 7,5

(7)

y = 4x – 1

(£)

x y

0,8 2,2

1 3

1,5 5

(8)

y = 0,5x

ŒÓ·˜ ηٷÛÙË̷ٿگ˘ ·ıÏËÙÈÎÒÓ ÂȉÒÓ ‰È·ı¤ÙÂÈ 12.000 Q ÁÈ· Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ÊfiÚ̘ Á˘ÌÓ·ÛÙÈ΋˜, Ì·ÁÈfi Î·È ·ıÏËÙÈο ·Ô‡ÙÛÈ·. ∫¿ı ÊfiÚÌ· ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 40 Q, οı ̷ÁÈfi 20 Q Î·È Î¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ·Ô‡ÙÛÈ· 50 Q. (·) ¡· ‚ÚÂȘ ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ “¯Ú‹Ì·Ù· - ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi οı ›‰Ô˜” Î·È Ó· ÙȘ ·Ú·ÛÙ‹ÛÂȘ ÁÚ·ÊÈο ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. (‚) √ ηٷÛÙË̷ٿگ˘ ·ÔÊ¿ÛÈÛ ӷ ‰È·ı¤ÛÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi, ÁÈ· οı ›‰Ô˜. μÚ˜ fiÛ· ÎÔÌÌ¿ÙÈ· ·fi οı ›‰Ô˜ ı· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ‰È·ı¤ÙÂÈ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÌfiÓÔ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÙˆÓ Û¯¤ÛÂˆÓ Ô˘ ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ˜ ÛÙÔ ÚÒÙÔ ÂÚÒÙËÌ· Ù˘ ¿ÛÎËÛ˘.


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

16-09-08

16:08

- 102 -

™ÂÏ›‰·102

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.5. ¶ Ú Ô ‚ Ï ‹ Ì · Ù · · Ó · Ï Ô Á È Ò Ó °È· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘ÌÂ, Â¿Ó ‰˘Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ:

1. ∆ÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x

y

5

7

∂ÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Ù· ÔÛ¿ Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ: fiÙ·Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÛÔ‡

3 1/2

15

21

2,5

3,5

3 1/2

ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È, Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙÂ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: ∞Ó 15 = 5  3 Ú¤ÂÈ 21 = 7  3 ηÈ

1

1

·Ó 2,5 = 5  2 Ú¤ÂÈ 3,5 = 7  2 .

2. ∆Ë Û¯¤ÛË y = ·  x EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Ù· ÔÛ¿ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÌÈ· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·:

0,5 Q ÙÔ ¤Ó· ÙÚÈ·ÓÙ¿Ê˘ÏÏÔ

x

y

y =2 x

3

6

6 3 =2

5,5

11

11 5,5 =2

....

....

....

∫fiÛÙÔ˜ ·ÓıÔ‰¤ÛÌ˘ = 0,5  ·ÚÈıÌfi˜ ÙÚÈ·ÓÙ¿Ê˘ÏψÓ.

3. ∆Ë Û¯¤ÛË

y x =·

EÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó fiϘ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÛÒÓ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÏfiÁÔ.


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16:08

™ÂÏ›‰·103

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 103 -

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ - ∂º∞ƒª√°∂™

1.

°È· Ó· ÊÙÈ¿ÍÔ˘Ì ÁÏ˘Îfi ‚‡ÛÛÈÓÔ Ú¤ÂÈ Ó· ηı·Ú›ÛÔ˘Ì ٷ ‚‡ÛÛÈÓ· ·fi Ù· ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·. ∞Ó Î·ı·Ú›ÛÔ˘Ì 2,5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ, ·›ÚÓÔ˘Ì 2 Kg ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ. ∞Ó Î·ı·Ú›ÛÔ˘Ì 5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ, ÙÈ ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ ı· ¿ÚÔ˘ÌÂ;

§‡ÛË ∆· ÔÛ¿ ·Î·ı¿ÚÈÛÙÔ ‚‡ÛÛÈÓÔ Î·È Î·ı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·. ™˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì y ÙËÓ ¿ÁÓˆÛÙË ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ Î·È ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔÓ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜.

∞ÚÈıÌËÙÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜

µ‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ 2 , 5 Kg K·ı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ 2 Kg £· ¤¯Ô˘ÌÂ:

5 Kg y

2,5 5 2 = y ‰ËÏ·‰‹:

2,5  y = 2  5, ÂÔ̤ӈ˜ 2,5  y = 10 Û˘ÓÂÒ˜, 10 y = 2,5

¿Ú·, y = 4 Kg

To Úfi‚ÏËÌ· ÌÔÚ› Ó· Ï˘ı› Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ, ·fi ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ηı·ÚÔ‡ ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ (ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ µ), ·fi ÙËÓ ÔÛfiÙËÙ· ÙˆÓ 5 Kg ‚‡ÛÛÈÓÔ˘ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ· (ÙÂÙÌË̤ÓË).

