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™ÂÏ›‰·51

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

18

ŒÓ·˜ ·Ù¤Ú·˜ ÌÔ›Ú·Û ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô ÛÙ· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÙÔ˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ∆· ‰‡Ô ÔÈÎfi‰· ›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ‹ οÔÈÔ ·fi Ù· ·È‰È¿ ·‰È΋ıËÎÂ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

·+‚

·

·

‚ ‚

Το τρίγωνο του Πασκάλ και το ανάπτυγµα των δυνάµεων του α + β 1 (·+‚)0= 1 1 1 1· + 1‚ (·+‚) = 2 2 1· + 2·‚ + 1‚2 1 2 1 (·+‚) = 1‚ 3 1 3 3 1 1·3 + 3·2‚ + 3·‚2 +1 (·+‚)3= 1‚ 4 1 4 6 4 1 1·4+ 4·3‚ + 6·2‚2 + 4·‚3 +1 (·+‚)4= 1 1 (·+‚)5= .... + .... + .... + .... + .... + .... 1 1 (·+‚)6= .... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... .... ... 1

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ · + ‚. 1. √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û οı ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Û’ ¤Ó· ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ¶·ÛÎ¿Ï . ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ‹Ú ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘ ·fi ÙÔÓ °¿ÏÏÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Blaise Pascal (1623 - 1662) Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÎÚ‡‚Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜. √ ÚÒÙÔ˜ Î·È Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ ·ÚÈıÌfi˜ οı ÛÂÈÚ¿˜ Â›Ó·È 1. ªÔÚ›Ù ӷ ·Ó·Î·Ï‡„ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› οı ÛÂÈÚ¿˜; 2. ™˘Ó¯›ÛÙ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· (· + ‚)5 Î·È (· + ‚)6, ·ÊÔ‡ ÚÒÙ· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ · Î·È ÙÔ˘ ‚ Û οı ·Ó¿Ù˘ÁÌ·. 3. ¡· ‚Ú›ÙÂ Î·È ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (· – ‚)6, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Î·È Ù· ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ · – ‚ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÚfiÔ, ÌfiÓÔ Ô˘ ı¤ÙÔ˘Ì ٷ ÚfiÛËÌ· ÂÓ·ÏÏ¿Í, ·Ú¯›˙ÔÓÙ·˜ ·fi +. .¯. (· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2, (· – ‚)3 = ·3 – 3·2‚ + 3·‚2 – ‚3 4. ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÔȘ ¿ÏϘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÎÚ‡‚Ô˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¶·ÛοÏ;

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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ AÓ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ fiˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ·2 = ‚2 + Á2 (1) ¶fiÛ· fï˜ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠Ô˘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜; ªÈ· ÙÚÈ¿‰· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·, ‚, Á, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË (1), ϤÌ fiÙÈ ·ÔÙÂÏ› ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ∆ËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 5, 4, 3 ·ÊÔ‡ 52 = 42 + 32. ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ À¿Ú¯Ô˘Ó, ¿Ú·ÁÂ, ÙÚfiÔÈ Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜; √ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ (6Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .Ã.) ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ì2 + 1 Ì2 – 1 , , Ì, fiÔ˘ Ì ÂÚÈÙÙfi˜ (Ì = 3, 5, 7, ...) 2 2 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·.

¶Ï¿ÙˆÓ·˜

E˘ÎÏ›‰Ë˜

√ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ (5Ô˜ – 4Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .Ã.) ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ì2 Ì2 – 1, Ì, fiÔ˘ Ì ¿ÚÙÈÔ˜ (Ì = 4, 6, 8, ...) + 1, 4 4 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¶Ï¿ÙˆÓ·. O ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ (3Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.Ã.) ÛÙËÚÈ˙fiÌÂÓÔ˜ Û ̛· Ù·˘ÙfiÙËÙ· ÙËÓ ÔÔ›· ÁÓÒÚÈ˙Â Î·È Ô ∂˘ÎÏ›‰Ë˜, ¤‰ˆÛ ÌÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË Ï‡ÛË ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ ¶˘ı·ÁÔÚ›ˆÓ ÙÚÈ¿‰ˆÓ ·fi ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (¿ÚÙÈÔ˘˜ ‹ ÂÚÈÙÙÔ‡˜). ∞Ó·Î¿Ï˘„ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ï2 + Ì2, Ï2 – Ì2, 2ÏÌ, fiÔ˘ Ï, Ì ıÂÙÈÎÔ› ¿ÓÈÛÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘.

∆ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕ∆ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ:

∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢

ñ ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË ÙÔ˘ ÚfiÏÔ˘ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÛÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹ (‰ÈηÛÙ‹ÚÈÔ, ÂÌÔÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÏÏ·Á¤˜ Î.Ù.Ï.) ñ ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÛÙȘ ¿ÏϘ ÂÈÛً̘ (¢ı›· ·fi‰ÂÈÍË, ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ Î.Ù.Ï.). 52


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1. 6

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¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να µετατρέπω µια αλγεβρική παράσταση σε γινόµενο παραγόντων

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·) 7,32  25 + 7,32  75

‚) 347 

7 1 – 347  6 6

R=32,50 m

2. ™Â ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ Ï·Ù›· ·ÎÙ›Ó·˜ R = 32,50 m ηٷÛ΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ ·ÎÙ›Ó·˜ Ú = 7,50 m. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ Ï·Ù›·˜ Ô˘ ·¤ÌÂÈÓ ÌÂÙ¿ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ Û˘ÓÙÚÈ‚·ÓÈÔ‡.

Ú=7,50 m

¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜, ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘, ÌÈ·˜ ·Ó›ÛˆÛ˘ ‹ ÁÈ· ÙËÓ ·ÏÔÔ›ËÛË ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Â›Ó·È ¯Ú‹ÛÈÌÔ Ó· ÌÂÙ·ÙÚ·› Ì›· ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·fi ¿ıÚÔÈÛÌ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ. ∏ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ·, ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ϤÁÂÙ·È ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË R2 – Ú2 Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È (R2 – Ú2) Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· (R + Ú)(R – Ú) = R2 – Ú2, ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

πR 2 – πρ 2 = π(R 2 – ρ 2 ) = π(R + ρ)(R – ρ) ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË (R + Ú)(R – Ú) ‰ÂÓ Âȉ¤¯ÂÙ·È ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÌ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ¤¯ÂÈ ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ . ™ÙÔ ÂÍ‹˜, fiÙ·Ó Ï¤Ì fiÙÈ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̛̠· ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ı· ÂÓÓԇ̠fiÙÈ ÙËÓ ·Ó·Ï‡Ô˘Ì Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· ‰Ô‡Ì ÙȘ ÈÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÌÈ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

·) ∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜

παραγοντοποιούµε

∞Ó fiÏÔÈ ÔÈ fiÚÔÈ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·.

3α + 3β – 3γ =

3(α + β – γ)

αναπτύσσουµε

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 3· + 3‚ – 3Á ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 3, ÔfiÙÂ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

3α + 3β – 3γ = 3(α + β – γ). √ÌÔ›ˆ˜ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 2·2 – 2·‚ + 2·, ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2·  · – 2·  ‚ + 2·  1, ÔfiÙ Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 2· . ∫¿ı fiÚÔ˜ ̤۷ ÛÙËÓ ·Ú¤ÓıÂÛË Â›Ó·È ÙÔ ÕÚ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ fiÚˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·: 2·2 =· 2·

2α2 – 2αβ + 2α = 2α(α – β + 1).

(2· 2 ) : ( 2 · ) =

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ϤÌ fiÙÈ «‚Á¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2·».

(2·‚) : (2·) =

2·‚ =‚ 2·

(2·) : (2·) =

2· =1 2·

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 12x 2 y – 30xy 2 + 6 x 2 y 2 ‚) ·(ˆ – x) + 3‚(x – ˆ)

Á) 3(2x – 1) + x(4x – 2)

Λύση ·) ™Â fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 6xy,ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

12x 2 y – 30xy 2 + 6x 2 y 2 = = 6xy(2x – 5y + xy)

‚) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜, ÙÔ˘˜ ·(ˆ – x) Î·È 3‚(x – ˆ). °È· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔÓ ˆ – x, ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ fiÚÔ Ù˘ ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì –3‚(ˆ – x), ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

·(ˆ – x) + 3‚(x – ˆ) = = ·(ˆ – x) – 3‚(ˆ – x) = = (ˆ – x)(· – 3‚)

Á) AÓ ·fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ fiÚÔ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2, ÙfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

3(2x – 1) + x(4x – 2) = = 3(2x – 1) + 2x(2x – 1)= = (2x – 1)(3 + 2x)

‚) ∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ηٿ ÔÌ¿‰Â˜ (√Ì·‰ÔÔ›ËÛË) ™ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·x + ·y + 2x + 2y, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘. ∞Ó fï˜ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÚÒÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ · ηÈ

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1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘˜ ÙÔ 2, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô fiÚÔÈ Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔÓ x + y. ŒÙÛÈ, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

αx + αy + 2x + 2y = α(x + y) + 2(x + y) = (x + y) (α + 2) TËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÔÚԇ̠ӷ ÙË ¯ˆÚ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜ . ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· fï˜ Ù˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ¤¯Ô˘ÌÂ:

αx + αy + 2x + 2y = χ(α + 2) + y(α + 2) = (α + 2) (x + y)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) ·‚ – 3· – 3‚ + 9 ·) 3x 3 – 12x 2 + 5x – 20

Á) 3x 2 + 5xy + 2y 2

Λύση ·) 3x3 – 12x2 + 5x – 20 = 3x2(x – 4) + 5(x – 4) = (x – 4)(3x2 + 5) ‚) ·‚ – 3· – 3‚ + 9 = ·(‚ – 3) – 3(‚ – 3) = (‚ – 3)(· – 3) Á) 3x2 + 5xy + 2y2 = 3x2 + 3xy + 2xy + 2y2 = = 3x(x + y) + 2y(x + y) = = (x + y)(3x + 2y).

MÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·Ù¿ ÔÌ¿‰Â˜, ·Ó ‰È·Û¿ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ¤Ó·Ó ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ .¯. 5xy = 3xy + 2xy

Á) ¢È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ∞Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ٷ ̤ÏË Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ (· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ‚2, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

·2 – ‚2 = (· + ‚)(· – ‚)

™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ, .¯. α 2 – 9 = α 2 – 3 2 = (α + 3) (α – 3).

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 4‚ 2 – 25

‚) (3x – 1) 2 – 81

Á) · 2 – 7.

Λύση ·) 4‚2 – 25 = (2‚)2 – 52 = (2‚ + 5)(2‚ – 5) ‚) (3x – 1)2 – 81 = (3x – 1)2 – 92 = = (3x – 1 + 9)(3x – 1 – 9) = = (3x + 8)(3x – 10)

°È· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ˆ˜ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

2 Á) ·2 – 7 = ·2 – ( 7 ) = (· –  7 )(· +  7)

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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

‰) ¢È·ÊÔÚ¿ – ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ √È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2) = ·3 – ‚3 Î·È (· + ‚)(·2 – ·‚ + ‚2) = ·3 + ‚3 ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·3 – ‚3 = (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2)

·3 + ‚3 = (· + ‚)(·2 – ·‚ + ‚2)

™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ‹ ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ, .¯.

x 3 – 64 = x 3 – 4 3 = (x – 4) (x 2 + x  4 + 42) = (x – 4) (x 2 + 4x + 16) y 3 + 27 = y 3 + 3 3 = (y + 3) (y 2 – y  3 + 32) = (y + 3) (y 2 – 3y + 9)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x3 – 27

‚) x3 + 64

Á) 8· 3 – ‚3

Λύση ·) x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + x  3 + 32) = = (x – 3)(x2 + 3x + 9) ‚) x3 + 64 = x3 + 43 = (x + 4)(x2 – x  4 + 42) = = (x + 4)(x2 – 4x + 16)

°È· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‹ ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ˆ˜ ·‚Ô ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

Á) 8·3 – ‚3 = (2·)3 – ‚3 = (2· – ‚)(2·)2 + 2·  ‚ + ‚2 = (2· – ‚)(4·2 + 2·‚ + ‚2)

Â) ∞Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ √È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ (· + ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2 Î·È (· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2 ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·2 + 2·‚ + ���2 = (· + ‚)2

·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ (Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ), .¯. OÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ (x + 2)2 Î·È (y – 3)2 Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· x 2 + 4x + 4 = x 2 + 2  x  2 + 22 = (x + 2) 2 ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ·ÊÔ‡ y 2 – 6y + 9 = y 2 – 2  y  3 + 32 = (y – 3) 2 (x + 2) 2 = (x + 2)(x + 2) Î·È (y – 3) 2 = ( y – 3) ( y – 3)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 4· 2 + 12· + 9 ‚) ·2 – 10·‚ + 25‚ 2