°Ú·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜

ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ

H ËÌÈ¢ı›·, Ô˘ ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÙË Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ùfi˜ Ì·˜, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· √ ( 0 , 0 ) Î·È ∞ ( 2 , 5 , 2 ) B 4 3 2 1

A

O

1 2 3 4 5 6 ‚‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·

™ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x (ÎÈÏ¿ ‚‡ÛÛÈÓÔ Ì ÎÔ˘ÎÔ‡ÙÛÈ·) Î·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5 ʤÚÔ˘Ì οıÂÙË. ∞˘Ù‹ Ù¤ÌÓÂÈ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜, Û ÛËÌÂ›Ô µ. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô µ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË 5. ∏ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì οıÂÙË ·fi ÙÔ µ ÚÔ˜ ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √y (ηı·Úfi ‚‡ÛÛÈÓÔ) Î·È Â›Ó·È 4 Kg.


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- 104 -

2.

16:08

™ÂÏ›‰·104

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

ŒÓ·˜ ÌÂÛ›Ù˘ ·ÁÔÚ¿˙ÂÈ ¤Ó· Û›ÙÈ 360.000 Q Î·È ÛÎÔ‡ÂÈ Ó· ÙÔ Ô˘Ï‹ÛÂÈ Ì ΤډԘ 28%. ™Â ¤Ó· ÂÏ¿ÙË ¤Î·Ó ¤ÎÙˆÛË 15%, Â› Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ÒÏËÛ˘. (·) ¶fiÛÔ Ô˘Ï‹ıËΠÙÔ Û›ÙÈ ÛÙÔÓ ÂÏ¿ÙË ·˘ÙfiÓ; (‚) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ ÙÔ˘ ÌÂÛ›ÙË, ÁÈ· ÙÔ Û›ÙÈ ·˘Ùfi;

§‡ÛË °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ: ¢‡Ô ÔÛ¿ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÔÛÔÛÙÈ·›· Û¯¤ÛË, Â›Ó·È ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·. (·)

°È· Ó· ‚ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡ Ú¤ÂÈ Ó’ ·Ê·ÈÚÂı› Ë ¤ÎÙˆÛË Ô˘ ¤ÁÈÓ ÛÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘. ¢ËÏ·‰‹: ñ £· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÙÔ˘ ÛÈÙÈÔ‡. ™ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÎfiÛÙÔ˘˜ ı· ¤¯Ô˘Ì ΤډԘ 28%, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ Ì ÙÈÌ‹ ÎfiÛÙÔ˘˜ 100 Q ˆÏÂ›Ù·È 128 Q. ∆fiÙÂ, Ô ›Ó·Î·˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ ı· ›ӷÈ: ∆ÈÌ‹ ·ÁÔÚ¿˜ ∆ÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ¢ËÏ·‰‹:

100 128

=

100 128

360.000 y

360.000 y

∂Ô̤ӈ˜, 100  y = 360.000  128 Û˘ÓÂÒ˜, y =

360.000128 . ÕÚ·, y = 460.800 Q 100

ñ £· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ¤ÎÙˆÛË Ô˘ ¤ÁÈÓÂ. ™ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ¤ÁÈÓ ¤ÎÙˆÛË 15%, ‰ËÏ·‰‹ ¤Ó· ÚÔ˚fiÓ Ì ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ 100 Q ˆÏÂ›Ù·È 85 Q. ∞˜ ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔÓ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜: ∞Ú¯È΋ ÙÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ ∆ÈÌ‹ ÒÏËÛ˘ Ì ¤ÎÙˆÛË 15% ¢ËÏ·‰‹:

100 85

=

100 85

460.800 y

460.800 y

EÔ̤ӈ˜, 100  y = 85  460.800

Û˘ÓÂÒ˜, y =

85460.800 100

ÕÚ·, y = 391..680 Q. O ÂÏ¿Ù˘ ·ÁfiÚ·Û ÙÔ Û›ÙÈ 391.680 Q. (‚)

°È· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ Â› Ù˘ ÙÈÌ‹˜ ·ÁÔÚ¿˜, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ó¿ÁÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ ÛÙ· 100 Q. ∆Ô Î¤Ú‰Ô˜ ÙÔ˘ ÂÌfiÚÔ˘ ›ӷÈ:

391.680 Q – 360.000 Q = 31.680 Q Œ¯Ô˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·Ó·ÏÔÁ›·˜: ∆ÈÌ‹ ·ÁÔÚ¿˜ ∫¤Ú‰Ô˜ ¢ËÏ·‰‹:

360.000 31.680

100 x

360.000 100 31.680 = x

EÔ̤ӈ˜, 360.000  x = 31.680  100 Û˘ÓÂÒ˜, x =

31.680100 360.000 .

ÕÚ·, x = 8,8. To ÔÛÔÛÙfi ΤډԢ˜ ÙÔ˘ ÂÌfiÚÔ˘ Â›Ó·È 8,8% .


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

10-09-09

15:14

™ÂÏ›‰·105

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 105 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√μ§∏ª∞Δ∞

1.

ŒÓ·˜ ¿ÛÛ·ÏÔ˜ ‡„Ô˘˜ 1,2 m Ú›¯ÓÂÈ ÛÎÈ¿ 3 m. ΔËÓ ›‰È· ÛÙÈÁÌ‹ ¤Ó· ‰¤ÓÙÚÔ Ú›¯ÓÂÈ ÛÎÈ¿ 14 m. ∞Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ù· ÔÛ¿ ‡„Ô˜ - ÛÎÈ¿ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘.

2.

ΔÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÛÙË ÁË Â›Ó·È ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ·. ŒÓ·˜ ·ÛÙÚÔÓ·‡Ù˘ ˙‡ÁÈ˙ÂÈ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ 12,9 Kg Î·È ÛÙË ÁË 78 Kg. ¶fiÛÔ ı· ˙˘Á›˙ÂÈ ÛÙÔ ÊÂÁÁ¿ÚÈ ¤Ó· ·È‰›, Ô˘ ÛÙË ÁË ¤¯ÂÈ ‚¿ÚÔ˜ 52 Kg;

3.

Afi 100 Kg ÛٷʇÏÈ· ‚Á·›ÓÔ˘Ó 80 Kg ÌÔ‡ÛÙÔ˜. ŒÓ·˜ ·ÌÂÏÔ˘ÚÁfi˜ ı¤ÏÂÈ Ó· ÁÂÌ›ÛÂÈ Ì ÌÔ‡ÛÙÔ 6 ‚·Ú¤ÏÈ·, ÙˆÓ 350 Kg ÙÔ Î·ı¤Ó·. ¶fiÛ· Kg ÛٷʇÏÈ·, Ù˘ ›‰È·˜ ÔÈfiÙËÙ·˜, Ú¤ÂÈ Ó· ·Ù‹ÛÂÈ;

4.

¢‡Ô ÂÚÁ¿Ù˜ ‰Ô‡Ï„·Ó Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ‹Ú·Ó Ì·˙› 270 Q. O ÚÒÙÔ˜ ‰Ô‡Ï„ 4 Ë̤Ú˜ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ 5 Ë̤Ú˜. ¶fiÛ· ¯Ú‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÛÙÔÈ¯Ô‡Ó ÛÙÔÓ Î·ı¤Ó·.

5.

ΔÔ ı·Ï·ÛÛÈÓfi ÓÂÚfi ÂÚȤ¯ÂÈ ·Ï¿ÙÈ Û ÔÛÔÛÙfi 3%. ¶fiÛ· ÎÈÏ¿ ı·Ï·ÛÛÈÓfi ÓÂÚfi Ú¤ÂÈ Ó· ÂÍ·ÙÌÈÛÙÔ‡Ó ÁÈ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì 60 Kg ·Ï¿ÙÈ;

6.

ŒÓ·˜ ÁˆÚÁfi˜ ›¯Â ¤Ó· ¯ˆÚ¿ÊÈ 7 ÛÙÚ¤ÌÌ·Ù· Î·È ‹ÚÂ Î·È ÙÔ ÁÂÈÙÔÓÈÎfi ¯ˆÚ¿ÊÈ ÂÌ‚·‰Ô‡ 8 ÛÙÚÂÌÌ¿ÙˆÓ, ÁÈ· Ó· Ê˘Ù¤„ÂÈ Î·Ï·ÌfiÎÈ. ∏ Û˘Ìʈӛ· Ì ÙÔ Á›ÙÔÓ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó Ó· ÙÔ˘ ‰ÒÛÂÈ ÙÔ 15% Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ¯ˆÚ·ÊÈÔ‡ ÙÔ˘. ∏ Û˘ÓÔÏÈ΋ ·Ú·ÁˆÁ‹ ‹Ù·Ó 14 ÙfiÓÔÈ Î·Ï·ÌfiÎÈ. ¶fiÛÔ˘˜ ÙfiÓÔ˘˜ ı· ¿ÚÂÈ Ô ÁˆÚÁfi˜ Î·È fiÛÔ˘˜ Ô Á›ÙÔÓ¿˜ ÙÔ˘;

7.