Á) – 4y 2 + 4y – 1

Λύση ·) 4·2 + 12· + 9 = (2·)2 + 2  2·  3 + 32 = (2· + 3)2 56


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™ÂÏ›‰·57

1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

‚) ·2 – 10·‚ + 25‚2 = ·2 – 2  ·  5‚ + (5‚)2 = = (· – 5‚)2 Á) – 4y2 + 4y – 1 = –(4y2 – 4y + 1) = = –(2y)2 – 2  2y  1 + 12 = = –(2y – 1)2

°Ú¿ÊÔ˘Ì οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË ˆ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2 · + 2·‚ + ‚ 2 ‹ ·2 – 2·‚ + ‚ 2

ÛÙ) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x 2 + (· + ‚)x + ·‚ ∆Ô ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (x + ·)(x + ‚) Â›Ó·È ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + (· + ‚)x + ·‚, ·ÊÔ‡ (x + ·)(x + ‚) = x2 + ·x + ‚x + ·‚ = x2+ (· + ‚)x + ·‚. ∂Ô̤ӈ˜, ¤Ó· ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x2 + (· + ‚)x + ·‚ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô

x2 + (· + ‚)x + ·‚ = (x + ·)(x + ‚)

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 8x + 12 ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 (ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜) Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 8 (Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x). Y¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¿ ˙¢Á¿ÚÈ· ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 (.¯. 1  12, 2  6, 3  4 Î.Ù.Ï.). ŸÌˆ˜, ÌfiÓÔ ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ 2 Î·È 6 ¤¯ÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· 8. ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ:

χ 2 + 8χ + 12 = χ 2 + (6 + 2)χ + 6  2 = (χ + 6)(χ + 2)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 – 8x + 12 ‚) x2 + 5x – 6 Á) –3y 2 + 12y – 9

Λύση ·) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 8x +12, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· –8. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎÔ›, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÚÓËÙÈÎfi. ªÂ ‰ÔÎÈ̤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ –2 Î·È ÙÔ –6. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)

(– 2)+( – 6)

↑ x 2 – 8 x + 12 = (x – 2)(x – 6) ↓ (– 2)((– 6)

‚) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 5x – 6, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ –6 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 5. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ 6 Î·È ÙÔ –1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1). Á) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –3y2 + 12y – 9, ‚Á¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ –3, ÒÛÙÂ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ y2 Ó· Á›ÓÂÈ 1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì –3y2 + 12y – 9 = –3(y2 – 4y + 3) °È· ÙËÓ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ y2 – 4y + 3, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· –4. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ –3 Î·È ÙÔ –1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì –3y2 + 12y – 9 = –3(y2 – 4y + 3) = –3(y – 3)(y – 1). 57


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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

·) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x 2 – 18x. ‚) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 3x 2 = 18x.

Λύση ·) H ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x2 – 18x ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: 3x2 – 18x = 3x(x – 6). ‚) ∏ Â͛ۈÛË 3x2 = 18x ÁÚ¿ÊÂÙ·È 3x2 – 18x = 0 Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÚÒÙËÌ· ¤¯Ô˘Ì 3x(x – 6) = 0. °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3x(x – 6) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó, Ú¤ÂÈ 3x = 0 ‹ x – 6 = 0, ‰ËÏ·‰‹ x = 0 ‹ x = 6. x

2

1

1 y

AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· Û¯‹Ì·Ù·, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.

x 1 1 y y

Λύση

∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ∂, ›ÛÔ Ì 1 ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹, ∂ = x  1 + y  1 + xy + 1  1 = x + y + xy + 1. x ŸÌˆ˜, x + y + xy + 1=(x + xy) + (y + 1) = = x(1 + y) + (1 + y) = (1 + y)(x + 1). ÕÚ·, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È 1 + y Î·È 1 + x.

3

1

x

1 y

1

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ÙÛ¤˘: ·) 786  45 + 786  55 ‚) 2005 2 – 1995 2 Á) 565  499 + 565  66 – 435 2.

Λύση

·) 786  45 + 786  55 = 786(45 + 55) = 786  100 = 78600 ‚) 20052 – 19952 = (2005 – 1995)(2005 + 1995) = 10  4000 = 40000 Á) 565  499 + 565  66 – 4352 = 565(499 + 66) – 4352 = 5652 – 4352 = (565 – 435)(565 + 435) = 130  1000 = 130000

4

¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 3x 2 y – 12y 3 ‚) 5x 2 y + 1 0 x 2 + 5 x y + 10x ‰) 16· 3 ‚ – 54‚ Â) x 2 – 4x + 4 – y 2

Á) x 4 – 16y 4 ÛÙ) 3x 3 + 1 2 x 2 – 15x

Λύση

·) 3x2 y – 12y 3 = 3y(x2 – 4y2 ) = 3y x2 – (2y)2 = 3y(x – 2y)(x + 2y) ‚) 5x2 y + 10x2 + 5xy + 10x = 5x(xy + 2x + y + 2) = 5x y(x + 1) + 2(x + 1) = = 5x(x + 1)(y + 2)

58


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1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

Á) x 4 – 16y 4 = (x2)2 – (4y2 )2 = (x2 + 4y2)(x2 – 4y2 ) = (x2 + 4y2) x2 – (2y)2 = = (x2 + 4y2 )(x – 2y)(x + 2y) ‰) 16·3 ‚ – 54‚ = 2‚(8·3 – 27) = 2‚(2·)3 – 33 = 2‚(2· – 3)(4·2 + 6· + 9) Â) x 2 – 4x + 4 – y 2 = (x2 – 2  x  2 + 22) – y2 = (x – 2)2 – y2 = (x – 2 + y)(x – 2 – y). ÛÙ) 3x3 + 12x2 – 15x = 3x(x2 + 4x – 5) To ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 4x – 5 ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ›ٷÈ, ÂÊfiÛÔÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ› Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ –5 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 4, Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ 5 Î·È –1. ÕÚ·, 3x2 + 12x2 – 15x = 3x(x2 + 4x – 5) = 3x(x + 5)(x – 1).

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ; ·) 2(x – y)(x + y) ‚) 2 + (x – y)(x + y) Á) 4(· – ‚)2 ‰) 4 + (· – ‚)2 Â) (x + 2y)x – y ÛÙ) (x + 2y)(x – y) ˙) (· + ‚)(· + 3‚) Ë) (· + ‚)(· + 3‚) + 1.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) 8x + 16 = 8(.............) ‚) 3·y – y 2 = y(.............) Á) 6x2 + 12x = .............(x + 2) ‰) –4x2 + 8x = –4x(.............) Â)  ÛÙ) (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1)(.............) 2x +  2 =  2(.............)

3

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x3 + 3x2 + x + 1 ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·) 3x2(x + 1) ‚) (x + 3)(3x2 – 1) Á) (x + 1)(3x2 + 1) ‰) x(3x2 + x + 1).

4

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) x2 – 22 = (x – 2)(x + 2) ‚) x2 – 9 = (x – 9)(x + 9) Á) 1122 – 122 = 100  124 ‰) 4y2 – 1 = (4y – 1)(4y + 1) Â) 4x2 – ·2 = (2x – ·)(2x + ·) ÛÙ) ·2 – (‚ – 1)2 = (· + ‚ – 1)(· – ‚ – 1)

5

∞Ó ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Ú¿ÛÈÓÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ Â›Ó·È (x – y)(x + y), ·˘Ùfi Â›Ó·È ÛˆÛÙfi ‹ Ï¿ıÔ˜; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

x y x

6

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) ·3 – 23 = (· – 2)(................................) ‚) ·3 + 33 = (· + 3)(................................) Á) (2x)3 – 1 = (2x – 1)(................................) ‰) 1 + (5y)3 = (1 + 5y)(...............................)

y

59


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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

7

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) x3 – 53 = (x – 5)(x2 – 5x + 25) ‚) 8 + ·3 = (2 + ·)(22 – 2· + ·2) Á) (3y)3 + 1 = (3y + 1)(3y2 – 3y + 1) ‰) 1 – (2‚)3 = (1 – 2‚)(1 + 2‚ + 4‚2)

8

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) x2 + 6x + 9 = (.............)2 ‚) 4·2 – 4· + 1 = (.............)2 Á) y4 – 2y2 + 1 = (.............)2 ‰) 25 + 10x3 + x6 = (.............)2

9

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË √ ·ÎÏÔ˜ ÂÌ‚·‰Ô‡ ·2 + 2· + , Ì · > 0, ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ‚) ·2 + 1

·) · + 2

10

Á) · + 1

‰) (· + 1)

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î·. x2 + (· + ‚)x + ·‚

·‚

· + ‚

·

(x + ·)(x + ‚)

2

x + 3x + 2 x2 – 3x + 2 x2 + 5x – 6 x2 + 5x + 6 x2 – x – 2 x2 + x – 2

11

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) x2 + (· + 2)x + 2· = (x + .....)  (x + .....) ‚) x2 + ( 2 +  3 )x +  6 = (x + .....)  (x + .....)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

60

N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙÂ ·) 3· + 6‚ ‰) –9x2 – 6x ˙) ·2‚ + ·‚2 – ·‚

ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) 2x – 8 Â) 8·2‚ + 4·‚2 Ë) 2·3 – 4·2 + 6·2‚

N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x(· – ‚) + y(· – ‚) ‚) ·(x + y) + ‚(x + y) 2 ‰) · (· – 2) – 3(2 – ·) Â) 4x(x – 1) – x + 1

Á) 8ˆ2 + 6ˆ ÛÙ) 2x2 – 2xy + 2x ı)  2 xy –  18 y +  8 y2

Á) (3x – 1)(x – 2) – (x + 4)(x – 2) ÛÙ) 2x2(x – 3) – 6x(x – 3)2


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1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

3

i) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 + x ‚) 2y2 – 5y Á) ˆ(ˆ – 3) – 2(3 – ˆ) ‰) ·(3· + 1) – 4· ii) ¡· ÂÈχÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 + x = 0 ‚) 2y2 = 5y Á) ˆ(ˆ – 3) – 2(3 – ˆ) = 0 ‰) ·(3· + 1) = 4·

4

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·) x2 + xy + ·x + ·y ‰) 2x3 – 3x2 + 4x – 6 ˙ ) 12x2 – 8xy – 15x + 10y

5

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 7·2 + 10·‚ + 3‚2 ‚) 5x2 – 8xy + 3y 2

·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) x3 – x2 + x – 1 Á) x3 – 5x2 + 4x – 20 Â) 4x2 – 8x – ·x + 2· ÛÙ) 9·‚ – 18‚2 + 10‚ – 5· Ë) x3 +  2 x2 + x +  2 ı)  6x2 + 2 2x –  3x – 2 Á) 3x2 – xy – 2y 2

6

·) ¡· ·Ó·Ï‡ÛÂÙ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·2‚ + ·‚2 – · – ‚. ‚) ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2‚ + ·‚2 = · + ‚, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ ‹ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ.

7

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2·2 – 2· + ·‚ – ‚ + ·x – x ‚) 2·‚ – 4‚ + 5· – 10 + 2·Á – 4Á

8

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 – 9 ‚) 16x2 – 1 ‰) ·2‚2 – 4 Â) 36ˆ2 – (ˆ + 5)2 1 ˙ ) 2 – 16 Ë) x2 – 3 x

9 10

11 12 13 14

Á) ·2 – 9‚2 ÛÙ) 4(x + 1)2 – 9(x – 2)2 ı) x2 – 2y2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2x2 – 32 ‚) 28 – 7y2 Á) 2x3 – 2x

‰) 5·x2 – 80·

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ Á, fiÙ·Ó: ·) · = 53, ‚ = 28 ‚) · = 0,37, ‚ = 0,12 Á) · = 26Ï, ‚ = 10Ï ¡· ÂÈχÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 49 = 0 ‚) 9x3 – 4x = 0

°

µ

Á

‰) (x + 2)3 = x + 2

‰) 8x3 – 1

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 4 4 ·) 3x3 – 24 ‚) 16·4 + 2· Á) R3 – Ú3 3 3 ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) x3 – ..... = (x – 3)(..... + ..... + 9) Á) ·3 – ..... = (· – 2‚)(..... + ..... + 4‚2 )

·

Á) x(x + 1)2 = 4x

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x3 – 27 ‚) y3 + 8 Á) ˆ3 + 64

Â) 2(x – 1)2 – 8

Â) 27y3 + 1

‰) ·4‚ + ·‚4

‚) ..... + y3 = (2x + y)(4x2 – ..... + .....) ‰) ·3 + ..... = (· + 5‚)(..... – ..... + 25‚2 )

61


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01:05

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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