∞Ó „‹ÛÔ˘Ì 2,5 ∫g ˆÌfi ÎÚ¿˜ ı· Ì›ÓÂÈ 1,9 Kg „Ë̤ÓÔ ÎÚ¤·˜. (·) ¶fiÛÔ Â›Ó·È ÙÔ ÔÛÔÛÙfi ·ÒÏÂÈ·˜ Ô˘ ¤¯Ô˘ÌÂ; (‚) ¶fiÛÔ ÎÚ¤·˜ Ú¤ÂÈ Ó· „‹ÛÔ˘Ì ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ì 2,3 Kg „Ë̤ÓÔ ÎÚ¤·˜;

8.

∏ ÌËÓÈ·›· οÚÙ· ·ÂÚÈÔÚ›ÛÙˆÓ ‰È·‰ÚÔÌÒÓ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 12 Q Î·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ı· ·˘ÍËı›, ηٿ 75%. ΔÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ ÛÙÔ ·ÛÙÈÎfi ψÊÔÚÂ›Ô Â›Ó·È 0,7 Q Î·È ı· ·˘ÍËı›, ηٿ 50%. ŒÓ·˜ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔ˜ ·›ÚÓÂÈ ÏˆÊÔÚ›Ô, ÁÈ· Ó· ¿ÂÈ Î·È Ó· Á˘Ú›ÛÂÈ ·fi ÙË ‰Ô˘ÏÂÈ¿ ÙÔ˘ οı Ë̤ڷ, ÁÈ· ›ÎÔÛÈ ÊÔÚ¤˜ ÙÔ Ì‹Ó·. ΔÔÓ Û˘ÌʤÚÂÈ Ë ¯Ú‹ÛË Ù˘ οÚÙ·˜ ‹ fi¯È;

9.

ŒÓ· ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ‰›ÓÂÈ ÙfiÎÔ 1.000 Q ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, Ì ÂÈÙfiÎÈÔ 10%. ∞Ó ÙÔ ÂÈÙfiÎÈÔ ÌÂȈı› ηٿ 20%, fiÛÔ ÙÔȘ ÂηÙfi Ú¤ÂÈ Ó’ ·˘Í‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·Èfi Ì·˜ ÁÈ· Ó· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙfiÎÔ, ·Ú¿ ÙËÓ Ì›ˆÛË ÙÔ˘ ÂÈÙÔΛԢ;

10.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Î·È Û¯Â‰›·Û ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙ· ‰Â‰Ô̤ӷ ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ™À¡√§√ √ÈÎÔÁ¤ÓÂȘ

200

¶ÔÛÔÛÙ¿

100%

ªÂ 0 ªÂ 1 ªÂ 2 ªÂ 3 ªÂ 4 ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ ·È‰È¿ 10

40

80

50

15

¶¿Óˆ ·fi 4 ·È‰È¿ 5


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

- 106 -

16-09-08

16:08

™ÂÏ›‰·106

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∞.6.6. ∞ Ó Ù È Û Ù Ú fi Ê ˆ ˜ · Ó ¿ Ï Ô Á ·  Ô Û ¿

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 1 Ë •ÂÎÈÓÔ‡Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ·fi ÌÈ· fiÏË: (·) ¤Ó· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Ô˘ ÙÚ¤¯ÂÈ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 120 km/h (‚) ¤Ó· ·ÂÚÔÏ¿ÓÔ Ì 600 Km/h (Á) Ì›· ÌÔÙÔÛÈÎϤٷ Ì 75 Km/h (‰) ¤Ó· ψÊÔÚÂ›Ô Ô˘ ÙÚ¤¯ÂÈ Ì 80 Km/h (Â) ¤Ó· ÂÏÈÎfiÙÂÚÔ Ì 300 Km/h (ÛÙ) ¤Ó· Ù·Í› Ì 100 Km/h (˙) Ì›· ‚¤Û· Ì 60 Km/h Î·È (Ë) ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó Ì 90 Km/h To Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ Â›Ó·È ÌÈ· ¿ÏÏË fiÏË, Ô˘ ·¤¯ÂÈ 600 Km.

µÚ˜ Û fiÛ˜ ÒÚ˜, ı· Êı¿ÛÂÈ ÙÔ Î·ı¤Ó· ÛÙÔÓ ÚÔÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Î·È Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ∆·¯‡ÙËÙ· Û Km/h XÚfiÓÔ˜ Û ÒÚ˜

¶ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÌÂÁ¤ıË Ù˘ Ù·¯‡ÙËÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘;

ToÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ Ô˘ ‚ڋΘ, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 2 Ë ŒÓ· Û˘ÓÂÚÁÂ›Ô Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 8 ÂÚÁ¿Ù˜ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È 30 Ë̤Ú˜ ÁÈ· Ó· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÈ ¤Ó· ÔÈÎÔ‰ÔÌÈÎfi ¤ÚÁÔ. ➣ ¶fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙ› ÙÔ Û˘ÓÂÚÁ›Ô, Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 2, 4, 6, 10, 12, 24 ‹ 48 ÂÚÁ¿Ù˜ ÁÈ· Ó· ÙÂÏÂÈÒÛÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ¤ÚÁÔ;

ªÔÚ›˜ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·;

∂ÚÁ¿Ù˜ Û˘ÓÂÚÁ›Ԣ ∏̤Ú˜ ÂÚÁ·Û›·˜

2

4

6

8

10

12

24

48

30

∆È ·Ú·ÙËÚ›˜ ÁÈ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ “ÂÚÁ¿Ù˜”  “Ë̤Ú˜”;

∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

1-11-08

18:50

™ÂÏ›‰·107

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 107 -

¢ƒ∞™∆∏ƒπ√∆∏∆∞ 3 Ë ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ x Î·È y. AÓ ÁÓˆÚ›˙ÂȘ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È 144 m2, ÌÔÚ›˜ Ó· ‚ÚÂȘ ‰Âη٤ÛÛÂÚȘ ·Î¤Ú·È˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ‰È·ÛÙ¿ÛÂÒÓ ÙÔ˘ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·; x y

¶ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘;

∆ÔÔı¤ÙËÛ ٷ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î·, Û ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È ¤ÓˆÛ ٷ ÛËÌ›·, Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó Ù· ˙‡ÁË ·˘Ù¿, Ì ̛· ÁÚ·ÌÌ‹. ∆È ·Ú·ÙËÚ›˜;

¶ÔÈÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, ·’ ·˘Ù¿ Ô˘ ‚ڋΘ, ¤¯ÂÈ ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÂÚ›ÌÂÙÚÔ;

£˘ÌfiÌ·ÛÙ - ª·ı·›ÓÔ˘Ì 



¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, ÛÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË, Ô˘ Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ù¤ÙÔÈ·, ÒÛÙÂ: fiÙ·Ó ÙÔ ¤Ó· ̤ÁÂıÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â› ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, ÙÔ ¿ÏÏÔ ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

3

1/2

ŸÙ·Ó ‰‡Ô ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· , ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘˜ ·Ú·Ì¤ÓÂÈ ÛÙ·ıÂÚfi: y  x = · , ·0



™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË Ô˘ · = 1, Ù· x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ›.



∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË (x, y) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ̛· ηÌ‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹. ∏ ηÌ‡ÏË ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.



H ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ √x Î·È √y, ‰ÈfiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÔÙ¤ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0.

0

x

y

5

6

15

2

2,5

12

:3 :1/2

x

y

y  x = 30

5

6

5  6 = 30

15

2

15  2 = 30

...

...

...


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

16-07-09

- 108 -

21:13

™ÂÏ›‰·108

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ - ∂º∞ƒª√°∏ ŒÓ·˜ ÂÏ·ÈÔ·Ú·ÁˆÁfi˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ 20 lt, 15 lt, 10 lt Î·È 5 lt, ÁÈ· Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙÔ Ï¿‰È Ô˘ ·Ú¿ÁÂÈ. ∏ ·Ú·ÁˆÁ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È 3.600 lt. £¤ÏÂÈ Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙËÓ ›‰È· ÔÛfiÙËÙ· Ï·‰ÈÔ‡ Û οı ̛· ·fi ÙȘ Ù¤ÛÛÂÚȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ Û˘Û΢·Û›Â˜. (·) ¶fiÛ· ‰Ô¯Â›· ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ·fi οı ›‰Ô˜; (‚) ¶fiÛÔ ı· ÎÔÛÙ›ÛÂÈ Ë Û˘Û΢·Û›· Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘ ·Ó ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 0,4 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 20 lt, 0,3 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 15 lt, 0,2 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 10 lt Î·È 0,1 Q ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ÙˆÓ 5 lt;

§‡ÛË (·)

√ ·Ú·ÁˆÁfi˜ ı¤ÏÂÈ Ó· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙËÓ ›‰È· ÔÛfiÙËÙ· Ï·‰ÈÔ‡ Û 4 ‰È·ÊÔÚÂÙÈο ›‰Ë 1 ‰Ô¯Â›ˆÓ, ¿Ú· Û οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›Ô˘ ı· Û˘Û΢¿ÛÂÈ ÙÔ Ù˘ ·Ú·ÁˆÁ‹˜ ÙÔ˘, 4