15

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 – 2x + 1 ‚) y2 + 4y + 4 Á) ˆ2 – 6ˆ + 9 ‰) ·2 + 10· + 25 Â) 1 – 4‚ + 4‚2 ÛÙ) 9x4 + 6x2 + 1 ˙ ) 4y2 – 12y + 9 Ë) 16x2 + 8xy + y2 1 y2 ı) 25·2 – 10·‚ + ‚2 È) (· + ‚)2 – 2(· + ‚) + 1 È·) – 2y + 9 È‚ ) x2 + x + 4 9

16

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 3x2 + 24x + 48 ‚) –y2 + 4y – 4 Á) 2·2 – 8·‚ + 8‚2

17

18

19

20 21

¡· ‚Ú›ÙÂ: ·) ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ Ó· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ‚) ∆ËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

‰) 4·3 + 12·2 + 9·

x y

x 2x

y

°

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ¢ ∞µ°¢.

x

1 ∂ x x+2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + 3x + 2 ‚) y2 – 4y + 3 Á) ˆ2 + 5ˆ + 6 Â) x2 – 7x + 12 ÛÙ) y2 – y – 12 ˙) ˆ2 – 9ˆ + 18

‰) · + 6· + 5 Ë) ·2 + 3· – 10

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + (2 +  ‚) x2 + (2· + 3‚)x + 6·‚ 3)x + 2 3

Á) x2 + (3 –  2)x – 3 2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2ˆ2 + 10ˆ + 8 ‚) 3·2 – 12· – 15

Á) ·x2 – 7·x + 6·

B

2

22

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘. ·) 1453  1821 – 1453  821 ‚) 8012 + 199  801 Á) 9982 – 4 ‰) 999  1001 + 1 Â) 9992 + 2  999 + 1 ÛÙ) 972 + 6  97 + 9

23

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙÂ ·) x2y2 – 4y2 – x2 + 4 ‰) (x2 + 9)2 – 36x2 ˙) 1 – ·2 + 2·‚ – ‚2 È) (y2 – 4)2 – (y + 2)2

24

62

ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) x4 – 1 + x3 – x Â) ·2 – 2·‚ + ‚2 – · + ‚ Ë) y2 – x2 – 10y + 25 È·) (·2 + ‚2 – Á2)2–4·2‚2

EÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ x, y ÌÂÈÒıËηÓ, ÂÂȉ‹ ¤ÚÂ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰ÈÏ·ÓÒÓ ‰ÚfïÓ. ∞Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤ÌÂÈÓÂ Â›Ó·È xy – x – 2y + 2, Ó· ‚Ú›Ù ÔÈ· ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ Â›Ó·È Ë Ì›ˆÛË Î¿ı ‰È¿ÛÙ·Û‹˜ ÙÔ˘.

Á) x3(x2 – 1) + 1 – x2 ÛÙ) x2 – 2xy + y2 – ˆ2 ı) 2(x–1)(x2–4)–5(x–1)(x–2)2 È‚) (x2+9)(·2+4) – (·x+6)2

y

x


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1. 7

™ÂÏ›‰·63

¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

✔ Μαθαίνω να βρίσκω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου ∆(x) µε το πολυώνυµο δ(x). ✔ Μαθαίνω να γράφω την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του ∆(x) µε το δ(x).

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì Û ÌÈ· ·›ıÔ˘Û· 325 ηı›ÛÌ·Ù· Û ÛÂÈÚ¤˜ Î·È Î¿ı ÛÂÈÚ¿ ÂÚȤ¯ÂÈ 19 ηı›ÛÌ·Ù·, fiÛ˜ ÛÂÈÚ¤˜ ı· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘ÌÂ Î·È fiÛ· ηı›ÛÌ·Ù· ı· ÂÚÈÛÛ¤„Ô˘Ó; ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘.

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¢(x) ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰(x) = x2 – x, ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ (x) = 2x2 – 3x – 1 Î·È ˘fiÏÔÈÔ ˘(x) = 7x – 4. •¤ÚÔ˘Ì fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¢ (‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) Î·È ‰ (‰È·ÈÚ¤Ù˘) Ì ‰  0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‰‡Ô ÌÔÓ·‰ÈÎÔ‡˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜  (ËÏ›ÎÔ) Î·È ˘ (˘fiÏÔÈÔ), ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢ = ‰ + ˘

ÌÂ

˘<‰

∞Ó ˘ = 0, Â›Ó·È ¢ = ‰   Î·È ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ٤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË . ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ ·ÎfiÌ· fiÙÈ Ô ‰ ‰È·ÈÚ› ÙÔ ¢ ‹ fiÙÈ Ô ‰ Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ¢. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ¢ = 325 Î·È ‰ = 19, ÙfiÙ Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË 325 : 19, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜  = 17 Î·È ˘ = 2, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 325 = 19  17 + 2 Ì 2 < 19

325 19 –19 17 135 –133 2

√ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¢(x) (‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) Î·È ‰(x) (‰È·ÈÚ¤Ù˘) Ì ‰(x)0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢(x) : ‰(x) , ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ˙‡ÁÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ (x) (ËÏ›ÎÔ) Î·È ˘(x) (˘fiÏÔÈÔ), ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢(x) = ‰(x)(x) + ˘(x)

(T·˘ÙfiÙËÙ· ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘)

fiÔ˘ ÙÔ ˘(x) ‹ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó ‹ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰(x). ™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢(x) = 2x2 – 5x3 + 2x4 – 4 + 8x Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰(x) = x2 – x.

63


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21:32

™ÂÏ›‰·64

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

°Ú¿ÊÔ˘Ì ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·Ù¿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÙÔ˘ x. ¢È·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ 2x4 ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ 2x4 Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ x2 ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË = 2x2 x2 To ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· 2x2 Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘.

(

)

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ 2x2, Ô˘ Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘, Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2x2(x2 – x) = 2x4 – 2x3 ÙÔ ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô. °È· Ó· Á›ÓÔ˘Ó Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· ÔÈ Ú¿ÍÂȘ, ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ٷ ÚfiÛËÌ· Î·È ·ÓÙ› ÁÈ· ·Ê·›ÚÂÛË Î¿ÓÔ˘Ì ÚfiÛıÂÛË Î·È ¤ÙÛÈ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÚÒÙÔ ÌÂÚÈÎfi ˘fiÏÔÈÔ ˘1 = –3x3 + 2x2 + 8x – 4. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰È·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ –3x3 ÙÔ˘ ˘ÔÏÔ›Ô˘ ˘1 Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ x2 ÙÔ˘ 3x3 ‰È·ÈÚ¤ÙË – 2 = –3x . ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· –3x x Â›Ó·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘.

(

)

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ –3x, Ô˘ Â›Ó·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘, Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ –3x(x2 – x) = –3x3 + 3x2 ÙÔ ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ˘1 Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÌÂÚÈÎfi ˘fiÏÔÈÔ ˘2 = –x2 + 8x – 4. ™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ì¤¯ÚÈ Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ˘fiÏÔÈÔ Ô˘ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó (Ù¤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË) ‹ Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x (·ÙÂÏ‹˜ ‰È·›ÚÂÛË), ÔfiÙÂ Ë ‰È·›ÚÂÛË ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó¯ÈÛÙ›.

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x 2χ2

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3x3 + 2x2 + 8x – 4

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3χ –3x3 + 2x2 + 8x – 4 2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3χ – 3x3 +2x2 + 8x – 4 3x3 – 3x2 – x2 + 8x – 4 2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2–3χ–1 – 3x3 + 2x2 + 8x – 4 3x3 – 3x2 – x2 + 8x – 4 χ2 – χ 7χ – 4

™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ›ӷÈ: 2x4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 = (x2 – x)  (2x2 – 3x – 1) + (7x – 4) ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) = (‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘)  ( ËÏ›ÎÔ) + (˘ ˘fiÏÔÈÔ) (¢ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚·ıÌÒÓ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·È ËÏ›ÎÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘. 64


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1.7 ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

√ÌÔ›ˆ˜ Ë ‰È·›ÚÂÛË (8x4 + 8x3 + 17x – 5) : (2x2 + 3x – 1), Á›ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ∞fi ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ï›ÂÈ Ô fiÚÔ˜ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, ÔfiÙÂ, fiÙ·Ó ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ηٿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÙÔ˘, Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ‹ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÎÂÓ‹ ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· Ë ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ.

8x 4 + 8x3 + 17x – 5 2x2+3x–1 –8x 4–12χ3 + 4χ2 4χ2–2χ+5 – 4x3 + 4x2 + 17x – 5 + 4x3 + 6x2 – 2χ 10χ2 + 15x – 5 –10χ2 – 15x + 5 0

™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰È·›ÚÂÛË, fiÔ˘ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ›ӷÈ: 8x4 + 8x3 + 17x – 5 = (2x2 + 3x – 1)  (4x2 – 2x + 5) ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) = (‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘) ËÏ›ÎÔ) (¢  ( T· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰ = 2x2 + 3x – 1 Î·È  = 4x2 – 2x + 5 ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‹ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢ = 8x4 + 8x3 + 17x – 5.

Γενικά ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‹ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢, ·Ó Ë ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·, ‰ËÏ·‰‹ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ , Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = ‰  .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ·) ¡· Á›ÓÂÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË (4x 4 + 3x 2 – 1) : (2x – 1). ‚) ¡· ·Ó·Ï˘ı› ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 4x 4 + 3x 2 – 1 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

1

Λύση ·)

4x4 + 3x2 –1 4 3 –4x + 2x 2x3 + 3x2 –1 3 2 –2x + x 4x2 –1 2 – 4x + 2x 2x – 1 –2x+ 1 0

‚) ∞fi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘, ¤¯Ô˘ÌÂ: 2x – 1 4x4+3x2 –1=(2x–1)(2x3+x2+2x+1). 2x3+x2+2x+1 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ˆ˜ ÂÍ‹˜: 2x3 + x2 + 2x + 1 = = x2(2x + 1) + (2x + 1) = = (2x + 1)(x2 + 1). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 4x4 + 3x2 – 1 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 4x4 + 3x2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)(x2 + 1).

65


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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

2

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ = 3x + 2· Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢ = 3x 3 – 4·x 2 – · 2 x + 2· 3 .

Λύση ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢, ·Ó ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ¢ : ‰ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ∫¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 3x + 2· ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ: –3x3 – 2·x2 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 = – 6·x2 – ·2x + 2·3 x2 – 2·x + ·2 = (3x + 2·)(x2 – 2·x + ·2), Ô˘ 6·x2 + 4·2x ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3x + 2· + 3·2x + 2·3 Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ – 3·2x – 2·3 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 0

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

2

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: i) ∆Ô ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ 4x + 7 Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ: ·) 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ‚) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Á) 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ‰) ÛÙ·ıÂÚfi. 2 ii) To ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ x – 4x + 9 ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ: ·) 5 ‚) 3x – 2 Á) x2 + 3 ‰) 4x. 2 iii) ∞Ó ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ 2x + x + 5 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ x4 + x – 2, ÙfiÙÂ Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ƒ(x) ›ӷÈ: ·) 4 ‚) 6 Á) 8 ‰) ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: µ·ıÌfi˜ ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ 8 7

µ·ıÌfi˜ ¢È·ÈÚ¤ÙË 3 6

3

66

µ·ıÌfi˜ ¶ËÏ›ÎÔ˘ 2 3

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ∆Ô ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ (2x + 1)(x + 3) Ì ÙÔ 2x + 1 Â›Ó·È ÙÔ x + 3. ‚) ∆Ô ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ x + 6 Â›Ó·È ÙÔ x2 + 2. Á) ∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 6Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ‰) ∆Ô x – 4 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ x2 – 16. Â) To ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ (x3 + 1) : (x + 1) Â›Ó·È ÙÔ x2 – x + 1.


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1.7 ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

N· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ Î·È Ó· ÁÚ¿„ÂÙ ‰È·›ÚÂÛ˘ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË. ·) (2x3 + x2 – 3x + 6) : (x + 2) Á) (6x4 – x2 + 2x – 7) : (x – 1) Â) (x5 – x4 + 3x2 + 2) : (x2 – x + 2) ˙) (8x4 – 6x2 – 9) : (2x2 – 3)

ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‚) ‰) ÛÙ) Ë)

(6x3 (4x3 (9x4 (3x5

– x2 – 10x + 5) : (3x + 1) + 5x – 8) : (2x – 1) – x2 + 2x – 1) : (3x2 – x + 1) – 2x3 – 4) : (3x2 – 1)

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ ÛˆÛÙ¤˜. ·) ‚) ..... + ..... + 2x + 20 x + ..... 6x2 + ..... + ..... ..... + 2 2 – 6x – ..... 2x + ..... ..... – 6x2 2x2 + ..... – ..... 18x + ..... 4x2 + ..... + 20 –18x – ..... ..... – ..... 0 –10x + ..... ..... + ..... ..... 2 ¶ÔÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ x – x + 1 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 2x + 3 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 3x + 2;

4

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ ƒ(x), fiÙ·Ó: ·) ƒ(x) = 6x3 – 7x2 + 9x – 18 Î·È Q(x) = 2x – 3 ‚) ƒ(x) = 2x4 – x2 + 5x – 3 Î·È Q(x) = x2 + x – 1.