1

3.600 = 900 lt, ÁÈ· οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ. 4 ™˘ÓÂÒ˜, ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: x (ÈÚËÙÈÎfiÙËÙ·)  y (∞ÚÈıÌfi˜ ¢Ô¯Â›ˆÓ) = 900 lt . TfiÙÂ, ı· ›ӷÈ: 900 900 ÁÈ· x = 20 lt , ›ӷÈ: y = x = 20 = 45

‰ËÏ·‰‹ 4  3.600 =

ÁÈ· x = 15 lt , ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 15 = 60

ÁÈ· x = 10 lt , ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 10 = 90

ÁÈ· x = 5 lt, ›ӷÈ:

y =

900 900 = x 5 = 180

ŒÙÛÈ, ı· ¤¯Ô˘Ì ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·. x (¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ·)

20

15

10

5

y (·ÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ)

45

60

90 180

1000 900 800 700 600 500 400

(‚)

Δ· ÔÛ¿ ∞ÚÈıÌÒÓ ‰Ô¯Â›ˆÓ Î·È ∫fiÛÙÔ˜ Û˘Û΢·Û›·˜ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·.

300 200 100

ŒÙÛÈ, Û οı ›‰Ô˜ ‰Ô¯Â›Ô˘, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: ¢Ô¯Â›· 20 lt

¢Ô¯Â›· 15 lt ¢Ô¯Â›· 10 lt ¢Ô¯Â›· 5 lt

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

45

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,4

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

60

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,3

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

90

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,2

ˆ

AÚÈıÌfi˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

1

180

∫fiÛÙÔ˜ ‰Ô¯Â›ˆÓ

0,1

ˆ

0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 45  0,4

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 60  0,3

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 90  0,2

¿Ú· ˆ = 18 Q

¢ËÏ·‰‹: ˆ = 180  0,1 ¿Ú· ˆ = 18 Q

ŒÙÛÈ, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ˜ Ù˘ Û˘Î¢·Û›·˜ ı· Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙÔ˘ ÎfiÛÙÔ˘˜ ÙˆÓ ‰Ô¯Â›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ ÂȉÒÓ. ™˘ÓÔÏÈÎfi ÎfiÛÙÔ˜ = 18 Q + 18 Q + 18 Q + 18 Q = 72 Q


KEº∞§∞π√-6 (85-112)

16-09-08

16:08

™ÂÏ›‰·109

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 109 -

∞™∫∏™∂π™ ∫∞𠶃√µ§∏ª∞∆∞

1.

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·; (∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË) (·)

™ø™∆√ §∞£√™

∏ ‚¿ÛË Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ì ÛÙ·ıÂÚfi ‡„Ô˜.

(‚)

∏ ·ÚÔ¯‹ ÌÈ·˜ ‚Ú‡Û˘ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È ÁÈ· Ó· ÁÂÌ›ÛÂÈ ÌÈ· Ì·ÓȤڷ. (Á) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÚˆÁÌ‹˜ ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ Î·È Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ··ÈÙ›ٷÈ, ÁÈ· Ó· ÁÂÌ›ÛÔ˘Ó Ù· ·Ì¿ÚÈ· ÙÔ˘ Ì ÓÂÚfi. (‰) √ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÁˆÙÔ‡ Ô˘ ı· Ê¿ÓÂ, ·fi ¤Ó· ÔÈÎÔÁÂÓÂÈ·Îfi ·ÁˆÙfi 2 Kg. (Â) ∏ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÙˆÓ ÌԢηÏÈÒÓ Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÌԢηÏÈÒÓ Ô˘ ¯ÚÂÈ·˙fiÌ·ÛÙÂ, ÁÈ· Ó· ÂÌÊÈ·ÏÒÛÔ˘Ì 100 lt ÎÚ·ÛÈÔ‡. (ÛÙ) √ ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Î·È ÔÈ ÛÎËÓ¤˜ ÙˆÓ 2 ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È, ÁÈ· Ó· ηٷÛÎËÓÒÛÔ˘Ó.

2.

™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: (·) ¢‡Ô ÔÛ¿ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Î·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ‰ÈÏ·ÛÈ¿˙ÂÙ·È, ÙfiÙÂ Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ...................................................................................................... . (‚) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ Â›Ó·È .................... ÁÚ·ÌÌ‹ Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ........................................................................................................... .

3.

∂ͤٷÛ ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î˜: (·)

(Á)

x

1

2

3

4

y

2

1

B

1

x

1 100

2 58

7 10

4

y

100

29

10 7

1 4

(‚)

(‰)

x

0,25 0,4

0,5

y

10 6,25

5

x

3

6

9

y

9

5

3

¶ÔÈÔÈ ·fi ·˘ÙÔ‡˜ Â›Ó·È ›Ó·Î˜ ÙÈÌÒÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ;

4.

∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·. (·) ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ›Ó·Î·: x y

(‚)

0,2 0,5 0,7

1 3,5 2,5 1,75

2,3

3

10

12

0,875

µÚ˜ Ù· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó Î¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y), Û ηٿÏÏËÏÔ Û‡ÛÙËÌ· ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ËÌÈ·ÍfiÓˆÓ Î·È Û¯Â‰›·Û ÙËÓ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.

5.

°È· ÙËÓ ·Ó·‰¿ÛˆÛË ÌÈ·˜ Ï·ÁÈ¿˜, ÂÚÁ¿ÛÙËÎ·Ó 20 ÂÚÁ¿Ù˜ ÁÈ· 10 Ë̤Ú˜. ¶fiÛÔÈ ÂÚÁ¿Ù˜, ›‰È·˜ ·fi‰ÔÛ˘, ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· Ó· ·Ó·‰·ÛÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ¤ÎÙ·ÛË ·˘Ù‹, Û 8 Ë̤Ú˜;

6.

™Â ¤Ó· ·ÁÚfiÎÙËÌ·, ÙÔÔı¤ÙËÛ·Ó ÓÙÔÌ¿Ù˜ Û 50 ηʿÛÈ·, ÙˆÓ 12 Kg ÙÔ Î·ı¤Ó·. ¶fiÛ· ηʿÛÈ· ÙˆÓ 20 kg ı· ¯ÚÂÈ·˙fiÓÙÔ˘Û·Ó ÁÈ· Ó· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ó ÙȘ ÓÙÔÌ¿Ù˜. ∞Ó Î¿ı ηʿÛÈ ÙˆÓ 12 kg ÛÙÔȯ›˙ÂÈ 0,28 Q Î·È Î¿ı ηʿÛÈ ÙˆÓ 20 kg 0,46 Q, ÔÈ· Û˘Û΢·Û›· ÙÔ˘˜ Û˘ÌʤÚÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÂÏ·¯ÈÛÙÔÔÈËı› ÙÔ ÎfiÛÙÔ˜ Û˘Û΢·Û›·˜ ÙÔ˘ ÚÔ˚fiÓÙÔ˜ ÙÔ˘˜;

7.

∆Ô ÂÙڤϷÈÔ Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÛÙË ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜, Â·ÚΛ ÁÈ· 30 Ë̤Ú˜, fiÙ·Ó Î·Ù·Ó·ÏÒÓÔÓÙ·È 80 lt ÙËÓ Ë̤ڷ. ŸÙ·Ó ÙÔ ÎÚ‡Ô ‰˘Ó·ÌÒÓÂÈ, Ë ËÌÂÚ‹ÛÈ· ηٷӿψÛË ·˘Í¿ÓÂÙ·È, ηٿ 20%. °È· fiÛ˜ Ë̤Ú˜ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÙÔ ÂÙڤϷÈÔ;


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16:08

- 110 -

™ÂÏ›‰·110

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

AÓ·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË AÓ·ÏÔÁ›· Â›Ó·È Ë ÈÛfiÙËÙ· ‰‡Ô ÏfiÁˆÓ

§fiÁÔ˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ:

· =Á ‚ ‰

· =Î ‚

ÙfiÙÂ ·  ‰ = ‚  Á

ηÈ

· = Á = ·+Á ‚ ‰ ‚+‰

¶ÔÛ¿ ·Ó¿ÏÔÁ· ∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔ ÙfiÙÂ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË:

y =· x

y=· x

fiÔ˘, · Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›·˜

¶›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ:

15  0,3

y x

0 0

0,3 1

0,9 3

1,5 5

15

20 y = 0,3 x 3 10

3,6 12

4,5 15

5,4 18

6 20

‹ ηÈ

y = 30% x To y Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ x

20

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 7

∫¿ı ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y) ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ·Ó··Ú›ÛÙ·Ù·È ·fi ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ÂÈ¤‰Ô˘ ÌÂ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ ÙÈÌÒÓ (x, y)

6 5 4

∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ÌÈ· ËÌÈ¢ı›·, Ì ·Ú¯‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0,0)

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ Ë ÔÔ›· ·Ó··ÚÈÛÙ¿ ÌÈ· Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜, ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ·˘Ù‹Ó ÙË Û¯¤ÛË ·Ó·ÏÔÁ›·˜ y = 0, 3 x