5

·) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x4 – 2x3 – 8x2 + 18x – 9) : (x2 – 9) ‚) N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ x4 – 2x3 – 8x2 + 18x – 9.

6

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô x + 1 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1. ‚) N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.

7

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ‹ıÂÏ ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·3 + ‚3 Î·È ı˘Ì‹ıËΠfiÙÈ ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ¤Ó·˜ Â›Ó·È Ô · + ‚. ∂Âȉ‹ ›¯Â ͯ¿ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ·, Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙÔÓ ‚ÚÂÈ;

8

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = (x3 + 2)(x2 – 5) + 4x2 – 6x + 7. N· ‚Ú›Ù ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·) ƒ(x) : (x3 + 2) ‚) ƒ(x) : (x2 – 5)

9

¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (6x3 + ·) : (x – 1) Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ë ‰È·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·.

10

∞Ó ¤Ó·˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ 2x3 – x2 – 4x + 3 Â›Ó·È Ô (x – 1)2, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ·.

11

x

y

x

x

°È· ÙËÓ Ï·ÎfiÛÙÚˆÛË ÙÔ˘ ‰·¤‰Ô˘ ÂÓfi˜ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì 45 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ ∞, 56 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ µ Î·È 16 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ °. ∞Ó ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Â›Ó·È 5x + 4y, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘;

y y

67


068-070

7-11-06

21:35

1.8

™ÂÏ›‰·68

∂.∫.¶. Î·È ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να βρίσκω: Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και Μέγιστο Κοινό ∆ ιαιρέτη ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ·Ó·Ï‡ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 12, 24, 300 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ.

2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ 12x3y2, 24x2y3ˆ, 300x4y Î·È ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ 3(x – y)(x + y), 18(x – y)2, 9(x – y). ™Â ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 12, 24 Î·È 300, ·Ó ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È: 12 = 2 2  3 24 = 2 3  3 300 = 2 2  3  5 2 ÕÚ·, ∂.∫.¶.(12, 24, 300) = 23  3  52 = 600 (°ÈÓfiÌÂÓÔ ÎÔÈÓÒÓ Î·È ÌË ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË). 2 ª.∫.¢.(12, 24, 300) = 2  3 = 12 (°ÈÓfiÌÂÓÔ ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË). ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ¢ËÏ·‰‹: ∂Ï¿¯ÈÛÙÔ ∫ÔÈÓfi ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ (∂ ∂.∫.¶. ) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ Î·È ÌË ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙÔ˘˜ Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÓfi˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ÙÔ˘. ª¤ÁÈÛÙÔ˜ ∫ÔÈÓfi˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ (ª ª.∫.¢.) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙÔ˘˜ Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÓfi˜ ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ÙÔ˘. ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠۠·Î¤Ú·È˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ˘ ∂.∫.¶., ı· ıˆÚԇ̠ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Î·È ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ˘ ª.∫.¢. ı· ıˆÚԇ̠ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ.

68


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3-11-06

01:12

™ÂÏ›‰·69

1.8 ∂.∫.¶. Î·È ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, – Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 12x 3 y 2 ,

24x 2 y 3 ˆ,

300x 4 y ¤¯Ô˘Ó

4 3

Ε.Κ.Π. = 600x y ω και Μ.Κ.∆. = 12x 2 y ÂÓÒ 18(x – y)2,

– Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· 3(x – y)(x + y),

9(x – y) ¤¯Ô˘Ó

2

Ε.Κ.Π. = 18(χ – y) (x + y) και Μ.Κ.∆. = 3(χ – y)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ 6 x 3 y ˆ , 9 x 2 y ˆ 2 , 3 x y 4 .

Λύση OÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ 6, 9, 3 ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 18 Î·È ª.∫.¢. = 3, ¿Ú· Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 18x 3 y 4 ˆ 2 Î·È ª.∫.¢. = 3xy.

2

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ: ∞ = 12x 3 – 12x 2 , B = 18x 2 – 3 6 x + 1 8 Î · È ° = 9 x 2 – 9x.

Λύση ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ.

∞ = 12x2 – 12 = 12(x2 – 1) = 12(x – 1)(x + 1) µ = 18x2 – 36x + 18 = 18(x2 – 2x + 1) = 18(x – 1)2 ° = 9x2 – 9x = 9x(x – 1) √È ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ› ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ 12, 18, 9 ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 36 Î·È ª.∫.¢. = 3. ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ∞, µ, ° ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 36x(x – 1)2(x + 1) Î·È ª.∫.¢. = 3(x – 1).

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ˙‡ÁÔ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ∂.∫.¶. ÙÔ˘˜ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. x4(x + 2)2, ‚. x3(x + 2), 2

™Ù‹ÏË B 1. 6x2(x + 2)2

x(x + 2)3 x(x + 2)

2. x3(x + 2)3

3

Á. 6x (x + 2), 2x(x + 2)

2

3. 6x2(x + 2)

·

Á

4. x4(x + 2)3

69


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01:12

™ÂÏ›‰·70

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Û οı ÎÂÓfi ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∞, µ. ∞

B

4x 3

2 x(x – 1)

9(x – 1)2

6x 2 x 2(x – 1) 8x 5

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ˙‡ÁÔ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ª.∫.¢. ÙÔ˘˜ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. 6x3(x + 1)2,

3x(x + 1)3

‚. 2x2(x + 1)3,

3x4(x + 1)2

2

Á. 3x (x + 1),

4

™Ù‹ÏË B

3

6x (x + 1)

2

1. 6x2(x + 1)2

·

3. 3x2(x + 1) 4. x2(x + 1)2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Û οı ÎÂÓfi ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∞, µ. ∞ B 6 x (x – 2) 2 2 x 3 ( x – 2) 3 x3 (x – 2) 3

3x 2

x 4 ( x – 2) 2

6 (x – 2)3

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ·) 12x 3 y 2 ˆ 2 , 18x 2 yˆ 3 , 24x 2 y 3 ˆ 4 ‚) 15·xy 3 , 10·x 2 ˆ 2 , 5yˆ2 Á) 2x2(x + y)2, 3xy3(x + y)2, 8x2y(x – y)(x + y)

2

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·) 6(x2 – y2), 4(x – y)2, ‚) ·2 – 3· + 2, ·2 – 4, Á) ·3 – ·2 , (·2 – ·)(·2 – 1),

70

Á

2. 3x(x + 1)2

·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: 12(x – y)3 ·3 – 4· ·3 – 2·2 + ·


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3-11-06

01:18

1. 9

™ÂÏ›‰·71

ƒËÙ¤˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ

✔ ✔

Γνωρίζω ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται ρητή και πότε ορίζεται. Μαθαίνω να απλοποιώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 1. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ x + 4 ÁÈ· x = 0;

x–1 MÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ÁÈ· x = 1;

2. ¶ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÏÔÔÈ›ٷÈ; 6  2 + 7, 32

627 , 3+2

627 32

3. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ·ÏÔÔÈ›ٷÈ; 6x + y , 3x

6xy , 3+x

6xy 3x

xyˆ 2 x3 + 4 , , Ô˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ· Î·È ÔÈ fiÚÔÈ x + y x2 + 4 x–1 ÙÔ˘ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ϤÁÂÙ·È ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ·ÏÒ˜ ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË . √È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÌÈ·˜ ÚËÙ‹˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Ù˘, ·ÊÔ‡ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Ìˉ¤Ó. x3 + 4 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó x  1. x–1

(

MÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË .¯.

)

™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, fiÙ·Ó ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ı· ÂÓÓÔÂ›Ù·È fiÙÈ ÔÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. Ÿˆ˜ ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ¤ÙÛÈ Î·È ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ÌÔÚ› Ó· ·ÏÔÔÈËı›, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Î·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·. 6x + y ‰ÂÓ ·ÏÔÔÈ›ٷÈ, ÂÓÒ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 6 x y ·ÏÔÔÈ›ٷÈ, ÁÈ·Ù› 3x 3x ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 3x. AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ŒÙÛÈ, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

fiÚÔ˘˜ Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ¤¯Ô˘ÌÂ

6χy 6χy : 3x 2y = = 1 = 2y 3x 3x : 3x

H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·ÏÔÔ›ËÛË Á›ÓÂÙ·È Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ·, ·Ó ‰È·ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, 3χ  2y 6χy ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì = = 2y 3χ

3x

71


071-074

7-11-06

21:36

™ÂÏ›‰·72

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

AÓ fï˜ Û ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ‹ Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ, ÙfiÙ ÁÈ· Ó· ÙËÓ ·ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ Î·È ñ ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÙˆÓ fiÚˆÓ Ù˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

5x – 10 ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: x2 – 4

5x – 10 5(x – 2) 5(x – 2) 5 = 2 = = x2 – 4 x – 22 (x – 2)(x + 2) x+2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

°È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ; x2 + 7x + 2 x2 + 6 x2 + y2 ·) ‚) Á) x x+2 x–y

Λύση

x2 + 7x + 2 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ‰Â x ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x  0.

·) H ·Ú¿ÛÙ·ÛË

‚) OÌÔ›ˆ˜ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

x2 + 6 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó x + 2  0, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x  –2. x+2

x2 + y2 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó ÔÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ x, y ·›ÚÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜, Ù¤ÙÔȘ x–y ÒÛÙ x – y  0, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x  y.

Á) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

2

N· ·ÏÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 12 x 3 y ˆ 2 3x 2 – 3 ·) ‚) 3 6x 2 – 6x 8xy

Λύση ·) ™ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Á)

x2 – 2 x y + y2 x3 – y3

12x 3 y ˆ 2 Î·È ÔÈ ‰‡Ô fiÚÔÈ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ·, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì 8xy3

12x 3 y ˆ 2 3x 2 ˆ 2 = 8xy3 2y2 ‚) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Î·È ¤¯Ô˘Ì x+1 3(x – 1)(x + 1) 3x 2 – 3 3(x 2 – 1) = = = 2 6x(x – 1) 6x – 6x 6x(x – 1) 2x

Á) √ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

72

x–y x2 – 2 x y + y2 (x – y)2 = = 2 3 3 2 2 x + xy + y2 x – y (x – y)(x + xy + y )


071-074

8-11-06

15:41

™ÂÏ›‰·73

1.9 ƒËÙ¤˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ Ù˘ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È.

·. ‚. Á. ‰. Â.

2

Â)

1. x  1 2. x  0 Î·È x  1 ·

3. x  –1

Á

Â

4. x  1 Î·È x  –1 5. ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi˜ 6. x  0

(x + 2)(x + 1) x+2 = 4 4(x + 1)

‰)

x2 – y2 =x+y x–y

ÛÙ)

x+2 x + 2(x + 1) = 4 4(x + 1) (x – y)2/ =x+y x–y

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: ·)

‰)

4

™Ù‹ÏË B

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. x (x + 1) x2/ + 1 ·) ‚) =x+1 =x+1 x x Á)

3

™Ù‹ÏË ∞ 1  x x–1  x+1 x  2 x –1 2(x – 1)  x–1 3  2 x +1

7x 7 = x – 2 x(............) x(x + 1) ............

=x+1

‚)

(· + ‚)(............) =1 (· – ‚)(............)

Á)

Â)

............ 1 = 2 ·+‚ 2(·+‚)

ÛÙ)

x(x + 1) ............ 3(x + 2) ............

=x

=

3 x+2

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ x, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë x x 1 ·Ú¿ÛÙ·ÛË , ¤ÁÚ·„ = Î·È ·¿ÓÙËÛ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË x (x – 4) x(x – 4) x–4 ÔÚ›˙ÂÙ·È fiÙ·Ó x  4. ∂›Ó·È ÛˆÛÙ‹ Ë ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘;

73


071-074

3-11-06

01:18

™ÂÏ›‰·74

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 1 y+3 ˆ–2 6x + 1 ·) ‚) Á) ‰) 2 x–4 2y – 5 (ˆ + 1) x(x – 3)

2

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 4x 3y2 ·) ‚) 6x 12y Â)

3

4

6

74

ÛÙ)

y–1 1–y

2xˆ2 8x 2 ˆ

‰)

5· 2 ‚Á 3 10·‚ 2 Á

˙)

ˆ–2 (2 – ˆ) 2

Ë)

(· – ‚)(‚ – Á) (‚ – ·)(Á – ‚)

Á)

x2 + xˆ ˆ 2 + xˆ

‰)

5· 2 – 20 (· – 2)2

˙)

6x2 + 3xˆ 4x 2 – ˆ 2

Ë)

· 2 + ·‚ + ‚ 2 ·3 – ‚3

Á)

ˆ3 – 2ˆ2 + ˆ ˆ3 – ˆ

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

6x 2x + 4x

‚)

Â)

x2 – 16 x2 – 4x

ÛÙ)

2

3y – 9 y2 – 3y y2 – 1 y2 + 2y + 1

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

5

x+4 4+x

Á)

x2 + 3x + 2 x2 + 4x + 4

‚)

y2 – 5y + 4 y2 – 6y + 8

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

x(x – 1) + 4(x – 1) x2 + 2x – 3

‚)

y(y – 3) + y 2 – 9 4y 2 – 9

Á)

(2ˆ + 1)2 – (ˆ + 2)2 ˆ4 – 1

‰)

(· + 1)(· – 2)2 – 4(· + 1) ·3 + ·2

ŒÓ·˜ Ï·Ì·‰Ë‰ÚfiÌÔ˜ ηٿ Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ̤ÙÚ· Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ· 5 m/sec. ºÙ¿ÓÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ Ï·Ì·‰Ë‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË µ° Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 4 m/sec2. ∞Ó Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ÎÈÓ‹ıËΠοı ·ıÏËÙ‹˜ ‹Ù·Ó t sec Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ó‡ıËΠ5 Ë ·fiÛÙ·ÛË ∞° ‹Ù·Ó t + m/sec 2


075-084

3-11-06

01:26

1 . 10

™ÂÏ›‰·75

¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ ρητές παραστάσεις. ✔ Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ ρητές παραστάσεις.