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16:08

™ÂÏ›‰·111

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

- 111 -

¶ÔÛ¿ ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ∆· ÔÛ¿ x Î·È y Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, ÙfiÙÂ Î·È ÌfiÓÔ ÙfiÙÂ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË:

y x=· ‹ y= a x

fiÔ˘ x, y 0

¶›Ó·Î·˜ ÙÈÌÒÓ:

: 15 : 10 x y

15 1

5 3

3 5

10

2,5 6

1,5 10

1,25 12

1 15

¢‡Ô ÌÂÁ¤ıË Ï¤ÁÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ·, fiÙ·Ó ÌÂÙ·‚¿ÏÏÔÓÙ·È ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ̤ÁÂıÔ˜ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÂÙ·È Â› ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi fiÙ·Ó ÙÔ ¿ÏÏÔ, Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi.

15

¢‡Ô ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ x Î·È y, ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ ›Û˜ Ì Ìˉ¤Ó .

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∆· ÛËÌ›· Ô˘ ·ÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ˙‡ÁË (x, y) ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È, Û ÌÈ· ηÌ‡ÏË ÁÚ·ÌÌ‹. ∏ ηÌ‡ÏË ·˘Ù‹, Ô˘ ¤¯ÂÈ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎfi Û¯‹Ì· Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÂÚ‚ÔÏ‹.

∏ ˘ÂÚ‚ÔÏ‹ ‰ÂÓ Ù¤ÌÓÂÈ ÔÙ¤ ÙÔ˘˜ ËÌÈ¿ÍÔÓ˜ √x Î·È √y, ‰ÈfiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÔÙ¤ ÙËÓ ÙÈÌ‹ 0.


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16:09

- 112 -

™ÂÏ›‰·112

ª¤ÚÔ˜ ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 6Ô - ∞Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ - ∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿

∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ∞˘ÙÔ·ÍÈÔÏfiÁËÛ˘ ∞.

∞Û΋ÛÂȘ ™ˆÛÙÔ‡ ‹ §¿ıÔ˘˜

∆ÔÔı¤ÙËÛ ¤Ó· “x” ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ı¤ÛË ™ø™∆√ §∞£√™ 1. ™Ù· ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜ ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2. ∏ ·ÚÔ¯‹ Ù˘ ‚Ú‡Û˘ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ô˘ ÁÂÌ›˙ÂÈ Ë Ì·ÓȤڷ 3. ™Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ ¤¯Ô˘Ó ÛÙ·ıÂÚfi ËÏ›ÎÔ 4. ∆Ô ÔÛfi · Â›Ó·È ÔÛÔÛÙfi ÙÔ˘ ‚, ÙfiÙ ٷ ÔÛ¿ · Î·È ‚ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· 5. ªÈ· Îϛ̷η 2:1 ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÛÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. 6. ŒÓ·˜ ¯¿ÚÙ˘ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì Îϛ̷η 1:1.000 Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ¤Ó·Ó ¿ÏÏÔ ¯¿ÚÙË Ù˘ ›‰È·˜ ÂÚÈÔ¯‹˜ Ì Îϛ̷η 1:2.000 7. ∞Ó ‰‡Ô ÌÔÈÚ·ÛÙÔ‡Ó 6.000 Q Ì ÏfiÁÔ 2:1 ÙfiÙÂ Ô ¤Ó·˜ ı· ¿ÚÂÈ 3.000 Q

B. ∞ Û Î ‹ Û Â È ˜ ™ ˘ Ì  Ï ‹ Ú ˆ Û Ë ˜ Î Â Ó Ô ‡ 1. ∆Ô ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ ‰‡Ô ÔÌÔÂȉÒÓ ÌÂÁÂıÒÓ, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÌÂÙÚËı› Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰·, ϤÁÂÙ·È ......................................................................... . 2. √ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ‰‡Ô ÛËÌ›ˆÓ ÌÈ·˜ ÂÈÎfiÓ·˜ ÚÔ˜ ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ............................................. . 3. ∞Ó ÂÓÙ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·fi ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁ· ÔÛ¿ Î·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÛÔ‡ ......................................................................... . 4. ∆Ô ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ ‰‡Ô ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ................................ . 5. ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ó··Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ Û¯¤Û˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜ Â›Ó·È ......................... ÁÚ·ÌÌ‹ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ............................................. . 2 4 12 16 6. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ·Ó¿ÏÔÁˆÓ ÔÛÒÓ x y 15 30 7. ¢‡Ô ÔÛ¿ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÈÌÒÓ Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ϤÁÔÓÙ·È ............................................. . x 2 4 8 8. ™˘ÌÏ‹ÚˆÛ ÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· ÙˆÓ y

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