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ – ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤA

2 3, 2 4 : 1. ¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: 4  35 ,  5 4 5 7 2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· οÓÂÙÂ Î·È ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂȘ: 2x 

3xy , 5ˆ

3x 2 2· 2 ‚ ,  9xy 2·‚

9x 3x 2 : y + 1 5y + 5

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ‹ ÁÈ· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ηÓfiÓ˜. ‚ ·‚ ·   =  Á Á

ηÈ

· Á ·Á    =  ‚ ‰ ‚‰

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ‰‡Ô ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. 5x2 15x3 3x  5x2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, 3x  = = Î·È 2y 2y 2y (x2 – 1)  2x 2x x2 – 1  = = x–1 3x + 3 (3x + 3)(x – 1)

2x(x – 1)(x + 1) 2x = 3(x + 1)(x – 1) 3

Ÿˆ˜ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÌÂÙ¿ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÂÎÙÂÏÔ‡ÌÂ Î·È ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ.

¢È·›ÚÂÛË °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ηÓfiÓ· · Á · ‰ ·‰  :  =    =  ‚ ‰ ‚ Á ‚Á ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ‰‡Ô ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, x (x – 1)(x + 1) x(x2 – 1) x x x–1 2x 2 x2 – 1 : 2 =  = = = 2 2x 2 (x + 1) x+1 x –1 x+1 2x (x + 1)  2x2 2x

75


075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·76

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

™‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· · ‚ Á · : ∆Ô Û‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· , ˆ˜ ÁÓˆÛÙfiÓ, ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰ ‚ Á  ‰ 

· ‰  Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ‚ Á

·  ‚ ·‰  = Á ‚Á  ‰

∆ÔÓ ›‰ÈÔ Î·ÓfiÓ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. 2·2  ·x 2· 2 x 2 x °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, = = 2 4·x 4·  x2

ÛÙȘ

ÚËÙ¤˜

Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

Μνηµονικός κανόνας ·  ‚ ·‰  = Á ‚Á  ‰

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N · ‚ Ú Â ı Ô ‡ Ó Ù · Á È Ó fi Ì Â Ó · : · ) ( 5 x 2 + 5x) 

Λύση ·) (5x2 + 5x) 

‚)

2

3x (5x2 + 5x)3x = = 2x + 2 2x + 2

·)

76

x2 – 2x + 1 x2 + 2x  3x + 6 x–1

15x2 5x(x + 1)3x = 2(x + 1) 2

‚)

·2 – x2 ·2 2· + 2x ·

x2 – ·2 x3 – ·3 x2 – ·2 x2 (x 2 – · 2 )x 2 (x – ·)(x + ·)x 2/ : =  = = = x x2 x x3 – ·3 x(x3 – ·3) x(x – ·)(x2 + x· + ·2) =

‚)

‚)

(x – 1)x x2 – 2x + 1 x2+2x (x2–2x+1)(x2+2x) x2 – x (x – 1)2/ x(x + 2)  = = = = 3 3x + 6 x–1 (3x + 6)(x – 1) 3 3(x + 2)(x – 1)

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: x2 – ·2 x3 – ·3 ·) : x x2

Λύση

3x 2x + 2

(x + ·)x x 2 + ·x = x2 + ·x + ·2 x2 + ·x + ·2

·2 – x2 ·(· – x)(· + x) ·(· 2 – x 2 ) ·–x ·2 = 2 = = / 2 2· + 2x 2· · (2· + 2x) 2· (· + x) ·


075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·77

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 1 x 1 x ·) x  ‚) x  = = y xy y y Á) 3x :

2

2 3 = x 2

‰) 3x :

2 3x2 = x 2

Â)

x–1 5 5  = y x–1 y

ÛÙ)

· x–2 ·x – 2  = x x x2

˙)

· ·2 + 1  =0 · +1 ·

Ë)

· · : =1 ‚+2 ‚+2

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: .......... x 1 1 6x2 ·) 3x  ‚) =  = 2 y y .......... y y x + 2 ..........  =1 x – 1 ..........

‰)

Â)

Á)

x + 2 .......... : =1 x–1 ..........

ÛÙ)

4x .......... ˆ : = y ˆ y x x+2 x : = y .......... x+2

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: 1 9x 1 x ·) 2  ‚)  y x 4y 3x ‰)

2

6‚ 2·3  3‚2 4·2

Â) (–5ˆ2) 

¡· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: 3 1 6 ·) 8x : ‚) 2 : – x y y

(

3

4

)

(

ÛÙ) –

(

Á) –

·+3 ·2 – 4  2 · +2· · +· – 6 2

Â)

· +1 (· + 1)2 : ‚2 ‚

Â)

x + y x2 + xy : x2 – xy x–y

3·‚ 4  – 2 2‚ ·

) (

·2 : 3·2 ‚3

)

x2 + x x2 + 5x+6  2 x –4 x2 + 3x

¡· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: 2y – 1 1 – 2y x+4 x+4 ·) : ‚) : 1+y 15 y+1 5 ‰)

5

3 10ˆ

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: y–5 2+y 2x + 6 4x ·) ‚)   2 5–y x+3 y+2 x ‰)

)

(

(

)

‰) –

x3 x2 : – 2ˆ 4ˆ2

) (

)

Á)

x–ˆ x 3ˆ 2 2 3  x2 – ˆ2 x ˆ

ÛÙ)

4y2 – 9 y2 + 3y  4y – 12y+9 2y2 + 3y 2

(

ˆ+2 : (ˆ + 2) ˆ

ÛÙ)

x2 – 4 x–2 : x3+8 x2 – 2x+4

Á) –

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x – 2 4x + 4 8x – 8 x + 2 2x + 6 x + 2 ·) : ‚) :   x+2 x–1 x+3 x+1 x + 2 x–1

(

1 9x

Á) 12x2 

)

)

Á)

( xx+– 12 : 2xx –+16 )  xx ++ 23 77


075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·78

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

B

¶ÚfiÛıÂÛË – ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. ¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: 7 + 19 – 11 , 9

9

9

3 + 1 – 1. 2 6 3

2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· οÓÂÙÂ Î·È ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂȘ: 3x 2x – 1 7+x – + , x–2 x–2 x–2

3 + 1 – 1. 2· 6·‚ 3‚

°È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‹ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ηÓfiÓ˜

· Á · + Á +  =  ‚ ‚ ‚

ηÈ

· Á · – Á  –  =  ‚ ‚ ‚

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, 3x + (2x – 1) – (7 + x) 3x 2x – 1 7+x – + = = x–2 x–2 x–2 x–2 =

3x + 2x – 1 – 7 – x 4(x – 2) 4x – 8 = = =4 x–2 x–2 x–2

AÓ fï˜ ÔÈ ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È ÙȘ ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì Û ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, fiˆ˜ Î·È ÛÙ· ·ÚÈıÌËÙÈο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. 2 5 2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· + – 2

3x – 3x

ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

6x

ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

3x 2 – 3x = 3x(x – 1) Î·È 3x – 3 = 3(x – 1)

ñ µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

∂.∫.¶. = 6x(x –1) 2

x–1

3x – 3

2x

ñ MÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·.

2 5 2 5 – 2 = – 2 = + + 3x –3x 6x 3x – 3 3x(x – 1) 6x 3(x – 1)

ñ EÎÙÂÏԇ̠ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ.

=

78

2

4 + 5 (x–1) – 4x 4 + 5x – 5 – 4x x–1 1 = = = 6x(x–1) 6x(x–1) 6x(x–1) 6x


075-084

7-11-06

21:38

™ÂÏ›‰·79

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·)

9x + 6 15 – x2 – 1 2x – 2

‚)

4 2 1 – 2 – 2 x2 – ·2 x – ·x x + ·x

Λύση ·) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) Î·È 2x – 2 = 2(x – 1) TÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È 2(x – 1)(x + 1). ÕÚ· 2 x +1 9x + 6 15 9x + 6 15 2(9x + 6) – 15(x +1) – – = = = 2 x –1 2x – 2 (x – 1)(x +1) 2(x – 1) 2(x – 1)(x +1) =

18x + 12 – 15x – 15 3x – 3 3(x – 1) 3 = = = 2(x – 1)(x +1) 2(x – 1)(x +1) 2(x – 1)(x +1) 2(x +1)

‚) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – ·2 = (x – ·)(x + ·), x2 – ·x = x(x – ·), x2 + ·x = x(x + ·) ∆Ô ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x – ·)(x + ·). ÕÚ· x x +· x –· 4 2 1 4 2 1 – 2 – 2 – – = = 2 x –· x – ·x x + ·x (x – ·)(x + ·) x(x – ·) x(x + ·) 2

=

2

4x – 2(x + ·) – (x – ·) 4x – 2x – 2· – x + · x–· 1 = = = x(x – ·)(x + ·) x(x – ·)(x + ·) x(x – ·)(x + ·) x(x + ·)

¶Ô‡ÏËÛ οÔÈÔ˜ Ù· ÔÈÎfi‰· ∞ Î·È µ Î·È ·fi ÙÔ Î · ı ¤ Ó · Â È Û ¤  Ú · Í Â 5 0 . 0 0 0  ˘ Ú Ò . ∞ Ó Ì Â Ù · x–1 ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ ·ÁfiÚ·Û ÙÔ ‰È·Ì¤ÚÈÛÌ· °, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı m 2 ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ fiÛÔ ¤Ó· m 2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Î·È ¤Ó· m 2 x ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ. (√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ‰›ÓÔÓÙ·È Û m).

Λύση

x

x

A x+1

x

B

° 1 1

Afi οı ÔÈÎfiÂ‰Ô ÂÈÛ¤Ú·Í 50000 ¢ÚÒ, ÔfiÙ ÁÈ· ÙËÓ ·ÁÔÚ¿ ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ¤‰ˆÛ 100000 ¢ÚÒ. ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Â›Ó·È x(x – 1) m2, ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ Â›Ó·È x(x + 1) m2 Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° Â›Ó·È (x2 – 1) m2. ∫¿ı 50000 50000 m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ Â˘ÚÒ, ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ x(x – 1) x(x +1) 100000 ¢ÚÒ Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° ÛÙÔȯ›˙ÂÈ Â˘ÚÒ. ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – 1 – x+1 x 1 50000 50000 50000(x +1) + 50000(x – 1) 100000x 100000 + = = = x(x – 1) x(x +1) x(x –1)(x +1) x(x –1)(x+1) x2 – 1 ¢ËÏ·‰‹, οı m2 ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° ÛÙÔȯ›˙ÂÈ fiÛÔ ¤Ó· m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Î·È ¤Ó· m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ. 79


075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·80

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. x 1 1 1 2 ·) ‚) + =1 + = x+1 x+1 x y x+y Á)

·+4 4 – =1 · ·

‰)

x 1+x = ˆ ˆ

ÛÙ)

Â) 1 +

2

· ·+2 2 – = x x x

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ¤ÁÚ·„ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Î·È Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ › fiÙÈ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ¤Î·Ó ¤Ó· Ï¿ıÔ˜. ªÔÚ›Ù ӷ ÂÓÙÔ›ÛÂÙ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ ·˘Ùfi; · ‚ · ‚ ·–‚ ·) + = – = =1 ·– ‚ ‚– · ·– ‚ ·– ‚ ·– ‚ ‚)

3

·+‚ ·+‚ + =0 ·–‚ ‚–·

3x + 2 2x – 1 3x + 2 – 2x – 1 x+1 – = = =1 x+1 x+1 x+1 x+1

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: x x ·) ‚) – .......... = 0 +.......... = 1 x+6 x+6 ‰) .......... –

Á) ..........+

5 1 2x – 1 Â) = +.......... = 2 x+2 x+2 x

ÛÙ)

x 2x = x+1 x+1

3x + 8 – .......... = 3 x

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 1 1 3 2 – ·) ‚) + x y x+1 x

80

1 1 – 2 y y

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 2x 3 y–6 4 – – ·) ‚) 2 2x – 6 x–3 y + 2y y+2 ‰)

3

Á)

1 x + 2x + 12 36 – x2

Â)

Á)

9x 3ˆ + 2 x – xˆ ˆ – xˆ

ÛÙ)

2

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙÂ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 1 1 y–2+ x– y x ·) ‚) 1 1 y– 1+  y x

Á)

‰)

1 ˆ+1 +  ˆ 1 1– ˆ3

1 2 – 2 2 ˆ ˆ +1

3ˆ + 6 4 – 2 ˆ –4 2ˆ – 4 ·+7 3 – · + 4· + 3 · + 1 2

1 1  –  · ‚ ‰) ‚ ·  – · ‚


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3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·81

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

4

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x–2 4 8 – 2 ·) + x x–2 x – 2x 2 3 y2 – 6 – + 2 y–2 y–3 y – 5y + 6

Á)

5

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x 1 x+3 – ·) 1+ 2x + 1 2x – 1 4x – 3

(

Á)

6

(

)(

1–

2·‚ 2 · + ‚2

)(

)

· ·+‚ + ‚ ·–‚

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

·) ∞Ó ∞ =

3 2 2x + 16y – + 2 x + 2y x – 2y x – 4y2

‰)

x2 y2 2xy2 – 2 + x–y x+y x – y2

‚)

)

‰)



x–3 x2 – 3 x+3 : + x2 – 1 (x –1)2 (x –1)2



(

· ‚ ·2 ‚2 + –1 : + ‚ · ‚ ·

) (

)

x3 – y3 + xy = (x + y)2. x–y

‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

7

‚)

563 – 443 + 56  44. 12

2x x2 – 1 Î·È µ = 2 , Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞2 + µ2 = 1. x +1 x +1 2

‚) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1, ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

200 9999 , ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì‹ÎË Ï¢ÚÒÓ 10001 10001

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 1Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∫ = ·3 – (1 + ·)–2 + 4

(

‚ 1 + · 2

)

–1

+

(

‚ – 2004 ·

)  , ·Ó Â›Ó·È · = – 32 Î·È ‚ = 3. 2004 0

(¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ «£·Ï‹˜» ∂.ª.∂. 2002).

2

°È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (· – ‚ + 3Á)2Ó+1 + (‚ – · – 3Á)2Ó+1 = 0 ‚) (x – y – ˆ)2Ó – (y + ˆ – x)2Ó = 0

3

∞Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ∞=

4

x = – 1 , Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: 2 y

4x2 – 6xy + y2 x2 + y2

B=

2x3 – 2xy2 + 3y3 x2y + y3

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = –2x2 + 2x + 800. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ƒ(1 – x) = P(x). ‚) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ƒ(100) Î·È ƒ(–99).

81


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01:26

™ÂÏ›‰·82

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

5

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·3 + ‚3 + Á3 – 3·‚Á = (· + ‚ + Á)(·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·). (∆·˘ÙfiÙËÙ· ∂uler). 3 3 3 ‚) ∞Ó · + ‚ + Á = 0, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · + ‚ + Á = 3·‚Á. Á) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (x – y)3 + (y – ˆ)3 + (ˆ – x)3.

6

AÓ · + ‚ = –

1 Î·È ·‚ = – 7 , ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: 3 3

·) ·2 + ‚2 = 43 9

‚) (3· + 1)2 + (3‚ + 1)2 + 9(· + ‚) = 40

7

AÓ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› x, y Â›Ó·È ›ÛÔÈ ‹ ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ. ·) x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) ‚) x3 + y3 = x2y + xy2

8

·) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì· x2 + 4x + 3,

x2 + 2x – 3. 1 1 1 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ = 2 + 2 + 2 x + 4x + 3 x –1 x + 2x – 3

9

¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ∞ = x(x + 3) Î·È µ = (x + 1)(x + 2). ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ = ∞ + 2 Î·È ∞µ + 1 = (∞ + 1)2. ‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1.

10

·) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È 16x4 + 8x2 + . ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘. ‚) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ì ·ÎÙ›Ó˜ 4x Î·È 4x2 – 1.

11

·) AÓ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î2 + Î Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜. ‚) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ, ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ 6, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 1. Á) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô ÂÚÈÙÙÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 8.

12

·) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x6 – 1) : (x – 1) Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 7 6 – 1 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 6. ‚) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x5 + 1) : (x + 1) Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 215 + 1 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 9.

13

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

1 1 1 – = . (x – 1)x x–1 x

‚) ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÈÛfiÙËÙ· Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÙ ÙÔ x ‰È·‰Ô¯Èο Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ 2, 3, 4, 1 1 1 1 2007 ..., 2008 Î·È Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ + + + ... + = 12 23 34 2007  2008 2008

82


7-11-06

21:40

™ÂÏ›‰·83

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 1o˘ K∂º∞§∞π√À Α . ΜΟΝΩΝΥΜΑ – ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

ñ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ .¯. 2x 2 – 3χy + 4 ñ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ∆ÈÌ‹ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ù˘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ. ñ ªÔÓÒÓ˘ÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È ÌfiÓÔ Ë Ú¿ÍË ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡. .¯. –3x 2y (–3 συντελεστής, x 2y κύριο µέρος του µονώνυµου). ñ ŸÌÔÈ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜, .¯. –3x 2y , 7χ2y, –x2y – Ë ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ∞Ê·›ÚÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ¤¯ÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ, ÂÊfiÛÔÓ ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÕıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ·˘Ù¿, Ô˘ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜. .¯. 2x 2y + 3χ2y – χ2y = 4χ2y AÓ·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ Ï¤ÁÂÙ·È Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. .¯. 6x 2 + 2χ – 4χ2 + 3χ = 2χ2 + 5χ – Ô ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ¢È·›ÚÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Á›ÓÔÓÙ·È Â›Ù ٷ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Â›Ó·È fiÌÔÈ· ›Ù fi¯È. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜, Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÌÈ¿˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ ÙÔ˘˜. .¯. (3x 2y)  (–2χy3) = – 6x3y4 ¶ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È Ë ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË. 1 –12x4y 4 2 4 .¯. (–12x y) : (3χ y) = –12x y  = = – 4x2 3χ2y 3χ2y

ñ ¶ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÔӈӇ̈Ó, Ô˘ ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ·˘Ù¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. .¯. 3x 2y – 5χy + 2 (∆Ô ÌÔÓÒÓ˘Ì· 3x 2y,, 5χy,, 2 ϤÁÔÓÙ·È fiÚÔÈ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘).

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

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– °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì - ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. – °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ·) ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. ‚) ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. – ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¢(x) Î·È ‰(x) Ì ‰(x)  0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢(x) : ‰(x), ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ˙‡ÁÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ (x) Î·È ˘(x) ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ: ∆(x) = δ(χ)π(χ) + υ(χ) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης) fiÔ˘ ÙÔ ˘(x) ‹ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó ‹ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰(x). AÓ ˘(x) = 0, ÙfiÙÂ Ë ‰È·›ÚÂÛË Ï¤ÁÂÙ·È Ù¤ÏÂÈ· Î·È Ù· ‰(x) Î·È (x) ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‹ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ¢(x).

83


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01:26

™ÂÏ›‰·84

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

Β. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ñ √È ÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ÔÈ Ôԛ˜ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜. ∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ›ӷÈ:

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜

(· + ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ‰È·ÊÔÚ¿˜

(· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2

∫‡‚Ô˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜

( · + ‚ ) 3 = · 3 + 3 · 2‚ + 3 · ‚ 2+ ‚ 3

∫‡‚Ô˜ ‰È·ÊÔÚ¿˜

( · – ‚ ) 3 = · 3 – 3 · 2‚ + 3 · ‚ 2 – ‚ 3

°ÈÓfiÌÂÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Â› ‰È·ÊÔÚ¿

(· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ‚2

¢È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ

( · – ‚ ) ( · 2 + · ‚ + ‚ 2) = · 3 – ‚ 3

ÕıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ

( · + ‚ ) ( · 2 – · ‚ + ‚ 2) = · 3 + ‚ 3

Γ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Â›Ó·È Ô ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ·fi ¿ıÚÔÈÛÌ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ. ∏ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Á›ÓÂÙ·È Û ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ:

∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û’ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜

·x + ‚x = x(· + ‚)

∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û ÔÌ¿‰Â˜ fiÚˆÓ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘

·x + ·y + ‚x + ‚y = = ·(x + y) + ‚(x + y) = (· + ‚)(x + y)

¢È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ

·2 – ‚2 = (· + ‚)(· – ‚)

ÕıÚÔÈÛÌ· – ¢È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ

· 3 + ‚ 3 = ( · + ‚ ) ( · 2 – · ‚ + ‚ 2) · 3 – ‚ 3 = ( · – ‚ ) ( · 2 + · ‚ + ‚ 2)

∞Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2 ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

∆ÚÈÒÓ˘ÌÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x2 + (· + ‚)x + ·‚

x2 + (· + ‚)x + ·‚ = (x + ·)(x + ‚)

∆. ΡΗΤΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ñ ªÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ· Ì fiÚÔ˘˜ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ϤÁÂÙ· ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ·ÏÒ˜ ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË. .¯.

2x 2 – 5 χ + 4

√È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÌÈ·˜ ÚËÙ‹˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. °È· Ó· ·ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ Î·È ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·. √È Ú¿ÍÂȘ Ì ÙȘ ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Á›ÓÔÓÙ·È fiˆ˜ Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

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(085-088)

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01:45

™ÂÏ›‰·85

2o ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

EΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0 2.2 Εξισώσεις 2ου βαθµού 2.3 Προβλήµατα εξισώσεων 2ου βαθµού 2.4 Κλασµατικές εξισώσεις 2.5 Ανισότητες – Ανισώσεις µε έναν άγνωστο Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση


(085-088)

3-11-06

2.1

01:45

™ÂÏ›‰·86

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

Θυµάµαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθµού.

Αναγνωρίζω αν µια εξίσωση έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞ Î·È ·ÊÔ‡ ÂÈÛÎÂÊı› ‰È·‰Ô¯Èο Ù· ¯ˆÚÈ¿ µ Î·È °, ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ µ° Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞µ Î·È Ë °∞ Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË µ°. ∞ B ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ¯ˆÚÈ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË Ô˘ ‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ‹Ù·Ó: ·) 15 km; ‚) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; Á) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; ° ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ χÓÔ˘Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ 3x = 12, – 4y + 11 = 0, Î.Ù.Ï. ™ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ Î·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1. ™Â ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (ÚˆÙÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË) . ∏ Â͛ۈÛË 3x = 12, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· Ì›· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘, ÙËÓ x = 4. O ·ÚÈıÌfi˜ 4, Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x = 12, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ ÔÈ 0x = –3 ‹ 0x = 0, ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ∏ Â͛ۈÛË 0x = –3 ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ηÌÈ¿ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 0x Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –3. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· Â͛ۈÛË, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË . ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË . ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ‚Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ñ ∞Ó · ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = –  · Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË . ñ ∞Ó · = 0 , ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 0x = –‚ Î·È ‚ ≠ 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·‰‡Ó·ÙÛ˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ Ë ), ÂÓÒ Ï‡ÛË (· ∞fi– Ù··ÓÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· fiÙÈ: – ·Ó ‚ = 0 , οı ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ (ÙÙ·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË ).

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™ÂÏ›‰·87

2.1 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË

x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

Λύση x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ. ñ ∞·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

6

x–1 2x + 1 –6 =6x+61 2 6

ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ.

3(x – 1) – (2x + 1) = 6x + 6 3x – 3 – 2x – 1 = 6x + 6 ñ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜. 3x – 2x – 6x = 6 + 3 + 1 ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. –5x = 10 ñ ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ –5x 10 = Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. –5 –5 x =–2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 2

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5

‚) 2(x – 1) – x = x – 2

Λύση ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5 3x + 6 – 3 = 3x + 5 3x – 3x = 5 – 6 + 3 0x = 2 H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· η̛· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

‚) 2(x – 1) – x = x – 2 2x – 2 – x = x – 2 2x – x – x = 2 – 2 0x = 0 ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı Â͛ۈÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

3x = 7

‚.

0x = 0

Á.

0x = 5

‰.

5x = 0

™Ù‹ÏË µ ·

Á

1. Œ¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË 2. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË 3. ∂›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·

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01:45

™ÂÏ›‰·88

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 1 ·) ∏ Â͛ۈÛË x= 2 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 3 ‚) Á) ‰) Â)

∏ ∏ ∏ ∏

Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË

4x = 0 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË. 0x = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi. 0x = 6 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 5(x + 1) = 5x + 5 Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) –3(x + 2) – 2(x – 1) = 8 + x Á) 5(–ˆ + 2) – 4 = 6 – 5ˆ ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x–1 x+3 1 ·) – =x– 2 6 3 Á)

2(ˆ – 1) ˆ + 1 ˆ–5 – = 3 2 6

‚) 4y – 2(y – 3) = 2y + 1 ‰) (2x + 1)2 + 5 = 4(x2 – 10)

‚)

y+5 y 3y – =1– 5 2 10

‰) 0,2(3x – 4) – 5(x – 0,4) = 0,4(1 – 10x)

3

To ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÏ·ÙÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿ 5 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 10. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜;

4

ƒÒÙËÛ·Ó Î¿ÔÈÔÓ fiÛ· ¢ÚÒ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÔÚÙÔÊfiÏÈ ÙÔ˘ ÎÈ ÂΛÓÔ˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó Â›¯· fiÛ· ¤¯ˆ Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ·ÎfiÌ· Î·È ‰¤Î· ·Ú·¿Óˆ, ı· ›¯· ÂηÙfi». ªÔÚ›, ¿Ú·ÁÂ, Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ¤Ó· ·ÓÙÂÏfiÓÈ Ô˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 65 C;

5

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Â› ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘: – ™ÎÂÊÙ›Ù ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Î·È ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙ ÙÔÓ. – ™ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10. – ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙ ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ Ì ÙÔ 2 Î·È ·fi ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛÎÂÊًηÙ ·Ú¯Èο. – ∫¿ı ̷ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚ÚÂÈ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi ÛΤÊÙËΠ·Ú¯Èο. ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹;

6

µ ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË µ Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 16 km/h. ªÈ· ÒÚ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÌÈ· Ê›ÏË ÙÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË µ Î·È Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 12 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË ∞ ÁÈ· Ó· ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ. ∞Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Â›Ó·È 44 km, Û fiÛ˜ ÒÚ˜ ·fi ÙËÓ ÂÎΛÓËÛË ÙÔ˘ Ô‰ËÏ¿ÙË ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó;

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16:16

2. 2

™ÂÏ›‰·89

∂ÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

✔ Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθµού µε ανάλυση σε γινόµενο παραγόντων. ✔ Βρίσκω το πλήθος των λύσεων µιας εξίσωσης δευτέρου βαθµού και υπολογίζω τις λύσεις της µε τη βοήθεια τύπου. ✔ Μετατρέπω ένα τριώνυµο σε γινόµενο παραγόντων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ÛÙËÓ ÚfiÛÔ„‹ Ù˘ ÚÔ¤‚Ï„ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 9 m Î·È 1 m. ™ÙÔ Û¯¤‰ÈÔ Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÛÙÔÓ È‰ÈÔÎÙ‹ÙË Ù˘ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹˜ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Â›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ‹Ù·Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. 9m

1m

√ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ fï˜, ıÂÒÚËÛ ÛÙÂÓfi ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Î·È ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ Ì˯·ÓÈÎfi Ó· ·˘Í‹ÛÂÈ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ ηٿ Ù· ›‰È· ̤ÙÚ·, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ¤ÚÂ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. ªÂ ÙÔ ·›ÙËÌ· fï˜ ÙÔ˘ ȉÈÔÎÙ‹ÙË, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ ÍÂÂÚÓÔ‡Û ÙÔ fiÚÈÔ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÔÏÂÔ‰ÔÌÈÎfi ηÓÔÓÈÛÌfi. ∆ÂÏÈο, ·ÔÊ·Û›ÛÙËΠӷ ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ, fiˆ˜ ÙÔ ˙‹ÙËÛÂ Ô È‰ÈÔÎÙ‹Ù˘, Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fï˜ Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó È· ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ, ·ÏÏ¿ Ó· ηχÙÔ˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 34 m2. Á) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ·˘Í‹ıËΠÙÂÏÈο ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.

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01:51

™ÂÏ›‰·90

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2.

x2 = 9, χ2 – 3χ = 0, χ2 + 15χ – 16 = 0

™Â ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË) . ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ x Â›Ó·È ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì Â ·  0 √È ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜ . OÈ x2 – 9 = 0 x2 – 3x = 0 x2 + 15x – 16 = 0

ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Á ϤÁÂÙ·È Î·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ›ӷÈ: : ·=1 ‚=0 Á = –9 : ·=1 ‚ = –3 Á=0 : ·=1 ‚ = 15 Á = –16

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ fiÙÈ :

∞Ó ·  ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = 0 ‹ ‚ = 0

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 3x ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x2 = 3x x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ x(x – 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x = 0 ‹ x – 3 = 0.

x=0 ‹ x–3=0 x=0 ‹ x=3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 0 Î·È x = 3

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + Á = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 – 9 = 0, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ∆Ô · ̤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Î·È ÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (x – 3)(x + 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x – 3 = 0 ‹ x + 3 = 0

90

x2 – 9 x2 – 32 (x – 3) (x + 3)

= 0 = 0 = 0

x–3=0 ‹ x+3=0 x = 3 ‹ x = –3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 3 Î·È x = –3


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™ÂÏ›‰·91

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ŸÙ·Ó · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜, Ë Â͛ۈÛË x2 = · ¤¯ÂÈ · Î·È x = – · ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 

x2 – 9 = 0 x2 = 9 9 ‹ x = – 9 x =  x = 3 ‹ x = –3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 16 = 0, ·Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 = –16. H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË), ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –16. ∞Ó · Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË x2 = · ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 0. H χÛË ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ‰ÈÏ‹ , ÁÈ·Ù› Ë Â͛ۈÛË x2=0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È x  x = 0, ÔfiÙ x = 0 ‹ x = 0 (‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ›‰È· χÛË).

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 9x2 – 6x + 1 = 0 ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ∆Ô ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 ñ °È· Ó· Â›Ó·È (3x – 1)2 = 0 Ú¤ÂÈ 3x – 1 = 0

9x2 – 6x + 1 = 0 (3x) – 2  3x  1 + 12 = 0 (3x – 1)2 = 0 1 3x – 1 = 0 ‹ x = 3 2

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x 2 + 15x – 16 = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ 4x 2 + 60x – 64 = 0 Â͛ۈÛ˘ Ì 4·, fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x2. (2x) 2 + 2  2x  15 = 64 ñ MÂٷʤÚÔ˘Ì ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ (2x) 2 + 2  2x 15 + 152 = 64 + 152 Î·È ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠·Ú¿ÛÙ·ÛË (2x + 15) 2 = 289 Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·2 + 2·‚ ‹ ·2 – 2·‚. 289 ‹ 2x + 15 = – 289 2x + 15 = ñ °È· Ó· Û˘ÌÏËÚˆı› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·2x + 15 = 17 ‹ 2x + 15 = –17 ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. 2x = 2 ‹ 2x = –32 ñ ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̛̠· ·fi ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ x=1 ‹ x = –16 ·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 x = 1 Î·È x = –16 ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ Ì ÙËÓ ÔÔ›· χ۷Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ̤ıÔ‰Ô˜ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ .

91


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01:51

™ÂÏ›‰·92

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 = 7x

‚) 3x 2 – 75 = 0

Á) 2x 2 + 8 = 0

Λύση ·)

2x2 = 7x 2x2 – 7x = 0 x(2x – 7) = 0 x = 0 ‹ 2x – 7 = 0 7 x=0‹x = 2

2

3x2 – 75 = 0 3x2 = 75 x2 = 25

‚)

Á)

2x2 + 8 = 0 2x2 = – 8 x2 = – 4

25 ‹ x = – 25 x = 

¢ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË

x=5

(·‰‡Ó·ÙË Â͛ۈÛË)

‹ x = –5

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË x 2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

Λύση 2 ñ BÁ¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1. x (2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0 (2x – 1)(x2 – 6x + 9) = 0 ñ O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (2x – 1)(x – 3)2 = 0 Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 2x – 1 = 0 ‹ x–3=0 1 x= ‹ x = 3 (‰ÈÏ‹ χÛË) 2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. ‚) O ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. Á) OÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 2)(x + 1) = 0 Â›Ó·È x = 2 Î·È x = –1. ‰) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 16 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 4. Â) H Â͛ۈÛË x2 = –9 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ÛÙ) ∏ Â͛ۈÛË (x – 2)2 = 0 ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 2.

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) H Â͛ۈÛË 5x – 6 = x2 Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ‚) ∏ Â͛ۈÛË x2 + 3x + 8 = x(x + 2) Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. Á) ∏ Â͛ۈÛË (Ï – 2)x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È i) 1o˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï = 2 ii) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï  2.

3

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ χÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 6x ·ÏÔÔ›ËÛ Ì ÙÔ x Î·È ‚ڋΠfiÙÈ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙË x = 6. ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fï˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Â·ÏËı‡ÂÙ·È Î·È ÁÈ· x = 0. ¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Î·È ¯¿ıËÎÂ Ë Ï‡ÛË x = 0;

92


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01:51

™ÂÏ›‰·93

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

4 5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (x – 4)(x + 1) = 0

‚) y(y + 5) = 0

‰) 7x(x – 7) = 0

Â) 3y

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 = 7x

‚) –y2 = 9y

‰) –2t2 – 18 = 0

Â) –0,2Ê2 + 3,2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (2x – 1)2 – 1 = 0 (x – 9)2 ‰) = 27 3

( 3y – 2) = 0

‚) 3(x + 2)2 = 12 Â) (3x – 1)2 – 4x2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (3x + 1)2 = 5(3x + 1)

‚) 0,5(1 – y)2 = 18

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x(x – 4) = – 4 ‰) 2t2 – 7t + 6 = 0

‚) y2 + y – 12 = 0 Â) 3Ê2 + 1 = 4Ê

Á) (3 – ˆ)(2ˆ + 1) = 0 ÛÙ)

( 12 – ˆ)(2ˆ – 1) = 0

Á) 2ˆ2 – 72 = 0 z2 ÛÙ) – 0,5z = 0 6 Á) (x + 1)2 = 2x ÛÙ) (x +  3)2 – 3 = 0

Á) (2ˆ2 + 1)(ˆ2 – 16) = 0

Á) ˆ2 – 2ˆ – 15 = 0 ÛÙ) 5z2 – 3z – 8 = 0

6

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 25x2 + 10x + 1 = 0 ‚) y2(y – 2) + 4y(y – 2) + 4y – 8 = 0 Á) ˆ2 + 2006ˆ – 2007 = 0

7

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – (· + ‚)x + ·‚ = 0

‚) x2 – (  3 – 1)x –  3=0

8 1 1 2 3 4

2

3

4

5

OÚÈ˙fiÓÙÈ·: 1. MË ÌˉÂÓÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 12x – ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + 225 = 30x 2. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x + 4) + 8(x + 4) = 0 3. ÕıÚÔÈÛÌ· ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 10x + 9 = 0 4. ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 25 – H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 32x

∫¿ıÂÙ·: 1. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 20x + 100 = 0 2. To ·Î¤Ú·ÈÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x – 15) = x – 15 3. To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 5)2 – (x – 5) = 0 4. MË ·ÚÓËÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 144 = 0 5. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2(x – 12) + 2007(x – 12) = 0

93


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01:51

™ÂÏ›‰·94

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

B

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù‡Ô˘

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô «Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘» ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0. ∆Ë Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÛÙË ÁÂÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο: ·x2 + ‚x + Á = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ì 4·.

4·  ·x2 + 4·  ‚x + 4·  Á = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜.

4· 2x2 + 4·‚x = –4·Á

ñ ™ÙÔ · ̤ÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ· (2·x) 2 + 2  2·x  ‚ = – 4·Á ÙÔ˜ (2·x + ‚)2. °È· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ (2·x) 2 + 2  2·x  ‚ + ‚ 2 = ‚ 2 – 4·Á ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 2·x + ‚ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· (2·x + ‚) 2 = ‚ 2 – 4·Á ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. ∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È (2·x + ‚)2 = ¢ Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ñ ∞Ó ¢ > 0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 2·x + ‚ = ± ¢ 2·x = –‚ ±  ¢ – ‚ ±  ¢ x= 2·

ñ ∞Ó ¢ = 0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (2·x + ‚)2 = 0 2·x + ‚ = 0

2·x = – ‚ ‚

x = – 2· ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË,

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ +  ¢ – ‚ –  ¢ Î·È x = 2· 2·

ÙËÓ x = – 2·

·‰‡Ó·ÙË ). ñ ∞Ó ¢ < 0 , ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (· ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÁÈ·Ù› Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂÒÓ Ù˘. °È’ ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ‰ËÏ·‰‹ ¢ = ‚ 2 – 4·Á ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0. – ‚ ± ¢ ñ ∞Ó ¢ > 0 , ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ ÙȘ x = 2· ñ ∞Ó ¢ = 0 , ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË ÙËÓ x = – ñ ∞Ó ¢ < 0 , ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

94

‚ 2·


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16:17

™ÂÏ›‰·95

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 + 5x + 3 = 0 ‚) 6x 2 – 5x + 2 = 0

Á) –16x 2 + 8x – 1 = 0

Λύση

·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = 5, Á = 3, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 52 – 4  2  3 = 25 – 24 = 1 > 0. – ‚ ±  ¢ – 5 ±  1 –5 ± 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = = = , 2· 22 4 –5 + 1 –5 – 1 3 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = = –1 ‹ x = =– 4 4 2

‚) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 6x2 – 5x + 2 = 0 Â›Ó·È · = 6, ‚ = –5, Á = 2, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–5)2 – 4  6  2 = 25 – 48 = –23 < 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË). Á) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 Â›Ó·È · = –16, ‚ = 8, Á = –1, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 82 – 4  (–16)  (–1) = 64 – 64 = 0. ‚ 8 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – =– = 2· 2  (–16) 4

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 9x 2 – (5x – 1) 2 = 2x

‚)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

Λύση ·) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x 9x2 – (25x2 – 10x + 1) = 2x 9x2 – 25x2 + 10x – 1 – 2x = 0 –16x2 + 8x – 1 = 0 1 x= (‰ÈÏ‹ χÛË) 4 (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

‚) 6

x(x + 3) x–6 1 – 6 =6 3 6 2

2x(x + 3) – (x – 6) = 3 2x2 + 6x – x + 6 – 3 = 0 2x2 + 5x + 3 = 0 3 x = –1 ‹ x = – (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·) 2

3

·) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 2x 2 – 8x + 6 = 0. ‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x 2 – 8x + 6.

Λύση ·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = –8, Á = 6, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–8)2 – 4  2  6 = 64 – 48 = 16 > 0. 8±4 – ‚ ± ¢ – (–8) ± 16 , ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = ‹ x= = 4 2· 22 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 3 ‹ x = 1. ‚) 2x2 – 8x + 6 = 2(x2 – 4x + 3) = 2(x2 – 3x – x + 3) = 2 x(x – 3) – (x – 3) = = 2(x – 3)(x – 1) 95


(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·96

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘ ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ: ñ √È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 1. ñ ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 8x + 6 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 2 x2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)

Γενικά ∞Ó Ú 1 , Ú 2  › Ó · È Ô È Ï ‡ Û Â È ˜ Ù Ë ˜ Â Í › Û ˆ Û Ë ˜ · x 2 + ‚ x + Á = 0 Ì Â ·  0 , Ù fi Ù Â Ù Ô Ù Ú È Ò Ó ˘ Ì Ô ·x 2 + ‚x + Á ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ·x 2 + ‚x + Á = ·(x – Ú 1)(x – Ú 2) °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÙȘ –1 Î·È –

3 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·). 2

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 5x + 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È

( 32 ) = 2(x + 1)(x + 32 )

2x2 + 5x + 3 = 2x – (–1) x – –

OÌÔ›ˆ˜ Ë Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á). 4

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –16x2 + 8x – 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 1 x– = –16 x – –16x2 + 8x – 1 = –16 x – 4 4 4

(

)(

)

(

)

2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

AÓ ¢ Â›Ó·È Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÙfiÙ ӷ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ (∞) ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË (µ). ™Ù‹ÏË ∞

2

™Ù‹ÏË µ

·.

¢>0

1. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË.

‚.

¢=0

2. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ.

Á.

¢0

3. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË.

‰.

¢<0

4. ∏ Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.

·

Á

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋, ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ‚) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË. Á) ∏ Â͛ۈÛË 2x2 + 4x – 6 = 0 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È –3, ÔfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 4x – 6 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2x2 + 4x – 6 = (x – 1)(x + 3).

96


(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·97

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

3

N· ‚Ú›Ù ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 2x + 8 = 0 Á) –2x2 + 50 = 0 ‰) 5x2 + x – 4 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ʤÚÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ·x2 + ‚x + Á = 0 Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·. ·x 2 + ‚ x + Á = 0

E͛ۈÛË

·

Á

x (x – 1) = –2 3x2 + 4 = 2(x + 2) (x – 1)2 = 2(x2 – x)

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – x – 2 = 0 ‰) 2z2 – 3z + 1 = 0 ˙) 3x2 + 18x + 27 = 0

‚) 4y2 + 3y – 1 = 0 Â) –25t2 + 10t – 1 = 0 Ë) x2 – 4x = 5

Á) –2ˆ2 + ˆ + 6 = 0 ÛÙ) 4x2 – 12x + 9 = 0 ı) x2 – 3x + 7 = 0

3

‚) x2 – 16 = 0 ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 7x = 0 i) Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ii) Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3x2 – 2(x – 1) = 2x + 1 Á) (2ˆ – 3)2 – (ˆ – 2)2 = 2ˆ2 – 11

5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x+3 x2 – 1 ·) – =x–2 5 3 Á) 0,5t2 – 0,4(t + 2) = 0,7(t – 2)

6

‚) (y + 2)2 + (y – 1)2 = 5(2y + 3) ‰) Ê(8 – Ê) – (3Ê + 1)(Ê + 2) = 1

‚)

6y + 1 y–2 y2 – = –2 4 6 3

‰)

ˆ (3ˆ – 7) = – 3 2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + 4x – 12 ‚) 3y2 – 8y + 5 ‰) x2 – 16x + 64 Â) 9y2 + 12y + 4

Á) –2ˆ2 + 5ˆ – 3 ÛÙ) –ˆ2 + 10ˆ – 25

7

∞Ó ·, ‚ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì ·  0, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË ·) ·x2 – x + 1 – · = 0 ‚) ·x2 + (· + ‚)x + ‚ = 0

8

¢›ÓÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË (· + Á)x2 – 2‚x + (· – Á) = 0, fiÔ˘ ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°. ∞Ó Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

97


(089-098)

7-11-06

16:18

™ÂÏ›‰·98

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ™Â ÌÈ· ‚·‚˘ÏˆÓÈ΋ Ͽη (ÂÚ›Ô˘ 1650 .Ã.) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¯·Ú·Á̤ÓÔ Î·È Ï˘Ì¤ÓÔ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ·(*): « ∞Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ 870. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘». ∆Ô˘˜ Ï·Ô‡˜ Ù˘ ªÂÛÔÔÙ·Ì›·˜ ‰ÂÓ ÙÔ˘˜ ··Û¯ÔÏÔ‡ÛÂ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜, ·ÏÏ¿ Ë ›‰È· ÔÛfiÙËÙ·, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (°È’ ·˘Ùfi ÚfiÛıÂÙ·Ó Ì‹ÎÔ˜ Ì ÂÈÊ¿ÓÂÈ·). ∞Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÛËÌÂÚÈÓfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Î·È ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ô‰ËÁ› ÛÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – x = 870. O B·‚˘ÏÒÓÈÔ˜ Áڷʤ·˜ Ù˘ Ͽη˜ Ì·˜ ÚÔÙ›ÓÂÈ Ó· χÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·: ➤ ¶¿Ú ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 1 Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ➤ ¶ÔÏÏ·Ï·Û›·Û ÙÔ ➤ ¶ÚfiÛıÂÛ ÙÔ ➤ ∆Ô 870

1. 2

1 1 1 Ì ÙÔ , ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· . 2 2 4

1 1 ÛÙÔ 870 Î·È ı· ‚ÚÂȘ 870 . 4 4

1 1 , Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 29 . 4 2

➤ ¶ÚfiÛıÂÛÂ ÛÙÔ 29

1 1 ÙÔ (Ô˘ ‚ڋΘ ·Ú¯Èο) 2 2

Î·È ı· ‚ÚÂȘ 30.

ñ To 1 Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x. (√È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ‰Â ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜).

ñ √È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ·ÚÈıÌÒÓ Â›¯·Ó ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ›Ó·Î˜ Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ñ ŒÎ·Ó·Ó ÚfiÛıÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯Â ·Ê·›ÚÂÛË (.¯. x2 – x) Î·È ·Ê·›ÚÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯ÂÈ ÚfiÛıÂÛË (.¯. x2 + x)

➤ ∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

ñ N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ô˘ Ì¿ı·Ù ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Î·È Ó· ÙË Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ Ú·ÎÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ï˘Ó·Ó ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ∆È ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ; ñ ∞ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ‚‹Ì·Ù· ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ Â›Ó·È ¯·Ú·Á̤ÓÔ ÛÙËÓ ›‰È· Ͽη. «∞Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤Ûˆ ÙËÓ 3 ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘;» 4

(*)(∞fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ £. ∂Í·Ú¯¿ÎÔ˘: πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ∆· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, ÙfiÌÔ˜ ∞, ∞ı‹Ó· 1997.

98


(099-102)

3-11-06

01:54

2. 3

™ÂÏ›‰·99

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜, Ù˘ √ÈÎÔÓÔÌ›·˜, Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î.Ù.Ï.

Πρόβληìα 1 ο ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÈ· ÎÔÏ˘Ì‚ËÙÈ΋˜ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m 2. N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘, ·Ó ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 41 m.

Λύση ∞Ó Ë Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë ¿ÏÏË ı· Â›Ó·È 41 – x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 41 m. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m2, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x(41 – x) = 400 ‹ 41x – x2 = 400 ‹ x2 – 41x + 400 = 0. ™ÙËÓ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È · = 1, ‚ = –41, Á = 400, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–41)2 – 4  1  400 = 1681 – 1600 = 81 > 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ ±  ¢ 41 ±  41 ± 9 81 , = = 2· 2 21

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 25 ‹ x = 16. AÓ x = 25, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 25 = 16, ÂÓÒ ·Ó x = 16, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 16 = 25. EÔ̤ӈ˜, Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 25 m Î·È 16 m.

Πρόβληìα 2 ο ŒÓ·˜ ÔÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ fiÙÈ ÌÈ· ‚ÈÔÙ¯ӛ· ÚÔ‡¯ˆÓ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ x 1 2 Ô˘Î¿ÌÈÛ· Íԉ‡ÂÈ x + 20x + 500 ¢ÚÒ. ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï¿ÂÈ Î¿ı Ô˘Î¿ÌÈ10 ÛÔ 60 C,, fiÛ· Ô˘Î¿ÌÈÛ· Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 3500 C;;

Λύση ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï‹ÛÂÈ x Ô˘Î¿ÌÈÛ·, ı· ÂÈÛÚ¿ÍÂÈ 60x C, ÔfiÙ ı· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 1 2 x + 20x + 500 C. 60x – 10 ∂Âȉ‹ ı¤ÏÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ Ó· Â›Ó·È 3500 C ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 2 x + 20x + 500 = 3500 ‹ 60x – 10

(

)

(

)

1 2 x – 20x – 500 = 3500 10 600x – x2 – 200x – 5000 = 35000 x2 – 400x + 40000 = 0 60x –

99


(099-102)

3-11-06

01:54

™ÂÏ›‰·100

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (– 400)2 – 4  1  40000 = 160000 – 160000 = 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

–‚ 400 = = 200. 2· 21

∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ÎÂÚ‰���ÛÂÈ Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· 3500 C, Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ 200 Ô˘Î¿ÌÈÛ·.

Πρόβληìα 3 ο ∞fi ¤Ó· ·Î›ÓËÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ h ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ¤Ó·˜ Û¿ÎÔ˜ Ì ¿ÌÌÔ ÁÈ· Ó· ÂÏ·ÊÚ‡ÓÂÈ. ∆·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 0,5 m/sec 2. ∆Ë ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô Û¿ÎÔ˜ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ 84 m. ¡· ‚ÚÂı› fiÛÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘. ™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ: ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ‡„Ô˜ h m, ÙfiÙ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û 1 ¯ÚfiÓÔ t sec, fiÔ˘ h = gt2 Î·È g = 10 m/sec2 ÂÚ›Ô˘. 2 ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·, ÙfiÙ Û ¯ÚfiÓÔ t ı· 1 ‰È·Ó‡ÛÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· s = ·t2. 2

Λύση ∞Ó Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘ ‰È‹ÚÎËÛ t sec, ÙfiÙ ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ ·˘Ùfi Ô Û¿ÎÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ·fiÛÙ·ÛË 1 1 h = gt2 = 10t2 = 5t2, ·ÊÔ‡ g = 10 m/sec2. 2 2 ™ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ó¤‚ËΠηٿ ‡„Ô˜ 1 2 1 1  0,5  t2 = t2 , ·ÊÔ‡ · = 0,5 m/sec2. h = ·t = 2 2 4 EÂȉ‹ h + h = 84, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 5t2 + t2 = 84 ‹ 20t2 + t2 = 336 ‹ 21t2 = 336 4 ‹ t2 = 16, ÔfiÙ t = 4 ‹ t = – 4. ∂Âȉ‹ ÙÔ t ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ¯ÚfiÓÔ, Ú¤ÂÈ t > 0, ÔfiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÙÒÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‹Ù·Ó t = 4 sec.

100

h 84 m h

h


σελ. 51-100